Multiplikationsprodukt. Spiel "Quick Score"

Das Multiplikationszeichen ist in diesem Zusammenhang ein binärer Operator. Das Multiplikationszeichen hat keinen besonderen Namen, wie das Additionszeichen, das "Plus" heißt.

Das älteste verwendete Symbol ist das diagonale Kreuz (×). Es wurde erstmals 1631 von dem englischen Mathematiker William Oughtred in seinem Clavis Mathematicae verwendet.

In russischen Lehrbüchern der Mathematik wird hauptsächlich das Zeichen in Form eines erhabenen Punktes (∙) verwendet. Das Sternchen (∗) wird in der Computerschreibweise verwendet. Das Ergebnis wird mit dem Gleichheitszeichen " =", zum Beispiel:

a \cdot b = c ; 6 \cdot 3 = 18(„sechs mal drei gleich achtzehn“ oder „sechs mal drei gleich achtzehn“).

Multiplikationstabelle Dezimalsystem rechnen

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Dieses Verfahren ist auf die Multiplikation von natürlichen und ganzen Zahlen (vorzeichenbehaftet) anwendbar. Für andere Zahlen werden komplexere Algorithmen verwendet.

Zahlenmultiplikation

Ganze Zahlen

Lassen Sie uns die Definition natürlicher Zahlen verwenden \mathbb(N) als Äquivalenzklassen endlicher Mengen. Bezeichnen Sie die Äquivalenzklassen endlicher Mengen TAXI erzeugt durch Bijektionen mit Klammern: [TAXI]. Dann ist die Rechenoperation "Multiplikation" wie folgt definiert:

[C]=[A] \cdot [B] = ;

wo: A \times B=\((a,b) \mid a \in A , b \in B \) direktes Produkt von Sätzen - Satz C, deren Elemente geordnete Paare sind (a,b) für alle Arten a\in A, b\in B. Diese Operation auf Klassen wird korrekt eingeführt, hängt also nicht von der Wahl der Klassenelemente ab und stimmt mit der induktiven Definition überein.

Eins-zu-eins-Abbildung einer endlichen Menge EIN für ein Segment N / A kann als Nummerierung der Elemente einer Menge verstanden werden A: \quad A \sim N_a. Dieser Nummerierungsprozess wird "COUNT" genannt. Somit ist "Konto" die Herstellung einer Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Elementen einer Menge und einem Segment der natürlichen Zahlenreihe.

Zum Multiplizieren natürliche Zahlen Bei der Positionsnotation von Zahlen wird ein bitweiser Multiplikationsalgorithmus verwendet. Gegeben zwei natürliche Zahlen a und b so dass:

a=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0, \quad b=b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0, \quad \forall a_(k),b_(k ) \in \(P \), \quad \forall a_(n-1), b_(n-1) \ne 0, \quad\exists 0\in \N;

wo a_(0 \dots n-1)=a_k P^k, \quad b_(0 \dots n-1)=b_k P^k; n- die Anzahl der Ziffern in der Nummer n \in \(1, 2, \dots ,n \); k - Seriennummer Entladung (Stellung), k \in \(0, 1, \dots ,n-1 \); P- Basis des Zahlensystems; \(P\) eine Reihe von numerischen Zeichen (Ziffern), ein bestimmtes Zahlensystem: \(P_2 \)= \(0,1 \), \(P_(10) \)= \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \), \(P_(16) \)= \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \); dann:

c=a \sdot b; \quad c_(n-1) c_(n-2)\dots c_0=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0 \sdot b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0 ;

Wenn wir Stück für Stück multiplizieren, erhalten wir n Zwischenergebnisse:

  • t_(n-1,~0) = mod(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P)~,~~ t_0 \sdot~ P^k;
  • t_(n-1,~1) = mod(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P)~,~~ t_1 \sdot~ P^k;
  • ... \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad...
  • t_(n-1,~k) = mod(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P)~,~~ t_(k) \sdot~ P^k;

wobei: r der Carry-Wert ist, mod() die Funktion ist, den Rest der Division zu finden, div() die Funktion ist, den partiellen Quotienten zu finden.

Dann erhalten n wir addieren die Zwischenergebnisse: c=t_0+t_1+...+t_(k).

Somit wird die Operation der Multiplikation auf die Prozedur der sequentiellen reduziert einfache Multiplikation einstellige Zahlen a_(k)\sdot b_(k), ggf. mit Bildung des Transfers, der entweder tabellarisch oder durch sequentielle Addition erfolgt. Und dann zur Zugabe.

Arithmetische Operationen mit Zahlen in jedem Positionszahlensystem werden nach denselben Regeln wie im Dezimalsystem ausgeführt, da sie alle auf den Regeln zum Ausführen von Operationen mit den entsprechenden Polynomen basieren. In diesem Fall müssen Sie das dieser Basis entsprechende Einmaleins verwenden. P Zahlensysteme.

Ein Beispiel für die Multiplikation natürlicher Zahlen in binären, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen, der Einfachheit halber werden die Zahlen nach den Ziffern untereinander geschrieben, die Übertragung wird oben geschrieben:

\begin(array)(cccccccccc)

& & & & & & & & \\ & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &*& & &1&1&0&1 \\ \hline & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &0&0&0&0&0&0&(\color(Gray)0) \\ & &1&1&0&1&1&0&( \ color(Gray)0) &(\color(Gray)0) \\ +&1&1&0&1&1&0&(\color(Gray)0) &(\color(Gray)0) &(\color(Gray)0) \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0 \end(array); \quad \quad \begin(array)(cccccccccc) & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & & &_1&_2&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&6&7 \\ & & &*& & &5&4&1 \\ \hline & & &0&8&4&5&6&7 \\ & &3&3&8&2&6&8&(\ color(Gray)0) \\ +&4&2&2&8&3&5&(\color(Gray)0)&(\color(Gray)0) \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \end(array); \quad \quad

\begin(array)(ccccccccc) &&&&_8&_8&_2 \\ &&&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&0&6&D&E&4&(\color(Gray)0) \\ +&4&4&A&E&ray8) \\ +&4&4&A&E&ray8) \color(Gray)0) \\ \hline &4&5&8&3&6&9&C

\end(array)~~.

Ganze Zahlen

\alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \(a_n\), \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \(b_n\)

jeweils definiert durch fundamentale Folgen rationaler Zahlen (die die Cauchy-Bedingung erfüllen), bezeichnet als: \alpha= und \beta=, dann heißt ihr Produkt Zahl \gamma=, definiert durch das Produkt von Folgen \(ein\) und \(b_n\):

\gamma = \alpha \cdot \beta \overset(\text(def))(=) \cdot =;

reelle Zahl \gamma = \alpha \cdot \beta, erfüllt die folgende Bedingung:

\forall a", a ,b",b\in\mathbb(Q); ~~~~ (a" \leqslant \alpha \leqslant a ) \und (b" \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​​​\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​​​\leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

.

Also das Produkt zweier reeller Zahlen \Alpha und \Beta ist so eine reelle Zahl \Gamma die zwischen allen Produkten des Formulars enthalten ist a" \cdot b" einerseits und alle Produkte des Formulars a \cdot b andererseits .

In der Praxis, um zwei Zahlen zu multiplizieren \Alpha und \Beta, müssen sie mit der erforderlichen Genauigkeit durch ungefähre rationale Zahlen ersetzt werden a und b. Für den ungefähren Wert des Produkts von Zahlen \alpha \cdot \beta nimm das Produkt der angegebenen rationalen Zahlen a\cdot b. Dabei spielt es keine Rolle, welche Seite (durch Mangel oder Überschuss) eingenommen wird Rationale Zahlen näher bringen \Alpha und \Beta. Die Multiplikation wird gemäß dem bitweisen Multiplikationsalgorithmus durchgeführt.

Zwei komplexe Zahlen in multiplizieren trigonometrische Form Datensätze, müssen Sie ihre Module multiplizieren und die Argumente hinzufügen:

c=a \cdot b=r_1 (Cos \varphi_1+ iSin \varphi_1) ~\cdot~ r_2 (Cos \varphi_2+ iSin\varphi_2) =r_1 \cdot r_2 (Cos (\varphi_1+\varphi_2)+ iSin (\varphi_1+\varphi_2)), wo: r=|z|=|a+ib|=\sqrt(a^2+b^2);~~~\varphi = Arg(z)=arctg \biggl(\frac(b)(a) \biggr) , Modul und Argument einer komplexen Zahl.

Multiplikation einer komplexen Zahl a = r_1 e^ (i\varphi_1) in indikative Form, zu einer komplexen Zahl b = r_2 e^ (i\varphi_2) reduziert sich auf die Drehung des Vektors entsprechend der Zahl a, an der Ecke Arg(b) und Ändern seiner Länge zu |b| einmal. Für die Arbeit komplexe Zahlen in Exponentialform ist die Gleichheit wahr:

c=re^ (i\varphi)=a \cdot b = r_1 e^ (i\varphi _1) \cdot r_2 e^ (i\varphi _2)= r_1\cdot r_2\cdot e^ (i(\varphi _1+ \varphi_2)),

wo: e=2,718281828...- Nummer e.

Exponentialschreibweise

Zum Beispiel, wenn Sie die Geschwindigkeit multiplizieren V=4~m/s auf Zeit T=2~s einem physikalischen Prozess entspricht, erhalten Sie eine benannte Zahl (physikalische Größe), die demselben physikalischen Prozess entspricht, die "Länge" genannt wird und in Metern gemessen wird: L=8~m.

L=V \cdot T = 4~\frac(m)(s) \cdot 2~s=8 ~\frac(m \cdot s)(s)= 8 ~m.

