Graf lineárnej alebo kvadratickej nerovnosti sa zostavuje rovnakým spôsobom, ako sa zostavuje graf akejkoľvek funkcie (rovnice). Rozdiel je v tom, že nerovnosť implikuje viacero riešení, takže graf nerovností nie je len bod na číselnej osi alebo čiara na súradnicová rovina. Používaním matematické operácie a znak nerovnosti, možno definovať súbor riešení nerovnosti.

Kroky

Grafické znázornenie lineárnej nerovnosti na číselnej osi

1. Vyriešte nerovnosť. Ak to chcete urobiť, izolujte premennú pomocou rovnakých algebraických trikov, ktoré používate na riešenie akejkoľvek rovnice. Pamätajte na to pri násobení alebo delení nerovnosti záporné číslo(alebo výraz), otočte znamienko nerovnosti.

   • Napríklad vzhľadom na nerovnosť 3r + 9 > 12 (\displaystyle 3r+9>12). Ak chcete premennú izolovať, odčítajte 9 od oboch strán nerovnosti a potom obe strany vydeľte 3:
     3r + 9 > 12 (\displaystyle 3r+9>12)
     3 r + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3 y+9-9>12-9)
     3 roky > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Nerovnosť musí mať iba jednu premennú. Ak má nerovnosť dve premenné, je lepšie vykresliť graf na rovine súradníc.

2. Nakreslite číselnú os. Na číselnej osi označte nájdenú hodnotu (premenná môže byť menšia, väčšia alebo rovná tejto hodnote). Nakreslite číselnú os vhodnej dĺžky (dlhú alebo krátku).

   • Napríklad, ak ste to vypočítali y > 1 (\displaystyle y>1), označte na číselnom riadku hodnotu 1.

3. Nakreslite kruh, ktorý predstaví nájdenú hodnotu. Ak je premenná menšia ako ( < {\displaystyle <} ) alebo viac ( > (\displaystyle >)) tejto hodnoty, kruh nie je vyplnený, pretože množina riešení túto hodnotu neobsahuje. Ak je premenná menšia alebo rovná ( ≤ (\displaystyle \leq )) alebo väčší alebo rovný ( ≥ (\displaystyle\geq )) na túto hodnotu sa kruh vyplní, pretože množina riešení obsahuje túto hodnotu.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), na číselnej osi nakreslite v bode 1 otvorený kruh, pretože 1 nie je v množine riešení.

4. Na číselnej osi vytieňujte oblasť, ktorá definuje množinu riešení. Ak je premenná väčšia ako nájdená hodnota, vytieňte oblasť napravo od nej, pretože sada riešení obsahuje všetky hodnoty, ktoré sú väčšie ako nájdená hodnota. Ak je premenná menšia ako nájdená hodnota, vytieňte oblasť naľavo od nej, pretože sada riešení obsahuje všetky hodnoty, ktoré sú menšie ako nájdená hodnota.

   • Napríklad vzhľadom na nerovnosť y > 1 (\displaystyle y>1), na číselnej osi vytieňujte oblasť napravo od 1, pretože sada riešení obsahuje všetky hodnoty väčšie ako 1.

   Grafické znázornenie lineárnej nerovnosti v rovine súradníc

   1. Vyriešte nerovnosť (nájdite hodnotu y (\displaystyle y)). Získať lineárna rovnica, izolujte premennú na ľavej strane pomocou známeho algebraické metódy. Premenná by mala zostať na pravej strane x (\displaystyle x) a možno aj nejakú konštantu.

      • Napríklad vzhľadom na nerovnosť 3r + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Na izoláciu premennej y (\displaystyle y), odčítajte 9 od oboch strán nerovnosti a potom obe strany vydeľte 3:
        3r + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 r + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y> 3x-3)

   2. Naneste lineárnu rovnicu na rovinu súradníc. nakreslite graf pri vykresľovaní ľubovoľnej lineárnej rovnice. Nakreslite priesečník s osou Y a potom nakreslite ďalšie body pomocou sklonu.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y> 3x-3) nakreslite rovnicu y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Priesečník s osou Y má súradnice , a sklon je 3 (resp 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Najprv teda nakreslite bod so súradnicami (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); bod nad priesečníkom s osou y má súradnice (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); bod pod priesečníkom s osou y má súradnice (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Nakreslite rovnú čiaru. Ak je nerovnosť prísna (vrátane znamienka < {\displaystyle <} alebo > (\displaystyle >)), nakreslite bodkovanú čiaru, pretože sada riešení neobsahuje hodnoty ležiace na čiare. Ak nerovnosť nie je prísna (zahŕňa znamienko ≤ (\displaystyle \leq ) alebo ≥ (\displaystyle\geq )), nakreslite plnú čiaru, pretože množina riešení obsahuje hodnoty, ktoré ležia na čiare.

      • Napríklad v prípade nerovnosti y > 3 x − 3 (\displaystyle y> 3x-3) nakreslite bodkovanú čiaru, pretože sada riešení neobsahuje hodnoty ležiace na čiare.

   4. Zatiente príslušnú oblasť. Ak má nerovnosť tvar y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), vyplňte oblasť nad čiarou. Ak má nerovnosť tvar r< m x + b {\displaystyle y, vyplňte oblasť pod čiarou.

      • Napríklad v prípade nerovnosti y > 3 x − 3 (\displaystyle y> 3x-3) zatieniť oblasť nad čiarou.

