Definiția 3. Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe care nu intersectează figura și se află în același plan cu aceasta.

Axa de rotație poate intersecta și figura dacă este axa de simetrie a figurii.

Teorema 2.
, axa
și segmente de linie dreaptă
Și

se rotește în jurul unei axe
. Apoi volumul corpului de revoluție rezultat poate fi calculat prin formula

(2)

Dovada. Pentru un astfel de corp, secțiunea cu abscisa este un cerc cu raza
, mijloace
iar formula (1) dă rezultatul dorit.

Dacă cifra este limitată de graficele a două funcţii continue
Și
, și segmente de linie
Și
, în plus
Și
, apoi la rotirea în jurul axei absciselor, obținem un corp al cărui volum

Exemplul 3 Calculați volumul unui tor obținut prin rotirea unui cerc delimitat de un cerc

în jurul axei x.

R soluţie. Cercul specificat este mărginit de jos de graficul funcției
, Si mai sus -
. Diferența pătratelor acestor funcții:

Volumul dorit

(graficul integrandului este semicercul superior, deci integrala scrisă mai sus este aria semicercului).

Exemplul 4 Segment parabolic cu bază
, și înălțimea , se învârte în jurul bazei. Calculați volumul corpului rezultat („lămâie” de Cavalieri).

R soluţie. Plasați parabola așa cum se arată în figură. Apoi ecuația sa
, și
. Să găsim valoarea parametrului :
. Deci, volumul dorit:

Teorema 3. Fie un trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții continue nenegative
, axa
și segmente de linie dreaptă
Și
, în plus
, se rotește în jurul unei axe
. Apoi volumul corpului de revoluție rezultat poate fi găsit prin formula

(3)

idee dovada. Împărțirea segmentului
puncte

, în părți și trageți linii drepte
. Întregul trapez se va descompune în benzi, care pot fi considerate aproximativ dreptunghiuri cu bază
si inaltime
.

Cilindrul rezultat din rotirea unui astfel de dreptunghi este tăiat de-a lungul generatricei și desfășurat. Obținem un paralelipiped „aproape” cu dimensiuni:
,
Și
. Volumul acestuia
. Deci, pentru volumul unui corp de revoluție vom avea o egalitate aproximativă

Pentru a obține egalitatea exactă, trebuie să trecem la limita la
. Suma scrisă mai sus este suma integrală pentru funcție
, prin urmare, în limită obținem integrala din formula (3). Teorema a fost demonstrată.

Observație 1. În teoremele 2 și 3, condiția
poate fi omis: formula (2) este în general insensibilă la semn
, iar în formula (3) este suficient
inlocuit de
.

Exemplul 5 Segment parabolic (bază
, înălțime ) se învârte în jurul înălțimii. Aflați volumul corpului rezultat.

Soluţie. Aranjați parabola așa cum se arată în figură. Și deși axa de rotație traversează figura, aceasta - axa - este axa de simetrie. Prin urmare, ar trebui luată în considerare doar jumătatea dreaptă a segmentului. Ecuația parabolei
, și
, mijloace
. Avem pentru volum:

Observația 2. Dacă limita curbilinie a unui trapez curbiliniu este dată de ecuațiile parametrice
,
,
Și
,
atunci formulele (2) și (3) pot fi utilizate cu înlocuirea pe
Și
pe
când se schimbă t din
inainte de .

Exemplul 6 Figura este delimitată de primul arc al cicloidei
,
,
, și axa absciselor. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea acestei figuri în jurul: 1) axei
; 2) osii
.

Soluţie. 1) Formula generală
În cazul nostru:

2) Formula generală
Pentru figura noastră:

Încurajăm elevii să facă singuri toate calculele.

Observația 3. Fie un sector curbiliniu delimitat de o linie continuă
și raze
,

, se rotește în jurul axei polare. Volumul corpului rezultat poate fi calculat prin formula.

Exemplul 7 Parte dintr-o figură delimitată de un cardioid
, situat în afara cercului
, se rotește în jurul axei polare. Aflați volumul corpului rezultat.

