As principais propriedades do logaritmo natural, gráfico, domínio de definição, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, expansão em série de potência e representando a função ln x em termos de números complexos.

Definição

Logaritmo naturalé a função y = ln x, inverso ao expoente, x \u003d e y , e que é o logaritmo da base do número e: ln x = log e x.

O logaritmo natural é amplamente utilizado em matemática porque sua derivada tem a forma mais simples: (ln x)′ = 1/x.

Sediada definições, a base do logaritmo natural é o número e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Gráfico da função y = ln x.

Gráfico do logaritmo natural (funções y = ln x) é obtido a partir do gráfico do expoente reflexo do espelho em relação à reta y = x .

O logaritmo natural é definido em valores positivos variável x. Aumenta monotonicamente em seu domínio de definição.

Como x → 0 o limite do logaritmo natural é menos infinito ( - ∞ ).

Como x → + ∞, o limite do logaritmo natural é mais infinito ( + ∞ ). Para x grande, o logaritmo aumenta lentamente. Algum Função liga-desliga x a com um expoente positivo a cresce mais rápido que o logaritmo.

Propriedades do logaritmo natural

Domínio de definição, conjunto de valores, extremos, aumento, diminuição

O logaritmo natural é uma função monotonicamente crescente, portanto não tem extremos. As principais propriedades do logaritmo natural são apresentadas na tabela.

ln x valores

log 1 = 0

Fórmulas básicas para logaritmos naturais

Fórmulas decorrentes da definição da função inversa:

A principal propriedade dos logaritmos e suas consequências

Fórmula de substituição de base

Qualquer logaritmo pode ser expresso em termos de logaritmos naturais usando a fórmula de mudança de base:

As provas dessas fórmulas são apresentadas na seção "Logaritmo".

Função inversa

O recíproco do logaritmo natural é o expoente.

Se então

Se então .

Derivada ln x

Derivada do logaritmo natural:
.
Derivada do logaritmo natural do módulo x:
.
Derivada da enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >

Integrante

A integral é calculada por integração por partes:
.
Então,

Expressões em termos de números complexos

Considere uma função de uma variável complexa z:
.
Vamos expressar a variável complexa z via módulo r e argumento φ :
.
Usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou
.
O argumento φ não é definido exclusivamente. Se colocarmos
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.

Portanto, o logaritmo natural, em função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.

Expansão da série de potência

Para , a expansão ocorre:

Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.

Como você sabe, ao multiplicar expressões por potências, seus expoentes sempre somam (a b * a c = a b + c). Esse lei matemática foi derivado por Arquimedes e, mais tarde, no século VIII, o matemático Virasen criou uma tabela de indicadores inteiros. Foram eles que serviram para a descoberta dos logaritmos. Exemplos de uso desta função podem ser encontrados em quase todos os lugares onde é necessário simplificar a multiplicação complicada para a adição simples. Se você gastar 10 minutos lendo este artigo, explicaremos o que são logaritmos e como trabalhar com eles. Linguagem simples e acessível.

Definição em matemática

O logaritmo é uma expressão da seguinte forma: log a b=c, ou seja, o logaritmo de qualquer número não negativo(ou seja, qualquer positivo) "b" à sua base "a" é considerado a potência de "c", à qual a base "a" deve ser elevada para finalmente obter o valor "b". Vamos analisar o logaritmo usando exemplos, digamos que exista uma expressão log 2 8. Como encontrar a resposta? É muito simples, você precisa encontrar um grau que de 2 ao grau exigido você obtenha 8. Tendo feito alguns cálculos em sua mente, obtemos o número 3! E com razão, porque 2 elevado a 3 dá o número 8 na resposta.

Variedades de logaritmos

Para muitos alunos e estudantes, esse tópico parece complicado e incompreensível, mas, na verdade, os logaritmos não são tão assustadores, o principal é entender seu significado geral e lembrar suas propriedades e algumas regras. Há três certos tipos expressões logarítmicas:

1. Logaritmo natural ln a, onde a base é o número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, onde a base é 10.
3. O logaritmo de qualquer número b na base a>1.

Cada um deles é decidido de forma padrão, que inclui simplificação, redução e subsequente redução para um logaritmo usando teoremas logarítmicos. Receber valores corretos logaritmos, você deve lembrar suas propriedades e a sequência de ações em suas decisões.

