ალბათობის სივრცე (W, S, P). ალბათობის თეორიის აქსიომები და მათგან მიღებული შედეგები

ლექციის მიზანი: სიმრავლეების თეორიიდან ელემენტარული ინფორმაციის გაცნობა; ჩამოაყალიბეთ ალბათობის თეორიის აქსიომები, მათი შედეგები და ალბათობების დამატების წესი.

ელემენტარული ინფორმაცია სიმრავლეების თეორიიდან

ბევრითვითნებური ხასიათის ობიექტების ნებისმიერ კოლექციას უწოდებენ, რომელთაგან თითოეულს ე.წ კომპლექტის ელემენტი.

კომპლექტების მაგალითები: ბევრი სტუდენტი ლექციაზე; სიბრტყეზე წერტილების ერთობლიობა, რომელიც მდებარეობს რადიუსის წრის შიგნით რ; ბევრი წერტილი რიცხვითი ღერძი, მანძილი საიდანაც წერტილამდე ბაბსცისით ანაკლები ვიდრე დ; რამოდენიმე ნატურალური რიცხვები.

კომპლექტი აღინიშნება სხვადასხვა გზით. Რამოდენიმე მნატურალური რიცხვები 1-დან 100-მდე შეიძლება ჩაიწეროს როგორც

რიცხვების ღერძზე წერტილების სიმრავლე, მანძილი საიდანაც წერტილამდე ბაბსცისით ანაკლები ვიდრე დ, შეიძლება დაიწეროს როგორც

სადაც x- წერტილის აბსციზა.

სიბრტყე წერტილების ნაკრები, რომელიც მდებარეობს რადიუსის წრის შიგნით ან საზღვარზე რორიენტირებული საწყისზე,

სადაც x, წ – დეკარტის კოორდინატებიქულები.

ამ ნაკრების კიდევ ერთი ჩანაწერი

სადაც არის წერტილის ერთ-ერთი პოლარული კოორდინატი.

ელემენტების რაოდენობის მიხედვით კომპლექტები იყოფა საბოლოოდა გაუთავებელი. ნაკრები არის სასრული და შედგება 100 ელემენტისგან. მაგრამ ნაკრები ასევე შეიძლება შედგებოდეს ერთი ელემენტისგან და საერთოდ არ შეიცავდეს ელემენტებს.

ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე უსასრულოა, ისევე როგორც ლუწი რიცხვების სიმრავლე უსასრულოა.

უსასრულო ნაკრებიეწოდება თვლადი, თუ მისი ყველა ელემენტი შეიძლება განლაგდეს გარკვეული თანმიმდევრობით და დანომრილი (ორივე სიმრავლე და , თვლადია).

კომპლექტი სდა Cუსასრულო და უთვალავია (მათი ელემენტების დანომრვა შეუძლებელია).

ორი კომპლექტი ადა ბ მატჩი, თუ ისინი შედგება ერთი და იგივე ელემენტებისაგან: და . სიმრავლეთა დამთხვევა აღინიშნება ტოლობის ნიშნით: A=B. აღნიშვნა ნიშნავს, რომ ობიექტი ანაკრების ელემენტია მაგრამან " აეკუთვნის მაგრამ". კიდევ ერთი ჩანაწერი ნიშნავს იმას, რომ " აარ ეკუთვნის მაგრამ".

კომპლექტი, რომელიც არ შეიცავს ელემენტს, ეწოდება ცარიელიდა აღინიშნება სიმბოლოთი.

Რამოდენიმე ATსიმრავლის ქვესიმრავლე (ნაწილი) ეწოდება მაგრამთუ ყველა ელემენტი ATასევე შეიცავს მაგრამ, და აღინიშნება როგორც ან . Მაგალითად, .

ქვესიმრავლე შეიძლება იყოს თავად სიმრავლის ტოლი. გრაფიკულად, თქვენ შეგიძლიათ ასახოთ კავშირი სიმრავლესა და ქვეჯგუფს შორის, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 2.1, სადაც ფიგურის თითოეული წერტილი ATფიგურას ეკუთვნის მაგრამ, ე.ი.

კომპლექტების გაერთიანება (ჯამობა). მაგრამდა ATეწოდება კომპლექტი, რომელიც შედგება ყველა ელემენტისგან მაგრამდა ყველა ელემენტი AT. ამრიგად, გაერთიანება არის ელემენტების ერთობლიობა, რომელიც ეკუთვნის მინიმუმ ერთ კომბინირებულ კომპლექტს.

Მაგალითად: .

გეომეტრიული ინტერპრეტაციაორი კომპლექტის გაერთიანება მაგრამდა ATნაჩვენებია ნახ. 2.2.

რამდენიმე სიმრავლის გაერთიანება (ჯამი) ანალოგიურად არის განსაზღვრული

სადაც მიღებული სიმრავლე არის ყველა ელემენტის სიმრავლე, რომელიც შედის ერთ-ერთ კომპლექტში მაინც: .

კომპლექტების კვეთა (პროდუქტი). მაგრამდა ATკომპლექტს უწოდებენ დ, რომელიც შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც შედის ერთდროულად და მასში მაგრამ, და ში :

კვეთის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ნაჩვენებია ნახ. 2.3.

რამდენიმე კომპლექტის კვეთა განისაზღვრება ანალოგიურად

როგორც კომპლექტი, რომელიც შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც ერთდროულად შედის ყველა კომპლექტში.

