téma:„Metódy riešenia goniometrické rovnice».
Ciele lekcie:
vzdelávacie:
Formovať zručnosti na rozlišovanie typov goniometrických rovníc;
Prehĺbenie pochopenia metód riešenia goniometrických rovníc;
vzdelávacie:
Výchova kognitívny záujem do vzdelávacieho procesu;
Formovanie schopnosti analyzovať úlohu;
vyvíja:
Formovať zručnosť analyzovať situáciu s následným výberom najracionálnejšieho východiska z nej.
Vybavenie: plagát so základnými goniometrickými vzorcami, počítač, projektor, plátno.
Začnime lekciu zopakovaním základnej techniky na riešenie akejkoľvek rovnice: redukciou na štandardný pohľad. Cez transformáciu lineárne rovnice zmenšiť do tvaru sekera \u003d in, štvorec - do tvaru ax2+bx +c=0. V prípade goniometrických rovníc je potrebné ich zredukovať na najjednoduchšie vo forme: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, ktoré sa dajú ľahko vyriešiť.
V prvom rade je na to samozrejme potrebné použiť zákl trigonometrické vzorce ktoré sú prezentované na plagáte: sčítacie vzorce, vzorce dvojitý uhol, čím sa zníži násobnosť rovnice. Takéto rovnice už vieme riešiť. Zopakujme si niektoré z nich:
Zároveň existujú rovnice, ktorých riešenie si vyžaduje znalosť niektorých špeciálnych techník.
Témou našej hodiny je zváženie týchto techník a systematizácia metód riešenia goniometrických rovníc.
Metódy riešenia goniometrických rovníc.
1. Konvertovať na kvadratická rovnica vzhľadom na nejakú goniometrickú funkciu, po ktorej nasleduje zmena premennej.
Uvažujme o každom z uvedené metódy na príkladoch, ale pri posledných dvoch sa zastavíme podrobnejšie, keďže prvé dva sme už použili pri riešení rovníc.
1. Transformácia na kvadratickú rovnicu vzhľadom na ľubovoľnú goniometrickú funkciu.
2. Riešenie rovníc metódou faktorizácie.
3. Riešenie homogénnych rovníc.
Homogénne rovnice prvého a druhého stupňa sa nazývajú rovnice tvaru:
respektíve (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Pri riešení homogénnych rovníc sa obe časti rovnice delia člen po člene cosx pre (1) rovnice a cos 2 x pre (2). Takéto rozdelenie je možné, pretože sinx a cosx sa súčasne nerovnajú nule - v r. rôzne body. Zvážte príklady riešenia homogénnych rovníc prvého a druhého stupňa.
Zapamätajte si túto rovnicu: pri uvažovaní o ďalšej metóde - zavedení pomocného argumentu ju vyriešime iným spôsobom.
4. Zavedenie pomocného argumentu.
Zvážte rovnicu už vyriešenú predchádzajúcou metódou:
Ako vidíte, dosiahne sa rovnaký výsledok.
Pozrime sa na ďalší príklad:
V uvažovaných príkladoch bolo vo všeobecnosti jasné, na čo je potrebné rozdeliť pôvodnú rovnicu, aby sa zaviedol pomocný argument. Môže sa však stať, že nie je zrejmé, ktorý deliteľ zvoliť. Na to existuje špeciálna technika, ktorú teraz zvážime všeobecný pohľad. Nech je daná rovnica:
Rozdeľte rovnicu podľa Odmocnina z výrazu (3) dostaneme:
asinx + bcosx = c ,
potom a 2 + b 2 = 1 a teda a = sinx a b = cosx . Pomocou diferenčného kosínusového vzorca získame najjednoduchšiu trigonometrickú rovnicu:
čo sa dá ľahko vyriešiť.
Poďme vyriešiť ďalšiu rovnicu:
Rovnicu zredukujeme na jeden argument - 2 x pomocou vzorcov s dvojitým uhlom a znížením stupňa:
Podobne ako v predchádzajúcich rovniciach, pomocou sínusového vzorca súčtu dostaneme:
čo je tiež ľahko riešiteľné.
Rozhodnite sa sami preddefinovaním spôsobu riešenia:
Výsledkom hodiny je kontrola riešenia a hodnotenie žiakov.
Domáca úloha: s. 11, abstrakt, č. 164 (b, d), 167 (b, d), 169 (a, b), 174 (a, c).
Elementárne goniometrické rovnice sú rovnice tvaru, kde je jedna z goniometrických funkcií: , .
