Luvun a kokonaislukueksponenteista siirtymä arvoon järkevä indikaattori. Alla määritellään aste rationaalisella eksponentilla, ja teemme sen siten, että kaikki kokonaislukueksponentin asteen ominaisuudet säilyvät. Tämä on välttämätöntä, koska kokonaisluvut ovat osa rationaalilukuja.

Tiedetään, että rationaalilukujen joukko koostuu kokonaisluvuista ja murtoluvuista, ja jokaisesta murtoluku voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena murtoluku. Määritimme asteen kokonaislukueksponentilla edellisessä kappaleessa, joten voidaksemme täydentää asteen määritelmän rationaalisella eksponentilla, meidän on annettava luvun asteen merkitys a Kanssa murto-osoitin m/n, missä m on kokonaisluku ja n- luonnollinen. Tehdään se.

Tarkastellaan astetta muodon murto-eksponentilla. Jotta tutkinnon ominaisuus tutkinnossa pysyisi voimassa, tasa-arvon on oltava voimassa . Jos otamme huomioon tuloksena olevan yhtäläisyyden ja kuinka määritimme n:nnen asteen juuren, on loogista hyväksyä, jos tiedoilla m, n ja a ilmaisussa on järkeä.

On helppo tarkistaa, että kaikki kokonaislukueksponentilla varustetun asteen ominaisuudet ovat voimassa as:lle (tämä tehdään rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia käsittelevässä osiossa).

Yllä oleva päättely antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavaa johtopäätös: jos annetaan m, n ja a lausekkeessa on järkeä, sitten luvun teho a murto-osan kanssa m/n kutsutaan juureksi n aste a siinä määrin m.

Tämä väite vie meidät lähelle murto-eksponentin asteen määritelmää. Jää vain kuvailla minkä alla m, n ja a ilmaisussa on järkeä. Riippuen asetetuista rajoituksista m, n ja a on kaksi päälähestymistapaa.

1. Helpoin tapa on asettaa rajoitus a, hyväksyy a≥0 positiiviselle m ja a>0 negatiiviselle m(koska klo m≤0 tutkinnon 0 m ei määritetty). Sitten saamme seuraavan asteen määritelmän murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Positiivisen luvun aste a murto-osan kanssa m/n , missä m on kokonaisuus ja n – luonnollinen luku, kutsutaan juuriksi n- joukosta a siinä määrin m, tuo on, .

Myös määritelty murto-aste nolla, ainoana varoituksena, että eksponentin on oltava positiivinen.

Määritelmä.

Nollan potenssi positiivisen eksponentin murto-osalla m/n , missä m on positiivinen kokonaisluku, ja n on luonnollinen luku, joka määritellään .
Kun astetta ei ole määritelty, eli nollan aste murtoluvulla negatiivinen indikaattori ei ole järkeä.

On huomattava, että tällaisella asteen määritelmällä murto-eksponentilla on yksi vivahde: ​​joillekin negatiivisille a ja jotakin m ja n ilmaus on järkevä, ja hylkäsimme nämä tapaukset ottamalla käyttöön ehdon a≥0. Esimerkiksi kirjoittaminen on järkevää tai , ja yllä oleva määritelmä pakottaa meidät sanomaan, että asteet muodon murtoluvulla ovat merkityksettömiä, koska kanta ei saa olla negatiivinen.

2. Toinen lähestymistapa asteen määrittämiseen murtoluvulla m/n koostuu juuren parillisten ja parittomien eksponentien erillisestä huomioimisesta. Tämä lähestymistapa vaatii lisäehto: aste a, jonka indikaattori on pelkistetty tavallinen murtoluku, pidetään luvun potenssina a, jonka indikaattori on vastaava redusoitumaton murto-osa(Tämän ehdon tärkeys selitetään alla). Eli jos m/n on pelkistymätön murtoluku, sitten mille tahansa luonnolliselle luvulle k tutkinto korvataan alustavasti .