   Grafické znázornenie kvadratickej nerovnosti na rovine súradníc

   1. Určite, že táto nerovnosť je štvorcová. Štvorcová nerovnosť má formu a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Niekedy nerovnosť neobsahuje premennú prvého poriadku ( x (\displaystyle x)) a/alebo voľný výraz (konštantný), ale musí obsahovať premennú druhého rádu ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Premenné x (\displaystyle x) a y (\displaystyle y) musia byť izolované na rôznych stranách nerovnosti.

      • Napríklad musíte vykresliť nerovnosť r< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Nakreslite graf na rovine súradníc. Ak to chcete urobiť, preveďte nerovnosť na rovnicu a vytvorte graf, ako keď vytvárate graf akejkoľvek kvadratickej rovnice. Pamätajte, že grafom kvadratickej rovnice je parabola.

      • Napríklad v prípade nerovnosti r< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y vyniesť kvadratickú rovnicu y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Vrchol paraboly je v bode (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)) a parabola pretína os x v bodoch (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) a (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Nerovnosť sú dve čísla alebo matematické výrazy spojené jedným zo znamienkov: > (viac, v prípade striktných nerovností),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

nerovnosť je lineárne za rovnakých podmienok ako rovnica: obsahuje premenné len do prvého stupňa a neobsahuje súčin premenných.

Riešenie lineárne nerovnosti a sústav lineárnych nerovníc je nerozlučne späté s ich geometrickým významom: riešením lineárnej nerovnosti je určitá polrovina, na ktorú je celá rovina rozdelená priamkou, ktorej rovnica je daná lineárnou nerovnicou. Túto polrovinu a v prípade sústavy lineárnych nerovností časť roviny ohraničenú niekoľkými priamkami treba nájsť na výkrese.

Mnohé ekonomické problémy sú redukované na riešenie systémov lineárnych nerovností s veľkým počtom premenných, najmä problémy lineárneho programovania, v ktorých je potrebné nájsť maximum alebo minimum funkcie.

Riešenie sústav lineárnych nerovníc s ľubovoľným počtom neznámych

Najprv analyzujme lineárne nerovnosti v rovine. Zvážte jednu nerovnosť s dvoma premennými a:

,

kde sú koeficienty premenných (nejaké čísla), je voľný člen (aj nejaké číslo).

Jedna nerovnosť s dvoma neznámymi, podobne ako rovnica, má nekonečný počet riešení. Riešením tejto nerovnosti je dvojica čísel, ktorá túto nerovnosť spĺňa. Geometricky je množina riešení nerovnosti znázornená ako polrovina ohraničená priamkou

,

ktorú budeme nazývať hraničná čiara.

Krok 1. Zostrojte priamku ohraničujúcu množinu riešení lineárnej nerovnosti

Aby ste to dosiahli, musíte poznať akékoľvek dva body tejto čiary. Nájdite priesečníky so súradnicovými osami. Súradnica križovatky A je nula (obrázok 1). Číselné hodnoty na osiach na tomto obrázku sa vzťahujú na príklad 1, ktorý budeme analyzovať hneď po tejto teoretickej odbočke.

Úsečku nájdeme vyriešením sústavy rovnice priamky s rovnicou osi.

Nájdite priesečník s osou:

Dosadením hodnoty do prvej rovnice dostaneme

Kde .

Takto sme našli úsečku bodu A .

Nájdite súradnice priesečníka s osou.

Abscisový bod B rovná sa nule. Vyriešme rovnicu hraničnej čiary s rovnicou súradnicovej osi:

,

teda súradnice bodu B: .

Krok 2. Nakreslite čiaru, ktorá ohraničuje množinu riešení nerovnosti. Poznanie bodov A a B priesečník hraničnej čiary so súradnicovými osami, môžeme túto čiaru nakresliť. Priamka (opäť obrázok 1) rozdeľuje celú rovinu na dve časti ležiace vpravo a vľavo (nad a pod) tejto priamky.

Krok 3. Určte, ktorá z polrovín je riešením tejto nerovnosti. Aby sme to dosiahli, musíme do tejto nerovnosti dosadiť počiatok súradníc (0; 0). Ak súradnice počiatku vyhovujú nerovnosti, potom riešením nerovnosti je polrovina, v ktorej sa počiatok nachádza. Ak súradnice nerovnici nevyhovujú, tak riešením nerovnosti je polrovina, ktorá neobsahuje počiatok. Polrovinu riešenia nerovnice označíme ťahmi od priamky vo vnútri polroviny, ako na obrázku 1.

Ak riešime sústavu lineárnych nerovníc, potom sa každý krok vykoná pre každú z nerovností systému.

Príklad 1 Vyriešte nerovnosť

Riešenie. Nakreslíme rovnú čiaru

Dosadením priamky do rovnice dostaneme a dosadením dostaneme. Preto súradnice priesečníkov s osami budú A(3; 0) , B(0; 2). Cez tieto body nakreslite priamku (opäť obrázok 1).

Volíme polrovinu riešení nerovnosti. Za týmto účelom dosadíme súradnice začiatku (0; 0) do nerovnosti:

získame , t.j. súradnice pôvodu spĺňajú túto nerovnosť. V dôsledku toho je riešením nerovnosti polrovina obsahujúca počiatok, t.j. ľavá (alebo nižšia) polrovina.

