विषय:"समाधान के तरीके त्रिकोणमितीय समीकरण».
पाठ मकसद:
शैक्षिक:
त्रिकोणमितीय समीकरणों के प्रकारों में अंतर करने के लिए कौशल तैयार करना;
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों की गहरी समझ;
शैक्षिक:
पालना पोसना संज्ञानात्मक रुचिशैक्षिक प्रक्रिया के लिए;
कार्य का विश्लेषण करने की क्षमता का गठन;
विकसित होना:
इसके बाद के सबसे तर्कसंगत तरीके से स्थिति का विश्लेषण करने के लिए कौशल का निर्माण करना।
उपकरण:मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों, कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन के साथ पोस्टर।
आइए किसी भी समीकरण को हल करने की मूल तकनीक को दोहराकर पाठ शुरू करें: इसे घटाकर मानक प्रपत्र. परिवर्तन के माध्यम से रेखीय समीकरणफॉर्म को कम करें कुल्हाड़ी \u003d में, वर्ग - रूप में कुल्हाड़ी2+बीएक्स +सी = 0।त्रिकोणमितीय समीकरणों के मामले में, उन्हें सरलतम रूप में कम करना आवश्यक है: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है।
सबसे पहले, ज़ाहिर है, इसके लिए बुनियादी का उपयोग करना आवश्यक है त्रिकोणमितीय सूत्रजो पोस्टर पर प्रस्तुत किए गए हैं: जोड़ सूत्र, सूत्र दोहरा कोण, समीकरण की बहुलता को कम करना। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे समीकरणों को कैसे हल किया जाए। आइए उनमें से कुछ को दोहराएं:
साथ ही ऐसे समीकरण होते हैं, जिनके समाधान के लिए कुछ विशेष तकनीकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है।
हमारे पाठ का विषय इन तकनीकों पर विचार और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों का व्यवस्थितकरण है।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके।
1. में कनवर्ट करें द्विघात समीकरणकुछ त्रिकोणमितीय फलन के संबंध में, उसके बाद चर में परिवर्तन होता है।
आइए प्रत्येक पर विचार करें सूचीबद्ध तरीकेउदाहरणों पर, लेकिन हम अंतिम दो पर अधिक विस्तार से ध्यान देंगे, क्योंकि समीकरणों को हल करते समय हम पहले दो का उपयोग कर चुके हैं।
1. किसी भी त्रिकोणमितीय फलन के संबंध में द्विघात समीकरण में परिवर्तन।
2. गुणनखंडन विधि द्वारा समीकरणों का हल।
3. समांगी समीकरणों का हल।
पहली और दूसरी डिग्री के सजातीय समीकरणों को फॉर्म के समीकरण कहा जाता है:
क्रमशः (ए 0, बी ≠ 0, सी ≠ 0)।
सजातीय समीकरणों को हल करते समय, समीकरण के दोनों भागों को समीकरण के (1) के लिए cosx द्वारा और (2) के लिए cos 2 x द्वारा पद से विभाजित किया जाता है। ऐसा विभाजन संभव है, क्योंकि sinx और cosx एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं - वे शून्य में बदल जाते हैं विभिन्न बिंदु. पहली और दूसरी डिग्री के सजातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।
इस समीकरण को याद रखें: अगली विधि पर विचार करते समय - एक सहायक तर्क की शुरूआत, हम इसे एक अलग तरीके से हल करेंगे।
4. एक सहायक तर्क का परिचय।
पिछली विधि द्वारा पहले से हल किए गए समीकरण पर विचार करें:
जैसा कि आप देख सकते हैं, वही परिणाम प्राप्त होता है।
आइए एक और उदाहरण देखें:
माना उदाहरणों में, यह आम तौर पर स्पष्ट था कि सहायक तर्क को पेश करने के लिए मूल समीकरण को किस प्रकार विभाजित करने की आवश्यकता है। लेकिन ऐसा हो सकता है कि यह स्पष्ट न हो कि किस भाजक को चुनना है। इसके लिए एक विशेष तकनीक है, जिस पर अब हम विचार करेंगे सामान्य दृष्टि से. मान लीजिए कि समीकरण दिया गया है:
समीकरण को से विभाजित करें वर्गमूलअभिव्यक्ति (3) से, हम प्राप्त करते हैं:
asinx + bcosx = c ,
