Selama pelajaran, Anda akan dapat mempelajari topik secara mandiri " Solusi grafis persamaan, pertidaksamaan. Guru dalam pelajaran akan menganalisis metode grafis untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Ini akan mengajari Anda cara membuat grafik, menganalisisnya, dan mendapatkan solusi untuk persamaan dan pertidaksamaan. Pelajaran juga akan membahas contoh konkret pada topik ini.

Topik: Fungsi numerik

Pelajaran: Solusi grafis dari persamaan, pertidaksamaan

1. Topik pelajaran, pengantar

Kami telah melihat grafik fungsi dasar, termasuk grafik fungsi daya c indikator yang berbeda. Kami juga mempertimbangkan aturan untuk menggeser dan mengubah grafik fungsi. Semua keterampilan ini harus diterapkan saat dibutuhkan. grafislarutan persamaan atau grafik larutanketidaksetaraan.

2. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan secara grafis

Contoh 1. Selesaikan persamaan secara grafis:

Mari kita buat grafik fungsi (Gbr. 1).

Grafik fungsinya adalah parabola yang melalui titik-titik

Grafik fungsi adalah garis lurus, kami akan membangunnya sesuai dengan tabel.

Grafik berpotongan di suatu titik Tidak ada titik potong lain, karena fungsinya naik secara monoton, fungsi turun secara monoton, dan oleh karena itu, titik potongnya unik.

Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan

sebuah. Agar pertidaksamaan bertahan, grafik fungsi harus terletak di atas garis lurus (Gbr. 1). Hal ini dilakukan ketika

b. Dalam hal ini, sebaliknya, parabola harus berada di bawah garis. Hal ini dilakukan ketika

Contoh 3. Selesaikan pertidaksamaan

Mari membuat grafik fungsi (Gbr. 2).

Temukan akar persamaan Jika tidak ada solusi. Ada satu solusi untuk .

Agar pertidaksamaan berlaku, hiperbola harus terletak di atas garis. Ini berlaku untuk .

Contoh 4. Selesaikan pertidaksamaan secara grafis:

Domain:

Mari membuat grafik fungsi untuk (Gbr. 3).

sebuah. Grafik fungsi harus ditempatkan di bawah grafik; ini dilakukan ketika

b. Grafik fungsi terletak di atas grafik di Tapi karena kita memiliki tanda tidak tegas dalam kondisi, penting untuk tidak kehilangan akar terisolasi

3. Kesimpulan

Kami telah meninjau metode grafis menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan; mempertimbangkan contoh spesifik, dalam penyelesaiannya kami menggunakan sifat-sifat fungsi seperti monotonisitas dan kemerataan.

1. Mordkovich A. G. dkk. Aljabar Kelas 9: Proc. Untuk pendidikan umum Institusi - edisi ke-4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 hal.: sakit.

2. Mordkovich A. G. dkk. Aljabar kelas 9: Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina dan lainnya - edisi ke-4. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit.

3. Yu.N. Makarychev, Aljabar. Kelas 9: buku teks. untuk mahasiswa pendidikan umum. institusi / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Edisi ke-7, Pdt. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, dan Yu. V. Sidorov, Aljabar. Kelas 9 edisi ke-16. - M., 2011. - 287 hal.

5. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-12, terhapus. — M.: 2010. — 224 hal.: sakit.

6. Aljabar. Kelas 9 Pada 2 jam Bagian 2. Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dan lainnya; Ed. A.G. Mordkovich. - Edisi ke-12, Pdt. — M.: 2010.-223 hal.: sakit.

1. Bagian perguruan tinggi. ru dalam matematika.

2. Proyek Internet "Tugas".

3. Portal pendidikan"AKU AKAN MENYELESAIKAN PENGGUNAAN".

1. Mordkovich A. G. et al Aljabar Kelas 9: Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - Edisi ke-4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit. 355, 356, 364.

Salah satu metode yang paling nyaman untuk memecahkan pertidaksamaan kuadrat adalah metode grafik. Pada artikel ini, kita akan menganalisis bagaimana pertidaksamaan kuadrat diselesaikan secara grafis. Pertama, mari kita bahas apa inti dari metode ini. Dan kemudian kami memberikan algoritme dan mempertimbangkan contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat secara grafis.

Navigasi halaman.

Inti dari metode grafis

Umumnya cara grafis untuk menyelesaikan ketidaksetaraan dengan satu variabel digunakan tidak hanya untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, tetapi juga pertidaksamaan jenis lainnya. Inti dari metode grafis untuk memecahkan ketidaksetaraan selanjutnya: perhatikan fungsi y=f(x) dan y=g(x) yang bersesuaian dengan kiri dan bagian kanan ketidaksetaraan, buat grafiknya menjadi satu sistem persegi panjang koordinat dan cari tahu pada interval berapa grafik salah satunya terletak di bawah atau di atas yang lain. Interval di mana

• grafik fungsi f di atas grafik fungsi g adalah solusi dari pertidaksamaan f(x)>g(x) ;
• grafik fungsi f tidak lebih rendah dari grafik fungsi g adalah solusi dari pertidaksamaan f(x)≥g(x) ;
• grafik fungsi f di bawah grafik fungsi g adalah solusi dari pertidaksamaan f(x)
• grafik fungsi f tidak di atas grafik fungsi g adalah solusi dari pertidaksamaan f(x)≤g(x) .

Katakan juga bahwa absis titik potong grafik fungsi f dan g adalah solusi dari persamaan f(x)=g(x) .

Mari kita transfer hasil ini ke kasus kita – untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Kami memperkenalkan dua fungsi: yang pertama y=a x 2 +b x+c (dalam hal ini f(x)=a x 2 +b x+c) sesuai dengan sisi kiri pertidaksamaan kuadrat, yang kedua y=0 (dalam kasus ini g (x)=0 ) sesuai dengan sisi kanan pertidaksamaan. jadwal fungsi kuadrat f adalah parabola dan grafiknya fungsi permanen g adalah garis lurus yang berimpit dengan sumbu absis Sapi .

