Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang publiko. mahahalagang okasyon.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Mga equation at sistema ng mga equation ng unang antas

Dalawang numero o ilang expression na konektado ng sign na "=" form pagkakapantay-pantay. Kung ang ibinigay na mga numero o expression ay pantay-pantay para sa anumang mga halaga ng mga titik, kung gayon ang naturang pagkakapantay-pantay ay tinatawag pagkakakilanlan.

Halimbawa, kapag ito ay nakasaad na para sa anumang a wasto:

a + 1 = 1 + a, dito ang pagkakapantay-pantay ay isang pagkakakilanlan.

Equation ay tinatawag na pagkakapantay-pantay na naglalaman hindi kilalang mga numero may marka ng mga titik. Ang mga titik na ito ay tinatawag hindi kilala. Maaaring mayroong higit sa isang hindi alam sa isang equation.

Halimbawa, sa equation 2 X + sa = 7X- 3 dalawang hindi alam: X at sa.

Ang expression sa kaliwang bahagi ng equation (2 X + sa) ay tinatawag na kaliwang bahagi ng equation, at ang expression sa kanang bahagi ng equation (7 X– 3) ay tinatawag na kanang bahagi nito.

Ang halaga ng hindi alam kung saan ang equation ay nagiging isang pagkakakilanlan ay tinatawag desisyon o ugat mga equation.

Halimbawa, kung sa equation 3 X+ 7=13 sa halip na hindi kilala X palitan ang numero 2, makuha namin ang pagkakakilanlan. Samakatuwid, ang halaga X= 2 ay nakakatugon sa ibinigay na equation at ang numero 2 ay ang solusyon o ugat ng ibinigay na equation.

Ang dalawang equation ay tinatawag katumbas(o katumbas), kung ang lahat ng mga solusyon ng unang equation ay mga solusyon ng pangalawa at kabaligtaran, ang lahat ng mga solusyon ng pangalawang equation ay mga solusyon ng una. Upang katumbas na equation isama rin ang mga equation na walang solusyon.

Halimbawa Equation 2 X– 5 = 11 at 7 X+ 6 = 62 ay katumbas dahil pareho sila ng ugat X= 8; mga equation X + 2 = X+ 5 at 2 X + 7 = 2X ay katumbas dahil parehong walang solusyon.

Mga katangian ng mga katumbas na equation

1. Sa magkabilang panig ng equation, maaari kang magdagdag ng anumang expression na makatuwiran para sa lahat pinahihintulutang halaga hindi kilala; ang magreresultang equation ay magiging katumbas ng ibinigay.

Halimbawa. Equation 2 X– 1 = 7 ay may ugat X= 4. Pagdaragdag ng 5 sa magkabilang panig, makukuha natin ang equation 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 o 2 X+ 4 = 12 na may parehong ugat X = 4.

2. Kung ang parehong bahagi ng equation ay may parehong mga termino, maaari silang alisin.

Halimbawa. Equation 9 x + 5X = 18 + 5X may isang ugat X= 2. Pag-alis sa parehong bahagi 5 X, nakukuha namin ang equation 9 X= 18 na may parehong ugat X = 2.

3. Ang anumang termino ng equation ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign nito sa kabaligtaran.

Halimbawa. Equation 7 X - 11 = 3 ay may isang ugat X= 2. Kung ililipat namin ang 11 sa kanang bahagi na may kabaligtaran ng tanda, nakukuha namin ang equation 7 X= 3 + 11 na may parehong solusyon X = 2.

4. Ang parehong bahagi ng equation ay maaaring i-multiply sa anumang expression (numero) na may katuturan at hindi zero para sa lahat ng tinatanggap na halaga ng hindi alam, ang resultang equation ay magiging katumbas ng isang ito.

Halimbawa. Equation 2 X - 15 = 10 – 3X may ugat X= 5. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng 3, makuha natin ang equation na 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) o 6 X – 45 =30 – 9X, na may parehong ugat X = 5.

5. Ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino ng equation ay maaaring baligtarin (ito ay katumbas ng pagpaparami ng parehong bahagi sa (-1)).

Halimbawa. Equation - 3 x + 7 = - 8 pagkatapos i-multiply ang parehong bahagi sa (-1) ay magkakaroon ng form 3 X - 7 = 8. Ang una at pangalawang equation ay may iisang ugat X = 5.

6. Ang magkabilang panig ng equation ay maaaring hatiin ng parehong numero maliban sa zero (iyon ay, hindi katumbas ng zero).

Halimbawa..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> ay katumbas ng isang ito dahil mayroon itong parehong dalawang ugat: at https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> pagkatapos i-multiply ang parehong bahagi sa 14, magiging ganito ito:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, kung saan ang mga arbitrary na numero, X- hindi kilala, tinawag first degree equation na may isang hindi alam(o linear equation na may isang hindi alam).

Halimbawa. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Ang isang first degree equation na may isang hindi alam ay palaging may isang solusyon; ang isang linear na equation ay maaaring walang mga solusyon () o mayroon sila walang katapusang set(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

Desisyon. I-multiply ang lahat ng termino sa equation ng hindi bababa sa common multiple ng mga denominator, na 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Pinagpangkat namin sa isang bahagi (kaliwa) ang mga terminong naglalaman ng hindi alam, at sa kabilang bahagi (kanan) - ang mga libreng termino:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Hinahati ang parehong bahagi sa (-22), nakukuha namin X = 7.