Regras e algumas restrições

Em matemática, existem várias regras-limitações que são aceitas como axioma, ou seja, não são passíveis de discussão e são verdadeiras. Por exemplo, você não pode dividir números por zero e também é impossível extrair a raiz grau par a partir de números negativos. Os logaritmos também têm suas próprias regras, seguindo as quais você pode aprender facilmente como trabalhar mesmo com expressões logarítmicas longas e espaçosas:

• a base "a" deve ser sempre maior que zero, e ao mesmo tempo não ser igual a 1, caso contrário a expressão perderá seu significado, pois "1" e "0" em qualquer grau são sempre iguais aos seus valores;
• se a > 0, então a b > 0, verifica-se que "c" deve ser maior que zero.

Como resolver logaritmos?

Por exemplo, dada a tarefa de encontrar a resposta para a equação 10 x \u003d 100. É muito fácil, você precisa escolher esse poder aumentando o número dez para o qual obtemos 100. Isso, é claro, é 10 2 \u003d 100.

Agora vamos imaginar dada expressão na forma logarítmica. Obtemos log 10 100 = 2. Ao resolver logaritmos, todas as ações praticamente convergem para encontrar o grau em que a base do logaritmo deve ser inserida para obter um determinado número.

Para uma determinação sem erros do valor grau desconhecido você precisa aprender a trabalhar com uma tabela de graus. Se parece com isso:

Como você pode ver, alguns expoentes podem ser adivinhados intuitivamente se você tiver uma mentalidade técnica e conhecimento da tabuada. No entanto, para grandes valores você precisa de uma tabela de graus. Pode ser usado mesmo por aqueles que não entendem nada de complexos tópicos matemáticos. A coluna da esquerda contém números (base a), a linha superior de números é o valor da potência c, à qual o número a é elevado. Na interseção nas células, são determinados os valores dos números, que são a resposta (a c =b). Vamos pegar, por exemplo, a primeira célula com o número 10 e elevá-la ao quadrado, obtemos o valor 100, que é indicado na interseção de nossas duas células. Tudo é tão simples e fácil que até o humanista mais real entenderá!

Equações e desigualdades

Acontece que sob certas condições, o expoente é o logaritmo. Portanto, quaisquer expressões numéricas matemáticas podem ser escritas como uma equação logarítmica. Por exemplo, 3 4 =81 pode ser escrito como o logaritmo de 81 na base 3, que é quatro (log 3 81 = 4). Por poderes negativos as regras são as mesmas: 2 -5 \u003d 1/32 escrevemos na forma de um logaritmo, obtemos log 2 (1/32) \u003d -5. Uma das seções mais fascinantes da matemática é o tópico dos "logaritmos". Consideraremos exemplos e soluções de equações um pouco mais abaixo, imediatamente após estudar suas propriedades. Agora vamos ver como são as desigualdades e como distingui-las das equações.

Uma expressão da seguinte forma é dada: log 2 (x-1) > 3 - é desigualdade logarítmica, já que o valor desconhecido "x" está sob o sinal do logaritmo. E também na expressão duas quantidades são comparadas: o logaritmo do número desejado na base dois é maior que o número três.

A diferença mais importante entre equações logarítmicas e desigualdades é que equações com logaritmos (por exemplo, o logaritmo de 2 x = √9) implicam um ou mais valores numéricos, enquanto na resolução das desigualdades são definidas como a área valores permitidos, e os pontos de descontinuidade desta função. Como consequência, a resposta não é um simples conjunto números individuais como na resposta da equação, e um série contínua ou um conjunto de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Ao resolver tarefas primitivas ao encontrar os valores do logaritmo, suas propriedades podem não ser conhecidas. No entanto, quando se trata de equações logarítmicas ou desigualdades, antes de tudo, é necessário entender claramente e aplicar na prática todas as propriedades básicas dos logaritmos. Vamos nos familiarizar com exemplos de equações mais tarde, vamos primeiro analisar cada propriedade com mais detalhes.

1. A identidade básica se parece com isso: a logaB =B. Aplica-se apenas se a for maior que 0, não igual a um, e B for maior que zero.
2. O logaritmo do produto pode ser representado pela seguinte fórmula: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Além disso, pré-requisitoé: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Você pode dar uma prova para esta fórmula de logaritmos, com exemplos e uma solução. Seja log as 1 = f 1 e log as 2 = f 2 , então a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obtemos que s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriedades de grau ), e ainda por definição: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, que deveria ser provado.
3. O logaritmo do quociente fica assim: log a (s 1 / s 2) = log as 1 - log as 2.
4. O teorema na forma de uma fórmula adquire próxima visualização: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula é chamada de "propriedade do grau do logaritmo". Assemelha-se às propriedades dos graus comuns, e não é surpreendente, porque toda matemática se baseia em postulados regulares. Vejamos a prova.