तो a 2 + b 2 = 1 और इसलिए a = sinx और b = cosx। अंतर कोसाइन सूत्र का उपयोग करके, हम सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण प्राप्त करते हैं:
जो आसानी से हल हो जाता है।
आइए एक और समीकरण हल करें:
हम समीकरण को एक तर्क में कम करते हैं - 2 x दोहरे कोण सूत्रों का उपयोग करके और डिग्री को कम करते हुए:
पिछले समीकरणों के समान, योग के ज्या सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
जिसे हल करना भी आसान है।
समाधान विधि को पूर्व-परिभाषित करके स्वयं निर्णय लें:
पाठ का परिणाम समाधान की जांच करना और छात्रों का मूल्यांकन करना है।
गृहकार्य: पृष्ठ 11, सार, संख्या 164 (बी, डी), 167 (बी, डी), 169 (ए, बी), 174 (ए, सी)।
प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण उस रूप के समीकरण हैं, जहां त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक है: , ।
प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरणों की अपरिमित रूप से कई जड़ें होती हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण संतुष्ट है निम्नलिखित मान: , आदि। सामान्य सूत्रजिसके द्वारा समीकरण के सभी मूल पाए जाते हैं, जहाँ, है:
यहां यह कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है, उनमें से प्रत्येक समीकरण के एक निश्चित मूल से मेल खाता है; इस सूत्र में (साथ ही अन्य सूत्रों में जिसके द्वारा प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण हल किए जाते हैं) कहा जाता है पैरामीटर. वे आमतौर पर इसे लिखते हैं, जिससे इस बात पर जोर दिया जाता है कि पैरामीटर कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है।
समीकरण के हल, जहां, सूत्र द्वारा पाए जाते हैं
सूत्र को लागू करके समीकरण हल किया जाता है
और समीकरण --- सूत्र के अनुसार
आइए हम विशेष रूप से प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरणों के कुछ विशेष मामलों पर ध्यान दें, जब समाधान सामान्य सूत्रों का उपयोग किए बिना लिखा जा सकता है:
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय महत्वपूर्ण भूमिकात्रिकोणमितीय कार्यों की अवधि निभाता है। इसलिए, हम दो उपयोगी प्रमेय प्रस्तुत करते हैं:
प्रमेय यदि एक --- बुनियादीफ़ंक्शन की अवधि, तो संख्या फ़ंक्शन की मुख्य अवधि है।
कार्यों की अवधि और कहा जाता है कि यदि मौजूद हैं तो अनुरूप हैं पूर्णांकोंऔर क्या।
प्रमेय यदि एक आवधिक कार्यऔर, उसके अनुरूप है और, फिर उनके पास है सामान्य अवधि, जो कार्यों की अवधि है, .
प्रमेय कहता है कि कार्य की अवधि क्या है, और जरूरी नहीं कि मुख्य अवधि। उदाहरण के लिए, कार्यों की मुख्य अवधि और --- है, और उनके उत्पाद की मुख्य अवधि --- है।
एक सहायक तर्क का परिचय
प्रपत्र के भावों को रूपांतरित करने का मानक तरीका निम्नलिखित तरकीब है: let --- कोना, समानता द्वारा दिया गया, . किसी भी और ऐसे कोण के लिए मौजूद है। इस तरह। अगर, या, अन्य मामलों में।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की योजना
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय मुख्य योजना जो हमें निर्देशित करेगी वह इस प्रकार है:
समाधान दिया गया समीकरणएक निर्णय के लिए नीचे आता है प्रारंभिक समीकरण. समाधान उपकरण --- परिवर्तन, गुणनखंड, अज्ञात का परिवर्तन। मार्गदर्शक सिद्धांत जड़ों को खोना नहीं है। इसका मतलब यह है कि अगले समीकरण (समीकरण) पर जाते समय, हम अतिरिक्त (बाहरी) जड़ों की उपस्थिति से डरते नहीं हैं, लेकिन केवल इस बात का ध्यान रखें कि प्रत्येक निम्नलिखित समीकरणहमारी "श्रृंखला" (या शाखाओं के मामले में समीकरणों का सेट) पिछले एक का परिणाम था। में से एक संभावित तरीकेजड़ों का चयन एक जाँच है। हम तुरंत ध्यान दें कि त्रिकोणमितीय समीकरणों के मामले में, जड़ों के चयन से जुड़ी कठिनाइयाँ, सत्यापन के साथ, एक नियम के रूप में, बीजीय समीकरणों की तुलना में तेजी से बढ़ती हैं। आखिरकार, श्रृंखला की जांच करना आवश्यक है एक अनंत संख्यासदस्य।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में अज्ञात के परिवर्तन का विशेष उल्लेख किया जाना चाहिए। ज्यादातर मामलों में, आवश्यक प्रतिस्थापन के बाद, यह पता चला है बीजीय समीकरण. इसके अलावा, यह समीकरणों के लिए असामान्य नहीं है, हालांकि वे त्रिकोणमितीय हैं दिखावट, वास्तव में, वे नहीं हैं, क्योंकि पहले चरण के बाद ही --- प्रतिस्थापनचर --- बीजीय में बदल जाते हैं, और त्रिकोणमिति में वापसी केवल प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के चरण में होती है।
आइए हम आपको एक बार फिर याद दिलाएं: अज्ञात का प्रतिस्थापन जल्द से जल्द किया जाना चाहिए, प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त समीकरण को अंत तक हल किया जाना चाहिए, जिसमें जड़ों के चयन का चरण भी शामिल है, और उसके बाद ही यह मूल पर वापस आ जाएगा। अनजान।
त्रिकोणमितीय समीकरणों की विशेषताओं में से एक यह है कि कई मामलों में उत्तर लिखा जा सकता है विभिन्न तरीके. समीकरण को हल करने के लिए भी उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:
1) दो श्रृंखलाओं के रूप में: , ;
2) मानक रूप में, जो उपरोक्त श्रृंखला का एक संघ है:;;
3) तब से, उत्तर को फॉर्म में लिखा जा सकता है। (आगे, एक पैरामीटर की उपस्थिति, या प्रतिक्रिया रिकॉर्ड में स्वचालित रूप से इसका मतलब है कि यह पैरामीटर सभी संभावित पूर्णांक मान लेता है। अपवाद निर्दिष्ट किए जाएंगे।)
जाहिर है, तीन सूचीबद्ध मामले विचाराधीन समीकरण का उत्तर लिखने की सभी संभावनाओं को समाप्त नहीं करते हैं (उनमें से कई असीम रूप से हैं)।
उदाहरण के लिए, जब समानता सत्य है। इसलिए, पहले दो मामलों में, यदि, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
आमतौर पर, उत्तर पैराग्राफ 2 के आधार पर लिखा जाता है। निम्नलिखित अनुशंसाओं को याद रखना उपयोगी होता है: यदि कार्य समीकरण के समाधान के साथ समाप्त नहीं होता है, तब भी एक अध्ययन, जड़ों का चयन करना आवश्यक है, फिर रिकॉर्डिंग का सबसे सुविधाजनक रूप पैराग्राफ 1 में दर्शाया गया है। (समीकरण के लिए इसी तरह की सिफारिश दी जानी चाहिए।)
आइए एक उदाहरण पर विचार करें जो यह बताता है कि क्या कहा गया है।
उदाहरण प्रश्न हल करें।
समाधान।सबसे स्पष्ट है अगला रास्ता. यह समीकरणदो में विभाजित: मैं। उनमें से प्रत्येक को हल करने और प्राप्त उत्तरों को मिलाकर, हम पाते हैं।
एक और तरीका।तब से, डिग्री कम करने के सूत्रों की जगह और। छोटे परिवर्तनों के बाद, हम कहाँ पहुँचते हैं।
पहली नज़र में, कोई नहीं विशेष लाभदूसरे सूत्र में पहले की तुलना में कोई नहीं है। हालांकि, अगर हम लेते हैं, उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि, यानी। समीकरण का एक हल होता है, जबकि पहला तरीका हमें उत्तर की ओर ले जाता है। "देखना" और समानता साबित करना इतना आसान नहीं है।
बीजगणित की कक्षाओं में, शिक्षक कहते हैं कि त्रिकोणमितीय समीकरणों का एक छोटा (वास्तव में, एक बहुत बड़ा) वर्ग है जिसे हल नहीं किया जा सकता है मानक तरीकों से- न तो गुणनखंड के माध्यम से, न ही चर के परिवर्तन के माध्यम से, न ही सजातीय शब्दों के माध्यम से। इस मामले में, एक मौलिक रूप से भिन्न दृष्टिकोण चलन में आता है - विधि सहायक कोने.