Mga sistema ng dalawang equation ng unang antas na may dalawang hindi alam

Ang isang equation tulad ng https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> ay tinatawag first degree equation na may dalawang hindi alam na x at sa. Kung nakahanap sila ng mga karaniwang solusyon sa dalawa o higit pang mga equation, pagkatapos ay sinasabi nila na ang mga equation na ito ay bumubuo ng isang sistema, karaniwan silang nakasulat sa ilalim ng isa at pinagsama sa isang kulot na bracket, halimbawa.

Ang bawat pares ng mga hindi alam na sabay-sabay na nakakatugon sa parehong mga equation ng system ay tinatawag solusyon sa sistema. Lutasin ang sistema- nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng solusyon ng sistemang ito o pagpapakita na wala ito. Ang dalawang sistema ng mga equation ay tinatawag katumbas (katumbas), kung ang lahat ng mga solusyon ng isa sa mga ito ay mga solusyon ng isa, at kabaliktaran, lahat ng mga solusyon ng isa ay mga solusyon ng una.

Halimbawa, ang solusyon sa system ay isang pares ng mga numero X= 4 at sa= 3. Ang mga numerong ito ay din ang tanging solusyon mga sistema . Samakatuwid, ang mga sistemang ito ng mga equation ay katumbas.

Mga paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation

1. Paraan algebraic na karagdagan. Kung ang mga coefficient para sa ilang hindi alam sa parehong mga equation ay pantay-pantay sa ganap na halaga, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga equation (o pagbabawas ng isa mula sa isa), maaari kang makakuha ng isang equation na may isang hindi alam. Sa pamamagitan ng paglutas ng equation na ito, matutukoy ang isang hindi alam, at sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa isa sa mga equation ng system, matatagpuan ang pangalawang hindi alam.

Mga Halimbawa: Lutasin ang mga sistema ng mga equation: 1) .

Narito ang mga coefficient sa sa ay pantay sa ganap na halaga ngunit kabaligtaran sa tanda. Upang makakuha ng isang equation sa isa hindi kilalang equation idinagdag namin ang termino ng system sa pamamagitan ng termino:

Natanggap na halaga X= 4 pinapalitan namin sa ilang equation ng system, halimbawa, sa una, at hanapin ang halaga sa: .

Sagot: X = 4; sa = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Pamamaraan ng pagpapalit. Mula sa anumang equation ng system, ipinapahayag namin ang isa sa mga hindi alam sa mga tuntunin ng iba, at pagkatapos ay pinapalitan namin ang halaga ng hindi alam na ito sa natitirang mga equation. Isaalang-alang ang pamamaraang ito na may mga tiyak na halimbawa:

1) Lutasin natin ang sistema ng mga equation. Ipahayag natin ang isa sa mga hindi alam mula sa unang equation, halimbawa X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Kapalit sa= 1 sa expression para sa X, nakukuha namin .

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang ipahayag sa mula sa pangalawang equation:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Palitan ang value X= 5 sa expression para sa sa, nakukuha namin ang https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Lutasin natin ang sistema ng mga equation https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Ang pagpapalit ng halagang ito sa pangalawang equation, makukuha natin isang equation na may isang hindi alam sa: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Isulat muli natin ang system bilang: . Pinapalitan namin ang mga hindi alam sa pamamagitan ng pagtatakda , nakukuha namin linear na sistema ..gif" width="11 height=17" height="17"> sa pangalawang equation, makakakuha tayo ng equation na may isang hindi alam:

Pagpapalit ng halaga v sa expression para sa t, nakukuha namin ang: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> nakita namin .

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, nasaan ang mga coefficient para sa mga hindi alam, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, pagkatapos ay mayroon ang system ang tanging bagay desisyon.

B) Kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, ang system ay may walang katapusang set mga solusyon.

Halimbawa..gif" width="47" height="48 src=">), kaya may natatanging solusyon ang system.

Talaga, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Halimbawa..gif" width="91 height=48" height="48"> o pagkatapos ng reduction , kaya walang solusyon ang system.

Halimbawa..gif" width="116 height=48" height="48"> o pagkatapos paikliin , kaya ang system ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Mga Equation na Naglalaman ng Modulus

Sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng isang module, ang konsepto ng isang module ay ginagamit totoong numero. modyul (ganap na halaga ) totoong numero a ang numero mismo ay tinatawag na kung at kabaligtaran na numero (– a), kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Kaya, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, dahil ang numero 3 > 0; , dahil ang numero ay 5< 0, поэтому ; , bilang (); , bilang .

