Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua metode variabel tambahan, Anda perlu:

1) kalikan bagian kiri dan kanan salah satu atau kedua persamaan dengan bilangan tertentu sehingga koefisien salah satu variabel dalam persamaan menjadi bilangan yang berlawanan;

2) lipat istilah demi istilah menerima persamaan dan menemukan nilai salah satu variabel;

3) substitusikan nilai yang ditemukan dari satu variabel ke dalam salah satu persamaan ini dan temukan nilai variabel kedua.

Jika dalam sistem yang diberikan koefisien untuk satu variabel adalah angka yang berlawanan, maka kita akan mulai menyelesaikan sistem segera dari poin 2).

Contoh. Memecahkan sistem persamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode penjumlahan.

Karena koefisien di y adalah bilangan yang berlawanan (-1 dan 1), kita mulai penyelesaiannya dari titik 2). Kami menambahkan persamaan suku demi suku dan mendapatkan persamaan 8x = 24. Persamaan apa pun dapat ditulis sebagai persamaan kedua sistem sistem asli.

Temukan x dan substitusikan nilainya ke persamaan ke-2.

Kami memecahkan persamaan ke-2: 9-y \u003d 14, maka y \u003d -5.

Mari lakukan verifikasi. Substitusikan nilai x = 3 dan y = -5 ke dalam sistem persamaan semula.

Catatan. Pengecekan dapat dilakukan secara lisan dan tidak dicatat jika cek tersebut tidak ditentukan dalam syarat.

Menjawab: (3; -5).

Jika persamaan pertama kita kalikan dengan (-2), maka koefisien variabel x akan menjadi bilangan yang berlawanan:

Kami menambahkan persamaan ini istilah demi istilah.

Kita akan memperoleh sistem persamaan yang ekuivalen, dimana persamaan ke-1 merupakan jumlah dari dua persamaan dari sistem sebelumnya, dan persamaan ke-2 dari sistem tersebut kita akan menulis persamaan ke-1 dari sistem asal ( biasanya menulis persamaan dengan koefisien yang lebih kecil):

Kami menemukan pada dari persamaan ke-1 dan nilai yang dihasilkan disubstitusikan ke persamaan ke-2.

Kami memecahkan persamaan terakhir dari sistem dan mendapatkan x = -2.

Menjawab: (-2; 1).

Mari kita buat koefisien untuk variabel pada angka yang berlawanan. Untuk melakukannya, kita mengalikan semua suku pada persamaan pertama dengan 5, dan semua suku pada persamaan ke-2 dengan 2.

Substitusikan nilai x=4 ke persamaan ke-2.

3 · 4 - 5y \u003d 27. Mari kita sederhanakan: 12 - 5y \u003d 27, maka -5y \u003d 15, dan y \u003d -3.

Menjawab: (4; -3).

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode substitusi, kita lakukan sebagai berikut:

1) kita menyatakan satu variabel melalui variabel lain dalam salah satu persamaan sistem (x melalui y atau y melalui x);

2) kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan lain dari sistem dan mendapatkan persamaan linier dengan satu variabel;

3) kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan dengan satu variabel dan menemukan nilai variabel ini;

4) nilai yang ditemukan dari variabel diganti ke dalam ekspresi (1) untuk variabel lain dan kami menemukan nilai variabel ini.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode substitusi.

Cepat X melalui y dari persamaan pertama. Kami mendapatkan: x \u003d 7 + y. Kami mengganti ekspresi (7 + y) sebagai ganti X ke persamaan ke-2 sistem.

Kami mendapat persamaan: 3 · (7+y)+2y=16. Ini adalah persamaan satu variabel pada. Kami menyelesaikannya. Mari kita buka tanda kurung: 21+3y+2y=16. Mengumpulkan istilah dengan variabel pada di sisi kiri, dan istilah bebas di sebelah kanan. Saat memindahkan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain, kita mengubah tanda suku menjadi kebalikannya.

Kami mendapatkan: 3 tahun + 2 tahun \u003d 16-21. Kami mempersembahkan seperti istilah di setiap bagian persamaan. 5y=-5. Kami membagi kedua sisi persamaan dengan koefisien variabel. y=-5:5; y=-1. Substitusikan nilai ini pada ke dalam ekspresi x=7+y dan temukan X. Kami mendapatkan: x=7-1; x=6. Sepasang nilai variabel x=6 dan y=-1 adalah solusi dari sistem ini.

Tuliskan: (6; -1). Jawaban: (6; -1). Lebih mudah untuk menulis argumen ini seperti yang ditunjukkan di bawah ini, yaitu, sistem persamaan - di sebelah kiri di bawah satu sama lain. Di sebelah kanan - perhitungan, penjelasan yang diperlukan, verifikasi solusi, dll.