Soluţie. Ambele linii și, prin urmare, figura pe care o limitează, sunt simetrice față de axa polară. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare doar partea pentru care
. Curbele se intersectează la
Și

la
. În plus, cifra poate fi considerată ca diferența a două sectoare și, prin urmare, volumul poate fi calculat ca diferența a două integrale. Avem:

Sarcini pentru o soluție independentă.

1. Un segment circular a cărui bază
, înălțime , se învârte în jurul bazei. Aflați volumul corpului de revoluție.

2. Aflați volumul unui paraboloid de revoluție a cărui bază , iar înălțimea este .

3. Figura delimitată de un astroid
,
se rotește în jurul axei x. Aflați volumul corpului, care se obține în acest caz.

4. Figura delimitată prin linii
Și
se rotește în jurul axei x. Aflați volumul corpului de revoluție.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Este posibil să vi se solicite să furnizați Informații personaleîn orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

corpurile revoluției numiți corpuri delimitate fie de o suprafață de revoluție, fie de o suprafață de revoluție și un plan (Figura 134). Sub suprafata de revolutie se intelege suprafata obtinuta din rotirea unei linii ( ABCDE ), plată sau spațială, numită generatrix, în jurul unei linii fixe ( i ) - axele de rotație.

Figura 134

Orice punct de pe generatoarea suprafeței de rotație descrie un cerc situat într-un plan perpendicular pe axa de rotație - paralel, prin urmare, planul perpendicular pe axa de revoluție intersectează întotdeauna suprafața de revoluție într-un cerc. Cea mai mare paralelă - ecuator. Cea mai mică paralelă - gât(gât).

Planele care trec prin axa de rotație se numesc planuri meridionale.

Într-un desen complex, reprezentarea corpurilor de revoluție se realizează prin reprezentarea marginilor bazelor și a liniilor contururilor suprafeței.

Liniile de intersecție ale planurilor meridionale cu suprafața se numesc meridiane.

Planul meridional paralel cu planul de proiecție se numește plan meridional principal. Linia de intersecție cu suprafața - primul Meridian.

Cilindru circular drept. Un cilindru circular drept (Figura 135) este un corp delimitat de o suprafață cilindrică de revoluție și două cercuri - bazele cilindrului situate în planuri perpendiculare pe axa cilindrului. Suprafața cilindrică de revoluție numita suprafata obtinuta prin rotirea unei generatoare rectilinie AA 1 în jurul unei linii drepte fixe paralele cu aceasta - i (axa de rotație). Dimensiunile care caracterizează un cilindru circular drept sunt diametrul acestuia DC si inaltime l (distanța dintre bazele cilindrului).

Figura 135

Un cilindru circular drept poate fi considerat și ca un corp obținut prin rotirea unui dreptunghi. ABCD în jurul uneia dintre laturile sale, de exemplu, soare (Figura 136). Latură soare este axa de rotație și latura ANUNȚ - generatoarea cilindrului. Celelalte două laturi vor marca bazele cilindrului.

Figura 136

Dreptunghi AB Și CD când sunt rotite, ele formează cercuri - bazele cilindrului.

Construcția proeminențelor cilindrilor.

Construcția proiecțiilor orizontale și frontale ale cilindrului începe cu imaginea bazei cilindrului, adică două proiecții ale cercului (vezi Figura 135, b). Deoarece cercul este într-un plan H , apoi este proiectat pe acest plan fără distorsiuni. Proiecția frontală a unui cerc este un segment al unei linii drepte orizontale egal cu diametrul cercului de bază.

După construirea bazei pe proiecția frontală, doi generatoare de schițe(generatoare extreme) iar pe ele este trasată înălțimea cilindrului. Este trasat un segment de linie orizontală, care este o proiecție frontală a bazei superioare a cilindrului (Figura 135, c).

Determinarea proeminențelor lipsă ale punctelor A și B situate pe suprafața cilindrului, conform proiecțiilor frontale dateîn acest caz nu provoacă dificultăți, deoarece întreaga proiecție orizontală a suprafeței laterale a cilindrului este un cerc (Figura 137, a). Prin urmare, proiecțiile orizontale ale punctelor DAR Și ÎN poate fi găsit prin glisare din punctele date A"" Și B"" linii de comunicare verticale până când se intersectează cu cercul în punctele dorite A" Și B".

