Panimula

1. Teoretikal na bahagi

1.1 Pangunahing konsepto at kahulugan

1.3 Formula ng Cardano

2. Paglutas ng problema

Konklusyon

Panimula

Mga equation. Masasabing tiyak na wala ni isang tao ang hindi pamilyar sa kanila. Mula sa isang maagang edad, ang mga bata ay nagsisimulang malutas ang "mga problema sa X". At saka. Totoo, para sa marami, ang kakilala sa mga equation ay nagtatapos sa mga gawain sa paaralan. Ang tanyag na Aleman na matematiko na si Courant ay sumulat: “Sa loob ng mahigit dalawang libong taon, ang pagkakaroon ng ilan, hindi masyadong mababaw, ang kaalaman sa larangan ng matematika ay kinakailangan. mahalaga bahagi sa intelektwal na imbentaryo ng bawat isa edukadong tao". At kabilang sa kaalamang ito ay ang kakayahang malutas ang mga equation.

Nasa sinaunang panahon, napagtanto ng mga tao kung gaano kahalaga na matutunan kung paano lutasin ang mga algebraic equation ng form

a0xn + a1xn ​​​​- 1 + ... + an = 0

pagkatapos ng lahat, napakarami at napaka-magkakaibang mga katanungan ng kasanayan at natural na agham ay nabawasan sa kanila (siyempre, dito maaari nating agad na ipalagay na a0 ¹ 0, dahil kung hindi man ang antas ng equation ay talagang hindi n, ngunit mas mababa). Marami, siyempre, ang nakaisip ng mapang-akit na ideya na maghanap ng mga pormula para sa anumang kapangyarihan ng n na magpapahayag ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito, ibig sabihin, ay malulutas ang equation sa mga radical. Gayunpaman, ang "malungkot na Middle Ages" ay naging madilim hangga't maaari na may kaugnayan sa problemang pinag-uusapan - sa loob ng pitong buong siglo ay walang nakakita ng mga kinakailangang formula! Noong ika-16 na siglo lamang, ang mga Italian mathematician ay nakagalaw pa - upang makahanap ng mga formula para sa n \u003d 3 at 4. Ang kasaysayan ng kanilang mga pagtuklas at maging ang pag-akda ng mga nahanap na formula ay medyo malabo hanggang sa araw na ito, at hindi natin malalaman. dito kumplikadong relasyon sa pagitan ng Ferro, Cardano, Tartaglia at Ferrari, ngunit ilagay natin ito nang mas mahusay mathematical essence mga usapin.

Ang layunin ng gawain ay upang galugarin ang iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ikatlong antas.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan na magsagawa ng isang bilang ng mga gawain:

-Pagsusuri siyentipikong panitikan;

-Pagsusuri mga aklat-aralin sa paaralan;

-Pagpili ng mga halimbawa para sa solusyon;

-Solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang pamamaraan.

Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Ang una ay tumatalakay sa iba't ibang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation. Ang ikalawang bahagi ay nakatuon sa paglutas ng mga equation iba't ibang paraan.

1. Teoretikal na bahagi

1 Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang isang cubic equation ay isang equation ng ikatlong antas ng form:

Ang numerong x na nagpapalit ng equation sa isang pagkakakilanlan ay tinatawag na ugat o solusyon ng equation. Ito rin ang ugat ng isang polynomial ng ikatlong antas, na nasa kaliwang bahagi ng canonical notation.

Sa larangan ng kumplikadong mga numero, ayon sa pangunahing teorama ng algebra, ang isang cubic equation ay laging may 3 ugat (isinasaalang-alang ang multiplicity).

Dahil ang bawat tunay na polynomial ay hindi kahit degree ay may hindi bababa sa isang tunay na ugat, lahat ng posibleng kaso ng komposisyon ng mga ugat cubic equation naubos ng tatlong inilarawan sa ibaba. Ang mga kasong ito ay madaling makilala gamit ang discriminant

Kaya mayroon lamang tatlong posibleng mga kaso:

Kung ang? > 0, pagkatapos ang equation ay may tatlong magkakaibang tunay na ugat.

Kung ang?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Kung ang? = 0, pagkatapos ay hindi bababa sa dalawang ugat ay nag-tutugma. Ito ay maaaring kapag ang equation ay may dobleng tunay na ugat at isa pang tunay na ugat na naiiba sa kanila; o, lahat ng tatlong ugat ay nagtutugma, na bumubuo ng ugat ng multiplicity 3. Ang resulta ng cubic equation at ang pangalawang derivative nito ay nakakatulong upang paghiwalayin ang dalawang case na ito: ang polynomial ay may ugat ng multiplicity 3 kung at kung ang ipinahiwatig na resulta ay din. sero.

Ang mga ugat ng isang cubic equation ay nauugnay sa mga coefficient tulad ng sumusunod:

1.2 Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation

Ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng mga cubic equation ay ang paraan ng enumeration.

Una, sa pamamagitan ng enumeration, makikita natin ang isa sa mga ugat ng equation. Ang katotohanan ay ang mga equation ng kubiko ay palaging mayroon kahit na isang tunay na ugat, at ang buong ugat ng cubic equation na may mga integer coefficient ay isang divisor ng libreng termino d. Ang mga coefficient ng mga equation na ito ay kadalasang pinipili upang ang nais na ugat ay nasa maliliit na integer, tulad ng: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Samakatuwid, hahanapin natin ang ugat sa mga numerong ito at suriin ito sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa ang equation. Ang rate ng tagumpay sa diskarteng ito ay napakataas. Ipagpalagay natin ang ugat na ito.

Ang ikalawang yugto ng solusyon ay ang paghahati ng polynomial ng binomial x - x1. Ayon sa teorama ni Bezout, ang dibisyong ito na walang natitira ay posible, at bilang isang resulta ay nakakakuha tayo ng polynomial ng pangalawang degree, na dapat na katumbas ng zero. Natanggap ang paglutas quadratic equation, mahahanap natin (o hindi) ang natitirang dalawang ugat.

Solusyon ng isang two-term cubic equation

Ang dalawang-matagalang cubic equation ay may anyo (2)

Ang equation na ito ay binabawasan sa anyo sa pamamagitan ng paghahati sa isang non-zero coefficient A. Susunod, ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng kabuuan ng mga cube ay inilapat:

Mula sa unang bracket nakita namin, at ang square trinomial ay mayroon lamang kumplikadong mga ugat.

Mga paulit-ulit na cubic equation

Ang reciprocal cubic equation ay may anyo at B-coefficients.

Mag grupo tayo:

Malinaw, ang x=-1 ay ang ugat ng naturang equation, at ang mga ugat ng resulta square trinomial ay madaling mahanap sa pamamagitan ng discriminant.

1.3 Formula ng Cardano

AT pangkalahatang kaso, ang mga ugat ng cubic equation ay matatagpuan ng Cardano formula.

Para sa cubic equation (1), ang mga halaga ay matatagpuan gamit ang pagpapalit: x= (2), at ang equation ay nabawasan sa anyo:

isang hindi kumpletong cubic equation kung saan walang magiging termino na naglalaman ng pangalawang degree.

Ipinapalagay namin na ang equation ay may mga coefficient kumplikadong mga numero. Ang equation na ito ay palaging magkakaroon ng mga kumplikadong ugat.

Tukuyin natin ang isa sa mga ugat na ito: . Ipinakilala namin ang isang pantulong na hindi kilalang u at isinasaalang-alang ang polynomial f(u)=.

Tukuyin natin ang mga ugat ng polynomial na ito sa pamamagitan ng? at?, ayon sa Viette theorem (tingnan ang p. 8):

Ipalit sa equation (3), expression (4), makuha natin ang:

Mula sa kabilang panig ng (5): (7)

Ito ay sumusunod mula dito, i.e. mula sa mga formula (6), (7), na ang mga numero ay ang mga ugat ng equation:

Mula sa huling equation:

Ang iba pang dalawang ugat ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

1.4 trigonometriko formula Vieta

Ang formula na ito ay nakakahanap ng mga solusyon sa pinababang cubic equation, iyon ay, isang equation ng form

Malinaw, ang anumang cubic equation ay maaaring bawasan sa isang equation ng form (4) sa pamamagitan lamang ng paghahati nito sa coefficient a. Kaya, ang algorithm para sa paglalapat ng formula na ito:

Kalkulahin

2. Kalkulahin

3. a) Kung, pagkatapos ay kalkulahin

At ang aming equation ay may 3 ugat (totoo):

b) Kung, pagkatapos ay palitan trigonometriko function hyperbolic.