Selanjutnya, menurut metode grafis untuk memecahkan pertidaksamaan, perlu untuk menganalisis pada interval berapa grafik dari satu fungsi terletak di atas atau di bawah yang lain, yang akan memungkinkan kita untuk menulis solusi yang diinginkan dari pertidaksamaan kuadrat. Dalam kasus kami, kami perlu menganalisis posisi parabola relatif terhadap sumbu Ox.

Bergantung pada nilai koefisien a, b dan c, enam opsi berikut dimungkinkan (representasi skematis cukup untuk kebutuhan kita, dan dimungkinkan untuk tidak menggambarkan sumbu Oy, karena posisinya tidak memengaruhi solusi ketidaksetaraan):

Dalam gambar ini, kita melihat sebuah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas dan memotong sumbu Ox di dua titik, yang absisnya adalah x 1 dan x 2 . Gambar ini sesuai dengan varian ketika koefisien a positif (ini bertanggung jawab untuk arah ke atas dari cabang parabola), dan ketika nilainya positif diskriminan dari trinomial persegi a x 2 +b x + c (dalam hal ini, trinomial memiliki dua akar, yang kami nyatakan sebagai x 1 dan x 2, dan kami mengasumsikan bahwa x 1 0 , D=b 2 4 a c=(−1) 2 4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Untuk kejelasan, mari kita menggambar dengan warna merah bagian parabola yang terletak di atas sumbu absis, dan dengan warna biru - terletak di bawah sumbu absis.


Sekarang mari kita cari tahu celah apa yang sesuai dengan bagian-bagian ini. Gambar berikut akan membantu menentukannya (di masa depan, kami akan secara mental membuat pilihan seperti itu dalam bentuk persegi panjang):


Jadi pada sumbu absis, dua interval (−∞, x 1) dan (x 2, +∞) disorot dengan warna merah, pada mereka parabola lebih tinggi dari sumbu Ox, mereka membuat solusi dari pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c>0 , dan interval (x 1 , x 2) disorot dengan warna biru, di atasnya parabola berada di bawah sumbu Ox , itu adalah solusi dari pertidaksamaan a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Dan sekarang secara singkat: untuk a>0 dan D=b 2 4 a c>0 (atau D"=D/4>0 untuk koefisien genap b)

• solusi pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c>0 adalah (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) atau, dengan cara lain, x x2;
• penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c≥0 adalah (−∞, x 1 ]∪ atau dalam notasi lain x 1 x≤x 2 ,

di mana x 1 dan x 2 adalah akar-akar trinomial kuadrat a x 2 + b x + c, dan x 1


Di sini kita melihat parabola, cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan yang menyentuh sumbu absis, yaitu, ia memiliki satu titik yang sama dengannya, mari kita nyatakan absis titik ini sebagai x 0. Kasus yang disajikan sesuai dengan a>0 (cabang diarahkan ke atas) dan D=0 ( trinomial persegi memiliki satu akar x 0 ). Sebagai contoh, kita dapat mengambil fungsi kuadrat y=x 2 4 x+4 , di sini a=1>0 , D=(−4) 2 4 1 4=0 dan x 0 =2 .

Gambar dengan jelas menunjukkan bahwa parabola terletak di atas sumbu Ox di mana-mana, kecuali untuk titik kontak, yaitu pada interval (−∞, x 0 , (x 0 , ) . Untuk kejelasan, kami memilih area dalam gambar dengan analogi dengan paragraf sebelumnya.


Kami menarik kesimpulan: untuk a>0 dan D=0

• penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c>0 adalah (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) atau dalam notasi lain x≠x 0 ;
• solusi pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c≥0 adalah (−∞, +∞) atau, dalam notasi lain, x∈R ;
• pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c≤0 memiliki solusi unik x=x 0 (diberikan oleh titik singgung),

di mana x 0 adalah akar dari trinomial kuadrat a x 2 + b x + c.


Dalam hal ini, cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, dan tidak memiliki poin umum dengan sumbu absis. Di sini kita memiliki kondisi a>0 (cabang mengarah ke atas) dan D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 4 2 1=−8<0 .

Jelas, parabola terletak di atas sumbu Ox di seluruh panjangnya (tidak ada interval di mana ia berada di bawah sumbu Ox, tidak ada titik kontak).


Jadi, untuk a>0 dan D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 dan a x 2 +b x+c≥0 adalah himpunan semua bilangan asli, dan pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Dan ada tiga opsi untuk lokasi parabola dengan cabang diarahkan ke bawah, dan bukan ke atas, relatif terhadap sumbu Ox. Pada prinsipnya, mereka mungkin tidak dipertimbangkan, karena mengalikan kedua bagian pertidaksamaan dengan 1 memungkinkan kita untuk melewati pertidaksamaan yang setara dengan koefisien positif di x 2 . Namun, tidak ada salahnya untuk mendapatkan gambaran tentang kasus-kasus tersebut. Alasan di sini serupa, jadi kami hanya menuliskan hasil utama.

Algoritma solusi

Hasil dari semua perhitungan sebelumnya adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis:

pada bidang koordinat gambar skematik dilakukan, yang menggambarkan sumbu Ox (tidak perlu menggambarkan sumbu Oy) dan sketsa parabola yang sesuai dengan fungsi kuadrat y \u003d a x 2 +b x + c. Untuk membuat sketsa parabola, cukup dengan mengetahui dua titik:

• Pertama, dengan nilai koefisien a, diketahui ke mana arah cabang-cabangnya (untuk a>0 - ke atas, untuk a<0 – вниз).
• Dan kedua, dengan nilai diskriminan trinomial persegi a x 2 + b x + c, ternyata parabola memotong sumbu x di dua titik (untuk D> 0), menyentuhnya di satu titik (untuk D= 0), atau tidak memiliki titik yang sama dengan sumbu Ox (untuk D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Ketika gambar sudah siap, di atasnya pada langkah kedua dari algoritma

  • ketika menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c>0, interval di mana parabola terletak di atas sumbu absis ditentukan;
  • ketika memecahkan pertidaksamaan a x 2 +b x+c≥0, interval ditentukan di mana parabola terletak di atas sumbu absis dan absis titik persimpangan (atau absis titik singgung) ditambahkan ke dalamnya;
  • menyelesaikan pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • akhirnya, ketika memecahkan pertidaksamaan kuadrat dari bentuk a x 2 +b x + c≤0, ada interval di mana parabola berada di bawah sumbu Ox dan absis dari titik persimpangan (atau absis dari titik singgung) ditambahkan ke dalamnya ;

  mereka merupakan solusi yang diinginkan dari pertidaksamaan kuadrat, dan jika tidak ada interval seperti itu dan tidak ada titik kontak, maka pertidaksamaan kuadrat asli tidak memiliki solusi.

