भग्न गुण कोई सनक नहीं है और न ही गणितज्ञों की बेकार कल्पना का फल है। उनका अध्ययन करके, हम भेद करना और भविष्यवाणी करना सीखते हैं महत्वपूर्ण विशेषताएंहमारे आस-पास की वस्तुएं और घटनाएं, जिन्हें पहले, अगर पूरी तरह से नजरअंदाज नहीं किया गया था, केवल लगभग, गुणात्मक रूप से, आंखों से अनुमान लगाया गया था। उदाहरण के लिए, जटिल संकेतों, एन्सेफेलोग्राम, या दिल की बड़बड़ाहट के भग्न आयामों की तुलना करके, डॉक्टर प्रारंभिक अवस्था में कुछ गंभीर बीमारियों का निदान कर सकते हैं, जब रोगी की अभी भी मदद की जा सकती है। इसके अलावा, विश्लेषक, मॉडल के गठन की शुरुआत में कीमतों के पिछले व्यवहार की तुलना करते हुए, इसके आगे के विकास की भविष्यवाणी कर सकता है, जिससे पूर्वानुमान में सकल त्रुटियों से बचा जा सकता है।

भग्न की अनियमितता

भग्नों की पहली संपत्ति उनकी अनियमितता है। यदि किसी फलन द्वारा भग्न का वर्णन किया जाता है, तो गणितीय शब्दों में अनियमितता के गुण का अर्थ होगा कि ऐसा फलन अवकलनीय नहीं है, अर्थात किसी भी बिंदु पर चिकना नहीं है। दरअसल, इसका सबसे सीधा संबंध बाजार से है। मूल्य में उतार-चढ़ाव कभी-कभी इतना अस्थिर और परिवर्तनशील होता है कि यह कई व्यापारियों को भ्रमित करता है। हमारा काम इस सारी अराजकता को सुलझाना और इसे व्यवस्थित करना है।

क्या आप जानते हैं कि:इतनी विस्तृत विविधता निवेश के अवसर, जो अल्पारी प्रदान करता है, कोई अन्य विदेशी मुद्रा दलाल दावा नहीं कर सकता है।

भग्नों की स्व-समानता

दूसरी संपत्ति कहती है कि भग्न एक ऐसी वस्तु है जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है। यह एक पुनरावर्ती मॉडल है, जिसका प्रत्येक भाग अपने विकास में संपूर्ण मॉडल के विकास को दोहराता है और दृश्य परिवर्तनों के बिना विभिन्न पैमानों पर पुन: पेश किया जाता है। हालाँकि, परिवर्तन अभी भी होते हैं, जो वस्तु की हमारी धारणा को बहुत प्रभावित कर सकते हैं।

स्व-समानता का अर्थ है कि वस्तु का कोई विशिष्ट पैमाना नहीं है: यदि उसके पास ऐसा पैमाना होता, तो आप मूल छवि से टुकड़े की बढ़ी हुई प्रति को तुरंत अलग कर देते। स्व-समान वस्तुओं में सभी स्वादों के लिए अनंत संख्या में तराजू होते हैं। आत्म-समानता का सार समझाया जा सकता है अगला उदाहरण. कल्पना कीजिए कि आपके पास एक "वास्तविक" ज्यामितीय रेखा, "चौड़ाई के बिना लंबाई" की एक तस्वीर है, जैसा कि यूक्लिड ने रेखा को परिभाषित किया है, और आप एक दोस्त के साथ खेल रहे हैं, यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या वह आपको मूल चित्र (मूल) दिखा रहा है या एक एक सीधी रेखा के किसी भी टुकड़े का चित्र। आप कितनी भी कोशिश कर लें, आप कभी भी टुकड़े की बढ़ी हुई कॉपी से मूल को अलग नहीं कर पाएंगे, सीधी रेखा को उसके सभी हिस्सों में उसी तरह व्यवस्थित किया जाता है, यह अपने आप में समान है, लेकिन इसका यह उल्लेखनीय गुण है कुछ हद तक सीधी रेखा की सीधी संरचना, इसकी "सीधीपन" (चित्र। 7) द्वारा छिपी हुई है।

यदि आप किसी वस्तु के स्नैपशॉट को उसके किसी टुकड़े के ठीक से बढ़े हुए स्नैपशॉट से अलग नहीं कर सकते हैं, तो आपके पास एक स्व-समान वस्तु है। सभी भग्न जिनमें कम से कम कुछ समरूपता होती है, स्व-समान होते हैं। और इसका मतलब यह है कि उनकी संरचना के कुछ टुकड़े निश्चित स्थानिक अंतराल पर सख्ती से दोहराए जाते हैं। जाहिर है, ये वस्तुएं किसी भी प्रकृति की हो सकती हैं, और इनका स्वरूप और आकार पैमाने की परवाह किए बिना अपरिवर्तित रहता है। स्व-समान फ्रैक्टल का एक उदाहरण:

वित्त में, यह अवधारणा एक आधारहीन अमूर्तता नहीं है, बल्कि एक व्यावहारिक बाजार का एक सैद्धांतिक पुनर्कथन है - अर्थात्, स्टॉक या मुद्रा की चाल सतही रूप से समान है, समय सीमा और कीमत की परवाह किए बिना। प्रेक्षक नहीं बता सकता दिखावटग्राफ, चाहे डेटा साप्ताहिक, दैनिक या प्रति घंटा परिवर्तन को संदर्भित करता है।

बेशक, सभी भग्नों में ऐसी नियमित, अंतहीन दोहराव वाली संरचना नहीं होती है, जो भविष्य के भग्न कला संग्रहालय के उन अद्भुत प्रदर्शनों के रूप में होती है, जो गणितज्ञों और कलाकारों की कल्पना से पैदा हुए थे। प्रकृति में पाए जाने वाले कई भग्न (गलती सतह चट्टानोंऔर धातु, बादल, मुद्रा उद्धरण, अशांत प्रवाह, फोम, जैल, कालिख कणों की आकृति, आदि), ज्यामितीय समानता से रहित हैं, लेकिन प्रत्येक टुकड़े में पूरे के सांख्यिकीय गुणों को हठपूर्वक पुन: पेश करते हैं। विकास के गैर-रैखिक रूप वाले फ्रैक्टल्स को मैंडलब्रॉट ने मल्टीफ्रैक्टल्स के रूप में नामित किया था। एक मल्टीफ्रैक्टल एक अर्ध-फ्रैक्टल वस्तु है जिसमें एक परिवर्तनीय फ्रैक्टल आयाम होता है। स्वाभाविक रूप से, वास्तविक वस्तुओं और प्रक्रियाओं को मल्टीफ्रैक्टल्स द्वारा बेहतर तरीके से वर्णित किया जाता है।

इस तरह की सांख्यिकीय आत्म-समानता, या औसतन आत्म-समानता, सेट के बीच फ्रैक्टल को अलग करती है प्राकृतिक वस्तुएं.

विदेशी मुद्रा बाजार में आत्म-समानता के उदाहरण पर विचार करें:

इन आंकड़ों में, हम देखते हैं कि वे समान हैं, जबकि एक अलग समय पैमाने होने पर, अंजीर में। और 15 मिनट का पैमाना, अंजीर में। बी साप्ताहिक मूल्य पैमाने। जैसा कि आप देख सकते हैं, इन उद्धरणों में एक दूसरे को पूरी तरह से दोहराने की क्षमता नहीं है, हालांकि, हम उन्हें समान मान सकते हैं।

यहां तक ​​​​कि सबसे सरल फ्रैक्टल - ज्यामितीय रूप से स्व-समान फ्रैक्टल - में असामान्य गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, वॉन कोच स्नोफ्लेक में अनंत लंबाई की परिधि होती है, हालांकि यह एक सीमित क्षेत्र (चित्र 9) को सीमित करता है। इसके अलावा, यह इतना कांटेदार है कि समोच्च के किसी भी बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना असंभव है (एक गणितज्ञ कहेगा कि वॉन कोच स्नोफ्लेक कहीं भी अलग-अलग नहीं है, यानी किसी भी बिंदु पर चिकना नहीं है)।

मैंडलब्रॉट ने पाया कि भिन्नात्मक माप के परिणाम वस्तु की अनियमितता में वृद्धि की विभिन्न डिग्री के लिए स्थिर रहते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी अनियमितता के लिए नियमितता (शुद्धता, सुव्यवस्था) होती है। जब हम किसी चीज़ को यादृच्छिक मानते हैं, तो यह इंगित करता है कि हम इस यादृच्छिकता की प्रकृति को नहीं समझते हैं। बाजार के संदर्भ में, इसका मतलब है कि एक ही विशिष्ट संरचनाओं का निर्माण अलग-अलग समय सीमा में होना चाहिए। एक मिनट का चार्ट मासिक चार्ट की तरह ही फ्रैक्टल फॉर्मेशन का वर्णन करेगा। कमोडिटी और वित्तीय बाजारों के चार्ट पर पाया गया यह "आत्म-समानता" सभी संकेत दिखाता है कि बाजार की क्रियाएं आर्थिक, मौलिक विश्लेषण के व्यवहार की तुलना में "प्रकृति" के व्यवहारिक प्रतिमान के करीब हैं।

इन आंकड़ों में, आप उपरोक्त की पुष्टि पा सकते हैं। बाईं ओर एक मिनट के पैमाने के साथ एक ग्राफ है, दाईं ओर एक साप्ताहिक है। यूएसडी/येन (चित्र 9 (ए)) और यूरो/डॉलर (छवि 9 (बी)) मुद्रा जोड़े यहां विभिन्न मूल्य पैमाने के साथ दिखाए गए हैं। भले ही JPY/USD मुद्रा जोड़ी में EUR/USD के संबंध में एक अलग अस्थिरता है, हम समान मूल्य आंदोलन संरचना का निरीक्षण कर सकते हैं।

भग्न आयाम

फ्रैक्टल की तीसरी संपत्ति यह है कि फ्रैक्टल वस्तुओं में यूक्लिडियन (दूसरे शब्दों में, एक टोपोलॉजिकल आयाम) के अलावा एक आयाम होता है। फ्रैक्टल आयाम वक्र की जटिलता का एक माप है। विभिन्न भग्न आयामों वाले वर्गों के प्रत्यावर्तन का विश्लेषण करके और बाहरी और आंतरिक कारकों से सिस्टम कैसे प्रभावित होता है, कोई सिस्टम के व्यवहार की भविष्यवाणी करना सीख सकता है। और सबसे महत्वपूर्ण बात, अस्थिर स्थितियों का निदान और भविष्यवाणी करना।

आधुनिक गणित के शस्त्रागार में, मंडेलब्रॉट ने वस्तुओं की अपूर्णता का एक सुविधाजनक मात्रात्मक माप पाया - समोच्च की सिनुओसिटी, सतह की झुर्रियाँ, वॉल्यूम का फ्रैक्चरिंग और सरंध्रता। यह दो गणितज्ञों - फेलिक्स हॉसडॉर्फ (1868-1942) और अब्राम समॉयलोविच बेसिकोविच (1891-1970) द्वारा प्रस्तावित किया गया था। अब वह पहनने लायक है गौरवशाली नामउनके रचनाकारों (हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम) - हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम। आयाम क्या है और वित्तीय बाजारों के विश्लेषण के संबंध में हमें इसकी आवश्यकता क्यों है? इससे पहले, हम केवल एक प्रकार के आयाम को जानते थे - टोपोलॉजिकल (चित्र। 11)। आयाम शब्द ही बताता है कि किसी वस्तु के कितने आयाम हैं। एक खंड के लिए, एक सीधी रेखा, यह 1 के बराबर है, अर्थात। हमारे पास केवल एक आयाम है, अर्थात् एक खंड की लंबाई या एक सीधी रेखा। एक विमान के लिए, आयाम 2 होगा, क्योंकि हमारे पास दो-आयामी आयाम, लंबाई और चौड़ाई है। अंतरिक्ष या ठोस वस्तुओं के लिए, आयाम 3 है: लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई।

आइए कंप्यूटर गेम का उदाहरण लें। यदि गेम 3 डी ग्राफिक्स में बनाया गया है, तो यह स्थानिक और स्वैच्छिक है, अगर 2 डी ग्राफिक्स में, ग्राफिक्स एक विमान पर प्रदर्शित होते हैं (चित्र 10)।

हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम में सबसे असामान्य (यह कहना अधिक सही होगा - असामान्य) यह था कि यह न केवल पूर्णांकों को एक टोपोलॉजिकल आयाम के रूप में ले सकता है, बल्कि भिन्नात्मक मान भी ले सकता है। एक सीधी रेखा के लिए एक के बराबर (अनंत, अर्ध-अनंत, या एक परिमित खंड के लिए), हौसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम बढ़ जाता है क्योंकि यातना बढ़ती है, जबकि टोपोलॉजिकल आयाम रेखा के साथ होने वाले सभी परिवर्तनों को हठपूर्वक अनदेखा करता है।

आयाम एक सेट की जटिलता को दर्शाता है (उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा)। यदि यह 1 (एक सीधी रेखा) के बराबर टोपोलॉजिकल आयाम वाला एक वक्र है, तो वक्र को अनंत संख्या में मोड़ और शाखाओं द्वारा इस हद तक जटिल किया जा सकता है कि इसका फ्रैक्टल आयाम दो तक पहुंच जाए, अर्थात। लगभग पूरे तल को भर देगा (चित्र 12)

इसके मूल्य को बढ़ाकर, हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम इसे अचानक नहीं बदलता है, क्योंकि टोपोलॉजिकल आयाम "अपने स्थान पर", 1 से तुरंत 2 में संक्रमण करेगा। हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम - और यह पहली नज़र में असामान्य लग सकता है। और आश्चर्यजनक, भिन्नात्मक मान लेता है: एक के बराबरएक सीधी रेखा के लिए, यह थोड़ी सी पापुलर रेखा के लिए 1.15, अधिक पापी रेखा के लिए 1.2, बहुत पापी रेखा के लिए 1.5, इत्यादि हो जाती है।

