Deret aritmatika dan geometrik
Informasi teoretis
Informasi teoretis
Deret aritmatika |
Kemajuan geometris |
|
Definisi |
Deret aritmatika sebuah urutan disebut, setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, sama dengan anggota sebelumnya, ditambah dengan nomor yang sama d (d- perbedaan perkembangan) |
deret geometri b n barisan bilangan bukan nol disebut, setiap suku yang dimulai dari yang kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama q (q- penyebut kemajuan) |
Rumus berulang |
Untuk alam apa pun n |
Untuk alam apa pun n |
rumus suku ke-n |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 q n - 1, b n 0 |
| properti karakteristik |  |
|
| Jumlah n suku pertama |  |
 |
Contoh tugas dengan komentar
Latihan 1
Dalam barisan aritmatika ( sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2
Menurut rumus suku ke-n:
22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21 hari
Dengan kondisi:
sebuah 1= -6, jadi 22= -6 + 21d.
Perbedaan progresi perlu dicari:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Menjawab : 22 = -48.
Tugas 2
Tentukan suku kelima dari deret geometri: -3; 6;....
Cara pertama (menggunakan rumus suku-n)
Menurut rumus anggota ke-n dari deret geometri:
b 5 \u003d b 1 q 5 - 1 = b 1 q 4.
Sebagai b 1 = -3,
Cara ke-2 (menggunakan rumus rekursif)
Karena penyebut dari barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Menjawab : b 5 = -48.
Tugas 3
Dalam barisan aritmatika ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Tentukan suku ke tujuh puluh lima dari deret ini.
Untuk barisan aritmatika, sifat karakteristik memiliki bentuk 
.
Karena itu:
.
Substitusikan data ke dalam rumus:
Jawaban: 95.
Tugas 4
Dalam barisan aritmatika ( a n ) a n= 3n - 4. Temukan jumlah tujuh belas suku pertama.
Untuk mencari jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, digunakan dua rumus:
.
Yang mana di kasus ini lebih nyaman digunakan?
Dengan syarat, rumus anggota ke-n dari perkembangan asli diketahui ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Dapat ditemukan segera dan sebuah 1, dan 16 tanpa menemukan d. Oleh karena itu, kami menggunakan rumus pertama.
Jawaban: 368.
Tugas 5
Dalam deret aritmatika sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.
Menurut rumus suku ke-n:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21 hari.
Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, maka 22= -6 + 21d. Perbedaan progresi perlu dicari:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Menjawab : 22 = -48.
Tugas 6
Beberapa suku berurutan dari barisan geometri dicatat:
Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x .
Saat memecahkan, kami menggunakan rumus untuk suku ke-n b n \u003d b 1 q n - 1 untuk deret geometri. Anggota pertama dari perkembangan. Untuk menemukan penyebut dari perkembangan q, Anda perlu mengambil salah satu dari suku-suku dari perkembangan ini dan membaginya dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, Anda dapat mengambil dan membagi dengan. Kami mendapatkan q \u003d 3. Alih-alih n, kami mengganti 3 dalam rumus, karena perlu untuk menemukan suku ketiga dari deret geometri yang diberikan.
Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kami mendapatkan:
.
Menjawab : .
Tugas 7
Dari deret aritmatika, diberikan oleh rumus suku ke-n, pilih salah satu yang syaratnya terpenuhi 27 > 9:
Karena kondisi yang ditentukan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari progresi, kami mengganti 27 alih-alih n di masing-masing dari empat progresi. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:
.
Jawaban: 4.
Tugas 8
Dalam deret aritmatika sebuah 1= 3, d = -1.5. Menentukan nilai tertinggi n , dimana pertidaksamaan sebuah > -6.
Banyak yang telah mendengar tentang deret aritmatika, tetapi tidak semua orang tahu apa itu deret aritmatika. Pada artikel ini, kami akan memberikan definisi yang sesuai, dan juga mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana menemukan perbedaan dari deret aritmatika, dan memberikan sejumlah contoh.
Definisi matematika
Jadi jika kita sedang berbicara tentang deret aritmatika atau aljabar (konsep-konsep ini mendefinisikan hal yang sama), ini berarti ada beberapa seri nomor memuaskan hukum berikutnya: setiap dua bilangan bersebelahan dalam deret tersebut berbeda dengan jumlah yang sama. Secara matematis, ini ditulis seperti ini:
Di sini n berarti jumlah elemen a n dalam barisan, dan angka d adalah selisih dari deret (namanya mengikuti rumus yang disajikan).
Apa artinya mengetahui perbedaan d? Tentang seberapa jauh jarak angka yang berdekatan. Namun, pengetahuan tentang d diperlukan, tetapi tidak kondisi cukup untuk menentukan (mengembalikan) seluruh perkembangan. Anda perlu mengetahui satu angka lagi, yang benar-benar dapat berupa elemen apa pun dari deret yang dipertimbangkan, misalnya, a 4, a10, tetapi, sebagai aturan, angka pertama digunakan, yaitu, 1.
Rumus untuk menentukan elemen progresi
Secara umum, informasi di atas sudah cukup untuk melanjutkan ke solusi tugas tertentu. Namun demikian, sebelum deret aritmatika diberikan, dan akan diperlukan untuk menemukan perbedaannya, kami menyajikan pasangan rumus yang berguna, sehingga memudahkan proses pemecahan masalah selanjutnya.
Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa setiap elemen dari barisan dengan nomor n dapat ditemukan sebagai berikut:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d
Memang, semua orang dapat memeriksa rumus ini dengan pencacahan sederhana: jika Anda mengganti n = 1, maka Anda mendapatkan elemen pertama, jika Anda mengganti n = 2, maka ekspresi memberikan jumlah angka pertama dan perbedaannya, dan seterusnya .
