ប្រៀបធៀបទំហំ និងបរិមាណនៅពេលដោះស្រាយ ភារកិច្ចជាក់ស្តែងមានតាំងពីបុរាណកាលមក។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ ពាក្យដូចជា ច្រើន និងតិច ខ្ពស់ និងទាប ស្រាលជាង និងធ្ងន់ជាង ស្ងាត់ជាង និងខ្លាំងជាង ថោកជាង និងថ្លៃជាង ជាដើម បានលេចចេញមក ដោយបង្ហាញពីលទ្ធផលនៃការប្រៀបធៀបបរិមាណដូចគ្នា។

គំនិតនៃកាន់តែច្រើនឡើង ៗ បានកើតឡើងទាក់ទងនឹងការរាប់វត្ថុ ការវាស់វែង និងការប្រៀបធៀបបរិមាណ។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកគណិតវិទូនៃប្រទេសក្រិចបុរាណបានដឹងថាផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណណាមួយគឺតិចជាងផលបូកនៃភាគីទាំងពីរផ្សេងទៀត ហើយដែលទល់នឹង មុំធំជាងផ្នែកវែងបំផុតគឺនៅក្នុងត្រីកោណ។ Archimedes នៅពេលគណនាបរិមាត្រនៃរង្វង់មួយបានរកឃើញថាបរិវេណនៃរង្វង់ណាមួយគឺស្មើនឹងបីដងនៃអង្កត់ផ្ចិតដែលមានលើសដែលតិចជាងមួយភាគប្រាំពីរនៃអង្កត់ផ្ចិតប៉ុន្តែច្រើនជាងដប់ចិតសិបដំបូងនៃអង្កត់ផ្ចិត។

ជានិមិត្តសញ្ញាសរសេរទំនាក់ទំនងរវាងលេខ និងបរិមាណដោយប្រើសញ្ញា > និង b ។ ធាតុ​ដែល​លេខ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​តភ្ជាប់​ដោយ​សញ្ញា​មួយ៖ > (ធំ​ជាង) អ្នក​ក៏​បាន​ជួប​នឹង​វិសមភាព​លេខ​ក្នុង ថ្នាក់ទាប. អ្នកដឹងថាវិសមភាពអាចឬមិនពិត។ ឧទាហរណ៍ \(\frac(1)(2)> \frac(1)(3)\) គឺត្រឹមត្រូវ វិសមភាពលេខ, 0.23 > 0.235 - វិសមភាពលេខមិនត្រឹមត្រូវ។

វិសមភាព​ដែល​រួម​បញ្ចូល​ការ​មិន​ស្គាល់​អាច​នឹង​ពិត​សម្រាប់​តម្លៃ​មួយ​ចំនួន​នៃ​ការ​មិន​ស្គាល់​និង​មិន​ពិត​សម្រាប់​អ្នក​ដទៃ។ ឧទាហរណ៍ វិសមភាព 2x+1>5 គឺពិតសម្រាប់ x=3 ប៉ុន្តែមិនពិតសម្រាប់ x=-3។ សម្រាប់វិសមភាពជាមួយអ្វីដែលមិនស្គាល់ អ្នកអាចកំណត់ភារកិច្ច៖ ដោះស្រាយវិសមភាព។ បញ្ហានៃការដោះស្រាយវិសមភាពក្នុងការអនុវត្តត្រូវបានបង្កឡើង និងដោះស្រាយមិនញឹកញាប់ជាងបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការ។ ឧទាហរណ៍ជាច្រើន។ បញ្ហាសេដ្ឋកិច្ចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការសិក្សា និងដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធវិសមភាពលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា វិសមភាពគឺជារឿងធម្មតាជាងសមីការ។

វិសមភាពខ្លះមានតែមួយគត់ មធ្យោបាយជំនួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់ ឬបដិសេធអត្ថិភាពនៃវត្ថុជាក់លាក់មួយ ឧទាហរណ៍ ឫសគល់នៃសមីការ។

