ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ ორი განტოლების სისტემის ამოხსნას ორი ცვლადით. ჯერ განვიხილოთ ორი სისტემის გრაფიკული ამოხსნა წრფივი განტოლებები, მათი გრაფიკების მთლიანობის სპეციფიკა. შემდეგი, ჩვენ ვხსნით რამდენიმე სისტემას გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით.

თემა: განტოლებათა სისტემები

გაკვეთილი: განტოლებათა სისტემის ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

განვიხილოთ სისტემა

რიცხვების წყვილს, რომელიც ერთდროულად არის ამონახსნილი სისტემის ორივე პირველი და მეორე განტოლებისთვის, ეწოდება განტოლებათა სისტემის ამოხსნა.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამონახსნის პოვნას, ან იმის დადგენას, რომ ამონახსნები არ არსებობს. განვიხილეთ ძირითადი განტოლებების გრაფიკები, გადავიდეთ სისტემების განხილვაზე.

მაგალითი 1. სისტემის ამოხსნა

გამოსავალი:

ეს არის წრფივი განტოლებები, თითოეული მათგანის გრაფიკი არის სწორი ხაზი. პირველი განტოლების გრაფიკი გადის წერტილებში (0; 1) და (-1; 0). მეორე განტოლების გრაფიკი გადის წერტილებში (0; -1) და (-1; 0). ხაზები იკვეთება წერტილში (-1; 0), ეს არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი ( ბრინჯი. 1).

სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი, ამ წყვილის ჩანაცვლებით თითოეულ განტოლებაში მივიღებთ სწორ ტოლობას.

Მივიღეთ მხოლოდ გადაწყვეტილება ხაზოვანი სისტემა.

შეგახსენებთ, რომ ხაზოვანი სისტემის ამოხსნისას შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:

სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა - ხაზები იკვეთება,

სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები - ხაზები პარალელურია,

სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა - ხაზები ემთხვევა.

ჩვენ განვიხილეთ განსაკუთრებული შემთხვევასისტემები, როდესაც p(x; y) და q(x; y) არის წრფივი გამოსახულებები x და y.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

გამოსავალი:

პირველი განტოლების გრაფიკი არის სწორი ხაზი, მეორე განტოლების გრაფიკი არის წრე. ავაშენოთ პირველი გრაფიკი წერტილებით (სურ. 2).

წრის ცენტრი არის O(0; 0) წერტილში, რადიუსი არის 1.

გრაფიკები იკვეთება A(0; 1) წერტილზე და B(-1; 0) წერტილზე.

მაგალითი 3. ამოხსენით სისტემა გრაფიკულად

ამოხსნა: ავაშენოთ პირველი განტოლების გრაფიკი - ეს არის წრე O (0; 0) ცენტრით და 2 რადიუსით. მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა. იგი საწყისთან შედარებით 2-ით ზემოთაა გადატანილი, ე.ი. მისი ზედა არის წერტილი (0; 2) (ნახ. 3).

გრაფიკებს აქვთ ერთი საერთო წერტილი- t. A(0; 2). ეს არის სისტემის გამოსავალი. ჩაანაცვლეთ რამდენიმე რიცხვი განტოლებაში, რათა შეამოწმოთ სისწორე.

მაგალითი 4. ამოხსენით სისტემა

ამოხსნა: ავაშენოთ პირველი განტოლების გრაფიკი - ეს არის წრე O წერტილის ცენტრით (0; 0) და რადიუსით 1 (ნახ. 4).

ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი ეს არის გატეხილი ხაზი (ნახ. 5).

ახლა მოდით გადავიტანოთ იგი 1-ით ქვემოთ oy ღერძის გასწვრივ. ეს იქნება ფუნქციის გრაფიკი

ორივე გრაფიკი განვათავსოთ ერთსა და იმავე კოორდინატულ სისტემაში (სურ. 6).

ვიღებთ სამ გადაკვეთის წერტილს - წერტილი A (1; 0), წერტილი B (-1; 0), წერტილი C (0; -1).

ჩვენ განვიხილეთ გრაფიკული მეთოდისისტემური გადაწყვეტილებები. თუ შესაძლებელია თითოეული განტოლების გრაფიკის დახატვა და გადაკვეთის წერტილების კოორდინატების პოვნა, მაშინ ეს მეთოდი სავსებით საკმარისია.

მაგრამ ხშირად გრაფიკული მეთოდი შესაძლებელს ხდის სისტემის მხოლოდ სავარაუდო ამოხსნის პოვნას ან პასუხის გაცემას გადაწყვეტილებების რაოდენობის შესახებ. ამიტომ საჭიროა სხვა მეთოდები, უფრო ზუსტი, და მათ შემდეგ გაკვეთილებში შევეხებით.

