Arithmetic at geometric progressions

Teoretikal na impormasyon

Teoretikal na impormasyon

	Arithmetic progression	Geometric na pag-unlad
Kahulugan	Arithmetic progression isang n tinatawag ang isang pagkakasunud-sunod, bawat miyembro kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro, idinagdag na may parehong numero d (d- pagkakaiba sa pag-unlad)	geometric na pag-unlad b n tinatawag ang isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong numero q (q- denominator ng pag-unlad)
Paulit-ulit na formula	Para sa anumang natural n a n + 1 = a n + d	Para sa anumang natural n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
pormula ng ika-apat na termino	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
katangian ng pag-aari
Kabuuan ng unang n termino

Mga halimbawa ng mga gawain na may mga komento

Ehersisyo 1

Sa pag-unlad ng arithmetic ( isang n) a 1 = -6, a 2

Ayon sa pormula ng ika-n na termino:

isang 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

Ayon sa kondisyon:

a 1= -6, kaya isang 22= -6 + 21d.

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:

d= isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Sagot: isang 22 = -48.

Gawain 2

Hanapin ang ikalimang termino ng geometric progression: -3; 6;....

1st way (gamit ang n-term formula)

Ayon sa formula ng n-th na miyembro ng isang geometric na pag-unlad:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Bilang b 1 = -3,

2nd way (gamit ang recursive formula)

Dahil ang denominator ng progression ay -2 (q = -2), kung gayon:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Sagot: b 5 = -48.

Gawain 3

Sa pag-unlad ng arithmetic ( a n) a 74 = 34; isang 76= 156. Hanapin ang pitumpu't limang termino ng pag-unlad na ito.

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic, ang katangian ng katangian ay may anyo .

Samakatuwid:

.

Palitan ang data sa formula:

Sagot: 95.

Gawain 4

Sa pag-unlad ng arithmetic ( a n ) a n= 3n - 4. Hanapin ang kabuuan ng unang labimpitong termino.

Upang mahanap ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, dalawang formula ang ginagamit:

.

Alin sa kasong ito mas maginhawang gamitin?

Sa pamamagitan ng kundisyon, ang formula ng ika-na miyembro ng orihinal na pag-unlad ay kilala ( isang n) isang n= 3n - 4. Maaaring matagpuan kaagad at a 1, at isang 16 nang hindi nahanap d. Samakatuwid, ginagamit namin ang unang formula.

Sagot: 368.

Gawain 5

Sa pag-unlad ng aritmetika isang n) a 1 = -6; a 2= -8. Hanapin ang dalawampu't dalawang termino ng progression.

Ayon sa pormula ng ika-n na termino:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Sa kondisyon, kung a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21d. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:

d= isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Sagot: isang 22 = -48.

Gawain 6

Ang ilang magkakasunod na termino ng isang geometric na pag-unlad ay naitala:

Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x .

Kapag nag-solve, ginagamit namin ang formula para sa nth term b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 para sa mga geometric na pag-unlad. Ang unang miyembro ng pag-unlad. Upang mahanap ang denominator ng progression q, kailangan mong kunin ang alinman sa mga tuntuning ito ng progression at hatiin sa nauna. Sa aming halimbawa, maaari mong kunin at hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin ang q \u003d 3. Sa halip na n, pinapalitan namin ang 3 sa formula, dahil kinakailangan upang mahanap ang ikatlong termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad.

Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa formula, nakukuha namin:

.

Sagot: .

Gawain 7

Mula sa mga pag-unlad ng aritmetika, ibinigay ng formula nth term, piliin ang isa kung saan natutugunan ang kundisyon isang 27 > 9:

Dahil ang tinukoy na kundisyon ay dapat matugunan para sa ika-27 na termino ng pag-unlad, pinapalitan namin ang 27 sa halip na n sa bawat isa sa apat na pag-unlad. Sa ika-4 na pag-unlad ay nakukuha natin:

.

Sagot: 4.

Gawain 8

Sa pag-unlad ng aritmetika a 1= 3, d = -1.5. Tukuyin pinakamataas na halaga n , kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay isang n > -6.

Marami ang nakarinig ng isang pag-unlad ng aritmetika, ngunit hindi lahat ay lubos na nakakaalam kung ano ito. Sa artikulong ito, magbibigay kami ng naaangkop na kahulugan, at isaalang-alang din ang tanong kung paano hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, at magbigay ng ilang mga halimbawa.

Depinisyon ng matematika

Kaya kung nag-uusap kami tungkol sa isang arithmetic o algebraic progression (ang mga konseptong ito ay tumutukoy sa parehong bagay), nangangahulugan ito na mayroong ilang serye ng numero kasiya-siya susunod na batas: bawat dalawang katabing numero sa serye ay naiiba sa parehong halaga. Sa matematika, ito ay nakasulat tulad nito:

Dito ang n ay nangangahulugang ang bilang ng elemento a n sa pagkakasunud-sunod, at ang bilang d ay ang pagkakaiba ng pag-unlad (ang pangalan nito ay sumusunod mula sa ipinakitang formula).

