Titingnan natin ngayon ang pag-convert ng mga expression na naglalaman ng logarithms mula sa karaniwang mga posisyon. Dito ay susuriin natin hindi lamang ang pagbabagong-anyo ng mga expression gamit ang mga katangian ng logarithms, ngunit isasaalang-alang natin ang pagbabagong-anyo ng mga expression na may logarithms pangkalahatang pananaw, na naglalaman ng hindi lamang logarithms, kundi pati na rin ang mga kapangyarihan, fraction, ugat, atbp. Gaya ng dati, ibibigay namin ang lahat ng materyal tipikal na mga halimbawa kasama detalyadong paglalarawan mga solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Mga expression na may logarithms at logarithmic expression

Nagsasagawa ng mga aksyon na may mga fraction

Sa nakaraang talata, sinuri namin ang mga pangunahing pagbabagong isinasagawa sa mga indibidwal na fraction na naglalaman ng logarithms. Ang mga pagbabagong ito, siyempre, ay maaaring isagawa sa bawat indibidwal na bahagi, na bahagi ng isang mas malaki kumplikadong pagpapahayag, halimbawa, na kumakatawan sa kabuuan, pagkakaiba, produkto at kusyente magkatulad na mga fraction. Ngunit bilang karagdagan sa pagtatrabaho sa mga indibidwal na fraction, ang pagbabago ng mga expression tinukoy na uri kadalasang nagsasangkot ng pagsasagawa ng angkop na mga operasyon sa mga fraction. Susunod, isasaalang-alang namin ang mga patakaran kung saan isinasagawa ang mga pagkilos na ito.

Mula sa grade 5-6, alam natin ang mga tuntunin kung saan . Sa artikulo pangkalahatang pananaw para sa mga operasyong may mga fraction nai-circulate namin ang mga patakarang ito sa ordinaryong fraction sa mga fraction ng pangkalahatang anyo A/B , kung saan ang A at B ay ilang numeric, literal na mga pagpapahayag o mga expression na may mga variable, at ang B ay identically non-zero. Malinaw na ang mga fraction na may logarithms ay mga espesyal na kaso ng pangkalahatang fraction. At sa bagay na ito, malinaw na ang mga aksyon na may mga fraction na naglalaman ng logarithms sa kanilang mga talaan ay isinasagawa ayon sa parehong mga patakaran. Namely:

• Upang magdagdag o magbawas ng dalawang fraction na may parehong denominador, kinakailangang idagdag o ibawas ang mga numerator, ayon sa pagkakabanggit, at iwanan ang denominator na pareho.
• Upang magdagdag o magbawas ng dalawang fraction na may iba't ibang denominador, dapat natin silang dalhin sa karaniwang denominador at isagawa ang mga kaukulang aksyon ayon sa naunang tuntunin.
• Upang i-multiply ang dalawang fraction, kailangan mong magsulat ng isang fraction na ang numerator ay ang produkto ng mga numerator ng orihinal na mga fraction, at ang denominator ay ang produkto ng mga denominator.
• Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, divisible fraction multiply sa kapalit ng divisor, iyon ay, sa pamamagitan ng fraction na may numerator at denominator na muling inayos.

Narito ang ilang mga halimbawa para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga fraction na naglalaman ng logarithms.

Halimbawa.

Magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction na naglalaman ng logarithms: a), b) , sa) , G) .

Desisyon.

a) Ang mga denominator ng mga idinagdag na fraction ay malinaw na pareho. Samakatuwid, ayon sa panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator, idinaragdag namin ang mga numerator, at iiwan ang denominator na pareho: .

b) Dito magkaiba ang mga denominador. Samakatuwid, kailangan mo muna magdala ng mga fraction sa parehong denominator. Sa aming kaso, ang mga denominator ay ipinakita na bilang mga produkto, at nananatili para sa amin na kunin ang denominator ng unang bahagi at idagdag dito ang nawawalang mga salik mula sa denamineytor ng pangalawang bahagi. Kaya nakakakuha kami ng isang karaniwang denominator ng form . Sa kasong ito, ang mga ibinawas na fraction ay binabawasan sa isang karaniwang denominator gamit karagdagang multiplier sa anyo ng logarithm at expression x 2 ·(x+1), ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos nito, nananatili itong ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, na hindi mahirap.