1. მორდკოვიჩი ა.გ. და სხვა.ალგებრა მე-9 კლასი: პროკ. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები.- მე-4 გამოცემა. - მ.: მნემოსინე, 2002.-192 გვ.: ილ.

2. მორდკოვიჩი ა.გ. და სხვა ალგებრა მე-9 კლასი: დავალების წიგნი მოსწავლეებისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina და სხვები - 4th ed. - მ.: მნემოსინე, 2002.-143 გვ.: ილ.

3. იუ ნ. მაკარიჩევი, ალგებრა. მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლების სტუდენტებისთვის. ინსტიტუტები / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - მე-7 გამოცემა, რევ. და დამატებითი - M .: Mnemosyne, 2008 წ.

4. ალიმოვი შ.ა., კოლიაგინი იუ.მ., სიდოროვი იუ.ვ. Ალგებრა. მე-9 კლასი მე-16 გამოცემა. - მ., 2011. - 287გვ.

5. Mordkovich A. G. ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-12 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: 2010. - 224 გვ.: ავად.

6. ალგებრა. მე-9 კლასი 2 საათზე ნაწილი 2. დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina და სხვები; რედ. A.G. Mordkovich. - მე-12 გამოცემა, რევ. - მ.: 2010.-223 გვ.: ავად.

1. College.ru განყოფილება მათემატიკაზე ().

2. ინტერნეტ პროექტი „დავალებები“ ().

3. საგანმანათლებლო პორტალი"მე გადავწყვეტ გამოყენებას" ().

1. მორდკოვიჩი ა.გ. და სხვ. ალგებრა მე-9 კლასი: სამუშაო წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 გვ.: ill. No105, 107, 114, 115.

განვიხილოთ შემდეგი განტოლებები:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

თითოეული ზემოაღნიშნული განტოლება არის განტოლება ორი ცვლადით. ბევრი ქულა საკოორდინაციო თვითმფრინავი, რომლის კოორდინატები აქცევს განტოლებას სწორში რიცხვითი თანასწორობა, ეწოდება განტოლების გრაფიკი ორ უცნობში.

განტოლების გრაფიკი ორი ცვლადით

ორი ცვლადის მქონე განტოლებებს აქვს ნახაზების ფართო არჩევანი. მაგალითად, განტოლებისთვის 2*x + 3*y = 15, გრაფიკი იქნება სწორი ხაზი, განტოლებისთვის x 2 + y 2 = 4, გრაფიკი იქნება წრე 2 რადიუსით, გრაფიკი განტოლება y*x = 1 იქნება ჰიპერბოლა და ა.შ.

მთელი რიცხვების განტოლებებს ორი ცვლადი აქვს ასევე ისეთი რამ, როგორიცაა ხარისხი. ეს ხარისხი განისაზღვრება ისევე, როგორც მთელი განტოლებისთვის ერთი ცვლადით. ამისათვის განტოლება მიყვანილია იმ ფორმამდე, როდესაც მარცხენა მხარე მრავალწევრია სტანდარტული ხედი, ხოლო მარჯვენა არის ნული. ეს კეთდება ეკვივალენტური გარდაქმნების გზით.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული გზა

მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლებათა სისტემები, რომლებიც შედგება ორი განტოლებისგან ორი ცვლადით. განვიხილოთ ასეთი სისტემების გადაჭრის გრაფიკული გზა.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

გამოვსახოთ პირველი და მეორე განტოლების გრაფიკები იმავე კოორდინატულ სისტემაში. პირველი განტოლების გრაფიკი იქნება წრე, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე და რადიუსზე 5. მეორე განტოლების გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ქვემოთ.

გრაფიკის ყველა წერტილი დააკმაყოფილებს საკუთარ განტოლებას. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ისეთი წერტილები, რომლებიც დააკმაყოფილებს როგორც პირველ, ასევე მეორე განტოლებებს. ცხადია, ეს იქნება ის წერტილები, სადაც ეს ორი გრაფიკი იკვეთება.

ჩვენი ნახაზის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ კოორდინატების სავარაუდო მნიშვნელობებს, რომლებზეც ეს წერტილები იკვეთება. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ შედეგებს:

A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).

ასე რომ, ჩვენს განტოლებათა სისტემას აქვს ოთხი ამონახსნი.

x1 ≈ -2.2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2.2; y3 ≈ 4.5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

თუ ამ მნიშვნელობებს ჩავანაცვლებთ ჩვენი სისტემის განტოლებებში, დავინახავთ, რომ პირველი და მესამე ამონახსნები არის მიახლოებითი, ხოლო მეორე და მეოთხე ზუსტი. გრაფიკული მეთოდი ხშირად გამოიყენება ფესვების რაოდენობისა და მათი სავარაუდო საზღვრების შესაფასებლად. გადაწყვეტილებები უფრო ხშირად მიახლოებითია, ვიდრე ზუსტი.

