Akcie so zlomkami. V tomto článku budeme analyzovať príklady, všetko je podrobné s vysvetleniami. zvážime bežné zlomky. V budúcnosti budeme analyzovať desatinné čísla. Odporúčam pozrieť si celé a študovať postupne.
1. Súčet zlomkov, rozdiel zlomkov.
Pravidlo: pri pridávaní zlomkov s rovnakých menovateľov v dôsledku toho dostaneme zlomok - ktorého menovateľ zostáva rovnaký a jeho čitateľ bude sa rovná súčtučitateľov zlomkov.
Pravidlo: pri výpočte rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi dostaneme zlomok - menovateľ zostáva rovnaký a čitateľ druhého sa odčíta od čitateľa prvého zlomku.
Formálny zápis súčtu a rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi:
Príklady (1):
Je jasné, že keď sú uvedené bežné zlomky, potom je všetko jednoduché, ale ak sú zmiešané? Nič zložité...
možnosť 1- môžete ich previesť na obyčajné a potom ich vypočítať.
Možnosť 2- môžete samostatne "pracovať" s celými a zlomkovými časťami.
Príklady (2):
Viac:
A ak je daný rozdiel dvoch zmiešaných zlomkov a čitateľ prvého zlomku je menší ako čitateľ druhého? Dá sa to urobiť aj dvoma spôsobmi.
Príklady (3):
* Prevedené na bežné zlomky, vypočítané rozdiely, preložené výsledné nesprávny zlomok do zmiešaného.
* Po rozdelení na celé číslo a zlomkové časti dostaneme tri, potom uvedieme 3 ako súčet 2 a 1, pričom jednotku predstavíme ako 11/11, potom nájdeme rozdiel medzi 11/11 a 7/11 a vypočítame výsledok. Význam vyššie uvedených transformácií je vziať (vybrať) jednotku a prezentovať ju ako zlomok s menovateľom, ktorý potrebujeme, potom od tohto zlomku už môžeme odčítať ďalší.
Ďalší príklad:
Záver: existuje univerzálny prístup - na výpočet súčtu (rozdielu) zmiešaných zlomkov s rovnakými menovateľmi je možné ich vždy previesť na nesprávne a potom vykonať požadované opatrenie. Potom, ak v dôsledku toho dostaneme nesprávny zlomok, preložíme ho na zmiešaný.
Vyššie sme sa pozreli na príklady so zlomkami, ktoré majú rovnakých menovateľov. Čo ak sa menovatelia líšia? V tomto prípade sa zlomky znížia na rovnaký menovateľ a vykoná sa zadaná akcia. Na zmenu (transformáciu) zlomku sa využíva hlavná vlastnosť zlomku.
Zvážte jednoduché príklady:
V týchto príkladoch okamžite vidíme, ako možno jeden zo zlomkov previesť na rovnakých menovateľov.
Ak určíme spôsoby, ako zredukovať zlomky na jeden menovateľ, potom sa tento bude nazývať PRVÁ SPÔSOB.
To znamená, že ihneď pri „vyhodnotení“ zlomku musíte zistiť, či takýto prístup bude fungovať - skontrolujeme, či je väčší menovateľ deliteľný menším. A ak sa delí, tak vykonáme transformáciu – vynásobíme čitateľa a menovateľa tak, aby sa menovatelia oboch zlomkov vyrovnali.
Teraz sa pozrite na tieto príklady:
Tento prístup sa na nich nevzťahuje. Existujú aj iné spôsoby, ako znížiť zlomky na spoločný menovateľ Poďme sa na ne pozrieť.
Metóda DRUHÁ.
Vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého:
*V skutočnosti zlomky do tvaru privedieme, keď sa menovatelia stanú rovnakými. Ďalej použijeme pravidlo sčítania nesmelý s rovnakými menovateľmi.
Príklad:
*Túto metódu možno nazvať univerzálnou a vždy funguje. Jediným negatívom je, že po výpočtoch môže vyjsť zlomok, ktorý bude potrebné ďalej znižovať.
Zvážte príklad:
Je vidieť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 5:
Metóda TRETÍ.
Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov. Toto bude spoločný menovateľ. čo je to za číslo? Je to najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel.
Pozri, tu sú dve čísla: 3 a 4, je nimi veľa čísel, ktoré sú deliteľné - sú to 12, 24, 36, ... Najmenšie z nich je 12. Alebo 6 a 15, 30, 60, 90 sú nimi deliteľné.... Najmenej 30. Otázka - ako určiť tento najmenší spoločný násobok?