Kaya ang solusyon ay:

c) Alam na ang resulta ng pagpaparami ng mga fraction ay isang fraction, ang numerator nito ay ang produkto ng mga numerator, at ang denominator ay ang produkto ng mga denominator, samakatuwid

Ito ay madaling makita na ito ay posible na pagbawas ng fraction para sa dalawa at decimal logarithm, bilang isang resulta mayroon kami .

d) Dumaan tayo mula sa paghahati ng mga fraction hanggang sa multiplikasyon, na pinapalitan ang fraction-divisor ng katumbas nito. Kaya

Ang numerator ng resultang fraction ay maaaring katawanin bilang , kung saan malinaw na makikita ng isa karaniwang salik numerator at denominator - factor x, maaari mong bawasan ang fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

a), b) , sa) , G) .

Dapat alalahanin na ang mga aksyon na may mga fraction ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay ginanap: unang pagpaparami at paghahati, pagkatapos ay pagdaragdag at pagbabawas, at kung mayroong mga bracket, pagkatapos ay ang mga aksyon sa mga bracket ay isinasagawa muna.

Halimbawa.

Gumawa ng mga aksyon na may mga fraction .

Desisyon.

Una, ginagawa namin ang pagdaragdag ng mga fraction sa mga bracket, pagkatapos nito ay isasagawa namin ang pagpaparami:

Sagot:

Sa puntong ito, nananatiling sabihin nang malakas ang tatlong medyo halata, ngunit sa parehong oras mahahalagang punto:

Pag-convert ng mga expression gamit ang mga katangian ng logarithms

Kadalasan, ang pagbabago ng mga expression na may logarithms ay nagsasangkot ng paggamit ng mga pagkakakilanlan na nagpapahayag ng kahulugan ng logarithm at

Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi talaga ordinaryong numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Ang mga patakarang ito ay dapat malaman - kung wala ang mga ito, hindi isang seryoso problemang logarithmic. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may ang parehong mga batayan:log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. log a x+log a y= log a (x · y);
2. log a x−log a y= log a (x : y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Tandaan: mahalagang sandali dito - parehong batayan. Kung ang mga base ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin logarithmic expression kahit na hindi isinasaalang-alang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Batay sa katotohanang ito, marami mga test paper. Oo, ano ang kontrol - magkatulad na mga ekspresyon sa lahat ng kaseryosohan (minsan halos hindi nagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita iyon huling tuntunin sumusunod sa unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

[caption ng figure]

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meron kami:

[caption ng figure]

sa tingin ko huling halimbawa kailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa dulo huling sandali nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap nila ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay dumating upang iligtas. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaan itong ibigay logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

[caption ng figure]

Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha natin:

[caption ng figure]

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa karaniwan mga numerical expression. Posibleng suriin kung gaano sila maginhawa kapag nagpapasya logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponent. Kunin natin ang mga indicator: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

[caption ng figure]

Dahil hindi nagbabago ang produkto mula sa permutation ng mga salik, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay inisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

[caption ng figure]

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

[caption ng figure]

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n nagiging exponent ng argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyon ang tawag dito: basic pagkakakilanlan ng logarithmic.

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa kapangyarihan upang b sa lawak na ito ay nagbibigay ng isang numero a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

[caption ng figure]

Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

[caption ng figure]

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa pagsusulit :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.

1. log a a Ang = 1 ay ang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na ito mismo ay katumbas ng isa.
2. log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay isa - ang logarithm sero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang kinahinatnan ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

hango sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a tinukoy bilang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(umiiral lamang ang logarithm para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation ax=b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas kasama. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa ng kapangyarihan ng isang numero.

Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, maaari kang gumanap mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit sa pagtingin sa katotohanan na ang mga logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms.

Kumuha ng dalawang logarithms na may parehong base: log x at mag-log a y. Pagkatapos ay alisin posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + mag-log a x k.

Mula sa quotient logarithm theorems isa pang pag-aari ng logarithm ang maaaring makuha. Kilalang-kilala ang log na iyon a 1= 0, samakatuwid,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Kaya mayroong isang pagkakapantay-pantay:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithms ng dalawang magkatumbas na numero sa parehong batayan ay magkakaiba sa isa't isa lamang sa sign. Kaya:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm, graph, domain ng kahulugan, set ng mga halaga, mga pangunahing formula, derivative, integral, pagpapalawak sa serye ng kapangyarihan at kumakatawan sa function na ln x sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero.

Kahulugan

natural na logarithm ay ang function na y = sa x, kabaligtaran sa exponent, x \u003d e y , at alin ang logarithm sa base ng numerong e: ln x = log e x.

Ang natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika dahil ang derivative nito ay may pinakasimpleng anyo: (ln x)′ = 1/ x.

Batay mga kahulugan, ang base ng natural na logarithm ay ang numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Graph ng function na y = sa x.

Graph ng natural na logarithm (mga function y = sa x) ay nakuha mula sa exponent plot salamin repleksyon kamag-anak sa tuwid na linya y = x .