სიმრავლეთა გაერთიანების (შეკრების) და გადაკვეთის (გამრავლების) ოპერაციებს აქვთ მთელი რიგი თვისებები, რომლებიც მსგავსია რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებების:

1. გადაადგილების ქონება:

2. ასოციაციური თვისება:

3. სადისტრიბუციო ქონება:

ცარიელი სიმრავლის დამატება და ცარიელ სიმრავლეზე გამრავლება რიცხვებზე შესაბამისი ოპერაციების მსგავსია, თუ ცარიელ სიმრავლედ ნულს განიხილავთ:

ზოგიერთ ოპერაციას კომპლექტებზე არ აქვს ანალოგი ჩვეულებრივ ოპერაციებში რიცხვებზე, კერძოდ

ალბათობის თეორიის აქსიომები და მათი შედეგები.

ალბათობის დამატების წესები

სიმრავლეების თეორიის შესახებ ელემენტარული ინფორმაციის გამოყენებით, შეიძლება მივცეთ სიმრავლე-თეორიული სქემა ალბათობის თეორიისა და მისი აქსიომატიკის ასაგებად.

შემთხვევითი შედეგის მქონე ექსპერიმენტში არის ექსპერიმენტის ყველა შესაძლო შედეგის ნაკრები. ამ ნაკრების თითოეულ ელემენტს ე.წ ელემენტარული მოვლენა, კომპლექტი თავად არის ღონისძიების ელემენტარული სივრცე. ნებისმიერი ღონისძიება მაგრამსიმრავლე-თეორიულ ინტერპრეტაციაში არის სიმრავლის გარკვეული ქვესიმრავლე: . თუ თავის მხრივ კომპლექტი მაგრამიყოფა რამდენიმე გადამკვეთ ქვეჯგუფად ( at ), შემდეგ მოვლენებს უწოდებენ მოვლენის "ვარიანტებს" მაგრამ. ნახ. 2.4 მოვლენა მაგრამიყოფა სამ ვარიანტად: .

მაგალითად, სროლისას კამათელიელემენტარული მოვლენების სივრცე. თუ მოვლენა , მაშინ ღონისძიების ვარიანტები მაგრამ: ,

ასევე შეიძლება ჩაითვალოს თავად ნაკრების ქვესიმრავლე - ამ შემთხვევაში ეს იქნება ავთენტურიღონისძიება. ელემენტარული მოვლენების მთელ სივრცეს ემატება ცარიელი ნაკრები; ეს ნაკრებიც მოვლენად ითვლება, მაგრამ შეუძლებელია.

მოვლენების ადრე განხილული თვისებების სიმრავლე-თეორიული ინტერპრეტაცია შემდეგია:

1. მრავალი მოვლენის ფორმა სრული ჯგუფი , თუ , ანუ მათი ჯამი (ერთობლიობა) სანდო მოვლენაა.

2. ორი მოვლენა მაგრამდა ATდაურეკა შეუთავსებელი, თუ მათ შესაბამისი სიმრავლეები არ იკვეთება, ე.ი. რამდენიმე ღონისძიებას ეძახიან წყვილში შეუთავსებელი, თუ რომელიმე მათგანის გარეგნობა გამორიცხავს თითოეულის გამოჩენას: ზე.

3. ორი მოვლენის ჯამი მაგრამდა ATმოვლენას უწოდებენ თან, რომელიც შედგება ღონისძიების შესრულებაში მაგრამან მოვლენები AT, ან ორივე მოვლენა ერთად. რამდენიმე მოვლენის ჯამი არის მოვლენა, რომელიც შედგება მინიმუმ ერთი მათგანის შესრულებაში.

4. ორი მოვლენის პროდუქტი მაგრამდა ATმოვლენას უწოდებენ დ, რომელიც შედგება ღონისძიების ერთობლივი აღსრულებისგან მაგრამდა მოვლენები AT. რამდენიმე მოვლენის პროდუქტი არის ღონისძიება, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთობლივი აღსრულებით.

5. Საწინააღმდეგომოვლენასთან დაკავშირებით მაგრამეწოდება მოვლენა, რომელიც შედგება არ გამოჩენისგან მაგრამდა შესაბამისი დამატებითი ღონისძიება მაგრამმდე (იხ. ნახ. 2.5).

მოვლენების ზემოაღნიშნული ინტერპრეტაციის საფუძველზე, როგორც სიმრავლე, ჩამოყალიბებულია ალბათობის თეორიის აქსიომები.

ყოველი ღონისძიება მაგრამენიჭება გარკვეული რიცხვი, რომელსაც ეწოდება მოვლენის ალბათობა. ვინაიდან ნებისმიერი მოვლენა არის სიმრავლე, მოვლენის ალბათობა არის დაყენების ფუნქცია.

მოვლენის ეს ალბათობები უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ აქსიომებს:

1. ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა ნულსა და ერთს შორისაა:

2. თუ მაგრამდა ATშეუთავსებელი მოვლენებია, ე.ი. მაშინ

ეს აქსიომა ადვილად შეიძლება განზოგადდეს ასოციაციური საკუთრებადამატება ნებისმიერი რაოდენობის ღონისძიებებისთვის. თუ ზე, მაშინ

ანუ ჯამის ალბათობა შეუთავსებელი მოვლენებიუდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.