Elementárne goniometrické rovnice majú nekonečne veľa koreňov. Napríklad rovnica je splnená nasledujúce hodnoty: , atď. Všeobecný vzorec pomocou ktorej sa nájdu všetky korene rovnice, kde je:
Tu môže nadobudnúť akékoľvek celočíselné hodnoty, každá z nich zodpovedá určitému koreňu rovnice; v tomto vzorci (ako aj v iných vzorcoch, ktorými sa riešia elementárne goniometrické rovnice) je tzv parameter. Zvyčajne si to zapisujú, čím zdôrazňujú, že parameter môže nadobúdať ľubovoľné celočíselné hodnoty.
Riešenia rovnice, kde, nájdeme podľa vzorca
Rovnica sa rieši použitím vzorca
a rovnica --- podľa vzorca
Všimnime si najmä niektoré špeciálne prípady elementárnych goniometrických rovníc, keď je možné riešenie zapísať bez použitia všeobecných vzorcov:
Pri riešení goniometrických rovníc dôležitá úloha hrá periódu goniometrických funkcií. Preto uvádzame dve užitočné vety:
Veta Ak --- základné perióda funkcie, potom je číslo hlavnou periódou funkcie.
Obdobia funkcií a sa považujú za úmerné, ak existujú celé čísla a čo.
Veta Ak periodické funkcie a majú úmerné a potom majú všeobecné obdobie, čo je obdobie funkcií, .
Veta hovorí, aká je perióda funkcie a nie nevyhnutne hlavná perióda. Napríklad hlavné obdobie funkcií a je --- a hlavné obdobie ich produktu je --- .
Uvádzame pomocný argument
Štandardným spôsobom transformácie výrazov formulára je nasledujúci trik: let --- roh, dané rovnosťami, . Pre akýkoľvek a taký uhol existuje. Touto cestou. Ak, alebo v iných prípadoch.
Schéma riešenia goniometrických rovníc
Hlavná schéma, ktorou sa budeme riadiť pri riešení goniometrických rovníc, je nasledovná:
Riešenie daná rovnica príde na rozhodnutie elementárne rovnice. Nástroje riešenia --- premeny, faktorizácie, zmena neznámych. Hlavnou zásadou je nestratiť korene. To znamená, že pri prechode na ďalšiu rovnicu (rovnice) sa nebojíme výskytu extra (cudzích) koreňov, ale dbáme len na to, aby každý nasledujúca rovnica náš „reťazec“ (alebo sústava rovníc v prípade vetvenia) bol dôsledkom toho predošlého. Jeden z možné metódy výber koreňov je kontrola. Hneď si všimneme, že v prípade goniometrických rovníc sa ťažkosti spojené s výberom koreňov s overovaním spravidla prudko zvyšujú v porovnaní s algebraickými rovnicami. Koniec koncov, je potrebné skontrolovať sériu pozostávajúcu z nekonečné čísločlenov.
Osobitne treba spomenúť zmenu neznámych pri riešení goniometrických rovníc. Vo väčšine prípadov sa to po nevyhnutnej výmene ukáže algebraická rovnica. Navyše nie je nezvyčajné, že rovnice, hoci sú trigonometrické vzhľad, v skutočnosti nie sú, pretože už po prvom kroku --- náhrady premenné --- sa menia na algebraické a návrat k trigonometrii nastáva až v štádiu riešenia elementárnych goniometrických rovníc.
Pripomeňme si ešte raz: nahradenie neznámej treba urobiť čo najskôr, výslednú rovnicu po nahradení treba doriešiť do konca, vrátane fázy výberu koreňov a až potom sa vráti k pôvodnej neznámej.
Jednou z vlastností goniometrických rovníc je, že odpoveď v mnohých prípadoch môže byť napísaná rôzne cesty. Aj pri riešení rovnice možno odpoveď napísať takto:
1) vo forme dvoch sérií: , ;
2) v štandardnej forme, ktorá je spojením vyššie uvedených sérií: , ;
3) keďže, potom môže byť odpoveď napísaná v tvare, . (Ďalej, prítomnosť parametra alebo v zázname odpovede automaticky znamená, že tento parameter preberá všetky možné celočíselné hodnoty. Výnimky budú špecifikované.)
Je zrejmé, že uvedené tri prípady nevyčerpávajú všetky možnosti na napísanie odpovede na uvažovanú rovnicu (je ich nekonečne veľa).
Napríklad, keď platí rovnosť. Preto v prvých dvoch prípadoch, ak, môžeme nahradiť s.
Zvyčajne sa odpoveď píše na základe odseku 2. Je užitočné zapamätať si nasledujúce odporúčanie: ak sa práca nekončí riešením rovnice, je potrebné ešte vykonať štúdiu, výber koreňov, potom najvhodnejšia forma zaznamenávania je uvedená v odseku 1. (Podobné odporúčanie by sa malo uviesť aj pre rovnicu.)
