तेल और गैस का बड़ा विश्वकोश। संमिश्र संख्याओं के क्षेत्र में बीजगणित को विभाजित करें

फ्रोबेनियस प्रमेय

जी. फ्रोबेनियस द्वारा सिद्ध किए गए शून्य भाजक के बिना सभी परिमित-आयामी साहचर्य वास्तविक बीजगणित का वर्णन करना। एफ. टी. का दावा है कि:
1) फील्ड वास्तविक संख्यातथा जटिल आंकड़ेशून्य भाजक के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी कम्यूटेटिव बीजगणित हैं।
2) quaternions का शरीर एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी है, लेकिन शून्य भाजक के बिना कम्यूटेटिव बीजगणित नहीं है।
शून्य विभाजकों के बिना वैकल्पिक परिमित-आयामी बीजगणित का विवरण भी है:
3) केली बीजगणित एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक विकल्प है, लेकिन शून्य भाजक के बिना सहयोगी बीजगणित नहीं है।
इन तीन कथनों को मिलाकर नकद। सामान्यीकृत फ्रोबेनियस प्रमेय। प्रमेय के निर्माण में शामिल सभी बीजगणित के साथ बीजगणित बन जाते हैं स्पष्ट विभाजनऔर एक इकाई के साथ। F. t. को गैर-वैकल्पिक बीजगणित के मामलों में सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, यह साबित हो गया है कि कोई भी परिमित-आयामी वास्तविक बीजगणितशून्य के बिना भाजक केवल 1, 2, 4 या 8 के बराबर मान ले सकते हैं।

लिट: फ्रोबेनियस एफ।, "जे। रेइन अंड एंज्यू। मैथ।", 1877, बीडी 82, एस। 230-315; कुरोश ए जी, पर व्याख्यान सामान्य बीजगणित, दूसरा संस्करण।, एम।, 1973।
ओ ए इवानोवा।

गणितीय विश्वकोश. - एम .: सोवियत विश्वकोश. आई एम विनोग्रादोव। 1977-1985।

देखें कि "फ्रोबेनियस प्रमेय" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

Pfaff समीकरणों या (ज्यामितीय शब्दों में) की एक प्रणाली की पूर्ण अभिन्नता के लिए शर्तों पर एक प्रमेय जिसके तहत एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर दिए गए n आयामी स्पर्शरेखा उप-स्थान का एक क्षेत्र कुछ पत्ते का स्पर्शरेखा क्षेत्र है ... गणितीय विश्वकोश

असली होने दो वर्ग मैट्रिक्सए, जिसे अंतरिक्ष में एक ऑपरेटर के रूप में माना जाता है, में कोई अपरिवर्तनीय समन्वय उप-स्थान नहीं है (ऐसे मैट्रिक्स को अपरिवर्तनीय कहा जाता है) और गैर-नकारात्मक है (यानी, इसके सभी तत्व गैर-ऋणात्मक हैं)। और उसे जाने दो...... गणितीय विश्वकोश

मान लीजिए A एक वर्ग आव्यूह है जिसमें पूर्ण रूप से सकारात्मक वास्तविक तत्व हैं, तो निम्नलिखित कथन सत्य हैं: निरपेक्ष मान में सबसे बड़ा eigenvalue वास्तविक है और सख्ती से सकारात्मक है eigenvalueसरल है ... विकिपीडिया

फ्रोबेनियस पेरोन की प्रमेय (अंग्रेज़ी): एक वर्ग मैट्रिक्स को सख्ती से सकारात्मक वास्तविक तत्वों के साथ दें, फिर निम्नलिखित कथन सत्य हैं: पूर्ण मूल्य में सबसे बड़ा ईजेनवैल्यू वास्तविक और सख्ती से है ... विकिपीडिया

फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस ... विकिपीडिया

- (जर्मन फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस; 26 अक्टूबर, 1849, बर्लिन 3 अगस्त, 1917, चार्लोटनबर्ग) जर्मन गणितज्ञ। जीवनी 1867 में, उन्होंने एक सेमेस्टर के लिए गौटिंगेन विश्वविद्यालय में कक्षाओं में भाग लिया, लेकिन ... विकिपीडिया

फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस (जर्मन: फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस; 26 अक्टूबर, 1849, बर्लिन 3 अगस्त, 1917, चार्लोटनबर्ग) एक जर्मन गणितज्ञ थे। जीवनी 1867 में, उन्होंने एक सेमेस्टर के लिए गौटिंगेन विश्वविद्यालय में कक्षाओं में भाग लिया, लेकिन ... विकिपीडिया

साहचर्य गुणन के साथ छल्ले और बीजगणित, अर्थात्, दो द्विआधारी संचालन, जोड़ + और गुणन X के साथ सेट, जो जोड़ के संबंध में एक एबेलियन समूह और गुणन के संबंध में एक अर्धसमूह है, और गुणन वितरण (बाएं और दाएं) सम्मान के साथ है प्रति ... गणितीय विश्वकोश

पुस्तकें

, ज़ोरिच वी .. यह पुस्तक गणितज्ञों के साथ-साथ अन्य विशिष्टताओं में छात्रों और विशेषज्ञों के लिए प्राकृतिक विज्ञान सामग्री के वार्षिक प्रयोगात्मक पाठ्यक्रम का एक रिकॉर्ड है। यह तीन विषयों को प्रस्तुत करता है: -…
प्राकृतिक विज्ञान की समस्याओं का गणितीय विश्लेषण, वी.ए. ज़ोरिच। यह पुस्तक गणितज्ञों के साथ-साथ छात्रों और अन्य विशिष्टताओं के विशेषज्ञों के लिए प्राकृतिक विज्ञान सामग्री के वार्षिक प्रायोगिक पाठ्यक्रम का एक रिकॉर्ड है। यह तीन विषयों को प्रस्तुत करता है: -…

प्रमेय(फ्रोबेनियस-पेरोन)। गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स लेकिनएक eigenvalue ऐसा है कि किसी भी eigenvalue के लिए मैट्रिक्स लेकिन।इसके अलावा, एक गैर-नकारात्मक है आइजन्वेक्टर, अपने स्वयं के नंबर के अनुरूप। इसके अलावा, अगर लेकिनअविनाशी, तब और मौजूद है .

परिभाषा 1.एक गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स का आइजनवैल्यू लेकिनबुलाया फ्रोबेनियस संख्या ( फ्रोबेनियस संख्या), और eigenvector – फ्रोबेनियस वेक्टर (फ्रोबेनियस वेक्टर)मैट्रिक्स लेकिन.

एक गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स की फ्रोबेनियस संख्या निर्धारित करने के लिए लेकिनसमीकरण (2) को हल करना आवश्यक है, और फिर जड़ों के बीच (eigenvalues) ) अधिकतम गैर-ऋणात्मक मान चुनें। फ्रोबेनियस वेक्टर समीकरण (1) से पाया जाता है, इसे के बजाय इसमें प्रतिस्थापित किया जाता है फ्रोबेनियस संख्या।

फ्रोबेनियस संख्याओं में श्रृंखला होती है गुण, जो पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है। इन गुणों में से एक मैट्रिक्स की फ्रोबेनियस संख्या निर्धारित करने का एक आसान तरीका देता है: यदि एक गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स A की पंक्तियों (या स्तंभों) के सभी तत्वों का योग समान संख्या के बराबर है, तो फ्रोबेनियस संख्या बराबर है।

उदाहरण।होने देना

; .