ამ აქსიომას ე.წ დამატების "თეორემა"(საქმეების სქემისთვის შეიძლება დადასტურდეს), ან ალბათობათა დამატების წესი.

3. თუ შესაძლებელია თვლადი ნაკრებიშეუთავსებელი მოვლენები ( at ), მაშინ

ეს აქსიომა არ არის მიღებული წინა აქსიომისგან და ამიტომ ჩამოყალიბებულია როგორც ცალკე.

შემთხვევების სქემისთვის (ურნების სქემები), ანუ მოვლენებისთვის, რომლებსაც აქვთ სისრულის, შეუთავსებლობისა და თანაბარი პოტენციალის თვისებები, შეიძლება გამოვიდეს კლასიკური ფორმულა (1.1) ალბათობების პირდაპირ გამოთვლისთვის დამატების წესიდან (2.1).

მოდით, ექსპერიმენტის შედეგები წარმოდგენილი იყოს ფორმით ნშეუთავსებელი შემთხვევები. შანსი ხელს უწყობს მოვლენას მაგრამთუ იგი წარმოადგენს ქვეჯგუფს მაგრამ(), ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის მოვლენის ვარიანტი მაგრამ. ვინაიდან ისინი ქმნიან სრულ ჯგუფს, მაშინ

დამატების წესის მიხედვით

სადაც მივიღებთ

მიღებული გამონათქვამების (2.3) ჩანაცვლების შემდეგ გვაქვს

ქ.ე.დ.

ფორმულა (2.3) ასევე შეიძლება მიღებული იყოს ორზე მეტი ერთობლივი მოვლენისთვის.

მისი სისტემატური შესწავლის დაწყებიდან რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში, ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები ჯერ კიდევ არ იყო მკაფიოდ განსაზღვრული. ძირითადი განმარტებების ბუნდოვანებამ მკვლევარებს ხშირად მიჰყავდა ურთიერთსაწინააღმდეგო დასკვნები და პრაქტიკული ალბათური აპლიკაციები ცუდად იყო დასაბუთებული. Შემდგომი განვითარებასაბუნებისმეტყველო მეცნიერებამ მოითხოვა ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებების სისტემატური შესწავლა და იმ პირობების დადგენა, რომლებშიც შესაძლებელია მისი შედეგების გამოყენება. განსაკუთრებული მნიშვნელობა ჰქონდა ალბათობის თეორიის ფორმალურ ლოგიკურ დასაბუთებას, რომელიც, კერძოდ, 1900 წელს დ.ჰილბერტი კლასიფიცირებული იყო, როგორც კრიტიკული საკითხებიმათემატიკა.

აგების ფორმალურ-ლოგიკური პრინციპი მოითხოვდა, რომ ალბათობის თეორიის საფუძველი ყოფილიყო ზოგიერთი აქსიომატური წინაპირობა, რომელიც წარმოადგენს მრავალსაუკუნოვან განზოგადებას. ადამიანის გამოცდილება. თეორიული და ალბათური ცნებების შემდგომი განვითარება უნდა აგებულიყო აქსიომური დებულებებიდან გამოყვანის გზით, ბუნდოვანი და ინტუიციური იდეების გამოყენების გარეშე. ეს თვალსაზრისი პირველად 1917 წელს განვითარდა. საბჭოთა მათემატიკოსის.ნ. ბერშტეინი. ამავე დროს, ს.ნ. ბერშტეინი მოვიდა ხარისხობრივი შედარებაშემთხვევითი მოვლენები მათი დიდი ან ნაკლები ალბათობის მიხედვით. ალბათობის აქსიომატური თეორიის მათემატიკურად მკაცრი კონსტრუქცია შემოგვთავაზა ა.ნ. კოლმოგოროვი 1933 წელს, მჭიდროდ აკავშირებს ალბათობის თეორიას სიმრავლეების თეორიასა და ზომების თეორიასთან. ალბათობის აქსიომატური განმარტება, როგორც განსაკუთრებული შემთხვევები, მოიცავს როგორც კლასიკურ, ასევე სტატისტიკური განმარტებებიდა გადალახავს თითოეული მათგანის უკმარისობას.

ამოსავალი წერტილი ა.ნ. კოლმოგოროვი არის ელემენტარული მოვლენების ნაკრები ω, in სპეციალური ლიტერატურაეწოდება ფაზის სივრცე და ტრადიციულად აღინიშნება Ω-ით. ნებისმიერი დაკვირვებადი მოვლენა, რომლის ალბათობაც უნდა განისაზღვროს, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფაზის სივრცის ზოგიერთი ქვეჯგუფი. ამიტომ Ω სიმრავლესთან ერთად განიხილება ელემენტარული მოვლენების ქვესიმრავლეების Θ სიმრავლე, რომელთა სიმბოლური აღნიშვნა შეიძლება იყოს თვითნებური. გარკვეული მოვლენა წარმოდგენილია მთელი ფაზის სივრცით. Θ სიმრავლეს სიმრავლე ალგებრას უწოდებენ, თუ შემდეგი მოთხოვნები დაკმაყოფილებულია:
1) Ω ∈ Θ, ∅ ∈ Θ;
2) ის ფაქტი, რომ A ∈ Ω გულისხმობს, რომ $\bar A \in \Theta $ ასევე;
3) ის ფაქტი, რომ A ∈ Θ და B ∈ Θ გულისხმობს, რომ A ∪ B ∈ Θ და A ∩ B∈ Θ.