Halaman 1 dari 1 1

I. Persamaan diferensial biasa

1.1. Konsep dasar dan definisi

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan variabel bebas x, fungsi yang diinginkan kamu dan turunan atau diferensialnya.

Secara simbolis persamaan diferensial ditulis seperti ini:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Suatu persamaan diferensial disebut biasa jika fungsi yang diinginkan bergantung pada satu variabel bebas.

Dengan menyelesaikan persamaan diferensial disebut fungsi yang mengubah persamaan ini menjadi identitas.

Orde persamaan diferensial adalah urutan turunan tertinggi dalam persamaan ini

Contoh.

1. Perhatikan persamaan diferensial orde pertama

Solusi persamaan ini adalah fungsi y = 5 ln x. Memang, dengan mengganti y" ke dalam persamaan, kita mendapatkan - sebuah identitas.

Dan ini berarti bahwa fungsi y = 5 ln x– adalah solusi dari persamaan diferensial ini.

2. Perhatikan persamaan diferensial orde dua y" - 5y" + 6y = 0. Fungsi adalah solusi dari persamaan ini.

Betulkah, .

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan, kita mendapatkan: , - identitas.

Dan ini berarti bahwa fungsi tersebut adalah solusi dari persamaan diferensial ini.

Integrasi persamaan diferensial adalah proses menemukan solusi untuk persamaan diferensial.

Solusi umum persamaan diferensial disebut fungsi dari bentuk , yang mencakup konstanta arbitrer independen sebanyak orde persamaan.

Solusi parsial dari persamaan diferensial disebut solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk nilai numerik yang berbeda dari konstanta arbitrer. Nilai konstanta arbitrer ditemukan pada nilai awal tertentu dari argumen dan fungsi.

Grafik solusi khusus persamaan diferensial disebut kurva integral.

Contoh

1. Temukan solusi khusus untuk persamaan diferensial orde pertama

xdx + ydy = 0, jika kamu= 4 at x = 3.

Keputusan. Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan

Komentar. Konstanta sembarang C yang diperoleh sebagai hasil integrasi dapat direpresentasikan dalam bentuk apa pun yang sesuai untuk transformasi lebih lanjut. Dalam hal ini, dengan mempertimbangkan persamaan kanonik lingkaran, akan lebih mudah untuk menyatakan konstanta dalam bentuk .

adalah solusi umum dari persamaan diferensial.

Solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal kamu = 4 at x = 3 ditemukan dari umum dengan mensubstitusi kondisi awal ke dalam solusi umum: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Substitusikan C=5 ke dalam solusi umum, kita peroleh x2+y2 = 5 2 .

Ini adalah solusi khusus dari persamaan diferensial yang diperoleh dari solusi umum di bawah kondisi awal yang diberikan.

2. Temukan solusi umum dari persamaan diferensial

Solusi persamaan ini adalah fungsi apa pun dari bentuk , di mana C adalah konstanta arbitrer. Memang, mensubstitusi ke dalam persamaan, kita memperoleh: , .

Oleh karena itu, persamaan diferensial ini memiliki set tak terbatas solusi, karena untuk nilai konstanta C yang berbeda, persamaan menentukan berbagai solusi persamaan.

Misalnya, dengan substitusi langsung, seseorang dapat memverifikasi bahwa fungsi adalah solusi dari persamaan .

Masalah di mana diperlukan untuk menemukan solusi khusus untuk persamaan y" = f(x, y) memenuhi kondisi awal y(x0) = y0, disebut masalah Cauchy.

solusi persamaan y" = f(x, y), memenuhi kondisi awal, y(x0) = y0, disebut solusi untuk masalah Cauchy.

Solusi dari masalah Cauchy memiliki arti geometris sederhana. Memang, menurut definisi ini, untuk memecahkan masalah Cauchy y" = f(x, y) mengingat bahwa y(x0) = y0, berarti menemukan kurva integral dari persamaan y" = f(x, y) yang melewati poin yang diberikan M0 (x0,y 0).

II. persamaan diferensial orde pertama

2.1. Konsep dasar

Persamaan diferensial orde pertama adalah persamaan yang berbentuk F(x,y,y") = 0.

Persamaan diferensial orde pertama termasuk turunan pertama dan tidak termasuk turunan orde tinggi.

persamaan y" = f(x, y) disebut persamaan orde pertama yang diselesaikan terhadap turunan.

Solusi umum persamaan diferensial orde pertama adalah fungsi dari bentuk , yang berisi satu konstanta arbitrer.

Contoh. Pertimbangkan persamaan diferensial orde pertama.