फिर =6 , मैट्रिक्स के प्रत्येक स्तंभ के तत्वों के योग के बाद से लेकिनबराबर 6 , तथा =3 , मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों के योग के बाद से परबराबर 3.

फ्रोबेनियस नंबर और वेक्टर का उपयोग बैलेंस शीट आर्थिक मॉडल में और विशेष रूप से मॉडल में किया जाता है अंतर्राष्ट्रीय व्यापार. इस प्रकार, अंतर्राष्ट्रीय व्यापार के मॉडल में राष्ट्रीय आय का संतुलन वेक्टर अंतर्राष्ट्रीय विनिमय के संरचनात्मक मैट्रिक्स का फ्रोबेनियस वेक्टर है। अलावा,
मैट्रिक्स की उत्पादकता के मानदंडों में से एक, जिस पर नीचे चर्चा की जाएगी, फ्रोबेनियस संख्या के संदर्भ में तैयार किया गया है।

4.2. एक विविध अर्थव्यवस्था का लियोन्टीफ का मॉडल

अर्थव्यवस्था के कुशल कामकाज के बीच संतुलन की आवश्यकता होती है व्यक्तिगत उद्योग आर्थिक प्रणाली. इस मामले में, प्रत्येक उद्योग एक ओर, कुछ उत्पादों के निर्माता के रूप में, और दूसरी ओर, अन्य उद्योगों द्वारा उत्पादित उत्पादों के उपभोक्ता के रूप में कार्य करता है।

संतुलन विश्लेषण का उद्देश्य- मैक्रोइकॉनॉमिक्स में उत्पन्न होने वाले प्रश्न का उत्तर देने के लिए और एक विविध अर्थव्यवस्था की दक्षता से संबंधित है: प्रत्येक के उत्पादन की मात्रा क्या होनी चाहिए एनइस उद्योग के उत्पादों में सभी जरूरतों को पूरा करने के लिए उद्योग? आर्थिक प्रणाली जिसके लिए अंतरक्षेत्रीय विश्लेषण की पद्धति लागू की जाती है वह बड़ी (देश की अर्थव्यवस्था) या छोटी (क्षेत्र की अर्थव्यवस्था या एक उद्यम) हो सकती है।

आर्थिक प्रणाली की शाखाओं के बीच संबंधों के दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए तालिकाओं का उपयोग किया जाता है। एक निश्चित प्रकारकौन बुलाया गया इंटरसेक्टोरल बैलेंस टेबल (IOB). इन तालिकाओं को पहली बार 1926 में यूएसएसआर में प्रकाशित किया गया था। MOB टेबल आर्थिक नीति के क्षेत्र में पूर्वानुमान और निर्णय लेने के लिए आवश्यक देश की अर्थव्यवस्था में संरचनात्मक अनुपात और अंतरक्षेत्रीय संबंधों पर विस्तृत जानकारी के साथ अधिकारियों और अनुसंधान संगठनों को प्रदान कर सकते हैं।

अंतर करना रिपोर्टिंगतथा नियोजित अंतरक्षेत्रीय संतुलन. रिपोर्टिंग इंटरसेक्टरल बैलेंस रिपोर्टिंग वर्ष के लिए देश में निर्मित उत्पादों के उत्पादन और खपत की संरचना को दर्शाता है। नियोजित इनपुट-आउटपुट संतुलन सकल घरेलू उत्पाद के उत्पादन की योजना बनाने के लिए है। यूएसएसआर में, ऐसी योजना राज्य योजना आयोग द्वारा विकसित की गई थी और यह एक निर्देश था। बाजार अर्थव्यवस्था वाले कुछ देशों में, उदाहरण के लिए, जापान और फ्रांस में, ऐसी योजना विकसित की जा रही है, लेकिन यह सांकेतिक है, जो अनिवार्य नहीं है, लेकिन आर्थिक अभिनेताओं को ऐसे कार्यों पर लक्षित करना है जो समाज के दृष्टिकोण से तर्कसंगत हैं .

पर सोवियत कालहमारे देश में 1959 से 1987 तक नियमित रूप से अंतरक्षेत्रीय संतुलन तालिकाएँ विकसित की गईं। मूल्य में पहला नियोजित अंतरक्षेत्रीय संतुलन और प्रकार में 1962 में बनाए गए थे। आगे का काम गणराज्यों और क्षेत्रों तक बढ़ाया गया था। 1966 के आंकड़ों के अनुसार, सभी के लिए अंतरक्षेत्रीय संतुलन बनाए गए थे संघ गणराज्यतथा आर्थिक क्षेत्रआरएसएफएसआर। नवीनतम बुनियादी इनपुट-आउटपुट टेबल 1995 में विकसित किए गए थे। तथ्य यह है कि इन तालिकाओं में उद्योगों और उत्पादों के नामकरण वर्तमान पर आधारित थे अखिल रूसी वर्गीकारकउद्योगों राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था, जो अब अप्रचलित है।

14 फरवरी, 2009 को, रूस की सरकार संख्या 201-r का आदेश जारी किया गया था, जिसने Rosstat को 2011 के लिए बुनियादी इनपुट-आउटपुट तालिकाओं को विकसित करने का आदेश दिया, 2015 में उन्हें सरकार को प्रस्तुत करने के लिए रूसी संघऔर हर 5 साल में एक बार नियमित आधार पर बुनियादी इनपुट-आउटपुट टेबल का विकास करना। टेबल्स के अनुसार विकसित किया जाना चाहिए अंतरराष्ट्रीय मानकइनपुट-आउटपुट तालिकाओं के संकलन के लिए और रूसी सूचना आधार की बारीकियों को ध्यान में रखते हुए संयुक्त राष्ट्र और यूरोस्टेट मैनुअल में निर्धारित किया गया है।

गणित का मॉडलअंतरक्षेत्रीय संतुलन, विश्लेषण, योजना और पूर्वानुमान के लिए पर्याप्त अवसरों की अनुमति देना आर्थिक गतिविधि 1936 में प्रसिद्ध अर्थशास्त्री वी.वी. लियोन्टीव। Leontiev . द्वारा प्रस्तावित बीजीय सिद्धांतइनपुट-आउटपुट विश्लेषण एक प्रणाली में कम हो गया था रेखीय समीकरण , जिसमें पैरामीटर उत्पादन लागत के गुणांक थे। लेओन्टिव ने दिखाया कि अर्थव्यवस्था के क्षेत्रों (वर्तमान भौतिक लागतों के गुणांक) के बीच संबंधों को व्यक्त करने वाले गुणांक सांख्यिकीय रूप से अनुमानित किए जा सकते हैं, कि वे काफी स्थिर हैं और भविष्यवाणी की जा सकती है; सबसे महत्वपूर्ण गुणांक के अस्तित्व की पुष्टि की, जिनमें से परिवर्तनों की निगरानी पहले स्थान पर की जानी चाहिए। माप की सापेक्ष सादगी ने इनपुट-आउटपुट पद्धति की महान विश्लेषणात्मक और भविष्य कहनेवाला क्षमताओं को निर्धारित किया।