Ak by bola táto nerovnosť prísna, teda mala by podobu

potom by body hraničnej čiary neboli riešením, keďže nespĺňajú nerovnosť.

Teraz zvážte systém lineárnych nerovností s dvoma neznámymi:

Každá z nerovností tohto systému v rovine definuje polrovinu. Systém lineárnych nerovností sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie, a nekonzistentný, ak nemá žiadne riešenia. Riešením sústavy lineárnych nerovníc je ľubovoľná dvojica čísel (), ktorá spĺňa všetky nerovnosti tejto sústavy.

Geometricky je riešením sústavy lineárnych nerovníc množina bodov, ktoré spĺňajú všetky nerovnosti sústavy, teda spoločná časť výsledných polrovín. Preto môže byť geometricky vo všeobecnom prípade riešenie znázornené ako určitý mnohouholník, v konkrétnom prípade to môže byť čiara, úsečka a dokonca aj bod. Ak je sústava lineárnych nerovností nekonzistentná, potom v rovine nie je jediný bod, ktorý by vyhovoval všetkým nerovnostiam sústavy.

Príklad 2

Riešenie. Preto je potrebné nájsť mnohouholník riešení tohto systému nerovníc. Zostrojme hraničnú čiaru pre prvú nerovnosť, teda priamku, a hraničnú čiaru pre druhú nerovnosť, teda priamku.

Robíme to krok za krokom, ako bolo ukázané v teoretickej referencii a v príklade 1, najmä preto, že v príklade 1 bola vytvorená hraničná čiara pre nerovnosť, ktorá je prvá v tomto systéme.

Polroviny riešenia zodpovedajúce nerovnostiam tohto systému sú na obrázku 2 vytieňované dovnútra. Spoločnou časťou polrovín riešenia je otvorený uhol ABC. To znamená, že množina bodov v rovine, ktoré tvoria otvorený uhol ABC, je riešením prvej aj druhej nerovnice sústavy, čiže je riešením sústavy dvoch lineárnych nerovníc. Inými slovami, súradnice ktoréhokoľvek bodu z tejto množiny spĺňajú obe nerovnosti systému.

Príklad 3 Vyriešte sústavu lineárnych nerovníc

Riešenie. Zostrojme hraničné čiary zodpovedajúce nerovniciam systému. Robíme to podľa krokov uvedených v teoretickom základe pre každú nerovnosť. Teraz definujeme polroviny riešení pre každú nerovnosť (obrázok 3).

Polroviny riešenia zodpovedajúce nerovniciam danej sústavy sú zatienené smerom dovnútra. Priesečník polrovín riešení je znázornený, ako je znázornené na obrázku, vo forme štvoruholníka ABCE. Zistili sme, že polygón riešenia sústavy lineárnych nerovníc s dvoma premennými je štvoruholník ABCE .

Všetko popísané vyššie o sústavách lineárnych nerovníc s dvoma neznámymi platí aj pre sústavu nerovníc s ľubovoľným počtom neznámych, len s tým rozdielom, že riešenie nerovnosti s n neznáma bude totalita nčísla () spĺňajúce všetky nerovnosti a namiesto hraničnej čiary bude hraničná nadrovina n-rozmerný priestor. Riešením bude mnohosten riešenia (simplex) ohraničený nadrovinami.

Riešenie nerovnosti s dvoma premennými, a ešte viac sústavy nerovností s dvoma premennými, sa zdá byť celkom výzvou. Existuje však jednoduchý algoritmus, ktorý pomáha ľahko a bez námahy riešiť zdanlivo veľmi zložité problémy tohto druhu. Skúsme na to prísť.

Predpokladajme, že máme nerovnosť s dvoma premennými jedného z nasledujúcich typov:

y > f(x); y > f(x); r< f(x); y ≤ f(x).

Ak chcete zobraziť množinu riešení takejto nerovnosti v rovine súradníc, postupujte takto:

1. Zostrojíme graf funkcie y = f(x), ktorý rozdelí rovinu na dve oblasti.

2. Vyberieme si ktorúkoľvek zo získaných oblastí a uvažujeme v nej ľubovoľný bod. Pre tento bod skontrolujeme splniteľnosť pôvodnej nerovnosti. Ak je výsledok testu správny číselná nerovnosť, potom dospejeme k záveru, že pôvodná nerovnosť je splnená v celej oblasti, do ktorej patrí vybraný bod. Množina riešení nerovnosti je teda oblasť, do ktorej patrí vybraný bod. Ak sa v dôsledku kontroly zistí nesprávna číselná nerovnosť, potom množina riešení nerovnosti bude druhou oblasťou, do ktorej vybraný bod nepatrí.

3. Ak je nerovnosť striktná, potom hranice oblasti, teda body grafu funkcie y = f(x), nie sú zahrnuté v množine riešení a hranica je znázornená bodkovanou čiarou. Ak nerovnosť nie je striktná, potom sú hranice oblasti, teda body grafu funkcie y = f(x), zahrnuté do množiny riešení tejto nerovnosti a hranica je v tomto prípade zobrazené plná čiara.
Teraz sa pozrime na niekoľko problémov na túto tému.

Úloha 1.

Aká množina bodov je daná nerovnicou x · y ≤ 4?

Riešenie.