თუ ზემოაღნიშნულის გარდა დაკმაყოფილებულია შემდეგი მოთხოვნა:
4) ის ფაქტი, რომ A n ∈ Θ (n = 1,2...) გულისხმობს, რომ $\mathop \cup \limits_n (A_n) \in \Theta $ და $\mathop \cap \limits_n (A_n ) \in \Theta $, მაშინ სიმრავლე Θ ეწოდება σ-ალგებრა. Θ-ის ელემენტები ე.წ შემთხვევითი მოვლენები.

ოპერაციები შემთხვევით მოვლენებზე ალბათობის აქსიომატიურ თეორიაში გაგებულია, როგორც მოქმედებები შესაბამის სიმრავლეებზე. შედეგად შესაძლებელია დადგინდეს ურთიერთშესაბამისობა სიმრავლეების თეორიის ენისა და ალბათობის თეორიის ენის ტერმინებს შორის.

როგორც ალბათობის განმსაზღვრელი აქსიომები, ა.ნ. კოლმოგოროვმა მიიღო შემდეგი განცხადებები:

აქსიომა 1. თითოეულს შემთხვევითი მოვლენადა გასწორდა არაუარყოფითი რიცხვი P (A), რომელსაც ეწოდება მისი ალბათობა.
აქსიომა 2. P(Ω)= 1.
აქსიომა 3 (მიმატების აქსიომა). თუ მოვლენები A 1 , A 2 ,...,A n წყვილში შეუთავსებელია, მაშინ

P(A 1 + A 2 +...+ A n) = P(A 1) + P(A 2) +...+ P(A n).

შემდეგი განცხადებები არის ჩამოყალიბებული აქსიომების შედეგები.

1. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულია: P(∅) = 0.
2. ნებისმიერი მოვლენისთვის A $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
3. როგორიც არ უნდა იყოს შემთხვევითი მოვლენა A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. თუ მოვლენა A იწვევს B მოვლენას, მაშინ P(A) ≤ P(B).

ალბათობის სივრცეს ჩვეულებრივ უწოდებენ სიმბოლოთა სამეულს (Ω, Θ, P), სადაც Ω არის ელემენტარული მოვლენების სიმრავლე ω, Θ – σ არის Ω ქვესიმრავლეების ალგებრა, რომელსაც ეწოდება შემთხვევითი მოვლენები, ხოლო P(A) არის ალბათობა განსაზღვრული σ, ალგებრა Θ.

ამრიგად, ა.ნ.-ის აქსიომატიკის მიხედვით. კოლმოგოროვი, თითოეულ დაკვირვებულ მოვლენას ენიჭება გარკვეული არაუარყოფითი რიცხვი, რომელსაც ეწოდება ამ მოვლენის ალბათობა, ასე რომ, მთელი ფაზის სივრცის ალბათობა უდრის 1-ს, ხოლო თვისება სიგმას მატება. ბოლო თვისება ნიშნავს, რომ წყვილი ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენების შემთხვევაში, დადგომის ალბათობა შესაბამისად მინიმუმერთი (და წყვილი შეუთავსებლობის გამო, ზუსტად ერთი) დაკვირვებული მოვლენა ემთხვევა დაკვირვებული მოვლენების ალბათობების ჯამს დაკვირვებული მოვლენების მოცემული სასრული ან თვლადი სიმრავლიდან.

ალბათობის განსაზღვრის შემთხვევაში σ - ალგებრაზე, რომელიც შედგება Ω-ის ზოგიერთი ქვესიმრავლისაგან, პირველი არ შეიძლება გავრცელდეს Ω-ის სხვა ქვესიმრავლეებზე ისე, რომ შენარჩუნდეს სიგმა-დამატების თვისება, თუ Ω არ შედგება ელემენტების სასრული ან თვლადი რაოდენობა. სიგმა-ადიტიურობის დანერგვამ ასევე გამოიწვია მთელი რიგი პარადოქსები. მაშასადამე, სიგმა-დამატებასთან ერთად, საკუთრება ადიტიურობა, რაც გაგებულია, როგორც ორი შეუთავსებელი მოვლენის გაერთიანების საზომის ეკვივალენტობა ამ მოვლენების ზომების ჯამს. თუმცა, თითქმის მაშინვე აჩვენა, რომ სიგმა-ადიტიურობის დანამატებით ჩანაცვლება არა მხოლოდ არ წყვეტს ყველა პრობლემას, არამედ იწვევს სხვა პარადოქსულ შედეგებს.

კოლმოგოროვის აქსიომების სისტემა შედარებით თანმიმდევრული და არასრულია, საშუალებას გაძლევთ შექმნათ ალბათობის თეორია, როგორც ზომების თეორიის ნაწილი და განიხილოთ ალბათობა, როგორც არაუარყოფითი ნორმალიზებული დანამატის სიმრავლის ფუნქცია. მიუხედავად იმისა, რომ ალბათობის თეორიაში ა.ნ. კოლმოგოროვის ალბათობა ყოველთვის არაუარყოფითია, ალბათობის თეორიის ზოგიერთი თეორემა შეიძლება განზოგადდეს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც უარყოფითი რიცხვებიიმოქმედეთ როგორც ალბათობა და ასევე მიიღეთ ალბათობის სხვა განზოგადება.