Solusi dari persamaan ini adalah fungsi .

Memang, mengganti persamaan ini dengan nilainya, kami memperoleh

yaitu 3x=3x

Oleh karena itu, fungsi adalah solusi umum persamaan untuk sembarang konstanta C.

Temukan solusi khusus dari persamaan ini yang memenuhi kondisi awal y(1)=1 Substitusi kondisi awal x=1, y=1 ke dalam solusi umum persamaan , kita peroleh dari mana C=0.

Jadi, kami memperoleh solusi khusus dari solusi umum dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan ini, nilai yang dihasilkan C=0 merupakan keputusan pribadi.

2.2. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan adalah persamaan yang berbentuk: y"=f(x)g(y) atau melalui diferensial , di mana f(x) dan g(y) diberikan fungsi.

Untuk mereka kamu, dimana , persamaan y"=f(x)g(y) setara dengan persamaan di mana variabel kamu hanya ada di sisi kiri, dan variabel x hanya ada di sisi kanan. Mereka berkata, "dalam persamaan y"=f(x)g(y memisahkan variabel.

Ketik persamaan disebut persamaan variabel terpisah.

Setelah mengintegrasikan kedua bagian persamaan pada x, kita mendapatkan G(y) = F(x) + C adalah solusi umum dari persamaan, di mana G(y) dan F(x) adalah beberapa antiturunan, masing-masing, dari fungsi dan f(x), C konstanta sewenang-wenang.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan

Contoh 1

selesaikan persamaannya y" = xy

Keputusan. Turunan dari suatu fungsi y" ubah dengan

kita pisahkan variabelnya

Mari kita integrasikan kedua bagian persamaan:

Contoh 2

2yy" = 1- 3x 2, jika y 0 = 3 pada x0 = 1

Ini adalah persamaan variabel terpisah. Mari kita nyatakan dalam diferensial. Untuk melakukan ini, kami menulis ulang persamaan ini dalam bentuk Dari sini

Mengintegrasikan kedua bagian dari persamaan terakhir, kami menemukan

Mengganti nilai awal x 0 = 1, y 0 = 3 Temukan Dengan 9=1-1+C, yaitu C = 9.

Oleh karena itu, integral parsial yang diinginkan adalah atau

Contoh 3

Tuliskan persamaan kurva yang melalui suatu titik M(2;-3) dan memiliki garis singgung dengan kemiringan

Keputusan. Sesuai dengan kondisi

Ini adalah persamaan variabel yang dapat dipisahkan. Membagi variabel, kita mendapatkan:

Mengintegrasikan kedua bagian persamaan, kita mendapatkan:

Dengan menggunakan kondisi awal, x=2 dan y=-3 Temukan C:

Oleh karena itu, persamaan yang diinginkan memiliki bentuk

2.3. Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan diferensial linier orde pertama adalah persamaan dengan bentuk y" = f(x)y + g(x)

di mana f(x) dan g(x)- beberapa fungsi yang diberikan.

Jika sebuah g(x)=0 maka persamaan diferensial linier disebut homogen dan berbentuk: y" = f(x)y

Jika maka persamaan y" = f(x)y + g(x) disebut heterogen.

Solusi umum persamaan diferensial homogen linier y" = f(x)y diberikan oleh rumus: dimana Dengan adalah konstanta arbitrer.

Secara khusus, jika C \u003d 0, maka solusinya adalah y=0 Jika linier persamaan homogen memiliki bentuk y" = ky di mana k adalah suatu konstanta, maka solusi umumnya memiliki bentuk: .

Solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen y" = f(x)y + g(x) diberikan oleh rumus ,

itu. sama dengan jumlah solusi umum persamaan homogen linier yang sesuai dan solusi khusus persamaan ini.

Untuk persamaan linier tak homogen berbentuk y" = kx + b,

di mana k dan b- beberapa angka dan solusi tertentu akan menjadi fungsi konstan. Oleh karena itu, solusi umum memiliki bentuk .

Contoh. selesaikan persamaannya y" + 2y +3 = 0

Keputusan. Kami mewakili persamaan dalam bentuk y" = -2y - 3 di mana k=-2, b=-3 Solusi umum diberikan oleh rumus .

Oleh karena itu, di mana C adalah konstanta arbitrer.

