फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। फ्रैक्टल शब्द लैटिन फ्रैक्टस से लिया गया है और अनुवाद में इसका अर्थ है टुकड़ों से मिलकर। यह बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में प्रस्तावित किया गया था ताकि वे अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं का उल्लेख कर सकें जिनका उन्होंने अध्ययन किया था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर मैंडलब्रॉट की किताब 'द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर' के 1977 में प्रकाशन से जुड़ा है। वैज्ञानिक परिणामअन्य वैज्ञानिक जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया (पोंकारे, फतो, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ)। लेकिन केवल हमारे समय में उनके काम को एक प्रणाली में जोड़ना संभव था।
आज कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स की भूमिका काफी बड़ी है। वे बचाव के लिए आते हैं, उदाहरण के लिए, जब इसकी आवश्यकता होती है, तो कई गुणांकों की मदद से, लाइनों और सतहों को बहुत सेट करने के लिए जटिल आकार. कंप्यूटर ग्राफिक्स के दृष्टिकोण से, कृत्रिम बादलों, पहाड़ों और समुद्र की सतह के निर्माण के लिए फ्रैक्टल ज्यामिति अपरिहार्य है। वास्तव में, जटिल गैर-यूक्लिडियन वस्तुओं का आसानी से प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका मिल गया है, जिनमें से चित्र प्राकृतिक लोगों के समान हैं।
भग्न के मुख्य गुणों में से एक आत्म-समानता है। बहुत में साधारण मामलाफ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में पूरे फ्रैक्टल के बारे में जानकारी होती है। मैंडलब्रॉट द्वारा दी गई फ्रैक्टल की परिभाषा इस प्रकार है: "एक फ्रैक्टल एक संरचना है जिसमें ऐसे हिस्से होते हैं जो कुछ अर्थों में पूरे के समान होते हैं।"

बड़ी संख्या में गणितीय वस्तुएं हैं जिन्हें फ्रैक्टल्स (सिएरपिंस्की त्रिकोण, कोच स्नोफ्लेक, पीनो कर्व, मैंडेलब्रॉट सेट और लोरेंट्ज़ अट्रैक्टर) कहा जाता है। भग्न बड़ी सटीकता के साथ वास्तविक दुनिया की कई भौतिक घटनाओं और संरचनाओं का वर्णन करते हैं: पहाड़, बादल, अशांत (भंवर) धाराएं, जड़ें, शाखाएं और पेड़ों की पत्तियां, रक्त वाहिकाएं, जो सरल ज्यामितीय आकृतियों के अनुरूप नहीं हैं। बेनोइट मंडेलब्रॉट ने पहली बार अपने मौलिक काम "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में हमारी दुनिया की फ्रैक्टल प्रकृति के बारे में बात की थी।
फ्रैक्टल शब्द को बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने 1977 में अपने मौलिक कार्य "फ्रैक्टल्स, फॉर्म, कैओस एंड डायमेंशन" में पेश किया था। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, फ्रैक्टल शब्द लैटिन शब्द फ्रैक्टस - फ्रैक्शनल और फ्रेंजरे - से टूटने के लिए आया है, जो फ्रैक्टल के सार को "टूटा", अनियमित सेट के रूप में दर्शाता है।

भग्न का वर्गीकरण।

भग्न की पूरी विविधता का प्रतिनिधित्व करने के लिए, उनके आम तौर पर स्वीकृत वर्गीकरण का सहारा लेना सुविधाजनक है। भग्न के तीन वर्ग हैं।

1. ज्यामितीय भग्न।

इस वर्ग के भग्न सबसे स्पष्ट हैं। द्वि-आयामी मामले में, उन्हें एक पॉलीलाइन (या त्रि-आयामी मामले में सतह) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जिसे जनरेटर कहा जाता है। एल्गोरिथम के एक चरण में, टूटी हुई रेखा को बनाने वाले प्रत्येक खंड को उपयुक्त पैमाने पर टूटे हुए लाइन जनरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय भग्न प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, ऐसी भग्न वस्तुओं में से एक पर विचार करें - कोच त्रैमासिक वक्र।

त्रिक कोच वक्र का निर्माण।

लंबाई 1 का एक सीधी रेखा खंड लें। आइए इसे कहते हैं बीज. हम बीज को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं 1/3 लंबा, त्यागें मध्य भागऔर इसे 1/3 लंबाई के दो लिंक की टूटी हुई रेखा से बदलें।

हमें एक टूटी हुई रेखा मिलती है, जिसमें कुल 4/3 लंबाई के साथ 4 लिंक होते हैं, - तथाकथित पहली पीढ़ी.

कोच वक्र की अगली पीढ़ी में जाने के लिए, प्रत्येक लिंक के मध्य भाग को त्यागना और बदलना आवश्यक है। तदनुसार, दूसरी पीढ़ी की लंबाई 16/9, तीसरी - 64/27 होगी। यदि आप इस प्रक्रिया को अनंत तक जारी रखते हैं, तो परिणाम एक त्रैमासिक कोच वक्र होगा।

आइए अब पवित्र त्रैमासिक कोच वक्र पर विचार करें और पता करें कि भग्न को "राक्षस" क्यों कहा जाता है।

सबसे पहले, इस वक्र की कोई लंबाई नहीं है - जैसा कि हमने देखा है, पीढ़ियों की संख्या के साथ, इसकी लंबाई अनंत तक जाती है।

दूसरे, इस वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण करना असंभव है - इसका प्रत्येक बिंदु एक विभक्ति बिंदु है जिस पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है - यह वक्र चिकना नहीं है।

लंबाई और चिकनाई वक्रों के मूलभूत गुण हैं, जिनका अध्ययन यूक्लिडियन ज्यामिति और लोबाचेवस्की और रीमैन की ज्यामिति दोनों द्वारा किया जाता है। त्रिक कोच वक्र के लिए पारंपरिक तरीकेज्यामितीय विश्लेषण अनुपयुक्त निकला, इसलिए कोच वक्र एक राक्षस निकला - पारंपरिक ज्यामिति के सहज निवासियों के बीच एक "राक्षस"।

"ड्रैगन" Harter-Hateway का निर्माण।

एक और फ्रैक्टल ऑब्जेक्ट प्राप्त करने के लिए, आपको निर्माण नियमों को बदलने की जरूरत है। माना जनक तत्व दो समान खंडसमकोण पर जुड़ा हुआ है। जीरो जेनरेशन में हम यूनिट सेगमेंट को इस जेनरेटिंग एलिमेंट से रिप्लेस करते हैं ताकि एंगल टॉप पर हो। हम कह सकते हैं कि इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ, लिंक के बीच में एक बदलाव होता है। अगली पीढ़ियों का निर्माण करते समय, नियम पूरा हो जाता है: बाईं ओर की पहली कड़ी को एक जनरेटिंग तत्व द्वारा बदल दिया जाता है ताकि लिंक का मध्य आंदोलन की दिशा के बाईं ओर शिफ्ट हो जाए, और जब इसे बदल दिया जाए अगले लिंक, खंडों के मध्य बिंदुओं के विस्थापन की दिशाएँ वैकल्पिक होनी चाहिए। यह आंकड़ा ऊपर वर्णित सिद्धांत के अनुसार निर्मित वक्र की पहली कुछ पीढ़ियों और 11वीं पीढ़ी को दर्शाता है। n अनंत की ओर प्रवृत्त वक्र को Harter-Hateway Dragon कहा जाता है।
कंप्यूटर ग्राफिक्स में, पेड़ों और झाड़ियों की छवियों को प्राप्त करते समय ज्यामितीय फ्रैक्टल का उपयोग आवश्यक होता है। द्वि-आयामी ज्यामितीय भग्न का उपयोग त्रि-आयामी बनावट (किसी वस्तु की सतह पर पैटर्न) बनाने के लिए किया जाता है।

2. बीजीय भग्न

यह सर्वाधिक है बड़ा समूहभग्न। वे n-आयामी रिक्त स्थान में गैर-रैखिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं। द्वि-आयामी प्रक्रियाओं का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक असतत गतिशील प्रणाली के रूप में एक गैर-रेखीय पुनरावृत्ति प्रक्रिया की व्याख्या करते हुए, कोई इन प्रणालियों के सिद्धांत की शब्दावली का उपयोग कर सकता है: चरण चित्र, स्थिर राज्य प्रक्रिया, आकर्षित करने वाला, आदि।
यह ज्ञात है कि नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम में कई स्थिर अवस्थाएँ होती हैं। जिस राज्य में था गतिशील प्रणालीपुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के बाद, इसकी प्रारंभिक अवस्था पर निर्भर करता है। इसलिए, प्रत्येक स्थिर अवस्था (या, जैसा कि वे कहते हैं, एक आकर्षित करने वाला) के पास प्रारंभिक अवस्थाओं का एक निश्चित क्षेत्र होता है, जहाँ से सिस्टम आवश्यक रूप से अंतिम अवस्थाओं में आता है। इस प्रकार, सिस्टम के चरण स्थान को आकर्षित करने वालों के आकर्षण के क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। यदि चरण स्थान द्वि-आयामी है, तो आकर्षण क्षेत्रों को रंग दें अलग - अलग रंग, कोई इस प्रणाली (पुनरावृत्ति प्रक्रिया) का एक रंग चरण चित्र प्राप्त कर सकता है। रंग चयन एल्गोरिदम को बदलकर, आप फैंसी बहुरंगा पैटर्न के साथ जटिल फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं। गणितज्ञों के लिए आश्चर्य की बात यह थी कि आदिम एल्गोरिदम का उपयोग करके बहुत ही जटिल गैर-तुच्छ संरचनाओं को उत्पन्न करने की क्षमता थी।

मैंडलब्रॉट सेट।

एक उदाहरण के रूप में, मैंडलब्रॉट सेट पर विचार करें। इसके निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म काफी सरल है और एक सरल पुनरावृत्ति अभिव्यक्ति पर आधारित है: जेड = जेड [i] * जेड [i] + सी, कहाँ पे जिऔर सीजटिल चर हैं। एक आयताकार या वर्ग क्षेत्र से प्रत्येक प्रारंभिक बिंदु के लिए पुनरावृत्तियों का प्रदर्शन किया जाता है - जटिल विमान का एक सबसेट। पुनरावृत्ति प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक जेड [मैं]त्रिज्या 2 के वृत्त से आगे नहीं जाएगा, जिसका केंद्र बिंदु (0,0) पर स्थित है, (इसका अर्थ है कि गतिशील प्रणाली का आकर्षण अनंत पर है), या पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद (उदाहरण के लिए) , 200-500) जेड [मैं]वृत्त के किसी बिंदु पर परिवर्तित हो जाता है। पुनरावृत्तियों की संख्या के आधार पर जिसके दौरान जेड [मैं]सर्कल के अंदर बने रहे, आप बिंदु का रंग सेट कर सकते हैं सी(अगर जेड [मैं]पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियों के लिए वृत्त के अंदर रहता है, पुनरावृत्ति प्रक्रिया रुक जाती है और यह रेखापुंज बिंदु काले रंग में रंग जाता है)।

3. स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स

फ्रैक्टल्स का एक अन्य प्रसिद्ध वर्ग स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स हैं, जो तब प्राप्त होते हैं जब इसके किसी भी पैरामीटर को एक पुनरावृत्त प्रक्रिया में बेतरतीब ढंग से बदल दिया जाता है। इसका परिणाम प्राकृतिक वस्तुओं के समान ही होता है - विषम पेड़, इंडेंट समुद्र तट, आदि। इलाके और समुद्र की सतह के मॉडलिंग में द्वि-आयामी स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है।
फ्रैक्टल के अन्य वर्गीकरण भी हैं, उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल्स का नियतात्मक (बीजीय और ज्यामितीय) और गैर-नियतात्मक (स्टोकेस्टिक) में विभाजन।

भग्न के उपयोग के बारे में

सबसे पहले, फ्रैक्टल अद्भुत गणितीय कला का एक क्षेत्र है, जब सरलतम सूत्रों और एल्गोरिदम की मदद से असाधारण सुंदरता और जटिलता के चित्र प्राप्त होते हैं! निर्मित छवियों की आकृति में, पत्तियों, पेड़ों और फूलों का अक्सर अनुमान लगाया जाता है।

फ्रैक्टल के सबसे शक्तिशाली अनुप्रयोगों में से एक कंप्यूटर ग्राफिक्स में निहित है। सबसे पहले, यह छवियों का फ्रैक्टल संपीड़न है, और दूसरी बात, परिदृश्य, पेड़, पौधे और फ्रैक्टल बनावट की पीढ़ी का निर्माण। आधुनिक भौतिकीऔर यांत्रिकी अभी भग्न वस्तुओं के व्यवहार का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं। और, ज़ाहिर है, फ्रैक्टल सीधे गणित में ही लागू होते हैं।
भग्न छवि संपीड़न एल्गोरिदम के लाभ पैक की गई फ़ाइल का बहुत छोटा आकार और लघु छवि पुनर्प्राप्ति समय है। पिक्सेलेशन की उपस्थिति के बिना आंशिक रूप से पैक किए गए चित्रों को स्केल किया जा सकता है। लेकिन संपीड़न प्रक्रिया में लंबा समय लगता है और कभी-कभी घंटों तक रहता है। हानिपूर्ण फ्रैक्टल पैकिंग एल्गोरिदम आपको जेपीईजी प्रारूप के समान संपीड़न स्तर सेट करने की अनुमति देता है। एल्गोरिथ्म कुछ छोटे टुकड़ों के समान छवि के बड़े टुकड़ों की खोज पर आधारित है। और केवल कौन सा टुकड़ा समान है जो आउटपुट फ़ाइल में लिखा जाता है। संपीड़ित करते समय, आमतौर पर एक वर्ग ग्रिड का उपयोग किया जाता है (टुकड़े वर्ग होते हैं), जो चित्र को पुनर्स्थापित करते समय थोड़ी कोणीयता की ओर जाता है, एक हेक्सागोनल ग्रिड इस तरह के नुकसान से मुक्त होता है।
Iterated ने एक नया छवि प्रारूप, "स्टिंग" विकसित किया है, जो फ्रैक्टल और "लहर" (जैसे jpeg) दोषरहित संपीड़न को जोड़ती है। नया प्रारूप आपको बाद के उच्च-गुणवत्ता वाले स्केलिंग और वॉल्यूम की संभावना के साथ चित्र बनाने की अनुमति देता है ग्राफिक फ़ाइलेंअसम्पीडित छवियों की मात्रा का 15-20% है।
फ्रैक्टल की पहाड़ों, फूलों और पेड़ों की तरह दिखने की प्रवृत्ति का कुछ ग्राफिक संपादकों द्वारा शोषण किया जाता है, उदाहरण के लिए, 3D स्टूडियो मैक्स से फ्रैक्टल क्लाउड्स, वर्ल्ड बिल्डर में फ्रैक्टल पर्वत। भग्न पेड़, पहाड़ और पूरे परिदृश्य दिए गए हैं सरल सूत्र, प्रोग्राम करना आसान है और संपर्क करने पर अलग-अलग त्रिकोण और क्यूब्स में नहीं टूटते।
आप गणित में ही फ्रैक्टल्स के प्रयोग को नज़रअंदाज़ नहीं कर सकते। सेट सिद्धांत में, कैंटर सेट सही कहीं भी घने सेट के अस्तित्व को साबित करता है; माप सिद्धांत में, सेल्फ-एफ़िन "कैंटर सीढ़ी" फ़ंक्शन एक विलक्षण माप वितरण फ़ंक्शन का एक अच्छा उदाहरण है।
यांत्रिकी और भौतिकी में, कई प्राकृतिक वस्तुओं की रूपरेखा को दोहराने के लिए उनकी अनूठी संपत्ति के कारण फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल्स आपको लाइन सेगमेंट या पॉलीगॉन (समान मात्रा में संग्रहीत डेटा के साथ) के अनुमानों की तुलना में अधिक सटीकता के साथ पेड़ों, पहाड़ की सतहों और दरारों का अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। प्राकृतिक वस्तुओं की तरह भग्न मॉडल में "खुरदरापन" होता है, और यह संपत्ति मॉडल में मनमाने ढंग से बड़ी वृद्धि पर संरक्षित होती है। भग्न पर एक समान माप की उपस्थिति से पहले से अध्ययन किए गए समीकरणों में मानक वस्तुओं के बजाय एकीकरण, संभावित सिद्धांत को लागू करना संभव हो जाता है।
भग्न दृष्टिकोण के साथ, अराजकता नीला विकार बनना बंद कर देती है और प्राप्त कर लेती है सूक्ष्म संरचना. भग्न विज्ञान अभी भी बहुत छोटा है और इसके आगे एक महान भविष्य है। भग्न की सुंदरता समाप्त होने से बहुत दूर है और अभी भी हमें कई उत्कृष्ट कृतियाँ देगी - वे जो आँखों को प्रसन्न करती हैं, और वे जो मन को सच्चा आनंद देती हैं।