1) Zostavíme graf rovnice x · y = 4. Aby sme to dosiahli, najprv ho transformujeme. Je zrejmé, že x in tento prípad sa neobráti na 0, pretože inak by sme mali 0 · y = 4, čo nie je pravda. Takže našu rovnicu môžeme rozdeliť x. Dostaneme: y = 4/x. Graf tejto funkcie je hyperbola. Rozdeľuje celú rovinu na dve oblasti: jednu medzi dvoma vetvami hyperboly a tú mimo nich.

2) Vyberieme si ľubovoľný bod z prvej oblasti, nech je to bod (4; 2).
Kontrola nerovnosti: 4 2 ≤ 4 je nepravda.

To znamená, že body tohto regiónu nespĺňajú pôvodnú nerovnosť. Potom môžeme konštatovať, že množina riešení nerovnice bude druhou oblasťou, do ktorej vybraný bod nepatrí.

3) Keďže nerovnosť nie je striktná, hraničné body, teda body grafu funkcie y = 4/x, nakreslíme plnou čiarou.

Vyfarbme množinu bodov, ktorá definuje pôvodnú nerovnosť, žltá (obr. 1).

Úloha 2.

Nakreslite oblasť definovanú v súradnicovej rovine systémom
(y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
(x2 + y2 ≤ 9.

Riešenie.

Začnite vytvárať grafiku nasledujúce funkcie (obr. 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabola,

y + x = 1 - priamka

x 2 + y 2 \u003d 9 je kruh.

1) y > x 2 + 2.

Zoberieme bod (0; 5), ktorý leží nad grafom funkcie.
Kontrola nerovnosti: 5 > 0 2 + 2 je pravda.

Preto všetky body ležiace nad danou parabolou y = x 2 + 2 vyhovujú prvej nerovnici sústavy. Zafarbíme ich na žlto.

2) y + x > 1.

Zoberieme bod (0; 3), ktorý leží nad grafom funkcie.
Kontrola nerovnosti: 3 + 0 > 1 je správne.

Preto všetky body ležiace nad priamkou y + x = 1 spĺňajú druhú nerovnosť sústavy. Vyfarbíme ich na zeleno.

3) x2 + y2 ≤ 9.

Zoberieme bod (0; -4), ktorý leží mimo kružnice x 2 + y 2 = 9.
Kontrola nerovnosti: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 je nesprávna.

Preto všetky body ležiace mimo kružnice x 2 + y 2 = 9, nespĺňajú tretiu nerovnosť systému. Potom môžeme konštatovať, že všetky body ležiace vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 9 spĺňajú tretiu nerovnosť systému. Namaľujeme ich fialovým tieňovaním.

Nezabudnite, že ak je nerovnosť prísna, potom by mala byť zodpovedajúca hraničná čiara nakreslená bodkovanou čiarou. Dostávame nasledujúci obrázok (obr. 3).

(obr. 4).

Úloha 3.

Nakreslite oblasť definovanú v súradnicovej rovine systémom:
(x2 + y2 < 16;
(x > -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Riešenie.

Na začiatok vytvoríme grafy nasledujúcich funkcií:

x 2 + y 2 \u003d 16 - kruh,

x \u003d -y - rovné

x 2 + y 2 \u003d 4 - kruh (obr. 5).

Teraz sa zaoberáme každou nerovnosťou samostatne.

1) x2 + y2 ≤ 16.

Zoberieme bod (0; 0), ktorý leží vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 16.
Kontrola nerovnosti: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 je pravda.

Preto všetky body ležiace vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 16 spĺňajú prvú nerovnosť systému.
Vyfarbíme ich na červeno.

Zoberieme bod (1; 1), ktorý leží nad grafom funkcie.
Skontrolujeme nerovnosť: 1 ≥ -1 - pravda.

Preto všetky body ležiace nad priamkou x = -y spĺňajú druhú nerovnosť sústavy. Vyfarbíme ich na modro.

3) x2 + y2 ≥ 4.

Zoberieme bod (0; 5), ktorý leží mimo kružnice x 2 + y 2 = 4.
Skontrolujeme nerovnosť: 0 2 + 5 2 ≥ 4 je pravda.

Preto všetky body mimo kružnice x 2 + y 2 = 4 spĺňajú tretiu nerovnosť sústavy. Zafarbíme ich na modro.

V tomto probléme nie sú všetky nerovnosti striktné, čo znamená, že všetky hranice nakreslíme plnou čiarou. Dostávame nasledujúci obrázok (obr. 6).

Oblasť záujmu je oblasť, kde sa všetky tri farebné oblasti navzájom pretínajú. (obr. 7).

Máte nejaké otázky? Nie ste si istí, ako vyriešiť systém nerovností s dvoma premennými?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Existujú iba „X“ a iba os x, teraz sa pridávajú „Y“ a pole činnosti sa rozširuje na celú rovinu súradníc. Ďalej v texte je slovné spojenie „lineárna nerovnosť“ chápané v dvojrozmernom zmysle, čo bude jasné v priebehu niekoľkých sekúnd.

Okrem toho analytická geometria, materiál je relevantný pre množstvo úloh matematická analýza, ekonomické matematické modelovanie Preto vám odporúčam, aby ste si túto prednášku preštudovali so všetkou vážnosťou.

Lineárne nerovnosti

Existujú dva typy lineárnych nerovností:

1) Prísne nerovnosti: .

2) Neprísne nerovnosti: .

