Definiția dreptelor paralele și proprietățile lor în spațiu sunt aceleași ca și în plan (vezi punctul 11).

În același timp, este posibil încă un caz de aranjare a liniilor în spațiu - linii oblice. Liniile care nu se intersectează și nu se află în același plan se numesc drepte de intersectare.

Figura 121 prezintă aspectul sufrageriei. Vedeți că liniile cărora le aparțin segmentele AB și BC sunt înclinate.

Unghiul dintre liniile care se intersectează este unghiul dintre liniile care se intersectează paralele cu acestea. Acest unghi nu depinde de ce linii de intersectare sunt luate.

Se presupune că gradul de măsurare a unghiului dintre liniile paralele este zero.

O perpendiculară comună a două drepte care se intersectează este un segment cu capete pe aceste drepte, care este o perpendiculară pe fiecare dintre ele. Se poate dovedi că două drepte care se intersectează au o perpendiculară comună și, în plus, doar una. Este o perpendiculară comună a planurilor paralele care trec prin aceste drepte.

Distanța dintre liniile care se intersectează este lungimea perpendicularei lor comune. Este egală cu distanța dintre planele paralele care trec prin aceste drepte.

Astfel, pentru a afla distanța dintre dreptele care se intersectează a și b (Fig. 122), este necesar să se traseze plane paralele a și prin fiecare dintre aceste drepte. Distanța dintre aceste planuri va fi distanța dintre liniile care se intersectează a și b. În figura 122, această distanță este, de exemplu, distanța AB.

Exemplu. Dreptele a și b sunt paralele și liniile c și d se intersectează. Fiecare dintre liniile a și poate intersecta ambele linii

Soluţie. Dreptele a și b se află în același plan și, prin urmare, orice dreaptă care intersectează fiecare dintre ele se află în același plan. Prin urmare, dacă fiecare dintre liniile a, b intersectează ambele drepte c și d, atunci liniile s-ar afla în același plan cu liniile a și b, și acest lucru nu poate fi, deoarece liniile se intersectează.

42. Paralelismul unei drepte și al unui plan.

O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează, adică nu au puncte comune. Dacă dreapta a este paralelă cu planul a, atunci se scrie:.

Figura 123 prezintă o dreaptă a paralelă cu planul a.

Dacă drept, nu aparținând avionului, este paralel cu o dreaptă din acest plan, apoi este și paralel cu planul însuși (un semn de paralelism al dreptei și al planului).

Această teoremă permite situație specifică Demonstrați că o dreaptă și un plan sunt paralele. Figura 124 prezintă o dreaptă b paralelă cu o dreaptă a situată în planul a, adică de-a lungul dreptei b paralelă cu planul a, adică.

Exemplu. Prin vârf unghi drept Din dreptunghiular triunghiul ABC Un plan este trasat paralel cu ipotenuza la o distanta de 10 cm de aceasta. Proiecțiile catetelor pe acest plan sunt de 30 și 50 cm Aflați proiecția ipotenuzei pe același plan.

Soluţie. Din triunghiuri dreptunghiulare BBVC și (Fig. 125) găsim:

Din triunghiul ABC găsim:

Proiecția ipotenuzei AB pe planul a este . Deoarece AB este paralel cu planul a, atunci So,.

43. Planuri paralele.

Două plane se numesc paralele. dacă nu se intersectează.

Două plane sunt paralele” dacă unul dintre ele este paralel cu două drepte care se intersectează situate într-un alt plan (un semn de paralelism a două plane).

În figura 126, planul a este paralel cu liniile de intersectare a și b situate în plan, apoi de-a lungul acestor plane sunt paralele.

Printr-un punct din afara unui plan dat se poate trasa un plan paralel cu cel dat și, mai mult, doar unul.

Dacă două plane paralele se intersectează cu un al treilea, atunci liniile de intersecție sunt paralele.

Figura 127 prezintă două plane paralele, iar planul y le intersectează de-a lungul liniilor drepte a și b. Apoi, prin teorema 2.7, putem afirma că dreptele a și b sunt paralele.