វិសមភាពលេខ

តើអ្នកអាចប្រៀបធៀបលេខទាំងមូលបានទេ? ទសភាគ. ដឹងពីច្បាប់នៃការប្រៀបធៀប ប្រភាគធម្មតា។ជាមួយភាគបែងដូចគ្នា ប៉ុន្តែភាគបែងផ្សេងគ្នា; ជាមួយនឹងលេខដូចគ្នា ប៉ុន្តែ ភាគបែងផ្សេងគ្នា. នៅទីនេះអ្នកនឹងរៀនពីរបៀបប្រៀបធៀបលេខទាំងពីរដោយស្វែងរកសញ្ញានៃភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេ។

ការប្រៀបធៀបលេខត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្ត។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកសេដ្ឋកិច្ចប្រៀបធៀបសូចនាករដែលបានគ្រោងទុកជាមួយនឹងសូចនាករជាក់ស្តែង វេជ្ជបណ្ឌិតប្រៀបធៀបសីតុណ្ហភាពរបស់អ្នកជំងឺជាមួយនឹងកម្រិតធម្មតា អ្នកបង្វិលប្រៀបធៀបវិមាត្រនៃផ្នែកម៉ាស៊ីនជាមួយនឹងស្តង់ដារមួយ។ ក្នុងករណីទាំងអស់នោះ លេខមួយចំនួនត្រូវបានប្រៀបធៀប។ ជាលទ្ធផលនៃការប្រៀបធៀបលេខ វិសមភាពលេខកើតឡើង។

និយមន័យ។លេខ ក ចំនួនច្រើនទៀតខ ប្រសិនបើ ភាពខុសគ្នា a-bវិជ្ជមាន។ លេខ ក តិចជាងចំនួន b ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា a-b គឺអវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ a ធំជាង b នោះគេសរសេរថា a > b; ប្រសិនបើ a តិចជាង b នោះគេសរសេរថា a ដូច្នេះ វិសមភាព a > b មានន័យថា ភាពខុសគ្នា a - b គឺវិជ្ជមាន ឧ។ a - b> 0. វិសមភាព a សម្រាប់លេខទាំងពីរ a និង b ពីទំនាក់ទំនងទាំងបីខាងក្រោម a> b, a = b, a ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើ a > b និង b > c នោះ a > c ។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើលេខដូចគ្នាត្រូវបានបន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព នោះសញ្ញានៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
ផលវិបាក។ពាក្យណាមួយអាចត្រូវបានផ្ទេរពីផ្នែកមួយនៃវិសមភាពទៅមួយទៀតដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនេះទៅផ្ទុយ។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណនឹងដូចគ្នា។ លេខវិជ្ជមានបន្ទាប់មកសញ្ញាវិសមភាពនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណនឹងដូចគ្នា។ លេខអវិជ្ជមានបន្ទាប់មក សញ្ញាវិសមភាពនឹងត្រលប់មកវិញ។
ផលវិបាក។ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនវិជ្ជមានដូចគ្នា នោះសញ្ញានៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនអវិជ្ជមានដូចគ្នា នោះសញ្ញានៃវិសមភាពនឹងផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។

តើអ្នកដឹងទេ? សមភាពលេខអ្នកអាចបន្ថែម និងគុណពាក្យដោយពាក្យ។ បន្ទាប់មកអ្នកនឹងរៀនពីរបៀបអនុវត្តសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងវិសមភាព។ សមត្ថភាពក្នុងការបន្ថែម និងគុណពាក្យវិសមភាពតាមពាក្យ ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងការអនុវត្ត។ សកម្មភាពទាំងនេះជួយអ្នកដោះស្រាយបញ្ហានៃការវាយតម្លៃ និងប្រៀបធៀបតម្លៃនៃការបញ្ចេញមតិ។