Beim Beschreiben mathematische Mittel physikalische Prozesse Eine wichtige Rolle spielt dabei der Begriff der Homogenität, zu dem beispielsweise „1 kg Mehl“ und „1 kg Kupfer“ gehören verschiedene Sätze(Mehl) bzw. (Kupfer). Auch das Konzept der Homogenität legt nahe, dass die multiplizierten Größen zu demselben physikalischen Prozess gehören.

siehe auch

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Anmerkungen

Literatur

  • Iljin V.A. usw.. - Staatliche Universität Moskau, 1985. - T. 1. - 662 p.
  • Enderton G. Elemente der Mengenlehre = Elemente der Mengenlehre. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 p. - ISBN-Nummer 0-12-238440-7.
  • Barsukow A. N.. - Aufklärung, 1966. - 296 p.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G.. - Aufklärung, 1988. - 416 p.
  • Istomina N.B.. - Verein XXI Jahrhundert, 2005. - 272 p. -ISBN 5-89308-193-5.
  • Vygodsky M. Ja. Handbuch der Elementarmathematik. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6.
  • IN UND. Igoschin(Russisch): Artikel. - Saratow Staatliche Universität benannt nach N. G. Tschernyschewski, 2010.
  • Kononyuk A.E.. - Bildung der Ukraine, 2012. - Bd. 2. - 548 p. - ISBN 978-966-7599-50-8.
  • : [24. August 2011] // Führung / Artemy Lebedev. - 15. Januar 2003 - § 97.

Ein Auszug, der die Multiplikation charakterisiert

„Bitte zieh dich um, bitte“, sagte er und ging davon.