भग्न निर्माण के बारे में

क्रमिक सन्निकटन की विधि

इस तस्वीर को देखकर, यह समझना मुश्किल नहीं है कि एक स्व-समान भग्न का निर्माण कैसे किया जा सकता है (में .) इस मामले मेंसीरपिंस्की का पिरामिड)। हमें एक साधारण पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन) लेने की जरूरत है, फिर उसके मध्य (ऑक्टाहेड्रोन) को काट लें, जिसके परिणामस्वरूप हमें चार छोटे पिरामिड मिलते हैं। उनमें से प्रत्येक के साथ हम एक ही ऑपरेशन करते हैं, और इसी तरह। यह कुछ हद तक भोली है, लेकिन व्याख्यात्मक व्याख्या है।

आइए विधि के सार पर अधिक सख्ती से विचार करें। कुछ IFS सिस्टम होने दें, यानी। संकुचन मानचित्रण प्रणाली एस=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (उदाहरण के लिए, हमारे पिरामिड के लिए, मैपिंग S i (x)=1/2*x+o i की तरह दिखती है, जहां o i हैं चतुष्फलक के शीर्ष, i=1,..,4)। फिर हम R n में कुछ सघन समुच्चय A 1 चुनते हैं (हमारे मामले में हम एक चतुष्फलक चुनते हैं)। और हम समुच्चय A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) के अनुक्रम को प्रेरण द्वारा निर्धारित करते हैं। यह ज्ञात है कि बढ़ते k के साथ A k सेट करता है जो सिस्टम के आवश्यक आकर्षण का अनुमान लगाता है एस.

ध्यान दें कि इनमें से प्रत्येक पुनरावृत्ति एक आकर्षित करने वाला है पुनरावृत्त कार्यों की आवर्तक प्रणाली (अंग्रेजी शब्द DigraphIFS, आरआईएफएसऔर भी ग्राफ-निर्देशित IFS) और इसलिए उन्हें हमारे कार्यक्रम के साथ बनाना आसान है।

अंक या संभाव्य विधि द्वारा निर्माण

यह कंप्यूटर पर लागू करने का सबसे आसान तरीका है। सादगी के लिए, एक फ्लैट सेल्फ-एफ़िन सेट के मामले पर विचार करें। तो चलें

) affine संकुचन की कुछ प्रणाली है। मैपिंग एस

के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य: S

आकार 2x2 और o . का निश्चित मैट्रिक्स

द्वि-आयामी वेक्टर स्तंभ।

• आइए पहले मैपिंग S 1 के एक निश्चित बिंदु को शुरुआती बिंदु के रूप में लें:
  एक्स: = ओ 1;
  यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि सभी निश्चित संकुचन बिंदु S 1 ,..,S m भग्न से संबंधित हैं। एक मनमाना बिंदु को एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में चुना जा सकता है और इसके द्वारा उत्पन्न बिंदुओं का क्रम एक भग्न में सिकुड़ जाएगा, लेकिन फिर स्क्रीन पर कुछ अतिरिक्त बिंदु दिखाई देंगे।
• स्क्रीन पर वर्तमान बिंदु x=(x 1,x 2) पर ध्यान दें:
  पुटपिक्सेल (एक्स 1, एक्स 2, 15);
• हम यादृच्छिक रूप से 1 से m तक एक संख्या j चुनते हैं और बिंदु x के निर्देशांकों की पुनर्गणना करते हैं:
  जे: = यादृच्छिक (एम) +1;
  एक्स: = एस जे (एक्स);
• हम चरण 2 पर जाते हैं, या, यदि हमने पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियां की हैं, तो हम रुक जाते हैं।

टिप्पणी।यदि मैपिंग के संपीड़न गुणांक एस मैं भिन्न हैं, तो फ्रैक्टल असमान रूप से बिंदुओं से भर जाएगा। यदि मैपिंग S i समानताएं हैं, तो एल्गोरिथम को थोड़ा जटिल करके इसे टाला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, एल्गोरिथम के तीसरे चरण में, 1 से m तक की संख्या j को प्रायिकताओं के साथ चुना जाना चाहिए p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , जहां r मैं मैपिंग के संकुचन गुणांक को निरूपित करता हूं। , और संख्या s (समानता आयाम कहा जाता है) समीकरण r 1 s +...+r m s =1 से पाई जाती है। उदाहरण के लिए, न्यूटन की विधि द्वारा इस समीकरण का हल पाया जा सकता है।

भग्न और उनके एल्गोरिदम के बारे में

फ्रैक्टल लैटिन विशेषण "फ्रैक्टस" से आया है, और अनुवाद में इसका अर्थ है टुकड़ों से मिलकर, और संबंधित लैटिन क्रिया "फ्रैंजियर" का अर्थ है तोड़ना, यानी अनियमित टुकड़े बनाना। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में इस शब्द का प्रस्ताव उनके द्वारा अध्ययन की गई अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं को संदर्भित करने के लिए किया गया था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर मैंडलब्रॉट की किताब "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" - "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के प्रकाशन से जुड़ा हुआ है। उनके कार्यों ने अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया, जिन्होंने उसी क्षेत्र में 1875-1925 की अवधि में काम किया (पोंकारे, फतो, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ)।

समायोजन

मुझे एच.-ओ द्वारा पुस्तक में प्रस्तावित एल्गोरिदम में कुछ समायोजन करने दें। Paytgen और P.H. Richter "द ब्यूटी ऑफ फ्रैक्टल्स" M. 1993, विशुद्ध रूप से टाइपो को मिटाने और प्रक्रियाओं को समझना आसान बनाने के लिए, क्योंकि उनका अध्ययन करने के बाद, मेरे लिए बहुत कुछ एक रहस्य बना रहा। दुर्भाग्य से, ये "समझने योग्य" और "सरल" एल्गोरिदम एक कमाल की जीवन शैली का नेतृत्व करते हैं।

भग्न का निर्माण प्रतिक्रिया z \u003d z 2 + c के साथ एक जटिल प्रक्रिया के एक निश्चित गैर-रेखीय कार्य पर आधारित है क्योंकि z और c जटिल संख्याएँ हैं, फिर z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, यह आवश्यक है आम आदमी के विमान के लिए और अधिक वास्तविक जाने के लिए इसे x और y में विघटित करना:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

सभी युग्मों (x, y) से युक्त तल को निश्चित मान वाला माना जा सकता है पी और क्यू, साथ ही गतिशील लोगों के लिए। पहले मामले में, कानून के अनुसार विमान के सभी बिंदुओं (x, y) के माध्यम से छँटाई करना और उन्हें रंग देना, पुनरावृत्ति प्रक्रिया से बाहर निकलने के लिए आवश्यक फ़ंक्शन की पुनरावृत्ति की संख्या के आधार पर या स्वीकार्य अधिकतम होने पर रंग (काला) नहीं है। दोहराव बढ़ जाता है, हमें जूलिया सेट की मैपिंग मिलती है। यदि, इसके विपरीत, हम मूल्यों की प्रारंभिक जोड़ी (एक्स, वाई) निर्धारित करते हैं और पैरामीटर पी और क्यू के गतिशील रूप से बदलते मूल्यों के साथ अपने रंगीन भाग्य का पता लगाते हैं, तो हमें मंडेलब्रॉट सेट नामक छवियां मिलती हैं।

भग्न रंग एल्गोरिदम के प्रश्न पर।

आमतौर पर सेट के शरीर को एक काले क्षेत्र के रूप में दर्शाया जाता है, हालांकि यह स्पष्ट है कि काले रंग को किसी अन्य से बदला जा सकता है, लेकिन यह भी एक दिलचस्प परिणाम है। सभी रंगों में चित्रित एक सेट की छवि प्राप्त करना एक ऐसा कार्य है जिसे चक्रीय संचालन का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सेट के शरीर को बनाने वाले पुनरावृत्तियों की संख्या अधिकतम संभव और हमेशा समान होती है। सेट को रंग दें अलग - अलग रंगशायद लूप (z_magnitude) से बाहर निकलने की स्थिति को रंग संख्या के रूप में, या इसके समान, लेकिन अन्य गणितीय कार्यों के साथ जाँचने के परिणाम का उपयोग करके।

"फ्रैक्टल माइक्रोस्कोप" का अनुप्रयोग

सीमांत घटनाओं को प्रदर्शित करने के लिए।

विमान पर प्रभुत्व के लिए संघर्ष का नेतृत्व करने वाले केंद्र आकर्षणकर्ता हैं। आकर्षित करने वालों के बीच एक घुमावदार पैटर्न का प्रतिनिधित्व करने वाली एक सीमा होती है। सेट की सीमाओं के भीतर विचार के पैमाने को बढ़ाकर, कोई गैर-तुच्छ पैटर्न प्राप्त कर सकता है जो नियतात्मक अराजकता की स्थिति को दर्शाता है - प्राकृतिक दुनिया में एक सामान्य घटना।

भूगोलवेत्ताओं द्वारा अध्ययन की गई वस्तुएं बहुत जटिल रूप से संगठित सीमाओं के साथ एक प्रणाली बनाती हैं, जिसके संबंध में उनका कार्यान्वयन एक कठिन व्यावहारिक कार्य बन जाता है। प्राकृतिक परिसरों में विशिष्ट आकर्षण के रूप में कार्य करने वाले कोर होते हैं जो दूर जाने पर क्षेत्र पर प्रभाव की अपनी शक्ति खो देते हैं।

मंडेलब्रॉट और जूलिया सेट के लिए एक फ्रैक्टल माइक्रोस्कोप का उपयोग करके, कोई सीमा प्रक्रियाओं और घटनाओं का एक विचार बना सकता है जो विचार के पैमाने की परवाह किए बिना समान रूप से जटिल हैं और इस प्रकार एक गतिशील और प्रतीत होता है अराजक के साथ बैठक के लिए एक विशेषज्ञ की धारणा तैयार करते हैं। अंतरिक्ष और समय में प्राकृतिक वस्तु, भग्न ज्यामिति प्रकृति को समझने के लिए। रंगों का बहुरंगा और भग्न संगीत निश्चित रूप से छोड़ देगा गहरा निशानछात्रों के मन में।

हजारों प्रकाशन और विशाल इंटरनेट संसाधन भग्न के लिए समर्पित हैं, हालांकि, कंप्यूटर विज्ञान से दूर कई विशेषज्ञों के लिए, यह शब्द बिल्कुल नया लगता है। भग्न, ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में विशेषज्ञों के लिए रुचि की वस्तुओं के रूप में, कंप्यूटर विज्ञान के पाठ्यक्रम में अपना उचित स्थान प्राप्त करना चाहिए।

उदाहरण

सिरपिंस्की ग्रिड

यह भग्न आयामों और पुनरावृत्तियों की अवधारणाओं को विकसित करते समय मैंडलब्रॉट द्वारा प्रयोग किए गए भग्नों में से एक है। बड़े त्रिभुज के मध्यबिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुजों को मुख्य त्रिभुज से काटकर एक त्रिभुज बनाया जाता है, जिसमें अधिक छेद होते हैं। इस मामले में, सर्जक एक बड़ा त्रिभुज है और टेम्पलेट बड़े त्रिभुज के समान त्रिभुजों को काटने के लिए एक ऑपरेशन है। आप एक साधारण चतुष्फलक का उपयोग करके और छोटे चतुष्फलक को काटकर त्रिभुज का 3D संस्करण भी प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे भग्न का आयाम ln3/ln2 = 1.584962501 है। प्राप्त करना सीरपिंस्की कालीन, एक वर्ग लें, इसे नौ वर्गों में विभाजित करें, और बीच वाले को काट लें। हम बाकी, छोटे वर्गों के साथ भी ऐसा ही करेंगे। अंत में, एक फ्लैट फ्रैक्टल ग्रिड बनता है, जिसमें कोई क्षेत्र नहीं होता है, लेकिन अनंत कनेक्शन होते हैं। अपने स्थानिक रूप में, सिएरपिंस्की स्पंज को रूपों के माध्यम से एक प्रणाली में बदल दिया जाता है, जिसमें प्रत्येक तत्व के माध्यम से लगातार अपनी तरह से प्रतिस्थापित किया जाता है। यह संरचना हड्डी के ऊतकों के एक खंड के समान है। किसी दिन ऐसी दोहराई जाने वाली संरचनाएं भवन संरचनाओं का एक तत्व बन जाएंगी। मंडेलब्रॉट का मानना ​​​​है कि उनके स्टैटिक्स और डायनामिक्स, करीबी अध्ययन के लायक हैं।

कोच कर्व

कोच वक्र सबसे विशिष्ट नियतात्मक भग्नों में से एक है। इसका आविष्कार उन्नीसवीं शताब्दी में हेल्ज वॉन कोच नामक एक जर्मन गणितज्ञ ने किया था, जिन्होंने जॉर्ज कोंटोर और कार्ल वीयरस्ट्रेश के काम का अध्ययन करते हुए, असामान्य व्यवहार के साथ कुछ अजीब वक्रों का वर्णन किया था। सर्जक - सीधी रेखा। जनरेटर एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ बड़े खंड की लंबाई के एक तिहाई के बराबर होती हैं। इन त्रिभुजों को प्रत्येक खंड के मध्य में बार-बार जोड़ा जाता है। अपने शोध में, मैंडेलब्रॉट ने कोच वक्रों के साथ बहुत प्रयोग किया, और कोच द्वीप, कोच क्रॉस, कोच स्नोफ्लेक्स, और यहां तक ​​​​कि कोच वक्र के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व जैसे टेट्राहेड्रॉन का उपयोग करके और इसके प्रत्येक चेहरे पर छोटे टेट्राहेड्रा जोड़कर आंकड़े प्राप्त किए। कोच वक्र का आयाम ln4/ln3 = 1.261859507 है।

फ्रैक्टल मंडेलब्रोट

यह मैंडलब्रॉट सेट नहीं है जिसे आप अक्सर देखते हैं। मैंडलब्रॉट सेट गैर-रैखिक समीकरणों पर आधारित है और एक जटिल फ्रैक्टल है। यह भी कोच वक्र का एक प्रकार है, इस तथ्य के बावजूद कि यह वस्तु इसके जैसी नहीं दिखती है। सर्जक और जनरेटर भी कोच वक्र के सिद्धांत के आधार पर फ्रैक्टल बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले लोगों से भिन्न होते हैं, लेकिन विचार वही रहता है। समबाहु त्रिभुजों को एक वक्र खंड से जोड़ने के बजाय, वर्ग एक वर्ग से जुड़े होते हैं। इस तथ्य के कारण कि यह फ्रैक्टल प्रत्येक पुनरावृत्ति पर आवंटित स्थान के ठीक आधे हिस्से पर कब्जा कर लेता है, इसका एक साधारण फ्रैक्टल आयाम 3/2 = 1.5 है।