आइए हम अंतरक्षेत्रीय संतुलन मॉडल के सरलतम संस्करण पर विचार करें। मान लीजिए कि राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के पूरे उत्पादन क्षेत्र को विभाजित किया गया है एनस्वच्छ उद्योग। एक शुद्ध उद्योग एक सशर्त अवधारणा है जो राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के कुछ हिस्से को परिभाषित करता है, कम या ज्यादा अभिन्न (उदाहरण के लिए, ऊर्जा, इंजीनियरिंग, कृषिआदि।)।

चलो उत्पादों की संख्या हो मैंउत्पादन पर खर्च किया गया वां उद्योग जे-वें उद्योग ( अंतरक्षेत्रीय आपूर्ति, सामग्री की लागत), - उत्पादन की मात्रा मैं-वें उद्योग एक निश्चित अवधि के लिए - सकल उत्पादन, - उत्पादों की खपत की मात्रा मैं-गैर-विनिर्माण क्षेत्र में उद्योग - अंतिम खपत मात्रा, - सशर्त रूप से शुद्ध उत्पादन, जिसमें मजदूरी, शुद्ध आय और मूल्यह्रास कटौती शामिल है जिसका उपयोग अचल संपत्तियों की सेवानिवृत्ति के लिए क्षतिपूर्ति के लिए किया जाता है।

सभी संकेतित मात्राओं की माप की इकाइयाँ प्राकृतिक (घन मीटर, टन, टुकड़े, आदि) या लागत हो सकती हैं। इसके आधार पर, वहाँ हैं प्राकृतिकतथा मूल्यअंतरक्षेत्रीय संतुलन। हम लागत संतुलन पर विचार करेंगे।

तालिका 1 मूल्य के संदर्भ में इनपुट-आउटपुट संतुलन का एक योजनाबद्ध आरेख दिखाती है। प्रत्येक उद्योग को दो तरह से दर्शाया जाता है: एक पंक्ति के एक तत्व के रूप में, यह उत्पादों के निर्माता के रूप में कार्य करता है, और एक स्तंभ के एक तत्व के रूप में, यह अपने और अन्य उद्योगों के उत्पादों के उपभोक्ता के रूप में कार्य करता है। ध्यान दें कि एमईपी तालिका में चार भाग होते हैं ( चतुर्थ भाग) विभिन्न आर्थिक सामग्री वाले।

पहला चतुर्थांशभीड़ है आवश्यक भागइंटरसेक्टोरल बैलेंस, जिसमें इंटरसेक्टोरल संबंधों की जानकारी होती है।

तालिका एक - सामान्य योजनाउत्पादों के उत्पादन और वितरण का अंतरक्षेत्रीय संतुलन

विनिर्माण उदयोग	उपभोग करने वाले उद्योग	कुल	अंतिम उत्पाद	सकल उत्पाद
		…	जे	…	एन
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
मैं
…	…	…	मैं चतुर्थांश	…	…	द्वितीय चतुर्थांश
एन			…		…
कुल			…
सशर्त शुद्ध उत्पाद			…		…			चतुर्थ चतुर्थांश
			तृतीय चतुर्थांश
सकल उत्पाद			…		…

इस चतुर्थांश का अधिकांश भाग अंतर-उद्योग आपूर्ति द्वारा दर्शाया गया है। एक ही समय में, प्रत्येक में अंतरक्षेत्रीय प्रसव मैं-वीं पंक्ति (वर्तमान उत्पादन खपत)दिखाएं कि कितने उत्पाद उत्पादित हैं मैंवें उद्योग का उपभोग आर्थिक प्रणाली के अन्य सभी क्षेत्रों द्वारा किया जाता है, जिनमें शामिल हैं मैंवां। प्रत्येक में इंटरसेक्टोरल डिलीवरी जे-वां स्तंभ (वर्तमान उत्पादन लागत)- उपभोज्य है जेवें उद्योग सहित सभी उद्योगों द्वारा उत्पादित उत्पादन की मात्रा जेवां। प्रथम चतुर्थांश का अंतिम स्तंभ और अंतिम पंक्ति क्रमशः दर्शाती है कुल वर्तमान उत्पादन खपतउद्योग उत्पाद मैंसभी उद्योग और कुल वर्तमान उत्पादन लागतउद्योग के उत्पादों के उत्पादन के लिए सभी उद्योग जे. यह सत्यापित करना आसान है कि अंतिम स्तंभ के तत्वों और चतुर्थांश I की अंतिम पंक्ति के योग समान पदों से मिलकर बने हैं और इसलिए एक दूसरे के बराबर हैं। यह सामान्य अर्थ प्रथम चतुर्थांश के निचले दाएं कोने में प्रस्तुत किया गया है। इसे कहते हैं मध्यवर्ती उत्पादआर्थिक प्रणाली और इसका मतलब है कि कुल वर्तमान उत्पादन खपत कुल वर्तमान उत्पादन लागत के बराबर है.

दूसरा चतुर्थांशदो कॉलम से मिलकर बनता है। उनमें से पहला सभी उद्योगों के अंतिम उत्पादों का एक स्तंभ है, अर्थात्, अंतिम व्यक्तिगत और सामाजिक उपभोग के क्षेत्र के लिए उत्पादन के क्षेत्र को छोड़ने वाले उत्पाद जो वर्तमान उत्पादन आवश्यकताओं के लिए उपयोग नहीं किए जाते हैं। दूसरा कॉलम उद्योगों के सकल उत्पादन की मात्रा प्रस्तुत करता है

चतुर्थांश I और II प्रतिबिंबित करते हैं उत्पादन और खपत के बीच संतुलन।

तीसरा चतुर्थांशदो पंक्तियों द्वारा दर्शाया गया है: सशर्त रूप से शुद्ध उत्पादन की एक पंक्ति और उद्योगों के सकल उत्पादन की मात्रा की एक पंक्ति।

पहला और तीसरा चतुर्थांश दर्शाता है प्रत्येक उद्योग के उत्पादन की लागत संरचना (या राष्ट्रीय आय की लागत संरचना)।

चौथा चतुर्थांशउत्पादन के क्षेत्र से सीधे संबंधित नहीं है, इसलिए इसका कोई अर्थ नहीं है। वास्तव में, इस चतुर्थांश को प्रतिबिंबित करना चाहिए कि भौतिक उत्पादन के क्षेत्र में जनसंख्या की प्राथमिक आय कैसे प्राप्त होती है ( वेतन, व्यक्तिगत आय, आदि), राज्य (कर, लाभ, आदि), उद्यमों को विभिन्न चैनलों (वित्तीय और ऋण प्रणाली, सेवा क्षेत्र, सामाजिक-राजनीतिक संगठनों, आदि) के माध्यम से पुनर्वितरित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अंतिम आय का निर्माण होता है। जनसंख्या, राज्यों आदि के

चलो इमारत पर चलते हैं लियोन्टीव का रैखिक संतुलन मॉडल (एलबीएम)।वह प्रतिनिधित्व करती है रैखिक समीकरणों की प्रणाली, जिनमें से प्रत्येक एक विशेष आर्थिक क्षेत्र द्वारा उत्पादित उत्पादों और संपूर्ण आर्थिक प्रणाली में इन उत्पादों की कुल मांग के बीच समानता (संतुलन) को दर्शाता है।

