Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul de aplicare al funcției;

2) găsiți punctele de întrerupere ale funcției și asimptote verticale(dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptotele orizontale și oblice;

4) investigați funcția pentru uniformitate (ciudățenie) și pentru periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune;

7) găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate, dacă este posibil, și câteva puncte suplimentare care rafinați graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.

1. Domeniu de definire: ;

2. Funcția se întrerupe în puncte
,
;

Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică, dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
. Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa y.

5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.

Să găsim punctele critice, adică puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;
. Avem trei puncte
;

. Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele pe fiecare dintre ele.

La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) scade. La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment, funcția are un maxim
.

6. Să găsim intervale de convexitate, puncte de inflexiune.

Să găsim punctele în care este 0 sau nu există.

nu are rădăcini reale.
,
,

puncte
și
lovitura axa reală timp de trei intervale. Să definim semnul la fiecare interval.

Astfel, curba pe intervale
și
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția la puncte
și
nespecificat.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.

cu ax
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa
graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Elasticitatea funcției

Pentru a studia procesele economice și a rezolva altele sarcini aplicate Conceptul de elasticitate a unei funcții este adesea folosit.

Definiție. Elasticitatea funcției
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
, . (VII)

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția
la modificarea variabilei independente cu 1%.

Elasticitatea unei funcții este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea unei funcții
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII) elasticitatea functiei:

Fie x=3 atunci
Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze in ceea ce priveste pretul are forma
, Unde ─ factor constant. Aflați valoarea indicelui de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)

Presupunând
unități monetare, obținem
. Asta înseamnă că la preț
unitate monetara o crestere a pretului cu 1% va determina o scadere a cererii cu 6%, i.e. cererea este elastică.

Unul dintre sarcini critice calcul diferenţial este dezvoltarea exemple comune studii ale comportamentului funcţiilor.

Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe segment și derivata sa este pozitivă sau egală cu 0 pe intervalul (a, b), atunci y \u003d f (x) crește cu (f "(x) 0). Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe segment și derivata sa este negativă sau egală cu 0 pe intervalul (a,b), atunci y=f(x) scade cu (f"( x)0)

Intervalele în care funcția nu scade sau nu crește se numesc intervale de monotonitate a funcției. Natura monotonității unei funcții se poate modifica numai în acele puncte ale domeniului său de definire, la care semnul derivatei întâi se schimbă. Punctele în care derivata întâi a unei funcții dispare sau se rupe se numesc puncte critice.

Teorema 1 (1 condiție suficientă existenţa unui extremum).

Fie definită funcția y=f(x) în punctul x 0 și să existe o vecinătate δ>0 astfel încât funcția să fie continuă pe segmentul , diferențiabilă pe intervalul (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , iar derivata ei se conservă marca permanenta la fiecare dintre aceste intervale. Atunci, dacă pe x 0 -δ, x 0) și (x 0, x 0 + δ) semnele derivatei sunt diferite, atunci x 0 este un punct extrem, iar dacă se potrivesc, atunci x 0 nu este un punct extrem. . Mai mult, dacă, la trecerea prin punctul x0, derivata își schimbă semnul din plus în minus (la stânga lui x 0, se execută f „(x)> 0, atunci x 0 este punctul maxim; dacă derivata își schimbă semnul de la minus la plus (la dreapta lui x 0 este executat de f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme ale funcției, iar maximele și minimele funcției se numesc valorile sale extreme.

Teorema 2 (criteriul necesar pentru un extremum local).

Dacă funcția y=f(x) are un extremum la curentul x=x 0, atunci fie f'(x 0)=0, fie f'(x 0) nu există.
La punctele extreme ale unei funcții diferențiabile, tangenta la graficul acesteia este paralelă cu axa Ox.

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1) Aflați derivata funcției.
2) Găsiți punctele critice, de ex. punctele în care funcția este continuă și derivata este zero sau nu există.
3) Luați în considerare vecinătatea fiecăruia dintre puncte și examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta acestui punct.
4) Determinați coordonatele punctelor extreme, pentru această valoare a punctelor critice, înlocuiți în această funcție. Folosind suficiente condiții extreme, trageți concluziile adecvate.