डेयर का पेंटागन

एक भग्न एक साथ निचोड़ा हुआ पेंटागन के एक गुच्छा जैसा दिखता है। वास्तव में, यह एक पंचभुज को सर्जक और समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में उपयोग करके बनाया गया है, सबसे बड़े पक्ष का सबसे छोटा अनुपात जिसमें जनरेटर के रूप में तथाकथित सुनहरे अनुपात (1.618033989 या 1/(2cos72)) के बराबर है। . इन त्रिभुजों को प्रत्येक पंचभुज के बीच से काटा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक आकार ऐसा दिखता है जो एक बड़े से चिपके हुए 5 छोटे पेंटागन जैसा दिखता है। इस भग्न का एक प्रकार एक षट्भुज को आरंभकर्ता के रूप में उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। इस भग्न को डेविड का सितारा कहा जाता है और यह कोच के स्नोफ्लेक के हेक्सागोनल संस्करण के समान है। डेरर पेंटागन का भग्न आयाम ln6/ln(1+g) है, जहां g त्रिभुज की बड़ी भुजा की लंबाई और छोटी भुजा की लंबाई का अनुपात है। इस मामले में, जी स्वर्ण अनुपात है, इसलिए फ्रैक्टल आयाम लगभग 1.86171596 है। डेविड के तारे का भग्न आयाम ln6/ln3 या 1.630929754 है।

जटिल भग्न

वास्तव में, यदि आप किसी जटिल भग्न के एक छोटे से क्षेत्र पर ज़ूम इन करते हैं और फिर उस क्षेत्र के एक छोटे से क्षेत्र पर भी ऐसा ही करते हैं, तो दोनों आवर्धन एक दूसरे से काफी भिन्न होंगे। दो छवियां विस्तार से बहुत समान होंगी, लेकिन वे पूरी तरह समान नहीं होंगी।

अंजीर 1. मंडेलब्रॉट सेट का अनुमान

तुलना करें, उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट सेट के चित्र यहां दिखाए गए हैं, जिनमें से एक को दूसरे के कुछ क्षेत्र को बढ़ाकर प्राप्त किया गया था। जैसा कि आप देख सकते हैं, वे बिल्कुल समान नहीं हैं, हालांकि दोनों पर हमें एक काला घेरा दिखाई देता है, जिसमें से ज्वलंत जाल अलग-अलग दिशाओं में जाते हैं। ये तत्व घटते अनुपात में मेंडलब्रॉट सेट में अनिश्चित काल तक दोहराते हैं।

नियतात्मक भग्न रैखिक होते हैं, जबकि जटिल भग्न नहीं होते हैं। गैर-रैखिक होने के कारण, ये भग्न उस चीज से उत्पन्न होते हैं जिसे मैंडलब्रॉट ने गैर-रैखिक कहा था बीजीय समीकरण. एक अच्छा उदाहरण प्रक्रिया Zn+1=ZnІ + C है, जो दूसरी डिग्री के मैंडलब्रॉट और जूलिया सेट के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला समीकरण है। इनका समाधान गणितीय समीकरणजटिल और काल्पनिक संख्याएँ शामिल हैं। जब समीकरण को जटिल तल में ग्राफिक रूप से व्याख्यायित किया जाता है, तो परिणाम एक अजीब आकृति होती है जिसमें सीधी रेखाएं वक्र में बदल जाती हैं, स्व-समानता प्रभाव विभिन्न पैमाने के स्तरों पर दिखाई देते हैं, हालांकि विकृतियों के बिना नहीं। साथ ही, समग्र रूप से पूरी तस्वीर अप्रत्याशित और बहुत ही अराजक है।

जैसा कि आप चित्रों को देखकर देख सकते हैं, जटिल भग्न वास्तव में बहुत जटिल हैं और कंप्यूटर की सहायता के बिना बनाना असंभव है। रंगीन परिणाम प्राप्त करने के लिए, इस कंप्यूटर में एक शक्तिशाली गणित सहसंसाधक और एक मॉनिटर होना चाहिए उच्च संकल्प. नियतात्मक भग्न के विपरीत, जटिल भग्न की गणना 5-10 पुनरावृत्तियों में नहीं की जाती है। कंप्यूटर स्क्रीन पर लगभग हर डॉट एक अलग फ्रैक्टल की तरह होता है। दौरान गणितीय प्रसंस्करण, प्रत्येक बिंदु को एक अलग आकृति के रूप में माना जाता है। प्रत्येक बिंदु एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। समीकरण प्रत्येक बिंदु के लिए बनाया गया है और किया जाता है, उदाहरण के लिए, 1000 पुनरावृत्तियों। घरेलू कंप्यूटरों के लिए स्वीकार्य समय अंतराल में अपेक्षाकृत विकृत छवि प्राप्त करने के लिए, एक बिंदु के लिए 250 पुनरावृत्तियों को अंजाम देना संभव है।

आज हम जितने भग्न देखते हैं उनमें से अधिकांश सुंदर रंग के होते हैं। शायद भग्न छवियों ने उनकी रंग योजनाओं के कारण इतना बड़ा सौंदर्य मूल्य प्राप्त किया है। समीकरण की गणना के बाद, कंप्यूटर परिणामों का विश्लेषण करता है। यदि परिणाम स्थिर रहते हैं, या आसपास उतार-चढ़ाव करते हैं निश्चित मूल्य, बिंदु आमतौर पर काला होता है। यदि एक कदम या किसी अन्य पर मान अनंत तक जाता है, तो बिंदु को एक अलग रंग में चित्रित किया जाता है, शायद नीला या लाल। इस प्रक्रिया के दौरान, कंप्यूटर सभी गतियों को रंग प्रदान करता है।

आमतौर पर, तेजी से चलने वाले बिंदुओं को लाल रंग से रंगा जाता है, जबकि धीमे वाले पीले रंग के होते हैं, और इसी तरह। डार्क डॉट्स शायद सबसे स्थिर हैं।

जटिल भग्न नियतात्मक भग्न से इस मायने में भिन्न होते हैं कि वे असीम रूप से जटिल होते हैं, फिर भी एक बहुत ही सरल सूत्र द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। नियतात्मक भग्नों को सूत्रों या समीकरणों की आवश्यकता नहीं होती है। बस कुछ ड्राइंग पेपर लें और आप बिना किसी कठिनाई के 3 या 4 पुनरावृत्तियों तक एक सिएरपिंस्की चलनी बना सकते हैं। बहुत सारे जूलिया के साथ ऐसा करने की कोशिश करो! इंग्लैंड के समुद्र तट की लंबाई को मापना आसान है!

मैंडरब्रॉट सेट

अंजीर 2. मंडेलब्रॉट सेट

मंडेलब्रॉट और जूलिया सेट शायद जटिल फ्रैक्टल के बीच दो सबसे आम हैं। वे कई में पाए जा सकते हैं वैज्ञानिक पत्रिकाएं, बुक कवर, पोस्टकार्ड और कंप्यूटर स्क्रीन सेवर। मैंडलब्रॉट सेट, जिसे बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा बनाया गया था, संभवत: पहला संघ है जो लोगों के पास फ्रैक्टल शब्द सुनते ही होता है। यह फ्रैक्टल, चमकता हुआ पेड़ और उससे जुड़े सर्कल क्षेत्रों के साथ एक कार्ड जैसा दिखता है, सरल सूत्र Zn+1=Zna+C द्वारा उत्पन्न होता है, जहां Z और C जटिल संख्याएं हैं और एक सकारात्मक संख्या है।

सबसे अधिक देखा जाने वाला मैंडलब्रॉट सेट दूसरा डिग्री मंडेलब्रॉट सेट है, यानी ए = 2। तथ्य यह है कि मैंडलब्रॉट सेट न केवल Zn+1=ZnІ+C है, बल्कि एक फ्रैक्टल जिसका सूत्र में घातांक कोई भी हो सकता है सकारात्मक संख्याबहुतों को गुमराह किया। इस पृष्ठ पर आप घातांक के विभिन्न मूल्यों के लिए मैंडेलब्रॉट सेट का एक उदाहरण देखते हैं।
चित्र 3. a=3.5 . पर बुलबुले का दिखना

प्रक्रिया Z=Z*tg(Z+C) भी लोकप्रिय है। स्पर्शरेखा फ़ंक्शन को शामिल करने के लिए धन्यवाद, मैंडेलब्रॉट सेट प्राप्त होता है, जो एक सेब के समान क्षेत्र से घिरा होता है। कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करते समय, एयर बबल प्रभाव प्राप्त होते हैं। संक्षेप में, मंडेलब्रॉट सेट को विभिन्न सुंदर चित्रों का निर्माण करने के लिए कई तरीके हैं।

एकाधिक जूलिया

हैरानी की बात है कि जूलिया सेट उसी फॉर्मूले के अनुसार बनते हैं जैसे मैंडेलब्रॉट सेट। जूलिया सेट का आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया ने किया था, जिसके नाम पर सेट का नाम रखा गया था। मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट के साथ एक दृश्य परिचित होने के बाद पहला सवाल उठता है "यदि दोनों फ्रैक्टल एक ही सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं, तो वे इतने अलग क्यों हैं?" सबसे पहले देखिए जूलिया सेट की तस्वीरें। काफी अजीब है, लेकिन वहाँ हैं अलग - अलग प्रकारजूलिया सेट। विभिन्न प्रारंभिक बिंदुओं (पुनरावृत्ति प्रक्रिया शुरू करने के लिए) का उपयोग करके फ्रैक्टल खींचते समय, विभिन्न छवियां उत्पन्न होती हैं। यह केवल जूलिया सेट पर लागू होता है।

अंजीर 4. जूलिया सेट

हालांकि यह तस्वीर में नहीं देखा जा सकता है, मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल वास्तव में जूलिया फ्रैक्टल का एक गुच्छा है जो एक साथ जुड़ा हुआ है। मैंडलब्रॉट सेट का प्रत्येक बिंदु (या समन्वय) जूलिया फ्रैक्टल से मेल खाता है। समीकरण Z=ZI+C में प्रारंभिक मानों के रूप में इन बिंदुओं का उपयोग करके जूलिया सेट उत्पन्न किए जा सकते हैं। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यदि आप मंडेलब्रॉट फ्रैक्टल पर एक बिंदु का चयन करते हैं और इसे बढ़ाते हैं, तो आप जूलिया फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं। ये दो बिंदु समान हैं, लेकिन केवल गणितीय अर्थ में। यदि हम इस बिंदु को लेते हैं और इस सूत्र के अनुसार इसकी गणना करते हैं, तो हम मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल के एक निश्चित बिंदु के अनुरूप जूलिया फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं।

भग्न गुण कोई सनक नहीं है और न ही गणितज्ञों की बेकार कल्पना का फल है। उनका अध्ययन करके, हम भेद करना और भविष्यवाणी करना सीखते हैं महत्वपूर्ण विशेषताएंहमारे आस-पास की वस्तुएं और घटनाएं, जिन्हें पहले, अगर पूरी तरह से नजरअंदाज नहीं किया गया था, केवल लगभग, गुणात्मक रूप से, आंखों से अनुमान लगाया गया था। उदाहरण के लिए, जटिल संकेतों, एन्सेफेलोग्राम, या दिल की बड़बड़ाहट के फ्रैक्टल आयामों की तुलना करके, चिकित्सक प्रारंभिक चरण में कुछ गंभीर बीमारियों का निदान कर सकते हैं, जब रोगी को अभी भी मदद की जा सकती है। इसके अलावा, विश्लेषक, मॉडल के निर्माण की शुरुआत में कीमतों के पिछले व्यवहार की तुलना करते हुए, इसके आगे के विकास की भविष्यवाणी कर सकता है, जिससे पूर्वानुमान में सकल त्रुटियों से बचा जा सकता है।

भग्न की अनियमितता

भग्नों की पहली संपत्ति उनकी अनियमितता है। यदि एक फ्रैक्टल को किसी फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है, तो अनियमितता की संपत्ति गणितीय शब्दइसका अर्थ यह होगा कि ऐसा फलन अवकलनीय नहीं है, अर्थात किसी भी बिंदु पर चिकना नहीं है। दरअसल, इसका सबसे सीधा संबंध बाजार से है। मूल्य में उतार-चढ़ाव कभी-कभी इतना अस्थिर और परिवर्तनशील होता है कि यह कई व्यापारियों को भ्रमित करता है। हमारा काम इस सारी अराजकता को सुलझाना और इसे व्यवस्थित करना है।

क्या तुम जानते हो:इतनी विस्तृत विविधता निवेश के अवसर, जो अल्पारी प्रदान करता है, कोई अन्य विदेशी मुद्रा दलाल दावा नहीं कर सकता है।

भग्नों की स्व-समानता

दूसरी संपत्ति कहती है कि भग्न एक ऐसी वस्तु है जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है। यह एक पुनरावर्ती मॉडल है, जिसका प्रत्येक भाग अपने विकास में संपूर्ण मॉडल के विकास को दोहराता है और दृश्य परिवर्तनों के बिना विभिन्न पैमानों पर पुन: पेश किया जाता है। हालाँकि, परिवर्तन अभी भी होते हैं, जो वस्तु की हमारी धारणा को बहुत प्रभावित कर सकते हैं।

स्व-समानता का अर्थ है कि वस्तु का कोई विशिष्ट पैमाना नहीं है: यदि उसके पास ऐसा पैमाना होता, तो आप मूल छवि से टुकड़े की बढ़ी हुई प्रति को तुरंत अलग कर देते। स्व-समान वस्तुओं में सभी स्वादों के लिए अनंत संख्या में तराजू होते हैं। स्व-समानता का सार निम्नलिखित उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक "वास्तविक" ज्यामितीय रेखा, "चौड़ाई के बिना लंबाई" की एक तस्वीर है, जैसा कि यूक्लिड ने रेखा को परिभाषित किया है, और आप एक दोस्त के साथ खेल रहे हैं, यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या वह आपको मूल चित्र (मूल) दिखा रहा है या नहीं एक सीधी रेखा के किसी भी टुकड़े का चित्र। आप कितनी भी कोशिश कर लें, आप कभी भी टुकड़े की बढ़ी हुई कॉपी से मूल को अलग नहीं कर पाएंगे, सीधी रेखा को उसके सभी हिस्सों में उसी तरह व्यवस्थित किया जाता है, यह अपने आप में समान है, लेकिन इसका यह उल्लेखनीय गुण है कुछ हद तक सीधी रेखा की सीधी संरचना, इसकी "सीधीपन" (चित्र 7) द्वारा छिपी हुई है।

यदि आप किसी वस्तु के स्नैपशॉट को उसके किसी टुकड़े के ठीक से बढ़े हुए स्नैपशॉट से अलग नहीं कर सकते हैं, तो आपके पास एक स्व-समान वस्तु है। सभी भग्न जिनमें कम से कम कुछ समरूपता होती है, स्व-समान होते हैं। और इसका मतलब है कि उनकी संरचना के कुछ टुकड़े निश्चित स्थानिक अंतराल पर सख्ती से दोहराए जाते हैं। जाहिर है, ये वस्तुएं किसी भी प्रकृति की हो सकती हैं, और इनका स्वरूप और आकार पैमाने की परवाह किए बिना अपरिवर्तित रहता है। स्व-समान फ्रैक्टल का एक उदाहरण:

वित्त में, यह अवधारणा एक आधारहीन अमूर्तता नहीं है, बल्कि एक व्यावहारिक बाजार का एक सैद्धांतिक पुनर्कथन है - अर्थात्, स्टॉक या मुद्रा की चाल सतही रूप से समान है, समय सीमा और कीमत की परवाह किए बिना। प्रेक्षक नहीं बता सकता उपस्थितिग्राफ, चाहे डेटा साप्ताहिक, दैनिक या प्रति घंटा परिवर्तन को संदर्भित करता है।

बेशक, सभी भग्नों में ऐसी नियमित, अंतहीन दोहराव वाली संरचना नहीं होती है, जो भविष्य के भग्न कला संग्रहालय के उन अद्भुत प्रदर्शनों के रूप में होती है, जो गणितज्ञों और कलाकारों की कल्पना से पैदा हुए थे। प्रकृति में पाए जाने वाले कई भग्न (चट्टानों और धातुओं की दोषपूर्ण सतहें, बादल, मुद्रा उद्धरण, अशांत प्रवाह, फोम, जैल, कालिख कण आकृति, आदि) में ज्यामितीय समानता का अभाव होता है, लेकिन प्रत्येक टुकड़े में पूरे के सांख्यिकीय गुणों का हठपूर्वक पुनरुत्पादन होता है। विकास के गैर-रैखिक रूप वाले फ्रैक्टल्स को मैंडलब्रॉट ने मल्टीफ्रैक्टल्स के रूप में नामित किया था। एक मल्टीफ्रैक्टल एक अर्ध-फ्रैक्टल वस्तु है जिसमें एक परिवर्तनीय फ्रैक्टल आयाम होता है। स्वाभाविक रूप से, वास्तविक वस्तुओं और प्रक्रियाओं को मल्टीफ्रैक्टल्स द्वारा बेहतर तरीके से वर्णित किया जाता है।

इस तरह की सांख्यिकीय आत्म-समानता, या औसतन आत्म-समानता, सेट के बीच फ्रैक्टल को अलग करती है प्राकृतिक वस्तुएं.

