Wenn multiplizieren Nummer auf sich selbst wird es die Konstruktion herausstellen Quadrat. „Zweimal zwei ist vier“, weiß schon ein Erstklässler. Dreistellig, vierstellig usw. Es ist besser, Zahlen in einer Spalte oder auf einem Taschenrechner zu multiplizieren, aber mit zweistelligen Zahlen ohne elektronischen Assistenten umzugehen und im Kopf zu multiplizieren.

Anweisung

1. Erweitern Sie alle zweiwertigen Nummer in Komponenten, wobei die Anzahl der Einheiten hervorgehoben wird. In der Zahl 96 ist die Anzahl der Einsen 6. Daher darf geschrieben werden: 96 \u003d 90 + 6.

2. Erhöhen, um Quadrat die erste der Zahlen: 90 * 90 = 8100.

3. Machen Sie dasselbe mit dem zweiten. Nummer m: 6 * 6 = 36

4. Multiplizieren Sie die Zahlen miteinander und verdoppeln Sie die Summe: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Addieren Sie die Ergebnisse des zweiten, dritten und vierten Schritts: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Dies ist das Ergebnis der Erhöhung auf Quadrat Nummer 96. Nach einigem Training werden Sie in der Lage sein, in Gedanken schnell Schritte zu unternehmen und Ihre Eltern und Klassenkameraden zu treffen. Bis Sie sich daran gewöhnt haben, schreiben Sie die Ergebnisse des gesamten Schritts auf, um nicht verwirrt zu werden.

6. Erhöhen Sie zum Training auf Quadrat Nummer 74 und überprüfen Sie sich auf dem Taschenrechner. Aktionsfolge: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Zur zweiten Potenz erheben Nummer 81. Ihre Aktionen: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Denken Sie daran nicht standardisierte Methode Erektion ein Quadrat zweistellige Zahlen, die auf die Zahl 5 enden. Wählen Sie die Anzahl der Zehner aus: In der Zahl 75 gibt es 7 davon.

9. Multiplizieren Sie die Zahl der Zehner mit der nächsten Ziffer in Nummer erste Reihe: 7 * 8 = 56.

10. Attribut auf der rechten Seite Nummer 25:5625 - Ergebnis der Erektion in Quadrat Nummer 75.

11. Erhöhen Sie für das Training die zweite Potenz Nummer 95. Es endet mit der Zahl 5, daher die Aktionsfolge: 9 * 10 = 90, 9025 - insgesamt.

12. Bauen lernen Quadrat negative Zahlen: -95 Zoll Quadrat gleich 9025 ist, wie im elften Schritt. Wie -74 Zoll Quadrat e ist 5476, wie im sechsten Schritt. Dies liegt daran, dass beim Multiplizieren von 2 negativen Zahlen immer die richtige erhalten wird. Nummer: -95 * -95 = 9025. Folglich, wenn auf erhöht Quadrat Sie können das Minuszeichen einfach ignorieren.

Das Potenzieren einer Zahl ist eine der einfachsten algebraische Operationen. BEI Alltagsleben Die Aufrichtung wird selten verwendet, aber in der Produktion ist sie bei der Durchführung von Berechnungen praktisch überall, daher ist es nützlich, sich daran zu erinnern, wie dies gemacht wird.

Anweisung

1. Stellen Sie sich vor, wir haben eine Zahl a, deren Potenz die Zahl n ist. Um eine Zahl zu potenzieren, müssen Sie die Zahl a n-mal mit sich selbst multiplizieren.

2. Schauen wir uns ein paar Beispiele an: Um die Zahl 2 zur zweiten Potenz zu bilden, müssen Sie die Aktion ausführen: 2x2 \u003d 4

3. Um die Zahl 3 hoch fünf zu bilden, müssen Sie die Aktion ausführen: 3x3x3x3x3 \u003d 243

4. Es gibt eine allgemein anerkannte Bezeichnung der 2. und 3. Potenz von Zahlen. Der Ausdruck "zweiter Grad" wird normalerweise durch das Wort "Quadrat" ersetzt, und anstelle des Ausdrucks "dritter Grad" sagen sie traditionell "Würfel".

5. Wie aus den obigen Beispielen ersichtlich ist, hängt die Dauer und Komplexität von Berechnungen vom Wert des Exponenten der Zahl ab. Quadrieren oder Würfeln ist genug einfache Aufgabe; Eine Zahl auf die fünfte oder eine große Potenz zu erhöhen, erfordert bereits viel Zeit und Genauigkeit bei den Berechnungen. Sich beeilen dieser Prozess und ausnahmen von fehlern darf man special verwenden mathematische Tabellen oder ein technischer Taschenrechner.

Für eine kurze Aufzeichnung des Produkts derselben Zahl selbst haben Mathematiker eine Darstellung des Grades entwickelt. Folglich kann der Ausdruck 16 * 16 * 16 * 16 * 16 mehr geschrieben werden kurze Methode. Es sieht aus wie 16^5. Der Ausdruck wird als Zahl 16 hoch fünf gelesen.

Du wirst brauchen

• Papier, Stift.

Anweisung

1. Im Algemeinen Grad geschrieben als a^n. Dieser Eintrag bedeutet, dass die Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert wird und der Ausdruck a ^ n aufgerufen wird Grad u,a ist eine Zahl, Basis des Abschlusses, n ist eine Zahl, ein Exponent. Sag a = 4, n = 5, dann schreibe 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1024

2. Die Potenz von n kann eine negative Zahl sein n = -1, -2, -3 usw. Um das Negative zu berechnen Grad Zahlen, muss es in den Nenner erniedrigt werden: ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. Wie Sie dem Beispiel entnehmen können, ist -3 Grad aus der Zahl 2 kann mit verschiedenen Methoden berechnet werden: 1) Berechnen Sie zuerst den Bruch 1/2 \u003d 0,5; und danach einbauen Grad 3, d. h. 0,5^3 = 0,5*0,5*0,5 = 0,1252) Bauen Sie zuerst den Nenner ein Grad 2^3 = 2*2*2 = 8, und berechne danach den Bruch 1/8 = 0,125.