Tasaiseksi n ja positiivinen m ilmaisu on järkevä kaikille ei-negatiivisille a(juuri tasainen tutkinto negatiivisesta luvusta ei ole järkeä), negatiivisella m määrä a on silti oltava eri kuin nolla (muuten se on jako nollalla). Ja oudoksi n ja positiivinen m määrä a voi olla mikä tahansa (pariton juuri on määritelty mille tahansa oikea numero) ja negatiivinen m määrä a on oltava eri kuin nolla (jotta ei jako nollalla).

Yllä oleva päättely johtaa meidät tällaiseen asteen määritelmään murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Päästää m/n- redusoitumaton murto-osa m on kokonaisuus ja n- luonnollinen luku. Minkä tahansa pienennettävän tavallisen murtoluvun aste korvataan arvolla . aste a redusoitumattomalla murto-eksponentilla m/n- se on varten

o mikä tahansa todellinen luku a, positiivinen kokonaisluku m ja outoa luonnollista n, esimerkiksi, ;

o mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku a, negatiivinen kokonaisluku m ja outoa n, esimerkiksi, ;

o mikä tahansa ei-negatiivinen luku a, positiivinen kokonaisluku m ja jopa n, esimerkiksi, ;

o mitään positiivista a, negatiivinen kokonaisluku m ja jopa n, esimerkiksi, ;

o muissa tapauksissa astetta ei ole määritelty murto-eksponentilla, koska esimerkiksi asteita ei ole määritelty .a-merkinnöille emme liitä mitään merkitystä, määrittelemme nolla-asteen positiivisille murto-eksponenteille m/n Miten , negatiivisille murtolukueksponenteille luvun nollan astetta ei ole määritelty.

Tämän kappaleen lopuksi kiinnitetään huomiota siihen, että murto-eksponentti voidaan kirjoittaa desimaalilukuna tai sekoitettu numero, esimerkiksi, . Tällaisten lausekkeiden arvojen laskemiseksi sinun on kirjoitettava eksponentti tavallisena murto-osana ja käytettävä sitten asteen määritelmää murto-osalla. Näitä esimerkkejä varten meillä on ja

MBOU "Sidorskaja

peruskoulu»

Suunnitelman laatiminen avoin oppitunti

algebrassa luokalla 11 aiheesta:

Valmisteltu ja toteutettu

matikan opettaja

Iskhakova E.F.

Algebran avoimen oppitunnin luonnos luokalla 11.

Aihe : "Tutkinnon rationaalinen eksponentti".

Oppitunnin tyyppi : Uuden materiaalin oppiminen

Oppitunnin tavoitteet:

Opiskelija tutustuu rationaalisen mittarin tutkinnon käsitteeseen ja sen pääominaisuuksiin aiemmin opitun materiaalin perusteella (kokonaislukuindikaattorilla varustettu tutkinto).

Kehitä laskennallisia taitoja ja kykyä muuntaa ja vertailla lukuja rationaalisen eksponentin avulla.

Kasvata opiskelijoiden matemaattista lukutaitoa ja matemaattista kiinnostusta.

Laitteet : Tehtäväkortit, opiskelijan esitys tutkinnosta kokonaislukuindikaattorilla, opettajan esitys tutkinnosta rationaalisella mittarilla, kannettava tietokone, multimediaprojektori, näyttö.

Tuntien aikana:

Ajan järjestäminen.

Yksittäisten tehtäväkorttien käsittelemän aiheen assimilaatioiden tarkistaminen.

Tehtävä numero 1.

=2;

B) = x + 5;

Ratkaise järjestelmä irrationaalisia yhtälöitä: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Tehtävä numero 2.

Ratkaise irrationaalinen yhtälö: = - 3;

B) = x - 2;

Ratkaise irrationaalinen yhtälöjärjestelmä: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Oppitunnin aiheen ja tavoitteiden esittely.

Tämän päivän oppituntimme aihe Aste rationaalisen eksponentin kanssa».

Uuden materiaalin selitys aiemmin tutkitun esimerkin perusteella.

Olet jo perehtynyt asteen käsitteeseen kokonaislukueksponentilla. Kuka voi auttaa minua muistamaan ne?

Toisto esityksen kanssa Aste kokonaislukueksponentilla».

