Ang pag-aaral ng mga equation sa gitnang link ay nagsisimula sa pagpapakilala ng solusyon linear na equation at mga equation na binabawasan sa mga linear.

Ang pagkakapantay-pantay ng dalawang function na isinasaalang-alang sa pangkalahatang domain ng kahulugan ay tinatawag na isang equation. Ang mga variable na kasama sa equation ay tinutukoy may mga letrang Latin x, y, z, t ... Ang isang equation na may isang variable x sa pangkalahatang anyo ay nakasulat bilang mga sumusunod f (x) \u003d g (x).

Anumang halaga ng variable, kung saan ang mga expression na f(x) at g(x) ay kumukuha ng pantay na mga numerical na halaga, ay tinatawag na ugat ng equation.

Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng mga ugat nito o pagpapatunay na wala.

Halimbawa, ang equation na 3+x=7 ay may isang ugat 4, dahil sa ito at sa halagang ito ng variable na 3+x=7, ang pagkakapantay-pantay ay totoo.

Ang equation (x-1)(x-2)=0 ay may 2 ugat 1 at 2.

Ang equation x 2 +1=0 ay walang tunay na ugat, dahil ang kabuuan ng dalawa mga positibong numero hindi katumbas ng 0.

Upang malutas ang anumang equation na may isang variable, dapat malaman ng mag-aaral: una, ang mga patakaran, formula o algorithm para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri at, pangalawa, ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng magkapareho at katumbas na pagbabago, sa tulong ng kung saan ang equation na ito ay maaaring bawasan sa pinakasimpleng mga.

Kaya, ang solusyon ng bawat equation ay binubuo ng dalawang pangunahing bahagi:

1. mga pagbabagong-anyo ibinigay na equation sa pinakasimpleng
2. paglutas ng pinakasimpleng mga equation ayon sa mga kilalang tuntunin, formula o algorithm.

Kung ang pangalawang bahagi ay algorithmic, kung gayon ang unang bahagi ay higit na heuristic, na pinakamahirap para sa mga mag-aaral. Sa proseso ng paglutas ng equation, sinusubukan nilang palitan ito ng isang mas simple, kaya mahalagang malaman kung anong mga pagbabagong posible ito. Dito kinakailangan na ibigay ang konsepto ng equivalence sa isang form na naa-access sa bata.

Ang mga equation na may parehong mga ugat ay tinatawag na katumbas. Ang mga equation ay itinuturing din na katumbas, na ang bawat isa ay walang mga ugat.

Halimbawa, ang mga equation na x+2=5 at x+5=8 ay katumbas, dahil ang bawat isa sa kanila ay may iisang ugat - ang numero 3. Ang mga equation na x 2 +1=0 at 2x 2 +5=0 ay katumbas din - wala sa kanila ang may ugat.

Ang mga equation na x-5=1 at x2=36 ay hindi katumbas, dahil ang una ay may isang ugat lamang x=6, habang ang huli ay may dalawang ugat 6 at -6.

Ang mga katumbas na pagbabago ay kinabibilangan ng:

1) Kung idaragdag natin ang parehong numero o ang parehong buong algebraic expression na naglalaman ng hindi alam sa parehong bahagi ng equation, kung gayon ang bagong equation ay magiging katumbas ng ibinigay na isa.

2) Kung ang parehong bahagi ng equation ay pinarami o hinati sa parehong di-zero na numero, kung gayon ang isang equation na katumbas ng ibinigay na isa ay makukuha.

Halimbawa, ang equation ay katumbas ng equation x 2 - 1 = 6x

3) Kung sa equation na palawakin ang mga bracket at dalhin parang terms, pagkatapos ay makakakuha tayo ng katumbas na equation sa ibinigay na isa.

Ang pag-aaral sa paglutas ng mga equation ay nagsisimula sa pinakasimpleng mga linear na equation at mga equation na bumababa sa kanila. Ang kahulugan ng isang linear equation ay ibinigay at ang mga kaso kung saan ito ay may isang solusyon ay isinasaalang-alang; ay walang solusyon at mayroon walang katapusang set mga solusyon.

Ang isang linear equation na may isang variable x ay isang equation ng form na ax \u003d b, kung saan ang a at b ay mga tunay na numero, ang a ay tinatawag na koepisyent ng variable, ang b ay isang libreng miyembro.

Para sa isang linear equation na ax = b ay maaaring ipakita sa okasyon:

Maraming mga equation ang nabawasan sa mga linear bilang resulta ng mga pagbabago.

Kaya sa grade 7, maaari mong ilapat ang mga sumusunod na equation:

1)

Ang equation na ito ay bumababa sa isang linear equation.

Ang pag-multiply ng parehong bahagi ng 12 (pinakamababang common denominator 3, 4, 6, 12), makukuha natin:

8 + 3x + 2 - 2x = 5x -12,

8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x,

Sagot: 5.5.

2) Ipakita natin na ang equation 2 (x + 1) - 1 = 3 - (1 - 2x) ay walang mga ugat.

Pasimplehin ang magkabilang panig ng equation:

2x + 2 - 1 = 3 - 1 + 2x,

2x + 1 = 2 + 2x,

2x - 2x \u003d 2 - 1,

Ang equation na ito ay walang mga ugat, dahil ang kaliwang bahagi ng 0 x ay 0 para sa anumang x, at samakatuwid ay hindi katumbas ng 1.

3) Ipakita natin na ang equation 3(1 - x) + 2 = 5 - 3x ay may walang katapusang bilang ng mga ugat.

Kapag dumaan sa paksang "linear equation na may dalawang variable", maaari kang mag-alok sa mga mag-aaral ng graphical na paraan upang malutas ang equation. Ang pamamaraang ito ay batay sa paggamit ng mga graph ng mga function na kasama sa equation. Ang kakanyahan ng pamamaraan: hanapin ang abscissas ng mga intersection point ng mga graph ng mga function na nasa kaliwa at kanang bahagi ng equation. Batay sa mga sumusunod na hakbang:

1) I-convert ang orihinal na equation sa anyong f(x) = g(x), kung saan ang f(x) at g(x) ay mga function, mga graph na maaaring itayo.
2) Bumuo ng mga graph ng mga function f(x) at g(x)
3) Tukuyin ang mga intersection point ng mga ginawang graph.
4) Tukuyin ang abscissas ng mga nahanap na puntos. Magbibigay sila ng isang hanay ng mga solusyon sa orihinal na equation.
5) Isulat ang sagot.

Advantage ang pamamaraang ito ay na ginagawang madali upang matukoy ang bilang ng mga ugat ng isang equation. Ang kawalan ay ang mga ugat ay karaniwang tinutukoy ng humigit-kumulang.

Ang susunod na hakbang sa pag-aaral ng mga linear na equation ay ang mga equation na may mga module, at ang ilang mga solusyon ay ginagawa sa maraming paraan.

Ang paglutas ng mga equation na naglalaman ng sign ng modulus at mga equation na may mga parameter ay maaaring tawaging isang aktibidad na malapit sa pananaliksik. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang pagpili ng paraan ng solusyon, ang proseso ng solusyon, ang pagtatala ng sagot ay nagpapahiwatig ng isang tiyak na antas ng pagbuo ng mga kasanayan upang obserbahan, ihambing, pag-aralan, ilagay at subukan ang isang hypothesis, gawing pangkalahatan ang mga resulta na nakuha. .

Ang mga equation na naglalaman ng modulus sign ay partikular na interes.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng modulus ng numero a, mayroon tayong:

Ang numero –a ay maaaring negatibo kung a>0; -isang positibo para sa a<0. из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Оно же показывает, как избавиться от модуля в алгебраических выражениях.

Samakatuwid, x=5 o x=-5.

Isaalang-alang ang equation.

Mayroong dalawang paraan upang malutas ang equation.

1 paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng modulus ng isang numero, mayroon tayong:

Samakatuwid x - 3 = 7 o –x + 3 = 7,

x=10 o x=-4.