2.4. Penyelesaian persamaan diferensial linier orde pertama dengan metode Bernoulli

Menemukan Solusi Umum untuk Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama y" = f(x)y + g(x) direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan diferensial dengan variabel terpisah menggunakan substitusi y=uv, di mana kamu dan v- fungsi yang tidak diketahui dari x. Metode penyelesaian ini disebut metode Bernoulli.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama

y" = f(x)y + g(x)

1. Masukkan substitusi y=uv.

2. Bedakan persamaan ini y"=u"v + uv"

3. Pengganti kamu dan y" di persamaan yang diberikan: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) atau u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Kelompokkan suku-suku persamaan sehingga kamu keluarkan dari kurung:

5. Dari kurung siku, samakan dengan nol, carilah fungsinya

Ini adalah persamaan yang dapat dipisahkan:

Bagilah variabel dan dapatkan:

Di mana . .

6. Ganti nilai yang diterima v ke dalam persamaan (dari item 4):

dan temukan fungsinya Ini adalah persamaan yang dapat dipisahkan:

7. Tulis solusi umum dalam bentuk: , yaitu .

Contoh 1

Temukan solusi khusus untuk persamaan y" = -2y +3 = 0 jika y=1 pada x=0

Keputusan. Mari kita selesaikan dengan substitusi y=uv,.y"=u"v + uv"

Mengganti kamu dan y" ke dalam persamaan ini, kita dapatkan

Mengelompokkan suku kedua dan ketiga di ruas kiri persamaan, kita keluarkan faktor persekutuannya kamu di luar kurung

Kami menyamakan ekspresi dalam tanda kurung menjadi nol dan, setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan fungsinya v = v(x)

Kami mendapat persamaan dengan variabel terpisah. Kami mengintegrasikan kedua bagian dari persamaan ini: Temukan fungsinya v:

Substitusikan nilai yang dihasilkan v ke dalam persamaan Kita mendapatkan:

Ini adalah persamaan variabel terpisah. Kami mengintegrasikan kedua bagian persamaan: Mari kita cari fungsinya u = u(x,c) Mari kita cari solusi umum: Mari kita cari solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal y=1 pada x=0:

AKU AKU AKU. Persamaan diferensial orde tinggi

3.1. Konsep dasar dan definisi

Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan yang mengandung turunan tidak lebih tinggi dari orde kedua. Dalam kasus umum, persamaan diferensial orde kedua ditulis sebagai: F(x,y,y",y") = 0

Solusi umum persamaan diferensial orde kedua adalah fungsi dari bentuk , yang mencakup dua konstanta arbitrer C1 dan C2.

Solusi khusus dari persamaan diferensial orde kedua adalah solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk beberapa nilai konstanta arbitrer C1 dan C2.

3.2. Persamaan diferensial homogen linier orde dua dengan rasio konstan.

Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan disebut persamaan bentuk y" + py" + qy = 0, di mana p dan q adalah nilai-nilai konstan.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen orde kedua dengan koefisien konstan

1. Tulis persamaan diferensial dalam bentuk: y" + py" + qy = 0.

2. Tulis persamaan karakteristiknya, yang menunjukkan y" melalui r2, y" melalui r, kamu dalam 1: r2 + pr +q = 0

1. Metode substitusi: dari setiap persamaan sistem, kami menyatakan satu yang tidak diketahui dalam hal lain dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan kedua sistem.

Tugas. Memecahkan sistem persamaan:

Keputusan. Dari persamaan pertama sistem, kami menyatakan pada melalui X dan substitusikan ke persamaan kedua sistem. Ayo dapatkan sistemnya setara dengan aslinya.

Setelah membawa istilah tersebut, sistem akan mengambil bentuk:

Dari persamaan kedua kita menemukan: . Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan pada = 2 - 2X, kita mendapatkan pada= 3. Oleh karena itu, solusi dari sistem ini adalah pasangan bilangan .

2. metode penjumlahan aljabar : dengan menambahkan dua persamaan, dapatkan persamaan dengan satu variabel.

Tugas. Selesaikan persamaan sistem:

Keputusan. Mengalikan kedua ruas persamaan kedua dengan 2, kita mendapatkan sistem setara dengan aslinya. Menambahkan dua persamaan sistem ini, kita sampai pada sistem

Setelah mengurangi istilah serupa, sistem ini akan berbentuk: Dari persamaan kedua kita temukan . Substitusi nilai ini ke Persamaan 3 X + 4pada= 5, kita peroleh , di mana . Oleh karena itu, solusi dari sistem ini adalah pasangan bilangan .

3. Metode untuk memperkenalkan variabel baru: kami mencari beberapa ekspresi berulang dalam sistem, yang akan kami tunjukkan dengan variabel baru, sehingga menyederhanakan bentuk sistem.

Tugas. Memecahkan sistem persamaan:

Keputusan. Ayo tulis sistem ini sebaliknya:

Biarlah x + y = kamu, hu = v. Kemudian kita mendapatkan sistem

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi. Dari persamaan pertama sistem, kami menyatakan kamu melalui v dan substitusikan ke persamaan kedua sistem. Ayo dapatkan sistemnya itu.

