प्रमेय एक मुक्त विश्व बाजार को एक ऐसी स्थिति के रूप में समझा जाता है जहां माल और पूंजी दुनिया भर में स्वतंत्र रूप से घूम सकते हैं, मुद्राएं स्वतंत्र रूप से परिवर्तनीय हैं, सीमाओं पर शुल्क कम हैं, या कोई कर्तव्य या सीमाएं नहीं हैं, और उद्यम, फॉर्म की परवाह किए बिना

प्रमेय(फ्रोबेनियस-पेरोन)। गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स लेकिनऐसा है eigenvalue, क्या किसी भी eigenvalue के लिए मैट्रिक्स लेकिन।इसके अलावा, एक गैर-नकारात्मक है आइजन्वेक्टर, अपने स्वयं के नंबर के अनुरूप। इसके अलावा, अगर लेकिनअविनाशी, तब और मौजूद है .

परिभाषा 1.एक गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स का आइजनवैल्यू लेकिनबुलाया फ्रोबेनियस संख्या (फ्रोबेनियस संख्या),और eigenvector – फ्रोबेनियस वेक्टर (फ्रोबेनियस वेक्टर)मैट्रिक्स लेकिन.

एक गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स की फ्रोबेनियस संख्या निर्धारित करने के लिए लेकिनसमीकरण (2) को हल करना आवश्यक है, और फिर जड़ों के बीच (eigenvalues) ) अधिकतम गैर-ऋणात्मक मान चुनें। फ्रोबेनियस वेक्टर समीकरण (1) से पाया जाता है, इसे के बजाय इसमें प्रतिस्थापित किया जाता है फ्रोबेनियस संख्या।

फ्रोबेनियस संख्याओं में श्रृंखला होती है गुण, जो पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है। इन गुणों में से एक मैट्रिक्स की फ्रोबेनियस संख्या निर्धारित करने का एक आसान तरीका देता है: यदि एक गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स A की पंक्तियों (या स्तंभों) के सभी तत्वों का योग समान संख्या के बराबर है, तो फ्रोबेनियस संख्या बराबर है।

उदाहरण।होने देना

; .

फिर =6 , मैट्रिक्स के प्रत्येक स्तंभ के तत्वों के योग के बाद से लेकिनबराबर 6 , तथा =3 , मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों के योग के बाद से परबराबर 3.

फ्रोबेनियस नंबर और वेक्टर का उपयोग बैलेंस शीट आर्थिक मॉडल में और विशेष रूप से मॉडल में किया जाता है अंतर्राष्ट्रीय व्यापार. इस प्रकार, अंतर्राष्ट्रीय व्यापार के मॉडल में राष्ट्रीय आय का संतुलन वेक्टर अंतर्राष्ट्रीय विनिमय के संरचनात्मक मैट्रिक्स का फ्रोबेनियस वेक्टर है। अलावा,
मैट्रिक्स की उत्पादकता के मानदंडों में से एक, जिस पर नीचे चर्चा की जाएगी, फ्रोबेनियस संख्या के संदर्भ में तैयार किया गया है।

4.2. लियोन्टीफ का एक विविध अर्थव्यवस्था का मॉडल

अर्थव्यवस्था के कुशल कामकाज के बीच संतुलन की आवश्यकता होती है व्यक्तिगत उद्योग आर्थिक प्रणाली. इस मामले में, प्रत्येक उद्योग एक ओर, कुछ उत्पादों के निर्माता के रूप में, और दूसरी ओर, अन्य उद्योगों द्वारा उत्पादित उत्पादों के उपभोक्ता के रूप में कार्य करता है।

संतुलन विश्लेषण का उद्देश्य- मैक्रोइकॉनॉमिक्स में उत्पन्न होने वाले प्रश्न का उत्तर देने के लिए और एक विविध अर्थव्यवस्था की दक्षता से संबंधित है: प्रत्येक के उत्पादन की मात्रा क्या होनी चाहिए एनइस उद्योग के उत्पादों में सभी जरूरतों को पूरा करने के लिए उद्योग? आर्थिक प्रणाली जिसके लिए अंतरक्षेत्रीय विश्लेषण की पद्धति लागू की जाती है वह बड़ी (देश की अर्थव्यवस्था) या छोटी (क्षेत्र की अर्थव्यवस्था या एक उद्यम) हो सकती है।

आर्थिक प्रणाली की शाखाओं के बीच संबंधों के दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए तालिकाओं का उपयोग किया जाता है। एक निश्चित प्रकारकौन बुलाया गया इंटरसेक्टोरल बैलेंस टेबल (IOB). इन तालिकाओं को पहली बार 1926 में यूएसएसआर में प्रकाशित किया गया था। MOB टेबल आर्थिक नीति के क्षेत्र में पूर्वानुमान और निर्णय लेने के लिए आवश्यक देश की अर्थव्यवस्था में संरचनात्मक अनुपात और अंतरक्षेत्रीय संबंधों पर विस्तृत जानकारी के साथ अधिकारियों और अनुसंधान संगठनों को प्रदान कर सकते हैं।

अंतर करना रिपोर्टिंगतथा नियोजित अंतरक्षेत्रीय संतुलन. रिपोर्टिंग इंटरसेक्टरल बैलेंस रिपोर्टिंग वर्ष के लिए देश में निर्मित उत्पादों के उत्पादन और खपत की संरचना को दर्शाता है। नियोजित इनपुट-आउटपुट संतुलन सकल घरेलू उत्पाद के उत्पादन की योजना बनाने के लिए है। यूएसएसआर में, ऐसी योजना राज्य योजना आयोग द्वारा विकसित की गई थी और यह एक निर्देश था। बाजार अर्थव्यवस्था वाले कुछ देशों में, उदाहरण के लिए, जापान और फ्रांस में, ऐसी योजना विकसित की जा रही है, लेकिन यह सांकेतिक है, जो अनिवार्य नहीं है, लेकिन आर्थिक अभिनेताओं को ऐसे कार्यों पर लक्षित करना है जो समाज के दृष्टिकोण से तर्कसंगत हैं .

पर सोवियत कालहमारे देश में 1959 से 1987 तक नियमित रूप से अंतरक्षेत्रीय संतुलन तालिकाएँ विकसित की गईं। मूल्य में पहला नियोजित अंतरक्षेत्रीय संतुलन और प्रकार में 1962 में बनाए गए थे। आगे का काम गणराज्यों और क्षेत्रों तक बढ़ाया गया था। 1966 के आंकड़ों के अनुसार, सभी के लिए अंतरक्षेत्रीय संतुलन बनाए गए थे संघ गणराज्यतथा आर्थिक क्षेत्रआरएसएफएसआर। नवीनतम बुनियादी इनपुट-आउटपुट टेबल 1995 में विकसित किए गए थे। तथ्य यह है कि इन तालिकाओं में उद्योगों और उत्पादों के नामकरण वर्तमान पर आधारित थे अखिल रूसी वर्गीकारकउद्योगों राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था, जो अब अप्रचलित है।

14 फरवरी, 2009 को, रूस की सरकार संख्या 201-r का आदेश जारी किया गया था, जिसने रोसस्टैट को 2011 के लिए बुनियादी इनपुट-आउटपुट टेबल विकसित करने का आदेश दिया, 2015 में उन्हें सरकार को प्रस्तुत करने के लिए रूसी संघऔर हर 5 साल में एक बार नियमित आधार पर बुनियादी इनपुट-आउटपुट टेबल का विकास करना। टेबल्स के अनुसार विकसित किया जाना चाहिए अंतरराष्ट्रीय मानकइनपुट-आउटपुट तालिकाओं के संकलन के लिए और रूसी सूचना आधार की बारीकियों को ध्यान में रखते हुए संयुक्त राष्ट्र और यूरोस्टेट मैनुअल में निर्धारित किया गया है।