Proiecții de profil ale punctelor DAR Și ÎN De asemenea, sunt construite folosind linii de comunicație verticale și orizontale.

Vedere izometrică a unui cilindru desenați, așa cum se arată în Figura 137, b.

În punct izometric DAR Și ÎN construite după coordonatele lor. De exemplu, pentru a construi un punct ÎN de la origine DESPRE de-a lungul axei X amâna coordonatele ∆x , iar apoi se trasează o linie dreaptă prin capătul său, paralelă cu axa la , până când se intersectează cu conturul bazei în punct 2 . Din acest punct, este trasată o linie dreaptă paralelă cu axa z, pe care este trasată coordonatele Z B , puncte ÎN .

Figura 137

Drept con circular . Un con circular drept (Figura 138) este un corp delimitat de o suprafață conică de revoluție și un cerc situat într-un plan perpendicular pe axa conului. suprafata conica obtinut prin rotirea unei generatoare rectilinie SA (Figura 138, a), trecând prin punct fixS pe axa de rotatie i și făcând un unghi constant cu această axă. Punct S numit vârful conului, iar suprafața conică este suprafața laterală a conului. Dimensiunea unui con circular drept caracterizează diametrul bazei acestuia D K si inaltime H .

Figura 138

Un con circular drept poate fi considerat și ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic SAB în jurul piciorului lui SB (Figura 139). Cu această rotație, ipotenuza descrie suprafata conica, și piciorul AB - cerc, adică baza conului.

Figura 139

Construcția de proeminențe conice.

Secvența de construire a două proiecții ale conului este prezentată în Figura 167, b și c. În primul rând, sunt construite două proiecții ale bazei. Proiecția orizontală a bazei este un cerc. Proiecția frontală va fi un segment de linie orizontală egal cu diametrul acestui cerc (Figura 138, b). Pe proiecția frontală, se ridică o perpendiculară din mijlocul bazei, iar înălțimea conului este așezată pe aceasta (Figura 138, c). Proiecția frontală rezultată a vârfului conului este conectată prin linii drepte cu capetele proiecției frontale ale bazei și se obține o proiecție frontală a conului.

Construirea punctelor pe suprafața unui con

Dacă pe suprafața conului este dată proiecția unui punct DAR (de exemplu, proiecția frontală din figura 140), apoi celelalte două proiecții ale acestui punct sunt determinate folosind linii auxiliare - o generatoare situată pe suprafața conului și trasă prin punct DAR , sau un cerc situat într-un plan paralel cu baza conului.

Figura 140

În primul caz (Figura 140, a) prin punct A efectuează o proiecție frontală 1""S"" generator auxiliar. Folosind o linie verticală de comunicare trasă din punct 1 , situat pe proiecția frontală a cercului de bază, găsiți proiecția orizontală 1" aceasta generatoare, pe care, cu ajutorul unei linii de comunicatie care trece prin A" , găsi punctul dorit A .

În al doilea caz (Figura 140, b) o linie auxiliară care trece prin punct DAR , va exista un cerc situat pe o suprafata conica si paralel cu planul H - paralel. Proiecția frontală a acestui cerc este reprezentată ca un segment 1""1"" linie dreaptă orizontală, a cărei valoare este egală cu diametrul cercului auxiliar. Proiecția orizontală dorită A" puncte DAR este situat la intersectia liniei de comunicatie, coborat din punct A" , cu o proiecție orizontală a cercului auxiliar.

Dacă o proiecţie frontală dată 1"" puncte 1 situat pe generatoarea de contur (contur), atunci proiecția orizontală a punctului este fără linii auxiliare.

ÎN vedere izometrică punct DAR , situat pe suprafața conului, este construit în trei coordonate (vezi Figura 140, c):  X ,  Y Și Z DAR DESPRE de-a lungul axei X coordonată întârziată  X  Y z Z DAR DAR .