यह हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम की भिन्नात्मक, गैर-पूर्णांक मानों को लेने की क्षमता पर जोर देने के लिए था, जो मंडेलब्रॉट ने अपने स्वयं के नवविज्ञान के साथ आया, इसे फ्रैक्टल आयाम कहा। तो, एक फ्रैक्टल आयाम (न केवल हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच, बल्कि कोई अन्य) एक ऐसा आयाम है जो जरूरी नहीं कि पूर्णांक मान ले सकता है, बल्कि भिन्नात्मक भी हो सकता है।

रैखिक ज्यामितीय भग्न के लिए, आयाम उनकी आत्म-समानता की विशेषता है। अंजीर पर विचार करें। 17(ए), रेखा में एन = 4 खंड होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई आर = 1/3 है। नतीजतन, हमें अनुपात मिलता है:

डी = लॉगएन/लॉग(1/आर)

जब हम मल्टीफ्रैक्टल (नॉन-लीनियर) की बात करते हैं तो स्थिति काफी अलग होती है। यहां आयाम किसी वस्तु की समानता की परिभाषा के रूप में अपना अर्थ खो देता है और इसे विभिन्न सामान्यीकरणों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, जो स्व-समान वस्तुओं के अद्वितीय आयाम की तुलना में बहुत कम प्राकृतिक है।

विदेशी मुद्रा बाजार में, आयाम मूल्य उद्धरणों की अस्थिरता को चिह्नित कर सकता है। कीमतों के संदर्भ में प्रत्येक मुद्रा जोड़ी का अपना व्यवहार होता है। पाउंड/डॉलर जोड़ी के लिए (चित्र 13(ए)) यह यूरो/डॉलर की तुलना में अधिक शांत है (चित्र 13(बी))। सबसे दिलचस्प बात यह है कि ये मुद्राएं एक ही संरचना के साथ मूल्य स्तरों पर चलती हैं, हालांकि, उनके अलग-अलग आयाम हैं, जो इंट्राडे ट्रेडिंग को प्रभावित कर सकते हैं और उन मॉडलों में बदलाव कर सकते हैं जो अनुभवहीन रूप से बचते हैं।

अंजीर पर। 14 गणितीय मॉडल के संबंध में आयाम दिखाता है, ताकि आप मूल्य में अधिक गहराई से प्रवेश कर सकें। इस अवधि. ध्यान दें कि तीनों आंकड़े एक ही चक्र दिखाते हैं। अंजीर पर। और आयाम 1.2 है, अंजीर में। बी, आयाम 1.5 है, और अंजीर में। 1.9 में। यह देखा जा सकता है कि आयाम में वृद्धि के साथ, वस्तु की धारणा अधिक जटिल हो जाती है, दोलनों का आयाम बढ़ जाता है।

वित्तीय बाजारों में, आयाम न केवल मूल्य अस्थिरता के रूप में, बल्कि चक्रों (लहरों) के विवरण के रूप में भी परिलक्षित होता है। इसके लिए धन्यवाद, हम यह भेद करने में सक्षम होंगे कि लहर एक निश्चित समय के पैमाने से संबंधित है या नहीं। अंजीर पर। 15 यूरो/डॉलर जोड़ी को दैनिक मूल्य पैमाने पर दिखाता है। ध्यान दें, आप स्पष्ट रूप से गठित चक्र और एक नए, बड़े चक्र की शुरुआत देख सकते हैं। प्रति घंटा पैमाने पर स्विच करना और चक्रों में से एक पर ज़ूम इन करना, हम छोटे चक्र देख सकते हैं, और डी 1 (चित्र 16) पर स्थित एक बड़े चक्र का हिस्सा देख सकते हैं। लूप डिटेलिंग, यानी। उनका आयाम हमें प्रारंभिक स्थितियों से यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि भविष्य में स्थिति कैसे विकसित हो सकती है। हम कह सकते हैं कि: फ्रैक्टल आयाम विचाराधीन सेट के स्केल इनवेरिएंस गुण को दर्शाता है।

मैंडेलब्रॉट द्वारा "सीलेंट" शब्द से आविष्कार की अवधारणा पेश की गई थी - स्केलेबल, यानी। जब किसी वस्तु में अपरिवर्तनशीलता का गुण होता है, तो उसके पास अलग-अलग डिस्प्ले स्केल होते हैं।

अंजीर पर। 16 सर्कल ए एक मिनी-साइकिल (विस्तृत तरंग), सर्कल बी - एक बड़े चक्र की लहर को हाइलाइट करता है। यह ठीक इस आयाम के कारण है कि हम हमेशा सभी चक्रों को समान मूल्य पैमाने पर निर्धारित नहीं कर सकते हैं।

हम "विदेशी मुद्रा बाजार में चक्र" खंड में गैर-आवधिक चक्रों के गुणों के निर्धारण और विकास की समस्याओं के बारे में बात करेंगे, अब हमारे लिए मुख्य बात यह समझना था कि वित्तीय बाजारों में आयाम कैसे और कहां प्रकट होता है।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मॉडल के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग तब किया जाता है जब वास्तविक वस्तु को शास्त्रीय मॉडल के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। और इसका मतलब है कि हम गैर-रेखीय संबंधों और डेटा की गैर-नियतात्मक (यादृच्छिक) प्रकृति से निपट रहे हैं। वैचारिक अर्थों में अरैखिकता का अर्थ है विकास पथों की बहुविविधता, इनमें से एक विकल्प की उपलब्धता वैकल्पिक तरीकेऔर विकास की एक निश्चित दर, साथ ही अपरिवर्तनीयता विकासवादी प्रक्रियाएं. गणितीय अर्थ में गैर-रैखिकता का अर्थ है खास तरहगणितीय समीकरण (नॉनलाइनियर डिफरेंशियल इक्वेशन) जिसमें एक से अधिक घातों में वांछित मात्राएँ हों या गुणांक जो माध्यम के गुणों पर निर्भर करते हों। एक गैर-रैखिक गतिशील प्रणाली का एक सरल उदाहरण:

जॉनी साल में 2 इंच बढ़ता है। यह प्रणाली बताती है कि समय के साथ जॉनी की ऊंचाई कैसे बदलती है। माना x(n) इस वर्ष जॉनी की ऊंचाई है। इसे ऊपर उठने दें आगामी वर्ष x (n+1) के रूप में लिखा जाएगा। तब हम समीकरण के रूप में गतिशील प्रणाली लिख सकते हैं:

एक्स(एन+1) = एक्स(एन) + 2.

देखना? क्या यह सरल गणित नहीं है? यदि हम आज जॉनी की ऊँचाई x (n) = 38 इंच दर्ज करें, तो समीकरण के दाईं ओर हमें अगले वर्ष जॉनी की ऊँचाई मिलती है, x (n+1) = 40 इंच:

एक्स (एन + 1) = एक्स (एन) + 2 = 38 + 2 = 40।

किसी समीकरण में दाएँ से बाएँ जाने को पुनरावृत्ति (पुनरावृत्ति) कहते हैं। हम दर्ज करके समीकरण को फिर से दोहरा सकते हैं नई वृद्धिजॉनी समीकरण के दाईं ओर 40 इंच है (यानी x(n) = 40), और हमें x(n+1) = 42 मिलता है। यदि हम समीकरण को 3 बार दोहराते हैं, तो हमें 3 के बाद जॉनी की ऊंचाई मिलती है वर्ष, अर्थात् 44 इंच, 38 इंच लंबा से शुरू।

यह एक नियतात्मक गतिशील प्रणाली है। अगर हम इसे गैर-नियतात्मक (स्टोकेस्टिक) बनाना चाहते हैं, तो हम इस तरह एक मॉडल बना सकते हैं: जॉनी प्रति वर्ष 2 इंच बढ़ता है, कम या ज्यादा, और समीकरण को इस प्रकार लिखें:

एक्स(एन+1) = एक्स(एन) + 2 + ई

जहां ई एक छोटी त्रुटि है (2 के सापेक्ष छोटा), कुछ संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

आइए मूल नियतात्मक समीकरण पर वापस जाएं। मूल समीकरण, x(n+1) = x(n) + 2, रैखिक है। रैखिक का अर्थ है कि आप चर या स्थिरांक जोड़ रहे हैं, या चर को स्थिरांक से गुणा कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण

जेड (एन + एल) = जेड (एन) + 5 वाई (एन) -2 एक्स (एन)

रैखिक है। लेकिन यदि आप चरों को गुणा करते हैं, या उन्हें एक से अधिक घात तक बढ़ाते हैं, तो समीकरण (प्रणाली) अरैखिक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, समीकरण

एक्स (एन + 1) = एक्स (एन) 2

अरैखिक है क्योंकि x(n) का वर्ग है। समीकरण

गैर-रैखिक है क्योंकि दो चर, x और y, गुणा किए जाते हैं।

जब हम शास्त्रीय मॉडल (उदाहरण के लिए, प्रवृत्ति, प्रतिगमन, आदि) लागू करते हैं, तो हम कहते हैं कि किसी वस्तु का भविष्य विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है, अर्थात। पूरी तरह से प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है और एक स्पष्ट पूर्वानुमान के लिए उत्तरदायी है। आप एक्सेल में इनमें से किसी एक मॉडल को स्वतंत्र रूप से निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण शास्त्रीय मॉडललगातार घटती या बढ़ती प्रवृत्ति के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। और हम वस्तु के अतीत (मॉडलिंग के लिए प्रारंभिक डेटा) को जानकर इसके व्यवहार का अनुमान लगा सकते हैं। और फ्रैक्टल का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब वस्तु के पास विकास के लिए कई विकल्प होते हैं और सिस्टम की स्थिति उस स्थिति से निर्धारित होती है जिसमें वह वर्तमान में स्थित है। यानी हम एक अराजक विकास का अनुकरण करने की कोशिश कर रहे हैं। यह प्रणाली इंटरबैंक विदेशी मुद्रा बाजार है।

आइए अब विचार करें कि एक सीधी रेखा से जिसे हम भग्न कहते हैं, उसके निहित गुणों के साथ कैसे प्राप्त किया जा सकता है।

अंजीर पर। 17(ए) कोच वक्र को दर्शाता है। एक रेखाखंड लीजिए, जिसकी लंबाई = 1, अर्थात्। अभी भी एक टोपोलॉजिकल आयाम। अब हम इसे तीन भागों (लंबाई का प्रत्येक 1/3) में विभाजित करेंगे, और बीच का तीसरा भाग निकाल देंगे। लेकिन हम मध्य तीसरे को दो खंडों (लंबाई के प्रत्येक 1/3) से बदल देंगे, जिसे एक समबाहु त्रिभुज के दो पक्षों के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह अंजीर में दर्शाए गए डिजाइन का चरण दो (बी) है। 17 (ए)। इस बिंदु पर हमारे पास 4 छोटे भाग हैं, प्रत्येक 1/3 लंबाई का है, इसलिए पूरी लंबाई 4(1/3) = 4/3 है। फिर हम इस प्रक्रिया को रेखा के 4 छोटे पालियों में से प्रत्येक के लिए दोहराते हैं। यह चरण तीन (सी) है। यह हमें 16 और भी छोटे रेखाखंड देगा, प्रत्येक की लंबाई का 1/9। तो अब पूरी लंबाई 16/9 या (4/3) 2 है। नतीजतन, हमें एक भिन्नात्मक आयाम मिला। लेकिन इतना ही नहीं यह परिणामी संरचना को एक सीधी रेखा से अलग करता है। यह स्व-समान हो गया है और इसके किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा खींचना असंभव है (चित्र 17 (बी))।

विषय

विज्ञान में सबसे सरल खोजें मौलिक रूप से बदल सकती हैं मानव जीवन. आविष्कार किया हुआ टीका लाखों लोगों को बचा सकता है, हथियारों का निर्माण, इसके विपरीत, इन लोगों की जान ले लेता है। अभी हाल ही में (पैमाने में मानव विकास) हमने बिजली को "वश में" करना सीख लिया है - और अब हम बिजली का उपयोग करने वाले इन सभी सुविधाजनक उपकरणों के बिना जीवन की कल्पना नहीं कर सकते हैं। लेकिन ऐसी खोजें भी हैं जिन्हें बहुत कम लोग महत्व देते हैं, हालाँकि वे हमारे जीवन को भी बहुत प्रभावित करते हैं।

इन "अगोचर" खोजों में से एक भग्न है। आपने शायद यह आकर्षक शब्द सुना होगा, लेकिन क्या आप जानते हैं कि इसका क्या मतलब है और इस शब्द में कितनी दिलचस्प बातें छिपी हैं?