Sagot: 10; -4.

2 paraan - graphic. Ang equation ay maaaring isulat bilang isang sistema ng dalawang equation:

Bumubuo kami ng mga graph ng mga function at .

Ang abscissas ng mga intersection point ng mga graph na ito ay ang solusyon sa equation.

Sagot: -4; sampu.

Lutasin ang isang equation na naglalaman ng higit sa isang module

Gamitin natin ang sumusunod na algorithm.

1. Markahan ang lahat ng mga zero ng mga expression ng submodule sa isang linya ng numero na nahahati sa mga pagitan kung saan ang lahat ng mga expression ng submodule ay may pare-parehong tanda.
2. Kumuha ng di-makatwirang numero mula sa bawat puwang at tukuyin ang tanda ng submodular na expression sa pamamagitan ng pagbibilang, buksan ang mga module.
3. Lutasin ang equation at pumili ng solusyon na kabilang sa ibinigay na pagitan.

Kaya, Naglalaho ang mga expression ng submodule sa x = -1 at x = -3.

pagitan ko. Hayaan ang x < - 3, pagkatapos ay sa pagitan na ito , at ang equation ay kukuha ng anyo

- x - 1 - x - 3 \u003d 4,

at samakatuwid ay ang ugat ng equation.

II pagitan. Hayaan -3< х < -1, тогда , , makuha natin ang equation –x – 1 + x + 3 = 4,

Kaya sa pagitan (-3; -1) ang equation ay walang mga ugat.

III pagitan. Hayaan ang x > -1 pagkatapos

x + 1 + x + 3 = 4,

Nakikita namin na ang numero 0 ay kabilang sa pagitan. Gayon din ang ugat. Kaya ang equation ay may dalawang ugat: 0 at -4.

Sa mga simpleng halimbawa isaalang-alang ang isang algorithm para sa paglutas ng mga equation na may mga parameter: area pinahihintulutang halaga, domain ng kahulugan, pangkalahatang solusyon, mga halaga ng kontrol ng mga parameter, mga uri ng bahagyang equation. Ang mga paraan ng paghahanap sa mga ito ay itatatag sa bawat uri ng mga equation nang hiwalay.

Batay sa mga ipinakilalang konsepto, tinukoy namin ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng anumang equation F(a;x)=0 na may parameter a (para sa kaso ng dalawang parameter, ang scheme ay magkatulad):

• ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng parameter at ang lugar ng kahulugan ay nakatakda;
• kontrol mga halaga ng parameter, hinahati ang rehiyon ng mga tinatanggap na halaga ng parameter sa mga rehiyon ng pagkakapareho ng mga bahagyang equation;
• para sa mga halaga ng kontrol ng parameter, ang kaukulang mga partial equation ay pinag-aralan nang hiwalay;
• pangkalahatang solusyon x=f 1 (a),…, f k (a) ng equation F(a;x)=0 ay matatagpuan sa mga katumbas na set А f1 ,…, А fk ng mga halaga ng parameter;
• isang modelo ng mga pangkalahatang solusyon, ang mga halaga ng kontrol ng parameter ay pinagsama-sama;
• mga pagitan ng mga halaga ng parameter na may pareho karaniwang solusyon(mga lugar ng pagkakapareho);
• para sa mga halaga ng kontrol ng parameter at mga napiling lugar ng pagkakapareho, ang mga katangian ng lahat ng mga uri ng mga bahagyang equation ay nakasulat
• Espesyal na lugar sa algebra ay itinalaga sa mga linear na equation na may mga parameter.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

1.	2x - 3 \u003d m + 1, 2x - 3 \u003d + 4 m + 1,	kung saan ang m ay isang hindi kilalang parameter. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 3, nakukuha natin
	6x - 9 \u003d m x + 12m +3, 6x - m x + 12m + 12,	Ilabas natin karaniwang salik bracket, nakukuha namin
	x (6-m) = 12(m+1), , 6 – m? 0,m? 6.	dahil ito ay nasa denominator ng isang fraction.
Sagot: , para sa m 6.

Ang equation na 2x - 3 + m (x / 3 + 4) + 1 ay may maraming solusyon, ibinigay ng formula para sa lahat ng halaga ng m maliban sa 6.

2. , para sa m 2, x 1, n 0.

mx - n = 2x - 2 + 2n + 3xn,

mx - 2x - 3xn = - 2 + 2n + n,

mx - 2x - 3xn = 3n - 2,

x (m - 2 - 3n) = 3n - 2, na may m 2, x 1, n 0.

Isaalang-alang ang kaso kung saan ang a = 0, kung gayon

m - 2 - 3n = 0,

m = 3n +2, para sa n 0

0 x \u003d 3n - 2,

a) 3n ​​​​- 2 = 0,

x(4 - 2 - 3) = 3 - 2,

Ang x ay anumang numero maliban sa x = 1.

0 x = b. Sa kasong ito, ang equation ay walang mga solusyon.

m – 2 – 3n 0

x = , kailan x ? isa,

3n - 2m - 2 - 3n,

3n + 3n 2 – 2 + m,

Sa kasong ito, ang equation ay walang mga solusyon.

Samakatuwid, para sa n = at m = 4, ang x ay anumang numero maliban sa 1; para sa n = 0, m = 6n

(n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2, ang equation ay walang mga solusyon. Para sa lahat ng iba pang mga halaga ng parameter x = .

Sagot: 1. n = , m = 4 - x? R\.

2. n \u003d 0, m \u003d 6n (n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2 - walang mga solusyon.

3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .

Sa hinaharap, iminungkahi na isaalang-alang ang solusyon ng mga problema sa pamamagitan ng paraan ng pag-iipon ng mga linear na equation. Ito ay mahirap na proseso kung saan kailangan mong makapag-isip, hulaan, alamin nang mabuti ang aktwal na materyal.

Sa proseso ng paglutas ng bawat problema, dapat na malinaw na markahan ang apat na yugto:

1. pag-aaral sa kalagayan ng problema;
2. maghanap ng plano ng solusyon at paghahanda nito;
3. pagpapatupad ng nahanap na solusyon;
4. kritikal na pagsusuri resulta ng desisyon.

Ngayon isaalang-alang ang mga problema sa solusyon kung saan ginagamit ang mga linear na equation.

1. Ang isang haluang metal ng tanso at sink ay naglalaman ng 640 g higit pang tanso kaysa sa sink. Matapos ang 6/7 ng tanso na nilalaman nito at 60% ng zinc ay nakahiwalay mula sa haluang metal, ang masa ng haluang metal ay naging 200 g. Ano ang masa ng haluang metal sa una?

Hayaang mayroong x g ng zinc sa haluang metal, pagkatapos ay tanso (640 + x) g. 0.4 na bahagi. Alam na ang masa ng haluang metal ay naging katumbas ng 200 g, gumawa kami ng isang equation.

1/7 (x + 640) + 0.4 x \u003d 200,

x + 640 + 2.8 x \u003d 1400,

3.8x \u003d 1400 - 640,

Kaya, ang zinc ay 200 g, at tanso 840 g.

(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (g) - bigat ng haluang metal. Sagot: ang paunang masa ng haluang metal ay 1040 g.

2. Ilang litro ng 60% sulfuric acid ang dapat idagdag sa 10 litro ng 30% acid upang makakuha ng 40% na solusyon?

Hayaan ang bilang ng mga litro ng 60% acid, na idinagdag namin x l, pagkatapos ay ang solusyon purong acid ay magiging l. At sa 10 litro ng isang 30% na solusyon ng purong acid ay magkakaroon ng l. Alam na sa magreresultang (10 + x) timpla magkakaroon ng purong acid l, bumubuo kami ng isang equation.

60x + 300 = 40x + 400,

60x - 40x \u003d 400 - 300,

Kaya, kailangan mong magdagdag ng 5 litro ng 60% acid.

Sagot: 5 litro.