4. Lassen Sie uns nun -1 berechnen Grad für eine Zahl, d.h. n = -1. Für diesen Fall gelten die oben diskutierten Regeln: a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/a Grad 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. Das Beispiel zeigt deutlich, dass es sich um eine Zahl hoch -1 handelt wechselseitig aus einer Zahl Nehmen wir die Zahl 5 in Form eines Bruchs 5/1 an, dann kann 5 ^ (-1) nicht arithmetisch gezählt werden, sondern schreiben Sie sofort den Kehrwert von 5/1, das ist 1/5. 15 ^ (-1) \u003d 1 /15,6^(-1) = 1/6,25^(-1) = 1/25

Beachten Sie!
Wenn Sie eine Zahl negativ potenzieren, denken Sie daran, dass die Zahl nicht gleich Null sein kann. Nach der Regel sind wir verpflichtet, die Zahl in den Nenner zu bringen. Und Null darf nicht im Nenner stehen, da man nicht durch Null teilen kann.

Nützlicher Rat
Gelegentlich beim Arbeiten mit Exponenten, um die Berechnung zu erleichtern Bruchzahl absichtlich durch eine ganze Zahl hoch -11/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1) ersetzt.

Beim Lösen von Arithmetik und algebraische Probleme gelegentlich zum Bauen benötigt Fraktion in Quadrat. Es ist für alle einfacher, dies zu tun, wenn Fraktion dezimal - ein ziemlich gewöhnlicher Taschenrechner. jedoch, wenn Fraktion gewöhnlich oder gemischt, dann beim Erhöhen einer solchen Zahl zu Quadrat einige Schwierigkeiten können auftreten.

Du wirst brauchen

• Taschenrechner, Computer, Excel-Anwendung.

Anweisung

1. Um eine Dezimalzahl zu konstruieren Fraktion in Quadrat, nehmen Ingenieur Rechner, tippen Sie darauf, errichtet in Quadrat Fraktion und drücken Sie die Potenzierungstaste. Bei den meisten Taschenrechnern ist diese Schaltfläche mit "x?" beschriftet. Auf einem Standard-Windows-Rechner reicht das Anheben um Quadrat sieht aus wie "x^2". Sagen wir Quadrat Dezimalbruch 3,14 ist gleich: 3,14? = 9,8596.

2. Zum Einbauen Quadrat Dezimal Fraktion Multiplizieren Sie diese Zahl auf einem gewöhnlichen (Buchhaltungs-)Rechner mit sich selbst. By the way, in einigen Modellen von Taschenrechnern, die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhöhen Quadrat auch wenn es keine spezielle Taste gibt. Lesen Sie daher die Anweisungen für spezifischer Rechner. Gelegentlich werden auf der Rückseite oder auf der Verpackung des Taschenrechners Beispiele für "listige" Potenzierung angegeben. Sprich auf vielen Rechnern zum Erhöhen einer Zahl Quadrat Drücken Sie einfach die Tasten "x" und "=".

3. Zur Erektion in Quadrat gewöhnlicher Bruchteil(bestehend aus Zähler und Nenner), erhöhe auf Quadrat Zähler und Nenner dieses Bruchs getrennt. Das heißt, verwenden Sie die folgende Regel: (h / s)? = h? / s?, wobei h der Zähler des Bruchs ist, s der Nenner des Bruchs ist Beispiel: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Bei Aufstellung in Quadrat Fraktion- gemischt (besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem gewöhnlichen Bruch), dann bringen Sie es im Voraus in seine übliche Form. Das heißt, wenden Sie die folgende Formel an: (ch / s)? \u003d ((c * s + h) / s)? = (c*s+h)? / s?, wo c - ganzer Teil gemischter Bruch Beispiel: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Bei Aufstellung in Quadrat gewöhnliche (nicht dezimale) Brüche werden kontinuierlich gebracht, dann verwenden Sie MS Excel. Geben Sie dazu die folgende Formel in eine der Zellen der Tabelle ein: \u003d GRAD (A2; 2) wobei A2 die Adresse der Zelle ist, in die der zu erhöhende Wert eingegeben wird Quadrat Fraktion.Um dem Programm mitzuteilen, dass die eingegebene Nummer normal behandelt werden soll Fraktion yu (d. h. nicht in Dezimalzahlen umwandeln), geben Sie before ein Fraktion Ziffer „0“ und das Zeichen „Leerzeichen“. Das heißt, um beispielsweise den Bruch 2/3 einzugeben, müssen Sie Folgendes eingeben: „0 2/3“ (und die Eingabetaste drücken). In diesem Fall zeigt die Eingabezeile die Dezimaldarstellung des eingegebenen Bruchs an. Der Wert und die Darstellung des Bruchs in einer Zelle werden gespeichert Ausgangsform. Außerdem bei der Bewerbung mathematische Funktionen, deren Argumente gewöhnliche Brüche sind, wird das Ergebnis ebenfalls als gewöhnlicher Bruch dargestellt. Folglich Quadrat Bruch 2/3 wird als 4/9 dargestellt.