Segmentele de drepte paralele cuprinse între două plane paralele sunt egale.

Conform T.2.8, segmentele AB și prezentate în Figura 128 sunt egale, deoarece

Lasă aceste planuri să se intersecteze. Desenați un plan perpendicular pe dreapta intersecției lor. El intersectează aceste planuri de-a lungul a două linii drepte. Unghiul dintre aceste drepte se numește unghiul dintre aceste planuri (Fig. 129). Unghiul dintre planele astfel definite nu depinde de alegerea planului secant.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele de care aveți nevoie livrare cu succes UTILIZAȚI la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide solutii, capcane si UTILIZAȚI secretele. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul contine 5 subiecte mari, 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Sarcini de textși teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referinta, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltare imaginația spațială. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicație vizuală concepte complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru solutie sarcini provocatoare 2 părți ale examenului.

Toate cazurile posibile poziție relativă linie și plan în spațiu :

O linie se află pe un plan dacă toate punctele dreptei aparțin planului.

cometariu . Pentru ca o dreaptă să se afle pe un plan, este necesar și suficient ca oricare două puncte ale acestei linii să aparțină acestui plan.

O linie intersectează un plan dacă atât linia, cât și planul au singurul punct comun

O dreaptă este paralelă cu un plan dacă linia și planul nu au puncte comune. (nu se intersectează

Afirmația 1 . Să presupunem că linia A iar planul α sunt paraleli, iar planul β trece prin linie A. Atunci sunt posibile două cazuri:

Dar apoi ideea P este punctul de intersecție al dreptei Ași planul α și obținem o contradicție cu faptul că dreapta A iar planul α sunt paralele. Contradicția rezultată completează demonstrația Aserției 1.

Afirmația 2 (un semn de paralelism al unei drepte și al unui plan) . Dacă drept A , nu se află în planul α , paralel cu o dreaptă b situată în planul α , apoi linia A iar planul α sunt paralele.

Dovada. Să demonstrăm semnul de paralelism al unei drepte și al unui plan „prin contradicție”. Să presupunem că linia A intersectează planul α la un moment dat P. Desenați planul β prin liniile paralele Ași b.

Punct P se află pe o linie dreaptă Ași aparține planului β. Dar prin presupunere ideea P aparține planului α , de unde punctul P se află pe o linie dreaptă b, de-a lungul căreia se intersectează planele α şi β. Cu toate acestea, direct Ași b sunt paralele după condiție și nu pot avea puncte comune.

Contradicția rezultată completează demonstrarea criteriului de paralelism al unei drepte și al unui plan.

Teoreme

• Dacă o dreaptă care intersectează un plan este perpendiculară pe două drepte situate în acest plan și care trec prin punctul de intersecție al dreptei date și al planului, atunci este perpendiculară pe plan.
• Dacă un plan este perpendicular pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendicular pe cealaltă.
• Dacă două drepte sunt perpendiculare pe același plan, atunci sunt paralele.
• Dacă o dreaptă situată într-un plan este perpendiculară pe proiecția uneia oblice, atunci este și perpendiculară pe cea oblică.
• Dacă o linie dreaptă care nu se află într-un plan dat este paralelă cu o dreaptă situată în acest plan, atunci este paralelă cu acest plan.
• Dacă o linie este paralelă cu un plan, atunci este paralelă cu o dreaptă din acel plan.
• Dacă o dreaptă și un plan sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci sunt paralele.
• Toate punctele unei linii drepte paralele cu un plan sunt la fel de îndepărtate de acel plan.

Teorema

Dacă o linie care nu aparține unui plan este paralelă cu o dreaptă din acel plan, atunci este și paralelă cu planul însuși.

Dovada

Fie α un plan, a o dreaptă care nu se află în el și a1 o dreaptă în planul α paralelă cu dreapta a. Să desenăm planul α1 prin dreptele a și a1. Planele α și α1 se intersectează de-a lungul dreptei a1. Dacă dreapta a ar intersecta planul α, atunci punctul de intersecție ar aparține dreptei a1. Dar acest lucru este imposibil, deoarece liniile a și a1 sunt paralele. Prin urmare, linia a nu intersectează planul α și, prin urmare, este paralelă cu planul α. Teorema a fost demonstrată.