Ano ang ibig sabihin ng pag-alam sa pagkakaiba d? Tungkol sa kung gaano kalayo ang pagitan ng mga katabing numero. Gayunpaman, ang kaalaman sa d ay kinakailangan, ngunit hindi sapat na kondisyon upang matukoy (ibalik) ang buong pag-unlad. Kailangan mong malaman ang isa pang numero, na maaaring maging ganap na anumang elemento ng serye na isinasaalang-alang, halimbawa, isang 4, a10, ngunit, bilang panuntunan, ang unang numero ay ginagamit, iyon ay, isang 1.

Mga formula para sa pagtukoy ng mga elemento ng pag-unlad

Sa pangkalahatan, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang magpatuloy sa desisyon mga tiyak na gawain. Gayunpaman, bago ibigay ang isang pag-unlad ng aritmetika, at kakailanganing hanapin ang pagkakaiba nito, nagpapakita kami ng isang pares kapaki-pakinabang na mga formula, sa gayon ay pinapadali ang kasunod na proseso ng paglutas ng mga problema.

Madaling ipakita na ang anumang elemento ng sequence na may numero n ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Sa katunayan, masusuri ng lahat ang formula na ito gamit ang isang simpleng enumeration: kung papalitan mo ang n = 1, pagkatapos ay makukuha mo ang unang elemento, kung papalitan mo ang n = 2, kung gayon ang expression ay nagbibigay ng kabuuan ng unang numero at ang pagkakaiba, at iba pa .

Ang mga kondisyon ng maraming mga problema ay pinagsama-sama sa isang paraan na para sa isang kilalang pares ng mga numero, ang mga numero na kung saan ay ibinigay din sa pagkakasunud-sunod, ito ay kinakailangan upang ibalik ang buong serye ng numero (hanapin ang pagkakaiba at ang unang elemento). Ngayon ay malulutas natin ang problemang ito sa pangkalahatang paraan.

Kaya, sabihin nating binibigyan tayo ng dalawang elemento na may mga numero n at m. Gamit ang formula na nakuha sa itaas, maaari tayong bumuo ng isang sistema ng dalawang equation:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Para sa paghahanap hindi kilalang dami gamitin natin ang kilala simpleng trick mga solusyon ng naturang sistema: binabawasan namin nang magkapares ang kaliwa at kanang bahagi, habang ang pagkakapantay-pantay ay nananatiling wasto. Meron kami:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Kaya, inalis namin ang isang hindi alam (a 1). Ngayon ay maaari nating isulat ang panghuling expression para sa pagtukoy ng d:

d = (a n - a m) / (n - m), kung saan n > m

Sobrang natanggap namin isang simpleng formula: upang kalkulahin ang pagkakaiba d alinsunod sa mga kondisyon ng problema, kinakailangan lamang na kunin ang ratio ng mga pagkakaiba ng mga elemento mismo at ang kanilang mga serial number. Dapat tumutok sa isa mahalagang punto pansin: ang mga pagkakaiba ay kinuha sa pagitan ng "senior" at "junior" na mga miyembro, iyon ay, n > m ("senior" - ibig sabihin ay nakatayo pa mula sa simula ng sequence, nito ganap na halaga maaaring mas malaki o mas mababa kaysa sa elementong "mas bata").

Ang expression para sa pagkakaiba d ng progression ay dapat ipalit sa alinman sa mga equation sa simula ng solusyon ng problema upang makuha ang halaga ng unang termino.

Sa ating edad ng pag-unlad teknolohiya ng kompyuter maraming mga mag-aaral ang nagsisikap na makahanap ng mga solusyon para sa kanilang mga gawain sa Internet, kaya ang mga ganitong uri ay madalas na lumitaw: hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika online. Sa ganoong kahilingan, ang search engine ay magpapakita ng isang bilang ng mga web page, sa pamamagitan ng pagpunta sa kung saan, kakailanganin mong ipasok ang data na kilala mula sa kundisyon (maaaring ito ay alinman sa dalawang miyembro ng pag-unlad o ang kabuuan ng ilan sa mga ito) at agad na makakuha ng sagot. Gayunpaman, ang gayong diskarte sa paglutas ng problema ay hindi produktibo sa mga tuntunin ng pag-unlad ng mag-aaral at pag-unawa sa kakanyahan ng gawain na itinalaga sa kanya.

Solusyon nang hindi gumagamit ng mga formula

Lutasin natin ang unang problema, habang hindi tayo gagamit ng alinman sa mga formula sa itaas. Hayaang ibigay ang mga elemento ng serye: a6 = 3, a9 = 18. Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.