Existuje jasný algoritmus, ale často sa to dá urobiť okamžite bez výpočtov. Napríklad podľa vyššie uvedených príkladov (3 a 4, 6 a 15) nie je potrebný žiadny algoritmus, zobrali sme veľké čísla (4 a 15), zdvojnásobili sme ich a videli sme, že sú deliteľné druhým číslom, ale páry čísel môžu byť aj iné, napríklad 51 a 119.
Algoritmus. Ak chcete určiť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, musíte:
- rozložiť každé z čísel na JEDNODUCHÉ faktory
- vypíšte rozklad VÄČŠIEHO z nich
- vynásobte ho CHYBAJÚCImi faktormi iných čísel
Zvážte príklady:
50 a 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
v rozklade viac chýba jedna päťka
=> LCM(50;60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 a 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
pri rozšírení väčšieho počtu chýbajú dvojka a trojka
=> LCM(48;72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Najmenší spoločný násobok dvoch základné čísla rovná ich produktu
Otázka! A prečo je užitočné nájsť najmenší spoločný násobok, pretože môžete použiť druhú metódu a jednoducho znížiť výsledný zlomok? Áno, môžete, ale nie vždy je to pohodlné. Pozrite sa na menovateľ čísel 48 a 72, ak ich vynásobíte 48∙72 = 3456. Súhlaste, že je príjemnejšie pracovať s menšími číslami.
Zvážte príklady:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
pri rozšírení väčšieho počtu chýba trojka
=> LCM(51,119) = 3∙7∙17
A teraz použijeme prvú metódu:
* Pozrite sa na rozdiel vo výpočtoch, v prvom prípade je ich minimum a v druhom musíte pracovať oddelene na papieri a dokonca aj zlomok, ktorý ste dostali, je potrebné znížiť. Nájdenie LCM značne zjednodušuje prácu.
Ďalšie príklady:
* V druhom príklade je zrejmé, že najmenšie číslo, ktorý je delený 40 a 60 sa rovná 120.
CELKOM! VŠEOBECNÝ ALGORITMUS VÝPOČTU!
- zlomky privedieme k obyčajným, ak je tam celá časť.
- zlomky privedieme na spoločného menovateľa (najskôr sa pozrieme, či je jeden menovateľ deliteľný druhým, ak je deliteľný, potom čitateľa a menovateľa tohto druhého zlomku vynásobíme; ak nie je deliteľný, postupujeme pomocou iné metódy uvedené vyššie).
- po prijatí zlomkov s rovnakými menovateľmi vykonávame akcie (sčítanie, odčítanie).
- v prípade potreby znížime výsledok.
- v prípade potreby vyberte celú časť.
2. Súčin frakcií.
Pravidlo je jednoduché. Pri násobení zlomkov sa ich čitatelia a menovatelia násobia:
Príklady:
Prvá úroveň
Konverzia výrazov. Podrobná teória (2019)
Konverzia výrazov
Často to počujeme nepríjemná fráza: "zjednodušte výraz." Zvyčajne v tomto prípade máme nejaké monštrum, ako je toto:
"Áno, oveľa jednoduchšie," hovoríme, ale takáto odpoveď zvyčajne nefunguje.
Teraz vás naučím nebáť sa žiadnych takýchto úloh. Navyše na konci lekcie vy sami zjednodušíte tento príklad na (len!) obyčajné číslo(áno, do čerta s tými písmenami).
Ale predtým, ako začnete túto lekciu, musíte byť schopní zvládnuť zlomky a faktorové polynómy. Preto najprv, ak ste to ešte neurobili, nezabudnite zvládnuť témy "" a "".
Čítať? Ak áno, ste pripravení.
Základné zjednodušujúce operácie
Teraz budeme analyzovať hlavné techniky, ktoré sa používajú na zjednodušenie výrazov.
Najjednoduchší z nich je
1. Prinášanie podobného
Čo sú podobné? Prešli ste si tým v 7. ročníku, keď sa v matematike namiesto číslic prvýkrát objavili písmená. Podobné sú termíny (monomy) s rovnakou písmenovou časťou. Napríklad celkovo ako podmienky- toto a.
Pamätáte si?
Priniesť podobné výrazy znamená pridať niekoľko podobných výrazov k sebe a získať jeden výraz.
Ale ako môžeme poskladať písmená? - pýtaš sa.
To je veľmi ľahké pochopiť, ak si predstavíte, že písmená sú nejaké predmety. Napríklad list je stolička. Aký je potom výraz? Dve stoličky plus tri stoličky, koľko to bude? Presne tak, stoličky: .