Mga katangian ng module:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Dahil ang expression sa ilalim ng module ay maaaring tumagal ng dalawang halaga https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, pagkatapos ibinigay na equation bumababa sa paglutas ng dalawang equation: at o at ..gif" width="52" height="20 src=">. Suriin natin sa pamamagitan ng pagpapalit sa bawat halaga X sa kondisyon: kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Halimbawa..gif" width="408" height="55">

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Halimbawa..gif" width="137" height="20"> at . Itabi ang mga resultang value X sa numerical axis, hinahati ito sa mga pagitan:

Kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, dahil sa interval na ito, ang parehong expression ay nasa ilalim ng module sign mas mababa sa zero, at, sa pag-alis ng module, dapat nating baguhin ang sign ng expression sa kabaligtaran. Lutasin natin ang resultang equation:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Maaaring isama ang boundary value sa una at pangalawang span, tulad ng value na maaaring isama sa pangalawa at pangatlo. Sa pangalawang agwat, ang aming equation ay kukuha ng anyo: - ang expression na ito ay walang kahulugan, ibig sabihin, sa pagitan na ito, ang equation ng mga solusyon ay walang mga solusyon sa ilalim ng modulus sign, itinutumbas namin ang mga ito sa zero. Nahanap namin ang mga ugat ng lahat ng mga expression, na may

Susunod na espasyo https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, kung saan a, b, c ay mga di-makatwirang numero ( a≠ 0), at x ay isang variable na tinatawag parisukat. Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong kalkulahin ang discriminant D = b 2 – 4ac. Kung ang D> 0, pagkatapos ang quadratic equation ay may dalawang solusyon (roots): at .

Kung ang D= 0, ang quadratic equation ay malinaw na may dalawa magkaparehong solusyon(multiples of the root).

Kung ang D< 0, квадратное уравнение не имеет tunay na ugat.

Kung ang isa sa mga coefficient b o c sero, pagkatapos ay malulutas ang quadratic equation nang hindi kinakalkula ang discriminant:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(palakol+ b)=0

2)palakol 2 + c = 0 palakol 2 = – c; kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

May mga dependency sa pagitan ng mga coefficient at mga ugat ng quadratic equation, na kilala bilang mga formula o theorem ng Vieta:

Bisquare ang mga equation ay mga equation ng form https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, pagkatapos ay mula sa orihinal na equation nakakakuha tayo ng quadratic equation, mula sa na ating matatagpuan sa, at pagkatapos X, ayon sa formula .

Halimbawa. lutasin ang equation . Dinadala namin ang mga expression sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa karaniwang denominador..gif" width="212" height="29 src=">. Niresolba namin ang resultang quadratic equation: , sa equation na ito a= 1, b= –2,c= -15, kung gayon ang discriminant ay katumbas ng: D = b 2 – 4ac= 64. Mga ugat ng equation: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Ginagawa namin ang kapalit. Pagkatapos ang equation ay nagiging ay isang quadratic equation, kung saan a= 1, b= – 4,c= 3, ang diskriminasyon nito ay: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Ang mga ugat ng quadratic equation ay pantay, ayon sa pagkakabanggit: at .

Mga ugat ng orihinal na equation , , , ..gif" width="78" height="51">, saan PN(x) at Pm(x) ay mga polynomial ng digri n at m ayon sa pagkakabanggit. Ang isang fraction ay zero kung ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi, ngunit ang naturang polynomial equation ay pangunahing nakukuha lamang pagkatapos ng mahabang pagbabago, mga paglipat mula sa isang equation patungo sa isa pa. Sa proseso ng paglutas, samakatuwid, ang bawat equation ay pinalitan ng ilang bago, at ang bago ay maaaring magkaroon ng mga bagong ugat. Upang masundan ang mga pagbabagong ito sa mga ugat, upang maiwasan ang pagkawala ng mga ugat at upang tanggihan ang mga dagdag ay ang gawain. tamang desisyon mga equation.

Ito ay malinaw na ang pinakamahusay na paraan- sa bawat oras na palitan ang isang equation ng isang katumbas, kung gayon ang mga ugat ng huling equation ay magiging mga ugat ng orihinal. Gayunpaman, tulad perpektong landas mahirap ipatupad sa pagsasanay. Bilang isang patakaran, ang equation ay pinalitan ng kahihinatnan nito, na hindi kinakailangang katumbas nito, habang ang lahat ng mga ugat ng unang equation ay ang mga ugat ng pangalawa, ibig sabihin, ang pagkawala ng mga ugat ay hindi nangyayari, ngunit ang mga extraneous. maaaring lumitaw (o maaaring hindi lumitaw). Sa kaso kapag kahit isang beses sa proseso ng mga pagbabagong-anyo ang equation ay pinalitan ng isang hindi pantay, kailangan namin mandatoryong tseke nakuha ang mga ugat.

Kaya, kung ang solusyon ay isinagawa nang walang pagsusuri ng pagkakapareho at pinagmumulan ng mga extraneous na ugat, ang tseke ay obligadong bahagi mga solusyon. Kung walang pag-verify, hindi maituturing na kumpleto ang solusyon, kahit na mga panlabas na ugat hindi lumitaw. Kapag sila ay lumitaw at hindi itinapon, kung gayon ang desisyon na ito ay mali lamang.

Narito ang ilang katangian ng isang polynomial:

Ang ugat ng polynomial tawagan ang halaga x, kung saan ang polynomial ay katumbas ng zero. Anumang polynomial ng degree n ay may eksakto n mga ugat. Kung ang polynomial equation ay nakasulat bilang , kung gayon , saan x 1, x 2,…, xn ay ang mga ugat ng equation.