Kalkulahin

Pagkatapos ang tanging ugat (tunay):

Mga haka-haka na ugat:

C) Kung, kung gayon ang equation ay may mas mababa sa tatlo iba't ibang solusyon:

2. Paglutas ng problema

Halimbawa 1. Hanapin ang tunay na mga ugat ng isang cubic equation

Inilapat namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga cube:

Mula sa unang bracket nakita namin na ang square trinomial sa pangalawang bracket ay wala tunay na ugat kasi negative ang discriminant.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay reciprocal. Mag grupo tayo:

ay ang ugat ng equation. Paghahanap ng mga ugat ng isang square trinomial

Halimbawa 3. Hanapin ang mga ugat ng isang cubic equation

Ibahin natin ang equation sa pinababang isa: i-multiply sa parehong bahagi at gumawa ng pagbabago ng variable.

Ang libreng termino ay 36. Isulat natin ang lahat ng mga divisors nito:

Pinapalitan natin sila sa pagkakapantay-pantay hanggang sa makuha natin ang pagkakakilanlan:

Kaya, ang ugat. Magkatugma

Hatiin sa pamamagitan ng paggamit ng pamamaraan ni Horner.

Mga polynomial coefficient2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

Nakukuha namin

Hanapin natin ang mga ugat ng square trinomial:

Malinaw, iyon ay, ang maramihang ugat nito ay.

Halimbawa 4. Hanapin ang tunay na mga ugat ng equation

ay ang ugat ng equation. Hanapin ang mga ugat ng isang square trinomial.

Dahil ang discriminant mas mababa sa zero, kung gayon ang trinomial ay walang tunay na ugat.

Halimbawa 5. Hanapin ang mga ugat ng cubic equation 2.

Kaya naman,

Pinapalitan namin ang formula ng Cardano:

tumatagal ng tatlong halaga. Isulat natin ang mga ito.

Kapag meron na tayo

Kapag meron na tayo

Kapag meron na tayo

Hatiin natin ang mga halagang ito sa mga pares, na ibinibigay sa produkto

Ang unang pares ng mga halaga at

Ang pangalawang pares ng mga halaga at

Ang ikatlong pares ng mga halaga at

Bumalik sa formula ng Cardano

kaya,

Konklusyon

cubic trinomial equation

Bilang resulta ng pagbitay term paper ang iba't ibang paraan para sa paglutas ng mga equation ng ikatlong antas ay sinisiyasat, tulad ng paraan ng enumeration, formula ni Carano, formula ni Vieta, mga pamamaraan para sa paglutas ng reciprocal, dalawang-term na equation.

Listahan ng mga mapagkukunang ginamit

1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral ng mga teknikal na unibersidad", M., 1986.

2)Kolmogorov A.N. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Gabay sa pag-aaral para sa ika-9 na baitang mataas na paaralan, 1977.

)Omelchenko V.P. Matematika: pagtuturo/ V.P. Omelchenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380s.

Pagtuturo

Kailangan mo ng tulong sa pag-aaral ng isang paksa?

Ang aming mga eksperto ay magpapayo o magbibigay ng mga serbisyo sa pagtuturo sa mga paksang interesado ka.
Magsumite ng isang application na nagpapahiwatig ng paksa ngayon upang malaman ang tungkol sa posibilidad ng pagkuha ng konsultasyon.

Mga layunin ng aralin.

1. Upang palalimin ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang "Paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas" at ibuod ang materyal na pang-edukasyon.
2. Upang ipakilala ang mga mag-aaral sa mga paraan ng paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas.
3. Upang turuan ang mga mag-aaral na ilapat ang teorya ng divisibility kapag nilulutas ang mga equation ng mas mataas na antas.
4. Upang turuan ang mga mag-aaral kung paano hatiin ang isang polynomial sa isang polynomial sa pamamagitan ng "sulok".
5. Bumuo ng mga kasanayan at kakayahan upang gumana sa mga equation ng mas mataas na antas.

Pagbuo:

1. Pag-unlad ng atensyon ng mag-aaral.
2. Pag-unlad ng kakayahang makamit ang mga resulta ng trabaho.
3. Pag-unlad ng interes sa pag-aaral ng algebra at independiyenteng mga kasanayan sa trabaho.

Pangangalaga:

1. Pagtaas ng pakiramdam ng kolektibismo.
2. Ang pagbuo ng isang pakiramdam ng responsibilidad para sa resulta ng trabaho.
3. Formasyon sa mga mag-aaral sapat na pagpapahalaga sa sarili kapag pumipili ng marka para sa gawain sa aralin.

Kagamitan: computer, projector.

Sa panahon ng mga klase

1 yugto ng trabaho. Oras ng pag-aayos.

2 yugto ng trabaho. Pagganyak at paglutas ng problema

Equation isa sa ang pinakamahalagang konsepto matematika. Ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, simula sa pagsilang ng matematika bilang isang agham, matagal na panahon ay ang pangunahing paksa ng pag-aaral ng algebra.

Sa kurso ng paaralan ng pag-aaral ng matematika, maraming pansin ang binabayaran sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation. Hanggang sa ika-siyam na baitang, maaari lamang nating lutasin ang mga linear at quadratic na equation. Mga equation ng ikatlo, ikaapat, atbp. Ang mga degree ay tinatawag na mga equation ng mas mataas na degree. Sa ika-siyam na baitang, nakilala namin ang dalawang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng ilang mga equation ng ikatlo at ikaapat na antas: pag-factor ng polynomial sa mga salik at paggamit ng pagbabago ng variable.

Posible bang malutas ang mga equation ng mas mataas na antas? Susubukan naming makahanap ng sagot sa tanong na ito ngayon.

3 yugto ng trabaho. Repasuhin ang dating natutunang materyal. Ipakilala ang konsepto ng isang equation ng mas mataas na antas.

1) Solusyon ng isang linear equation.

Ang linear ay isang equation ng form , kung saan ayon sa kahulugan. Ang equation na ito ay may isang ugat lamang.

2) Solusyon ng isang quadratic equation.

Isang equation ng form , saan . Ang bilang ng mga ugat at ang mga ugat mismo ay tinutukoy ng discriminant ng equation. Para sa equation ay walang mga ugat, dahil may isang ugat (dalawa magkaparehong ugat)

, dahil may dalawang magkaibang ugat .

Mula sa itinuturing na linear at quadratic equation, makikita natin na ang bilang ng mga ugat ng equation ay hindi hihigit sa antas nito. Sa kurso ng mas mataas na algebra, napatunayan na ang equation ng -th degree ay hindi hihigit sa n mga ugat. Kung tungkol sa mga ugat mismo, ang sitwasyon ay mas kumplikado. Para sa mga equation ng ikatlo at ikaapat na degree, ang mga formula ay kilala sa paghahanap ng mga ugat. Gayunpaman, ang mga formula na ito ay napaka-kumplikado at masalimuot at praktikal na aplikasyon Wala. Para sa mga equation ng ikalimang at mas mataas na antas, walang mga pangkalahatang formula at hindi maaaring umiral (tulad ng pinatunayan noong ika-19 na siglo ni N. Abel at E. Galois).

Tatawagin natin ang mga equation na pangatlo, ikaapat, atbp. degree sa pamamagitan ng mga equation ng mas mataas na degree. Ilang Equation mataas na grado maaaring lutasin gamit ang dalawang pangunahing pamamaraan: pag-factor ng polynomial sa mga salik o paggamit ng pagbabago ng variable.

3) Solusyon ng cubic equation.

Lutasin natin ang cubic equation

Ipangkat namin ang mga termino ng polynomial sa kaliwang bahagi ng equation at i-factor ito. Nakukuha namin:

Ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero kung ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nakukuha namin ang tatlong linear equation:

Kaya, ang cubic equation na ito ay may tatlong ugat: ; ;.

4) Solusyon ng biquadratic equation.

Ang mga biquadratic na equation ay napakakaraniwan, na may anyo (ibig sabihin, mga equation na quadratic na may kinalaman sa ). Upang malutas ang mga ito, isang bagong variable ang ipinakilala.