პირველი დონე

განტოლებების, უტოლობების, სისტემების ამოხსნა ფუნქცია გრაფიკების გამოყენებით. ვიზუალური სახელმძღვანელო (2019)

ბევრი დავალება, რომელთა გამოთვლასაც მიჩვეული ვართ წმინდა ალგებრულად, ბევრად უფრო მარტივად და სწრაფად გადაიჭრება, ამაში დაგვეხმარება ფუნქციის გრაფიკების გამოყენება. თქვენ ამბობთ "როგორ ასე?" რაღაცის დახატვა და რა დავხატო? მერწმუნეთ, ზოგჯერ ეს უფრო მოსახერხებელი და ადვილია. დავიწყოთ? დავიწყოთ განტოლებებით!

განტოლებათა გრაფიკული ამოხსნა

წრფივი განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა

როგორც უკვე იცით, წრფივი განტოლების გრაფიკი არის სწორი ხაზი, აქედან მოდის ამ ტიპის სახელწოდება. წრფივი განტოლებები საკმაოდ ადვილად ამოსახსნელია ალგებრულად - ჩვენ ყველა უცნობს გადავცემთ განტოლების ერთ მხარეს, ყველაფერს, რაც ვიცით - მეორეზე და ვოილა! ჩვენ ვიპოვეთ ფესვი. ახლა მე გაჩვენებთ როგორ გააკეთოთ ეს გრაფიკული გზა.

ასე რომ თქვენ გაქვთ განტოლება:

როგორ მოვაგვაროთ?
ვარიანტი 1და ყველაზე გავრცელებული არის უცნობის ერთ მხარეს გადატანა, ხოლო მეორეზე ცნობილი, მივიღებთ:

ახლა კი ვაშენებთ. Რა მიიღე?

როგორ ფიქრობთ, რა არის ჩვენი განტოლების ფესვი? მართალია, გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი:

ჩვენი პასუხია

ეს არის გრაფიკული გადაწყვეტის მთელი სიბრძნე. როგორც თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შეამოწმოთ, ჩვენი განტოლების ფესვი არის რიცხვი!

როგორც ზემოთ ვთქვი, ეს არის ყველაზე გავრცელებული ვარიანტი, ახლოს ალგებრული ამოხსნა, მაგრამ ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვაგვარადაც. ალტერნატიული ამოხსნის განსახილველად, დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებას:

ამჯერად ჩვენ არაფერს გადავიტანთ გვერდიდან გვერდზე, არამედ პირდაპირ ავაშენებთ გრაფიკებს, როგორც ეს არის ახლა:

აშენდა? შეხედე!

რა არის გამოსავალი ამჯერად? Კარგი. იგივეა გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი:

და ისევ ჩვენი პასუხია.

როგორც ხედავთ, წრფივი განტოლებებით, ყველაფერი ძალიან მარტივია. დროა განვიხილოთ რაღაც უფრო რთული... მაგალითად, კვადრატული განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა.

კვადრატული განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა

მაშ ასე, ახლა დავიწყოთ კვადრატული განტოლების ამოხსნა. ვთქვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ განტოლების ფესვები:

რა თქმა უნდა, ახლა შეგიძლიათ დაიწყოთ დათვლა დისკრიმინანტის მეშვეობით, ან ვიეტას თეორემის მიხედვით, მაგრამ ბევრი ნერვი უშვებს შეცდომებს გამრავლების ან კვადრატში, განსაკუთრებით თუ მაგალითია დიდი რიცხვებიდა, მოგეხსენებათ, გამოცდაზე კალკულატორი არ გექნებათ... ამიტომ, ამ განტოლების ამოხსნისას ვეცადოთ ცოტა დავისვენოთ და დავხატოთ.

გრაფიკულად იპოვნეთ გადაწყვეტილებები მოცემული განტოლებაშეუძლია სხვადასხვა გზები. განვიხილოთ სხვადასხვა ვარიანტებიდა თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ რომელი მოგწონთ საუკეთესოდ.

მეთოდი 1. პირდაპირ

ჩვენ უბრალოდ ვაშენებთ პარაბოლას ამ განტოლების მიხედვით:

იმისათვის, რომ ეს სწრაფად მოხდეს, მე მოგცემთ ერთ პატარა მინიშნებას: მოსახერხებელია კონსტრუქციის დაწყება პარაბოლის წვერის განსაზღვრით.შემდეგი ფორმულები დაგეხმარებათ პარაბოლის წვეროს კოორდინატების დადგენაში:

თქვენ ამბობთ "გაჩერდი! ფორმულა ძალიან ჰგავს დისკრიმინანტის პოვნის ფორმულას "დიახ, ეს არის და არის უზარმაზარი მინუსიპარაბოლას „პირდაპირი“ აგება მისი ფესვების მოსაძებნად. თუმცა, მოდი დავთვალოთ ბოლომდე და მერე გაჩვენებთ, როგორ გააადვილოთ ეს ბევრად (ბევრად!)!