ზოგიერთი ფუნდამენტური მათემატიკური თეორიებიდაიმკვიდროს ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები, კონსტრუქციები და ტერმინოლოგია. ასეთია, კერძოდ, შესაძლებლობების თეორია, რომელიც ასევე განიხილავს შესაძლებლობათა სივრცეებს და ელემენტარულ მოვლენებს, σ - ალგებრა.

ალბათობის თეორიის აქსიომატიკა

შემოთავაზებულია ზემოთ კლასიკური განმარტებაალბათობასთან ერთად აშკარა ღირსებები, უპირველეს ყოვლისა, სიმარტივეს და ინტუიციურ სიცხადეს, აქვს მთელი რიგი მნიშვნელოვანი ნაკლოვანებები: ის უზრუნველყოფს ელემენტარული მოვლენების მხოლოდ სასრულ ან თვლადი კომპლექტს და მათი ალბათობების ცოდნა სავალდებულოა. ეს ყველაფერი ყოველთვის ასე არ არის და, შესაბამისად, შემოღებული განმარტება საკმარისად ზოგადი არ არის. ამჟამად, ალბათობის თეორიის აქსიომატური კონსტრუქცია საყოველთაოდ მიღებულია.

მათემატიკაში აქსიომები არის დებულებები, რომლებიც მიღებულია როგორც ჭეშმარიტი და არ არის დადასტურებული მოცემული თეორიის ფარგლებში.ამ თეორიის ყველა სხვა დებულება წმინდად უნდა იყოს მიღებული ლოგიკური გზამიღებული აქსიომებიდან. აქსიომების ფორმულირება არ არის საწყისი ეტაპიგანვითარება მათემატიკური მეცნიერება, მაგრამ ფაქტების ხანგრძლივი დაგროვების შედეგია და ლოგიკური ანალიზიმიღებული შედეგები მართლაც ძირითადი პირველადი ფაქტების გამოსავლენად. ასე ჩამოყალიბდა გეომეტრიის აქსიომები. მსგავსი გზა გაიარა ალბათობის თეორიამ, რომელშიც მისი საფუძვლების აქსიომური აგებულება შედარებით ახლო წარსულის საქმე იყო. პირველად ალბათობის თეორიის აქსიომური აგების პრობლემა 1917 წელს გადაჭრა საბჭოთა მათემატიკოსმა ს.ნ. ბერნშტეინი.

ამჟამად აქსიომატიკა აკადემიკოს ა.ნ. კოლმოგოროვი (1933), რომელიც აკავშირებს ალბათობის თეორიას სიმრავლეთა თეორიასთან და ფუნქციათა მეტრულ თეორიასთან.

აქსიომიკაში ა.ნ. კოლმოგოროვი, ელემენტარული შედეგების სივრცე (სიმრავლე) Ω არის პირველადი. რისთვის არის ამ ნაკრების ელემენტები ლოგიკური განვითარებაალბათობის თეორია შეუსაბამოა. შემდეგ განვიხილავთ Ω სიმრავლის ქვესიმრავლეების ზოგიერთ F სისტემას; F სისტემის ელემენტებს შემთხვევითი მოვლენები ეწოდება. F სისტემის სტრუქტურასთან დაკავშირებით, ვარაუდობენ, რომ დაკმაყოფილებულია შემდეგი სამი მოთხოვნა:

1. F ქვესიმრავლე ელემენტად შეიცავს გარკვეულ მოვლენას Ω.

2. თუ A და B არის ორი მოვლენა, რომელიც განსაზღვრულია Ω-ზე, შედის F ქვეჯგუფში, როგორც ელემენტები, მაშინ F ქვესიმრავლე ასევე შეიცავს A + B, A ∙ B ელემენტებად,

3. თუ Ω-ზე განსაზღვრული მოვლენები А 1 , А 2 , … არის F ქვესიმრავლის ელემენტები, მაშინ მათი ჯამი. და სამსახური ასევე არის F ქვეჯგუფის ელემენტები.

კომპლექტი F ჩამოყალიბდა ზემოთ აღწერილი წესით სახელწოდებით "ს-ალგებრა მოვლენათა".

ახლა ჩვენ მივმართავთ იმ აქსიომების ფორმულირებას, რომლებიც განსაზღვრავენ ალბათობას.

აქსიომა 1.(ალბათობის არსებობის აქსიომა). ყოველი შემთხვევითი მოვლენა A მოვლენათა σ-ალგებრადან F ასოცირდება არაუარყოფით რიცხვთან p(A), რომელსაც ეწოდება მისი ალბათობა.

აქსიომა 2.(გარკვეული მოვლენის ალბათობა). გარკვეული მოვლენის ალბათობა 1-ის ტოლია: Р(Ω)=1. (1.15)

აქსიომა 3.(დამატების აქსიომა). თუ მოვლენები A და B არ არის თავსებადი, მაშინ

P(A+B) = P(A)+P(B). (1.16)

აქსიომა 4.(მიმატების გაფართოებული აქსიომა). თუ მოვლენა A ექვივალენტურია მინიმუმ ერთი წყვილში შეუთავსებელი მოვლენის A 1 , A 2 , …, ანუ , მაშინ A მოვლენის ალბათობა უდრის.