Kondisi banyak masalah dikompilasi sedemikian rupa sehingga untuk pasangan angka yang diketahui, yang angka-angkanya juga diberikan secara berurutan, perlu untuk mengembalikan seluruh seri angka (temukan perbedaan dan elemen pertama). Sekarang kita akan memecahkan masalah ini secara umum.
Jadi, misalkan kita diberikan dua elemen dengan angka n dan m. Dengan menggunakan rumus yang diperoleh di atas, kita dapat membuat sistem dua persamaan:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Untuk menemukan jumlah yang tidak diketahui mari kita gunakan yang terkenal trik sederhana solusi dari sistem seperti itu: kami mengurangi berpasangan bagian kiri dan kanan, sementara kesetaraan tetap valid. Kita punya:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Jadi, kami telah menghilangkan satu yang tidak diketahui (a 1). Sekarang kita dapat menulis ekspresi akhir untuk menentukan d:
d = (a n - a m) / (n - m), di mana n > m
Kami telah menerima sangat rumus sederhana: untuk menghitung selisih d sesuai dengan kondisi soal, hanya perlu mengambil perbandingan selisih dari unsur-unsur itu sendiri dan nomor urutnya. Harus fokus pada satu poin penting perhatian: perbedaan diambil antara anggota "senior" dan "junior", yaitu, n > m ("senior" - artinya berdiri lebih jauh dari awal urutan, nilai mutlak bisa lebih besar atau lebih kecil dari elemen "lebih muda").
Ekspresi untuk perbedaan d dari perkembangan harus disubstitusikan ke salah satu persamaan di awal solusi masalah untuk mendapatkan nilai suku pertama.
Di zaman perkembangan kita teknologi komputer banyak anak sekolah mencoba mencari solusi untuk tugas mereka di Internet, jadi pertanyaan seperti ini sering muncul: temukan perbedaan deret aritmatika online. Atas permintaan seperti itu, mesin pencari akan menampilkan sejumlah halaman web, dengan masuk ke sana, Anda harus memasukkan data yang diketahui dari kondisinya (bisa berupa dua anggota perkembangan atau jumlah dari beberapa di antaranya) dan langsung mendapatkan jawaban. Namun demikian, pendekatan pemecahan masalah seperti itu tidak produktif dalam hal perkembangan siswa dan pemahaman esensi tugas yang diberikan kepadanya.
Solusi tanpa menggunakan rumus
Mari kita selesaikan masalah pertama, sementara kita tidak akan menggunakan rumus di atas. Biarkan elemen-elemen dari deret diberikan: a6 = 3, a9 = 18. Temukan perbedaan dari barisan aritmatika.
Elemen yang diketahui berdekatan satu sama lain dalam satu baris. Berapa kali selisih d harus ditambahkan ke yang terkecil untuk mendapatkan yang terbesar? Tiga kali (pertama kali menambahkan d, kami mendapatkan elemen ke-7, kedua kalinya - kedelapan, akhirnya, ketiga kalinya - kesembilan). Berapa angka yang harus ditambahkan menjadi tiga tiga kali untuk mendapatkan 18? Ini nomor lima. Betulkah:
Jadi, perbedaan yang tidak diketahui adalah d = 5.
Tentu saja pemecahannya dapat dilakukan dengan menggunakan formula yang tepat, tetapi hal ini tidak dilakukan dengan sengaja. Penjelasan detail pemecahan masalah harus jelas dan contoh utama, Apa deret aritmatika.
Tugas yang mirip dengan yang sebelumnya
Sekarang mari kita putuskan tugas serupa, tetapi mengubah data input. Jadi, Anda harus mencari jika a3 = 2, a9 = 19.
Tentu saja, Anda dapat menggunakan lagi metode penyelesaian "di dahi". Tetapi karena elemen-elemen deret diberikan, yang relatif berjauhan, metode seperti itu menjadi sangat tidak nyaman. Tetapi menggunakan rumus yang dihasilkan akan dengan cepat membawa kita ke jawaban:
d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 2.83
Di sini kita telah membulatkan angka terakhir. Seberapa besar pembulatan ini menyebabkan kesalahan dapat dinilai dengan memeriksa hasilnya:
a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98
Hasil ini hanya berbeda 0,1% dari nilai yang diberikan dalam kondisi. Oleh karena itu, pembulatan yang digunakan ke perseratusan dapat dipertimbangkan pilihan sukses.
Tugas untuk menerapkan rumus untuk anggota
Mempertimbangkan contoh klasik tugas untuk menentukan yang tidak diketahui d: temukan perbedaan dari barisan aritmatika jika a1 = 12, a5 = 40.
Ketika dua nomor yang tidak diketahui diberikan barisan aljabar, dan salah satunya adalah elemen a 1 , maka Anda tidak perlu berpikir panjang, tetapi Anda harus segera menerapkan rumus untuk anggota a n. Dalam hal ini kita memiliki:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Kita punya angka pasti saat membagi, jadi tidak masuk akal untuk memeriksa keakuratan hasil yang dihitung, seperti yang dilakukan pada paragraf sebelumnya.
Mari kita selesaikan masalah serupa lainnya: kita harus menemukan perbedaan deret aritmatika jika a1 = 16, a8 = 37.
Kami menggunakan pendekatan yang mirip dengan yang sebelumnya dan mendapatkan:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Apa lagi yang harus Anda ketahui tentang deret aritmatika
Selain tugas menemukan perbedaan yang tidak diketahui atau elemen individu, seringkali perlu untuk memecahkan masalah jumlah suku pertama suatu barisan. Pertimbangan atas permasalahan tersebut berada di luar cakupan topik artikel, namun demikian untuk kelengkapan informasi, kami hadirkan rumus umum untuk jumlah n bilangan deret:
n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Jika setiap bilangan asli n masukkan ke dalam antrean bilangan asli sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa diberikan urutan nomor :
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . , sebuah , . . . .