Ang anumang polynomial ay mayroon kahit degree na may mga tunay na coefficient mayroong hindi bababa sa isang tunay na ugat, at sa pangkalahatan ito ay palaging may kakaibang bilang ng mga tunay na ugat. Ang isang polynomial ng even degree ay maaaring walang tunay na mga ugat, at kapag mayroon sila, ang kanilang numero ay pantay.

Ang isang polynomial sa ilalim ng anumang mga pangyayari ay maaaring mabulok linear na mga kadahilanan at square trinomals na may negatibong diskriminasyon. Kung alam natin ang ugat nito x 1, pagkatapos PN(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).

Kung ang PN(x) = 0 ay isang equation ng kahit na degree, pagkatapos bilang karagdagan sa paraan ng factoring ito, maaari mong subukang ipakilala ang isang pagbabago ng variable, sa tulong ng kung saan ang antas ng equation ay bababa.

Halimbawa. Lutasin ang equation:

Ang equation na ito ng pangatlong (odd) degree ay nangangahulugan na imposibleng magpakilala ng auxiliary variable na magpapababa sa degree ng equation. Dapat itong malutas sa pamamagitan ng pag-factor sa kaliwang bahagi, kung saan buksan muna namin ang mga bracket, at pagkatapos ay isulat ito sa karaniwang anyo.

Nakukuha namin: x 3 + 5x – 6 = 0.

Ito ang pinababang equation (coefficient at ang pinakamataas na antas katumbas ng isa), kaya hinahanap natin ang mga ugat nito sa mga salik ng libreng termino - 6. Ito ang mga numerong ±1, ±2, ±3, ±6. Pagpapalit x= 1 sa equation, nakikita natin iyon x= 1 ang ugat nito, kaya ang polynomial x 3 + 5x–6 = 0 na hinati ng ( x- 1) walang nalalabi. Gawin natin ang dibisyong ito:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2– x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

Kaya x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+ x + 6) = 0

Ang unang equation ay nagbibigay ng ugat x= 1, na napili na, at sa pangalawang equation D< 0, wala ito tunay na solusyon. Dahil ang ODZ ng equation na ito, posibleng hindi suriin.

Halimbawa..gif" width="52" height="21 src=">. Kung i-multiply mo ang unang salik sa pangatlo, at ang pangalawa sa ikaapat, ang mga produktong ito ay magkakaroon ng parehong mga bahagi, na nakasalalay sa x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Hayaan x 2 + 4x = y, pagkatapos ay isulat namin ang equation sa form ( y – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Ang quadratic equation na ito ay may mga solusyon: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Kung babawasan natin ang equation na ito sa isang common denominator, lilitaw ang isang polynomial ng ika-apat na degree sa numerator. Kaya, pinapayagan na baguhin ang variable, na magpapababa sa antas ng equation. Samakatuwid, hindi kinakailangan na agad na bawasan ang equation na ito sa isang common denominator. Dito makikita mo na sa kaliwa ay ang kabuuan ng mga parisukat. Kaya, maaari mo itong idagdag sa buong parisukat kabuuan o pagkakaiba. Sa katunayan, ibawas at idagdag nang dalawang beses ang produkto ng mga base ng mga parisukat na ito: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, pagkatapos y 2 + 18y– 40 = 0. Ayon sa Vieta theorem y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, at sa pangalawa D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Kumuha kami ng isang quadratic equation a(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Mga hindi makatwirang equation

hindi makatwiran tinatawag na equation kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng radical (root ) o sa ilalim ng tanda ng elevation sa fractional degree()..gif" width="120" height="32"> at may parehong domain ng kahulugan ng hindi alam. Kapag nilagyan ng parisukat ang una at pangalawang equation, nakukuha natin ang parehong equation . Ang mga solusyon ng equation na ito ay ang mga solusyon ng parehong hindi makatwiran na equation.

1. Pamamaraan ng pagpapalit: mula sa anumang equation ng system ipinapahayag namin ang isang hindi alam sa mga tuntunin ng isa pa at pinapalitan ito sa pangalawang equation ng system.

Gawain. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Desisyon. Mula sa unang equation ng system, ipinapahayag namin sa sa pamamagitan ng X at palitan sa pangalawang equation ng system. Kunin natin ang sistema katumbas ng orihinal.

Pagkatapos dalhin ang mga naturang termino, kukuha ang system ng form:

Mula sa pangalawang equation nakita namin ang: . Ang pagpapalit ng halagang ito sa equation sa = 2 - 2X, nakukuha namin sa= 3. Samakatuwid, ang solusyon ng sistemang ito ay isang pares ng mga numero .

2. Algebraic na paraan ng pagdaragdag: sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang equation, kumuha ng equation na may isang variable.

Gawain. Lutasin ang system equation:

Desisyon. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng pangalawang equation sa pamamagitan ng 2, makuha natin ang sistema katumbas ng orihinal. Ang pagdaragdag ng dalawang equation ng system na ito, dumating tayo sa system

Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, ang sistemang ito ay kukuha ng anyo: Mula sa pangalawang equation nakita namin. Ang pagpapalit ng halagang ito sa Equation 3 X + 4sa= 5, nakukuha namin , saan . Samakatuwid, ang solusyon ng sistemang ito ay isang pares ng mga numero .

3. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable: naghahanap kami ng ilang paulit-ulit na expression sa system, na tutukuyin namin ng mga bagong variable, at sa gayon ay pinapasimple ang anyo ng system.

Gawain. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Desisyon. Isulat natin sistemang ito kung hindi:

Hayaan x + y = ikaw, hu = v. Pagkatapos makuha namin ang sistema

Solusyonan natin ito sa pamamagitan ng substitution method. Mula sa unang equation ng system, ipinapahayag namin u sa pamamagitan ng v at palitan sa pangalawang equation ng system. Kunin natin ang sistema mga.

Mula sa pangalawang equation ng system nakita namin v 1 = 2, v 2 = 3.

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa equation u = 5 - v, nakukuha namin u 1 = 3,
u 2 = 2. Pagkatapos ay mayroon tayong dalawang sistema

Ang paglutas ng unang sistema, nakakakuha tayo ng dalawang pares ng mga numero (1; 2), (2; 1). Ang pangalawang sistema ay walang solusyon.

Mga pagsasanay para sa malayang gawain

1. Lutasin ang mga sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit.

Mga sistema ng equation na natanggap malawak na aplikasyon sa sektor ng ekonomiya pagmomodelo ng matematika iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.

Ang mga sistema ng equation ay ginagamit hindi lamang sa larangan ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.

sistema linear na equation pangalanan ang dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable na kung saan ito ay kinakailangan upang mahanap karaniwang desisyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.

Linear Equation

Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam, ang halaga nito ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng graph nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay ang solusyon ng polynomial.

Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang pinakasimple ay mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.

F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.

Lutasin ang isang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga ganoong halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, o upang maitaguyod na walang angkop na mga halaga ng x at y.

Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.

Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.

Ang mga homogenous na sistema ng mga linear na equation ay mga sistema kanang bahagi na katumbas ng zero. Kung ang tamang bahagi pagkatapos ng "pantay" na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay hindi homogenous.

Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlong variable o higit pa.

Nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang magkasabay sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ganoon. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakasalalay sa mga variable, maaaring mayroong isang di-makatwirang malaking bilang ng mga ito.

Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Walang pangkaraniwan pamamaraang analitikal mga solusyon ng mga katulad na sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. Detalyadong inilalarawan ng kursong matematika sa paaralan ang mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang graphical at matrix method, ang solusyon sa pamamagitan ng Gauss method.

Ang pangunahing gawain sa pagtuturo ng mga pamamaraan ng paglutas ay ang magturo kung paano wastong pag-aralan ang system at hanapin pinakamainam na algorithm mga solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paglalapat ng isang partikular na pamamaraan.

Paglutas ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase ng programa sekondaryang paaralan medyo simple at ipinaliwanag sa mahusay na detalye. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss at Cramer ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang kurso ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable hanggang sa pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ito ay nabawasan sa isang solong variable na anyo. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system bilang kapalit ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Desisyon halimbawang ito ay hindi nagdudulot ng mga kahirapan at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Ang huling hakbang ay suriin ang mga natanggap na halaga.

Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging masyadong masalimuot para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, ang solusyon sa pagpapalit ay hindi rin praktikal.

Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:

Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan

Kapag naghahanap ng solusyon sa mga system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, termwise pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang numero. pangwakas na layunin mga operasyong matematikal ay isang equation na may isang variable.

Para sa mga aplikasyon ang pamamaraang ito nangangailangan ito ng pagsasanay at pagmamasid. Hindi madaling lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagdaragdag na may bilang ng mga variable na 3 o higit pa. Ang pagdaragdag ng algebraic ay kapaki-pakinabang kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal na numero.

Algoritmo ng pagkilos ng solusyon:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa ilang numero. Ang resulta operasyon ng aritmetika ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
2. Idagdag ang nagresultang termino ng expression sa pamamagitan ng termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
3. I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.

Pamamaraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay kailangang makahanap ng solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation, ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.

Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas na may kinalaman sa ipinasok na hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.

Ipinapakita ng halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posibleng bawasan ang 1st equation ng system sa pamantayan. square trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga ng discriminant sa pamamagitan ng kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang gustong discriminant, b, a, c ang mga multiplier ng polynomial. AT ibinigay na halimbawa a=1, b=16, c=39, kaya D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, mayroong dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon lang: x= -b / 2*a.

Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

Isang visual na paraan para sa paglutas ng mga sistema

Angkop para sa mga system na may 3 equation. Ang pamamaraan ay upang bumuo sa coordinate axis mga graph ng bawat equation na kasama sa system. Ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga curves ang magiging pangkalahatang solusyon ng system.

Ang graphic na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa visual na paraan.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, dalawang puntos ang itinayo para sa bawat linya, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.

Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.

AT susunod na halimbawa kinakailangan upang mahanap graphic na solusyon sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.

Ang mga sistema mula sa Mga Halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo, nagiging malinaw na ang kanilang mga solusyon ay magkaiba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.

Matrix at mga varieties nito

Ginagamit ang mga matrice para sa pagdadaglat sistema ng mga linear na equation. Ang talahanayan ay tinatawag na matrix. espesyal na uri puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.

Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang single-column matrix na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Matrix na may mga unit kasama ang isa sa mga diagonal at iba pa zero elemento tinatawag na isahan.