Ang mga kilalang elemento ay malapit sa isa't isa sa isang hilera. Ilang beses dapat idagdag ang pagkakaiba d sa pinakamaliit para makuha ang pinakamalaki? Tatlong beses (sa unang pagkakataon na magdagdag ng d, nakukuha namin ang ika-7 elemento, ang pangalawang pagkakataon - ang ikawalo, sa wakas, ang pangatlong beses - ang ikasiyam). Anong numero ang dapat idagdag sa tatlong tatlong beses upang makakuha ng 18? Ito ang number five. Talaga:

Kaya, ang hindi kilalang pagkakaiba ay d = 5.

Siyempre, ang solusyon ay maaaring gawin gamit ang naaangkop na formula, ngunit hindi ito sinasadya. Detalyadong paliwanag ang paglutas ng problema ay dapat na malinaw at isang pangunahing halimbawa, Ano pag-unlad ng aritmetika.

Isang gawain na katulad ng nauna

Ngayon magpasya tayo katulad na gawain, ngunit baguhin ang data ng input. Kaya, dapat mong hanapin kung a3 = 2, a9 = 19.

Siyempre, maaari kang gumamit muli sa paraan ng paglutas ng "sa noo". Ngunit dahil ang mga elemento ng serye ay ibinigay, na medyo malayo sa pagitan, ang gayong pamamaraan ay nagiging hindi masyadong maginhawa. Ngunit ang paggamit ng resultang formula ay mabilis na magdadala sa atin sa sagot:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

Dito ay na-round namin ang huling numero. Kung magkano ang pag-ikot na ito na humantong sa isang error ay maaaring hatulan sa pamamagitan ng pagsuri sa resulta:

isang 9 \u003d isang 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

Ang resultang ito ay naiiba lamang ng 0.1% mula sa halagang ibinigay sa kundisyon. Samakatuwid, ang ginamit na rounding sa hundredths ay maaaring isaalang-alang matagumpay na pagpili.

Mga gawain para sa paglalapat ng pormula para sa isang miyembro

Isipin mo klasikong halimbawa mga gawain upang matukoy ang hindi alam d: hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic kung a1 = 12, a5 = 40.

Kapag binigay ang dalawang hindi kilalang numero algebraic sequence, at isa sa mga ito ay ang elementong a 1 , kung gayon hindi mo na kailangang mag-isip nang mahaba, ngunit dapat mong agad na ilapat ang formula para sa isang n miyembro. Sa kasong ito mayroon kaming:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Nakakuha kami eksaktong numero kapag naghahati, kaya walang saysay na suriin ang katumpakan ng kinakalkula na resulta, tulad ng ginawa sa nakaraang talata.

Lutasin natin ang isa pang katulad na problema: dapat nating hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic kung a1 = 16, a8 = 37.

Gumagamit kami ng katulad na diskarte sa nauna at nakakakuha kami ng:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ano pa ang dapat mong malaman tungkol sa pag-unlad ng aritmetika

Bilang karagdagan sa gawain ng paghahanap hindi kilalang pagkakaiba o mga indibidwal na elemento, madalas na kinakailangan upang malutas ang mga problema ng kabuuan ng mga unang termino ng isang sequence. Ang pagsasaalang-alang sa mga problemang ito ay lampas sa saklaw ng paksa ng artikulo; gayunpaman, para sa pagkakumpleto ng impormasyon, ipinakita namin pangkalahatang pormula para sa kabuuan ng n numero ng serye:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Kung bawat natural na numero n ilagay sa linya totoong numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, numerical sequence ay isang function ng natural na argumento.

Numero a 1 tinawag ang unang miyembro ng sequence , numero a 2 — ang pangalawang miyembro ng sequence , numero a 3 — pangatlo atbp. Numero isang n tinawag ika-na miyembro mga pagkakasunod-sunod , at ang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkalapit na miyembro isang n at isang n +1 pagkakasunud-sunod ng miyembro isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), a isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, dapat kang tumukoy ng isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay sa nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyong matukoy ang isang miyembro ng sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

pagkakasunod-sunod ng positibo kakaibang numero maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 at -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng sequence, simula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

kung a 1 = 1 , a isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung ang a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ang unang pitong miyembro ng numerical sequence ay itinakda tulad ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas at walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Prime number sequence:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag humihina , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ay isang pataas na pagkakasunod-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ay isang pababang pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression tinatawag ang isang sequence, ang bawat miyembro kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa alinman natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod at naunang mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression.