នៅពេលសម្រេចចិត្ត កិច្ចការផ្សេងៗជាញឹកញាប់ គេត្រូវបន្ថែម ឬគុណពាក្យដោយពាក្យ ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃវិសមភាព។ ជួនកាលគេនិយាយថាវិសមភាពត្រូវបានបន្ថែម ឬគុណ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកទេសចរដើរលើសពី 20 គីឡូម៉ែត្រនៅថ្ងៃដំបូង ហើយច្រើនជាង 25 គីឡូម៉ែត្រនៅថ្ងៃទី 2 នោះវាអាចប្រកែកបានថាក្នុងរយៈពេលពីរថ្ងៃគាត់បានដើរច្រើនជាង 45 គីឡូម៉ែត្រ។ ដូចគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើប្រវែងនៃចតុកោណកែងមានតិចជាង 13 សង់ទីម៉ែត្រ និងទទឹងតិចជាង 5 សង់ទីម៉ែត្រ នោះគេអាចប្រកែកបានថាផ្ទៃដីនៃចតុកោណកែងនេះគឺតិចជាង 65 សង់ទីម៉ែត្រ2។

ក្នុងការពិចារណាឧទាហរណ៍ទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបូក និងគុណវិសមភាព៖

ទ្រឹស្តីបទ។នៅពេលបន្ថែមវិសមភាពនៃសញ្ញាដូចគ្នា យើងទទួលបានវិសមភាពនៃសញ្ញាដូចគ្នា៖ ប្រសិនបើ a > b និង c > d បន្ទាប់មក a + c > b + d ។

ទ្រឹស្តីបទ។នៅពេលគុណវិសមភាពនៃសញ្ញាដូចគ្នា ដែលផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំមានភាពវិជ្ជមាន វិសមភាពនៃសញ្ញាដូចគ្នាត្រូវបានទទួល៖ ប្រសិនបើ a > b, c > d និង a, b, c, d គឺជាលេខវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក ac > bd

វិសមភាពដែលបានចុះហត្ថលេខា > (ធំជាង) និង 1/2, 3/4 b, c រួមជាមួយនឹងសញ្ញា វិសមភាពដ៏តឹងរឹង> ហើយស្រដៀងគ្នាដែរ វិសមភាព \(a \geq b \) មានន័យថាចំនួន a ធំជាង ឬស្មើ b នោះគឺ a មិនតិចជាង b ។

វិសមភាពដែលមានសញ្ញា \(\geq \\) ឬសញ្ញា \(\leq \) ត្រូវបានគេហៅថាមិនតឹងរ៉ឹង។ ឧទាហរណ៍ \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) មិនមែនជាវិសមភាពតឹងរឹងទេ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃវិសមភាពតឹងរឹងក៏មានសុពលភាពសម្រាប់វិសមភាពមិនតឹងរឹងផងដែរ។ លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើសម្រាប់វិសមភាពដ៏តឹងរឹង សញ្ញា > ត្រូវបានចាត់ទុកថាផ្ទុយ ហើយអ្នកដឹងថាដើម្បីដោះស្រាយស៊េរី ភារកិច្ចដែលបានអនុវត្តអ្នកត្រូវតែបង្កើតគំរូគណិតវិទ្យាក្នុងទម្រង់សមីការ ឬប្រព័ន្ធសមីការ។ បន្ទាប់​មក​អ្នក​នឹង​ដឹង​ថា​វា​ គំរូគណិតវិទ្យាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើន គឺវិសមភាពជាមួយការមិនស្គាល់។ យើងនឹងណែនាំពីគោលគំនិតនៃការដោះស្រាយវិសមភាព និងបង្ហាញពីរបៀបពិនិត្យមើលថាតើ លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យដំណោះស្រាយវិសមភាពជាក់លាក់មួយ។

ភាពមិនស្មើគ្នានៃទម្រង់
\(ax> b, \quad ax ដែល a និង b ត្រូវបានផ្តល់លេខ និង x មិនស្គាល់ ត្រូវបានហៅ វិសមភាពលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់មួយ។.