Die Methode zum Hervorheben des Quadrats eines Binoms wird verwendet, um massive Ausdrücke zu erleichtern und quadratische Gleichungen zu lösen. In der Praxis wird es traditionell mit anderen Techniken kombiniert, einschließlich Faktorisierung, Gruppierung usw.

Anweisung

1. Die Methode zur Auswahl des vollständigen Quadrats eines Binoms basiert auf der Verwendung von 2 Formeln für die abgekürzte Multiplikation von Polynomen. Diese Formeln sind Sonderfälle von Binomial Newton für den 2. Grad und erlauben Ihnen, den gewünschten Ausdruck so zu vereinfachen, dass eine weitere Reduktion oder Faktorisierung möglich ist: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n².

2. Gemäß diesem Verfahren ist es erforderlich, die Quadrate von 2 Monomen und die Summe/Differenz ihres Doppelprodukts aus dem anfänglichen Polynom zu extrahieren. Die Anwendung dieser Methode ist sinnvoll, wenn die höchste Potenz der Terme nicht kleiner als 2 ist. Stellen Sie sich vor, Sie müssten folgenden Ausdruck mit abnehmendem Grad faktorisieren: 4 y ^ 4 + z ^ 4

3. Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Methode zum Auswählen eines vollständigen Quadrats zu verwenden. Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck aus 2 Monomen mit Variablen besteht sogar Grad. Folglich ist es erlaubt, jede von ihnen mit m und n:m = 2 y² zu bezeichnen; n = z2.

4. Nun müssen wir den Anfangsausdruck in die Form (m + n)² bringen. Es enthält genauer die Quadrate dieser Terme, aber es fehlt das doppelte Produkt. Sie müssen es unnatürlich addieren und dann subtrahieren: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².

5. Im resultierenden Ausdruck sehen Sie die Formel für die Differenz von Quadraten: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z).

6. Es stellt sich heraus, dass die Methode aus zwei Schritten besteht: der Auswahl von Monomen des vollen Quadrats m und n, der Addition und Subtraktion ihres Doppelprodukts. Die Methode zum Extrahieren des vollständigen Quadrats eines Binoms kann nicht nur für sich allein verwendet werden, sondern auch in Kombination mit anderen Methoden: Klammern des universellen Faktors, Ersetzen einer Variablen, Gruppieren von Termen usw.

7. Beispiel 2: Markieren volles Quadrat im Ausdruck: 4 y² + 2 y z + z² Lösung: 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z) ² - 2 y z = (2 y + z)² - 2 y z.

8. Die Methode wird verwendet, um die Wurzeln zu finden quadratische Gleichung. Die linke Seite der Gleichung ist ein Trinom der Form a y? + b y + c, wobei a, b und c Zahlen sind und a ? 0.a y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2 a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Diese Berechnungen führen zur Darstellung der Diskriminante, die gleich (b? - 4 a c)/(4 a) ist, und die Wurzeln der Gleichung sind: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? - 4 a c)/(4 a)).

Die Erektionsoperation Grad ist "binär", das heißt, es hat zwei unverzichtbare Eingangsparameter und einen Ausgang. Einer der Anfangsparameter wird als Exponent bezeichnet und gibt an, wie oft die Multiplikationsoperation auf den zweiten Parameter – die Basis – angewendet werden soll. Die Vernunft kann entweder richtig oder negativ sein. Nummer .

Anweisung

1. Wenn Sie eine negative Zahl potenzieren, verwenden Sie die üblichen Regeln für diese Operation. Wie bei positiven Zahlen bedeutet Potenzieren, dass der Anfangswert mehrmals mit sich selbst multipliziert wird, eins weniger als der Exponent. Sagen wir, um die Zahl -2 hoch vier zu bilden, muss sie dreimal mit sich selbst multipliziert werden: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. Die Multiplikation von 2 negativen Zahlen ergibt immer positiver Wert, und das Ergebnis dieser Operation für Mengen mit verschiedene Zeichen wird eine negative Zahl sein. Daraus lässt sich schließen, dass während des Baus negative Werte hochgerechnet mit einem geraden Exponenten sollte immer eine positive Zahl erhalten werden, und mit ungeraden Exponenten wird das Ergebnis immer so sein weniger als Null. Verwenden Sie diese Qualität, um Ihre Berechnungen zu überprüfen. Sagen wir -2 hoch fünf sollte eine negative Zahl sein -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32 und -2 hoch sechs sollte positiv sein -2 ?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. Beim Potenzieren einer negativen Zahl kann der Exponent in Form eines regelmäßigen Bruchs angegeben werden - sagen wir -64 hoch?. Ein solcher Indikator bedeutet, dass der Anfangswert mit einer Potenz gleich dem Zähler des Bruchs gebildet und die Wurzel des Grads daraus gezogen werden sollte. gleich dem Nenner. Ein Teil dieser Operation wurde in den vorherigen Schritten behandelt, aber hier sollten Sie auf einen anderen achten.

4. Extraktion der Wurzel komische Funktion, also für negativ reale Nummern es kann nur verwendet werden, wenn der Exponent ungerade ist. Wenn gerade, ist diese Funktion irrelevant. Folglich, wenn es in den Bedingungen des Problems erforderlich ist, eine negative Zahl in zu konstruieren Bruchgrad mit einem geraden Nenner, dann hat das Problem keine Lösung. In anderen Fällen führen Sie zuerst die Operationen aus den ersten 2 Schritten durch, verwenden den Zähler des Bruchs als Exponent und ziehen dann die Wurzel mit dem Grad des Nenners.