Ktoré geometrický význam tieto nerovnosti? Ak lineárna rovnica definuje priamku, potom definuje lineárna nerovnosť polorovina.

Aby ste porozumeli nižšie uvedeným informáciám, musíte poznať typy čiar v lietadle a vedieť stavať čiary. Ak máte v tejto časti nejaké ťažkosti, prečítajte si pomocníka Grafy a vlastnosti funkcií– odsek o lineárnej funkcii.

Začnime s najjednoduchšími lineárnymi nerovnosťami. Modrým snom každého porazeného je súradnicová rovina, na ktorej nie je vôbec nič:

Ako viete, os x je daná rovnicou - „y“ sa vždy (pre akúkoľvek hodnotu „x“) rovná nule

Zoberme si nerovnosť. Ako tomu neformálne rozumieť? "Y" je vždy (pre akúkoľvek hodnotu "x") kladné. Je zrejmé, že táto nerovnosť určuje hornú polrovinu, keďže sa tam nachádzajú všetky body s kladnými „hrami“.

V prípade, že nerovnosť nie je striktná, do hornej polroviny dodatočne je pridaná os.

Podobne: nerovnici vyhovujú všetky body dolnej polroviny, nestriktnej nerovnici zodpovedá spodná polrovina + os .

S osou y ten istý prozaický príbeh:

– nerovnosť vymedzuje pravú polrovinu;
– nerovnosť vymedzuje pravú polrovinu vrátane osi y;
– nerovnosť definuje ľavú polrovinu;
– nerovnosť vymedzuje ľavú polrovinu vrátane osi y.

V druhom kroku uvažujeme o nerovnostiach, v ktorých jedna z premenných chýba.

Chýba "y":

Alebo chýba "X":

Tieto nerovnosti sa dajú riešiť dvoma spôsobmi. prosím zvážte oba prístupy. Popri tom si spomeňme a upevnime školské činy s nerovnosťami, o ktorých sme už hovorili v lekcii Rozsah funkcie.

Príklad 1

Riešenie lineárnych nerovností:

Čo znamená vyriešiť lineárnu nerovnosť?

Vyriešiť lineárnu nerovnosť znamená nájsť polrovinu, ktorého body vyhovujú danej nerovnici (plus samotná čiara, ak nerovnosť nie je striktná). Riešenie, zvyčajne, grafický.

Je pohodlnejšie okamžite vykonať kresbu a potom všetko komentovať:

a) Vyriešte nerovnosť

Metóda jedna

Metóda je veľmi podobná príbehu so súradnicovými osami, o ktorom sme hovorili vyššie. Cieľom je transformovať nerovnosť - ponechať jednu premennú na ľavej strane bez akýchkoľvek konštánt, v tomto prípade premennej x.

pravidlo: V nerovnosti sa pojmy prenášajú z časti na časť so zmenou znamienka, zatiaľ čo samotné znamienko nerovnosti nemení(ak napríklad existuje znamienko „menej ako“, zostane „menej“).

„Päťku“ prenesieme na pravá strana so zmenou znamienka:

pravidlo POZITÍVNY nemení.

Teraz nakreslite priamku (prerušovaná modrá čiara). Priama čiara je prerušovaná kvôli nerovnosti prísny, a body patriace do tejto úsečky určite nebudú zahrnuté do riešenia.

Čo znamená nerovnosť? "X" je vždy (pre akúkoľvek hodnotu "y") menšie ako . Je zrejmé, že toto tvrdenie spĺňajú všetky body ľavej polroviny. Táto polrovina môže byť v zásade zatienená, ale obmedzím sa na malé modré šípky, aby sa kresba nezmenila na umeleckú paletu.

Metóda dva

Toto je univerzálny spôsob. ČÍTAJTE VEĽMI POZORNE!

Najprv nakreslite rovnú čiaru. Mimochodom, pre prehľadnosť je vhodné uviesť rovnicu vo forme .

Teraz vyberte ľubovoľný bod roviny, nepatriace do priamej línie. Vo väčšine prípadov najlahodnejšia bodka, samozrejme. Dosaďte súradnice tohto bodu do nerovnosti:

Prijaté nesprávna nerovnosť (jednoduchými slovami, nemôže to tak byť), čo znamená, že bod nespĺňa nerovnosť .

Kľúčové pravidlo našou úlohou:
nevyhovuje potom nerovnosť VŠETKY bodov danej polroviny neuspokojiť k tejto nerovnosti.
– Ak niektorý bod polroviny (nepatrí do priamky) uspokojuje potom nerovnosť VŠETKY bodov danej polroviny uspokojiť k tejto nerovnosti.

Môžete otestovať: akýkoľvek bod napravo od čiary nesplní nerovnosť .

Aký je záver z experimentu s bodkou? Nie je kam ísť, nerovnosť vyhovujú všetky body druhej - ľavej polroviny (môžete aj skontrolovať).

b) Vyriešte nerovnosť

Metóda jedna

Poďme transformovať nerovnosť:

pravidlo: Obe strany nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť). NEGATÍVNYčíslo, zatiaľ čo znamienko nerovnosti ZMENA naopak (ak napríklad existuje znamienko „väčšie alebo rovné“, potom sa zmení na „menšie alebo rovné“).

Vynásobte obe strany nerovnosti:

Nakreslíme rovnú čiaru (červená farba), navyše nakreslíme plnú čiaru, pretože máme nerovnosť neprísne, a linka k riešeniu určite patrí.

