persamaan eksponensial. Seperti yang Anda ketahui, PENGGUNAAN termasuk: persamaan sederhana. Kami telah mempertimbangkan beberapa - ini adalah logaritmik, trigonometri, rasional. Berikut adalah persamaan eksponensial.

Dalam artikel baru-baru ini, kami bekerja dengan ekspresi eksponensial, ini akan berguna. Persamaan itu sendiri diselesaikan dengan sederhana dan cepat. Anda hanya perlu mengetahui sifat-sifat eksponen dan ... Tentang iniLebih jauh.

Kami mencantumkan properti eksponen:

Kekuatan nol dari angka apa pun sama dengan satu.

Konsekuensi dari properti ini:

Sedikit lagi teori.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang mengandung variabel dalam eksponen, yaitu persamaan ini berbentuk:

f(x) ekspresi yang berisi variabel

Metode untuk menyelesaikan persamaan eksponensial

1. Sebagai hasil transformasi, persamaan dapat direduksi menjadi bentuk:

Kemudian kami menerapkan properti:

2. Saat mendapatkan persamaan bentuk sebuah f (x) = b definisi logaritma yang digunakan, kita peroleh:

3. Sebagai hasil dari transformasi, Anda bisa mendapatkan persamaan bentuk:

Logaritma diterapkan:

Nyatakan dan temukan x.

Dalam tugas GUNAKAN opsi itu akan cukup untuk menggunakan metode pertama.

Artinya, perlu untuk menyajikan bagian kiri dan kanan sebagai derajat dengan basis yang sama, dan kemudian kami menyamakan indikator dan menyelesaikan yang biasa persamaan linier.

Pertimbangkan persamaan:

Carilah akar dari Persamaan 4 1-2x = 64.

Hal ini diperlukan untuk memastikan bahwa di sebelah kiri dan bagian kanan adalah ekspresi eksponensial dengan satu basis. Kami dapat mewakili 64 sebagai 4 pangkat 3. Kami mendapatkan:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Penyelidikan:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Jawaban 1

Tentukan akar persamaan 3 x-18 = 1/9.

Diketahui bahwa

Jadi 3 x-18 = 3 -2

Basisnya sama, kita bisa menyamakan indikatornya:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Penyelidikan:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Jawaban: 16

Cari akar persamaan:

Mari kita nyatakan pecahan 1/64 sebagai seperempat pangkat ketiga:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Penyelidikan:

Jawaban: 11

Cari akar persamaan:

Mari kita nyatakan 1/3 sebagai 3 -1, dan 9 sebagai 3 kuadrat, kita mendapatkan:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 -1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Sekarang kita bisa menyamakan indikatornya:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Penyelidikan:

Jawaban: 5

26654. Temukan akar persamaan:

Keputusan:

Jawaban: 8.75

Memang, untuk tingkat apa pun yang kita naikkan nomor positif a, tidak mungkin kita mendapatkan bilangan negatif.

Persamaan eksponensial apa pun setelah transformasi yang sesuai direduksi menjadi satu atau lebih persamaan sederhana.Di bagian ini, kami juga akan mempertimbangkan solusi dari beberapa persamaan, jangan sampai ketinggalan!Itu saja. Semoga sukses untuk Anda!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Peralatan:

• komputer,
• proyektor multimedia,
• layar,
• Lampiran 1(slide presentasi di PowerPoint) “Metode untuk menyelesaikan persamaan eksponensial”
• Lampiran 2(Penyelesaian persamaan tipe "Tiga" basis yang berbeda derajat" di Word)
• Lampiran 3(handout di Word untuk kerja praktek).
• Lampiran 4(handout di Word untuk pekerjaan rumah).

Selama kelas

1. Tahap organisasi

• pesan topik pelajaran (ditulis di papan tulis),
• perlunya pelajaran generalisasi di kelas 10-11:

Tahap mempersiapkan siswa untuk asimilasi aktif pengetahuan

Pengulangan

Definisi.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang mengandung variabel dalam eksponen (jawaban siswa).

Catatan guru. Persamaan eksponensial termasuk dalam kelas persamaan transendental. Nama yang sulit diucapkan ini menunjukkan bahwa persamaan seperti itu, secara umum, tidak dapat diselesaikan dalam bentuk rumus.

Mereka hanya dapat diselesaikan dengan metode numerik pada komputer. Tapi bagaimana dengan soal ujian? Seluruh triknya adalah pemeriksa menyusun masalah sedemikian rupa sehingga hanya menerima solusi analitis. Dengan kata lain, Anda dapat (dan harus!) melakukan transformasi identik yang mengurangi persamaan eksponensial yang diberikan menjadi persamaan eksponensial paling sederhana. Ini adalah persamaan paling sederhana dan disebut: persamaan eksponensial paling sederhana. Ini terpecahkan logaritma.

Situasi dengan solusi persamaan eksponensial menyerupai perjalanan melalui labirin, yang secara khusus ditemukan oleh penyusun masalah. Dari pertimbangan-pertimbangan yang sangat umum ini, berikut rekomendasi-rekomendasi yang cukup spesifik.