Upang magtakda ng pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang tukuyin ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

isang n=	isang n-1 + isang n+1
	2

bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang pag-unlad ng arithmetic kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

isang n+1 + isang n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = isang n,
2		2

◄

Tandaan na n -th miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

isang n=	a n-k +a n+k
	2

sinumang miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga miyembro ng arithmetic progression na ito ay pantay na may pagitan dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, bilang

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n ang mga miyembro ng isang arithmetic progression ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga extreme terms sa bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung ito ay kinakailangan upang sum ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n atS n naka-link sa pamamagitan ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung tatlo ng mga dami na ito ay ibinigay, pagkatapos ay ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonikong sequence. kung saan:

• kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
• kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
• kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

geometric na pag-unlad tinatawag ang isang sequence, ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na termino ng geometric na pag-unlad na ito sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Upang magtakda ng isang geometric na pag-unlad, sapat na upang tukuyin ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n -th term ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng isang geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang geometric na pag-unlad kung at kung ang parisukat lamang ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ang dalawa pa, ibig sabihin, ang isa sa mga numero ay ang geometric na ibig sabihin ng dalawa pa.

Halimbawa,

patunayan natin na ang sequence na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa kinakailangang paninindigan. ◄

Tandaan na n ika ka termino ng isang geometric progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang anumang nakaraang termino b k , kung saan sapat na ang paggamit ng formula

b n = b k · q n - k.

Halimbawa,

para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng sinumang miyembro ng isang geometric na progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga miyembro ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , bilang

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng geometric progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= n.b. 1

Tandaan na kung kailangan nating isama ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Halimbawa,

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung bibigyan geometric na pag-unlad, pagkatapos ay ang dami b 1 , b n, q, n at S n naka-link sa pamamagitan ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at q> 1;

b 1 < 0 at 0 < q< 1;

• Ang isang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at 0 < q< 1;

b 1 < 0 at q> 1.

Kung ang q< 0 , pagkatapos ay ang geometric progression ay sign-alternating: ang odd-numbered terms nito ay may parehong sign sa unang term nito, at even-numbered terms ay may kabaligtaran na sign. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin ng formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay tinatawag na infinite geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa sa 1 , ibig sabihin

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Ito ay akma sa kaso

1 < q< 0 .

Sa ganoong denominator, ang sequence ay sign-alternating. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang numero kung saan ang kabuuan ng una n mga tuntunin ng pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang numerong ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Isaalang-alang natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , pagkatapos

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 at

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ay isang geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ay isang geometric progression na may denominator q , pagkatapos

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . ay isang geometric progression na may denominator 6 at

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :)

Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, kung gayon ang ebidensya ng panloob na takip ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa rin alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, tulad nito: SOOOOO!) gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan ng mahabang pagpapakilala at agad na bumaba sa negosyo.

Upang magsimula, isang pares ng mga halimbawa. Isaalang-alang ang ilang hanay ng mga numero:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.

Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang set ay magkakasunod na numero lamang, bawat isa ay higit pa kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan nakatayo na mga numero ay katumbas na ng lima, ngunit ang pagkakaibang ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, may mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, habang $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ibig sabihin. kung saan ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $\sqrt(2)$ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).

Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag lamang na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:

Kahulugan. Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ang mismong progression, $d$ ang difference nito.

At mag-asawa lang mahahalagang tala. Una, ang pag-unlad ay isinasaalang-alang lamang maayos pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Hindi ka maaaring muling ayusin o magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng arithmetic. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito na walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat, kumbaga, ay nagpapahiwatig na marami pang mga numero ang nagpapatuloy. Walang hanggan marami, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay dumarami at bumababa. Nakita na natin ang mga dumarami - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). Narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

SIGE SIGE: huling halimbawa maaaring mukhang sobrang kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, naiintindihan mo. Samakatuwid, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:

1. pagtaas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
2. bumababa, kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, may mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

Isang tanong na lang ang natitira: paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat dito ay nakasalalay lamang sa tanda ng numerong $d$, i.e. mga pagkakaiba sa pag-unlad:

1. Kung $d \gt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay tumataas;
2. Kung $d \lt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
3. Sa wakas, mayroong kaso $d=0$, kung saan ang buong pag-unlad ay bumaba sa nakatigil na pagkakasunud-sunod parehong mga numero: (1; 1; 1; 1; ...) atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $d$ para sa tatlong bumababa na pag-unlad sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas mula sa numero sa kanan, ang numero sa kaliwa. Magiging ganito ang hitsura:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong mga kaso ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na higit pa o mas mababa na natin ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung anong mga katangian ang mayroon sila.

Mga miyembro ng progression at ang paulit-ulit na formula

Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right\)\]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng progression. Ang mga ito ay ipinahiwatig sa ganitong paraan sa tulong ng isang numero: ang unang miyembro, ang pangalawang miyembro, at iba pa.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga kalapit na miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng pormula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $n$th term ng progression, kailangan mong malaman ang $n-1$th term at ang pagkakaiba $d$. Ang ganitong pormula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan, ang lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas nakakalito na formula na binabawasan ang anumang pagkalkula sa unang termino at ang pagkakaiba:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kaliwa(n-1 \kanan)d\]

Marahil ay nakita mo na ang formula na ito dati. Gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga reference na libro at reshebnik. At sa anumang matinong aklat-aralin sa matematika, isa ito sa una.