Kapag pinag-aaralan ang paksang "Solusyon ng mga linear na equation", inirerekomenda ang ilang makasaysayang background.

Ang mga problema para sa paglutas ng mga equation ng unang antas ay matatagpuan sa mga tekstong Babylonian cuneiform. Mayroon din silang ilang mga problema na humahantong sa quadratic at kahit cubic equation (ang huli, tila, ay nalutas gamit ang pagpili ng mga ugat). Natagpuan ang mga sinaunang Greek mathematician geometric na hugis solusyon ng isang quadratic equation. Sa geometric form, pinag-aralan ng Arab mathematician na si Omar Khayyam (huli ng ika-11 - unang bahagi ng ika-12 siglo AD) ang cubic equation, bagaman hindi niya nakita pangkalahatang pormula upang malutas ito. Desisyon cubic equation ay natagpuan sa simula ng ika-16 na siglo sa Italya. Pagkatapos magdesisyon ng isa si Scipian del Ferro pribadong view tulad ng mga equation noong 1535, natagpuan ng Italian Tartaglia ang isang pangkalahatang formula. Pinatunayan niya na ang mga ugat ng equation x 3 + px + q = 0 ay may anyo na x = .

Ang ekspresyong ito ay karaniwang tinatawag na pormula ni Cardano, pagkatapos ng siyentipiko na natutunan ito mula sa Tartaglia at inilathala ito noong 1545 sa kanyang aklat na The Great Art of Algebraic Rules. Ang isang mag-aaral ng Cardano, isang batang matematiko na si Ferrari, ay nalutas ang pangkalahatang equation ng ika-apat na degree. Pagkatapos nito, sa loob ng dalawa at kalahating siglo, nagpatuloy ang paghahanap para sa isang formula para sa paglutas ng mga equation ng ikalimang degree. Noong 1823, pinatunayan ng kahanga-hangang matematikong Norwegian na si Niels Hendrik Abel (1802-1829) na walang ganoong pormula. Mas tiyak, pinatunayan niya na ang mga ugat pangkalahatang equation Ang ikalimang antas ay hindi maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga coefficient nito gamit ang mga operasyon ng arithmetic at root extraction. Ang isang malalim na pag-aaral ng tanong ng mga kondisyon para sa kalutasan ng mga equation sa mga radical ay isinagawa ng Pranses na matematiko na si Evariste Galois (1811-1832), na namatay sa isang tunggalian sa edad na 21. Ang ilang mga problema ng Galois theory ay nalutas ng algebraist ng Sobyet na si I.T. Shafarevich.

Kasabay ng paghahanap para sa isang pormula para sa paglutas ng isang fifth-degree equation, ang iba pang mga pag-aaral ay isinagawa din sa larangan ng teorya ng algebraic equation. Nagtatag ang Vieta ng koneksyon sa pagitan ng mga coefficient ng mga equation at mga ugat nito. Pinatunayan niya na kung ang x 1 ,…,x n ay ang mga ugat ng equation x n + a 1 x n-1 +…+a n =0, kung gayon ang mga formula ay magaganap:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a,
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n =a 2
……………………………
x 1 x 2 … x n = (-1) n d n .

Panitikan:

1. Journal "Mathematics at School" 6, 1999
2. Supplement sa pahayagan na "Una ng Setyembre" - Mathematics 20, 1999.
3. S.I. Tumanov "Algebra", isang manwal para sa mga mag-aaral sa grade 6-8.
4. N.I. Alexandrov; I. P. Yarandai "Diksyunaryo-sangguniang aklat sa matematika".
5. TUNGKOL SA. Epishev; SA AT. Krupych "Pagtuturo sa mga mag-aaral na matuto ng matematika".
6. E.I.Yamshchenko "Pag-aaral ng mga function".
7. A.I. Khudobin; M.F. Shurshalov "Koleksyon ng mga problema sa algebra at elementarya na pag-andar".
8. Sh. A. Alimov, V.A. Ilyin "Algebra grades 6-8".

1. Pangkalahatang probisyon

1.1. Upang mapanatili reputasyon ng negosyo at pagtiyak ng pagsunod sa mga pamantayan ng pederal na batas na isinasaalang-alang ng FGAU GNII ITT "Informika" (mula dito ay tinutukoy bilang Kumpanya). ang pinakamahalagang gawain tinitiyak ang pagiging lehitimo ng pagproseso at seguridad ng personal na data ng mga paksa sa mga proseso ng negosyo ng Kumpanya.

1.2. Upang malutas ang problemang ito, ang Kumpanya ay nagpakilala, nagpapatakbo at sumasailalim sa pana-panahong pagsusuri (kontrol) ng sistema ng proteksyon ng personal na data.

1.3. Ang pagproseso ng personal na data sa Kumpanya ay batay sa mga sumusunod na prinsipyo:

Ang legalidad ng mga layunin at pamamaraan ng pagproseso ng personal na data at mabuting pananampalataya;

Pagsunod sa mga layunin ng pagproseso ng personal na data sa mga layuning paunang natukoy at idineklara sa panahon ng pagkolekta ng personal na data, pati na rin ang mga kapangyarihan ng Kumpanya;

Pagsunod sa dami at likas na katangian ng naprosesong personal na data, mga pamamaraan ng pagproseso ng personal na data na may mga layunin ng pagproseso ng personal na data;

Ang pagiging maaasahan ng personal na data, ang kanilang kaugnayan at kasapatan para sa mga layunin ng pagproseso, hindi pagtanggap ng labis na pagproseso na may kaugnayan sa mga layunin ng pagkolekta ng personal na data;

Ang pagiging lehitimo ng organisasyon at teknikal na mga hakbang upang matiyak ang seguridad ng personal na data;

Patuloy na pagpapabuti ng antas ng kaalaman ng mga empleyado ng Kumpanya sa larangan ng pagtiyak ng seguridad ng personal na data sa panahon ng kanilang pagproseso;

Nagsusumikap para sa patuloy na pagpapabuti ng sistema ng proteksyon ng personal na data.

2. Mga layunin ng pagpoproseso ng personal na data

2.1. Alinsunod sa mga prinsipyo ng pagpoproseso ng personal na data, tinutukoy ng Kumpanya ang komposisyon at mga layunin ng pagproseso.

Mga layunin ng pagpoproseso ng personal na data:

Konklusyon, pagpapanatili, pagbabago, pagwawakas mga kontrata sa pagtatrabaho, na siyang batayan para sa paglitaw o pagwawakas ng mga relasyon sa paggawa sa pagitan ng Kumpanya at ng mga empleyado nito;

Pagbibigay ng isang portal, mga serbisyo personal na account para sa mga mag-aaral, magulang at guro;

Imbakan ng mga resulta ng pag-aaral;

Pagtupad sa mga obligasyong itinakda ng pederal na batas at iba pang mga regulasyong ligal na aksyon;

3. Mga panuntunan para sa pagproseso ng personal na data

3.1. Pinoproseso lamang ng Kumpanya ang mga personal na data na ipinakita sa naaprubahang Listahan ng personal na data na naproseso sa FSAI GNII ITT "Informika"

3.2. Hindi pinapayagan ng Kumpanya ang pagproseso ng mga sumusunod na kategorya ng personal na data:

Lahi;

Mga pananaw sa pulitika;

Pilosopikal na paniniwala;

Tungkol sa estado ng kalusugan;

Estado matalik na buhay;

Nasyonalidad;

Relihiyosong paniniwala.

3.3. Ang Kumpanya ay hindi nagpoproseso ng biometric na personal na data (impormasyon na nagpapakilala sa physiological at biological na katangian ng isang tao, batay sa kung saan posible na maitatag ang kanyang pagkakakilanlan).

3.4. Ang Kumpanya ay hindi transmisyon ng cross-border personal na data (paglipat ng personal na data sa teritoryo ibang bansa awtoridad ng isang dayuhang estado, dayuhan sa isang indibidwal o dayuhang legal na entity).