Vamos registrar a b \u003d t, verifica-se a t \u003d b. Se você elevar ambas as partes à potência m: a tn = b n ;

mas como a tn = (a q) nt/q = b n , logo log a q b n = (n*t)/t, então log a q b n = n/q log a b. O teorema foi provado.

Exemplos de problemas e desigualdades

Os tipos mais comuns de problemas de logaritmo são exemplos de equações e desigualdades. Eles são encontrados em quase todos os livros de problemas e também estão incluídos em parte obrigatória exames de matemática. Para admissão na universidade ou aprovação Exames de admissão em matemática, você precisa saber como resolver esses problemas corretamente.

Infelizmente, não existe um plano ou esquema único para resolver e determinar o valor desconhecido do logaritmo, no entanto, para cada desigualdade matemática ou a equação logarítmica pode ser aplicada certas regras. Em primeiro lugar, você deve descobrir se a expressão pode ser simplificada ou reduzida a visão geral. Simplifique por muito tempo expressões logarítmicas Você pode, se você usar suas propriedades corretamente. Vamos conhecê-los em breve.

Ao resolver equações logarítmicas, é necessário determinar que tipo de logaritmo temos diante de nós: um exemplo de expressão pode conter um logaritmo natural ou um decimal.

Aqui estão os exemplos ln100, ln1026. A solução deles se resume ao fato de que você precisa determinar o grau em que a base 10 será igual a 100 e 1026, respectivamente. Para soluções logaritmos naturais precisa aplicar identidades logarítmicas ou suas propriedades. Vamos dar uma olhada na solução com exemplos. problemas logarítmicos tipo diferente.

Como usar fórmulas de logaritmo: com exemplos e soluções

Então, vamos ver exemplos de uso dos principais teoremas em logaritmos.

1. A propriedade do logaritmo do produto pode ser utilizada em tarefas onde é necessário expandir grande importância números b em fatores mais simples. Por exemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A resposta é 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como você pode ver, aplicando a quarta propriedade do grau do logaritmo, conseguimos resolver à primeira vista uma expressão complexa e insolúvel. Só é necessário fatorar a base e depois tirar os valores dos expoentes do sinal do logaritmo.

Tarefas do exame

Logaritmos são frequentemente encontrados em exames de entrada, especialmente muitos problemas logarítmicos no exame ( Exame de estado para todos os graduados do ensino médio). Geralmente essas tarefas estão presentes não apenas na parte A (a mais fácil parte de teste exame), mas também na parte C (as tarefas mais difíceis e volumosas). O exame implica um conhecimento acurado e perfeito do tema "Logaritmos naturais".

Exemplos e soluções de problemas são retirados do site oficial Opções de USO. Vamos ver como essas tarefas são resolvidas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solução:
vamos reescrever a expressão, simplificando um pouco log 2 (2x-1) = 2 2 , pela definição do logaritmo obtemos que 2x-1 = 2 4 , portanto 2x = 17; x = 8,5.

• Todos os logaritmos são melhor reduzidos à mesma base para que a solução não seja complicada e confusa.
• Todas as expressões sob o sinal do logaritmo são indicadas como positivas, portanto, ao retirar o expoente do expoente da expressão, que está sob o sinal do logaritmo e como base, a expressão restante sob o logaritmo deve ser positiva.

Expressões logarítmicas, solução de exemplos. Neste artigo, consideraremos problemas relacionados à resolução de logaritmos. As tarefas levantam a questão de encontrar o valor da expressão. Deve-se notar que o conceito de logaritmo é usado em muitas tarefas e é extremamente importante entender seu significado. Quanto ao USE, o logaritmo é usado na resolução de equações, em tarefas aplicadas, também em tarefas relacionadas ao estudo de funções.

Aqui estão alguns exemplos para entender o próprio significado do logaritmo:

Identidade logarítmica básica:

Propriedades dos logaritmos que você deve sempre lembrar:

*Logaritmo do produto é igual à soma os logaritmos dos fatores.

* * *

* O logaritmo do quociente (fração) é igual à diferença dos logaritmos dos fatores.

* * *

*Logaritmo de grau é igual ao produto expoente ao logaritmo de sua base.

* * *

*Transição para nova base

* * *

Mais propriedades:

* * *

O cálculo de logaritmos está intimamente relacionado ao uso das propriedades dos expoentes.