Kaikille luvuille a , b ja mille tahansa kokonaisluvulle m ja n yhtäläisyydet ovat tosia:

a m * a n = a m + n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = amn;

(a b) n = an*bn;

(a/b) n = a n/bn (b ≠ 0);

a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Tänään yleistetään luvun asteen käsite ja annetaan merkitys lausekkeille, joilla on murtoluku. Esittelemme määritelmä astetta rationaalisella indikaattorilla (esitys "Aste rationaalisella indikaattorilla"):

A:n aste > 0 rationaalisen eksponentin kanssa r = , missä m on kokonaisluku ja n -luonnollinen ( n > 1), soitti numeroon m .

Joten määritelmän mukaan ymmärrämme sen = m .

Yritetään soveltaa tätä määritelmää suoritettaessa tehtävää.

ESIMERKKI #1

Ilmaisen luvun juurena lausekkeen:

MUTTA) B) AT) .

Yritetään nyt soveltaa tätä määritelmää päinvastoin

II Ilmaise lauseke potenssina rationaalisen eksponentin kanssa:

MUTTA) 2 B) AT) 5 .

0:n potenssi määritellään vain positiivisille eksponenteille.

0 r= 0 mille tahansa r> 0.

Käyttämällä tämä määritelmä, kotona suoritat numerot 428 ja 429.

Osoitetaan nyt, että yllä oleva rationaalisen eksponentin asteen määritelmä säilyttää asteiden perusominaisuudet, jotka pätevät mille tahansa eksponentille.

Kaikille rationaalisille luvuille r ja s sekä positiivisille a ja b yhtälöt ovat tosia:

1 0 . a r a s =a r+s ;

ESIMERKKI: *

kaksikymmentä. a r: as =a r-s;

ESIMERKKI: :

3 0 . (a r) s = ars;

ESIMERKKI: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

ESIMERKKI: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ESIMERKKI usean ominaisuuden käytöstä kerralla: * : .

Fizkultminutka.

Laitoimme kyniä pöydälle, suoristimme selkänojat ja nyt kurkotamme eteenpäin, haluamme koskettaa taulua. Ja nyt nostimme ja nojasimme oikealle, vasemmalle, eteenpäin, taakse. He näyttivät minulle kyniä ja nyt, kuinka sormesi voivat tanssia.

Työskentele materiaalin parissa

Huomaamme vielä kaksi potenssien ominaisuutta rationaalisilla eksponenteilla:

60 . Päästää r on rationaalinen luku ja 0< a < b . Тогда

a r < b r klo r> 0,

a r < b r klo r< 0.

7 0 . Kaikille rationaalisille luvuiller ja s eriarvoisuudesta r> s seuraa sitä

a r> a r> 1,

a r < а r klo 0< а < 1.

ESIMERKKI: Vertaa lukuja:

Ja ; 2 300 ja 3 200 .

Oppitunnin yhteenveto:

Tänään tunnilla muistimme asteen ominaisuudet kokonaislukueksponentilla, opimme asteen määritelmän ja perusominaisuudet rationaalisella eksponentilla, pohdimme tämän soveltamista teoreettista materiaalia käytännössä harjoituksen aikana. Haluan kiinnittää huomionne siihen, että aihe "Tutkinto järkevällä indikaattorilla" on pakollinen KÄYTÄ tehtäviä. Kotitehtäviä valmistellessa nro 428 ja nro 429

Videotunti "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla" sisältää visuaalin koulutusmateriaalia opettaa tästä aiheesta. Opetusvideo sisältää tietoa tutkinnon käsitteestä rationaalisella eksponentilla, tällaisten tutkintojen ominaisuuksista sekä esimerkkejä oppimateriaalin käytöstä ratkaisemiseen käytännön tehtäviä. Tämän videotunnin tehtävänä on visuaalisesti ja selkeästi esitellä opetusmateriaali, helpottaa sen kehittämistä ja muistamista opiskelijoille, muodostaa kyky ratkaista ongelmia opittujen käsitteiden avulla.

