Endlich habe ich ein umfangreiches und lang ersehntes Thema in die Finger bekommen Analytische Geometrie . Zuerst ein wenig über diesen Abschnitt der höheren Mathematik…. Sicherlich erinnerten Sie sich jetzt an den Schul-Geometrie-Kurs mit zahlreichen Sätzen, deren Beweisen, Zeichnungen usw. Was zu verbergen ist, ein ungeliebtes und oft obskures Thema für einen erheblichen Teil der Studenten. Seltsamerweise mag analytische Geometrie interessanter und zugänglicher erscheinen. Was bedeutet das Adjektiv „analytisch“? Mir fallen sofort zwei gestempelte mathematische Ausdrücke ein: „grafisches Lösungsverfahren“ und „ analytische Methode Lösungen". Grafische Methode ist natürlich mit der Konstruktion von Diagrammen und Zeichnungen verbunden. Analytisch gleich Methode beinhaltet die Problemlösung überwiegend durch algebraische Operationen. In dieser Hinsicht ist der Algorithmus zur Lösung fast aller Probleme der analytischen Geometrie einfach und transparent, er ist oft ziemlich genau anzuwenden notwendige Formeln- und die Antwort ist fertig! Nein, auf Zeichnungen wird es natürlich ganz und gar nicht verzichten, außerdem werde ich zum besseren Verständnis des Stoffes versuchen, sie über das Notwendige hinaus zu bringen.

Der offene Lehrgang Geometrie erhebt keinen Anspruch auf theoretische Vollständigkeit, er ist auf die Lösung praktischer Probleme ausgerichtet. Ich werde in meine Vorlesungen nur das aufnehmen, was aus meiner Sicht wichtig ist in der Praxis. Wenn Sie mehr brauchen volle Hilfe In jedem Unterabschnitt empfehle ich Folgendes vollständig verfügbare Literatur:

1) Eine Sache, die, kein Scherz, mehreren Generationen vertraut ist: Schulbuch Geometrie, die Autoren - L.S. Atanasyan und Gesellschaft. Dieser Kleiderbügel für die Schulumkleide hat bereits 20 (!) Neuauflagen überstanden, was natürlich nicht die Grenze ist.

2) Geometrie in 2 Bänden. Die Autoren L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Das ist Literatur für weiterführende Schule, du wirst brauchen erster Band. Selten anfallende Aufgaben können aus meinem Blickfeld fallen, u Lernprogramm wird unschätzbare Hilfe leisten.

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Es wird davon ausgegangen, dass der Leser mit den Grundlagen vertraut ist geometrische Konzepte und Figuren: Punkt, Linie, Ebene, Dreieck, Parallelogramm, Parallelepiped, Würfel usw. Es ist ratsam, sich einige Sätze zu merken, zumindest den Satz des Pythagoras, hallo Wiederholer)

Und jetzt werden wir nacheinander betrachten: das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten. Weiter empfehle ich die Lektüre der wichtigste Artikel Skalarprodukt von Vektoren, ebenso gut wie Vektor und Mischprodukt von Vektoren. Die lokale Aufgabe wird nicht überflüssig - Teilung des Segments in dieser Hinsicht. Basierend auf den obigen Informationen können Sie Gleichung einer Geraden in einer Ebene mit die einfachsten Beispiele für Lösungen, was erlauben wird lernen, wie man Probleme in der Geometrie löst. Hilfreich sind auch die folgenden Artikel: Gleichung einer Ebene im Raum, Gleichungen einer geraden Linie im Raum, Grundlegende Probleme auf der Linie und Ebene , andere Abschnitte der analytischen Geometrie. Dabei werden selbstverständlich auch Standardaufgaben berücksichtigt.

Das Konzept eines Vektors. kostenloser Vektor

Lassen Sie uns zunächst die Schuldefinition eines Vektors wiederholen. Vektor namens gerichtet ein Segment, dessen Anfang und Ende angegeben sind:

BEIM dieser Fall Der Anfang des Segments ist der Punkt, das Ende des Segments ist der Punkt. Der Vektor selbst wird mit bezeichnet. Richtung Wichtig ist, wenn Sie den Pfeil an das andere Ende des Segments verschieben, erhalten Sie einen Vektor, und dieser ist bereits vorhanden ganz anderer Vektor. Es ist bequem, das Konzept eines Vektors mit Bewegung zu identifizieren physischer Körper: einverstanden, die Türen des Instituts zu betreten oder die Türen des Instituts zu verlassen, sind völlig verschiedene Dinge.

Es ist zweckmäßig, einzelne Punkte einer Ebene, des Raums, als den sogenannten Raum zu betrachten Nullvektor. Ein solcher Vektor hat dasselbe Ende und denselben Anfang.

!!! Notiz: Hier und im Folgenden können Sie davon ausgehen, dass die Vektoren in der gleichen Ebene liegen, oder Sie können davon ausgehen, dass sie sich im Raum befinden - die Essenz des dargestellten Materials gilt sowohl für die Ebene als auch für den Raum.

Bezeichnungen: Viele machten sofort auf einen Stock ohne Pfeil in der Bezeichnung aufmerksam und sagten, dass sie oben auch einen Pfeil setzen! Das ist richtig, Sie können mit einem Pfeil schreiben: , aber zulässig und Aufzeichnung, die ich später verwenden werde. Wieso den? Anscheinend hat sich eine solche Angewohnheit aus praktischen Erwägungen heraus entwickelt, meine Schützen in Schule und Uni erwiesen sich als zu vielfältig und zottig. BEIM pädagogische Literatur manchmal kümmern sie sich überhaupt nicht um die Keilschrift, sondern heben Buchstaben hervor in fett: , was bedeutet, dass es sich um einen Vektor handelt.

Das war der Stil, und nun zu den Möglichkeiten, Vektoren zu schreiben:

1) Vektoren können in zwei lateinischen Großbuchstaben geschrieben werden:
usw. Während der erste Buchstabe Notwendig bezeichnet den Startpunkt des Vektors und der zweite Buchstabe bezeichnet den Endpunkt des Vektors.

2) Vektoren werden auch in lateinischen Kleinbuchstaben geschrieben:
Insbesondere kann unser Vektor der Kürze halber durch klein umbenannt werden Lateinischer Buchstabe.

Länge oder Modul Nicht-Null-Vektor wird die Länge des Segments genannt. Die Länge des Nullvektors ist Null. Logisch.

Die Länge eines Vektors wird durch das Modulozeichen angegeben: ,

Wie man die Länge eines Vektors findet, werden wir etwas später lernen (oder wiederholen, für wen wie).

Das waren elementare Informationen über den Vektor, die allen Schulkindern bekannt sind. In der analytischen Geometrie, dem sog kostenloser Vektor.

Wenn es ganz einfach ist - Vektor kann von jedem beliebigen Punkt aus gezeichnet werden:

Wir sind gewohnt, solche Vektoren gleich zu nennen (die Definition gleicher Vektoren wird weiter unten gegeben), aber rein mit mathematischer Punkt Vision ist der GLEICHE VEKTOR oder kostenloser Vektor. Warum kostenlos? Denn im Laufe der Problemlösung können Sie den einen oder anderen Vektor an JEDEM Punkt der Ebene oder des Raums „anhängen“, den Sie benötigen. Dies ist eine sehr coole Eigenschaft! Stellen Sie sich einen Vektor beliebiger Länge und Richtung vor - er kann unendlich oft und an jedem Punkt im Raum "geklont" werden, tatsächlich existiert er ÜBERALL. Es gibt so ein Studenten-Sprichwort: Jeder Dozent in f**u im Vektor. Immerhin nicht nur ein witziger Reim, alles ist mathematisch korrekt - ein Vektor kann dort auch angehängt werden. Aber beeilen Sie sich nicht, sich zu freuen, die Schüler selbst leiden häufiger =)

So, kostenloser Vektor- Das ein Haufen identische Richtungssegmente. Schuldefinition Vektor, der am Anfang des Absatzes angegeben ist: "Ein gerichtetes Segment wird als Vektor bezeichnet ...", impliziert Spezifisch ein gerichtetes Segment aus einer gegebenen Menge, das an einem bestimmten Punkt in der Ebene oder im Raum befestigt ist.