Teraz skúste tento výraz:
Aby nedošlo k zámene, nech rôzne písmená predstavujú rôzne veci. Napríklad - toto je (ako obvykle) stolička a - toto je stôl. potom:
stoličky stoly stoličky stoly stoličky stoličky stoly
Čísla, ktorými sa písmená v takýchto pojmoch násobia, sa nazývajú koeficienty. Napríklad v monomiáli je koeficient rovnaký. A je rovnocenný.
Takže pravidlo pre prinesenie podobného:
Príklady:
Prineste podobné:
odpovede:
2. (a sú podobné, pretože tieto výrazy majú preto rovnakú časť písmena).
2. Faktorizácia
To je zvyčajne najviac Hlavná časť v zjednodušujúcich výrazoch. Po zadaní podobných musí byť výsledný výraz najčastejšie zohľadnený, teda prezentovaný ako produkt. Toto je obzvlášť dôležité pri zlomkoch: koniec koncov, aby sa zlomok zmenšil, čitateľ a menovateľ musia byť vyjadrené ako súčin.
Prešli ste si podrobnými metódami faktoringu výrazov v téme "", takže si tu stačí zapamätať, čo ste sa naučili. Ak to chcete urobiť, vyriešte niekoľko príklady(bude zohľadnené):
Riešenia:
3. Zníženie frakcií.
Nuž, čo môže byť krajšie, ako prečiarknuť časť čitateľa a menovateľa a vyhodiť ich zo svojho života?
V tom je krása skratky.
Je to jednoduché:
Ak čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké faktory, môžu sa znížiť, to znamená odstrániť zo zlomku.
Toto pravidlo vyplýva zo základnej vlastnosti zlomku:
To znamená, že podstatou operácie redukcie je to Čitateľ a menovateľ zlomku delíme rovnakým číslom (alebo rovnakým výrazom).
Ak chcete znížiť zlomok, potrebujete:
1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
2) ak čitateľ a menovateľ obsahuje spoločné faktory, môžu byť vymazané.
Myslím, že princíp je jasný?
Chcem upozorniť na jeden typická chyba pri redukcii. Aj keď je táto téma jednoduchá, veľa ľudí robí všetko zle, pričom si to neuvedomujú rezať- to znamená rozdeliťčitateľa a menovateľa rovnakým číslom.
Žiadne skratky, ak je čitateľ alebo menovateľ súčet.
Napríklad: musíte zjednodušiť.
Niektorí to robia: čo je absolútne nesprávne.
Ďalší príklad: znížiť.
"Najmúdrejší" urobí toto:.
Povedz mi, čo sa tu deje? Zdalo by sa: - toto je multiplikátor, takže môžete znížiť.
Ale nie: - toto je faktor iba jedného člena v čitateli, ale samotný čitateľ ako celok sa na faktory nerozkladá.
Tu je ďalší príklad: .
Tento výraz je rozložený na faktory, čo znamená, že môžete znížiť, to znamená rozdeliť čitateľa a menovateľa a potom:
Môžete okamžite rozdeliť podľa:
Aby ste sa vyhli takýmto chybám, pamätajte ľahká cesta ako zistiť, či je výraz zohľadnený:
Aritmetická operácia, ktorá sa pri výpočte hodnoty výrazu vykoná ako posledná, je „hlavná“. To znamená, že ak namiesto písmen dosadíte nejaké (akékoľvek) čísla a pokúsite sa vypočítať hodnotu výrazu, potom ak je poslednou akciou násobenie, máme súčin (výraz sa rozloží na faktory). Ak je poslednou akciou sčítanie alebo odčítanie, znamená to, že výraz nie je rozkladaný na faktor (a preto ho nemožno zmenšiť).
Ak to chcete opraviť, vyriešte to sami príklady:
odpovede:
1. Dúfam, že ste sa hneď nehrnuli strihať a? Stále nestačilo „znížiť“ jednotky takto:
Prvým krokom by malo byť faktorizovanie:
4. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.
Sčítanie a odčítanie bežné zlomky- operácia je dobre známa: hľadáme spoločného menovateľa, každý zlomok vynásobíme chýbajúcim faktorom a sčítame/odčítame čitateľov. Pripomeňme si:
odpovede:
1. Menovatelia a sú coprime, to znamená, že nemajú spoločné faktory. Preto sa LCM týchto čísel rovná ich súčinu. Toto bude spoločný menovateľ:
2. Tu je spoločný menovateľ:
3. Prvá vec tu zmiešané frakcie premeňte ich na nesprávne a potom - podľa obvyklej schémy:
Iná vec je, ak zlomky obsahujú písmená, napríklad:
Začnime jednoducho:
a) Menovatele neobsahujú písmená
Tu je všetko rovnaké ako pri bežných číselných zlomkoch: nájdeme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a pripočítame / odčítame čitateľa:
teraz v čitateli môžete priniesť podobné, ak nejaké existujú, a rozpočítať ich:
Vyskúšajte sami:
b) Menovateľ obsahuje písmená
Pripomeňme si princíp hľadania spoločného menovateľa bez písmen:
Najprv určíme spoločné faktory;
Potom raz vypíšeme všetky spoločné faktory;
a vynásobte ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.