आत्म-समानता के एक उदाहरण पर विचार करें विदेशी मुद्रा बाजार:

इन आंकड़ों में, हम देखते हैं कि वे समान हैं, जबकि एक अलग समय पैमाने होने पर, अंजीर में। और 15 मिनट का पैमाना, अंजीर में। बी साप्ताहिक मूल्य पैमाने। जैसा कि आप देख सकते हैं, इन उद्धरणों में एक दूसरे को पूरी तरह से दोहराने की क्षमता नहीं है, हालांकि, हम उन्हें समान मान सकते हैं।

यहां तक ​​​​कि सबसे सरल फ्रैक्टल - ज्यामितीय रूप से स्व-समान फ्रैक्टल - में असामान्य गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, वॉन कोच स्नोफ्लेक में अनंत लंबाई की परिधि होती है, हालांकि यह एक सीमित क्षेत्र (चित्र 9) को सीमित करता है। इसके अलावा, यह इतना कांटेदार है कि समोच्च के किसी भी बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना असंभव है (एक गणितज्ञ कहेगा कि वॉन कोच स्नोफ्लेक कहीं भी अलग-अलग नहीं है, यानी किसी भी बिंदु पर चिकना नहीं है)।

मैंडलब्रॉट ने पाया कि भिन्नात्मक माप के परिणाम वस्तु की अनियमितता में वृद्धि की विभिन्न डिग्री के लिए स्थिर रहते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी अनियमितता के लिए नियमितता (शुद्धता, सुव्यवस्था) होती है। जब हम किसी चीज़ को यादृच्छिक मानते हैं, तो यह इंगित करता है कि हम इस यादृच्छिकता की प्रकृति को नहीं समझते हैं। बाजार के संदर्भ में, इसका मतलब है कि एक ही विशिष्ट संरचनाओं का निर्माण अलग-अलग समय सीमा में होना चाहिए। एक मिनट का चार्ट मासिक चार्ट की तरह ही फ्रैक्टल फॉर्मेशन का वर्णन करेगा। कमोडिटी और वित्तीय बाजारों के चार्ट पर पाया गया यह "स्व-समानता" सभी संकेत दिखाता है कि बाजार की क्रियाएं आर्थिक, मौलिक विश्लेषण के व्यवहार की तुलना में "प्रकृति" के व्यवहारिक प्रतिमान के करीब हैं।

इन आंकड़ों में, आप उपरोक्त की पुष्टि पा सकते हैं। बाईं ओर एक मिनट के पैमाने के साथ एक ग्राफ है, दाईं ओर एक साप्ताहिक है। यूएसडी/येन (चित्र 9 (ए)) और यूरो/डॉलर (छवि 9 (बी)) मुद्रा जोड़े यहां विभिन्न मूल्य पैमाने के साथ दिखाए गए हैं। भले ही JPY/USD मुद्रा जोड़ी में EUR/USD के संबंध में एक अलग अस्थिरता है, हम समान मूल्य आंदोलन संरचना का निरीक्षण कर सकते हैं।

भग्न आयाम

फ्रैक्टल की तीसरी संपत्ति यह है कि फ्रैक्टल वस्तुओं में यूक्लिडियन (दूसरे शब्दों में, एक टोपोलॉजिकल आयाम) के अलावा एक आयाम होता है। फ्रैक्टल आयाम वक्र की जटिलता का एक माप है। विभिन्न भग्न आयामों वाले वर्गों के प्रत्यावर्तन का विश्लेषण करके और बाहरी और आंतरिक कारकों से सिस्टम कैसे प्रभावित होता है, कोई भी सिस्टम के व्यवहार की भविष्यवाणी करना सीख सकता है। और सबसे महत्वपूर्ण बात, अस्थिर स्थितियों का निदान और भविष्यवाणी करना।

आधुनिक गणित के शस्त्रागार में, मंडेलब्रॉट ने वस्तुओं की अपूर्णता का एक सुविधाजनक मात्रात्मक माप पाया - समोच्च की सिनुओसिटी, सतह की झुर्रियाँ, वॉल्यूम का फ्रैक्चरिंग और सरंध्रता। यह दो गणितज्ञों - फेलिक्स हॉसडॉर्फ (1868-1942) और अब्राम समॉयलोविच बेसिकोविच (1891-1970) द्वारा प्रस्तावित किया गया था। अब वह पहनने लायक है गौरवशाली नामउनके रचनाकारों (हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम) - हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम। आयाम क्या है और वित्तीय बाजारों के विश्लेषण के संबंध में हमें इसकी आवश्यकता क्यों है? इससे पहले, हम केवल एक प्रकार के आयाम को जानते थे - टोपोलॉजिकल (चित्र। 11)। आयाम शब्द ही बताता है कि किसी वस्तु के कितने आयाम हैं। एक खंड के लिए, एक सीधी रेखा, यह 1 के बराबर है, अर्थात। हमारे पास केवल एक आयाम है, अर्थात् एक खंड की लंबाई या एक सीधी रेखा। एक विमान के लिए, आयाम 2 होगा, क्योंकि हमारे पास दो-आयामी आयाम, लंबाई और चौड़ाई है। अंतरिक्ष या ठोस वस्तुओं के लिए, आयाम 3 है: लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई।

आइए कंप्यूटर गेम का उदाहरण लें। यदि गेम 3 डी ग्राफिक्स में बनाया गया है, तो यह स्थानिक और स्वैच्छिक है, अगर 2 डी ग्राफिक्स में, ग्राफिक्स एक विमान पर प्रदर्शित होते हैं (चित्र 10)।

हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम में सबसे असामान्य (यह कहना अधिक सही होगा - असामान्य) यह था कि यह न केवल पूर्णांकों को एक टोपोलॉजिकल आयाम के रूप में ले सकता है, बल्कि भिन्नात्मक मान भी ले सकता है। एक सीधी रेखा के लिए एक के बराबर (अनंत, अर्ध-अनंत, या एक परिमित खंड के लिए), हौसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम बढ़ जाता है क्योंकि यातना बढ़ती है, जबकि टोपोलॉजिकल आयाम रेखा के साथ होने वाले सभी परिवर्तनों को हठपूर्वक अनदेखा करता है।

आयाम एक सेट की जटिलता को दर्शाता है (उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा)। यदि यह 1 (एक सीधी रेखा) के बराबर एक टोपोलॉजिकल आयाम वाला वक्र है, तो वक्र को अनंत संख्या में मोड़ और शाखाओं द्वारा इस हद तक जटिल किया जा सकता है कि इसका फ्रैक्टल आयाम दो तक पहुंच जाए, अर्थात। लगभग पूरे तल को भर देगा (चित्र 12)

इसके मूल्य को बढ़ाकर, हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम इसे अचानक नहीं बदलता है, क्योंकि टोपोलॉजिकल आयाम "अपने स्थान पर", 1 से तुरंत 2 में संक्रमण करेगा। हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम - और यह पहली नज़र में असामान्य लग सकता है। और आश्चर्य की बात है, भिन्नात्मक मान लेता है: एक सीधी रेखा के लिए एक के बराबर, यह थोड़ी पापी रेखा के लिए 1.15, अधिक पापी रेखा के लिए 1.2, बहुत पापी रेखा के लिए 1.5, आदि हो जाता है।

यह हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम की भिन्नात्मक, गैर-पूर्णांक मानों को लेने की क्षमता पर जोर देने के लिए था, जो मंडेलब्रॉट ने अपने स्वयं के नवविज्ञान के साथ आया, इसे फ्रैक्टल आयाम कहा। तो, एक फ्रैक्टल आयाम (न केवल हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच, बल्कि कोई अन्य) एक ऐसा आयाम है जो जरूरी नहीं कि पूर्णांक मान ले सकता है, बल्कि भिन्नात्मक भी हो सकता है।

रैखिक ज्यामितीय भग्न के लिए, आयाम उनकी आत्म-समानता की विशेषता है। अंजीर पर विचार करें। 17(ए), रेखा में एन = 4 खंड होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई आर = 1/3 है। नतीजतन, हमें अनुपात मिलता है:

डी = लॉगएन/लॉग(1/आर)

जब हम मल्टीफ्रैक्टल्स (नॉन-लीनियर) की बात करते हैं तो स्थिति काफी अलग होती है। यहां आयाम किसी वस्तु की समानता की परिभाषा के रूप में अपना अर्थ खो देता है और इसे विभिन्न सामान्यीकरणों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, जो स्व-समान वस्तुओं के अद्वितीय आयाम की तुलना में बहुत कम प्राकृतिक है।

विदेशी मुद्रा बाजार में, आयाम मूल्य उद्धरणों की अस्थिरता को चिह्नित कर सकता है। कीमतों के संदर्भ में प्रत्येक मुद्रा जोड़ी का अपना व्यवहार होता है। पाउंड/डॉलर जोड़ी के लिए (चित्र 13(ए)) यह यूरो/डॉलर की तुलना में अधिक शांत है (चित्र 13(बी))। सबसे दिलचस्प बात यह है कि ये मुद्राएं एक ही संरचना के साथ मूल्य स्तरों पर चलती हैं, हालांकि, उनके अलग-अलग आयाम हैं, जो इंट्राडे ट्रेडिंग को प्रभावित कर सकते हैं और उन मॉडलों में बदलाव कर सकते हैं जो अनुभवहीन रूप से बचते हैं।

अंजीर पर। चित्र 14 गणितीय मॉडल के संबंध में आयाम दिखाता है, ताकि आप इस शब्द के अर्थ को और अधिक गहराई से समझ सकें। ध्यान दें कि तीनों आंकड़े एक ही चक्र दिखाते हैं। अंजीर पर। और आयाम 1.2 है, अंजीर में। बी, आयाम 1.5 है, और अंजीर में। 1.9 में। यह देखा जा सकता है कि आयाम में वृद्धि के साथ, वस्तु की धारणा अधिक जटिल हो जाती है, दोलनों का आयाम बढ़ जाता है।

वित्तीय बाजारों में, आयाम न केवल मूल्य अस्थिरता के रूप में, बल्कि चक्रों (लहरों) के विवरण के रूप में भी परिलक्षित होता है। इसके लिए धन्यवाद, हम यह भेद करने में सक्षम होंगे कि लहर एक निश्चित समय के पैमाने से संबंधित है या नहीं। अंजीर पर। 15 यूरो/डॉलर जोड़ी को दैनिक मूल्य पैमाने पर दिखाता है। ध्यान दें, आप स्पष्ट रूप से गठित चक्र और एक नए, बड़े चक्र की शुरुआत देख सकते हैं। प्रति घंटा पैमाने पर स्विच करना और चक्रों में से किसी एक पर ज़ूम इन करना, हम छोटे चक्र देख सकते हैं, और डी 1 (चित्र 16) पर स्थित एक बड़े चक्र का हिस्सा देख सकते हैं। लूप डिटेलिंग, यानी। उनका आयाम हमें प्रारंभिक स्थितियों से यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि भविष्य में स्थिति कैसे विकसित हो सकती है। हम कह सकते हैं कि: फ्रैक्टल आयाम विचाराधीन सेट के स्केल इनवेरिएंस गुण को दर्शाता है।

मैंडेलब्रॉट द्वारा "सीलेंट" शब्द से आविष्कार की अवधारणा पेश की गई थी - स्केलेबल, यानी। जब किसी वस्तु में अपरिवर्तनशीलता का गुण होता है, तो उसके अलग-अलग प्रदर्शन पैमाने होते हैं।

अंजीर पर। 16 सर्कल ए एक मिनी-साइकिल (विस्तृत तरंग), सर्कल बी - एक बड़े चक्र की लहर को हाइलाइट करता है। यह ठीक इस आयाम के कारण है कि हम हमेशा सभी चक्रों को समान मूल्य पैमाने पर निर्धारित नहीं कर सकते हैं।

हम "विदेशी मुद्रा बाजार में चक्र" खंड में गैर-आवधिक चक्रों के गुणों के निर्धारण और विकास की समस्याओं के बारे में बात करेंगे, अब हमारे लिए मुख्य बात यह समझना था कि वित्तीय बाजारों में आयाम कैसे और कहां प्रकट होता है।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मॉडल के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग तब किया जाता है जब वास्तविक वस्तु को शास्त्रीय मॉडल के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। और इसका मतलब है कि हम गैर-रेखीय संबंधों और डेटा की गैर-नियतात्मक (यादृच्छिक) प्रकृति से निपट रहे हैं। वैचारिक अर्थों में गैर-रैखिकता का अर्थ है विकास पथों की बहुभिन्नता, वैकल्पिक रास्तों में से एक विकल्प की उपलब्धता और विकास की एक निश्चित गति, साथ ही अपरिवर्तनीयता विकासवादी प्रक्रियाएं. गणितीय अर्थ में गैर-रैखिकता का अर्थ है खास तरहगणितीय समीकरण विभेदक समीकरण) माध्यम के गुणों के आधार पर एक या गुणांक से अधिक की शक्तियों में वांछित मान युक्त। एक गैर-रैखिक गतिशील प्रणाली का एक सरल उदाहरण:

जॉनी साल में 2 इंच बढ़ता है। यह प्रणाली बताती है कि समय के साथ जॉनी की ऊंचाई कैसे बदलती है। माना x(n) इस वर्ष जॉनी की ऊंचाई है। मान लीजिए कि अगले वर्ष में उसकी वृद्धि x (n + 1) के रूप में लिखी जाती है। तब हम समीकरण के रूप में गतिशील प्रणाली लिख सकते हैं:

एक्स(एन+1) = एक्स(एन) + 2.