Es sollte beachtet werden, dass aus physikalischer Sicht das Konzept eines freien Vektors in Allgemeiner Fall ist falsch, und der Anwendungspunkt des Vektors ist von Bedeutung. In der Tat reicht ein direkter Schlag mit der gleichen Kraft auf die Nase oder auf die Stirn, um mein dummes Beispiel zu entwickeln unterschiedliche Folgen. Jedoch, nicht frei Vektoren werden auch im Verlauf von Vyshmat gefunden (gehen Sie nicht dorthin :)).

Aktionen mit Vektoren. Kollinearität von Vektoren

Im Schulgeometriekurs werden eine Reihe von Aktionen und Regeln mit Vektoren betrachtet: Addition nach der Dreiecksregel, Addition nach der Parallelogrammregel, Differenzenregel von Vektoren, Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, Skalarprodukt von Vektoren usw. Als Ausgangspunkt wiederholen wir zwei Regeln, die für die Lösung von Problemen der analytischen Geometrie besonders relevant sind.

Additionsregel von Vektoren nach der Dreiecksregel

Betrachten Sie zwei beliebige Nicht-Null-Vektoren und :

Es ist erforderlich, die Summe dieser Vektoren zu finden. Aufgrund der Tatsache, dass alle Vektoren als frei gelten, verschieben wir den Vektor aus Ende Vektor:

Die Summe der Vektoren ist der Vektor . Zum besseren Verständnis der Regel ist es ratsam, ihr eine physikalische Bedeutung zu geben: Lassen Sie einen Körper einen Weg entlang des Vektors und dann entlang des Vektors ziehen. Dann ist die Summe der Vektoren der Vektor des resultierenden Weges, der am Ausgangspunkt beginnt und am Ankunftspunkt endet. Eine ähnliche Regel wird für die Summe beliebig vieler Vektoren formuliert. Wie sie sagen, kann der Körper seinen Weg stark im Zickzack oder vielleicht auf Autopilot gehen - entlang des resultierenden Summenvektors.

Übrigens, wenn der Vektor verschoben wird Anfang vector , dann erhalten wir das Äquivalent Parallelogrammregel Addition von Vektoren.

Zunächst zur Kollinearität von Vektoren. Die beiden Vektoren werden aufgerufen kollinear ob sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen. Grob gesagt sprechen wir von parallelen Vektoren. Aber in Bezug auf sie wird immer das Adjektiv "kollinear" verwendet.

Stellen Sie sich zwei kollineare Vektoren vor. Wenn die Pfeile dieser Vektoren in die gleiche Richtung gerichtet sind, werden solche Vektoren aufgerufen gleichgerichtet. Wenn die Pfeile darauf zeigen verschiedene Seiten, dann werden die Vektoren sein entgegengesetzt gerichtet.

Bezeichnungen: Die Kollinearität von Vektoren wird mit dem üblichen Parallelitätssymbol geschrieben: , während eine Detaillierung möglich ist: (Vektoren sind gleich gerichtet) oder (Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet).

Arbeit eines Vektors ungleich Null durch eine Zahl ist ein Vektor, dessen Länge gleich ist, und die Vektoren und sind auf gerichtet und entgegengesetzt gerichtet auf .

Die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl ist anhand eines Bildes besser verständlich:

Wir verstehen genauer:

1 Richtung. Wenn der Multiplikator negativ ist, dann der Vektor ändert die Richtung zum Gegenteil.

2) Länge. Wenn der Faktor in oder enthalten ist, dann die Länge des Vektors sinkt. Die Länge des Vektors ist also doppelt so lang wie die Länge des Vektors . Wenn der Modulo-Multiplikator größer als eins ist, dann die Länge des Vektors erhöht sich rechtzeitig.

3) Bitte beachten Sie das alle Vektoren sind kollinear, während ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt wird, zum Beispiel . Das Gegenteil ist auch wahr: Wenn ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt werden kann, dann sind solche Vektoren notwendigerweise kollinear. Auf diese Weise: Wenn wir einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren, werden wir kollinear(relativ zum Original) Vektor.

4) Die Vektoren sind gleichgerichtet. Die Vektoren und sind ebenfalls gleichgerichtet. Jeder Vektor der ersten Gruppe ist jedem Vektor der zweiten Gruppe entgegengesetzt.

Welche Vektoren sind gleich?

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleichgerichtet sind und die gleiche Länge haben. Beachten Sie, dass die Co-Richtung impliziert, dass die Vektoren kollinear sind. Die Definition wird ungenau (redundant), wenn Sie sagen: "Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie kollinear, gleichgerichtet und gleich lang sind."

Aus Sicht des Konzepts eines freien Vektors sind gleiche Vektoren derselbe Vektor, was bereits im vorherigen Absatz diskutiert wurde.

Vektorkoordinaten in der Ebene und im Raum

Der erste Punkt besteht darin, Vektoren auf einer Ebene zu betrachten. Lassen Sie uns das Kartesische darstellen rechteckiges System Koordinaten und vom Ursprung, den wir beiseite legen Single Vektoren und :

Vektoren und senkrecht. Orthogonal = Senkrecht. Ich empfehle, sich langsam an die Begriffe zu gewöhnen: Statt Parallelität und Rechtwinkligkeit verwenden wir die Wörter respektive Kollinearität und Orthogonalität.

Bezeichnung: Orthogonalität von Vektoren wird mit dem üblichen senkrechten Zeichen geschrieben, zum Beispiel: .

Die betrachteten Vektoren werden aufgerufen Koordinatenvektoren oder Ort. Diese Vektoren bilden sich Basis auf der Oberfläche. Was die Grundlage ist, denke ich, ist vielen intuitiv klar, mehr genaue Information finden Sie im Artikel Lineare (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis.In einfachen Worten, die Basis und der Ursprung der Koordinaten legen das gesamte System fest - dies ist eine Art Fundament, auf dem ein volles und reiches geometrisches Leben brodelt.

Manchmal wird die konstruierte Basis aufgerufen orthonormal Basis des Flugzeugs: "ortho" - weil Koordinatenvektoren orthogonal, das Adjektiv „normalisiert“ bedeutet einfach, d.h. die Längen der Basisvektoren sind gleich eins.

Bezeichnung: Basis ist in der Regel eingeschrieben Klammern, in dem in strenger Reihenfolge Basisvektoren sind aufgelistet, zum Beispiel: . Koordinatenvektoren es ist verboten Platz tauschen.

Irgendein Ebene Vektor der einzige Weg ausgedrückt als:
, wo - Zahlen, die genannt werden Vektorkoordinaten auf dieser Grundlage. Aber der Ausdruck selbst namens VektorzerlegungBasis .

Abendessen serviert:

Beginnen wir mit dem ersten Buchstaben des Alphabets: . Die Zeichnung zeigt deutlich, dass bei der Zerlegung des Vektors nach der Basis die eben betrachteten verwendet werden:
1) die Regel der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: und ;
2) Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel: .

Legen Sie nun den Vektor von jedem anderen Punkt auf der Ebene gedanklich beiseite. Es ist ziemlich offensichtlich, dass seine Korruption ihm "unerbittlich folgen wird". Hier ist sie, die Freiheit des Vektors – der Vektor „trägt alles mit sich“. Diese Eigenschaft gilt natürlich für jeden Vektor. Komischerweise müssen die Basis-(Frei-)Vektoren selbst nicht vom Ursprung abgesetzt werden, man kann z. B. den einen unten links und den anderen oben rechts zeichnen, und daran ändert sich nichts! Sie müssen dies zwar nicht tun, da der Lehrer auch Originalität zeigt und Ihnen an einem unerwarteten Ort einen „Pass“ zeichnet.