Videotunnin tärkeimmät edut ovat kyky tehdä visuaalisia muunnoksia ja laskelmia, kyky käyttää animaatiotehosteita oppimisen tehokkuuden parantamiseksi. Ääniopastus auttaa kehittämään oikeaa matemaattinen puhe, ja mahdollistaa myös opettajan selityksen korvaamisen vapauttaen hänet henkilökohtaiseen työhön.

Video-opetusohjelma alkaa aiheen esittelyllä. Linkitä tutkimus uusi aihe aiemmin tutkitun materiaalin kanssa on syytä muistaa, että n √ a on muuten merkitty a 1/n:llä luonnolliselle n:lle ja positiiviselle a:lle. Tämä edustus n-powerin juuri näkyy näytöllä. Lisäksi ehdotetaan pohtimaan, mitä ilmaus a m / n tarkoittaa, jossa a - positiivinen luku, ja m/n on jokin murto-osa. Laatikossa korostetun asteen määritelmä on annettu rationaalisen eksponentin kanssa muodossa m/n = n √ a m . On huomattava, että n voi olla luonnollinen luku ja m - kokonaisluku.

Kun aste on määritetty rationaalisella eksponentilla, sen merkitys paljastuu esimerkein: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Esitetään myös esimerkki, jossa aste edustaa desimaali, muunnetaan muotoon murto-osa esitettävä juurina: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ja esimerkki c negatiivinen arvo astetta: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Erikseen tietyn tapauksen piirre ilmoitetaan, kun asteen kanta on nolla. On huomattava, että tällä asteella on järkeä vain positiivisella murto-eksponentilla. Tässä tapauksessa sen arvo on nolla: 0 m/n =0.

Toinen rationaalisen eksponentin asteen ominaisuus on huomioitu - se, että astetta, jossa on murto-eksponentti, ei voida ottaa huomioon murto-eksponentilla. Esimerkkejä tutkinnon virheellisestä merkinnästä on annettu: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Lisäksi videotunnilla tarkastellaan tutkinnon ominaisuuksia rationaalisella eksponentilla. On huomattava, että kokonaislukueksponentin asteen ominaisuudet pätevät myös rationaalisen eksponentin asteelle. Ehdotetaan, että palautetaan luettelo kiinteistöistä, jotka ovat myös voimassa Tämä tapaus:

1. Kun kerrotaan tehot kanssa samoilla perusteilla niiden indikaattorit lasketaan yhteen: a p a q =a p+q .
2. Asteiden jako samoilla kantakantoilla pienennetään asteeksi tietyllä kantalla ja eksponenttierolla: a p:a q =a p-q .
3. Jos nostetaan potenssi tiettyyn potenssiin, niin tuloksena saadaan potenssi annetulla kantalla ja eksponenttitulolla: (a p) q =a pq .

Kaikki nämä ominaisuudet pätevät potenssiin, joiden rationaaliset eksponentit p, q ja positiivinen kanta a>0. Myös astemuunnokset pysyvät totta sulkuja avattaessa:

1. (ab) p =a p b p - kahden luvun tulon nostaminen tiettyyn potenssiin rationaalisen eksponentin avulla pelkistetään lukujen tuloksi, joista kukin korotetaan tiettyyn potenssiin.
2. (a/b) p =a p /b p - eksponentio murtoluvun rationaalisella eksponentilla pelkistetään murtoluvuksi, jonka osoittaja ja nimittäjä nostetaan annettuun potenssiin.

Opetusvideo käsittelee esimerkkien ratkaisua, jossa käytetään tutkittuja asteiden ominaisuuksia rationaalisen eksponentin kanssa. Ensimmäisessä esimerkissä ehdotetaan, että löydetään lausekkeen arvo, joka sisältää muuttujat x murto-osaan: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Lausekkeen monimutkaisuudesta huolimatta se ratkaistaan ​​yksinkertaisesti käyttämällä asteiden ominaisuuksia. Tehtävän ratkaisu alkaa lausekkeen yksinkertaistamisesta, jossa käytetään sääntöä asteen nostamisesta rationaalisella eksponentilla potenssiin sekä potenssien kertomista samalla kantalla. Vaihdon jälkeen aseta arvo x=8 yksinkertaistetuksi lausekkeeksi x 1/3 +48, ​​on helppo saada arvo -50.