Minge. O minge (Figura 141) este un corp obținut prin rotirea unui semicerc ABC (generând) în jurul diametrului său AC (axa de rotație) și suprafața pe care o descrie arcul în acest caz ABC , se numește sferic sau sferic. O minge se referă la corpuri limitate doar de o suprafață de revoluție.

Figura 141

Minge suprafața (sferică) este locul punctelor echidistante de un punct DESPRE numit centrul mingii. Dacă mingea este tăiată de planuri orizontale, atunci se vor obține cercuri în secțiunea - paralele. Cea mai mare dintre paralele are un diametru egal cu diametrul mingii. Un astfel de cerc se numește ecuator. Cercurile obținute ca urmare a secțiunilor mingii de către planele care trec prin axa ei de rotație se numesc meridiane.

Construcția proiecțiilor mingii și a punctelor pe suprafața acesteia

Proeminențele mingii sunt prezentate în Figura 142, a. Proiecții orizontale și frontale - cercuri de rază egale cu raza sferei.

Figura 142

Dacă punct DAR situat pe suprafata sferica, apoi linia auxiliară 1"" 2"" , tras prin acest punct paralel cu axa Oh (paralel), este proiectat pe planul orizontal de proiecție printr-un cerc. Pe proiecția orizontală a cercului auxiliar, proiecția orizontală dorită se găsește folosind linia de comunicație A" puncte DAR .

Valoarea diametrului cercului auxiliar este egală cu proiecția frontală 1""2"" .

Imagine axonometrică sfere (bila) este realizată sub forma unui cerc (Figura 142 b), a cărui rază este definită geometric ca distanța de la centrul sferei până la proiecția ecuatorului (elipsa) de-a lungul axei sale majore (perpendiculară pe Oz ).

În proiecția axonometrică, un punct DAR , situat pe suprafata mingii, este construit dupa trei coordonate: X DAR ,Y DAR Și Z DAR . Aceste coordonate sunt trasate secvenţial în direcţii paralele cu axele izometrice. În exemplul luat în considerare, de la punct DESPRE de-a lungul axei X coordonată întârziată X DAR ; se trasează o linie dreaptă de la capătul său paralel cu axa y, pe care este trasată coordonatele Y DAR ; de la capătul segmentului, paralel cu axa z se trasează o linie dreaptă, pe care este trasată coordonatele Z DAR . În urma construcțiilor obținem punctul dorit DAR .

Thor- un corp (Figura 143) format prin rotirea unui cerc sau a arcului acestuia în jurul unei axe situate în același plan cu acesta, dar care nu trece prin centrul cercului sau arcul acestuia.

Figura 143

Dacă axa de rotație nu intersectează cercul generator, atunci se numește torul inel(torul deschis) (Figura 143, a). Dacă axa de rotație intersectează cercul generator, atunci se dovedește torus în formă de butoi(tor închis sau tor care se intersectează) (Figura 143, b). În acest din urmă caz, generatoarea suprafeței torului este arcul ABC cercuri.

Cel mai mare dintre cercurile care descriu punctele generatricei suprafeței torusului se numește ecuator, și cel mai mic gât, sau gat.

Construcția proiecțiilor torusului

Un inel circular (sau un tor deschis) are o proiecție orizontală sub forma a două cercuri concentrice, a căror diferență de raze este egală cu grosimea inelului sau cu diametrul cercului generator (Figura 145). Proiecția frontală este limitată la dreapta și la stânga de arce de semicercuri de diametrul cercului generator.

Figura 144, a și b prezintă două tipuri de tor închis. În primul caz, arcul generator al unui cerc de rază R departe de axa de rotație la o distanță mai mică decât raza R , iar în al doilea caz - mai mult. În ambele cazuri, proiecțiile frontale ale torusului sunt o vedere reală a două arce generatoare ale unui cerc de rază. R situat simetric fata de proiectia frontala a axei de rotatie. Proiecțiile de profil ale torului vor fi cercuri.

Figura 144

Construirea punctelor pe suprafața unui tor

În cazul în care punctul DAR se află pe suprafața unui inel circular și este dată una dintre proiecțiile sale, pentru a găsi a doua proiecție a acestui punct, se folosește un cerc auxiliar care trece prin punct dat DAR și situat pe suprafața inelului într-un plan perpendicular pe axa inelului (Figura 145).