Vektoren veranschaulichen genau die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl, der Vektor ist mit dem Basisvektor gleichgerichtet, der Vektor ist dem Basisvektor entgegengesetzt gerichtet. Für diese Vektoren ist eine der Koordinaten gleich Null, es kann akribisch wie folgt geschrieben werden:


Und die Basisvektoren sind übrigens so: (tatsächlich werden sie durch sich selbst ausgedrückt).

Und endlich: , . Übrigens, was ist Vektorsubtraktion, und warum habe ich Ihnen nichts über die Subtraktionsregel erzählt? Irgendwo in Lineare Algebra, ich weiß nicht mehr wo, ich habe festgestellt, dass die Subtraktion ein Sonderfall der Addition ist. Die Erweiterungen der Vektoren "de" und "e" werden also ruhig als Summe geschrieben: . Ordne die Terme stellenweise neu und folge der Zeichnung, wie anschaulich die gute alte Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel in diesen Situationen funktioniert.

Überlegte Zerlegung der Form manchmal auch als Vektorzerlegung bezeichnet im Systemort(also im System der Einheitsvektoren). Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, einen Vektor zu schreiben, die folgende Option ist üblich:

Oder mit Gleichheitszeichen:

Die Basisvektoren selbst werden wie folgt geschrieben: und

Das heißt, die Koordinaten des Vektors sind in Klammern angegeben. BEIM praktische Aufgaben Alle drei Optionen werden verwendet.

Ich zweifelte, ob ich sprechen sollte, aber ich werde trotzdem sagen: Vektorkoordinaten können nicht neu angeordnet werden. Streng an erster Stelle notieren Sie die Koordinate, die dem Einheitsvektor entspricht, strikt an zweiter Stelle notieren Sie die Koordinate, die dem Einheitsvektor entspricht. In der Tat, und sind zwei verschiedene Vektoren.

Wir haben die Koordinaten im Flugzeug herausgefunden. Betrachten Sie nun Vektoren im dreidimensionalen Raum, hier ist alles fast gleich! Es wird nur eine weitere Koordinate hinzugefügt. Es ist schwierig, dreidimensionale Zeichnungen auszuführen, daher beschränke ich mich auf einen Vektor, den ich der Einfachheit halber vom Ursprung verschiebe:

Irgendein 3D-Raumvektor der einzige Weg Erweitern Sie auf orthonormaler Basis:
, wo sind die Koordinaten des Vektors (Zahl) in der gegebenen Basis.

Beispiel aus dem Bild: . Mal sehen, wie die Vektoraktionsregeln hier funktionieren. Zuerst einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren: (roter Pfeil), (grüner Pfeil) und (magentafarbener Pfeil). Zweitens ist hier ein Beispiel für das Hinzufügen mehrerer, in diesem Fall drei, Vektoren: . Der Summenvektor beginnt bei Startpunkt Abfahrt (der Anfang des Vektors ) und stößt am Endpunkt der Ankunft (das Ende des Vektors ).

Alle Vektoren des dreidimensionalen Raums sind natürlich auch frei, versuchen Sie, den Vektor mental von jedem anderen Punkt zu verschieben, und Sie werden verstehen, dass seine Erweiterung "bei ihm bleibt".

Ähnlich wie bei der Flugzeughülle zusätzlich zum Schreiben Versionen mit Klammern sind weit verbreitet: entweder .

Wenn ein (oder zwei) Koordinatenvektoren in der Erweiterung fehlen, werden stattdessen Nullen gesetzt. Beispiele:
Vektor (sorgfältig ) - aufschreiben ;
Vektor (sorgfältig ) - aufschreiben ;
Vektor (sorgfältig ) - aufschreiben .

Basisvektoren werden wie folgt geschrieben:

Hier sind vielleicht alle das Minimum Theoretisches Wissen notwendig, um Probleme der analytischen Geometrie zu lösen. Vielleicht gibt es zu viele Begriffe und Definitionen, daher empfehle ich Dummies, sie erneut zu lesen und zu verstehen diese Information noch einmal. Und es wird für jeden Leser nützlich sein, sich von Zeit zu Zeit darauf zu beziehen Grundstunde zum besseren Verständnis des Stoffes. Kollinearität, Orthogonalität, Orthonormalbasis, Vektorzerlegung – diese und andere Begriffe werden im Folgenden häufig verwendet. Ich stelle fest, dass die Materialien der Website nicht ausreichen, um einen theoretischen Test, ein Kolloquium in Geometrie, zu bestehen, da ich alle Theoreme (und ohne Beweise) sorgfältig verschlüssele - zum Nachteil von wissenschaftlicher Stil Präsentation, sondern ein Plus für Ihr Verständnis des Themas. Für detaillierte theoretische Informationen bitte ich Sie, sich vor Professor Atanasyan zu verneigen.

Kommen wir nun zum praktischen Teil:

Die einfachsten Probleme der analytischen Geometrie.
Aktionen mit Vektoren in Koordinaten

Die Aufgaben, die betrachtet werden, sind sehr wünschenswert, um zu lernen, wie man sie vollautomatisch löst, und die Formeln sich einprägen, nicht einmal absichtlich daran erinnern, sie werden sich selbst daran erinnern =) Das ist sehr wichtig, da andere Probleme der analytischen Geometrie auf den einfachsten elementaren Beispielen basieren und es lästig sein wird, sie auszugeben zusätzliche Zeit Bauern zu essen. Die obersten Knöpfe am Hemd brauchen Sie nicht zuzumachen, vieles ist Ihnen aus der Schule vertraut.

Die Präsentation des Materials wird parallel verlaufen – sowohl für die Ebene als auch für den Weltraum. Aus dem Grund, dass alle Formeln ... Sie werden es selbst sehen.

Wie findet man einen Vektor mit zwei Punkten?

Sind zwei Punkte der Ebene und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:

Sind zwei Raumpunkte und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:

Also, von den Koordinaten des Endes des Vektors Sie müssen die entsprechenden Koordinaten subtrahieren Vektorstart.

Die Übung: Schreiben Sie für dieselben Punkte die Formeln zum Ermitteln der Koordinaten des Vektors auf. Formeln am Ende der Lektion.

Beispiel 1

Gegeben zwei Punkte in der Ebene und . Finden Sie Vektorkoordinaten

Entscheidung: nach der entsprechenden Formel:

Alternativ könnte folgende Notation verwendet werden:

Ästheten entscheiden so:

Ich persönlich bin an die erste Version der Platte gewöhnt.

Antworten:

Gemäß der Bedingung war es nicht erforderlich, eine Zeichnung zu erstellen (was typisch für Probleme der analytischen Geometrie ist), aber um Dummies einige Punkte zu erklären, werde ich nicht zu faul sein:

Muss verstanden werden Unterschied zwischen Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten:

Punktkoordinaten sind die üblichen Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Punkte reservieren für Koordinatenebene Ich denke, jeder kann es von der 5. bis zur 6. Klasse. Jeder Punkt hat strenger Ort im Flugzeug, und Sie können sie nirgendwohin bewegen.

Die Koordinaten desselben Vektors ist in diesem Fall seine Erweiterung in Bezug auf die Basis . Jeder Vektor ist frei, daher können wir ihn bei Bedarf leicht von einem anderen Punkt in der Ebene verschieben. Interessanterweise können Sie für Vektoren überhaupt keine Achsen bauen, ein rechtwinkliges Koordinatensystem, Sie brauchen nur eine Basis, in diesem Fall eine orthonormale Basis der Ebene.

Die Aufzeichnungen von Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten scheinen ähnlich zu sein: , und Sinn für Koordinaten absolut anders, und Sie sollten sich dieses Unterschieds bewusst sein. Dieser Unterschied gilt natürlich auch für den Raum.

Meine Damen und Herren, wir füllen unsere Hände:

Beispiel 2

a) Gegebene Punkte und . Finden Sie Vektoren und .
b) Punkte werden vergeben und . Finden Sie Vektoren und .
c) Gegebene Punkte und . Finden Sie Vektoren und .
d) Punkte werden vergeben. Vektoren finden .