დაითვალეთ? რა არის პარაბოლის წვეროს კოორდინატები? მოდით ერთად გავარკვიოთ:

ზუსტად იგივე პასუხი? კარგად გააკეთე! ახლა კი ჩვენ უკვე ვიცით წვეროს კოორდინატები და პარაბოლას ასაგებად გვჭირდება მეტი ... წერტილი. როგორ ფიქრობთ, რამდენი მინიმალური ქულა გვჭირდება? სწორად,.

თქვენ იცით, რომ პარაბოლა სიმეტრიულია მის წვეროსთან, მაგალითად:

შესაბამისად, ჩვენ გვჭირდება კიდევ ორი ​​წერტილი პარაბოლის მარცხენა ან მარჯვენა ტოტის გასწვრივ და მომავალში ჩვენ სიმეტრიულად ასახავს ამ წერტილებს მოპირდაპირე მხარეს:

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს პარაბოლას. ჩვენს შემთხვევაში, წერტილი. ჩვენ გვჭირდება კიდევ ორი ​​ქულა, შესაბამისად, შეგვიძლია ავიღოთ პოზიტიური, მაგრამ შეგვიძლია ავიღოთ უარყოფითი? რა არის თქვენთვის საუკეთესო ქულები? ჩემთვის უფრო მოსახერხებელია დადებითთან მუშაობა, ამიტომ გამოვთვლი და.

ახლა ჩვენ გვაქვს სამი ქულა და ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ავაშენოთ ჩვენი პარაბოლა ბოლო ორი წერტილის ასახვით მის ზედა ნაწილში:

როგორ ფიქრობთ, რა არის განტოლების ამონახსნი? ეს მართალია, პუნქტები, რომლებშიც, ანუ და. იმიტომ რომ.

და თუ ამას ვიტყვით, ეს ნიშნავს, რომ ის ასევე უნდა იყოს თანაბარი, ან.

Უბრალოდ? ჩვენ დავასრულეთ თქვენთან განტოლების ამოხსნა რთული გრაფიკული გზით, ან კიდევ იქნება!

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ ჩვენი პასუხი ალგებრულად გადაამოწმოთ – შეგიძლიათ ფესვების გამოთვლა ვიეტას თეორემით ან დისკრიმინანტით. Რა მიიღე? იგივე? აი ხედავ! ახლა ვნახოთ ძალიან მარტივი გრაფიკული გადაწყვეტა, დარწმუნებული ვარ ძალიან მოგეწონებათ!

მეთოდი 2. დაყოფა რამდენიმე ფუნქციად

ავიღოთ ყველაფერი, ასევე ჩვენი განტოლება: , მაგრამ ჩვენ ვწერთ მას ოდნავ განსხვავებულად, კერძოდ:

შეიძლება ასე დავწეროთ? შეგვიძლია, რადგან ტრანსფორმაცია ექვივალენტურია. მოდით უფრო შორს გადავხედოთ.

მოდით ავაშენოთ ორი ფუნქცია ცალ-ცალკე:

1. - გრაფიკი არის მარტივი პარაბოლა, რომელიც შეგიძლიათ მარტივად ააგოთ წვეროს განსაზღვრის გარეშეც ფორმულების გამოყენებით და ცხრილის შედგენა სხვა წერტილების დასადგენად.
2. - გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც თქვენ შეგიძლიათ მარტივად ააწყოთ მნიშვნელობების შეფასებით და თქვენს თავში კალკულატორის გამოყენების გარეშეც კი.

აშენდა? შეადარე რაც მივიღე:

ფიქრობთ, რომ ამ ამ საქმესარის განტოლების ფესვები? სწორად! კოორდინატები მიერ, რომლებიც მიიღება ორი გრაფიკის გადაკვეთით და ეს არის:

შესაბამისად, ამ განტოლების ამონახსნი არის:

Რას ამბობ? დამეთანხმებით, გადაწყვეტის ეს მეთოდი ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე წინა და კიდევ უფრო ადვილია, ვიდრე დისკრიმინანტის მეშვეობით ფესვების ძებნა! თუ ასეა, სცადეთ ეს მეთოდი შემდეგი განტოლების გადასაჭრელად:

Რა მიიღე? მოდით შევადაროთ ჩვენი სქემები:

დიაგრამები აჩვენებს, რომ პასუხებია:

მოახერხე? კარგად გააკეთე! ახლა მოდით შევხედოთ განტოლებებს ცოტა უფრო რთულად, კერძოდ, შერეული განტოლებების ამოხსნას, ანუ განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს სხვადასხვა ტიპის ფუნქციებს.