Uvažujme o príklade ilustrujúcom to, čo bolo povedané.
Príklad Vyriešte rovnicu.
Riešenie. Najzrejmejšie je ďalšia cesta. Táto rovnica sa delí na dve časti: i. Vyriešením každého z nich a spojením získaných odpovedí nájdeme.
Inač. Od tej doby sa nahrádzajú a podľa vzorcov znižovania stupňa. Po malých premenách sa dostaneme kam.
Na prvý pohľad žiadny špeciálne výhody druhý vzorec nemá žiadny v porovnaní s prvým. Ak si však vezmeme napríklad, vyjde nám, že t.j. rovnica má riešenie, pričom prvý spôsob nás vedie k odpovedi. „Vidieť“ a dokázať rovnosť nie je také jednoduché.
Na hodinách algebry učitelia hovoria, že existuje malá (v skutočnosti veľmi veľká) trieda goniometrických rovníc, ktoré sa nedajú vyriešiť. štandardnými spôsobmi- ani rozkladom, ani zmenou premennej, dokonca ani homogénnymi členmi. V tomto prípade vstupuje do hry zásadne odlišný prístup – metóda pomocný roh.
Čo je táto metóda a ako ju aplikovať? Najprv si pripomeňme vzorce pre súčet/rozdiel sínus a súčet/rozdiel kosínus:
\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]
Myslím, že tieto vzorce sú vám dobre známe – vzorce sú z nich odvodené dvojitý argument, bez ktorej trigonometria nie je vôbec nikde. Ale teraz sa pozrime na jednoduchú rovnicu:
Vydeľte obe časti 5:
Všimnite si, že $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, čo znamená, že určite existuje uhol $\alpha $, pre ktorý sú tieto čísla kosínus a sínus. Preto bude naša rovnica prepísaná takto:
\[\začiatok(zarovnanie)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\koniec (zarovnanie)\]
A to je už ľahko vyriešené, potom zostáva len zistiť prečo sa rovná uhla$\alpha $. Ako to zistiť a ako vybrať správne číslo na rozdelenie oboch strán rovnice (v tomto jednoduchý príklad delili sme 5) - o tom v dnešnom videonávode:
Dnes budeme analyzovať riešenie goniometrických rovníc, alebo skôr jeden a jediný trik, ktorý sa nazýva „metóda pomocného uhla“. Prečo práve táto metóda? Jednoducho preto, že počas posledných dvoch-troch dní, keď som pracoval so študentmi, ktorým som hovoril o riešení goniometrických rovníc a analyzovali sme okrem iného aj metódu pomocného uhla, všetci študenti ako jeden robia rovnakú chybu. Metóda je však vo všeobecnosti jednoduchá a navyše je jednou z hlavných techník trigonometrie. Preto mnohí trigonometrické problémy inak ako metódou pomocného uhla sa neriešia vôbec.
Preto teraz na začiatok zvážime niekoľko jednoduchých úloh a potom prejdeme k vážnejším úlohám. To všetko si však, tak či onak, vyžiada použitie metódy pomocného uhla, ktorej podstatu popíšem už v prvej konštrukcii.
Riešenie jednoduchých goniometrických úloh
Príklad #1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
Zmeňme trochu náš výraz:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \vľavo(-1 \vpravo) \vpravo.\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
Ako to budeme riešiť? Štandardný príjem je rozšíriť $\sin 2x$ a $\cos 2x$ pomocou vzorcov pre dvojitý uhol a potom prepísať jednotku ako $((\sin )^(2))x((\cos)^(2))x $ , dostať homogénna rovnica, priveďte ho k dotyčniciam a vyriešte. Je to však dlhá a únavná cesta, ktorá si vyžaduje veľa výpočtov.
Navrhujem, aby ste sa nad tým zamysleli. Máme $\sin$ a $\cos$. Spomeňte si na vzorec pre kosínus a sínus súčtu a rozdielu:
\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
Vráťme sa k nášmu príkladu. Znížime všetko na sínus rozdielu. Najprv však treba rovnicu mierne pretransformovať. Nájdeme koeficient:
$\sqrt(l)$ je rovnaký faktor, ktorým musia byť obe časti rovnice rozdelené tak, aby sa čísla objavili pred sínusom a kosínusom, ktoré sú samy osebe sínusom a kosínusom. Poďme sa rozdeliť:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
Pozrime sa na to, čo sme dostali vľavo: existuje taký $\sin $ a $\cos $ taký, že $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ a $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Očividne existuje: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Preto môžeme náš výraz prepísať takto:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]
Teraz máme vzorec pre sínus rozdielu. Môžeme písať takto:
\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6) \right)=\frac(1)(2) \]
Pred nami je najjednoduchšia klasická trigonometrická konštrukcia. Dovoľte mi pripomenúť vám:
Toto píšeme pre náš konkrétny výraz:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(zarovnať) \vpravo.\ ]
\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(zarovnať) \vpravo.\]
Nuansy riešenia
Čo by ste teda mali robiť, ak narazíte na podobný príklad:
- V prípade potreby upravte dizajn.