Vielleicht genug. Dies sind Beispiele für unabhängige Entscheidung, vernachlässige sie nicht, es wird sich auszahlen ;-). Zeichnungen sind nicht erforderlich. Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Was ist wichtig bei der Lösung von Problemen der analytischen Geometrie? Es ist wichtig, EXTREM VORSICHTIG zu sein, um den meisterhaften Fehler „zwei plus zwei gleich null“ zu vermeiden. Ich entschuldige mich im Voraus, wenn ich einen Fehler gemacht habe =)

Wie findet man die Länge eines Segments?

Die Länge wird, wie bereits erwähnt, durch das Modulzeichen angegeben.

Wenn zwei Punkte der Ebene und gegeben sind, kann die Länge des Segments nach der Formel berechnet werden

Wenn zwei Punkte im Raum und gegeben sind, kann die Länge des Segments durch die Formel berechnet werden

Notiz: Die Formeln bleiben korrekt, wenn die entsprechenden Koordinaten vertauscht werden: und , aber die erste Option ist mehr Standard

Beispiel 3

Entscheidung: nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Zur Verdeutlichung mache ich eine Zeichnung

Liniensegment - es ist kein Vektor, und Sie können es natürlich nirgendwohin verschieben. Zusätzlich, wenn Sie die Zeichnung maßstäblich ausfüllen: 1 Einheit. \u003d 1 cm (zwei Tetradenzellen), dann kann die Antwort mit einem normalen Lineal überprüft werden, indem die Länge des Segments direkt gemessen wird.

Ja, die Lösung ist kurz, aber sie hat noch ein paar mehr wichtige Punkte Ich möchte klarstellen:

Als erstes setzen wir in der Antwort die Dimension: „Einheiten“. Der Zustand sagt nicht WAS es ist, Millimeter, Zentimeter, Meter oder Kilometer. Daher wird die allgemeine Formulierung eine mathematisch kompetente Lösung sein: „Einheiten“ - abgekürzt als „Einheiten“.

Zweitens wiederholen wir Schulmaterial, was nicht nur für das betrachtete Problem nützlich ist:

beachten wichtig Technik – Nehmen Sie den Multiplikator unter der Wurzel heraus. Als Ergebnis der Berechnungen haben wir das Ergebnis erhalten und ein guter mathematischer Stil besteht darin, den Faktor unter der Wurzel herauszuziehen (wenn möglich). Der Ablauf sieht im Detail so aus: . Natürlich ist es kein Fehler, die Antwort im Formular zu belassen - aber es ist definitiv ein Fehler und ein gewichtiges Argument für Spitzfindigkeiten seitens des Lehrers.

Hier sind weitere häufige Fälle:

Oft stellt sich unter der Wurzel heraus, dass es genug ist große Nummer, Zum Beispiel . Wie in solchen Fällen sein? Auf dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl durch 4: teilbar ist. Ja, komplett aufgeteilt, also: . Oder kann die Zahl vielleicht wieder durch 4 geteilt werden? . Auf diese Weise: . Die letzte Ziffer der Zahl ist ungerade, also ist eine dritte Division durch 4 eindeutig nicht möglich. Versuchen, durch neun zu teilen: . Ergebend:
Bereit.

Fazit: Wenn wir unter der Wurzel eine ganze Zahl erhalten, die nicht extrahiert werden kann, versuchen wir, den Faktor unter der Wurzel herauszuziehen - auf dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl teilbar ist durch: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc.

Während der Entscheidung mehrere Aufgaben Wurzeln sind üblich, versuchen Sie immer, Faktoren unter der Wurzel zu extrahieren, um eine niedrigere Punktzahl und unnötige Probleme beim Fertigstellen Ihrer Lösungen gemäß der Anmerkung des Lehrers zu vermeiden.

Wiederholen wir die Quadratur der Wurzeln und anderer Potenzen gleichzeitig:

Regeln für Aktionen mit Abschlüssen in Gesamtansicht kann gefunden werden in Schulbuch in Algebra, aber ich denke, aus den gegebenen Beispielen ist bereits alles oder fast alles klar.

Aufgabe für eine unabhängige Lösung mit einem Segment im Raum:

Beispiel 4

Gegebene Punkte und . Finden Sie die Länge des Segments.

Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wie findet man die Länge eines Vektors?

Wenn ein Ebenenvektor angegeben ist, wird seine Länge nach der Formel berechnet.

Wenn ein Raumvektor angegeben ist, wird seine Länge durch die Formel berechnet .

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren und Mischprodukt von Vektoren (direkter Link für diejenigen, die es brauchen). Es ist okay, manchmal passiert es das für vollkommenes Glück, Außerdem Skalarprodukt von Vektoren, es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Man könnte den Eindruck gewinnen, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Es ist nicht so. In diesem Bereich der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr verbreitet und einfach – kaum schwieriger als das Gleiche Skalarprodukt, sogar typische Aufgaben wird weniger sein. Die Hauptsache in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU FEHLEN. Wiederholen Sie wie ein Zauber, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, spielt es keine Rolle, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies zu restaurieren oder neu zu kaufen Grundwissenüber Vektoren. Bereitere Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen, ich habe versucht, die vollständigste Sammlung von Beispielen zu sammeln, die häufig in gefunden werden praktische Arbeit

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt brauchen wir überhaupt nicht mehr zu jonglieren, da wir überlegen werden nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Wieso den? So wurden diese Aktionen geboren - Vektor und Mischprodukt Vektoren sind definiert und arbeiten darin dreidimensionaler Raum. Schon einfacher!

Bei dieser Operation gilt wie beim Skalarprodukt zwei Vektoren. Lass es unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet auf die folgende Weise: . Es gibt andere Möglichkeiten, aber ich habe das Kreuzprodukt von Vektoren auf diese Weise bezeichnet, in eckige Klammern mit einem Kreuz.

Und sofort Frage: wenn drin Skalarprodukt von Vektoren es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Ein deutlicher Unterschied zunächst im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist eine ZAHL:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist ein VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Verein. Eigentlich daher der Name der Operation. In verschiedener pädagogischer Literatur können die Bezeichnungen auch variieren, ich verwende den Buchstaben .

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst wird es eine Definition mit einem Bild geben, dann Kommentare.

Definition: Kreuzprodukt nicht kollinear Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, heißt VEKTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, aufgebaut auf diesen Vektoren; Vektor orthogonal zu Vektoren, und ist so ausgerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Wir analysieren die Definition nach Knochen, es gibt viele interessante Dinge!

Daher können wir die folgenden wichtigen Punkte hervorheben:

1) Quellvektoren, gekennzeichnet durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Ereignis Kollineare Vektoren Es wird angebracht sein, etwas später darüber nachzudenken.

2) Vektoren genommen in strenger Reihenfolge: – "a" wird mit "be" multipliziert, nicht "sein" zu "ein". Das Ergebnis der Vektormultiplikation VECTOR ist, was blau dargestellt ist. Wenn die Vektoren multipliziert werden mit umgekehrte Reihenfolge, dann erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (rote Farbe). Das heißt, die Gleichberechtigung .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und daher des purpurroten Vektors ) ist numerisch gleich der FLÄCHE des Parallelogramms, das auf den Vektoren aufgebaut ist. In der Figur ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Kreuzprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Wir erinnern uns an einen geometrische Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarte Parteien durch den Sinus des Winkels zwischen ihnen. Daher gilt auf der Grundlage des Vorstehenden die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass wir in der Formel über die LÄNGE des Vektors sprechen und nicht über den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist so, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms häufig durch das Konzept eines Vektorprodukts gefunden wird:

Lassen Sie uns eine Sekunde bekommen wichtige Formel. Die Diagonale des Parallelogramms (rot gepunktete Linie) teilt es in zwei Teile gleiches Dreieck. Daher kann die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) durch die Formel gefunden werden:

4) Nicht weniger als wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist, das heißt, . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (roter Pfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren .

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In einer Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich darüber gesprochen Ebenenorientierung, und jetzt werden wir herausfinden, wie die Ausrichtung des Raums ist. Ich werde es an deinen Fingern erklären rechte Hand . Kombiniere gedanklich Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger in deine Handfläche drücken. Ergebend Daumen - Das Vektorprodukt wird nach oben schauen. Dies ist die rechtsorientierte Basis (sie ist in der Abbildung). Vertausche nun die Vektoren ( Index und Mittelfinger ) an einigen Stellen dreht sich der Daumen daher um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Vielleicht haben Sie eine Frage: Welche Basis hat eine linke Orientierung? „Ordnen“ Sie dieselben Finger zu linke Hand vectors und erhalten die linke Basis und die linke Raumorientierung (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Bildlich gesprochen „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt angesehen werden - zum Beispiel ändert der gewöhnlichste Spiegel die Ausrichtung des Raums, und wenn Sie „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel ziehen“, ist dies im Allgemeinen nicht möglich Kombiniere es mit dem „Original“. Übrigens, drei Finger zum Spiegel bringen und die Spiegelung analysieren ;-)

... wie gut es ist, dass Sie jetzt Bescheid wissen rechts und links orientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zum Orientierungswechsel sind furchtbar =)

Vektorprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde im Detail ausgearbeitet, es bleibt herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, dann können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich solcher, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist Null. Dasselbe folgt aus der Formel - dem Sinus von null oder 180 Grad Null, und somit ist die Fläche Null

Also, wenn, dann . Genau genommen ist es das Vektorprodukt selbst Nullvektor, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und geschrieben, dass es einfach gleich Null ist.

besonderer Fall ist das Kreuzprodukt eines Vektors und sich selbst:

Mit dem Kreuzprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen und diese Aufgabe unter anderem werden wir auch analysieren.

Für Lösungen praktische Beispiele wird vielleicht benötigt trigonometrische Tabelle daraus die Werte der Sinus zu finden.

Nun, lass uns ein Feuer machen:

Beispiel 1

a) Finden Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Entscheidung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Anfangsdaten in den Konditionspositionen absichtlich gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Länge Vektor (Vektorprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Da nach der Länge gefragt wurde, geben wir in der Antwort die Dimension - Einheiten an.

b) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Quadrat Parallelogramm, das auf Vektoren aufgebaut ist. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Kreuzprodukts:

Antworten:

Bitte beachten Sie, dass in der Antwort über das Vektorprodukt überhaupt nicht die Rede ist, nach der wir gefragt wurden Figurenbereich, die Dimension ist jeweils Quadrateinheiten.

Wir schauen immer, WAS von der Bedingung gefunden werden soll und formulieren darauf aufbauend klar Antworten. Es mag wie Wörtlichkeit erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es genügend Literalisten, und die Aufgabe mit guten Chancen wird zur Überarbeitung zurückgegeben. Das ist zwar kein besonders angestrengter Spitzbub – ist die Antwort falsch, dann hat man den Eindruck, dass die Person nicht versteht einfache Dinge und / oder das Wesentliche der Aufgabe nicht verstanden haben. Dieser Moment muss immer unter Kontrolle gehalten werden, um jedes Problem zu lösen höhere Mathematik und auch in anderen Fächern.

Wo ist der große Buchstabe "en" geblieben? Im Prinzip könnte man die Lösung zusätzlich ankleben, aber um die Aufzeichnung zu verkürzen, habe ich das nicht gemacht. Ich hoffe jeder versteht das und ist die Bezeichnung gleich.

Beliebtes Beispiel für unabhängige Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt ist in den Kommentaren zur Definition angegeben. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr verbreitet, Dreiecke können generell gequält werden.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Wir haben bereits einige Eigenschaften des Vektorprodukts betrachtet, aber ich werde sie in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht ausgezeichnet, ist aber praktisch sehr wichtig. So lass es sein.

2) - Die Eigenschaft wird auch oben besprochen, manchmal wird sie genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) - Kombination oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Die Konstanten lassen sich leicht aus den Grenzen des Vektorprodukts herausnehmen. Wirklich, was machen die da?

4) - Verteilung oder Verteilung Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen von Klammern gibt es keine Probleme.

Betrachten Sie zur Demonstration ein kurzes Beispiel:

Beispiel 3

Finde wenn

Entscheidung: Als Bedingung ist es wieder erforderlich, die Länge des Vektorprodukts zu finden. Malen wir unsere Miniatur:

(1) Gemäß den Assoziativgesetzen entfernen wir die Konstanten jenseits der Grenzen des Vektorprodukts.

(2) Wir nehmen die Konstante aus dem Modul heraus, während das Modul das Minuszeichen „frisst“. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Das Folgende ist klar.

Antworten:

Es ist Zeit, Holz ins Feuer zu werfen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Entscheidung: Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit der Formel . Der Haken ist, dass die Vektoren "ce" und "te" selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert etwas an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion. Skalarprodukt von Vektoren. Lassen Sie es uns zur Verdeutlichung in drei Schritte unterteilen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt durch das Vektorprodukt aus, tatsächlich Drücken Sie den Vektor durch den Vektor aus. Noch kein Wort zur Länge!

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren .

(2) Unter Verwendung der Verteilungsgesetze öffnen Sie die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Unter Verwendung der Assoziativgesetze entfernen wir alle Konstanten jenseits der Vektorprodukte. Mit wenig Erfahrung können die Aktionen 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der angenehmen Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Bedingungen.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt finden wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion erinnert an Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Schritte 2-3 der Lösung könnten in einer Zeile angeordnet werden.

Antworten:

Das betrachtete Problem ist ziemlich häufig in Kontrollarbeit, hier ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 5

Finde wenn

Schnelle Lösung und die Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, gegeben in der orthonormalen Basis , wird durch die Formel ausgedrückt:

Die Formel ist ganz einfach: Wir schreiben die Koordinatenvektoren in die oberste Zeile der Determinante, wir „packen“ die Koordinaten der Vektoren in die zweite und dritte Zeile und wir setzen in strenger Reihenfolge- zuerst die Koordinaten des Vektors "ve", dann die Koordinaten des Vektors "double-ve". Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten auch die Linien vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
a)
b)

Entscheidung: Validierung basierend auf einer der Behauptungen diese Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Vektorprodukt Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Die Vektoren sind also nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antworten: a) nicht kollinear, b)

Hier sind vielleicht alle grundlegenden Informationen über das Vektorprodukt von Vektoren.

Diese Abteilung wird nicht sehr groß sein, da es wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles auf der Definition beruhen, geometrischen Sinn und ein paar Arbeitsformeln.

Das Mischprodukt von Vektoren ist Produkt von drei Vektoren:

So stellen sie sich wie ein Zug an und warten, sie können es kaum erwarten, bis sie berechnet werden.

Erstmal nochmal Definition und Bild:

Definition: Mischprodukt nicht koplanar Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, wird genannt Volumen des Parallelepipeds, die auf diesen Vektoren aufgebaut sind, versehen mit einem "+"-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem "-"-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind durch eine gepunktete Linie gezeichnet:

Tauchen wir ein in die Definition:

2) Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Permutation von Vektoren im Produkt bleibt, wie Sie sich vielleicht denken können, nicht ohne Folgen.

3) Bevor ich die geometrische Bedeutung kommentiere, stelle ich fest offensichtliche Tatsache: das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der pädagogischen Literatur mag das Design etwas anders sein, ich habe früher ein Mischprodukt durch und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben "pe" bezeichnet.

A-Priorat das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Figur ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl ist gleich dem Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Lassen Sie uns nicht noch einmal mit dem Konzept der Ausrichtung der Basis und des Raums weitermachen. Der letzte Teil hat die Bedeutung, dass der Lautstärke ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann das Mischprodukt negativ sein: .

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds folgt direkt aus der Definition.