Untuk solusi sukses persamaan eksponensial diperlukan:

1. Tidak hanya secara aktif mengetahui semua identitas eksponensial, tetapi juga menemukan set nilai variabel di mana identitas ini didefinisikan, sehingga ketika menggunakan identitas ini, seseorang tidak memperoleh akar yang tidak perlu, dan terlebih lagi, tidak kehilangan solusi persamaan.

2. Secara aktif mengetahui semua identitas eksponensial.

3. Jelas, secara rinci dan tanpa kesalahan, melakukan transformasi matematis persamaan (memindahkan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain, tidak lupa mengubah tanda, mengurangi pecahan ke penyebut yang sama, dll.). Ini disebut budaya matematika. Pada saat yang sama, perhitungan itu sendiri harus dilakukan secara otomatis dengan tangan, dan kepala harus memikirkan utas panduan umum dari solusi. Transformasi harus dilakukan dengan hati-hati dan sedetail mungkin. Hanya ini yang akan menjamin solusi yang benar dan bebas kesalahan. Dan ingat: kecil kesalahan aritmatika hanya dapat membuat persamaan transendental, yang pada prinsipnya tidak dapat diselesaikan secara analitis. Ternyata Anda tersesat dan berlari ke dinding labirin.

4. Mengetahui metode pemecahan masalah (yaitu, mengetahui semua jalur melalui labirin solusi). Untuk orientasi yang benar di setiap tahap, Anda harus (secara sadar atau intuitif!):

• mendefinisikan jenis persamaan;
• ingat jenis yang sesuai metode solusi tugas.

Tahap generalisasi dan sistematisasi materi yang dipelajari.

Guru, bersama-sama dengan siswa, dengan keterlibatan komputer, melakukan ikhtisar pengulangan semua jenis persamaan eksponensial dan metode untuk menyelesaikannya, menyusun skema umum. (Menggunakan tutorial program komputer L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", penulis presentasi dalam PowerPoint - T.N. Kuptsov.)

Beras. satu. Gambar tersebut menunjukkan skema umum dari semua jenis persamaan eksponensial.

Seperti yang dapat dilihat dari diagram ini, strategi untuk menyelesaikan persamaan eksponensial adalah dengan mereduksi persamaan eksponensial ini menjadi persamaan, pertama-tama, dengan basis yang sama , dan kemudian - dan dengan eksponen yang sama.

Setelah memperoleh persamaan dengan basis dan eksponen yang sama, Anda mengganti derajat ini dengan variabel baru dan mendapatkan persamaan aljabar sederhana (biasanya, rasional pecahan atau kuadrat) sehubungan dengan variabel baru ini.

Dengan memecahkan persamaan ini dan membuat substitusi terbalik, Anda mendapatkan satu set persamaan eksponensial sederhana yang diselesaikan dalam pandangan umum menggunakan logaritma.

Persamaan berdiri terpisah di mana hanya produk dari kekuatan (swasta) terjadi. Dengan menggunakan identitas eksponensial, persamaan-persamaan ini dapat segera diturunkan ke satu basis, khususnya, ke persamaan eksponensial yang paling sederhana.

Pertimbangkan bagaimana persamaan eksponensial dengan tiga basis derajat yang berbeda diselesaikan.

(Jika guru memiliki program komputer pengajaran oleh L.Ya. Borevsky "Kursus Matematika - 2000", maka tentu saja kami bekerja dengan disk, jika tidak, Anda dapat mencetak jenis persamaan ini untuk setiap meja darinya, disajikan di bawah ini .)

Beras. 2. Rencana solusi persamaan.

Beras. 3. Mulai menyelesaikan persamaan

Beras. 4. Akhir dari solusi persamaan.

Melakukan kerja praktek

Tentukan jenis persamaan dan selesaikan.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Menyimpulkan pelajaran

Menilai pelajaran.

akhir pelajaran

Untuk guru

Skema jawaban kerja praktek.

Latihan: pilih persamaan dari daftar persamaan jenis yang ditentukan(Masukkan nomor jawaban pada tabel):

1. Tiga basis yang berbeda
2. Dua basis berbeda - eksponen berbeda
3. Basis kekuatan - kekuatan satu angka
4. Basa yang sama, eksponen yang berbeda
5. Basis eksponen yang sama - eksponen yang sama
6. Produk dari kekuatan
7. Dua basis derajat yang berbeda - indikator yang sama
8. Persamaan eksponensial paling sederhana

1. (produk dari kekuatan)

2. (basis yang sama - eksponen yang berbeda)

Pada tahap persiapan ujian akhir, siswa SMA perlu meningkatkan pengetahuannya pada topik “Persamaan Eksponensial”. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menyebabkan kesulitan tertentu bagi anak sekolah. Oleh karena itu, siswa sekolah menengah, terlepas dari tingkat persiapannya, perlu menguasai teori dengan cermat, menghafal rumus, dan memahami prinsip penyelesaian persamaan tersebut. Setelah belajar untuk mengatasi jenis tugas ini, lulusan akan dapat mengandalkan nilai yang tinggi ketika lulus ujian matematika.

Bersiaplah untuk ujian ujian bersama dengan Shkolkovo!