និយមន័យ។ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពជាមួយនឹងមិនស្គាល់មួយ គឺជាតម្លៃនៃមិនស្គាល់ ដែលវិសមភាពនេះប្រែទៅជាវិសមភាពលេខពិត។ ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពមានន័យថា ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វា ឬកំណត់ថាគ្មាន។

អ្នកបានដោះស្រាយសមីការដោយកាត់បន្ថយពួកវាទៅជាសមីការសាមញ្ញបំផុត។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ នៅពេលដោះស្រាយវិសមភាព មនុស្សម្នាក់មានទំនោរកាត់បន្ថយវាដោយមានជំនួយពីលក្ខណៈសម្បត្តិទៅជាទម្រង់វិសមភាពសាមញ្ញបំផុត។

ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពដឺក្រេទីពីរជាមួយនឹងអថេរមួយ។

ភាពមិនស្មើគ្នានៃទម្រង់
\(ax^2+bx+c>0 \) និង \(ax^2+bx+c ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ \(a \neq 0 ) ត្រូវបានគេហៅថា វិសមភាពដឺក្រេទីពីរជាមួយនឹងអថេរមួយ។.

ការដោះស្រាយវិសមភាព
\(ax^2+bx+c>0 \) ឬ \(ax^2+bx+c \) អាច​ត្រូវ​បាន​គិត​ថា​ជា​ការ​រក​ចន្លោះ​ដែល​អនុគមន៍ \(y=ax^2+bx+c \) វិជ្ជមាន ឬតម្លៃអវិជ្ជមាន ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីវិភាគពីរបៀបដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \ (y = ax ^ 2 + bx + c \\) មានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះកូអរដោណេ៖ កន្លែងដែលសាខារបស់ប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានដឹកនាំ - ឡើងលើឬចុះក្រោម។ ថាតើប៉ារ៉ាបូឡាកាត់អ័ក្ស x ហើយប្រសិនបើវាកើតឡើង នោះនៅចំណុចអ្វី។

ក្បួនដោះស្រាយវិសមភាពដឺក្រេទីពីរជាមួយនឹងអថេរមួយ៖
1) ស្វែងរកការរើសអើងនៃត្រីកោណការ៉េ \(ax^2+bx+c\) ហើយរកមើលថាតើ trinomial មានឫសឬអត់
2) ប្រសិនបើ trinomial មានឫស បន្ទាប់មកសម្គាល់ពួកវានៅលើអ័ក្ស x ហើយគូរប៉ារ៉ាបូលតាមគ្រោងការណ៍តាមចំនុចដែលបានសម្គាល់ មែកធាងដែលត្រូវបានតម្រង់ឡើងលើ > 0 ឬចុះក្រោមនៅ 0 ឬនៅខាងក្រោមនៅ 3) ស្វែងរក ចន្លោះនៅលើអ័ក្ស x ដែលចំណុចប៉ារ៉ាបូឡាស្ថិតនៅខាងលើអ័ក្ស x (ប្រសិនបើពួកគេដោះស្រាយវិសមភាព \(ax^2+bx+c>0 )) ឬខាងក្រោមអ័ក្ស x (ប្រសិនបើពួកគេដោះស្រាយវិសមភាព
\(ax^2+bx+c ដំណោះស្រាយវិសមភាពដោយវិធីនៃចន្លោះពេល

ពិចារណាមុខងារ
f(x) = (x + 2)(x − 3)(x − 5)

ដែននៃអនុគមន៍នេះគឺជាសំណុំនៃលេខទាំងអស់។ លេខសូន្យនៃអនុគមន៍គឺលេខ -2, 3, 5។ ពួកគេបែងចែកដែននៃអនុគមន៍ទៅជាចន្លោះពេល \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \\) និង \\ ((៥; +\infty) \\)

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើអ្វីជាសញ្ញានៃមុខងារនេះនៅក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

កន្សោម (x + 2)(x − 3)(x − 5) គឺជាផលគុណនៃកត្តាបី។ សញ្ញានៃកត្តាទាំងនេះនីមួយៗនៅក្នុងចន្លោះពេលដែលបានពិចារណាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងតារាង៖