7.1. Definition von Kreuzprodukt

Drei nicht koplanare Vektoren a , b und c , in der angegebenen Reihenfolge genommen, bilden ein rechtes Tripel, wenn vom Ende des dritten Vektors c aus gesehen wird, dass die kürzeste Drehung vom ersten Vektor a zum zweiten Vektor b gegen den Uhrzeigersinn verläuft, und eine linke im Uhrzeigersinn (siehe Abb. 16).

Das Vektorprodukt eines Vektors a und eines Vektors b heißt Vektor c, der:

1. Senkrecht zu den Vektoren a und b, also c ^ a und c ^ b;

2. Es hat eine Länge, die numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das auf den Vektoren a und aufgebaut istb wie an den Seiten (siehe Abb. 17), d.h.

3. Die Vektoren a , b und c bilden ein rechtes Tripel.

Vektorprodukt mit a x b oder [a,b] bezeichnet. Aus der Definition eines Vektorprodukts folgen die folgenden Beziehungen zwischen den Orten i direkt, j und k(siehe Abb. 18):

ich x j \u003d k, j x k \u003d ich, k x ich \u003d j.
Lassen Sie uns zum Beispiel das beweisen ich xj \u003d k.

1) k ^ ich , k ^ j;

2) |k |=1, aber | ich x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) Vektoren i , j und k ein rechtes Tripel bilden (siehe Abb. 16).

7.2. Produktübergreifende Eigenschaften

1. Wenn die Faktoren umgestellt werden, ändert das Vektorprodukt das Vorzeichen, d. h. und xb \u003d (b xa) (siehe Abb. 19).

Die Vektoren a xb und b xa sind kollinear, haben die gleichen Module (die Fläche des Parallelogramms bleibt unverändert), sind aber entgegengesetzt gerichtet (Tripel a, b und xb und a, b, b x a mit entgegengesetzter Orientierung). Das ist axb = -(bxa).

2. Das Vektorprodukt hat assoziative Eigenschaft in Bezug auf einen Skalarfaktor, d.h. l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Sei l > 0. Der Vektor l (a xb) steht senkrecht auf den Vektoren a und b. Vektor ( l Axt b steht auch senkrecht auf den Vektoren a und b(Vektoren a, l aber in der gleichen Ebene liegen). Also die Vektoren l(a xb) und ( l Axt b kollinear. Es ist offensichtlich, dass ihre Richtungen übereinstimmen. Sie haben die gleiche Länge:

So l(ein xb)= l ein xb. Es wird ähnlich bewiesen für l<0.

3. Zwei Nicht-Null-Vektoren a und b sind genau dann kollinear, wenn ihr Vektorprodukt gleich dem Nullvektor ist, d.h. und ||b<=>und xb \u003d 0.

Insbesondere gilt i *i =j *j =k *k =0 .

4. Das Vektorprodukt hat eine Verteilungseigenschaft:

(a+b) xs = ein xs + b xs .

Akzeptiere ohne Beweis.

7.3. Kreuzproduktausdruck in Bezug auf Koordinaten

Wir verwenden die Vektorkreuzprodukttabelle i , j und k:

Wenn die Richtung des kürzesten Weges vom ersten zum zweiten Vektor mit der Pfeilrichtung übereinstimmt, ist das Produkt gleich dem dritten Vektor, wenn es nicht übereinstimmt, wird der dritte Vektor mit einem Minuszeichen genommen.

Seien zwei Vektoren a = a x i + a y j+z k und b=bx ich+durch j+bz k. Lassen Sie uns das Vektorprodukt dieser Vektoren finden, indem wir sie als Polynome multiplizieren (gemäß den Eigenschaften des Vektorprodukts):

Die resultierende Formel kann noch kürzer geschrieben werden:

da die rechte Seite von Gleichheit (7.1) der Erweiterung der Determinante dritter Ordnung in Bezug auf die Elemente der ersten Reihe entspricht, ist Gleichheit (7.2) leicht zu merken.

7.4. Einige Anwendungen des Kreuzprodukts

Kollinearität von Vektoren feststellen

Finden der Fläche eines Parallelogramms und eines Dreiecks

Gemäß der Definition des Kreuzprodukts von Vektoren a und B |a xb | =| ein | * |b |sing , d. h. Spar = |a x b |. Und daher D S \u003d 1/2 | a x b |.

Bestimmung des Kraftmoments um einen Punkt

An Punkt A soll eine Kraft aufgebracht werden F = AB Loslassen Ö- Irgendein Punkt im Raum (siehe Abb. 20).

Das ist aus der Physik bekannt Drehmoment F relativ zum Punkt Ö Vektor genannt M , die durch den Punkt geht Ö und:

1) senkrecht zur Ebene, die durch die Punkte geht O, A, B;

2) numerisch gleich dem Produkt aus Kraft und Arm

3) bildet mit den Vektoren OA und A B ein rechtes Tripel.

Daher M \u003d OA x F.

Bestimmung der linearen Rotationsgeschwindigkeit

Geschwindigkeit v Punkt M eines mit Winkelgeschwindigkeit rotierenden starren Körpers w um eine feste Achse wird durch die Euler-Formel v \u003d w x r bestimmt, wobei r \u003d OM, wobei O ein fester Punkt der Achse ist (siehe Abb. 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bevor wir uns dem Konzept eines Vektorprodukts zuwenden, wenden wir uns der Frage nach der Orientierung des geordneten Vektortripels a → , b → , c → im dreidimensionalen Raum zu.

Lassen Sie uns zunächst die Vektoren a → , b → , c → von einem Punkt beiseite legen. Die Orientierung des Tripels a → , b → , c → ist rechts oder links, je nach Richtung des Vektors c → . Aus der Richtung, in der die kürzeste Abbiegung vom Vektor a → nach b → vom Ende des Vektors c → erfolgt, wird die Form des Tripels a → , b → , c → bestimmt.

Wenn die kürzeste Drehung gegen den Uhrzeigersinn ist, wird das Tripel der Vektoren a → , b → , c → aufgerufen Rechts wenn im Uhrzeigersinn - links.

Als nächstes nehmen Sie zwei nicht kollineare Vektoren a → und b → . Verschieben wir dann die Vektoren A B → = a → und A C → = b → vom Punkt A. Konstruieren wir einen Vektor A D → = c → , der gleichzeitig senkrecht auf A B → und A C → steht. Wenn wir also den Vektor A D → = c → konstruieren, können wir zwei Dinge tun, indem wir ihm entweder eine Richtung oder die entgegengesetzte geben (siehe Abbildung).

Das geordnete Trio der Vektoren a → , b → , c → kann, wie wir herausgefunden haben, je nach Richtung des Vektors rechts oder links sein.

Aus dem Obigen können wir die Definition eines Vektorprodukts einführen. Diese Definition wird für zwei Vektoren gegeben, die in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums definiert sind.

Bestimmung 1

Das Vektorprodukt zweier Vektoren a → und b → Wir nennen einen solchen Vektor, der in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums gegeben ist, so dass:

• wenn die Vektoren a → und b → kollinear sind, ist es Null;
• es wird sowohl zum Vektor a →​​ als auch zum Vektor b → senkrecht sein, d.h. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• seine Länge wird durch die Formel bestimmt: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• das Tripel der Vektoren a → , b → , c → hat die gleiche Orientierung wie das gegebene Koordinatensystem.

Das Kreuzprodukt der Vektoren a → und b → hat die folgende Notation: a → × b → .

Produktübergreifende Koordinaten

Da jeder Vektor bestimmte Koordinaten im Koordinatensystem hat, ist es möglich, eine zweite Definition des Kreuzprodukts einzuführen, die es Ihnen ermöglicht, seine Koordinaten aus den gegebenen Koordinaten der Vektoren zu finden.

Bestimmung 2

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums Vektorprodukt zweier Vektoren a → = (a x ; a y ; a z) und b → = (b x ; b y ; b z) nenne den Vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , wobei i → , j → , k → Koordinatenvektoren sind.