प्रत्येक व्यक्ति में स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, अपने आसपास की दुनिया के बारे में जानने की इच्छा होती है। और इस आकांक्षा में, एक व्यक्ति निर्णय में तर्क का पालन करने की कोशिश करता है। अपने आस-पास हो रही प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह जो हो रहा है उसका तर्क खोजने की कोशिश करता है और कुछ नियमितता का पता लगाता है। ग्रह पर सबसे बड़े दिमाग इस कार्य में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर, वैज्ञानिक एक ऐसे पैटर्न की तलाश में हैं जहां यह नहीं होना चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी, घटनाओं के बीच संबंध पाया जा सकता है। और यह संबंध एक भग्न है।

हमारी साढ़े चार साल की छोटी बेटी, अब उस अद्भुत उम्र में है जब प्रश्नों की संख्या "क्यों?" वयस्कों के पास जितने उत्तर देने के लिए समय है, उससे कई गुना अधिक। कुछ समय पहले, मेरी बेटी ने जमीन से उठी एक शाखा को देखा, अचानक देखा कि यह शाखा, गांठों और शाखाओं के साथ, अपने आप में एक पेड़ की तरह लग रही थी। और, ज़ाहिर है, सामान्य प्रश्न "क्यों?" का पालन किया, जिसके लिए माता-पिता को एक सरल स्पष्टीकरण की तलाश करनी पड़ी जिसे बच्चा समझ सके।

एक बच्चे द्वारा खोजे गए पूरे पेड़ के साथ एकल शाखा की समानता एक बहुत ही सटीक अवलोकन है, जो एक बार फिर प्रकृति में पुनरावर्ती आत्म-समानता के सिद्धांत की गवाही देता है। प्रकृति में बहुत सारे कार्बनिक और अकार्बनिक रूप समान रूप से बनते हैं। बादल, समुद्र के गोले, घोंघे का "घर", पेड़ों की छाल और ताज, संचार प्रणालीऔर इसी तरह - इन सभी वस्तुओं के यादृच्छिक आकार को फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

बेनोइट मंडेलब्रॉट: फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक

"फ्रैक्टल" शब्द ही शानदार वैज्ञानिक बेनोइट बी मंडेलब्रॉट के लिए धन्यवाद प्रकट हुआ।

उन्होंने 1970 के दशक में लैटिन से फ्रैक्टस शब्द उधार लेते हुए खुद इस शब्द को गढ़ा, जहां इसका शाब्दिक अर्थ "टूटा हुआ" या "कुचल" होता है। यह क्या है? आज, "फ्रैक्टल" शब्द का प्रयोग अक्सर अर्थ के लिए किया जाता है ग्राफिक छविएक संरचना जो बड़े पैमाने पर स्वयं के समान होती है।

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत के उद्भव के लिए गणितीय आधार बेनोइट मैंडलब्रॉट के जन्म से कई साल पहले रखा गया था, लेकिन यह केवल कंप्यूटिंग उपकरणों के आगमन के साथ ही विकसित हो सका। उसकी शुरुआत में वैज्ञानिक गतिविधिबेनोइस्ट ने आईबीएम रिसर्च सेंटर में काम किया। उस समय केंद्र के कर्मचारी दूर-दूर तक डाटा ट्रांसमिशन पर काम कर रहे थे। अनुसंधान के दौरान, वैज्ञानिकों को शोर के हस्तक्षेप से होने वाले बड़े नुकसान की समस्या का सामना करना पड़ा। बेनोइस से पहले एक जटिल और बहुत खड़ा था महत्वपूर्ण कार्य- समझें कि सांख्यिकीय पद्धति अप्रभावी होने पर इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर हस्तक्षेप की घटना की भविष्यवाणी कैसे करें।

शोर माप के परिणामों को देखते हुए, मैंडलब्रॉट ने एक अजीब पैटर्न पर ध्यान आकर्षित किया - विभिन्न पैमाने पर शोर ग्राफ समान दिखते थे। एक समान पैटर्न देखा गया, चाहे वह एक दिन, एक सप्ताह या एक घंटे के लिए शोर की साजिश हो। यह ग्राफ के पैमाने को बदलने के लायक था, और तस्वीर को हर बार दोहराया गया था।

अपने जीवनकाल के दौरान, बेनोइट मंडेलब्रॉट ने बार-बार कहा कि वह सूत्रों से नहीं निपटते, बल्कि केवल चित्रों के साथ खेलते थे। इस आदमी ने बहुत लाक्षणिक रूप से सोचा, और किसी भी बीजीय समस्या का ज्यामिति के क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां, उसके अनुसार, सही उत्तर हमेशा स्पष्ट होता है।

यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि यह इतना धनवान व्यक्ति है स्थानिक कल्पनाभग्न ज्यामिति के जनक बने। आखिरकार, फ्रैक्टल के सार की प्राप्ति ठीक तब होती है जब आप चित्र का अध्ययन करना शुरू करते हैं और अजीब भंवर पैटर्न के अर्थ के बारे में सोचते हैं।

भग्न पैटर्न में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन किसी भी पैमाने पर समानता होती है। इस छवि को के साथ बनाएं एक उच्च डिग्रीमैन्युअल विवरण पहले बस असंभव था, इसकी आवश्यकता थी बड़ी राशिसंगणना उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे जोसेफ लुई फतो ने बेनोइट मैंडलब्रॉट की खोज से सत्तर साल पहले इस सेट का वर्णन किया था। यदि हम आत्म-समानता के सिद्धांतों के बारे में बात करते हैं, तो उनका उल्लेख लाइबनिज़ और जॉर्ज कैंटर के कार्यों में किया गया था।

फ्रैक्टल के पहले चित्रों में से एक मंडेलब्रॉट सेट की एक ग्राफिकल व्याख्या थी, जो गैस्टन मौरिस जूलिया के शोध से पैदा हुई थी।

गैस्टन जूलिया (हमेशा नकाबपोश - WWI की चोट)

इस फ्रांसीसी गणितज्ञ ने सोचा कि एक सेट कैसा दिखेगा यदि इसे एक लूप द्वारा पुनरावृत्त एक साधारण सूत्र से बनाया गया हो प्रतिक्रिया. यदि "उंगलियों पर" समझाया गया है, तो इसका मतलब है कि एक विशिष्ट संख्या के लिए हमें सूत्र का उपयोग करके एक नया मान मिलता है, जिसके बाद हम इसे फिर से सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा मान प्राप्त करते हैं। परिणाम संख्याओं का एक बड़ा क्रम है।

इस तरह के एक सेट की पूरी तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आपको बड़ी मात्रा में गणना करने की आवश्यकता है - सैकड़ों, हजारों, लाखों। इसे मैन्युअल रूप से करना असंभव था। लेकिन जब गणितज्ञों के पास शक्तिशाली कंप्यूटिंग उपकरण दिखाई दिए, तो वे उन सूत्रों और अभिव्यक्तियों पर नए सिरे से विचार करने में सक्षम थे जो लंबे समय से रुचिकर थे। मैंडलब्रॉट शास्त्रीय फ्रैक्टल की गणना के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। बड़ी संख्या में मानों वाले अनुक्रम को संसाधित करने के बाद, बेनोइट ने परिणामों को एक ग्राफ़ में स्थानांतरित कर दिया। यहाँ उसे क्या मिला है।

इसके बाद, यह छवि रंगीन हो गई (उदाहरण के लिए, रंग भरने के तरीकों में से एक पुनरावृत्तियों की संख्या है) और मनुष्य द्वारा बनाई गई अब तक की सबसे लोकप्रिय छवियों में से एक बन गई।

जैसा कि कहा जाता प्राचीन कहावतइफिसुस के हेराक्लिटस को जिम्मेदार ठहराया, "आप एक ही नदी में दो बार प्रवेश नहीं कर सकते।" यह भग्नों की ज्यामिति की व्याख्या करने के लिए सबसे उपयुक्त है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम भग्न छवि की कितनी विस्तृत जांच करते हैं, हम हमेशा एक समान पैटर्न देखेंगे।

जो लोग यह देखना चाहते हैं कि मंडेलब्रॉट स्पेस की एक छवि कैसी दिखेगी, जब कई बार आवर्धित की जाए तो एक एनिमेटेड GIF अपलोड करके ऐसा कर सकते हैं।

लॉरेन कारपेंटर: प्रकृति द्वारा बनाई गई कला

भग्न का सिद्धांत जल्द ही मिल गया प्रायोगिक उपयोग. चूंकि यह स्व-समान छवियों के विज़ुअलाइज़ेशन से निकटता से संबंधित है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि असामान्य रूपों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम और सिद्धांतों को अपनाने वाले पहले कलाकार थे।

प्रसिद्ध पिक्सर स्टूडियो के भविष्य के सह-संस्थापक, लॉरेन सी. कारपेंटर ने 1967 में बोइंग कंप्यूटर सर्विसेज में काम करना शुरू किया, जो नए विमानों के विकास में लगे प्रसिद्ध निगम के डिवीजनों में से एक था।

1977 में, उन्होंने उड़ान मॉडल के प्रोटोटाइप के साथ प्रस्तुतियाँ बनाईं। लॉरेन डिजाइन किए जा रहे विमान की छवियों को विकसित करने के लिए जिम्मेदार थे। वह भविष्य के विमानों को दिखाते हुए नए मॉडलों की तस्वीरें बनाने वाला था अलग-अलग पार्टियां. कुछ बिंदु पर, पिक्सर एनिमेशन स्टूडियो के भविष्य के संस्थापक ने पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की एक छवि का उपयोग करने के लिए रचनात्मक विचार के साथ आया। आज कोई भी छात्र इस तरह की समस्या को हल कर सकता है, लेकिन पिछली शताब्दी के उत्तरार्ध में कंप्यूटर इतनी जटिल गणनाओं का सामना नहीं कर सके - ग्राफिक संपादकत्रि-आयामी ग्राफिक्स के लिए अनुप्रयोगों का उल्लेख नहीं करना था। 1978 में, लॉरेन ने गलती से बेनोइट मैंडेलब्रॉट की पुस्तक फ्रैक्टल्स: फॉर्म, रैंडमनेस एंड डायमेंशन को एक स्टोर में देखा। इस पुस्तक में उनका ध्यान इस ओर गया कि बेनोइस्ट ने फ्रैक्टल रूपों के कई उदाहरण दिए वास्तविक जीवनऔर सिद्ध किया कि उन्हें गणितीय व्यंजक द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

इस सादृश्य को गणितज्ञ ने संयोग से नहीं चुना था। तथ्य यह है कि जैसे ही उन्होंने अपना शोध प्रकाशित किया, उन्हें आलोचनाओं की एक पूरी झड़ी लगानी पड़ी। मुख्य बात यह है कि उनके सहयोगियों ने उन्हें विकसित सिद्धांत की बेकारता के साथ फटकार लगाई थी। "हाँ," उन्होंने कहा, "ये खूबसूरत तस्वीरें हैं, लेकिन इससे ज्यादा कुछ नहीं। व्यावहारिक मूल्यभग्न का सिद्धांत नहीं है। ऐसे लोग भी थे जो आम तौर पर मानते थे कि फ्रैक्टल पैटर्न केवल "शैतान मशीनों" के काम का उप-उत्पाद थे, जो सत्तर के दशक के उत्तरार्ध में बहुत जटिल और पूरी तरह से भरोसेमंद होने के लिए अस्पष्ट थे। मैंडलब्रॉट ने भग्न के सिद्धांत का एक स्पष्ट अनुप्रयोग खोजने की कोशिश की, लेकिन, कुल मिलाकर, उन्हें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं थी। अगले 25 वर्षों में बेनोइट मंडेलब्रॉट के अनुयायी इस तरह की "गणितीय जिज्ञासा" के लिए बहुत उपयोगी साबित हुए, और लॉरेन कारपेंटर फ्रैक्टल पद्धति को व्यवहार में लाने वाले पहले लोगों में से एक थे।

पुस्तक का अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने भग्न ज्यामिति के सिद्धांतों का गंभीरता से अध्ययन किया और इसे लागू करने के तरीके की तलाश शुरू कर दी। कंप्यूटर ग्राफिक्स. केवल तीन दिनों के काम में, लॉरेन कल्पना करने में सक्षम थी यथार्थवादी छवि पर्वत प्रणालीआपके कंप्युटर पर। दूसरे शब्दों में, उन्होंने सूत्रों की मदद से एक पूरी तरह से पहचाने जाने योग्य पहाड़ी परिदृश्य को चित्रित किया।

लॉरेन अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए जिस सिद्धांत का प्रयोग करती थीं, वह बहुत ही सरल था। इसमें एक बड़ी ज्यामितीय आकृति को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल था, और ये बदले में, छोटे आकार के समान आकृतियों में विभाजित किए गए थे।

बड़े त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, बढ़ई ने उन्हें चार छोटे त्रिभुजों में तोड़ दिया और फिर इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जब तक कि उनके पास एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं था। इस प्रकार, वह छवियों के निर्माण के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले कलाकार बनने में सफल रहे। जैसे ही इसे किए गए काम के बारे में पता चला, दुनिया भर के उत्साही लोगों ने इस विचार को उठाया और यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों को अनुकरण करने के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करना शुरू कर दिया।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले 3D रेंडरिंग में से एक

कुछ ही वर्षों बाद, लॉरेन कारपेंटर अपनी उपलब्धियों को एक बहुत बड़ी परियोजना में लागू करने में सक्षम था। एनिमेटर ने उन्हें दो मिनट के डेमो, वॉल लिब्रे पर आधारित किया, जिसे 1980 में सिग्ग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने इसे देखने वाले सभी को चौंका दिया और लॉरेन को लुकासफिल्म का निमंत्रण मिला।

एनीमेशन को डिजिटल उपकरण निगम के VAX-11/780 कंप्यूटर पर पांच मेगाहर्ट्ज़ की घड़ी की गति से प्रदान किया गया था, और प्रत्येक फ्रेम को खींचने में लगभग आधे घंटे का समय लगा।

लुकासफिल्म लिमिटेड के लिए काम करते हुए, एनिमेटर ने स्टार ट्रेक गाथा में दूसरी विशेषता के लिए समान 3D परिदृश्य बनाए। खान के क्रोध में, बढ़ई भग्न सतह मॉडलिंग के समान सिद्धांत का उपयोग करके एक संपूर्ण ग्रह बनाने में सक्षम था।

वर्तमान में, 3D परिदृश्य बनाने के लिए सभी लोकप्रिय अनुप्रयोग प्राकृतिक वस्तुओं को उत्पन्न करने के समान सिद्धांत का उपयोग करते हैं। Terragen, Bryce, Vue और अन्य 3D संपादक भग्न सतह और बनावट मॉडलिंग एल्गोरिथ्म पर भरोसा करते हैं।

फ्रैक्टल एंटेना: कम बेहतर है, लेकिन बेहतर है

पिछली आधी सदी में, जीवन तेजी से बदल गया है। हम में से अधिकांश लोग आधुनिक तकनीक में हुई प्रगति को हल्के में लेते हैं। वह सब कुछ जो जीवन को और अधिक आरामदायक बनाता है, आपको बहुत जल्दी इसकी आदत हो जाती है। शायद ही कोई सवाल पूछता है "यह कहाँ से आया?" और यह कैसे काम करता है?"। एक माइक्रोवेव ओवन नाश्ते को गर्म करता है - ठीक है, बढ़िया, एक स्मार्टफोन आपको दूसरे व्यक्ति से बात करने की अनुमति देता है - बढ़िया। यह हमारे लिए एक स्पष्ट संभावना की तरह लगता है।