ជាទូទៅសូមឱ្យមុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្ត
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
ដែល x ជាអថេរ ហើយ x 1 , x 2 , ... , x n មិនមែនជាចំនួនស្មើគ្នា។ លេខ x 1 , x 2 , ... , x n គឺជាលេខសូន្យនៃអនុគមន៍។ ក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗដែលដែននិយមន័យត្រូវបានបែងចែកដោយសូន្យនៃអនុគមន៍ សញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រូវបានរក្សាទុក ហើយនៅពេលដែលឆ្លងកាត់សូន្យ សញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពនៃទម្រង់
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ដែល x 1 , x 2 , ... , x n ជាលេខមិនស្មើគ្នា

វិធីសាស្រ្តពិចារណា ការដោះស្រាយវិសមភាពត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃចន្លោះពេល។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយវិសមភាពដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល។

ដោះស្រាយវិសមភាព៖

\(x(0.5-x)(x+4) ជាក់ស្តែង សូន្យនៃអនុគមន៍ f(x) = x(0.5-x)(x+4) គឺជាចំនុច \frac(1)(2) , \; x=-4 \\)

អនុវត្ត​ទៅ អ័ក្សលេខសូន្យនៃអនុគមន៍ និងគណនាសញ្ញានៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ៖

យើងជ្រើសរើសចន្លោះពេលទាំងនោះដែលមុខងារតិចជាង ឬស្មើសូន្យ ហើយសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖
\\ (x \\ ក្នុង \\ ឆ្វេង (- \\ infty; \\; ១ \\ ស្តាំ) \\ ពែង \\ ឆ្វេង [ ៤; \\; + \\ infty \\ ស្តាំ) \\)

ជាច្រើននៃទាំងអស់។ ចំនួនពិតអាចត្រូវបានតំណាងថាជាសហជីពនៃបីសំណុំ: សំណុំនៃចំនួនវិជ្ជមាន, សំណុំនៃលេខអវិជ្ជមាននិងសំណុំដែលមានលេខមួយ - លេខសូន្យ។ ដើម្បីបង្ហាញថាលេខ កវិជ្ជមាន សូមរីករាយជាមួយកំណត់ត្រា a > 0ដើម្បីចង្អុលបង្ហាញលេខអវិជ្ជមាន ប្រើកំណត់ត្រាផ្សេងទៀត។ ក< 0 .

ផលបូក និងផលនៃលេខវិជ្ជមានក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ។ ប្រសិនបើលេខ កអវិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខ -កវិជ្ជមាន (និងផ្ទុយមកវិញ) ។ សម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ a វាមានវិជ្ជមាន ចំនួនសមហេតុផល rអ្វី r< а . ការពិតទាំងនេះបង្កប់នូវទ្រឹស្តីនៃវិសមភាព។

តាមនិយមន័យ វិសមភាព a > b (ឬសមមូល b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0 នោះគឺប្រសិនបើលេខ a - b គឺវិជ្ជមាន។

ពិចារណាជាពិសេស វិសមភាព ក< 0 . តើវិសមភាពនេះមានន័យដូចម្តេច? យោងតាមនិយមន័យខាងលើមានន័យថា 0 - a > 0, i.e. -a > 0ឬលេខអ្វីផ្សេងទៀត។ -កជាវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែនេះគឺជាករណីប្រសិនបើនិងប្រសិនបើលេខ កអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ វិសមភាព ក< 0 មានន័យថាលេខ ប៉ុន្តែអវិជ្ជមាន។

ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើផងដែរគឺសញ្ញាណ ab(ឬដែលដូចគ្នា បា).
ការថត abតាមនិយមន័យ មានន័យថា ក > ខ, ឬ a = ខ. ប្រសិនបើយើងពិចារណាការចូល abជាសំណើមិនកំណត់ បន្ទាប់មកនៅក្នុងសញ្ញាណ តក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានសរសេរ

(a b) [(a> b) V (a = b)]

ឧទាហរណ៍ ១តើវិសមភាព 5 0, 0 0 ត្រឹមត្រូវទេ?