- Es kommt! rief damals der Maschinist.
Der Regimentskommandant lief errötend auf das Pferd zu, faßte mit zitternden Händen den Steigbügel, schleuderte den Leichnam um, faßte sich, zog den Degen und bereitete sich mit frohem, entschlossenem Gesicht, den Mund zur Seite geöffnet, vor rufen. Das Regiment fing an wie ein sich erholender Vogel und erstarrte.
- Smir r r na! - schrie der Regimentskommandeur mit seelenerschütternder Stimme, froh über sich selbst, streng gegenüber dem Regiment und freundlich gegenüber dem herannahenden Chef.
Entlang einer breiten, von Bäumen gesäumten, hohen, autobahnlosen Straße fuhr mit leichtem Federrasseln eine große blaue Wiener Kutsche in einem Zug in schnellem Trab. Ein Gefolge und ein Konvoi von Kroaten galoppierten hinter der Kutsche her. In der Nähe von Kutusow saß ein österreichischer General in einer unter schwarzen Russen seltsamen weißen Uniform. Der Wagen hielt beim Regiment. Kutuzov und der österreichische General unterhielten sich leise über etwas, und Kutuzov lächelte leicht, während er mit schweren Schritten seinen Fuß vom Trittbrett senkte, als ob da nicht diese 2.000 Menschen wären, die ihn und ihn anstarrten, ohne zu atmen. Regimentskommandant.
Es ertönte ein Befehlsschrei, wieder das Regiment, es klingelte, zitterte, machte Wache. In Totenstille hörte ich schwache Stimme Oberbefehlshaber. Das Regiment brüllte: „Wir wünschen Ihnen gute Gesundheit, Euer Lordschaft!“ Und wieder ist alles eingefroren. Zuerst stand Kutuzov an einer Stelle, während sich das Regiment bewegte; dann begann Kutuzov neben dem weißen General zu Fuß, begleitet von seinem Gefolge, durch die Reihen zu gehen.
Von der Art, wie der Regimentskommandeur den Oberbefehlshaber grüßte, ihn anstarrte, sich ausstreckte und aufstand, wie er sich vorbeugte, den Generälen in den Reihen folgte, kaum seine zitternde Bewegung zurückhaltend, wie er bei jedem Wort und jeder Bewegung zuckte des Oberbefehlshabers war klar, dass er seine Pflichten als Untergebener mit noch größerer Freude erfüllte als die Pflichten eines Chefs. Das Regiment war dank der Strenge und des Fleißes des Regimentskommandeurs im Vergleich zu anderen, die zur gleichen Zeit nach Braunau kamen, in einem hervorragenden Zustand. Es gab nur 217 Behinderte und Kranke. Bis auf die Schuhe war alles in Ordnung.
Kutuzov ging die Reihen entlang, blieb gelegentlich stehen und unterhielt sich mit ein paar Leuten nette Worte Offiziere, die er kannte Türkischer Krieg und manchmal Soldaten. Er warf einen Blick auf die Schuhe, schüttelte mehrmals traurig den Kopf und deutete mit einem solchen Gesichtsausdruck auf den österreichischen General, dass er es niemandem vorzuwerfen schien, aber er konnte nicht umhin, zu sehen, wie schlimm es war. Der Regimentskommandeur rannte jedes Mal voraus, aus Angst, die Nachricht des Oberbefehlshabers bezüglich des Regiments zu verpassen. Hinter Kutuzov, in einer solchen Entfernung, dass jedes schwach gesprochene Wort gehört werden konnte, ging ein Mann mit 20 Gefolgsleuten. Die Herren des Gefolges unterhielten sich und lachten manchmal. Dicht hinter dem Oberbefehlshaber stand ein gutaussehender Adjutant. Es war Prinz Bolkonsky. Neben ihm ging sein Kamerad Nesvitsky, ein hochgewachsener Stabsoffizier, sehr untersetzt, mit einem freundlichen und lächelnden, hübschen Gesicht und feuchten Augen; Nesvitsky konnte sich kaum ein Lachen verkneifen, erregt von dem schwärzlichen Husarenoffizier, der neben ihm ging. Der Husarenoffizier blickte, ohne zu lächeln, ohne den Ausdruck seiner starren Augen zu verändern, mit ernstem Gesicht in den Rücken des Regimentskommandanten und ahmte jede seiner Bewegungen nach. Jedes Mal, wenn der Regimentskommandeur schauderte und sich nach vorne beugte, genau so, genau so, schauderte der Husarenoffizier und beugte sich vor. Nesvitsky lachte und drängte die anderen, den komischen Mann anzusehen.
Kutuzov ging langsam und lustlos an tausend Augen vorbei, die aus ihren Höhlen rollten, und folgte dem Boss. Nachdem er die 3. Kompanie erreicht hatte, blieb er plötzlich stehen. Das Gefolge, das diesen Halt nicht voraussah, rückte unwillkürlich auf ihn zu.
- Ach, Timochin! - sagte der Oberbefehlshaber und erkannte den Kapitän mit einer roten Nase, der für einen blauen Mantel litt.
Es schien unmöglich zu sein, sich mehr zu dehnen als Timokhin, während der Regimentskommandeur ihn tadelte. Aber in diesem Augenblick sprach ihn der Oberbefehlshaber an, der Hauptmann streckte sich so aus, als hätte der Oberbefehlshaber es nicht ertragen können, wenn der Oberbefehlshaber ihn noch ein wenig länger angesehen hätte; und deshalb wandte sich Kutuzov, der offensichtlich seine Position verstand und im Gegenteil alles Gute für den Kapitän wünschte, hastig ab. Ein kaum wahrnehmbares Lächeln lief über Kutuzovs dickes, verwundetes Gesicht.
„Ein weiterer Izmaylovsky-Genosse“, sagte er. "Tapferer Offizier!" Bist du damit zufrieden? fragte Kutuzov den Regimentskommandeur.
Und der Regimentskommandant, der sich wie in einem Spiegel unsichtbar im Husarenoffizier spiegelte, schauderte, ging vor und antwortete:
„Sehr erfreut, Eure Exzellenz.
"Wir sind alle nicht ohne Schwächen", sagte Kutuzov lächelnd und entfernte sich von ihm. „Er hatte eine Bindung zu Bacchus.
Der Regimentskommandeur befürchtete, dass er daran nicht schuld sei, und antwortete nicht. Der Offizier bemerkte in diesem Moment das Gesicht des Kapitäns mit roter Nase und eingezogenem Bauch und ahmte sein Gesicht und seine Haltung so ähnlich nach, dass Nesvitsky nicht anders konnte als zu lachen.
Kutusow drehte sich um. Es war offensichtlich, dass der Offizier sein Gesicht so kontrollieren konnte, wie er wollte: In dem Moment, als Kutuzov sich umdrehte, gelang es dem Offizier, eine Grimasse zu ziehen und danach den ernstesten, respektvollsten und unschuldigsten Ausdruck anzunehmen.
Die dritte Kompanie war die letzte, dachte Kutuzov und erinnerte sich anscheinend an etwas. Prinz Andrei trat aus dem Gefolge und sagte leise auf Französisch:
- Sie haben angeordnet, in diesem Regiment an den degradierten Dolokhov erinnert zu werden.
- Wo ist Dolokhov? fragte Kutusow.
Dolokhov, bereits in einen grauen Soldatenmantel gekleidet, wartete nicht, bis er gerufen wurde. Die schlanke Figur einer Blondine mit deutlich blaue Augen der Soldat trat von vorne heraus. Er näherte sich dem Oberbefehlshaber und stellte eine Wache auf.
- Beanspruchen? - Mit leichtem Stirnrunzeln, fragte Kutuzov.
„Das ist Dolokhov“, sagte Prinz Andrej.
- EIN! sagte Kutusow. – Ich hoffe, diese Lektion wird Sie korrigieren, gute Dienste leisten. Der Kaiser ist gnädig. Und ich werde dich nicht vergessen, wenn du es verdienst.
Hellblaue Augen blickten den Oberbefehlshaber ebenso kühn an wie den Regimentskommandanten, als rissen sie durch ihren Ausdruck den Schleier der Konventionalität weg, der den Oberbefehlshaber bisher vom Soldaten trennte.
„Ich bitte Sie um eine Sache, Exzellenz“, sagte er mit seiner klangvollen, festen, gemächlichen Stimme. „Ich bitte Sie, mir die Chance zu geben, meine Schuld wiedergutzumachen und meine Hingabe an den Kaiser und Russland zu beweisen.
Kutusow wandte sich ab. Das gleiche Lächeln seiner Augen huschte über sein Gesicht wie damals, als er sich von Kapitän Timochin abwandte. Er wandte sich ab und verzog das Gesicht, als wolle er damit ausdrücken, dass er alles, was Dolokhov ihm erzählte und alles, was er ihm sagen konnte, schon lange, lange wusste, dass ihn das alles schon langweilte und dass das alles war überhaupt nicht das, was er brauchte. . Er drehte sich um und ging auf die Kutsche zu.
Das Regiment sortierte sich in Kompanien und steuerte die zugewiesenen Wohnungen unweit von Braunau an, wo es hoffte, nach schwierigen Übergängen Schuhe anziehen, sich anziehen und ausruhen zu können.
- Sie geben mir nicht vor, Prokhor Ignatich? - sagte der Regimentskommandeur, umkreiste die 3. Kompanie, die sich auf den Platz zubewegte, und fuhr auf Kapitän Timochin zu, der davor ging. Das Gesicht des Regimentskommandeurs drückte nach einem glücklich verabschiedeten Rückblick unbändige Freude aus. - Der königliche Dienst ... das kannst du nicht ... ein anderes Mal wirst du vorne abschneiden ... Ich werde mich als erster entschuldigen, du kennst mich ... Vielen Dank! Und er reichte dem Kommandanten die Hand.
„Entschuldigen Sie, General, darf ich mich trauen!“ - antwortete der Kapitän, wurde rot mit der Nase, lächelte und enthüllte mit einem Lächeln das Fehlen von zwei Vorderzähnen, die von einem Hintern in der Nähe von Ismael ausgeschlagen wurden.
- Ja, sagen Sie Herrn Dolokhov, dass ich ihn nicht vergessen werde, damit er ruhig ist. Ja, bitte sag es mir, ich wollte immer wieder fragen, was ist er, wie benimmt er sich? Und alle…
„Er leistet sehr gute Dienste, Euer Exzellenz … aber der Karachter …“, sagte Timokhin.
- Und was, was ist der Charakter? fragte der Regimentskommandeur.
„Er findet, Euer Exzellenz, seit Tagen“, sagte der Kapitän, „er ist klug und gelehrt und freundlich. Und das ist ein Biest. In Polen hat er einen Juden getötet, wenn Sie es bitte wissen ...
- Na ja, ja, ja, - sagte der Regimentskommandeur, - der junge Mann im Unglück muss Ihnen noch leid tun. Schließlich große Verbindungen… also du …
„Ich höre zu, Euer Exzellenz“, sagte Timochin mit einem Lächeln, das den Eindruck erweckte, die Wünsche des Chefs zu verstehen.
- Ja ja.
Der Regimentskommandeur fand Dolokhov in den Reihen und hielt sein Pferd zurück.
„Vor dem ersten Fall Schulterklappen“, sagte er zu ihm.
Dolokhov sah sich um, sagte nichts und veränderte den Ausdruck seines spöttisch lächelnden Mundes nicht.
„Nun, das ist gut“, fuhr der Regimentskommandeur fort. „Die Leute bekommen ein Glas Wodka von mir“, fügte er hinzu, damit die Soldaten es hören konnten. - Danke euch allen! Gott sei Dank! - Und er, nachdem er eine Gesellschaft überholt hatte, fuhr auf eine andere zu.
„Nun, er ist wirklich ein guter Mann; Sie können mit ihm dienen“, sagte der Unteroffizier Timochin zu dem Offizier, der neben ihm ging.
- Ein Wort, rot! ... (der Regimentskommandant wurde der rote König genannt) - sagte der Unteroffizier lachend.
Die fröhliche Stimmung der Behörden nach der Überprüfung übertrug sich auf die Soldaten. Rota hatte Spaß. Von allen Seiten ertönten Soldatenstimmen.
- Wie sagten sie, Kutuzov krumm, über ein Auge?
- Aber nein! Völlig schief.
- Nicht ... Bruder, größeräugiger als du. Stiefel und Kragen - alles umgeschaut ...
- Wie sieht er, mein Bruder, auf meine Füße ... na! denken…
- Und der andere ist ein Österreicher, er war bei ihm, wie mit Kreide beschmiert. Wie Mehl, weiß. Ich bin Tee, wie sie Munition reinigen!
- Was, Fedeshow!... sagte er, vielleicht, wenn die Wachen beginnen, bist du näher gestanden? Sie haben alles gesagt, Bunaparte selbst steht in Brunov.
- Bunaparte steht! Du lügst, Narr! Was nicht weiß! Jetzt revoltieren die Preußen. Der Österreicher beruhigt ihn daher. Sobald er sich versöhnt, wird der Krieg mit Bounaparte beginnen. Und dann, sagt er, in Brunov steht Bunaparte! Es ist offensichtlich, dass er ein Idiot ist. Du hörst mehr zu.
„Schaut mal, verdammte Mieter! Die fünfte Kompanie, schau, biegt schon ins Dorf ein, sie werden Brei kochen, und wir werden den Ort noch nicht erreichen.
- Gib mir einen Cracker, verdammt.
„Haben Sie gestern Tabak gegeben?“ Das ist es, Bruder. Nun, Gott ist mit dir.
- Wenn sie nur anhalten würden, sonst isst du keine weiteren fünf Meilen Proprem.
- Es war schön, wie die Deutschen uns Kinderwagen gegeben haben. Du gehst, weißt: es ist wichtig!
- Und hier, Bruder, wurden die Leute völlig hektisch. Da schien alles ein Pole zu sein, alles war von der russischen Krone; und jetzt, Bruder, ist ein solider Deutscher gegangen.
- Songwriter voraus! - Ich habe den Schrei des Kapitäns gehört.
Und zwanzig Leute aus verschiedenen Rängen liefen vor der Firma her. Der Trommler singt, dreht sich zu den Liederbüchern um und sang mit einer Handbewegung ein langgezogenes Soldatenlied, das beginnt: "Ist es nicht Morgen, die Sonne ging auf ..." und endet mit den Worten: "Das, Brüder, wird uns Ehre sein mit Kamensky Vater ..." in der Türkei und wurde nun in Österreich gesungen, nur mit der Änderung, dass anstelle von "Kamensky Vater" die Worte eingefügt wurden: "Kutuzovs Vater".
Diese soldatisch abreißen letzte Worte und wedelte mit den Armen, als würde er etwas auf den Boden werfen, der Trommler, trocken und hübscher Soldat Der ungefähr vierzigjährige Songwriter-Soldat sah streng aus und kniff die Augen zusammen. Dann stellte er sicher, dass alle Augen auf ihn gerichtet waren, und schien vorsichtig mit beiden Händen etwas unsichtbares, kostbares Ding über seinen Kopf zu heben, es einige Sekunden lang so zu halten und es plötzlich verzweifelt zu werfen:
Oh du, mein Baldachin, mein Baldachin!
„Canopy my new…“, erklangen zwanzig Stimmen, und der Löffelmann sprang trotz der Schwere der Munition schnell vorwärts und ging rückwärts vor die Gruppe, bewegte die Schultern und drohte jemandem mit Löffeln. Die Soldaten, die im Takt des Liedes mit den Armen schwenkten, gingen mit weitem Schritt und schlugen unwillkürlich auf das Bein. Hinter der Gesellschaft ertönte das Geräusch von Rädern, das Knirschen von Federn und das Klappern von Pferden.
Kutuzov kehrte mit seinem Gefolge in die Stadt zurück. Der Oberbefehlshaber signalisierte, dass das Volk weiterhin frei gehen sollte, und Freude drückte sich auf seinem Gesicht und auf allen Gesichtern seines Gefolges aus beim Klang des Liedes, beim Anblick des tanzenden Soldaten und der fröhlichen und lebhaften marschierende Soldaten der Kompanie. In der zweiten Reihe, von der rechten Flanke, von der aus die Kutsche die Kompanien überholte, fiel unwillkürlich ein blauäugiger Soldat, Dolokhov, auf, der besonders flink und anmutig im Takt des Liedes ging und in die Gesichter der Kompanien blickte Passanten mit einem solchen Gesichtsausdruck, als würde er jeden bemitleiden, der um diese Zeit nicht mit einer Gesellschaft ging. Ein Husarenkornett aus Kutuzovs Gefolge, das den Regimentskommandanten nachahmte, blieb hinter der Kutsche zurück und fuhr auf Dolokhov zu.
Der Husarenkornett Zherkov gehörte einst in St. Petersburg jener gewalttätigen Gesellschaft an, die von Dolokhov geführt wurde. Zherkov traf Dolokhov im Ausland als Soldat, hielt es jedoch nicht für notwendig, ihn anzuerkennen. Jetzt, nach Kutuzovs Gespräch mit dem Degradierten, wandte er sich mit der Freude eines alten Freundes an ihn:
- Lieber Freund, wie geht es dir? - sagte er beim Klang des Liedes und gleichte den Schritt seines Pferdes dem Schritt der Gesellschaft an.
- Ich bin wie? - antwortete Dolokhov kalt, - wie Sie sehen können.
Das lebhafte Lied gab spezielle Bedeutung der Ton frecher Fröhlichkeit, mit dem Zherkov sprach, und die absichtliche Kälte von Dolokhovs Antworten.
- Also, wie kommen Sie mit den Behörden zurecht? fragte Scherkow.
- Nichts, gute Menschen. Wie sind Sie in die Zentrale gekommen?
- Abgeordnet, ich bin im Dienst.
Sie schwiegen.
„Ich lasse den Falken aus meinem rechten Ärmel“, sagte das Lied und erweckte unwillkürlich ein heiteres, fröhliches Gefühl. Ihre Unterhaltung wäre wahrscheinlich anders verlaufen, wenn sie nicht beim Klang eines Liedes gesprochen hätten.
- Was ist wahr, die Österreicher wurden geschlagen? fragte Dolochow.
„Der Teufel weiß es, sagen sie.
„Ich bin froh“, antwortete Dolokhov kurz und deutlich, wie es das Lied verlangte.
- Nun, kommen Sie zu uns, wenn der Pharao am Abend verpfänden wird, - sagte Zherkov.
Oder hast du viel Geld?
- Kommen.
- Es ist verboten. Er hat ein Gelübde abgelegt. Ich trinke oder spiele nicht, bis es fertig ist.
Naja, vor dem ersten...
- Sie werden es dort sehen.
Wieder schwiegen sie.
„Kommen Sie herein, wenn Sie etwas brauchen, alle im Hauptquartier helfen Ihnen …“, sagte Zherkov.
Dolochow kicherte.
„Machen Sie sich keine Sorgen. Was ich brauche, werde ich nicht fragen, ich werde es mir selbst nehmen.
„Ja, nun, ich bin so …
- Nun, ich auch.
- Auf Wiedersehen.
- Gesundheit…
... und hoch und weit,
Auf der Heimseite...
Zherkov berührte sein Pferd mit seinen Sporen, das es aufgeregt dreimal trat, ohne zu wissen, wo es anfangen sollte, kam zurecht und galoppierte, überholte die Kompanie und holte die Kutsche ein, ebenfalls im Takt des Liedes.