गणित का मॉडलअंतरक्षेत्रीय संतुलन, विश्लेषण, योजना और पूर्वानुमान के लिए पर्याप्त अवसरों की अनुमति देना आर्थिक गतिविधि 1936 में प्रसिद्ध अर्थशास्त्री वी.वी. लियोन्टीव। Leontiev . द्वारा प्रस्तावित बीजीय सिद्धांतइनपुट-आउटपुट विश्लेषण एक प्रणाली में कम हो गया था रेखीय समीकरण , जिसमें पैरामीटर उत्पादन लागत के गुणांक थे। लियोन्टीव ने दिखाया कि अर्थव्यवस्था के क्षेत्रों (वर्तमान सामग्री लागत के गुणांक) के बीच संबंधों को व्यक्त करने वाले गुणांक सांख्यिकीय रूप से अनुमानित किए जा सकते हैं, कि वे काफी स्थिर हैं और भविष्यवाणी की जा सकती है; सबसे महत्वपूर्ण गुणांक के अस्तित्व की पुष्टि की, जिनमें से परिवर्तनों की निगरानी पहले स्थान पर की जानी चाहिए। माप की सापेक्ष सादगी ने इनपुट-आउटपुट पद्धति की महान विश्लेषणात्मक और भविष्य कहनेवाला क्षमताओं को निर्धारित किया।

आइए हम अंतरक्षेत्रीय संतुलन मॉडल के सरलतम संस्करण पर विचार करें। मान लीजिए कि राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के पूरे उत्पादन क्षेत्र को विभाजित किया गया है एनस्वच्छ उद्योग। एक शुद्ध उद्योग एक सशर्त अवधारणा है जो राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के कुछ हिस्से को परिभाषित करता है, कम या ज्यादा अभिन्न (उदाहरण के लिए, ऊर्जा, इंजीनियरिंग, कृषिआदि।)।

चलो उत्पादों की संख्या हो मैंउत्पादन पर खर्च किया गया वां उद्योग जे-वें उद्योग ( अंतरक्षेत्रीय आपूर्ति, सामग्री की लागत), - उत्पादन की मात्रा मैं-वें उद्योग एक निश्चित अवधि के लिए - सकल उत्पादन, - उत्पादों की खपत की मात्रा मैं-गैर-विनिर्माण क्षेत्र में उद्योग - अंतिम खपत मात्रा, - सशर्त रूप से शुद्ध उत्पादन, जिसमें मजदूरी, शुद्ध आय और मूल्यह्रास कटौती शामिल है जिसका उपयोग अचल संपत्तियों की सेवानिवृत्ति के लिए क्षतिपूर्ति के लिए किया जाता है।

सभी संकेतित मात्राओं की माप की इकाइयाँ प्राकृतिक (घन मीटर, टन, टुकड़े, आदि) या लागत हो सकती हैं। इसके आधार पर, वहाँ हैं प्राकृतिकतथा मूल्यअंतरक्षेत्रीय संतुलन। हम लागत संतुलन पर विचार करेंगे।

तालिका 1 मूल्य के संदर्भ में इनपुट-आउटपुट संतुलन का एक योजनाबद्ध आरेख दिखाती है। प्रत्येक उद्योग को दो तरह से दर्शाया जाता है: एक पंक्ति के एक तत्व के रूप में, यह उत्पादों के निर्माता के रूप में कार्य करता है, और एक स्तंभ के एक तत्व के रूप में, यह अपने और अन्य उद्योगों के उत्पादों के उपभोक्ता के रूप में कार्य करता है। ध्यान दें कि एमईपी तालिका में चार भाग होते हैं ( चतुर्थ भाग) विभिन्न आर्थिक सामग्री वाले।

पहला चतुर्थांशभीड़ है आवश्यक भागइंटरसेक्टोरल बैलेंस, जिसमें इंटरसेक्टोरल संबंधों की जानकारी होती है।

तालिका एक - सामान्य योजनाउत्पादों के उत्पादन और वितरण का अंतरक्षेत्रीय संतुलन

विनिर्माण उदयोग	उपभोग करने वाले उद्योग	कुल	अंतिम उत्पाद	सकल उत्पाद
		…	जे	…	एन
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
मैं
…	…	…	मैं चतुर्थांश	…	…	द्वितीय चतुर्थांश
एन			…		…
कुल			…
सशर्त शुद्ध उत्पाद			…		…			चतुर्थ चतुर्थांश
			तृतीय चतुर्थांश
सकल उत्पाद			…		…

इस चतुर्थांश का अधिकांश भाग अंतर-उद्योग आपूर्ति द्वारा दर्शाया गया है। एक ही समय में, प्रत्येक में अंतरक्षेत्रीय प्रसव मैं-वीं पंक्ति (वर्तमान उत्पादन खपत)दिखाएं कि कितने उत्पाद उत्पादित हैं मैंवें उद्योग का उपभोग आर्थिक प्रणाली के अन्य सभी क्षेत्रों द्वारा किया जाता है, जिनमें शामिल हैं मैंवां। प्रत्येक में इंटरसेक्टोरल डिलीवरी जे-वां स्तंभ (वर्तमान उत्पादन लागत)- उपभोज्य है जेवें उद्योग सहित सभी उद्योगों द्वारा उत्पादित उत्पादन की मात्रा जेवां। प्रथम चतुर्थांश का अंतिम स्तंभ और अंतिम पंक्ति क्रमशः दर्शाती है कुल वर्तमान उत्पादन खपतउद्योग उत्पाद मैंसभी उद्योग और कुल वर्तमान उत्पादन लागतउद्योग के उत्पादों के उत्पादन के लिए सभी उद्योग जे. यह सत्यापित करना आसान है कि अंतिम स्तंभ के तत्वों और चतुर्थांश I की अंतिम पंक्ति के योग समान पदों से मिलकर बने हैं और इसलिए एक दूसरे के बराबर हैं। यह सामान्य अर्थ प्रथम चतुर्थांश के निचले दाएं कोने में प्रस्तुत किया गया है। इसे कहते हैं मध्यवर्ती उत्पादआर्थिक प्रणाली और इसका मतलब है कि कुल वर्तमान उत्पादन खपत कुल वर्तमान उत्पादन लागत के बराबर है.

दूसरा चतुर्थांशदो कॉलम से मिलकर बनता है। उनमें से पहला सभी उद्योगों के अंतिम उत्पादों का एक स्तंभ है, अर्थात्, अंतिम व्यक्तिगत और सामाजिक उपभोग के क्षेत्र के लिए उत्पादन के क्षेत्र को छोड़ने वाले उत्पाद जो वर्तमान उत्पादन आवश्यकताओं के लिए उपयोग नहीं किए जाते हैं। दूसरा कॉलम उद्योगों के सकल उत्पादन की मात्रा प्रस्तुत करता है

चतुर्थांश I और II प्रतिबिंबित करते हैं उत्पादन और खपत के बीच संतुलन।

तीसरा चतुर्थांशदो पंक्तियों द्वारा दर्शाया गया है: सशर्त रूप से शुद्ध उत्पादन की एक पंक्ति और उद्योगों के सकल उत्पादन की मात्रा की एक पंक्ति।

पहला और तीसरा चतुर्थांश दर्शाता है प्रत्येक उद्योग के उत्पादन की लागत संरचना (या राष्ट्रीय आय की लागत संरचना)।