लेकिन जीवन पूरी तरह से अलग हो सकता है यदि कोई व्यक्ति घटित होने वाली घटनाओं के लिए स्पष्टीकरण की तलाश नहीं करता है। उदाहरण के लिए, सेल फोन लें। पहले मॉडल पर वापस लेने योग्य एंटेना याद रखें? उन्होंने हस्तक्षेप किया, डिवाइस का आकार बढ़ाया, अंत में, अक्सर टूट गया। हम मानते हैं कि वे हमेशा के लिए गुमनामी में डूब गए हैं, और आंशिक रूप से इस वजह से ... भग्न।

भग्न चित्र उनके पैटर्न से मोहित करते हैं। वे निश्चित रूप से चित्रों की तरह दिखते हैं। अंतरिक्ष वस्तुएं- नीहारिकाएं, आकाशगंगाओं के समूह आदि। इसलिए, यह बिल्कुल स्वाभाविक है कि जब मैंडलब्रॉट ने फ्रैक्टल के अपने सिद्धांत को आवाज दी, तो उनके शोध ने खगोल विज्ञान का अध्ययन करने वालों में रुचि बढ़ाई। बुडापेस्ट में बेनोइट मंडेलब्रॉट के एक व्याख्यान में भाग लेने के बाद, नाथन कोहेन नामक एक शौकिया, प्राप्त ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग के विचार से प्रेरित था। सच है, उन्होंने इसे सहज रूप से किया, और मौके ने उनकी खोज में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। एक रेडियो शौकिया के रूप में, नाथन ने उच्चतम संभव संवेदनशीलता के साथ एक एंटीना बनाने की मांग की।

उस समय ज्ञात एंटीना के मापदंडों को सुधारने का एकमात्र तरीका इसके ज्यामितीय आयामों को बढ़ाना था। हालांकि, नाथन के डाउनटाउन बोस्टन अपार्टमेंट के मालिक ने बड़े छत वाले उपकरणों को स्थापित करने का कड़ा विरोध किया था। फिर नाथन ने प्रयोग करना शुरू किया विभिन्न रूपएंटेना, पाने की कोशिश कर रहा है अधिकतम परिणामन्यूनतम आयामों के साथ। भग्न रूपों के विचार के साथ, कोहेन, जैसा कि वे कहते हैं, बेतरतीब ढंग से तार से बाहर सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल में से एक बना - "कोच स्नोफ्लेक"। स्वीडिश गणितज्ञ हेल्ज वॉन कोच 1904 में इस वक्र के साथ आए थे। यह खंड को तीन भागों में विभाजित करके और इस खंड के साथ मेल खाने वाले पक्ष के बिना एक समबाहु त्रिभुज के साथ मध्य खंड को बदलकर प्राप्त किया जाता है। परिभाषा को समझना थोड़ा मुश्किल है, लेकिन आंकड़ा स्पष्ट और सरल है।

"कोच वक्र" की अन्य किस्में भी हैं, लेकिन वक्र का अनुमानित आकार समान रहता है

जब नाथन ने एंटीना को रेडियो रिसीवर से जोड़ा, तो वह बहुत हैरान हुआ - संवेदनशीलता नाटकीय रूप से बढ़ गई। प्रयोगों की एक श्रृंखला के बाद, बोस्टन विश्वविद्यालय के भविष्य के प्रोफेसर ने महसूस किया कि फ्रैक्टल पैटर्न के अनुसार बनाए गए एंटीना में उच्च दक्षता होती है और शास्त्रीय समाधानों की तुलना में बहुत व्यापक आवृत्ति रेंज शामिल होती है। इसके अलावा, भग्न वक्र के रूप में एंटीना का आकार ज्यामितीय आयामों को काफी कम कर सकता है। नाथन कोहेन ने एक प्रमेय भी विकसित किया जो यह साबित करता है कि ब्रॉडबैंड एंटीना बनाने के लिए, यह एक स्व-समान फ्रैक्टल वक्र का आकार देने के लिए पर्याप्त है।

लेखक ने अपनी खोज का पेटेंट कराया और फ्रैक्टल एंटेना के विकास और डिजाइन के लिए एक फर्म की स्थापना की, फ्रैक्टल एंटीना सिस्टम्स, यह सही मानते हुए कि भविष्य में, उनकी खोज के लिए धन्यवाद, सेल फोन भारी एंटेना से छुटकारा पाने और अधिक कॉम्पैक्ट बनने में सक्षम होंगे।

मूल रूप से यही हुआ। सच है, आज तक, नाथन बड़े निगमों के साथ एक मुकदमे में है जो अवैध रूप से कॉम्पैक्ट संचार उपकरणों के उत्पादन के लिए उसकी खोज का उपयोग करते हैं। कुछ प्रसिद्ध निर्माता मोबाइल उपकरणों, जैसे मोटोरोला, पहले ही फ्रैक्टल एंटीना के आविष्कारक के साथ एक शांति समझौते पर पहुंच चुके हैं।

भग्न आयाम: मन नहीं समझता

बेनोइट ने यह प्रश्न प्रसिद्ध अमेरिकी वैज्ञानिक एडवर्ड कास्नर से लिया था।

बाद वाले, कई अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञों की तरह, बच्चों के साथ संवाद करने, उनसे प्रश्न पूछने और अप्रत्याशित उत्तर प्राप्त करने के बहुत शौकीन थे। कभी-कभी इसके आश्चर्यजनक परिणाम सामने आते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एडवर्ड कास्नर का नौ वर्षीय भतीजा अब प्रसिद्ध शब्द "गूगोल" लेकर आया, जो एक सौ शून्य वाली इकाई को दर्शाता है। लेकिन वापस भग्न के लिए। अमेरिकी गणितज्ञ को सवाल पूछना पसंद था, लंबाई क्या है समुद्र तटअमेरीका। वार्ताकार की राय सुनने के बाद, एडवर्ड ने स्वयं सही उत्तर बोला। यदि आप टूटे हुए खंडों के साथ मानचित्र पर लंबाई मापते हैं, तो परिणाम गलत होगा, क्योंकि समुद्र तट है एक बड़ी संख्या कीअनियमितताएं। और यदि आप यथासंभव सटीक माप करते हैं तो क्या होगा? आपको प्रत्येक असमानता की लंबाई को ध्यान में रखना होगा - आपको प्रत्येक केप, प्रत्येक खाड़ी, चट्टान, एक चट्टानी कगार की लंबाई, उस पर एक पत्थर, रेत का एक कण, एक परमाणु, और इसी तरह मापने की आवश्यकता होगी। चूंकि अनियमितताओं की संख्या अनंत तक जाती है, समुद्र तट की मापी गई लंबाई प्रत्येक नई अनियमितता के साथ अनंत तक बढ़ जाएगी।

मापते समय माप जितना छोटा होगा, मापी गई लंबाई उतनी ही अधिक होगी

दिलचस्प बात यह है कि एडवर्ड के संकेतों का पालन करते हुए, बच्चे सही उत्तर कहने में वयस्कों की तुलना में बहुत तेज थे, जबकि बाद वाले को इस तरह के अविश्वसनीय उत्तर को स्वीकार करने में परेशानी हुई।

एक उदाहरण के रूप में इस समस्या का उपयोग करते हुए, मैंडलब्रॉट ने माप के लिए एक नए दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव दिया। चूंकि समुद्र तट एक फ्रैक्टल वक्र के करीब है, इसका मतलब है कि एक विशेषता पैरामीटर, तथाकथित फ्रैक्टल आयाम, उस पर लागू किया जा सकता है।

सामान्य आयाम क्या है यह किसी के लिए भी स्पष्ट है। यदि विमा एक के बराबर हो, तो हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है, यदि दो - सपाट आकृति, तीन मात्रा है। हालांकि, गणित में आयाम की ऐसी समझ फ्रैक्टल कर्व्स के साथ काम नहीं करती है, जहां इस पैरामीटर का एक भिन्नात्मक मान होता है। गणित में भग्न आयाम को सशर्त रूप से "खुरदरापन" माना जा सकता है। वक्र का खुरदरापन जितना अधिक होगा, उसका भग्न आयाम उतना ही अधिक होगा। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, एक वक्र, जिसका फ्रैक्टल आयाम अपने टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है, की अनुमानित लंबाई होती है जो आयामों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

वैज्ञानिक अब और अधिक खोज रहे हैं अधिक क्षेत्रभग्न के सिद्धांत को लागू करने के लिए। फ्रैक्टल्स की मदद से, आप स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण कर सकते हैं, सभी प्रकार की प्राकृतिक प्रक्रियाओं का पता लगा सकते हैं, जैसे प्रजातियों की संख्या में उतार-चढ़ाव, या प्रवाह की गतिशीलता का अनुकरण कर सकते हैं। डेटा संपीड़न के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए छवि संपीड़न के लिए। और वैसे, आपके कंप्यूटर स्क्रीन पर एक सुंदर फ्रैक्टल प्राप्त करने के लिए, आपके पास डॉक्टरेट की डिग्री होने की आवश्यकता नहीं है।

ब्राउज़र में फ्रैक्टल

शायद फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त करने के सबसे आसान तरीकों में से एक युवा प्रतिभाशाली प्रोग्रामर टोबी स्कैचमैन के ऑनलाइन वेक्टर संपादक का उपयोग करना है। इस सरल ग्राफिक्स संपादक का टूलकिट स्व-समानता के समान सिद्धांत पर आधारित है।

आपके निपटान में केवल दो सरल आकृतियाँ हैं - एक वर्ग और एक वृत्त। आप उन्हें कैनवास में जोड़ सकते हैं, स्केल (कुल्हाड़ियों में से किसी एक के साथ स्केल करने के लिए, Shift कुंजी दबाए रखें) और घुमाएं। बूलियन जोड़ संचालन के सिद्धांत पर ओवरलैपिंग, ये सरल तत्व नए, कम तुच्छ रूप बनाते हैं। इसके अलावा, इन नए रूपों को परियोजना में जोड़ा जा सकता है, और कार्यक्रम इन छवियों की पीढ़ी को अनिश्चित काल तक दोहराएगा। फ्रैक्टल पर काम करने के किसी भी स्तर पर, आप किसी भी घटक पर लौट सकते हैं जटिल आकारऔर इसकी स्थिति और ज्यामिति संपादित करें। यह बहुत मजेदार है, खासकर जब आप समझते हैं कि केवल एक उपकरण जो आपको रचनात्मक होने की आवश्यकता है वह एक ब्राउज़र है। यदि आप इस पुनरावर्ती वेक्टर संपादक के साथ काम करने के सिद्धांत को नहीं समझते हैं, तो हम आपको परियोजना की आधिकारिक वेबसाइट पर वीडियो देखने की सलाह देते हैं, जो फ्रैक्टल बनाने की पूरी प्रक्रिया को विस्तार से दिखाता है।

XaoS: हर स्वाद के लिए भग्न

कई ग्राफिक संपादकों में फ्रैक्टल पैटर्न बनाने के लिए अंतर्निहित टूल होते हैं। हालांकि, ये उपकरण आमतौर पर द्वितीयक होते हैं और आपको उत्पन्न फ्रैक्टल पैटर्न को ठीक करने की अनुमति नहीं देते हैं। ऐसे मामलों में जहां गणितीय रूप से सटीक फ्रैक्टल बनाना आवश्यक है, XaoS क्रॉस-प्लेटफ़ॉर्म संपादक बचाव में आएगा। यह कार्यक्रम न केवल एक समान छवि बनाने के लिए संभव बनाता है, बल्कि इसके साथ विभिन्न जोड़तोड़ भी करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक समय में, आप फ्रैक्टल के पैमाने को बदलकर "चल" सकते हैं। फ्रैक्टल के साथ एनिमेटेड आंदोलन को XAF फ़ाइल के रूप में सहेजा जा सकता है और फिर प्रोग्राम में ही वापस चलाया जा सकता है।

XaoS मापदंडों का एक यादृच्छिक सेट लोड कर सकता है, साथ ही विभिन्न छवि पोस्ट-प्रोसेसिंग फिल्टर का उपयोग कर सकता है - एक धुंधला गति प्रभाव जोड़ें, भग्न बिंदुओं के बीच तेज संक्रमण को सुचारू करें, एक 3D छवि का अनुकरण करें, और इसी तरह।

फ्रैक्टल जूमर: कॉम्पैक्ट फ्रैक्टल जनरेटर

अन्य भग्न छवि जनरेटर की तुलना में, इसके कई फायदे हैं। सबसे पहले, यह आकार में काफी छोटा है और इसे स्थापना की आवश्यकता नहीं है। दूसरे, यह चित्र के रंग पैलेट को परिभाषित करने की क्षमता को लागू करता है। आप RGB, CMYK, HVS और HSL कलर मॉडल में शेड्स चुन सकते हैं।

रंग रंगों के यादृच्छिक चयन और चित्र में सभी रंगों को उलटने के कार्य के विकल्प का उपयोग करना भी बहुत सुविधाजनक है। रंग को समायोजित करने के लिए, रंगों के चक्रीय चयन का एक कार्य होता है - जब संबंधित मोड चालू होता है, तो प्रोग्राम छवि को एनिमेट करता है, उस पर चक्रीय रूप से रंग बदलता है।

फ्रैक्टल जूमर 85 विभिन्न फ्रैक्टल कार्यों की कल्पना कर सकता है, और कार्यक्रम मेनू में सूत्र स्पष्ट रूप से दिखाए जाते हैं। कार्यक्रम में पोस्ट-प्रोसेसिंग छवियों के लिए फिल्टर हैं, हालांकि थोड़ी मात्रा में। प्रत्येक असाइन किए गए फ़िल्टर को किसी भी समय रद्द किया जा सकता है।