Exemplul 18. Investigați funcția y=x 3 -9x 2 +24x

Decizie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Echivalând derivata cu zero, găsim x 1 =2, x 2 =4. LA acest caz derivata este definită peste tot; prin urmare, în afară de cele două puncte găsite, nu există alte puncte critice.
3) Semnul derivatei y "=3(x-2)(x-4) se modifică în funcție de interval, așa cum se arată în figura 1. Când trece prin punctul x=2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, iar la trecerea prin punctul x=4 - de la minus la plus.
4) În punctul x=2, funcția are un maxim y max =20, iar în punctul x=4 - un minim y min =16.

Teorema 3. (a 2-a condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie f "(x 0) și f "" (x 0) există în punctul x 0. Atunci dacă f "" (x 0)> 0, atunci x 0 este punctul minim și dacă f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pe segment, funcția y \u003d f (x) poate atinge cea mai mică (cel puțin) sau cea mai mare (cel mult) valoare fie în punctele critice ale funcției aflate în intervalul (a; b), fie la capete a segmentului.

Algoritmul pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue y=f(x) pe segment:

1) Găsiți f „(x).
2) Găsiți punctele în care f „(x) = 0 sau f” (x) - nu există și selectați dintre ele pe cele care se află în interiorul segmentului.
3) Calculați valoarea funcției y \u003d f (x) la punctele obținute la paragraful 2), precum și la capetele segmentului și alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele: acestea sunt, respectiv, cele mai mari ( pentru cele mai mari) și cele mai mici (pentru cele mai mici) valori ale funcției de pe segment.

Exemplul 19. Găsiți cel mai mult valoare mai mare funcţie continuă y=x 3 -3x 2 -45+225 pe segment .

1) Avem y "=3x 2 -6x-45 pe segment
2) Derivata y" există pentru tot x. Să găsim punctele în care y"=0; primim:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calculați valoarea funcției în punctele x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Numai punctul x=5 aparține segmentului. Cea mai mare dintre valorile găsite ale funcției este 225, iar cea mai mică este numărul 50. Deci, la max = 225, la max = 50.

Investigarea unei funcții pe convexitate

Figura prezintă graficele a două funcții. Primul dintre ele este răsturnat cu o umflătură în sus, al doilea - cu o umflătură în jos.

Funcția y=f(x) este continuă pe un segment și diferențiabilă în intervalul (a;b), se numește convexă sus (jos) pe acest segment dacă, pentru axb, graficul său nu este mai sus (nu mai jos) decât tangenta trasata in orice punct M 0 (x 0 ;f(x 0)), unde axb.

Teorema 4. Fie funcția y=f(x) să aibă o derivată a doua în orice punct interior x al segmentului și să fie continuă la capetele acestui segment. Atunci dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în jos pe segment ; dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (а;b), atunci funcția este convexă în sus pe .

Teorema 5. Dacă funcția y \u003d f (x) are o derivată a doua pe intervalul (a; b) și dacă își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0, atunci M (x 0 ; f (x 0)) este un punct de inflexiune.

Regula pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1) Găsiți punctele în care f""(x) nu există sau dispare.
2) Examinați semnul f""(x) la stânga și la dreapta fiecărui punct găsit la primul pas.
3) Pe baza teoremei 4, trageți o concluzie.

Exemplul 20. Găsiți punctele extreme și punctele de inflexiune ale graficului funcției y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Avem f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Evident, f"(x)=0 pentru x 1 =0, x 2 =1. Derivata, la trecerea prin punctul x=0, isi schimba semnul din minus in plus, iar la trecerea prin punctul x=1, nu isi schimba semnul. Aceasta înseamnă că x=0 este punctul minim (y min =12) și nu există un extremum în punctul x=1. În continuare, găsim . A doua derivată dispare în punctele x 1 =1, x 2 =1/3. Semnele derivatei a doua se schimba astfel: Pe raza (-∞;) avem f""(x)>0, pe intervalul (;1) avem f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prin urmare, x= este punctul de inflexiune al graficului funcției (tranziția de la convexitate în jos la convexitate în sus) și x=1 este, de asemenea, un punct de inflexiune (tranziție de la convexitate în sus la convexitate în jos). Dacă x=, atunci y= ; dacă, atunci x=1, y=13.

Un algoritm pentru găsirea asimptotei unui grafic

I. Dacă y=f(x) ca x → a , atunci x=a este o asimptotă verticală.
II. Dacă y=f(x) ca x → ∞ sau x → -∞ atunci y=A este asimptota orizontală.
III. Pentru a găsi asimptota oblică, folosim următorul algoritm:
1) Calculați. Dacă limita există și este egală cu b, atunci y=b este asimptota orizontală; dacă , atunci treceți la pasul al doilea.
2) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu k, atunci treceți la pasul al treilea.
3) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu b, atunci treceți la pasul al patrulea.
4) Notați ecuația asimptotei oblice y=kx+b.