Jadi, urutan numerik adalah fungsi dari argumen alami.
Nomor sebuah 1 ditelepon anggota pertama dari urutan , nomor sebuah 2 — anggota kedua dari urutan , nomor sebuah 3 — ketiga dll. Nomor sebuah ditelepon anggota ke-n urutan , dan bilangan asli n — nomornya .
Dari dua anggota tetangga sebuah dan sebuah +1 urutan anggota sebuah +1 ditelepon setelah (menuju sebuah ), sebuah sebuah — sebelumnya (menuju sebuah +1 ).
Untuk menentukan urutan, Anda harus menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan dengan nomor apa pun.
Seringkali urutan diberikan dengan rumus suku ke-n , yaitu, rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota urutan berdasarkan nomornya.
Sebagai contoh,
urutan positif angka ganjil dapat diberikan dengan rumus
sebuah= 2n- 1,
dan urutan bolak-balik 1 dan -1 - rumus
b n = (-1)n +1 . ◄
Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu, formula yang mengungkapkan setiap anggota dari urutan, dimulai dengan beberapa, melalui anggota sebelumnya (satu atau lebih).
Sebagai contoh,
jika sebuah 1 = 1 , sebuah sebuah +1 = sebuah + 5
sebuah 1 = 1,
sebuah 2 = sebuah 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
sebuah 3 = sebuah 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
sebuah 4 = sebuah 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
sebuah 5 = sebuah 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Jika sebuah sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh anggota pertama dari urutan numerik ditetapkan sebagai berikut:
sebuah 1 = 1,
sebuah 2 = 1,
sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,
sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,
sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,
sebuah 6 = sebuah 4 + sebuah 5 = 3 + 5 = 8,
sebuah 7 = sebuah 5 + sebuah 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Urutan bisa terakhir dan tak berujung .
Urutannya disebut terakhir jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak berujung jika memiliki banyak anggota yang tak terhingga.
Sebagai contoh,
barisan bilangan asli dua angka:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
terakhir.
Urutan bilangan prima:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
tak berujung. ◄
Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih besar dari yang sebelumnya.
Urutannya disebut memudar , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih kecil dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . adalah urutan menaik;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . adalah barisan menurun. ◄
Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang dengan bertambahnya jumlah, atau, sebaliknya, tidak bertambah, disebut urutan monoton .
Urutan monoton, khususnya, adalah urutan yang meningkat dan urutan yang menurun.
Deret aritmatika
Deret aritmatika urutan disebut, setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, yang ditambahkan nomor yang sama.
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . , sebuah, . . .
adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli n kondisi terpenuhi:
sebuah +1 = sebuah + d,
di mana d - beberapa nomor.
Jadi, perbedaan antara anggota berikutnya dan anggota sebelumnya dari deret aritmatika yang diberikan selalu konstan:
sebuah 2 - sebuah 1 = sebuah 3 - sebuah 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = d.
Nomor d ditelepon perbedaan barisan aritmatika.
Untuk menentukan barisan aritmatika, cukup dengan menentukan suku pertama dan selisihnya.
Sebagai contoh,
jika sebuah 1 = 3, d = 4 , maka lima suku pertama barisan tersebut ditemukan sebagai berikut:
sebuah 1 =3,
sebuah 2 = sebuah 1 + d = 3 + 4 = 7,
sebuah 3 = sebuah 2 + d= 7 + 4 = 11,
sebuah 4 = sebuah 3 + d= 11 + 4 = 15,
sebuah 5 = sebuah 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama sebuah 1 dan perbedaan d dia n
sebuah = sebuah 1 + (n- 1)d.
Sebagai contoh,
tentukan suku ke tigapuluh suatu deret aritmatika
1, 4, 7, 10, . . .
sebuah 1 =1, d = 3,
30 = sebuah 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
sebuah n-1 = sebuah 1 + (n- 2)d,
sebuah= sebuah 1 + (n- 1)d,
sebuah +1 = sebuah 1 + dan,
maka jelas
| sebuah=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.
Bilangan a, b dan c adalah anggota berurutan dari beberapa barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua lainnya.
Sebagai contoh,
sebuah = 2n- 7 , adalah barisan aritmatika.
Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:
sebuah = 2n- 7,
sebuah n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Karena itu,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = sebuah,
|
| 2
| 2
|
◄
Perhatikan bahwa n -Anggota deret aritmatika dapat ditemukan tidak hanya melalui sebuah 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k
sebuah = sebuah k + (n- k)d.
Sebagai contoh,
untuk sebuah 5 dapat ditulis
sebuah 5 = sebuah 1 + 4d,
sebuah 5 = sebuah 2 + 3d,
sebuah 5 = sebuah 3 + 2d,
sebuah 5 = sebuah 4 + d. ◄
sebuah = sebuah n-k + kd,
sebuah = sebuah n+k - kd,
maka jelas
| sebuah=
| sebuah n-k
+ a n+k
|
| 2
|
setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan setengah jumlah anggota deret aritmatika ini yang berjarak sama darinya.
Selain itu, untuk setiap deret aritmatika, persamaannya adalah benar:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Sebagai contoh,
dalam deret aritmatika
1) sebuah 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (sebuah 9 + sebuah 11 )/2;
2) 28 = 10 = sebuah 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sebagai
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a1+a2+a3+ . . .+ sebuah,
pertama n anggota deret aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrem dengan jumlah suku:
Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika perlu untuk menjumlahkan persyaratan
sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,
maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:
Sebagai contoh,
dalam deret aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Jika suatu deret aritmatika diberikan, maka besarannya sebuah 1 , sebuah, d, n danS n dihubungkan oleh dua rumus:
Oleh karena itu, jika tiga dari jumlah ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.