Tetap hanya untuk menyelesaikan beberapa ketidaksetaraan kuadrat menggunakan algoritma ini.

Contoh dengan Solusi

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan .

Larutan.

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita akan menggunakan algoritma dari paragraf sebelumnya. Pada langkah pertama, kita perlu menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat . Koefisien pada x 2 adalah 2, itu positif, oleh karena itu, cabang-cabang parabola diarahkan ke atas. Mari kita juga mencari tahu apakah parabola dengan sumbu absis memiliki titik yang sama, untuk ini kita menghitung diskriminan dari trinomial persegi . Kita punya . Diskriminan ternyata lebih besar dari nol, oleh karena itu, trinomial memiliki dua akar nyata: dan , yaitu, x 1 =−3 dan x 2 = 1/3.

Dari sini jelas bahwa parabola memotong sumbu Ox di dua titik dengan absis −3 dan 1/3. Kami akan menggambarkan titik-titik ini dalam gambar sebagai titik biasa, karena kami menyelesaikan pertidaksamaan tidak ketat. Menurut data yang diklarifikasi, kami memperoleh gambar berikut (cocok dengan templat pertama dari paragraf pertama artikel):

Kami lolos ke langkah kedua dari algoritma. Karena kita sedang menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tak-ketat dengan tanda , kita perlu menentukan interval di mana parabola terletak di bawah sumbu absis dan menjumlahkan absis titik potongnya.

Dapat dilihat dari gambar bahwa parabola berada di bawah absis pada interval (−3, 1/3) dan kami menambahkan absis titik-titik perpotongan padanya, yaitu angka 3 dan 1/3. Hasilnya, kita sampai pada interval numerik [−3, 1/3] . Ini adalah solusi yang diinginkan. Dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda 3≤x≤1/3 .

Menjawab:

[−3, 1/3] atau 3≤x≤1/3 .

Contoh.

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2 +16 x−63<0 .

Larutan.

Seperti biasa, kita mulai dengan menggambar. Koefisien numerik untuk kuadrat variabel adalah negatif, 1, oleh karena itu, cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Mari kita hitung diskriminan, atau lebih baik, bagian keempatnya: D"=8 2 (−1)(−63)=64−63=1. Nilainya positif, kami menghitung akar trinomial kuadrat: dan , x 1 =7 dan x 2 =9. Jadi parabola memotong sumbu Ox di dua titik dengan absis 7 dan 9 (pertidaksamaan awal ketat, jadi kami akan menggambarkan titik-titik ini dengan pusat kosong).Sekarang kita dapat membuat gambar skema:

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat bertanda tegas<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Gambar tersebut menunjukkan bahwa solusi dari pertidaksamaan kuadrat asli adalah dua interval (−∞, 7), (9, +∞) .

Menjawab:

(−∞, 7)∪(9, +∞) atau dalam notasi lain x<7 , x>9 .

Saat memecahkan pertidaksamaan kuadrat, ketika diskriminan trinomial kuadrat di sisi kirinya sama dengan nol, Anda harus berhati-hati dengan memasukkan atau mengecualikan absis titik singgung dari jawaban. Itu tergantung pada tanda pertidaksamaan: jika pertidaksamaan ketat, maka itu bukan solusi untuk pertidaksamaan, dan jika tidak ketat, maka itu.

Contoh.

Apakah pertidaksamaan kuadrat 10 x 2 14 x+4.9≤0 memiliki setidaknya satu solusi?

Larutan.

Mari kita plot fungsi y=10 x 2 14 x+4.9 . Cabang-cabangnya mengarah ke atas, karena koefisien pada x 2 positif, dan menyentuh absis pada titik dengan absis 0,7, karena D "=(−7) 2 10 4,9=0, dari mana atau 0,7 sebagai desimal. Secara skematis, terlihat seperti ini:

Karena kita memecahkan pertidaksamaan kuadrat dengan tanda , maka solusinya adalah interval di mana parabola berada di bawah sumbu Ox, serta absis titik singgung. Dapat dilihat dari gambar bahwa tidak ada celah tunggal di mana parabola akan berada di bawah sumbu Ox, oleh karena itu, solusinya hanya akan menjadi absis titik kontak, yaitu 0,7.

Menjawab:

ketidaksetaraan ini memiliki solusi unik 0.7 .

Contoh.

Memecahkan pertidaksamaan kuadrat –x 2 +8 x−16<0 .

Larutan.

Kami bertindak sesuai dengan algoritma untuk memecahkan ketidaksetaraan kuadrat dan mulai dengan merencanakan. Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, karena koefisien pada x 2 adalah negatif, 1. Temukan diskriminan dari trinomial persegi –x 2 +8 x−16 , kita miliki D'=4 2 (−1)(−16)=16−16=0 dan selanjutnya x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Jadi, parabola menyentuh sumbu Ox di titik dengan absis 4 . Mari kita membuat gambar:

Kita lihat tanda pertidaksamaan aslinya, yaitu<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dalam kasus kami, ini adalah sinar terbuka (−∞, 4) , (4, +∞) . Secara terpisah, kami mencatat bahwa 4 - absis titik singgung - bukan solusi, karena pada titik singgung parabola tidak lebih rendah dari sumbu Ox.

Menjawab:

(−∞, 4)∪(4, +∞) atau dalam notasi lain x≠4 .