Kami ang magpapasya biquadratic equation.

Magpakilala tayo ng bagong variable at kumuha ng quadratic equation , na ang mga ugat ay ang mga numero at 4.

Bumalik tayo sa lumang variable at kumuha ng dalawang simpleng quadratic equation:

(ugat at ) (ugat at )

Kaya, ang biquadratic equation na ito ay may apat na ugat:

; ;.

Subukan nating lutasin ang equation gamit ang mga pamamaraan sa itaas.

FAIL!!!

4 na yugto ng trabaho. Magbigay ng ilang pahayag tungkol sa mga ugat ng isang polynomial ng anyong , kung saan polynomial nth degree

Narito ang ilang pahayag tungkol sa mga ugat ng isang polynomial ng anyo:

1) Ang isang polynomial ng ika-degree ay may pinakamaraming mga ugat (isinasaalang-alang ang kanilang mga multiplicity). Halimbawa, ang isang third degree polynomial ay hindi maaaring magkaroon ng apat na ugat.

2) Ang isang polynomial ng kakaibang degree ay may hindi bababa sa isang ugat. Halimbawa, ang mga polynomial ng una, ikatlo, ikalima, atbp. degree ay may hindi bababa sa isang ugat. Ang mga polynomial ng pantay na antas ay maaaring may mga ugat o hindi.

3) Kung sa mga dulo ng segment ang mga halaga ng polynomial ay may iba't ibang mga palatandaan (i.e., ), kung gayon ang pagitan ay naglalaman ng hindi bababa sa isang ugat. Ang pahayag na ito ay malawakang ginagamit para sa tinatayang pagkalkula ng mga ugat ng isang polynomial.

4) Kung ang numero ay ugat ng isang polynomial ng form , ang polynomial na ito ay maaaring katawanin bilang isang produkto , kung saan ang polynomial (-th degree. Sa madaling salita, ang polynomial ng form ay maaaring hatiin nang walang natitira sa pamamagitan ng Binomial. Binibigyang-daan nito ang equation ng th degree na bawasan sa equation (-th degree (bawasan ang degree ng equation).

5) Kung ang isang equation na may lahat ng integer coefficients (bukod dito, ang libreng termino) ay may integer na ugat, kung gayon ang ugat na ito ay isang divisor ng libreng termino. Ang ganitong pahayag ay nagpapahintulot sa iyo na piliin ang buong ugat ng polynomial (kung mayroon ito).

5 yugto ng trabaho. Ipakita kung paano inilapat ang teorya ng divisibility upang malutas ang mga equation ng mas mataas na degree. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng mas mataas na degree, kung saan ang kaliwang bahagi ay na-factorize gamit ang paraan ng paghahati ng polynomial sa polynomial sa pamamagitan ng isang "sulok".

Halimbawa 1. Lutasin ang equation .

Kung ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng libreng term (-1), i.e. katumbas ng isa sa mga numero: . Ang tseke ay nagpapakita na ang ugat ng equation ay ang numero -1. Samakatuwid, ang polynomial ay maaaring katawanin bilang isang produkto, i.e. ang isang polynomial ay maaaring hatiin sa isang binomial na walang natitira. Gawin natin ang sumusunod na dibisyon ayon sa "sulok":

Kaya, talagang na-decompose natin ang kaliwang bahagi ng equation sa mga salik:

Ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero kung ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Kumuha kami ng dalawang equation.

Simonyan Albina

Isinasaalang-alang ng papel ang mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation. Application ng Cardano formula para sa paglutas ng mga problema sa paghahanda para sa pagsusulit sa matematika.

I-download:

Preview:

MOU DOD Palace of Creativity para sa mga Bata at Kabataan

Don Academy of Sciences para sa mga Batang Mananaliksik

Seksyon: matematika - algebra at teorya ng numero

Pananaliksik

"Tingnan natin ang mundo ng mga formula"

sa paksang ito "Solusyon ng mga Equation ng 3rd Degree"

Superbisor: guro ng matematika na si Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk 2010

1. Panimula ……………………………………………………………………………………….3
2. Pangunahing bahagi…………………………………………………………………….4
3. Praktikal na bahagi…………………………………………………………………………10-13
4. Konklusyon…………………………………………………………………………….14
5. Panitikan…………………………………………………………………………..15
6. Mga aplikasyon

1. Panimula

Natanggap ang edukasyon sa matematika sa pangkalahatang edukasyon na mga paaralan, ay isang mahalagang sangkap Pangkalahatang edukasyon at pangkalahatang kultura modernong tao. Halos lahat ng bagay na nakapaligid sa isang tao ay konektado lahat sa isang paraan o iba pa sa matematika. PERO kamakailang mga nagawa sa pisika, teknolohiya, teknolohiya ng impormasyon walang pag-aalinlangan na ang mga bagay ay mananatiling pareho sa hinaharap. Samakatuwid, ang desisyon ng marami mga praktikal na gawain bumaba sa isang desisyon iba't ibang uri mga equation upang matutunan kung paano lutasin. Linear na equation sa unang antas, tinuruan kaming mag-solve sa unang baitang, at hindi kami gaanong nagpakita ng interes sa kanila. mas kawili-wili nonlinear equation- mga equation mas mataas na antas. Ang matematika ay nagpapakita ng kaayusan, mahusay na proporsyon at katiyakan, at ito ay mas mataas na species maganda.

Ang layunin ng aking proyekto na "Tingnan natin ang mundo ng mga formula" sa paksang "Solusyon ng mga kubiko na equation ng ikatlong antas" ay upang i-systematize ang kaalaman tungkol sa kung paano malutas ang mga cubic equation, upang maitaguyod ang katotohanan ng pagkakaroon ng isang formula para sa paghahanap ang mga ugat ng isang equation ng ikatlong antas, pati na rin ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient sa isang cubic equation. Sa silid-aralan, nalutas namin ang mga equation, parehong kubiko at mga degree na mas mataas sa 3. Paglutas ng mga Equation iba't ibang pamamaraan, idinagdag namin, binawasan, pinarami, hinati ang mga coefficient, itinaas ang mga ito sa isang kapangyarihan at kinuha ang mga ugat mula sa kanila, sa madaling salita, gumanap algebraic na aksyon. Mayroong formula para sa paglutas ng mga quadratic equation. Mayroon bang formula para sa paglutas ng equation ng ikatlong antas, i.e. mga indikasyon kung aling pagkakasunud-sunod at aling mga algebraic na operasyon ang dapat isagawa kasama ang mga coefficient upang makuha ang mga ugat. Naging interesante sa akin na malaman kung sinubukang hanapin ng mga sikat na mathematician pangkalahatang pormula angkop para sa paglutas ng mga cubic equation? At kung sinubukan nila, nakuha ba nila ang pagpapahayag ng mga ugat sa mga tuntunin ng mga coefficient ng equation?

2. Pangunahing katawan:

Noong mga panahong iyon, noong unang nagsimulang mag-isip ang mga pantas tungkol sa mga pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang dami, malamang na wala pang mga barya o wallet. Sinauna mga problema sa matematika Mesopotamia, India, China, Greece, hindi kilalang dami ay nagpahayag ng bilang ng mga paboreal sa hardin, ang bilang ng mga toro sa kawan, ang kabuuan ng mga bagay na isinasaalang-alang kapag naghahati ng ari-arian. Ang mga mapagkukunan na dumating sa amin ay nagpapahiwatig na ang mga sinaunang siyentipiko ay nagmamay-ari ng ilan karaniwang mga trick paglutas ng mga problema sa hindi kilalang dami. Gayunpaman, hindi isang solong papyrus, hindi isang solong tabletang luad walang ibinigay na paglalarawan sa mga pamamaraang ito. Ang pagbubukod ay ang "Arithmetic" ng Greek mathematician na si Diophantus ng Alexandria (III siglo) - isang koleksyon ng mga problema para sa pag-compile ng mga equation na may sistematikong pagtatanghal ng kanilang mga solusyon. Gayunpaman, ang unang gabay sa paglutas ng problema na matatanggap malawak na katanyagan, ay gawa ng Baghdad scientist noong ika-9 na siglo. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi.