- Nájdite korekčný faktor, vezmite z neho koreň a vydeľte ním obe časti príkladu.
- Pozeráme sa na to, aké hodnoty sínusu a kosínusu sa získajú z čísel.
- Rovnicu rozložíme podľa vzorcov sínus alebo kosínus rozdielu alebo súčtu.
- Riešime najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.
V tejto súvislosti budú mať pozorní študenti pravdepodobne dve otázky.
Čo nám bráni písať $\sin $ a $\cos $ vo fáze hľadania korekčného faktora? — Prekáža nám základná trigonometrická identita. Faktom je, že výsledné $\sin $ a $\cos $, rovnako ako všetky ostatné s rovnakým argumentom, by mali pri kvadratúre dať presne „jedna“. V procese riešenia musíte byť veľmi opatrní, aby ste nestratili „dvojku“ pred „X“.
Metóda pomocného uhla je nástroj, ktorý pomáha redukovať „škaredú“ rovnicu na úplne adekvátnu a „krásnu“.
Príklad č. 2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
Vidíme, že máme $((\sin )^(2))x$, takže použijeme redukčné výpočty. Pred ich použitím ich však poďme von. Ak to chcete urobiť, nezabudnite, ako nájsť kosínus dvojitého uhla:
\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]
Ak v treťom variante napíšeme $\cos 2x$, dostaneme:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]
Napíšem samostatne:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
To isté možno urobiť pre $((\cos )^(2))x$:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
Potrebujeme len prvé výpočty. Poďme pracovať na úlohe:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
Teraz použijeme výpočty kosínusu rozdielu. Najprv však vypočítajme korekciu $l$:
Prepíšme s ohľadom na túto skutočnosť:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
V tomto prípade môžeme napísať, že $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$ a $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Poďme prepísať:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]
Do zátvorky dáme „mínus“. ošemetným spôsobom. Za týmto účelom si všimnite nasledovné:
\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \vpravo)=\]
\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]
Vrátime sa k nášmu výrazu a zapamätáme si, že v úlohe $\varphi $ máme výraz $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Preto píšeme:
\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos X\]
\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]
Ak chcete vyriešiť podobný problém, musíte si zapamätať nasledovné:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end (zarovnať) \vpravo.\]
Pozrime sa na náš príklad:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end (zarovnať) \vpravo.\]
Vypočítajme každú z týchto rovníc:
A druhý:
Napíšeme konečnú odpoveď:
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(zarovnať) \vpravo.\]
Nuansy riešenia
V skutočnosti je tento výraz riešený mnohými rôznymi spôsobmi, je to však metóda pomocného uhla tento prípad optimálne. Okrem toho by som na príklade tohto dizajnu rád upriamil vašu pozornosť na niekoľko ďalších zaujímavých trikov a faktov:
- Vzorce na zníženie stupňa. Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť, ale treba ich vedieť odvodiť, o čom som vám dnes hovoril.
- Riešenie rovníc v tvare $\cos \alpha =\cos \beta $.
- Pridanie "nuly".
Ale to nie je všetko. Doteraz sme si mysleli, že $\sin$ a $\cos$, ktoré uvádzame ako dodatočný argument, by mali byť kladné. Preto teraz budeme riešiť zložitejšie problémy.