Als Kutuzov von der Überprüfung zurückkehrte, ging er in Begleitung eines österreichischen Generals in sein Büro und befahl, den Adjutanten zu rufen, um sich einige Papiere über den Zustand der ankommenden Truppen und Briefe von Erzherzog Ferdinand, der verantwortlich war, zu geben fortgeschrittene Armee. Prinz Andrei Bolkonsky betrat mit den erforderlichen Papieren das Büro des Oberbefehlshabers. Vor dem auf dem Tisch ausgelegten Plan saßen Kutuzov und ein österreichisches Mitglied des Hofkriegsrates.
„Ah ...“, sagte Kutuzov, blickte zu Bolkonsky zurück, als ob er mit diesem Wort den Adjutanten zum Warten aufforderte, und setzte das auf Französisch begonnene Gespräch fort.
„Ich sage nur eins, General“, sagte Kutuzov mit einer angenehmen Eleganz in Ausdruck und Tonfall, die einen dazu zwang, jedem gemächlich gesprochenen Wort zuzuhören. Es war offensichtlich, dass Kutuzov sich selbst mit Vergnügen zuhörte. - Ich sage nur eines, General, wenn es nach meinem persönlichen Wunsch ginge, dann wäre der Wille Seiner Majestät Kaiser Franz längst erfüllt. Ich wäre längst dem Erzherzog beigetreten. Und glauben Sie mir, meine Ehre, dass es für mich persönlich eine Freude wäre, das Oberkommando der Armee mehr als ich einem sachkundigen und geschickten General zu übertragen, wie Österreich so reichlich vorhanden ist, und diese ganze schwere Verantwortung für mich persönlich abzulegen, wäre eine Freude . Aber die Umstände sind stärker als wir, General.
Und Kutuzov lächelte mit einem Ausdruck, als wollte er sagen: „Sie haben jedes Recht, mir nicht zu glauben, und selbst mir ist es egal, ob Sie mir glauben oder nicht, aber Sie haben keinen Grund, mir das zu sagen. Und das ist der springende Punkt."
Der österreichische General sah unzufrieden aus, konnte Kutusow aber nicht im selben Ton antworten.
„Im Gegenteil“, sagte er in einem grummelnden und zornigen Ton, so entgegen der schmeichelhaften Bedeutung der Worte, die er aussprach, „im Gegenteil, Eure Exzellenz Teilnahme an gemeinsame Sache hoch angesehen von seiner Majestät; aber wir glauben, dass eine echte Verlangsamung den glorreichen russischen Truppen und ihren Kommandeuren jene Lorbeeren entzieht, die sie in Schlachten zu ernten gewohnt sind “, beendete er den anscheinend vorbereiteten Satz.
Kutuzov verneigte sich, ohne sein Lächeln zu ändern.
- Und ich bin so überzeugt und gehe aufgrund des letzten Briefes, den mich Seine Hoheit Erzherzog Ferdinand ehrte, davon aus, dass die österreichischen Truppen unter dem Kommando eines so geschickten Gehilfen wie General Mack jetzt schon einen entscheidenden Sieg errungen haben und nicht mehr brauchen unsere Hilfe, - sagte Kutuzov.
Der General runzelte die Stirn. Obwohl es keine positiven Nachrichten über die Niederlage der Österreicher gab, gab es zu viele Umstände, die die allgemeinen ungünstigen Gerüchte bestätigten; und daher war Kutuzovs Annahme über den Sieg der Österreicher einem Spott sehr ähnlich. Aber Kutuzov lächelte kleinlaut, immer noch mit demselben Gesichtsausdruck, der besagte, dass er das Recht hatte, dies anzunehmen. Wirklich, letzter Buchstabe, die er von der Armee von Mack erhielt, informierte ihn über den Sieg und die vorteilhafteste strategische Position der Armee.
„Gib mir diesen Brief hier“, sagte Kutuzov und wandte sich an Prinz Andrei. - Hier sind Sie, wenn Sie es sehen wollen. - Und Kutuzov las mit spöttischem Lächeln auf den Lippen die folgende Passage aus dem Brief Erzherzog Ferdinands an den deutsch-österreichischen General vor: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu können. Wir können, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau übersetzen, uns auf seine Kommunikationslinie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient. [Wir haben eine voll konzentrierte Streitmacht, ungefähr 70.000 Mann, damit wir den Feind angreifen und besiegen können, wenn er den Lech überquert. Da wir Ulm bereits besitzen, können wir den Vorteil behalten, beide Ufer der Donau zu beherrschen, daher jede Minute, wenn der Feind den Lech nicht überquert, die Donau überquert, zu seiner Kommunikationslinie eilt, die Donau tiefer und den Feind überquert , wenn er beschließt, seine ganze Kraft auf unsere treuen Verbündeten zu richten, um zu verhindern, dass seine Absicht erfüllt wird. Somit werden wir der Zeit des Imperial freudig entgegensehen russische Armee vollständig bereit, und dann können wir gemeinsam leicht eine Gelegenheit finden, das Schicksal des Feindes vorzubereiten, das er verdient.
Kutuzov seufzte schwer, nachdem er diese Zeit beendet hatte, und sah das Mitglied des Hofkriegsrates sorgfältig und liebevoll an.
„Aber wissen Sie, Exzellenz, weise Regel vorschreiben, vom Schlimmsten auszugehen“, sagte der österreichische General, der offenbar die Witze beenden und zur Sache kommen wollte.
Unwillkürlich sah er den Adjutanten an.
„Entschuldigen Sie, General“, unterbrach ihn Kutuzov und wandte sich ebenfalls an Prinz Andrei. - Das ist es, mein Lieber, Sie nehmen alle Berichte unserer Späher von Kozlovsky. Hier sind zwei Briefe von Graf Nostitz, hier ist ein Brief von Seiner Hoheit Erzherzog Ferdinand, hier ist noch einer“, sagte er und reichte ihm einige Papiere. - Und von all dem sauber weiter Französisch, verfassen Sie ein Memorandum, eine Notiz, um all die Neuigkeiten, die wir über Aktionen haben, sichtbar zu machen Österreichische Armee habe gehabt. Nun denn, und Präsentieren Sie seiner Exzellenz.
Prinz Andrei senkte den Kopf als Zeichen dafür, dass er von den ersten Worten an nicht nur verstanden hatte, was gesagt wurde, sondern auch, was Kutuzov ihm sagen wollte. Er sammelte die Papiere ein und ging mit einer allgemeinen Verbeugung, leise über den Teppich gehend, ins Wartezimmer hinaus.
Trotz der Tatsache, dass nicht viel Zeit vergangen ist, seit Prinz Andrei Russland verlassen hat, hat er sich in dieser Zeit stark verändert. In seinem Gesichtsausdruck, in seinen Bewegungen, in seinem Gang war fast nichts von früherer Verstellung, Müdigkeit und Trägheit zu bemerken; er wirkte wie ein Mann, der keine Zeit hat, über den Eindruck nachzudenken, den er auf andere macht, und mit angenehmen und interessanten Geschäften beschäftigt ist. Sein Gesicht drückte mehr Zufriedenheit mit sich selbst und den Menschen um ihn herum aus; sein Lächeln und sein Blick waren fröhlicher und attraktiver.
Kutuzov, den er in Polen wieder einholte, empfing ihn sehr herzlich, versprach ihm, ihn nicht zu vergessen, unterschied ihn von anderen Adjutanten, nahm ihn mit nach Wien und gab ihm ernstere Aufgaben. Aus Wien schrieb Kutuzov an seinen alten Kameraden, den Vater von Prinz Andrei:
„Ihr Sohn“, schrieb er, „gibt Hoffnung, ein Offizier zu werden, der sich durch sein Studium, seine Standhaftigkeit und seinen Fleiß auszeichnet. Ich schätze mich glücklich, einen solchen Untergebenen an der Hand zu haben.“
In Kutuzovs Hauptquartier, unter seinen Kameraden und in der Armee im Allgemeinen hatte Prinz Andrei sowie in der Gesellschaft von St. Petersburg zwei völlig entgegengesetzte Rufe.
Allein Minderheit, erkannten Prinz Andrei als etwas Besonderes von sich und allen anderen Menschen, erwarteten großen Erfolg von ihm, hörten ihm zu, bewunderten ihn und ahmten ihn nach; und mit diesen Leuten war Prinz Andrei einfach und angenehm. Andere, die Mehrheit, mochten Prinz Andrei nicht, hielten ihn für aufgeblasen, kalt und unangenehmer Mensch. Aber bei diesen Leuten wusste Prinz Andrei sich so zu positionieren, dass er respektiert und sogar gefürchtet wurde.
Als er aus Kutuzovs Büro in den Wartesaal kam, näherte sich Prinz Andrei mit Papieren seinem Kameraden, dem diensthabenden Adjutanten Kozlovsky, der mit einem Buch am Fenster saß.
- Nun, was, Prinz? fragte Kozlovsky.
- Bestellt, um eine Notiz zu erstellen, warum gehen wir nicht weiter.
- Und warum?
Prinz Andrew zuckte mit den Schultern.
- Kein Wort von Mac? fragte Kozlovsky.
- Nein.
- Wenn es stimmte, dass er besiegt wurde, dann würde die Nachricht kommen.
"Wahrscheinlich", sagte Prinz Andrei und ging zur Ausgangstür; aber zur gleichen Zeit, um ihn zu treffen, die Tür zuschlagend, betrat schnell ein großer, offensichtlich Neuankömmling, österreichischer General in einem Gehrock, mit einem schwarzen Taschentuch am Kopf und mit dem Orden von Maria Theresia um den Hals, den Wartesaal . Prinz Andrew blieb stehen.
- General Anshef Kutuzov? - sagte der besuchende General schnell mit einem scharfen deutschen Akzent, sah sich auf beiden Seiten um und ging ohne anzuhalten zur Tür des Büros.
„Der General ist beschäftigt“, sagte Kozlovsky, ging hastig auf den unbekannten General zu und versperrte ihm den Weg zur Tür. - Wie möchten Sie berichten?
Der unbekannte General blickte verächtlich auf den kleinen Kozlovsky hinab, als wäre er überrascht, dass man ihn vielleicht nicht kannte.
„Der Generalchef ist beschäftigt“, wiederholte Kozlovsky ruhig.
Das Gesicht des Generals runzelte die Stirn, seine Lippen zuckten und zitterten. Er holte ein Notizbuch hervor, zeichnete schnell etwas mit einem Bleistift, riss ein Stück Papier heraus, gab es weg, ging mit schnellen Schritten zum Fenster, warf sich auf einen Stuhl und sah sich wie fragend im Zimmer um : Warum sehen sie ihn an? Dann hob der General den Kopf, streckte den Hals, als wolle er etwas sagen, machte es aber sofort, als beginne er nachlässig vor sich hin zu summen komisches Geräusch, die sofort aufhörte. Die Tür des Büros öffnete sich, und Kutusow erschien auf der Schwelle. Der General mit verbundenem Kopf, als würde er vor der Gefahr davonlaufen, gebückt, mit großen, schnellen Schritten dünner Beine, näherte sich Kutuzov.
- Vous voyez le malheureux Mack, [Sie sehen den unglücklichen Mack.] - sagte er mit gebrochener Stimme.
Das Gesicht von Kutuzov, der in der Tür des Büros stand, blieb einige Augenblicke völlig bewegungslos. Dann lief wie eine Welle eine Falte über sein Gesicht, seine Stirn glättete sich; Er senkte respektvoll den Kopf, schloss die Augen, ließ Mack schweigend an sich vorbei und schloss die Tür hinter sich.
Das bereits zuvor verbreitete Gerücht von der Niederlage der Österreicher und der Kapitulation des gesamten Heeres bei Ulm stellte sich als wahr heraus. Eine halbe Stunde später schon verschiedene Richtungen Adjutanten wurden mit Befehlen ausgesandt, die bewiesen, dass die noch untätigen russischen Truppen bald mit dem Feind zusammentreffen müssten.
Prinz Andrei war einer dieser seltenen Stabsoffiziere, die sein Hauptinteresse in Betracht gezogen haben allgemeiner Kurs militärisches Geschäft. Als er Mack sah und die Einzelheiten seines Todes hörte, erkannte er, dass die Hälfte des Feldzugs verloren war, verstand die ganze Schwierigkeit der Position der russischen Truppen und stellte sich lebhaft vor, was die Armee erwartete und welche Rolle er dabei spielen würde .
Unwillkürlich empfand er bei dem Gedanken, das anmaßende Österreich zu beschämen und vielleicht in einer Woche zum ersten Mal nach Suworow einen Zusammenstoß zwischen Russen und Franzosen zu sehen und daran teilzunehmen, ein aufregendes freudiges Gefühl.
Aber er hatte Angst vor dem Genie Bonapartes, der stärker sein könnte als der ganze Mut der russischen Truppen, und gleichzeitig konnte er sich für seinen Helden nicht schämen.
Aufgeregt und irritiert von diesen Gedanken ging Prinz Andrei in sein Zimmer, um seinem Vater zu schreiben, dem er jeden Tag schrieb. Er traf sich im Korridor mit seinem Mitbewohner Nesvitsky und dem Spaßvogel Zherkov; sie lachten wie immer über etwas.