Listamos alguns deles:

essência dada propriedadeé que ao transferir o numerador para o denominador e vice-versa, o sinal do expoente muda para o oposto. Por exemplo:

Consequência desta propriedade:

* * *

Ao elevar uma potência a uma potência, a base permanece a mesma, mas os expoentes são multiplicados.

* * *

Como você pode ver, o próprio conceito do logaritmo é simples. O principal é o que é necessário boa prática, que dá uma certa habilidade. Certamente o conhecimento de fórmulas é obrigatório. Se a habilidade na transformação de logaritmos elementares não for formada, ao resolver tarefas simplesé fácil errar.

Pratique, resolva os exemplos mais simples do curso de matemática primeiro, depois passe para os mais complexos. No futuro, definitivamente mostrarei como os logaritmos “feios” são resolvidos, não haverá tais no exame, mas eles são interessantes, não perca!

Isso é tudo! Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Então, temos potências de dois. Se você pegar o número da linha de fundo, poderá encontrar facilmente a potência à qual precisa aumentar um dois para obter esse número. Por exemplo, para obter 16, você precisa elevar dois à quarta potência. E para obter 64, você precisa elevar dois à sexta potência. Isso pode ser visto na tabela.

E agora - de fato, a definição do logaritmo:

O logaritmo da base a do argumento x é a potência à qual o número a deve ser elevado para obter o número x.

Notação: log a x \u003d b, onde a é a base, x é o argumento, b é realmente o que o logaritmo é igual.

Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de base 2 de 8 é três porque 2 3 = 8). Pode também logar 2 64 = 6 porque 2 6 = 64 .

A operação de encontrar o logaritmo de um número para uma determinada base é chamada de logaritmo. Então, vamos adicionar uma nova linha à nossa tabela:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Infelizmente, nem todos os logaritmos são considerados tão facilmente. Por exemplo, tente encontrar log 2 5 . O número 5 não está na tabela, mas a lógica determina que o logaritmo estará em algum lugar no segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем mais grau dois, maior será o número.

Esses números são chamados de irracionais: os números após a vírgula podem ser escritos indefinidamente e nunca se repetem. Se o logaritmo for irracional, é melhor deixá-lo assim: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

É importante entender que o logaritmo é uma expressão com duas variáveis ​​(base e argumento). A princípio, muitas pessoas confundem onde está a base e onde está o argumento. Evitar infelizes mal-entendidosé só dar uma olhada na foto:

Diante de nós nada mais é do que a definição do logaritmo. Lembrar: o logaritmo é a potência, para o qual você precisa aumentar a base para obter o argumento. É a base que é elevada a uma potência - na foto ela está destacada em vermelho. Acontece que a base está sempre no fundo! Eu conto essa regra maravilhosa para meus alunos na primeira aula - e não há confusão.

Descobrimos a definição - resta aprender a contar logaritmos, ou seja, livrar-se do sinal "log". Para começar, notamos que dois fatos importantes decorrem da definição:

1. O argumento e a base devem ser sempre maiores que zero. Isso decorre da definição do grau indicador racional, ao qual se reduz a definição do logaritmo.
2. A base deve ser diferente da unidade, pois uma unidade para qualquer poder ainda é uma unidade. Por causa disso, a questão “a que poder um deve ser elevado para obter dois” não tem sentido. Não existe esse grau!

Tais restrições são chamadas intervalo válido(ODZ). Acontece que a ODZ do logaritmo se parece com isso: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Observe que não há restrições quanto ao número b (o valor do logaritmo) não é imposto. Por exemplo, o logaritmo pode ser negativo: log 2 0,5 \u003d -1, porque 0,5 = 2 −1 .

No entanto, por enquanto estamos considerando apenas expressões numéricas, onde não é necessário conhecer a ODZ do logaritmo. Todas as restrições já foram levadas em consideração pelos compiladores dos problemas. Mas quando eles vão equações logarítmicas e desigualdades, os requisitos do DHS se tornarão obrigatórios. De fato, na base e no argumento pode haver construções muito fortes que não necessariamente correspondem às restrições acima.

Agora considere esquema geral cálculos logarítmicos. Consiste em três etapas:

1. Expresse a base a e o argumento x como uma potência com a menor base possível maior que um. Ao longo do caminho, é melhor se livrar das frações decimais;
2. Resolva a equação para a variável b: x = a b ;
3. O número resultante b será a resposta.