Dari persamaan kedua sistem kita temukan v 1 = 2, v 2 = 3.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan kamu = 5 - v, kita mendapatkan kamu 1 = 3,
kamu 2 = 2. Maka kita memiliki dua sistem

Memecahkan sistem pertama, kita mendapatkan dua pasang angka (1; 2), (2; 1). Sistem kedua tidak memiliki solusi.

Latihan untuk pekerjaan mandiri

1. Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode substitusi.

Persamaan dan sistem persamaan derajat pertama

Dua angka atau beberapa ekspresi dihubungkan oleh tanda "=" form persamaan. Jika angka atau ekspresi yang diberikan sama untuk nilai huruf apa pun, maka kesetaraan seperti itu disebut identitas.

Misalnya, ketika dinyatakan bahwa untuk setiap sebuah sah:

sebuah + 1 = 1 + sebuah, di sini kesetaraan adalah sebuah identitas.

Persamaan disebut persamaan yang mengandung nomor tidak dikenal ditandai dengan huruf. Surat-surat ini disebut tidak dikenal. Mungkin ada lebih dari satu yang tidak diketahui dalam suatu persamaan.

Misalnya, dalam persamaan 2 X + pada = 7X– 3 dua tidak diketahui: X dan pada.

Ekspresi di sisi kiri persamaan (2 X + pada) disebut ruas kiri persamaan, dan ekspresi di ruas kanan persamaan (7 X– 3) disebut sisi kanannya.

Nilai dari yang tidak diketahui di mana persamaan menjadi identitas disebut keputusan atau akar persamaan.

Misalnya, jika dalam persamaan 3 X+ 7=13 bukannya tidak diketahui X substitusikan angka 2, kita dapatkan identitasnya. Oleh karena itu, nilai X= 2 memenuhi persamaan yang diberikan dan angka 2 adalah solusi atau akar dari persamaan yang diberikan.

Kedua persamaan tersebut disebut setara(atau setara), jika semua solusi dari persamaan pertama adalah solusi dari yang kedua dan sebaliknya, semua solusi dari persamaan kedua adalah solusi dari yang pertama. Ke persamaan setara juga termasuk persamaan yang tidak memiliki solusi.

Misalnya Persamaan 2 X– 5 = 11 dan 7 X+ 6 = 62 setara karena memiliki akar yang sama X= 8; persamaan X + 2 = X+ 5 dan 2 X + 7 = 2X ekuivalen karena keduanya tidak memiliki solusi.

Sifat persamaan setara

1. Untuk kedua sisi persamaan, Anda dapat menambahkan ekspresi apa pun yang masuk akal untuk semua nilai yang diizinkan tidak dikenal; persamaan yang dihasilkan akan setara dengan yang diberikan.

Contoh. Persamaan 2 X– 1 = 7 memiliki akar X= 4. Menambahkan 5 ke kedua sisi, kita mendapatkan persamaan 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 atau 2 X+ 4 = 12 yang memiliki akar yang sama X = 4.

2. Jika kedua bagian persamaan memiliki suku yang sama, maka keduanya dapat dihilangkan.

Contoh. Persamaan 9 x + 5X = 18 + 5X memiliki satu akar X= 2. Menghilangkan di kedua bagian 5 X, kita mendapatkan persamaan 9 X= 18 yang memiliki akar yang sama X = 2.

3. Suku apa pun dari persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan mengubah tandanya ke bagian yang berlawanan.

Contoh. Persamaan 7 X - 11 = 3 memiliki satu akar X= 2. Jika kita transfer 11 ke sisi kanan dengan tanda berlawanan, kita mendapatkan persamaan 7 X= 3 + 11 yang memiliki solusi yang sama X = 2.

4. Kedua bagian persamaan dapat dikalikan dengan ekspresi (angka) apa pun yang masuk akal dan bukan nol untuk semua nilai yang dapat diterima dari yang tidak diketahui, persamaan yang dihasilkan akan setara dengan yang ini.

Contoh. Persamaan 2 X - 15 = 10 – 3X memiliki akar X= 5. Mengalikan kedua ruas dengan 3, kita mendapatkan persamaan 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) atau 6 X – 45 =30 – 9X, yang memiliki akar yang sama X = 5.

5. Tanda-tanda semua suku persamaan dapat dibalik (ini setara dengan mengalikan kedua bagian dengan (-1)).

Contoh. Persamaan - 3 x + 7 = - 8 setelah kedua bagian dikalikan dengan (-1) akan berbentuk 3 X - 7 = 8. Persamaan pertama dan kedua memiliki akar tunggal X = 5.