Gayunpaman, iminumungkahi kong magsanay ka ng kaunti.

Gawain bilang 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $\left(((a)_(n)) \right)$ kung $((a)_(1))=8,d=-5$.

Desisyon. Kaya, alam natin ang unang termino na $((a)_(1))=8$ at ang pagkakaiba sa pag-unlad $d=-5$. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $n=1$, $n=2$ at $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kaliwa(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kaliwa(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kaliwa(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Sagot: (8; 3; -2)

Iyon lang! Tandaan na ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, hindi maaaring palitan ang $n=1$ - alam na natin ang unang termino. Gayunpaman, sa pamamagitan ng pagpapalit sa yunit, tiniyak namin na kahit sa unang termino ay gumagana ang aming formula. Sa ibang mga kaso, ang lahat ay bumaba sa banal na aritmetika.

Gawain bilang 2. Isulat ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabimpitong termino nito ay −50.

Desisyon. Isinulat namin ang kondisyon ng problema sa karaniwang mga termino:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \tama.\]

Inilagay ko ang sign ng system dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matugunan nang sabay-sabay. At ngayon tandaan natin na kung ibawas natin ang unang equation mula sa pangalawang equation (may karapatan tayong gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Kaya lang, nakita namin ang pagkakaiba ng pag-unlad! Ito ay nananatiling palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

handa na! Nalutas ang problema.

Sagot: (-34; -35; -36)

pansinin mo kakaibang ari-arian progression na natuklasan namin: kung kukunin namin ang $n$th at $m$th na mga termino at ibawas ang mga ito sa isa't isa, pagkatapos ay makukuha namin ang pagkakaiba ng progression na i-multiply sa bilang na $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kaliwa(n-m \kanan)\]

Simple ngunit napaka kapaki-pakinabang na ari-arian, na tiyak na kailangan mong malaman - sa tulong nito maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming problema sa mga pag-unlad. Dito maliwanag sa iyon halimbawa:

Gawain bilang 3. Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.

Desisyon. Dahil $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, at kailangan naming hanapin ang $((a)_(15))$, tandaan namin ang sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ at ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ngunit sa pamamagitan ng kundisyon $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, kaya $5d=6$, kung saan mayroon tayong:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Sagot: 20.4

Iyon lang! Hindi namin kailangan na bumuo ng anumang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - ang lahat ay napagpasyahan sa loob lamang ng ilang linya.

Ngayon isaalang-alang natin ang isa pang uri ng problema - ang paghahanap ng mga negatibo at positibong miyembro ng pag-unlad. Ito ay hindi lihim na kung ang pag-unlad ay tumaas, habang ang unang termino nito ay negatibo, sa kalaunan ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At kabaligtaran: ang mga tuntunin ng isang bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.

Kasabay nito, malayo sa laging posible na mahanap ang sandaling ito "sa noo", sunud-sunod na pag-uuri sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay idinisenyo sa paraang nang hindi nalalaman ang mga formula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet - matutulog lang kami hanggang sa matagpuan namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Gawain bilang 4. Ilang mga negatibong termino sa isang pag-unlad ng arithmetic -38.5; -35.8; …?

Desisyon. Kaya, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kung saan agad naming makikita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya nga sa isang punto ay madadapa tayo sa mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: gaano katagal (i.e., hanggang sa kung anong natural na bilang na $n$) ang negatibiti ng mga termino ay napanatili:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ang huling linya ay nangangailangan ng paglilinaw. Kaya alam natin na $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sa kabilang banda, ang mga integer value lang ng numero ang babagay sa amin (bukod dito: $n\in \mathbb(N)$), kaya ang pinakamalaking pinapayagang numero ay tiyak na $n=15$, at sa anumang kaso 16.

Gawain bilang 5. Sa arithmetic progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.

Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $((a)_(1))$. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $((a)_(5))$ at $((a)_(6))$, kaya madali nating mahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

Bilang karagdagan, subukan nating ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at ang pagkakaiba gamit ang karaniwang formula:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ at ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang problema. Nalaman namin kung saang punto sa aming sequence ang mga positibong numero ay lilitaw:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

pinakamababa integer na solusyon ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay ang bilang na 56.

Mangyaring tandaan: sa huling assignment ang lahat ay bumaba sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya hindi angkop sa amin ang opsyon na $n=55$.

Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, alamin natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na katangian ng mga pag-unlad ng aritmetika, na magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell sa hinaharap. :)

Arithmetic mean at equal indents

Isaalang-alang ang ilang magkakasunod na termino ng tumataas na pag-unlad ng arithmetic $\left(((a)_(n)) \right)$. Subukan nating markahan ang mga ito sa isang linya ng numero:

Mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika sa linya ng numero

Partikular kong binanggit ang mga arbitraryong miyembro $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, at hindi anumang $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atbp. Dahil ang panuntunan, na sasabihin ko ngayon sa iyo, ay gumagana nang pareho para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang recursive formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Well, ano? Ngunit ang katotohanan na ang mga terminong $((a)_(n-1))$ at $((a)_(n+1))$ ay nasa parehong distansya mula sa $((a)_(n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $d$. Ang parehong ay masasabi tungkol sa mga terminong $((a)_(n-2))$ at $((a)_(n+2))$ - inalis din ang mga ito sa $((a)_(n) )$ sa parehong distansya na katumbas ng $2d$. Maaari kang magpatuloy nang walang katiyakan, ngunit ang larawan ay naglalarawan ng kahulugan

Ang mga miyembro ng progreso ay nakahiga sa parehong distansya mula sa gitna

Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na mahahanap mo ang $((a)_(n))$ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nahinuha namin ang isang kahanga-hangang pahayag: ang bawat miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro! Bukod dito, maaari tayong lumihis mula sa ating $((a)_(n))$ sa kaliwa at pakanan hindi sa pamamagitan ng isang hakbang, ngunit sa pamamagitan ng $k$ na mga hakbang — at magiging tama pa rin ang formula:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $((a)_(150))$ kung alam natin ang $((a)_(100))$ at $((a)_(200))$, dahil $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga gawain ang espesyal na "pinatalas" para sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:

Gawain bilang 6. Hanapin ang lahat ng value ng $x$ na ang mga numerong $-6((x)^(2))$, $x+1$ at $14+4((x)^(2))$ ay magkakasunod na miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa tinukoy na pagkakasunud-sunod).

Desisyon. Sa abot ng ipinahiwatig na mga numero ay mga miyembro ng progression, natutugunan nila ang arithmetic mean condition: ang gitnang elemento na $x+1$ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga kalapit na elemento:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ at ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ito ay naging klasiko quadratic equation. Ang mga ugat nito: $x=2$ at $x=-3$ ang mga sagot.

Sagot: -3; 2.

Gawain bilang 7. Hanapin ang mga halaga ng $$ upang ang mga numerong $-1;4-3;(()^(2))+1$ ay bumubuo ng isang arithmetic progression (sa ganoong pagkakasunud-sunod).

Desisyon. Ipahayag natin muli gitnang miyembro sa pamamagitan ng arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ at ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Isa pang quadratic equation. At muli dalawang ugat: $x=6$ at $x=1$.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema nakakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka ganap na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang trick na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?

Sabihin nating sa suliranin 6 ay nakakuha tayo ng mga sagot -3 at 2. Paano natin masusuri kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin ang mga ito sa orihinal na kundisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon tayong tatlong numero ($-6(()^(2))$, $+1$ at $14+4(()^(2))$), na dapat bumuo ng arithmetic progression. Palitan ang $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Nakuha namin ang mga numero -54; −2; Ang 50 na naiiba ng 52 ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Ang mga nais ay maaaring suriin ang pangalawang gawain sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.

Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling gawain, natitisod kami sa isa pa kawili-wiling katotohanan, na kailangan ding tandaan:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang average ng una at huli, ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa amin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo makisali sa ganitong "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan na.

Pagpapangkat at kabuuan ng mga elemento

Balik tayo sa numerical axis. Napansin namin doon ang ilang miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. nagkakahalaga ng maraming iba pang mga miyembro:

6 na elemento na minarkahan sa linya ng numero

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $((a)_(n))$ at $d$, at ang "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $((a)_(k))$ at $ d$. Ito ay napaka-simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Ngayon tandaan na ang mga sumusunod na kabuuan ay pantay-pantay:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang simula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang na $S$, at pagkatapos ay magsisimula tayong humakbang mula sa mga elementong ito patungo sa magkabilang panig(sa isa't isa o vice versa upang alisin), pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$S$. Ito ay maaaring pinakamahusay na kinakatawan sa graphic na paraan:

Ang parehong mga indent ay nagbibigay ng pantay na mga kabuuan

Pag-unawa itong katotohanan ay magbibigay-daan sa amin upang malutas ang mga problema sa panimula nang higit pa mataas na lebel pagiging kumplikado kaysa sa mga tinalakay sa itaas. Halimbawa, ang mga ito:

Gawain bilang 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Desisyon. Isulat natin ang lahat ng ating nalalaman:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Kaya, hindi natin alam ang pagkakaiba ng progression $d$. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay bubuuin sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto na $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Para sa mga nasa tangke: Inilabas ko karaniwang salik 11 mula sa pangalawang bracket. Kaya, ang gustong produkto ay isang quadratic function na may paggalang sa variable na $d$. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung bubuksan natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent sa pinakamataas na termino ay 11 - ito ay positibong numero, kaya talagang nakikitungo tayo sa isang parabola na may mga sanga pataas:

iskedyul quadratic function- parabola

Tandaan: pinakamababang halaga ang parabola na ito ay tumatagal ng $((d)_(0))$ sa tuktok nito na may abscissa. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito ayon sa karaniwang pamamaraan (mayroong formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ngunit mas makatwiran ang tandaan na ang gustong vertex ay nasa axis symmetry ng parabola, kaya ang puntong $((d)_(0))$ ay katumbas ng layo mula sa mga ugat ng equation $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng ibig sabihin mga numero ng aritmetika-66 at -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ano ang nagbibigay sa amin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, tumatagal ang kinakailangang produkto pinakamaliit na halaga(Sa pamamagitan ng paraan, hindi namin kinakalkula ang $((y)_(\min ))$ - hindi kami kinakailangang gawin ito). Kasabay nito, ang bilang na ito ay ang pagkakaiba ng paunang pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)

Sagot: -36

Gawain bilang 9. Magpasok ng tatlong numero sa pagitan ng mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac(1)(6)$ upang kasama ang mga ibinigay na numero ay bumuo sila ng arithmetic progression.

Desisyon. Sa katunayan, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, kasama ang una at huling numero kilala na. Tukuyin ang mga nawawalang numero ng mga variable na $x$, $y$ at $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Tandaan na ang numerong $y$ ay ang "gitna" ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa mga numerong $x$ at $z$, at mula sa mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac (1)( 6)$. At kung mula sa mga numerong $x$ at $z$ tayo ay nasa sa sandaling ito hindi namin makuha ang $y$, kung gayon ang sitwasyon ay iba sa mga dulo ng pag-unlad. Tandaan ang ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $y$, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $x$ ay nasa pagitan ng $-\frac(1)(2)$ at $y=-\frac(1)(3)$ na kakahanap lang. Kaya

Sa parehong pagtatalo, nakita namin ang natitirang numero:

handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Gawain bilang 10. Sa pagitan ng mga numero 2 at 42, magpasok ng ilang mga numero na, kasama ang mga ibinigay na numero, ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam na ang kabuuan ng una, pangalawa, at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Desisyon. Higit pa mahirap na pagsubok, na, gayunpaman, ay nalutas sa parehong paraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang ilalagay. Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na pagkatapos ng pagpasok ay magkakaroon ng eksaktong $n$ na mga numero, at ang una sa mga ito ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin bilang:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $((a)_(2))$ at $((a)_(n-1))$ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 na nakatayo sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa , ibig sabihin. sa gitna ng pagkakasunod-sunod. At ito ay nangangahulugan na

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ngunit ang expression sa itaas ay maaaring muling isulat tulad nito:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ at ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Alam ang $((a)_(3))$ at $((a)_(1))$, madali nating mahahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kaliwa(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]

Ito ay nananatiling lamang upang mahanap ang natitirang mga miyembro:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Kaya, nasa ika-9 na hakbang na tayo ay darating sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang numero 42. Sa kabuuan, 7 numero lamang ang kailangang ipasok: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

I-text ang mga gawain na may mga progression

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang ilang mga simpleng gawain. Well, bilang simple: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa kung ano ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring mukhang isang kilos. Gayunpaman, ito ay tiyak na mga gawain na makikita sa OGE at ang PAGGAMIT sa matematika, kaya inirerekumenda ko na pamilyar ka sa kanila.

Gawain bilang 11. Ang koponan ay gumawa ng 62 bahagi noong Enero, at sa bawat isa susunod na buwan gumawa ng 14 na bahagi nang higit pa kaysa sa nauna. Ilang bahagi ang ginawa ng brigada noong Nobyembre?

Desisyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi, na pininturahan ng buwan, ay magiging isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. At:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Samakatuwid, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.

Gawain bilang 12. Ang bookbinding workshop ay nagbubuklod ng 216 na aklat noong Enero, at bawat buwan ay nagbubuklod ito ng 4 pang aklat kaysa sa nakaraang buwan. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?

Desisyon. Lahat pare-pareho:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya hinahanap namin ang $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.

Well, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: "Syempre batang mandirigma» sa pamamagitan ng mga pag-usad ng arithmetic ay matagumpay mong naipasa. Maaari kang ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang formula ng progression sum, pati na rin ang mahalaga at napaka kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan Galing sa kanya.