វិសមភាព 50 គឺ សេចក្តីថ្លែងការណ៍រួមមានពីរ ពាក្យសាមញ្ញតភ្ជាប់ដោយការតភ្ជាប់ឡូជីខល "ឬ" (ការផ្តាច់) ។ ទាំង 5 > 0 ឬ 5 = 0 ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីមួយ 5 > 0 គឺពិត សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីពីរ 5 = 0 គឺមិនពិត។ តាម​និយមន័យ​នៃ​ការ​បំបែក​ចេញ សេចក្តីថ្លែងការណ៍​រួម​បែប​នេះ​គឺ​ពិត។

កំណត់ត្រា 00 ត្រូវបានពិភាក្សាស្រដៀងគ្នា។

ភាពមិនស្មើគ្នានៃទម្រង់ a > b, ក< b នឹងត្រូវបានគេហៅថាតឹងរ៉ឹង និងវិសមភាពនៃទម្រង់ ab, ab- មិនតឹងរ៉ឹង។

វិសមភាព ក > ខនិង គ > ឃ(ឬ ក< b និង ជាមួយ< d ) នឹងត្រូវបានគេហៅថាវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងវិសមភាព ក > ខនិង គ< d - វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។ ចំណាំថាពាក្យទាំងពីរនេះ (វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងផ្ទុយគ្នា) សំដៅតែលើទម្រង់នៃការសរសេរវិសមភាពប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនចំពោះការពិតដែលខ្លួនបានសម្តែងដោយវិសមភាពទាំងនេះទេ។ ដូច្នេះទាក់ទងនឹងវិសមភាព ក< b វិសមភាព ជាមួយ< d គឺជាវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ ឃ > គ(មានន័យដូចគ្នា) - វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។

រួមជាមួយនឹងវិសមភាពនៃទម្រង់ ក > ខ, abអ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​វិសមភាព​ទ្វេ​ដង​ត្រូវ​បាន​ប្រើ ពោល​គឺ​វិសមភាព​នៃ​ទម្រង់ ក< с < b , អាត់< b , ក< cb ,
កcb. តាមនិយមន័យការចូល

ក< с < b (1)
មានន័យថា វិសមភាពទាំងពីរមាន៖

ក< с និង ជាមួយ< b.

វិសមភាពមានអត្ថន័យស្រដៀងគ្នា acb, ac< b, а < сb.

វិសមភាពទ្វេ (1) អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

(ក< c < b) [(a < c) & (c < b)]

និងវិសមភាពទ្វេ a ≤ c ≤ ខអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

(a c b) [( ក< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅការបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងវិធានសំខាន់ៗនៃសកម្មភាពលើវិសមភាព ដោយយល់ស្របថានៅក្នុងអត្ថបទនេះ អក្សរ ក, ខ, គតំណាងឱ្យចំនួនពិត និង នមានន័យថាលេខធម្មជាតិ។

1) ប្រសិនបើ a > b និង b > c នោះ a > c (អន្តរកាល) ។

ភស្តុតាង។

ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ ក > ខនិង b > គបន្ទាប់មកលេខ ក - ខនិង b - គមានភាពវិជ្ជមាន ដូច្នេះចំនួន a - c \u003d (a - b) + (b - c)ជាផលបូកនៃលេខវិជ្ជមាន ក៏វិជ្ជមានផងដែរ។ នេះមានន័យថាតាមនិយមន័យ ក > គ.

2) ប្រសិនបើ a > b នោះសម្រាប់ c ណាមួយ វិសមភាព a + c > b + c កាន់។

ភស្តុតាង។

ដោយសារតែ ក > ខបន្ទាប់មកលេខ ក - ខជាវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះលេខ (a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-bវិជ្ជមានផងដែរ, i.e.
a + c > b + c ។

3) ប្រសិនបើ a + b> c នោះ a > b - c,ឧ. ពាក្យណាមួយអាចត្រូវបានផ្ទេរពីផ្នែកមួយនៃវិសមភាពទៅមួយទៀតដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនេះទៅផ្ទុយ។

ភ័ស្តុតាងបន្តពីទ្រព្យសម្បត្តិ 2) គឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព a + b > គបន្ថែមលេខ - ខ.