3.5. Ipinagbabawal ng Kumpanya ang paggawa ng mga desisyon tungkol sa mga paksa ng personal na data batay lamang sa awtomatikong pagproseso ng kanilang personal na data.

3.6. Ang Kumpanya ay hindi nagpoproseso ng data sa mga kriminal na rekord ng mga paksa.

3.7. Ang Kumpanya ay hindi naglalagay ng personal na data ng paksa sa mga pampublikong mapagkukunan nang walang paunang pahintulot niya.

4. Ipinatupad ang mga kinakailangan para sa pagtiyak ng seguridad ng personal na data

4.1. Upang matiyak ang seguridad ng personal na data sa panahon ng kanilang pagproseso, ipinapatupad ng Kumpanya ang mga kinakailangan ng mga sumusunod mga normatibong dokumento Russian Federation sa larangan ng pagproseso at pagtiyak ng seguridad ng personal na data:

ang pederal na batas na may petsang Hulyo 27, 2006 No. 152-FZ "Sa Personal na Data";

Dekreto ng Pamahalaan Pederasyon ng Russia na may petsang Nobyembre 1, 2012 N 1119 "Sa pag-apruba ng mga kinakailangan para sa proteksyon ng personal na data sa panahon ng kanilang pagproseso sa mga sistema ng impormasyon personal na data";

Dekreto ng Pamahalaan ng Russian Federation noong Setyembre 15, 2008 No. 687 "Sa pag-apruba ng Mga Regulasyon sa mga detalye ng pagproseso ng personal na data na isinasagawa nang walang paggamit ng mga tool sa automation";

Order ng FSTEC ng Russia na may petsang Pebrero 18, 2013 N 21 "Sa pag-apruba ng Komposisyon at nilalaman ng organisasyon at teknikal na mga hakbang upang matiyak ang seguridad ng personal na data sa panahon ng kanilang pagproseso sa mga sistema ng impormasyon ng personal na data";

Ang pangunahing modelo ng mga banta sa seguridad ng personal na data sa panahon ng kanilang pagproseso sa mga sistema ng impormasyon ng personal na data (naaprubahan ng Deputy Director ng FSTEC ng Russia noong Pebrero 15, 2008);

Pamamaraan para sa pagtukoy ng mga aktwal na banta sa seguridad ng personal na data sa panahon ng kanilang pagproseso sa mga sistema ng impormasyon ng personal na data (naaprubahan ng Deputy Director ng FSTEC ng Russia noong Pebrero 14, 2008).

4.2. Tinatasa ng Kumpanya ang pinsalang maaaring idulot sa mga paksa ng personal na data at tinutukoy ang mga banta sa seguridad ng personal na data. Alinsunod sa natukoy na aktwal na mga banta, inilalapat ng Kumpanya ang kinakailangan at sapat na pang-organisasyon at teknikal na mga hakbang, kabilang ang paggamit ng mga tool sa seguridad ng impormasyon, pagtuklas ng hindi awtorisadong pag-access, pagbawi ng personal na data, pagtatatag ng mga patakaran para sa pag-access sa personal na data, pati na rin ang pagsubaybay at pagsusuri sa pagiging epektibo ng mga hakbang na ginawa.

4.3. Ang Kumpanya ay nagtalaga ng mga taong responsable sa pag-aayos ng pagproseso at pagtiyak ng seguridad ng personal na data.

4.4. Alam ng pamamahala ng Kumpanya ang pangangailangan at interesadong tiyakin na pareho sa mga tuntunin ng mga kinakailangan ng mga dokumento ng regulasyon ng Russian Federation, at makatwiran sa mga tuntunin ng pagtatasa ng panganib para sa negosyo, ang antas ng seguridad ng personal na data na naproseso bilang bahagi ng pangunahing negosyo ng Kumpanya.

Kapag nilulutas ang mga equation, upang gawing simple ito, nagsasagawa kami magkaparehong pagbabago mga ekspresyon. Sa mga equation na may isang variable, minsan ang solusyon ng isang equation ay maaaring bawasan sa solusyon ng isang katumbas na linear equation na may isang variable.

Tingnan natin ang mga halimbawa. Lutasin ang equation (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x. Sa kaliwang bahagi ng equation, i-multiply ang polynomial 2x+1 ng polynomial 3x-2, at gayundin ang monomial 6x ng polynomial x+4. Matapos i-multiply ang polynomial 2x + 1 ng polynomial 3x-2, makuha namin ang polynomial 6x 2 + 3x-4x-2, at pagkatapos i-multiply ang monomial 6x ng polynomial x + 4, makuha namin ang polynomial 6x 2 + 24x. Ang aming equation ay kukuha ng form (6x 2 + 3x-4x-2) - (6x 2 + 24x) \u003d 67-2x. Pagkatapos nito, binuksan namin ang mga bracket at kumuha ng 6x 2 + 3x-4x-2-6x 2 -24x \u003d 67-2x. Inilipat namin ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at nang walang hindi alam - sa kanan. Ang bagong katumbas na equation ay ganito ang hitsura: 6x 2 -6x 2 +3x-4x+2x-24x=67+2. Nagpapakita kami ng mga katulad. Nakukuha namin -23x=69. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa -23. Nakukuha namin ang x=-3. Sunud-sunod naming pinalitan ang mga equation ng mga katumbas. Kaya't ang orihinal na equation ay katumbas ng equation -23x=69 at may isang ugat - ang numero -3.

Pangalawang halimbawa. Lutasin natin ang equation (x+2)/3-(3x-1)/4=-2. Sa kaliwang bahagi ng equation na ito ay ang mga fraction (x+2)/3 at (3x-1)/4. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pinakamaliit karaniwang denominador ng mga fraction na ito - ang bilang na 12. [(x+2)/3-(3x-1)4].12=-2.12. Buksan natin ang mga bracket at i-multiply ang bawat fraction sa 12. Nakukuha natin ang (x+2)12/3-(3x-1)12/4+-24. Sa unang bahagi, ang 12 at 3 ay mababawasan, at sa pangalawa, 12 at 4. Pagkatapos ng pagbawas, ang aming equation ay magiging 4 (x + 2) -3 (3x-1) \u003d -24. Kaya, inalis namin ang mga denominador. Pagkatapos buksan ang mga bracket, nakakakuha kami ng 4x + 8-9x + 3 \u003d -24. Lahat ng naglalaman ng variable ay inilipat sa kaliwang bahagi, at lahat ng hindi naglalaman ng variable ay inilipat sa kanan. Ang equation ay nagiging 4x-9x=-24-8-3. Nagbibigay kami ng mga katulad at nakakakuha ng -5x \u003d -35. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa -5 at lumabas na x=7. Ang pagpapalit ng equation ng hakbang-hakbang na may katumbas na parameter, nakakuha kami ng linear equation -5x=-35, na katumbas ng ibinigay. Ang linear equation na ito ay may iisang ugat - ang numero 7.

Sa isinasaalang-alang na mga halimbawa, ang solusyon ng orihinal na equation ay nabawasan sa solusyon ng isang linear na equation ng form na ax=b, kung saan ang coefficient a ay hindi katumbas ng 0.

Gayunpaman, maaari ring mangyari na sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang equation ng isa pang katumbas nito, makakakuha tayo ng linear equation ng form na 0x=b, kung saan ang b ay hindi katumbas ng 0 o 0x=0. Sa unang kaso, maaari nating tapusin na ang orihinal na equation ay walang mga ugat, dahil mayroong 0 sa kaliwang bahagi ng equation, at ang numero ay hindi katumbas ng 0 sa kanan. Sa pangalawang kaso, ang equation ay may walang katapusang bilang mga ugat, dahil ang kaliwang bahagi ng equation ay palaging magiging 0, at ang kanang bahagi ay magiging 0 din. Ang pagkakapantay-pantay ay palaging totoo, anuman ang halaga ng variable.