Exemplul 21: Găsiți o asimptotă pentru o funcție

1)
2)
3)
4) Ecuația asimptotă oblică are forma

Schema studiului funcției și construcția graficului acesteia

I. Găsiți domeniul funcției.
II. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.
III. Găsiți asimptote.
IV. Găsiți puncte de extremum posibil.
V. Găsiți punctele critice.
VI. Folosind desenul auxiliar, investigați semnul primei și a doua derivate. Determinați ariile de creștere și scădere ale funcției, găsiți direcția convexității graficului, punctele extreme și punctele de inflexiune.
VII. Construiți un grafic, ținând cont de studiul efectuat în paragrafele 1-6.

Exemplul 22: Trasează graficul unei funcții conform schemei de mai sus

Decizie.
I. Domeniul funcției este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x=1.
II. Deoarece ecuația x 2 +1=0 nu are rădăcini reale, atunci graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axa Ox, ci intersectează axa Oy în punctul (0; -1).
III. Să clarificăm problema existenței asimptotelor. Investigăm comportamentul funcției în apropierea punctului de discontinuitate x=1. Deoarece y → ∞ pentru x → -∞, y → +∞ pentru x → 1+, atunci linia x=1 este o asimptotă verticală a graficului funcției.
Dacă x → ​​+∞(x → -∞), atunci y → +∞(y → -∞); prin urmare, graficul nu are o asimptotă orizontală. Mai departe, din existența limitelor

Rezolvând ecuația x 2 -2x-1=0, obținem două puncte ale unui extremum posibil:
x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2

V. Pentru a găsi punctele critice, calculăm derivata a doua:

Deoarece f""(x) nu dispare, nu există puncte critice.
VI. Investigăm semnul primei și a doua derivate. Posibile puncte extreme de luat în considerare: x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2, împarte aria de existență a funcției în intervale (-∞;1-√2),(1-√2). ;1+√2) și (1+√2;+∞).

În fiecare dintre aceste intervale, derivata își păstrează semnul: în primul - plus, în al doilea - minus, în al treilea - plus. Secvența de semne a primei derivate se va scrie astfel: +, -, +.
Obținem că funcția pe (-∞;1-√2) crește, pe (1-√2;1+√2) scade, iar pe (1+√2;+∞) crește din nou. Puncte extreme: maxim la x=1-√2, în plus f(1-√2)=2-2√2 minim la x=1+√2, în plus f(1+√2)=2+2√2. Pe (-∞;1) graficul este convex în sus, iar pe (1;+∞) - în jos.
VII Să facem un tabel cu valorile obţinute

VIII Pe baza datelor obținute, construim o schiță a graficului funcției

În acest articol, vom lua în considerare o schemă pentru studierea unei funcții și, de asemenea, vom oferi exemple de studiere a extremelor, monotonității și asimptotelor unei anumite funcții.

Sistem

1. Domeniul existenței (ODZ) al unei funcții.
2. Intersecția funcției (dacă există) cu axe de coordonate, semne de funcție, paritate, periodicitate.
3. Puncte de întrerupere (tipul lor). Continuitate. Asimptotele sunt verticale.
4. Monotonitate și puncte extreme.
5. Puncte de inflexiune. Convex.
6. Investigarea unei funcții la infinit, pentru asimptote: orizontale și oblice.
7. Construirea unui grafic.

Studiu pentru monotonitate

Teorema. Dacă funcţia g continuu pe , diferentiat prin (a; b)și g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(а; b), apoi g in crestere (in scadere) .

Exemplu:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: хєR

y' = x 2 + 6x + 5.

Găsiți intervale de semne constante tu. În măsura în care tu este o funcție elementară, atunci poate schimba semne doar în punctele în care devine zero sau nu există. ODZ ei: хєR.

Să găsim punctele în care derivata este egală cu 0 (zero):

y' = 0;

x = -1; -5.

Asa de, y crescând pe (-∞; -5] și pe [-unu; +∞), y coborând pe .

Cercetare pentru extreme

T. x0 se numește punctul maxim (max) pe set DAR funcții g când valoarea maximă este luată în acest punct de către funcție g(x 0) ≥ g(x), xєA.