Das Vektorprodukt kann als Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung dargestellt werden, wobei die erste Zeile die ora-Vektoren i → , j → , k → enthält, die zweite Zeile die Koordinaten des Vektors a → enthält und die dritte die Koordinaten des Vektors b → in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem sind, sieht diese Determinante der Matrix so aus: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Wenn wir diese Determinante über die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir die Gleichheit: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Produktübergreifende Eigenschaften

Es ist bekannt, dass das Vektorprodukt in Koordinaten als Determinante der Matrix dargestellt wird c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , dann auf der Basis matrixbestimmende Eigenschaften folgende Vektorprodukteigenschaften:

1. Antikommutativität a → × b → = - b → × a → ;
2. Distributivität a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → oder a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. Assoziativität λ a → × b → = λ a → × b → oder a → × (λ b →) = λ a → × b → , wobei λ eine beliebige reelle Zahl ist.

Diese Eigenschaften haben keine komplizierten Beweise.

Beispielsweise können wir die Antikommutativitätseigenschaft eines Vektorprodukts beweisen.

Beweis der Antikommutativität

Per Definition ist a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z und b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Und wenn zwei Zeilen der Matrix vertauscht sind, sollte sich der Wert der Determinante der Matrix ins Gegenteil ändern, also a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , was die Antikommutativität des Vektorprodukts beweist.

Vektorprodukt - Beispiele und Lösungen

In den meisten Fällen gibt es drei Arten von Aufgaben.

Bei Problemen des ersten Typs sind normalerweise die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen angegeben, aber Sie müssen die Länge des Kreuzprodukts finden. Verwenden Sie in diesem Fall die folgende Formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Beispiel 1

Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren a → und b → wenn a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 bekannt ist.

Entscheidung

Mit der Definition der Länge des Vektorprodukts der Vektoren a → und b → lösen wir dieses Problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Antworten: 15 2 2 .

Aufgaben des zweiten Typs haben einen Zusammenhang mit den Koordinaten von Vektoren, sie enthalten ein Vektorprodukt, seine Länge usw. werden durch die bekannten Koordinaten der gegebenen Vektoren gesucht a → = (a x ; a y ; a z) und b → = (b x ; b y ; b z) .

Für diese Art von Aufgabe können Sie viele Optionen für Aufgaben lösen. Beispielsweise nicht die Koordinaten der Vektoren a → und b → , sondern deren Erweiterungen in Koordinatenvektoren der Form b → = b x ich → + b y j → + b z k → und c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , oder die Vektoren a → und b → können durch die Koordinaten ihrer gegeben werden Start- und Endpunkte.

Betrachten Sie die folgenden Beispiele.

Beispiel 2

Zwei Vektoren werden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) gesetzt. Finden Sie ihr Vektorprodukt.

Entscheidung

Gemäß der zweiten Definition finden wir das Kreuzprodukt zweier Vektoren in gegebenen Koordinaten: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Wenn wir das Vektorprodukt als Matrixdeterminante schreiben, lautet die Lösung für dieses Beispiel wie folgt: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ich → - 2 j → - 2 k → .

Antworten: a → × b → = - 2 ich → - 2 j → - 2 k → .

Beispiel 3

Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren i → - j → und i → + j → + k → , wobei i → , j → , k → - Orte eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems.

Entscheidung

Lassen Sie uns zuerst die Koordinaten des gegebenen Vektorprodukts i → - j → × i → + j → + k → im gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem finden.

Es ist bekannt, dass die Vektoren i → – j → und i → + j → + k → die Koordinaten (1 ; – 1 ; 0) bzw. (1 ; 1 ; 1) haben. Finden Sie die Länge des Vektorprodukts mit der Matrixdeterminante, dann haben wir i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

Daher hat das Vektorprodukt i → - j → × i → + j → + k → Koordinaten (- 1 ; - 1 ; 2) im gegebenen Koordinatensystem.

Wir finden die Länge des Vektorprodukts durch die Formel (siehe Abschnitt zum Ermitteln der Länge des Vektors): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Antworten: ich → - j → × ich → + j → + k → = 6 . .

Beispiel 4

Die Koordinaten von drei Punkten A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) werden in einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem angegeben. Finden Sie gleichzeitig einen Vektor, der senkrecht zu A B → und A C → steht.

Entscheidung

Die Vektoren A B → und A C → haben die folgenden Koordinaten (- 1 ; 2 ; 2) bzw. (0 ; 4 ; 1). Nachdem wir das Vektorprodukt der Vektoren A B → und A C → gefunden haben, ist es offensichtlich, dass es per Definition ein senkrechter Vektor sowohl zu A B → als auch zu A C → ist, das heißt, es ist die Lösung unseres Problems. Finde es A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Antworten: - 6 ich → + j → - 4 k → . ist einer der senkrechten Vektoren.

Probleme des dritten Typs konzentrieren sich auf die Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren. Nach deren Anwendung erhalten wir eine Lösung für das gegebene Problem.

Beispiel 5

Die Vektoren a → und b → sind senkrecht und haben die Längen 3 bzw. 4. Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Entscheidung

Durch die Verteilungseigenschaft des Vektorprodukts können wir schreiben 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Durch die Eigenschaft der Assoziativität nehmen wir im letzten Ausdruck die numerischen Koeffizienten jenseits des Vorzeichens von Vektorprodukten heraus: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Die Vektorprodukte a → × a → und b → × b → sind gleich 0, da a → × a → = a → a → sin 0 = 0 und b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , dann 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Aus der Antikommutativität des Vektorprodukts folgt - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts erhalten wir die Gleichheit 3 ​​· a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Bedingt sind die Vektoren a → und b → senkrecht zueinander, das heißt, der Winkel zwischen ihnen ist gleich π 2 . Jetzt müssen nur noch die gefundenen Werte in die entsprechenden Formeln eingesetzt werden: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Antworten: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren ist per Definition a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Da bereits (aus dem Schulkurs) bekannt ist, dass die Fläche eines Dreiecks gleich dem halben Produkt der Längen seiner beiden Seiten multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen diesen Seiten ist. Daher ist die Länge des Vektorprodukts gleich der Fläche eines Parallelogramms - eines doppelten Dreiecks, nämlich des Produkts der Seiten in Form der Vektoren a → und b → , die von einem Punkt durch den Sinus abgesetzt werden des Winkels zwischen ihnen sin ∠ a → , b → .

Dies ist die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.

Die physikalische Bedeutung des Vektorprodukts

In der Mechanik, einem Teilgebiet der Physik, kann man dank des Vektorprodukts das Kraftmoment relativ zu einem Punkt im Raum bestimmen.

Bestimmung 3

Unter dem Moment der Kraft F → , angewendet auf Punkt B, relativ zu Punkt A, verstehen wir das folgende Vektorprodukt A B → × F → .

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Definition Eine geordnete Sammlung (x 1 , x 2 , ... , x n) n reeller Zahlen wird aufgerufen n-dimensionaler Vektor, und die Zahlen x i (i = ) - Komponenten oder Koordinaten,

Beispiel. Wenn beispielsweise ein bestimmtes Automobilwerk pro Schicht 50 Pkw, 100 Lkw, 10 Busse, 50 Pkw-Ersatzteilsätze und 150 Lkw- und Busersatzteile produzieren muss, kann das Produktionsprogramm dieses Werks wie folgt geschrieben werden: Vektor (50, 100 , 10, 50, 150), der fünf Komponenten hat.

Notation. Vektoren werden durch fettgedruckte Kleinbuchstaben oder Buchstaben mit einem Balken oder Pfeil oben gekennzeichnet, z. B. a oder. Die beiden Vektoren werden aufgerufen gleich wenn sie die gleiche Anzahl von Komponenten haben und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.