Und Multiplikation. Nur über die Operation der Multiplikation und wird in diesem Artikel diskutiert.

Zahlenmultiplikation

Die Multiplikation von Zahlen wird von Kindern in der zweiten Klasse gemeistert, und es ist nichts Kompliziertes daran. Jetzt betrachten wir die Multiplikation anhand von Beispielen.

Beispiel 2*5. Das bedeutet entweder 2+2+2+2+2 oder 5+5. Wir nehmen zweimal 5 oder fünfmal 2. Die Antwort ist jeweils 10.

Beispiel 4*3. Ebenso 4+4+4 oder 3+3+3+3. Dreimal 4 oder viermal 3. Antwort 12.

Beispiel 5*3. Wir machen dasselbe wie in den vorherigen Beispielen. 5+5+5 oder 3+3+3+3+3. Antwort 15.

Formeln zur Multiplikation

Multiplikation ist die Summe gleichen Nummern, zum Beispiel 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 oder 2 * 5 = 5 + 5. Multiplikationsformel:

Wobei a eine beliebige Zahl ist, n die Anzahl der Terme a ist. Sagen wir a=2, dann 2+2+2=6, dann n=3 Multiplizieren von 3 mit 2, wir erhalten 6. Betrachten Sie in umgekehrte Reihenfolge. Zum Beispiel gegeben: 3 * 3, das heißt. 3 multipliziert mit 3 - das bedeutet, dass die drei dreimal genommen werden müssen: 3 + 3 + 3 \u003d 9. 3 * 3 \u003d 9.

Abgekürzte Multiplikation

Die abgekürzte Multiplikation ist in bestimmten Fällen eine Abkürzung für die Multiplikationsoperation, und Formeln für die abgekürzte Multiplikation wurden speziell dafür entwickelt. Was hilft, die Berechnungen am rationellsten und schnellsten zu machen:

Abgekürzte Multiplikationsformeln

Seien a, b zu R gehören, dann gilt:

    Das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke ist das Quadrat des ersten Ausdrucks plus zweimal das Produkt des ersten Ausdrucks und das zweite plus das Quadrat des zweiten Ausdrucks. Formel: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

    Das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke ist das Quadrat des ersten Ausdrucks minus das Doppelte des Produkts des ersten Ausdrucks und des zweiten plus das Quadrat des zweiten Ausdrucks. Formel: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

    Differenz der Quadrate zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz dieser Ausdrücke und ihrer Summe. Formel: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

    Summenwürfel zwei Ausdrücke entspricht einem Würfel des ersten Ausdrucks plus das Dreifache des Produkts des Quadrats des ersten Ausdrucks durch den zweiten plus das Dreifache des Produkts des ersten Ausdrucks durch das Quadrat des zweiten plus der dritten Potenz des zweiten Ausdrucks. Formel: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

    Unterschied Würfel von zwei Ausdrücken ist gleich der Kubik des ersten Ausdrucks minus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem Dreifachen des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten Ausdrucks minus der Kubik des zweiten Ausdrucks. Formel: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

    Summe der Würfel a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

    Unterschied der Würfel zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe des ersten und zweiten Ausdrucks durch das unvollständige Quadrat der Differenz dieser Ausdrücke. Formel: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

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Multiplikation von Brüchen

In Anbetracht der Addition und Subtraktion von Brüchen klang die Regel, Brüche zu bringen gemeinsamer Nenner um die Berechnung durchzuführen. Wenn Sie dies multiplizieren, tun Sie dies nicht nötig! Bei der Multiplikation zweier Brüche wird der Nenner mit dem Nenner und der Zähler mit dem Zähler multipliziert.