6. Kedua ruas persamaan dapat dibagi dengan bilangan yang sama selain nol (yaitu tidak sama dengan nol).

Contoh..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> setara dengan yang ini karena memiliki dua akar yang sama: dan https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> setelah mengalikan kedua bagian dengan 14, akan terlihat seperti ini:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, di mana angka arbitrer, X- tidak diketahui, disebut persamaan derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui(atau linier persamaan dengan satu yang tidak diketahui).

Contoh. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Persamaan derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui selalu memiliki satu solusi; persamaan linier mungkin tidak memiliki solusi () atau memiliki jumlah tak terbatas (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

Keputusan. Kalikan semua suku dalam persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya, yaitu 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Kami mengelompokkan di satu bagian (kiri) istilah yang mengandung yang tidak diketahui, dan di bagian lain (kanan) - istilah gratis:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Membagi kedua bagian dengan (-22), kita dapatkan X = 7.

Sistem dua persamaan derajat pertama dengan dua yang tidak diketahui

Persamaan seperti https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> disebut persamaan derajat pertama dengan dua yang tidak diketahui x dan pada. Jika ketemu solusi umum dua atau lebih persamaan, kemudian mereka mengatakan bahwa persamaan ini membentuk suatu sistem, mereka biasanya ditulis satu di bawah yang lain dan digabungkan dengan kurung kurawal, misalnya.

Setiap pasangan yang tidak diketahui yang secara bersamaan memenuhi kedua persamaan sistem disebut solusi sistem. Memecahkan sistem- ini berarti menemukan semua solusi dari sistem ini atau menunjukkan bahwa ia tidak memilikinya. Kedua sistem persamaan tersebut disebut setara (setara), jika semua solusi dari salah satunya adalah solusi dari yang lain, dan sebaliknya, semua solusi yang lain adalah solusi dari yang pertama.

Sebagai contoh, solusi dari sistem adalah sepasang angka X= 4 dan pada= 3. Angka-angka ini juga satu-satunya solusi sistem . Oleh karena itu, sistem persamaan ini setara.

Cara menyelesaikan sistem persamaan

1. Metode penjumlahan aljabar. Jika koefisien untuk beberapa yang tidak diketahui di kedua persamaan sama dalam nilai absolut, maka dengan menambahkan kedua persamaan (atau mengurangkan satu dari yang lain), Anda bisa mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Dengan memecahkan persamaan ini, satu yang tidak diketahui ditentukan, dan dengan mensubstitusikannya ke dalam salah satu persamaan sistem, yang tidak diketahui kedua ditemukan.

Contoh: Memecahkan sistem persamaan: 1) .

Di sini koefisien di pada sama dalam nilai mutlak tetapi berlawanan tanda. Untuk mendapatkan persamaan dengan satu persamaan yang tidak diketahui kami menambahkan istilah sistem dengan istilah:

Nilai yang diterima X= 4 kita substitusikan ke dalam beberapa persamaan sistem, misalnya ke persamaan pertama, dan cari nilainya pada: .

Menjawab: X = 4; pada = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Metode substitusi. Dari persamaan sistem mana pun, kami menyatakan salah satu yang tidak diketahui dalam hal yang lain, dan kemudian kami mensubstitusi nilai yang tidak diketahui ini ke dalam persamaan yang tersisa. Pertimbangkan metode ini dengan contoh spesifik:

1) Memecahkan sistem persamaan. Mari kita nyatakan salah satu yang tidak diketahui dari persamaan pertama, misalnya X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Pengganti pada= 1 ke dalam ekspresi untuk X, kita mendapatkan .

Jawaban: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. Dalam hal ini, lebih mudah untuk mengekspresikan pada dari persamaan kedua:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Ganti nilainya X= 5 ke dalam ekspresi untuk pada, kami mendapatkan https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Selesaikan sistem persamaan https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Mengganti nilai ini ke persamaan kedua, kita dapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui pada: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Jawaban: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Mari kita tulis ulang sistemnya sebagai: . Kami mengganti yang tidak diketahui dengan mengatur , kami mendapatkan sistem linier ..gif" width="11 height=17" height="17"> ke dalam persamaan kedua, kita mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui:

Mengganti nilai v ke dalam ekspresi untuk t, kami mendapatkan: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> kami menemukan .

Jawaban: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, di mana koefisien untuk yang tidak diketahui, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, maka sistem memiliki satu-satunya keputusan.

B) Jika https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, maka sistem memiliki set tak terbatas solusi.

Contoh..gif" width="47" height="48 src=">), sehingga sistem memiliki solusi unik.

