Pagpaparami ordinaryong fraction

Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Hayaang mayroong $\frac(1)(3)$ na bahagi ng mansanas sa plato. Kailangan nating hanapin ang $\frac(1)(2)$ na bahagi nito. Ang kinakailangang bahagi ay ang resulta ng pagpaparami ng mga fraction na $\frac(1)(3)$ at $\frac(1)(2)$. Ang resulta ng pagpaparami ng dalawang karaniwang fraction ay isang karaniwang fraction.

Pagpaparami ng dalawang karaniwang fraction

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction:

Ang resulta ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction ay isang fraction na ang numerator ay ay katumbas ng produkto numerator ng multiplied fractions, at ang denominator ay katumbas ng produkto ng mga denominator:

Halimbawa 1

I-multiply ang mga ordinaryong fraction na $\frac(3)(7)$ at $\frac(5)(11)$.

Desisyon.

Gamitin natin ang panuntunan ng pagpaparami ng mga ordinaryong fraction:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Sagot:$\frac(15)(77)$

Kung bilang resulta ng pagpaparami ng mga fraction ay nakuha ang isang nakansela o hindi wastong fraction, kung gayon kinakailangan na gawing simple ito.

Halimbawa 2

I-multiply ang mga fraction na $\frac(3)(8)$ at $\frac(1)(9)$.

Desisyon.

Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Bilang resulta, nakakuha kami ng reducible fraction (batay sa paghahati ng $3$. Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa $3$, makuha namin ang:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Maikling solusyon:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Sagot:$\frac(1)(24).$

Kapag nagpaparami ng mga fraction, maaari mong bawasan ang mga numerator at denominator upang mahanap ang kanilang produkto. Sa kasong ito, ang numerator at denominator ng fraction ay nabubulok sa pangunahing mga kadahilanan, pagkatapos kung saan ang paulit-ulit na mga kadahilanan ay nabawasan at ang resulta ay natagpuan.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang produkto ng mga fraction na $\frac(6)(75)$ at $\frac(15)(24)$.

Desisyon.

Gamitin natin ang formula para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Malinaw, ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga numero na maaaring bawasan sa mga pares ng mga numerong $2$, $3$ at $5$. Binubulok namin ang numerator at denominator sa mga simpleng salik at ginagawa ang pagbawas:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Sagot:$\frac(1)(20).$

Kapag nagpaparami ng mga fraction, maaari mong gamitin batas ng displacement:

Pagpaparami ng fraction sa natural na numero

Ang panuntunan para sa pagpaparami ng ordinaryong fraction sa natural na numero:

Ang resulta ng pagpaparami ng fraction sa natural na numero ay isang fraction kung saan ang numerator ay katumbas ng produkto ng numerator ng multiplied na fraction sa natural na numero, at ang denominator ay katumbas ng denominator ng multiplied fraction:

kung saan ang $\frac(a)(b)$ ay isang karaniwang fraction, ang $n$ ay isang natural na numero.

Halimbawa 4

I-multiply ang fraction na $\frac(3)(17)$ sa $4$.

Desisyon.

Gamitin natin ang panuntunan ng pagpaparami ng ordinaryong fraction sa natural na numero:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Sagot:$\frac(12)(17).$

Huwag kalimutan ang tungkol sa pagsuri sa resulta ng multiplikasyon para sa contractibility ng isang fraction o kung hindi wastong fraction.

Halimbawa 5

I-multiply ang fraction na $\frac(7)(15)$ sa $3$.

Desisyon.

Gamitin natin ang formula para sa pagpaparami ng fraction sa natural na numero:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Sa pamamagitan ng criterion ng paghahati sa pamamagitan ng bilang na $3$), matutukoy na ang resultang fraction ay maaaring bawasan:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Ang resulta ay isang hindi tamang bahagi. Kunin natin ang buong bahagi:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Maikling solusyon:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Posible rin na bawasan ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numero sa numerator at denominator ng mga pagpapalawak ng mga ito sa prime factor. Sa kasong ito, ang solusyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Sagot:$1\frac(2)(5).$

Kapag nagpaparami ng fraction sa natural na numero, maaari mong gamitin ang commutative law:

Dibisyon ng mga ordinaryong fraction

Ang operasyon ng paghahati ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon at ang resulta nito ay isang fraction, kung saan kailangan mong i-multiply ang isang kilalang fraction upang makakuha ng sikat na gawain dalawang fraction.

Dibisyon ng dalawang karaniwang fraction

Ang panuntunan para sa paghahati ng mga ordinaryong fraction: Malinaw, ang numerator at denominator ng resultang fraction ay maaaring mabulok sa mga simpleng salik at mabawasan:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Bilang resulta, nakakuha kami ng hindi wastong fraction, kung saan pipiliin namin ang integer na bahagi:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Sagot:$1\frac(5)(9).$

Sa kurso ng average at mataas na paaralan Ang mga mag-aaral ay dumaan sa paksang "Mga Fraction". Gayunpaman, ang konseptong ito ay mas malawak kaysa sa ibinigay sa proseso ng pag-aaral. Ngayon, ang konsepto ng isang fraction ay madalas na nakatagpo, at hindi lahat ay maaaring kalkulahin ang anumang expression, halimbawa, multiply fractions.

Ano ang isang fraction?

Nangyari ito sa kasaysayan na lumitaw ang mga fractional na numero dahil sa pangangailangang sukatin. Tulad ng ipinapakita ng pagsasanay, madalas na may mga halimbawa para sa pagtukoy sa haba ng isang segment, ang dami ng isang parihaba na parihaba.

Sa una, ang mga mag-aaral ay ipinakilala sa isang konsepto bilang isang pagbabahagi. Halimbawa, kung hahatiin mo ang isang pakwan sa 8 bahagi, ang bawat isa ay makakakuha ng isang-ikawalo ng isang pakwan. Ang isang bahagi ng walo ay tinatawag na bahagi.

Ang isang bahagi na katumbas ng ½ ng anumang halaga ay tinatawag na kalahati; ⅓ - pangatlo; ¼ - isang quarter. Ang mga entry tulad ng 5/8, 4/5, 2/4 ay tinatawag na mga karaniwang fraction. Ang ordinaryong fraction ay nahahati sa numerator at denominator. Sa pagitan ng mga ito ay isang fractional line, o fractional line. Ang isang fractional bar ay maaaring iguhit bilang alinman sa isang pahalang o isang slanted na linya. AT kasong ito ito ay kumakatawan sa tanda ng dibisyon.

Ang denominator ay kumakatawan sa kung gaano karaming pantay na pagbabahagi ng halaga, ang bagay ay nahahati sa; at ang numerator ay kung gaano karaming pantay na bahagi ang kinuha. Ang numerator ay nakasulat sa itaas ng fractional bar, ang denominator sa ibaba nito.

Ito ay pinaka-maginhawa upang ipakita ang mga ordinaryong fraction sa coordinate beam. Kung ang isang segment ay nahahati sa 4 na pantay na bahagi, italaga ang bawat bahagi Latin na titik, pagkatapos bilang isang resulta maaari kang makakuha ng isang mahusay biswal na materyal. Kaya, ang point A ay nagpapakita ng bahagi na katumbas ng 1/4 ng buong unit segment, at ang point B ay nagmamarka ng 2/8 ng segment na ito.

Mga uri ng fraction

Ang mga fraction ay karaniwan, desimal, at halo-halong mga numero. Bilang karagdagan, ang mga praksiyon ay maaaring hatiin sa wasto at hindi wasto. Ang pag-uuri na ito ay mas angkop para sa mga ordinaryong fraction.

Ang wastong fraction ay isang numero na ang numerator mas mababa sa denominator. Alinsunod dito, ang improper fraction ay isang numero na ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator. Ang pangalawang uri ay karaniwang isinusulat bilang isang halo-halong numero. Ang nasabing expression ay binubuo ng isang integer na bahagi at isang fractional na bahagi. Halimbawa, 1½. isa - buong bahagi, ½ - fractional. Gayunpaman, kung kailangan mong magsagawa ng ilang manipulasyon gamit ang expression (paghahati o pagpaparami ng mga fraction, pagbabawas o pag-convert sa mga ito), ang pinaghalong numero ay iko-convert sa isang hindi tamang fraction.

Ang tamang fractional expression ay palaging mas mababa sa isa, at hindi tama - mas malaki sa o katumbas ng 1.

Tulad ng para sa expression na ito, naiintindihan nila ang isang talaan kung saan ang anumang numero ay kinakatawan, ang denominator ng fractional na expression na maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isa na may ilang mga zero. Kung tama ang fraction, kung gayon ang buong bahagi sa decimal notation ay magiging katumbas ng zero.

Upang magsulat ng decimal, kailangan mo munang isulat ang integer na bahagi, paghiwalayin ito mula sa fractional gamit ang isang kuwit, at pagkatapos ay isulat ang fractional expression. Dapat tandaan na pagkatapos ng kuwit ang numerator ay dapat maglaman ng kasing dami ng mga numeric na character na may mga zero sa denominator.