देखो? क्या यह सरल गणित नहीं है? यदि हम जॉनी की वर्तमान ऊँचाई x (n) = 38 इंच दर्ज करें, तो साथ दाईं ओरसमीकरण में हमें अगले साल जॉनी की ऊंचाई मिलती है, x (n+1) = 40 इंच:

एक्स (एन + 1) = एक्स (एन) + 2 = 38 + 2 = 40।

किसी समीकरण में दाएँ से बाएँ जाने को पुनरावृत्ति (पुनरावृत्ति) कहते हैं। हम समीकरण के दाईं ओर जॉनी की 40 इंच की नई ऊंचाई दर्ज करके समीकरण को फिर से दोहरा सकते हैं (यानी x(n) = 40) और हमें x(n+1) = 42 मिलता है। यदि हम समीकरण को दोहराते हैं (दोहराते हैं) 3 बार, हम 3 साल में जॉनी की ऊंचाई प्राप्त करते हैं, अर्थात् 44 इंच, 38 इंच की ऊंचाई से शुरू करते हैं।

यह एक नियतात्मक गतिशील प्रणाली है। यदि हम इसे गैर-नियतात्मक (स्टोकेस्टिक) बनाना चाहते हैं, तो हम इस तरह एक मॉडल बना सकते हैं: जॉनी प्रति वर्ष 2 इंच बढ़ता है, कम या ज्यादा, और समीकरण को इस प्रकार लिखें:

एक्स(एन+1) = एक्स(एन) + 2 + ई

जहां ई एक छोटी त्रुटि है (2 के सापेक्ष छोटा), कुछ संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

आइए मूल नियतात्मक समीकरण पर वापस जाएं। मूल समीकरण, x(n+1) = x(n) + 2, रैखिक है। रैखिक का अर्थ है कि आप चर या स्थिरांक जोड़ रहे हैं, या चर को स्थिरांक से गुणा कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण

जेड (एन + एल) = जेड (एन) + 5 वाई (एन) -2 एक्स (एन)

रैखिक है। लेकिन यदि आप चरों को गुणा करते हैं, या उन्हें एक से अधिक घात तक बढ़ाते हैं, तो समीकरण (प्रणाली) अरैखिक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, समीकरण

एक्स (एन + 1) = एक्स (एन) 2

अरैखिक है क्योंकि x(n) का वर्ग है। समीकरण

गैर-रैखिक है क्योंकि दो चर, x और y, गुणा किए जाते हैं।

जब हम शास्त्रीय मॉडल (उदाहरण के लिए, प्रवृत्ति, प्रतिगमन, आदि) लागू करते हैं, तो हम कहते हैं कि किसी वस्तु का भविष्य विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है, अर्थात। पूरी तरह से प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है और एक स्पष्ट पूर्वानुमान के लिए उत्तरदायी है। आप एक्सेल में इनमें से किसी एक मॉडल को स्वतंत्र रूप से निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण शास्त्रीय मॉडललगातार घटती या बढ़ती प्रवृत्ति के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। और हम वस्तु के अतीत (मॉडलिंग के लिए प्रारंभिक डेटा) को जानकर उसके व्यवहार का अनुमान लगा सकते हैं। और फ्रैक्टल का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब वस्तु के पास विकास के लिए कई विकल्प होते हैं और सिस्टम की स्थिति उस स्थिति से निर्धारित होती है जिसमें वह वर्तमान में स्थित है। यानी हम एक अराजक विकास का अनुकरण करने की कोशिश कर रहे हैं। यह प्रणाली इंटरबैंक विदेशी मुद्रा बाजार है।

आइए अब विचार करें कि एक सीधी रेखा से जिसे हम भग्न कहते हैं, उसके अंतर्निहित गुणों के साथ कैसे प्राप्त किया जा सकता है।

अंजीर पर। 17(ए) कोच वक्र को दर्शाता है। एक रेखाखंड लीजिए, जिसकी लंबाई = 1, अर्थात्। अभी भी एक टोपोलॉजिकल आयाम। अब हम इसे तीन भागों (लंबाई का प्रत्येक 1/3) में विभाजित करेंगे, और बीच का तीसरा भाग निकाल देंगे। लेकिन हम मध्य तीसरे को दो खंडों (लंबाई के प्रत्येक 1/3) से बदल देंगे, जिसे एक समबाहु त्रिभुज के दो पक्षों के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह अंजीर में दर्शाए गए डिजाइन का चरण दो (बी) है। 17 (ए)। इस बिंदु पर हमारे पास 4 छोटे भाग हैं, प्रत्येक 1/3 लंबाई का है, इसलिए पूरी लंबाई 4(1/3) = 4/3 है। फिर हम इस प्रक्रिया को रेखा के 4 छोटे पालियों में से प्रत्येक के लिए दोहराते हैं। यह चरण तीन (सी) है। यह हमें 16 और भी छोटे रेखाखंड देगा, प्रत्येक की लंबाई का 1/9। तो अब पूरी लंबाई 16/9 या (4/3) 2 है। नतीजतन, हमें एक भिन्नात्मक आयाम मिला। लेकिन इतना ही नहीं यह परिणामी संरचना को एक सीधी रेखा से अलग करता है। यह स्व-समान हो गया है और इसके किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा खींचना असंभव है (चित्र 17 (बी))।

विषय

विज्ञान में सबसे सरल खोजें मौलिक रूप से बदल सकती हैं मानव जीवन. आविष्कार किया हुआ टीका लाखों लोगों को बचा सकता है, हथियारों का निर्माण, इसके विपरीत, इन लोगों की जान ले लेता है। हाल ही में (पैमाने में मानव विकास) हमने बिजली को "वश में" करना सीख लिया है - और अब हम बिजली का उपयोग करने वाले इन सभी सुविधाजनक उपकरणों के बिना जीवन की कल्पना नहीं कर सकते हैं। लेकिन ऐसी खोजें भी हैं जिन्हें बहुत कम लोग महत्व देते हैं, हालाँकि वे हमारे जीवन को भी बहुत प्रभावित करते हैं।

इन "अगोचर" खोजों में से एक भग्न है। आपने शायद यह आकर्षक शब्द सुना होगा, लेकिन क्या आप जानते हैं कि इसका क्या मतलब है और इस शब्द में कितनी दिलचस्प बातें छिपी हैं?

प्रत्येक व्यक्ति में स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, अपने आसपास की दुनिया के बारे में जानने की इच्छा होती है। और इस आकांक्षा में, एक व्यक्ति निर्णय में तर्क का पालन करने की कोशिश करता है। अपने आस-पास हो रही प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह जो हो रहा है उसका तर्क खोजने की कोशिश करता है और कुछ नियमितता का पता लगाता है। ग्रह पर सबसे बड़े दिमाग इस कार्य में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर, वैज्ञानिक एक ऐसे पैटर्न की तलाश में हैं जहां यह नहीं होना चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी, घटनाओं के बीच संबंध पाया जा सकता है। और यह संबंध एक भग्न है।

हमारी साढ़े चार साल की छोटी बेटी, अब उस अद्भुत उम्र में है जब प्रश्नों की संख्या "क्यों?" वयस्कों के पास जितने उत्तर देने के लिए समय है, उससे कई गुना अधिक। कुछ समय पहले, मेरी बेटी ने जमीन से उठी एक शाखा को देखा, अचानक देखा कि यह शाखा, गांठों और शाखाओं के साथ, अपने आप में एक पेड़ की तरह लग रही थी। और, ज़ाहिर है, सामान्य प्रश्न "क्यों?" का पालन किया, जिसके लिए माता-पिता को एक सरल स्पष्टीकरण की तलाश करनी पड़ी जिसे बच्चा समझ सके।

एक बच्चे द्वारा खोजे गए पूरे पेड़ के साथ एकल शाखा की समानता एक बहुत ही सटीक अवलोकन है, जो एक बार फिर प्रकृति में पुनरावर्ती आत्म-समानता के सिद्धांत की गवाही देता है। प्रकृति में बहुत सारे कार्बनिक और अकार्बनिक रूप समान रूप से बनते हैं। बादल, समुद्र के गोले, घोंघे का "घर", पेड़ों की छाल और ताज, संचार प्रणालीऔर इसी तरह - इन सभी वस्तुओं के यादृच्छिक आकार को फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

बेनोइट मंडेलब्रॉट: फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक

"फ्रैक्टल" शब्द ही शानदार वैज्ञानिक बेनोइट बी मंडेलब्रॉट के लिए धन्यवाद प्रकट हुआ।

उन्होंने 1970 के दशक में लैटिन से फ्रैक्टस शब्द उधार लेते हुए खुद इस शब्द को गढ़ा, जहां इसका शाब्दिक अर्थ "टूटा हुआ" या "कुचल" होता है। यह क्या है? आज, "फ्रैक्टल" शब्द का प्रयोग अक्सर एक संरचना के ग्राफिक प्रतिनिधित्व के लिए किया जाता है जो बड़े पैमाने पर स्वयं के समान होता है।

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत के उद्भव के लिए गणितीय आधार बेनोइट मंडेलब्रॉट के जन्म से कई साल पहले रखा गया था, लेकिन यह केवल कंप्यूटिंग उपकरणों के आगमन के साथ ही विकसित हो सका। अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत में, बेनोइट ने आईबीएम अनुसंधान केंद्र में काम किया। उस समय केंद्र के कर्मचारी दूर-दूर तक डाटा ट्रांसमिशन पर काम कर रहे थे। अनुसंधान के दौरान, वैज्ञानिकों को शोर के हस्तक्षेप से होने वाले बड़े नुकसान की समस्या का सामना करना पड़ा। बेनोइस से पहले एक जटिल और बहुत खड़ा था महत्वपूर्ण कार्य- समझें कि सांख्यिकीय पद्धति अप्रभावी होने पर इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर हस्तक्षेप की घटना की भविष्यवाणी कैसे करें।

शोर माप के परिणामों को देखते हुए, मैंडलब्रॉट ने एक अजीब पैटर्न पर ध्यान आकर्षित किया - विभिन्न पैमाने पर शोर ग्राफ समान दिखते थे। एक समान पैटर्न देखा गया, चाहे वह एक दिन, एक सप्ताह या एक घंटे के लिए शोर की साजिश हो। यह ग्राफ के पैमाने को बदलने के लायक था, और तस्वीर को हर बार दोहराया गया था।

पर बेनोइट का जीवनमैंडलब्रॉट ने बार-बार कहा है कि वह सूत्रों से नहीं निपटते, बल्कि केवल चित्रों के साथ खेलते हैं। इस आदमी ने बहुत लाक्षणिक रूप से सोचा, और कोई भी बीजीय समस्याज्यामिति के क्षेत्र में अनुवादित, जहाँ, उनके अनुसार, सही उत्तर हमेशा स्पष्ट होता है।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि यह इतनी समृद्ध स्थानिक कल्पना वाला व्यक्ति था जो फ्रैक्टल ज्यामिति का जनक बना। आखिरकार, फ्रैक्टल के सार की प्राप्ति ठीक उसी समय होती है जब आप चित्र का अध्ययन करना शुरू करते हैं और अजीब भंवर पैटर्न के अर्थ के बारे में सोचते हैं।

भग्न पैटर्न में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन किसी भी पैमाने पर समानता होती है। इस छवि को के साथ बनाएं एक उच्च डिग्रीमैन्युअल विवरण पहले बस असंभव था, इसके लिए बड़ी मात्रा में गणना की आवश्यकता थी। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी गणितज्ञपियरे जोसेफ लुई फतो ने बेनोइट मंडेलब्रॉट की खोज से सत्तर साल पहले इस सेट का वर्णन किया था। यदि हम आत्म-समानता के सिद्धांतों के बारे में बात करते हैं, तो उनका उल्लेख लाइबनिज़ और जॉर्ज कैंटर के कार्यों में किया गया था।

फ्रैक्टल के पहले चित्रों में से एक मंडेलब्रॉट सेट की एक ग्राफिकल व्याख्या थी, जो गैस्टन मौरिस जूलिया के शोध से पैदा हुई थी।

गैस्टन जूलिया (हमेशा नकाबपोश - WWI की चोट)

इस फ्रांसीसी गणितज्ञ ने सोचा कि एक सेट कैसा दिखेगा यदि इसे फीडबैक लूप द्वारा पुनरावृत्त एक साधारण सूत्र से बनाया गया हो। यदि "उंगलियों पर" समझाया जाता है, तो इसका मतलब है कि एक विशिष्ट संख्या के लिए हमें सूत्र का उपयोग करके एक नया मान मिलता है, जिसके बाद हम इसे फिर से सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा मान प्राप्त करते हैं। परिणाम संख्याओं का एक बड़ा क्रम है।

इस तरह के एक सेट की पूरी तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आपको बड़ी मात्रा में गणना करने की आवश्यकता है - सैकड़ों, हजारों, लाखों। इसे मैन्युअल रूप से करना असंभव था। लेकिन जब गणितज्ञों के पास शक्तिशाली कंप्यूटिंग उपकरण दिखाई दिए, तो वे उन सूत्रों और अभिव्यक्तियों पर नए सिरे से विचार करने में सक्षम थे, जिनमें लंबे समय से रुचि थी। मैंडलब्रॉट शास्त्रीय फ्रैक्टल की गणना के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। बड़ी संख्या में मानों वाले अनुक्रम को संसाधित करने के बाद, बेनोइट ने परिणामों को एक ग्राफ़ में स्थानांतरित कर दिया। यहाँ उसे क्या मिला है।

इसके बाद, यह छवि रंगीन हो गई (उदाहरण के लिए, रंग भरने का एक तरीका पुनरावृत्तियों की संख्या है) और मनुष्य द्वारा बनाई गई अब तक की सबसे लोकप्रिय छवियों में से एक बन गई।

जैसा कि इफिसुस के हेराक्लिटस के लिए जिम्मेदार प्राचीन कहावत कहती है, "आप एक ही नदी में दो बार प्रवेश नहीं कर सकते।" यह भग्नों की ज्यामिति की व्याख्या करने के लिए सबसे उपयुक्त है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम भग्न छवि की कितनी विस्तृत जांच करते हैं, हम हमेशा एक समान पैटर्न देखेंगे।

जो लोग यह देखना चाहते हैं कि मंडेलब्रॉट स्पेस की एक छवि कैसी दिखेगी, जब कई बार आवर्धित की जाए तो एक एनिमेटेड GIF अपलोड करके ऐसा कर सकते हैं।

लॉरेन कारपेंटर: प्रकृति द्वारा बनाई गई कला

भग्न के सिद्धांत को जल्द ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूंकि यह स्व-समान छवियों के विज़ुअलाइज़ेशन से निकटता से संबंधित है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि असामान्य रूपों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम और सिद्धांतों को अपनाने वाले पहले कलाकार थे।

प्रसिद्ध पिक्सर स्टूडियो के भविष्य के सह-संस्थापक, लॉरेन सी. कारपेंटर ने 1967 में बोइंग कंप्यूटर सर्विसेज में काम करना शुरू किया, जो नए विमानों के विकास में लगे प्रसिद्ध निगम के डिवीजनों में से एक था।

1977 में, उन्होंने उड़ान मॉडल के प्रोटोटाइप के साथ प्रस्तुतियाँ बनाईं। लॉरेन डिजाइन किए जा रहे विमान की छवियों को विकसित करने के लिए जिम्मेदार थे। वह भविष्य के विमानों को दिखाते हुए नए मॉडलों की तस्वीरें बनाने वाला था अलग-अलग पार्टियां. कुछ बिंदु पर, पिक्सर एनिमेशन स्टूडियो के भविष्य के संस्थापक ने पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की एक छवि का उपयोग करने के लिए रचनात्मक विचार के साथ आया। आज, कोई भी स्कूली बच्चा इस तरह की समस्या को हल कर सकता है, लेकिन पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक के अंत में, कंप्यूटर ऐसी जटिल गणनाओं का सामना नहीं कर सके - कोई ग्राफिक संपादक नहीं थे, त्रि-आयामी ग्राफिक्स के लिए अनुप्रयोगों का उल्लेख नहीं करना था। 1978 में, लॉरेन ने गलती से बेनोइट मैंडेलब्रॉट की पुस्तक फ्रैक्टल्स: फॉर्म, रैंडमनेस एंड डायमेंशन को एक स्टोर में देखा। इस पुस्तक में उनका ध्यान इस ओर गया कि बेनोइस्ट ने फ्रैक्टल रूपों के कई उदाहरण दिए असली जीवनऔर सिद्ध किया कि उन्हें गणितीय व्यंजक द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