Beispiel: (2/5) * (3 * 4). Multiplizieren Sie zwei Drittel mit einem Viertel. Wir multiplizieren den Nenner mit dem Nenner und den Zähler mit dem Zähler: (2 * 3) / (5 * 4), dann 6/20, wir reduzieren, wir erhalten 3/10.

Multiplikationsgrad 2

Die zweite Klasse ist erst der Anfang des Multiplikationslernens, also lösen Zweitklässler die einfachsten Aufgaben, um Addition durch Multiplikation zu ersetzen, Zahlen zu multiplizieren, das Einmaleins zu lernen. Schauen wir uns einmal Multiplikationsaufgaben auf der zweiten Klasse an:

    Oleg lebt in einem fünfstöckigen Gebäude im obersten Stockwerk. Die Höhe einer Etage beträgt 2 Meter. Wie hoch ist das Haus?

    Die Schachtel enthält 10 Packungen Kekse. Jede Packung enthält 7 Stück. Wie viele Kekse sind in der Schachtel?

    Mischa ordnete seine Spielzeugautos in einer Reihe an. Es gibt 7 davon in jeder Reihe und es gibt nur 8 Reihen Wie viele Autos hat Mischa?

    Es gibt 6 Tische im Speisesaal und 5 Stühle sind hinter jeden Tisch geschoben. Wie viele Stühle stehen im Esszimmer?

    Mama hat 3 Tüten Orangen aus dem Laden mitgebracht. Die Pakete enthalten 22 Orangen. Wie viele Orangen hat Mama mitgebracht?

    Im Garten wachsen 9 Erdbeersträucher und an jedem Strauch wachsen 11 Beeren. Wie viele Beeren wachsen auf allen Büschen?

    Roma legte 8 Rohrteile hintereinander, die gleiche Größe von 2 Metern. Wie lang ist das volle Rohr?

    Eltern brachten ihre Kinder am ersten September in die Schule. Es kamen 12 Autos mit jeweils 2 Kindern an. Wie viele Kinder haben ihre Eltern in diese Autos gebracht?

Multiplikationsgrad 3

In der dritten Klasse werden ernstere Aufgaben gestellt. Neben der Multiplikation wird auch die Division bestanden.

Zu den Aufgaben für die Multiplikation gehören: Multiplikation von zweistelligen Zahlen, Multiplikation mit einer Spalte, Ersetzung der Addition durch Multiplikation und umgekehrt.

Spaltenmultiplikation:

Die Spaltenmultiplikation ist die einfachste Art, große Zahlen zu multiplizieren. In Betracht ziehen diese Methode am Beispiel zweier Zahlen 427 * 36.

1 Schritt. Schreiben wir die Zahlen untereinander, so dass 427 oben und 36 unten steht, also 6 unter 7, 3 unter 2.

2 Schritt. Wir beginnen mit der Multiplikation mit der ganz rechten Ziffer der untersten Zahl. Das heißt, die Reihenfolge der Multiplikation ist: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4, dann das gleiche mit dem Tripel: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4.

Multiplizieren Sie also zuerst 6 mit 7, das Ergebnis lautet: 42. Wir schreiben es so auf: Da es 42 geworden ist, sind 4 Zehner und 2 Einsen, die Aufzeichnung ähnelt der Addition, was bedeutet, dass wir 2 unter die Sechs schreiben und 4 zu den Zweien der Zahl 427 addiert wird .

3 Schritt. Dann machen wir dasselbe mit 6 * 2. Antwort: 12. Die erste Zehn, die zu den Vieren der Zahl 427 addiert wird, und die zweite - Einheiten. Wir addieren die resultierende Zwei mit der Vier aus der vorherigen Multiplikation.

4 Schritt. Multiplizieren Sie 6 mit 4. Das Ergebnis ist 24 und addieren Sie 1 von der vorherigen Multiplikation. Wir bekommen 25.

Wenn man also 427 mit 6 multipliziert, ist die Antwort 2562

DENKEN SIE DARAN! Das Ergebnis der zweiten Multiplikation sollte unten notiert werden ZWEITE Nummer des ersten Ergebnisses!

5 Schritt. Wir führen ähnliche Aktionen mit der Zahl 3 aus. Wir erhalten die Multiplikationsantwort 427 * 3 = 1281

6 Schritt. Dann addieren wir die erhaltenen Antworten beim Multiplizieren und erhalten das Endergebnis der Multiplikation 427 * 36. Antwort: 15372.

Multiplikationsgrad 4

Die vierte Klasse ist bereits nur Multiplikation große Zahlen. Die Berechnung erfolgt nach dem Multiplikationsverfahren in einer Spalte. Das Verfahren ist oben in einer zugänglichen Sprache beschrieben.

Finden Sie beispielsweise das Produkt der folgenden Zahlenpaare:

  1. 988 * 98 =
  2. 99 * 114 =
  3. 17 * 174 =
  4. 164 * 19 =

Multiplikation Präsentation

Laden Sie eine Präsentation zum Thema Multiplizieren mit den einfachsten Aufgaben für Zweitklässler herunter. Die Präsentation wird Kindern helfen, sich besser in dieser Operation zurechtzufinden, da sie farbenfroh und angesagt ist Spielstil- die beste Möglichkeit, ein Kind zu unterrichten!

Multiplikationstabelle

Das Einmaleins wird von jedem Schüler der zweiten Klasse studiert. Jeder muss es wissen!

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Multiplikationsbeispiele

Multiplikation mit eindeutig

  1. 9 * 5 =
  2. 9 * 8 =
  3. 8 * 4 =
  4. 3 * 9 =
  5. 7 * 4 =
  6. 9 * 5 =
  7. 8 * 8 =
  8. 6 * 9 =
  9. 6 * 7 =
  10. 9 * 2 =
  11. 8 * 5 =
  12. 3 * 6 =

Multiplikation mit zwei Ziffern

  1. 4 * 16 =
  2. 11 * 6 =
  3. 24 * 3 =
  4. 9 * 19 =
  5. 16 * 8 =
  6. 27 * 5 =
  7. 4 * 31 =
  8. 17 * 5 =
  9. 28 * 2 =
  10. 12 * 9 =

Zweistellige Multiplikation mit zweistelligen Zahlen

  1. 24 * 16 =
  2. 14 * 17 =
  3. 19 * 31 =
  4. 18 * 18 =
  5. 10 * 15 =
  6. 15 * 40 =
  7. 31 * 27 =
  8. 23 * 25 =
  9. 17 * 13 =

Multiplikation von dreistelligen Zahlen

  1. 630 * 50 =
  2. 123 * 8 =
  3. 201 * 18 =
  4. 282 * 72 =
  5. 96 * 660 =
  6. 910 * 7 =
  7. 428 * 37 =
  8. 920 * 14 =

Spiele zur Entwicklung des mentalen Zählens

Spezielle Lernspiele, die unter Beteiligung russischer Wissenschaftler aus Skolkovo entwickelt wurden, werden dazu beitragen, die mündlichen Zählfähigkeiten in einer interessanten Spielform zu verbessern.

Spiel "Quick Score"

Das Spiel "schnelles Zählen" wird Ihnen helfen, Ihre zu verbessern Denken. Die Essenz des Spiels besteht darin, dass Sie auf dem Bild, das Ihnen präsentiert wird, die Antwort "Ja" oder "Nein" auf die Frage "Gibt es 5 identische Früchte?" Wählen müssen. Verfolgen Sie Ihr Ziel, und dieses Spiel wird Ihnen dabei helfen.

Spiel "Mathematische Matrizen"

"Mathematische Matrizen" großartig Gehirntraining für Kinder, die Ihnen helfen, seine geistige Arbeit, geistiges Zählen, schnelle Suche nach den richtigen Komponenten, Aufmerksamkeit zu entwickeln. Die Essenz des Spiels besteht darin, dass der Spieler ein Paar aus den vorgeschlagenen 16 Zahlen finden muss, die insgesamt ergeben angegebene Nummer, im Bild unten ist die angegebene Zahl beispielsweise "29", und das gewünschte Paar ist "5" und "24".

Spiel "Numerische Abdeckung"

Das Spiel "Zahlendeckung" lädt Ihr Gedächtnis auf, während Sie mit dieser Übung üben.

Die Essenz des Spiels besteht darin, sich die Nummer zu merken, was etwa drei Sekunden dauert, um sich zu merken. Dann musst du es spielen. Während Sie durch die Phasen des Spiels fortschreiten, wächst die Anzahl der Zahlen, beginnen Sie mit zwei und fahren Sie fort.