៤) ប្រសិនបើ a > b និង c > d នោះ a + c > b + d,ឧ. ការបន្ថែមវិសមភាពពីរនៃអត្ថន័យដូចគ្នា ផ្តល់ផលវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា។

ភស្តុតាង។

តាមនិយមន័យនៃវិសមភាព វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាភាពខុសគ្នា
(ក + គ) - (ខ + គ)វិជ្ជមាន។ ភាពខុសគ្នានេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d).
ចាប់តាំងពីដោយលក្ខខណ្ឌនៃលេខ ក - ខនិង គ - ឃបន្ទាប់មកគឺវិជ្ជមាន (a + c) - (b + d)ក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ។

ផលវិបាក។ វិធាន ២) និង ៤) បញ្ជាក់ ច្បាប់បន្ទាប់ការដកវិសមភាព៖ ប្រសិនបើ a > b, c > ឃបន្ទាប់មក a - d > b - c(សម្រាប់ភស្តុតាង វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព a + c> b + ឃបន្ថែមលេខ - គ - ឃ).

5) ប្រសិនបើ a > b នោះសម្រាប់ c > 0 យើងមាន ac > bc ហើយសម្រាប់ c< 0 имеем ас < bc.

ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅពេលដែលផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណ ទាំងមិនមែនជាចំនួនវិជ្ជមាន សញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក (មានន័យថា វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាត្រូវបានទទួល) ហើយនៅពេលដែលគុណនឹងលេខអវិជ្ជមាន សញ្ញាវិសមភាពនឹងប្តូរទៅជា ផ្ទុយ (ឧ. វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយត្រូវបានទទួល។

ភស្តុតាង។

ប្រសិនបើ ក ក > ខបន្ទាប់មក ក - ខគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះសញ្ញានៃភាពខុសគ្នា ac-bc = មួក)ផ្គូផ្គងសញ្ញានៃលេខ ជាមួយ៖ ប្រសិនបើ ជាមួយគឺជាលេខវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកភាពខុសគ្នា ac - bcវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះ ac > bc, ចុះបើ ជាមួយ< 0 ដូច្នេះភាពខុសគ្នានេះគឺអវិជ្ជមាន bc - អេកវិជ្ជមាន, i.e. bc > ac.

6) ប្រសិនបើ a > b > 0 និង c > d > 0 បន្ទាប់មក ac > bd, i.e. ប្រសិនបើពាក្យទាំងអស់នៃវិសមភាពពីរដែលមានអត្ថន័យដូចគ្នាគឺវិជ្ជមាន នោះគុណនឹងពាក្យនៃវិសមភាពទាំងនេះនាំឱ្យវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា។

ភស្តុតាង។

យើង​មាន ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). ដោយសារតែ c> 0, b> 0, a - b> 0, c - d> 0 បន្ទាប់មក ac - bd> 0, i.e. ac> bd ។

មតិយោបល់។វាច្បាស់ណាស់ពីភស្តុតាងដែលថាលក្ខខណ្ឌ ឃ > 0ក្នុង​ការ​បង្កើត​ទ្រព្យ 6) មិន​សំខាន់៖ សម្រាប់​ទ្រព្យ​នេះ​ក្លាយ​ជា​ការពិត វា​គ្រប់គ្រាន់​ហើយ​ដែល​លក្ខខណ្ឌ a > b > 0, c > d, c > 0. ប្រសិនបើ (ប្រសិនបើវិសមភាព a > b, c > ឃ) លេខ ក, ខ, គមិនមែនវិជ្ជមានទាំងអស់ទេ បន្ទាប់មកវិសមភាព ac > bdអាចនឹងមិនត្រូវបានអនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍នៅពេល ក = 2, ខ =1, គ= -2, ឃ= -3 យើងមាន a > b, គ > ឃប៉ុន្តែភាពមិនស្មើគ្នា ac > bd(ឧ. -4 > -3) បរាជ័យ។ ដូច្នេះតម្រូវការដែលលេខ a, b, c មានភាពវិជ្ជមាននៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រព្យសម្បត្តិ 6) គឺចាំបាច់។