⇡ मंडेलबुलब3डी: 3डी भग्न संपादक

जब "फ्रैक्टल" शब्द का उपयोग किया जाता है, तो इसका अर्थ अक्सर एक सपाट द्वि-आयामी छवि होता है। हालांकि, फ्रैक्टल ज्यामिति 2डी आयाम से आगे जाती है। प्रकृति में, फ्लैट फ्रैक्टल रूपों, जैसे, बिजली की ज्यामिति, और त्रि-आयामी त्रि-आयामी आंकड़े दोनों के उदाहरण मिल सकते हैं। फ्रैक्टल सतहें 3डी हो सकती हैं, और 3डी फ्रैक्टल्स के बहुत ही उदाहरणात्मक चित्रणों में से एक रोजमर्रा की जिंदगी- गोभी का सिर। शायद रोमनेस्को में भग्न देखने का सबसे अच्छा तरीका फूलगोभी और ब्रोकोली का एक संकर है।

और इस भग्न को खाया जा सकता है

Mandelbulb3D प्रोग्राम समान आकार के साथ त्रि-आयामी ऑब्जेक्ट बना सकता है। फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करके एक 3डी सतह प्राप्त करने के लिए, इस एप्लिकेशन के लेखक, डैनियल व्हाइट और पॉल नाइलैंडर ने मैंडेलब्रॉट सेट को गोलाकार निर्देशांक में बदल दिया। उनके द्वारा बनाया गया Mandelbulb3D प्रोग्राम एक वास्तविक त्रि-आयामी संपादक है जो विभिन्न आकृतियों के फ्रैक्टल सतहों को मॉडल करता है। चूंकि हम अक्सर प्रकृति में फ्रैक्टल पैटर्न देखते हैं, कृत्रिम रूप से निर्मित फ्रैक्टल त्रि-आयामी वस्तु अविश्वसनीय रूप से यथार्थवादी और यहां तक ​​​​कि "जीवित" भी लगती है।

यह एक पौधे की तरह लग सकता है, यह एक अजीब जानवर, ग्रह या कुछ और जैसा हो सकता है। यह प्रभाव एक उन्नत प्रतिपादन एल्गोरिथ्म द्वारा बढ़ाया जाता है जो यथार्थवादी प्रतिबिंब प्राप्त करना, पारदर्शिता और छाया की गणना करना, क्षेत्र की गहराई के प्रभाव का अनुकरण करना आदि संभव बनाता है। Mandelbulb3D में बड़ी मात्रा में सेटिंग्स और रेंडरिंग विकल्प हैं। आप प्रकाश स्रोतों के रंगों को नियंत्रित कर सकते हैं, मॉडल की गई वस्तु की पृष्ठभूमि और विवरण का स्तर चुन सकते हैं।

इंसेडिया फ्रैक्टल एडिटर डबल इमेज स्मूथिंग का समर्थन करता है, इसमें पचास अलग-अलग त्रि-आयामी फ्रैक्टल का पुस्तकालय होता है और मूल आकृतियों को संपादित करने के लिए एक अलग मॉड्यूल होता है।

एप्लिकेशन फ्रैक्टल स्क्रिप्टिंग का उपयोग करता है, जिसके साथ आप स्वतंत्र रूप से नए प्रकार के फ्रैक्टल संरचनाओं का वर्णन कर सकते हैं। इंसेडिया में बनावट और सामग्री संपादक हैं, और एक प्रतिपादन इंजन है जो आपको वॉल्यूमेट्रिक कोहरे प्रभाव और विभिन्न शेडर्स का उपयोग करने की अनुमति देता है। कार्यक्रम में लंबी अवधि के प्रतिपादन के दौरान बफर को बचाने का विकल्प है, एनीमेशन निर्माण समर्थित है।

Incendia आपको लोकप्रिय 3D ग्राफ़िक्स प्रारूपों - OBJ और STL में फ्रैक्टल मॉडल निर्यात करने की अनुमति देता है। इंसेडिया में एक छोटी जियोमेट्रिक उपयोगिता शामिल है - एक फ्रैक्टल सतह के निर्यात को त्रि-आयामी मॉडल में स्थापित करने के लिए एक विशेष उपकरण। इस उपयोगिता का उपयोग करके, आप एक 3D सतह का रिज़ॉल्यूशन निर्धारित कर सकते हैं, भग्न पुनरावृत्तियों की संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं। 3D संपादकों जैसे ब्लेंडर, 3ds मैक्स और अन्य के साथ काम करते समय निर्यात किए गए मॉडल का उपयोग 3D प्रोजेक्ट में किया जा सकता है।

पर हाल के समय मेंइंसेडिया परियोजना पर काम कुछ धीमा हो गया है। फिलहाल, लेखक प्रायोजकों की तलाश में है जो उसे कार्यक्रम विकसित करने में मदद करेंगे।

यदि आपके पास इस कार्यक्रम में एक सुंदर त्रि-आयामी भग्न खींचने के लिए पर्याप्त कल्पना नहीं है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पैरामीटर लाइब्रेरी का उपयोग करें, जो INCENDIA_EX\parameters फ़ोल्डर में स्थित है। PAR फाइलों की मदद से, आप एनिमेटेड सहित सबसे असामान्य भग्न आकृतियों को जल्दी से ढूंढ सकते हैं।

कर्ण: भग्न कैसे गाते हैं

हम आमतौर पर उन परियोजनाओं के बारे में बात नहीं करते हैं जिन पर अभी काम किया जा रहा है, लेकिन इस मामले में हमें एक अपवाद बनाना होगा, यह एक बहुत ही असामान्य अनुप्रयोग है। ऑरल नामक एक परियोजना उसी व्यक्ति के साथ आई, जो इंसेडिया थी। सच है, इस बार कार्यक्रम फ्रैक्टल सेट की कल्पना नहीं करता है, लेकिन इसे आवाज देता है, इसे इलेक्ट्रॉनिक संगीत में बदल देता है। विचार बहुत दिलचस्प है, विशेष रूप से फ्रैक्टल के असामान्य गुणों को देखते हुए। ऑरल एक ऑडियो एडिटर है जो फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके धुन तैयार करता है, यानी वास्तव में, यह एक ऑडियो सिंथेसाइज़र-सीक्वेंसर है।

इस कार्यक्रम द्वारा दी गई ध्वनियों का क्रम असामान्य और...सुंदर है। यह आधुनिक लय लिखने के काम आ सकता है और, हमारी राय में, बनाने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है ऑडियो ट्रैकटेलीविजन और रेडियो कार्यक्रमों के स्क्रीनसेवर के साथ-साथ कंप्यूटर गेम के लिए पृष्ठभूमि संगीत के "लूप"। रामिरो ने अभी तक प्रदान नहीं किया है प्रदर्शन के लिए संस्करणअपने कार्यक्रम का, लेकिन वादा करता है कि जब वह करता है, तो ऑरल के साथ काम करने के लिए, उसे फ्रैक्टल के सिद्धांत का अध्ययन करने की आवश्यकता नहीं होगी - बस नोट्स का एक क्रम बनाने के लिए एल्गोरिथ्म के मापदंडों के साथ खेलें। सुनें कि भग्न कैसे ध्वनि करते हैं, और।

भग्न: संगीत विराम

वास्तव में, फ्रैक्टल्स बिना सॉफ्टवेयर के भी संगीत लिखने में मदद कर सकते हैं। लेकिन यह केवल वही कर सकता है जो वास्तव में प्राकृतिक सद्भाव के विचार से ओतप्रोत है और साथ ही एक दुर्भाग्यपूर्ण "बेवकूफ" में नहीं बदल गया है। जोनाथन कूल्टन नाम के एक संगीतकार से एक संकेत लेना समझ में आता है, जो अन्य बातों के अलावा, लोकप्रिय विज्ञान पत्रिका के लिए रचनाएँ लिखते हैं। और अन्य कलाकारों के विपरीत, कोल्टन अपने सभी कार्यों को एक क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो (जब गैर-व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है) मुफ्त प्रतिलिपि, वितरण, दूसरों को काम के हस्तांतरण के साथ-साथ इसके संशोधन (निर्माण) के लिए प्रदान करता है। व्युत्पन्न कार्यों का) इसे अपनी आवश्यकताओं के अनुकूल बनाने के लिए।

जोनाथन कोल्टन, निश्चित रूप से, फ्रैक्टल के बारे में एक गीत है।

⇡ निष्कर्ष

हमारे आस-पास की हर चीज में हम अक्सर अराजकता देखते हैं, लेकिन वास्तव में यह कोई दुर्घटना नहीं है, बल्कि एक आदर्श रूप है, जो फ्रैक्टल हमें समझने में मदद करता है। प्रकृति सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, आदर्श निर्माता और इंजीनियर है। यह बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित है, और यदि कहीं हमें पैटर्न दिखाई नहीं देता है, तो इसका मतलब है कि हमें इसे एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। लोग इसे बेहतर और बेहतर समझते हैं, कई तरह से नकल करने की कोशिश करते हैं प्राकृतिक रूप. इंजीनियर एक शेल के रूप में स्पीकर सिस्टम डिजाइन करते हैं, स्नोफ्लेक ज्यामिति के साथ एंटेना बनाते हैं, और इसी तरह। हमें यकीन है कि भग्न अभी भी बहुत सारे रहस्य रखते हैं, और उनमें से कई अभी तक मनुष्य द्वारा खोजे नहीं गए हैं।

पेड़, समुद्र का किनारा, बादल या क्या करता है रक्त वाहिकाएंहमारे हाथ में? पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि इन सभी वस्तुओं में कुछ भी सामान्य नहीं है। हालांकि, वास्तव में, संरचना की एक संपत्ति है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में निहित है: वे स्व-समान हैं। शाखा से, साथ ही एक पेड़ के तने से, छोटी प्रक्रियाएं निकलती हैं, उनसे - यहां तक ​​​​कि छोटी वाली, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। संचार प्रणाली को एक समान तरीके से व्यवस्थित किया जाता है: धमनी धमनियों से निकलती है, और उनसे - सबसे छोटी केशिकाएं जिसके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। चलो देखते है अंतरिक्ष चित्र समुद्र तट: हम खाड़ी और प्रायद्वीप देखेंगे; आइए इसे देखें, लेकिन एक विहंगम दृष्टि से: हम बे और केप देखेंगे; अब कल्पना कीजिए कि हम समुद्र तट पर खड़े हैं और अपने पैरों को देख रहे हैं: हमेशा कंकड़ होंगे जो बाकी की तुलना में पानी में आगे निकल जाएंगे। यानी जूम इन करने पर समुद्र तट अपने आप जैसा ही रहता है। अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट मंडेलब्रॉट (हालांकि फ्रांस में उठाए गए) ने वस्तुओं की इस संपत्ति को फ्रैक्टलिटी कहा, और ऐसी वस्तुओं को स्वयं - फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस से - टूटा हुआ)।

इस अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। आमतौर पर, एक फ्रैक्टल एक ज्यामितीय आकृति होती है जो निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणों को संतुष्ट करती है: जटिल संरचनाकिसी भी ज़ूम पर (इसके विपरीत, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा, जिसका कोई भी भाग सबसे सरल ज्यामितीय आकृति है - एक खंड)। यह (लगभग) स्व-समान है। इसका एक भिन्नात्मक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है, जो टोपोलॉजिकल से बड़ा है। पुनरावर्ती प्रक्रियाओं के साथ बनाया जा सकता है।

ज्यामिति और बीजगणित

पर फ्रैक्टल का अध्ययन XIX की बारीऔर 20वीं शताब्दी व्यवस्थित की तुलना में अधिक प्रासंगिक थी, क्योंकि पहले के गणितज्ञों ने मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन किया था जिनका उपयोग करके जांच की जा सकती थी सामान्य तरीकेऔर सिद्धांत। 1872 में जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस ने एक उदाहरण बनाया निरंतर कार्य, जो कहीं अलग नहीं है। हालांकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल था। इसलिए, 1904 में, स्वेड हेल्ज वॉन कोच एक निरंतर वक्र के साथ आया, जिसकी कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है, और इसे खींचना काफी सरल है। यह पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के एक रूपांतर को कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है।

आंकड़ों की आत्म-समानता के विचारों को फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी, बेनोइट मैंडलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक द्वारा उठाया गया था। 1938 में, उनका लेख "प्लेन एंड स्पैटियल कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स सिमिलर टू द होल" प्रकाशित हुआ, जिसमें एक और फ्रैक्टल का वर्णन किया गया है - लेवी सी-वक्र। ऊपर सूचीबद्ध इन सभी भग्नों को सशर्त रूप से रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न के एक वर्ग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजीय) भग्न है, जिसमें मैंडेलब्रॉट सेट शामिल है। इस दिशा में पहला शोध 20वीं सदी की शुरुआत में शुरू हुआ और यह फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया और पियरे फतो के नामों से जुड़ा है। 1918 में, जूलिया ने परिसर के पुनरावृत्तियों को समर्पित संस्मरण के लगभग दो सौ पृष्ठ प्रकाशित किए तर्कसंगत कार्य, जो जूलिया सेट का वर्णन करता है, भग्नों का एक पूरा परिवार जो मैंडलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस काम को फ्रांसीसी अकादमी के पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन इसमें एक भी चित्रण नहीं था, इसलिए खोजी गई वस्तुओं की सुंदरता की सराहना करना असंभव था। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने जूलिया को उस समय के गणितज्ञों के बीच प्रसिद्ध कर दिया, इसे जल्दी से भुला दिया गया। फिर से, आधी सदी बाद कंप्यूटर के आगमन के साथ ही इस ओर ध्यान गया: यह वे थे जिन्होंने भग्न की दुनिया की समृद्धि और सुंदरता को दिखाया।

भग्न आयाम

जैसा कि आप जानते हैं, एक ज्यामितीय आकृति का आयाम (मापों की संख्या) इस आकृति पर स्थित एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए आवश्यक निर्देशांक की संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक वक्र पर एक बिंदु की स्थिति एक निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, एक सतह पर (जरूरी नहीं कि एक विमान हो) दो निर्देशांक द्वारा, तीन-आयामी अंतरिक्ष में तीन निर्देशांक द्वारा।
अधिक सामान्य के साथ गणितीय बिंदुदेखें, हम इस तरह से आयाम को परिभाषित कर सकते हैं: रैखिक आयामों में वृद्धि, दो बार, एक-आयामी (एक स्थलीय दृष्टिकोण से) वस्तुओं (खंड) के लिए एक कारक द्वारा आकार (लंबाई) में वृद्धि की ओर जाता है दो, द्वि-आयामी (वर्ग) के लिए रैखिक आयामों में समान वृद्धि से आकार (क्षेत्र) में 4 गुना वृद्धि होती है, त्रि-आयामी (घन) के लिए - 8 गुना। यही है, "वास्तविक" (तथाकथित हॉसडॉर्फ) आयाम की गणना किसी वस्तु के "आकार" में वृद्धि के लघुगणक के अनुपात के रूप में की जा सकती है, जो इसके रैखिक आकार में वृद्धि के लघुगणक के लिए है। यानी, एक खंड के लिए डी=लॉग (2)/लॉग (2)=1, एक विमान के लिए डी=लॉग (4)/लॉग (2)=2, वॉल्यूम डी=लॉग (8)/लॉग (2 के लिए) )=3.
आइए अब कोच वक्र के आयाम की गणना करें, जिसके निर्माण के लिए इकाई खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और मध्य अंतराल को इस खंड के बिना एक समबाहु त्रिभुज द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। न्यूनतम खंड के रैखिक आयामों में तीन गुना वृद्धि के साथ, लॉग (4) / लॉग (3) ~ 1.26 में कोच वक्र की लंबाई बढ़ जाती है। यानी कोच वक्र का आयाम भिन्नात्मक होता है!