ელემენტარული ინფორმაცია სიმრავლეების თეორიიდან

კომპლექტების მაგალითები: ბევრი სტუდენტი ლექციაზე; სიბრტყეზე წერტილების ერთობლიობა, რომელიც მდებარეობს რადიუსის წრის შიგნით რ; წერტილების ნაკრები რეალურ ღერძზე, მანძილი საიდანაც წერტილამდე ბაბსცისით ანაკლები ვიდრე დ; ნატურალური რიცხვების ნაკრები.

სადაც x- წერტილის აბსციზა.

სადაც x, წწერტილის დეკარტის კოორდინატებია.

ამ ნაკრების კიდევ ერთი ჩანაწერი

სადაც არის წერტილის ერთ-ერთი პოლარული კოორდინატი.

უსასრულო სიმრავლეს თვლადი ეწოდება, თუ მისი ყველა ელემენტი შეიძლება განლაგდეს გარკვეული თანმიმდევრობით და დანომრილი (ორივე სიმრავლე და , თვლადია).

Მაგალითად: .

ორი სიმრავლის გაერთიანების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია მაგრამდა ATნაჩვენებია ნახ. 2.2.

რამდენიმე სიმრავლის გაერთიანება (ჯამი) ანალოგიურად არის განსაზღვრული

კვეთის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ნაჩვენებია ნახ. 2.3.

რამდენიმე კომპლექტის კვეთა განისაზღვრება ანალოგიურად

1. გადაადგილების ქონება:

2. ასოციაციური თვისება:

3. სადისტრიბუციო ქონება:

ალბათობის თეორიის აქსიომები და მათი შედეგები.

ალბათობის დამატების წესები

მაგალითად, კამათლის სროლისას ელემენტარული მოვლენების სივრცე . თუ მოვლენა , მაშინ ღონისძიების პარამეტრები მაგრამ: ,

1. მრავალი მოვლენის ფორმა სრული ჯგუფი, თუ , ანუ მათი ჯამი (ერთობლიობა) სანდო მოვლენაა.

მოვლენის ეს ალბათობები უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ აქსიომებს:

1. ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა ნულსა და ერთს შორისაა:

2. თუ მაგრამდა ATშეუთავსებელი მოვლენებია, ე.ი. მაშინ

ეს აქსიომა შეიძლება ადვილად განზოგადდეს ნებისმიერი რაოდენობის მოვლენაზე დამატების ასოციაციური თვისების გამოყენებით. თუ ზე, მაშინ

ანუ შეუთავსებელი მოვლენების ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამს.

3. თუ შესაძლებელია თვლადი ნაკრებიშეუთავსებელი მოვლენები ( at ), მაშინ

მაგრამ ყველა შემთხვევა შეუთავსებელია და მათზე ვრცელდება ალბათობების დამატების წესი

გარდა ამისა, ვინაიდან ყველა მოვლენა თანაბრად შესაძლებელია, მაშინ

მოვლენისთვის ხელსაყრელი შემთხვევები ქმნიან მის ვარიანტებს და რადგან თითოეული მათგანის ალბათობა არის , მაშინ მიმატების წესით ვიღებთ

მაგრამ ეს არის კლასიკური ფორმულა (1.1).

ალბათობათა დამატების წესის შედეგები

1. შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფის ალბათობების ჯამი უდრის ერთს, ე.ი.

მტკიცებულება. ვინაიდან მოვლენები შეუთავსებელია, მათზე ვრცელდება დამატების წესი

2. საპირისპირო მოვლენების ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს:

როგორც მოვლენები მაგრამდა შექმენით სრული ჯგუფი.

წესი ფართოდ გამოიყენება პრობლემებში, სადაც საპირისპირო მოვლენის ალბათობის გამოთვლა უფრო ადვილია.

3. თუ მოვლენები მაგრამდა ATთავსებადია, ანუ მაშინ

მტკიცებულება. წარმოადგინეთ შეუთავსებელი (არა გადახურვის) ვარიანტების ჯამი (იხ. ნახ. 2.6)

დამატების წესის მიხედვით

სადაც მივიღებთ

მიღებული გამონათქვამების (2.3) ჩანაცვლების შემდეგ გვაქვს

ქ.ე.დ.

ფორმულა (2.3) ასევე შეიძლება მიღებული იყოს ორზე მეტი ერთობლივი მოვლენისთვის.

იყოს ელემენტარული მოვლენათა სივრცე, იყოს მოვლენათა ალგებრა (სიმრავლის ქვესიმრავლეების ალგებრა). შემდეგი ხუთი აქსიომა საფუძვლად უდევს ალბათობის თეორიას.

1. მოვლენათა ალგებრა არის – მოვლენათა ალგებრა.

მოვლენათა სისტემას ეწოდება - ალგებრა, თუ მოვლენათა რომელიმე თანმიმდევრობას ეკუთვნის მათი გაერთიანება, კვეთა და მიმატებები, ე.ი. , ასევე არის მოვლენები. ამრიგად, - ალგებრა არის მოვლენათა სისტემა, რომელიც დახურულია კომპლიმენტის, თვლადი კავშირისა და თვლადი კვეთის ოპერაციების ქვეშ.