Aby sme určili spoločné faktory menovateľov, najprv ich rozložíme na jednoduché faktory:
Zdôrazňujeme spoločné faktory:
Teraz raz vypíšeme spoločné faktory a pridáme k nim všetky nie spoločné (nepodčiarknuté) faktory:
Toto je spoločný menovateľ.
Vráťme sa k písmenám. Menovatelia sa uvádzajú presne rovnakým spôsobom:
Menovateľov rozložíme na faktory;
určiť spoločné (identické) multiplikátory;
raz zapíšte všetky spoločné faktory;
Násobíme ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.
Takže v poradí:
1) rozložte menovateľov na faktory:
2) určiť spoločné (identické) faktory:
3) napíšte všetky spoločné faktory raz a vynásobte ich všetkými ostatnými (nepodčiarknutými) faktormi:
Takže spoločný menovateľ je tu. Prvý zlomok sa musí vynásobiť, druhý -:
Mimochodom, existuje jeden trik:
Napríklad: .
V menovateľoch vidíme rovnaké faktory, len všetko s rôzne ukazovatele. Spoločným menovateľom bude:
do tej miery
do tej miery
do tej miery
v stupni.
Skomplikujme si úlohu:
Ako dosiahnuť, aby zlomky mali rovnakého menovateľa?
Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku:
Nikde nie je povedané, že od čitateľa a menovateľa zlomku možno odčítať (alebo sčítať) rovnaké číslo. Pretože to nie je pravda!
Presvedčte sa sami: vezmite si napríklad ľubovoľný zlomok a do čitateľa a menovateľa pridajte nejaké číslo, napríklad . Čo sa naučilo?
Takže ďalšie neotrasiteľné pravidlo:
Keď privediete zlomky k spoločnému menovateľovi, použite iba operáciu násobenia!
Čo však potrebujete znásobiť, aby ste získali?
Tu a množte sa. A vynásobte:
Výrazy, ktoré nemožno faktorizovať, budeme nazývať „elementárne faktory“. Napríklad je to elementárny faktor. - tiež. Ale - nie: rozkladá sa na faktory.
A čo vyjadrovanie? Je to elementárne?
Nie, pretože to môže byť faktorizované:
(o faktorizácii ste už čítali v téme "").
Takže základné faktory, na ktoré rozkladáte výraz pomocou písmen, sú analógové hlavné faktory do ktorých rozložíte čísla. A to isté urobíme s nimi.
Vidíme, že oba menovatele majú faktor. Bude to mať spoločného menovateľa v moci (pamätáte prečo?).
Násobiteľ je elementárny a nemajú ho spoločný, čo znamená, že prvý zlomok sa ním bude musieť jednoducho vynásobiť:
Ďalší príklad:
rozhodnutie:
Pred vynásobením týchto menovateľov v panike musíte premýšľať o tom, ako ich faktorizovať? Obaja predstavujú:
Dobre! potom:
Ďalší príklad:
rozhodnutie:
Ako obvykle delíme menovateľov na faktor. V prvom menovateli ho jednoducho vysunieme zo zátvoriek; v druhom - rozdiel štvorcov:
Zdalo by sa, že neexistujú žiadne spoločné faktory. Ale keď sa pozriete pozorne, už sú si také podobné ... A pravdou je:
Tak si napíšme:
To znamená, že to dopadlo takto: vo vnútri zátvorky sme prehodili pojmy a zároveň sa znamienko pred zlomkom zmenilo na opak. Berte na vedomie, že to budete musieť robiť často.
Teraz sa dostávame k spoločnému menovateľovi:
Mám to? Teraz to skontrolujeme.
Úlohy na samostatné riešenie:
odpovede:
Tu si musíme pamätať ešte jednu vec - rozdiel kociek:
Upozorňujeme, že menovateľ druhého zlomku neobsahuje vzorec „druhá mocnina súčtu“! Druhá mocnina súčtu by vyzerala takto:
A je takzvaný neúplný štvorec súčtu: druhý člen v ňom je súčinom prvého a posledného, a nie ich zdvojeným súčinom. Neúplná druhá mocnina súčtu je jedným z faktorov pri rozširovaní rozdielu kociek:
Čo ak už existujú tri zlomky?