Analýza zložitejších problémov
Príklad #1
\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
Transformujme prvý výraz:
\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]
A teraz toto všetko dosadíme do našej pôvodnej konštrukcie:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]
Predstavme si našu opravu:
Zapisujeme si:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
$\alpha $ tak, že $\sin $ alebo $\cos $ by sa rovnalo $\frac(3)(5)$ a $\frac(4)(5)$ v trigonometrická tabuľkač. Preto napíšme a zredukujme výraz na sínus súčtu:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]
to špeciálny prípad, najjednoduchšia trigonometrická konštrukcia:
Zostáva zistiť, čomu sa $\varphi $ rovná. Tu robí veľa študentov chybu. Faktom je, že na $\varphi $ sú kladené dve požiadavky:
\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]
Nakreslíme radar a uvidíme, kde sa tieto hodnoty vyskytujú:
Keď sa vrátime k nášmu výrazu, napíšeme nasledovné:
Tento záznam sa však dá trochu vylepšiť. Pretože vieme nasledovné:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
potom to v našom prípade môžeme napísať takto:
Príklad č. 2
To si bude vyžadovať ešte hlbšie pochopenie metód riešenia štandardné úlohyžiadna trigonometria. Na vyriešenie tohto príkladu však používame aj metódu pomocného uhla.\[\]
Prvá vec, ktorá vás upúta, je, že neexistujú vyššie stupne ako prvý, a preto sa nič nedá rozložiť podľa expanzných vzorcov stupňov. Používa inverzné:
Prečo som rozšíril 5 $. Pozri sa sem:
Jednotka podľa hlavnej trigonometrická identita môžeme písať ako $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:
Čo nám dáva takýto rekord? Faktom je, že v prvej zátvorke je presný štvorec. Poďme to zrolovať a dostaneme:
Navrhujem zaviesť novú premennú:
\[\sin x+\cos x=t\]
V tomto prípade dostaneme výraz:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
Celkovo dostaneme:
\[\left[ \začiatok(zarovnanie)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]
Samozrejme, znalí študenti teraz povedia, že takéto konštrukcie sa ľahko riešia redukciou na homogénnu. Každú rovnicu však budeme riešiť pomocou metódy pomocného uhla. Aby sme to urobili, najprv vypočítame korekciu $l$:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
Vydeľte všetko $\sqrt(2)$:
\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]
Znížime všetko na $\cos$:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]
\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ vpravo)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]
Poďme sa pozrieť na každý z týchto výrazov.
Prvá rovnica nemá korene a iracionalita v menovateli nám pomôže túto skutočnosť dokázať. Všimnite si nasledovné:
\[\sqrt(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]
Celkovo sme jasne dokázali, že sa vyžaduje, aby $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ bol sa rovná číslu, ktorá je väčšia ako "jedna", a preto táto konštrukcia nemá korene.
Poďme sa zaoberať druhým:
Poďme vyriešiť tento dizajn:
V zásade môžete odpoveď nechať takto, alebo ju môžete namaľovať:
Dôležité body
Na záver by som ešte raz upozornil na prácu so „škaredými“ argumentmi, t.j. keď $\sin$ a $\cos$ nie sú tabuľkové hodnoty. Problém je v tom, že ak povieme, že v našej rovnici $\frac(3)(5)$ je $\cos $ a $\frac(4)(5)$ je $\sin $, tak nakoniec, keď sme rozhodnúť o dizajne, musíme vziať do úvahy obe tieto požiadavky. Dostaneme systém dvoch rovníc. Ak to neberieme do úvahy, dostaneme nasledujúcu situáciu. V tomto prípade dostaneme dva body a namiesto $\varphi $ budeme mať dve čísla: $\arcsin \frac(4)(5)$ a $-\arcsin \frac(4)(5)$, ale ten posledný v žiadnom prípade nie je spokojný. To isté sa stane s bodom $\frac(3)(5)$.
Tento problém sa vyskytuje iba vtedy, keď rozprávame sa o "škaredých" argumentoch. Keď máme tabuľkové hodnoty, potom nie je nič.
Dúfam, že vám dnešná lekcia pomohla pochopiť, čo je metóda pomocného uhla a ako ju aplikovať s príkladmi. rôzne úrovneťažkosti. Toto však nie je jediná lekcia venovaná riešeniu problémov pomocou metódy pomocného uhla. Tak zostaňte s nami!
Zhrnutie lekcie pre ročníky 10-11
Téma 1 : Metóda zadávania pomocných argumentov. Odvodzovanie vzorcov.
Ciele:
Formovanie vedomostí o novej metóde riešenia úloh v trigonometrii, v ktorej je jej aplikácia možná alebo potrebná;
Vytváranie zručností na analýzu stavu problému, porovnávanie a hľadanie rozdielov;
Rozvoj myslenia, logiky a platnosti tvrdení, schopnosť vyvodzovať závery a zovšeobecňovať;
Rozvoj reči, obohatenie a komplikácie slovná zásoba, osvojenie si výrazových vlastností jazyka žiakmi;
Formovanie postoja k predmetu, nadšenie pre vedomosti, vytváranie podmienok pre tvorivý neštandardný prístup k osvojovaniu vedomostí.
Požadované znalosti, zručnosti a schopnosti:
Vedieť odvodiť trigonometrické vzorce a použiť ich ďalšiu prácu;
Byť schopný vyriešiť alebo mať nápad, ako to vyriešiť trigonometrické úlohy;
Poznať základné goniometrické vzorce.
Úroveň pripravenosti študentov na vedomé vnímanie:
Vybavenie: AWP, prezentácia s podmienkami úlohy, riešeniami a potrebné vzorce, karty s úlohami a odpoveďami.
Štruktúra lekcie:
1. Stanovenie cieľa hodiny (2
Príprava na štúdium nového materiálu (12 min).