भीड़ योजना को ध्यान में रखते हुए कॉलम द्वारा, हम एक स्पष्ट निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी उपभोक्ता उद्योग की वर्तमान उत्पादन लागत और उसके सशर्त शुद्ध उत्पादन का योग इस उद्योग के सकल उत्पादन के बराबर है। इस निष्कर्ष को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है:

(1)

भीड़ योजना को ध्यान में रखते हुए पंक्ति दर पंक्तिप्रत्येक विनिर्माण उद्योग के लिए, यह देखा जा सकता है कि किसी विशेष उद्योग का सकल उत्पादन सभी उद्योगों द्वारा उसके उत्पादों की वर्तमान उत्पादन खपत और इस उद्योग के अंतिम उत्पादों के योग के बराबर है:

,मैं = 1,2, …, एन (2)

आइए हम प्रणाली (1) और (2) की सभी शाखाओं का योग करें, हमें प्राप्त होता है

दो समानताओं के बाएँ भाग समान हैं, क्योंकि वे संपूर्ण सकल सामाजिक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करते हैं। दायीं भुजाओं के प्रथम पद भी समान हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह है आर्थिक प्रणाली का मध्यवर्ती उत्पाद।एमओबी तालिका की बैलेंस शीट प्रकृति इस तथ्य में व्यक्त की जाती है कि स्पष्ट रूप से पहले से संकेतित राशियों की समानता से स्पष्ट होता है कुल अंतिम और कुल सशर्त शुद्ध उत्पादन की समानता, वह है

एलएमई प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम (2) के साथ काम करना जारी रखते हैं, इसे विस्तारित रूप में प्रस्तुत करते हैं

IEP के आर्थिक और गणितीय मॉडल का आधार है प्रत्यक्ष अंतर-उत्पादन लागत के गुणांकों का मैट्रिक्स (तकनीकी गुणांक का मैट्रिक्स) =(a ij)।

परिभाषा 1.प्रत्यक्ष घरेलू लागत अनुपात ऐजोकितने उत्पाद दिखाओ मैं-उत्पादन के लिए उद्योग की जरूरतें (यदि केवल प्रत्यक्ष लागत को ध्यान में रखा जाए) सकल उत्पादन की इकाइयाँ-वें उद्योग, वह है

समानता (3) से हम प्राप्त करते हैं

. (4)

वास्तविक अर्थव्यवस्था में मूल्य प्राप्त करने के लिए, दो विधियों का उपयोग किया जा सकता है:

1. सांख्यिकीय।गुणांक पिछले वर्षों के रिपोर्टिंग शेष के विश्लेषण के आधार पर निर्धारित किए जाते हैं। इस मामले में, इस मामले में प्रत्यक्ष लागत गुणांक की स्थिरता इनपुट-आउटपुट संतुलन की शाखाओं के उपयुक्त विकल्प द्वारा प्राप्त की जाती है। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, जब सही पसंदपर्याप्त रूप से बड़े उद्योगों के लिए, गुणांक काफी स्थिर होते हैं।

2. सामान्य।इंटरसेक्टोरल बैलेंस के उद्योग का एक मॉडल बनाया जा रहा है। इस मॉडल में, उद्योग को व्यक्तिगत उद्योगों के एक समूह के रूप में माना जाता है, जिनमें से प्रत्येक के लिए लागत मानकों को पहले ही विकसित किया जा चुका है। यदि आप पहले से जानते हैं कि उद्योग द्वारा किन उत्पादों का उत्पादन किया जाएगा, तो लागत मानकों के अनुसार, आप प्रत्यक्ष लागत के औसत उद्योग गुणांक की गणना कर सकते हैं।

सिस्टम में सभी इंटरसेक्टरल आपूर्ति (2") को समानता (4) के अनुसार बदलकर, हम प्राप्त करते हैं लियोन्टीफ का रैखिक संतुलन मॉडलमेहरबान

या मैट्रिक्स रूप में

एक्स = कुल्हाड़ी + वाई। (6)

इस मॉडल के साथ, आप कर सकते हैं तीन प्रकार की नियोजित गणना:

1. मॉडल में प्रत्येक उद्योग के सकल उत्पादन का मूल्य निर्धारित करके एक्स मैं,प्रत्येक उद्योग के अंतिम उत्पादों की मात्रा निर्धारित करना संभव है यीसूत्र के अनुसार

वाई = (ई - ए) एक्स।(7)

2. सभी उद्योगों के अंतिम उत्पादों के मूल्यों को निर्धारित करके यी, आप प्रत्येक उद्योग के सकल उत्पादन का मूल्य निर्धारित कर सकते हैं एक्स मैंसूत्र के अनुसार

(8)

3. कई उद्योगों के लिए, सकल उत्पादन के मूल्यों को निर्धारित करके, और अन्य सभी उद्योगों के लिए, अंतिम उत्पादों की मात्रा निर्धारित करके, आप पहले उद्योगों के अंतिम उत्पादों के लापता मूल्यों को पा सकते हैं और दूसरे के सकल उत्पादन की मात्रा।

सूत्रों (7) और (8) में इपहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है एन-वें क्रम, और (ई - ए) -1मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत दर्शाता है (ई - ए)।यदि मैट्रिक्स निर्धारक (ई - ए)शून्य से भिन्न है, अर्थात्। यदि यह मैट्रिक्स नॉनडीजेनरेट है, तो इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। आइए इस व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निरूपित करें तब आव्यूह रूप (8) में समीकरणों के निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है

परिभाषा 2.मैट्रिक्स तत्व बुलाया कुल सामग्री लागत के गुणांक. वे दिखाते हैं कि कितने उत्पादों का उत्पादन करने की आवश्यकता है। मैंवां उद्योग रिलीज करने के लिए अंतिम उत्पाद इकाइयाँवें उद्योग।

से आर्थिक भावनावैक्टर एक्सतथा यूउनके निर्देशांक की गैर-नकारात्मकता इस प्रकार है। समीकरण (6) की सकारात्मक घुलनशीलता का प्रश्न मैट्रिक्स के गुणों पर निर्भर करता है लेकिन. लेओन्टिव मॉडल के अनुसार नियोजित गणना की जा सकती है यदि मैट्रिक्स लेकिनहै उत्पादक.

परिभाषा3. गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स लेकिनबुलाया उत्पादक, अगर ऐसा कोई गैर-ऋणात्मक वेक्टर है एक्स 0, क्या

एक्स>एएक्स. (9)

असमानता (9) का अर्थ है कि प्रत्येक प्रकार के उत्पाद के उत्पादन के लिए स्वयं उत्पाद की लागत से कम लागत की आवश्यकता होगी। यह स्पष्ट है कि स्थिति (9) का अर्थ है अंतिम उत्पादन के सकारात्मक वेक्टर का अस्तित्व इंटरसेक्टोरल बैलेंस मॉडल (6) के लिए।

प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक के मैट्रिक्स के लिए लेकिनउत्पादक था आवश्यक और पर्याप्त,कि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:

1) मैट्रिक्स (ई - ए)गैर-ऋणात्मक रूप से उलटा है, अर्थात। मौजूद उलटा मैट्रिक्सबी \u003d (ई - ए) -1, गैर-नकारात्मक तत्वों से मिलकर;

2) मैट्रिक्स पंक्ति ई + ए + ए 2 + ए 3 + ...= अभिसरण करता है, और इसका योग मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के बराबर है बी = ;