विज्ञान और कला

1982 में मंडेलब्रॉट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" प्रकाशित हुई, जिसमें लेखक ने उस समय उपलब्ध फ्रैक्टल्स के बारे में लगभग सभी जानकारी एकत्र और व्यवस्थित की और इसे आसान और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया। मंडेलब्रॉट ने अपनी प्रस्तुति में मुख्य रूप से जटिल सूत्रों और गणितीय निर्माणों पर नहीं, बल्कि पाठकों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर जोर दिया। कंप्यूटर जनित दृष्टांतों और ऐतिहासिक कहानियों के लिए धन्यवाद, जिसके साथ लेखक ने मोनोग्राफ के वैज्ञानिक घटक को कुशलता से पतला किया, पुस्तक बेस्टसेलर बन गई, और फ्रैक्टल आम जनता के लिए जाने गए। गैर-गणितज्ञों के बीच उनकी सफलता काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि बहुत ही सरल निर्माण और सूत्रों की मदद से जो एक हाई स्कूल का छात्र भी समझ सकता है, अद्भुत जटिलता और सुंदरता की छवियां प्राप्त की जाती हैं। कब व्यक्तिगत कम्प्यूटर्सकाफी शक्तिशाली बन गया, यहां तक ​​​​कि कला में एक पूरी प्रवृत्ति दिखाई दी - फ्रैक्टल पेंटिंग, और लगभग कोई भी कंप्यूटर मालिक इसे कर सकता था। अब इंटरनेट पर आप इस विषय के लिए समर्पित कई साइटें आसानी से पा सकते हैं।

कोच वक्र प्राप्त करने की योजना

लड़ाई और शांति

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, भग्न गुणों वाली प्राकृतिक वस्तुओं में से एक समुद्र तट है। एक दिलचस्प कहानी इसके साथ जुड़ी हुई है, या यों कहें, इसकी लंबाई को मापने के प्रयास के साथ, जिसने मंडेलब्रॉट के वैज्ञानिक लेख का आधार बनाया, और उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में भी वर्णित है। हम बात कर रहे हैं एक ऐसे प्रयोग के बारे में जिसकी स्थापना लुईस रिचर्डसन ने की थी, जो एक बहुत ही प्रतिभाशाली और विलक्षण गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मौसम विज्ञानी थे। उनके शोध का एक दिशा दो देशों के बीच सशस्त्र संघर्ष के कारणों और संभावना का गणितीय विवरण खोजने का प्रयास था। जिन मापदंडों को उन्होंने ध्यान में रखा, उनमें दो युद्धरत देशों के बीच आम सीमा की लंबाई थी। जब उन्होंने संख्यात्मक प्रयोगों के लिए डेटा एकत्र किया, तो उन्होंने पाया कि विभिन्न स्रोतपर डेटा आम सीमास्पेन और पुर्तगाल बहुत अलग हैं। इसने उन्हें निम्नलिखित खोज के लिए प्रेरित किया: देश की सीमाओं की लंबाई उस शासक पर निर्भर करती है जिसके साथ हम उन्हें मापते हैं। कैसे और अधिक छोटा मापक, सीमा जितनी लंबी हो जाती है। यह इस तथ्य के कारण है कि उच्च आवर्धन पर तट के अधिक से अधिक मोड़ को ध्यान में रखना संभव हो जाता है, जिन्हें पहले माप की खुरदरापन के कारण अनदेखा किया गया था। और अगर, प्रत्येक ज़ूम के साथ, लाइनों के पहले बेहिसाब मोड़ खोले जाते हैं, तो यह पता चलता है कि सीमाओं की लंबाई अनंत है! सच है, वास्तव में ऐसा नहीं होता है - हमारे माप की सटीकता की एक सीमित सीमा होती है। इस विरोधाभास को रिचर्डसन प्रभाव कहा जाता है।

रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न

सामान्य स्थिति में एक रचनात्मक भग्न के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है। सबसे पहले, हमें दो उपयुक्त ज्यामितीय आकृतियों की आवश्यकता है, आइए उन्हें आधार और खंड कहते हैं। पहले चरण में, भविष्य के भग्न का आधार दर्शाया गया है। फिर इसके कुछ हिस्सों को एक उपयुक्त पैमाने में लिए गए टुकड़े से बदल दिया जाता है - यह निर्माण का पहला पुनरावृत्ति है। फिर, परिणामी आकृति में, कुछ भाग फिर से एक टुकड़े के समान आंकड़े में बदल जाते हैं, और इसी तरह। यदि हम इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हैं, तो सीमा में हमें एक फ्रैक्टल मिलता है।

कोच वक्र के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रक्रिया पर विचार करें (पिछले पृष्ठ पर साइडबार देखें)। किसी भी वक्र को कोच वक्र के आधार के रूप में लिया जा सकता है (कोच हिमपात के लिए, यह एक त्रिभुज है)। लेकिन हम खुद को सबसे सरल मामले तक सीमित रखते हैं - एक खंड। टुकड़ा एक टूटी हुई रेखा है जो आकृति के शीर्ष पर दिखाई गई है। एल्गोरिथ्म के पहले पुनरावृत्ति के बाद, इस मामले में, मूल खंड खंड के साथ मेल खाएगा, फिर इसके प्रत्येक घटक खंड को खंड के समान एक टूटी हुई रेखा से बदल दिया जाएगा, और इसी तरह। यह आंकड़ा पहले चार दिखाता है इस प्रक्रिया के चरण।

गणित की भाषा: गतिशील (बीजीय) भग्न

इस प्रकार के भग्न गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों (इसलिए नाम) के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। ऐसी प्रणाली के व्यवहार को एक जटिल अरैखिक फलन (बहुपद) f (z) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। आइए हम जटिल तल पर कुछ प्रारंभिक बिंदु z0 लें (साइडबार देखें)। अब जटिल तल पर संख्याओं के ऐसे अनंत अनुक्रम पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक से प्राप्त होता है: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn)। प्रारंभिक बिंदु z0 के आधार पर, ऐसा अनुक्रम अलग तरह से व्यवहार कर सकता है: अनंतता के रूप में n -> ; किसी अंतिम बिंदु पर अभिसरण; चक्रीय रूप से कई निश्चित मान लें; अधिक जटिल विकल्प संभव हैं।

जटिल आंकड़े

सम्मिश्र संख्या वह संख्या होती है जिसमें दो भाग होते हैं - वास्तविक और काल्पनिक, अर्थात् औपचारिक योग x + iy (x और y यहाँ - वास्तविक संख्या) मैं तथाकथित है। काल्पनिक इकाई, यानी एक संख्या जो समीकरण को संतुष्ट करती है मैं ^ 2 = -1। सम्मिश्र संख्याओं पर, मुख्य गणितीय संचालन- जोड़, गुणा, भाग, घटाव (केवल तुलना ऑपरेशन परिभाषित नहीं है)। अक्सर जटिल संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए उपयोग किया जाता है ज्यामितीय प्रतिनिधित्व- विमान पर (इसे जटिल कहा जाता है), वास्तविक भाग को एब्सिस्सा अक्ष के साथ और काल्पनिक भाग को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, जबकि जटिल संख्या कार्टेशियन निर्देशांक x और y के साथ एक बिंदु के अनुरूप होगी।

इस प्रकार, फ़ंक्शन f (z) के पुनरावृत्तियों के दौरान जटिल विमान के किसी भी बिंदु z का व्यवहार का अपना चरित्र होता है, और पूरे विमान को भागों में विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, इन भागों की सीमाओं पर स्थित बिंदुओं में निम्नलिखित गुण होते हैं: मनमाने ढंग से छोटे विस्थापन के लिए, उनके व्यवहार की प्रकृति नाटकीय रूप से बदलती है (ऐसे बिंदुओं को द्विभाजन बिंदु कहा जाता है)। तो, यह पता चला है कि एक विशिष्ट प्रकार के व्यवहार वाले बिंदुओं के सेट के साथ-साथ द्विभाजन बिंदुओं के सेट में अक्सर फ्रैक्टल गुण होते हैं। ये फंक्शन f(z) के लिए जूलिया सेट हैं।

ड्रैगन परिवार

आधार और टुकड़े को बदलकर, आप रचनात्मक फ्रैक्टल की एक आश्चर्यजनक विविधता प्राप्त कर सकते हैं।
इसके अलावा, इस तरह के संचालन में किया जा सकता है त्रि-आयामी अंतरिक्ष. वॉल्यूमेट्रिक फ्रैक्टल के उदाहरण "मेन्जर स्पंज", "सिएरपिंस्की पिरामिड" और अन्य हैं।
ड्रेगन के परिवार को रचनात्मक भग्न भी कहा जाता है। उन्हें कभी-कभी खोजकर्ताओं के नाम से "हेइवेई-हार्टर के ड्रेगन" के रूप में संदर्भित किया जाता है (वे अपने आकार में चीनी ड्रेगन के समान होते हैं)। इस वक्र को बनाने के कई तरीके हैं। उनमें से सबसे सरल और सबसे स्पष्ट यह है: आपको कागज की पर्याप्त लंबी पट्टी लेने की जरूरत है (कागज जितना पतला होगा, उतना अच्छा होगा), और इसे आधा में मोड़ें। फिर इसे फिर से उसी दिशा में आधा मोड़ें, जिस दिशा में पहली बार किया था। कई दोहराव के बाद (आमतौर पर पांच या छह सिलवटों के बाद पट्टी इतनी मोटी हो जाती है कि ध्यान से आगे झुकना संभव न हो), आपको पट्टी को वापस सीधा करने की जरूरत है, और सिलवटों पर 90˚ कोण बनाने का प्रयास करें। फिर प्रोफाइल में ड्रैगन का कर्व निकलेगा। बेशक, यह केवल एक सन्निकटन होगा, जैसे भग्न वस्तुओं को चित्रित करने के हमारे सभी प्रयास। कंप्यूटर आपको बहुत कुछ चित्रित करने की अनुमति देता है और कदमयह प्रक्रिया, और परिणाम एक बहुत ही सुंदर आकृति है।

मंडेलब्रॉट सेट कुछ अलग तरीके से बनाया गया है। फलन fc (z) = z 2 +c पर विचार करें, जहां c है जटिल संख्या. आइए हम इस फ़ंक्शन के अनुक्रम को z0 = 0 के साथ बनाते हैं, पैरामीटर c के आधार पर, यह अनंत तक विचलन कर सकता है या बाध्य रह सकता है। इसके अलावा, c के सभी मान जिनके लिए यह क्रम बाध्य है, मैंडेलब्रॉट सेट का निर्माण करता है। इसका विस्तार से अध्ययन मंडेलब्रॉट ने स्वयं और अन्य गणितज्ञों द्वारा किया था, जिन्होंने कई की खोज की थी दिलचस्प गुणयह सेट।

यह देखा जा सकता है कि जूलिया और मैंडलब्रॉट सेट की परिभाषा एक दूसरे के समान है। वास्तव में, ये दोनों सेट निकट से संबंधित हैं। अर्थात्, मैंडेलब्रॉट सेट जटिल पैरामीटर c के सभी मान हैं जिसके लिए जूलिया सेट fc (z) जुड़ा हुआ है (एक सेट को कनेक्टेड कहा जाता है यदि इसे कुछ अतिरिक्त शर्तों के साथ दो गैर-प्रतिच्छेदन भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है)।

भग्न और जीवन

आजकल, फ्रैक्टल सिद्धांत पाता है विस्तृत आवेदनविभिन्न क्षेत्रों में मानव गतिविधि. अनुसंधान के लिए विशुद्ध रूप से वैज्ञानिक वस्तु और पहले से ही उल्लेखित फ्रैक्टल पेंटिंग के अलावा, ग्राफिक डेटा को संपीड़ित करने के लिए सूचना सिद्धांत में फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है (यहां, फ्रैक्टल की आत्म-समानता संपत्ति का मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है - आखिरकार, एक छोटे से टुकड़े को याद रखने के लिए) एक ड्राइंग और ट्रांसफॉर्मेशन जिसके साथ आप बाकी हिस्सों को प्राप्त कर सकते हैं, यह पूरी फाइल को स्टोर करने की तुलना में बहुत कम मेमोरी लेता है)। फ्रैक्टल को परिभाषित करने वाले फ़ार्मुलों में यादृच्छिक गड़बड़ी जोड़कर, कोई स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल प्राप्त कर सकता है जो बहुत ही वास्तविक रूप से कुछ वास्तविक वस्तुओं को व्यक्त करता है - राहत तत्व, जल निकायों की सतह, कुछ पौधे, जिन्हें प्राप्त करने के लिए भौतिकी, भूगोल और कंप्यूटर ग्राफिक्स में सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है। वास्तविक के साथ नकली वस्तुओं की अधिक समानता। रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स में, पिछले एक दशक में, उन्होंने ऐसे एंटेना का उत्पादन करना शुरू किया, जिनका आकार भग्न होता है। कम जगह लेते हुए, वे काफी प्रदान करते हैं गुणवत्ता स्वागतसंकेत। अर्थशास्त्री मुद्रा में उतार-चढ़ाव वक्रों का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग करते हैं (इस संपत्ति की खोज मैंडेलब्रॉट ने 30 साल पहले की थी)। यह भग्न की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का समापन करता है, इसकी सुंदरता और विविधता में अद्भुत है।