შერეული განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა

ახლა შევეცადოთ გადავჭრათ შემდეგი:

რა თქმა უნდა, ყველაფრის მოტანა შესაძლებელია საერთო მნიშვნელიიპოვეთ მიღებული განტოლების ფესვები, არ უნდა დაგვავიწყდეს ODZ-ის გათვალისწინება, მაგრამ ისევ შევეცდებით გრაფიკულად ამოხსნათ, როგორც ეს გავაკეთეთ ყველა წინა შემთხვევაში.

ამჯერად დავხატოთ შემდეგი 2 გრაფიკი:

1. - გრაფიკი არის ჰიპერბოლა
2. - გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც შეგიძლიათ მარტივად ააწყოთ მნიშვნელობების შეფასებით და თქვენს თავში კალკულატორის გამოყენების გარეშეც კი.

მიხვდა? ახლა დაიწყე მშენებლობა.

აი რა დამემართა:

ამ სურათს რომ უყურებთ, რა არის ჩვენი განტოლების ფესვები?

ასეა და. აქ არის დადასტურება:

სცადეთ ჩართოთ ჩვენი ფესვები განტოლებაში. მოხდა?

Კარგი! დამეთანხმებით, ასეთი განტოლებების გრაფიკულად ამოხსნა სიამოვნებაა!

შეეცადეთ თავად ამოხსნათ განტოლება გრაფიკულად:

მე მოგცემთ მინიშნებას: გადაიტანეთ განტოლების ნაწილი მარჯვენა მხარეისე, რომ ორივე მხარეს ჰქონდეს უმარტივესი ფუნქციების აშენება. მინიშნება გაიგე? Იმოქმედე!

ახლა ვნახოთ რა მიიღეთ:

შესაბამისად:

1. - კუბური პარაბოლა.
2. - ჩვეულებრივი სწორი ხაზი.

კარგად, ჩვენ ვაშენებთ:

როგორც დიდი ხნის განმავლობაში დაწერეთ, ამ განტოლების ფესვი არის -.

ამის მოგვარების შემდეგ დიდი რიცხვიმაგალითები, დარწმუნებული ვარ, მიხვდით, თუ როგორ შეგიძლიათ მარტივად და სწრაფად ამოხსნათ განტოლებები გრაფიკულად. დროა გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოთ ანალოგიურადსისტემები.

სისტემების გრაფიკული გადაწყვეტა

გრაფიკული გადაწყვეტასისტემები არსებითად არ განსხვავდება განტოლებების გრაფიკული ამოხსნისგან. ჩვენ ასევე ავაშენებთ ორ გრაფიკს და მათი გადაკვეთის წერტილები იქნება ამ სისტემის ფესვები. ერთი გრაფიკი არის ერთი განტოლება, მეორე გრაფიკი არის სხვა განტოლება. ყველაფერი ძალიან მარტივია!

დავიწყოთ უმარტივესი - წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნით.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა

ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი სისტემა:

დასაწყისისთვის, ჩვენ გადავცვლით მას ისე, რომ მარცხნივ არის ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია, ხოლო მარჯვნივ - ის, რაც დაკავშირებულია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვწერთ ამ განტოლებებს ფუნქციის სახით ჩვენთვის ჩვეულებრივი ფორმით:

ახლა კი ჩვენ უბრალოდ ვაშენებთ ორ სწორ ხაზს. რა არის გამოსავალი ჩვენს შემთხვევაში? სწორად! მათი გადაკვეთის წერტილი! და აქ თქვენ უნდა იყოთ ძალიან, ძალიან ფრთხილად! დაფიქრდი რატომ? მინიშნებას მოგცემ: სისტემასთან გვაქვს საქმე: სისტემას ორივე აქვს და... მინიშნება გაიგე?

Კარგი! სისტემის ამოხსნისას უნდა შევხედოთ ორივე კოორდინატს და არა მხოლოდ, როგორც განტოლებების ამოხსნისას! სხვა მნიშვნელოვანი წერტილი- სწორად ჩამოწერეთ და არ აურიოთ სად გვაქვს ღირებულება და სად არის ღირებულება! ჩაწერილია? ახლა შევადაროთ ყველაფერი თანმიმდევრობით:

და პასუხობს: ი. გააკეთეთ შემოწმება - შეცვალეთ ნაპოვნი ფესვები სისტემაში და დარწმუნდით, რომ სწორად მოვაგვარეთ იგი გრაფიკული გზით?

არაწრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა

მაგრამ რა მოხდება, თუ ერთი სწორი ხაზის ნაცვლად გვექნება კვადრატული განტოლება? Არაუშავს! თქვენ უბრალოდ ააგეთ პარაბოლა სწორი ხაზის ნაცვლად! Არ ენდო? შეეცადეთ გადაჭრათ შემდეგი სისტემა:

რა არის ჩვენი შემდეგი ნაბიჯი? მართალია, ჩაწერეთ ისე, რომ ჩვენთვის მოსახერხებელი იყოს გრაფიკების აგება:

ახლა კი ყველაფერი წვრილმანზეა - მე სწრაფად ავაშენე და აქ არის გამოსავალი თქვენთვის! Შენობა:

გრაფიკა იგივეა? ახლა მონიშნეთ სისტემის ამონახსნები სურათზე და სწორად ჩაწერეთ გამოვლენილი პასუხები!