T. x0 se numește punctul minim (min) al funcției g pe platou DAR când cea mai mică valoare este luată de funcție în acest punct g(x 0) ≤ g(x), xєА.

Pe platou DAR punctele maxim (max) și minim (min) se numesc puncte extremum g. Astfel de extreme sunt numite și extreme absolute pe platou .

În cazul în care un x0- punctul extremum al funcției gîn vreun district, atunci x0 se numește punctul de extremum local sau local (max sau min) al funcției g.

Teoremă (condiție necesară).În cazul în care un x0- punctul extremum al funcției (locale). g, atunci derivata nu există sau este egală cu 0 (zero) în acest punct.

Definiție. Punctele cu o derivată inexistentă sau egală cu 0 (zero) se numesc critice. Aceste puncte sunt suspecte pentru un extremum.

Teorema (condiția suficientă nr. 1). Dacă funcţia g este continuă în unele raioane. x0 iar semnul se schimbă prin acest punct când derivata trece, atunci acest punct este punctul extremum g.

Teorema (condiția suficientă nr. 2). Fie ca funcția să fie de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și g' = 0 și g'' > 0 (g''< 0) , apoi acest punct este punctul de maxim (max) sau minim (min) al funcției.

Test de convexitate

Funcția se numește convexă în jos (sau concavă) pe interval (a,b) când graficul funcției nu este situat mai sus decât secantei de pe interval pentru orice x cu (a,b) care trece prin aceste puncte .

Funcția va fi convexă strict în jos (a,b), dacă - graficul se află sub secantele intervalului.

Funcția se numește convexă în sus (convexă) pe interval (a,b), dacă pentru orice t puncte cu (a,b) graficul funcției pe interval nu se află mai jos decât secantei care trece prin abscise în aceste puncte .

Funcția va fi strict convexă în sus (a, b), dacă - graficul intervalului se află deasupra secantei.

Dacă funcția se află într-o apropiere a punctului continuu si prin t. x 0în timpul tranziției, funcția își schimbă convexitatea, apoi acest punct se numește punctul de inflexiune al funcției.

Studiu pentru asimptote

Definiție. Linia dreaptă se numește asimptotă g(x), dacă la o distanță infinită de origine, punctul graficului funcției se apropie de aceasta: d(M,l).

Asimptotele pot fi verticale, orizontale sau oblice.

Linie verticală cu ecuație x = x 0 va fi asimptota graficului vertical al funcției g , dacă punctul x 0 are o discontinuitate infinită, atunci există cel puțin o limită stânga sau dreaptă în acest punct - infinit.

Investigarea unei funcții pe un segment pentru valoarea celui mai mic și cel mai mare

Dacă funcția este activă continuă , apoi conform teoremei Weierstrass, există cea mai mare valoare și cea mai mică valoare pe acest segment, adică există t ochelari care îi aparțin astfel încât g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Din teoremele despre monotonitate și extreme, obținem următoarea schemă pentru studierea unei funcții pe un segment pentru cele mai mici și mai mari valori.

Plan

1. Găsiți derivată g'(x).
2. Căutați valoarea unei funcții gîn aceste puncte şi la capetele segmentului.
3. Comparați valorile găsite și alegeți cel mai mic și cel mai mare.

Cometariu. Dacă trebuie să studiați o funcție pe un interval finit (a,b), sau pe un infinit (-∞; b); (-∞; +∞) pe valorile maxime și minime, apoi în plan, în loc de valorile funcției de la sfârșitul intervalului, ei caută limitele unilaterale corespunzătoare: în loc de fa) caut f(a+) = limf(x), în loc de f(b) caut f(-b). Deci puteți găsi funcția ODZ pe interval, deoarece extremele absolute nu există neapărat în acest caz.

Aplicarea derivatei la rezolvarea problemelor aplicate pentru extremul unor marimi

1. Exprimați această valoare în termeni de alte mărimi din condiția problemei astfel încât să fie o funcție a unei singure variabile (dacă este posibil).
2. Se determină intervalul de modificare a acestei variabile.
3. Efectuați un studiu al funcției pe intervalul pentru valorile max și min.

Sarcină. Este necesar să construiți o platformă dreptunghiulară, folosind o plasă, lângă perete, astfel încât pe o parte să fie adiacentă peretelui, iar pe celelalte trei să fie împrejmuită cu o plasă. La ce raport de aspect va fi zona unui astfel de site cea mai mare?