Barisan aritmatika adalah barisan monoton. Di mana:
- jika d > 0 , maka meningkat;
- jika d < 0 , maka menurun;
- jika d = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.
Perkembangan geometris
deret geometri urutan disebut, setiap istilah yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, dikalikan dengan angka yang sama.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
adalah deret geometri jika untuk sembarang bilangan asli n kondisi terpenuhi:
b n +1 = b n · q,
di mana q ≠ 0 - beberapa nomor.
Jadi, rasio suku berikutnya dari deret geometri ini dengan yang sebelumnya adalah bilangan konstan:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Nomor q ditelepon penyebut barisan geometri.
Untuk menentukan barisan geometri, cukup tentukan suku pertama dan penyebutnya.
Sebagai contoh,
jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima suku pertama barisan tersebut ditemukan sebagai berikut:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 dan penyebut q dia n suku -th dapat ditemukan dengan rumus:
b n = b 1 · q n -1 .
Sebagai contoh,
tentukan suku ketujuh suatu deret geometri 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
maka jelas
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
setiap anggota deret geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata geometrik (proporsional) dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.
Karena kebalikannya juga benar, maka pernyataan berikut berlaku:
Bilangan a, b, dan c merupakan anggota berurutan dari suatu barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan produk dua lainnya, yaitu, salah satu angka adalah rata-rata geometris dari dua lainnya.
Sebagai contoh,
mari kita buktikan bahwa urutan yang diberikan oleh rumus b n= -3 2 n , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Karena itu,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
yang membuktikan pernyataan yang diperlukan. ◄
Perhatikan bahwa n Suku ke deret geometri tidak hanya dapat ditemukan melalui b 1 , tetapi juga istilah sebelumnya b k , yang cukup untuk menggunakan rumus
b n = b k · q n - k.
Sebagai contoh,
untuk b 5 dapat ditulis
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
maka jelas
b n 2 = b n - k· b n + k
kuadrat dari setiap anggota deret geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan produk dari anggota deret yang berjarak sama darinya.
Selain itu, untuk setiap deret geometri, persamaannya benar:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ aku.
Sebagai contoh,
secara eksponensial
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sebagai
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
pertama n anggota barisan geometri dengan penyebut q ≠ 0 dihitung dengan rumus:
Dan kapan q = 1 - menurut rumus
S n= n.b. 1
Perhatikan bahwa jika kita perlu menjumlahkan suku-sukunya
b k, b k +1 , . . . , b n,
maka rumus yang digunakan :
| S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Sebagai contoh,
secara eksponensial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Jika diberikan deret geometri, maka besarannya b 1 , b n, q, n dan S n dihubungkan oleh dua rumus:
Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.
Untuk barisan geometri dengan suku pertama b 1 dan penyebut q berikut terjadi sifat monoton :
- progresi meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:
b 1 > 0 dan q> 1;
b 1 < 0 dan 0 < q< 1;
- Sebuah kemajuan menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:
b 1 > 0 dan 0 < q< 1;
b 1 < 0 dan q> 1.
Jika sebuah q< 0 , maka deret geometrinya adalah bolak-balik tanda: suku-sukunya yang bernomor ganjil bertanda sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku bernomor genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.
Produk pertama n suku-suku suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Sebagai contoh,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Deret geometri menurun tanpa batas
Deret geometri menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya kurang dari 1 , yaitu
|q| < 1 .
Perhatikan bahwa deret geometri menurun tak terhingga mungkin bukan deret menurun. Ini sesuai dengan kasusnya
1 < q< 0 .
Dengan penyebut seperti itu, barisannya adalah bolak-balik tanda. Sebagai contoh,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Jumlah dari deret geometri yang semakin menurun sebutkan bilangan yang dijumlahkan dengan bilangan pertama n hal perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas n . Bilangan ini selalu berhingga dan dinyatakan dengan rumus
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Sebagai contoh,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Hubungan deret aritmatika dan deret geometri
Deret aritmatika dan geometri sangat erat hubungannya. Mari kita pertimbangkan dua contoh saja.
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . d , kemudian
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Sebagai contoh,
1, 3, 5, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan 2 dan
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut q , kemudian
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan log aq .
Sebagai contoh,
2, 12, 72, . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 6 dan
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄
Ya, ya: deret aritmatika bukan mainan untuk Anda :) Nah, teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti tutup internal memberi tahu saya bahwa Anda masih belum tahu apa itu barisan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOO!) ingin tahu. Karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke bisnis.
Untuk memulai, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set angka:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Apa kesamaan dari semua set ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Tapi sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama.
Hakim untuk diri sendiri. Set pertama hanya angka berurutan, masing-masing lebih banyak dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, perbedaan antara nomor berdiri sudah sama dengan lima, tetapi perbedaan ini masih konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar secara umum. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, sedangkan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mis. dalam hal ini setiap elemen berikutnya hanya bertambah $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).
Jadi: semua barisan seperti itu disebut deret aritmatika. Mari kita berikan definisi yang ketat:
Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Jumlah di mana angka-angka itu berbeda disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.
Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah progresi itu sendiri, $d$ adalah selisihnya.
Dan hanya pasangan catatan penting. Pertama, kemajuan dianggap hanya tertib urutan angka: mereka diizinkan untuk dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Anda tidak dapat mengatur ulang atau menukar nomor.
Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam roh (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah perkembangan tak terbatas. Elipsis setelah empat, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa cukup banyak angka yang melangkah lebih jauh. Banyak sekali, misalnya. :)
Saya juga ingin mencatat bahwa progresi meningkat dan menurun. Kami telah melihat peningkatan yang - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh progresi yang menurun:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi sisanya, saya pikir, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:
Definisi. Deret aritmatika disebut:
- meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya;
- menurun, jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya.
Selain itu, ada yang disebut urutan "stasioner" - mereka terdiri dari nomor berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).
Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan perkembangan yang meningkat dari yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:
- Jika $d \gt 0$, maka progresnya meningkat;
- Jika $d \lt 0$, maka progresi jelas menurun;
- Akhirnya, ada kasus $d=0$, dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi barisan stasioner nomor yang sama: (1; 1; 1; 1; ...) dll.
Mari kita coba hitung selisih $d$ untuk ketiga progresi menurun di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi dari angka di sebelah kanan, angka di sebelah kiri. Ini akan terlihat seperti ini:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Seperti yang Anda lihat, dalam ketiga kasus perbedaannya benar-benar negatif. Dan sekarang setelah kita kurang lebih mengetahui definisinya, saatnya untuk mencari tahu bagaimana progresi dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.
Anggota perkembangan dan formula berulang
Karena elemen dari barisan kita tidak dapat dipertukarkan, mereka dapat diberi nomor:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Baik\)\]
Elemen individu dari himpunan ini disebut anggota perkembangan. Mereka ditunjukkan dengan cara ini dengan bantuan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dan seterusnya.
Selain itu, seperti yang sudah kita ketahui, anggota perkembangan yang bertetangga terkait dengan rumus:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Singkatnya, untuk menemukan suku ke $n$ dari perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisihnya $d$. Rumus seperti itu disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan nomor apa pun, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan pada kenyataannya, semua yang sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun ke suku pertama dan selisihnya:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]
Anda mungkin pernah menemukan formula ini sebelumnya. Mereka suka memberikannya dalam segala macam buku referensi dan reshebnik. Dan dalam setiap buku teks yang masuk akal tentang matematika, itu adalah salah satu yang pertama.
Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.
Tugas nomor 1. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.
Keputusan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangan $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan substitusikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]
Jawaban: (8; 3; -2)
Itu saja! Perhatikan bahwa perkembangan kami menurun.
Tentu saja, $n=1$ tidak dapat disubstitusikan - kita sudah mengetahui suku pertamanya. Namun, dengan mengganti unit, kami memastikan bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berfungsi. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika dangkal.
Tugas nomor 2. Tulislah tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuhnya adalah 40 dan suku ketujuh belasnya adalah 50.
Keputusan. Kami menulis kondisi masalah dalam istilah biasa:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Baik.\]
Saya memberi tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Dan sekarang kita perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita memiliki hak untuk melakukan ini, karena kita memiliki sistem), kita mendapatkan ini:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]
Sama seperti itu, kami menemukan perbedaan perkembangan! Tetap menggantikan nomor yang ditemukan di salah satu persamaan sistem. Misalnya, pada yang pertama:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \akhir(matriks)\]
Sekarang, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]
Siap! Masalah terpecahkan.
Jawaban: (-34; -35; -36)
perhatikan properti penasaran progresi yang kita temukan: jika kita mengambil suku ke $n$ dan $m$ dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih dari progresi dikalikan dengan bilangan $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]
Sederhana tapi sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat secara signifikan mempercepat solusi dari banyak masalah dalam progresi. Di Sini cerah untuk itu contoh:
Tugas nomor 3. Suku kelima dari barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari deret ini.
Keputusan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan sebagai berikut:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]
Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(sejajarkan)\]
Jawaban: 20.4
Itu saja! Kami tidak perlu menyusun sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama dan selisihnya - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.
Sekarang mari kita pertimbangkan jenis masalah lain - pencarian anggota progresi yang negatif dan positif. Bukan rahasia lagi bahwa jika perkembangannya meningkat, sementara suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat dari suatu progresi yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.
Pada saat yang sama, jauh dari selalu mungkin untuk menemukan momen ini "di dahi", secara berurutan memilah-milah elemen. Seringkali, masalah dirancang sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungan akan memakan waktu beberapa lembar - kami hanya akan tertidur sampai kami menemukan jawabannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.
Tugas nomor 4. Berapa banyak suku negatif dalam deret aritmatika -38.5; -35,8; …?
Keputusan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35,8$, dari mana kita segera menemukan perbedaannya:
Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga progresnya meningkat. Suku pertama negatif, jadi memang suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan ini akan terjadi.
Mari kita coba mencari tahu: berapa lama (yaitu, hingga berapa bilangan asli $n$) negativitas istilah dipertahankan:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \benar. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]
Baris terakhir membutuhkan klarifikasi. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, hanya nilai bilangan bulat dari angka yang cocok untuk kita (selain itu: $n\in \mathbb(N)$), jadi angka terbesar yang diizinkan adalah tepat $n=15$, dan tidak ada kasus 16.
Tugas nomor 5. Dalam deret aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Temukan jumlah suku positif pertama dari deret ini.
Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan yang sebelumnya, tetapi kita tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi suku-suku bertetangganya diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:
Selain itu, mari kita coba mengungkapkan suku kelima dalam hal yang pertama dan perbedaannya menggunakan rumus standar:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]
Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mencari tahu pada titik mana dalam urutan angka positif kami akan muncul:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]
Minimum solusi bilangan bulat pertidaksamaan yang diberikan adalah bilangan 56.
Harap dicatat: di tugas terakhir semuanya turun ke ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.