Po rozbore výslednej nerovnosti dospejeme k záveru, že jej riešením je spodná polrovina (+ samotná úsečka).

Vhodná polrovina je šrafovaná alebo označená šípkami.

Metóda dva

Nakreslíme rovnú čiaru. Vyberieme si ľubovoľný bod roviny (nepatriaci do priamky) napríklad a dosadíme jeho súradnice do našej nerovnosti:

Prijaté správna nerovnosť, potom bod spĺňa nerovnosť a vo všeobecnosti VŠETKY body spodnej polroviny spĺňajú túto nerovnosť.

Tu experimentálnym bodom „trafíme“ požadovanú polrovinu.

Riešenie problému je označené červenou rovnou čiarou a červenými šípkami.

Mne osobne sa viac páči prvé riešenie, pretože druhé je formálnejšie.

Príklad 2

Riešenie lineárnych nerovností:

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Pokúste sa problém vyriešiť dvoma spôsobmi (mimochodom, toto je dobrý spôsob overenie riešenia). V odpovedi na konci hodiny bude len záverečná kresba.

Myslím, že po všetkých akciách vykonaných v príkladoch si ich budete musieť vziať, nebude ťažké vyriešiť najjednoduchšiu nerovnosť, ako atď.

Prejdime k tretiemu všeobecný prípad keď sú obe premenné prítomné v nerovnosti:

Alternatívne môže byť voľný výraz "ce" nula.

Príklad 3

Nájdite polroviny zodpovedajúce nasledujúcim nerovnostiam:

Riešenie: Používa sa tu generická metóda bodové substitučné riešenia.

a) Zostrojme rovnicu priamky, pričom čiara by mala byť nakreslená bodkovanou čiarou, keďže nerovnosť je striktná a samotná priamka nebude zahrnutá do riešenia.

Vyberieme experimentálny bod roviny, ktorý nepatrí napríklad do danej priamky a dosadíme jeho súradnice do našej nerovnice:

Prijaté nesprávna nerovnosť, takže bod a VŠETKY body tejto polroviny nespĺňajú nerovnosť . Riešením nerovnosti bude ďalšia polrovina, obdivujeme modré blesky:

b) Vyriešme nerovnosť. Najprv nakreslíme rovnú čiaru. Je to jednoduché, máme kánonickú priamu úmernosť. Čiara je nakreslená ako pevná, pretože nerovnosť nie je striktná.

Vyberieme ľubovoľný bod roviny, ktorý nepatrí do priamky. Chcel by som znova použiť pôvod, ale, bohužiaľ, teraz to nie je vhodné. Preto budete musieť pracovať s inou priateľkou. Je výhodnejšie vziať si bod malé hodnoty súradnice, napríklad . Dosaďte jeho súradnice do našej nerovnosti:

Prijaté správna nerovnosť, takže bod a všetky body danej polroviny spĺňajú nerovnosť . Požadovaná polrovina je označená červenými šípkami. Okrem toho je súčasťou riešenia aj samotná linka.

Príklad 4

Nájdite polroviny zodpovedajúce nerovnostiam:

Toto je príklad „urob si sám“. Kompletné riešenie, ukážka záverečnej úpravy a odpoveď na konci hodiny.

Pozrime sa inverzný problém:

Príklad 5

a) Daná priamka. Definujte polrovinu, v ktorej sa bod nachádza, pričom do riešenia treba zahrnúť aj samotnú priamku.

b) Daná priamka. Definujte polrovina, v ktorej sa bod nachádza. Samotná linka nie je súčasťou riešenia.

Riešenie: tu nie je potrebný výkres a riešenie bude analytické. Nič ťažké:

a) Zostavte pomocný polynóm a vypočítajte jeho hodnotu v bode:
. Požadovaná nerovnosť teda bude so znamienkom „menej ako“. Podľa podmienky je čiara zahrnutá do riešenia, takže nerovnosť nebude striktná:

b) Zostavte polynóm a vypočítajte jeho hodnotu v bode:
. Požadovaná nerovnosť bude teda so znamienkom "väčšie ako". Podľa podmienky nie je čiara zahrnutá do riešenia, preto bude nerovnosť striktná: .

Odpoveď:

kreatívny príklad pre samoštúdium:

Príklad 6

Dané body a čiara. Medzi uvedenými bodmi nájdite tie, ktoré spolu s počiatkom ležia na tej istej strane danej priamky.

Malá nápoveda: najprv treba napísať nerovnosť, ktorá definuje polrovinu, v ktorej sa nachádza počiatok. Analytické riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Sústavy lineárnych nerovníc

Systém lineárnych nerovností je, ako viete, systém zložený z niekoľkých nerovností. Lol, no, dal som definíciu =) Ježek je ježko, nôž je nôž. Ale pravdou je - ukázalo sa to jednoducho a cenovo dostupné! Nie, vážne, nechcem uvádzať žiadne príklady všeobecný pohľad, tak poďme rovno na naliehavé problémy:

Čo znamená riešiť sústavu lineárnych nerovností?

Vyriešte sústavu lineárnych nerovníc- to znamená nájsť množinu bodov v rovine ktoré uspokojujú každému systémová nerovnosť.