Ang natural na logarithm ay tinukoy sa mga positibong halaga variable x . Ito ay monotonically tumataas sa kanyang domain ng kahulugan.

Bilang x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( - ∞ ).

Bilang x → + ∞, ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Para sa malaking x, medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anuman function ng kapangyarihan Ang x a na may positibong exponent a ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa logarithm.

Mga katangian ng natural na logarithm

Domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba

Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

ln x na mga halaga

log 1 = 0

Mga pangunahing formula para sa natural na logarithms

Mga formula na nagmumula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Ang anumang logarithm ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natural na logarithms gamit ang base change formula:

Ang mga patunay ng mga formula na ito ay ipinakita sa seksyong "Logarithm".

Baliktad na pag-andar

Ang kapalit ng natural logarithm ay ang exponent.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon .

Derivative ln x

Derivative ng natural logarithm:
.
Derivative ng natural logarithm ng modulo x:
.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

integral

Ang integral ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi:
.
Kaya,

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang isang function ng isang kumplikadong variable z :
.
Ipahayag natin ang kumplikadong variable z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon kaming:
.
O kaya
.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay natin
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa magkaibang n.

Kaya natural na logarithm, bilang isang function ng isang kumplikadong variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Para sa , nagaganap ang pagpapalawak:

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Pagtuturo

Isulat ang ibinigay na logarithmic expression. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, ang notasyon nito ay pinaikli at ganito ang hitsura: lg b ay ang decimal logarithm. Kung ang logarithm ay may numerong e bilang batayan, ang expression ay nakasulat: ln b ay ang natural na logarithm. Nauunawaan na ang resulta ng alinman ay ang kapangyarihan kung saan ang batayang numero ay dapat na itaas upang makuha ang numero b.

Kapag naghahanap ng dalawang function mula sa kabuuan, kailangan mo lamang na ibahin ang mga ito nang paisa-isa, at idagdag ang mga resulta: (u+v)" = u"+v";

Kapag hinahanap ang derivative ng produkto ng dalawang function, kinakailangang i-multiply ang derivative ng unang function sa pangalawa at idagdag ang derivative ng pangalawang function, na pinarami ng unang function: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Upang mahanap ang derivative ng quotient ng dalawang function, kinakailangan, mula sa produkto ng derivative ng dibidendo na pinarami ng divisor function, upang ibawas ang produkto ng derivative ng divisor na pinarami ng divisor function, at hatiin lahat ng ito sa pamamagitan ng divisor function squared. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kung bibigyan kumplikadong pag-andar, kung gayon kinakailangan na i-multiply ang derivative ng panloob na pag-andar at ang derivative ng panlabas na isa. Hayaan ang y=u(v(x)), pagkatapos ay y"(x)=y"(u)*v"(x).

Gamit ang nakuha sa itaas, maaari mong iiba ang halos anumang function. Kaya tingnan natin ang ilang halimbawa:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Mayroon ding mga gawain para sa pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaang maibigay ang function na y=e^(x^2+6x+5), kailangan mong hanapin ang halaga ng function sa puntong x=1.
1) Hanapin ang derivative ng function: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kalkulahin ang halaga ng function sa ibinigay na punto y"(1)=8*e^0=8

Mga kaugnay na video

Nakatutulong na payo

Alamin ang talahanayan ng mga elementary derivatives. Makakatipid ito ng maraming oras.

Mga pinagmumulan:

• pare-parehong derivative

Kaya, ano ang pagkakaiba sa pagitan ng rational equation mula sa makatwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng sign parisukat na ugat, kung gayon ang equation ay itinuturing na hindi makatwiran.

Pagtuturo

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay ang paraan ng pagtaas ng magkabilang panig mga equation sa isang parisukat. Gayunpaman. ito ay natural, ang unang hakbang ay upang mapupuksa ang sign. Sa teknikal, ang pamamaraang ito ay hindi mahirap, ngunit kung minsan maaari itong humantong sa problema. Halimbawa, ang equation v(2x-5)=v(4x-7). Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig, makakakuha ka ng 2x-5=4x-7. Ang ganitong equation ay hindi mahirap lutasin; x=1. Ngunit ang numero 1 ay hindi ibibigay mga equation. Bakit? Palitan ang unit sa equation sa halip na ang x value. At ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na hindi makatwiran, ibig sabihin. Ang nasabing halaga ay hindi wasto para sa isang square root. Samakatuwid 1 ay isang extraneous na ugat, at samakatuwid ibinigay na equation walang ugat.

Kaya, hindi makatwirang equation ay nalutas gamit ang paraan ng pag-squaring sa magkabilang bahagi nito. At pagkakaroon ng malutas ang equation, ito ay kinakailangan upang putulin mga panlabas na ugat. Upang gawin ito, palitan ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.