Ketika mengulang materi yang dibahas, banyak siswa dihadapkan pada masalah menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu tersedia, dan pilihannya informasi yang perlu pada topik di Internet membutuhkan waktu lama.

Portal pendidikan Shkolkovo mengundang siswa untuk menggunakan basis pengetahuan kami. Kami menerapkan sepenuhnya metode baru persiapan untuk ujian akhir. Belajar di situs kami, Anda akan dapat mengidentifikasi kesenjangan dalam pengetahuan dan memperhatikan dengan tepat tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan terbesar.

Para guru "Shkolkovo" mengumpulkan, mensistematisasikan, dan mempresentasikan semua yang diperlukan untuk kesuksesan lulus ujian materi dalam bentuk yang paling sederhana dan mudah diakses.

Definisi dan rumus utama disajikan di bagian "Referensi Teoretis".

Untuk asimilasi materi yang lebih baik, kami sarankan Anda berlatih tugas. Tinjau dengan cermat contoh persamaan eksponensial dengan solusi yang disajikan di halaman ini untuk memahami algoritme penghitungan. Setelah itu, lanjutkan dengan tugas di bagian "Katalog". Anda dapat memulai dengan tugas yang paling mudah atau langsung menyelesaikan persamaan eksponensial kompleks dengan beberapa yang tidak diketahui atau . Basis data latihan di situs web kami terus ditambah dan diperbarui.

Contoh-contoh dengan indikator yang menyebabkan Anda kesulitan dapat ditambahkan ke "Favorit". Sehingga Anda dapat dengan cepat menemukannya dan mendiskusikan solusinya dengan guru.

Agar berhasil lulus ujian, belajarlah di portal Shkolkovo setiap hari!

Pada artikel ini, Anda akan berkenalan dengan semua jenis persamaan eksponensial dan algoritme untuk menyelesaikannya, belajar mengenali tipe apa persamaan eksponensial, yang perlu Anda pecahkan, dan terapkan metode yang sesuai untuk menyelesaikannya. Solusi rinci dari contoh persamaan eksponensial setiap jenis dapat Anda lihat di TUTORIAL VIDEO yang sesuai.

Persamaan eksponensial adalah persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen.

Sebelum Anda mulai menyelesaikan persamaan eksponensial, ada baiknya melakukan beberapa hal berikut: tindakan awal , yang dapat sangat memudahkan jalannya solusinya. Ini adalah tindakan:

1. Faktorkan semua basis pangkat menjadi faktor prima.

2. Tunjukkan akar-akarnya sebagai derajat.

3. Pecahan desimal direpresentasikan dalam bentuk biasa.

4. angka campuran tulis sebagai pecahan biasa.

Anda akan menyadari manfaat dari tindakan ini dalam proses penyelesaian persamaan.

Pertimbangkan jenis utama persamaan eksponensial dan algoritma untuk solusi mereka.

1. Ketik persamaan

Persamaan ini setara dengan persamaan

Tonton VIDEO ini untuk menyelesaikan persamaan jenis ini.

2. Ketik persamaan

Dalam persamaan jenis ini:

b) koefisien untuk yang tidak diketahui dalam eksponen adalah sama.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda perlu mengurung pengali hingga derajat terkecil.

Contoh penyelesaian persamaan jenis ini:

lihat VIDEOnya.

3. Ketik persamaan

Jenis persamaan ini berbeda dalam hal

a) semua derajat memiliki alas yang sama

b) koefisien untuk yang tidak diketahui dalam eksponen berbeda.

Persamaan jenis ini diselesaikan dengan menggunakan perubahan variabel. Sebelum memperkenalkan pengganti, sebaiknya singkirkan suku bebas dalam eksponen. (, , dll)

Lihat di VIDEO untuk solusi dari jenis persamaan ini:

4. persamaan homogen jenis

Ciri khas persamaan homogen:

a) semua monomial memiliki derajat yang sama,

b) suku bebas sama dengan nol,

c) persamaan mengandung kekuatan dengan dua basis yang berbeda.

Persamaan homogen diselesaikan dengan algoritma serupa.

Untuk menyelesaikan jenis persamaan ini, bagi kedua ruas persamaan dengan (dapat dibagi dengan atau )

Perhatian! Saat membagi sisi kanan dan kiri persamaan dengan ekspresi yang mengandung yang tidak diketahui, Anda bisa kehilangan akarnya. Oleh karena itu, perlu untuk memeriksa apakah akar persamaan yang digunakan untuk membagi kedua bagian persamaan tersebut adalah akar dari persamaan aslinya.

Dalam kasus kami, karena ekspresi tidak sama dengan nol untuk nilai apa pun yang tidak diketahui, kami dapat membaginya tanpa rasa takut. Kami membagi sisi kiri persamaan dengan istilah ekspresi ini dengan istilah. Kita mendapatkan:

Kurangi pembilang dan penyebut pecahan kedua dan ketiga:

Mari kita perkenalkan penggantinya:

Dan judul="(!LANG:t>0">при всех !} nilai yang diizinkan tidak dikenal.