Halimbawa tatlo. Lutasin natin ang equation (2x-7)/2-(4x-1)/4=0. Muli, ang aming equation ay naglalaman ng mga fraction, kaya pinarami namin ang magkabilang panig ng equation sa hindi bababa sa karaniwang denominator. Ang numerong ito ay 4. Nakukuha namin ang [(2x-7)/2-(4x-1)/4].4=0.4. Buksan natin ang mga bracket: 4(2x-7)/2-4(4x-1)/4=0. Binabawasan namin ang mga salik at nakuha ang equation na 2(2x-7)-(4x-1)=0. Buksan muli ang mga bracket: 4x-14-4x+1=0. Ilipat natin ang mga terminong may hindi alam sa kaliwang bahagi ng equation, at nang walang hindi alam - sa kanan. Ang equation ay kukuha ng anyong 4x-4x=14-1. Nagbibigay kami ng mga katulad at nakakakuha ng 0x \u003d 13. Ang equation na ito ay walang mga ugat dahil ang 0x ay katumbas ng 0 para sa anumang halaga ng x. Lumalabas na ang pagkakapantay-pantay ay hindi kailanman makakamit, para sa anumang mga halaga ng x. Nangangahulugan ito na ang orihinal na equation na katumbas nito ay walang mga ugat.

Halimbawa apat. Lutasin ang equation (5x-1)-2(3x-6)=11-x. Buksan natin ang mga bracket: 5x-1-6x+12=11-x. Ilipat natin ang mga terminong naglalaman ng x sa kaliwang bahagi, at ang mga hindi naglalaman ng x - sa kanang bahagi mga equation. Nakukuha namin ang 5x-6x+x=11+1-12. Bigyan natin ang mga katulad: 0x=0. Ang equation na ito 0x=0, at samakatuwid ay ang katumbas na orihinal na equation, ay may walang katapusang bilang ng mga ugat. Dahil ang 0 na pinarami ng anumang numero ay katumbas ng 0, ang pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa anumang halaga ng x.

At iba pa, lohikal na pamilyar sa mga equation ng iba pang mga uri. Ang susunod sa linya ay linear na equation, ang may layuning pag-aaral na nagsisimula sa mga aralin sa algebra sa ika-7 baitang.

Malinaw na kailangan mo munang ipaliwanag kung ano ang isang linear equation, magbigay ng kahulugan ng isang linear equation, ang mga coefficient nito, ipakita ito pangkalahatang anyo. Pagkatapos ay maaari mong malaman kung gaano karaming mga solusyon ang mayroon ang isang linear equation depende sa mga halaga ng mga coefficient, at kung paano matatagpuan ang mga ugat. Ito ay magpapahintulot sa iyo na magpatuloy sa paglutas ng mga halimbawa, at sa gayon ay pagsama-samahin ang pinag-aralan na teorya. Sa artikulong ito gagawin natin ito: tatalakayin natin nang detalyado ang lahat ng teoretikal at praktikal na mga punto tungkol sa mga linear na equation at ang kanilang solusyon.

Sabihin natin kaagad na dito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga linear na equation na may isang variable, at sa isang hiwalay na artikulo ay pag-aaralan natin ang mga prinsipyo ng paglutas linear equation sa dalawang variable.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang linear equation?

Ang kahulugan ng isang linear equation ay ibinibigay sa pamamagitan ng anyo ng notasyon nito. Bukod dito, sa iba't ibang mga aklat-aralin ng matematika at algebra, ang mga pormulasyon ng mga kahulugan ng mga linear na equation ay may ilang mga pagkakaiba na hindi nakakaapekto sa kakanyahan ng isyu.

Halimbawa, sa isang algebra textbook para sa grade 7 ni Yu. N. Makarycheva at iba pa, ang isang linear equation ay tinukoy bilang sumusunod:

Kahulugan.

Uri ng equation ax=b, kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay ilang mga numero, ay tinatawag linear equation na may isang variable.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga linear na equation na tumutugma sa tininigan na kahulugan. Halimbawa, ang 5 x=10 ay isang linear equation na may isang variable x , dito ang coefficient a ay 5 , at ang bilang b ay 10 . Isa pang halimbawa: −2.3 y=0 ay isa ring linear na equation, ngunit may variable na y , kung saan ang a=−2.3 at b=0 . At sa mga linear na equation x=−2 at −x=3.33 a ay hindi tahasang naroroon at katumbas ng 1 at −1, ayon sa pagkakabanggit, habang sa unang equation b=−2 , at sa pangalawa - b=3.33 .

At isang taon bago nito, sa aklat-aralin ng matematika ni N. Ya. Vilenkin, ang mga linear na equation na may isang hindi kilalang, bilang karagdagan sa mga equation ng form a x = b, ay itinuturing din na mga equation na maaaring mabawasan sa form na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng mga termino mula sa isa. bahagi ng equation sa isa pang may kabaligtaran ng tanda, pati na rin sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Ayon sa kahulugang ito, ang mga equation ng form 5 x=2 x+6 , atbp. ay linear din.

Sa turn, ang sumusunod na kahulugan ay ibinigay sa algebra textbook para sa 7 klase ni A. G. Mordkovich:

Kahulugan.

Linear equation na may isang variable x ay isang equation ng anyo a x+b=0 , kung saan ang a at b ay ilang mga numero, na tinatawag na coefficients ng linear equation.

Halimbawa, ang mga linear na equation ng ganitong uri ay 2 x−12=0, dito ang coefficient a ay katumbas ng 2, at b ay katumbas ng −12, at 0.2 y+4.6=0 na may coefficients a=0.2 at b =4.6. Ngunit sa parehong oras, may mga halimbawa ng mga linear na equation na may anyo na hindi a x+b=0 , ngunit a x=b , halimbawa, 3 x=12 .

Tayo, upang wala tayong anumang mga pagkakaiba sa hinaharap, sa ilalim ng isang linear na equation na may isang variable na x at mga coefficients a at b mauunawaan natin ang isang equation ng form a x+b=0 . Ang ganitong uri ng linear equation ay tila ang pinaka-makatwiran, dahil ang mga linear equation ay algebraic equation unang degree. At ang lahat ng iba pang mga equation na ipinahiwatig sa itaas, pati na rin ang mga equation na nabawasan sa anyo ng isang x+b=0 sa tulong ng mga katumbas na pagbabago, ay tatawagin mga equation na bumabawas sa mga linear na equation. Sa diskarteng ito, ang equation na 2 x+6=0 ay isang linear na equation, at 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, atbp. ay mga linear equation.

Paano malutas ang mga linear na equation?

Ngayon ay oras na upang malaman kung paano nalutas ang mga linear na equation na isang x+b=0. Sa madaling salita, oras na upang malaman kung ang linear equation ay may mga ugat, at kung gayon, ilan at kung paano mahahanap ang mga ito.

Ang pagkakaroon ng mga ugat ng isang linear equation ay nakasalalay sa mga halaga ng coefficients a at b. Sa kasong ito, ang linear equation a x+b=0 ay mayroon

• ang tanging ugat sa a≠0 ,
• walang mga ugat para sa a=0 at b≠0 ,
• ay may walang katapusang maraming ugat para sa a=0 at b=0 , kung saan ang anumang numero ay ugat ng isang linear equation.

Ipaliwanag natin kung paano nakuha ang mga resultang ito.

Alam natin na upang malutas ang mga equation, posibleng lumipat mula sa orihinal na equation patungo sa mga katumbas na equation, iyon ay, sa mga equation na may parehong mga ugat o, tulad ng orihinal, na walang mga ugat. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na katumbas na pagbabago:

• paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda,
• at din multiply o paghahati sa magkabilang panig ng equation sa parehong di-zero na numero.

Kaya, sa isang linear equation na may isa uri ng variable a x+b=0 maaari nating ilipat ang terminong b mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda. Sa kasong ito, ang equation ay kukuha ng anyo a x=−b.