Dacă este setată proiecția frontală A"" puncte DAR întins pe suprafața inelului, apoi pentru a găsi a doua proiecție (în acest caz, orizontală) prin A" efectuați o proiecție frontală a cercului auxiliar - un segment al unei linii drepte orizontale 2""2"" . Apoi construiți o proiecție orizontală 2"2" acest cerc și pe el, folosind o linie de comunicare, găsiți un punct A" .

Dacă este dată proiecția orizontală B" puncte B situat pe suprafața acestui inel, apoi pentru a găsi proiecția frontală a acestui punct prin 1" efectuați o proiecție orizontală a cercului auxiliar de rază R 1 . Apoi prin punctele din stânga și din dreapta 1" Și 1" a acestui cerc se trasează linii de comunicare verticale până când se intersectează cu proiecțiile frontale ale generatricei de schiță a cercului de rază. R și obțineți puncte 1"" Și 1"" . Aceste puncte sunt conectate printr-o linie orizontală, care este o proiecție frontală a cercului auxiliar (va fi vizibil). Desenarea unei linii verticale dintr-un punct B" până la intersecția cu linia 1""1"" obține punctul dorit B"" .

Aceleași tehnici de construcție sunt aplicabile punctelor situate pe suprafața torusului.

Figura 145

Construirea unei imagini axonometrice Torusul poate fi împărțit în trei etape (Figura 146). În primul rând, o proiecție a liniei axiale radiale (traiectoria centrului cercului generator) este construită sub forma unei elipse. Apoi determinăm raza sferei care atinge torul de-a lungul generatricei (cercului). Pentru a face acest lucru, construim proiecția generatricei schiței frontale a torusului sub forma unei elipse mai mici. Raza sferei este definită ca lungimea segmentului DESPRE 1 F de la centrul elipsei până la un punct al acelei elipse care se află pe axa majoră a elipsei (perpendicular Oi ). În continuare, construim un număr mare de cercuri cu o rază R sfere cu centrele pe proiecţia torului axial radial DESPRE 1 … DESPRE n (cu cât mai mult, cu atât este mai precis conturul viitorului tor). În cele din urmă, desenăm linia de contur a torului ca o linie tangentă la fiecare cerc al sferei.

Figura 146

ÎN proiecție axonometrică punct DAR , situat pe suprafața torusului, este construit după trei coordonate: X DAR ,Y DAR Și Z DAR . Aceste coordonate sunt trasate secvenţial în direcţii paralele cu axele izometrice.

Suprafeţele revoluţiei şi corpurile mărginite de acestea au aplicare largăîn multe domenii ale tehnologiei: un balon cu tub catodic (Fig. 8.11, dar), centrul strungului (Fig. 8.11, b) rezonator volumetric cu microunde oscilații electromagnetice(Fig. 8.11,în), vas Dewar de depozitare aer lichid(Fig. 8.11, G), colectorul de electroni al unui dispozitiv puternic cu raze catodice (Fig. 8.11, e) etc.

În funcție de tipul de generator al suprafeței, rotațiile pot fi reglate, neliniare sau constau din părți ale unor astfel de suprafețe.

O suprafață de revoluție este o suprafață rezultată din rotirea unei generatoare în jurul unei linii fixe. cu axă dreaptă suprafete.

În desene, axa este reprezentată printr-o linie punctată. Linia generatoare poate caz general au atât secțiuni curbe, cât și drepte. Suprafața de revoluție din desen poate fi specificată de generatoare și de poziția axei. Figura 8.12 prezintă suprafața de revoluție, care este formată prin rotația generatricei AlCD (proiecția ei frontală a"b"c"d") în jurul axei OO 1 (proiecție frontală o"o 1" , perpendicular pe plan N. În timpul rotației, fiecare punct al generatricei descrie un cerc, al cărui plan este perpendicular pe axă. În consecință, linia de intersecție a suprafeței de revoluție cu orice plan perpendicular pe axă este un cerc. Se numesc astfel de cercuri paralele. Vederea de sus (Fig. 8.12) prezintă proiecții ale cercurilor descrise prin puncte A, B, C și D, trecând prin proiecţii a, b, c, d. Cea mai mare paralelă dintre cele două paralele adiacente acesteia de ambele părți ale acesteia se numește ecuator, la fel si cel mai mic gât.