მე ყველაფერი გავაკეთე? შეადარეთ ჩემს შენიშვნებს:

Კარგი? კარგად გააკეთე! თქვენ უკვე დააჭირეთ ისეთ ამოცანებს, როგორიცაა თხილი! და თუ ასეა, მოდით მოგცეთ უფრო რთული სისტემა:

Რას ვაკეთებთ? სწორად! ჩვენ ვწერთ სისტემას ისე, რომ მისი აშენება მოსახერხებელია:

მე მოგცემთ პატარა მინიშნებას, რადგან სისტემა ძალიან რთულად გამოიყურება! გრაფიკების აგებისას ააგეთ ისინი „მეტი“ და რაც მთავარია, არ გაგიკვირდეთ გადაკვეთის წერტილების რაოდენობა.

ასე რომ წავიდეთ! ამოისუნთქა? ახლა დაიწყე მშენებლობა!

აბა, როგორ? ლამაზად? რამდენი გადაკვეთის წერტილი მიიღეთ? სამი მყავს! მოდით შევადაროთ ჩვენი გრაფიკები:

Ანალოგიურად? ახლა ყურადღებით ჩამოწერეთ ჩვენი სისტემის ყველა გადაწყვეტა:

ახლა კიდევ ერთხელ გადახედე სისტემას:

წარმოგიდგენიათ, რომ ეს მხოლოდ 15 წუთში მოაგვარეთ? გეთანხმები, მათემატიკა მაინც მარტივია, განსაკუთრებით გამოთქმას რომ უყურებ, შეცდომის დაშვების არ გეშინია, მაგრამ იღებ და წყვეტ! დიდი ბიჭი ხარ!

უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

წრფივი უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

შემდეგ ბოლო მაგალითიყველაფერი მხარზე გაქვს! ახლა ამოისუნთქეთ - წინა განყოფილებებთან შედარებით, ეს ძალიან, ძალიან მარტივი იქნება!

ჩვენ დავიწყებთ, როგორც ყოველთვის, გრაფიკული გადაწყვეტით წრფივი უტოლობა. მაგალითად, ეს:

დასაწყისისთვის ჩვენ განვახორციელებთ უმარტივეს გარდაქმნებს - გავხსნით ფრჩხილებს სრული კვადრატებიდა დაამატეთ მსგავსი ტერმინები:

უთანასწორობა არ არის მკაცრი, ამიტომ - არ შედის ინტერვალში და გამოსავალი იქნება ყველა წერტილი, რომელიც მარჯვნივ არის, რადგან მეტი, მეტი და ასე შემდეგ:

პასუხი:

Სულ ეს არის! ადვილად? მოდით გადავჭრათ მარტივი უტოლობა ორი ცვლადით:

დავხატოთ ფუნქცია კოორდინატთა სისტემაში.

გაქვთ ასეთი სქემა? და ახლა ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ რა გვაქვს უთანასწორობაში? Ნაკლები? ასე რომ, ჩვენ ვხატავთ ყველაფერს, რაც არის ჩვენი სწორი ხაზის მარცხნივ. მეტი რომ ყოფილიყო? ასეა, შემდეგ ისინი დახატავდნენ ყველაფერს, რაც ჩვენი სწორი ხაზის მარჯვნივ არის. ყველაფერი მარტივია.

ამ უთანასწორობის ყველა გამოსავალი "დაჩრდილულია" ფორთოხალი. ესე იგი, მოგვარებულია ორცვლადიანი უტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატები და ნებისმიერი წერტილი დაჩრდილული ზონიდან არის გამოსავალი.

კვადრატული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

ახლა ჩვენ ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ კვადრატული უტოლობები გრაფიკულად.

მაგრამ სანამ პირდაპირ აზრზე გადავიდოდეთ, მოდით შევაჯამოთ რამდენიმე რამ კვადრატის ფუნქციის შესახებ.

რაზეა პასუხისმგებელი დისკრიმინანტი? ასეა, გრაფიკის პოზიციისთვის ღერძთან მიმართებაში (თუ ეს არ გახსოვთ, მაშინ აუცილებლად წაიკითხეთ კვადრატული ფუნქციების თეორია).

ნებისმიერ შემთხვევაში, აქ არის პატარა შეხსენება თქვენთვის:

ახლა, როცა მეხსიერებაში მთელი მასალა განვაახლეთ, გადავიდეთ საქმეზე - გრაფიკულად მოვაგვარებთ უთანასწორობას.

მაშინვე გეტყვით, რომ მისი გადაჭრის ორი ვარიანტი არსებობს.