S=xy este o funcție a 2 variabile.

S = x(a - 2x)- funcţia primei variabile ; x є .

S = ax - 2x2; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- cea mai mare valoare;

S(0)=0.

Găsiți cealaltă parte a dreptunghiului: la = a: 2.

Raport de aspect: y:x=2.

Răspuns. Zona cea mai mare va fi a 2/8 dacă latura care este paralelă cu peretele este de 2 ori cealaltă parte.

Cercetarea funcției. Exemple

Exemplul 1

Disponibil y=x 3: (1-x) 2 . Fa o cercetare.

1. ODZ: хє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. O funcție generală (nici pară, nici impară) nu este simetrică față de punctul 0 (zero).
3. Semne de funcționare. Funcția este elementară, deci poate schimba semnul numai în punctele în care este egală cu 0 (zero), sau nu există.
4. Funcția este elementară, deci continuă pe ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Decalaj: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- Discontinuitate de al 2-lea fel (infinită), deci există o asimptotă verticală la punctul 1;

x = 1- ecuaţia asimptotei verticale.

5. y' = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1;

x = 1 este un punct critic.

y' = 0;

0; 3 sunt puncte critice.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

T. critic: 1, 0;

x= 0 - punct de inflexiune, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- nu există asimptotă orizontală, dar poate fi oblică.

k = 1- număr;

b = 2- număr.

Prin urmare, există o asimptotă oblică y=x+2 la + ∞ și la - ∞.

Exemplul 2

Dat y = (x 2 + 1) : (x - 1). Produce și ancheta. Construiți un grafic.

1. Aria existenței este întreaga linie numerică, cu excepția așa-numitei. x=1.

2. y cruce OY (dacă este posibil) incl. (0;g(0)). Găsim y(0) = -1 - punctul de intersecție OY .

Punctele de intersecție ale graficului cu BOU afla prin rezolvarea ecuatiei y=0. Ecuația nu are rădăcini reale, deci această funcție nu se intersectează BOU.

3. Funcția este neperiodică. Luați în considerare expresia

g(-x) ≠ g(x) și g(-x) ≠ -g(x). Aceasta înseamnă că este o funcție generică (nici par, nici impar).

4. T. x=1 discontinuitatea este de al doilea fel. În toate celelalte puncte, funcția este continuă.

5. Studiul funcției pentru un extremum:

(X 2 - 2x - 1) : (x - 1)2=y"

și rezolvați ecuația y" = 0.

Asa de, 1 - √2, 1 + √2, 1 - puncte critice sau puncte de extremum posibil. Aceste puncte împart linia numerică în patru intervale .

Pe fiecare interval, derivata are un anumit semn, care poate fi stabilit prin metoda intervalelor sau prin calcularea valorilor derivatei în puncte individuale. La intervale (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , o derivată pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția este în creștere; dacă xє(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , atunci funcția este descrescătoare, deoarece derivata este negativă la aceste intervale. Prin t. x 1în timpul tranziției (mișcarea urmează de la stânga la dreapta), derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”, prin urmare, în acest moment există un maxim local, găsim

y max = 2 - 2 √2 .

La trecere prin x2 schimbă semnul derivat din „-” în „+”, prin urmare, există un minim local în acest punct și

y mix = 2 + 2√2.

T. x=1 nu atât de extremum.

6.4: (x - 1) 3 = y"".

Pe (-∞; 1 ) 0 > y"" , în consecință, curba este convexă pe acest interval; dacă xє (1 ; ∞) - curba este concavă. În t punctul 1 nu este definită nicio funcție, deci acest punct nu este un punct de inflexiune.

7. Din rezultatele paragrafului 4 rezultă că x=1 este asimptota verticală a curbei.

Nu există asimptote orizontale.

x + 1 = y este asimptota pantei acestei curbe. Nu există alte asimptote.

8. Ținând cont de studiile efectuate, construim un grafic (vezi figura de mai sus).

Astăzi vă invităm să explorați și să trasați un grafic al funcției cu noi. După un studiu atent al acestui articol, nu va trebui să transpirați mult timp pentru a finaliza acest gen de sarcină. Nu este ușor să explorezi și să trasezi un grafic al funcției, munca este voluminoasă, necesită atenție maximăși acuratețea calculelor. Pentru a facilita percepția materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bine ați venit la uimitor și lume fascinantă matematică! Merge!