Ang isang kabaligtaran na matrix ay tulad ng isang matrix, kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang yunit, ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.

Mga panuntunan para sa pagbabago ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix

Tungkol sa mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng mga miyembro ng mga equation ay nakasulat bilang mga numero ng matrix, isang equation ay isang hilera ng matrix.

Ang isang matrix row ay tinatawag na non-zero kung hindi bababa sa isang elemento ng row ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ay kinakailangan na magpasok ng zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.

Ang mga column ng matrix ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaari lamang isulat sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.

Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.

Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan K -1 - baligtad na matris, at |K| - determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.

Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix, kinakailangan lamang na i-multiply ang mga elemento nang pahilis sa bawat isa. Para sa opsyong "three by three", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column para hindi na maulit ang column at row number ng mga elemento sa produkto.

Solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method

Ginagawang posible ng matrix na paraan ng paghahanap ng solusyon na bawasan ang masalimuot na mga notasyon kapag nilulutas ang mga system gamit ang malaking dami mga variable at equation.

Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ang mga variable, at ang b n ay ang mga libreng termino.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss

AT mas mataas na matematika ang Gauss method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer solution method. Ang mga pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap mga variable ng system na may maraming linear equation.

Ang pamamaraang Gaussian ay halos kapareho sa mga solusyon sa pagpapalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyong Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang dalhin ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. paraan pagbabagong algebraic at ang mga pagpapalit ay ang halaga ng isang variable sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, at 3 at 4 - na may 3 at 4 na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Matapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.

AT mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyon sa pamamaraang Gauss ay inilarawan bilang sumusunod:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang solusyon ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.

Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasabi na kung ang isa sa mga equation ng system ay papalitan ng isang katumbas, kung gayon ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.

Ang pamamaraang Gauss ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral mataas na paaralan, ngunit isa sa pinaka mga kawili-wiling paraan upang paunlarin ang katalinuhan ng mga batang nakatala sa programa malalim na pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.

Para sa kadalian ng pag-record ng mga kalkulasyon, kaugalian na gawin ang mga sumusunod:

Ang mga equation coefficient at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanang bahagi. Ang mga numerong Romano ay tumutukoy sa mga bilang ng mga equation sa sistema.

Una, isinulat nila ang matrix kung saan gagana, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at patuloy na isagawa ang kinakailangan algebraic na aksyon hanggang sa makamit ang resulta.

Bilang isang resulta, ang isang matrix ay dapat makuha kung saan ang isa sa mga diagonal ay 1, at lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang solong anyo. Hindi natin dapat kalimutang gumawa ng mga kalkulasyon sa mga numero ng magkabilang panig ng equation.

Ang notasyong ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na huwag magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.

Ang libreng aplikasyon ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at isang tiyak na dami ng karanasan. Hindi lahat ng mga pamamaraan ay inilalapat. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa layunin ng pag-aaral.

I. Ordinaryong differential equation

1.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang differential equation ay isang equation na nag-uugnay ng independent variable x, ang gustong function y at mga derivatives o differentials nito.

Simbolo differential equation ay nakasulat na ganito:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Ang isang differential equation ay tinatawag na ordinaryo kung ang nais na function ay nakasalalay sa isang independent variable.

Sa pamamagitan ng paglutas ng differential equation ay tinatawag na tulad ng isang function na lumiliko ang equation na ito sa isang pagkakakilanlan.

Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay ang pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative sa equation na ito

Mga halimbawa.

1. Isaalang-alang ang first order differential equation

Ang solusyon sa equation na ito ay ang function na y = 5 ln x. Sa katunayan, sa pamamagitan ng pagpapalit y" sa equation, makakakuha tayo ng - isang pagkakakilanlan.

At nangangahulugan ito na ang function na y = 5 ln x– ay ang solusyon ng differential equation na ito.

2. Isaalang-alang ang second order differential equation y" - 5y" + 6y = 0. Ang function ay ang solusyon sa equation na ito.

Talaga, .

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation, makakakuha tayo ng: , - pagkakakilanlan.

At nangangahulugan ito na ang function ay ang solusyon ng differential equation na ito.

Pagsasama-sama ng mga differential equation ay ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa mga differential equation.

Pangkalahatang solusyon ng differential equation ay tinatawag na function ng form , na kinabibilangan ng maraming independiyenteng arbitrary na mga pare-pareho bilang ang pagkakasunud-sunod ng equation.

Bahagyang solusyon ng differential equation ay tinatawag na solusyon na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon para sa iba't ibang mga numerical na halaga ng mga di-makatwirang constants. Ang mga halaga ng di-makatwirang mga pare-pareho ay matatagpuan sa ilang mga paunang halaga ng argumento at pag-andar.

Ang graph ng isang partikular na solusyon ng isang differential equation ay tinatawag integral curve.

Mga halimbawa

1. Humanap ng partikular na solusyon sa isang first-order differential equation

xdx + ydy = 0, kung y= 4 sa x = 3.