Planul care trece prin axa suprafeței de revoluție se numește meridional linia de intersecție cu suprafața de revoluție - meridian. Dacă axa suprafeței este paralelă cu planul de proiecții, atunci meridianul situat într-un plan paralel cu acest plan de proiecții se numeștemeridianul principal.Meridianul principal este proiectat pe acest plan de proiecții fără distorsiuni. Deci, dacă axa suprafeței de revoluție este paralelă cu planul V, apoi meridianul prim este proiectat pe plan V fără distorsiuni, de exemplu proiecție a"f"b"c"d". Dacă axa suprafeţei de revoluţie este perpendiculară pe plan H, atunci proiecția orizontală a suprafeței are un contur sub formă de cerc.

Cele mai convenabile pentru realizarea de imagini ale suprafețelor de revoluție sunt cazurile în care axele lor sunt perpendiculare pe plan H, la planul V sau la planul W.

Câteva suprafețe de revoluțiesunt cazuri speciale ale suprafețelor luate în considerare la 8.1, de exemplu, un cilindru de revoluție, un con de revoluție. Pentru un cilindru și un con de revoluție, meridianele sunt linii drepte. Ele sunt paralele cu axa și echidistante de aceasta pentru un cilindru sau intersectează axa în același punct la același unghi cu axa pentru un con. Un cilindru și un con de revoluție sunt suprafețe care sunt infinite în direcția generatoarelor lor; prin urmare, în imagini sunt limitate de unele linii, de exemplu, de linii de intersecție a acestor suprafețe cu planuri de proiecție sau de oricare dintre paralele. Din geometria solidă se știe că un cilindru circular drept și un con circular drept sunt delimitate de o suprafață de revoluție și de planuri perpendiculare pe axa suprafeței. Meridianul unui astfel de cilindru este un dreptunghi, meridianul unui con este un triunghi.

O astfel de suprafață de revoluție ca o sferă este limitată și poate fi arătată în întregime în desen. Ecuatorul și meridianele sferei sunt cercuri egale. La proiecție ortogonală pe toate cele trei planuri de proiecție, contururile sferei sunt proiectate într-un cerc.

Thor. Când un cerc (sau arcul său) se rotește în jurul unei axe care se află în planul acestui cerc, dar nu trece prin centrul său, se obține o suprafață numită tor. Figura 8.13 prezintă: un tor deschis sau un inel circular, - Figura 8.13, dar, tor închis - figura 8.13, b, tor cu auto-intersectare - figura 8.13, c, Tor (Fig. 8.13, d) numită și lămâie. În figura 8.13 ele sunt prezentate într-o poziție în care axa torului este perpendiculară pe planul proiecțiilor N. Sferele pot fi înscrise în tori deschise și închise. Un tor poate fi considerat ca o suprafață care învelește sfere identice ale căror centre sunt pe un cerc.

În construcțiile de pe desene sunt utilizate pe scară largă două sisteme de secțiuni circulare ale torului: în planuri perpendiculare pe axa acestuia și în planuri care trec prin axa torului. În același timp, în apartament

În direcțiile perpendiculare pe axa torului, la rândul lor, există două familii de cercuri - linii de intersecție a planelor cu suprafața exterioară a torului și linii de intersecție a planurilor cu suprafața interioară a torului. Torul în formă de lămâie (Fig. 8.13, d) are doar prima familie de cercuri.

În plus, torul are și un al treilea sistem de secțiuni circulare, care se află în planuri care trec prin centrul torusului și sunt tangente la acesta. suprafata interioara. Figura 8.14 arată secțiuni circulare cu centre o 1r și o 2r pe un plan suplimentar de proiecție R, format din planul proiectant frontal Q(Qv), trecând prin centrul torusului cu proiecţii oh" oh și tangentă la suprafața interioară a torusului în puncte cu proeminențe de 1", 1, 2" 2. Proiectorii punctuale 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 și 10face desenul mai ușor de citit. Diametru d aceste secțiuni circulare egal cu lungimea axele majore ale elipselor în care sunt proiectate secțiuni circulare plan orizontal proiecții: d = 2R.