Toisessa esimerkissä on vähennettävä murto-osa, jonka osoittaja ja nimittäjä sisältävät potenssit rationaalisen eksponentin kanssa. Asteen ominaisuuksien avulla erotuksesta valitaan kerroin x 1/3, joka sitten vähennetään osoittajassa ja nimittäjässä, ja neliöiden erotuskaavaa käyttäen osoittaja jaetaan tekijöiksi, mikä antaa enemmän vähennyksiä samat tekijät osoittajassa ja nimittäjässä. Tällaisten muunnosten tulos on lyhyt murto-osa x 1/4 +3.

Videotuntia "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla" voidaan käyttää sen sijaan, että opettaja selittäisi oppitunnin uuden aiheen. Myös tämä käsikirja sisältää tarpeeksi täydelliset tiedot varten Itsenäinen opiskelu opiskelija. Materiaalista voi olla hyötyä etäopetuksessa.

Tässä artikkelissa ymmärrämme, mikä on aste. Tässä annamme määritelmiä luvun asteelle, samalla kun tarkastellaan yksityiskohtaisesti kaikkia mahdollisia asteen eksponenteja, alkaen luonnollisesta eksponentista ja päättyen irrationaaliseen. Materiaalista löydät paljon esimerkkejä tutkinnoista, jotka kattavat kaikki esiin tulevat hienoudet.

Sivulla navigointi.

Aste luonnollisella eksponentilla, luvun neliö, luvun kuutio

Aloitetaan . Tarkastellaan eteenpäin, sanotaan, että määrittely asteen kanssa luonnollinen indikaattori n on annettu a:lle, jota kutsumme tutkinnon perusta, ja n , joita kutsumme eksponentti. Huomaa myös, että aste luonnollisella indikaattorilla määritetään tuotteen kautta, joten alla olevan materiaalin ymmärtämiseksi sinulla on oltava käsitys numeroiden kertomisesta.

Määritelmä.

Luvun a potenssi luonnollisen eksponentin n kanssa on muotoa a n oleva lauseke, jonka arvo on yhtä suuri kuin n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a, eli .
Erityisesti eksponentin 1 luvun a aste on itse luku a, eli a 1 =a.

Välittömästi kannattaa mainita tutkintojen lukemisen säännöt. Universaali tapa lukea merkintä a n on: "a n:n potenssiin". Joissakin tapauksissa myös sellaiset vaihtoehdot ovat hyväksyttäviä: "a n. potenssiin" ja "luvun a n:nnen potenssiin". Otetaan esimerkiksi potenssi 8 12, tämä on "kahdeksas kahdentoista potenssiin" tai "kahdeksas - kahdestoista potenssi" tai "kahdeksastoista potenssi".

Numeron toisella potenssilla sekä luvun kolmannella potenssilla on omat nimensä. Luvun toista potenssia kutsutaan luvun neliö esimerkiksi 7 2 luetaan "seitsemän neliönä" tai "luvun seitsemän neliö". Luvun kolmatta potenssia kutsutaan kuution numero Esimerkiksi 5 3 voidaan lukea "viisi kuutiona" tai sanoa "kuutio numerosta 5".

On aika tuoda esimerkkejä asteista fysikaalisilla indikaattoreilla. Aloitetaan potenssilla 5 7 , jossa 5 on potenssin kanta ja 7 on eksponentti. Otetaan toinen esimerkki: 4.32 on kanta ja luonnollinen luku 9 on eksponentti (4.32) 9 .

Huomaa, että sisään viimeinen esimerkki asteen kanta 4.32 kirjoitetaan hakasulkeisiin: erojen välttämiseksi suluihin otetaan kaikki asteen kantakannat, jotka poikkeavat luonnollisista luvuista. Esimerkkinä annamme seuraavat asteet luonnollisilla indikaattoreilla , niiden kantakannat eivät ole luonnollisia lukuja, joten ne kirjoitetaan sulkeisiin. No, täydellisen selvyyden vuoksi tässä vaiheessa näytämme eron, joka sisältyy muotojen (−2) 3 ja −2 3 tietueisiin. Lauseke (−2) 3 on −2:n potenssi luonnollisella eksponentilla 3 ja lauseke −2 3 (voidaan kirjoittaa muodossa −(2 3) ) vastaa lukua, potenssin 2 3 arvoa.