Die Potenznotation für eine Zahl ist eine abgekürzte Form der Operation, die Basis mit sich selbst zu multiplizieren. Mit einer in dieser Form präsentierten Zahl ist es erlaubt, die gleichen Operationen durchzuführen wie mit jeder anderen Zahl, einschließlich des Erhöhens auf Grad. Nehmen wir an, es ist erlaubt, eine beliebige Datei einzubauen Grad Quadrat Zahlen und der Erwerb einer Gesamtzahl auf der modernen Stufe der Technologiebildung werden keine Schwierigkeiten bereiten.

Du wirst brauchen

• Internetzugang oder Windows-Rechner.

Anweisung

1. Zur Erektion Quadrat und in Grad Verwenden Sie die allgemeine Regel des Erhöhens auf Grad Nummer näher als mit Potenzexponent. Bei einer solchen Operation werden die Indikatoren multipliziert und die Basis bleibt die erstere. Wenn die Basis mit x und die Anfangs- und Nebenexponenten mit a und b bezeichnet werden, kann diese Regel in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden: (x?)?=x??.

2. Für utilitaristische Berechnungen ist es für alle einfacher, die Suchmaschine zu verwenden Google-System- Es hat einen sehr einfach zu bedienenden Taschenrechner eingebaut. Nehmen wir an, Sie möchten in der fünften einbauen Grad Quadrat Nummer 6, gehen Sie zur Hauptseite der Suchmaschine und geben Sie die entsprechende Suchanfrage ein. Es darf so formuliert werden: (6 ^ 2) ^ 5 - hier bedeutet das ^-Zeichen Grad. Und es ist erlaubt, den resultierenden Exponenten gemäß der Formel aus dem vorherigen Schritt unabhängig zu berechnen und die Abfrage wie folgt zu formulieren: 6 ^ 10. Oder vertrauen Sie Google, indem Sie die folgende Anfrage eingeben: 6^(2*5). Für jede dieser Optionen gibt der Suchmaschinenrechner ein identisches Ergebnis zurück: 60.466.176.

3. In Ermangelung eines Internetzugangs kann der Google-Rechner beispielsweise durch den integrierten Windows-Rechner ersetzt werden. Wenn Sie die Seven- oder Vista-Versionen dieses Betriebssystems verwenden, öffnen Sie das Hauptmenü des Systems und geben Sie jeweils zwei Buchstaben ein: „ka“. Das System zeigt im Hauptmenü alle Programme und Dateien an, die es dieser Kombination zuordnet. In der ersten Zeile befindet sich ein Link "Rechner" - klicken Sie mit der Maus darauf, und die Anwendung wird gestartet.

4. Drücken Sie die Tastenkombination Alt + 2, so dass in der Anwendungsoberfläche eine Schaltfläche mit der Funktion des Anhebens auf willkürlich erscheint Grad. Geben Sie danach die Basis ein – im Beispiel aus dem zweiten Schritt ist es die Zahl 6 – und klicken Sie zuerst auf die Schaltfläche x?, dann auf die Schaltfläche x?. Geben Sie den Exponenten ein, zu dem Sie aufbauen möchten Quadrat- im verwendeten Beispiel ist diese Zahl 5. Drücken Sie die Eingabetaste, und der Taschenrechner zeigt das Endergebnis der Operation an.

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Nützlicher Rat
Damit das Training nicht langweilig wird, rufe einen Freund zu Hilfe. Lassen Sie ihn eine zweistellige Zahl schreiben, und Sie - die Ausgabe des Quadrierens dieser Zahl. Danach Platz wechseln.

* Quadrate bis zu Hunderten

Um nicht gedankenlos alle Zahlen nach der Formel zu quadrieren, musst du deine Aufgabe mit den folgenden Regeln so weit wie möglich vereinfachen.

Regel 1 (schneidet 10 Zahlen ab)

Für Zahlen, die auf 0 enden.
Wenn eine Zahl auf 0 endet, ist die Multiplikation nicht schwieriger als einzelne Ziffer. Alles, was Sie tun müssen, ist, ein paar Nullen hinzuzufügen.
70 * 70 = 4900.
Die Tabelle ist rot markiert.

Regel 2 (schneidet 10 Zahlen ab)

Für Zahlen, die auf 5 enden.
Um eine zweistellige Zahl, die auf 5 endet, zu quadrieren, multiplizieren Sie die erste Ziffer (x) mit (x+1) und addieren „25“ zum Ergebnis.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Die Tabelle ist grün markiert.

Regel 3 (schneidet 8 Zahlen ab)

Für Zahlen von 40 bis 50.
XX * XX = 1500 + 100 * zweite Ziffer + (10 - zweite Ziffer)^2
Schwer genug, oder? Nehmen wir ein Beispiel:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Die Tabelle ist hellorange markiert.

Regel 4 (schneidet 8 Zahlen ab)

Für Zahlen von 50 bis 60.
XX * XX = 2500 + 100 * zweite Ziffer + (zweite Ziffer)^2
Es ist auch ziemlich schwer zu verstehen. Nehmen wir ein Beispiel:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Die Tabelle ist dunkelorange markiert.

Regel 5 (schneidet 8 Zahlen ab)

Für Zahlen von 90 bis 100.
XX * XX = 8000+ 200 * zweite Ziffer + (10 - zweite Ziffer)^2
Ähnlich Regel 3, aber mit anderen Koeffizienten. Nehmen wir ein Beispiel:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Die Tabelle ist in dunklem Dunkelorange markiert.