Isaalang-alang ang isa pa.
2x+vx-3=0
Siyempre, ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong equation tulad ng nauna. Ilipat ang mga Compound mga equation, na walang square root, kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang paraan ng pag-squaring. lutasin ang nagresultang rational equation at mga ugat. Pero isa pa, mas elegante. Magpasok ng bagong variable; vx=y. Alinsunod dito, makakakuha ka ng isang equation tulad ng 2y2+y-3=0. Iyon ay, ang karaniwan quadratic equation. Hanapin ang mga ugat nito; y1=1 at y2=-3/2. Susunod, lutasin ang dalawa mga equation vx=1; vx \u003d -3/2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, mula sa una ay makikita natin na x=1. Huwag kalimutan ang tungkol sa pangangailangan na suriin ang mga ugat.

Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay medyo madali. Ito ay nangangailangan ng paggawa magkaparehong pagbabago hanggang sa maabot ang target. Kaya, sa tulong ng simple mga operasyon sa aritmetika ang gawain ay malulutas.

Kakailanganin mong

• - papel;
• - panulat.

Pagtuturo

Ang pinakasimpleng mga pagbabagong ito ay ang algebraic abbreviated multiplications (tulad ng parisukat ng kabuuan (pagkakaiba), ang pagkakaiba ng mga parisukat, ang kabuuan (pagkakaiba), ang kubo ng kabuuan (pagkakaiba)). Bilang karagdagan, mayroong maraming mga formula ng trigonometriko, na mahalagang magkaparehong pagkakakilanlan.

Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang termino ay katumbas ng parisukat ng unang plus dalawang beses ang produkto ng una at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawa, i.e. (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.

Pasimplehin Pareho

Pangkalahatang mga prinsipyo ng solusyon

Ulitin ang aklat-aralin pagsusuri sa matematika o mas mataas na matematika, na isang tiyak na integral. Tulad ng alam mo, ang solusyon tiyak na integral may function na ang derivative ay magbibigay ng integrand. Ang function na ito ay tinatawag na primitive. Ayon sa prinsipyong ito, ang mga pangunahing integral ay itinayo.
Tukuyin ayon sa uri integrand, alin sa mga integral ng talahanayan umaangkop sa kasong ito. Hindi laging posible na matukoy ito kaagad. Kadalasan, ang tabular form ay nagiging kapansin-pansin lamang pagkatapos ng ilang pagbabago upang gawing simple ang integrand.

Paraan ng pagpapalit ng variable

Kung ang integrand ay trigonometriko function, na ang argumento ay ilang polynomial, pagkatapos ay subukang gamitin ang variable na paraan ng pagpapalit. Upang gawin ito, palitan ang polynomial sa argument ng integrand ng ilang bagong variable. Batay sa ratio sa pagitan ng bago at lumang variable, tukuyin ang mga bagong limitasyon ng pagsasama. Pagkakaiba-iba ibinigay na pagpapahayag hanapin ang bagong kaugalian sa . Sa gayon ay matatanggap mo ang bagong uri ang dating integral, malapit o katumbas ng alinmang tabular.

Solusyon ng mga integral ng pangalawang uri

Kung ang integral ay integral ng pangalawang uri, ang vector form ng integrand, kakailanganin mong gamitin ang mga patakaran para sa paglipat mula sa mga integral na ito patungo sa mga scalar. Ang isang naturang panuntunan ay ang ratio ng Ostrogradsky-Gauss. Ang batas na ito nagbibigay-daan sa pagpasa mula sa daloy ng rotor ng ilang function ng vector sa isang triple integral sa divergence ng isang ibinigay na field ng vector.

Pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama

Matapos mahanap ang antiderivative, kinakailangan na palitan ang mga limitasyon ng pagsasama. Una, palitan ang halaga ng pinakamataas na limitasyon sa expression para sa antiderivative. Makakatanggap ka ng ilang numero. Susunod, ibawas mula sa resultang numero ang isa pang numero, ang nagresultang mas mababang limitasyon sa antiderivative. Kung ang isa sa mga limitasyon sa pagsasama ay infinity, pagkatapos ay palitan ito sa antiderivative function ito ay kinakailangan upang pumunta sa limitasyon at hanapin kung ano ang expression ay may gawi.
Kung ang integral ay two-dimensional o three-dimensional, kakailanganin mong kumatawan sa mga geometric na limitasyon ng integration upang maunawaan kung paano kalkulahin ang integral. Sa katunayan, sa kaso ng, sabihin nating, isang three-dimensional na integral, ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mga buong eroplano na naglilimita sa volume na isasama.