चौथा चतुर्थांशउत्पादन के क्षेत्र से सीधे संबंधित नहीं है, इसलिए इसका कोई अर्थ नहीं है। वास्तव में, इस चतुर्थांश को प्रतिबिंबित करना चाहिए कि भौतिक उत्पादन के क्षेत्र में जनसंख्या की प्राथमिक आय कैसे प्राप्त होती है ( वेतन, व्यक्तिगत आय, आदि), राज्य (कर, लाभ, आदि), उद्यमों को विभिन्न चैनलों (वित्तीय और ऋण प्रणाली, सेवा क्षेत्र, सामाजिक-राजनीतिक संगठनों, आदि) के माध्यम से पुनर्वितरित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अंतिम आय का निर्माण होता है। जनसंख्या, राज्यों आदि के

चलो इमारत पर चलते हैं लियोन्टीव का रैखिक संतुलन मॉडल (एलबीएम)।वह प्रतिनिधित्व करती है रैखिक समीकरणों की प्रणाली, जिनमें से प्रत्येक एक विशेष आर्थिक क्षेत्र द्वारा उत्पादित उत्पादों और संपूर्ण आर्थिक प्रणाली में इन उत्पादों की कुल मांग के बीच समानता (संतुलन) को दर्शाता है।

भीड़ योजना को ध्यान में रखते हुए कॉलम द्वारा, हम एक स्पष्ट निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी उपभोक्ता उद्योग की वर्तमान उत्पादन लागत और उसके सशर्त शुद्ध उत्पादन का योग इस उद्योग के सकल उत्पादन के बराबर है। इस निष्कर्ष को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है:

भीड़ योजना को ध्यान में रखते हुए पंक्ति दर पंक्तिप्रत्येक विनिर्माण उद्योग के लिए, यह देखा जा सकता है कि किसी विशेष उद्योग का सकल उत्पादन सभी उद्योगों द्वारा उसके उत्पादों की वर्तमान उत्पादन खपत और इस उद्योग के अंतिम उत्पादों के योग के बराबर है:

,मैं = 1,2, …, एन (2)

आइए हम प्रणाली (1) और (2) की सभी शाखाओं का योग करें, हमें प्राप्त होता है

,

.

दो समानताओं के बाएँ भाग समान हैं, क्योंकि वे संपूर्ण सकल सामाजिक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करते हैं। दायीं भुजाओं के प्रथम पद भी समान हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह है आर्थिक प्रणाली का मध्यवर्ती उत्पाद।एमओबी तालिका की बैलेंस शीट प्रकृति इस तथ्य में व्यक्त की जाती है कि स्पष्ट रूप से पहले से संकेतित राशियों की समानता से स्पष्ट होता है कुल अंतिम और कुल सशर्त शुद्ध उत्पादन की समानता, वह है

.

एलएमई प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम (2) के साथ काम करना जारी रखते हैं, इसे विस्तारित रूप में प्रस्तुत करते हैं

(2")

IEP के आर्थिक और गणितीय मॉडल का आधार है प्रत्यक्ष अंतर-उत्पादन लागत के गुणांकों का मैट्रिक्स (तकनीकी गुणांक का मैट्रिक्स) =(a ij)।

परिभाषा 1.प्रत्यक्ष घरेलू लागत अनुपात ऐजोकितने उत्पाद दिखाओ मैं-उत्पादन के लिए उद्योग की जरूरतें (यदि केवल प्रत्यक्ष लागत को ध्यान में रखा जाए) सकल उत्पादन की इकाइयाँ-वें उद्योग, वह है

समानता (3) से हम प्राप्त करते हैं

. (4)

वास्तविक अर्थव्यवस्था में मूल्य प्राप्त करने के लिए, दो विधियों का उपयोग किया जा सकता है:

1. सांख्यिकीय।गुणांक पिछले वर्षों के रिपोर्टिंग शेष के विश्लेषण के आधार पर निर्धारित किए जाते हैं। इस मामले में, इस मामले में प्रत्यक्ष लागत गुणांक की स्थिरता इनपुट-आउटपुट संतुलन की शाखाओं के उपयुक्त विकल्प द्वारा प्राप्त की जाती है। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, जब सही पसंदपर्याप्त रूप से बड़े उद्योगों के लिए, गुणांक काफी स्थिर होते हैं।

2. सामान्य।इंटरसेक्टोरल बैलेंस के उद्योग का एक मॉडल बनाया जा रहा है। इस मॉडल में, उद्योग को व्यक्तिगत उद्योगों के एक समूह के रूप में माना जाता है, जिनमें से प्रत्येक के लिए लागत मानकों को पहले ही विकसित किया जा चुका है। यदि आप पहले से जानते हैं कि उद्योग द्वारा कौन से उत्पादों का उत्पादन किया जाएगा, तो लागत मानकों के अनुसार, आप प्रत्यक्ष लागत के औसत उद्योग गुणांक की गणना कर सकते हैं।

सिस्टम में सभी इंटरसेक्टरल आपूर्ति (2") को समानता (4) के अनुसार बदलकर, हम प्राप्त करते हैं लियोन्टीफ का रैखिक संतुलन मॉडलमेहरबान

या मैट्रिक्स रूप में

एक्स = कुल्हाड़ी + वाई। (6)

इस मॉडल के साथ, आप कर सकते हैं तीन प्रकार की नियोजित गणना:

1. मॉडल में प्रत्येक उद्योग के सकल उत्पादन का मूल्य निर्धारित करके एक्स मैं,प्रत्येक उद्योग के अंतिम उत्पादों की मात्रा निर्धारित करना संभव है यीसूत्र के अनुसार

वाई = (ई - ए) एक्स।(7)

2. सभी उद्योगों के अंतिम उत्पादों के मूल्यों को निर्धारित करके यी, आप प्रत्येक उद्योग के सकल उत्पादन का मूल्य निर्धारित कर सकते हैं एक्स मैंसूत्र के अनुसार

(8)

3. कई उद्योगों के लिए, सकल उत्पादन के मूल्यों को निर्धारित करके, और अन्य सभी उद्योगों के लिए, अंतिम उत्पादों की मात्रा निर्धारित करके, आप पहले उद्योगों के अंतिम उत्पादों के लापता मूल्यों को पा सकते हैं और दूसरे के सकल उत्पादन की मात्रा।

सूत्रों (7) और (8) में इपहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है एन-वें क्रम, और (ई - ए) -1मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत दर्शाता है (ई - ए)।यदि मैट्रिक्स निर्धारक (ई - ए)शून्य से भिन्न है, अर्थात्। यदि यह मैट्रिक्स नॉनडीजेनरेट है, तो इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। आइए हम इस व्युत्क्रम मैट्रिक्स को द्वारा निरूपित करें। तब मैट्रिक्स रूप (8) में समीकरणों की प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है

.

परिभाषा 2.मैट्रिक्स तत्व बुलाया कुल सामग्री लागत के गुणांक. वे दिखाते हैं कि कितने उत्पादों का उत्पादन करने की आवश्यकता है। मैंवां उद्योग रिलीज करने के लिए अंतिम उत्पाद इकाइयाँवें उद्योग।

से आर्थिक भावनावैक्टर एक्सतथा यूउनके निर्देशांक की गैर-नकारात्मकता इस प्रकार है। समीकरण (6) की सकारात्मक घुलनशीलता का प्रश्न मैट्रिक्स के गुणों पर निर्भर करता है लेकिन. लेओन्टिव मॉडल के अनुसार नियोजित गणना की जा सकती है यदि मैट्रिक्स लेकिनहै उत्पादक.