Halimbawa. Katawan ang fraction 7 21 / 1000 sa decimal notation.

Algorithm para sa pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number at vice versa

Hindi tama na isulat ang isang hindi wastong bahagi sa sagot ng problema, kaya dapat itong i-convert sa isang halo-halong numero:

• hatiin ang numerator sa umiiral na denominator;
• sa tiyak na halimbawa incomplete quotient - buo;
• at ang natitira ay ang numerator ng fractional na bahagi, na ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.

Halimbawa. I-convert ang improper fraction sa mixed number: 47 / 5 .

Desisyon. 47: 5. Ang hindi kumpletong kusyente ay 9, ang natitira = 2. Samakatuwid, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Minsan kailangan mong katawanin ang isang halo-halong numero bilang isang hindi tamang fraction. Pagkatapos ay kailangan mong gamitin ang sumusunod na algorithm:

• ang integer na bahagi ay pinarami ng denominator ng fractional expression;
• ang nagresultang produkto ay idinagdag sa numerator;
• ang resulta ay nakasulat sa numerator, ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.

Halimbawa. Kinakatawan ang isang numero sa halo-halong anyo bilang di-wastong bahagi: 9 8 / 10 .

Desisyon. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ang numerator.

Sagot: 98 / 10.

Pagpaparami ng mga ordinaryong fraction

Maaari kang magsagawa ng iba't ibang algebraic na operasyon sa mga ordinaryong fraction. Upang i-multiply ang dalawang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator. Bukod dito, ang pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominador ay hindi naiiba sa produkto ng mga fractional na numero na may parehong denominador.

Nangyayari na pagkatapos mahanap ang resulta, kailangan mong bawasan ang bahagi. AT walang sablay ang resultang expression ay dapat na gawing simple hangga't maaari. Siyempre, hindi masasabing isang pagkakamali ang improper fraction sa sagot, ngunit mahirap ding tawagin itong tamang sagot.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng dalawang ordinaryong fraction: ½ at 20/18.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, pagkatapos mahanap ang produkto, ang isang reducible fractional notation ay nakuha. Parehong ang numerator at ang denominator sa kasong ito ay nahahati sa 4, at ang resulta ay ang sagot na 5/9.

Pagpaparami ng mga decimal fraction

Ang produkto ng mga decimal fraction ay medyo naiiba sa produkto ng mga ordinaryong fraction sa prinsipyo nito. Kaya, ang pagpaparami ng mga fraction ay ang mga sumusunod:

• dalawang decimal fraction ay dapat na nakasulat sa ilalim ng bawat isa upang ang pinakakanang mga digit ay isa sa ilalim ng isa;
• kailangan mong i-multiply ang mga nakasulat na numero, sa kabila ng mga kuwit, iyon ay, bilang natural na mga numero;
• bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng kuwit sa bawat isa sa mga numero;
• sa resulta na nakuha pagkatapos ng multiplikasyon, kailangan mong bilangin ang bilang ng maraming mga digital na character sa kanan na nilalaman sa kabuuan sa parehong mga kadahilanan pagkatapos ng decimal point, at maglagay ng separating sign;
• kung may mas kaunting mga digit sa produkto, napakaraming mga zero ang dapat isulat sa harap ng mga ito upang masakop ang numerong ito, maglagay ng kuwit at magtalaga ng bahaging integer na katumbas ng zero.

Halimbawa. Kalkulahin ang produkto ng dalawang decimal: 2.25 at 3.6.

Desisyon.

Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction

Upang kalkulahin ang produkto ng dalawa pinaghalong fraction, kailangan mong gamitin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction:

• i-convert ang mga pinaghalong numero sa hindi wastong mga fraction;
• hanapin ang produkto ng mga numerator;
• hanapin ang produkto ng mga denominador;
• isulat ang resulta;
• pasimplehin ang expression hangga't maaari.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 4½ at 6 2/5.

Pagpaparami ng numero sa isang fraction (mga fraction sa isang numero)

Bilang karagdagan sa paghahanap ng produkto ng dalawang fraction, halo-halong mga numero, may mga gawain kung saan kailangan mong i-multiply sa isang fraction.

Kaya, upang mahanap ang trabaho decimal fraction at isang natural na numero, kailangan mo:

• isulat ang numero sa ilalim ng fraction upang ang pinakakanang mga digit ay isa sa itaas ng isa;
• hanapin ang trabaho, sa kabila ng kuwit;
• sa resultang nakuha, paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang kuwit, binibilang sa kanan ang bilang ng mga character na kasunod ng decimal point sa fraction.

Upang i-multiply ang isang ordinaryong fraction sa isang numero, dapat mong hanapin ang produkto ng numerator at ang natural na kadahilanan. Kung ang sagot ay isang reducible fraction, dapat itong i-convert.

Halimbawa. Kalkulahin ang produkto ng 5 / 8 at 12.

Desisyon. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Sagot: 7 1 / 2.

Tulad ng nakikita mo mula sa nakaraang halimbawa, kinakailangan upang bawasan ang resultang resulta at i-convert ang maling fractional expression sa isang halo-halong numero.

Gayundin, ang pagpaparami ng mga praksiyon ay nalalapat din sa paghahanap ng produkto ng isang numero sa magkahalong anyo at isang natural na salik. Upang i-multiply ang dalawang numerong ito, dapat mong i-multiply ang integer na bahagi ng mixed factor sa numero, i-multiply ang numerator sa parehong halaga, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Kung kinakailangan, kailangan mong gawing simple ang resulta hangga't maaari.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 9 5/6 at 9.

Desisyon. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Sagot: 88 1 / 2.

Multiplikasyon sa pamamagitan ng mga salik 10, 100, 1000 o 0.1; 0.01; 0.001

Ito ay sumusunod mula sa nakaraang talata susunod na tuntunin. Upang i-multiply ang isang decimal fraction sa 10, 100, 1000, 10000, atbp., kailangan mong ilipat ang kuwit sa kanan ng kasing dami ng mga digit na character dahil may mga zero sa multiplier pagkatapos ng isa.

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng 0.065 at 1000.

Desisyon. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

Sagot: 65.

Halimbawa 2. Hanapin ang produkto ng 3.9 at 1000.

Desisyon. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

Sagot: 3900.

Kung kailangan mong i-multiply ang isang natural na numero at 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001, atbp., dapat mong ilipat ang kuwit sa kaliwa sa resultang produkto ng kasing dami ng mga digit na character dahil may mga zero bago ang isa. Kung kinakailangan, ang isang sapat na bilang ng mga zero ay nakasulat sa harap ng isang natural na numero.

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng 56 at 0.01.

Desisyon. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

Sagot: 0,56.

Halimbawa 2. Hanapin ang produkto ng 4 at 0.001.

Desisyon. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

Sagot: 0,004.

Kaya, paghahanap ng produkto iba't ibang fraction hindi dapat maging sanhi ng mga paghihirap, maliban sa pagkalkula ng resulta; Sa kasong ito, hindi mo magagawa nang walang calculator.

§ 87. Pagdaragdag ng mga fraction.

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may maraming pagkakatulad sa pagdaragdag ng mga integer. Ang pagdaragdag ng mga fraction ay isang aksyon na binubuo sa katotohanan na ang ilang ibinigay na mga numero (mga termino) ay pinagsama sa isang numero (kabuuan), na naglalaman ng lahat ng mga yunit at mga fraction ng mga yunit ng mga termino.

Isasaalang-alang namin ang tatlong mga kaso nang magkakasunod:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.
3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: 1 / 5 + 2 / 5 .

Kunin ang segment na AB (Larawan 17), kunin ito bilang isang yunit at hatiin sa 5 pantay na bahagi, ang bahaging AC ng segment na ito ay magiging katumbas ng 1/5 ng segment AB, at ang bahagi ng parehong segment na CD ay magiging katumbas ng 2/5 AB.

Makikita mula sa pagguhit na kung kukunin natin ang segment na AD, kung gayon ito ay magiging katumbas ng 3/5 AB; ngunit ang segment AD ay tiyak na kabuuan ng mga segment na AC at CD. Kaya, maaari tayong sumulat:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Isinasaalang-alang ang mga terminong ito at ang nagresultang halaga, nakikita natin na ang numerator ng kabuuan ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numerator ng mga termino, at ang denominator ay nanatiling hindi nagbabago.

Mula dito nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan: Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, dapat mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.

Magdagdag tayo ng mga fraction: 3/4 + 3/8 Una kailangan nilang bawasan sa pinakamababang common denominator:

Nasa pagitan 6 / 8 + 3 / 8 ay hindi maisulat; isinulat namin ito dito para sa higit na kalinawan.