Kaya nagkaroon ako ng ideya na lumikha ng isang proyekto na "Tingnan natin ang mundo ng mga formula ...", mga pangunahing tanong proyektong ito maging:

1. pagtatatag kung mayroong isang formula para sa paglutas ng mga cubic equation;
2. sa kaso ng isang positibong sagot, ang paghahanap para sa isang formula na nagpapahayag ng mga ugat ng isang cubic equation sa mga tuntunin ng isang may hangganang bilang ng mga algebraic na operasyon sa mga coefficient nito.

Dahil sa mga aklat-aralin, at sa iba pang mga libro sa matematika, karamihan sa mga pangangatwiran at mga patunay ay hindi isinasagawa sa kongkretong mga halimbawa, at sa pangkalahatang pananaw, pagkatapos ay nagpasya akong maghanap ng mga partikular na halimbawa na nagpapatunay o nagpapabulaanan sa aking ideya. Sa paghahanap ng formula para sa paglutas ng mga cubic equation, nagpasya akong sundin ang mga pamilyar na algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation. Halimbawa, paglutas ng equation x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 iniisa-isa buong kubo, paglalapat ng formula (x + a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Upang pumili ng isang buong kubo mula sa kaliwang bahagi ng equation na kinuha ko, binaling ko ito ng 2x 2 sa 3x 2 at ang mga. I was looking for such a, so that equality is true 2x 2 \u003d 3x 2 a . Madaling kalkulahin na a = . Binago ang kaliwang bahagi ng equation na itotulad ng sumusunod: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Gumawa ako ng pagpapalit y \u003d x +, i.e. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; sa 3 - 6y + 4- 6=0; Ang orihinal na equation ay kinuha ang anyo: 3 - 6y - 2=0; Ito ay naging hindi isang napakagandang equation, dahil sa halip na mga integer coefficient ay mayroon na akong mga fractional, kahit na ang termino ng equation na naglalaman ng square ng hindi alam ay nawala! Mas malapit ba ako sa aking layunin? Pagkatapos ng lahat, ang terminong naglalaman ng unang kapangyarihan ng hindi alam ay nanatili. Marahil ito ay kinakailangan upang pumili ng isang buong kubo upang ang terminong - 5x mawala? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Nakahanap ng ganito 3a 2 x \u003d -5x; mga. sa isang 2 = - Ngunit pagkatapos ito ay naging medyo masama - sa pagkakapantay-pantay na ito, sa kaliwa ay positibong numero at sa kanan ay negatibo. Hindi maaaring magkaroon ng gayong pagkakapantay-pantay. Sa ngayon ay hindi ko pa nalutas ang equation, maaari ko lamang dalhin ito sa form 3 - 6y - 2=0.

Kaya, ang resulta ng aking trabaho sa paunang yugto: nagawang tanggalin ang terminong naglalaman ng pangalawang degree mula sa cubic equation, i.e. kung ibibigay canonical equation Oh 3 + sa 2 + cx + d, pagkatapos ay maaari itong bawasan sa isang hindi kumpletong cubic equation x 3 +px+q=0. Susunod, nagtatrabaho sa iba't ibang sangguniang panitikan, nagawa kong malaman na ang equation ng form x 3 + px \u003d q nagawang lutasin ang Italian mathematician na si Dal Ferro (1465-1526). Bakit para sa ganitong uri at hindi para sa uri x 3 + px + q \u003d 0? Ito ay dahil sa oras na iyon ang mga negatibong numero ay hindi pa ipinakilala at ang mga equation ay isinasaalang-alang lamang na may mga positibong coefficient. At ang mga negatibong numero ay nakilala sa ibang pagkakataon.Sanggunian sa kasaysayan:Pinili ni Dal Ferro ang maraming opsyon sa pamamagitan ng pagkakatulad sa formula ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation. Nangangatuwiran siya ng ganito: ang ugat ng quadratic equation ay - ± i.e. ay may anyo: x=t ± . Nangangahulugan ito na ang ugat ng cubic equation ay dapat ding ang kabuuan o pagkakaiba ng ilang mga numero, at, marahil, kasama ng mga ito ay dapat mayroong mga ugat ng ikatlong antas. Alin ba talaga? Sa maraming mga pagpipilian, ang isa ay naging matagumpay: natagpuan niya ang sagot sa anyo ng isang pagkakaiba - Mas mahirap hulaan na ang t at u ay dapat mapili upang =. Pinapalitan sa halip na x ang pagkakaiba -, at sa halip na p ang produkto natanggap: (-) 3 +3 (-)=q. Binuksan ang mga bracket: t - 3 +3- u+3- 3=q. Pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, nakuha namin ang: t-u=q.

Ang resultang sistema ng mga equation ay:

t u = () 3 t-u=q. Itaas natin ang kanan at kaliwaparisukat ang mga bahagi ng unang equation, at i-multiply ang pangalawang equation sa 4 at idagdag ang una at pangalawang equation. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Mula sa bagong sistema t+u=2 ; t -u=q mayroon tayo: t= + ; u= - . Ang pagpapalit ng expression sa halip na x, nakuha naminSa panahon ng trabaho sa proyekto, natutunan ko ang mga pinaka-kagiliw-giliw na materyales. Lumalabas na hindi nai-publish ni Dal Ferro ang paraan na natagpuan niya, ngunit alam ng ilan sa kanyang mga estudyante ang tungkol sa pagtuklas na ito, at sa lalong madaling panahon ang isa sa kanila, si Antonio Fior, ay nagpasya na gamitin ito.Sa mga taong iyon, laganap ang mga alitan sa publiko mga isyung pang-agham. Ang mga nanalo sa naturang mga hindi pagkakaunawaan ay karaniwang nakatanggap ng isang magandang gantimpala, sila ay madalas na inanyayahan sa matataas na posisyon.

Kasabay nito sa Italyano lungsod Nabuhay si Verona bilang isang mahirap na guro sa matematika na si Nicolo (1499-1557), na tinawag na Tartaglia (i.e. stutterer). Siya ay napakatalino at nagawang tuklasin muli ang pamamaraan ni Dal Ferro (Appendix 1).Isang tunggalian ang naganap sa pagitan nina Fiore at Tartaglia. Ayon sa kondisyon, ang mga karibal ay nagpalitan ng tatlumpung problema, ang solusyon kung saan ay binigyan ng 50 araw. Pero dahil Alam ni Fior sa kakanyahan lamang ng isang problema at sigurado na ang ilang guro ay hindi malulutas ito, pagkatapos ang lahat ng 30 mga problema ay naging pareho ang uri. Hinarap sila ni Tartaglia sa loob ng 2 oras. Sa kabilang banda, hindi kayang lutasin ni Fiore ang isang gawaing iminungkahi ng kalaban. Ang tagumpay ay niluwalhati ang Tartaglia sa buong Italya, ngunit ang isyu ay hindi ganap na nalutas. .

Ang lahat ng ito ay ginawa ni Gerolamo Cardano. Ang mismong formula na natuklasan ni Dal Ferro at muling natuklasan ni Tartaglia ay tinatawag na Cardano formula (Appendix 2).

Si Cardano Girolamo (Setyembre 24, 1501-Setyembre 21, 1576) ay isang Italyano na matematiko, mekaniko, at manggagamot. Ipinanganak sa Pavia. Nag-aral siya sa mga unibersidad ng Pavia at Padua. Sa kanyang kabataan, nagpraktis siya ng medisina. Noong 1534 naging propesor ng matematika sa Milan at Bologna. Sa matematika, ang pangalang Cardano ay karaniwang iniuugnay sa isang pormula para sa paglutas ng isang cubic equation, na hiniram niya mula sa N. Tartaglia. Ang formula na ito ay nai-publish sa Cardano's Great Art, o On the Rules of Algebra (1545). Simula noon, naging mortal na magkaaway sina Tartaglia at Cardano. Ang aklat na ito ay sistematikong binabalangkas ang mga makabagong pamamaraan ni Cardano para sa paglutas ng mga equation, pangunahin ang mga cubic. Nakumpleto si Cardano linear na pagbabago, na ginagawang posible na bawasan ang cubic equation sa isang form na libre mula sa isang term ng 2nd degree at itinuro ang dependence sa pagitan ng mga ugat at coefficients ng equation, ang divisibility ng polynomial sa pagkakaiba x – a, kung a ay ugat nito. Si Cardano ay isa sa mga una sa Europa na umamin sa pagkakaroon negatibong mga ugat mga equation. Sa kanyang trabaho, ang mga haka-haka na dami ay lilitaw sa unang pagkakataon. Sa mechanics, pinag-aralan ni Cardano ang teorya ng levers at weights. Isa sa mga paggalaw ng segment sa mga gilid tamang anggulo Tinatawag ng mekaniko si karda na isang bagong kilusan. Kaya, ayon sa formula ng Cardano, maaaring malutas ng isa ang mga equation ng form x 3 + px + q \u003d 0 (Appendix 3)

Mukhang nalutas na ang isyu. Mayroong formula para sa paglutas ng mga cubic equation.