Berikan perhatian khusus pada kasus di mana diskriminan dari trinomial kuadrat di sisi kiri pertidaksamaan kuadrat adalah kurang dari nol. Tidak perlu terburu-buru di sini dan mengatakan bahwa pertidaksamaan tidak memiliki solusi (kita terbiasa membuat kesimpulan seperti itu untuk persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif). Intinya adalah bahwa pertidaksamaan kuadrat untuk D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Contoh.

Temukan solusi pertidaksamaan kuadrat 3 x 2 +1>0 .

Larutan.

Seperti biasa, kita mulai dengan menggambar. Koefisien a adalah 3, positif, oleh karena itu, cabang-cabang parabola diarahkan ke atas. Hitung diskriminannya: D=0 2 4 3 1=−12 . Karena diskriminan negatif, parabola tidak memiliki titik persekutuan dengan sumbu x. Informasi yang diperoleh cukup untuk diagram skematik:

Kami memecahkan pertidaksamaan kuadrat ketat dengan tanda >. Solusinya adalah semua interval di mana parabola berada di atas sumbu Ox. Dalam kasus kami, parabola berada di atas sumbu x sepanjang panjangnya, sehingga solusi yang diinginkan adalah himpunan semua bilangan real.

Sapi , dan juga Anda perlu menambahkan absis titik persimpangan atau absis titik sentuh ke mereka. Tetapi gambar dengan jelas menunjukkan bahwa tidak ada celah seperti itu (karena parabola ada di mana-mana di bawah sumbu absis), serta tidak ada titik persimpangan, sama seperti tidak ada titik kontak. Oleh karena itu, pertidaksamaan kuadrat asli tidak memiliki solusi.

Menjawab:

tidak ada solusi atau dalam notasi lain .

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 11. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Grafik pertidaksamaan linier atau kuadrat dibangun dengan cara yang sama seperti grafik fungsi (persamaan) apa pun. Perbedaannya adalah bahwa pertidaksamaan menyiratkan banyak solusi, sehingga grafik pertidaksamaan bukan hanya titik pada garis bilangan atau garis pada bidang koordinat. Dengan bantuan operasi matematika dan tanda pertidaksamaan, Anda dapat menentukan himpunan solusi pertidaksamaan.

Langkah

Representasi grafis dari pertidaksamaan linier pada garis bilangan

1. Memecahkan ketidaksetaraan. Untuk melakukannya, isolasi variabel menggunakan trik aljabar yang sama yang Anda gunakan untuk menyelesaikan persamaan apa pun. Ingatlah bahwa ketika mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan angka negatif (atau suku), tanda pertidaksamaan dibalik.

   • Misal diberikan pertidaksamaan 3th + 9 > 12 (\displaystyle 3th+9>12). Untuk mengisolasi variabel, kurangi 9 dari kedua sisi pertidaksamaan, lalu bagi kedua sisi dengan 3:
     3th + 9 > 12 (\displaystyle 3th+9>12)
     3 th + 9 9 > 12 9 (\displaystyle 3th+9-9>12-9)
     3 th > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Suatu pertidaksamaan harus hanya memiliki satu variabel. Jika pertidaksamaan memiliki dua variabel, lebih baik plot grafik pada bidang koordinat.

2. Gambarlah garis bilangan. Pada garis bilangan, tandai nilai yang ditemukan (variabelnya bisa lebih kecil dari, lebih besar dari atau sama dengan nilai ini). Gambarlah garis bilangan dengan panjang yang sesuai (panjang atau pendek).

   • Misalnya, jika Anda menghitungnya y > 1 (\displaystyle y>1), tandai nilai 1 pada garis bilangan.

3. Gambarlah sebuah lingkaran untuk mewakili nilai yang ditemukan. Jika variabel lebih kecil dari ( < {\displaystyle <} ) atau lebih ( > (\gaya tampilan >)) dari nilai ini, lingkaran tidak terisi karena himpunan solusi tidak menyertakan nilai ini. Jika variabel lebih kecil atau sama dengan ( (\displaystyle \leq )) atau lebih besar atau sama dengan ( (\displaystyle\geq )) untuk nilai ini, lingkaran diisi karena himpunan solusi menyertakan nilai ini.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), pada garis bilangan, gambarlah sebuah lingkaran terbuka di titik 1 karena 1 tidak termasuk dalam himpunan solusi.

4. Pada garis bilangan, arsir area yang mendefinisikan himpunan solusi. Jika variabel lebih besar dari nilai yang ditemukan, arsir area di sebelah kanannya, karena himpunan solusi mencakup semua nilai yang lebih besar dari nilai yang ditemukan. Jika variabel lebih kecil dari nilai yang ditemukan, arsir area di sebelah kirinya, karena himpunan solusi mencakup semua nilai yang lebih kecil dari nilai yang ditemukan.

   • Misal diberikan pertidaksamaan y > 1 (\displaystyle y>1), pada garis bilangan, arsirlah daerah di sebelah kanan 1 karena himpunan penyelesaian mencakup semua nilai yang lebih besar dari 1.

   Representasi grafis dari pertidaksamaan linier pada bidang koordinat

   1. Selesaikan pertidaksamaan (cari nilainya y (\gaya tampilan y)). Untuk mendapatkan persamaan linier, isolasi variabel di ruas kiri menggunakan diketahui metode aljabar. Variabel harus tetap di sisi kanan x (\gaya tampilan x) dan mungkin beberapa konstan.

      • Misal diberikan pertidaksamaan 3th + 9 > 9x (\displaystyle 3th+9>9x). Untuk mengisolasi variabel y (\gaya tampilan y), kurangi 9 dari kedua ruas pertidaksamaan, lalu bagi kedua ruas dengan 3:
        3th + 9 > 9x (\displaystyle 3th+9>9x)
        3 th + 9 9 > 9 x 9 (\displaystyle 3th+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Gambarkan persamaan linear pada bidang koordinat. plot grafik saat Anda memplot persamaan linier apa pun. Plot titik perpotongan dengan sumbu Y, kemudian plot titik lainnya menggunakan kemiringan.