इस सादृश्य को गणितज्ञ ने संयोग से नहीं चुना था। तथ्य यह है कि जैसे ही उन्होंने अपना शोध प्रकाशित किया, उन्हें आलोचनाओं की एक पूरी झड़ी लगानी पड़ी। मुख्य बात यह है कि उनके सहयोगियों ने उन्हें विकसित सिद्धांत की बेकारता के साथ फटकार लगाई थी। "हाँ," उन्होंने कहा, "ये खूबसूरत तस्वीरें हैं, लेकिन इससे ज्यादा कुछ नहीं। व्यावहारिक मूल्यभग्न का सिद्धांत नहीं है। ऐसे लोग भी थे जो आम तौर पर मानते थे कि फ्रैक्टल पैटर्न केवल "शैतान मशीनों" के काम का उप-उत्पाद थे, जो सत्तर के दशक के उत्तरार्ध में बहुत जटिल और पूरी तरह से भरोसेमंद होने के लिए अस्पष्ट थे। मैंडलब्रॉट ने भग्न के सिद्धांत का एक स्पष्ट अनुप्रयोग खोजने की कोशिश की, लेकिन, कुल मिलाकर, उन्हें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं थी। अगले 25 वर्षों में बेनोइट मंडेलब्रॉट के अनुयायियों ने साबित किया महान लाभइस तरह की "गणितीय जिज्ञासा" से, और लॉरेन कारपेंटर भग्न विधि को व्यवहार में लाने वाले पहले लोगों में से एक थे।

पुस्तक का अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने भग्न ज्यामिति के सिद्धांतों का गंभीरता से अध्ययन किया और इसे कंप्यूटर ग्राफिक्स में लागू करने का एक तरीका तलाशना शुरू किया। केवल तीन दिनों के काम में, लॉरेन एक यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में सक्षम थी। पर्वत प्रणालीआपके कंप्युटर पर। दूसरे शब्दों में, उन्होंने सूत्रों की मदद से एक पूरी तरह से पहचाने जाने योग्य पहाड़ी परिदृश्य को चित्रित किया।

लॉरेन अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए जिस सिद्धांत का प्रयोग करती थीं, वह बहुत ही सरल था। इसमें एक बड़ी ज्यामितीय आकृति को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल था, और ये बदले में, छोटे आकार के समान आकृतियों में विभाजित किए गए थे।

बड़े त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, बढ़ई ने उन्हें चार छोटे त्रिभुजों में तोड़ दिया और फिर इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जब तक कि उनके पास एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं था। इस प्रकार, वह छवियों के निर्माण के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले कलाकार बनने में सफल रहे। जैसे ही इसे किए गए काम के बारे में पता चला, दुनिया भर के उत्साही लोगों ने इस विचार को उठाया और यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों को अनुकरण करने के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करना शुरू कर दिया।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले 3D रेंडरिंग में से एक

कुछ ही वर्षों बाद, लॉरेन कारपेंटर अपनी उपलब्धियों को एक बहुत बड़ी परियोजना में लागू करने में सक्षम था। एनिमेटर ने उन्हें दो मिनट के डेमो, वॉल लिब्रे पर आधारित किया, जिसे 1980 में सिग्ग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने इसे देखने वाले सभी को चौंका दिया और लॉरेन को लुकासफिल्म का निमंत्रण मिला।

एनीमेशन को डिजिटल उपकरण निगम के VAX-11/780 कंप्यूटर पर पांच मेगाहर्ट्ज़ की घड़ी की गति से प्रदान किया गया था, और प्रत्येक फ्रेम को खींचने में लगभग आधे घंटे का समय लगा।

लुकासफिल्म लिमिटेड के लिए काम करते हुए, एनिमेटर ने स्टार ट्रेक गाथा में दूसरी विशेषता के लिए समान 3D परिदृश्य बनाए। खान के क्रोध में, बढ़ई भग्न सतह मॉडलिंग के समान सिद्धांत का उपयोग करके एक संपूर्ण ग्रह बनाने में सक्षम था।

वर्तमान में, 3D परिदृश्य बनाने के लिए सभी लोकप्रिय अनुप्रयोग प्राकृतिक वस्तुओं को उत्पन्न करने के समान सिद्धांत का उपयोग करते हैं। Terragen, Bryce, Vue और अन्य 3D संपादक एक फ्रैक्टल सतह और बनावट मॉडलिंग एल्गोरिथम पर भरोसा करते हैं।

फ्रैक्टल एंटेना: कम बेहतर है, लेकिन बेहतर है

पिछली आधी सदी में, जीवन तेजी से बदल गया है। हम में से अधिकांश लोग आधुनिक तकनीक में हुई प्रगति को हल्के में लेते हैं। वह सब कुछ जो जीवन को और अधिक आरामदायक बनाता है, आपको बहुत जल्दी इसकी आदत हो जाती है। शायद ही कोई सवाल पूछता है "यह कहाँ से आया?" और यह कैसे काम करता है?"। एक माइक्रोवेव ओवन नाश्ते को गर्म करता है - ठीक है, बढ़िया, एक स्मार्टफोन आपको दूसरे व्यक्ति से बात करने की अनुमति देता है - बढ़िया। यह हमारे लिए एक स्पष्ट संभावना की तरह लगता है।

लेकिन जीवन पूरी तरह से अलग हो सकता है यदि कोई व्यक्ति घटित होने वाली घटनाओं के लिए स्पष्टीकरण की तलाश नहीं करता है। उदाहरण के लिए, सेल फोन लें। पहले मॉडल पर वापस लेने योग्य एंटेना याद रखें? उन्होंने हस्तक्षेप किया, डिवाइस का आकार बढ़ाया, अंत में, अक्सर टूट गया। हम मानते हैं कि वे हमेशा के लिए गुमनामी में डूब गए हैं, और आंशिक रूप से इस वजह से ... भग्न।

भग्न चित्र उनके पैटर्न से मोहित करते हैं। वे निश्चित रूप से अंतरिक्ष वस्तुओं की छवियों से मिलते जुलते हैं - नीहारिकाएं, आकाशगंगा समूह, और इसी तरह। इसलिए, यह बिल्कुल स्वाभाविक है कि जब मंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल के अपने सिद्धांत को आवाज दी, तो उनके शोध ने खगोल विज्ञान का अध्ययन करने वालों में रुचि बढ़ाई। बुडापेस्ट में बेनोइट मंडेलब्रॉट के एक व्याख्यान में भाग लेने के बाद नाथन कोहेन नाम का एक ऐसा शौकिया, प्राप्त ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग के विचार से प्रेरित था। सच है, उन्होंने इसे सहज रूप से किया, और मौके ने उनकी खोज में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। एक रेडियो शौकिया के रूप में, नाथन ने उच्चतम संभव संवेदनशीलता के साथ एक एंटीना बनाने की मांग की।

उस समय ज्ञात एंटीना के मापदंडों को सुधारने का एकमात्र तरीका इसके ज्यामितीय आयामों को बढ़ाना था। हालांकि, नाथन के डाउनटाउन बोस्टन अपार्टमेंट के मालिक ने बड़े छत वाले उपकरणों को स्थापित करने का कड़ा विरोध किया था। फिर नाथन ने एंटेना के विभिन्न रूपों के साथ प्रयोग करना शुरू किया, न्यूनतम आकार के साथ अधिकतम परिणाम प्राप्त करने की कोशिश की। भग्न रूपों के विचार से आग लगने के बाद, कोहेन, जैसा कि वे कहते हैं, बेतरतीब ढंग से तार से बाहर सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल में से एक बना - "कोच स्नोफ्लेक"। स्वीडिश गणितज्ञ हेल्ज वॉन कोच 1904 में इस वक्र के साथ आए थे। यह खंड को तीन भागों में विभाजित करके और इस खंड के साथ मेल खाने वाले पक्ष के बिना एक समबाहु त्रिभुज के साथ मध्य खंड को बदलकर प्राप्त किया जाता है। परिभाषा को समझना थोड़ा मुश्किल है, लेकिन आंकड़ा स्पष्ट और सरल है।

"कोच वक्र" की अन्य किस्में भी हैं, लेकिन वक्र का अनुमानित आकार समान रहता है

जब नाथन ने एंटीना को रेडियो रिसीवर से जोड़ा, तो वह बहुत हैरान हुआ - संवेदनशीलता नाटकीय रूप से बढ़ गई। प्रयोगों की एक श्रृंखला के बाद, बोस्टन विश्वविद्यालय के भविष्य के प्रोफेसर ने महसूस किया कि फ्रैक्टल पैटर्न के अनुसार बनाए गए एंटीना में उच्च दक्षता होती है और शास्त्रीय समाधानों की तुलना में बहुत व्यापक आवृत्ति रेंज शामिल होती है। इसके अलावा, भग्न वक्र के रूप में एंटीना का आकार ज्यामितीय आयामों को काफी कम कर सकता है। नाथन कोहेन ने एक प्रमेय भी विकसित किया जो यह साबित करता है कि ब्रॉडबैंड एंटीना बनाने के लिए, यह एक स्व-समान फ्रैक्टल वक्र का आकार देने के लिए पर्याप्त है।

लेखक ने अपनी खोज का पेटेंट कराया और फ्रैक्टल एंटेना के विकास और डिजाइन के लिए एक फर्म की स्थापना की, फ्रैक्टल एंटीना सिस्टम्स, यह सही मानते हुए कि भविष्य में, उनकी खोज के लिए धन्यवाद, सेल फोन भारी एंटेना से छुटकारा पाने और अधिक कॉम्पैक्ट बनने में सक्षम होंगे।

मूल रूप से यही हुआ। सच है, आज तक, नाथन बड़े निगमों के साथ एक मुकदमे में है जो अवैध रूप से कॉम्पैक्ट संचार उपकरणों के उत्पादन के लिए उसकी खोज का उपयोग करते हैं। कुछ प्रसिद्ध निर्माता मोबाइल उपकरण, जैसे मोटोरोला, पहले ही फ्रैक्टल एंटीना के आविष्कारक के साथ एक शांति समझौते पर पहुंच चुके हैं।

भग्न आयाम: मन नहीं समझता

बेनोइट ने यह प्रश्न प्रसिद्ध अमेरिकी वैज्ञानिक एडवर्ड कास्नर से लिया था।

बाद वाले, कई अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञों की तरह, बच्चों के साथ संवाद करने, उनसे प्रश्न पूछने और अप्रत्याशित उत्तर प्राप्त करने के बहुत शौकीन थे। कभी-कभी इसके आश्चर्यजनक परिणाम सामने आते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एडवर्ड कास्नर का नौ वर्षीय भतीजा अब प्रसिद्ध शब्द "गूगोल" लेकर आया, जो एक सौ शून्य वाली इकाई को दर्शाता है। लेकिन वापस भग्न के लिए। अमेरिकी गणितज्ञ ने यह पूछना पसंद किया कि अमेरिकी तटरेखा कितनी लंबी है। वार्ताकार की राय सुनने के बाद, एडवर्ड ने स्वयं सही उत्तर बोला। यदि आप मानचित्र पर टूटे हुए खंडों के साथ लंबाई को मापते हैं, तो परिणाम गलत होगा, क्योंकि समुद्र तट में बड़ी संख्या में अनियमितताएं हैं। और यदि आप यथासंभव सटीक माप करते हैं तो क्या होगा? आपको प्रत्येक असमानता की लंबाई को ध्यान में रखना होगा - आपको प्रत्येक केप, प्रत्येक खाड़ी, चट्टान, एक चट्टानी कगार की लंबाई, उस पर एक पत्थर, रेत का एक कण, एक परमाणु, और इसी तरह मापने की आवश्यकता होगी। चूंकि अनियमितताओं की संख्या अनंत तक जाती है, समुद्र तट की मापी गई लंबाई प्रत्येक नई अनियमितता के साथ अनंत तक बढ़ जाएगी।

मापते समय माप जितना छोटा होगा, मापी गई लंबाई उतनी ही अधिक होगी

दिलचस्प बात यह है कि एडवर्ड के संकेतों का पालन करते हुए, बच्चे सही उत्तर कहने में वयस्कों की तुलना में बहुत तेज थे, जबकि बाद वाले को इस तरह के अविश्वसनीय उत्तर को स्वीकार करने में परेशानी हुई।

एक उदाहरण के रूप में इस समस्या का उपयोग करते हुए, मैंडलब्रॉट ने माप के लिए एक नए दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव दिया। चूंकि समुद्र तट एक फ्रैक्टल वक्र के करीब है, इसका मतलब है कि एक विशेषता पैरामीटर, तथाकथित फ्रैक्टल आयाम, उस पर लागू किया जा सकता है।

सामान्य आयाम क्या है यह किसी के लिए भी स्पष्ट है। यदि विमा एक के बराबर हो, तो हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है, यदि दो - सपाट आकृति, तीन मात्रा है। हालांकि, गणित में आयाम की यह समझ फ्रैक्टल कर्व्स के साथ काम नहीं करती है, जहां यह पैरामीटर है भिन्नात्मक मान. गणित में भग्न आयाम को सशर्त रूप से "खुरदरापन" माना जा सकता है। वक्र का खुरदरापन जितना अधिक होगा, उसका भग्न आयाम उतना ही अधिक होगा। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, एक वक्र, जिसका फ्रैक्टल आयाम अपने टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है, की अनुमानित लंबाई होती है जो आयामों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

वर्तमान में, वैज्ञानिक भग्न सिद्धांत के अनुप्रयोग के लिए अधिक से अधिक क्षेत्रों की खोज कर रहे हैं। फ्रैक्टल्स की मदद से, आप स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण कर सकते हैं, सभी प्रकार की प्राकृतिक प्रक्रियाओं का पता लगा सकते हैं, जैसे प्रजातियों की संख्या में उतार-चढ़ाव, या प्रवाह की गतिशीलता का अनुकरण कर सकते हैं। डेटा संपीड़न के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए छवि संपीड़न के लिए। और वैसे, आपके कंप्यूटर स्क्रीन पर एक सुंदर फ्रैक्टल प्राप्त करने के लिए, आपके पास डॉक्टरेट की डिग्री होने की आवश्यकता नहीं है।

ब्राउज़र में फ्रैक्टल

शायद फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त करने के सबसे आसान तरीकों में से एक युवा प्रतिभाशाली प्रोग्रामर टोबी स्कैचमैन के ऑनलाइन वेक्टर संपादक का उपयोग करना है। इस सरल ग्राफिक्स संपादक का टूलकिट स्व-समानता के समान सिद्धांत पर आधारित है।

आपके निपटान में केवल दो सरल आकृतियाँ हैं - एक वर्ग और एक वृत्त। आप उन्हें कैनवास में जोड़ सकते हैं, स्केल (कुल्हाड़ियों में से किसी एक के साथ स्केल करने के लिए, Shift कुंजी दबाए रखें) और घुमाएं। बूलियन जोड़ संचालन के सिद्धांत पर ओवरलैपिंग, ये सरल तत्व नए, कम तुच्छ रूप बनाते हैं। इसके अलावा, इन नए रूपों को परियोजना में जोड़ा जा सकता है, और कार्यक्रम इन छवियों की पीढ़ी को अनिश्चित काल तक दोहराएगा। फ्रैक्टल पर काम करने के किसी भी स्तर पर, आप जटिल आकार के किसी भी घटक पर वापस लौट सकते हैं और उसकी स्थिति और ज्यामिति को संपादित कर सकते हैं। आकर्षक गतिविधि, विशेष रूप से जब आप मानते हैं कि केवल एक उपकरण जिसकी आपको रचनात्मक होने की आवश्यकता है वह एक ब्राउज़र है। यदि आप इस पुनरावर्ती वेक्टर संपादक के साथ काम करने के सिद्धांत को नहीं समझते हैं, तो हम आपको परियोजना की आधिकारिक वेबसाइट पर वीडियो देखने की सलाह देते हैं, जो फ्रैक्टल बनाने की पूरी प्रक्रिया को विस्तार से दिखाता है।

XaoS: हर स्वाद के लिए भग्न

कई ग्राफिक संपादकों में फ्रैक्टल पैटर्न बनाने के लिए अंतर्निहित टूल होते हैं। हालांकि, ये उपकरण आमतौर पर द्वितीयक होते हैं और आपको उत्पन्न फ्रैक्टल पैटर्न को ठीक करने की अनुमति नहीं देते हैं। ऐसे मामलों में जहां गणितीय रूप से सटीक फ्रैक्टल बनाना आवश्यक है, XaoS क्रॉस-प्लेटफ़ॉर्म संपादक बचाव में आएगा। यह कार्यक्रम न केवल एक समान छवि बनाने के लिए संभव बनाता है, बल्कि इसके साथ विभिन्न जोड़तोड़ भी करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक समय में, आप फ्रैक्टल के पैमाने को बदलकर "चल" सकते हैं। फ्रैक्टल के साथ एनिमेटेड आंदोलन को XAF फ़ाइल के रूप में सहेजा जा सकता है और फिर प्रोग्राम में ही वापस चलाया जा सकता है।