Puncte de pe o suprafață de revoluție.Poziția unui punct pe suprafața de revoluție este determinată de apartenența punctului la linia cadrului de suprafață, adică cu ajutorul unui cerc care trece prin acest punct de pe suprafața de revoluție. In cazul suprafetelor riglate se pot folosi in acest scop si generatoare rectilinii.

Utilizarea unei generatoare paralele și a unei generatoare rectilinie pentru construirea proiecțiilor punctelor aparținând unei suprafețe date de revoluție este prezentată în Figura 8.12. Dacă

având în vedere proiecția t", apoi efectuați o proiecție frontală f"f1" paralele și apoi rază R desenați un cerc - o proiecție orizontală a unei paralele - și găsiți o proiecție pe el T. Dacă s-ar da o proiecție orizontală T, atunci ar fi necesar să se deseneze o rază R=om cerc, construiți f „pe punctul f” și desenați f"f1"- proiecția frontală a paralelei - și marcați un punct pe ea în conexiunea de proiecție T”. Dacă i se oferă o proiecție P" pe o secțiune riglată (conică) a suprafeței de revoluție, apoi se efectuează o proiecție frontală d"s" generator de schiță și prin proiecția n „- proiecție frontală s "la" generator pe suprafața conului. Apoi în vedere în plan sk această generatoare construiește o proiecție n. Dacă s-a dat proiecția orizontală n, atunci proiecția orizontală ar trebui să fie desenată prin ea sk generator, prin proiecție k" și s" (construcția sa a fost discutată mai sus) construi o proiecție frontală s"la" iar pe el în conexiunea de proiecție marcați proiecția n "

Figura 8.15 prezintă construcția proiecțiilor punctuale LA, aparţinând suprafeţei torusului. De remarcat faptul că construcția este făcută pentru proiecții orizontale vizibile la și proiecție frontală la".

Figura 8.16 prezintă construcția conform unei proiecții frontale date T" puncte de pe suprafața unei sfere orizontale ale acesteia t și profilul t" proiecții. Proiecție T construit folosind un cerc - o paralelă care trece prin proiecție m". Raza lui este o-1. Proiecţia m "" este construit folosind un cerc, al cărui plan este paralel cu planul de profil al proiecțiilor care trec prin proiecție t". Raza lui este de aproximativ "2".

Construcția proiecțiilor de linii pe suprafața de revoluție se poate realiza și folosind cercuri - paralele care trec prin punctele aparținând acestei drepte.

Figura 8.17 prezintă construcția unei proiecții orizontale A linie definită prin proiecție frontală a"b" pe o suprafață de revoluție, constând din părți ale suprafețelor unei sfere, torus, conic. Pentru o desenare mai precisă a proiecției orizontale a liniei, continuăm proiecția frontală în sus și în jos și marcăm proiecțiile 6" și 5" puncte extreme. Proiecții orizontale 6, 1, 3, 4, 5 construit cu linii de comunicatie. Proiecții b, 2, 7, 8 și construite folosind paralele ale căror proiecții frontale trec prin proiecții b"2", 7", 8", a" aceste puncte. Cantitate si locatie puncte intermediare alegeți în funcție de forma liniei și de precizia necesară a construcției. Proiecție orizontală linia este formată din secțiuni: b-1 - părți ale elipsei,

Exemple de solide de revoluție

• Minge - formată dintr-un semicerc care se rotește în jurul diametrului tăieturii
• Cilindru - format dintr-un dreptunghi care se rotește în jurul uneia dintre laturi

Pentru aria suprafeței laterale a cilindrului, se ia aria dezvoltării acestuia: Sside = 2πrh.