Betulkah, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Contoh..gif" width="91 height=48" height="48"> atau setelah reduksi , maka sistem tidak memiliki solusi.

Contoh..gif" width="116 height=48" height="48"> atau setelah diperpendek , sehingga sistem memiliki banyak solusi.

Persamaan yang Mengandung Modulus

Saat memecahkan persamaan yang berisi modul, konsep modul digunakan bilangan asli. modul (nilai mutlak ) bilangan asli sebuah bilangan itu sendiri disebut jika dan berlawanan nomor (– sebuah), jika https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Jadi, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, karena angka 3 > 0; , karena angkanya 5< 0, поэтому ; , sebagai (); , sebagai .

Properti modul:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Mempertimbangkan bahwa ekspresi di bawah modul dapat mengambil dua nilai https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, maka persamaan ini direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan: dan atau dan ..gif" width="52" height="20 src=">. Mari kita lakukan pemeriksaan dengan mengganti setiap nilai X ke dalam kondisi: jika https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Jawaban: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Contoh..gif" width="408" height="55">

Jawaban: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Contoh..gif" width="137" height="20"> dan . Sisihkan nilai yang dihasilkan X pada sumbu numerik, memecahnya menjadi interval:

Jika https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, karena dalam interval ini, kedua ekspresi berada di bawah tanda modul kurang dari nol, dan, menghapus modul, kita harus mengubah tanda ekspresi menjadi kebalikannya. Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Nilai batas dapat dimasukkan dalam rentang pertama dan kedua, sama seperti nilai dapat dimasukkan dalam rentang kedua dan ketiga. Dalam interval kedua, persamaan kami akan berbentuk: - ekspresi ini tidak masuk akal, yaitu, pada interval ini, persamaan solusi tidak memiliki solusi di bawah tanda modulus, kami menyamakannya dengan nol. Kami menemukan akar dari semua ekspresi, dengan

Spasi berikutnya https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, di mana a, b, c adalah bilangan arbitrer ( sebuah 0), dan x adalah variabel yang disebut kotak. Untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda perlu menghitung diskriminan D = b 2 – 4ac. Jika sebuah D> 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua solusi (akar): dan .

Jika sebuah D= 0, persamaan kuadrat jelas memiliki dua solusi identik(kelipatan dari akar).

Jika sebuah D< 0, квадратное уравнение не имеет akar nyata.

Jika salah satu koefisien b atau c nol, maka persamaan kuadrat dapat diselesaikan tanpa menghitung diskriminan:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(kapak+ b)=0

2)kapak 2 + c = 0 kapak 2 = – c; jika https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Ada ketergantungan antara koefisien dan akar persamaan kuadrat, yang dikenal sebagai rumus atau teorema Vieta:

dua persegi persamaan adalah persamaan bentuk https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, kemudian dari persamaan asli kita mendapatkan persamaan kuadrat, dari yang kita temukan pada, lalu X, menurut rumus .

Contoh. selesaikan persamaannya . Kami membawa ekspresi di kedua bagian persamaan ke faktor persekutuan..gif" width="212" height="29 src=">. Kami memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan: , dalam persamaan ini sebuah= 1, b= –2,c= -15, maka diskriminannya sama dengan: D = b 2 – 4ac= 64. Akar persamaan: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Kita buat penggantinya. Maka persamaannya menjadi adalah persamaan kuadrat, dimana sebuah= 1, b= – 4,c= 3, diskriminannya adalah: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Akar-akar persamaan kuadrat masing-masing sama: dan .

Akar persamaan asli , , , ..gif" width="78" height="51">, di mana PN(x) dan Pm(x) adalah polinomial derajat n dan m masing-masing. Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya tidak, tetapi persamaan polinomial seperti itu terutama diperoleh hanya setelah transformasi yang panjang, transisi dari satu persamaan ke persamaan lainnya. Oleh karena itu, dalam proses penyelesaian, setiap persamaan diganti dengan persamaan baru, dan persamaan baru mungkin memiliki akar baru. Untuk mengikuti perubahan pada akar ini, untuk mencegah hilangnya akar dan untuk dapat menolak yang ekstra adalah tugas keputusan tepat persamaan.

Jelas bahwa jalan terbaik- setiap kali mengganti satu persamaan dengan persamaan yang setara, maka akar persamaan terakhir akan menjadi akar dari persamaan aslinya. Namun, seperti jalan yang sempurna sulit untuk diterapkan dalam praktik. Sebagai aturan, persamaan diganti dengan konsekuensinya, yang tidak selalu sama dengan itu, sedangkan semua akar dari persamaan pertama adalah akar dari yang kedua, yaitu, hilangnya akar tidak terjadi, tetapi yang asing mungkin muncul (atau mungkin tidak muncul). Dalam kasus ketika setidaknya satu kali dalam proses transformasi, persamaan diganti dengan yang tidak sama, kita perlu pemeriksaan wajib diperoleh akar.