Oboznámenie sa s novým materiálom (15 min).
Primárne pochopenie a aplikácia naučeného (10 min).
Nastavenie domácej úlohy (3 min).
Zhrnutie hodiny (3 min).
Počas vyučovania.
1. Stanovenie cieľa vyučovacej hodiny.
Skontrolujte pripravenosť študentov a vybavenie na hodinu. Je vhodné pripraviť sa vopred domáca úloha na rade, aby prediskutovali riešenie. Všimnite si, že účelom lekcie je rozšíriť vedomosti o metódach riešenia niektorých úloh v trigonometrii a vyskúšať si ich zvládnutie.
2. Príprava na štúdium nového materiálu.
Diskutujte o domácej úlohe: zapamätajte si základné goniometrické vzorce, hodnoty goniometrických funkcií pre najjednoduchšie argumenty. Skontrolujte zadanie domácej úlohy.
Vzorce:
; 
;
; 
;
Úloha: Vyjadrite výraz ako produkt.
Študenti pravdepodobne ponúknu ďalšie riešenie:
Pretože poznajú vzorce na prevod súčtu goniometrických funkcií na súčin.
Navrhujeme iné riešenie problému: . Tu sa pri riešení použil vzorec pre kosínus rozdielu dvoch argumentov, kde je pomocný. Všimnite si, že v každej z týchto metód možno použiť iné podobné vzorce.
3. Oboznámenie sa s novým materiálom.
Vynára sa otázka, odkiaľ sa vzal pomocný argument?
Ak chcete získať odpoveď, zvážte spoločné rozhodnutie problém, transformujeme výraz na súčin, kde a sú ľubovoľné nenulové čísla.
zavedieme ďalší uhol (pomocný argument), kde , , potom bude mať náš výraz tvar:
Tak sme dostali vzorec: .
Ak je uhol zadaný podľa vzorcov, výraz bude mať tvar a dostaneme inú formu vzorca: .
Pre dodatočný uhol sme odvodili vzorce, ktoré sa nazývajú vzorce pomocného argumentu:
Vzorce môžu mať aj inú podobu (na to je potrebné dávať pozor Osobitná pozornosť a ukázať na príkladoch).
Všimnite si, že v najjednoduchších prípadoch sa metóda zavádzania pomocného argumentu redukuje na nahradenie čísel; ; ; ; jeden; goniometrické funkcie zodpovedajúce rohy.
4. Primárne pochopenie a aplikácia toho, čo sa naučili .
Na konsolidáciu materiálu sa navrhuje zvážiť niekoľko ďalších príkladov úloh:
Express ako produkt výrazu:
Je vhodné analyzovať úlohy 3 a 4 v triede (rozbor úloh je uvedený v materiáloch pre triedy). Úlohy 1, 2 a 5 môžu byť splnené nezávislé riešenie(uvedené odpovede).
Na analýzu vlastností podmienok typických úloh, v ktorých možno použiť uvažovanú metódu riešenia, možno použiť rôzne metódy. Všimnite si, že úlohu 1. možno vykonať rôznymi spôsobmi a na splnenie úloh 2 - 5 je vhodnejšie použiť metódu zavedenia pomocného uhla
V priebehu frontálneho rozhovoru by sa malo prediskutovať, ako sú tieto úlohy podobné príkladu na začiatku hodiny, aké sú rozdiely, či je možné použiť navrhovanú metódu na ich vyriešenie a prečo je jej použitie pohodlnejšie .
Podobnosť: vo všetkých navrhovaných príkladoch je možné použiť metódu zavedenia pomocného argumentu, a to je vhodnejšia metóda, ktorá vedie okamžite k výsledku.
Rozdiel: v prvom príklade je možné použiť iný prístup a vo všetkých ostatných je možné použiť pomocný argument pomocou nie jedného, ale niekoľkých vzorcov.
Po prediskutovaní úloh môžete chlapcov vyzvať, aby zvyšok vyriešili sami doma.
5. Vyhlásenie domácej úlohy.
Doma vás vyzývame, aby ste si pozorne preštudovali zhrnutie lekcie a pokúsili sa vyriešiť nasledujúce cvičenia.
Téma lekcie: Metóda na zavedenie pomocného uhla pri riešení goniometrických rovníc.
Aktualizácia.
učiteľ.
Chlapci! Zoznámili sme sa s rôznymi typmi goniometrických rovníc a naučili sme sa ich riešiť. Dnes zovšeobecníme poznatky o metódach riešenia goniometrických rovníc rôzne druhy. Za týmto účelom vás žiadam, aby ste pracovali na klasifikácii rovníc, ktoré vám boli navrhnuté (pozri rovnice č. 1-10 v prílohe - na konci abstraktu vo forme PDF)
Doplňte tabuľku: uveďte typ rovnice, spôsob jej riešenia a priraďte čísla rovníc k typu, ku ktorému patria.