3) मैट्रिक्स का सबसे बड़ा मॉड्यूलो eigenvalue l लेकिन, अर्थात्, अभिलक्षणिक समीकरण का हल , सख्ती से एक से कम. यह अनुमान लगाना आसान है कि l मैट्रिक्स की फ्रोबेनियस संख्या है लेकिन. फिर हमें उत्पादकता जांचने का एक और आसान तरीका मिलता है (हालाँकि यह केवल पर्याप्त संकेतउत्पादकता) मैट्रिक्स लेकिन: यदि प्रत्येक कॉलम (या पंक्ति) में मैट्रिक्स तत्वों का सबसे बड़ा योग एक से कम है, तो मैट्रिक्स उत्पादक है।

4) मैट्रिक्स के सभी प्रमुख अवयस्क (ई - ए),वे। सबमैट्रिक्स निर्धारक, तत्वों द्वारा गठितपहला कपंक्तियाँ और प्रथम कइस मैट्रिक्स के कॉलम, 1 से . तक का क्रम पी,सकारात्मक हैं।

आइए हम इस तथ्य के आधार पर कुल भौतिक लागतों के गुणांकों की एक और परिभाषा पर विचार करें कि किसी विशेष उत्पाद को प्राप्त करने के लिए प्रत्यक्ष लागतों के अतिरिक्त, अप्रत्यक्ष लागतें भी हैं। अप्रत्यक्ष लागत उत्पादन के पिछले चरणों से संबंधित है और उत्पाद में सीधे नहीं, बल्कि उत्पादन के अन्य साधनों के माध्यम से प्रवेश करती है (चित्र 1 देखें)।

परिभाषा 4.कुल सामग्री लागत का गुणांक उत्पादन के सभी पिछले चरणों में सभी मध्यवर्ती उत्पादों के माध्यम से i-वें उद्योग के उत्पादन की एक इकाई के उत्पादन के लिए i-वें उद्योग के उत्पादों की प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष लागत का योग है।

किराये पर लेना

परिभाषित करना:

लेकिन.

पर.

5. मैट्रिक्स है लेकिन

समाधान:

1. प्रत्येक उद्योग के सकल उत्पादन को बैलेंस शीट की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है:

ऊर्जा के लिए -

मैकेनिकल इंजीनियरिंग के लिए -

2. मैट्रिक्स तत्व लेकिनप्रत्यक्ष घरेलू लागत के गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

मैं , जे = 1, 2, …, एन;

इस प्रकार, हम प्रत्यक्ष आंतरिक लागत के गुणांकों का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं

3. लियोन्टीव के रैखिक संतुलन मॉडल का रूप है:

4. कुल लागत गुणांक मैट्रिक्स परसूत्र द्वारा खोजें

जहां ई है पहचान मैट्रिक्सदूसरा आदेश, अर्थात्।

- = .

1) निर्धारक

2) ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स .

3) संबंधित मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है बीजीय जोड़स्थानांतरित तत्वों के लिए, उदाहरण के लिए, . संलग्न मैट्रिक्स का रूप है

4) व्युत्क्रम मैट्रिक्स, अर्थात। पूर्ण लागत गुणांक मैट्रिक्स

= .

5. आव्यूह लेकिनउत्पादक है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, उत्पादकता शर्तें 1 और 3 पूरी होती हैं:

1) उलटा मैट्रिक्स (ई - ए) -1 0, क्योंकि इसके सभी तत्व गैर-ऋणात्मक हैं ;

3) मैट्रिक्स कॉलम के तत्वों का सबसे बड़ा योग लेकिन 0.8 है, जो एक से कम है।

उदाहरण 2उद्यमों का औद्योगिक समूह (होल्डिंग) तीन प्रकार के उत्पादों का उत्पादन करता है, जबकि समूह के तीन उद्यमों में से प्रत्येक एक प्रकार के उत्पाद के उत्पादन में माहिर होता है। उत्पादन का एक हिस्सा होल्डिंग के उद्यमों द्वारा खपत किया जाता है (आंतरिक खपत में जाता है), बाकी की आपूर्ति इसके बाहर (बाहरी उपभोक्ताओं को) की जाती है और यह अंतिम उत्पाद है। विशेषज्ञों प्रबंधन कंपनीप्राप्त आर्थिक अनुमान ( मैं=1,2,3; जे=1,2,3) तकनीकी मैट्रिक्स तत्व लेकिन(खपत दर, प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक) और अंतिम उत्पाद वेक्टर के तत्व वाई,जिन्हें तालिका में दर्शाया गया है।

आवश्यक:

1. प्रौद्योगिकी मैट्रिक्स की उत्पादकता की जाँच करें ए =() (प्रत्यक्ष अंतःउत्पादन लागत के गुणांकों के मैट्रिक्स)।

2. लियोन्टीव का एक रैखिक संतुलन मॉडल और होल्डिंग उद्यमों के उत्पादों के उत्पादन और वितरण के अंतरक्षेत्रीय संतुलन की एक तालिका का निर्माण, प्रत्येक उद्योग के लिए सकल उत्पादन, उत्पादों की अंतरक्षेत्रीय डिलीवरी, सशर्त रूप से शुद्ध उत्पादों का निर्धारण।

सभी परिकलित मानों को तीन दशमलव स्थानों पर गोल करें।

समाधान:

1. प्रक्रिया मैट्रिक्स उत्पादकता सत्यापन ए =():

, ,

,
.

निष्कर्ष: चूंकि मैट्रिक्स के सभी तत्व गैर-ऋणात्मक हैं और मैट्रिक्स के सभी तीन स्तंभों के तत्वों का योग है लेकिनएक से कम, फिर मैट्रिक्स लेकिनउत्पादक।

2. होल्डिंग उद्यमों के उत्पादों के उत्पादन और वितरण का संतुलन बनाना:

1) लेओन्टिव के रैखिक संतुलन मॉडल का रूप है

2) प्रत्येक उद्यम का सकल उत्पादन सूत्र द्वारा पाया जाता है

प्रदर्शन मैट्रिक्स गुणन

= ;

3) उत्पादों की इंटरसेक्टरल डिलीवरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

;

4) सशर्त शुद्ध उत्पादन समानता से मिलता है

;

5) हम इनपुट-आउटपुट बैलेंस की एक टेबल बनाते हैं

टिप्पणी।यदि निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त की जाती हैं तो शेष राशि सही ढंग से तैयार की जाती है:

1) कुल वर्तमान उत्पादन खपत कुल वर्तमान उत्पादन लागत के बराबर है मध्यवर्ती उत्पाद आर्थिक प्रणाली। हमारे मामले में, यह 628.333 के बराबर है।

2) कुल अंतिम उत्पाद कुल सशर्त शुद्ध उत्पाद के बराबर है। हमारे उदाहरण में, यह कुल मूल्य 510 है।

के लिए कार्य स्वतंत्र निर्णय

अभ्यास 1।संतुलन तालिका द्वारा दिए गए अर्थव्यवस्था का एक विविध मॉडल माना जाता है।

परिभाषित करना:

1. प्रत्येक उद्योग का सकल उत्पादन।

2. प्रत्यक्ष आंतरिक लागत के गुणांकों का मैट्रिक्स लेकिन.