Mendapatkan persamaan kuadrat:

Selesaikan persamaan kuadrat, temukan nilai-nilainya, yang memenuhi kondisi title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Tonton di VIDEO solusi terperinci persamaan homogen:

5. Ketik persamaan

Saat menyelesaikan persamaan ini, kita akan melanjutkan dari fakta bahwa title="(!LANG:f(x)>0">!}

Kesetaraan asli berlaku dalam dua kasus:

1. Jika , karena 1 sama dengan 1 pangkat apa pun,

2. Dalam dua kondisi:

Judul="(!LANG:delim(lbrace)(matriks(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Tonton VIDEO untuk solusi terperinci dari persamaan

Apa itu persamaan eksponensial? Contoh.

Jadi, persamaan eksponensial ... Pameran unik baru di pameran umum kami tentang berbagai persamaan!) Seperti yang hampir selalu terjadi, kata kunci dari setiap persamaan baru istilah matematika adalah kata sifat yang sesuai yang mencirikannya. Jadi di sini juga. kata kunci dalam istilah "persamaan eksponensial" adalah kata "demonstratif". Apa artinya? Kata ini berarti bahwa yang tidak diketahui (x) adalah dalam hal derajat apapun. Dan hanya di sana! Ini sangat penting.

Misalnya, persamaan sederhana ini:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Atau bahkan monster ini:

2 dosa x = 0,5

Tolong perhatikan satu hal penting: di alasan derajat (bawah) - hanya angka. Tapi di indikator derajat (atas) - berbagai ekspresi dengan x. Benar-benar ada.) Semuanya tergantung pada persamaan spesifik. Jika, tiba-tiba, x keluar dalam persamaan di tempat lain, selain indikator (katakanlah, 3 x \u003d 18 + x 2), maka persamaan seperti itu sudah menjadi persamaan tipe campuran . Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk diselesaikan. Oleh karena itu, dalam pelajaran ini kami tidak akan mempertimbangkan mereka. Untuk menyenangkan para siswa.) Di sini kita hanya akan mempertimbangkan persamaan eksponensial dalam bentuk "murni".

Secara umum, bahkan persamaan eksponensial murni tidak diselesaikan dengan jelas dalam semua kasus dan tidak selalu. Tetapi di antara beragam persamaan eksponensial, ada jenis tertentu yang dapat dan harus diatasi. Jenis persamaan inilah yang akan kami pertimbangkan bersama Anda. Dan kami pasti akan menyelesaikan contohnya.) Jadi kami menetap dengan nyaman dan - di jalan! Seperti dalam "penembak" komputer, perjalanan kita akan melewati level.) Dari dasar ke sederhana, dari sederhana ke sedang dan dari menengah ke kompleks. Sepanjang jalan, Anda juga akan menunggu level rahasia - trik dan metode untuk memecahkan contoh non-standar. Yang paling tidak akan Anda baca buku pelajaran sekolah… Yah, pada akhirnya, tentu saja, menunggumu Bos terakhir seperti rumah.)

Level 0. Apa persamaan eksponensial paling sederhana? Solusi persamaan eksponensial paling sederhana.

Untuk memulainya, mari kita lihat beberapa dasar yang jujur. Anda harus mulai dari suatu tempat, bukan? Misalnya, persamaan ini:

2 x = 2 2

Bahkan tanpa teori apapun, dengan logika sederhana dan kewajaran jelas x = 2. Tidak ada cara lain kan? Tidak ada nilai x lain yang bagus ... Sekarang mari kita alihkan perhatian kita ke entri keputusan persamaan eksponensial keren ini:

2 x = 2 2

X = 2

Apa yang terjadi pada kita? Dan berikut ini terjadi. Kami, pada kenyataannya, mengambil dan ... hanya membuang pangkalan yang sama (berdua)! Benar-benar dibuang. Dan, apa yang menyenangkan, tepat sasaran!

Ya, memang, jika dalam persamaan eksponensial di kiri dan kanan adalah sama angka dalam derajat berapa pun, maka angka-angka ini dapat dibuang dan cukup disamakan dengan eksponen. Matematika memungkinkan.) Dan kemudian Anda dapat bekerja secara terpisah dengan indikator dan memecahkan persamaan yang lebih sederhana. Ini bagus, kan?

itu ide kunci solusi dari persamaan eksponensial (ya, persis apa saja!) : melalui transformasi identik perlu untuk memastikan bahwa kiri dan kanan dalam persamaan adalah sama bilangan dasar dalam berbagai derajat. Dan kemudian Anda dapat dengan aman menghapus basis yang sama dan menyamakan eksponennya. Dan bekerja dengan persamaan yang lebih sederhana.

Dan sekarang kita ingat aturan besi: adalah mungkin untuk menghilangkan basa yang sama jika dan hanya jika dalam persamaan di kiri dan kanan bilangan basanya adalah dalam kesepian yang sombong.

Apa artinya, dalam keterasingan yang indah? Ini berarti tanpa tetangga dan koefisien. Aku jelaskan.