परिभाषा3. गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स लेकिनबुलाया उत्पादक, अगर ऐसा कोई गैर-ऋणात्मक वेक्टर है एक्स 0, क्या

एक्स>एएक्स. (9)

असमानता (9) का अर्थ है कि प्रत्येक प्रकार के उत्पाद के उत्पादन के लिए स्वयं उत्पाद की लागत से कम लागत की आवश्यकता होगी। यह स्पष्ट है कि स्थिति (9) का अर्थ है अंतिम उत्पादन के सकारात्मक वेक्टर का अस्तित्व इंटरसेक्टोरल बैलेंस मॉडल (6) के लिए।

प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक के मैट्रिक्स के लिए लेकिनउत्पादक था आवश्यक और पर्याप्त,कि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:

1) मैट्रिक्स (ई - ए)गैर-ऋणात्मक रूप से उलटा है, अर्थात। मौजूद उलटा मैट्रिक्सबी \u003d (ई - ए) -1, गैर-नकारात्मक तत्वों से मिलकर;

2) मैट्रिक्स पंक्ति ई + ए + ए 2 + ए 3 + ...= अभिसरण करता है, और इसका योग मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के बराबर है बी = ;

3) मैट्रिक्स का सबसे बड़ा मॉड्यूलो eigenvalue l लेकिन, अर्थात्, अभिलक्षणिक समीकरण का हल , सख्ती से एक से कम. यह अनुमान लगाना आसान है कि l मैट्रिक्स की फ्रोबेनियस संख्या है लेकिन. फिर हमें उत्पादकता जांचने का एक और आसान तरीका मिलता है (हालाँकि यह केवल पर्याप्त संकेतउत्पादकता) मैट्रिक्स लेकिन: यदि प्रत्येक कॉलम (या पंक्ति) में मैट्रिक्स तत्वों का सबसे बड़ा योग एक से कम है, तो मैट्रिक्स उत्पादक है।

4) मैट्रिक्स के सभी प्रमुख अवयस्क (ई - ए),वे। सबमैट्रिक्स निर्धारक, तत्वों द्वारा गठितपहला कपंक्तियाँ और प्रथम कइस मैट्रिक्स के कॉलम, 1 से . तक का क्रम पी,सकारात्मक हैं।

आइए हम इस तथ्य के आधार पर कुल भौतिक लागतों के गुणांकों की एक और परिभाषा पर विचार करें कि किसी विशेष उत्पाद को प्राप्त करने के लिए प्रत्यक्ष लागतों के अतिरिक्त, अप्रत्यक्ष लागतें भी हैं। अप्रत्यक्ष लागत उत्पादन के पिछले चरणों से संबंधित है और उत्पाद में सीधे नहीं, बल्कि उत्पादन के अन्य साधनों के माध्यम से प्रवेश करती है (चित्र 1 देखें)।

परिभाषा 4.कुल सामग्री लागत का गुणांक उत्पादन के सभी पिछले चरणों में सभी मध्यवर्ती उत्पादों के माध्यम से i-वें उद्योग के उत्पादन की एक इकाई के उत्पादन के लिए i-वें उद्योग के उत्पादों की प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष लागत का योग है।

परिभाषित करना:

लेकिन.

पर.

5. मैट्रिक्स है लेकिन

समाधान:

1. प्रत्येक उद्योग के सकल उत्पादन को बैलेंस शीट की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है:

ऊर्जा के लिए -

मैकेनिकल इंजीनियरिंग के लिए -

2. मैट्रिक्स तत्व लेकिनप्रत्यक्ष घरेलू लागत के गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

मैं , जे = 1, 2, …, एन;

,

,

,

.

इस प्रकार, हम प्रत्यक्ष आंतरिक लागत के गुणांकों का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं

.

3. लियोन्टीव के रैखिक संतुलन मॉडल का रूप है:

4. कुल लागत गुणांक मैट्रिक्स परसूत्र द्वारा खोजें

जहां ई है पहचान मैट्रिक्सदूसरा आदेश, अर्थात्।

- = .

1) निर्धारक

2) ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स .

3) संबंधित मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है बीजीय जोड़स्थानांतरित तत्वों के लिए, उदाहरण के लिए, . संलग्न मैट्रिक्स का रूप है

.

4) व्युत्क्रम मैट्रिक्स, अर्थात। पूर्ण लागत गुणांक मैट्रिक्स

= .

5. आव्यूह लेकिनउत्पादक है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, उत्पादकता शर्तें 1 और 3 पूरी होती हैं:

1) उलटा मैट्रिक्स (ई - ए) -1 0, क्योंकि इसके सभी तत्व गैर-ऋणात्मक हैं ;

3) मैट्रिक्स कॉलम के तत्वों का सबसे बड़ा योग लेकिन 0.8 है, जो एक से कम है।

उदाहरण 2उद्यमों का औद्योगिक समूह (होल्डिंग) तीन प्रकार के उत्पादों का उत्पादन करता है, जबकि समूह के तीन उद्यमों में से प्रत्येक एक प्रकार के उत्पाद के उत्पादन में माहिर होता है। आउटपुट का एक हिस्सा होल्डिंग के उद्यमों द्वारा खपत किया जाता है (आंतरिक खपत में जाता है), बाकी की आपूर्ति इसके बाहर (बाहरी उपभोक्ताओं को) की जाती है और यह अंतिम उत्पाद है। विशेषज्ञों प्रबंधन कंपनीप्राप्त आर्थिक अनुमान ( मैं=1,2,3; जे=1,2,3) तकनीकी मैट्रिक्स तत्व लेकिन(खपत दर, प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक) और अंतिम उत्पाद वेक्टर के तत्व वाई,जिन्हें तालिका में दर्शाया गया है।

आवश्यक:

1. प्रौद्योगिकी मैट्रिक्स की उत्पादकता की जाँच करें ए =() (प्रत्यक्ष अंतःउत्पादन लागत के गुणांकों के मैट्रिक्स)।

2. लियोन्टीव का एक रैखिक संतुलन मॉडल और होल्डिंग उद्यमों के उत्पादों के उत्पादन और वितरण के अंतरक्षेत्रीय संतुलन की एक तालिका का निर्माण, प्रत्येक उद्योग के लिए सकल उत्पादन, उत्पादों की अंतरक्षेत्रीय डिलीवरी, सशर्त शुद्ध उत्पादों का निर्धारण।

सभी परिकलित मानों को तीन दशमलव स्थानों पर गोल करें।

समाधान:

1. प्रक्रिया मैट्रिक्स उत्पादकता सत्यापन ए =():

, ,

,
.

निष्कर्ष: चूंकि मैट्रिक्स के सभी तत्व गैर-ऋणात्मक हैं और मैट्रिक्स के सभी तीन स्तंभों के तत्वों का योग है लेकिनएक से कम, फिर मैट्रिक्स लेकिनउत्पादक।

2. होल्डिंग उद्यमों के उत्पादों के उत्पादन और वितरण का संतुलन बनाना:

1) लेओन्टिव के रैखिक संतुलन मॉडल का रूप है

2) प्रत्येक उद्यम का सकल उत्पादन सूत्र द्वारा पाया जाता है

.

प्रदर्शन मैट्रिक्स गुणन

= ;

3) उत्पादों की इंटरसेक्टरल डिलीवरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

;

4) सशर्त शुद्ध उत्पादन समानता से मिलता है

;

5) हम इनपुट-आउटपुट बैलेंस की एक टेबल बनाते हैं

टिप्पणी।यदि निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त की जाती हैं तो शेष राशि सही ढंग से तैयार की जाती है:

1) कुल वर्तमान उत्पादन खपत कुल वर्तमान उत्पादन लागत के बराबर है मध्यवर्ती उत्पाद आर्थिक प्रणाली। हमारे मामले में, यह 628.333 के बराबर है।

2) कुल अंतिम उत्पाद कुल सशर्त शुद्ध उत्पाद के बराबर है। हमारे उदाहरण में, यह कुल मूल्य 510 है।

के लिए कार्य स्वतंत्र निर्णय

अभ्यास 1।संतुलन तालिका द्वारा दिए गए अर्थव्यवस्था का एक विविध मॉडल माना जाता है।

परिभाषित करना:

1. प्रत्येक उद्योग का सकल उत्पादन।

2. प्रत्यक्ष आंतरिक लागत के गुणांकों का मैट्रिक्स लेकिन.