Narito siya!

Ang ekspresyon sa ilalim ng ugat - may diskriminasyon. D = () 2 + () 3 Nagpasya akong bumalik sa aking equation at subukang lutasin ito gamit ang formula ng Cardano: Ang aking equation ay: 3 - 6y - 2=0, kung saan p= - 6=-; q = - 2 = - . Madaling kalkulahin na () 3 ==- at () 2 ==, () 2 + () 3 == - = - . Anong sunod? Mula sa numerator ng fraction na ito, madali kong nakuha ang ugat, naging 15. At ano ang gagawin sa denominator? Hindi lamang ang ugat ay hindi ganap na nakuha, ngunit ito rin ay kinakailangan upang kunin ito mula sa negatibong numero! Anong problema? Maaaring ipagpalagay na ang equation na ito ay walang mga ugat, dahil para sa D Kaya, sa kurso ng paggawa sa proyekto, nakilala ko ang isa pang problema.Anong problema? Nagsimula akong magsulat ng mga equation na may mga ugat, ngunit hindi naglalaman ng isang termino ng parisukat ng hindi alam:

1. gumawa ng equation na may ugat x \u003d - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 At sa katunayan, sa pamamagitan ng pagsuri ay kumbinsido ako na -4 ang ugat ng equation. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Sinuri ko kung ang ugat na ito ay makukuha gamit ang Cardano formula x=+=+= =1- 5 =- 4

Natanggap, x = -4.

1. gumawa ng pangalawang equation na may totoong ugat x \u003d 1: x 3 + 3x - 4 = 0 at sinuri ang formula.

At sa kasong ito, ang formula ay gumana nang walang kamali-mali.

1. kinuha ang equation x 3 +6x+2=0, pagkakaroon ng isang ir makatwirang ugat.

Nang malutas ang equation na ito, nakuha ko ang ugat na ito x = - At pagkatapos ay nagkaroon ako ng isang palagay: ang formula ay gumana kung ang equation ay may isang ugat lamang. At ang aking equation, ang solusyon na nagdulot sa akin sa isang dead end, ay may tatlong ugat! Iyan ay kung saan kailangan mong hanapin ang dahilan!Ngayon ay kumuha ako ng isang equation na may tatlong ugat: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. Sinuri ang discriminant: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Gaya ng iminungkahi ko, sa ilalim ng karatula parisukat na ugat muli naging negatibong numero. Nakarating ako sa konklusyon:landas patungo sa tatlong ugat ng equation x 3 +px+q=0 humahantong sa imposibleng operasyon ng pagkuha ng square root ng isang negatibong numero.

1. Ngayon ay nananatili para sa akin na malaman kung ano ang aking haharapin sa kaso kapag ang equation ay may dalawang ugat. Pinili ko ang isang equation na may dalawang ugat: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Ngayon ay maaaring tapusin na ang bilang ng mga ugat ng isang cubic equation ng form x 3 + px + q \u003d 0 depende sa sign ng discriminant D=() 2 +() 3 sa sumusunod na paraan:

Kung D>0, ang equation ay may 1 solusyon.

Kung si D

Kung D=0, ang equation ay mayroong 2 solusyon.

Nakakita ako ng kumpirmasyon ng aking konklusyon sa isang sangguniang libro sa matematika, ang may-akda na si N.I. Bronshtein. Kaya ang aking konklusyon: Maaaring gamitin ang formula ng Cardano kapag sigurado tayo na kakaiba ang ugat. sa akin pinamamahalaang upang maitaguyod na mayroong isang pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang cubic equation, ngunit para sa anyo x 3 + px + q \u003d 0.

3. Praktikal na bahagi.

Paggawa sa proyekto "... nakatulong ng malaki sa paglutas ng ilang problema sa mga parameter. Halimbawa:1. Para sa ano ang pinakamaliit na natural na halaga ng a ang equation x 3 -3x+4=a ay may 1 solusyon? Ang equation ay muling isinulat sa anyo x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. Sa kondisyon, dapat itong magkaroon ng 1 solusyon i.e. D>0 Hanapin ang D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

Ang pinakamaliit na natural na halaga ng a sa pagitan na ito ay 1.

Sagot. isa

2. Sa ano ang pinakamalaking natural na halaga ng parameter a equation x 3 + x 2 -8x+2-a=0 ay may tatlong ugat?

Equation x 3 +3x 2 -24x + 6-3a = 0 dinadala namin sa form na y 3 + ru + q=0, kung saan a=1; sa=3; c=-24; d=6-3а kung saan q= - + at 3 p = q=32-3a; p=-27. Para sa ganitong uri ng equation D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 at 1 = ==28, at 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

Ang pinakamalaking natural na halaga ng a mula sa pagitan na ito: 28.

Sagot.28

3. Depende sa mga halaga ng parameter a, hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation x 3 - 3x - isang \u003d 0

Desisyon. Sa equation, p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Para sa isang (-∞;-2) (2;∞) ang equation ay may 1 solusyon;

Kapag ang isang (-2; 2) ang equation ay may 3 ugat;

Kapag ang isang \u003d -2; Ang equation 2 ay may 2 solusyon.

Mga pagsubok:

1. Ilang ugat mayroon ang mga equation:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; sa 3; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; sa 3; d)4

2. Sa anong mga halaga ng p equation x 3 Ang +px+8=0 ay may dalawang ugat?

a) 3; b) 5; sa 3; d)5

Sagot: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Ang French mathematician na si Francois Viet (1540-1603) 400 taon bago tayo (Appendix 4) ay nakapagtatag ng koneksyon sa pagitan ng mga ugat ng isang second-degree na equation at ng kanilang mga coefficient.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q.

Naging kawili-wili para sa akin na malaman: posible bang magtatag ng koneksyon sa pagitan ng mga ugat ng isang equation ng ikatlong antas at ng kanilang mga coefficient? Kung oo, ano ang koneksyon na ito? Ito ay kung paano nabuo ang aking mini project. Nagpasya akong gamitin ang aking umiiral na mga kasanayan sa quadratic upang malutas ang aking problema. kumilos sa pamamagitan ng pagkakatulad. Kinuha ko ang equation x 3 +px 2 +qх+r =0. Kung tinutukoy natin ang mga ugat ng equation x 1, x 2, x 3 , kung gayon ang equation ay maaaring isulat sa anyo (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Ang pagpapalawak ng mga bracket, makakakuha tayo ng: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Nakuha ang sumusunod na sistema:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Kaya, maaaring iugnay ng isa ang mga ugat ng mga equation ng di-makatwirang antas sa kanilang mga coefficient.Ano, sa tanong na interesado sa akin, ang maaaring makuha mula sa teorama ni Vieta?

1. Ang produkto ng lahat ng mga ugat ng equation ay katumbas ng modulus ng libreng termino. Kung ang mga ugat ng equation ay mga integer, dapat silang mga divisors ng free term.

Bumalik tayo sa x equation. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Ang mga integer ay dapat kabilang sa set: ±1; ±2; ±3; ±6. Ang sunud-sunod na pagpapalit ng mga numero sa equation, nakukuha natin ang mga ugat: -3; -isa; 2.

2. Kung malulutas mo ang equation na ito sa pamamagitan ng factoring, ang theorem ng Vieta ay nagbibigay ng "pahiwatig":kinakailangan na kapag nag-compile ng mga grupo para sa pagpapalawak, lumilitaw ang mga numero - mga divisors ng libreng termino. Malinaw na maaaring hindi ka kaagad matuto, dahil hindi lahat ng divisors ay ang mga ugat ng equation. At, sayang, maaaring hindi ito gumana - pagkatapos ng lahat, ang mga ugat ng equation ay maaaring hindi mga integer.