ვარიანტი 1

ჩვენ ვწერთ პარაბოლას ფუნქციის სახით:

ფორმულების გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ პარაბოლის წვეროს კოორდინატებს (ისევე როგორც კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას):

დაითვალეთ? Რა მიიღე?

ახლა ავიღოთ კიდევ ორი სხვადასხვა წერტილებიდა გამოთვალეთ მათთვის:

ჩვენ ვიწყებთ პარაბოლის ერთი ტოტის აგებას:

ჩვენ სიმეტრიულად ასახავს ჩვენს წერტილებს პარაბოლის სხვა ტოტზე:

ახლა დავუბრუნდეთ ჩვენს უთანასწორობას.

ჩვენ უნდა ვიყოთ ნულზე ნაკლები, შესაბამისად:

იმის გამო, რომ ჩვენს უთანასწორობაში არის ნიშანი მკაცრად ნაკლები, ჩვენ გამოვრიცხავთ ბოლო წერტილებს - ჩვენ "გამოვყავით".

პასუხი:

გრძელი გზა, არა? ახლა მე გაჩვენებთ გრაფიკული ამოხსნის უფრო მარტივ ვერსიას იგივე უტოლობის გამოყენებით, როგორც მაგალითი:

ვარიანტი 2

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს უთანასწორობას და ვნიშნავთ საჭირო ინტერვალებს:

დამეთანხმებით, ეს ბევრად უფრო სწრაფია.

ახლავე დავწეროთ პასუხი:

განვიხილოთ სხვა გამოსავალი, რომელიც ამარტივებს და ალგებრული ნაწილი, მაგრამ მთავარია არ დაიბნეთ.

გაამრავლეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

შეეცადეთ მოაგვაროთ შემდეგი კვადრატული უთანასწორობანებისმიერი გზით, რომელიც მოგწონს.

მოახერხე?

ნახეთ, როგორ გამოვიდა ჩემი სქემა:

პასუხი: .

შერეული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

ახლა გადავიდეთ უფრო რთულ უთანასწორობებზე!

როგორ მოგწონთ ეს:

საშინელებაა, არა? მართალი გითხრათ, წარმოდგენა არ მაქვს, როგორ მოვაგვარო ეს ალგებრულად... მაგრამ, არ არის საჭირო. გრაფიკულად, ამაში არაფერია რთული! თვალებს ეშინიათ, ხელები კი აკეთებენ!

პირველი, რითაც ვიწყებთ ორი გრაფიკის აგებით:

ცხრილს არ დავწერ ყველას - დარწმუნებული ვარ, თქვენ თვითონ შეძლებთ ამის გაკეთებას მშვენივრად (რა თქმა უნდა, ამდენი მაგალითია მოსაგვარებელი!).

მოხატული? ახლა შექმენით ორი გრაფიკი.

მოდით შევადაროთ ჩვენი ნახატები?

შენც იგივე გაქვს? შესანიშნავი! ახლა განვათავსოთ გადაკვეთის წერტილები და ფერით განვსაზღვროთ რომელი გრაფიკი უნდა გვქონდეს, თეორიულად, უფრო დიდი, ანუ. ნახეთ რა მოხდა ბოლოს:

და ახლა ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ, სად არის ჩვენი არჩეული სქემა უფრო მაღალი ვიდრე დიაგრამა? თავისუფლად აიღეთ ფანქარი და დახატეთ მოცემული ტერიტორია! ეს იქნება ჩვენი რთული უთანასწორობის გამოსავალი!

რა ინტერვალებით ვართ ღერძის გასწვრივ ჩვენ მაღლა? უფლება,. ეს არის პასუხი!

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ ნებისმიერ განტოლებას და ნებისმიერ სისტემას და მით უმეტეს, ნებისმიერ უტოლობას!

მოკლედ მთავარის შესახებ

განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ფუნქციის გრაფიკების გამოყენებით:

1. გამოხატეთ მეშვეობით
2. განსაზღვრეთ ფუნქციის ტიპი
3. მოდით ავაშენოთ მიღებული ფუნქციების გრაფიკები
4. იპოვეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები
5. სწორად ჩაწერეთ პასუხი (ODZ და უთანასწორობის ნიშნების გათვალისწინებით)
6. შეამოწმეთ პასუხი (შეცვალეთ ფესვები განტოლებაში ან სისტემაში)

ფუნქციის გრაფიკების შედგენის შესახებ დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ თემა "".

წარმოგიდგენთ ვიდეოგაკვეთილს „განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი“. სასწავლო მასალაამ თემის შესასწავლად. მასალა შეიცავს ზოგადი კონცეფციაგანტოლებათა სისტემის ამოხსნის შესახებ, ასევე დეტალური განმარტებამაგალითზე, თუ როგორ იხსნება განტოლებათა სისტემა გრაფიკულად.