At pagkatapos ay ang paghahati ng parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng numero a ay nagmumungkahi ng sarili nito. Ngunit mayroong isang bagay: ang numero a ay maaaring katumbas ng zero, kung saan imposible ang gayong dibisyon. Upang harapin ang problemang ito, ipagpalagay muna natin na ang numero a ay iba sa zero, at ang kaso katumbas ng zero a ay isasaalang-alang nang hiwalay sa ibang pagkakataon.

Kaya, kapag ang a ay hindi katumbas ng zero, maaari nating hatiin ang parehong bahagi ng equation a x=−b sa pamamagitan ng a , pagkatapos na ito ay ma-convert sa form na x=(−b):a , ang resultang ito ay maaaring isulat gamit ang a solidong linya bilang .

Kaya, para sa a≠0, ang linear na equation na a·x+b=0 ay katumbas ng equation , kung saan makikita ang ugat nito.

Madaling ipakita na ang ugat na ito ay natatangi, ibig sabihin, ang linear equation ay walang ibang mga ugat. Pinapayagan ka nitong gawin ang kabaligtaran na pamamaraan.

Tukuyin natin ang ugat bilang x 1 . Ipagpalagay na mayroong isa pang ugat ng linear equation, na tinutukoy natin x 2, at x 2 ≠ x 1, na, dahil sa mga kahulugan pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba ay katumbas ng kundisyon x 1 − x 2 ≠0 . Dahil ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng linear equation a x+b=0, kung gayon ang mga numerical equalities na a x 1 +b=0 at a x 2 +b=0 ay magaganap. Maaari nating ibawas ang mga katumbas na bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito, na pinahihintulutan sa atin ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay na numero, mayroon tayong x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , kung saan a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 at pagkatapos ay a (x 1 − x 2)=0 . At ang pagkakapantay-pantay na ito ay imposible, dahil pareho ang a≠0 at x 1 − x 2 ≠0. Kaya tayo ay dumating sa isang kontradiksyon, na nagpapatunay sa pagiging natatangi ng ugat ng linear equation a·x+b=0 para sa a≠0 .

Kaya't nalutas namin ang linear equation a x+b=0 na may a≠0 . Ang unang resulta na ibinigay sa simula ng subsection na ito ay makatwiran. May dalawa pang nakakatugon sa kundisyon a=0 .

Para sa a=0 ang linear equation na a·x+b=0 ay nagiging 0·x+b=0 . Mula sa equation na ito at sa pag-aari ng pag-multiply ng mga numero sa zero, sumusunod na kahit anong numero ang kunin natin bilang x, kapag pinalitan natin ito sa equation na 0 x+b=0, nakukuha natin ang numerical equality b=0. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo kapag b=0 , at sa ibang mga kaso kapag b≠0 ang pagkakapantay-pantay na ito ay mali.

Samakatuwid, na may a=0 at b=0, anumang numero ang ugat ng linear equation a x+b=0, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero 0=0. At para sa a=0 at b≠0, ang linear equation na a x+b=0 ay walang mga ugat, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay humahantong sa isang maling pagkakapantay-pantay ng numero b=0 .

Ang mga katwiran sa itaas ay ginagawang posible na bumuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na nagpapahintulot sa paglutas ng anumang linear equation. Kaya, algorithm para sa paglutas ng isang linear equation ay:

• Una, sa pamamagitan ng pagsulat ng isang linear equation, makikita natin ang mga halaga ng mga coefficient a at b.
• Kung a=0 at b=0 , kung gayon ang equation na ito ay may walang katapusang maraming mga ugat, ibig sabihin, ang anumang numero ay isang ugat ng linear na equation na ito.
• Kung ang a ay iba sa zero, kung gayon
• ang koepisyent b ay inililipat sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, habang ang linear na equation ay binago sa anyo a x=−b ,
• pagkatapos kung saan ang parehong bahagi ng resultang equation ay hinati sa isang di-zero na numero a, na nagbibigay ng nais na ugat ng orihinal na linear equation.

Ang nakasulat na algorithm ay isang kumpletong sagot sa tanong kung paano malutas ang mga linear na equation.

Sa konklusyon ng talatang ito, nararapat na sabihin na ang isang katulad na algorithm ay ginagamit upang malutas ang mga equation ng form a x=b. Ang pagkakaiba nito ay nakasalalay sa katotohanan na kapag ang a≠0, ang parehong bahagi ng equation ay agad na hinati sa numerong ito, narito ang b ay nasa nais na bahagi ng equation at hindi na ito kailangang ilipat.

Upang malutas ang mga equation ng form a x=b, ang sumusunod na algorithm ay ginagamit:

• Kung a=0 at b=0 , kung gayon ang equation ay may walang katapusang maraming ugat, na anumang mga numero.
• Kung a=0 at b≠0 , kung gayon ang orihinal na equation ay walang mga ugat.
• Kung ang a ay hindi zero, kung gayon ang magkabilang panig ng equation ay nahahati sa isang di-zero na numero a, kung saan matatagpuan ang tanging ugat ng equation na katumbas ng b / a.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation

Magpatuloy tayo sa pagsasanay. Suriin natin kung paano inilapat ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation. Narito ang mga solusyon mga halimbawa ng katangian katumbas iba't ibang kahulugan coefficients ng linear equation.

Halimbawa.

Lutasin ang linear equation 0 x−0=0 .

Desisyon.

Sa linear equation na ito, a=0 at b=−0 , na kapareho ng b=0 . Samakatuwid, ang equation na ito ay may walang katapusang maraming ugat, anumang numero ang ugat ng equation na ito.

Sagot:

x ay anumang numero.

Halimbawa.

May mga solusyon ba ang linear equation 0 x+2.7=0?

Desisyon.

AT kasong ito ang coefficient a ay katumbas ng zero, at ang coefficient b ng linear equation na ito ay katumbas ng 2.7, iyon ay, ito ay naiiba sa zero. Samakatuwid, ang linear equation ay walang mga ugat.

Sa video na ito, susuriin namin ang isang buong hanay ng mga linear na equation na nalutas gamit ang parehong algorithm - kaya't tinawag silang pinakasimple.

Upang magsimula, tukuyin natin: ano ang isang linear equation at alin sa kanila ang dapat tawaging pinakasimple?

Ang linear equation ay isa kung saan mayroon lamang isang variable, at sa unang degree lamang.

Ang pinakasimpleng equation ay nangangahulugan ng pagbuo:

Ang lahat ng iba pang mga linear na equation ay binabawasan sa pinakasimpleng mga equation gamit ang algorithm:

1. Buksan ang mga bracket, kung mayroon man;
2. Ilipat ang mga terminong naglalaman ng variable sa isang gilid ng pantay na tanda, at mga terminong walang variable sa kabilang panig;
3. Dalhin tulad ng mga termino sa kaliwa at kanan ng pantay na tanda;
4. Hatiin ang resultang equation sa coefficient ng variable na $x$ .

Siyempre, hindi palaging nakakatulong ang algorithm na ito. Ang katotohanan ay kung minsan, pagkatapos ng lahat ng mga machinations na ito, ang koepisyent ng variable na $x$ ay lumalabas na katumbas ng zero. Sa kasong ito, posible ang dalawang pagpipilian:

1. Ang equation ay walang mga solusyon sa lahat. Halimbawa, kapag nakakuha ka ng tulad ng $0\cdot x=8$, i.e. sa kaliwa ay zero, at sa kanan ay isang non-zero na numero. Sa video sa ibaba, titingnan natin ang ilang dahilan kung bakit posible ang sitwasyong ito.
2. Ang solusyon ay lahat ng numero. Ang tanging kaso kapag ito ay posible ay kapag ang equation ay nabawasan sa pagbuo $0\cdot x=0$. Ito ay lubos na lohikal na kahit na ano ang $x$ na palitan natin, ito ay magiging "zero ay katumbas ng zero", i.e. wastong pagkakapantay-pantay ng numero.

At ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang lahat sa halimbawa ng mga tunay na problema.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation

Ngayon ay haharapin natin ang mga linear na equation, at ang mga pinakasimpleng equation lamang. Sa pangkalahatan, ang isang linear equation ay nangangahulugang anumang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng eksaktong isang variable, at ito ay napupunta lamang sa unang antas.

Ang ganitong mga konstruksyon ay nalutas sa humigit-kumulang sa parehong paraan:

1. Una sa lahat, kailangan mong buksan ang mga bracket, kung mayroon man (tulad ng sa aming huling halimbawa);
2. Pagkatapos ay magdala ng katulad
3. Sa wakas, ihiwalay ang variable, i.e. lahat ng bagay na konektado sa variable - ang mga termino kung saan ito nakapaloob - ay inililipat sa isang panig, at lahat ng nananatili nang wala nito ay inililipat sa kabilang panig.

Pagkatapos, bilang panuntunan, kailangan mong magdala ng katulad sa bawat panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay, at pagkatapos nito ay nananatili lamang upang hatiin sa pamamagitan ng koepisyent sa "x", at makukuha natin ang pangwakas na sagot.

Sa teorya, ito ay mukhang maganda at simple, ngunit sa pagsasagawa, kahit na ang mga may karanasang mag-aaral sa high school ay maaaring gumawa ng mga nakakasakit na pagkakamali sa medyo simpleng mga linear na equation. Kadalasan, ang mga pagkakamali ay nagagawa kapag binubuksan ang mga bracket, o kapag nagbibilang ng "mga plus" at "minus".

Bilang karagdagan, nangyayari na ang isang linear equation ay walang mga solusyon sa lahat, o kaya na ang solusyon ay ang buong linya ng numero, i.e. kahit anong numero. Susuriin natin ang mga subtleties na ito sa aralin ngayon. Ngunit magsisimula kami, tulad ng naintindihan mo na, sa karamihan mga simpleng gawain.

Scheme para sa paglutas ng mga simpleng linear equation

Upang magsimula, hayaan mo akong isulat muli ang buong pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng mga linear na equation:

1. Palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man.
2. Ihiwalay ang mga variable, i.e. lahat ng naglalaman ng "x" ay inililipat sa isang gilid, at walang "x" - sa isa pa.
3. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.
4. Hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng coefficient sa "x".

Siyempre, ang pamamaraan na ito ay hindi palaging gumagana, mayroon itong ilang mga subtleties at trick, at ngayon ay makikilala natin sila.

Paglutas ng mga tunay na halimbawa ng simpleng linear equation

Gawain 1

Sa unang hakbang, kailangan nating buksan ang mga bracket. Ngunit wala sila sa halimbawang ito, kaya laktawan namin yugtong ito. Sa pangalawang hakbang, kailangan nating ihiwalay ang mga variable. Tandaan: nag-uusap kami tungkol lamang sa mga indibidwal na sangkap. Sumulat tayo:

Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa kaliwa at sa kanan, ngunit nagawa na ito dito. Samakatuwid, magpatuloy kami sa ika-apat na hakbang: hatiin sa pamamagitan ng isang kadahilanan:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Dito nakuha namin ang sagot.

Gawain #2

Sa gawaing ito, maaari nating obserbahan ang mga bracket, kaya palawakin natin ang mga ito:

Parehong sa kaliwa at sa kanan, nakikita natin ang humigit-kumulang sa parehong konstruksiyon, ngunit kumilos tayo ayon sa algorithm, i.e. mga sequester variable:

Narito ang ilang tulad ng:

Sa anong mga ugat ito gumagana? Sagot: para sa alinman. Samakatuwid, maaari nating isulat na ang $x$ ay anumang numero.

Gawain #3

Ang ikatlong linear equation ay mas kawili-wili na:

\[\kaliwa(6-x \kanan)+\kaliwa(12+x \kanan)-\kaliwa(3-2x \kanan)=15\]

Mayroong ilang mga bracket dito, ngunit hindi sila pinarami ng kahit ano, nakatayo lamang sila sa harap nila iba't ibang palatandaan. Hatiin natin sila:

Ginagawa namin ang pangalawang hakbang na alam na namin:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Kalkulahin natin:

Ginagawa namin ang huling hakbang - hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent sa "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Mga Dapat Tandaan Kapag Nilulutas ang mga Linear Equation

Kung balewalain natin ang napakasimpleng gawain, gusto kong sabihin ang sumusunod:

• Tulad ng sinabi ko sa itaas, hindi lahat ng linear equation ay may solusyon - kung minsan ay walang mga ugat;
• Kahit na may mga ugat, zero ang maaaring makapasok sa kanila - walang masama doon.

Ang zero ay kapareho ng numero gaya ng iba, hindi mo ito dapat i-discriminate o ipagpalagay na kung nakakuha ka ng zero, may nagawa kang mali.

Ang isa pang tampok ay nauugnay sa pagpapalawak ng mga panaklong. Pakitandaan: kapag may "minus" sa harap nila, inaalis namin ito, ngunit sa mga bracket ay binabago namin ang mga palatandaan sa kabaligtaran. At pagkatapos ay maaari nating buksan ito ayon sa karaniwang mga algorithm: makukuha natin ang nakita natin sa mga kalkulasyon sa itaas.

Pag-unawa dito simpleng katotohanan ay pipigil sa iyo mula sa paggawa ng mga hangal at masasakit na pagkakamali sa high school kapag ang paggawa ng mga bagay ay kinuha para sa ipinagkaloob.

Paglutas ng mga kumplikadong linear equation

Lumipat tayo sa higit pa kumplikadong mga equation. Ngayon ang mga constructions ay magiging mas kumplikado at isang quadratic function ay lilitaw kapag gumaganap ng iba't ibang mga pagbabagong-anyo. Gayunpaman, hindi ka dapat matakot dito, dahil kung, ayon sa intensyon ng may-akda, malulutas namin ang isang linear equation, pagkatapos ay sa proseso ng pagbabagong-anyo ang lahat ng monomials na naglalaman ng isang quadratic function ay kinakailangang mabawasan.

Halimbawa #1

Malinaw, ang unang hakbang ay buksan ang mga bracket. Gawin natin ito nang maingat:

Ngayon gawin natin ang privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Narito ang ilang tulad ng:

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, kaya sa sagot ay isinusulat namin ang mga sumusunod:

\[\iba't-ibang \]

o walang ugat.

Halimbawa #2

Ginagawa namin ang parehong mga hakbang. Unang hakbang:

Ilipat natin ang lahat na may variable sa kaliwa, at kung wala ito - sa kanan:

Narito ang ilang tulad ng:

Malinaw, ang linear equation na ito ay walang solusyon, kaya isinulat namin ito tulad nito:

\[\varnothing\],

o walang ugat.

Nuances ng solusyon

Ang parehong mga equation ay ganap na nalutas. Sa halimbawa ng dalawang expression na ito, muli naming tiniyak na kahit na sa pinakasimpleng mga linear na equation, ang lahat ay maaaring hindi gaanong simple: maaaring mayroong alinman sa isa, o wala, o walang katapusan na marami. Sa aming kaso, isinasaalang-alang namin ang dalawang equation, sa parehong walang mga ugat.

Ngunit nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang katotohanan: kung paano magtrabaho sa mga bracket at kung paano palawakin ang mga ito kung mayroong isang minus sign sa harap nila. Isaalang-alang ang expression na ito:

Bago buksan, kailangan mong i-multiply ang lahat sa pamamagitan ng "x". Pakitandaan: paramihin bawat indibidwal na termino. Sa loob mayroong dalawang termino - ayon sa pagkakabanggit, dalawang termino at pinarami.

At pagkatapos lamang makumpleto ang mga tila elementarya, ngunit napakahalaga at mapanganib na mga pagbabagong ito, mabubuksan ang bracket mula sa punto ng view na mayroong isang minus sign pagkatapos nito. Oo, oo: ngayon lang, kapag tapos na ang mga pagbabago, naaalala namin na may minus sign sa harap ng mga bracket, na nangangahulugan na ang lahat sa ibaba ay nagbabago lamang ng mga palatandaan. Kasabay nito, ang mga bracket mismo ay nawawala at, pinaka-mahalaga, ang harap na "minus" ay nawawala din.