18. AVIONURI

Dacă două plane paralele se intersectează cu un al treilea, atunci liniile de intersecție sunt paralele.(Fig. 333).

Într-adevăr, conform definiției Liniile paralele sunt drepte care se află în același plan și nu se intersectează. Liniile noastre se află în același plan - planul secant. Ele nu se intersectează, deoarece planurile paralele care le conțin nu se intersectează.

Deci liniile sunt paralele, ceea ce am vrut să demonstrăm.

Proprietăți

§ Dacă planul α este paralel cu fiecare dintre cele două drepte care se intersectează situate în celălalt plan β, atunci aceste planuri sunt paralele

§ Dacă două plane paralele sunt intersectate de o treime, atunci liniile de intersecție ale acestora sunt paralele

§ Printr-un punct din afara unui plan dat se poate trasa un plan paralel cu unul dat, si in plus, doar unul

§ Segmentele de drepte paralele mărginite de două plane paralele sunt egale

§ Două unghiuri cu laturile paralele și, respectiv, direcționate egal sunt egale și se află în interior plane paralele

19.

Dacă două linii se află în același plan, unghiul dintre ele este ușor de măsurat - de exemplu, folosind un raportor. Și cum se măsoară unghiul dintre linie și plan?

Lasă linia să intersecteze planul și nu într-un unghi drept, ci sub un alt unghi. O astfel de linie se numește oblic.

Să aruncăm o perpendiculară dintr-un punct înclinat pe planul nostru. Conectați baza perpendicularei la punctul de intersecție al înclinului și al planului. Avem proiecția unui plan oblic.

Unghiul dintre o linie și un plan este unghiul dintre o dreaptă și proiecția acesteia pe un plan dat..

Vă rugăm să rețineți - alegem un unghi ascuțit ca unghi între linie și plan.

Dacă linia este paralelă cu planul, atunci unghiul dintre linie și plan este zero.

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, proiecția ei pe plan este un punct. Evident, în acest caz unghiul dintre linie și plan este de 90°.

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan..

Aceasta este definiția. Dar cum să lucrezi cu el? Cum se verifică dacă o anumită linie este perpendiculară pe toate liniile aflate în plan? La urma urmei, există un număr infinit de ele.

În practică, se aplică semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan:

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în acel plan.

21. Unghiul diedric- spațială figură geometrică, format din două semiplane care emană dintr-o linie dreaptă, precum și o parte din spațiu delimitată de aceste semiplane.

Se spune că două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedric dintre ele este de 90 de grade.

§ Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.

§ Dacă dintr-un punct aparţinând unuia dintre cei doi planuri perpendiculare, trageți o perpendiculară pe un alt plan, apoi această perpendiculară se află complet în primul plan.

§ Dacă în unul din cele două plane perpendiculare trasăm o perpendiculară pe linia lor de intersecție, atunci această perpendiculară va fi perpendiculară pe al doilea plan.

Două plane care se intersectează formează patru unghiuri diedrice cu o muchie comună: perechile de unghiuri verticale sunt egale, iar suma a două colțurile adiacente este egal cu 180°. Dacă unul dintre cele patru unghiuri este drept, atunci și celelalte trei sunt egale și drepte. Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este drept.

Teorema. Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci acele plane sunt perpendiculare.

Fie și două plane astfel încât să treacă prin dreapta AB, perpendiculară și intersectându-se cu ea în punctul A (Fig. 49). Să demonstrăm că _|_ . Planele și se intersectează de-a lungul unei drepte AC și AB _|_ AC, deoarece AB _|_ . Să desenăm o dreaptă AD în plan, perpendiculară pe dreapta AC.

Atunci unghiul BAD este un unghi liniar unghi diedru, educat și . Dar< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Un poliedru este un corp a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane plate.