3. एक रेखीय लेओन्टिव संतुलन मॉडल बनाएँ।

4. कुल लागत के गुणांकों का मैट्रिक्स पर.

5. मैट्रिक्स है लेकिनउत्पादक? प्रश्न का उत्तर देने के लिए कम से कम दो मानदंडों का प्रयोग करें।

सभी परिकलित मानों को तीन दशमलव स्थानों पर गोल करें।

विकल्प 1.1 - 1.10

विकल्प 1.1 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.2 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.3 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.4 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.5 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.6 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.7 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.8 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.9 - बैलेंस शीट

विकल्प 1.10 - बैलेंस शीट

प्रमेय।विभाजन के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में कोई भी वैकल्पिक रैखिक बीजगणित एक आदर्श है लीनियर अलजेब्रा.

वास्तविक संख्या आर के क्षेत्र में एक वैकल्पिक रैखिक विभाजन बीजगणित बनें। आइए हम ए में संयुग्मन ऑपरेशन को निम्नानुसार पेश करें: यदि ए का तत्व ए 1 के समानुपाती है, तो ए = ए; यदि a, 1 के समानुपाती नहीं है, तो यह सम्मिश्र उप-बीजगणित में समाहित है। इस उप-बीजगणित में, तत्व a के लिए, एक संयुग्मी तत्व a होता है, जिसे हम बीजगणित में a से संयुग्मित तत्व के रूप में लेते हैं।

यह सीधे a की परिभाषा से अनुसरण करता है कि = a और भी = ka, जहां k R।

मान लीजिए कि A, 1 के समानुपाती नहीं है। एक चतुर्भुज उप-बीजगणित (K, +, . R, .) पर विचार करें, जिसमें a हो। इस उप-बीजगणित में, A के लिए, एक संयुग्मी तत्व a भी है। आइए हम दिखाते हैं कि a, a के साथ मेल खाता है।

तत्व a और a, जैसा कि जटिल बीजगणित में संयुग्मित होते हैं, शर्तों को पूरा करते हैं:

ए+ए = 2ए* 1, जहां एक आर, (14)

a* a = d*1, जहां d R. (15)

तत्व ए और ए, क्वाटरनियन बीजगणित में संयुग्म के रूप में, शर्तों को पूरा करते हैं:

ए + ए \u003d 2 ए 1 ​​* 1, जहां एक 1 आर, (14 ")

ए * ए = डी 1 * 1, जहां डी 1 आर (15 /)

(14/) और (15") में से क्रमशः (14/) और (15") से घटाएँ। तब:

ए - ए = 2 (ए - ए 1) * 1।

ए (ए - ए) = (डी-डी 1)* 1 2(ए - ए 1)ए*1.= (डी-डी 1)* 1.

ए (ए - ए), फिर ए = * 1,

वे। और 1 के समानुपाती है, जो धारणा का खंडन करता है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a से संयुग्मित तत्व समान है चाहे हम a को एक जटिल उप-बीजगणित के तत्व के रूप में मानें या किसी बीजगणित के चतुर्धातुक उप-बीजगणित के तत्व के रूप में।

इसी तरह |ए| 2 = एए एक जटिल उप-बीजगणित के मामले में और एक बीजगणित के चतुर्धातुक उप-बीजगणित के मामले में, ताकि तत्व ए का मापांक इस पर निर्भर न हो कि हम इसे एक जटिल या चतुर्धातुक उप-बीजगणित के तत्व के रूप में मानते हैं या नहीं। बीजगणित का।

तब किसी a, b A के लिए समानताएं सत्य हैं:

ए + और = ए *। (16)

यदि ए और बी बीजगणित के एक ही जटिल उप-बीजगणित से संबंधित हैं, तो समानताएं (16) इस उप-बीजगणित में गुण, संयुग्मन हैं। यदि वे विभिन्न जटिल उप-बीजगणित से संबंधित हैं, तो वे बीजगणित के चतुर्धातुक उप-बीजगणित में संयुग्मन गुणों के रूप में मान्य होंगे।

से = बी और दूसरी समानता (16) से यह इस प्रकार है कि = बीए, जहां से

ए + बीए = सी * 1, जहां सी आर।

(ए, +, आर,।) में हम स्केलर उत्पाद (ए, बी) को परिभाषित करते हैं

ए + बीए = 2 (ए, बी) * 1.

आइए हम दिखाते हैं कि (ए, बी) सभी गुणों को संतुष्ट करता है डॉट उत्पाद:

1) (ए, ए)> 0 ए के लिए? 0 और (0, 0) = 0।

वास्तव में,

(ए, ए) * 1 = (आ + आ) = आ = |ए|* 1,

और एक जटिल संख्या का मापांक, एक चतुर्भुज के मापांक की तरह, एक के लिए सख्ती से सकारात्मक है? 0 और a = 0 के लिए 0 के बराबर है।

2) (ए, बी) = (बी ए), चूंकि

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, तब (a, b) = (b, a)।

3) (ए, केबी) = के (ए, बी) के आर के लिए।

सचमुच,

(ए, केबी) = (ए () + केबीए) = (ए (के) + केबीए) = के (ए + बीए) = के (ए, बी)।

4) (ए, बी 1 + बी 2) = (ए, बी 1) + (ए, बी 2)

स्केलर उत्पाद की परिभाषा और (16) में पहली समानता से अनुसरण करता है।

से (ए, ए) = |ए| 2 1 वह = |a|, अर्थात, तत्व ए ए का मानदंड जटिल संख्या और चतुर्भुज दोनों के मॉड्यूलस ए के साथ मेल खाता है।

चूँकि बीजगणित से कोई भी दो तत्व a और b एक जटिल या एक चतुर्भुज उप-बीजगणित से संबंधित हैं, तो

|ab| 2 = |ए| 2 |बी| 2 (एबी, एबी) = (ए, ए) (बी, बी)।

इसलिए, (ए, बी) के लिए आंतरिक उत्पाद के सभी गुण संतुष्ट हैं। इसका तात्पर्य है कि बीजगणित एक मानक रैखिक बीजगणित है।

सामान्यीकृत फ्रोबेनियस प्रमेय। विभाजन और एकता के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में कोई भी वैकल्पिक रैखिक बीजगणित चार बीजगणितों में से एक के लिए समरूप है: वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र, जटिल संख्याओं का क्षेत्र, चतुर्भुज का शरीर, या सप्तक का बीजगणित।

चूंकि, जैसा कि में सिद्ध किया गया है पिछला प्रमेययदि विभाजन और एकता के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक वैकल्पिक रैखिक बीजगणित एक सामान्यीकृत रैखिक बीजगणित है, और बाद वाला, हर्विट्ज़ प्रमेय द्वारा, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में, या जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, या चतुर्भुज का तिरछा क्षेत्र, या सप्तक के बीजगणित, तो प्रमेय का कथन इससे अनुसरण करता है।

परिणाम और टिप्पणियाँ

• यह प्रमेय आदर्श वास्तविक बीजगणित पर हर्विट्ज़ के प्रमेय से निकटता से संबंधित है। सामान्य विभाजन बीजगणित - केवल $\backslash mathbb\; आर,\; \backslash mathbb\; सी,\; \backslash mathbb\; एच$और (गैर-सहयोगी) केली संख्याओं का बीजगणित।
• जटिल संख्याओं की प्रणाली का विस्तार करते समय, हम अनिवार्य रूप से कुछ खो देते हैं अंकगणितीय गुण: कम्यूटेटिविटी (चतुर्भुज), सहयोगीता (केली बीजगणित), आदि।
• दो (तीन के बजाय) quaternion इकाइयों के साथ quaternion प्रणाली का कोई एनालॉग नहीं है।
• खेत $\backslash mathbb\; आर$तथा $\backslash mathbb\; सी$शून्य भाजक के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी और कम्यूटेटिव बीजगणित हैं।
• क्वाटरनियन बॉडी $\backslash mathbb\; H$शून्य भाजक के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी लेकिन गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित है।
• केली बीजगणित शून्य भाजक के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक वैकल्पिक गैर-सहयोगी बीजगणित है।

अंतिम तीन कथन तथाकथित का निर्माण करते हैं सामान्यीकृत प्रमेयफ्रोबेनियस.