Regel Nr. 6 (schneidet 32 ​​Zahlen ab)

Es ist notwendig, sich die Quadrate von Zahlen bis 40 zu merken. Es klingt verrückt und schwierig, aber tatsächlich kennen die meisten Leute die Quadrate bis 20. 25, 30, 35 und 40 eignen sich für Formeln. Und nur 16 Zahlenpaare bleiben übrig. Sie können bereits durch Mnemonik (worüber ich später noch sprechen möchte) oder auf andere Weise auswendig gelernt werden. Wie ein Einmaleins :)
Die Tabelle ist blau markiert.

Sie können sich alle Regeln merken, oder Sie können sich selektiv erinnern, in jedem Fall gehorchen alle Zahlen von 1 bis 100 zwei Formeln. Die Regeln helfen, ohne diese Formeln zu verwenden, schnell mehr als 70 % der Optionen zu berechnen. Hier die beiden Formeln:

Formeln (24 Zahlen übrig)

Für Zahlen von 25 bis 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Zum Beispiel:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Für Zahlen von 50 bis 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Zum Beispiel:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Vergessen Sie natürlich nicht die übliche Formel zum Erweitern des Quadrats der Summe ( besonderer Fall Newtons Binomial):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

AKTUALISIEREN
Auch Produkte von Zahlen nahe 100 und insbesondere deren Quadrate lassen sich nach dem Prinzip der „Mängel bis 100“ berechnen:

In Worten: Von der ersten Zahl ziehen wir den „Fehler“ der zweiten bis Hundert ab und ordnen das zweistellige Produkt der „Fehler“ zu.

Für Quadrate jeweils noch einfacher.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(von sielover)

Quadrieren ist vielleicht nicht das Nützlichste im Haushalt. Sie werden sich nicht sofort an den Fall erinnern, in dem Sie möglicherweise das Quadrat einer Zahl benötigen. Aber die Fähigkeit, schnell mit Zahlen zu arbeiten und die entsprechenden Regeln für jede der Zahlen anzuwenden, entwickelt das Gedächtnis und die „Rechenfähigkeiten“ Ihres Gehirns perfekt.

Übrigens, ich denke, alle Habra-Leser wissen, dass 64^2 = 4096 und 32^2 = 1024 sind.
Viele Quadrate von Zahlen werden auf der assoziativen Ebene erinnert. Zum Beispiel habe ich mir leicht 88 ^ 2 = 7744 gemerkt, aufgrund von gleichen Nummern. Jeder wird sicherlich seine eigenen Eigenschaften haben.

Zwei einzigartige Formeln fand ich zuerst in dem Buch „13 Schritte zum Mentalismus“, das wenig mit Mathematik zu tun hat. Tatsache ist, dass früher (vielleicht sogar jetzt) ​​einzigartige Rechenfähigkeiten eine der Zahlen in der Bühnenmagie waren: Der Zauberer erzählte dem Fahrrad, wie er Superkräfte erhielt, und als Beweis dafür quadrierte er die Zahlen sofort auf Hundert. Das Buch zeigt auch, wie man würfelt, Wurzeln subtrahiert und Wurzeln würfelt.

Wenn das Thema schnelles Zählen interessant ist, werde ich mehr schreiben.
Kommentare zu Fehlern und Korrekturen bitte per PM schreiben, danke im Voraus.

Heute lernen wir, wie man große Ausdrücke ohne Taschenrechner schnell quadriert. Mit groß meine ich Zahlen zwischen zehn und hundert. Große Ausdrücke sind bei echten Problemen äußerst selten, und Sie wissen bereits, wie man Werte unter zehn zählt, da dies eine reguläre Multiplikationstabelle ist. Das Material der heutigen Lektion wird für ziemlich erfahrene Schüler nützlich sein, da Anfänger die Geschwindigkeit und Effektivität dieser Technik einfach nicht zu schätzen wissen.

Schauen wir uns zunächst einmal an, was fraglich. Zum Beispiel schlage ich vor, die Konstruktion beliebig zu gestalten numerischer Ausdruck wie wir es normalerweise tun. Sagen wir 34. Wir erhöhen es, indem wir es mit sich selbst mit einer Spalte multiplizieren:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 ist das Quadrat 34.

Problem diese Methode kann auf zwei Arten beschrieben werden:

1) es bedarf einer schriftlichen Anmeldung;

2) Bei der Berechnung ist es sehr leicht, einen Fehler zu machen.

Heute lernen wir, wie man ohne Taschenrechner schnell, mündlich und praktisch fehlerfrei multipliziert.

Also lasst uns anfangen. Zum Arbeiten benötigen wir die Formel für das Quadrat aus Summe und Differenz. Schreiben wir sie auf:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Was bringt uns das? Tatsache ist, dass jeder Wert zwischen 10 und 100 als Zahl $a$ dargestellt werden kann, die durch 10 teilbar ist, und als Zahl $b$, die der Rest der Division durch 10 ist.

Beispielsweise kann 28 wie folgt dargestellt werden:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]

In ähnlicher Weise präsentieren wir die verbleibenden Beispiele:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]

Was bringt uns auf eine solche Idee? Tatsache ist, dass wir mit der Summe oder Differenz die obigen Berechnungen anwenden können. Um die Berechnungen abzukürzen, sollte man natürlich für jedes der Elemente einen Ausdruck mit wählen die kleinste Sekunde Begriff. Zum Beispiel sollten Sie von den Optionen $20+8$ und $30-2$ die Option $30-2$ wählen.