Lutasin ang equation x 3 +2x 2 -5x-6=0 factorization. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2) + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) Ang orihinal na equation ay katumbas nito: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. At ang equation na ito ay may tatlong ugat: -3; -1; 2. Gamit ang "pahiwatig" ng teorem ni Vieta, nalutas ko ang sumusunod na equation: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Mga dibisyon ng libreng termino: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 o x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Sagot. -4; 2.

3. Alam ang resultang sistema ng pagkakapantay-pantay, mahahanap mo ang hindi kilalang coefficient ng equation mula sa mga ugat ng equation.

Mga pagsubok:

1. Equation x 3 + px 2 + 19x - 12=0 ay may mga ugat 1, 3, 4. Hanapin ang coefficient p; Sagot. a) 12; b) 19; sa 12; d) -8 2. Equation x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 ay may mga ugat na 2, 3, 5. Hanapin ang coefficient r; Sagot. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Ang mga gawain para sa paglalapat ng mga resulta ng proyektong ito sa sapat na dami ay makikita sa manwal para sa mga aplikante sa unibersidad na na-edit ni M.I.Skanavi. Ang kaalaman sa teorama ni Vieta ay maaaring maging napakahalagang tulong sa paglutas ng mga ganitong problema.

№6.354

4. Konklusyon

1. May pormula na nagpapahayag ng mga ugat algebraic equation sa pamamagitan ng mga coefficient ng equation: kung saan D==() 2 + () 3 D>0, 1 solusyon. Formula Cardano.

2. Pag-aari ng mga ugat ng isang cubic equation

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 . x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Bilang isang resulta, dumating ako sa konklusyon na mayroong isang formula na nagpapahayag ng mga ugat ng mga cubic equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito, at mayroon ding koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng equation.

5. Panitikan:

1. Encyclopedic dictionary batang mathematician. A.P. Savin. –M.: Pedagogy, 1989.

2. Pinag-isang pagsusulit ng estado sa matematika - 2004. Mga gawain at solusyon. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova at iba pa Cheboksary. Publishing house Chuvash. un-ta, 2004.

3. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter. V.V. Mochalov, Silvestrov V.V. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter: Proc. allowance. -Cheboksary: ​​​​Chuvash Publishing House. Unibersidad, 2004.

4. Mga problema sa matematika. Algebra. Gabay sa Tulong. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987.

5.Reshebnik ng lahat ng mapagkumpitensyang problema sa matematika ng koleksyon na na-edit ni M.I.Skanavi. Publishing house na "Ukrainian Encyclopedia" na pinangalanang M.P. Bazhov, 1993.

6. Sa likod ng mga pahina ng isang algebra textbook. L.F. Pichurin.-M.: Enlightenment, 1990.

Preview:

Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang account para sa iyong sarili ( account) Google at mag-sign in: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Tingnan natin ang mundo ng mga formula

Ang edukasyong matematika na natanggap sa mga paaralan ng pangkalahatang edukasyon ay ang pinakamahalagang bahagi ng pangkalahatang edukasyon at ang pangkalahatang kultura ng modernong tao. Halos lahat ng bagay na nakapaligid sa isang tao ay konektado lahat sa isang paraan o iba pa sa matematika. At ang pinakabagong mga nakamit sa pisika, teknolohiya, teknolohiya ng impormasyon ay walang pag-aalinlangan na sa hinaharap ang estado ng mga gawain ay nananatiling pareho. Samakatuwid, ang solusyon ng maraming praktikal na problema ay binabawasan sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation na kailangang matutunan upang malutas. Ang mga linear na equation ng unang degree, tinuruan kaming lutasin sa unang baitang, at hindi kami nagpakita ng maraming interes sa kanila. Mas kawili-wili ang mga nonlinear equation - mga equation ng malalaking degree. Ang matematika ay nagpapakita ng kaayusan, simetriya at katiyakan, at ito ang pinakamataas na anyo ng kagandahan. Panimula:

ang equation ay may anyo (1) binabago natin ang equation sa paraang piliin ang eksaktong kubo: pinaparami natin (1) ang mga equation sa 3 (2) binabago natin (2) ang mga equation na nakukuha natin ang sumusunod na equation itaas ang kanan at kaliwang panig (3) ng equation sa ikatlong kapangyarihan hanapin ang mga ugat ng equation Mga halimbawa ng paglutas ng cubic equation

Quadratic equation equation ng anyo kung saan ang discriminant Walang mga ugat sa mga tunay na numero

Equation ng ikatlong antas

Tala sa kasaysayan: Noong mga panahong iyon, noong unang nagsimulang mag-isip ang mga pantas tungkol sa mga pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang dami, malamang na wala pang mga barya o wallet. Sa sinaunang mga problema sa matematika ng Mesopotamia, India, China, Greece, ang hindi kilalang dami ay nagpahayag ng bilang ng mga paboreal sa hardin, ang bilang ng mga toro sa kawan, ang kabuuan ng mga bagay na isinasaalang-alang kapag naghahati ng ari-arian. Ang mga mapagkukunan na dumating sa amin ay nagpapahiwatig na ang mga sinaunang siyentipiko ay nagtataglay ng ilang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa hindi kilalang dami. Gayunpaman, hindi isang solong papyrus, hindi isang solong clay tablet ang nagbibigay ng paglalarawan ng mga pamamaraan na ito. Ang pagbubukod ay ang "Arithmetic" ng Greek mathematician na si Diophantus ng Alexandria (III siglo) - isang koleksyon ng mga problema para sa pag-compile ng mga equation na may sistematikong pagtatanghal ng kanilang mga solusyon. Gayunpaman, ang gawain ng iskolar ng Baghdad noong ika-9 na siglo ay naging unang manwal para sa paglutas ng mga problema na naging malawak na kilala. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi.

ang equation ay may anyo (1) inilalapat namin ang formula 1) sa pamamagitan ng pagpili upang mahanap at upang ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay matupad, binabago namin ang kaliwang bahagi ng (1) ang equation bilang sumusunod: piliin ang buong kubo bilang y, nakuha namin ang equation para sa y (2) gawing simple (2) ang equation ( 3) Sa (3), nawala ang terminong naglalaman ng parisukat ng hindi alam, ngunit ang terminong naglalaman ng unang kapangyarihan ng hindi alam ay nanatili 2) sa pamamagitan ng pagpili, hanapin ang isang so na ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nasiyahan. Imposible ang pagkakapantay-pantay na ito dahil may positibong numero sa kaliwa at negatibong numero sa kaliwa. Kung susundin natin ang landas na ito, pagkatapos ay makaalis .... Sa piniling landas, tayo ay mabibigo. Hindi pa namin na-solve ang equation.

Ang mga equation ng kubiko ng equation ng form kung saan (1) 1. Pasimplehin natin ang mga equation na hinati ng a, kung gayon ang coefficient sa "x" ay magiging katumbas ng 1, samakatuwid ang solusyon ng anumang cubic equation ay batay sa sum cube formula: (2) kung kukuha tayo, ang equation (1) ay naiiba sa equation (2) lamang ang coefficient sa x at ang free term. Nagdaragdag kami ng mga equation (1) at (2) at nagbibigay ng mga katulad: kung gagawa kami ng pagbabago dito, makakakuha kami ng isang cubic equation na may paggalang sa y na walang termino:

Cardano Girolamo

Si Cardano Girolamo (Setyembre 24, 1501-Setyembre 21, 1576) ay isang Italyano na matematiko, mekaniko, at manggagamot. Ipinanganak sa Pavia. Nag-aral siya sa mga unibersidad ng Pavia at Padua. Sa kanyang kabataan, nagpraktis siya ng medisina. Noong 1534 naging propesor ng matematika sa Milan at Bologna. Sa matematika, ang pangalang Cardano ay karaniwang iniuugnay sa isang pormula para sa paglutas ng isang cubic equation, na hiniram niya mula sa N. Tartaglia. Ang formula na ito ay nai-publish sa Cardano's Great Art, o On the Rules of Algebra (1545). Simula noon, naging mortal na magkaaway sina Tartaglia at Cardano. Ang aklat na ito ay sistematikong binabalangkas ang mga makabagong pamamaraan ni Cardano para sa paglutas ng mga equation, pangunahin ang mga cubic. Nagsagawa ng linear transformation si Cardano, na naging posible na dalhin ang cubic equation sa isang form na libre mula sa term ng 2nd degree; itinuro niya ang relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng equation, ang divisibility ng polynomial sa pagkakaiba x – a, kung a ang ugat nito. Si Cardano ay isa sa mga una sa Europa na umamin sa pagkakaroon ng mga negatibong ugat ng mga equation. Sa kanyang trabaho, ang mga haka-haka na dami ay lilitaw sa unang pagkakataon. Sa mechanics, pinag-aralan ni Cardano ang teorya ng levers at weights. Ang isa sa mga paggalaw ng isang segment sa mga gilid ng isang tamang anggulo ay tinatawag na cardan movement sa mechanics. Talambuhay ni Cardano Girolamo