Misalnya, dalam persamaan

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Anda tidak dapat menghapus kembar tiga! Mengapa? Karena di sebelah kiri kita tidak hanya memiliki tiga derajat kesepian, tapi kerja 3 3x-5 . Tiga kali lipat tambahan menghalangi: koefisien, Anda mengerti.)

Hal yang sama dapat dikatakan tentang persamaan

5 3 x = 5 2 x +5 x

Di sini juga, semua pangkalan adalah sama - lima. Tetapi di sebelah kanan kita tidak memiliki satu derajat lima: ada jumlah derajat!

Singkatnya, kami memiliki hak untuk menghapus basis yang sama hanya jika persamaan eksponensial kami terlihat seperti ini dan hanya ini:

sebuahf (x) = sebuah g (x)

Jenis persamaan eksponensial ini disebut yang paling sederhana. Atau secara ilmiah, resmi . Dan tidak peduli apa persamaan bengkok di depan kita, kita, dengan satu atau lain cara, akan menguranginya menjadi bentuk (kanonik) yang sederhana. Atau, dalam beberapa kasus, untuk agregat persamaan semacam ini. Maka persamaan kita yang paling sederhana dapat ditulis ulang dalam bentuk umum sebagai berikut:

F(x) = g(x)

Dan itu saja. Ini akan transformasi setara. Pada saat yang sama, secara mutlak semua ekspresi dengan x dapat digunakan sebagai f(x) dan g(x). Apa pun.

Mungkin seorang siswa yang sangat ingin tahu akan bertanya: mengapa kita begitu mudah dan begitu saja membuang basis yang sama di kiri dan kanan dan menyamakan eksponennya? Intuisi demi intuisi, tapi tiba-tiba, dalam beberapa persamaan dan untuk beberapa alasan pendekatan ini ternyata salah? Apakah selalu legal untuk melempar pangkalan yang sama? Sayangnya, untuk jawaban matematis yang ketat untuk ini minat Tanya Anda harus masuk cukup dalam dan serius teori umum perilaku perangkat dan fungsi. Dan sedikit lebih spesifik - dalam fenomena monoton yang ketat. Secara khusus, monotonisitas yang ketat Fungsi eksponensialkamu= sebuah x. Karena itu Fungsi eksponensial dan sifat-sifatnya mendasari solusi persamaan eksponensial, ya.) Jawaban terperinci untuk pertanyaan ini akan diberikan dalam pelajaran khusus terpisah yang ditujukan untuk memecahkan kompleks persamaan non-standar menggunakan monotonisitas fungsi yang berbeda.)

Untuk menjelaskan hal ini secara rinci sekarang hanya untuk mengambil otak anak sekolah rata-rata dan menakut-nakuti dia sebelumnya dengan teori kering dan berat. Saya tidak akan melakukan ini.) Untuk utama kami saat ini tugas - belajar memecahkan persamaan eksponensial! Yang paling sederhana! Karena itu, sampai kita berkeringat dan dengan berani membuang alasan yang sama. Ini bisa, ambil kata-kata saya untuk itu!) Dan kemudian kita sudah menyelesaikan persamaan yang setara f (x) = g (x). Sebagai aturan, ini lebih sederhana daripada eksponensial asli.

Diasumsikan, tentu saja, bahwa orang sudah tahu bagaimana menyelesaikan setidaknya , dan persamaan, sudah tanpa indikator x.) Siapa yang masih tidak tahu caranya, silakan tutup halaman ini, ikuti tautan yang sesuai dan isi kesenjangan lama. Kalau tidak, Anda akan kesulitan, ya ...

Saya diam tentang persamaan irasional, trigonometri, dan persamaan brutal lainnya yang juga dapat muncul dalam proses menghilangkan basis. Tapi jangan khawatir, untuk saat ini kami tidak akan mempertimbangkan timah murni dalam hal derajat: ini terlalu dini. Kami akan berlatih hanya pada persamaan yang paling sederhana.)

Sekarang pertimbangkan persamaan yang memerlukan upaya tambahan untuk mereduksinya menjadi yang paling sederhana. Untuk membedakannya, sebut saja mereka persamaan eksponensial sederhana. Jadi mari kita lanjutkan ke level berikutnya!

Level 1. Persamaan eksponensial sederhana. Kenali derajat! indikator alam.

Aturan kunci dalam menyelesaikan persamaan eksponensial adalah aturan untuk berurusan dengan derajat. Tanpa pengetahuan dan keterampilan ini, tidak ada yang akan berhasil. Sayang. Jadi, jika ada masalah dengan gelar, maka sebagai permulaan Anda dipersilakan. Selain itu kita juga membutuhkan. Transformasi ini (sebanyak dua!) adalah dasar untuk menyelesaikan semua persamaan matematika secara umum. Dan tidak hanya menampilkan. Jadi, siapa pun yang lupa, lihat juga tautannya: Saya memakainya karena suatu alasan.

Tetapi hanya tindakan dengan kekuatan dan transformasi identik saja tidak cukup. Ini juga membutuhkan pengamatan dan kecerdikan pribadi. Kita membutuhkan alasan yang sama, bukan? Jadi kami memeriksa contoh dan mencarinya dalam bentuk eksplisit atau tersamar!