1. oricare dintre poligoanele care alcătuiesc poliedrul, se poate ajunge la oricare dintre ele mergând la cel adiacent acestuia, iar de la acesta, la rândul său, la cel adiacent acestuia etc.

Aceste poligoane se numesc chipuri, laturile lor - coaste, iar vârfurile lor sunt culmi poliedru. Cele mai simple exemple de poliedre sunt poliedre convexe, adică granița unei submulțimi mărginite a spațiului euclidian, care este intersecția unui număr finit de semi-spații.

Definiția de mai sus a unui poliedru capătă o semnificație diferită în funcție de modul în care este definit poligonul, pentru care sunt posibile următoarele două opțiuni:

§ Linii întrerupte plate închise (chiar dacă se auto-intersectează);

§ Părţi ale planului delimitate prin linii întrerupte.

În primul caz, obținem conceptul de poliedru stelar. În al doilea, un poliedru este o suprafață compusă din piese poligonale. Dacă această suprafață nu se intersectează, atunci este întreaga suprafață a unui corp geometric, care se mai numește și poliedru. De aici apare a treia definiție a poliedrului, ca însuși corpul geometric.

prismă dreaptă

Prisma se numește Drept daca coaste laterale perpendicular pe baze.
Prisma se numește oblic dacă marginile sale laterale nu sunt perpendiculare pe baze.
O prismă dreaptă are fețe care sunt dreptunghiuri.

Prisma se numește corect dacă bazele sale sunt poligoane regulate.
Aria suprafeței laterale a prismei se numește suma suprafețelor fețelor laterale.
Suprafața completă a prismei egală cu suma suprafeţei laterale şi a ariilor bazelor

Elemente prisme:
Puncte - numite vârfuri
Segmentele se numesc margini laterale
Poligoanele și - se numesc baze. Avioanele în sine sunt numite și baze.

24. Paralelepiped(din greacă παράλλος - paralel și greaca επιπεδον - plan) - o prismă, a cărei bază este un paralelogram, sau (echivalent) un poliedru, care are șase fețe și fiecare dintre ele este un paralelogram.

§ Paralepipedul este simetric fata de punctul mijlociu al diagonalei sale.

§ Orice segment cu capete, aparţinând suprafeţei un paralelipiped și trecând prin mijlocul diagonalei sale, îl împarte în jumătate; în special, toate diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și îl bisectează.

§ Fetele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele si egale.

§ Patrat de lungime diagonala cuboid este egală cu suma pătrate din cele trei dimensiuni ale sale.

Suprafața unui cuboid este egală cu dublul sumei ariilor celor trei fețe ale acestui paralelipiped:

1.	S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+bc+ac)

25 .Piramida şi elementele ei

Luați în considerare un plan, un poligon care se află în el și un punct S care nu se află în el. Conectați S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele se numesc margini laterale. Poligonul se numește bază, iar punctul S este numit vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n=3), pătrangulară (n=4), pentagonală (n=5) și așa mai departe. Titlu alternativ piramidă triunghiulară – tetraedru. Înălțimea unei piramide este perpendiculara trasă de la vârful ei la planul de bază.

O piramidă se numește corectă dacă poligon regulat, iar baza înălțimii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.

Programul este conceput pentru a calcula suprafața laterală piramida corecta.
Piramida este un poliedru cu o bază sub formă de poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun.

Formula pentru calcularea suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este:

unde p este perimetrul bazei (poligonul ABCDE),
a - apotema (OS);

Apotema este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, care este desenată din vârful acesteia.

Pentru a găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite, introduceți perimetrul piramidei și valorile apotema, apoi faceți clic pe butonul „CALCULATE” Programul va determina suprafața laterală a unei piramide obișnuite, a cărei valoare poate fi plasat pe clipboard.