Domeniu

Pentru a explora și a reprezenta o funcție, trebuie să cunoașteți câteva definiții. O funcție este unul dintre conceptele de bază (de bază) în matematică. Reflectă dependența dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) cu modificări. Funcția arată, de asemenea, dependența mulțimilor.

Imaginați-vă că avem două variabile care au interval specific schimbări. Deci, y este o funcție a lui x, cu condiția ca fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă unei valori a celei de-a doua. În acest caz, variabila y este dependentă și se numește funcție. Se obișnuiește să spunem că variabilele x și y sunt în Pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, se construiește un grafic al funcției. Ce este un grafic al funcției? Acesta este un set de puncte plan de coordonate unde fiecare valoare a lui x corespunde unei valori a lui y. Graficele pot fi diferite - o linie dreaptă, hiperbolă, parabolă, sinusoidă și așa mai departe.

Un grafic al funcției nu poate fi trasat fără explorare. Astăzi vom învăța cum să efectuăm cercetări și să trasăm un grafic al funcției. Este foarte important să iei notițe în timpul studiului. Deci va fi mult mai ușor să faceți față sarcinii. Cel mai convenabil plan de studiu:

1. Domeniu.
2. Continuitate.
3. Par sau impar.
4. Periodicitate.
5. Asimptote.
6. Zerouri.
7. Constanţă.
8. Urcând și coborând.
9. Extreme.
10. Convexitatea și concavitatea.

Să începem cu primul punct. Să găsim domeniul definiției, adică la ce intervale există funcția noastră: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există pentru orice valoare a lui x, adică domeniul de definiție este R. Aceasta poate fi scrisă ca xОR.

Continuitate

Acum vom explora funcția de discontinuitate. În matematică, termenul de „continuitate” a apărut ca rezultat al studiului legilor mișcării. Ce este infinitul? Spațiul, timpul, unele dependențe (un exemplu este dependența variabilelor S și t în problemele de mișcare), temperatura obiectului încălzit (apă, tigaie, termometru și așa mai departe), o linie continuă (adică una care poate fi desenat fără a-l scoate de pe foaie de creion).

Un grafic este considerat continuu dacă nu se rupe la un moment dat. Una dintre cele mai exemple bune un astfel de grafic este o undă sinusoidală, pe care o puteți vedea în imagine aceasta sectiune. Funcția este continuă la un punct x0 dacă sunt îndeplinite un număr de condiții:

• o funcție este definită la un punct dat;
• limitele din dreapta și din stânga la un punct sunt egale;
• limită este egal cu valoarea funcţionează în punctul x0.

Dacă cel puțin o condiție nu este îndeplinită, se spune că funcția se întrerupe. Iar punctele în care funcția se întrerupe se numesc puncte de întrerupere. Un exemplu de funcție care se va „rupe” atunci când este afișată grafic este: y=(x+4)/(x-3). Mai mult, y nu există în punctul x = 3 (deoarece este imposibil de împărțit la zero).

În funcția pe care o studiem (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) totul s-a dovedit a fi simplu, deoarece graficul va fi continuu.

Chiar ciudat

Acum examinați funcția pentru paritate. Să începem cu o mică teorie. O funcție pară este o funcție care îndeplinește condiția f (-x) = f (x) pentru orice valoare a variabilei x (din intervalul de valori). Exemple sunt:

• modulul x (graficul arată ca un coroi, bisectoarea primului și al doilea sferturi ale graficului);
• x pătrat (parabolă);
• cosinus x (undă cosinus).

Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice atunci când sunt privite în raport cu axa y.

Atunci ce se numește o funcție impară? Acestea sunt acele funcții care îndeplinesc condiția: f (-x) \u003d - f (x) pentru orice valoare a variabilei x. Exemple:

• hiperbolă;
• parabolă cubică;
• sinusoid;
• tangentă și așa mai departe.

Vă rugăm să rețineți că aceste funcții sunt simetrice față de punctul (0:0), adică originea. Pe baza a ceea ce s-a spus în această secțiune a articolului, chiar și funcţie impară trebuie să aibă proprietatea: x aparține mulțimii de definiții și -x de asemenea.

Să examinăm funcția pentru paritate. Putem vedea că ea nu se potrivește cu niciuna dintre descrieri. Prin urmare, funcția noastră nu este nici pară, nici impară.

Asimptote

Să începem cu o definiție. O asimptotă este o curbă care este cât mai aproape de grafic, adică distanța de la un punct tinde spre zero. Există trei tipuri de asimptote:

• verticală, adică paralelă cu axa y;
• orizontală, adică paralelă cu axa x;
• oblic.