Huomaa, että a-asteelle on merkintä, jonka eksponentti n on muotoa a^n . Lisäksi, jos n on moniarvoinen luonnollinen luku, niin eksponentti otetaan suluissa. Esimerkiksi 4^9 on toinen merkintä luvun 4 9 potenssille. Ja tässä on lisää esimerkkejä asteiden kirjoittamisesta "^"-symbolilla: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Seuraavassa käytämme pääasiassa muodon a n asteen merkintää.

Yksi luonnollisen eksponentin eksponentioinnin käänteisistä ongelmista on asteen kantakohdan löytäminen by tunnettu arvo aste ja tunnettu eksponentti. Tämä tehtävä johtaa.

Tiedetään, että rationaalilukujen joukko koostuu kokonaisluvuista ja murtoluvuista, ja jokainen murtoluku voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena tavallisena murtolukuna. Määritimme asteen kokonaislukueksponentilla edellisessä kappaleessa, joten voidaksemme täydentää asteen määritelmän rationaalisella eksponentilla, meidän on annettava luvun a asteen merkitys murto-eksponentilla m / n, missä m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Tehdään se.

Tarkastellaan astetta muodon murto-eksponentilla. Jotta tutkinnon ominaisuus tutkinnossa pysyisi voimassa, tasa-arvon on oltava voimassa . Jos otamme huomioon tuloksena olevan yhtälön ja tavan, jolla määritimme , on loogista hyväksyä, edellyttäen että annetuille m, n ja a lausekkeelle on järkeä.

On helppo tarkistaa, että kaikki kokonaislukueksponentilla varustetun asteen ominaisuudet ovat voimassa as:lle (tämä tehdään rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia käsittelevässä osiossa).

Yllä oleva päättely antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavaa johtopäätös: jos annetulle m:lle, n:lle ja a lausekkeelle on järkeä, niin luvun a potenssi murto-eksponentilla m / n on a:n n:nnen asteen juuri potenssiin m.

Tämä väite vie meidät lähelle murto-eksponentin asteen määritelmää. Jäljelle jää vain kuvailemaan, mille m:lle, n:lle ja a:lle lauseke on järkevä. M :lle, n:lle ja a:lle asetetuista rajoituksista riippuen on olemassa kaksi pääasiallista lähestymistapaa.

Helpoin tapa rajoittaa a on olettaa a≥0 positiiviselle m:lle ja a>0 negatiiviselle m:lle (koska m≤0:lla ei ole 0 m:n tehoa). Sitten saamme seuraavan asteen määritelmän murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Positiivisen luvun a potenssi murto-eksponentilla m/n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, kutsutaan luvun a n:nnen juuriksi m:n potenssiin, eli .

Myös nollan murto-aste määritellään sillä ainoalla varoituksella, että eksponentin on oltava positiivinen.

Määritelmä.

Nollan potenssi positiivisen eksponentin murto-osalla m/n, jossa m on positiivinen kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, määritellään seuraavasti .
Kun astetta ei ole määritelty, eli luvun nolla, jolla on murto-osa negatiivinen eksponentti, ei ole järkeä.

On huomattava, että tällaisella asteen määritelmällä murto-eksponentilla on yksi vivahde: ​​joillekin negatiivisille a:ille ja joillekin m ja n:lle lauseke on järkevä, ja hylkäsimme nämä tapaukset ottamalla käyttöön ehdon a≥0 . Esimerkiksi kirjoittaminen on järkevää tai , ja yllä oleva määritelmä pakottaa meidät sanomaan, että asteet muodon murtoluvulla ovat merkityksettömiä, koska kanta ei saa olla negatiivinen.