Piramida trunchiată

O piramidă trunchiată este o parte piramida completaînchis între bază și o secțiune paralelă cu aceasta.
Secțiunea transversală se numește baza superioară a unei piramide trunchiate, iar baza piramidei pline este baza de jos trunchi de piramidă. (Bazele sunt similare.) Fețe laterale trunchi de piramidă - trapez. Într-o piramidă trunchiată 3 n coaste, 2 n vârfuri, n+ 2 fețe, n(n- 3) diagonale. Distanța dintre bazele superioare și inferioare este înălțimea piramidei trunchiate (segmentul tăiat de la înălțimea piramidei întregi).
Pătrat suprafata intreaga piramida trunchiată este egală cu suma ariilor fețelor sale.
Volumul piramidei trunchiate ( Sși s- suprafata de baza, H- inaltime)

Corpul de rotație numit corp format ca urmare a rotației unei linii în jurul unei drepte.

Un cilindru circular drept este înscris într-o sferă dacă cercurile bazelor sale se află pe sferă. Bazele cilindrului sunt cercuri mici ale mingii, centrul mingii coincide cu mijlocul axei cilindrului. [ 2 ]

Un cilindru circular drept este înscris într-o sferă dacă cercurile bazelor sale se află pe sferă. Evident, centrul sferei nu se află nici în mijlocul axei cilindrului. [ 3 ]

Volumul oricărui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea:

1.

V=π r 2 h

Suprafata intreaga suprafața cilindrului este egală cu suma suprafeței laterale a cilindrului și pătrat dublu baza cilindrului.

Formula pentru calcularea suprafeței totale a unui cilindru este:

27. Un con rotund poate fi obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre picioarele sale, motiv pentru care un con rotund este numit și con de revoluție. Vezi și Volumul unui con rotund

Suprafața totală a unui con circular este egală cu suma ariilor suprafeței laterale a conului și bazei acestuia. Baza unui con este un cerc, iar aria lui este calculată folosind formula pentru aria unui cerc:

2.	S=π r l+π r 2=π r(r+l)

28. Frustum obţinut prin trasarea unei secţiuni paralele cu baza unui con. Corpul delimitat de această secțiune, baza și suprafața laterală a conului se numește trunchi de con. Vezi și Volumul unui trunchi de con

Suprafața totală a unui trunchi de con este egală cu suma ariilor suprafeței laterale a trunchiului de con și a bazelor acestuia. Bazele unui trunchi de con sunt cercuri, iar aria lor este calculată folosind formula pentru aria unui cerc: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)

29. O minge este un corp geometric delimitat de o suprafață, toate punctele fiind pe distanta egala din centru. Această distanță se numește raza sferei.

Sferă(greacă σφαῖρα - minge) - o suprafață închisă, loc geometric puncte din spațiu echidistante de un punct dat, numit centru al sferei. O sferă este un caz special de elipsoid, în care toate cele trei axe (jumătate de axe, raze) sunt egale. O sferă este suprafața unei mingi.

Aria suprafeței sferice a segmentului sferic (sectorul sferic) și a stratului sferic depinde numai de înălțimea lor și de raza bilei și este egală cu circumferința cercului mare al bilei, înmulțită cu înălțimea.

Volumul mingii egal cu volumul piramidei, a cărei bază are aceeași zonă cu suprafața mingii, iar înălțimea este raza mingii

Volumul unei sfere este de o ori și jumătate mai mic decât volumul unui cilindru circumscris în jurul ei.

elemente bile

Segment de bilă Planul de tăiere împarte bila în două segmente de bilă. H- înălțimea segmentului, 0< H < 2 R, r- raza bazei segmentului, Volumul segmentului mingii Aria suprafeței sferice a segmentului sferic
Stratul sferic Un strat sferic este o parte a unei sfere închisă între două secțiuni paralele. Distanța ( H) între secțiuni se numește înălțimea stratului, și secțiunile în sine - bazele straturilor. Suprafața sferică ( volum) a stratului sferic poate fi găsită ca diferență în zone suprafețe sferice(volume) de segmente sferice.

 1. Înmulțirea unui vector cu un număr(Fig. 56).