संमिश्र संख्याओं के क्षेत्र में बीजगणित को विभाजित करें

आयाम का बीजगणित एनमैदान के ऊपर $\backslash mathbb\; सी$सम्मिश्र संख्याएँ आयाम का बीजगणित है 2एनके ऊपर $\backslash mathbb\; आर$. क्वाटरनियन बॉडी $\backslash mathbb\; H$एक क्षेत्र पर बीजगणित नहीं है $\backslash mathbb\; सी$, केंद्र के बाद से $\backslash mathbb\; H$एक आयामी वास्तविक स्थान है। इसलिए, केवल परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित खत्म हो गया $\backslash mathbb\; सी$बीजगणित है $\backslash mathbb\; सी$.

फ्रोबेनियस परिकल्पना

प्रमेय में साहचर्य की स्थिति होती है। यदि आप इस शर्त को अस्वीकार करते हैं तो क्या होगा? फ्रोबेनियस अनुमान में कहा गया है कि n के लिए साहचर्य की स्थिति के बिना भी वास्तविक रूप में 1, 2, 4, 8 से भिन्न है। रैखिक स्थान आर नहींकोई एक विभाजन बीजगणित की संरचना को परिभाषित नहीं कर सकता है। फ्रोबेनियस की परिकल्पना 60 के दशक में सिद्ध हुई थी। XX सदी।

मैं मोटा एन> 1अंतरिक्ष में आर नहींशून्य भाजक के बिना द्विरेखीय गुणन परिभाषित किया जाता है, फिर गोले पर एस n-1 मौजूद है एन-1रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर क्षेत्र। एडम्स द्वारा नंबर पर प्राप्त परिणामों से गोले पर वेक्टर क्षेत्र, यह इस प्रकार है कि यह केवल क्षेत्रों के लिए संभव है एस 1 , एस 3 , एस 7. इससे फ्रोबेनियस अनुमान सिद्ध होता है।

यह सभी देखें

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साहित्य

• बख्तुरिन यू.ए.आधुनिक बीजगणित की मूल संरचनाएँ। - एम।: नौका, 1990। - 320 पी।
• कुरोश ए. जी.. - एम।: नौका, 1973। - 400 पी।
• पोंट्रीगिन एल. एस.. - एम।: नौका, 1986. - 120 पी। - (लाइब्रेरी "क्वांटम", अंक 54)।