• Con - format triunghi dreptunghic, rotindu-se în jurul unuia dintre picioare

Aria dezvoltării sale este luată ca aria suprafeței laterale a conului: Sside = πrl Aria suprafata intreaga conuri: Scon = πr(l+ r)

Când contururile figurilor sunt rotite, apare o suprafață de revoluție (de exemplu, o sferă formată dintr-un cerc), în timp ce atunci când un contur umplut se rotește, apar corpuri (ca o minge formată dintr-un cerc).

Volumul și suprafața corpurilor de revoluție

• Prima teoremă Guldin-Papp spune:

• A doua teoremă Guldin-Pappa spune:

Literatură

A.V. Pogorelov. "Geometrie. Nota 10-11» § 21. Corpuri de rotatie. - 2011

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Corpul revoluției” în alte dicționare:

detaliu cu margine închisă - corpuri de revoluție- O parte a piesei a cărei suprafață este limitată pe ambele părți de suprafețe de revoluție având un diametru mai mare. Prezența treptelor închise nu afectează definiția treptei suprafata exterioara. Canelurile pentru ieșirea sculei nu sunt luate în considerare ......

cochilie având forma unui corp de revoluție- - [A.S. Goldberg. Dicţionar de energie engleză rusă. 2006] Subiecte energetice în general EN shell of revolution... Manualul Traducătorului Tehnic

teoria corpului subtil Enciclopedia „Aviație”

teoria corpului subtil- Flux în jurul unui corp subțire la un unghi de atac diferit de zero. teoria corpului subțire - teoria fluxului irrotațional spațial fluid ideal despre corpuri subțiri[corpuri la care dimensiunea transversală l (grosime, interval) este mică în comparație cu ...... Enciclopedia „Aviație”

Teoria curgerii irotaționale spațiale a unui fluid ideal în apropierea corpurilor subțiri (corpi în care dimensiunea transversală l (grosime, interval) este mică în comparație cu dimensiunea longitudinală L: (τ) = l / LEnciclopedia tehnologiei

Viteză unghiulară (săgeată albastră) o unitate în sensul acelor de ceasornic Viteza unghiulară (săgeată albastră) o unitate și jumătate în sensul acelor de ceasornic Viteza unghiulară (săgeata albastră) o unitate în sens invers acelor de ceasornic Ug ... Wikipedia

Ramură a fizicii care studiază structura și proprietățile solidelor. Date științifice despre microstructură solideşi despre fizică şi proprietăți chimice atomii lor constitutivi sunt necesari pentru dezvoltarea de noi materiale si dispozitive tehnice. Fizică ... ... Enciclopedia Collier

Mișcarea unui corp în câmpul gravitațional al Pământului de la început. viteză, zero. P. t. se produce sub acțiunea forței gravitaționale, care depinde de distanța r până la centrul Pământului, și a forței de rezistență a mediului (aer sau apă), care depinde de viteza v de mișcare. Pe… … Enciclopedia fizică

O linie dreaptă care este staționară în raport cu rotația în jurul ei corp solid. Pentru un corp rigid care are un punct fix (de exemplu, pt baby spinning top), o linie dreaptă care trece prin acest punct, prin rotire în jurul căreia corpul se mișcă de la data ...... Dicţionar enciclopedic

Mișcarea unui corp în câmpul gravitațional al Pământului viteza initiala egal cu zero. P. t. apare sub acțiunea unei forțe gravitaționale, în funcție de distanța r până la centrul Pământului, și de forța de rezistență a mediului (aer sau apă), care depinde de viteza... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Cărți

• Un set de mese. Matematica. Poliedre. corpurile revoluției. 11 mese + 64 de cărți + metodologie,. Album educativ de 11 coli (format 68 x 98 cm): - Design paralel. - Imagine cu figuri plate. - Ilustrarea pas cu pas a demonstrației teoremelor. - Aranjamentul reciproc al liniilor și...
• Integrarea ecuațiilor de echilibru ale unui corp elastic de revoluție cu o distribuție simetrică a forțelor de volum și de suprafață despre axa sa, G.D. Grodsky. Reproduce în ortografia originală a autorului ediției din 1934 (editura `Proceedings of the Academy of Sciences of the URSS`). ÎN…