अक्सर, विज्ञान में की गई शानदार खोजें हमारे जीवन को मौलिक रूप से बदल सकती हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक टीके का आविष्कार कई लोगों को बचा सकता है, और एक नए हथियार का निर्माण हत्या की ओर ले जाता है। वस्तुतः कल (इतिहास के पैमाने पर) एक व्यक्ति ने बिजली का "नामकरण" किया, और आज वह इसके बिना अपने जीवन की कल्पना नहीं कर सकता। हालाँकि, ऐसी खोजें भी हैं, जैसा कि वे कहते हैं, छाया में रहती हैं, और इस तथ्य के बावजूद कि उनका हमारे जीवन पर भी कुछ प्रभाव पड़ता है। इन खोजों में से एक फ्रैक्टल थी। अधिकांश लोगों ने ऐसी अवधारणा के बारे में सुना भी नहीं है और न ही इसका अर्थ समझा पाएंगे। इस लेख में हम इस प्रश्न से निपटने की कोशिश करेंगे कि भग्न क्या है, विज्ञान और प्रकृति के दृष्टिकोण से इस शब्द के अर्थ पर विचार करें।

अराजकता में आदेश

यह समझने के लिए कि भग्न क्या है, किसी को गणित की स्थिति से डीब्रीफिंग शुरू करनी चाहिए, हालांकि, इसमें जाने से पहले, हम थोड़ा दर्शन करते हैं। प्रत्येक व्यक्ति में स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, जिसकी बदौलत वह अपने आसपास की दुनिया को सीखता है। अक्सर, ज्ञान की अपनी इच्छा में, वह अपने निर्णयों में तर्क के साथ काम करने की कोशिश करता है। इसलिए, आसपास होने वाली प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह संबंधों की गणना करने और कुछ पैटर्न प्राप्त करने का प्रयास करता है। ग्रह पर सबसे बड़े दिमाग इन समस्याओं को हल करने में लगे हुए हैं। मोटे तौर पर, हमारे वैज्ञानिक ऐसे पैटर्न की तलाश कर रहे हैं जहां वे नहीं हैं, और नहीं होने चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी कुछ घटनाओं के बीच एक संबंध होता है। यह कनेक्शन फ्रैक्टल है। एक उदाहरण के रूप में, सड़क पर पड़ी एक टूटी हुई शाखा पर विचार करें। अगर हम इसे गौर से देखें तो पाएंगे कि यह अपनी सभी शाखाओं और गांठों के साथ अपने आप में एक पेड़ जैसा दिखता है। एक पूरे के साथ एक अलग हिस्से की यह समानता पुनरावर्ती आत्म-समानता के तथाकथित सिद्धांत की गवाही देती है। प्रकृति में भग्न हर समय पाए जा सकते हैं, क्योंकि एक ही तरह से कई अकार्बनिक और कार्बनिक रूप बनते हैं। ये बादल, और समुद्र के गोले, और घोंघे के गोले, और पेड़ के मुकुट, और यहां तक ​​​​कि संचार प्रणाली भी हैं। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी यादृच्छिक आकृतियों को फ्रैक्टल एल्गोरिथम द्वारा आसानी से वर्णित किया जाता है। यहां हम विचार करते हैं कि सटीक विज्ञान के दृष्टिकोण से फ्रैक्टल क्या है।

कुछ सूखे तथ्य

शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में अनुवाद किया गया है, और इस शब्द की सामग्री के लिए, इस तरह के शब्द मौजूद नहीं हैं। आमतौर पर इसे एक स्व-समान सेट के रूप में माना जाता है, पूरे का एक हिस्सा, जिसे सूक्ष्म स्तर पर इसकी संरचना द्वारा दोहराया जाता है। यह शब्द बीसवीं सदी के सत्तर के दशक में बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा गढ़ा गया था, जिसे पिता के रूप में पहचाना जाता है। आज, फ्रैक्टल की अवधारणा का अर्थ एक निश्चित संरचना का ग्राफिक प्रतिनिधित्व है, जिसे बड़ा करने पर, स्वयं के समान होगा। हालाँकि, इस सिद्धांत के निर्माण का गणितीय आधार स्वयं मैंडलब्रॉट के जन्म से पहले ही रखा गया था, लेकिन यह तब तक विकसित नहीं हो सका जब तक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर दिखाई नहीं दिए।

ऐतिहासिक संदर्भ, या यह सब कैसे शुरू हुआ

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, भग्नों की प्रकृति का अध्ययन प्रासंगिक था। यह इस तथ्य के कारण है कि गणितज्ञ उन वस्तुओं का अध्ययन करना पसंद करते हैं जिनकी जांच सामान्य सिद्धांतों और विधियों के आधार पर की जा सकती है। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ के. वीयरस्ट्रास ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी अवकलनीय नहीं है। हालांकि, यह निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल निकला। इसके बाद स्वेड हेल्ज वॉन कोच आए, जिन्होंने 1904 में एक निरंतर वक्र का निर्माण किया, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है। इसे खींचना काफी आसान है, और, जैसा कि यह निकला, यह भग्न गुणों की विशेषता है। इस वक्र के रूपों में से एक का नाम इसके लेखक के नाम पर रखा गया था - "कोच का हिमपात"। इसके अलावा, आंकड़ों की आत्म-समानता का विचार बी। मैंडेलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक, फ्रांसीसी पॉल लेवी द्वारा विकसित किया गया था। 1938 में उन्होंने "प्लेन एंड स्पैटियल कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स लाइक ए होल" पेपर प्रकाशित किया। इसमें उन्होंने वर्णन किया नया प्रकार- लेवी सी-वक्र। उपरोक्त सभी आंकड़े सशर्त रूप से इस तरह के रूप को ज्यामितीय फ्रैक्टल के रूप में संदर्भित करते हैं।

गतिशील या बीजीय भग्न

मैंडलब्रॉट सेट इसी वर्ग का है। फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फतोउ और गैस्टन जूलिया इस दिशा में पहले शोधकर्ता बने। 1918 में जूलिया ने तर्कसंगत जटिल कार्यों के पुनरावृत्तियों के अध्ययन के आधार पर एक पेपर प्रकाशित किया। यहां उन्होंने फ्रैक्टल्स के एक परिवार का वर्णन किया है जो मैंडलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित हैं। इस तथ्य के बावजूद कि इस कामगणितज्ञों के बीच लेखक का महिमामंडन किया, उसे जल्दी ही भुला दिया गया। और केवल आधी सदी के बाद, कंप्यूटर के लिए धन्यवाद, जूलिया के काम को दूसरा जीवन मिला। कंप्यूटर ने प्रत्येक व्यक्ति को फ्रैक्टल की दुनिया की सुंदरता और समृद्धि को दृश्यमान बनाना संभव बना दिया है जिसे गणितज्ञ कार्यों के माध्यम से प्रदर्शित करके "देख" सकते हैं। मैंडेलब्रॉट गणना करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे (मैन्युअल रूप से ऐसी मात्रा को अंजाम देना असंभव है) जिससे इन आंकड़ों की एक छवि बनाना संभव हो गया।

स्थानिक कल्पना वाला आदमी

मैंडलब्रॉट ने आईबीएम रिसर्च सेंटर में अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत की। लंबी दूरी पर डेटा ट्रांसमिशन की संभावनाओं का अध्ययन करते हुए, वैज्ञानिकों को बड़े नुकसान के तथ्य का सामना करना पड़ा जो शोर हस्तक्षेप के कारण उत्पन्न हुए थे। बेनोइट इस समस्या को हल करने के तरीकों की तलाश में था। माप के परिणामों को देखते हुए, उन्होंने एक अजीब पैटर्न की ओर ध्यान आकर्षित किया, अर्थात्: शोर के रेखांकन अलग-अलग समय के पैमानों पर समान दिखते थे।

एक समान तस्वीर एक दिन की अवधि के लिए, और सात दिनों के लिए, या एक घंटे के लिए देखी गई थी। बेनोइट मंडेलब्रॉट ने खुद अक्सर दोहराया कि वह सूत्रों के साथ काम नहीं करता है, लेकिन चित्रों के साथ खेलता है। यह वैज्ञानिक कल्पनाशील सोच से प्रतिष्ठित थे, उन्होंने किसी भी बीजीय समस्या का एक ज्यामितीय क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां सही उत्तर स्पष्ट है। तो यह आश्चर्य की बात नहीं है, अमीरों द्वारा प्रतिष्ठित और फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक बने। आखिरकार, इस आंकड़े के बारे में जागरूकता तभी आ सकती है जब आप रेखाचित्रों का अध्ययन करें और पैटर्न बनाने वाले इन अजीबोगरीब ज़ुल्फ़ों के अर्थ के बारे में सोचें। फ्रैक्टल ड्रॉइंग में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन वे किसी भी पैमाने पर समान होते हैं।

जूलिया - मंडेलब्रोट

इस आंकड़े के पहले चित्रों में से एक सेट की ग्राफिक व्याख्या थी, जो गैस्टन जूलिया के काम के लिए पैदा हुआ था और मंडेलब्रॉट द्वारा अंतिम रूप दिया गया था। गैस्टन यह कल्पना करने की कोशिश कर रहा था कि एक सेट कैसा दिखता है जब इसे एक साधारण सूत्र से बनाया जाता है जिसे फीडबैक लूप द्वारा पुनरावृत्त किया जाता है। आइए समझाने की कोशिश करते हैं कि मानव भाषा में क्या कहा गया है, इसलिए बोलने के लिए, उंगलियों पर। विशिष्ट के लिए अंकीय मूल्यएक नया मान खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करना। हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और निम्नलिखित पाते हैं। परिणाम एक बड़ा है। इस तरह के एक सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन को बड़ी संख्या में करने की आवश्यकता है: सैकड़ों, हजारों, लाखों। बेनोइट ने यही किया। उन्होंने अनुक्रम को संसाधित किया और परिणामों को चित्रमय रूप में स्थानांतरित कर दिया। इसके बाद, उन्होंने परिणामी आकृति को रंग दिया (प्रत्येक रंग एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों से मेल खाता है)। इस ग्राफिक छवि को मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल कहा जाता है।

एल बढ़ई: प्रकृति द्वारा बनाई गई कला

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत को जल्दी ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूंकि यह स्व-समान छवियों के विज़ुअलाइज़ेशन से बहुत निकटता से संबंधित है, इसलिए इन असामान्य रूपों के निर्माण के लिए सिद्धांतों और एल्गोरिदम को अपनाने वाले पहले कलाकार थे। इनमें से पहला पिक्सर स्टूडियो लॉरेन कारपेंटर के भावी संस्थापक थे। विमान के प्रोटोटाइप की प्रस्तुति पर काम करते हुए, वह एक पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की छवि का उपयोग करने के विचार के साथ आया था। आज, लगभग हर कंप्यूटर उपयोगकर्ता इस तरह के कार्य का सामना कर सकता है, और पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक में, कंप्यूटर ऐसी प्रक्रियाओं को करने में सक्षम नहीं थे, क्योंकि उस समय तीन-आयामी ग्राफिक्स के लिए कोई ग्राफिक संपादक और एप्लिकेशन नहीं थे। लॉरेन मेंडलब्रॉट के फ्रैक्टल्स: शेप, रैंडमनेस और डायमेंशन में आए। इसमें बेनोइस ने कई उदाहरण दिए, यह दिखाते हुए कि प्रकृति में फ्रैक्टल हैं (fyva), उन्होंने उनके विभिन्न रूपों का वर्णन किया और साबित किया कि वे आसानी से वर्णित हैं गणितीय अभिव्यक्ति. यह सादृश्यगणितज्ञ ने एक तर्क के रूप में उस सिद्धांत की उपयोगिता का हवाला दिया जिसे वह अपने सहयोगियों की आलोचना की झड़ी के जवाब में विकसित कर रहा था। उन्होंने तर्क दिया कि एक फ्रैक्टल बिना किसी मूल्य की एक सुंदर तस्वीर है, जो काम का उप-उत्पाद है इलेक्ट्रॉनिक मशीनें. बढ़ई ने व्यवहार में इस पद्धति को आजमाने का फैसला किया। पुस्तक का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल ज्योमेट्री को लागू करने का तरीका खोजना शुरू किया। अपने कंप्यूटर पर पहाड़ के परिदृश्य की पूरी तरह से यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में उन्हें केवल तीन दिन लगे। और आज इस सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैसा कि यह निकला, भग्न बनाने में अधिक समय और प्रयास नहीं लगता है।

बढ़ई का समाधान

लॉरेन द्वारा इस्तेमाल किया गया सिद्धांत सरल निकला। इसमें बड़े तत्वों को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल है, और समान छोटे तत्वों में, और इसी तरह। बढ़ई ने बड़े त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, उन्हें 4 छोटे त्रिकोणों में कुचल दिया, और इसी तरह, जब तक कि उसे एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं मिला। इस प्रकार, वह आवश्यक छवि बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिदम लागू करने वाले पहले कलाकार बन गए। आज, इस सिद्धांत का उपयोग विभिन्न यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों का अनुकरण करने के लिए किया जाता है।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम पर आधारित पहला 3डी विज़ुअलाइज़ेशन