Sekarang kita telah belajar bagaimana memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti progresi aritmatika lain yang sangat berguna, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak sama di masa depan. :)
Rata-rata aritmatika dan indentasi yang sama
Pertimbangkan beberapa suku berurutan dari deret aritmatika yang meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:
Anggota perkembangan aritmatika pada garis bilanganSaya secara khusus mencatat anggota arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dll. Karena aturan, yang sekarang akan saya beri tahu Anda, berfungsi sama untuk "segmen" apa pun.
Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus rekursif dan menuliskannya untuk semua anggota yang ditandai:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]
Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]
Nah, jadi apa? Tetapi fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - mereka juga dihapus dari $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama sama dengan $2d$. Anda dapat melanjutkan tanpa batas, tetapi gambar menggambarkan artinya dengan baik
Anggota perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat Apa artinya ini untuk kita? Ini berarti Anda dapat menemukan $((a)_(n))$ jika bilangan tetangga diketahui:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Kami telah menyimpulkan pernyataan yang luar biasa: setiap anggota dari deret aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota tetangga! Selain itu, kita dapat menyimpang dari $((a)_(n))$ kita ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah — dan tetap saja rumusnya akan benar:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Itu. kita dapat dengan mudah menemukan beberapa $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sepintas, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak tugas khusus "dipertajam" untuk penggunaan mean aritmatika. Lihatlah:
Tugas nomor 6. Temukan semua nilai $x$ sehingga bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ adalah anggota berurutan dari deret aritmatika (dalam urutan tertentu).
Keputusan. Sejauh nomor yang ditunjukkan adalah anggota dari perkembangan, mereka memenuhi kondisi rata-rata aritmatika: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen tetangga:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]
Ternyata klasik persamaan kuadrat. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.
Jawaban: -3; 2.
Tugas nomor 7. Temukan nilai $$ sedemikian rupa sehingga angka $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk deret aritmatika (dalam urutan itu).
Keputusan. Ayo ekspresikan lagi anggota tengah melalui mean aritmatika anggota tetangga:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]
persamaan kuadrat lainnya. Dan lagi dua akar: $x=6$ dan $x=1$.
Jawaban 1; 6.
Jika dalam proses penyelesaian masalah Anda mendapatkan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada trik luar biasa yang memungkinkan Anda untuk memeriksa: apakah kami menyelesaikan masalah dengan benar?
Katakanlah dalam soal 6 kita mendapat jawaban -3 dan 2. Bagaimana kita bisa memastikan bahwa jawaban-jawaban ini benar? Mari kita pasang ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang seharusnya membentuk deret aritmatika. Pengganti $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]
Kami mendapat angka -54; 2; 50 yang berbeda dengan 52 tidak diragukan lagi merupakan perkembangan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]
Sekali lagi kemajuan, tetapi dengan perbedaan 27. Dengan demikian, masalah diselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa tugas kedua sendiri, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.
Secara umum, saat menyelesaikan tugas terakhir, kami menemukan yang lain fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:
Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah rata-rata dari yang pertama dan terakhir, maka angka-angka ini membentuk deret aritmatika.
Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk benar-benar "membangun" progresi yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "konstruksi" seperti itu, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang secara langsung mengikuti dari apa yang telah dipertimbangkan.
Pengelompokan dan jumlah elemen
Mari kita kembali ke sumbu numerik. Kami mencatat ada beberapa anggota perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak anggota lain:
6 elemen yang ditandai pada garis bilanganMari kita coba menyatakan "ekor kiri" dalam bentuk $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam $((a)_(k))$ dan $ d$. Ini sangat sederhana:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]
Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut adalah sama:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]
Sederhananya, jika kita menganggap sebagai awal dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan beberapa angka $S$, dan kemudian kita mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke sisi yang berlawanan(ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk menghapus), maka jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Ini dapat direpresentasikan secara grafis:
Indentasi yang sama memberikan jumlah yang sama Pemahaman fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah lebih mendasar level tinggi kompleksitas dari yang dibahas di atas. Misalnya, ini:
Tugas nomor 8. Tentukan selisih suatu barisan aritmatika yang suku pertamanya adalah 66, dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.
Keputusan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]
Jadi, kita tidak tahu perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun di sekitar perbedaan, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \left(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]
Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengeluarkan faktor umum 11 dari kurung kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita membuka kurung, kita mendapatkan:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Seperti yang Anda lihat, koefisien pada suku tertinggi adalah 11 - ini adalah nomor positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:
jadwal fungsi kuadrat- parabola
Catatan: nilai minimum parabola ini mengambil $((d)_(0))$ pada simpulnya dengan absis. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini sesuai dengan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan jauh lebih masuk akal untuk perhatikan bahwa simpul yang diinginkan terletak pada simetri sumbu parabola, sehingga titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \kanan)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]
Itulah sebabnya saya tidak terburu-buru untuk membuka kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat, sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absis sama dengan rata-rata bilangan aritmatika-66 dan -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Apa yang memberi kita nomor yang ditemukan? Dengan itu, produk yang dibutuhkan membutuhkan nilai terkecil(Omong-omong, kami tidak menghitung $((y)_(\min ))$ - kami tidak diharuskan melakukan ini). Pada saat yang sama, angka ini adalah perbedaan dari perkembangan awal, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)
Jawaban: -36
Tugas nomor 9. Masukkan tiga angka di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ sehingga bersama dengan angka-angka yang diberikan, mereka membentuk barisan aritmatika.
Keputusan. Faktanya, kita perlu membuat urutan lima angka, dengan yang pertama dan nomor terakhir sudah diketahui. Tunjukkan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]
Perhatikan bahwa angka $y$ adalah "tengah" dari barisan kita - angka ini berjarak sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan ujung progresi. Ingat mean aritmatika:
Sekarang, mengetahui $y$, kita akan menemukan angka yang tersisa. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru saja ditemukan. Jadi
Berdebat sama, kami menemukan nomor yang tersisa:
Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban dalam urutan di mana mereka harus disisipkan di antara angka-angka aslinya.
Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tugas nomor 10. Di antara bilangan 2 dan 42, sisipkan beberapa bilangan yang bersama-sama dengan bilangan yang diberikan membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah bilangan pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.
Keputusan. Bahkan lebih tugas yang sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui mean aritmatika. Masalahnya adalah kita tidak tahu persis berapa banyak angka yang harus dimasukkan. Oleh karena itu, untuk kepastian, kami berasumsi bahwa setelah memasukkan akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, deret aritmatika yang diinginkan dapat direpresentasikan sebagai:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Namun, perhatikan bahwa bilangan $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah menuju satu sama lain , yaitu . ke tengah urutan. Dan ini berarti bahwa
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Tapi kemudian ekspresi di atas dapat ditulis ulang seperti ini:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]
Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]
Tetap hanya untuk menemukan anggota yang tersisa:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]
Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri urutan - angka 42. Secara total, hanya 7 angka yang harus dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Tugas teks dengan progres
Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa tugas sederhana. Sederhananya: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, tugas-tugas ini mungkin tampak seperti isyarat. Namun demikian, justru tugas-tugas seperti itulah yang ditemukan di OGE dan USE dalam matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengan mereka.
Tugas nomor 11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan di masing-masing bulan depan menghasilkan 14 bagian lebih banyak dari yang sebelumnya. Berapa banyak suku cadang yang diproduksi brigade pada bulan November?
Keputusan. Jelas, jumlah bagian, yang dilukis berdasarkan bulan, akan menjadi deret aritmatika yang meningkat. Dan:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada November.
Tugas nomor 12. Lokakarya penjilidan buku menjilid 216 buku di bulan Januari, dan setiap bulannya mengikat 4 buku lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?
Keputusan. Semua sama:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Desember adalah bulan ke-12 terakhir dalam setahun, jadi kami mencari $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.
Nah, jika Anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: “tentu saja pejuang muda» dengan progresi aritmatika Anda telah berhasil lulus. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta yang penting dan sangat konsekuensi yang bermanfaat dari dia.
Seseorang memperlakukan kata "kemajuan" dengan hati-hati, sebagai kata yang sangat istilah kompleks dari bagian matematika yang lebih tinggi. Sedangkan deret aritmatika yang paling sederhana adalah pekerjaan loket taksi (masih ada). Dan dapatkan intinya (dan tidak ada yang lebih penting dalam matematika selain "mendapatkan intinya") barisan aritmatika Ini tidak terlalu sulit setelah Anda memahami beberapa konsep dasar.
Urutan bilangan matematika
Merupakan kebiasaan untuk menyebut urutan numerik sebagai serangkaian angka, yang masing-masing memiliki nomornya sendiri.
dan 1 adalah anggota pertama dari barisan;
dan 2 adalah anggota kedua dari barisan;
dan 7 adalah anggota ketujuh dari urutan;
dan n adalah anggota ke-n dari barisan;
Namun, tidak sembarang angka dan angka menarik minat kami. Kami akan memusatkan perhatian kami pada urutan numerik di mana nilai anggota ke-n terkait dengan nomor urutnya dengan ketergantungan yang dapat dirumuskan dengan jelas secara matematis. Dengan kata lain: nilai numerik Bilangan ke-n adalah beberapa fungsi dari n.
a - nilai anggota urutan numerik;
n - miliknya nomor seri;
f(n) adalah fungsi di mana ordinal dalam barisan numerik n adalah argumennya.
Definisi
Deret aritmatika biasanya disebut barisan numerik di mana setiap suku berikutnya lebih besar (kurang) dari yang sebelumnya dengan angka yang sama. Rumus anggota ke-n dari barisan aritmatika adalah sebagai berikut:
a n - nilai anggota deret aritmatika saat ini;
a n+1 - rumus angka berikutnya;
d - perbedaan (angka tertentu).
Sangat mudah untuk menentukan bahwa jika perbedaannya positif (d>0), maka setiap anggota deret berikutnya yang dipertimbangkan akan lebih besar dari yang sebelumnya, dan deret aritmatika seperti itu akan meningkat.
Pada grafik di bawah ini, mudah untuk melihat mengapa barisan bilangan disebut "naik".
Dalam kasus di mana perbedaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Nilai anggota yang ditentukan
Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai dari beberapa istilah arbitrer n dari deret aritmatika. Anda dapat melakukan ini dengan menghitung secara berurutan nilai semua anggota deret aritmatika, dari yang pertama hingga yang diinginkan. Akan tetapi, cara ini tidak selalu dapat diterima jika, misalnya, perlu mencari nilai suku lima ribu atau delapan juta. Perhitungan tradisional akan memakan waktu lama. Namun, perkembangan aritmatika tertentu dapat diselidiki menggunakan rumus tertentu. Ada juga rumus untuk suku ke-n: nilai setiap anggota deret aritmatika dapat ditentukan sebagai jumlah anggota pertama dari deret tersebut dengan selisih kemajuan, dikalikan dengan jumlah anggota yang diinginkan, dikurangi satu .
Rumusnya universal untuk meningkatkan dan mengurangi perkembangan.
Contoh menghitung nilai anggota yang diberikan
Mari kita selesaikan masalah berikut untuk menemukan nilai anggota ke-n dari deret aritmatika.
Kondisi: ada deret aritmatika dengan parameter:
Anggota pertama dari urutan adalah 3;
Selisih deret bilangan adalah 1,2.