Misalnya, persamaan ini:

3 2x – 27x +2 = 0

Lihat dulu alasan. Mereka berbeda! Tiga dan dua puluh tujuh. Tapi terlalu dini untuk panik dan putus asa. Saatnya untuk mengingat itu

27 = 3 3

Nomor 3 dan 27 adalah kerabat dalam derajat! Apalagi saudara-saudara.) Oleh karena itu, kami berhak menuliskan:

27 x +2 = (3 3) x+2

Dan sekarang kami menghubungkan pengetahuan kami tentang tindakan dengan kekuatan(dan saya memperingatkan Anda!). Ada formula yang sangat berguna:

(am) n = a mn

Sekarang jika Anda menjalankannya dalam kursus, biasanya hasilnya baik-baik saja:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Contoh aslinya sekarang terlihat seperti ini:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Bagus, dasar derajat telah sejajar. Apa yang kami perjuangkan. Setengah dari pekerjaan selesai.) Dan sekarang kami meluncurkan transformasi identitas dasar - kami mentransfer 3 3 (x +2) ke kanan. Tidak ada yang membatalkan tindakan dasar matematika, ya.) Kami mendapatkan:

3 2 x = 3 3(x +2)

Apa yang memberi kita persamaan semacam ini? Dan fakta bahwa sekarang persamaan kita berkurang ke bentuk kanonik: berdiri kiri dan kanan nomor yang sama(tiga kali lipat) dalam kekuatan. Dan kedua kembar tiga - dalam isolasi yang indah. Kami dengan berani menghapus kembar tiga dan mendapatkan:

2x = 3(x+2)

Kami memecahkan ini dan mendapatkan:

X=-6

Itu saja. Ini adalah jawaban yang benar.)

Dan sekarang kita memahami jalannya keputusan. Apa yang menyelamatkan kita dalam contoh ini? Kami diselamatkan oleh pengetahuan tentang derajat tiga kali lipat. Bagaimana sebenarnya? Kami teridentifikasi nomor 27 dienkripsi tiga! Trik ini (enkripsi dari basis yang sama di bawah nomor yang berbeda) adalah salah satu yang paling populer dalam persamaan eksponensial! Kecuali itu yang paling populer. Ya, dan juga, omong-omong. Itulah mengapa pengamatan dan kemampuan untuk mengenali kekuatan bilangan lain dalam bilangan sangat penting dalam persamaan eksponensial!

Saran praktis:

Anda perlu mengetahui kekuatan angka populer. Di muka!

Tentu saja, siapa pun dapat menaikkan dua pangkat tujuh atau tiga pangkat lima. Tidak dalam pikiran saya, jadi setidaknya pada konsep. Tetapi dalam persamaan eksponensial, jauh lebih sering diperlukan untuk tidak menaikkan pangkat, tetapi, sebaliknya, untuk mengetahui angka apa dan sejauh mana tersembunyi di balik angka tersebut, katakanlah, 128 atau 243. Dan ini sudah lebih rumit daripada eksponensial sederhana, Anda tahu. Rasakan perbedaannya, seperti yang mereka katakan!

Karena kemampuan mengenali derajat di wajah berguna tidak hanya pada level ini, tetapi juga pada level berikut, inilah tugas kecil untuk Anda:

Tentukan pangkat apa dan bilangan apa yang merupakan bilangan:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Jawaban (tersebar, tentu saja):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ya ya! Jangan kaget bahwa ada lebih banyak jawaban daripada tugas. Misalnya, 2 8 , 4 4 dan 16 2 semuanya 256.

Level 2. Persamaan eksponensial sederhana. Kenali derajat! Eksponen negatif dan pecahan.

Pada level ini, kita sudah menggunakan pengetahuan kita tentang derajat secara maksimal. Yaitu, kami terlibat dalam hal ini proses yang menarik eksponen negatif dan pecahan! Ya ya! Kita perlu membangun kekuatan, bukan?

Misalnya, persamaan mengerikan ini:

Sekali lagi, pertama-tama lihat fondasinya. Basisnya berbeda! Dan kali ini bahkan tidak dari jarak jauh teman yang mirip pada teman! 5 dan 0,04... Dan untuk menghilangkan basa, diperlukan yang sama... Apa yang harus dilakukan?

Tidak apa-apa! Faktanya, semuanya sama, hanya hubungan antara lima dan 0,04 yang terlihat buruk secara visual. Bagaimana kita keluar? Dan mari kita beralih ke angka 0,04 ke pecahan biasa! Dan di sana, Anda lihat, semuanya terbentuk.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ternyata 0,04 adalah 1/25! Yah, siapa sangka!)

Nah, bagaimana? Sekarang hubungan antara angka 5 dan 1/25 lebih mudah dilihat? Itulah apa itu...