Ako najjednoduchšie príklady zvážte systémy nerovností, ktoré definujú súradnicové štvrtiny pravouhlý systém súradnice („kreslenie dvojíc“ je na samom začiatku hodiny):

Systém nerovností definuje prvú súradnicovú štvrtinu (vpravo hore). Súradnice ktoréhokoľvek bodu prvého štvrťroka, napr. atď. uspokojiť každému nerovnosť tohto systému.

Podobne:
– systém nerovností definuje druhú súradnicovú štvrtinu (vľavo hore);
– systém nerovností definuje tretiu súradnicovú štvrtinu (vľavo dole);
– systém nerovností definuje štvrtú súradnicovú štvrtinu (vpravo dole).

Systém lineárnych nerovností nemusí mať riešenia, teda byť nezlučiteľné. Opäť najjednoduchší príklad: . Je celkom zrejmé, že „x“ nemôže byť súčasne viac ako tri a menej ako dva.

Riešením sústavy nerovníc môže byť priamka, napr.: . Labuť, rakovina, žiadna šťuka, ťahanie vozíka v dvoch rôzne strany. Áno, veci sú stále tam - riešením tohto systému je priamka.

Ale najčastejší prípad, kedy je riešenie systému nejaké rovinná plocha. Oblasť rozhodovania možno neobmedzené(napríklad súradnicové štvrte) príp obmedzené. Obmedzená doména riešení je tzv polygónový systém riešenia.

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych nerovníc

V praxi sa vo väčšine prípadov musíte vysporiadať s neprísnými nerovnosťami, takže zvyšok hodiny budú tancovať.

Riešenie: Skutočnosť, že existuje príliš veľa nerovností, by nemala byť strašidelná. Koľko nerovností môže byť v systéme?Áno, koľko chcete. Hlavná vec je dodržiavať racionálny algoritmus na zostavenie oblasti riešenia:

1) Najprv sa zaoberáme najjednoduchšími nerovnosťami. Nerovnosti definujú prvú súradnicovú štvrtinu vrátane hranice od súradnicové osi. Už oveľa jednoduchšie, pretože oblasť vyhľadávania sa výrazne zúžila. Na výkrese ihneď označíme šípkami zodpovedajúce polroviny (červené a modré šípky)

2) Druhá najjednoduchšia nerovnosť - nie je tu žiadne „y“. Po prvé zostavíme samotnú čiaru a po druhé, po transformácii nerovnosti na tvar je okamžite jasné, že všetky „x“ sú menšie ako 6. Zelenými šípkami označíme zodpovedajúcu polrovinu. No a oblasť vyhľadávania sa ešte zmenšila - taký obdĺžnik, ktorý nie je zhora obmedzený.

3) V poslednom kroku riešime nerovnosti „s plnou muníciou“: . Algoritmus riešenia sme podrobne rozobrali v predchádzajúcej časti. V skratke: najprv postavíme priamku, potom pomocou experimentálneho bodu nájdeme polrovinu, ktorú potrebujeme.

Postavte sa, deti, postavte sa do kruhu:


Oblasť riešenia systému je mnohouholník, na výkrese je zakrúžkovaný karmínovou čiarou a tieňovaný. Trochu som to prehnal =) V notebooku stačí buď zatieniť oblasť riešení, alebo ju odvážnejšie načrtnúť jednoduchou ceruzkou.

Ktorýkoľvek bod tohto polygónu vyhovuje KAŽDEJ nerovnosti systému (pre zaujímavosť si môžete skontrolovať).

Odpoveď: riešením sústavy je mnohouholník.

Pri vytváraní čistej kópie by bolo pekné podrobne opísať, v ktorých bodoch ste vytvorili rovné čiary (pozri lekciu Grafy a vlastnosti funkcií), a ako boli určené polroviny (pozri prvý odsek túto lekciu). V praxi však vo väčšine prípadov získate kredit a jednoducho správna kresba. Samotné výpočty môžu byť vykonané na návrhu alebo dokonca ústne.

Okrem polygónu riešenia systému v praxi, aj keď menej často, existujú otvorená plocha. Skúste sa rozlíšiť ďalší príklad sám za seba. Aj keď z dôvodu presnosti tu nie je žiadne mučenie - algoritmus konštrukcie je rovnaký, len sa ukáže, že oblasť nebude obmedzená.

Príklad 8

Vyriešte systém

Riešenie a odpoveď na konci hodiny. S najväčšou pravdepodobnosťou budete mať iné označenie písmen pre vrcholy výslednej oblasti. To nie je dôležité, hlavné je správne nájsť vrcholy a správne postaviť oblasť.

Nie je nezvyčajné, keď sa v úlohách vyžaduje nielen zostrojiť doménu riešení systému, ale aj nájsť súradnice vrcholov domény. V dvoch predchádzajúcich príkladoch boli súradnice týchto bodov zrejmé, ale v praxi je všetko ďaleko od ľadu:

Príklad 9

Vyriešte systém a nájdite súradnice vrcholov výslednej oblasti

Riešenie: na výkrese znázorníme oblasť riešení tohto systému. Nerovnosť nastavuje ľavú polrovinu s osou y a už tu nie sú žiadne voľnosti. Po výpočtoch na čisté / prievan alebo hlboké myšlienkové pochody, získame nasledujúcu oblasť riešenia:

Nechať dané rovnica s dvoma premennými F(x; y). Už ste sa naučili analyticky riešiť takéto rovnice. Súbor riešení takýchto rovníc možno znázorniť aj vo forme grafu.