Produs vectorial DAR pe număr λ numit vector LA, al cărui modul este egal cu produsul modulului vectorului DAR pe număr modulo λ :

Direcția nu se schimbă dacă λ > 0 ; se schimbă în sens invers dacă λ < 0 . În cazul în care un λ = −1, apoi vectorul

numit vector, vector opus DAR, și este notat

 2. Adăugarea vectorului. Pentru a afla suma a doi vectori DARși LA vector

Apoi suma va fi un vector, începutul căruia coincide cu începutul primului, iar sfârșitul - cu sfârșitul celui de-al doilea. Această regulă de adunare vectorială este numită „regula triunghiului” (Fig. 57). este necesar să se descrie vectorii sumand astfel încât începutul celui de-al doilea vector să coincidă cu sfârșitul primului.

Este ușor de demonstrat că pentru vectori „suma nu se schimbă dintr-o modificare a locurilor termenilor”.
Să mai indicăm o regulă pentru adăugarea vectorilor - „regula paralelogramului”. Dacă combinăm începuturile vectorilor sumand și construim un paralelogram pe ele, atunci suma va fi un vector care coincide cu diagonala acestui paralelogram (Fig. 58).

Este clar că adăugarea conform „regula paralelogramului” duce la același rezultat ca și conform „regula triunghiului”.
„Regula triunghiului” este ușor de generalizat (în cazul mai multor termeni). Pentru a găsi suma vectorilor

Este necesar să combinați începutul celui de-al doilea vector cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea - cu sfârșitul celui de-al doilea etc. Apoi începutul vectorului DIN coincide cu începutul primului și cu sfârșitul DIN- cu capătul acestuia din urmă (Fig. 59).

 3. Scăderea vectorilor. Operația de scădere se reduce la cele două operații anterioare: diferența a doi vectori este suma primului cu vectorul opus celui de-al doilea:

De asemenea, puteți formula „regula triunghiului” pentru scăderea vectorilor: este necesar să combinați începuturile vectorilor DARși LA, atunci diferența lor va fi vectorul

Desenat de la capătul vectorului LA spre sfârşitul vectorului DAR(Fig. 60).

În cele ce urmează, vom vorbi despre vectorul deplasării punct material, adică un vector care leagă pozițiile inițiale și finale ale punctului. De acord că regulile de acțiune introduse pe vectori sunt destul de evidente pentru vectorii de deplasare.

 4. Produsul scalar al vectorilor. Rezultatul produsului scalar a doi vectori DARși LA este numărul c, egal cu produsul module de vectori pe cosinus al unghiului α între

Produsul scalar al vectorilor este utilizat pe scară largă în fizică. Pe viitor, de multe ori va trebui să ne confruntăm cu o astfel de operațiune.

În acest articol, subiectul „ paralelismul dreptei și planului". În primul rând, este dată definiția dreptelor și planurilor paralele, ilustrare grafică si un exemplu. În plus, se formulează un semn de paralelism al unei linii drepte și al unui plan și sunt exprimate condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul unei linii drepte și a unui plan. În concluzie, sunt date soluții detaliate ale problemelor în care se demonstrează paralelismul unei drepte și al unui plan.

Navigare în pagină.

Linie și plan paralel - informații de bază.

Să începem prin a defini drepte și plane paralele.

Definiție.

Linia și planul se numesc paralel dacă nu au puncte comune.

Simbolul „” este folosit pentru a indica paralelismul. Adică, dacă linia a și planul sunt paralele, atunci puteți scrie pe scurt a.

Rețineți că expresiile „linia a și planul sunt paralele”, „linia a este paralelă cu planul” și „planul este paralel cu linia a” sunt la fel de utilizabile.

Ca exemplu de linie paralelă și plan, să luăm o coardă de chitară întinsă și planul fretului acestei chitare.

Paralelismul unei drepte și al unui plan - semn și condiții de paralelism.

Paralelismul unei linii drepte și al unui plan nu este întotdeauna fapt evident. Cu alte cuvinte, paralelismul unei drepte și al unui plan trebuie demonstrat. Există o condiție suficientă, a cărei îndeplinire garantează paralelismul dreptei și al planului. Această condiție se numește semn de paralelism al unei drepte și al unui plan. Înainte de a vă familiariza cu formularea acestei caracteristici, vă recomandăm să repetați definiția liniilor paralele.