Jadi, jika keputusan itu dilakukan tanpa analisis kesetaraan dan sumber kejadian akar asing, periksa adalah bagian wajib solusi. Tanpa verifikasi, solusi tidak akan dianggap lengkap, bahkan jika akar asing belum muncul. Ketika mereka muncul dan tidak dibuang, maka keputusan ini salah.

Berikut adalah beberapa sifat polinomial:

Akar polinomial sebut nilainya x, yang polinomialnya sama dengan nol. Setiap polinomial berderajat n memiliki tepat n akar. Jika persamaan polinomial ditulis sebagai , maka , di mana x 1, x 2,…, xn adalah akar-akar persamaan.

Setiap polinomial memiliki derajat genap dengan koefisien real setidaknya ada satu akar real, tetapi secara umum selalu memiliki angka ganjil akar nyata. Sebuah polinomial dengan derajat genap mungkin tidak memiliki akar real, dan jika ada, jumlahnya genap.

Sebuah polinomial dalam keadaan apapun dapat didekomposisi menjadi faktor linier dan trinomial persegi dengan diskriminan negatif. Jika kita tahu akarnya x 1, maka PN(x) = (x -x 1) pn- 1(x).

Jika sebuah PN(x) = 0 adalah persamaan derajat genap, maka selain metode memfaktorkannya menjadi faktor, Anda dapat mencoba memasukkan perubahan variabel, yang dengannya derajat persamaan akan berkurang.

Contoh. Selesaikan persamaan:

Persamaan derajat ketiga (ganjil) ini berarti tidak mungkin memasukkan variabel bantu yang akan menurunkan derajat persamaan. Itu harus diselesaikan dengan memfaktorkan sisi kiri, yang pertama-tama kita buka tanda kurung, dan kemudian tulis dalam bentuk standar.

Kita mendapatkan: x 3 + 5x – 6 = 0.

Ini adalah persamaan tereduksi (koefisien di derajat tertinggi sama dengan satu), jadi kita mencari akarnya di antara faktor-faktor suku bebas - 6. Ini adalah bilangan ±1, ±2, ±3, ±6. Mengganti x= 1 ke dalam persamaan, kita melihat bahwa x= 1 adalah akarnya, jadi polinomialnya x 3 + 5x–6 = 0 dibagi ( x- 1) tidak ada residu. Mari kita lakukan pembagian ini:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2- x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

Jadi x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+ x + 6) = 0

Persamaan pertama memberikan akar x= 1, yang sudah dipilih, dan dalam persamaan kedua D< 0, tidak memiliki solusi nyata. Karena ODZ dari persamaan ini , dimungkinkan untuk tidak memeriksa.

Contoh..gif" width="52" height="21 src=">. Jika Anda mengalikan faktor pertama dengan yang ketiga, dan yang kedua dengan yang keempat, maka produk ini akan memiliki bagian yang sama, yang bergantung pada x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Biarlah x 2 + 4x = kamu, maka kita tulis persamaan dalam bentuk ( kamu – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Persamaan kuadrat ini memiliki solusi: kamu 1 = 32, kamu 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Jika kita mereduksi persamaan ini menjadi penyebut yang sama, sebuah polinomial derajat keempat akan muncul di pembilangnya. Jadi, diperbolehkan untuk mengubah variabel, yang akan menurunkan derajat persamaan. Oleh karena itu, persamaan ini tidak perlu segera direduksi menjadi penyebut yang sama. Di sini Anda dapat melihat bahwa di sebelah kiri adalah jumlah kuadrat. Jadi, Anda dapat menambahkannya ke persegi penuh jumlah atau perbedaan. Faktanya, kurangi dan tambahkan dua kali produk dari alas kuadrat ini: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, lalu kamu 2 + 18kamu– 40 = 0. Menurut teorema Vieta kamu 1 = 2; kamu 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, dan yang kedua D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Jawaban: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Kami mendapatkan persamaan kuadrat sebuah(kamu 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Persamaan irasional

irasional disebut persamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar (akar ) atau di bawah tanda elevasi ke derajat pecahan()..gif" width="120" height="32"> dan memiliki domain definisi yang sama dari yang tidak diketahui. Saat mengkuadratkan persamaan pertama dan kedua, kita mendapatkan persamaan yang sama . Solusi dari persamaan ini adalah solusi dari kedua persamaan irasional.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau publik lainnya acara penting.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.