Študenti. Vyplňte tabuľku.
| Typ rovnice | Metóda riešenia | Rovnice |
| Protozoa | Koreňové vzorce | №1 |
| Redukovateľné na štvorcový | Variabilná metóda výmeny | №2,3 |
| Komplexný trigonometrický pohľad | Zjednodušte do známeho tvaru pomocou trigonometrických vzorcov | №4,5 |
| Homogénny prvý stupeň | Rozdeľte rovnicu člen po člen kosínusom premennej | №6 |
| Homogénny druhý stupeň | Rozdeľte rovnicu člen po člen druhou mocninou kosínusu premennej | №7 |
Problematizácia.
Pri vypĺňaní tabuľky sa študenti stretávajú s problémom. Nevedia určiť typ a spôsob riešenia troch rovníc: č.8,9,10.
učiteľ. Podarilo sa vám roztriediť všetky rovnice podľa tvaru a spôsobu riešenia?
Reakcia študentov. Nie, do tabuľky nebolo možné umiestniť tri rovnice.
učiteľ. prečo?
Reakcia študentov. Nevyzerajú ako známe druhy. Spôsob riešenia nie je jasný.
Stanovenie cieľov.
učiteľ. Ako teda sformulujeme účel našej lekcie?
Odpovedzte študentom. Definujte Objavené nový typ rovníc a nájsť spôsob ich riešenia.
učiteľ. Je možné sformulovať tému hodiny, ak nepoznáme typ objavených rovníc a spôsob ich riešenia?
Odpoveď študentov. Nie, ale môžeme to urobiť neskôr, keď prídeme na to, s čím máme do činenia.
Plánovanie činnosti.
učiteľ. Naplánujme si aktivity. Zvyčajne definujeme typ a potom hľadáme metódu riešenia goniometrických rovníc. Je možné v našej súčasnej situácii uviesť konkrétny názov objaveného typu rovníc? A vo všeobecnosti, patria k rovnakému druhu?
Reakcia študentov. Je ťažké to urobiť.
učiteľ. Potom premýšľajte, možno ich niečo spája, alebo sú podobné nejakému typu?
Reakcia študentov.Ľavá strana týchto rovníc je rovnaká ako homogénna, ale ich pravá strana sa nerovná nule. Takže delenie kosínusom len skomplikuje riešenie.
učiteľ. Možno začneme hľadaním metódy riešenia a potom určíme typ rovnice? Ktorá z 3 rovníc je podľa vás najjednoduchšia?
Študenti odpovedajú ale neexistuje konsenzus. Možno niekto uhádne, že koeficienty v rovnici č.8 by mali byť vyjadrené ako sínus a kosínus uhla tabuľky. A potom trieda určí rovnicu, ktorú možno vyriešiť ako prvú. Ak nie, učiteľ navrhuje zvážiť dodatočná rovnica (pozri rovnicu č. 11 v prílohe - na konci abstraktu vo forme PDF). V ňom sú koeficienty rovné sínusu a kosínusu známeho uhla a žiaci by si to mali všimnúť.
Učiteľ zadáva poradie činností. ( Pozri rovnice v prílohe - vo forme PDF na konci abstraktu).
- Vyriešte prvú rovnicu (№11), nahradením koeficientov hodnotami sínusu a kosínusu známeho uhla a použitím vzorca pre sínus súčtu.
- Pokúste sa previesť ďalšie rovnice do tvaru prvej a použiť rovnakú metódu. ( pozri rovnicu #8,9,12)
- Zovšeobecnite a rozšírte metódu na ľubovoľné koeficienty a vytvorte všeobecný algoritmus akcií (pozri rovnicu č. 10).
- Použite metódu na riešenie iných rovníc rovnakého typu. (pozri rovnice č. 12, 13, 14).
Realizácia plánu.
učiteľ. No, urobili sme plán. Začnime to implementovať.
Pri tabuli žiak rieši rovnicu č.11.
Druhý žiak rieši nasledujúcu rovnicu č. 8 po jej vydelení konštantné číslo a tým zredukovať situáciu na už nájdené riešenie.
Učiteľ navrhuje riešiť rovnice č. 9.12 samostatne. Kontroluje správnosť transformácií a množiny riešení.
učiteľ. Chlapci, ako môžete nazvať uhol, ktorý sa objaví namiesto koeficientov rovnice a pomôže nám dosiahnuť riešenie?