3. एक रेखीय लेओन्टिव संतुलन मॉडल बनाएँ।

4. कुल लागत के गुणांकों का मैट्रिक्स पर.

5. मैट्रिक्स है लेकिनउत्पादक? प्रश्न का उत्तर देने के लिए कम से कम दो मानदंडों का प्रयोग करें।

सभी परिकलित मानों को तीन दशमलव स्थानों पर गोल करें।

विकल्प 1.1 - 1.10

विकल्प 1.1 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.2 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.3 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.4 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.5 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.6 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.7 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.8 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.9 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.10 - बैलेंस शीट

शून्य भाजक के बिना सभी परिमित-आयामी साहचर्य वास्तविक बीजगणित का वर्णन करने वाला एक प्रमेय जी फ्रोबेनियस द्वारा सिद्ध किया गया था। एफ. टी. का दावा है कि: 1) वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र और सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र शून्य विभाजकों के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी-कम्यूटेटिव बीजगणित हैं। 2) quaternions का शरीर एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी है, लेकिन शून्य भाजक के बिना कम्यूटेटिव बीजगणित नहीं है। वैकल्पिक परिमित-आयामी शून्य-भाजक बीजगणित का विवरण भी है: 3) केली बीजगणित एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक विकल्प है, लेकिन सहयोगी, शून्य-भाजक बीजगणित नहीं है। इन तीन कथनों को मिलाकर नकद। सामान्यीकृत फ्रोबेनियस प्रमेय। प्रमेय के निर्माण में शामिल सभी बीजगणित एकल-मूल्यवान विभाजन और एकता के साथ बीजगणित बन जाते हैं। F. t. को गैर-वैकल्पिक बीजगणित के मामलों में सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, यह साबित हो गया है कि शून्य भाजक के बिना किसी भी परिमित-आयामी वास्तविक बीजगणित का आयाम केवल 1, 2, 4, या 8 के बराबर मान ले सकता है। लिट।: फ्रोबेनियस एफ।, "जे। रेइन एंड एंज। मठ।", 1877, बीडी 82, एस. 230-315; कुरोश ए. जी., लेक्चर्स ऑन जनरल अलजेब्रा, दूसरा संस्करण, मॉस्को, 1973. ओ. ए. इवानोवा।

मूल्य देखें फ्रोबेनियस प्रमेयअन्य शब्दकोशों में

प्रमेय- प्रमेय, (ग्रीक प्रमेय से, लिट। तमाशा) (वैज्ञानिक)। एक प्रस्ताव, जिसकी वैधता स्वयंसिद्ध या पहले से सिद्ध अन्य पर आधारित प्रमाणों के माध्यम से स्थापित की जाती है ........
Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

प्रमेय जे.- 1. एक प्रस्ताव जिसकी सत्यता को प्रमाण की आवश्यकता होती है और वह (गणित में) प्रमाण द्वारा स्थापित होता है।
Efremova . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

कल्याण अर्थशास्त्र का दूसरा प्रमेय- - दावा करता है कि उत्पादन कारकों के योगदान के कुछ प्रारंभिक वितरण के लिए कोई पारेतो-इष्टतम राज्य संतुलन है।
आर्थिक शब्दकोश

दो-निधि पृथक्करण प्रमेय — सैद्धांतिक बयानक्या सब कुछ के बारे में
निवेशक दो संपत्तियों के संयोजन में निवेश करना पसंद करते हैं: जोखिम मुक्त
परिसंपत्ति और बाजार पोर्टफोलियो।
आर्थिक शब्दकोश

फिशर का पृथक्करण प्रमेय— कंपनी के निवेश का चुनाव डेटा के प्रति मालिकों के रवैये पर निर्भर नहीं करता है
निवेश। पोर्टफोलियो पृथक्करण प्रमेय भी कहा जाता है।
आर्थिक शब्दकोश

म्यूचुअल फंड प्रमेय- से जुड़े परिणाम
लागत मॉडल
पूंजी और दावा है कि
निवेशक सभी जोखिम भरा बनाना पसंद करेंगे
स्टॉक पोर्टफोलियो...
आर्थिक शब्दकोश

कारक मूल्य समीकरण प्रमेय (हेक्शर-ओहलिन-सैमुअलसन प्रमेय)- - इसके अनुसार, अंतर्राष्ट्रीय व्यापार के विकास के प्रभाव में,
के लिए निरपेक्ष और सापेक्ष कीमतों की बराबरी
व्यापारिक देशों में उत्पादन के कारक
आर्थिक शब्दकोश

कोस प्रमेय- - संपत्ति के अधिकारों के आधार पर, कोई कैसे निपट सकता है, इसका समाधान देता है " बाहरी प्रभाव": हवाई क्षेत्र का शोर, शांति भंग, कारखाने का धुआं, हवा में जहर और ........
आर्थिक शब्दकोश

पृथक्करण प्रमेय- (पृथक्करण प्रमेय) - पूंजी परिसंपत्ति मूल्यांकन मॉडल में - एक बयान जिसके अनुसार
इष्टतम
किसी के लिए जोखिम भरी संपत्ति का पोर्टफोलियो
निवेशक पर निर्भर नहीं है
आर्थिक शब्दकोश

कुशल सेट प्रमेय- यह दावा कि निवेशक केवल कुशल सेट से ही पोर्टफोलियो का चयन करेंगे।
आर्थिक शब्दकोश

ब्याज दर समता प्रमेय— ब्याज अंतर
दोनों देशों की दरें आगे की विनिमय दर और नकद दर के बीच के अंतर के बराबर हैं।
आर्थिक शब्दकोश

समानता मूल्य प्रमेय स्पॉट और फ्यूचर्स— आदर्श का वर्णन करने वाला प्रमेय
वर्तमान कीमतों के बीच संबंध "
हाजिर और वायदा कीमतें। कहा पे
ऐसे आदर्श रिश्ते से विचलन,......
आर्थिक शब्दकोश

पृथक्करण प्रमेय- प्रमेय यह बताते हुए कि
कीमत
प्रत्येक व्यक्ति के लिए निवेश
निवेशक अपनी उपभोक्ता प्राथमिकताओं पर निर्भर नहीं करता है। कोई भी निवेशक स्वीकार करेगा ...
आर्थिक शब्दकोश

पृथक्करण प्रमेय- की संपत्ति, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि एक निवेशक के लिए इष्टतम जोखिम भरी संपत्तियों का संयोजन जोखिम और लाभप्रदता के प्रति उसके दृष्टिकोण पर निर्भर नहीं करता है।
आर्थिक शब्दकोश

पोर्टफोलियो पृथक्करण प्रमेय / पोर्टफोलियो पृथक्करण प्रमेय— निवेशक द्वारा जोखिम भरे निवेश पोर्टफोलियो का चुनाव किया जाता है, भले ही इसके प्रति उसका रवैया कुछ भी हो
जोखिम। बुध फिशर पृथक्करण प्रमेय (
फिशर का पृथक्करण प्रमेय)
आर्थिक शब्दकोश

रायबकिंस्की का प्रमेय- (अंतर्राष्ट्रीय व्यापार के सिद्धांत में) - इसके अनुसार, वृद्धि
उत्पादन के कारकों में से एक की आपूर्ति और उपयोग से ............ में अनुपातहीन वृद्धि होती है।
आर्थिक शब्दकोश