Desisyon. Ang pagsasama ng magkabilang panig ng equation, nakukuha natin

Magkomento. Ang isang di-makatwirang pare-parehong C na nakuha bilang isang resulta ng pagsasama ay maaaring katawanin sa anumang anyo na maginhawa para sa karagdagang mga pagbabago. Sa kasong ito, isinasaalang-alang ang canonical equation ng bilog, ito ay maginhawa upang kumatawan sa isang di-makatwirang pare-pareho С sa form .

ay ang pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Isang partikular na solusyon ng isang equation na nakakatugon sa mga paunang kondisyon y = 4 sa x = 3 ay matatagpuan mula sa pangkalahatan sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga paunang kondisyon sa pangkalahatang solusyon: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Ang pagpapalit ng C=5 sa pangkalahatang solusyon, nakukuha natin x2+y2 = 5 2 .

Ito ay isang partikular na solusyon ng differential equation na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon sa ilalim ng ibinigay na mga paunang kondisyon.

2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation

Ang solusyon ng equation na ito ay anumang function ng form , kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho. Sa katunayan, ang pagpapalit sa mga equation, makuha natin ang: , .

Samakatuwid, ang differential equation na ito ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, dahil para sa iba't ibang halaga ng pare-parehong C, ang pagkakapantay-pantay ay tumutukoy iba't ibang solusyon mga equation.

Halimbawa, sa pamamagitan ng direktang pagpapalit, mapapatunayan ng isa na ang mga function ay mga solusyon ng equation.

Isang problema kung saan kinakailangan upang makahanap ng isang partikular na solusyon sa equation y" = f(x, y) nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon y(x0) = y0, ay tinatawag na Cauchy problem.

Solusyon sa equation y" = f(x, y), nakakatugon sa paunang kondisyon, y(x0) = y0, ay tinatawag na solusyon sa problemang Cauchy.

Ang solusyon ng problemang Cauchy ay may simpleng geometric na kahulugan. Sa katunayan, ayon sa mga kahulugan na ito, upang malutas ang problema ng Cauchy y" = f(x, y) Kung ganoon y(x0) = y0, ay nangangahulugang hanapin ang integral curve ng equation y" = f(x, y) na dumadaan ibinigay na punto M0 (x0,y 0).

II. First order differential equation

2.1. Pangunahing konsepto

Ang first-order differential equation ay isang equation ng form F(x,y,y") = 0.

Kasama sa first order differential equation ang unang derivative at hindi kasama ang higher order derivatives.

Ang equation y" = f(x, y) ay tinatawag na isang first-order equation na nalutas na may kinalaman sa derivative.

Ang isang pangkalahatang solusyon ng isang first-order differential equation ay isang function ng form , na naglalaman ng isang arbitrary constant.

Halimbawa. Isaalang-alang ang isang first order differential equation.

Ang solusyon sa equation na ito ay ang function.

Sa katunayan, ang pagpapalit sa equation na ito ng halaga nito, nakuha namin

i.e 3x=3x

Samakatuwid, ang function ay isang pangkalahatang solusyon ng equation para sa anumang pare-parehong C.

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng equation na ito na nakakatugon sa paunang kondisyon y(1)=1 Pagpapalit ng mga paunang kundisyon x=1, y=1 sa pangkalahatang solusyon ng equation , nakukuha natin kung saan C=0.

Kaya, nakakakuha tayo ng partikular na solusyon mula sa pangkalahatan sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation na ito, ang resultang halaga C=0 ay isang pribadong desisyon.

2.2. Differential equation na may mga separable variable

Ang isang differential equation na may separable variable ay isang equation ng form: y"=f(x)g(y) o sa pamamagitan ng differentials , kung saan f(x) at g(y) ay binibigyan ng mga function.

Para sa mga y, kung saan , ang equation y"=f(x)g(y) ay katumbas ng equation kung saan ang variable y ay naroroon lamang sa kaliwang bahagi, at ang variable na x ay naroroon lamang sa kanang bahagi. Sabi nila, "sa equation y"=f(x)g(y paghihiwalay ng mga variable.

Uri ng equation ay tinatawag na separated variable equation.

Pagkatapos pagsamahin ang parehong bahagi ng equation sa x, nakukuha namin G(y) = F(x) + C ay ang pangkalahatang solusyon ng equation, kung saan G(y) at F(x) ay ilang antiderivatives, ayon sa pagkakabanggit, ng mga function at f(x), C arbitraryong pare-pareho.

Algorithm para sa paglutas ng first-order differential equation na may mga separable variable

Halimbawa 1

lutasin ang equation y" = xy

Desisyon. Derivative ng isang function y" palitan ng

pinaghihiwalay namin ang mga variable

Pagsamahin natin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay:

Halimbawa 2

2yy" = 1- 3x 2, kung y 0 = 3 sa x0 = 1

Ito ay isang pinaghiwalay na variable equation. Irepresenta natin ito sa differentials. Upang gawin ito, muling isulat namin ang equation na ito sa form Mula rito

Ang pagsasama ng parehong bahagi ng huling pagkakapantay-pantay, nakita namin

Pagpapalit ng mga paunang halaga x 0 = 1, y 0 = 3 hanapin Sa 9=1-1+C, ibig sabihin. C = 9.