      • y > 3 x 3 (\displaystyle y>3x-3) gambarkan persamaannya y = 3 x 3 (\displaystyle y=3x-3). Titik potong dengan sumbu Y memiliki koordinat , dan lereng adalah 3 (atau 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Jadi pertama plot titik dengan koordinat (0 , 3) ​​(\displaystyle (0,-3)); titik di atas titik perpotongan dengan sumbu y memiliki koordinat (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); titik di bawah titik perpotongan dengan sumbu y memiliki koordinat (− 1 , 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Gambarlah garis lurus. Jika pertidaksamaan ketat (termasuk tanda < {\displaystyle <} atau > (\gaya tampilan >)), gambarlah garis putus-putus, karena himpunan solusi tidak menyertakan nilai yang terletak pada garis tersebut. Jika pertidaksamaan tidak tegas (termasuk tanda (\displaystyle \leq ) atau (\displaystyle\geq )), gambarlah sebuah garis lurus, karena himpunan penyelesaiannya mencakup nilai-nilai yang terletak pada garis tersebut.

      • Misalnya, dalam kasus ketidaksetaraan y > 3 x 3 (\displaystyle y>3x-3) menggambar garis putus-putus karena himpunan solusi tidak menyertakan nilai yang terletak pada garis.

   4. Warnai area yang sesuai. Jika pertidaksamaan berbentuk y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), isi area di atas garis. Jika pertidaksamaan berbentuk kamu< m x + b {\displaystyle y, isi area di bawah garis.

      • Misalnya, dalam kasus ketidaksetaraan y > 3 x 3 (\displaystyle y>3x-3) menaungi area di atas garis.

   Representasi grafis dari pertidaksamaan kuadrat pada bidang koordinat

   1. Tentukan bahwa pertidaksamaan ini persegi. Pertidaksamaan kuadrat berbentuk a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Terkadang pertidaksamaan tidak mengandung variabel orde pertama ( x (\gaya tampilan x)) dan/atau istilah bebas (konstanta), tetapi harus menyertakan variabel orde kedua ( x 2 (\gaya tampilan x^(2))). Variabel x (\gaya tampilan x) dan y (\gaya tampilan y) harus diisolasi sisi yang berbeda ketidaksetaraan.

      • Misalnya, Anda perlu memplot ketidaksetaraan kamu< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Gambarlah grafik pada bidang koordinat. Untuk melakukannya, ubah pertidaksamaan menjadi persamaan dan buat grafik, saat Anda membuat grafik persamaan kuadrat apa pun. Ingatlah bahwa grafik persamaan kuadrat adalah parabola.

      • Misalnya, dalam kasus ketidaksetaraan kamu< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y plot persamaan kuadrat y = x 2 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Puncak parabola berada di titik (5 , 9) (\displaystyle (5,-9)), dan parabola memotong sumbu x di titik (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) dan (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Metode grafis terdiri dalam membangun satu set solusi LLP yang layak, dan menemukan dalam set ini titik yang sesuai dengan fungsi tujuan maks/min.

Karena kemungkinan terbatas dari representasi grafis visual, metode ini hanya digunakan untuk sistem pertidaksamaan linier dengan dua yang tidak diketahui dan sistem yang dapat direduksi menjadi bentuk tertentu.

Untuk mendemonstrasikan metode grafis secara visual, kami akan menyelesaikan masalah berikut:

1. Pada tahap pertama, perlu untuk membangun area solusi yang layak. Untuk contoh ini, paling mudah untuk memilih X2 untuk absis, dan X1 untuk ordinat, dan tulis pertidaksamaan dalam bentuk berikut:

Karena grafik dan luas solusi yang dapat diterima berada di kuartal pertama. Untuk menemukan titik batas, kita selesaikan persamaan (1)=(2), (1)=(3) dan (2)=(3).

Seperti yang dapat dilihat dari ilustrasi, polihedron ABCDE membentuk area solusi yang layak.

Jika domain dari solusi yang dapat diterima tidak tertutup, maka max(f)=+ ? atau min(f)= -?.

2. Sekarang kita bisa langsung mencari fungsi maksimum f.

Substitusikan koordinat titik-titik polihedron secara bergantian ke dalam fungsi f dan bandingkan nilainya, kita temukan bahwa f(C)=f (4; 1)=19 - fungsi maksimum.

Pendekatan ini cukup menguntungkan untuk sejumlah kecil simpul. Tetapi prosedur ini dapat ditunda jika ada cukup banyak simpul.

Dalam hal ini, lebih mudah untuk mempertimbangkan garis level dari bentuk f=a. Dengan peningkatan monoton dalam jumlah a dari -? ke +? garis lurus f=a dipindahkan sepanjang vektor normal. Jika, dengan perpindahan garis level seperti itu, terdapat beberapa titik X - titik umum pertama dari wilayah solusi yang layak (polihedron ABCDE) dan garis level, maka f(X) adalah minimum dari f pada himpunan ABCDE . Jika X adalah titik terakhir perpotongan garis sejajar dan himpunan ABCDE, maka f(X) adalah maksimum pada himpunan solusi fisibel. Jika untuk >-? garis f=a memotong himpunan solusi yang dapat diterima, maka min(f)= -?. Jika ini terjadi ketika a>+?, maka max(f)=+?.

Tingkat pertama

Memecahkan persamaan, pertidaksamaan, sistem menggunakan grafik fungsi. panduan visual (2019)

Banyak tugas yang biasa kami hitung secara aljabar murni dapat diselesaikan dengan lebih mudah dan lebih cepat, menggunakan grafik fungsi akan membantu kami dalam hal ini. Anda mengatakan "bagaimana bisa?" menggambar sesuatu, dan menggambar apa? Percayalah, terkadang lebih nyaman dan lebih mudah. Haruskah kita mulai? Mari kita mulai dengan persamaan!

Solusi grafis dari persamaan

Solusi grafis dari persamaan linier

Seperti yang sudah Anda ketahui, grafik persamaan linier adalah garis lurus, maka nama jenis ini. Persamaan linier cukup mudah untuk diselesaikan secara aljabar - kami mentransfer semua yang tidak diketahui ke satu sisi persamaan, semua yang kami tahu - ke sisi lain, dan voila! Kami telah menemukan akarnya. Sekarang saya akan menunjukkan cara melakukannya cara grafis.