सैमुएलसन-जोन्स प्रमेय- (अंतर्राष्ट्रीय व्यापार के सिद्धांत में) - इसके अनुसार
अंतरराष्ट्रीय व्यापार के विकास की ओर जाता है
विशिष्ट कारकों के मालिकों की आय वृद्धि
निर्यातोन्मुखी.......
आर्थिक शब्दकोश

स्टोलपर-सैमुअलसन प्रमेय — आर्थिक स्थिति, जिसके अनुसार किसी भी उत्पाद की कीमत में वृद्धि, अन्य कारकों के साथ अपरिवर्तित, उन संसाधनों की कीमतों में वृद्धि की ओर ले जाती है जिनका उपयोग किया जाता है ........
आर्थिक शब्दकोश

प्रमेय- -एस; तथा। [ग्रीक theōrēma] एक गणितीय प्रस्ताव जिसका सत्य प्रमाण द्वारा स्थापित होता है। ज्यामितीय एम। प्रमेय साबित करें।
Kuznetsov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

फ़र्मेट का ग्रैंड प्रमेय— , अनुमान, पहले FERMA द्वारा प्रस्तावित, कि सभी पूर्णांक n2 के लिए ऐसा कोई नहीं है प्राकृतिक संख्या x, y और z जो समीकरण xn+yn=zn को संतुष्ट करेंगे। एक के खेत में.......

प्रमेय-, एक कथन या वाक्य जो तथ्यों और स्वयंसिद्धों के आधार पर तार्किक तर्क से सिद्ध होता है। ग्रेट फार्म भी देखें।
वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

बेज़ू का प्रमेय— घात n के बहुपद Pn(x) को द्विपद x - b से भाग देने के बाद शेषफल, जहाँ b एक संख्या है, Pn(b) के बराबर है। ई. बेज़ू द्वारा स्थापित।

बर्नौली प्रमेय- में से एक प्रमेयों को सीमित करेंसंभाव्यता सिद्धांत; कानून का सबसे सरल मामला बड़ी संख्या, कुछ यादृच्छिक की घटना की आवृत्ति में विचलन के वितरण को संदर्भित करता है .........
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

Varignon प्रमेय- किसी भी केंद्र (या अक्ष) के सापेक्ष बलों की परिणामी प्रणाली का क्षण योग के बराबर हैएक ही केंद्र (अक्ष) के सापेक्ष इस प्रणाली के बलों के क्षण।
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

विएटा प्रमेय- F. Vieta द्वारा स्थापित प्रमेय: दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x पर गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया जाता है, और गुणनफल मुक्त पद होता है।
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

गॉस प्रमेय- इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का मुख्य प्रमेय, तनाव के प्रवाह के बीच संबंध स्थापित करना विद्युत क्षेत्रएक बंद सतह के माध्यम से और आवेशइस सतह के अंदर।
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

ज़ुकोवस्की प्रमेय:- भारोत्तोलन बल - द्रव की चिपचिपाहट के कारण उत्पन्न होने वाले शरीर (तथाकथित संलग्न भंवर) से जुड़े भंवरों के कारण तरल या गैस प्रवाह में शरीर पर कार्य करना ......
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

अर्नशॉ प्रमेय- 19वीं शताब्दी में अंग्रेजी वैज्ञानिक एस. अर्नशॉ द्वारा तैयार किया गया, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स प्रमेय, जिसके अनुसार किसी भी दूरी पर स्थित बिंदु आवेशों की एक प्रणाली ……..
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

कोसाइन प्रमेय- त्रिकोणमिति की प्रमेय, पक्षों के बीच संबंध स्थापित करना a, b, c मनमाना त्रिभुजऔर कोण की कोज्या ए और बी के बीच: c2 = a2 + b2 - 2abcosC।
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लाप्लास प्रमेयसंभाव्यता सिद्धांत के सीमित प्रमेयों में से एक है। यदि प्रत्येक n स्वतंत्र परीक्षणकिसी यादृच्छिक घटना E के घटित होने की प्रायिकता p (0 "p" 1) के बराबर है और m संख्या ........
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1 / 5

आज्ञा देना एक शरीर युक्त एक उप-शरीर के रूप में हो आर (\displaystyle \mathbb (आर)) वास्तविक संख्या, और दो शर्तें पूरी होती हैं:

दूसरे शब्दों में, एल (\displaystyle \mathbb (एल))वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित है।

फ्रोबेनियस प्रमेय कहता है कि ऐसा कोई भी निकाय एल (\displaystyle \mathbb (एल)):

ध्यान दें कि फ्रोबेनियस प्रमेय केवल परिमित-आयामी एक्सटेंशन पर लागू होता है आर (\displaystyle \mathbb (आर)). उदाहरण के लिए, यह गैर-मानक विश्लेषण के अतिवास्तविक संख्याओं के क्षेत्र को कवर नहीं करता है, जो एक विस्तार भी है आर (\displaystyle \mathbb (आर)), लेकिन परिमित-आयामी नहीं। एक अन्य उदाहरण परिमेय-कार्यों का बीजगणित है।

परिणाम और टिप्पणियाँ

अंतिम तीन कथन तथाकथित का निर्माण करते हैं सामान्यीकृत प्रमेयफ्रोबेनियस.

संमिश्र संख्याओं के क्षेत्र में बीजगणित को विभाजित करें

आयाम का बीजगणित एनसम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में आयाम का बीजगणित है 2एनके ऊपर आर (\displaystyle \mathbb (आर)). चतुष्कोणीय निकाय एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित नहीं है सी (\displaystyle \mathbb (सी)), केंद्र के बाद से एच (\displaystyle \mathbb (एच))एक आयामी वास्तविक स्थान है। इसलिए, केवल परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित खत्म हो गया सी (\displaystyle \mathbb (सी))बीजगणित है सी (\displaystyle \mathbb (सी)).

फ्रोबेनियस परिकल्पना

प्रमेय में साहचर्य की स्थिति होती है। यदि आप इस शर्त को अस्वीकार करते हैं तो क्या होगा? फ्रोबेनियस अनुमान में कहा गया है कि n के लिए साहचर्य की स्थिति के बिना भी वास्तविक रूप में 1, 2, 4, 8 से भिन्न है। रैखिक स्थान आर नहींकोई एक विभाजन बीजगणित की संरचना को परिभाषित नहीं कर सकता है। फ्रोबेनियस की परिकल्पना 60 के दशक में सिद्ध हुई थी। XX सदी।

मैं मोटा एन> 1अंतरिक्ष में आर नहींशून्य भाजक के बिना द्विरेखीय गुणन परिभाषित किया जाता है, फिर गोले पर एस n-1 मौजूद है एन-1रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर क्षेत्र। एडम्स द्वारा नंबर पर प्राप्त परिणामों से गोले पर वेक्टर क्षेत्र, यह इस प्रकार है कि यह केवल क्षेत्रों के लिए संभव है एस 1 , एस 3 , एस 7. इससे फ्रोबेनियस अनुमान सिद्ध होता है।