In ähnlicher Weise wählen wir Optionen für andere Beispiele:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

Warum sollte man danach streben, den zweiten Term zu reduzieren schnelle Multiplikation? Es dreht sich alles um die anfänglichen Berechnungen des Quadrats aus Summe und Differenz. Tatsache ist, dass der Plus- oder Minusterm $2ab$ am schwierigsten zu berechnen ist, wenn man echte Probleme löst. Und wenn der Faktor $a$, ein Vielfaches von 10, immer problemlos multipliziert wird, dann haben viele Schüler regelmäßig Schwierigkeiten mit dem Faktor $b$, der eine Zahl zwischen eins und zehn ist.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Also haben wir in drei Minuten die Multiplikation von acht Beispielen gemacht. Das sind weniger als 25 Sekunden pro Ausdruck. In Wirklichkeit werden Sie nach ein wenig Übung sogar noch schneller zählen. Sie brauchen nicht länger als fünf oder sechs Sekunden, um einen beliebigen zweistelligen Ausdruck zu berechnen.

Aber das ist nicht alles. Wem die gezeigte Technik nicht schnell genug und nicht cool genug erscheint, dem schlage ich noch mehr vor der schnelle Weg Multiplikation, die allerdings nicht für alle Aufgaben funktioniert, sondern nur für solche, die sich um eins von Vielfachen von 10 unterscheiden. In unserer Lektion gibt es vier solcher Werte: 51, 21, 81 und 39.

Es scheint viel schneller zu sein, wir zählen sie bereits buchstäblich in ein paar Zeilen. Tatsächlich ist es jedoch möglich zu beschleunigen, und dies geschieht wie folgt. Wir notieren den Wert, ein Vielfaches von zehn, der dem gewünschten Wert am nächsten kommt. Nehmen wir zum Beispiel 51. Daher werden wir zunächst fünfzig erhöhen:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Werte, die ein Vielfaches von zehn sind, lassen sich viel einfacher quadrieren. Und jetzt addieren wir zum ursprünglichen Ausdruck einfach 50 und 51. Die Antwort wird die gleiche sein:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Und so mit allen Zahlen, die sich um eins unterscheiden.

Wenn der gesuchte Wert größer ist als der, den wir denken, dann addieren wir Zahlen zum resultierenden Quadrat. Wenn die gewünschte Zahl kleiner ist, wie im Fall von 39, muss beim Ausführen der Aktion der Wert vom Quadrat abgezogen werden. Lassen Sie uns üben, ohne einen Taschenrechner zu verwenden:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Wie Sie sehen können, sind die Antworten in allen Fällen gleich. Außerdem, diese Technik gilt für alle angrenzenden Werte. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

Gleichzeitig müssen wir uns die Berechnungen der Quadrate der Summe und Differenz überhaupt nicht merken und einen Taschenrechner verwenden. Die Arbeitsgeschwindigkeit ist nicht zu loben. Deshalb merken, üben und in der Praxis anwenden.

Wichtige Punkte

Mit dieser Technik können Sie ganz einfach beliebige multiplizieren natürliche Zahlen von 10 bis 100. Außerdem werden alle Berechnungen mündlich, ohne Taschenrechner und sogar ohne Papier durchgeführt!

Denken Sie zunächst an die Quadrate von Werten, die Vielfache von 10 sind:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(align)\]

So zählen Sie noch schneller

Aber das ist nicht alles! Mit diesen Ausdrücken können Sie sofort das Quadrieren von Zahlen durchführen, die an die Referenzzahlen „benachbart“ sind. Zum Beispiel kennen wir 152 (den Referenzwert), aber wir müssen 142 finden (eine benachbarte Zahl, die um eins kleiner ist als die Referenz). Lass uns schreiben:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(align)\]

Achtung: keine Mystik! Die Quadrate von Zahlen, die sich um 1 unterscheiden, erhält man zwar durch Multiplikation der Referenzzahlen mit sich selbst, indem man zwei Werte subtrahiert oder addiert:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(align)\]

Warum passiert das? Schreiben wir die Formel für das Quadrat der Summe (und Differenz) auf. Sei $n$ unser Referenzwert. Dann zählen sie so:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- das ist die Formel.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]

- eine ähnliche Formel für Zahlen größer als 1.

Ich hoffe, diese Technik wird Ihnen bei allen wichtigen Tests und Prüfungen in Mathematik Zeit sparen. Und das ist alles für mich. Bis dann!

Quadrieren dreistellige Zahlen- eine beeindruckende Darbietung von Fähigkeiten in mentaler Magie. Genau wie beim Quadrieren einer zweistelligen Zahl wird aufgerundet oder die kleinere Seite Um ein Vielfaches von 10 zu erhalten, um eine dreistellige Zahl zu quadrieren, müssen Sie sie auf- oder abrunden, um ein Vielfaches von 100 zu erhalten. Lassen Sie uns die Zahl 193 quadrieren.

Durch Runden von 193 auf 200 (der zweite Faktor wurde 186) wurde das 3-mal-3-Problem größer einfacher Typ"3 mal 1", weil 200 x 186 nur 2 x 186 = 372 mit zwei Nullen am Ende sind. Fast fertig! Jetzt müssen Sie nur noch 7 2 = 49 addieren und erhalten die Antwort - 37249.

Versuchen wir, 706 zu quadrieren.

Wenn Sie die Zahl 706 auf 700 runden, müssen Sie dieselbe Zahl auch um 6 ändern, um 712 zu erhalten.

Da 712 x 7 = 4984 (ein einfaches 3-gegen-1-Problem) ist, ist 712 x 700 = 498 400. Das Addieren von 62 = 36 ergibt 498 436.

Neueste Beispiele sind nicht so beängstigend, weil sie keine Addition als solche beinhalten. Außerdem weißt du auswendig, was 6 2 und 7 2 gleich sind. Das Quadrieren einer Zahl, die mehr als 10 Einheiten von einem Vielfachen von 100 entfernt ist, ist viel schwieriger. Versuchen Sie sich mit 314 2 .