Isso é tudo! Se o logaritmo for irracional, isso já será visto na primeira etapa. A exigência de que a base seja maior que um é muito relevante: isso reduz a probabilidade de erro e simplifica muito os cálculos. Igual a decimais: se você os traduzir imediatamente para os comuns, haverá muitas vezes menos erros.

Vamos ver como esse esquema funciona com exemplos específicos:

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 5 25

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vamos fazer e resolver a equação:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Recebeu uma resposta: 2.

Tarefa. Calcule o logaritmo:

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 4 64

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Recebeu uma resposta: 3.

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 16 1

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Recebeu uma resposta: 0.

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 7 14

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de sete: 7 = 7 1 ; 14 não é representado como uma potência de sete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Decorre do parágrafo anterior que o logaritmo não é considerado;
3. A resposta é nenhuma mudança: log 7 14.

Uma pequena nota para último exemplo. Como ter certeza de que um número não é uma potência exata de outro número? Muito simples - basta expandi-lo para fatores primos. Se houver pelo menos dois fatores distintos na expansão, o número não é uma potência exata.

Tarefa. Descubra se as potências exatas do número são: 8; 48; 81; 35; quatorze .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - o grau exato, porque há apenas um multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 não é uma potência exata porque existem dois fatores: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grau exato;
35 = 7 5 - novamente não é um grau exato;
14 \u003d 7 2 - novamente não é um grau exato;

Também notamos que nós números primos são sempre poderes exatos de si mesmos.

logaritmo decimal

Alguns logaritmos são tão comuns que têm um nome e uma designação especiais.

O logaritmo decimal do argumento x é o logaritmo de base 10, ou seja, a potência à qual você precisa elevar o número 10 para obter o número x. Designação: lg x .

Por exemplo, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

A partir de agora, quando uma frase como “Find lg 0.01” aparecer no livro, saiba que isso não é um erro de digitação. Isso é logaritmo decimal. No entanto, se você não estiver acostumado com essa designação, sempre poderá reescrevê-la:
log x = log 10 x

Tudo o que é verdade para logaritmos comuns também é verdade para decimais.

Logaritmo natural

Há outro logaritmo que tem sua própria notação. Em certo sentido, é ainda mais importante do que decimal. É sobre sobre o logaritmo natural.

O logaritmo natural de x é a base e logaritmo, ou seja a potência à qual o número e deve ser elevado para obter o número x. Designação: ln x .

Muitos vão perguntar: o que mais é o número e? Isso é Número irracional, seu valor exato impossível encontrar e gravar. Aqui estão apenas os primeiros números:
e = 2,718281828459...

Não vamos nos aprofundar no que é esse número e por que ele é necessário. Basta lembrar que e é a base do logaritmo natural:
ln x = log e x

Assim ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. Por outro lado, ln 2 é um número irracional. Em geral, o logaritmo natural de qualquer número racional irracional. Exceto, é claro, a unidade: ln 1 = 0.

Para logaritmos naturais, todas as regras que são verdadeiras para logaritmos comuns são válidas.

derivado de sua definição. E assim o logaritmo do número b Por razão uma definido como o expoente ao qual um número deve ser elevado uma para obter o número b(o logaritmo existe apenas para números positivos).

Desta formulação segue-se que o cálculo x = log a b, é equivalente a resolver a equação ax=b. Por exemplo, log 2 8 = 3 Porque 8 = 2 3 . A formulação do logaritmo permite justificar que se b = a c, então o logaritmo do número b Por razão umaé igual a com. Também está claro que o tópico do logaritmo está intimamente relacionado ao tópico da potência de um número.

Com logaritmos, como com qualquer número, você pode realizar operações de adição, subtração e transformar de todas as formas possíveis. Mas, tendo em vista que os logaritmos não são números bem comuns, suas próprias regras especiais se aplicam aqui, que são chamadas de propriedades básicas.

Adição e subtração de logaritmos.

Vamos pegar dois logaritmos os mesmos motivos: log x e registre-se. Em seguida, remova é possível realizar operações de adição e subtração:

log a x + log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registrar um(x 1 . x 2 . x 3 ... xk) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + registre a x k.

A partir de teoremas do logaritmo do quociente mais uma propriedade do logaritmo pode ser obtida. Sabe-se que log uma 1 = 0, portanto,

registro uma 1 /b= registro uma 1 - registro a b= -log a b.

Então existe uma igualdade:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmos de dois números mutuamente recíprocos na mesma base diferem entre si apenas no sinal. Então:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.