यह सभी देखें

साहित्य

बख्तुरिन यू.ए.आधुनिक बीजगणित की मूल संरचनाएँ। - एम।: नौका, 1990। - 320 पी।
कुरोश, ए, जी।व्याख्यान-पर-सामान्य-बीजगणित। दूसरा संस्करण। - एम।: नौका, 1973। - 400 पी।
पोंट्रीगिन, एल।, एस।संख्याओं का सामान्यीकरण। - एम।: नौका, 1986. - 120 पी। - (लाइब्रेरी "क्वांटम", अंक 54)।

गिनती
सेट

वास्तविक संख्या
और उनके विस्तार

विस्तार उपकरण
संख्या प्रणाली

संख्याओं का पदानुक्रम


− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

अगर मैं = f0g, तो एफ = आर।

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

अगर मैं = f0g, तो एफ = आर।

यदि आयाम उप-स्थान I 1 के बराबर है, तो एफ = सी।

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

अगर मैं = f0g, तो एफ = आर।

यदि आयाम उप-स्थान I 1 के बराबर है, तो F = C. मान लीजिए कि आयाम उप-स्थान I 1 से अधिक

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

रिक्त स्थान I मान लीजिए मैं = p1 u। फिर

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

रैखिक रूप से लें स्वतंत्र प्रणालीवैक्टर फू; वीजी रैखिक


रिक्त स्थान I चलो मैं =


i2 =

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू 2 (यू2 ) =

i2 = p1 यू 2 यू

पी 1 यू 2 यू =

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू 2 (यू2 ) = 1:

i2 = p1 यू 2 यू

पी 1 यू 2 यू =

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I मान लीजिए मैं = p1 u। तब i2 = 1:

योग में i v = + x, जहाँ 2 R, x 2 I।

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक


रिक्त स्थान I चलो मैं =				यू तब i2 = 1:

	F . से तत्वों के अपघटन पर लेम्मा
	मैं वी = + एक्स, जहां		2 आर, एक्स 2 आई। के अनुसार
		(i + v) 2 मैं , in	विशेष रूप से, (i + v)2< 0.


	(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक


रिक्त स्थान I चलो मैं =				यू तब i2 = 1:

	F . से तत्वों के अपघटन पर लेम्मा
	मैं वी = + एक्स, जहां		2 आर, एक्स 2 आई। के अनुसार
		(i + v) 2 मैं , in	विशेष रूप से, (i + v)2< 0.


	(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

F . से तत्वों के अपघटन पर लेम्मा

मैं वी = + एक्स, जहां

2 आर, एक्स 2 आई।

के अनुसार

(i + v) 2 मैं ,

विशेष रूप से, (i + v)2< 0.

(आई+वी)2

(मैं + वी)!

(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

F . से तत्वों के अपघटन पर लेम्मा

मैं वी = + एक्स, जहां

2 आर, एक्स 2 आई।

के अनुसार

(i + v) 2 मैं ,

विशेष रूप से, (i + v)2< 0.

(आई+वी)2

(मैं + वी)!

(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक



रिक्त स्थान I चलो मैं =				यू तब i2 = 1:

			अपघटन के बारे में		से तत्व
		मैं वी = + एक्स, जहां			2 आर, एक्स 2 आई।
			(मैं + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

	(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

अपघटन के बारे में

से तत्व

मैं वी = + एक्स, जहां

2 आर, एक्स 2 आई।

(i1 + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

(आई+वी)2

मैं जे = मैं

(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

तत्वों के अपघटन के बारे में

मैं वी = + एक्स, जहां

एक्स 2 मैं।

(i1 + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

(आई+वी)2

मैं जे = मैं

(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

अपघटन के बारे में

तत्वों

मैं वी = + एक्स, जहां

एक्स 2 मैं।

(i1 + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

(आई+वी)2

मैं जे = मैं

(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

अपघटन के बारे में

तत्वों

मैं वी = + एक्स, जहां

एक्स 2 मैं।

(i1 + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

(आई+वी)2

मैं जे = मैं

(आई+वी)2

एक्स 2 मैं :

(आई+वी)2

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक



रिक्त स्थान I चलो मैं =			यू तब i2 = 1:
रिक्त स्थान I चलो मैं =			यू तब i2 = 1:
		अपघटन के बारे में		से तत्व
	मैं वी = + एक्स, जहां			2 आर, एक्स 2 आई।

(आई+वी)2

माध्यम, ,

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक



रिक्त स्थान I चलो मैं =				यू तब i2 = 1:
रिक्त स्थान I चलो मैं =				यू तब i2 = 1:
			अपघटन के बारे में		से तत्व
		मैं वी = + एक्स, जहां			2 आर, एक्स 2 आई।
			(मैं + वी)। हमारे पास j2 = 1, i j 2I है:
	(आई+वी)2		(मैं + वी)। हमारे पास j2 = 1, i j 2I है:

मैं + जे + आई जे; ; ; 2आर

चतुर्धातुक शरीर।

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक



रिक्त स्थान I चलो मैं =				यू तब i2 = 1:
रिक्त स्थान I चलो मैं =				यू तब i2 = 1:
			अपघटन के बारे में		से तत्व
		मैं वी = + एक्स, जहां			2 आर, एक्स 2 आई।
			(मैं + वी)। हमारे पास j2 = 1, i j 2I है:
	(आई+वी)2		(मैं + वी)। हमारे पास j2 = 1, i j 2I है:
इसलिए, लेम्मा द्वारा चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F में एम्बेड करने पर,

मैं + जे + आई जे; ; ; 2आर

चतुर्धातुक शरीर।

इस प्रकार, यदि रैखिक स्थान I का आयाम 3 है, तो F चतुष्कोणों का एक पिंड है।

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

उप-स्थान I 3 से अधिक

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्र

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

के आधार पर सबस्पेस लेम्मास Iटी = एम + आई + जे + के 2आई। से रैखिक स्वतंत्रतावैक्टर की प्रणाली फाई; जे; क; अगले मिलीग्राम-

उस t 6 = 0 को उड़ा देता है।

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

सबस्पेस लेम्मा I

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

यह साबित हो गया है कि 0 6= टी = एम + आई + जे + के 2 आई। द्वारा सबस्पेस लेम्मा I

मैं टी = मैं एम + के जे =

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

यह साबित हो गया है कि 0 6= टी = एम + आई + जे + के 2 आई। द्वारा सबस्पेस लेम्मा I

मैं टी = मैं एम + के जे = एक्स + के जे

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

यह साबित हो गया है कि 0 6= टी = एम + आई + जे + के 2 आई। द्वारा सबस्पेस लेम्मा I

मैं टी = मैं एम + के जे = एक्स + के जे 2 मैं:

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि jt 2 I, k t 2 I.

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

		एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

साबित किया कि	0 6= टी = एम + आई + जे + के 2 मैं। सबप्रो पर विवाद-
अंतरिक्ष मैं	मैं टी 2 मैं, जे टी 2 मैं,
हम n = डालते हैं
हम n = डालते हैं

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

एन मैं जे = मैं एन जे =

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

एन के = एन मैं जे = मैं एन जे =

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

VII.6. सबूत फ्रोबेनियस प्रमेय

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

इसलिए, 2k n = 0, एक अंतर्विरोध।

सातवीं। फ्रोबेनियस प्रमेय

प्रमेय 2. मान लीजिए F एक पिंड है, और R F,


9i1 ; i2 ; : : ; में		9 0;1;2; : : ;n 2 आर
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

तब F या तो R, या C, या चतुष्कोणों का पिंड है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

ध्यान!

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