Dan sekarang, menurut aturan operasi dengan kekuatan dengan indikator negatif dapat ditulis dengan tangan yang tegas:

Itu hebat. Jadi kami sampai di pangkalan yang sama - lima. Kami sekarang mengganti angka tidak nyaman 0,04 dalam persamaan dengan 5 -2 dan mendapatkan:

Sekali lagi, menurut aturan operasi dengan kekuatan, sekarang kita dapat menulis:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Untuk jaga-jaga, saya ingatkan (tiba-tiba, siapa yang tidak tahu) bahwa aturan dasar tindakan dengan kekuatan berlaku untuk setiap indikator! Termasuk untuk yang negatif.) Jadi jangan ragu untuk mengambil dan mengalikan indikator (-2) dan (x-1) sesuai dengan aturan yang sesuai. Persamaan kami menjadi lebih baik dan lebih baik:

Semuanya! Selain balita kesepian di derajat di kiri dan kanan, tidak ada yang lain. Persamaan direduksi menjadi bentuk kanonik. Dan kemudian - di sepanjang jalur knurled. Kami menghapus balita dan menyamakan indikator:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Contoh hampir selesai. Matematika dasar dari kelas menengah tetap - kami membuka (dengan benar!) Tanda kurung dan mengumpulkan semua yang ada di sebelah kiri:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Kami memecahkan ini dan mendapatkan dua akar:

x 1 = 1; x 2 = 3

Itu saja.)

Sekarang mari kita pikirkan lagi. PADA contoh ini kami kembali harus mengenali nomor yang sama di derajat yang bervariasi! Yaitu, untuk melihat lima terenkripsi di angka 0,04. Dan kali ini, di derajat negatif! Bagaimana kami melakukannya? Di perjalanan - tidak mungkin. Tapi setelah transisi dari pecahan desimal 0,04 ke pecahan biasa 1/25 semuanya disorot! Dan kemudian seluruh keputusan berjalan seperti jarum jam.)

Oleh karena itu, saran praktis hijau lainnya.

Jika ada pecahan desimal dalam persamaan eksponensial, maka kita pindah dari pecahan desimal ke pecahan biasa. PADA pecahan biasa itu jauh lebih mudah untuk mengenali kekuatan dari banyak nomor populer! Setelah pengenalan, kita beralih dari pecahan ke pangkat dengan eksponen negatif.

Ingatlah bahwa tipuan dalam persamaan eksponensial seperti itu sangat sering terjadi! Dan orang itu tidak ada dalam subjek. Dia melihat, misalnya, pada angka 32 dan 0,125 dan menjadi kesal. Tidak diketahui olehnya bahwa ini adalah deuce yang sama, hanya di derajat yang bervariasi… Tapi Anda sudah berada di subjek!)

Selesaikan persamaan:

Di! Sepertinya horor yang tenang ... Namun, penampilan menipu. Ini adalah persamaan eksponensial paling sederhana, meskipun menakutkan penampilan. Dan sekarang saya akan menunjukkannya kepada Anda.)

Pertama, kita berurusan dengan semua angka yang ada di pangkalan dan di koefisien. Mereka jelas berbeda, ya. Tapi kami tetap mengambil risiko dan mencoba membuatnya sama! Mari kita coba menuju bilangan yang sama dalam derajat yang berbeda. Dan, sebaiknya, jumlah sekecil mungkin. Jadi, mari kita mulai menguraikan!

Nah, semuanya jelas dengan empat sekaligus - itu 2 2 . Jadi, sudah sesuatu.)

Dengan pecahan 0,25 - belum jelas. Perlu untuk memeriksa. Kami menggunakan saran praktis - beralih dari desimal ke biasa:

0,25 = 25/100 = 1/4

Sudah jauh lebih baik. Untuk saat ini sudah terlihat jelas bahwa 1/4 adalah 2 -2. Hebat, dan angka 0,25 juga mirip dengan deuce.)

Sejauh ini baik. Tetapi jumlah terburuk dari semuanya tetap - akar kuadrat dari dua! Apa yang harus dilakukan dengan lada ini? Bisakah itu juga direpresentasikan sebagai kekuatan dua? Dan siapa yang tahu...

Nah, sekali lagi kita naik ke perbendaharaan pengetahuan kita tentang gelar! Kali ini kami juga menghubungkan pengetahuan kami tentang akar. Sejak kelas 9, Anda dan saya harus menanggung bahwa akar apa pun, jika diinginkan, selalu dapat diubah menjadi gelar. dengan pecahan.

Seperti ini:

Dalam kasus kami:

Bagaimana! Ternyata akar kuadrat dari dua adalah 2 1/2. Itu dia!

Tidak apa-apa! Semua nomor kami yang tidak nyaman sebenarnya ternyata adalah deuce terenkripsi.) Saya tidak membantah, di suatu tempat yang dienkripsi dengan sangat canggih. Tapi kami juga meningkatkan profesionalisme kami dalam memecahkan sandi tersebut! Dan kemudian semuanya sudah jelas. Kami mengganti angka 4, 0,25 dan akar dua dalam persamaan kami dengan kekuatan dua:

Semuanya! Basis semua derajat dalam contoh menjadi sama - dua. Dan sekarang tindakan standar dengan derajat digunakan:

sayasebuah = saya + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Untuk sisi kiri Anda mendapatkan:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Untuk sisi kanan akan menjadi:

Dan sekarang persamaan jahat kita mulai terlihat seperti ini:

Bagi mereka yang belum mengetahui bagaimana tepatnya persamaan ini muncul, maka pertanyaannya bukan tentang persamaan eksponensial. Pertanyaannya adalah tentang tindakan dengan kekuatan. Saya meminta mendesak untuk mengulangi kepada mereka yang memiliki masalah!