Samakatuwid, ang nais na bahagyang integral ay magiging o

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang kurba na dumadaan sa isang punto M(2;-3) at pagkakaroon ng padaplis na may slope

Desisyon. Ayon sa kondisyon

Ito ay isang separable variable equation. Ang paghahati ng mga variable, nakukuha namin:

Pagsasama ng parehong bahagi ng equation, nakukuha natin ang:

Gamit ang mga paunang kondisyon, x=2 at y=-3 hanapin C:

Samakatuwid, ang nais na equation ay may anyo

2.3. Mga linear differential equation ng unang order

Ang isang first-order linear differential equation ay isang equation ng form y" = f(x)y + g(x)

saan f(x) at g(x)- ilang ibinigay na mga function.

Kung ang g(x)=0 pagkatapos ang linear differential equation ay tinatawag na homogenous at may anyo: y" = f(x)y

Kung gayon ang equation y" = f(x)y + g(x) tinatawag na heterogenous.

Pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous differential equation y" = f(x)y ibinigay ng pormula: saan Sa ay isang arbitrary na pare-pareho.

Sa partikular, kung C \u003d 0, kung gayon ang solusyon ay y=0 Kung linear homogenous equation may porma y" = ky saan k ay ilang pare-pareho, kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay may anyo: .

Pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation y" = f(x)y + g(x) ibinigay ng formula ,

mga. ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na linear homogenous na equation at ang partikular na solusyon ng equation na ito.

Para sa isang linear inhomogeneous equation ng form y" = kx + b,

saan k at b- Ang ilang mga numero at isang partikular na solusyon ay magiging isang pare-parehong function. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay may anyo .

Halimbawa. lutasin ang equation y" + 2y +3 = 0

Desisyon. Kinakatawan namin ang equation sa form y" = -2y - 3 saan k=-2, b=-3 Ang pangkalahatang solusyon ay ibinibigay ng formula.

Samakatuwid, kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.

2.4. Solusyon ng mga linear differential equation ng unang pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng Bernoulli method

Paghahanap ng Pangkalahatang Solusyon sa isang First-Order Linear Differential Equation y" = f(x)y + g(x) bumababa sa paglutas ng dalawang differential equation na may pinaghiwalay na variable gamit ang substitution y=uv, saan u at v- hindi kilalang mga function mula sa x. Ang pamamaraang ito ng solusyon ay tinatawag na pamamaraang Bernoulli.

Algorithm para sa paglutas ng isang first-order linear differential equation

y" = f(x)y + g(x)

1. Maglagay ng kapalit y=uv.

2. Pag-iba-ibahin ang pagkakapantay-pantay na ito y"=u"v + uv"

3. Kapalit y at y" sa equation na ito: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) o u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Pangkatin ang mga tuntunin ng equation upang u alisin ito sa mga bracket:

5. Mula sa bracket, equating ito sa zero, hanapin ang function

Ito ay isang separable equation:

Hatiin ang mga variable at makuha ang:

saan . .

6. Palitan ang natanggap na halaga v sa equation (mula sa aytem 4):

at hanapin ang function Ito ay isang separable equation:

7. Isulat ang pangkalahatang solusyon sa anyo: , ibig sabihin. .

Halimbawa 1

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa equation y" = -2y +3 = 0 kung y=1 sa x=0

Desisyon. Solusyonan natin ito ng substitution y=uv,.y"=u"v + uv"

Pagpapalit y at y" sa equation na ito, nakukuha natin

Pagpapangkat ng pangalawa at pangatlong termino sa kaliwang bahagi ng equation, kinuha namin ang karaniwang kadahilanan u wala sa mga bracket

Itinutumbas namin ang expression sa mga bracket sa zero at, nang malutas ang nagresultang equation, nakita namin ang function v = v(x)

Nakakuha kami ng isang equation na may mga pinaghiwalay na variable. Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation na ito: Hanapin ang function v:

Palitan ang resultang halaga v sa equation Nakukuha namin:

Ito ay isang pinaghiwalay na variable equation. Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation: Hanapin natin ang function u = u(x,c) Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon: Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon ng equation na nakakatugon sa mga paunang kondisyon y=1 sa x=0:

III. Mas mataas na pagkakasunud-sunod na kaugalian equation

3.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang second-order differential equation ay isang equation na naglalaman ng derivatives na hindi mas mataas kaysa sa pangalawang order. Sa pangkalahatang kaso, ang second-order differential equation ay nakasulat bilang: F(x,y,y",y") = 0

Ang pangkalahatang solusyon ng isang second-order differential equation ay isang function ng form , na kinabibilangan ng dalawang arbitrary constants C1 at C2.

Ang isang partikular na solusyon ng isang second-order differential equation ay isang solusyon na nakuha mula sa pangkalahatan para sa ilang mga halaga ng arbitrary constants C1 at C2.

3.2. Linear homogenous differential equation ng pangalawang order na may pare-pareho ang mga ratio.

Linear homogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient ay tinatawag na isang equation ng anyo y" + py" + qy = 0, saan p at q ay pare-pareho ang mga halaga.

Algorithm para sa paglutas ng second-order homogenous differential equation na may pare-parehong coefficient

1. Isulat ang differential equation sa anyo: y" + py" + qy = 0.

2. Buuin ang katangiang equation nito, na nagsasaad y" sa pamamagitan ng r2, y" sa pamamagitan ng r, y sa 1: r2 + pr +q = 0