Itinuring ng isang tao ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napaka kumplikadong termino mula sa mga seksyon mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng taxi counter (kung saan nananatili pa rin ang mga ito). At makuha ang diwa (at wala nang mas mahalaga sa matematika kaysa sa "pagkuha ng diwa") pagkakasunud-sunod ng aritmetika Ito ay hindi na mahirap kapag naiintindihan mo ang ilang mga pangunahing konsepto.

Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika

Nakaugalian na tawagan ang isang numerical sequence bilang isang serye ng mga numero, na ang bawat isa ay may sariling numero.

at 1 ang unang miyembro ng sequence;

at ang 2 ay ang pangalawang miyembro ng sequence;

at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;

at ang n ay ang ika-n miyembro ng sequence;

Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng ika-na miyembro ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang dependence na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa ibang salita: numerical value Ang nth number ay ilang function ng n.

a - halaga ng isang miyembro ng numerical sequence;

n - kanya serial number;

Ang f(n) ay isang function kung saan ang ordinal sa numeric sequence n ay ang argument.

Kahulugan

Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n miyembro ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:

a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;

a n+1 - ang formula ng susunod na numero;

d - pagkakaiba (isang tiyak na numero).

Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna, at ang gayong pag-unlad ng arithmetic ay tataas.

Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "tumataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.

Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Ang halaga ng tinukoy na miyembro

Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng ilang di-makatwirang termino a n ng isang pag-unlad ng aritmetika. Magagawa mo ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, mula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang paraang ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga ng limang libo o walong milyong termino. Ang tradisyonal na pagkalkula ay tatagal ng mahabang panahon. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng arithmetic ay maaaring siyasatin gamit ang ilang partikular na mga formula. Mayroon ding formula para sa nth term: ang halaga ng sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang miyembro ng progression na may pagkakaiba ng progression, na i-multiply sa bilang ng gustong miyembro, minus one .

Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na miyembro

Ating lutasin ang sumusunod na problema sa paghahanap ng halaga ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression.

Kundisyon: mayroong pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:

Ang unang miyembro ng sequence ay 3;

Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.

Gawain: kailangang hanapin ang halaga ng 214 termino

Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na miyembro, ginagamit namin ang formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Sagot: Ang ika-214 na miyembro ng sequence ay katumbas ng 258.6.

Ang mga pakinabang ng paraan ng pagkalkula na ito ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.

Kabuuan ng ibinigay na bilang ng mga termino

Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Hindi rin nito kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay buuin ang mga ito. Ang pamamaraang ito ay naaangkop kung ang bilang ng mga termino na ang kabuuan ay dapat matagpuan ay maliit. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n miyembro, na i-multiply sa member number n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng n-th na miyembro ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makukuha natin:

Halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang unang termino ng sequence ay zero;

Ang pagkakaiba ay 0.5.

Sa problema, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.

Desisyon. Gamitin natin ang pormula para sa pagtukoy ng kabuuan ng pag-unlad:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Kaya ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito ay:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression

Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunud-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang gayong halimbawa.

Ang pagpasok sa isang taxi (na may kasamang 3 km) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles / km. Layo ng paglalakbay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.

1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.

30 - 3 = 27 km.

2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng serye ng numero ng arithmetic.

Ang numero ng miyembro ay ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (bawas sa unang tatlo).

Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.

Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.

Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 p.

ang bilang ng interes sa amin ay ang halaga ng (27 + 1)th miyembro ng arithmetic progression - ang pagbabasa ng metro sa dulo ng ika-27 kilometro ay 27.999 ... = 28 km.

isang 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang arbitraryong mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang mga numerical na sequence. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa luminary. Bilang karagdagan, ang iba't ibang mga numerical na serye ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na sangay ng matematika.

Ang isa pang uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay geometric

Ang isang geometric na pag-unlad ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang malaki, kumpara sa isang arithmetic, rate ng pagbabago. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, medisina, madalas, upang ipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, sinasabi nila na ang proseso ay bubuo ng exponentially.

Ang N-th na miyembro ng serye ng geometric na numero ay naiiba mula sa nauna dahil ito ay pinarami ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang miyembro ay 1, ang denominator ay 2, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng geometric progression;

b n+1 - ang formula ng susunod na miyembro ng geometric progression;

q ay ang denominator ng isang geometric progression (constant number).

Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang geometriko ay gumuhit ng bahagyang naiibang larawan:

Tulad ng sa kaso ng arithmetic, ang isang geometric na pag-unlad ay may formula para sa halaga ng isang di-makatwirang miyembro. Anumang nth term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:

Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin ang ika-5 termino ng progression

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga miyembro ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n miyembro ng isang geometric na progression ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-n miyembro ng progression at ang denominator nito at ang unang miyembro ng progression, na hinati sa denominator na binawasan ng isa:

Kung papalitan ang b n gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n miyembro ng itinuturing na serye ng numero ay kukuha ng anyo:

Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakdang katumbas ng 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280