Tugas: perlu mencari nilai dari 214 suku
Solusi: untuk menentukan nilai anggota yang diberikan, kami menggunakan rumus:
a(n) = a1 + d(n-1)
Mengganti data dari pernyataan masalah ke dalam ekspresi, kami memiliki:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258.6
Jawaban: Anggota ke-214 dari barisan sama dengan 258,6.
Keuntungan dari metode perhitungan ini jelas - seluruh solusi tidak lebih dari 2 baris.
Jumlah dari sejumlah istilah tertentu
Sangat sering, dalam deret aritmatika tertentu, diperlukan untuk menentukan jumlah nilai dari beberapa segmennya. Itu juga tidak perlu menghitung nilai setiap istilah dan kemudian menjumlahkannya. Metode ini dapat diterapkan jika jumlah suku yang jumlahnya harus dicari sedikit. Dalam kasus lain, akan lebih mudah untuk menggunakan rumus berikut.
Jumlah anggota barisan aritmatika dari 1 ke n sama dengan jumlah anggota pertama dan ke-n, dikalikan dengan jumlah anggota n dan dibagi dua. Jika dalam rumus nilai anggota ke-n diganti dengan ekspresi dari paragraf artikel sebelumnya, kita mendapatkan:
Contoh perhitungan
Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalah dengan kondisi berikut:
Suku pertama barisan tersebut adalah nol;
Perbedaannya adalah 0,5.
Dalam soal tersebut, diperlukan untuk menentukan jumlah suku-suku barisan dari 56 hingga 101.
Keputusan. Mari kita gunakan rumus untuk menentukan jumlah progresi:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Pertama, kami menentukan jumlah nilai 101 anggota perkembangan dengan mengganti kondisi yang diberikan dari masalah kami ke dalam rumus:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Jelas, untuk mengetahui jumlah suku perkembangan dari ke-56 ke ke-101, kita perlu mengurangkan S 55 dari S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Jadi jumlah dari barisan aritmatika untuk contoh ini adalah:
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5
Contoh penerapan praktis dari deret aritmatika
Di akhir artikel, mari kembali ke contoh deret aritmatika yang diberikan pada paragraf pertama - argometer (meteran mobil taksi). Mari kita pertimbangkan contoh seperti itu.
Naik taksi (yang mencakup 3 km) dikenakan biaya 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar dengan tarif 22 rubel / km. Jarak tempuh 30 km. Hitung biaya perjalanan.
1. Mari kita buang 3 km pertama, yang harganya sudah termasuk biaya pendaratan.
30 - 3 = 27 km.
2. Perhitungan lebih lanjut tidak lebih dari penguraian deret bilangan aritmatika.
Nomor anggota adalah jumlah kilometer yang ditempuh (dikurangi tiga yang pertama).
Nilai anggota adalah jumlah.
Suku pertama dalam soal ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.
Selisih perkembangan d = 22 hal.
jumlah yang menarik bagi kami adalah nilai (27 + 1) anggota deret aritmatika - pembacaan meter pada akhir kilometer ke-27 adalah 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 (28 - 1) \u003d 644
Perhitungan data kalender untuk jangka waktu yang lama didasarkan pada rumus yang menjelaskan urutan numerik tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometris bergantung pada jarak benda angkasa ke termasyhur. Selain itu, berbagai deret numerik berhasil digunakan dalam statistik dan cabang matematika terapan lainnya.
Jenis lain dari barisan bilangan adalah geometris
Deret geometri dicirikan oleh laju perubahan yang besar, dibandingkan dengan aritmatika. Bukan kebetulan bahwa dalam politik, sosiologi, kedokteran, seringkali, untuk menunjukkan kecepatan tinggi penyebaran fenomena tertentu, misalnya, penyakit selama epidemi, mereka mengatakan bahwa prosesnya berkembang secara eksponensial.
Anggota ke-N dari deret bilangan geometris berbeda dari yang sebelumnya karena dikalikan dengan beberapa bilangan konstan - penyebutnya, misalnya, anggota pertama adalah 1, penyebutnya masing-masing adalah 2, maka:
n=1: 1 2 = 2
n=2: 2 2 = 4
n=3: 4 2 = 8
n=4: 8 2 = 16
n=5: 16 2 = 32,
b n - nilai anggota deret geometri saat ini;
b n+1 - rumus anggota berikutnya dari deret geometri;
q adalah penyebut deret geometri (bilangan konstan).
Jika grafik suatu barisan aritmatika adalah garis lurus, maka grafik geometrik itu menggambar gambar yang sedikit berbeda:
Seperti dalam kasus aritmatika, deret geometri memiliki rumus untuk nilai anggota sembarang. Setiap suku ke-n dari barisan geometri sama dengan hasil kali suku pertama dan penyebut dari pangkat n dikurangi satu:
Contoh. Kami memiliki barisan geometri dengan suku pertama sama dengan 3 dan penyebut dari barisan sama dengan 1,5. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut
b 5 \u003d b 1 q (5-1) \u003d 3 1,5 4 \u003d 15,1875
Jumlah dari sejumlah anggota tertentu juga dihitung dengan menggunakan rumus khusus. Jumlah n anggota pertama suatu barisan geometri sama dengan selisih antara hasil kali anggota ke-n dari barisan tersebut dan penyebutnya dan anggota pertama dari barisan tersebut, dibagi dengan penyebut dikurangi satu:
Jika b n diganti menggunakan rumus yang dibahas di atas, nilai jumlah n anggota pertama dari deret bilangan yang dipertimbangkan akan berbentuk:
Contoh. Deret geometri dimulai dengan suku pertama sama dengan 1. Penyebutnya sama dengan 3. Mari kita cari jumlah delapan suku pertama.
s8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