Spiel "Erraten Sie die Operation"

Das Spiel "Errate die Operation" entwickelt Denken und Gedächtnis. Hauptessenz Spiele zur Auswahl mathematisches Zeichen damit die Gleichheit wahr ist. Beispiele werden auf dem Bildschirm gegeben, genau hinschauen und hinstellen gewünschtes Zeichen„+“ oder „-“, damit die Gleichheit wahr ist. Die Zeichen „+“ und „-“ befinden sich am unteren Bildrand, wählen Sie das gewünschte Zeichen aus und klicken Sie auf die gewünschte Schaltfläche. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Spiel "Vereinfachen"

Das Spiel "Simplify" entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, schnell eine mathematische Operation durchzuführen. Ein Student wird auf den Bildschirm an der Tafel gezeichnet und gegeben mathematische Aktion, muss der Schüler dieses Beispiel berechnen und die Antwort schreiben. Unten sind drei Antworten, zählen Sie und klicken Sie mit der Maus auf die gewünschte Zahl. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Spiel "Schnelle Addition"

Das Spiel " Schnelle Ergänzung» entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, Zahlen zu wählen, deren Summe gleich einer bestimmten Zahl ist. Dieses Spiel erhält eine Matrix von eins bis sechzehn. Über der Matrix steht eine bestimmte Zahl, Sie müssen die Zahlen in der Matrix so auswählen, dass die Summe dieser Zahlen gleich der angegebenen Zahl ist. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Spiel "Visuelle Geometrie"

Das Spiel " visuelle Geometrie» entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, schnell die Anzahl der schattierten Objekte zu zählen und sie aus der Liste der Antworten auszuwählen. Bei diesem Spiel werden für einige Sekunden blaue Quadrate auf dem Bildschirm angezeigt, sie müssen schnell gezählt werden, dann schließen sie sich. Unterhalb der Tabelle sind vier Zahlen geschrieben, Sie müssen eine richtige Zahl auswählen und mit der Maus darauf klicken. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Spiel "Mathematische Vergleiche"

Das Spiel "Mathematische Vergleiche" entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, Zahlen zu vergleichen und mathematische Operationen. In diesem Spiel müssen Sie zwei Zahlen vergleichen. Oben steht eine Frage, lesen Sie sie und beantworten Sie die gestellte Frage richtig. Sie können mit den folgenden Schaltflächen antworten. Es gibt drei Schaltflächen "links", "gleich" und "rechts". Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Entwicklung des phänomenalen Kopfrechnens

Wir haben nur die Spitze des Eisbergs betrachtet, um Mathematik besser zu verstehen – melden Sie sich für unseren Kurs an: Schnelleres Kopfzählen.

Aus dem Kurs lernen Sie nicht nur Dutzende von Tricks für vereinfachte und schnelle Multiplikation, Addition, Multiplikation, Division, Prozentrechnung, aber auch einarbeiten besondere Aufgaben und Lernspiele! Auch das mentale Zählen erfordert viel Aufmerksamkeit und Konzentration, die beim Lösen von Problemen aktiv trainiert werden. interessante Aufgaben.

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Geld und die Denkweise eines Millionärs

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Eine ganze Zahl mit einer anderen zu multiplizieren bedeutet, eine Zahl so oft zu wiederholen, wie die andere Einheiten enthält. Eine Zahl zu wiederholen bedeutet, ihren Summanden mehrmals zu nehmen und die Summe zu bestimmen.

Definition von Multiplikation

Die Multiplikation ganzer Zahlen ist eine solche Operation, bei der Sie eine Zahl so oft als Terme nehmen müssen, wie die andere Einheiten enthält, und die Summe dieser Terme finden müssen.

7 mit 3 multiplizieren bedeutet, den Summand der Zahl 7 dreimal zu nehmen und die Summe zu finden. Der gewünschte Betrag ist 21.

Multiplikation ist die Addition gleicher Terme.

Die Daten in Multiplikation werden aufgerufen Multiplikator und Multiplikator, und das gewünschte - Arbeit.

Im vorgeschlagenen Beispiel sind die Daten der Multiplikator 7, der Multiplikator 3 und das gewünschte Produkt 21.

Multiplikand. Der Multiplikand ist die Zahl, die mit dem Summanden multipliziert oder wiederholt wird. Der Multiplikator drückt die Größe gleicher Terme aus.

Faktor. Der Multiplikator zeigt an, wie oft der Multiplikand durch den Term wiederholt wird. Der Multiplikator zeigt die Anzahl der gleichen Terme.

Arbeit. Das Produkt ist die Zahl, die sich aus der Multiplikation ergibt. Es ist die Summe gleicher Terme.

Der Multiplikator und Multiplikator zusammen werden aufgerufen Hersteller.

Beim Multiplizieren ganzer Zahlen erhöht sich eine Zahl so oft, wie die andere Einheiten enthält.

Multiplikationszeichen. Die Operation der Multiplikation wird mit dem Zeichen × (indirektes Kreuz) oder bezeichnet. (Punkt). Das Multiplikationszeichen steht zwischen dem Multiplikanden und dem Multiplikator.

Wiederhole die Zahl 7 dreimal als Summanden und finde die Summe bedeutet 7 mal 3. Anstatt zu schreiben

schreibe mit dem Multiplikationszeichen kurz:

7 × 3 oder 7 3

Multiplikation ist eine abgekürzte Addition gleicher Terme.

Schild ( × ) wurde von Oughtred (1631) eingeführt, und das Zeichen. Christian Wolff (1752).

Die Beziehung zwischen den Daten und der gewünschten Zahl wird durch Multiplikation ausgedrückt

schriftlich:

7 × 3 = 21 oder 7 3 = 21

mündlich:

sieben mal drei ist 21.

Um aus 21 ein Produkt zu machen, musst du 7 dreimal wiederholen

Um den Faktor 3 zu machen, musst du die Einheit dreimal wiederholen

Daher haben wir eine andere Definition von Multiplikation: Die Multiplikation ist eine Operation, bei der das Produkt aus dem Multiplikanden genauso besteht wie der Multiplikator aus der Einheit.

Die Haupteigenschaft der Arbeit

Das Produkt ändert sich nicht durch eine Änderung in der Reihenfolge der Produzenten.

Nachweisen. 7 mit 3 multiplizieren bedeutet, 7 dreimal zu wiederholen. Wenn wir 7 durch die Summe von 7 Einheiten ersetzen und sie vertikal verschachteln, haben wir:

Wenn wir also zwei Zahlen multiplizieren, können wir einen der beiden Produzenten als Multiplikator betrachten. Auf dieser Grundlage werden Hersteller genannt Faktoren oder einfach Multiplikatoren.

Die meisten allgemeiner Empfang Multiplikation besteht darin, gleiche Terme zu addieren; Bei großen Produzenten führt dieser Trick jedoch zu langen Berechnungen, sodass die Berechnung selbst anders angeordnet ist.

Multiplikation einstelliger Zahlen. Pythagoräischer Tisch

Um zwei einstellige Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie eine Zahl mit den Termen so oft wiederholen, wie die andere Einheiten enthält, und ihre Summe finden. Da die Multiplikation ganzer Zahlen auf die Multiplikation einstelliger Zahlen reduziert wird, bilden sie paarweise eine Produkttabelle aller einstelligen Zahlen. Eine solche Tabelle aller Produkte einstelliger Zahlen in Paaren heißt Multiplikationstabelle.

Ihre Erfindung wird dem griechischen Philosophen Pythagoras zugeschrieben, nach dem sie benannt ist. Pythagoräischer Tisch. (Pythagoras wurde um 569 v. Chr. geboren).

Um diese Tabelle zu erstellen, müssen Sie die ersten 9 Zahlen in einer horizontalen Reihe schreiben:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dann müssen Sie unter dieser Zeile eine Reihe von Zahlen unterschreiben, die das Produkt dieser Zahlen mit 2 ausdrücken. Diese Zahlenreihe ergibt sich, wenn wir in der ersten Zeile jede Zahl mit sich selbst addieren. Von der zweiten Zahlenreihe gehen wir sukzessive zu 3, 4 usw. Jede nachfolgende Reihe wird aus der vorherigen erhalten, indem die Zahlen der ersten Reihe hinzugefügt werden.

Wenn Sie dies bis Zeile 9 fortsetzen, erhalten wir die pythagoräische Tabelle in der folgenden Form

Um das Produkt zweier einstelliger Zahlen aus dieser Tabelle zu finden, müssen Sie einen Hersteller in der ersten horizontalen Reihe und den anderen in der ersten vertikalen Spalte finden; dann befindet sich das gewünschte Produkt am Schnittpunkt der entsprechenden Spalte und Zeile. Somit liegt das Produkt 6 × 7 = 42 am Schnittpunkt der 6. Zeile und der 7. Spalte. Das Produkt aus Null mal Zahl und Zahl mal Null ergibt immer Null.

Da das Produkt einer Zahl mit 1 die Zahl selbst ergibt und eine Umkehrung der Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht verändert, finden Sie in der folgenden Tabelle alle unterschiedlichen Produkte zweier einstelliger Zahlen, auf die Sie achten sollten:

Produkte einstelliger Zahlen, die nicht in dieser Tabelle enthalten sind, werden aus den Daten gewonnen, wenn in ihnen nur die Ordnung des Multiplikators geändert wird; also 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl

Die Multiplikation der Zahl 8094 mit 3 wird angezeigt, indem man den Multiplikator unter den Multiplikanden schreibt, das Multiplikationszeichen links setzt und einen Strich zieht, um das Produkt zu trennen.

Die Multiplikation der mehrstelligen Zahl 8094 mit 3 bedeutet, die Summe von drei gleichen Termen zu finden

Daher müssen Sie für die Multiplikation alle Reihenfolgen einer mehrstelligen Zahl dreimal wiederholen, dh mit 3 Einheiten, Zehnern, Hundertern usw. multiplizieren. Die Addition beginnt bei eins, daher muss die Multiplikation auch bei eins beginnen, und dann gehe von rechte Hand nach links zu Einheiten höherer Ordnung.

In diesem Fall wird der Ablauf der Berechnungen mündlich ausgedrückt:

    Wir beginnen mit der Multiplikation mit Einheiten: 3 × 4 ist 12, wir unterschreiben die Einheiten 2, und wir wenden die Einheit (1 zehn) auf das Produkt der nächsten Ordnung um den Faktor an (oder erinnern Sie sich daran).

    Zehner multiplizieren: 3 × 9 ist 27, ja 1 im Kopf ist 28; wir unterzeichnen unter Zehner 8 und 2 im Hinterkopf.

    Hunderte multiplizieren: Null multipliziert mit 3 ergibt Null, ja 2 im Kopf wird 2 sein, wir unterschreiben unter Hunderten 2.