Kaya, para magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamababang common denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at lagdaan karaniwang denominador.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ( karagdagang multiplier isusulat namin ang mga katumbas na fraction):

3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

Idagdag natin ang mga numero: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Dalhin muna natin ang mga fractional na bahagi ng ating mga numero sa isang common denominator at muling isulat ang mga ito:

Ngayon idagdag ang integer at fractional na mga bahagi sa pagkakasunud-sunod:

§ 88. Pagbabawas ng mga fraction.

Ang pagbabawas ng mga fraction ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng pagbabawas ng mga buong numero. Ito ay isang aksyon kung saan, dahil sa kabuuan ng dalawang termino at isa sa mga ito, isa pang termino ang matatagpuan. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso nang magkakasunod:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.
3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

13 / 15 - 4 / 15

Kunin natin ang segment na AB (Larawan 18), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 15 pantay na bahagi; pagkatapos ay ang AC na bahagi ng segment na ito ay magiging 1/15 ng AB, at ang AD na bahagi ng parehong segment ay tumutugma sa 13/15 AB. Itabi natin ang isa pang segment na ED, katumbas ng 4/15 AB.

Kailangan nating ibawas ang 4/15 sa 13/15. Sa pagguhit, nangangahulugan ito na ang segment na ED ay dapat ibawas sa segment na AD. Bilang resulta, mananatili ang segment na AE, na 9/15 ng segment AB. Kaya maaari nating isulat:

Ang halimbawang ginawa namin ay nagpapakita na ang numerator ng pagkakaiba ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga numerator, at ang denominator ay nanatiling pareho.

Samakatuwid, upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at iwanan ang parehong denominator.

2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.

Halimbawa. 3/4 - 5/8

Una, bawasan natin ang mga fraction na ito sa pinakamaliit na common denominator:

Ang intermediate link 6 / 8 - 5 / 8 ay nakasulat dito para sa kalinawan, ngunit maaari itong laktawan sa hinaharap.

Kaya, upang ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamaliit na common denominator, pagkatapos ay ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at lagdaan ang common denominator sa ilalim ng kanilang pagkakaiba.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

Halimbawa. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Dalhin natin ang mga fractional na bahagi ng minuend at ang subtrahend sa pinakamababang common denominator:

Nagbawas kami ng isang buo sa isang buo at isang fraction sa isang fraction. Ngunit may mga kaso kapag ang fractional na bahagi ng subtrahend ay mas malaki kaysa sa fractional na bahagi ng minuend. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong kumuha ng isang unit mula sa integer na bahagi ng minuend, hatiin ito sa mga bahagi kung saan ipinahayag ang fractional na bahagi, at idagdag sa fractional na bahagi ng minuend. At pagkatapos ang pagbabawas ay isasagawa sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang halimbawa:

§ 89. Pagpaparami ng mga fraction.

Kapag pinag-aaralan ang multiplikasyon ng mga fraction, isasaalang-alang natin mga susunod na tanong:

1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.
2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero.
3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.
4. Pagpaparami ng fraction sa fraction.
5. Pagpaparami ng magkahalong numero.
6. Ang konsepto ng interes.
7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero. Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.

Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay may parehong kahulugan sa pagpaparami ng isang integer sa isang integer. Ang pagpaparami ng fraction (multiplicand) sa isang integer (multiplier) ay nangangahulugan ng pagbubuo ng kabuuan ng magkaparehong termino, kung saan ang bawat termino ay katumbas ng multiplicand, at ang bilang ng mga termino ay katumbas ng multiplier.

Kaya, kung kailangan mong i-multiply ang 1/9 sa 7, maaari itong gawin tulad nito:

Madali naming nakuha ang resulta, dahil ang aksyon ay nabawasan sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Kaya naman,

Ang pagsasaalang-alang sa pagkilos na ito ay nagpapakita na ang pag-multiply ng isang fraction sa isang integer ay katumbas ng pagtaas ng fraction na ito nang kasing dami ng may mga unit sa integer. At dahil ang pagtaas sa fraction ay nakakamit alinman sa pamamagitan ng pagtaas ng numerator nito

o sa pamamagitan ng pagpapababa ng denominator nito , pagkatapos ay maaari nating i-multiply ang numerator sa pamamagitan ng integer, o hatiin ang denominator nito, kung posible ang gayong dibisyon.

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong i-multiply ang numerator sa integer na ito at iwanan ang parehong denominator o, kung maaari, hatiin ang denominator sa numerong ito, na iniiwan ang numerator na hindi nagbabago.

Kapag nagpaparami, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero. Mayroong maraming mga problema kung saan kailangan mong hanapin, o kalkulahin, ang isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga gawaing ito at iba pa ay binibigyan nila ang bilang ng ilang mga bagay o yunit ng pagsukat at kailangan mong hanapin ang isang bahagi ng numerong ito, na ipinahiwatig din dito ng isang tiyak na bahagi. Upang mapadali ang pag-unawa, magbibigay muna kami ng mga halimbawa ng gayong mga problema, at pagkatapos ay ipakilala ang paraan ng paglutas ng mga ito.

Gawain 1. Mayroon akong 60 rubles; 1 / 3 nitong perang ginastos ko sa pagbili ng mga libro. Magkano ang halaga ng mga libro?

Gawain 2. Dapat saklawin ng tren ang distansya sa pagitan ng mga lungsod A at B, katumbas ng 300 km. Nasaklaw na niya ang 2/3 ng distansyang iyon. Ilang kilometro ito?

Gawain 3. Mayroong 400 na bahay sa nayon, 3/4 ng mga ito ay ladrilyo, ang iba ay kahoy. Ilang brick house ang mayroon?

Narito ang ilan sa maraming problema na kailangan nating harapin upang makahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na mga problema para sa paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero.

Solusyon sa problema 1. Mula sa 60 rubles. Gumastos ako ng 1 / 3 sa mga libro; Kaya, upang mahanap ang halaga ng mga libro, kailangan mong hatiin ang numero 60 sa 3:

Problema 2 solusyon. Ang kahulugan ng problema ay kailangan mong makahanap ng 2 / 3 ng 300 km. Kalkulahin ang unang 1/3 ng 300; ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paghahati ng 300 km sa 3:

300: 3 = 100 (1/3 iyon ng 300).

Upang makahanap ng dalawang-katlo ng 300, kailangan mong i-double ang resultang quotient, iyon ay, i-multiply sa 2:

100 x 2 = 200 (2/3 iyon ng 300).

Solusyon sa problema 3. Dito kailangan mong matukoy ang bilang ng mga brick house, na 3/4 ng 400. Hanapin muna natin ang 1/4 ng 400,

400: 4 = 100 (1/4 iyon ng 400).

Para sa pagkalkula ng tatlo quarters mula sa 400, ang resultang quotient ay dapat na triple, iyon ay, i-multiply sa 3:

100 x 3 = 300 (3/4 iyon ng 400).

Batay sa solusyon ng mga problemang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na panuntunan:

Upang mahanap ang halaga ng isang fraction mula sa isang naibigay na numero, kailangan mong hatiin ang numerong ito sa denominator ng fraction at i-multiply ang resultang quotient sa numerator nito.

3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.

Mas maaga (§ 26) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng mga integer ay dapat na maunawaan bilang ang pagdaragdag ng magkaparehong mga termino (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Sa talatang ito (talata 1) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino na katumbas ng fraction na ito.

Sa parehong mga kaso, ang multiplikasyon ay binubuo sa paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino.

Ngayon ay nagpapatuloy tayo sa pagpaparami ng isang buong numero sa isang fraction. Dito ay makikilala natin ang tulad, halimbawa, pagpaparami: 9 2 / 3. Ito ay lubos na halata na ang nakaraang kahulugan ng multiplikasyon ay hindi naaangkop sa kasong ito. Ito ay maliwanag sa katotohanan na hindi natin mapapalitan ang naturang multiplikasyon sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pantay na mga numero.

Dahil dito, kailangan nating magbigay ng bagong kahulugan ng multiplikasyon, ibig sabihin, sa madaling salita, upang masagot ang tanong kung ano ang dapat na maunawaan ng multiplikasyon sa isang fraction, kung paano dapat maunawaan ang pagkilos na ito.

Ang kahulugan ng pagpaparami ng integer sa isang fraction ay malinaw mula sa sumusunod na kahulugan: upang i-multiply ang isang integer (multiplier) sa isang fraction (multiplier) ay nangangahulugan na mahanap ang fraction na ito ng multiplier.

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 9 sa 2/3 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 2/3 ng siyam na yunit. Sa nakaraang talata, nalutas ang mga naturang problema; kaya madaling malaman na napupunta tayo sa 6.

Ngunit ngayon ay may isang kawili-wili at mahalagang tanong: bakit sa unang tingin iba't ibang aktibidad paano hanapin ang kabuuan pantay na mga numero at ang paghahanap ng fraction ng isang numero, sa arithmetic ay tinatawag na parehong salitang "multiplication"?