În ceea ce privește primul tip, aceste linii ar trebui căutate în unele puncte:

• decalaj;
• capete ale domeniului.

În cazul nostru, funcția este continuă, iar domeniul de definiție este R. Prin urmare, nu există asimptote verticale.

Graficul unei funcții are o asimptotă orizontală, care îndeplinește următoarea cerință: dacă x tinde spre infinit sau minus infinit, iar limita este egală cu un anumit număr (de exemplu, a). În acest caz, y=a este asimptota orizontală. În funcția pe care o studiem asimptote orizontale Nu.

O asimptotă oblică există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Apoi poate fi găsită prin formula: y=kx+b. Din nou, în cazul nostru asimptote oblice Nu.

Zerourile funcției

Următorul pas este să examinăm graficul funcției pentru zerouri. De asemenea, este foarte important de reținut că sarcina asociată cu găsirea zerourilor unei funcții apare nu numai în studiul și construcția unui grafic al unei funcții, ci și ca sarcină independentă, și ca o modalitate de a rezolva inegalitățile. Vi se poate cere să găsiți zerourile unei funcții pe un grafic sau să utilizați notația matematică.

Găsirea acestor valori vă va ajuta să reprezentați mai precis funcția. Dacă să vorbească limbaj simplu, atunci zeroul funcției este valoarea variabilei x, la care y=0. Dacă căutați zerourile unei funcții pe un grafic, atunci ar trebui să acordați atenție punctelor în care graficul se intersectează cu axa x.

Pentru a găsi zerourile unei funcții, trebuie să rezolvați următoarea ecuație: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. După efectuarea calculelor necesare, obținem următorul răspuns:

constanța semnului

Următoarea etapă în studiul și construcția unei funcții (grafică) este găsirea intervalelor de constanță a semnului. Aceasta înseamnă că trebuie să stabilim pe ce intervale ia funcția valoare pozitivă, iar pe unele - negativ. Zerourile funcțiilor găsite în secțiunea anterioară ne vor ajuta să facem acest lucru. Deci, trebuie să desenăm o linie dreaptă (separată de grafic) și în ordinea corectă distribuiți zerourile funcției peste ea de la cel mai mic la cel mai mare. Acum trebuie să determinați care dintre intervalele rezultate are semnul „+” și care dintre intervale are semnul „-”.

În cazul nostru, funcția ia o valoare pozitivă pe intervalele:

• de la 1 la 4;
• de la 9 la infinit.

Sens negativ:

• de la minus infinit la 1;
• de la 4 la 9.

Acest lucru este destul de ușor de determinat. Înlocuiți orice număr din interval în funcție și vedeți ce semn este răspunsul (minus sau plus).

Funcția Crescător și Descrescător

Pentru a explora și a construi o funcție, trebuie să aflăm unde va crește graficul (urge în sus pe Oy) și unde va cădea (trebuie în jos de-a lungul axei y).

Funcția crește numai dacă valoarea mai mare a variabilei x corespunde valorii mai mari a lui y. Adică, x2 este mai mare decât x1 și f(x2) este mai mare decât f(x1). Și observăm un fenomen complet opus într-o funcție descrescătoare (cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y). Pentru a determina intervalele de creștere și scădere, trebuie să găsiți următoarele:

• domeniul de aplicare (o avem deja);
• derivată (în cazul nostru: 1/3(3x^2-28x+49);
• rezolvați ecuația 1/3(3x^2-28x+49)=0.

După calcule, obținem rezultatul:

Obținem: funcția crește pe intervalele de la minus infinit la 7/3 și de la 7 la infinit și scade pe intervalul de la 7/3 la 7.

Extreme

Funcția investigată y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) este continuă și există pentru orice valori ale variabilei x. Punctul extremum arată maximul și minimul acestei funcții. În cazul nostru, nu există, ceea ce simplifică foarte mult sarcina de construcție. În caz contrar, se găsesc și folosind funcția derivată. După ce ați găsit, nu uitați să le marcați pe diagramă.

Convexitatea și concavitatea

Continuăm să studiem funcția y(x). Acum trebuie să-l verificăm pentru convexitate și concavitate. Definițiile acestor concepte sunt destul de greu de perceput, este mai bine să analizăm totul cu exemple. Pentru test: o funcție este convexă dacă este o funcție nedescrescătoare. De acord, acest lucru este de neînțeles!