    Tausende multiplizieren: 3 × 8 = 24, wir unterschreiben komplett 24, weil wir die folgenden Befehle nicht haben.

Diese Aktion wird schriftlich zum Ausdruck gebracht:

Aus dem vorherigen Beispiel leiten wir ab nächste Regel. Um eine mehrstellige Zahl mit einer einstelligen Zahl zu multiplizieren, benötigen Sie:

    Unterschreibe den Multiplikator unter den Einheiten des Multiplikanden, setze das Multiplikationszeichen links und ziehe einen Strich.

    Multiplikation beginnt mit einfache Einheiten, dann, von rechts nach links, multiplizieren sie nacheinander Zehner, Hunderter, Tausender usw.

    Wenn bei der Multiplikation das Produkt als einstellige Zahl ausgedrückt wird, dann wird es unter der multiplizierten Ziffer des Multiplikanden signiert.

    Wenn das Produkt als zweistellige Zahl ausgedrückt wird, wird die Einerstelle unter der gleichen Spalte signiert und die Zehnerstelle um den Faktor zum Produkt der nächsten Ordnung hinzugefügt.

    Die Multiplikation wird fortgesetzt, bis das vollständige Produkt erhalten wird.

Zahlen mit 10, 100, 1000 multiplizieren...

Zahlen mit 10 zu multiplizieren bedeutet, einfache Einer in Zehner, Zehner in Hunderter usw. umzuwandeln, also die Ordnung aller Ziffern um eins zu erhöhen. Dies wird erreicht, indem rechts eine Null hinzugefügt wird. Mit 100 multiplizieren bedeutet, alle Ordnungen des Multiplikators um zwei Einheiten zu erhöhen, also Einheiten in Hunderter, Zehner in Tausend usw. zu verwandeln.

Dies wird erreicht, indem der Zahl zwei Nullen zugeordnet werden.

Daher schließen wir:

Um eine ganze Zahl mit 10, 100, 1000 und generell mit 1 mit Nullen zu multiplizieren, müssen Sie rechts so viele Nullen zuweisen, wie im Multiplikator vorhanden sind.

Die Multiplikation der Zahl 6035 mit 1000 wird schriftlich ausgedrückt:

Wenn der Multiplikator eine Zahl ist, die auf Nullen endet, werden nur signifikante Ziffern unter dem Multiplikanden signiert, und die Nullen des Multiplikators werden rechts zugeordnet.

Um 2039 mit 300 zu multiplizieren, musst du die Zahl 2029 300-mal nehmen. 300 Terme zu nehmen ist dasselbe wie 3 mal 100 Terme oder 100 mal 3 Terme. Dazu multiplizieren wir die Zahl mit 3 und dann mit 100 oder wir multiplizieren zuerst mit 3 und fügen dann rechts zwei Nullen hinzu.

Der Berechnungsablauf wird schriftlich festgehalten:

Regel. Um eine Zahl mit einer anderen zu multiplizieren, die durch eine Ziffer mit Nullen dargestellt wird, müssen Sie zuerst den Multiplikanden mit der durch eine signifikante Ziffer ausgedrückten Zahl multiplizieren und dann so viele Nullen zuweisen, wie der Faktor enthält.

Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer mehrstelligen Zahl

Um die mehrstellige Zahl 3029 mit der mehrstelligen Zahl 429 zu multiplizieren oder das Produkt 3029 * 429 zu finden, müssen Sie 3029 Terme 429 Mal wiederholen und die Summe finden. 3029 Terme 429 Mal zu wiederholen bedeutet, seine Terme zuerst 9, dann 20 und schließlich 400 Mal zu wiederholen. Um also 3029 mit 429 zu multiplizieren, musst du 3029 zuerst mit 9, dann mit 20 und schließlich mit 400 multiplizieren und die Summe dieser drei Produkte finden.

Drei Werke

genannt private Werke.

Das Gesamtprodukt von 3029 × 429 ist gleich der Summe dreier Quotienten:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400.

Lassen Sie uns die Werte dieser drei Teilprodukte finden.

    Wenn wir 3029 mit 9 multiplizieren, finden wir:

    3029 ×9 27261 erste private Arbeit

    Multiplizieren wir 3029 mit 20, finden wir:

    3029 × 20 60580 zweite private Arbeit

    Wenn wir 3026 mit 400 multiplizieren, finden wir:

    3029 × 400 1211600 dritte private Arbeit

Addiert man diese Teilprodukte, erhält man das Produkt 3029 × 429:

Es ist unschwer zu erkennen, dass alle diese Teilprodukte Produkte der Zahl 3029 sind einzelne Ziffern 9, 2, 4, und dem zweiten Produkt, das aus der Zehnermultiplikation entsteht, wird eine Null und dem dritten zwei Nullen zugeordnet.

Partialprodukten zugeordnete Nullen werden bei der Multiplikation weggelassen und der Rechenvorgang schriftlich festgehalten:

In diesem Fall signieren sie beim Multiplizieren mit 2 (der Zehnerstelle des Multiplikators) 8 unter den Zehnern oder ziehen sich um eine Ziffer nach links zurück; bei Multiplikation mit der Hunderterziffer 4, Zeichen 6 in der dritten Spalte oder Rückzug um 2 Ziffern nach links. Im Allgemeinen beginnt jedes private Werk von rechts nach links unter der Reihenfolge zu signieren, zu der die Multiplikatorziffer gehört.

Auf der Suche nach dem Produkt von 3247 mal 209 haben wir:

Hier beginnen wir, das zweite Partialprodukt unter der dritten Spalte zu signieren, weil es das Produkt von 3247 mal 2, der dritten Ziffer des Multiplikators, ausdrückt.

Wir haben hier nur die beiden Nullen weggelassen, die im zweiten Partialprodukt hätten vorkommen sollen, da es das Produkt einer Zahl mal 2 Hundert oder mal 200 ausdrückt.

Aus dem Gesagten leiten wir die Regel ab. Um eine mehrstellige Zahl mit einer mehrstelligen Zahl zu multiplizieren,

    Sie müssen den Multiplikator unter dem Multiplikator signieren, damit sich die Zahlen derselben Reihenfolge in derselben vertikalen Spalte befinden. Setzen Sie das Multiplikationszeichen links und zeichnen Sie eine Linie.

    Die Multiplikation beginnt mit einfachen Einheiten, dann bewegen sie sich von rechts nach links, multiplizieren den fortlaufenden Multiplikator mit der Ziffer von Zehner, Hunderter usw. und bilden so viele Teilprodukte wie bedeutende Zahlen im Multiplikator.

    Die Einheiten jedes Privatprodukts sind unter der Spalte gekennzeichnet, zu der die Multiplikatorziffer gehört.

    Alle auf diese Weise gefundenen privaten Werke werden zusammengezählt und ergeben insgesamt ein Produkt.

Um eine mehrstellige Zahl mit einem Faktor zu multiplizieren, der auf Nullen endet, müssen Sie die Nullen im Faktor verwerfen, mit der verbleibenden Zahl multiplizieren und dann so viele Nullen zum Produkt hinzufügen, wie im Faktor vorhanden sind.

Beispiel. Finde das Produkt von 342 mal 2700.

Wenn der Multiplikand und der Multiplikator beide auf Nullen enden, werden sie bei der Multiplikation verworfen und dann so viele Nullen zum Produkt hinzugefügt, wie es in beiden Erzeugern gibt.

Beispiel. Wenn wir das Produkt von 2700 mal 35000 berechnen, multiplizieren wir 27 mal 35

Wenn wir 945 fünf Nullen zuweisen, erhalten wir das gewünschte Produkt:

2700 × 35000 = 94500000.

Anzahl der Stellen des Produkts. Die Stellenzahl des Produkts 3728 × 496 lässt sich wie folgt ermitteln. Dieses Produkt ist größer als 3728 × 100 und kleiner als 3728 × 1000. Die Stellenzahl des ersten Produkts 6 ist gleich der Stellenzahl im Multiplikator 3728 und im Multiplikator 496 ohne Einheit. Die Stellenzahl des zweiten Produkts 7 ist gleich der Stellenzahl des Multiplikanden und des Multiplikators. Ein gegebenes Produkt von 3728 × 496 darf nicht weniger als 6 Stellen haben (die Anzahl der Stellen des Produkts beträgt 3728 × 100) und mehr als 7 (die Anzahl der Stellen des Produkts beträgt 3728 × 1000).

Wo schließen wir ab: die Stellenzahl eines Produkts ist entweder gleich der Stellenzahl des Multiplikanden und des Faktors oder gleich dieser Zahl ohne Einheit.

Unser Produkt kann entweder 7 oder 6 Ziffern enthalten.

Grad

Zwischen verschiedenen Arbeiten verdienen besondere Aufmerksamkeit wo Produzenten gleich sind. Zum Beispiel:

2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9.

Quadrate. Das Produkt zweier gleicher Faktoren heißt Quadrat einer Zahl.

In unseren Beispielen ist 4 Quadrat 2, 9 ist Quadrat 3.

Kuba. Das Produkt dreier gleicher Teiler nennt man Kubik einer Zahl.

Also, in den Beispielen 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, die Zahl 8 ist die dritte Potenz von 2, 27 ist die dritte Potenz von 3.

Allgemein heißt das Produkt mehrerer gleicher FaktorenGrad der Zahl . Grade erhalten ihren Namen von der Anzahl der gleichen Teiler.

Die Produkte zweier gleicher Faktoren bzw Quadrate genannt zweiten Grades.

Die Produkte dreier gleicher Faktoren bzw Würfel genannt dritten Grades, usw.

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