Vektorkomponenten sind nicht vertauschbar, z.B. (3, 2, 5, 0, 1) und (2, 3, 5, 0, 1) verschiedene Vektoren.
Operationen auf Vektoren. Arbeit x= (x 1 , x 2 , ... , x n) in eine reelle Zahlλ Vektor genanntλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

Summex= (x 1 , x 2 , ... , x n) und j= (y 1 , y 2 , ... ,y n) heißt Vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Der Raum der Vektoren. N -dimensionaler Vektorraum R n ist definiert als die Menge aller n-dimensionalen Vektoren, für die die Operationen Multiplikation mit reellen Zahlen und Addition definiert sind.

Wirtschaftliche Darstellung. Eine ökonomische Darstellung eines n-dimensionalen Vektorraums: Raum der Ware (Waren). Unter Ware Wir werden eine Ware oder Dienstleistung verstehen, die zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort zum Verkauf angeboten wurde. Angenommen, es gibt eine endliche Anzahl von verfügbaren Gütern n; Die vom Verbraucher jeweils gekauften Mengen sind durch eine Reihe von Waren gekennzeichnet

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

wobei x i die vom Verbraucher gekaufte Menge des i-ten Gutes bezeichnet. Wir nehmen an, dass alle Waren die Eigenschaft der beliebigen Teilbarkeit haben, sodass jede nicht negative Menge jeder von ihnen gekauft werden kann. Dann sind alle möglichen Gütermengen Vektoren des Güterraums C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x ich ≥ 0, ich = ).

Lineare Unabhängigkeit. System e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensionale Vektoren genannt linear abhängig wenn es solche Zahlen gibtλ 1 , λ 2 , ... , λ m , von denen mindestens einer nicht Null ist, was die Gleichheit erfülltλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; andernfalls wird dieses System von Vektoren aufgerufen linear unabhängig, das heißt, diese Gleichheit ist nur dann möglich, wenn alle . Die geometrische Bedeutung der linearen Abhängigkeit von Vektoren in R 3 , interpretiert als gerichtete Segmente, erklären die folgenden Theoreme.

Satz 1. Ein aus einem einzigen Vektor bestehendes System ist genau dann linear abhängig, wenn dieser Vektor Null ist.

Satz 2. Damit zwei Vektoren linear abhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass sie kollinear (parallel) sind.

Satz 3 . Damit drei Vektoren linear abhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass sie koplanar sind (in derselben Ebene liegen).

Linkes und rechtes Tripel von Vektoren. Ein Tripel von nicht-koplanaren Vektoren a, b, c namens Rechts, wenn der Beobachter von ihrem gemeinsamen Ursprung die Enden der Vektoren umgeht a, b, c in dieser Reihenfolge scheint im Uhrzeigersinn fortzufahren. Ansonsten a, b, c -links dreifach. Alle rechten (oder linken) Tripel von Vektoren werden aufgerufen gleichermaßen orientiert.

Basis und Koordinaten. Troika e 1, e 2 , e 3 nicht koplanare Vektoren in R 3 angerufen Basis, und die Vektoren selbst e 1, e 2 , e 3 - Basic. Beliebiger Vektor a ist in Bezug auf Basisvektoren eindeutig erweiterbar, d.h. in der Form darstellbar

a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

die Zahlen x 1 , x 2 , x 3 in Erweiterung (1.1) genannt werden Koordinatena in grundlage e 1, e 2 , e 3 und sind bezeichnet a(x1, x2, x3).

Orthonormale Basis. Wenn die Vektoren e 1, e 2 , e 3 paarweise senkrecht stehen und die Länge von jedem von ihnen gleich eins ist, dann wird die Basis genannt orthonormal, und die Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 - rechteckig. Die Basisvektoren einer orthonormalen Basis werden bezeichnet ich, j, k.

Wir werden das im Weltraum annehmen R 3 das rechte System kartesischer rechtwinkliger Koordinaten (0, ich, j, k}.

Vektorprodukt. Vektorgrafiken a pro Vektor b Vektor genannt c, die durch die folgenden drei Bedingungen bestimmt wird:

1. Vektorlänge c numerisch gleich der Fläche des auf den Vektoren aufgebauten Parallelogramms a und b, d.h.
c= |a||b| Sünde( a^b).

2. Vektor c senkrecht zu jedem der Vektoren a und b.

3. Vektoren a, b und c, in dieser Reihenfolge genommen, bilden ein rechtes Tripel.

Für Vektorprodukt c Die Bezeichnung wird eingeführt c=[ab] oder
c = a × b.

Wenn die Vektoren a und b kollinear sind, dann sin( a^b) = 0 und [ ab] = 0, insbesondere [ äh] = 0. Vektorprodukte von Orten: [ ij]=k, [jk] = ich, [Ki]=j.

Wenn die Vektoren a und b in der Grundlage angegeben ich, j, k Koordinaten a(ein 1 , ein 2 , ein 3), b(b 1 , b 2 , b 3), dann

Gemischte Arbeit. Ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b Skalar multipliziert mit dem dritten Vektor c, dann heißt ein solches Produkt aus drei Vektoren Mischprodukt und ist mit dem Symbol gekennzeichnet a v. Chr.

Wenn die Vektoren ein, b und c in grundlage ich, j, k durch ihre Koordinaten festgelegt
a(ein 1 , ein 2 , ein 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), dann

.

Das gemischte Produkt hat eine einfache geometrische Interpretation - es ist ein Skalar, dessen Absolutwert gleich dem Volumen eines Parallelepipeds ist, das auf drei gegebenen Vektoren aufgebaut ist.

Wenn die Vektoren ein rechtes Tripel bilden, dann ist ihr gemischtes Produkt eine positive Zahl gleich dem angegebenen Volumen; wenn die drei a, b, c - dann links a b c<0 и V = - a b c, also V =|a b c|.

Die Koordinaten der in den Aufgaben des ersten Kapitels angetroffenen Vektoren werden als relativ zur rechten Orthonormalbasis angenommen. Einheitsvektor kodirektional zum Vektor a, durch das Symbol gekennzeichnet aÜber. Symbol r=Om bezeichnet durch den Radiusvektor des Punktes M, die Symbole a, AB bzw|a|, | AB |die Module von Vektoren sind bezeichnet a und AB.

Beispiel 1.2. Finde den Winkel zwischen Vektoren a= 2m+4n und b= m-n, wo m und n- Einheitsvektoren und Winkel dazwischen m und n gleich 120 o.

Entscheidung. Wir haben: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2Mn=
= 2 - 4+2cos120 o = -2 + 2(-0,5) = -3; ein = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16Mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, also a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2Mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, also b = . Endlich haben wir: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Beispiel 1.3.Vektoren kennen AB(-3,-2,6) und BC(-2,4,4), berechne die Höhe AD des Dreiecks ABC.

Entscheidung. Wenn wir die Fläche des Dreiecks ABC mit S bezeichnen, erhalten wir:
S = 1/2 v. Chr. n. Chr. Dann AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, also der Vektor AC hat Koordinaten
. .

Beispiel 1.4 . Gegeben zwei Vektoren a(11,10,2) und b(4,0,3). Finde den Einheitsvektor c, orthogonal zu Vektoren a und b und so gerichtet, dass das geordnete Tripel von Vektoren a, b, c hatte Recht.

Entscheidung.Lassen Sie uns die Koordinaten des Vektors bezeichnen c in Bezug auf die gegebene rechte Orthonormalbasis in Bezug auf x, y, z.

Soweit c ⊥ a, c ⊥b, dann ca= 0, kb= 0. Durch die Bedingung des Problems ist es erforderlich, dass c = 1 und a b c >0.

Wir haben ein Gleichungssystem, um x,y,z zu finden: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Aus der ersten und zweiten Gleichung des Systems erhalten wir z = -4/3 x, y = -5/6 x. Setzen wir y und z in die dritte Gleichung ein, erhalten wir: x 2 = 36/125, woher
x=± . Bedingung verwenden a b c > 0 erhalten wir die Ungleichung

Unter Berücksichtigung der Ausdrücke für z und y schreiben wir die resultierende Ungleichung in die Form um: 625/6 x > 0, woraus folgt, dass x > 0. Also x = , y = - , z = - .