Toinen lähestymistapa asteen määrittämiseen murto-eksponentilla m / n on tarkastella erikseen juuren parillisia ja parittomia eksponenteja. Tämä lähestymistapa vaatii lisäehdon: luvun a astetta, jonka eksponentti on , pidetään luvun a asteena, jonka eksponentti on vastaava redusoitumaton murto-osa (tämän ehdon tärkeys selitetään alla). Eli jos m/n on pelkistymätön murto-osa, minkä tahansa luonnollisen luvun k aste korvataan ensin luvulla .

Parilliselle n:lle ja positiiviselle m:lle lauseke on järkevä mille tahansa ei-negatiiviselle a:lle (negatiivisen luvun parillisen asteen juurilla ei ole järkeä), negatiiviselle m:lle luvun a täytyy silti olla nollasta poikkeava (muuten jako tapahtuu nollalla). Ja parittoman n:n ja positiivisen m:n kohdalla luku a voi olla mikä tahansa (parittoman asteen juuri on määritelty mille tahansa reaaliluvulle), ja negatiiviselle m:lle luvun a on oltava eri kuin nolla (jotta ei jako nolla).

Yllä oleva päättely johtaa meidät tällaiseen asteen määritelmään murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Olkoon m/n pelkistymätön murtoluku, m kokonaisluku ja n luonnollinen luku. Minkä tahansa pienennettävän tavallisen murtoluvun aste korvataan arvolla . A:n potenssi pelkistymättömällä murto-eksponentilla m / n on varten



Selvitetään, miksi pelkistyvä murto-asteinen aste korvataan ensin asteella, jolla on pelkistymätön eksponentti. Jos määrittelisimme asteeksi yksinkertaisesti , emmekä tekisi varausta murto-osan m / n pelkistymättömyydestä, kohtaisimme seuraavanlaisia ​​tilanteita: koska 6/10=3/5 , niin yhtälö , mutta , a.

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

Khasyanova T.G.,

matematiikan opettaja

Esitetty materiaali on hyödyllinen matematiikan opettajille opiskellessaan aihetta "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla".

Esitellyn materiaalin tarkoitus: kokemukseni paljastaminen oppitunnin pitämisestä aiheesta "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla" työohjelma tieteenala "Matematiikka".

Oppitunnin metodologia vastaa sen tyyppiä - oppitunti uuden tiedon tutkimisessa ja ensisijaisessa vahvistamisessa. Päivitys on tehty perustieto ja aiempaan kokemukseen perustuvat taidot; uuden tiedon ensisijainen muistaminen, yhdistäminen ja soveltaminen. Uuden materiaalin konsolidointi ja soveltaminen tapahtui testaamieni ongelmien ratkaisuna vaihtelevan monimutkaisuuden antaa positiivisen tuloksen aiheen hallitsemisesta.

Oppitunnin alussa asetin oppilaille seuraavat tavoitteet: kasvattava, kehittävä, kasvattava. Luokassa käytin eri tavoilla toiminnot: frontaalinen, yksilöllinen, höyrysauna, riippumaton, testi. Tehtävät oli eriytetty ja niiden avulla oli mahdollista tunnistaa jokaisessa oppitunnin vaiheessa tiedon assimilaatioaste. Tehtävien määrä ja monimutkaisuus vastaavat ikäominaisuudet opiskelijat. Omasta kokemuksestani - kotitehtävät, samankaltaisia ​​kuin vuonna ratkaistut ongelmat luokkahuoneessa avulla voit lujittaa hankitut tiedot ja taidot turvallisesti. Oppitunnin lopussa suoritettiin reflektointi ja yksittäisten opiskelijoiden työtä arvioitiin.

Tavoitteet on saavutettu. Opiskelijat tutkivat tutkinnon käsitettä ja ominaisuuksia rationaalisella eksponentilla, oppivat käyttämään näitä ominaisuuksia käytännön ongelmien ratkaisussa. Per itsenäinen työ arvosanat ilmoitetaan seuraavalla oppitunnilla.

Uskon, että matematiikan opettajat voivat soveltaa matematiikan tuntien johtamiseen käyttämäni metodologiaa.

Oppitunnin aihe: Tutkinto rationaalisella mittarilla

Oppitunnin tarkoitus:

Opiskelijoiden tieto- ja taitokompleksin hallitsemisen tason tunnistaminen ja sen perusteella soveltaminen tiettyjä päätöksiä parantaa koulutusprosessia.