कुछ साल बाद, लॉरेन ने अपने काम को एक बड़े पैमाने पर प्रोजेक्ट में लागू किया - एक एनिमेटेड वीडियो वॉल लिबरे, जो 1980 में सिग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने कई लोगों को चौंका दिया, और इसके निर्माता को लुकासफिल्म में काम करने के लिए आमंत्रित किया गया। यहां एनिमेटर खुद को पूरी तरह से महसूस करने में सक्षम था, उसने फीचर फिल्म "स्टार ट्रेक" के लिए त्रि-आयामी परिदृश्य (संपूर्ण ग्रह) बनाया। कोई आधुनिक कार्यक्रम("फ्रैक्टल्स") या 3 डी ग्राफिक्स एप्लिकेशन (टेरेजेन, वू, ब्राइस) अभी भी बनावट और सतहों को मॉडल करने के लिए एक ही एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

टॉम बेडार्ड

एक पूर्व लेजर भौतिक विज्ञानी और अब डिजिटल कलाकार और कलाकार, बेडार्ड ने अत्यधिक पेचीदा ज्यामितीय आकृतियों की एक श्रृंखला बनाई, जिसे उन्होंने फैबरेज के फ्रैक्टल कहा। बाह्य रूप से, वे एक रूसी जौहरी के सजावटी अंडे से मिलते जुलते हैं, उनके पास एक ही शानदार जटिल पैटर्न है। बेडर्ड ने मॉडल के अपने डिजिटल रेंडरिंग बनाने के लिए एक टेम्पलेट विधि का उपयोग किया। परिणामी उत्पाद उनकी सुंदरता में प्रहार कर रहे हैं। हालांकि कई लोग उत्पाद की तुलना करने से इनकार करते हैं स्वनिर्मितएक कंप्यूटर प्रोग्राम के साथ, हालांकि, यह स्वीकार किया जाना चाहिए कि परिणामी रूप असामान्य रूप से सुंदर हैं। हाइलाइट यह है कि कोई भी वेबजीएल सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी का उपयोग करके इस तरह के फ्रैक्टल का निर्माण कर सकता है। यह आपको वास्तविक समय में विभिन्न भग्न संरचनाओं का पता लगाने की अनुमति देता है।

प्रकृति में भग्न

कम ही लोग ध्यान देते हैं, लेकिन ये आश्चर्यजनक आंकड़े हर जगह हैं। प्रकृति स्व-समान आकृतियों से बनी है, हम इसे नोटिस नहीं करते हैं। हमारी त्वचा या पेड़ के पत्ते पर एक आवर्धक कांच के माध्यम से देखने के लिए पर्याप्त है, और हम फ्रैक्टल देखेंगे। या, उदाहरण के लिए, एक अनानास या यहां तक ​​\u200b\u200bकि एक मोर की पूंछ लें - उनमें समान आंकड़े होते हैं। और रोमनस्क्यू ब्रोकोली किस्म आम तौर पर अपनी उपस्थिति में हड़ताली है, क्योंकि इसे वास्तव में प्रकृति का चमत्कार कहा जा सकता है।

संगीत विराम

यह पता चला है कि फ्रैक्टल न केवल ज्यामितीय आकार हैं, वे ध्वनि भी हो सकते हैं। तो, संगीतकार जोनाथन कोल्टन फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके संगीत लिखते हैं। वह प्राकृतिक सद्भाव के अनुरूप होने का दावा करता है। संगीतकार अपने सभी कार्यों को क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो अन्य व्यक्तियों द्वारा मुफ्त वितरण, प्रतिलिपि, कार्यों के हस्तांतरण का प्रावधान करता है।

फ्रैक्टल संकेतक

इस तकनीक को एक बहुत ही अप्रत्याशित अनुप्रयोग मिला है। इसके आधार पर, स्टॉक एक्सचेंज बाजार का विश्लेषण करने के लिए एक उपकरण बनाया गया था, और परिणामस्वरूप, इसका उपयोग विदेशी मुद्रा बाजार में किया जाने लगा। अब फ्रैक्टल इंडिकेटर सभी ट्रेडिंग प्लेटफॉर्म पर पाया जाता है और इसका उपयोग ट्रेडिंग तकनीक में किया जाता है जिसे प्राइस ब्रेकआउट कहा जाता है। बिल विलियम्स ने इस तकनीक को विकसित किया। जैसा कि लेखक अपने आविष्कार पर टिप्पणी करता है, यह एल्गोरिथमकई "मोमबत्तियों" का एक संयोजन है, जिसमें केंद्रीय अधिकतम या इसके विपरीत, न्यूनतम चरम बिंदु को दर्शाता है।

आखिरकार

तो हमने विचार किया है कि फ्रैक्टल क्या है। यह पता चला है कि हमारे आस-पास की अराजकता में, वास्तव में आदर्श रूप हैं। प्रकृति सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, आदर्श निर्माता और इंजीनियर है। यह बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित है, और यदि हमें कोई पैटर्न नहीं मिल रहा है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह मौजूद नहीं है। शायद आपको एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि भग्न अभी भी बहुत सारे रहस्य रखते हैं जिन्हें हमने अभी तक खोजा नहीं है।

सभी को नमस्कार! मेरा नाम है, रिबेनेक वेलेरिया,उल्यानोवस्क और आज मैं अपने कई वैज्ञानिक लेख एलसीआई वेबसाइट पर पोस्ट करूंगा।

मेरा पहला शोध आलेखइस ब्लॉग पर ध्यान दिया जाएगा भग्न. मैं तुरंत कहूंगा कि मेरे लेख लगभग सभी दर्शकों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। वे। मुझे आशा है कि वे स्कूली बच्चों और छात्रों दोनों के लिए रुचिकर होंगे।

हाल ही में मैंने ऐसी रोचक वस्तुओं के बारे में सीखा गणितीय दुनियाभग्न की तरह। लेकिन वे न केवल गणित में मौजूद हैं। वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। भग्न प्राकृतिक हैं। भग्न क्या हैं, भग्न के प्रकार, इन वस्तुओं के उदाहरणों और उनके अनुप्रयोग के बारे में, मैं इस लेख में बताऊंगा। आरंभ करने के लिए, मैं आपको संक्षेप में बताऊंगा कि भग्न क्या है।

भग्न(अव्य। फ्रैक्टस - कुचल, टूटा हुआ, टूटा हुआ) एक जटिल है ज्यामितीय आकृति, जिसमें आत्म-समानता का गुण है, अर्थात् यह कई भागों से बना है, जिनमें से प्रत्येक समग्र रूप से संपूर्ण आकृति के समान है। अधिक में व्यापक अर्थफ्रैक्टल्स को यूक्लिडियन स्पेस में बिंदुओं के सेट के रूप में समझा जाता है जिसमें एक आंशिक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में), या टोपोलॉजिकल के अलावा एक मीट्रिक आयाम होता है। उदाहरण के लिए, मैं चार अलग-अलग फ्रैक्टल की तस्वीर डालूंगा।

मैं आपको भग्नों के इतिहास के बारे में थोड़ा बताता हूँ। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। "फ्रैक्टल" शब्द को बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में पेश किया गया था, जिसका अध्ययन उन्होंने अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं के संदर्भ में किया था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर मैंडेलब्रॉट की किताब द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर के 1977 में प्रकाशन से जुड़ा है। उनके कार्यों ने अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया, जिन्होंने उसी क्षेत्र में 1875-1925 की अवधि में काम किया (पोंकारे, फतो, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ)। लेकिन केवल हमारे समय में उनके काम को एक प्रणाली में जोड़ना संभव था।

भग्न के कई उदाहरण हैं, क्योंकि जैसा कि मैंने कहा, वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। मेरी राय में, हमारा पूरा ब्रह्मांड भी एक विशाल भग्न है। आखिरकार, इसमें सब कुछ, परमाणु की संरचना से लेकर ब्रह्मांड की संरचना तक, बिल्कुल एक दूसरे को दोहराता है। लेकिन, निश्चित रूप से, विभिन्न क्षेत्रों से फ्रैक्टल के अधिक विशिष्ट उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, भग्न जटिल गतिकी में मौजूद होते हैं। वहाँ वे स्वाभाविक रूप से अरेखीय के अध्ययन में प्रकट होते हैं गतिशील प्रणाली. सबसे अधिक अध्ययन किया गया मामला तब है जब गतिशील प्रणाली को पुनरावृत्तियों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है बहुपदया होलोमोर्फिक चर के एक परिसर का कार्यसतह पर। इस प्रकार के कुछ सबसे प्रसिद्ध भग्न जूलिया सेट, मैंडलब्रॉट सेट और न्यूटन बेसिन हैं। नीचे, क्रम में, चित्र उपरोक्त प्रत्येक फ्रैक्टल को दिखाते हैं।

फ्रैक्टल का एक अन्य उदाहरण फ्रैक्टल वक्र हैं। फ्रैक्टल कर्व्स के उदाहरण का उपयोग करके यह समझाना सबसे अच्छा है कि फ्रैक्टल कैसे बनाया जाए। ऐसा ही एक वक्र तथाकथित कोच स्नोफ्लेक है। समतल पर भग्न वक्र प्राप्त करने की एक सरल प्रक्रिया है। हम एक सीमित संख्या में लिंक के साथ एक मनमानी टूटी हुई रेखा को परिभाषित करते हैं, जिसे जनरेटर कहा जाता है। अगला, हम इसमें प्रत्येक खंड को एक जनरेटर (अधिक सटीक रूप से, एक जनरेटर के समान एक टूटी हुई रेखा) से बदलते हैं। परिणामी टूटी हुई रेखा में, हम फिर से प्रत्येक खंड को एक जनरेटर से बदल देते हैं। अनंत तक जारी रखते हुए, सीमा में हमें एक फ्रैक्टल वक्र मिलता है। नीचे दिखाया गया एक कोच स्नोफ्लेक (या वक्र) है।

भग्न वक्र भी मौजूद हैं बड़ी भीड़. उनमें से सबसे प्रसिद्ध पहले से ही उल्लेखित कोच स्नोफ्लेक, साथ ही लेवी वक्र, मिंकोव्स्की वक्र, टूटा हुआ ड्रैगन, पियानो वक्र और पाइथागोरस पेड़ हैं। इन भग्नों और उनके इतिहास की एक छवि, मुझे लगता है, यदि आप चाहें, तो आप आसानी से विकिपीडिया पर पा सकते हैं।

तीसरा उदाहरण या प्रकार के फ्रैक्टल स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल हैं। इस तरह के भग्न में प्रक्षेपवक्र शामिल है ब्राउनियन गतिविमान और अंतरिक्ष में, श्राम-लोवनर विकास, विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक फ्रैक्टल, यानी, एक पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त फ्रैक्टल, जिसमें प्रत्येक चरण में एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है।

विशुद्ध रूप से गणितीय भग्न भी हैं। यह, उदाहरण के लिए, कैंटर सेट, Menger स्पंज, Sierpinski त्रिकोण और अन्य।

लेकिन शायद सबसे दिलचस्प भग्न प्राकृतिक हैं। प्राकृतिक भग्न प्रकृति में ऐसी वस्तुएं हैं जिनमें भग्न गुण होते हैं। और पहले से ही एक बड़ी सूची है। मैं सब कुछ सूचीबद्ध नहीं करूंगा, क्योंकि, शायद, मैं उन सभी को सूचीबद्ध नहीं कर सकता, लेकिन मैं कुछ के बारे में बताऊंगा। उदाहरण के लिए, जीवित प्रकृति में, ऐसे भग्न में हमारा संचार तंत्र और फेफड़े शामिल होते हैं। और पेड़ों के मुकुट और पत्ते भी। इसके अलावा यहां आप स्टारफिश, समुद्री अर्चिन, मूंगा, समुद्री गोले, कुछ पौधे, जैसे गोभी या ब्रोकोली शामिल कर सकते हैं। नीचे, वन्यजीवों से ऐसे कई प्राकृतिक भग्न स्पष्ट रूप से दिखाए गए हैं।

अगर हम विचार करें निर्जीव प्रकृति, फिर वहाँ दिलचस्प उदाहरणजीने से कहीं ज्यादा। बिजली, बर्फ के टुकड़े, बादल, सभी को ज्ञात, ठंढे दिनों में खिड़कियों पर पैटर्न, क्रिस्टल, पर्वत श्रृंखलाएँ - ये सभी निर्जीव प्रकृति से प्राकृतिक भग्न के उदाहरण हैं।

हमने भग्नों के उदाहरणों और प्रकारों पर विचार किया है। जहां तक ​​फ्रैक्टल्स के उपयोग की बात है, तो इनका उपयोग सबसे अधिक किया जाता है विभिन्न क्षेत्रोंज्ञान। भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं जब अरेखीय प्रक्रियाओं जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रक्रियाप्रसार-सोखना, लपटें, बादल, आदि। फ्रैक्टल्स का उपयोग झरझरा सामग्री के मॉडलिंग में किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी के मॉडल और सिस्टम का वर्णन करने के लिए किया जाता है। आंतरिक अंग(रक्त वाहिकाओं की प्रणाली)। कोच वक्र के निर्माण के बाद, समुद्र तट की लंबाई की गणना में इसका उपयोग करने का प्रस्ताव रखा गया था। इसके अलावा, रेडियो इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, दूरसंचार और यहां तक ​​कि अर्थशास्त्र में भी फ्रैक्टल का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। और, ज़ाहिर है, भग्न दृष्टि का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है समकालीन कलाऔर वास्तुकला। यहां फ्रैक्टल पेंटिंग का एक उदाहरण दिया गया है:

और इसलिए, इस पर मैं एक फ्रैक्टल जैसी असामान्य गणितीय घटना के बारे में अपनी कहानी को पूरा करने के बारे में सोचता हूं। आज हमने भग्न क्या है, यह कैसे प्रकट हुआ, भग्न के प्रकार और उदाहरणों के बारे में सीखा। और मैंने उनके आवेदन के बारे में भी बात की और कुछ भग्नों को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। मुझे आशा है कि आपने अद्भुत और मोहक भग्न वस्तुओं की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का आनंद लिया।