2. მოვლენათა ალგებრაზე ნებისმიერისთვის განისაზღვრება ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება ალბათობა და აღება რიცხვითი მნიშვნელობებიინტერვალიდან: .

ეს აქსიომა არის ალბათობის არსებობის აქსიომა - როგორც ფუნქცია on ინტერვალიდან მნიშვნელობებთან. შემდეგი სამი აქსიომა განსაზღვრავს ფუნქციის თვისებებს.

3. ნებისმიერი ორი მოვლენისთვის ისეთი რომ

ალბათობათა მიმატების აქსიომა.

აქედან გამომდინარეობს, რომ შეუთავსებელი მოვლენების სასრული რაოდენობა

4. Let, - წყვილი შეუთავსებელი მოვლენები: და let. მერე

მიმართებას (15.3) ეწოდება ალბათობის თვლადი დანამატის აქსიომა ან ალბათობის უწყვეტობის აქსიომას. მეორე დაკავშირებულია თანასწორობის შემდეგ ინტერპრეტაციასთან (15.3). მოვლენა უნდა გავიგოთ, როგორც მიმდევრობის ზღვარი

ამ შემთხვევაში, თანასწორობა (15.3) შეიძლება გავიგოთ, როგორც ფუნქციის უწყვეტობის თვისება: ან

რაც საშუალებას აძლევს ლიმიტის ოპერაციას ფუნქციიდან ამოღება. ეს გამოწვეულია იმით, რომ პირობა (15.5) გულისხმობს (15.3):

მეხუთე აქსიომა მიუთითებს, რომ ელემენტარული მოვლენების სივრცე არის გარკვეული მოვლენა. ამრიგად, ის შეიცავს ყველა მოვლენას, რაც შეიძლება ჩაითვალოს ამ პრობლემაში.

ელემენტარული მოვლენების სივრცე, - მოვლენათა ალგებრა და ალბათობა, 1-5 აქსიომების დაკმაყოფილება, ქმნის ეგრეთ წოდებულ ალბათობის სივრცეს, რომელიც ჩვეულებრივ აღინიშნება.

გაითვალისწინეთ, რომ 1-5 აქსიომების სისტემა არ არის წინააღმდეგობრივი, რადგან არსებობს, რომლებიც აკმაყოფილებს ამ აქსიომებს და არ არის სრული, რადგან ალბათობა შეიძლება მრავალი გზით განისაზღვროს 2-5 აქსიომების ფარგლებში. ალბათობის სივრცის კონცეფცია (ან აქსიომების სისტემა 1-5) შეიცავს მხოლოდ ყველაზე მეტს Ძირითადი მოთხოვნებიწარდგენილი მათემატიკური მოდელიშემთხვევითი მოვლენაა და ცალსახად არ განსაზღვრავს ალბათობას. ეს უკანასკნელი შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში დამატებითი პირობებიმოცემულია განსახილველი პრობლემის ფორმულირებაში.

დისკრეტული ალბათობის სივრცე

ალბათობის სივრცეს ეწოდება დისკრეტული, თუ ის არის სასრული ან თვლადი, - - ყველა ქვესიმრავლის ალგებრა (მათ შორის), ალბათობა განისაზღვრება ელემენტარული მოვლენების სივრცის თითოეული ერთპუნქტიანი ქვესიმრავლისთვის:

ნებისმიერი მოვლენისთვის, მისი ალბათობა განისაზღვრება თანასწორობით

მაგალითები - ალგებრები

17.1. მოდით იყოს ელემენტარული მოვლენების თვითნებური სივრცე, რომელზედაც არ არის მითითებული რაიმე მოვლენა. ალგებრის ასაგებად, განმარტების მიხედვით (პუნქტი 15), აუცილებელია ყველა დამატება, კავშირი და კვეთა. ღონისძიებების დაყენებადა ჩართეთ ისინი - ალგებრაში. რადგანაც ამ საქმესარსებობს ერთი მოვლენა, შესაძლებელია მხოლოდ მისი კომპლემენტის აგება. ახლა არსებობს ორი მოვლენის სისტემა ( ). დამატების, გაერთიანების, გადაკვეთის ოპერაციების შემდგომი გამოყენება არ იძლევა ახალ მოვლენებს. ამრიგად, in ეს მაგალითი- ალგებრა.

17.2. იყოს ელემენტარული მოვლენების სივრცე და იყოს რაიმე მოვლენა, რომელიც არ ემთხვევა, ე.ი. . ამრიგად, არსებობს ორი მოვლენის სისტემა. ეს სისტემა შეიძლება გაფართოვდეს ახალი მოვლენების ჩათვლით, რომლებიც მიიღება მოვლენებზე დამატების, გაერთიანების, გადაკვეთის ოპერაციების შედეგად. აზრი აქვს მოვლენების სისტემის გაფართოების პროცედურის განმეორებით გაგრძელებას, სანამ ახალი მოვლენების გამოჩენა არ შეჩერდება. მოვლენათა შემზღუდველ სისტემას მოვლენათა სისტემის მიერ წარმოქმნილი ალგებრა ეწოდება.

განვიხილოთ სისტემის მოვლენებზე დამატების ოპერაცია. მისი შედეგი არის ახალი მოვლენები, რომლებიც არ შეიცავს ორიგინალური სისტემა, რომლის ჩართვაც იძლევა ახალი სისტემაივენთი

ცხადია, მიმატების, გაერთიანების, გადაკვეთის შემდგომი ოპერაციები არ იძლევა ახალ მოვლენებს, რომლებიც არ შეიცავს (17.1). ამრიგად, მოვლენათა სისტემა (17.1) არის სისტემის მიერ წარმოქმნილი ალგებრა.