Nangyayari ito dahil ang nakaraang aksyon (pag-uulit ng isang numero na may mga termino ng ilang beses) at isang bagong aksyon (paghanap ng isang bahagi ng isang numero) ay nagbibigay ng sagot sa magkakatulad na mga tanong. Nangangahulugan ito na nagpapatuloy tayo dito mula sa mga pagsasaalang-alang na ang mga homogenous na tanong o gawain ay nalutas sa pamamagitan ng isa at parehong aksyon.

Upang maunawaan ito, isaalang-alang ang sumusunod na problema: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng mga metro (4), i.e. 50 x 4 = 200 (rubles).

Kunin natin ang parehong problema, ngunit sa loob nito ang halaga ng tela ay ipapahayag bilang isang fractional na numero: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 3/4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay kailangan ding lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng metro (3/4).

Maaari mo ring baguhin ang mga numero sa loob nito nang maraming beses nang hindi binabago ang kahulugan ng problema, halimbawa, kumuha ng 9/10 m o 2 3/10 m, atbp.

Dahil ang mga problemang ito ay may parehong nilalaman at naiiba lamang sa mga numero, tinatawag namin ang mga aksyon na ginamit sa paglutas sa kanila ng parehong salita - multiplikasyon.

Paano na-multiply ang isang buong bilang sa isang fraction?

Kunin natin ang mga numerong nakatagpo sa huling problema:

Ayon sa kahulugan, dapat nating hanapin ang 3 / 4 ng 50. Una ay makikita natin ang 1 / 4 ng 50, at pagkatapos ay 3 / 4.

1/4 ng 50 ay 50/4;

3/4 ng 50 ay .

Kaya naman.

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: 12 5 / 8 = ?

1/8 ng 12 ay 12/8,

Ang 5/8 ng bilang na 12 ay .

Kaya naman,

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer sa numerator ng fraction at gawing numerator ang produktong ito, at lagdaan ang denominator ng ibinigay na fraction bilang denominator.

Isinulat namin ang panuntunang ito gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa pagpaparami ng numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38

Dapat tandaan na bago magsagawa ng multiplikasyon, dapat mong gawin (kung maaari) mga hiwa, Halimbawa:

4. Pagpaparami ng fraction sa fraction. Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction ay may parehong kahulugan tulad ng pagpaparami ng isang integer sa isang fraction, iyon ay, kapag nagpaparami ng isang fraction sa isang fraction, kailangan mong hanapin ang fraction sa multiplier mula sa unang fraction (multiplier).

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 3/4 sa 1/2 (kalahati) ay nangangahulugan ng paghahanap ng kalahati ng 3/4.

Paano mo i-multiply ang isang fraction sa isang fraction?

Kumuha tayo ng isang halimbawa: 3/4 beses 5/7. Nangangahulugan ito na kailangan mong hanapin ang 5 / 7 mula sa 3 / 4 . Hanapin ang unang 1/7 ng 3/4 at pagkatapos ay 5/7

Ang 1/7 ng 3/4 ay ipapahayag nang ganito:

Ang 5 / 7 na mga numero 3 / 4 ay ihahayag tulad ng sumusunod:

kaya,

Isa pang halimbawa: 5/8 beses 4/9.

1/9 ng 5/8 ay ,

4/9 bilang 5/8 ay .

kaya,

Mula sa mga halimbawang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawang produkto ang denominator ng produkto.

Ito ang panuntunan sa pangkalahatang pananaw maaaring isulat na ganito:

Kapag nagpaparami, kinakailangan na gumawa (kung maaari) mga pagbawas. Isaalang-alang ang mga halimbawa:

5. Pagpaparami ng magkahalong numero. Dahil ang mga pinaghalong numero ay madaling mapapalitan ng mga hindi wastong fraction, ang sitwasyong ito ay karaniwang ginagamit kapag nagpaparami ng mga pinaghalong numero. Nangangahulugan ito na sa mga kasong iyon kung saan ang multiplier, o ang factor, o ang parehong mga kadahilanan ay ipinahayag magkahalong numero, pagkatapos ay papalitan sila ng mga hindi wastong fraction. Multiply, halimbawa, mixed number: 2 1/2 at 3 1/5. Ginagawa namin ang bawat isa sa kanila sa isang hindi wastong fraction at pagkatapos ay i-multiply namin ang mga resultang fraction ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction:

Panuntunan. Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction.

Tandaan. Kung ang isa sa mga kadahilanan ay isang integer, kung gayon ang pagpaparami ay maaaring isagawa batay sa batas ng pamamahagi tulad ng sumusunod:

6. Ang konsepto ng interes. Kapag nilulutas ang mga problema at kapag nagsasagawa ng iba't ibang praktikal na kalkulasyon, ginagamit namin ang lahat ng uri ng mga fraction. Ngunit dapat isaisip ng isang tao na maraming dami ang umamin hindi anuman, ngunit natural na mga subdibisyon para sa kanila. Halimbawa, maaari kang kumuha ng isang daan (1/100) ng isang ruble, ito ay magiging isang sentimos, dalawang daan ay 2 kopecks, tatlong daan ay 3 kopecks. Maaari kang kumuha ng 1/10 ng ruble, ito ay magiging "10 kopecks, o isang dime. Maaari kang kumuha ng isang-kapat ng ruble, i.e. 25 kopecks, kalahating ruble, i.e. 50 kopecks (limampung kopecks). Ngunit sila ay halos don. 't kumuha, halimbawa, 2/7 rubles dahil ang ruble ay hindi nahahati sa ikapitong bahagi.

Ang yunit ng pagsukat para sa timbang, ibig sabihin, ang kilo, ay nagbibigay-daan, una sa lahat, ng mga decimal subdivision, halimbawa, 1/10 kg, o 100 g. At ang mga fraction ng isang kilo bilang 1/6, 1/11, 1/ 13 ay hindi karaniwan.

Sa pangkalahatan ang aming (metric) na mga sukat ay decimal at pinapayagan ang mga decimal subdivision.

Gayunpaman, dapat tandaan na ito ay lubhang kapaki-pakinabang at maginhawa sa isang malawak na iba't ibang mga kaso upang gamitin ang parehong (unipormeng) paraan ng subdividing dami. Ipinakita ng maraming taon ng karanasan na ang gayong mahusay na katwiran na dibisyon ay ang "daan-daang" dibisyon. Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa na nauugnay sa mga pinaka-magkakaibang lugar ng kasanayan ng tao.

1. Ang presyo ng mga aklat ay bumaba ng 12/100 ng nakaraang presyo.

Halimbawa. Ang nakaraang presyo ng libro ay 10 rubles. Bumaba siya ng 1 ruble. 20 kop.

2. Ang mga savings bank ay nagbabayad sa taon sa mga depositor ng 2/100 ng halaga na inilalagay sa mga ipon.

Halimbawa. Ang 500 rubles ay inilalagay sa cash desk, ang kita mula sa halagang ito para sa taon ay 10 rubles.

3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5/100 ng kabuuang bilang ng mga mag-aaral.

HALIMBAWA 1,200 na estudyante lamang ang nag-aral sa paaralan, 60 sa kanila ang nagtapos sa paaralan.

Ang ikadaan ng isang numero ay tinatawag na porsyento..

Ang salitang "porsyento" ay hiniram mula sa Latin at ang salitang "sentimo" nito ay nangangahulugang isang daan. Kasama ng pang-ukol (pro centum), ang salitang ito ay nangangahulugang "para sa isang daan." Ang kahulugan ng expression na ito ay sumusunod mula sa katotohanan na sa simula sa sinaunang Roma ang interes ay ang pera na binayaran ng may utang sa nagpapahiram "para sa bawat daan." Ang salitang "sentimo" ay naririnig sa mga pamilyar na salita: centner (isang daang kilo), sentimetro (sabi nila centimeter).

Halimbawa, sa halip na sabihin na ang planta ay gumawa ng 1/100 ng lahat ng mga produkto na ginawa nito noong nakaraang buwan, sasabihin namin ito: ang halaman ay gumawa ng isang porsyento ng mga pagtanggi noong nakaraang buwan. Sa halip na sabihin: ang halaman ay gumawa ng 4/100 higit pang mga produkto kaysa sa itinatag na plano, sasabihin natin: ang planta ay lumampas sa plano ng 4 na porsyento.

Ang mga halimbawa sa itaas ay maaaring ipahayag nang iba:

1. Bumaba ng 12 porsiyento ang presyo ng mga libro sa nakaraang presyo.

2. Binabayaran ng mga savings bank ang mga nagdedeposito ng 2 porsiyento bawat taon ng halagang inilalagay sa mga ipon.

3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5 porsiyento ng bilang ng lahat ng mga mag-aaral sa paaralan.

Upang paikliin ang titik, kaugalian na isulat ang% sign sa halip na ang salitang "porsiyento".