Kasabay nito, sa lungsod ng Italya ng Verona ay nanirahan ang isang mahirap na guro sa matematika na si Nicolo (1499-1557), na tinawag na Tartaglia (i.e. stutterer). Siya ay napakatalino at nagawang tuklasin muli ang pamamaraan ni Dal Ferro. Isang tunggalian ang naganap sa pagitan nina Fiore at Tartaglia. Ayon sa kondisyon, ang mga karibal ay nagpalitan ng 30 mga problema, ang solusyon kung saan ay binigyan ng 50 araw. Ngunit dahil alam ni Fior sa esensya ay isang problema lamang at sigurado na hindi ito malulutas ng ilang guro, kung gayon ang lahat ng 30 mga problema ay naging pareho ang uri. Hinarap sila ni Tartaglia sa loob ng dalawang oras. Sa kabilang banda, hindi kayang lutasin ni Fiore ang alinman sa mga gawaing iminungkahi ng kalaban. Ang tagumpay ay nagparangal sa Tartaglia sa buong Italya, ngunit ang isyu ay hindi ganap na nalutas. Ang simpleng panlilinlang na iyon kung saan nakayanan namin ang termino ng equation na naglalaman ng isang parisukat hindi kilalang halaga(pagpili ng isang kumpletong kubo), pagkatapos ay ang solusyon ng mga equation iba't ibang uri ay hindi naipasok sa sistema. Duel ni Fiora kay Tartaglia

isang equation ng form mula sa equation na ito ay kinakalkula namin ang discriminant ng equation Hindi lamang ang ugat ng equation na ito ay hindi ganap na nakuha, ngunit kailangan pa rin itong kunin mula sa isang negatibong numero. Anong problema? Maaaring ipagpalagay na ang equation na ito ay walang mga ugat, dahil ang D

Ang mga ugat ng isang cubic equation ay nakasalalay sa discriminant ang equation ay may 1 solusyon ang equation ay may 3 solusyon ang equation ay may 2 solusyon Konklusyon

ang equation ay may anyo hanapin ang mga ugat ng equation gamit ang Cardano formula Mga halimbawa ng paglutas ng mga cubic equation gamit ang Cardano formula

isang equation ng form (1) mula sa equation na ito at dahil, ayon sa kondisyon, ang equation na ito ay dapat magkaroon ng 1 solusyon, pagkatapos ay kalkulahin natin ang discriminant (1) ng equation + - + 2 6 Sagot: ang pinakamaliit na natural na halaga a mula sa pagitan na ito ay 1 Sa ano ang pinakamaliit na natural na halaga ang isang equation ay may 1 solusyon?

Ang solusyon ng mga cubic equation sa pamamagitan ng Vieta method Ang mga equation ay may anyo

Lutasin ang equation kung alam na ang produkto ng dalawang ugat nito ay katumbas ng 1 ayon sa Vieta theorem at mayroon tayong kondisyon, o pinapalitan natin ang halaga sa unang equation o pinapalitan natin ang halaga mula sa ikatlong equation sa una. , mahahanap natin ang mga ugat ng equation o Sagot:

Literatura na ginamit: “Mathematics. Tulong sa pagtuturo» Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Encyclopedia “Alam ko ang mundo. Mathematics" - Moscow, AST, 1996. "Mathematics. Tulong sa pagtuturo » V.T. Lisichkin. Isang gabay para sa mga aplikante sa mga unibersidad, na-edit ni M.I.Skanavi. Walang asawa Pagsusulit ng estado sa matematika - 2004

Salamat sa iyong atensyon

Ang mga cubic equation ay may anyo palakol 3 + bx 2 + cx + d= 0). Ang isang paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay kilala sa loob ng ilang siglo (ito ay natuklasan noong ika-16 na siglo ng mga Italian mathematician). Ang paglutas ng ilang cubic equation ay medyo mahirap, ngunit may tamang diskarte (at magandang antas teoretikal na kaalaman) magagawa mong lutasin kahit na ang pinakamasalimuot na cubic equation.

Mga hakbang

Solusyon gamit ang isang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga cubic equation ay may anyo a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), kung saan ang mga coefficient c (\displaystyle c) at d (\displaystyle d) maaaring magkapantay 0 (\displaystyle 0), ibig sabihin, ang isang cubic equation ay maaaring binubuo lamang ng isang termino (na may variable sa ikatlong antas). Una, suriin kung ang cubic equation na ibinigay sa iyo ay may intercept, iyon ay, d (\displaystyle d). Kung walang libreng termino, maaari mong lutasin ang cubic equation na ito gamit ang formula para sa paglutas ng quadratic equation.

• Kung may humarang, gumamit ng ibang paraan ng solusyon (tingnan ang mga sumusunod na seksyon).

1. Since in ibinigay na equation walang libreng termino, kung gayon ang lahat ng termino ng equation na ito ay naglalaman ng variable x (\displaystyle x), na maaaring naka-bracket: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • Halimbawa. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Kung magtitiis ka x (\displaystyle x) mga bracket, nakukuha mo x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. Tandaan na ang equation sa mga bracket ay isang quadratic equation ng form ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), na maaaring malutas gamit ang formula ((- b +/-√ (). Lutasin ang isang quadratic equation at malulutas mo ang isang cubic equation.

   • Sa aming halimbawa, palitan ang mga halaga ng mga coefficient a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) sa formula: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2))^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • Solusyon 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12.8 at 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • Solusyon 2: 2 − 12.8 at 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. Tandaan na ang mga quadratic equation ay may dalawang solusyon, habang ang cubic equation ay may tatlong solusyon. Nakakita ka ng dalawang solusyon sa isang quadratic, at samakatuwid ay isang cubic equation. Sa mga kaso kung saan inilagay mo ang "x" sa labas ng mga bracket, ang pangatlong solusyon ay palaging 0 (\displaystyle 0).

   • Ito ay totoo dahil ang anumang numero o expression na pinarami ng 0 (\displaystyle 0), katumbas 0 (\displaystyle 0). Simula nung nagtiis ka x (\displaystyle x) wala sa mga bracket, pagkatapos ay na-decompose mo ang cubic equation sa dalawang salik ( x (\displaystyle x) at isang quadratic equation), ang isa ay dapat na katumbas ng 0 (\displaystyle 0) upang ang buong equation ay katumbas ng 0 (\displaystyle 0).

   Paghahanap ng buong solusyon gamit ang factorization

   1. Suriin kung ang cubic equation na ibinigay sa iyo ay may intercept. Ang pamamaraang inilarawan sa nakaraang seksyon ay hindi angkop para sa paglutas ng mga cubic equation kung saan mayroong libreng termino. Sa kasong ito, kakailanganin mong gamitin ang paraang inilarawan dito o sa susunod na seksyon.

      • Halimbawa. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Dito, ilipat ang isang maluwag na titi d = − 6 (\displaystyle d=-6) sa kaliwang bahagi ng equation upang kanang bahagi makuha 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. Maghanap ng mga coefficient multiplier a (\displaystyle a)(coefficient sa x 3 (\displaystyle x^(3))) at libreng miyembro d (\displaystyle d). Ang mga kadahilanan ng isang numero ay mga numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay orihinal na numero. Halimbawa, ang mga kadahilanan ng numero 6 (\displaystyle 6) ay ang mga numero 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\beses 1) at 2 × 3 (\displaystyle 2\beses 3)).

      • Sa ating halimbawa a = 2 (\displaystyle a=2) at d = 6 (\displaystyle d=6). Mga multiplier 2 (\displaystyle 2) ay mga numero 1 (\displaystyle 1) at 2 (\displaystyle 2). Mga multiplier 6 (\displaystyle 6) ay mga numero 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), at 6 (\displaystyle 6).