Berikut adalah garis finish! Bentuk kanonik dari persamaan eksponensial diperoleh! Nah, bagaimana? Sudahkah saya meyakinkan Anda bahwa itu tidak begitu menakutkan? ;) Kami menghapus deuces dan menyamakan indikator:

Tetap hanya untuk menyelesaikan persamaan linier ini. Bagaimana? Dengan bantuan transformasi identik, tentu saja.) Selesaikan apa yang sudah ada! Kalikan kedua bagian dengan dua (untuk menghilangkan pecahan 3/2), pindahkan suku dengan Xs ke kiri, tanpa Xs ke kanan, bawa yang serupa, hitung - dan Anda akan bahagia!

Semuanya akan menjadi indah:

X=4

Sekarang mari kita pikirkan kembali keputusannya. Dalam contoh ini, kami diselamatkan oleh transisi dari akar pangkat dua ke derajat dengan eksponen 1/2. Selain itu, hanya transformasi licik seperti itu yang membantu kami mencapai mana pun dasar yang sama(dua), yang menyelamatkan hari itu! Dan, jika bukan karena itu, maka kita akan memiliki setiap kesempatan untuk membeku selamanya dan tidak akan pernah mengatasi contoh ini, ya ...

Oleh karena itu, kami tidak mengabaikan saran praktis berikutnya:

Jika ada akar dalam persamaan eksponensial, maka kita beralih dari akar ke pangkat dengan indikator pecahan. Sangat sering, hanya transformasi seperti itu yang menjelaskan situasi selanjutnya.

Tentu saja, pangkat negatif dan pecahan sudah jauh lebih sulit. derajat alami. Setidaknya dalam hal persepsi visual dan, terutama, pengenalan dari kanan ke kiri!

Jelas bahwa menaikkan secara langsung, misalnya, dua pangkat -3 atau empat pangkat -3/2 tidak begitu masalah besar. Bagi yang tahu.)

Tapi pergi, misalnya, segera sadari itu

0,125 = 2 -3

Atau

Di sini hanya latihan dan aturan pengalaman yang kaya, ya. Dan, tentu saja, pandangan yang jelas, Apa itu eksponen negatif dan pecahan. Sebaik - saran praktis! Ya, ya, itu hijau.) Saya berharap bahwa mereka akan membantu Anda untuk menavigasi dengan lebih baik di semua variasi derajat yang beraneka ragam dan secara signifikan meningkatkan peluang keberhasilan Anda! Jadi jangan sampai kita mengabaikan mereka. Aku tidak sia-sia dalam warna hijau Saya kadang-kadang menulis.)

Di sisi lain, jika Anda menjadi "Anda" bahkan dengan kekuatan eksotis seperti negatif dan pecahan, maka kemungkinan Anda dalam memecahkan persamaan eksponensial akan berkembang pesat, dan Anda sudah akan mampu menangani hampir semua jenis persamaan eksponensial. Nah, jika tidak ada, maka 80 persen dari semua persamaan eksponensial - pasti! Ya, ya, saya tidak bercanda!

Jadi, bagian pertama perkenalan kami dengan persamaan eksponensial telah sampai pada kesimpulan logisnya. Dan, sebagai latihan di sela-sela, saya secara tradisional menyarankan untuk menyelesaikannya sendiri.)

Latihan 1.

Sehingga kata-kata saya tentang menguraikan yang negatif dan kekuatan pecahan tidak sia-sia, saya mengusulkan untuk bermain game kecil!

Nyatakan bilangan tersebut sebagai pangkat dua:

Jawaban (berantakan):

Telah terjadi? Bagus! Kemudian kami melakukan misi tempur - kami memecahkan persamaan eksponensial paling sederhana dan sederhana!

Tugas 2.

Memecahkan persamaan (semua jawaban berantakan!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Jawaban:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Telah terjadi? Memang, jauh lebih mudah!

Kemudian kita selesaikan permainan berikut:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Jawaban:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Dan ini contoh satu kiri? Bagus! Anda tumbuh! Kemudian berikut adalah beberapa contoh lagi untuk Anda jajan:

Jawaban:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Dan apakah sudah diputuskan? Yah, hormat! Saya melepas topi saya.) Jadi, pelajarannya tidak sia-sia, dan Tingkat pertama penyelesaian persamaan eksponensial dapat dianggap berhasil dikuasai. Di depan - level selanjutnya dan banyak lagi persamaan kompleks! Dan teknik dan pendekatan baru. Dan contoh non-standar. Dan kejutan baru.) Semua ini - di pelajaran berikutnya!

Ada yang tidak berhasil? Jadi, kemungkinan besar, masalahnya ada di . Atau di . Atau keduanya sekaligus. Di sini saya tidak berdaya. Bisa masuk sekali lagi hanya menawarkan satu hal - jangan malas dan berjalan-jalan melalui tautan.)

Bersambung.)