Reakcia študentov. Dodatočné. (Možnosť: pomocné).
učiteľ. Nájsť takýto pomocný uhol nie je vždy jednoduché. Je možné to nájsť, ak koeficienty nie sú sínus a kosínus známe rohy? Akú identitu musia spĺňať takéto koeficienty, ak ich chceme reprezentovať ako sínus a kosínus pomocného uhla?
Odpoveď. Základná trigonometrická identita.
učiteľ. Výborne! Správne! Našou úlohou je teda získať také koeficienty, aby súčet ich štvorcov bol rovný jednej! Skúste vymyslieť číslo, ktorým musíte rozdeliť rovnicu tak, aby bola splnená podmienka, ktorú sme naznačili.
Študenti premýšľajú a možno sa ponúknu, že všetko vydelia druhou odmocninou súčtu druhých mocnín koeficientov rovnice. Ak nie, učiteľ ich vedie k tejto myšlienke.
učiteľ. Zostáva nám vybrať, ktorý z nových koeficientov označíme ako sínus pomocného uhla a ktorý ako kosínus. Sú dve možnosti. Prechod na najjednoduchšiu rovnicu so sínusom alebo kosínusom závisí od výberu.
Študenti ponúkajú riešenie a učiteľ ho doplní, pričom dbá na formu zaznamenania zdôvodnenia a odpovede. Vyriešte rovnicu 10.
učiteľ. Objavili sme metódu riešenia nového typu rovnice? Ako nazývame tento typ?
Odpoveď. Pracovali sme metódou hľadania pomocného uhla. Možno by sa rovnice mali nazývať rovnicami, ktoré sa riešia pomocou pomocných uhlov?
učiteľ.Áno, určite môžete. Viete pre nich vymyslieť vzorec? Bude to kratšie.
Odpoveď.Áno. Rovnice s koeficientmi A, B a C.
učiteľ. Zovšeobecnme metódu pre ľubovoľné koeficienty.
Učiteľ prediskutuje a napíše na tabuľu vzorce pre sínus a kosínus pomocného uhla pre zovšeobecnené koeficienty. Potom s ich pomocou rieši rovnice č.13 a 14.
učiteľ. Zvládli sme metódu dostatočne dobre?
Odpoveď. Nie Je potrebné vyriešiť takéto rovnice a upevniť schopnosť používať metódu pomocného uhla.
učiteľ. Ako vieme, že je metóda zvládnutá?
Odpoveď. Ak sami vyriešime niekoľko rovníc.
učiteľ. Stanovme si kvalitatívnu škálu na zvládnutie metódy.
Zoznámte sa s charakteristikami úrovní a umiestnite ich na stupnici, ktorá odráža úroveň zvládnutia tejto zručnosti. Korelujte charakteristiku úrovne a skóre (od 0 do 3)
- Dokážem riešiť rovnice s rôznymi koeficientmi
- Nevie riešiť rovnice
- Viem riešiť zložité rovnice
- Dokážem riešiť rovnice pomocou tabuľkových koeficientov
učiteľ.(Po odpovedi študentov) Takže naša hodnotiaca stupnica je nasledovná:
Podľa rovnakého princípu odhadujeme samostatná práca tému v ďalšej lekcii.
A teraz, prosím, vyriešte rovnice č. 1148 g, 1149 g, 1150 g a určte svoju úroveň asimilácie danej témy.
Nezabudnite doplniť údaje v tabuľke a pomenovať tému: "Zavedenie pomocného uhla pri riešení goniometrických rovníc."
Odraz cesty k dosiahnutiu cieľa.
učiteľ. Chlapci, dosiahli sme cieľ lekcie?
Odpovede študentov. Áno, naučili sme sa rozpoznávať nový typ rovnice.
Našli sme spôsob ich riešenia pomocou pomocného uhla.
Naučil sa aplikovať metódu v praxi.
učiteľ. Ako sme konali? Ako sme pochopili, čo musíme urobiť?
Odpoveď. Zvažovali sme niekoľko špeciálnych prípadov rovníc s „rozpoznateľnými“ koeficientmi a túto logiku sme rozšírili na ľubovoľné hodnoty A, B a C.
učiteľ. Ide o induktívny spôsob myslenia: metódu sme odvodili z niekoľkých prípadov a použili sme ju v podobných prípadoch.
Perspektíva. Kde môžeme uplatniť tento spôsob myslenia? (odpovede študentov)
Dnes ste v triede odviedli dobrú prácu. Doma si prečítaj popis metódy pomocného uhla v učebnici a vyrieš č.1148 (a,b,c), 1149 (a,b,c), 1150 (a,b,c). Dúfam, že v ďalšej lekcii budete všetci skvelí v používaní tejto metódy pri riešení goniometrických rovníc.
Ďakujem za lekciu!