In diesem Beispiel wird die Zahl 314 um 14 auf 300 reduziert und um 14 auf 328 erhöht. Multiplizieren Sie 328 x 3 = 984 und fügen Sie am Ende zwei Nullen hinzu, erhalten Sie 98 400. Dann addieren Sie die 14 zum Quadrat Denken Sie daran (Dank Gedächtnis oder schneller Berechnungen), dass 14 2 = 196, dann sind Sie in guter Verfassung. Dann addieren Sie einfach 98.400 + 196, um das endgültige Ergebnis von 98.596 zu erhalten.

Wenn Sie Zeit brauchen, um 142 zu zählen, wiederholen Sie „98400“ mehrmals, bevor Sie fortfahren. Andernfalls können Sie 14 2 \u003d 196 berechnen und vergessen, zu welcher Zahl Sie das Produkt hinzufügen müssen.

Wenn Sie ein Publikum haben, das Sie beeindrucken möchten, können Sie laut „279.000“ sagen, bevor Sie 292 finden. Aber das funktioniert nicht bei jedem Problem, das Sie lösen.

Versuchen Sie zum Beispiel, 636 zu quadrieren.

Jetzt arbeitet Ihr Gehirn wirklich, nicht wahr?

Denken Sie daran, „403200“ mehrmals für sich zu wiederholen, während Sie wie üblich 36 quadrieren, um 1296 zu erhalten. Der schwierigste Teil besteht darin, 1296 + 403200 zu addieren. Machen Sie dies Ziffer für Ziffer von links nach rechts, und Sie erhalten die Antwort 404496 Ich gebe Ihnen mein Wort, dass dreistellige Probleme viel einfacher werden, sobald Sie sich mit dem Quadrieren von zweistelligen Zahlen vertraut gemacht haben.

Hier ist mehr komplexes Beispiel: 863 2 .

Das erste Problem besteht darin, zu entscheiden, welche Zahlen multipliziert werden sollen. Einer von ihnen wird zweifellos 900 und der andere mehr als 800 sein. Aber welcher? Diese kann auf zwei Arten berechnet werden.

1. Der harte Weg: Die Differenz zwischen 863 und 900 ist 37 (Komplement für 63), subtrahiere 37 von 863 und erhalte 826.

2. Einfacher Weg: Verdoppeln Sie die Zahl 63, wir erhalten 126, jetzt addieren wir die letzten beiden Ziffern dieser Zahl zur Zahl 800, was schließlich 826 ergibt.

So funktioniert das einfacher Weg. Da beide Zahlen den gleichen Unterschied zur Zahl 863 haben, muss ihre Summe gleich der doppelten Zahl 863 sein, also 1726. Eine der Zahlen ist 900, also ist die andere gleich 826.

Dann führen wir die folgenden Berechnungen durch.

Wenn Sie Probleme haben, sich an 743.400 zu erinnern, nachdem Sie 37 quadriert haben, lassen Sie sich nicht entmutigen. In den folgenden Kapiteln lernen Sie das System der Mnemonik kennen und lernen, wie Sie sich solche Zahlen merken.

Versuchen Sie sich an der bisher schwierigsten Aufgabe – der Quadratur der Zahl 359.

Um 318 zu erhalten, subtrahieren Sie entweder 41 (59er-Komplement) von 359 oder multiplizieren Sie 2 x 59 = 118 und verwenden Sie die letzten beiden Ziffern. Als nächstes multiplizierst du 400 x 318 = 127 200. Addierst du 412 = 1681 zu dieser Zahl, erhältst du insgesamt 128 881. Das war's! Wenn Sie beim ersten Mal alles richtig gemacht haben, gut gemacht!

Lassen Sie uns diesen großen Abschnitt beenden, aber einfache Aufgabe: berechne 987 2 .

EINE ÜBUNG: QUADRATISCHE DREISTELLIGE ZAHLEN

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Was verbirgt sich hinter Türchen Nummer 1?

Die mathematische Banalität von 1991, die alle verblüffte, war ein Artikel von Marilyn Savant – der Frau mit dem höchsten IQ der Welt (die im Guinness-Buch der Rekorde eingetragen ist) – in der Zeitschrift Parade. Dieses Paradoxon ist als "Monty-Hall-Problem" bekannt geworden und lautet wie folgt.

Sie nehmen an Monty Halls Show Let's Make a Deal teil. Der Gastgeber gibt Ihnen die Möglichkeit, eine von drei Türen zu wählen, hinter einer befindet sich ein großer Preis, hinter den anderen zwei - Ziegen. Angenommen, Sie wählen Tür Nummer 2. Aber bevor Monty zeigt, was hinter dieser Tür ist, öffnet Monty Tür Nummer 3. Da ist eine Ziege. Jetzt fragt Monty Sie auf seine neckende Art: Wollen Sie Tür Nummer 2 öffnen oder sich trauen, zu sehen, was hinter Tür Nummer 1 ist? Was tun? Angenommen, Monty wird Ihnen sagen, wo der Hauptpreis nicht ist, wird er immer eine der „Trost“-Türen öffnen. So haben Sie die Wahl: Eine Tür mit einem großen Preis und die zweite mit einem Trost. Jetzt stehen Ihre Chancen 50/50, richtig?

Aber nein! Die Chance, dass Sie es beim ersten Mal richtig gemacht haben, ist immer noch 1 zu 3. Die Chance, dass sich der große Gewinn hinter einer anderen Tür befindet, erhöht sich auf 2/3, da sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren sollten.