XaoS मापदंडों का एक यादृच्छिक सेट लोड कर सकता है, साथ ही विभिन्न छवि पोस्ट-प्रोसेसिंग फिल्टर का उपयोग कर सकता है - एक धुंधला गति प्रभाव जोड़ें, भग्न बिंदुओं के बीच तेज संक्रमण को सुचारू करें, एक 3D छवि का अनुकरण करें, और इसी तरह।

फ्रैक्टल जूमर: कॉम्पैक्ट फ्रैक्टल जनरेटर

अन्य भग्न छवि जनरेटर की तुलना में, इसके कई फायदे हैं। सबसे पहले, यह आकार में काफी छोटा है और इसे स्थापना की आवश्यकता नहीं है। दूसरे, यह चित्र के रंग पैलेट को परिभाषित करने की क्षमता को लागू करता है। आप RGB, CMYK, HVS और HSL कलर मॉडल में शेड्स चुन सकते हैं।

रंग रंगों के यादृच्छिक चयन और चित्र में सभी रंगों को उलटने के कार्य के विकल्प का उपयोग करना भी बहुत सुविधाजनक है। रंग को समायोजित करने के लिए, रंगों के चक्रीय चयन का एक कार्य होता है - जब संबंधित मोड चालू होता है, तो प्रोग्राम छवि को एनिमेट करता है, उस पर चक्रीय रूप से रंग बदलता है।

फ्रैक्टल जूमर 85 विभिन्न फ्रैक्टल कार्यों की कल्पना कर सकता है, और कार्यक्रम मेनू में सूत्र स्पष्ट रूप से दिखाए जाते हैं। कार्यक्रम में पोस्ट-प्रोसेसिंग छवियों के लिए फिल्टर हैं, हालांकि थोड़ी मात्रा में। प्रत्येक असाइन किए गए फ़िल्टर को किसी भी समय रद्द किया जा सकता है।

⇡ मंडेलबुलब3डी: 3डी भग्न संपादक

जब "फ्रैक्टल" शब्द का उपयोग किया जाता है, तो इसका अर्थ अक्सर एक सपाट द्वि-आयामी छवि होता है। हालांकि, फ्रैक्टल ज्यामिति 2डी आयाम से आगे जाती है। प्रकृति में, फ्लैट फ्रैक्टल रूपों, जैसे, बिजली की ज्यामिति, और त्रि-आयामी त्रि-आयामी आंकड़े दोनों के उदाहरण मिल सकते हैं। फ्रैक्टल सतहें 3डी हो सकती हैं, और 3डी फ्रैक्टल्स के बहुत ही उदाहरणात्मक चित्रणों में से एक रोजमर्रा की जिंदगी- गोभी का सिर। शायद रोमनेस्को में भग्न देखने का सबसे अच्छा तरीका फूलगोभी और ब्रोकोली का एक संकर है।

और इस भग्न को खाया जा सकता है

Mandelbulb3D प्रोग्राम समान आकार के साथ त्रि-आयामी ऑब्जेक्ट बना सकता है। फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करके एक 3डी सतह प्राप्त करने के लिए, इस एप्लिकेशन के लेखक, डैनियल व्हाइट और पॉल नाइलैंडर ने मैंडेलब्रॉट सेट को गोलाकार निर्देशांक में बदल दिया। उनके द्वारा बनाया गया Mandelbulb3D प्रोग्राम एक वास्तविक त्रि-आयामी संपादक है जो विभिन्न आकृतियों के फ्रैक्टल सतहों को मॉडल करता है। चूंकि हम अक्सर प्रकृति में फ्रैक्टल पैटर्न देखते हैं, कृत्रिम रूप से निर्मित फ्रैक्टल त्रि-आयामी वस्तु अविश्वसनीय रूप से यथार्थवादी और यहां तक ​​​​कि "जीवित" भी लगती है।

यह एक पौधे की तरह लग सकता है, यह एक अजीब जानवर, ग्रह या कुछ और जैसा हो सकता है। यह प्रभाव एक उन्नत प्रतिपादन एल्गोरिथ्म द्वारा बढ़ाया जाता है जो यथार्थवादी प्रतिबिंब प्राप्त करना, पारदर्शिता और छाया की गणना करना, क्षेत्र की गहराई के प्रभाव का अनुकरण करना आदि संभव बनाता है। Mandelbulb3D में बड़ी मात्रा में सेटिंग्स और रेंडरिंग विकल्प हैं। आप प्रकाश स्रोतों के रंगों को नियंत्रित कर सकते हैं, पृष्ठभूमि और मॉडल की गई वस्तु के विवरण का स्तर चुन सकते हैं।

इंसेडिया फ्रैक्टल एडिटर डबल इमेज स्मूथिंग का समर्थन करता है, इसमें पचास अलग-अलग त्रि-आयामी फ्रैक्टल की लाइब्रेरी होती है और इसमें मूल आकृतियों को संपादित करने के लिए एक अलग मॉड्यूल होता है।

एप्लिकेशन फ्रैक्टल स्क्रिप्टिंग का उपयोग करता है, जिसके साथ आप स्वतंत्र रूप से नए प्रकार के फ्रैक्टल संरचनाओं का वर्णन कर सकते हैं। इंसेडिया में बनावट और सामग्री संपादक हैं, और एक रेंडरिंग इंजन है जो आपको वॉल्यूमेट्रिक फॉग इफेक्ट्स और विभिन्न शेड्स का उपयोग करने की अनुमति देता है। कार्यक्रम में लंबी अवधि के प्रतिपादन के दौरान बफर को बचाने का विकल्प है, एनीमेशन निर्माण समर्थित है।

Incendia आपको लोकप्रिय 3D ग्राफ़िक्स प्रारूपों - OBJ और STL में फ्रैक्टल मॉडल निर्यात करने की अनुमति देता है। इंसेडिया में एक छोटी जियोमेट्रिक उपयोगिता शामिल है - एक फ्रैक्टल सतह के निर्यात को त्रि-आयामी मॉडल में स्थापित करने के लिए एक विशेष उपकरण। इस उपयोगिता का उपयोग करके, आप एक 3D सतह का संकल्प निर्धारित कर सकते हैं, भग्न पुनरावृत्तियों की संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं। इस तरह के साथ काम करते समय निर्यात किए गए मॉडल का उपयोग 3D परियोजनाओं में किया जा सकता है 3डी संपादक, जैसे ब्लेंडर, 3ds मैक्स और अन्य।

पर हाल के समय में Incindia परियोजना पर काम कुछ धीमा हो गया है। फिलहाल, लेखक प्रायोजकों की तलाश में है जो उसे कार्यक्रम विकसित करने में मदद करेंगे।

यदि आपके पास इस कार्यक्रम में एक सुंदर त्रि-आयामी भग्न खींचने के लिए पर्याप्त कल्पना नहीं है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पैरामीटर लाइब्रेरी का उपयोग करें, जो INCENDIA_EX\parameters फ़ोल्डर में स्थित है। PAR फाइलों की मदद से, आप एनिमेटेड सहित सबसे असामान्य भग्न आकृतियों को जल्दी से ढूंढ सकते हैं।

कर्ण: भग्न कैसे गाते हैं

हम आमतौर पर उन परियोजनाओं के बारे में बात नहीं करते हैं जिन पर अभी काम किया जा रहा है, लेकिन इस मामले में हमें एक अपवाद बनाना होगा, यह एक बहुत ही असामान्य अनुप्रयोग है। ऑरल नामक एक परियोजना उसी व्यक्ति के साथ आई, जो इंसेडिया थी। सच है, इस बार कार्यक्रम फ्रैक्टल सेट की कल्पना नहीं करता है, लेकिन इसे आवाज देता है, इसे इलेक्ट्रॉनिक संगीत में बदल देता है। विचार बहुत दिलचस्प है, विशेष रूप से फ्रैक्टल के असामान्य गुणों को देखते हुए। ऑरल एक ऑडियो एडिटर है जो फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके धुन तैयार करता है, यानी वास्तव में, यह एक ऑडियो सिंथेसाइज़र-सीक्वेंसर है।

इस कार्यक्रम द्वारा दी गई ध्वनियों का क्रम असामान्य और...सुंदर है। यह आधुनिक लय लिखने के काम आ सकता है और, हमारी राय में, टीवी और रेडियो स्क्रीनसेवर के साथ-साथ "लूप" के लिए साउंडट्रैक बनाने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। पार्श्व संगीतको कंप्यूटर गेम. रामिरो ने अभी तक अपने कार्यक्रम का डेमो उपलब्ध नहीं कराया है, लेकिन वादा किया है कि जब वह करता है, तो ऑरल के साथ काम करने के लिए, उसे फ्रैक्टल्स के सिद्धांत को सीखने की आवश्यकता नहीं होगी - बस नोट्स का एक क्रम बनाने के लिए एल्गोरिथम के मापदंडों के साथ खेलें। . सुनें कि भग्न कैसे ध्वनि करते हैं, और।

भग्न: संगीत विराम

वास्तव में, फ्रैक्टल्स बिना सॉफ्टवेयर के भी संगीत लिखने में मदद कर सकते हैं। लेकिन यह केवल वही कर सकता है जो वास्तव में प्राकृतिक सद्भाव के विचार से प्रभावित है और साथ ही एक दुर्भाग्यपूर्ण "बेवकूफ" में नहीं बदल गया है। जोनाथन कूल्टन नाम के एक संगीतकार से प्रेरणा लेना समझ में आता है, जो अन्य बातों के अलावा, पॉपुलर साइंस पत्रिका के लिए रचनाएँ लिखते हैं। और अन्य कलाकारों के विपरीत, कोल्टन अपने सभी कार्यों को एक क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो (जब गैर-व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है) मुफ्त प्रतिलिपि, वितरण, दूसरों को काम के हस्तांतरण के साथ-साथ इसके संशोधन (निर्माण) के लिए प्रदान करता है। व्युत्पन्न कार्यों का) इसे अपनी आवश्यकताओं के अनुकूल बनाने के लिए।

जोनाथन कोल्टन, निश्चित रूप से, फ्रैक्टल के बारे में एक गीत है।

निष्कर्ष

अपने आस-पास की हर चीज में हम अक्सर अराजकता देखते हैं, लेकिन वास्तव में यह कोई दुर्घटना नहीं है, बल्कि उपयुक्त आकार, जो फ्रैक्टल हमें देखने में मदद करते हैं। प्रकृति सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, आदर्श निर्माता और इंजीनियर है। इसे बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित किया गया है, और अगर कहीं हमें पैटर्न दिखाई नहीं देता है, तो इसका मतलब है कि हमें इसे एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। लोग इसे बेहतर और बेहतर समझते हैं, कई तरह से नकल करने की कोशिश करते हैं प्राकृतिक रूप. इंजीनियर डिजाइन ध्वनिक प्रणालीएक खोल के रूप में, बर्फ के टुकड़े की ज्यामिति के साथ एंटेना बनाएं और इसी तरह। हमें यकीन है कि भग्न अभी भी बहुत सारे रहस्य रखते हैं, और उनमें से कई अभी तक मनुष्य द्वारा खोजे नहीं गए हैं।

एनएनएन के संपादकों ने गलती से एक बहुत दिलचस्प सामग्री, सिद्धांत के तत्वों को समर्पित उपयोगकर्ता xtsarx के ब्लॉग में प्रस्तुत किया गया है भग्नऔर उसकी व्यावहारिक आवेदन. जैसा कि ज्ञात है, फ्रैक्टल्स का सिद्धांत नैनो सिस्टम के भौतिकी और रसायन विज्ञान में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इस ठोस सामग्री में अपना योगदान देने, पाठकों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए सुलभ भाषा में प्रस्तुत करने और ग्राफिक और यहां तक ​​​​कि वीडियो सामग्री की प्रचुर मात्रा द्वारा समर्थित होने के बाद, हम इसे आपके ध्यान में प्रस्तुत करते हैं। हमें उम्मीद है कि एनएनएन पाठकों को यह सामग्री दिलचस्प लगेगी।

प्रकृति इतनी रहस्यमय है कि जितना अधिक आप इसका अध्ययन करते हैं, उतने ही अधिक प्रश्न उठते हैं ... रात की बिजली - शाखाओं के निर्वहन की नीली "धाराएं", खिड़की पर ठंढा पैटर्न, बर्फ के टुकड़े, पहाड़, बादल, पेड़ की छाल - यह सब सामान्य से परे है यूक्लिडियन ज्यामिति। हम पत्थर या द्वीप की सीमाओं का वर्णन रेखाओं, वृत्तों और त्रिभुजों से नहीं कर सकते। और यहाँ हम बचाव के लिए आते हैं भग्न. ये परिचित अजनबी क्या हैं?

"एक माइक्रोस्कोप के तहत, उन्होंने पाया कि एक पिस्सू पर"
काटने वाला पिस्सू पिस्सू पर रहता है;
उस पिस्सू पर एक छोटा पिस्सू है,
गुस्से में एक दांत को पिस्सू में चिपका देता है
पिस्सू, और इसलिए विज्ञापन infinitum। डी स्विफ्ट।

इतिहास का हिस्सा

पहले विचार भग्न ज्यामिति 19वीं शताब्दी में उत्पन्न हुआ। कांटोर ने एक सरल पुनरावर्ती (दोहराव) प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, रेखा को असंबद्ध बिंदुओं (तथाकथित कैंटर डस्ट) के एक सेट में बदल दिया। उन्होंने लाइन ली और केंद्रीय तीसरे को हटा दिया और फिर शेष खंडों के साथ भी ऐसा ही दोहराया।

चावल। 1. पीनो वक्र 1.2–5 पुनरावृत्तियों।

पीनो ने एक विशेष प्रकार की रेखा खींची। पीनो ने निम्नलिखित किया: पहले चरण में, उसने एक सीधी रेखा ली और उसके स्थान पर मूल रेखा की लंबाई से 3 गुना कम 9 खंडों से प्रतिस्थापित किया। फिर उसने परिणामी रेखा के प्रत्येक खंड के साथ ऐसा ही किया। और इसी तरह एड इनफिनिटम। इसकी विशिष्टता इस तथ्य में निहित है कि यह पूरे विमान को भर देती है। यह सिद्ध हो गया है कि तल के प्रत्येक बिंदु के लिए पीनो रेखा से संबंधित एक बिंदु ज्ञात किया जा सकता है। पीनो का वक्र और कैंटर की धूल साधारण ज्यामितीय वस्तुओं से आगे निकल गई। वे स्पष्ट रूप से आकार में नहीं थे।. कैंटर की धूल एक आयामी सीधी रेखा के आधार पर प्रतीत होती है, लेकिन इसमें अंक (आयाम 0) शामिल थे। और पीनो वक्र एक आयामी रेखा के आधार पर बनाया गया था, और परिणाम एक विमान था। विज्ञान के कई अन्य क्षेत्रों में, ऐसी समस्याएं सामने आईं जिनके कारण अजीब परिणाम सामने आए, जैसे कि ऊपर वर्णित (ब्राउनियन गति, स्टॉक की कीमतें)। हम में से प्रत्येक इस प्रक्रिया को कर सकता है ...

फ्रैक्टल्स के पिता

20वीं शताब्दी तक, ऐसी अजीब वस्तुओं पर डेटा का संचय होता था, उन्हें व्यवस्थित करने के किसी भी प्रयास के बिना। तो यह तब तक था जब तक वे ले गए बेनोइट मंडेलब्रोट – आधुनिक भग्न ज्यामिति के जनक और फ्रैक्टल शब्द.