Gayunpaman, dapat tandaan na ang % sign ay karaniwang hindi nakasulat sa mga kalkulasyon, maaari itong isulat sa pahayag ng problema at sa huling resulta. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, kailangan mong magsulat ng isang fraction na may denominator na 100 sa halip na isang integer na may icon na ito.

Kailangan mong mapalitan ang isang integer ng tinukoy na icon na may isang fraction na may denominator na 100:

Sa kabaligtaran, kailangan mong masanay sa pagsulat ng isang integer na may ipinahiwatig na icon sa halip na isang fraction na may denominator na 100:

7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero.

Gawain 1. Nakatanggap ang paaralan ng 200 cubic meters. m ng kahoy na panggatong, na may birch na panggatong na accounting para sa 30%. Magkano ang kahoy na birch doon?

Ang kahulugan ng problemang ito ay ang birch na panggatong ay bahagi lamang ng kahoy na panggatong na inihatid sa paaralan, at ang bahaging ito ay ipinahayag bilang isang bahagi ng 30 / 100. Kaya, nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng isang bahagi ng isang numero. Upang malutas ito, dapat nating i-multiply ang 200 sa 30 / 100 (ang mga gawain para sa paghahanap ng fraction ng isang numero ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng isang numero sa isang fraction.).

Kaya 30% ng 200 ay katumbas ng 60.

Ang fraction na 30 / 100 , na nakatagpo sa problemang ito, ay nagbibigay-daan sa pagbawas ng 10. Posibleng maisagawa ang pagbawas na ito mula pa sa simula; hindi magbabago ang solusyon sa problema.

Gawain 2. Mayroong 300 bata sa iba't ibang edad sa kampo. Ang mga batang may edad na 11 ay 21%, ang mga batang may edad na 12 ay 61% at sa wakas ay 13 taong gulang ay 18%. Ilang bata sa bawat edad ang nasa kampo?

Sa problemang ito, kailangan mong magsagawa ng tatlong mga kalkulasyon, iyon ay, sunud-sunod na hanapin ang bilang ng mga bata 11 taong gulang, pagkatapos ay 12 taong gulang, at sa wakas ay 13 taong gulang.

Kaya, dito ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang bahagi ng isang numero ng tatlong beses. Gawin natin:

1) Ilang bata ang 11 taong gulang?

2) Ilang bata ang 12 taong gulang?

3) Ilang bata ang 13 taong gulang?

Pagkatapos malutas ang problema, ito ay kapaki-pakinabang upang idagdag ang mga numero na natagpuan; ang kanilang kabuuan ay dapat na 300:

63 + 183 + 54 = 300

Dapat mo ring bigyang pansin ang katotohanan na ang kabuuan ng mga porsyento na ibinigay sa kondisyon ng problema ay 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ito ay nagpapahiwatig na kabuuang bilang Ang mga bata na nasa kampo ay kinuha bilang 100%.

3 at cha 3. Nakatanggap ang manggagawa ng 1,200 rubles bawat buwan. Sa mga ito, gumastos siya ng 65% sa pagkain, 6% sa isang apartment at heating, 4% sa gas, kuryente at radyo, 10% sa mga pangangailangang pangkultura at 15% ang kanyang naipon. Gaano karaming pera ang ginugol sa mga pangangailangan na ipinahiwatig sa gawain?

Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong maghanap ng isang bahagi ng bilang na 1,200 5 beses. Gawin natin ito.

1) Magkano ang ginagastos sa pagkain? Sinasabi ng gawain na ang gastos na ito ay 65% ​​ng lahat ng kita, ibig sabihin, 65/100 ng bilang na 1,200. Gawin natin ang pagkalkula:

2) Gaano karaming pera ang binayaran para sa isang apartment na may pagpainit? Ang pagtatalo tulad ng nauna, nakarating tayo sa sumusunod na kalkulasyon:

3) Magkano ang perang binayaran mo para sa gas, kuryente at radyo?

4) Magkano ang perang ginagastos sa mga pangangailangang pangkultura?

5) Magkano ang naipon ng manggagawa?

Para sa pag-verify, kapaki-pakinabang na idagdag ang mga numerong makikita sa 5 tanong na ito. Ang halaga ay dapat na 1,200 rubles. Ang lahat ng mga kita ay kinukuha bilang 100%, na madaling suriin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga porsyento na ibinigay sa pahayag ng problema.

Tatlong problema ang nalutas namin. Sa kabila ng katotohanan na ang mga gawaing ito ay tungkol sa iba't ibang bagay (paghahatid ng panggatong para sa paaralan, ang bilang ng mga bata na may iba't ibang edad, ang mga gastos ng manggagawa), nalutas ang mga ito sa parehong paraan. Nangyari ito dahil sa lahat ng mga gawain ay kailangang maghanap ng ilang porsyento ng mga ibinigay na numero.

§ 90. Dibisyon ng mga fraction.

Kapag pinag-aaralan ang paghahati ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.
2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer
3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.
4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.
5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.
6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.
7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.

Gaya ng ipinahiwatig sa seksyon ng mga integer, ang paghahati ay ang aksyon na binubuo sa katotohanan na, dahil sa produkto ng dalawang salik (ang dibidendo) at isa sa mga salik na ito (ang divisor), isa pang salik ang natagpuan.

Ang paghahati ng isang integer sa pamamagitan ng isang integer na aming isinasaalang-alang sa departamento ng mga integer. Nakilala namin doon ang dalawang kaso ng paghahati: paghahati nang walang nalalabi, o "buong" (150: 10 = 15), at paghahati na may natitira (100: 9 = 11 at 1 sa natitira). Kaya't maaari nating sabihin na sa larangan ng mga integer, ang eksaktong paghahati ay hindi palaging posible, dahil ang dibidendo ay hindi palaging produkto ng divisor at ng integer. Pagkatapos ng pagpapakilala ng multiplikasyon sa pamamagitan ng isang fraction, maaari naming isaalang-alang ang anumang kaso ng paghahati ng mga integer hangga't maaari (tanging dibisyon sa pamamagitan ng zero ang hindi kasama).

Halimbawa, ang paghahati ng 7 sa 12 ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na ang produkto ay 12 ay magiging 7. Ang numerong ito ay ang fraction na 7/12 dahil 7/12 12 = 7. Isa pang halimbawa: 14: 25 = 14/25 dahil 14/25 25 = 14.

Kaya, upang hatiin ang isang integer sa isang integer, kailangan mong gumawa ng isang fraction, ang numerator nito ay katumbas ng dibidendo, at ang denominator ay ang divisor.

2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer.

Hatiin ang fraction na 6 / 7 sa 3. Ayon sa kahulugan ng paghahati na ibinigay sa itaas, mayroon tayo dito ang produkto (6 / 7) at isa sa mga kadahilanan (3); ito ay kinakailangan upang mahanap ang tulad ng isang pangalawang kadahilanan, na mula sa multiplikasyon sa 3 ay magbibigay gawaing ito 6/7. Malinaw, ito ay dapat na tatlong beses na mas maliit kaysa sa produktong ito. Nangangahulugan ito na ang gawaing itinakda sa harap natin ay bawasan ang fraction ng 6/7 ng 3 beses.

Alam na natin na ang pagbabawas ng isang fraction ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapababa ng numerator nito o sa pamamagitan ng pagtaas ng denominator nito. Samakatuwid, maaari kang sumulat:

Sa kasong ito, ang numerator 6 ay nahahati sa 3, kaya ang numerator ay dapat bawasan ng 3 beses.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa: 5 / 8 na hinati sa 2. Dito ang numerator 5 ay hindi nahahati sa 2, na nangangahulugan na ang denominator ay kailangang i-multiply sa numerong ito:

Batay dito, maaari nating sabihin ang panuntunan: Upang hatiin ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong hatiin ang numerator ng fraction sa pamamagitan ng integer na iyon(kung maaari), iiwan ang parehong denominator, o i-multiply ang denominator ng fraction sa numerong ito, na iniiwan ang parehong numerator.

3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 5 sa 1/2, ibig sabihin, humanap ng numero na, pagkatapos i-multiply sa 1/2, ay magbibigay sa produkto ng 5. Malinaw, ang bilang na ito ay dapat na mas malaki kaysa sa 5, dahil ang 1/2 ay isang wastong bahagi, at kapag nagpaparami ng isang numero sa isang wastong fraction, ang produkto ay dapat na mas mababa kaysa sa multiplicand. Upang maging mas malinaw, isulat natin ang ating mga aksyon tulad ng sumusunod: 5: 1 / 2 = X , kaya x 1 / 2 \u003d 5.

Kailangan nating makahanap ng ganoong numero X , na, kapag pinarami ng 1/2, ay magbibigay ng 5. Dahil ang pagpaparami ng isang tiyak na numero sa 1/2 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 1/2 ng numerong ito, kung gayon, samakatuwid, 1/2 hindi kilalang numero X ay 5, at ang buong bilang X dalawang beses na mas marami, i.e. 5 2 \u003d 10.