Jadi, Anda memiliki persamaan:

Bagaimana cara mengatasinya?
Pilihan 1, dan yang paling umum adalah memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, dan yang diketahui ke sisi lain, kita mendapatkan:

Dan sekarang kami sedang membangun. Apa yang kamu dapatkan?

Menurut Anda apa akar persamaan kita? Benar, koordinat titik potong grafik:

Jawaban kami adalah

Itulah seluruh kebijaksanaan dari solusi grafis. Seperti yang dapat Anda periksa dengan mudah, akar persamaan kami adalah angka!

Seperti yang saya katakan di atas, ini adalah opsi yang paling umum, dekat dengan solusi aljabar, tetapi juga dapat dilakukan dengan cara yang berbeda. Untuk mempertimbangkan solusi alternatif, mari kembali ke persamaan kita:

Kali ini kita tidak akan memindahkan apapun dari sisi ke sisi, tetapi akan membangun grafik secara langsung, seperti sekarang:

Dibuat? Lihat!

Apa solusinya kali ini? Baiklah. Sama dengan koordinat titik potong grafik:

Dan sekali lagi, jawaban kami adalah .

Seperti yang Anda lihat, dengan persamaan linear semuanya sangat sederhana. Saatnya untuk mempertimbangkan sesuatu yang lebih rumit... Misalnya, solusi grafis persamaan kuadrat.

Solusi grafis dari persamaan kuadrat

Jadi, sekarang mari kita mulai menyelesaikan persamaan kuadrat. Katakanlah Anda perlu menemukan akar persamaan ini:

Tentu saja, Anda sekarang dapat mulai menghitung melalui diskriminan, atau menurut teorema Vieta, tetapi banyak saraf membuat kesalahan saat mengalikan atau mengkuadratkan, terutama jika contohnya dengan angka besar, dan, seperti yang Anda tahu, Anda tidak akan memiliki kalkulator saat ujian ... Karena itu, mari kita coba bersantai sedikit dan menggambar sambil menyelesaikan persamaan ini.

Temukan solusi secara grafis persamaan yang diberikan bisa cara yang berbeda. Mempertimbangkan berbagai pilihan dan Anda dapat memilih mana yang paling Anda sukai.

Metode 1. Langsung

Kami hanya membangun parabola menurut persamaan ini:

Untuk membuatnya cepat, saya akan memberi Anda satu petunjuk kecil: akan lebih mudah untuk memulai konstruksi dengan menentukan titik parabola. Rumus berikut akan membantu menentukan koordinat titik parabola:

Anda mengatakan "Berhenti! Rumus untuk sangat mirip dengan rumus untuk menemukan diskriminan "ya, itu, dan itu minus besar konstruksi "langsung" parabola untuk menemukan akarnya. Namun, mari kita hitung sampai akhir, dan kemudian saya akan menunjukkan cara membuatnya (banyak!) lebih mudah!

Apakah Anda menghitung? Berapakah koordinat titik sudut parabola? Mari kita cari tahu bersama:

Jawaban yang sama persis? Bagus sekali! Dan sekarang kita sudah mengetahui koordinat titiknya, dan untuk membangun parabola, kita membutuhkan lebih banyak ... poin. Bagaimana menurut Anda, berapa banyak poin minimum yang kita butuhkan? Benar, .

Anda tahu bahwa parabola simetris dengan titik puncaknya, misalnya:

Dengan demikian, kita membutuhkan dua titik lagi di sepanjang cabang kiri atau kanan parabola, dan di masa depan kita akan mencerminkan titik-titik ini secara simetris di sisi yang berlawanan:

Kami kembali ke parabola kami. Untuk kasus kami, intinya. Kami membutuhkan dua poin lagi, masing-masing, dapatkah kami mengambil yang positif, tetapi dapatkah kami mengambil yang negatif? Apa poin terbaik untuk Anda? Lebih nyaman bagi saya untuk bekerja dengan yang positif, jadi saya akan menghitung dengan dan.

Sekarang kita memiliki tiga titik, dan kita dapat dengan mudah membangun parabola kita dengan mencerminkan dua titik terakhir tentang puncaknya:

Menurut Anda apa solusi dari persamaan tersebut? Itu benar, titik-titik di mana, yaitu, dan. Karena.

Dan jika kita mengatakan itu, maka itu berarti juga harus sama, atau.

Hanya? Kami telah menyelesaikan persamaan dengan Anda dalam cara grafis yang kompleks, atau akan ada lebih banyak lagi!

Tentu saja, Anda dapat memeriksa jawaban kami secara aljabar - Anda dapat menghitung akar melalui teorema Vieta atau Diskriminan. Apa yang kamu dapatkan? Sama? Di sini Anda lihat! Sekarang mari kita lihat solusi grafis yang sangat sederhana, saya yakin Anda akan sangat menyukainya!

Metode 2. Bagi menjadi beberapa fungsi

Mari kita ambil semuanya juga, persamaan kita: , tetapi kita menulisnya dengan cara yang sedikit berbeda, yaitu:

Bisakah kita menulisnya seperti ini? Kita bisa, karena transformasinya ekivalen. Mari kita lihat lebih jauh.

Mari kita membangun dua fungsi secara terpisah:

1. - grafiknya adalah parabola sederhana, yang dapat Anda buat dengan mudah bahkan tanpa mendefinisikan titiknya menggunakan rumus dan membuat tabel untuk menentukan titik lainnya.
2. - grafiknya adalah garis lurus, yang dapat Anda buat dengan mudah dengan memperkirakan nilai dan di kepala Anda bahkan tanpa menggunakan kalkulator.