|list5=कार्डिनल नंबर ऑर्डिनल नंबर्स (ट्रांसफिनिट, ऑर्डिनल) पी-एडिक सुपरनैचुरल नंबर सब कुछ बिखरा हुआ है। अंकल ने नताशा को घोड़े से उतार दिया और उसका हाथ पकड़कर पोर्च के जर्जर बोर्ड की सीढ़ियों तक ले गए। घर में, प्लास्टर नहीं, लॉग दीवारों के साथ, यह बहुत साफ नहीं था - यह स्पष्ट नहीं था कि रहने वाले लोगों का लक्ष्य यह था कि कोई दाग नहीं था, लेकिन कोई ध्यान देने योग्य उपेक्षा नहीं थी।
दालान में ताजे सेब की गंध आ रही थी, और भेड़िये और लोमड़ी की खाल लटकी हुई थी। चाचा ने अपने मेहमानों को सामने के हॉल के माध्यम से एक छोटे से कमरे में एक तह टेबल और लाल कुर्सियों के साथ ले जाया, फिर एक बर्च के साथ रहने वाले कमरे में गोल मेज़और एक सोफा, फिर एक कार्यालय में एक फटा हुआ सोफा, एक घिसा-पिटा कालीन और सुवोरोव के चित्र के साथ, मालिक के पिता और माँ, और खुद सैन्य वर्दी में। कार्यालय में तंबाकू और कुत्तों की तेज गंध आ रही थी। कार्यालय में, चाचा ने मेहमानों को घर पर बैठने और खुद को बनाने के लिए कहा, और वह चला गया। वह डांट, अपनी पीठ को अशुद्ध करके, कार्यालय में प्रवेश किया और सोफे पर लेट गया, अपनी जीभ और दांतों से खुद को साफ किया। कार्यालय से एक गलियारा था जिसमें फटे पर्दों के परदे देखे जा सकते थे। पर्दे के पीछे से महिलाओं की हंसी और फुसफुसाहट सुनी जा सकती थी। नताशा, निकोलाई और पेट्या ने कपड़े उतारे और सोफे पर बैठ गए। पेट्या अपनी बांह पर झुक गई और तुरंत सो गई; नताशा और निकोलाई चुपचाप बैठे रहे। उनके चेहरों पर आग लगी हुई थी, वे बहुत भूखे और बहुत खुशमिजाज थे। उन्होंने एक-दूसरे को देखा (शिकार के बाद, कमरे में, निकोलाई ने अब अपनी बहन को अपनी पुरुष श्रेष्ठता दिखाना आवश्यक नहीं समझा); नताशा ने अपने भाई को देखा, और दोनों देर तक नहीं रुके और ज़ोर से हँसे, अपनी हँसी का बहाना सोचने का समय नहीं मिला।
थोड़ी देर बाद, मेरे चाचा एक कोसैक कोट, नीली पतलून और छोटे जूते पहन कर आए। और नताशा ने महसूस किया कि यह वही सूट, जिसमें उसने अपने चाचा को आश्चर्य और उपहास के साथ देखा था, एक असली सूट था, जो फ्रॉक कोट और टेलकोट से भी बदतर नहीं था। अंकल भी हसमुख थे; न केवल वह अपने भाई और बहन की हँसी से नाराज नहीं था (यह उसके सिर में प्रवेश नहीं कर सकता था कि वे उसके जीवन पर हँस सकें), लेकिन वह खुद उनकी अकारण हँसी में शामिल हो गया।
"यह युवा काउंटेस है - एक स्वच्छ मार्च - मैंने ऐसा दूसरा नहीं देखा!" - उसने रोस्तोव को एक लंबी चिबुक के साथ एक पाइप देते हुए कहा, और दूसरी छोटी, कट चिबुक को बिछाते हुए कहा। परिचित इशारातीन अंगुलियों के बीच।
- मैं एक दिन के लिए चला गया, भले ही आदमी समय पर था और जैसे कुछ हुआ ही नहीं था!
चाचा के तुरंत बाद, उसने अपने पैरों की आवाज से स्पष्ट रूप से एक नंगे पांव लड़की के लिए दरवाजा खोला, और दरवाजे के माध्यम से हाथों में एक बड़ी ट्रे के साथ एक मोटी, सुर्ख, खूबसूरत महिला 40 साल की, डबल चिन वाली और भरे हुए, रूखे होंठों के साथ। वह मेहमाननवाज प्रतिनिधित्व और आंखों में आकर्षण और हर गतिविधि के साथ, मेहमानों की ओर देखती थी और एक स्नेही मुस्कान के साथ उन्हें सम्मानपूर्वक प्रणाम करती थी। सामान्य से अधिक मोटाई के बावजूद, उसे अपनी छाती और पेट को आगे बढ़ाने और अपना सिर पीछे रखने के लिए मजबूर करते हुए, इस महिला (चाचा की नौकरानी) ने बेहद हल्के से कदम रखा। वह मेज पर चली गई, ट्रे को नीचे रखा, और अपने सफेद, गोल-मटोल हाथों से चतुराई से हटा दिया और मेज पर बोतलें, स्नैक्स और ट्रीट की व्यवस्था की। यह सब समाप्त करने के बाद, वह चली गई और चेहरे पर मुस्कान लिए दरवाजे पर खड़ी हो गई। "यहाँ वह है और मैं! क्या तुम अब अपने चाचा को समझते हो?" उसकी उपस्थिति ने रोस्तोव को बताया। कैसे न समझें: न केवल रोस्तोव, बल्कि नताशा भी चाचा और भौंहों के अर्थ को समझती थी, और खुश, आत्म-संतुष्ट मुस्कान जिसने उसके होंठों को थोड़ी सी झुर्रियों वाली कर दिया था, जबकि अनीस फेडोरोवना ने प्रवेश किया था। ट्रे पर एक औषधिविद, मदिरा, मशरूम, यूराग पर काले आटे के केक, मधुकोश, उबला हुआ और चमकता हुआ शहद, सेब, कच्चे और भुने हुए मेवे और शहद में मेवा थे। फिर अनीस फेडोरोवना शहद और चीनी के साथ जाम लाया, और हैम, और चिकन, ताजा तला हुआ।
यह सब अनीस फेडोरोवना का घर, संग्रह और जाम था। यह सब गंध और प्रतिध्वनित हुआ और इसमें अनीस्या फ्योदोरोव्ना का स्वाद था। सब कुछ रस, पवित्रता, सफेदी और एक सुखद मुस्कान के साथ गूंजता था।
"खाओ, जवान औरत काउंटेस," वह कहती रही, नताशा को एक चीज़, फिर दूसरी। नताशा ने सब कुछ खा लिया, और उसे ऐसा लग रहा था कि उसने यूरागा पर ऐसे केक कभी नहीं देखे या खाए नहीं, ऐसे गुलदस्ते के साथ, शहद पर मेवे, और ऐसा चिकन। अनीस फेडोरोवना बाहर चली गई। रोस्तोव और उसके चाचा, चेरी लिकर के साथ अपना रात का खाना धोते हुए, अतीत और भविष्य के शिकार के बारे में, रूगाई और इलागिंस्की कुत्तों के बारे में बात की। नताशा चमकीली आँखों से उनकी बातें सुनकर सीधे सोफे पर बैठ गई। कई बार उसने पेट्या को खाने के लिए कुछ देने के लिए जगाने की कोशिश की, लेकिन उसने कुछ समझ से बाहर कहा, जाहिर तौर पर जाग नहीं रहा था। नताशा दिल से इतनी खुशमिजाज थी, अपने लिए इस नए माहौल में इतनी खुश थी कि उसे बस इस बात का डर था कि उसके लिए जल्द ही शराबी आ जाएगा। एक आकस्मिक चुप्पी के बाद, जैसा कि लगभग हमेशा उन लोगों के साथ होता है जो अपने घर में पहली बार अपने परिचितों को प्राप्त करते हैं, चाचा ने इस विचार का उत्तर देते हुए कहा कि उनके मेहमान थे:
"तो मैं अपना जीवन जी रहा हूं ... यदि आप मर जाते हैं, तो यह एक शुद्ध मार्च है - कुछ भी नहीं बचेगा।" फिर क्या गुनाह!
जब उन्होंने यह कहा तो चाचा का चेहरा बहुत महत्वपूर्ण और सुंदर भी था। उसी समय, रोस्तोव ने अनजाने में वह सब कुछ याद किया जो उसने अपने पिता और पड़ोसियों से अपने चाचा के बारे में अच्छी बातें सुनी थी। मेरे चाचा की सूबे के पूरे मोहल्ले में एक कुलीन और सबसे उदासीन सनकी के रूप में ख्याति थी। उन्हें पारिवारिक मामलों का न्याय करने के लिए बुलाया गया था, उन्हें एक निष्पादक बनाया गया था, उन पर रहस्यों पर भरोसा किया गया था, उन्हें न्यायाधीश और अन्य पदों के लिए चुना गया था, लेकिन से सार्वजनिक सेवाउसने हठपूर्वक मना कर दिया, शरद ऋतु और वसंत को अपने भूरे रंग के जेलिंग पर खेतों में बिताया, सर्दियों में घर पर बैठे, गर्मियों में अपने ऊंचे बगीचे में लेटे हुए।

शून्य भाजक के बिना सभी परिमित-आयामी साहचर्य वास्तविक बीजगणित का वर्णन करने वाला एक प्रमेय जी फ्रोबेनियस द्वारा सिद्ध किया गया था। एफ. टी. का दावा है कि: 1) वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र और सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र शून्य विभाजकों के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी-कम्यूटेटिव बीजगणित हैं। 2) quaternions का शरीर एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी है, लेकिन शून्य भाजक के बिना कम्यूटेटिव बीजगणित नहीं है। वैकल्पिक परिमित-आयामी शून्य-भाजक बीजगणित का विवरण भी है: 3) केली बीजगणित एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक विकल्प है, लेकिन सहयोगी, शून्य-भाजक बीजगणित नहीं है। इन तीन कथनों को मिलाकर नकद। सामान्यीकृत फ्रोबेनियस प्रमेय। प्रमेय के निर्माण में शामिल सभी बीजगणित एकल-मूल्यवान विभाजन और एकता के साथ बीजगणित बन जाते हैं। F. t. को गैर-वैकल्पिक बीजगणित के मामलों में सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, यह साबित हो गया है कि शून्य भाजक के बिना किसी भी परिमित-आयामी वास्तविक बीजगणित का आयाम केवल 1, 2, 4, या 8 के बराबर मान ले सकता है। लिट।: फ्रोबेनियस एफ।, "जे। रेइन एंड एंज्यू। मठ।", 1877, बीडी 82, एस. 230-315; कुरोश ए. जी., लेक्चर्स ऑन जनरल अलजेब्रा, दूसरा संस्करण, मॉस्को, 1973. ओ. ए. इवानोवा।

मूल्य देखें फ्रोबेनियस प्रमेयअन्य शब्दकोशों में

प्रमेय- प्रमेय, (ग्रीक प्रमेय से, लिट। तमाशा) (वैज्ञानिक)। एक प्रस्ताव, जिसकी वैधता स्वयंसिद्ध या पहले से सिद्ध अन्य पर आधारित प्रमाणों के माध्यम से स्थापित की जाती है ........
Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

प्रमेय जे.- 1. एक प्रस्ताव जिसकी सत्यता को प्रमाण की आवश्यकता होती है और वह (गणित में) प्रमाण द्वारा स्थापित होता है।
Efremova . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

कल्याण अर्थशास्त्र का दूसरा प्रमेय- - दावा करता है कि उत्पादन कारकों के योगदान के कुछ प्रारंभिक वितरण के लिए कोई पारेतो-इष्टतम राज्य संतुलन है।
आर्थिक शब्दकोश

दो-निधि पृथक्करण प्रमेय — सैद्धांतिक बयानक्या सब कुछ के बारे में
निवेशक दो संपत्तियों के संयोजन में निवेश करना पसंद करते हैं: जोखिम मुक्त
परिसंपत्ति और बाजार पोर्टफोलियो।
आर्थिक शब्दकोश