Trebuie să găsim derivata funcției de ordinul doi. Se obține: y=1/3(6x-28). Acum echivalează partea dreapta la zero și rezolvați ecuația. Raspuns: x=14/3. Am găsit punctul de inflexiune, adică locul în care graficul se schimbă de la convex la concav sau invers. Pe intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția este convexă, iar de la 14/3 la plus infinit, este concavă. De asemenea, este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune de pe diagramă ar trebui să fie neted și moale, nu colțuri ascuțite nu ar trebui să fie prezent.

Definiția punctelor suplimentare

Sarcina noastră este să explorăm și să trasăm graficul funcției. Am finalizat studiul, nu va fi dificil să trasăm funcția acum. Pentru o reproducere mai exactă și detaliată a unei curbe sau a unei linii drepte pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Este destul de ușor să le calculezi. De exemplu, luăm x=3, rezolvăm ecuația rezultată și găsim y=4. Sau x=5 și y=-5 și așa mai departe. Puteți lua câte puncte suplimentare aveți nevoie pentru a construi. Se găsesc cel puțin 3-5 dintre ele.

Complot

Am avut nevoie să investigăm funcția (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toate marcajele necesare în cursul calculelor au fost făcute pe planul de coordonate. Tot ce rămâne de făcut este să construiești un grafic, adică să conectezi toate punctele între ele. Conectarea punctelor este lină și precisă, aceasta este o chestiune de îndemânare - puțină practică și programul tău va fi perfect.

Studiul funcției se desfășoară după o schemă clară și cere elevului să o facă cunoștințe solide major concepte matematice precum domeniul definiției și valorilor, continuitatea funcției, asimptota, punctele extreme, paritatea, periodicitatea etc. Elevul trebuie să diferențieze liber funcții și să rezolve ecuații, care uneori sunt foarte complicate.

Adică, această sarcină verifică un strat semnificativ de cunoștințe, orice decalaj în care va deveni un obstacol în calea obținerii decizia corectă. Mai ales adesea apar dificultăți în construirea graficelor de funcții. Această greșeală atrage imediat atenția profesorului și îți poate strica foarte mult nota, chiar dacă totul a fost făcut corect. Aici puteți găsi sarcini pentru studiul funcției online: exemple de studiu, soluții de descărcare, sarcini de comandă.

Investigați o funcție și diagramați: exemple și soluții online

Am pregătit pentru dvs. o mulțime de studii de caracteristici gata făcute, atât plătite în cartea de soluții, cât și gratuite în secțiunea Exemple de cercetare a caracteristicilor. Pe baza acestor sarcini rezolvate, veți putea să vă familiarizați în detaliu cu metodologia de realizare a unor astfel de sarcini, prin analogie, efectuați propria cercetare.

Noi oferim exemple gata făcute un studiu complet și reprezentarea grafică a funcțiilor din cele mai comune tipuri: polinoame, funcții fracționale-rationale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice. Fiecare problemă rezolvată este însoțită de un grafic gata făcut cu puncte cheie selectate, asimptote, maxime și minime, soluția este realizată conform algoritmului de studiere a funcției.

Exemplele rezolvate, în orice caz, vă vor fi de mare ajutor, deoarece acoperă cele mai populare tipuri de funcții. Vă oferim sute de probleme deja rezolvate, dar, după cum știți, functii matematice există un număr infinit în lume, iar profesorii sunt mari maeștri în a inventa sarcini din ce în ce mai complicate pentru elevii săraci. Așadar, dragi studenți, asistența calificată nu vă va răni.

Rezolvarea problemelor pentru studiul unei funcții la comandă

În acest caz, partenerii noștri vă vor oferi un alt serviciu - studiu complet caracteristici online a comanda. Sarcina va fi finalizată pentru dvs. în conformitate cu toate cerințele pentru algoritmul pentru rezolvarea unor astfel de probleme, ceea ce vă va mulțumi foarte mult profesorului dvs.

Vom face un studiu complet al funcției pentru dvs.: vom găsi domeniul de definiție și gama de valori, vom examina continuitatea și discontinuitatea, vom stabili paritatea, vom verifica funcția pentru periodicitate, vom găsi punctele de intersecție cu axele de coordonate . Și, bineînțeles, mai departe cu ajutorul calculului diferențial: vom găsi asimptote, vom calcula extreme, puncte de inflexiune, vom construi graficul în sine.