7) ប្រសិនបើ ≥ b > 0 និង c > d > 0 នោះ (ការបែងចែកវិសមភាព)។

ភស្តុតាង។

យើង​មាន ភាគបែងនៃប្រភាគនៅខាងស្តាំគឺវិជ្ជមាន (សូមមើលលក្ខណៈសម្បត្តិ 5), 6)) ភាគបែងក៏វិជ្ជមានផងដែរ។ ជាលទ្ធផល, ។ នេះបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិ ៧).

មតិយោបល់។យើងកត់សំគាល់ចំណុចសំខាន់មួយ។ ករណីពិសេសក្បួន 7) ទទួលបាននៅពេល a = b = 1: ប្រសិនបើ c > d > 0 បន្ទាប់មក។ ដូច្នេះប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានភាពវិជ្ជមាននោះនៅពេលឆ្លងកាត់ទៅ ទៅវិញទៅមកយើងទទួលបានវិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។ យើងសូមអញ្ជើញអ្នកអានឱ្យផ្ទៀងផ្ទាត់ថាច្បាប់នេះក៏ត្រូវបានរក្សាទុកក្នុង 7) ប្រសិនបើ ab > 0 និង c > d > 0 បន្ទាប់មក (ការបែងចែកវិសមភាព) ។

ភស្តុតាង។ បន្ទាប់មក។

យើងបានបង្ហាញខាងលើលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃវិសមភាពដែលសរសេរដោយសញ្ញា > (ច្រើនទៀត) ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបង្កើតដោយប្រើសញ្ញា < (តិចជាង) ចាប់តាំងពីវិសមភាព ខ< а មានន័យថា តាមនិយមន័យ ដូចគ្នានឹងវិសមភាព ក > ខ. លើសពីនេះទៅទៀត ដោយសារវាងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញខាងលើក៏ត្រូវបានរក្សាទុកផងដែរសម្រាប់វិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹង។ ឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិ 1) សម្រាប់វិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងនឹងមាន ទិដ្ឋភាពបន្ទាប់៖ ប្រសិនបើ ab និង bcបន្ទាប់មក អាត់.

ជាការពិតណាស់ លក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅនៃវិសមភាពមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះអ្វីដែលបាននិយាយខាងលើនោះទេ។ នៅតែមាន បន្ទាត់ទាំងមូលវិសមភាព ទិដ្ឋភាពទូទៅភ្ជាប់ជាមួយការពិចារណានៃអំណាច អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និង អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ. វិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការសរសេរប្រភេទនៃវិសមភាពទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើមុខងារមួយចំនួន y = f(x)បង្កើន monotonically នៅលើផ្នែក [a, ខ]បន្ទាប់មកសម្រាប់ x 1 > x 2 (ដែល x 1 និង x 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកនេះ) យើងមាន f (x 1) > f(x២). ដូចគ្នានេះដែរប្រសិនបើមុខងារ y = f(x)ថយចុះជាឯកតានៅលើផ្នែក [a, ខ]បន្ទាប់មកនៅ x 1 > x 2 (កន្លែងណា x ១និង X 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកនេះ) យើងមាន f(x1)< f(x 2 ) ជាការពិតណាស់អ្វីដែលត្រូវបានគេនិយាយមិនខុសពីនិយមន័យនៃ monotonicity នោះទេប៉ុន្តែបច្ចេកទេសនេះគឺងាយស្រួលណាស់សម្រាប់ការទន្ទេញចាំនិងការសរសេរវិសមភាព។

ដូច្នេះឧទាហរណ៍សម្រាប់ធម្មជាតិ n មុខងារណាមួយ។ y = x nការកើនឡើងឯកតានៅលើកាំរស្មី {0} {0} }