Oppitunnin tavoitteet:

Opetusohjelmat: muodostaa opiskelijoiden keskuudessa uutta tietoa peruskäsitteistä, säännöistä, laeista tutkinnon määrittämiseksi rationaalisella indikaattorilla, kyky soveltaa itsenäisesti tietoa standardiolosuhteissa, muuttuneissa ja epätyypillisissä olosuhteissa;

kehitetään: ajattele loogisesti ja toteuta Luovat taidot;

kasvattajat: kehittää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sanastoa uudet ehdot, hanki Lisäinformaatio ympäröivästä maailmasta. Kasvata kärsivällisyyttä, sinnikkyyttä, kykyä voittaa vaikeudet.

Ajan järjestäminen

Perustietojen päivittäminen

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, eksponentit lisätään ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

2. Kun potenssit jaetaan samoilla kantakantoilla, eksponentit vähennetään ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

3. Kun aste nostetaan potenssiin, eksponentit kerrotaan ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

4. Tuloksen aste on yhtä suuri kuin tekijöiden potenssien tulo:

Esimerkiksi,

5. Osamäärän aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan potenssien osamäärä:

Esimerkiksi,

Ratkaisuharjoitukset

Etsi lausekkeen arvo:

Ratkaisu:

Tässä tapauksessa mitään luonnollisen eksponentin ominaisuuksista ei voida soveltaa eksplisiittisesti, koska kaikki asteet ovat eri perusteilla. Kirjoitetaan muutama tutkinto eri muodossa:

(tulon aste on yhtä suuri kuin tekijöiden asteiden tulo);

(kun kerrotaan potenssit samalla kantalla, eksponentit lisätään ja kanta pysyy samana; kun aste nostetaan potenssiin, eksponentit kerrotaan, mutta kanta pysyy samana).

Sitten saamme:

AT tämä esimerkki käytettiin tutkinnon neljää ensimmäistä ominaisuutta luonnollisella eksponentilla.

Aritmeettinen neliöjuuri
- Tämä on ei negatiivinen luku, jonka neliö ona,
. klo
- ilmaisu
ei määritelty, koska ei ole olemassa reaalilukua, jonka neliö on yhtä suuri kuin negatiivinen lukua.

Matemaattinen sanelu(8-10 min.)

Vaihtoehto

II. Vaihtoehto

1. Etsi lausekkeen arvo

a)

b)

1. Etsi lausekkeen arvo

a)

b)

2. Laske

a)

b)

AT)

2. Laske

a)

b)

sisään)

Itsetestaus(kantotaululla):

Vastausmatriisi:

№ vaihtoehto/tehtävä

Tehtävä 1

Tehtävä 2

Vaihtoehto 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

sisään)

Vaihtoehto 2

a) 1.5

b)

a)

b)

klo 4

II Uuden tiedon muodostuminen

Harkitse ilmaisun merkitystä, missä - positiivinen luku– murtoluku ja m-kokonaisluku, n-luonnollinen (n>1)

Määritelmä: luvun a›0 aste rationaalisen eksponentin kanssar = , m-koko, n-luonnollinen ( n›1) numeroon soitetaan.

Niin:

Esimerkiksi:

Huomautuksia:

1. Jokaiselle positiiviselle a:lle ja mille tahansa rationaaliselle r:lle, luku positiivisesti.

2. Milloin
rationaalinen tutkinto numeroitaaei määritelty.

Ilmaisuja kuten
ei ole järkeä.

3.Jos positiivinen murtoluku
.

Jos murto-osa negatiivinen luku siis -ei ole järkeä.

Esimerkiksi: - ei ole järkeä.

Tarkastellaan rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia.

Olkoon a>0, в>0; r, s - mikä tahansa rationaalisia lukuja. Sitten asteella, jolla on mikä tahansa rationaalinen eksponentti, on seuraavat ominaisuudet:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidointi. Uusien taitojen ja kykyjen muodostuminen.

Tehtäväkortit toimivat pienissä ryhmissä testin muodossa.