Kaya 5: 1/2 = 5 2 = 10

Suriin natin:

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 6 sa 2 / 3 . Subukan muna nating hanapin ang nais na resulta gamit ang pagguhit (Larawan 19).

Fig.19

Gumuhit ng segment AB, katumbas ng 6 ng ilang unit, at hatiin ang bawat unit sa 3 pantay na bahagi. Sa bawat unit, tatlong-katlo (3/3) sa buong segment AB sa 6 beses pa, t. e. 18/3. Kumonekta kami sa tulong ng mga maliliit na bracket 18 nakuha na mga segment ng 2; Magkakaroon lamang ng 9 na mga segment. Nangangahulugan ito na ang fraction 2/3 ay nakapaloob sa b units ng 9 na beses, o, sa madaling salita, ang fraction na 2/3 ay 9 beses na mas mababa sa 6 integer units. Kaya naman,

Paano makukuha ang resultang ito nang walang pagguhit gamit lamang ang mga kalkulasyon? Magtatalo tayo bilang mga sumusunod: kinakailangang hatiin ang 6 sa 2 / 3, ibig sabihin, kinakailangang sagutin ang tanong, kung gaano karaming beses ang 2 / 3 ay nakapaloob sa 6. Alamin muna natin: kung gaano karaming beses ang 1 / 3 nakapaloob sa 6? Sa isang buong unit - 3 thirds, at sa 6 units - 6 na beses pa, i.e. 18 thirds; upang mahanap ang numerong ito, dapat nating i-multiply ang 6 sa 3. Kaya, ang 1/3 ay nasa b unit ng 18 beses, at ang 2/3 ay nasa b hindi 18 beses, ngunit kalahati ng maraming beses, i.e. 18: 2 = 9. Samakatuwid , kapag hinahati ang 6 sa 2 / 3 ginawa namin ang sumusunod:

Mula dito nakuha namin ang panuntunan para sa paghahati ng isang integer sa isang fraction. Upang hatiin ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer na ito sa denominator ng ibinigay na fraction at, gawin itong numerator, hatiin ito sa numerator ng ibinigay na fraction.

Sinusulat namin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa paghahati ng isang numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38. Tandaan na ang parehong formula ay nakuha doon.

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 3/4 sa 3/8. Ano ang magsasaad ng bilang na makukuha bilang resulta ng paghahati? Sasagutin nito ang tanong kung gaano karaming beses ang fraction 3/8 ay nakapaloob sa fraction 3/4. Upang maunawaan ang isyung ito, gumawa tayo ng pagguhit (Larawan 20).

Kunin ang segment na AB, kunin ito bilang isang yunit, hatiin ito sa 4 pantay na bahagi at markahan ang 3 tulad ng mga bahagi. Ang Segment AC ay magiging katumbas ng 3/4 ng segment AB. Hatiin natin ngayon ang bawat isa sa apat na paunang segment sa kalahati, pagkatapos ay ang segment AB ay hahatiin sa 8 pantay na bahagi at ang bawat bahagi ay magiging katumbas ng 1/8 ng segment AB. Ikinonekta namin ang 3 gayong mga segment na may mga arko, pagkatapos ay ang bawat isa sa mga segment na AD at DC ay magiging katumbas ng 3/8 ng segment AB. Ipinapakita ng drawing na ang segment na katumbas ng 3/8 ay nakapaloob sa segment na katumbas ng 3/4 nang eksaktong 2 beses; Kaya ang resulta ng dibisyon ay maaaring isulat tulad nito:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 15/16 sa 3/32:

Maaari tayong mangatuwiran nang ganito: kailangan nating maghanap ng numero na, pagkatapos i-multiply sa 3/32, ay magbibigay ng produkto na katumbas ng 15/16. Isulat natin ang mga kalkulasyon tulad nito:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 hindi kilalang numero X gumawa ng 15/16

1/32 hindi kilalang numero X ay ,

32 / 32 na mga numero X magkasundo .

Kaya naman,

Kaya, upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa ang denominator.

Isulat natin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.

Kapag hinahati ang mga pinaghalong numero, kailangan munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction, pagkatapos ay hatiin ang mga resultang fraction ayon sa mga patakaran para sa paghahati ng mga fractional na numero. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

I-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction:

Ngayon, hatiin natin:

Kaya, upang hatiin ang mga pinaghalong numero, kailangan mong i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay hatiin ayon sa panuntunan para sa paghahati ng mga fraction.

6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.

Among iba't ibang gawain sa mga fraction, minsan may mga kung saan ang halaga ng ilang fraction ng isang hindi kilalang numero ay ibinibigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang numerong ito. Ang ganitong uri ng problema ay magiging kabaligtaran sa problema ng paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero; may ibinigay na numero at kinailangang hanapin ang ilang bahagi ng numerong ito, dito ibinibigay ang isang bahagi ng isang numero at kinakailangang hanapin ang numerong ito mismo. Ang ideyang ito ay magiging mas malinaw kung babaling tayo sa solusyon sa ganitong uri ng problema.

Gawain 1. Sa unang araw, pinakinang ng mga glazier ang 50 bintana, na 1/3 ng lahat ng bintana ng itinayong bahay. Ilang bintana ang nasa bahay na ito?

Desisyon. Sinasabi ng problema na ang 50 glazed windows ay bumubuo sa 1/3 ng lahat ng mga bintana ng bahay, na nangangahulugang mayroong 3 beses na higit pang mga bintana sa kabuuan, i.e.

Ang bahay ay may 150 na bintana.

Gawain 2. Nagbenta ang tindahan ng 1,500 kg ng harina, na 3/8 ng kabuuang stock ng harina sa tindahan. Ano ang unang supply ng harina sa tindahan?

Desisyon. Makikita sa kalagayan ng problema na ang nabentang 1,500 kg ng harina ay bumubuo sa 3/8 ng kabuuang stock; nangangahulugan ito na ang 1/8 ng stock na ito ay magiging 3 beses na mas mababa, ibig sabihin, upang makalkula ito, kailangan mong bawasan ang 1500 ng 3 beses:

1,500: 3 = 500 (1/8 iyon ng stock).

Malinaw, ang buong stock ay magiging 8 beses na mas malaki. Kaya naman,

500 8 \u003d 4,000 (kg).

Ang unang supply ng harina sa tindahan ay 4,000 kg.

Mula sa pagsasaalang-alang ng problemang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin.

Upang mahanap ang isang numero sa isang ibinigay na halaga ng fraction nito, sapat na upang hatiin ang halagang ito sa numerator ng fraction at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction.

Nalutas namin ang dalawang problema sa paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito. Ang ganitong mga problema, tulad ng nakikitang mabuti mula sa huli, ay nalutas sa pamamagitan ng dalawang aksyon: paghahati (kapag natagpuan ang isang bahagi) at pagpaparami (kapag natagpuan ang buong bilang).

Gayunpaman, pagkatapos nating pag-aralan ang paghahati ng mga fraction, ang mga problema sa itaas ay maaaring malutas sa isang aksyon, katulad: paghahati sa isang fraction.

Halimbawa, ang huling gawain ay maaaring malutas sa isang aksyon tulad nito:

Sa hinaharap, malulutas namin ang problema sa paghahanap ng isang numero sa pamamagitan ng fraction nito sa isang aksyon - dibisyon.

7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Sa mga gawaing ito, kakailanganin mong maghanap ng numero, alam ang ilang porsyento ng numerong ito.

Gawain 1. Sa simula kasalukuyang taon Nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa savings bank. kita mula sa halagang inilagay ko sa ipon noong isang taon. Magkano pera ang inilagay ko sa savings bank? (Ang mga tanggapan ng pera ay nagbibigay sa mga deposito ng 2% ng kita bawat taon.)

Ang kahulugan ng problema ay ang isang tiyak na halaga ng pera ay inilagay ko sa isang savings bank at nakahiga doon sa loob ng isang taon. Pagkaraan ng isang taon, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa kanya. kita, which is 2/100 of the money I put in. Magkano pera ang aking idineposito?

Samakatuwid, ang pag-alam sa bahagi ng perang ito, na ipinahayag sa dalawang paraan (sa rubles at sa mga praksyon), dapat nating hanapin ang kabuuan, na hindi pa alam, halaga. Ito ay isang ordinaryong problema ng paghahanap ng isang numero dahil sa fraction nito. Ang mga sumusunod na gawain ay nalutas sa pamamagitan ng paghahati:

Kaya, 3,000 rubles ang inilagay sa savings bank.

Gawain 2. Sa loob ng dalawang linggo, natupad ng mga mangingisda ang buwanang plano ng 64%, na nakapaghanda ng 512 toneladang isda. Ano ang kanilang plano?

Mula sa kondisyon ng problema, nabatid na natapos ng mga mangingisda ang bahagi ng plano. Ang bahaging ito ay katumbas ng 512 tonelada, na 64% ng plano. Ilang toneladang isda ang kailangang anihin ayon sa plano, hindi natin alam. Ang solusyon sa problema ay binubuo sa paghahanap ng numerong ito.