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang equation:

Ito ay hindi nagkataon na binibigyang pansin ko ang maliliit, tila hindi gaanong kahalagahan na mga katotohanang ito. Dahil ang paglutas ng mga equation ay palaging isang sequence mga pagbabagong elementarya kung saan ang kawalan ng kakayahan na malinaw at may kakayahang gumanap mga simpleng hakbang humahantong sa katotohanan na ang mga mag-aaral sa high school ay lumapit sa akin at natutong lutasin muli ang mga simpleng equation.

Siyempre, darating ang araw na mahahasa mo ang mga kasanayang ito sa automatism. Hindi mo na kailangang magsagawa ng napakaraming pagbabago sa bawat oras, isusulat mo ang lahat sa isang linya. Ngunit habang nag-aaral ka pa lang, kailangan mong isulat ang bawat aksyon nang hiwalay.

Paglutas ng mas kumplikadong mga linear equation

Ang lulutasin natin ngayon ay halos hindi matatawag na pinakasimpleng gawain, ngunit ang kahulugan ay nananatiling pareho.

Gawain 1

\[\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

I-multiply natin ang lahat ng elemento sa unang bahagi:

Mag-retreat tayo:

Narito ang ilang tulad ng:

Gawin natin ang huling hakbang:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Narito ang aming huling sagot. At, sa kabila ng katotohanan na sa proseso ng paglutas ay mayroon kaming mga coefficient na may isang parisukat na pag-andar, gayunpaman, pareho silang kinansela, na ginagawang ang equation ay eksaktong linear, hindi parisukat.

Gawain #2

\[\kaliwa(1-4x \kanan)\kaliwa(1-3x \kanan)=6x\kaliwa(2x-1 \kanan)\]

Gawin nating mabuti ang unang hakbang: i-multiply ang bawat elemento sa unang bracket sa bawat elemento sa pangalawa. Sa kabuuan, apat na bagong termino ang dapat makuha pagkatapos ng mga pagbabago:

At ngayon maingat na isagawa ang multiplikasyon sa bawat termino:

Ilipat natin ang mga terminong may "x" sa kaliwa, at walang - sa kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Narito ang mga katulad na termino:

Nakatanggap kami ng isang tiyak na sagot.

Nuances ng solusyon

Ang pinakamahalagang pahayag tungkol sa dalawang equation na ito ay ang mga sumusunod: sa sandaling simulan natin ang pagpaparami ng mga bracket kung saan mayroong terminong mas malaki kaysa rito, pagkatapos ito ay gagawin ayon sa susunod na tuntunin: kinuha namin ang unang termino mula sa una at i-multiply sa bawat elemento mula sa pangalawa; pagkatapos ay kukunin namin ang pangalawang elemento mula sa una at katulad na dumami sa bawat elemento mula sa pangalawa. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng apat na termino.

Sa algebraic sum

Sa huling halimbawa, nais kong ipaalala sa mga mag-aaral kung ano ang algebraic sum. Sa klasikal na matematika, sa pamamagitan ng $1-7$ ang ibig naming sabihin ay isang simpleng konstruksyon: binabawasan namin ang pito sa isa. Sa algebra, ang ibig sabihin namin dito ay ang mga sumusunod: sa numerong "isa" nagdaragdag kami ng isa pang numero, ibig sabihin ay "minus pito." Ang algebraic sum na ito ay naiiba sa karaniwang arithmetic sum.

Sa sandaling isagawa ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, bawat pagdaragdag at pagpaparami, magsisimula kang makakita ng mga konstruksyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas, hindi ka na magkakaroon ng anumang mga problema sa algebra kapag nagtatrabaho sa mga polynomial at equation.

Sa konklusyon, tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa na magiging mas kumplikado kaysa sa mga nakita natin, at upang malutas ang mga ito, kakailanganin nating bahagyang palawakin ang ating karaniwang algorithm.

Paglutas ng mga equation na may isang fraction

Upang malutas ang mga naturang gawain, kailangan pang magdagdag ng isa pang hakbang sa aming algorithm. Ngunit una, paalalahanan ko ang aming algorithm:

1. Buksan ang mga bracket.
2. Paghiwalayin ang mga variable.
3. Magdala ng katulad.
4. Hatiin sa pamamagitan ng isang kadahilanan.

Sa kasamaang palad, ang kahanga-hangang algorithm na ito, para sa lahat ng kahusayan nito, ay hindi lubos na angkop kapag mayroon tayong mga fraction sa harap natin. At sa makikita natin sa ibaba, mayroon tayong fraction sa kaliwa at sa kanan sa parehong mga equation.

Paano magtrabaho sa kasong ito? Oo, ito ay napaka-simple! Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng isa pang hakbang sa algorithm, na maaaring isagawa pareho bago ang unang aksyon at pagkatapos nito, ibig sabihin, upang mapupuksa ang mga fraction. Kaya, ang algorithm ay magiging tulad ng sumusunod:

1. Alisin ang mga fraction.
2. Buksan ang mga bracket.
3. Paghiwalayin ang mga variable.
4. Magdala ng katulad.
5. Hatiin sa pamamagitan ng isang kadahilanan.

Ano ang ibig sabihin ng "alisin ang mga fraction"? At bakit posible na gawin ito pagkatapos at bago ang unang karaniwang hakbang? Sa katunayan, sa aming kaso, ang lahat ng mga fraction ay numeric sa mga tuntunin ng denominator, i.e. kahit saan ang denominator ay isang numero lamang. Samakatuwid, kung i-multiply natin ang parehong bahagi ng equation sa numerong ito, aalisin natin ang mga fraction.

Halimbawa #1

\[\frac(\kaliwa(2x+1 \kanan)\kaliwa(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]

Tanggalin natin ang mga fraction sa equation na ito:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Mangyaring tandaan: ang lahat ay pinarami ng "apat" nang isang beses, i.e. dahil lamang sa mayroon kang dalawang bracket ay hindi nangangahulugang kailangan mong i-multiply ang bawat isa sa kanila sa "apat". Sumulat tayo:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ngayon buksan natin ito:

Nagsasagawa kami ng pag-iisa ng isang variable:

Isinasagawa namin ang pagbabawas ng mga katulad na termino:

\[-4x=-1\kaliwa| :\kaliwa(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nakakuha kami huling desisyon, pumasa tayo sa pangalawang equation.

Halimbawa #2

\[\frac(\kaliwa(1-x \kanan)\kaliwa(1+5x \kanan))(5)+(x)^(2))=1\]

Dito ginagawa namin ang lahat ng parehong mga aksyon:

\[\frac(\kaliwa(1-x \kanan)\kaliwa(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Nalutas ang problema.

Sa totoo lang, iyon lang ang gusto kong sabihin ngayon.

Pangunahing puntos

Ang mga pangunahing natuklasan ay ang mga sumusunod:

• Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation.
• Kakayahang magbukas ng mga bracket.
• Huwag mag-alala kung saanman mayroon ka quadratic function, malamang, sa proseso ng karagdagang pagbabago, mababawasan ang mga ito.
• Ang mga ugat sa mga linear na equation, kahit na ang pinakasimpleng mga equation, ay may tatlong uri: isang solong ugat, ang buong linya ng numero ay isang ugat, walang mga ugat sa lahat.

Umaasa ako na ang araling ito ay makakatulong sa iyo na makabisado ang isang simple, ngunit napakahalagang paksa para sa karagdagang pag-unawa sa lahat ng matematika. Kung may hindi malinaw, pumunta sa site, lutasin ang mga halimbawang ipinakita doon. Manatiling nakatutok, marami pang mga kawili-wiling bagay ang naghihintay para sa iyo!