   3. Divide coefficient multipliers a (\displaystyle a) sa pamamagitan ng mga kadahilanan ng libreng termino d (\displaystyle d). Makakakuha ka ng mga fraction at buong numero. Ang integer solution ng cubic equation na ibinigay sa iyo ay isa sa mga integer na ito, o ang negatibong halaga ng isa sa mga integer na ito.

      • Sa aming halimbawa, hatiin ang mga kadahilanan a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) sa pamamagitan ng mga salik d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) at makakuha ng: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) at . Ngayon idagdag sa hanay na ito ng mga numero ang kanilang mga negatibong halaga: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) at − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Ang mga integer na solusyon ng cubic equation na ibinigay sa iyo ay nasa seryeng ito ng mga numero.

   4. Makakahanap ka na ngayon ng mga integer na solusyon sa iyong cubic equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga integer mula sa nahanap na serye ng mga numero dito. Ngunit kung ayaw mong mag-aksaya ng oras dito, gamitin. Ang scheme na ito ay nagsasangkot ng paghahati ng mga integer sa mga halaga a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d) ibinigay na cubic equation. Kung ang natitira ay 0 (\displaystyle 0), ang integer ay isa sa mga solusyon sa cubic equation.

      • Ang paghahati ni Horner ay hindi isang madaling paksa; upang makatanggap karagdagang impormasyon sundan ang link na ibinigay sa itaas. Narito ang isang halimbawa kung paano hanapin ang isa sa mga solusyon sa isang cubic equation na ibinigay sa iyo gamit ang Horner's division: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Dahil ang natitira 0 (\displaystyle 0), kung gayon ang isa sa mga solusyon sa equation ay isang integer − 1 (\displaystyle -1).

   Gamit ang discriminant

   1. Sa pamamaraang ito, gagana ka sa mga halaga ng koepisyent a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). Samakatuwid, mas mahusay na isulat ang mga halaga ng mga coefficient na ito nang maaga.

      • Halimbawa. matematika>x^3-3x^2+3x-1. Dito a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Huwag kalimutan na kapag x (\displaystyle x) walang coefficient, nangangahulugan ito na ang coefficient ay katumbas ng 1 (\displaystyle 1).

   2. Kalkulahin △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Ang pamamaraang ito ay mangangailangan ng ilang kumplikadong mga kalkulasyon, ngunit kung naiintindihan mo ito, magagawa mong lutasin ang mga pinaka-kumplikadong cubic equation. Upang magsimula, kalkulahin △ 0 (\displaystyle \triangle _(0)), isa sa ilang mahahalagang dami na kakailanganin natin sa pamamagitan ng pagpapalit ng naaangkop na mga halaga sa formula.

      • Sa aming halimbawa: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triangle _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triangle _(1))

   3. Kalkulahin ang Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 a 2 . Ngayon kalkulahin ang discriminant ng equation gamit ang mga nahanap na halaga ng Δ0 at Δ1. Ang discriminant ay isang numero na nagbibigay sa iyo ng impormasyon tungkol sa mga ugat ng isang polynomial (maaaring alam mo na na ang discriminant ng isang quadratic equation ay b 2 - 4ac). Sa kaso ng isang cubic equation, kung ang discriminant ay positibo, ang equation ay may tatlong solusyon; kung ang discriminant ay zero, ang equation ay may isa o dalawang solusyon; kung ang discriminant ay negatibo, ang equation ay mayroon lamang isang solusyon. Ang isang cubic equation ay laging may kahit isang solusyon dahil ang graph ng naturang equation ay nag-intersect sa x-axis sa hindi bababa sa isang punto.

      • Kung papalitan mo ang naaangkop na mga halaga ng mga dami sa formula na ito, makakakuha ka mga posibleng solusyon ang cubic equation na ibinigay sa iyo. Palitan ang mga ito sa orihinal na equation at kung ang pagkakapantay-pantay ay natutugunan, kung gayon ang mga solusyon ay tama. Halimbawa, kung isaksak mo ang mga halaga sa formula at makakuha ng 1, isaksak ang 1 sa x 3 - 3x 2 + 3x- 1 at makakuha ng 0. Iyon ay, ang pagkakapantay-pantay ay sinusunod, at 1 ay isa sa mga solusyon sa cubic equation na ibinigay sa iyo.

Alamin kung paano lutasin ang mga cubic equation. Ang kaso kapag ang isang ugat ay kilala ay isinasaalang-alang. Mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga integer at makatwirang mga ugat. Application ng Cardano at Vieta formula upang malutas ang anumang cubic equation.

Dito isinasaalang-alang namin ang solusyon ng mga cubic equation ng form
(1) .
Dagdag pa, ipinapalagay namin na ito ay tunay na mga numero.

(2) ,
pagkatapos ay paghahatiin ito sa pamamagitan ng , makakakuha tayo ng isang equation ng form (1) na may mga coefficient
.

Ang equation (1) ay may tatlong ugat: , at . Ang isa sa mga ugat ay palaging totoo. Tinutukoy namin ang tunay na ugat bilang . Ang mga ugat at maaaring maging tunay o kumplikadong conjugate. Ang mga tunay na ugat ay maaaring maramihan. Halimbawa, kung , pagkatapos at ay dobleng ugat (o ugat ng multiplicity 2), at ito ay isang simpleng ugat.

Kung isang ugat lang ang alam

Ipaalam sa amin ang isang ugat ng cubic equation (1). Magpakilala kilalang ugat bilang . Pagkatapos ay hinahati ang equation (1) sa , nakakakuha tayo ng quadratic equation. Ang paglutas ng quadratic equation, nakita namin ang dalawa pang ugat at .

Para sa patunay, ginagamit namin ang katotohanan na ang cubic polynomial ay maaaring katawanin bilang:
.
Pagkatapos, paghahati ng (1) sa , nakakakuha tayo ng isang quadratic equation.

Ang mga halimbawa ng dibisyon ng mga polynomial ay ipinakita sa pahina
"Paghahati at pagpaparami ng isang polynomial sa isang polynomial sa pamamagitan ng isang sulok at isang haligi".
Ang solusyon ng mga quadratic equation ay isinasaalang-alang sa pahina
"Ang mga ugat ng isang quadratic equation".

Kung ang isa sa mga ugat ay

Kung ang orihinal na equation ay:
(2) ,
at ang mga coefficient nito , , , ay mga integer, pagkatapos ay maaari mong subukang maghanap ng integer root. Kung ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng coefficient. Ang paraan ng paghahanap ng mga integer na ugat ay hinahanap natin ang lahat ng mga divisors ng isang numero at suriin kung ang equation (2) ay humahawak para sa kanila. Kung ang equation (2) ay nasiyahan, pagkatapos ay natagpuan natin ang ugat nito. Tukuyin natin ito bilang . Susunod, hinati namin ang equation (2) sa . Kumuha kami ng isang quadratic equation. Ang paglutas nito, nakahanap kami ng dalawa pang ugat.

Ang mga halimbawa ng pagtukoy sa mga ugat ng integer ay ibinibigay sa pahina
Mga halimbawa ng factorization ng polynomials > > > .

Paghahanap ng Rational Roots

Kung sa equation (2) , , , ay mga integer, at , at walang mga integer na ugat, maaari mong subukang maghanap ng mga makatwirang ugat, iyon ay, mga ugat ng form , kung saan at mga integer.

Upang gawin ito, i-multiply natin ang equation (2) sa at gawin ang pagpapalit:
;
(3) .
Susunod, hinahanap namin ang mga integer na ugat ng equation (3) sa mga divisors ng libreng termino.

Kung nakahanap tayo ng integer root ng equation (3), kung gayon, pagbalik sa variable , makakakuha tayo ng rational root ng equation (2):
.

Mga formula ng Cardano at Vieta para sa paglutas ng isang cubic equation

Kung hindi natin alam ang anumang ugat, at walang integer na ugat, makikita natin ang mga ugat ng isang cubic equation gamit ang mga formula ng Cardano.

Isaalang-alang ang cubic equation:
(1) .
Gumawa tayo ng pagpapalit:
.
Pagkatapos nito, ang equation ay binabawasan sa isang hindi kumpleto o pinababang anyo:
(4) ,
saan
(5) ; .

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics para sa mga siyentipiko at mga inhinyero, 2012.