फिशर का पृथक्करण प्रमेय— कंपनी के निवेश का चुनाव डेटा के प्रति मालिकों के रवैये पर निर्भर नहीं करता है
निवेश। पोर्टफोलियो पृथक्करण प्रमेय भी कहा जाता है।
आर्थिक शब्दकोश

म्यूचुअल फंड प्रमेय- से जुड़े परिणाम
लागत मॉडल
पूंजी और दावा कि
निवेशक सभी जोखिम भरा बनाना पसंद करेंगे
स्टॉक पोर्टफोलियो...
आर्थिक शब्दकोश

कारक मूल्य समीकरण प्रमेय (हेक्शर-ओहलिन-सैमुअलसन प्रमेय)- - इसके अनुसार, अंतर्राष्ट्रीय व्यापार के विकास के प्रभाव में,
के लिए निरपेक्ष और सापेक्ष कीमतों का बराबरी करना
व्यापारिक देशों में उत्पादन के कारक
आर्थिक शब्दकोश

कोस प्रमेय- - संपत्ति के अधिकारों के आधार पर, कोई कैसे निपट सकता है, इसका समाधान देता है " बाहरी प्रभाव": हवाई क्षेत्र का शोर, शांति भंग, कारखाने का धुआं, हवा में जहर और ........
आर्थिक शब्दकोश

पृथक्करण प्रमेय- (पृथक्करण प्रमेय) - पूंजी परिसंपत्ति मूल्यांकन मॉडल में - एक बयान जिसके अनुसार
इष्टतम
किसी के लिए जोखिम भरी संपत्ति का पोर्टफोलियो
निवेशक पर निर्भर नहीं है
आर्थिक शब्दकोश

कुशल सेट प्रमेय- यह दावा कि निवेशक केवल कुशल सेट से ही पोर्टफोलियो का चयन करेंगे।
आर्थिक शब्दकोश

ब्याज दर समता प्रमेय— ब्याज अंतर
दोनों देशों की दरें आगे की विनिमय दर और नकद दर के बीच के अंतर के बराबर हैं।
आर्थिक शब्दकोश

समानता मूल्य प्रमेय स्पॉट और फ्यूचर्स— आदर्श का वर्णन करने वाला प्रमेय
वर्तमान कीमतों के बीच संबंध "
हाजिर और वायदा कीमतें। कहा पे
ऐसे आदर्श रिश्ते से विचलन,......
आर्थिक शब्दकोश

पृथक्करण प्रमेय- प्रमेय यह बताते हुए कि
कीमत
प्रत्येक व्यक्ति के लिए निवेश
निवेशक अपनी उपभोक्ता प्राथमिकताओं पर निर्भर नहीं करता है। कोई भी निवेशक स्वीकार करेगा ...
आर्थिक शब्दकोश

पृथक्करण प्रमेय- की संपत्ति, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि एक निवेशक के लिए इष्टतम जोखिम भरी संपत्तियों का संयोजन जोखिम और लाभप्रदता के प्रति उसके दृष्टिकोण पर निर्भर नहीं करता है।
आर्थिक शब्दकोश

पोर्टफोलियो पृथक्करण प्रमेय / पोर्टफोलियो पृथक्करण प्रमेय— निवेशक द्वारा जोखिम भरे निवेश पोर्टफोलियो का चुनाव किया जाता है, भले ही इसके प्रति उसका रवैया कुछ भी हो
जोखिम। बुध फिशर पृथक्करण प्रमेय (
फिशर का पृथक्करण प्रमेय)
आर्थिक शब्दकोश

रायबकिंस्की का प्रमेय- (अंतर्राष्ट्रीय व्यापार के सिद्धांत में) - इसके अनुसार, वृद्धि
उत्पादन के कारकों में से एक की आपूर्ति और उपयोग से ............ में अनुपातहीन वृद्धि होती है।
आर्थिक शब्दकोश

सैमुएलसन-जोन्स प्रमेय- (अंतर्राष्ट्रीय व्यापार के सिद्धांत में) - इसके अनुसार
अंतरराष्ट्रीय व्यापार के विकास की ओर जाता है
विशिष्ट कारकों के मालिकों की आय वृद्धि
निर्यातोन्मुखी.......
आर्थिक शब्दकोश

स्टोलपर-सैमुअलसन प्रमेय — आर्थिक स्थिति, जिसके अनुसार किसी भी उत्पाद की कीमत में वृद्धि, अन्य कारकों के साथ अपरिवर्तित, उन संसाधनों की कीमतों में वृद्धि की ओर ले जाती है जिनका उपयोग किया जाता है ........
आर्थिक शब्दकोश

प्रमेय- -एस; तथा। [ग्रीक theōrēma] एक गणितीय प्रस्ताव जिसका सत्य प्रमाण द्वारा स्थापित होता है। ज्यामितीय एम। प्रमेय साबित करें।
Kuznetsov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

फ़र्मेट का ग्रैंड प्रमेय— , अनुमान, पहले FERMA द्वारा प्रस्तावित, कि सभी पूर्णांक n2 के लिए ऐसा कोई नहीं है प्राकृतिक संख्या x, y और z जो समीकरण xn+yn=zn को संतुष्ट करेंगे। एक के खेत में.......

प्रमेय-, एक कथन या वाक्य जो तथ्यों और स्वयंसिद्धों के आधार पर तार्किक तर्क से सिद्ध होता है। ग्रेट फार्म भी देखें।
वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

बेज़ू का प्रमेय— घात n के बहुपद Pn(x) को द्विपद x - b से भाग देने के बाद शेषफल, जहाँ b एक संख्या है, Pn(b) के बराबर है। ई. बेज़ू द्वारा स्थापित।

बर्नौली प्रमेय- में से एक प्रमेयों को सीमित करेंसंभाव्यता सिद्धांत; कानून का सबसे सरल मामला बड़ी संख्या, कुछ यादृच्छिक की घटना की आवृत्ति में विचलन के वितरण को संदर्भित करता है .........
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

Varignon प्रमेय- किसी भी केंद्र (या अक्ष) के सापेक्ष बलों की परिणामी प्रणाली का क्षण योग के बराबर हैएक ही केंद्र (अक्ष) के सापेक्ष इस प्रणाली के बलों के क्षण।
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विएटा प्रमेय- F. Vieta द्वारा स्थापित प्रमेय: दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x पर गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया जाता है, और गुणनफल मुक्त पद होता है।
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गॉस प्रमेय- इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का मुख्य प्रमेय, तनाव के प्रवाह के बीच संबंध स्थापित करना विद्युत क्षेत्रएक बंद सतह के माध्यम से और आवेशइस सतह के अंदर।
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ज़ुकोवस्की प्रमेय:- भारोत्तोलन बल - द्रव की चिपचिपाहट के कारण उत्पन्न होने वाले शरीर (तथाकथित संलग्न भंवर) से जुड़े भंवरों के कारण तरल या गैस प्रवाह में शरीर पर कार्य करना ......
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अर्नशॉ प्रमेय- 19वीं शताब्दी में अंग्रेजी वैज्ञानिक एस. अर्नशॉ द्वारा तैयार किया गया, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स प्रमेय, जिसके अनुसार किसी भी दूरी पर स्थित बिंदु आवेशों की एक प्रणाली ……..
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

कोसाइन प्रमेय- त्रिकोणमिति की प्रमेय, पक्षों के बीच संबंध स्थापित करना a, b, c मनमाना त्रिभुजऔर कोण की कोज्या ए और बी के बीच: c2 = a2 + b2 - 2abcosC।
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लाप्लास प्रमेयसंभाव्यता सिद्धांत के सीमित प्रमेयों में से एक है। यदि प्रत्येक n स्वतंत्र परीक्षणकिसी यादृच्छिक घटना E के घटित होने की प्रायिकता p (0 "p" 1) के बराबर है और m संख्या ........
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