Ang ganitong mga gawain ay malulutas sa pamamagitan ng paghahati:

Kaya, ayon sa plano, kailangan mong maghanda ng 800 toneladang isda.

Gawain 3. Ang tren ay nagmula sa Riga hanggang Moscow. Nang malagpasan niya ang ika-276 na kilometro, tinanong ng isa sa mga pasahero ang dumadaang konduktor kung gaano na ba katagal ang biyahe nila. Sumagot dito ang konduktor: "Nasakyan na namin ang 30% ng buong paglalakbay." Ano ang distansya mula Riga hanggang Moscow?

Makikita mula sa kondisyon ng problema na ang 30% ng paglalakbay mula Riga hanggang Moscow ay 276 km. Kailangan nating hanapin ang buong distansya sa pagitan ng mga lungsod na ito, ibig sabihin, para sa bahaging ito, hanapin ang kabuuan:

§ 91. Mga katumbas na numero. Ang pagpapalit ng dibisyon ng multiplikasyon.

Kunin ang fraction 2/3 at muling ayusin ang numerator sa lugar ng denominator, makakakuha tayo ng 3/2. Nakakuha kami ng isang fraction, ang kapalit ng isang ito.

Upang makakuha ng isang fraction reciprocal ng isang naibigay na isa, kailangan mong ilagay ang numerator nito sa lugar ng denominator, at ang denominator sa lugar ng numerator. Sa ganitong paraan, makakakuha tayo ng fraction na katumbas ng anumang fraction. Halimbawa:

3 / 4 , baligtad 4 / 3 ; 5 / 6 , baligtad 6 / 5

Dalawang fraction na may katangian na ang numerator ng una ay ang denominator ng pangalawa at ang denominator ng una ay ang numerator ng pangalawa ay tinatawag magkabaligtaran.

Ngayon isipin natin kung anong fraction ang magiging reciprocal ng 1/2. Malinaw, ito ay magiging 2 / 1, o 2 lang. Hinahanap ang kapalit nito, nakakuha kami ng isang integer. At ang kasong ito ay hindi nakahiwalay; sa kabaligtaran, para sa lahat ng mga praksiyon na may numerator na 1 (isa), ang mga kapalit ay magiging mga integer, halimbawa:

1 / 3, kabaligtaran 3; 1 / 5, baligtad 5

Dahil kapag nakahanap kami ng mga reciprocal ay nakilala din namin ang mga integer, sa hinaharap hindi namin pag-uusapan ang tungkol sa mga katumbasan, ngunit tungkol sa mga kapalit.

Alamin natin kung paano isulat ang kapalit ng isang buong numero. Para sa mga fraction, ito ay malulutas nang simple: kailangan mong ilagay ang denominator sa lugar ng numerator. Sa parehong paraan, maaari mong makuha ang reciprocal ng isang integer, dahil ang anumang integer ay maaaring magkaroon ng denominator ng 1. Kaya ang kapalit ng 7 ay magiging 1 / 7, dahil 7 \u003d 7 / 1; para sa numero 10 ang reverse ay 1/10 dahil 10 = 10/1

Ang ideyang ito ay maaaring ipahayag sa ibang paraan: ang reciprocal ng isang naibigay na numero ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa binigay na numero . Ang pahayag na ito ay totoo hindi lamang para sa mga integer, kundi pati na rin para sa mga fraction. Sa katunayan, kung gusto mong magsulat ng isang numero na katumbas ng 5 / 9, maaari naming kunin ang 1 at hatiin ito sa 5 / 9, i.e.

Ngayon ay ituro natin ang isa ari-arian magkatumbas na mga numero, na magiging kapaki-pakinabang sa atin: ang produkto ng magkabilang katumbas na mga numero ay katumbas ng isa. talaga:

Gamit ang property na ito, makakahanap tayo ng mga kapalit sa sumusunod na paraan. Hanapin natin ang kapalit ng 8.

Tukuyin natin ito ng titik X , pagkatapos ay 8 X = 1, samakatuwid X = 1 / 8 . Maghanap tayo ng isa pang numero, ang kabaligtaran ng 7/12, ipahiwatig ito sa pamamagitan ng isang titik X , pagkatapos ay 7/12 X = 1, samakatuwid X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .

Ipinakilala namin dito ang konsepto ng reciprocal na mga numero upang bahagyang madagdagan ang impormasyon tungkol sa paghahati ng mga fraction.

Kapag hinati namin ang numero 6 sa 3 / 5, pagkatapos ay gagawin namin ang sumusunod:

Magbayad Espesyal na atensyon sa ekspresyon at ihambing ito sa ibinigay na: .

Kung kukuha tayo ng expression nang hiwalay, nang walang koneksyon sa nauna, imposibleng malutas ang tanong kung saan ito nanggaling: mula sa paghahati ng 6 sa 3/5 o mula sa pagpaparami ng 6 sa 5/3. Sa parehong mga kaso ang resulta ay pareho. Kaya masasabi natin na ang paghahati ng isang numero sa isa pa ay maaaring palitan sa pamamagitan ng pagpaparami ng dibidendo sa kapalit ng divisor.

Ang mga halimbawang ibinigay namin sa ibaba ay ganap na nagpapatunay sa konklusyong ito.

Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ang operasyong ito ay mas maganda kaysa sa karagdagan-pagbawas! Dahil mas madali. Ipinaaalala ko sa iyo: upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang mga numerator (ito ang magiging numerator ng resulta) at ang mga denominator (ito ang magiging denominator). I.e:

Halimbawa:

Ang lahat ay sobrang simple. At mangyaring huwag maghanap ng isang karaniwang denominator! Hindi mo kailangan dito...

Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-flip pangalawa(ito ay mahalaga!) fraction at i-multiply ang mga ito, i.e.:

Halimbawa:

Kung mahuli ang multiplication o division na may integers at fractions, okay lang. Tulad ng karagdagan, gumawa kami ng isang fraction mula sa isang buong numero na may isang yunit sa denominator - at pumunta! Halimbawa:

Sa mataas na paaralan, madalas mong kailangang harapin ang tatlong-kuwento (o kahit apat na palapag!) na mga praksyon. Halimbawa:

Paano dalhin ang fraction na ito sa isang disenteng anyo? Oo, napakadali! Gumamit ng dibisyon sa pamamagitan ng dalawang puntos:

Ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa pagkakasunud-sunod ng dibisyon! Hindi tulad ng pagpaparami, ito ay napakahalaga dito! Siyempre, hindi natin malito ang 4:2 o 2:4. Ngunit sa isang tatlong-kuwento na bahagi ay madaling magkamali. Pakitandaan, halimbawa:

Sa unang kaso (expression sa kaliwa):

Sa pangalawa (expression sa kanan):

Pakiramdaman ang pagkakaiba? 4 at 1/9!

Ano ang pagkakasunud-sunod ng paghahati? O mga bracket, o (tulad dito) ang haba ng mga pahalang na gitling. Bumuo ng isang mata. At kung walang mga bracket o gitling, tulad ng:

tapos divide-multiply sa pagkakasunud-sunod, kaliwa pakanan!

At napakasimple at mahalagang trick. Sa mga pagkilos na may mga antas, ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa iyo! Hatiin natin ang yunit sa anumang fraction, halimbawa, sa 13/15:

Nabaliktad ang shot! At lagi itong nangyayari. Kapag hinahati ang 1 sa anumang fraction, ang resulta ay parehong fraction, baligtad lamang.

Iyon lang ang mga aksyon na may mga fraction. Ang bagay ay medyo simple, ngunit nagbibigay ng higit sa sapat na mga error. Tandaan praktikal na payo, at sila (mga error) ay magiging mas kaunti!

Mga Praktikal na Tip:

1. Ang pinakamahalagang bagay kapag nagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso! Ay hindi pang-araw-araw na salita, hindi magandang hiling! Ito ay isang matinding pangangailangan! Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa pagsusulit bilang isang ganap na gawain, na may konsentrasyon at kalinawan. Mas mainam na magsulat ng dalawang dagdag na linya sa isang draft kaysa sa magulo kapag nagkalkula sa iyong ulo.

2. Sa mga halimbawang may iba't ibang uri fractions - pumunta sa ordinaryong fractions.

3. Binabawasan namin ang lahat ng mga fraction hanggang sa huminto.

4. Multi-storey mga fractional na expression binabawasan namin sa mga ordinaryong gamit ang paghahati sa pamamagitan ng dalawang puntos (sinusunod namin ang pagkakasunud-sunod ng paghahati!).

5. Hinahati natin ang yunit sa isang fraction sa ating isipan, sa pamamagitan lamang ng pag-ikot ng fraction.

Narito ang mga gawain na kailangan mong tapusin. Ang mga sagot ay ibinibigay pagkatapos ng lahat ng mga gawain. Gamitin ang mga materyales ng paksang ito at praktikal na payo. Tantyahin kung gaano karaming mga halimbawa ang maaari mong malutas nang tama. Unang beses! Nang walang calculator! At gumawa ng tamang konklusyon...