ვიზუალური დახმარება იყენებს ანიმაციას კონსტრუქციების უფრო მოსახერხებელი და გასაგები შესრულებისთვის, ასევე სხვადასხვა გზებიგანაწილება მნიშვნელოვანი ცნებებიდა დეტალები მასალის სიღრმისეული გააზრებისთვის, მისი უკეთესი დამახსოვრება.

ვიდეო გაკვეთილი იწყება თემის გაცნობით. მოსწავლეებს ახსენებენ რა არის განტოლებათა სისტემა და რა განტოლებათა სისტემების გაცნობა მოუწიათ უკვე მე-7 კლასში. ადრე მოსწავლეებს უნდა ამოეხსნათ ax+by=c ფორმის განტოლებათა სისტემები. განტოლებათა სისტემების ამოხსნის კონცეფციის გაღრმავება და მათი ამოხსნის უნარის ჩამოყალიბების მიზნით, ამ ვიდეო გაკვეთილზე განიხილება სისტემის ამოხსნა, რომელიც შედგება მეორე ხარისხის ორი განტოლებისგან, ასევე მეორე ხარისხის და მეორე განტოლებისგან. - პირველი ხარისხის. შეგახსენებთ, რა არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი. ეკრანზე ნაჩვენებია სისტემის ამოხსნის განმარტება, როგორც ცვლადების მნიშვნელობების წყვილი, რომელიც ცვლის მის განტოლებებს სწორ თანასწორობაში ჩანაცვლებისას. სისტემის ამოხსნის განმარტების შესაბამისად მითითებულია ამოცანა. ეკრანზე ნაჩვენებია იმის დამახსოვრება, რომ სისტემის ამოხსნა ნიშნავს შესაფერისი გადაწყვეტილებების პოვნას ან მათი არარსებობის დადასტურებას.

შემოთავაზებულია განტოლებათა გარკვეული სისტემის ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის დაუფლება. განაცხადი ამ მეთოდითგანიხილება სისტემის ამოხსნის მაგალითზე, რომელიც შედგება განტოლებისგან x 2 + y 2 \u003d 16 და y \u003d - x 2 + 2x + 4. სისტემის გრაფიკული ამოხსნა იწყება თითოეული ამ განტოლების გამოსახულებით. ცხადია, განტოლების გრაფიკი x 2 + y 2 \u003d 16 იქნება წრე. ამ წრის კუთვნილი წერტილები არის განტოლების ამონახსნი. განტოლების გვერდით, კოორდინატულ სიბრტყეზე აგებულია წრე, რომლის რადიუსია 4, რომლის საწყისი O ცენტრია. მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები დაბლაა დაშვებული. ეს პარაბოლა აგებულია კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომელიც შეესაბამება განტოლების გრაფიკს. პარაბოლას კუთვნილი ნებისმიერი წერტილი არის y \u003d -x 2 + 2x + 4 განტოლების ამოხსნა. განმარტებულია, რომ განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის წერტილები გრაფიკებზე, რომლებიც ერთდროულად ეკუთვნის ორივე განტოლების გრაფიკებს. ეს ნიშნავს, რომ აგებული გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები იქნება განტოლებათა სისტემის ამონახსნები.

აღნიშნულია, რომ გრაფიკული მეთოდი შედგება ორი გრაფიკის გადაკვეთაზე მდებარე წერტილების კოორდინატების სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნაში, რომლებიც ასახავს სისტემის თითოეული განტოლების ამონახსნებს. ფიგურა აღნიშნავს ორი გრაფიკის ნაპოვნი გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს: A, B, C, D[-2;-3.5]. ეს წერტილები არის გრაფიკულად ნაპოვნი განტოლებათა სისტემის ამონახსნები. მათი სისწორის შემოწმება შეგიძლიათ განტოლებაში ჩანაცვლებით და სამართლიანი ტოლობის მიღებით. განტოლებაში ქულების ჩანაცვლების შემდეგ ჩანს, რომ ზოგიერთი წერტილი იძლევა ზუსტი ღირებულებაამონახსნები და ნაწილი წარმოადგენს განტოლების ამოხსნის მიახლოებით მნიშვნელობას: x 1 =0, y 1 =4; x 2 \u003d 2, y 2 ≈3.5; x 3 ≈3.5, y 3 \u003d -2; x 4 \u003d -2, y 4 ≈ -3.5.

ვიდეო გაკვეთილი დეტალურად განმარტავს არსს და გამოყენებას გრაფიკული გზაგანტოლებათა სისტემის ამოხსნა. ეს შესაძლებელს ხდის ამ თემის შესწავლისას სკოლაში ალგებრის გაკვეთილზე მისი ვიდეო დამხმარედ გამოყენებას. ასევე, მასალა სასარგებლო იქნება თვითშესწავლასტუდენტებს და შეუძლია დაეხმაროს თემის ახსნას დისტანციური სწავლების დროს.