Teorema.

Dacă o dreaptă a, care nu se află într-un plan, este paralelă cu o dreaptă b, care se află într-un plan, atunci linia a este paralelă cu planul.

Să exprimăm o altă teoremă care poate fi folosită pentru a stabili paralelismul unei drepte și a unui plan.

Teorema.

Dacă una dintre cele două linii paralele este paralelă cu un plan, atunci a doua linie este fie paralelă cu acest plan, fie se află în el.

Dovada semnului de paralelism a unei drepte și a unui plan și demonstrarea teoremei vocale sunt date în manualul de geometrie pentru clasele 10-11, care este enumerat la sfârșitul articolului în lista literaturii recomandate.

Prin urmare, o condiție necesară și suficientă pentru ca dreapta a să fie paralelă cu planul(a nu se află în plan ) ia forma , Unde - vectorul de direcție al dreptei a , este vectorul normal al planului.

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt cele directe si planul paralel?

Soluţie.

Linia dreaptă dată nu se află în plan, deoarece coordonatele punctului dreptei nu satisfac ecuația planului: . Verificăm îndeplinirea necesarului și condiție suficientă drepte și plane paralele. Evident, - vector directie drept , este vectorul normal al planului . Calcula produs scalar vectori și: . Astfel, vectorii și sunt perpendiculari. Prin urmare, linia și planul dat sunt paralele.

Răspuns:

Da, o dreaptă și un plan sunt paralele.

Exemplu.

Este dreapta AB paralelă cu planul de coordonate Oyz dacă .

Soluţie.

Punctul nu se află în planul de coordonate Oyz, deoarece abscisa acestui punct este diferită de zero.

Vector normal planul Oyz este un vector . Ca vector de direcție al dreptei AB, luăm vectorul . ne permit să calculăm coordonatele acestui vector, atunci . Să verificăm îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru ca vectorii să fie perpendiculari și : . Prin urmare, linia AB și plan de coordonate Oyz nu sunt paralele.

Răspuns:

Nu, nu sunt paralele.

Condiția analizată nu este foarte convenabilă pentru demonstrarea paralelismului dreptei a și planului, deoarece este necesar să se verifice separat dacă dreapta a nu se află în plan. Prin urmare, este mai convenabil să se demonstreze paralelismul dreptei a și al planului folosind următoarea condiție necesară și suficientă.

Fie ca dreapta a să fie dată de ecuațiile a două plane care se intersectează ,
si avionul ecuație generală avioane.

Teorema.

Pentru ca linia a să fie paralelă cu planul, este necesar și suficient ca sistemul ecuatii lineare drăguț nu avea solutii.

Dovada.

Într-adevăr, dacă linia a este paralelă cu planul, atunci prin definiție nu au puncte comune. Prin urmare, nu are rost sistem dreptunghiular coordonatele Oxyz , ale căror coordonate ar satisface simultan ecuațiile dreptei și ecuația plană. Prin urmare, sistemul de ecuații de forma incompatibil.

Și invers: dacă un sistem de ecuații de forma nu are soluții, atunci nu există un singur punct în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz ale cărui coordonate ar satisface simultan toate ecuațiile sistemului. Atunci, nu există niciun punct ale cărui coordonate să satisfacă simultan ecuațiile dreptei și ecuația plană. Prin urmare, dreapta a și planul nu au puncte comune, adică sunt paralele.

La rândul său, sistemul de ecuații nu are soluții atunci când matricea principală a sistemului este mai mică decât rangul matricei extinse (asta reiese din teorema Kronecker-Capelli, dacă este necesar, vezi articolul rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Într-adevăr, sistemul de ecuații este inconsecvent, prin urmare, linia și planul dat nu au puncte comune. Aceasta dovedește paralelismul dreptei si avionul .

Bibliografie.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
• Pogorelov A.V., Geometrie. Manual pentru clasele 7-11 ale instituțiilor de învățământ.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. matematică superioară. Volumul unu: Elementele algebră liniarăși geometria analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.