Áno, to isté! Po prvé, urobme to tak maximálne množstvo faktory v menovateloch boli rovnaké:
Pozor: ak zmeníte znamienka v jednej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa zmení na opačné. Keď zmeníme znamienka v druhej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa opäť obráti. V dôsledku toho sa on (znak pred zlomkom) nezmenil.
Prvý menovateľ vypíšeme celý do spoločného menovateľa a potom k nemu pridáme všetky ešte nezapísané činitele od druhého a potom od tretieho (a tak ďalej, ak je zlomkov viac). Teda ide to takto:
Hmm... So zlomkami je jasné, čo robiť. Ale čo tí dvaja?
Je to jednoduché: viete, ako sčítať zlomky, však? Takže sa musíte uistiť, že dvojka sa stane zlomkom! Pamätajte si: zlomok je operácia delenia (čitateľ sa delí menovateľom, ak ste náhle zabudli). A nie je nič jednoduchšie ako vydeliť číslo. V tomto prípade sa samotné číslo nezmení, ale zmení sa na zlomok:
Presne to, čo je potrebné!
5. Násobenie a delenie zlomkov.
No, to najťažšie je už za nami. A pred nami je to najjednoduchšie, ale zároveň najdôležitejšie:
Postup
Aký je postup pri počítaní číselný výraz? Pamätajte, že vzhľadom na hodnotu takéhoto výrazu:
Počítal si?
Malo by to fungovať.
Takže pripomínam.
Prvým krokom je výpočet stupňa.
Druhým je násobenie a delenie. Ak existuje niekoľko násobení a delení súčasne, môžete ich vykonať v ľubovoľnom poradí.
A nakoniec vykonáme sčítanie a odčítanie. Opäť v akomkoľvek poradí.
Ale: výraz v zátvorkách je vyhodnotený mimo poradia!
Ak sa vynásobí alebo vydelí niekoľko zátvoriek, najprv vyhodnotíme výraz v každej zo zátvoriek a potom ich vynásobíme alebo rozdelíme.
Čo ak sú v zátvorkách ďalšie zátvorky? No, zamyslime sa: nejaký výraz je napísaný v zátvorkách. Čo treba urobiť ako prvé pri hodnotení výrazu? Správne, vypočítajte zátvorky. No, prišli sme na to: najprv vypočítame vnútorné zátvorky, potom všetko ostatné.
Poradie akcií pre vyššie uvedený výraz je teda nasledovné (aktuálna akcia je zvýraznená červenou farbou, teda akcia, ktorú práve vykonávam):
Dobre, všetko je jednoduché.
Ale to nie je to isté ako výraz s písmenami, však?
Nie, je to to isté! Iba namiesto toho aritmetické operácie musíte urobiť algebraické, to znamená akcie opísané v predchádzajúcej časti: prinášajúce podobné, pridávanie zlomkov, zmenšovanie zlomkov atď. Jediným rozdielom bude pôsobenie faktoringových polynómov (často ho používame pri práci so zlomkami). Najčastejšie pri faktorizácii musíte použiť i alebo jednoducho vyňať spoločný faktor pre zátvorky.
Zvyčajne je naším cieľom reprezentovať výraz ako produkt alebo kvocient.
Napríklad:
Zjednodušme výraz.
1) Najprv zjednodušíme výraz v zátvorkách. Tam máme rozdiel zlomkov a naším cieľom je reprezentovať ho ako súčin alebo kvocient. Zlomky teda privedieme k spoločnému menovateľovi a pridáme:
Nie je možné tento výraz ďalej zjednodušiť, všetky faktory sú tu elementárne (pamätáte si ešte, čo to znamená?).
2) Dostávame:
Násobenie zlomkov: čo môže byť jednoduchšie.
3) Teraz môžete skrátiť:
To je všetko. Nič zložité, však?
Ďalší príklad:
Zjednodušte výraz.
Najprv to skúste vyriešiť sami a až potom sa pozrite na riešenie.
V prvom rade si definujme postup. Najprv pridajme zlomky v zátvorkách, namiesto dvoch zlomkov nám vyjde jeden. Potom urobíme delenie zlomkov. No a výsledok sčítame s posledným zlomkom. Schematicky očíslujem kroky:
Teraz ukážem celý proces a aktuálnu akciu zafarbím červenou farbou:
Na záver vám dám dva užitočné tipy:
1. Ak sú tam podobné, treba ich ihneď priniesť. V každom okamihu, keď máme podobné, je vhodné ich ihneď priniesť.
2. To isté platí pre redukciu zlomkov: akonáhle sa naskytne príležitosť na redukciu, treba ju využiť. Výnimkou sú zlomky, ktoré pridávate alebo odčítate: ak majú rovnakých menovateľov, potom treba redukciu nechať na neskôr.