Graf rovnice F(x; y) je množina bodov súradnicovej roviny xOy, ktorých súradnice vyhovujú rovnici.

Ak chcete nakresliť rovnicu s dvoma premennými, najprv vyjadrite premennú y ako premennú x v rovnici.

Určite už viete, ako zostaviť rôzne grafy rovníc s dvoma premennými: ax + b \u003d c je priamka, yx \u003d k je hyperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 je kružnica, ktorej polomer je R a stred je v bode O(a; b).

Príklad 1

Nakreslite rovnicu x 2 - 9y 2 = 0.

Riešenie.

Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor.

(x - 3y) (x+ 3y) = 0, t.j. y = x/3 alebo y = -x/3.

Odpoveď: obrázok 1.

Osobitné miesto zaujíma priraďovanie obrazcov v rovine rovnicami obsahujúcimi znamienko absolútna hodnota, ktorému sa budeme podrobne venovať. Zvážte fázy vykresľovania rovníc tvaru |y| = f(x) a |y| = |f(x)|.

Prvá rovnica je ekvivalentná systému

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) alebo y = -f(x).

To znamená, že jeho graf pozostáva z grafov dvoch funkcií: y = f(x) a y = -f(x), kde f(x) ≥ 0.

Na vykreslenie grafu druhej rovnice sa vynesú grafy dvoch funkcií: y = f(x) a y = -f(x).

Príklad 2

Nakreslite rovnicu |y| = 2 + x.

Riešenie.

Daná rovnica je ekvivalentná sústave

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 alebo y = -x - 2.

Vytvárame súbor bodov.

Odpoveď: obrázok 2.

Príklad 3

Nakreslite rovnicu |y – x| = 1.

Riešenie.

Ak y ≥ x, potom y = x + 1, ak y ≤ x, potom y = x - 1.

Odpoveď: obrázok 3.

Pri zostavovaní grafov rovníc obsahujúcich premennú pod znakom modulu je vhodné a racionálne použiť plošná metóda, založené na rozdelení súradnicovej roviny na časti, v ktorých si každý výraz podmodulu zachováva svoje znamienko.

Príklad 4

Nakreslite rovnicu x + |x| + y + |y| = 2.

Riešenie.

AT tento príklad znamienko každého výrazu podmodulu závisí od súradnicový štvrťrok.

1) V prvom súradnicovom kvadrante x ≥ 0 a y ≥ 0. Po rozšírení modulu daná rovnica bude vyzerať takto:

2x + 2y = 2 a po zjednodušení x + y = 1.

2) V druhom štvrťroku, kde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) V treťom štvrťroku x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Vo štvrtom štvrťroku pre x ≥ 0 a y< 0 получим, что x = 1.

Rozvrh daná rovnica Budeme stavať po štvrtinách.

Odpoveď: obrázok 4.

Príklad 5

Nakreslite množinu bodov, ktorých súradnice spĺňajú rovnosť |x – 1| + |y – 1| = 1.

Riešenie.

Nuly výrazov submodulu x = 1 a y = 1 rozdeľujú rovinu súradníc na štyri oblasti. Rozdeľme moduly podľa regiónov. Uveďme to vo forme tabuľky.

región	Znak výrazu submodulu	Výsledná rovnica po rozšírení modulu
ja	x ≥ 1 a y ≥ 1	x + y = 3
II	X< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	X< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 a y< 1	x – y = 1

Odpoveď: obrázok 5.

Na rovine súradníc je možné špecifikovať čísla a nerovnosti.

Graf nerovností s dvoma premennými je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých súradnice sú riešeniami tejto nerovnosti.

Zvážte algoritmus na zostavenie modelu na riešenie nerovnosti s dvoma premennými:

1. Napíšte rovnicu zodpovedajúcu nerovnosti.
2. Nakreslite rovnicu z kroku 1.
3. Vyberte si ľubovoľný bod v jednej z polrovín. Skontrolujte, či súradnice vybraného bodu vyhovujú danej nerovnosti.
4. Nakreslite graficky množinu všetkých riešení nerovnice.

Uvažujme najskôr nerovnosť ax + bx + c > 0. Rovnica ax + bx + c = 0 definuje priamku rozdeľujúcu rovinu na dve polroviny. V každom z nich funkcia f(x) = ax + bx + c zachováva znamienka. Na určenie tohto znamienka stačí zobrať ľubovoľný bod patriaci do polroviny a vypočítať hodnotu funkcie v tomto bode. Ak sa znamienko funkcie zhoduje so znamienkom nerovnice, tak táto polrovina bude riešením nerovnice.

Zvážte príklady grafické riešenie najčastejšie dvojpremenné nerovnosti.

1) ax + bx + c ≥ 0. Obrázok 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Obrázok 7.

3) x2 + y2 ≤ a, a > 0. Obrázok 8.

4) y ≥ x2. Obrázok 9

5) xy ≤ 1. Obrázok 10.

Ak máte otázky alebo si chcete precvičiť modelovanie množín všetkých riešení dvojpremenných nerovníc pomocou matematického modelovania, môžete bezplatné 25-minútové sedenie s online lektor po registrácii. Pre ďalšiu prácu s učiteľom budete mať možnosť vybrať si tarifný plán, ktorý vám vyhovuje.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako nakresliť obrazec v rovine súradníc?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.