चावल। 2. बेनोइट मंडेलब्रॉट।

आईबीएम में गणितीय विश्लेषक के रूप में काम करते हुए, उन्होंने इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर का अध्ययन किया जिसे आंकड़ों का उपयोग करके वर्णित नहीं किया जा सकता था। धीरे-धीरे तथ्यों की तुलना करते हुए उन्होंने गणित में एक नई दिशा की खोज की - भग्न ज्यामिति.

"फ्रैक्टल" शब्द को 1975 में बी मंडेलब्रॉट द्वारा पेश किया गया था। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, भग्न(लैटिन "फ्रैक्टस" से - भिन्नात्मक, टूटा हुआ, टूटा हुआ) कहलाता है संपूर्ण जैसे भागों से बनी एक संरचना. आत्म-समानता की संपत्ति फ्रैक्टल को शास्त्रीय ज्यामिति की वस्तुओं से तेजी से अलग करती है। अवधि स्व-समानतासाधन वस्तु के सबसे छोटे पैमाने पर, और एक मैक्रोस्केल पर, एक ठीक, दोहराई जाने वाली संरचना की उपस्थिति.

चावल। 3. "फ्रैक्टल" की अवधारणा की परिभाषा के लिए।

स्व-समानता के उदाहरण हैं: कोच, लेवी, मिंकोव्स्की वक्र, सिएरपिंस्की त्रिकोण, मेन्जर स्पंज, पायथागॉरियन पेड़, आदि।

गणितीय दृष्टिकोण से, भग्नहै, सबसे पहले, भिन्नात्मक (मध्यवर्ती, "पूर्णांक नहीं") आयाम के साथ सेट करें. जबकि एक चिकनी यूक्लिडियन रेखा बिल्कुल एक-आयामी स्थान को भरती है, एक फ्रैक्टल वक्र एक-आयामी अंतरिक्ष से परे जाता है, सीमाओं से परे दो-आयामी अंतरिक्ष में प्रवेश करता है। इस प्रकार, कोच वक्र का फ्रैक्टल आयाम 1 और 2 के बीच होगा। यह, सबसे पहले, इसका मतलब है कि एक फ्रैक्टल वस्तु अपनी लंबाई को सटीक रूप से माप नहीं सकती है! इन ज्यामितीय भग्नों में से पहला बहुत ही रोचक और काफी प्रसिद्ध है - कोच स्नोफ्लेक.

चावल। 4. "फ्रैक्टल" की अवधारणा की परिभाषा के लिए।

के आधार पर बनाया गया है समान भुजाओं वाला त्रिकोण. जिसकी प्रत्येक पंक्ति को मूल लंबाई के प्रत्येक 1/3 पर 4 पंक्तियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार, प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ, वक्र की लंबाई एक तिहाई बढ़ जाती है। और अगर हम अनंत संख्या में पुनरावृत्ति करते हैं, तो हमें एक फ्रैक्टल मिलता है - अनंत लंबाई का कोच स्नोफ्लेक। यह पता चला है कि हमारा अनंत वक्र एक सीमित क्षेत्र को कवर करता है। यूक्लिडियन ज्यामिति के तरीकों और आंकड़ों के साथ भी ऐसा ही करने का प्रयास करें।
कोच स्नोफ्लेक का आयाम(जब एक बर्फ का टुकड़ा 3 गुना बढ़ जाता है, तो इसकी लंबाई 4 गुना बढ़ जाती है) D=log(4)/log(3)=1.2619।

भग्न के बारे में

फ्रैक्टल्स को विज्ञान और प्रौद्योगिकी में अधिक से अधिक अनुप्रयोग मिल रहे हैं। इसका मुख्य कारण यह है कि वे वास्तविक दुनिया का वर्णन कभी-कभी पारंपरिक भौतिकी या गणित से भी बेहतर करते हैं। आप अंतहीन रूप से प्रकृति में भग्न वस्तुओं के उदाहरण दे सकते हैं - ये बादल, और बर्फ के गुच्छे, और पहाड़, और बिजली की चमक, और अंत में, फूलगोभी हैं। एक प्राकृतिक वस्तु के रूप में भग्न शाश्वत है निरंतर आंदोलन, नया गठन और विकास।

चावल। 5. अर्थशास्त्र में भग्न।

के अलावा, भग्न विकेंद्रीकृत में आवेदन पाते हैं कंप्यूटर नेटवर्क और "फ्रैक्टल एंटेना" . विभिन्न स्टोकेस्टिक (गैर-नियतात्मक) "यादृच्छिक" प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए बहुत ही रोचक और आशाजनक तथाकथित "ब्राउनियन फ्रैक्टल" हैं। नैनोटेक्नोलॉजी के मामले में, फ्रैक्टल भी खेलते हैं महत्वपूर्ण भूमिका , चूंकि, उनके पदानुक्रमित स्व-संगठन के कारण, कई नैनोसिस्टम्स का एक गैर-पूर्णांक आयाम होता है, अर्थात्, वे अपने ज्यामितीय, भौतिक-रासायनिक या कार्यात्मक प्रकृति में भग्न हैं। उदाहरण के लिए, एक प्रमुख उदाहरणरासायनिक भग्न प्रणाली अणु "डेंड्रिमर" हैं . इसके अलावा, भग्न का सिद्धांत (स्व-समान, स्केलिंग संरचना) प्रणाली की पदानुक्रमित संरचना का प्रतिबिंब है और इसलिए, नैनो सिस्टम की संरचना और गुणों का वर्णन करने के लिए मानक दृष्टिकोण से अधिक सामान्य और सार्वभौमिक है।

चावल। 6. "डेंड्रिमर" के अणु।

चावल। 7. वास्तु और निर्माण प्रक्रिया में संचार का ग्राफिक मॉडल। माइक्रोप्रोसेस के दृष्टिकोण से बातचीत का पहला स्तर।

चावल। 8. वास्तुकला और निर्माण प्रक्रिया में संचार का ग्राफिक मॉडल। मैक्रोप्रोसेस (मॉडल का एक टुकड़ा) की स्थिति से बातचीत का दूसरा स्तर।

चावल। 9. वास्तुकला और निर्माण प्रक्रिया में संचार का ग्राफिक मॉडल। मैक्रोप्रोसेस (संपूर्ण मॉडल) के दृष्टिकोण से बातचीत का दूसरा स्तर

चावल। 10. ग्राफिक मॉडल का प्लानर विकास। प्रथम होमोस्टैटिक अवस्था।

भग्न और सुनहरा अनुपात "फ्रैक्टल्स" भाग 1 "फ्रैक्टल्स" भाग 2 "फ्रैक्टल्स" भाग 3 "फ्रैक्टल्स" भाग 4 "फ्रैक्टल्स" भाग 5

सुंदर और असामान्य भग्न की फोटो गैलरी

चावल। ग्यारह।

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चावल। तेरह।

चावल। चौदह।

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चावल। सोलह।

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चावल। अठारह।

चावल। उन्नीस।

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सुधार और संपादन किया गया फ़िलिपोव यू.पी.

सभी को नमस्कार! मेरा नाम है, रिबेनेक वेलेरिया,उल्यानोवस्क और आज मैं अपने कई वैज्ञानिक लेख एलसीआई वेबसाइट पर पोस्ट करूंगा।

इस ब्लॉग में मेरा पहला वैज्ञानिक लेख समर्पित होगा भग्न. मैं तुरंत कहूंगा कि मेरे लेख लगभग सभी दर्शकों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। वे। मुझे आशा है कि वे स्कूली बच्चों और छात्रों दोनों के लिए रुचिकर होंगे।

हाल ही में मैंने गणितीय दुनिया की ऐसी दिलचस्प वस्तुओं के बारे में सीखा जैसे फ्रैक्टल। लेकिन वे न केवल गणित में मौजूद हैं। वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। भग्न प्राकृतिक हैं। भग्न क्या हैं, भग्न के प्रकार, इन वस्तुओं के उदाहरणों और उनके अनुप्रयोग के बारे में, मैं इस लेख में बताऊंगा। आरंभ करने के लिए, मैं आपको संक्षेप में बताऊंगा कि भग्न क्या है।

भग्न(अव्य। फ्रैक्टस - कुचल, टूटा हुआ, टूटा हुआ) - यह एक जटिल है ज्यामितीय आकृति, जिसमें आत्म-समानता का गुण है, अर्थात् यह कई भागों से बना है, जिनमें से प्रत्येक समग्र रूप से संपूर्ण आकृति के समान है। व्यापक अर्थों में, फ्रैक्टल को यूक्लिडियन स्पेस में बिंदुओं के सेट के रूप में समझा जाता है, जिसमें एक भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में), या टोपोलॉजिकल के अलावा एक मीट्रिक आयाम होता है। उदाहरण के लिए, मैं चार अलग-अलग फ्रैक्टल की तस्वीर डालूंगा।

मैं आपको भग्नों के इतिहास के बारे में थोड़ा बताता हूँ। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। "फ्रैक्टल" शब्द को बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में पेश किया गया था, जिसका अध्ययन उन्होंने अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं के संदर्भ में किया था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर मैंडलब्रॉट की किताब द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर के 1977 में प्रकाशन से जुड़ा है। उनके कार्यों ने अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया, जिन्होंने उसी क्षेत्र में 1875-1925 की अवधि में काम किया (पोंकारे, फतो, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ)। लेकिन केवल हमारे समय में उनके काम को एक प्रणाली में जोड़ना संभव था।

भग्न के कई उदाहरण हैं, क्योंकि जैसा कि मैंने कहा, वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। मेरी राय में, हमारा पूरा ब्रह्मांड भी एक विशाल भग्न है। आखिरकार, इसमें सब कुछ, परमाणु की संरचना से लेकर ब्रह्मांड की संरचना तक, बिल्कुल एक दूसरे को दोहराता है। लेकिन, ज़ाहिर है, और भी हैं ठोस उदाहरणविभिन्न क्षेत्रों से भग्न। उदाहरण के लिए, भग्न जटिल गतिकी में मौजूद होते हैं। वहाँ वे स्वाभाविक रूप से अरेखीय के अध्ययन में प्रकट होते हैं गतिशील प्रणाली. सबसे अधिक अध्ययन किया गया मामला तब है जब गतिशील प्रणाली को पुनरावृत्तियों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है बहुपदया होलोमोर्फिक चर के एक परिसर का कार्यसतह पर। इस प्रकार के कुछ सबसे प्रसिद्ध भग्न जूलिया सेट, मैंडलब्रॉट सेट और न्यूटन बेसिन हैं। नीचे, क्रम में, चित्र उपरोक्त प्रत्येक फ्रैक्टल को दिखाते हैं।

फ्रैक्टल का एक अन्य उदाहरण फ्रैक्टल वक्र हैं। फ्रैक्टल कर्व्स के उदाहरण का उपयोग करके यह समझाना सबसे अच्छा है कि फ्रैक्टल कैसे बनाया जाए। ऐसा ही एक वक्र तथाकथित कोच स्नोफ्लेक है। समतल पर भग्न वक्र प्राप्त करने की एक सरल प्रक्रिया है। हम एक सीमित संख्या में लिंक के साथ एक मनमानी टूटी हुई रेखा को परिभाषित करते हैं, जिसे जनरेटर कहा जाता है। अगला, हम इसमें प्रत्येक खंड को एक जनरेटर (अधिक सटीक रूप से, एक जनरेटर के समान एक टूटी हुई रेखा) से बदलते हैं। परिणामी टूटी हुई रेखा में, हम फिर से प्रत्येक खंड को एक जनरेटर से बदल देते हैं। अनंत तक जारी रखते हुए, सीमा में हमें एक फ्रैक्टल वक्र मिलता है। नीचे दिखाया गया एक कोच स्नोफ्लेक (या वक्र) है।

बहुत सारे फ्रैक्टल वक्र भी हैं। उनमें से सबसे प्रसिद्ध पहले से ही उल्लेखित कोच स्नोफ्लेक, साथ ही लेवी वक्र, मिंकोव्स्की वक्र, टूटा हुआ ड्रैगन, पियानो वक्र और पाइथागोरस पेड़ हैं। इन भग्नों और उनके इतिहास की एक छवि, मुझे लगता है, यदि आप चाहें, तो आप आसानी से विकिपीडिया पर पा सकते हैं।

तीसरा उदाहरण या प्रकार के फ्रैक्टल स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल हैं। इस तरह के भग्न में प्रक्षेपवक्र शामिल है एक प्रकार कि गतिविमान और अंतरिक्ष में, श्राम-लोनर विकास, विभिन्न प्रकाररैंडमाइज्ड फ्रैक्टल्स, यानी फ्रैक्टल्स का उपयोग करके प्राप्त किया गया पुनरावर्ती प्रक्रिया, जिसमें प्रत्येक चरण में एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है।

विशुद्ध रूप से गणितीय भग्न भी हैं। ये हैं, उदाहरण के लिए, कैंटर सेट, मेन्जर स्पंज, सिएरपिंस्की त्रिकोण, और अन्य।

लेकिन शायद सबसे दिलचस्प भग्न प्राकृतिक हैं। प्राकृतिक भग्न प्रकृति में ऐसी वस्तुएं हैं जिनमें भग्न गुण होते हैं। और पहले से ही एक बड़ी सूची है। मैं सब कुछ सूचीबद्ध नहीं करूंगा, क्योंकि, शायद, मैं उन सभी को सूचीबद्ध नहीं कर सकता, लेकिन मैं कुछ के बारे में बताऊंगा। उदाहरण के लिए, जीवित प्रकृति में, ऐसे भग्न में हमारा संचार तंत्र और फेफड़े शामिल होते हैं। और पेड़ों के मुकुट और पत्ते भी। इसके अलावा यहां आप स्टारफिश शामिल कर सकते हैं, समुद्री अर्चिन, मूंगा, समुद्री सीपियां, कुछ पौधे जैसे पत्तागोभी या ब्रोकली। नीचे, वन्यजीवों से ऐसे कई प्राकृतिक भग्न स्पष्ट रूप से दिखाए गए हैं।

यदि हम निर्जीव प्रकृति पर विचार करें, तो जीवित प्रकृति से कहीं अधिक रोचक उदाहरण हैं। बिजली, बर्फ के टुकड़े, बादल, सभी को ज्ञात, ठंढे दिनों में खिड़कियों पर पैटर्न, क्रिस्टल, पर्वत श्रृंखलाएँ - ये सभी निर्जीव प्रकृति से प्राकृतिक भग्न के उदाहरण हैं।

हमने भग्नों के उदाहरणों और प्रकारों पर विचार किया है। जहां तक ​​फ्रैक्टल्स के उपयोग की बात है, तो इनका उपयोग सबसे अधिक किया जाता है अलग - अलग क्षेत्रज्ञान। भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब गैर-रेखीय प्रक्रियाओं को मॉडलिंग करते हैं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखना प्रक्रियाएं, लपटें, बादल, आदि। फ्रैक्टल्स का उपयोग झरझरा सामग्री मॉडलिंग करते समय किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी को मॉडल करने और आंतरिक अंगों की प्रणालियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है रक्त वाहिकाएं) कोच वक्र के निर्माण के बाद, समुद्र तट की लंबाई की गणना में इसका उपयोग करने का प्रस्ताव रखा गया था। इसके अलावा, रेडियो इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, दूरसंचार और यहां तक ​​कि अर्थशास्त्र में भी फ्रैक्टल का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। और, ज़ाहिर है, समकालीन कला और वास्तुकला में फ्रैक्टल दृष्टि का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। यहां फ्रैक्टल पेंटिंग का एक उदाहरण दिया गया है:

और इसलिए, इस पर मैं एक फ्रैक्टल जैसी असामान्य गणितीय घटना के बारे में अपनी कहानी को पूरा करने के बारे में सोचता हूं। आज हमने भग्न क्या है, यह कैसे प्रकट हुआ, भग्न के प्रकार और उदाहरणों के बारे में सीखा। और मैंने उनके आवेदन के बारे में भी बात की और कुछ भग्नों को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। मुझे आशा है कि आपने अद्भुत और मोहक भग्न वस्तुओं की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का आनंद लिया।