Tu je niekoľko úloh, ktoré musíte vyriešiť sami:
A hneď na začiatku sľúbil:
Riešenia (stručne):
Ak ste sa vyrovnali aspoň s prvými tromi príkladmi, potom, považujte, ste tému zvládli.
Teraz k učeniu!
KONVERZIA VÝRAZOV. SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC
Základné zjednodušujúce operácie:
- Prinášať podobné: ak chcete pridať (zmenšiť) podobné výrazy, musíte pridať ich koeficienty a priradiť časť písmena.
- Faktorizácia: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, uplatnenie atď.
- Zníženie frakcií: čitateľa a menovateľa zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, od ktorého sa hodnota zlomku nemení.
1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
2) ak sú v čitateli a menovateli spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.DÔLEŽITÉ: Znížiť možno iba násobiteľov!
- Sčítanie a odčítanie zlomkov:
; - Násobenie a delenie zlomkov:
;
Na škole typu VIII sa žiaci oboznamujú s týmito premenami zlomkov: vyjadrenie zlomku väčšími zlomkami (6. ročník), vyjadrenie nevlastného zlomku celým číslom alebo zmiešaným číslom (6. ročník), vyjadrenie zlomkov rovnakým dielom. (7. ročník), výraz zmiešané číslo nesprávny zlomok (7. ročník).
Nesprávne vyjadrenie zlomkualebo zmiešané číslo
Študujem tento materiál mali by ste začať s úlohou: zoberte 2 zošité kruhy a každý z nich rozdeľte na 4 rovnaké časti, spočítajte počet štvrtých častí (obr. 25). Ďalej sa navrhuje zapísať túto sumu ako zlomok (t) Potom sa k sebe pridajú štvrté časti a študenti sú presvedčení, že to dopadlo
1. kruh. teda -t= jeden . Zvyšuje štyri štvrtiny – postupne viac -t, a študenti zapíšu: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
Učiteľ upozorňuje študentov na skutočnosť, že vo všetkých uvažovaných prípadoch vzali nesprávny zlomok a v dôsledku transformácie dostali celé číslo alebo zmiešané číslo, to znamená, že nevlastný zlomok vyjadrili ako celé číslo. alebo zmiešané číslo. Ďalej sa musíme snažiť zabezpečiť, aby študenti nezávisle určili, akú aritmetickú operáciu možno túto transformáciu vykonať. Živé príklady vedúce k odpovedi
4. 8 0 5 ,1 7 ,3 „ L
na otázku sú: -2-=! a t = 2, 4" = 1t a tT " YV °D : do
Ak chcete vyjadriť nevlastný zlomok ako celok alebo zmiešané číslo, musíte vydeliť čitateľa zlomku menovateľom, napísať podiel ako celé číslo, zvyšok zapísať do čitateľa a menovateľa ponechať rovnaký. Keďže pravidlo je ťažkopádne, nie je vôbec potrebné, aby si ho študenti zapamätali. Mali by byť schopní dôsledne rozprávať o činnostiach pri vykonávaní tejto transformácie.
Skôr ako žiakov oboznámime s vyjadrením nevlastného zlomku celým číslom alebo zmiešaným číslom, je vhodné si s nimi zopakovať delenie celého čísla celým číslom so zvyškom.
Upevnenie novej transformácie pre študentov je uľahčené riešením problémov životne dôležitého a praktického charakteru, napríklad:
„Vo váze je deväť štvrtín pomaranča. Skol| Z týchto akcií možno pridať celé pomaranče? Koľko štvrtín zostane?"
„Na výrobu vrchnákov na škatule, každý list karty
35 sa rozreže na 16 rovnakých častí. Mám -^. Koľko gólov!
Narezať listy kartónu? Koľko šestnástiny rezu! z dalsieho kusu? Atď.
Vyjadrenie celého čísla a zmiešaného číslanesprávny zlomok
Zoznámeniu študentov s touto novou transformáciou by malo predchádzať riešenie problémov, napr.
„2 kusy látky rovnakej dĺžky, ktoré majú tvar štvorca. > rozrežte na 4 rovnaké časti. Z každej takejto časti bola ušitá vreckovka. Koľko vreckoviek si dostal? I Záznam: 2= - 1 4^-, 2= -% ]
dostal si víno? Zapíšte si: boli 1 * kruhy, stali sa z toho * kruhy, čo znamená
Na vizuálnom a praktickom základe teda uvažujeme o množstve príkladov. V zvažovaných príkladoch sú študenti požiadaní, aby porovnali pôvodné číslo (zmiešané alebo celé číslo) a číslo, ktoré vyšlo po prevode (nepravý zlomok).