Dibuat? Bandingkan dengan yang saya dapatkan:

Apakah Anda berpikir bahwa di kasus ini adalah akar dari persamaan? Benar! Koordinat dengan, yang diperoleh dengan melintasi dua grafik dan, yaitu:

Dengan demikian, solusi untuk persamaan ini adalah:

Apa yang kamu katakan? Setuju, cara penyelesaian ini jauh lebih mudah dari cara sebelumnya dan bahkan lebih mudah daripada mencari akar melalui diskriminan! Jika ya, coba metode ini untuk menyelesaikan persamaan berikut:

Apa yang kamu dapatkan? Mari kita bandingkan grafik kita:

Grafik menunjukkan bahwa jawabannya adalah:

Apakah Anda berhasil? Bagus sekali! Sekarang mari kita lihat persamaan yang sedikit lebih rumit, yaitu, solusi persamaan campuran, yaitu persamaan yang mengandung fungsi dari jenis yang berbeda.

Solusi grafis dari persamaan campuran

Sekarang mari kita coba selesaikan soal berikut:

Tentu saja, semuanya bisa dibawa ke faktor persekutuan, temukan akar persamaan yang dihasilkan, jangan lupa memperhitungkan ODZ, tetapi sekali lagi, kami akan mencoba menyelesaikannya secara grafis, seperti yang kami lakukan dalam semua kasus sebelumnya.

Kali ini mari kita plot 2 grafik berikut:

1. - grafiknya hiperbola
2. - grafik adalah garis lurus yang dapat Anda buat dengan mudah dengan memperkirakan nilai dan di kepala Anda bahkan tanpa menggunakan kalkulator.

Diwujudkan? Sekarang mulai membangun.

Inilah yang terjadi pada saya:

Melihat gambar ini, apa akar persamaan kita?

Itu benar, dan. Berikut konfirmasinya:

Coba masukkan akar kita ke dalam persamaan. Telah terjadi?

Baiklah! Setuju, memecahkan persamaan seperti itu secara grafis adalah suatu kesenangan!

Coba selesaikan sendiri persamaannya secara grafis:

Saya memberi Anda petunjuk: pindahkan bagian dari persamaan ke sisi kanan sehingga kedua belah pihak memiliki fungsi yang paling sederhana untuk dibangun. Punya petunjuk? Mengambil tindakan!

Sekarang mari kita lihat apa yang Anda dapatkan:

Masing-masing:

1. - parabola kubik.
2. - garis lurus biasa.

Nah, kami sedang membangun:

Seperti yang Anda tulis untuk waktu yang lama, akar dari persamaan ini adalah -.

Setelah memecahkan ini sejumlah besar contoh, saya yakin Anda menyadari bagaimana Anda dapat dengan mudah dan cepat menyelesaikan persamaan secara grafis. Saatnya mencari cara untuk memutuskan dengan cara yang sama sistem.

Solusi grafis sistem

Solusi grafis sistem pada dasarnya tidak berbeda dengan solusi grafis persamaan. Kami juga akan membangun dua grafik, dan titik persimpangannya akan menjadi akar dari sistem ini. Satu grafik adalah satu persamaan, grafik kedua adalah persamaan lain. Semuanya sangat sederhana!

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana - memecahkan sistem persamaan linier.

Memecahkan sistem persamaan linear

Katakanlah kita memiliki sistem berikut:

Untuk memulainya, kami akan mengubahnya sedemikian rupa sehingga di sebelah kiri ada semua yang terhubung, dan di kanan - apa yang terhubung. Dengan kata lain, kami menulis persamaan ini sebagai fungsi dalam bentuk biasa untuk kami:

Dan sekarang kita hanya membangun dua garis lurus. Apa solusi dalam kasus kami? Benar! Titik persimpangan mereka! Dan di sini Anda harus sangat, sangat berhati-hati! Pikirkan mengapa? Saya akan memberi Anda petunjuk: kita sedang berhadapan dengan sebuah sistem: sistem memiliki keduanya, dan... Mengerti?

Baiklah! Saat memecahkan sistem, kita harus melihat kedua koordinat, dan tidak hanya, seperti saat menyelesaikan persamaan! Lain poin penting- tuliskan dengan benar dan jangan bingung di mana kita memiliki nilainya, dan di mana nilainya! Tercatat? Sekarang mari kita bandingkan semuanya secara berurutan:

Dan jawaban: i. Lakukan pemeriksaan - gantikan akar yang ditemukan ke dalam sistem dan pastikan bahwa kami menyelesaikannya dengan benar secara grafis?

Memecahkan sistem persamaan nonlinier

Tetapi bagaimana jika alih-alih satu garis lurus, kita akan memiliki persamaan kuadrat? Tidak masalah! Anda hanya membangun parabola, bukan garis lurus! Jangan percaya? Coba selesaikan sistem berikut:

Apa kita? langkah selanjutnya? Benar, tuliskan agar nyaman bagi kita untuk membuat grafik:

Dan sekarang ini semua tentang hal kecil - saya membuatnya dengan cepat dan inilah solusi untuk Anda! Bangunan:

Apakah grafiknya sama? Sekarang tandai solusi sistem pada gambar dan tulis dengan benar jawaban yang terungkap!

Aku sudah melakukan semuanya? Bandingkan dengan catatan saya:

Baiklah? Bagus sekali! Anda sudah mengklik tugas-tugas seperti itu seperti kacang! Dan jika demikian, mari beri Anda sistem yang lebih rumit:

Apa yang kita lakukan? Benar! Kami menulis sistem sehingga nyaman untuk membangun:

Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk, karena sistemnya terlihat sangat rumit! Saat membangun grafik, buatlah "lebih banyak", dan yang paling penting, jangan kaget dengan jumlah titik persimpangan.

Jadi ayo pergi! dihembuskan? Sekarang mulai membangun!

Nah, bagaimana? Dengan tampan? Berapa banyak titik persimpangan yang Anda dapatkan? Saya punya tiga! Mari kita bandingkan grafik kita:

Cara yang sama? Sekarang dengan hati-hati tuliskan semua solusi dari sistem kami:

Sekarang lihat kembali sistemnya:

Bisakah Anda bayangkan bahwa Anda menyelesaikannya hanya dalam 15 menit? Setuju, matematika masih sederhana, terutama ketika melihat ekspresi, Anda tidak takut membuat kesalahan, tetapi Anda mengambilnya dan memutuskan! Kamu sudah besar!