Wenn Sie also Ihre Wahl ändern, verdoppeln Sie Ihre Gewinnchancen! (Das Problem geht davon aus, dass Monty dem Spieler immer die Gelegenheit dazu gibt neue Wahl, zeigt eine "nicht gewinnende" Tür, und wenn Ihre erste Wahl richtig ist, öffnet sich zufällig eine "nicht gewinnende" Tür.) Denken Sie an das Spiel mit zehn Türen. Lassen Sie den Moderator nach Ihrer ersten Wahl acht "nicht gewinnende" Türen öffnen. Hier verlangt Ihr Instinkt wahrscheinlich, dass Sie die Tür wechseln. Die Leute machen normalerweise den Fehler zu denken, wenn Monty Hall nicht weiß, wo der Hauptpreis ist und Tür Nr. 3 öffnet, die mit einer Ziege endet (obwohl es einen Preis geben könnte), dann hat Tür Nr. 1 eine 50-prozentige Chance der Richtige zu sein. Eine solche Argumentation widerspricht gesunder Menschenverstand Marilyn Savant erhielt jedoch Stapel von Briefen (viele von Wissenschaftlern und sogar Mathematikern), in denen sie sagte, sie hätte nicht über Mathematik schreiben sollen. Natürlich lagen all diese Leute falsch.

Betrachten Sie nun das Quadrieren der Binomialzahl, und wir sprechen aus arithmetischer Sicht vom Quadrat der Summe, also (a + b)², und vom Quadrat der Differenz zweier Zahlen, also (a - b)² .

Da (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

dann finden wir: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², also

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Es ist nützlich, sich dieses Ergebnis sowohl in Form der obigen Gleichheit als auch in den Worten: das Quadrat der Summe zweier Zahlen zu merken ist gleich dem Quadrat die erste Zahl plus das Produkt aus zweimal der ersten Zahl mal der zweiten Zahl plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

Wenn wir dieses Ergebnis kennen, können wir zum Beispiel sofort schreiben:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Schauen wir uns das zweite dieser Beispiele an. Wir müssen die Summe zweier Zahlen quadrieren: Die erste Zahl ist 3ab, die zweite 1. Es sollte sich herausstellen: 1) das Quadrat der ersten Zahl, d.h. (3ab)², was gleich 9a²b² ist; 2) das Produkt von zwei aus der ersten und der zweiten Zahl, also 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) das Quadrat der 2. Zahl, d.h. 1² \u003d 1 - alle diese drei Terme müssen addiert werden.

Auf die gleiche Weise erhalten wir eine Formel zum Quadrieren der Differenz zweier Zahlen, also für (a - b)²:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

Das heißt, das Quadrat der Differenz zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl minus dem Produkt von zwei aus der ersten Zahl und der zweiten Zahl plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

Wenn wir dieses Ergebnis kennen, können wir sofort das Quadrieren von Binomen durchführen, die aus arithmetischer Sicht die Differenz zweier Zahlen darstellen.

(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2 usw.

Lassen Sie uns das 2. Beispiel erklären. Hier haben wir in Klammern die Differenz zweier Zahlen: die erste Zahl 5ab 3 und die zweite Zahl 3a 2 b. Das Ergebnis sollte sein: 1) das Quadrat der ersten Zahl, also (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) das Produkt von zwei aus der 1. und 2. Zahl, also 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 und 3) das Quadrat der zweiten Zahl, also (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; der erste und der dritte Term müssen mit einem Plus und der 2. mit einem Minus genommen werden, wir erhalten 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Zur Verdeutlichung des 4. Beispiels merken wir uns nur, dass 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... der Exponent mit 2 multipliziert werden muss und 2) das Produkt aus zwei mit der 1. Zahl und mit der 2. Zahl = 2 ∙ ein n-1 ∙ ein = 2a n .

Nehmen wir den Standpunkt der Algebra ein, dann drücken beide Gleichungen: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² und 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² dasselbe aus, nämlich: das Quadrat des Binoms ist gleich dem Quadrat des ersten Terms plus dem Produkt aus der Zahl (+2) mal dem ersten Term und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten Terms. Das ist klar, weil unsere Gleichheiten umgeschrieben werden können als:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²

In einigen Fällen ist es bequem, die erhaltenen Gleichheiten auf diese Weise zu interpretieren:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Hier wird das Binom quadriert, dessen erster Term = -4a und der zweite = -3b. Dann erhalten wir (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² und schließlich:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Es wäre auch möglich, die Formel zum Quadrieren eines Trinoms, eines Quadrinoms und im Allgemeinen jedes Polynoms zu erhalten und zu speichern. Wir werden dies jedoch nicht tun, da diese Formeln selten verwendet werden müssen, und wenn wir irgendein Polynom (außer einem Binom) quadrieren müssen, dann reduzieren wir die Sache auf die Multiplikation. Zum Beispiel:

31. Wende die erhaltenen 3 Gleichungen an, nämlich:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

zur Arithmetik.

Lassen Sie es 41 ∙ 39 sein. Dann können wir es in der Form (40 + 1) (40 - 1) darstellen und die Angelegenheit auf die erste Gleichheit reduzieren - wir erhalten 40² - 1 oder 1600 - 1 = 1599. Dank dessen es ist einfach, Multiplikationen wie 21 ∙ 19 durchzuführen; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 usw.

Sei es 41 ∙ 41; es ist dasselbe wie 41² oder (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Auch 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Wenn Sie 37 ∙ 37 brauchen, dann ist es gleich (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Solche Multiplikationen (oder das Quadrieren von zweistelligen Zahlen) sind mit etwas Geschick im Kopf leicht durchzuführen.