Tandaan ang tamang sagot nakuha mula sa pangalawa (lalo na sa pangatlong) oras - hindi binibilang! Ganyan ang malupit na buhay.

Kaya, solve sa exam mode ! Ito pala ay paghahanda para sa pagsusulit. Nalulutas namin ang isang halimbawa, sinusuri namin, nilulutas namin ang mga sumusunod. Napagpasyahan namin ang lahat - sinuri namin muli mula sa una hanggang sa huli. Tanging pagkatapos tingnan ang mga sagot.

Kalkulahin:

Nagdesisyon ka ba?

Naghahanap ng mga sagot na tumutugma sa iyo. Sinadya kong isulat ang mga ito sa isang gulo, malayo sa tukso, kumbaga ... Narito ang mga ito, ang mga sagot, na isinulat ng isang semicolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

At ngayon gumawa kami ng mga konklusyon. Kung ang lahat ay gumana - masaya para sa iyo! Ang mga kalkulasyon sa elementarya na may mga fraction ay hindi mo problema! Maaari kang gumawa ng mas seryosong mga bagay. Kung hindi...

Kaya mayroon kang isa sa dalawang problema. O pareho nang sabay-sabay.) Kakulangan ng kaalaman at (o) kawalan ng pansin. Pero ito nalulusaw Mga problema.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang mga ordinaryong fractional na numero ay unang nakakatugon sa mga mag-aaral sa ika-5 baitang at sinasamahan sila sa buong buhay nila, dahil sa pang-araw-araw na buhay madalas na kinakailangang isaalang-alang o gamitin ang ilang bagay na hindi buo, ngunit sa magkahiwalay na mga piraso. Ang simula ng pag-aaral ng paksang ito - ibahagi. Ang mga pagbabahagi ay pantay na bahagi kung saan nahahati ang isang bagay. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na ipahayag, halimbawa, ang haba o presyo ng isang produkto bilang isang integer; dapat isaalang-alang ng isa ang mga bahagi o bahagi ng anumang sukat. Nabuo mula sa pandiwa na "durog" - upang hatiin sa mga bahagi, at pagkakaroon ng mga ugat ng Arabe, noong siglo VIII ang salitang "fraction" mismo ay lumitaw sa Russian.

Fractional Expressions matagal na panahon itinuturing na pinakamahirap na sangay ng matematika. Noong ika-17 siglo, nang lumitaw ang mga unang aklat-aralin sa matematika, tinawag itong "mga sirang numero", na napakahirap ipakita sa pang-unawa ng mga tao.

modernong hitsura Ang mga simpleng fractional residues, ang mga bahagi nito ay tiyak na pinaghihiwalay ng isang pahalang na linya, ay unang iniambag ni Fibonacci - Leonardo ng Pisa. Ang kanyang mga isinulat ay may petsang 1202. Ngunit ang layunin ng artikulong ito ay simple at malinaw na ipaliwanag sa mambabasa kung paano nangyayari ang pagpaparami ng mga pinaghalong fraction na may iba't ibang denominador.

Pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominador

Sa una, ito ay kinakailangan upang matukoy mga uri ng mga fraction:

• tama;
• mali;
• magkakahalo.

Susunod, kailangan mong tandaan kung paano pinarami ang mga fractional na numero na may parehong denominator. Ang mismong tuntunin ng prosesong ito ay madaling bumalangkas nang nakapag-iisa: ang resulta ng multiplikasyon mga simpleng fraction na may parehong denominator ay isang fractional expression, ang numerator nito ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominator ng mga ibinigay na fraction. Iyon ay, sa katunayan, ang bagong denominator ay ang parisukat ng isa sa mga umiiral na sa simula.

Kapag nagpaparami mga simpleng fraction na may iba't ibang denominator para sa dalawa o higit pang mga salik, hindi nagbabago ang panuntunan:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ang pagkakaiba lang ay iyon nabuong numero sa ilalim ng fractional bar ay magiging produkto ng iba't ibang mga numero at, siyempre, ang parisukat ng isa numeric na expression imposibleng pangalanan ito.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa pagpaparami ng mga praksiyon na may iba't ibang denominador gamit ang mga halimbawa:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Gumagamit ang mga halimbawa ng mga paraan upang bawasan ang mga fractional na expression. Maaari mo lamang kanselahin ang mga numero ng numerator na may mga numero ng denominator, sa tabi nakatayong multiplier sa itaas ng fractional bar o sa ibaba nito ay hindi maaaring paikliin.

Kasama ng simple mga fractional na numero, mayroong konsepto ng mixed fractions. Ang isang pinaghalong numero ay binubuo ng isang integer at isang fractional na bahagi, iyon ay, ito ay ang kabuuan ng mga numerong ito:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Paano gumagana ang multiplikasyon?

Maraming mga halimbawa ang ibinigay para sa pagsasaalang-alang.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Ang halimbawa ay gumagamit ng multiplikasyon ng isang numero sa pamamagitan ng ordinaryong fractional na bahagi, maaari mong isulat ang panuntunan para sa pagkilos na ito sa pamamagitan ng formula:

isang * b/c = a*b /c.

Sa katunayan, ang naturang produkto ay ang kabuuan ng magkaparehong fractional remainder, at ang bilang ng mga termino ay nagpapahiwatig ng natural na numerong ito. espesyal na kaso:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

May isa pang opsyon para sa paglutas ng multiplikasyon ng isang numero sa isang fractional na natitira. Kailangan mo lamang na hatiin ang denominator sa numerong ito:

d* e/f = e/f: d.

Kapaki-pakinabang na gamitin ang diskarteng ito kapag ang denominator ay nahahati sa isang natural na numero na walang natitira o, gaya ng sinasabi nila, ganap.

I-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction at kunin ang produkto sa naunang inilarawan na paraan:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ang halimbawang ito ay nagsasangkot ng isang paraan upang kumatawan sa isang halo-halong fraction bilang isang hindi tamang fraction, maaari rin itong katawanin bilang pangkalahatang pormula:

a bc = a*b+ c / c, kung saan ang denominator ng bagong fraction ay nabuo sa pamamagitan ng pagpaparami ng integer na bahagi sa denominator at pagdaragdag nito sa numerator ng orihinal fractional na natitira, at ang denominator ay nananatiling pareho.

Gumagana din ang prosesong ito reverse side. Upang ihiwalay ang integer na bahagi at ang fractional na natitira, kailangan mong hatiin ang numerator ng isang hindi tamang fraction sa denominator nito na may "sulok".

Pagpaparami mga hindi wastong fraction ginawa sa karaniwang paraan. Kailan kasalukuyang nagre-record sa ilalim ng isang solong fractional line, kung kinakailangan, kailangan mong bawasan ang mga fraction upang mabawasan ang mga numero gamit ang pamamaraang ito at mas madaling kalkulahin ang resulta.

Mayroong maraming mga katulong sa Internet upang malutas kahit kumplikadong mga problema. mga problema sa matematika sa iba't ibang programa. Ang isang sapat na bilang ng mga naturang serbisyo ay nag-aalok ng kanilang tulong sa pagbibilang ng pagpaparami ng mga fraction sa magkaibang numero sa denominators - ang tinatawag na online calculators para sa pagkalkula ng mga fraction. Nagagawa nilang hindi lamang dumami, kundi pati na rin upang makabuo ng lahat ng iba pang pinakasimpleng mga operasyon sa aritmetika na may mga karaniwang fraction at halo-halong mga numero. Madaling magtrabaho kasama nito, ang kaukulang mga patlang ay napunan sa pahina ng site, napili ang sign aksyong matematikal at i-click ang "kalkulahin". Awtomatikong binibilang ang programa.

Paksa mga operasyon sa aritmetika na may mga fractional na numero ay may kaugnayan sa buong edukasyon ng middle at senior schoolchildren. Sa mataas na paaralan, hindi na nila isinasaalang-alang ang pinakasimpleng species, ngunit integer fractional expression, ngunit ang kaalaman sa mga patakaran para sa pagbabagong-anyo at mga kalkulasyon, na nakuha nang mas maaga, ay inilapat sa orihinal nitong anyo. well digested pangunahing kaalaman magbigay buong pagtitiwala sa magandang desisyon karamihan mapaghamong mga gawain.

Sa konklusyon, makatuwirang sipiin ang mga salita ni Leo Tolstoy, na sumulat: “Ang tao ay isang fraction. Wala sa kapangyarihan ng tao na dagdagan ang kanyang numerator - ang kanyang mga merito, ngunit lahat ay maaaring bawasan ang kanyang denominator - ang kanyang opinyon sa kanyang sarili, at sa pamamagitan ng pagbaba na ito ay mas malapit sa kanyang pagiging perpekto.