Na oboznámenie žiakov s pravidlom vyjadrenia celku a zmiešaného čísla ako nevlastného zlomku je potrebné upriamiť ich pozornosť na porovnanie menovateľov zmiešaného čísla a nevlastného zlomku, ako aj na to, ako sa získava čitateľ, napr. príklad:
1 2"=?, 1 = 2", plus ^, spolu ^ 3 ^=?, 3=-^-, plus ^, celkom
bude -^-. V dôsledku toho je pravidlo formulované: tak, že zmiešané číslo
vyjadrené ako nevlastný zlomok, je potrebné vynásobiť menovateľa celým číslom, pridať čitateľa k súčinu a súčet napísať ako čitateľa a menovateľa ponechať nezmenený.
Najprv musíte precvičiť študentov vo vyjadrení jednotky ako nesprávneho zlomku, potom akéhokoľvek iného celého čísla s menovateľom a až potom zmiešaného čísla:
Základná vlastnosť zlomku 1
[koncept nemennosti zlomku pri zvyšovaní
1 úbytok jej členov, t.j. čitateľa a menovateľa, sa učia žiaci školy typu VIII s. s veľkými ťažkosťami. Tento koncept sa musí zaviesť na vizuálnom a didaktickom materiáli,
Prečo je dôležité, aby žiaci nielen pozorovali činnosť učiteľa, ale aj aktívne pracovali s didaktickým materiálom a na základe pozorovaní a praktických aktivít prichádzali k určitým záverom, zovšeobecneniam.
Napríklad učiteľ vezme celú repu, rozdelí ju na 2 rovnaké pomsty a spýta sa: „Čo ste dostali pri delení celej repy?
na polovicu? (2 polovice.) Ukáž * repy. Nakrájame (oddelíme)
polovicu repy na 2 rovnaké časti. čo získame? -y. Píšme:
tt \u003d - m - Porovnajme čitateľov a menovateľov týchto zlomkov. Kedy
krát sa čitateľ zvýšil? Koľkokrát sa menovateľ zvýšil? Koľkokrát sa zvýšil čitateľ aj menovateľ? Zmenil sa zlomok? Prečo sa to nezmenilo? Aké boli podiely: väčšie alebo menšie? Či sa počet zvýšil alebo znížil
Potom všetci žiaci rozdelia kruh na 2 rovnaké časti, každá polovica sa rozdelí na ďalšie 2 rovnaké časti, každá štvrtina sa ďalej rozdelí na
2 rovnaké časti atď. a napíšte: „o ^ A ^ tg ^ tgg a t - L- Potom zistia, koľkokrát sa zväčšil čitateľ a menovateľ zlomku, či sa zlomok zmenil. segment a vydeľte ho postupne 3, 6, 12 rovnakými dielmi a napíš:
1 21 4 Pri porovnaní zlomkov -^ a -^, -^ a -^ sa zistí, že
čitateľ a menovateľ zlomku r sa zväčšia rovnako, zlomok sa od toho nemení.
Po zvážení niekoľkých príkladov by mali byť študenti požiadaní, aby odpovedali na otázku: „Zmení sa zlomok, ak čitateľ Niektoré poznatky na tému „Obyčajné zlomky“ sú vylúčené z učiva matematiky na nápravných školách typu VIII, ale sú komunikované študentom v školách pre deti s mentálnou retardáciou, v vyrovnávacích triedach pre deti s poruchami učenia v matematike. V tejto učebnici sú odseky, ktoré uvádzajú metodiku štúdia tohto materiálu,
označené hviezdičkou (*).
Podobné príklady sú uvedené pri zvažovaní zníženia čitateľa a menovateľa rovnakým počtom krát (čitatelia a menovateľ sú delení rovnakým číslom). Napríklad cr>"
( 4 \ rozdelené na 8 rovnakých častí, vezmite 4 osminy kruhu I -o-]
po zväčšení podielov si vezmú štvrtý, budú ich 2. Po zväčšení podielov
4 2 1 vezmite druhú. Bude 1 : ~tý = -d--%- Porovnaj nasledovník!I
čitateľov a menovateľov týchto zlomkov, odpovedajúcich na otázky: „In<>koľkokrát sa zníži čitateľ a menovateľ? Zmení sa zlomok?
Dobrým benefitom sú pruhy, rozdelené na 12, 6, 3 rovnaké časti (obr. 26).
H
12 6 3 Obr. 26
Na základe uvažovaných príkladov môžu študenti dospieť k záveru, že zlomok sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vydelí rovnakým číslom (skráteným rovnakým počtom). Potom je uvedený všeobecný záver - hlavná vlastnosť zlomku: zlomok sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku zvýši alebo zníži o rovnaký počet krát.Čísla a výrazy, ktoré tvoria pôvodný výraz, možno nahradiť výrazmi, ktoré sa im zhodne rovnajú. Takáto transformácia pôvodného výrazu vedie k výrazu, ktorý je mu identicky rovný.