Solusi grafis dari ketidaksetaraan

Solusi grafis dari pertidaksamaan linier

Setelah contoh terakhir Anda memiliki segalanya di bahu Anda! Sekarang buang napas - dibandingkan dengan bagian sebelumnya, yang ini akan sangat, sangat mudah!

Kita mulai, seperti biasa, dengan solusi grafis pertidaksamaan linier. Misalnya, yang ini:

Untuk memulainya, kami akan melakukan transformasi paling sederhana - kami akan membuka tanda kurung kotak penuh dan tambahkan istilah seperti:

Pertidaksamaan tidak ketat, oleh karena itu - tidak termasuk dalam interval, dan solusinya adalah semua titik yang ke kanan, karena lebih banyak, dan seterusnya:

Menjawab:

Itu saja! Mudah? Selesaikan pertidaksamaan sederhana dengan dua variabel:

Mari kita menggambar fungsi dalam sistem koordinat.

Apakah Anda memiliki grafik seperti itu? Dan sekarang kita hati-hati melihat apa yang kita miliki dalam ketidaksetaraan? Lebih sedikit? Jadi, kami mengecat semua yang ada di sebelah kiri garis lurus kami. Bagaimana jika ada lebih banyak? Itu benar, maka mereka akan melukis semua yang ada di sebelah kanan garis lurus kita. Semuanya sederhana.

Semua solusi ketidaksetaraan ini "dibayangi" jeruk. Itu saja, pertidaksamaan dua variabel diselesaikan. Ini berarti bahwa koordinat dan setiap titik dari daerah yang diarsir adalah solusinya.

Solusi grafis dari pertidaksamaan kuadrat

Sekarang kita akan membahas bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis.

Tapi sebelum kita langsung ke intinya, mari kita rekap beberapa hal tentang fungsi kuadrat.

Untuk apa diskriminan bertanggung jawab? Benar sekali, untuk posisi grafik relatif terhadap sumbu (kalau tidak ingat, baca dulu teori tentang fungsi kuadrat).

Bagaimanapun, inilah sedikit pengingat untuk Anda:

Sekarang setelah kita menyegarkan semua materi dalam ingatan kita, mari kita mulai - kita akan menyelesaikan ketidaksetaraan secara grafis.

Saya akan segera memberi tahu Anda bahwa ada dua opsi untuk menyelesaikannya.

Pilihan 1

Kami menulis parabola kami sebagai fungsi:

Dengan menggunakan rumus, kami menentukan koordinat titik parabola (dengan cara yang sama seperti ketika memecahkan persamaan kuadrat):

Apakah Anda menghitung? Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang mari kita ambil dua lagi berbagai titik dan hitung untuk mereka:

Kami mulai membangun satu cabang parabola:

Kami secara simetris mencerminkan titik kami pada cabang lain parabola:

Sekarang kembali ke ketidaksetaraan kita.

Kita membutuhkannya menjadi kurang dari nol, masing-masing:

Karena dalam ketidaksetaraan kami ada tanda yang sangat kurang, kami mengecualikan titik akhir - kami "mencongkel".

Menjawab:

Jauh, kan? Sekarang saya akan menunjukkan versi sederhana dari solusi grafis menggunakan ketidaksetaraan yang sama sebagai contoh:

pilihan 2

Kami kembali ke ketidaksetaraan kami dan menandai interval yang kami butuhkan:

Setuju, ini jauh lebih cepat.

Yuk tulis jawabannya sekarang:

Pertimbangkan solusi lain yang menyederhanakan dan bagian aljabar, tapi yang utama jangan bingung.

Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:

Coba selesaikan pertidaksamaan kuadrat berikut ini sendiri dengan cara apa pun yang Anda suka: .

Apakah Anda berhasil?

Lihat bagaimana grafik saya berubah:

Menjawab: .

Solusi grafis dari ketidaksetaraan campuran

Sekarang mari kita beralih ke ketidaksetaraan yang lebih kompleks!

Bagaimana Anda menyukai ini:

Mengerikan, bukan? Sejujurnya, saya tidak tahu bagaimana menyelesaikan ini secara aljabar ... Tapi, itu tidak perlu. Secara grafis, tidak ada yang rumit dalam hal ini! Mata takut, tetapi tangan melakukannya!

Hal pertama yang kita mulai adalah dengan membangun dua grafik:

Saya tidak akan menulis tabel untuk semua orang - saya yakin Anda dapat melakukannya sendiri dengan sempurna (tentu saja, ada begitu banyak contoh untuk dipecahkan!).

Dilukis? Sekarang buat dua grafik.

Mari kita bandingkan gambar kita?

Apakah Anda memiliki hal yang sama? Bagus sekali! Sekarang mari kita tempatkan titik-titik persimpangan dan tentukan dengan warna grafik mana yang seharusnya kita miliki, secara teori, harus lebih besar, yaitu. Lihat apa yang terjadi pada akhirnya:

Dan sekarang kita lihat saja dimana chart yang kita pilih lebih tinggi dari chart? Jangan ragu untuk mengambil pensil dan melukis daerah yang diberikan! Ini akan menjadi solusi untuk ketidaksetaraan kompleks kita!

Pada interval berapa di sepanjang sumbu kita lebih tinggi dari? Benar, . Ini adalah jawabannya!

Nah, sekarang Anda dapat menangani persamaan apa pun, dan sistem apa pun, dan terlebih lagi ketidaksetaraan apa pun!

SINGKAT TENTANG UTAMA

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan menggunakan grafik fungsi:

1. Ekspresikan melalui
2. Tentukan jenis fungsi
3. Mari kita buat grafik dari fungsi yang dihasilkan
4. Tentukan titik potong grafik
5. Tulis jawaban dengan benar (dengan memperhatikan ODZ dan tanda pertidaksamaan)
6. Periksa jawabannya (substitusikan akar dalam persamaan atau sistem)

Untuk informasi lebih lanjut tentang merencanakan grafik fungsi, lihat topik "".