17.3. მოდით გავართულოთ მაგალითი. იყოს ელემენტარული მოვლენების სივრცე, იყოს ორი შეუთავსებელი მოვლენა, ისეთი, რომ. ამრიგად, არსებობს სამი მოვლენის სისტემა. ამ სისტემის მოვლენებზე კავშირის მოქმედება იწვევს ერთი ახალი მოვლენის გამოჩენას. ოთხი მოვლენის შედეგად მიღებული სისტემა რვამდე გაფართოვდა მათი დამატებების ჩათვლით. ადვილი მისახვედრია, რომ ამ რვა მოვლენაზე დამატების, გაერთიანების, გადაკვეთის ოპერაციების გამოყენება არ წარმოქმნის ახალ მოვლენებს. ასე რომ, სისტემა რვა მოვლენა

მოვლენათა სისტემით წარმოქმნილი ალგებრაა.

17.4. განვიხილოთ - ელემენტარული მოვლენების სივრცე და ორი თვითნებური მოვლენა, ნახ. 17.1. მოვლენათა გარკვეული სისტემით წარმოქმნილი ალგებრას ასაგებად, ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია შემდეგი მეთოდის გამოყენება.

გამოვყოფთ ყველა შეუთავსებელ მოვლენას, ნახ. 17.1. ამავე დროს და ა.შ. - ალგებრა შეიცავს ყველა მოვლენას, მოვლენათა ყველა გაერთიანებას და ასევე შეუძლებელი მოვლენა. მართლაც, სიმრავლიდან ნებისმიერი მოვლენის გადაკვეთის ოპერაცია წარმოქმნის ერთ მოვლენას. სიმრავლიდან მოვლენებზე დამატების ოპერაცია წარმოქმნის მოვლენას, რომელიც გამოიხატება მოვლენების გაერთიანებით. შესაბამისად, საკმარისია განვიხილოთ მხოლოდ გაერთიანების მოქმედება მოვლენებზე, ნაცვლად სამი მოქმედებისა - მიმატება, გადაკვეთა, გაერთიანება მოვლენათა თავდაპირველი სისტემისთვის.

ახლა, ავაშენოთ - ალგებრა, განიხილეთ მოვლენები, მათი ყველა კომბინაცია და გამოთქვით მიღებული მოვლენები ორიგინალის საშუალებით. ცხადია: , . წყვილი გაერთიანებები იძლევა შემდეგ მოვლენებს: , ; , ; . სამმაგი გაერთიანებები: , .

ამრიგად, - ალგებრა შეიცავს მოვლენებს: , ; , ; , ასევე და - სულ 16 ღონისძიება.

გაითვალისწინეთ, რომ ალგებრის განსაზღვრისას მოვლენათა გენერირების სისტემა, როგორც წესი, შედგება ექსპერიმენტში დაფიქსირებული მოვლენებისგან.

ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მოვლენები ემთხვევა მოვლენებს (8.1), რომლებიც გათვალისწინებული იყო სიხშირეების დამატების ფორმულის გამოყვანისას. მართლაც, და ბოლოს, ფორმულით (6.1).

17.5. განვიხილოთ მაგალითი 4-ის განზოგადება. მოდით, მოვლენათა თავდაპირველი სისტემა - შეიცავდეს თვითნებურ მოვლენებს. ალგებრის ასაგებად, მაგალითად 4-ის მსგავსად, წარმოგიდგენთ ფორმის მოვლენებს

სადაც თითოეული ან, და და. ვინაიდან თითოეულს შეუძლია მიიღოს ორი მნიშვნელობა 0 ან 1, ფორმის ყველა მოვლენის რაოდენობა ტოლია. ეს მოვლენები ქმნიან შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს. ამრიგად, მოვლენები ალგებრაზე თამაშობენ ორთოგონალური საფუძვლის როლს, რაც შესაძლებელს ხდის წარმოდგენას თვითნებური მოვლენაშეუთავსებელი (ორთოგონალური გადაკვეთის ოპერაციის გაგებით) მოვლენების მეშვეობით. სიმრავლეების თეორიაში, სახის სიმრავლეებს შემადგენელი ნაწილი ეწოდება. შემადგენელი აპარატი საშუალებას გვაძლევს ვაჩვენოთ, რომ ამ მაგალითში ყველა მოვლენის რიცხვი - ალგებრა არ აღემატება (მათ შორის და), და მოვლენების რაოდენობა აღწევს მაქსიმალური ღირებულებაროდესაც ყველა განსხვავდება (როგორც მაგალითად 4). ეს შედეგი შესაძლებელს ხდის ვიმსჯელოთ მოვლენების რაოდენობის ზრდის მაღალ ტემპზე - ალგებრაში დამოკიდებულია - თავდაპირველ სისტემაში მოვლენების რაოდენობაზე. მაგალითად 4 რიცხვი, მაშასადამე, მოვლენათა რაოდენობა - ალგებრაში ტოლია.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ალბათობის თეორიის აქსიომატიკა

დისკრეტული ალბათობის სივრცე

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