Napríklad vo výraze 3+x možno číslo 3 nahradiť súčtom 1+2 , čím vznikne výraz (1+2)+x , ktorý sa zhodne rovná pôvodnému výrazu. Ďalší príklad: vo výraze 1+a 5 možno stupeň a 5 nahradiť súčinom, ktorý sa mu zhodne rovná, napríklad v tvare a·a 4 . Získame tak výraz 1+a·a 4 .
Táto premena je nepochybne umelá a zvyčajne je prípravou na nejakú ďalšiu premenu. Napríklad v súčte 4·x 3 +2·x 2, berúc do úvahy vlastnosti stupňa, výraz 4·x 3 môže byť reprezentovaný ako súčin 2·x 2 ·2·x. Po takejto transformácii bude mať pôvodný výraz tvar 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Je zrejmé, že členy vo výslednom súčte majú spoločný činiteľ 2 x 2, takže môžeme vykonať nasledujúcu transformáciu - zátvorky. Po ňom prídeme k výrazu: 2 x 2 (2 x+1) .
Sčítanie a odčítanie rovnakého čísla
Ďalšou umelou transformáciou výrazu je sčítanie a odčítanie toho istého čísla alebo výrazu v rovnakom čase. Takáto transformácia je identická, pretože je v skutočnosti ekvivalentná pripočítaniu nuly a pridanie nuly nemení hodnotu.
Zvážte príklad. Zoberme si výraz x 2 +2 x . Ak k tomu pridáte jeden a jeden odčítate, umožní vám to v budúcnosti vykonať ďalšiu identickú transformáciu - vyberte druhú mocninu binomu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografia.
- algebra: učebnica pre 7 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovič A.G. Algebra. 7. trieda. O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre žiaka vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dod. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: chor. ISBN 978-5-346-02432-3.
Medzi rôzne výrazy o ktorých sa uvažuje v algebre, dôležité miesto sú súčty jednočlenov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Mononomy sa označujú aj ako polynómy, pričom monomizmus považujeme za polynóm pozostávajúci z jedného člena.
Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.
Všetky výrazy zastupujeme vo forme jednočlenov štandardný pohľad:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Vo výslednom polynóme dávame podobné výrazy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi nie sú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.
pozadu polynomický stupeňštandardná forma preberá najväčšiu z právomocí svojich členov. Takže dvojčlen \(12a^2b - 7b \) má tretí stupeň a trojčlen \(2b^2 -7b + 6 \) má druhý stupeň.
Obvykle sú členy štandardných polynómov obsahujúcich jednu premennú usporiadané v zostupnom poradí podľa jej exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Súčet niekoľkých polynómov možno previesť (zjednodušiť) na polynóm štandardnej formy.
Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže zátvorky sú opakom zátvoriek, je ľahké ich formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:
Ak je znamienko + umiestnené pred zátvorkami, potom sa výrazy v zátvorkách píšu s rovnakými znamienkami.
Ak je pred zátvorkami umiestnený znak "-", potom sa výrazy v zátvorkách píšu s opačnými znakmi.
Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu
Cez distribučný majetok násobenia možno previesť (zjednodušiť) na mnohočlen, súčin jednočlenu a mnohočlenu. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.
Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.
Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.
Toto pravidlo sme opakovane použili na násobenie súčtom.
Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov
Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.
Zvyčajne použite nasledujúce pravidlo.
Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.
Skrátené vzorce násobenia. Štvorce súčtu, rozdielu a rozdielu
S niektorými výrazmi v algebraické transformácie musí riešiť viac ako ostatní. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), teda druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu a druhá mocnina rozdielu. Všimli ste si, že názvy uvedených výrazov sa zdajú byť neúplné, takže napríklad \((a + b)^2 \) nie je, samozrejme, len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b však nie je taká častá, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.
Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú ľahko previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa už s takouto úlohou stretli pri násobení polynómov :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Výsledné identity je užitočné zapamätať si a použiť ich bez prechodných výpočtov. Pomáhajú tomu krátke slovné formulácie.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu sa rovná súčtu druhých mocnín a dvojitého súčinu.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu je súčet druhých mocnín bez zdvojnásobenia súčinu.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.
Tieto tri identity umožňujú pri transformáciách nahradiť ich ľavé časti pravými a naopak - pravé časti ľavými. Najťažšie je v tomto prípade vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, čím sú v nich premenné a a b nahradené. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.