यह तरीका क्या है और इसे कैसे लागू किया जाए? सबसे पहले, आइए योग/अंतर ज्या और योग/अंतर कोसाइन के सूत्रों को याद करें:
\[\begin(align)&\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ अल्फा \ अपराह्न \ बीटा \ दाएं) = \ cos \ अल्फा \ cos \ बीटा \ एमपी \ पाप \ अल्फा \ पाप \ बीटा \\\ अंत (संरेखण) \]
मुझे लगता है कि ये सूत्र आप अच्छी तरह से जानते हैं - सूत्र उनसे प्राप्त होते हैं दोहरा तर्क, जिसके बिना त्रिकोणमिति कहीं नहीं है। लेकिन आइए अब एक साधारण समीकरण पर विचार करें:
दोनों भागों को 5 से विभाजित करें:
ध्यान दें कि $((\बाएं(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, जिसका अर्थ है कि एक कोण $\alpha $ होना निश्चित है जिसके लिए ये संख्याएँ क्रमशः कोसाइन और साइन हैं। इसलिए, हमारे समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:
\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]
और यह पहले से ही आसानी से हल हो गया है, जिसके बाद केवल यह पता लगाना बाकी है कि क्यों कोण के बराबर है$\ अल्फा $। कैसे पता करें, साथ ही समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करने के लिए सही संख्या कैसे चुनें (इसमें .) सरल उदाहरणहमने 5 से विभाजित किया है - इसके बारे में आज के वीडियो ट्यूटोरियल में:
आज हम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे, या यूँ कहें कि एक मात्र ट्रिक, जिसे "सहायक कोण विधि" कहा जाता है। यह खास तरीका क्यों? सिर्फ इसलिए कि पिछले दो या तीन दिनों में, जब मैं छात्रों के साथ काम कर रहा था, जिनसे मैंने त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के बारे में बात की थी, और हमने विश्लेषण किया था, अन्य बातों के अलावा, सहायक कोण विधि, और सभी छात्र एक ही गलती करते हैं। लेकिन यह विधि आम तौर पर सरल है और इसके अलावा, यह त्रिकोणमिति में मुख्य तकनीकों में से एक है। इसलिए, कई त्रिकोणमितीय समस्याएंसहायक कोण विधि के अलावा वे बिल्कुल भी हल नहीं होते हैं।
इसलिए, अब, शुरुआत के लिए, हम कुछ सरल कार्यों पर विचार करेंगे, और फिर हम और अधिक गंभीर कार्यों पर आगे बढ़ेंगे। हालांकि, इन सभी के लिए, एक तरह से या किसी अन्य, हमें सहायक कोण विधि का उपयोग करने की आवश्यकता होगी, जिसका सार मैं पहले निर्माण में बताऊंगा।
सरल त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करना
उदाहरण 1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
आइए अपनी अभिव्यक्ति को थोड़ा बदलें:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \बाएं(-1 \दाएं) \दाएं।\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
हम इसे कैसे हल करने जा रहे हैं? मानक स्वागतडबल कोण सूत्रों का उपयोग करके $\sin 2x$ और $\cos 2x$ का विस्तार करना है, और फिर इकाई को $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x $ के रूप में फिर से लिखना है , प्राप्त सजातीय समीकरण, इसे स्पर्शरेखा पर लाएँ और हल करें। हालाँकि, यह एक लंबा और थकाऊ रास्ता है जिसके लिए बहुत सारी गणनाओं की आवश्यकता होती है।
मेरा सुझाव है कि आप इस पर विचार करें। हमारे पास $\sin$ और $\cos$ हैं। योग और अंतर की कोज्या और ज्या के सूत्र को याद करें:
\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \ left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। आइए सब कुछ अंतर की ज्या को कम करें। लेकिन पहले, समीकरण को थोड़ा बदलने की जरूरत है। आइए गुणांक खोजें:
$\sqrt(l)$ वही कारक है जिसके द्वारा समीकरण के दोनों हिस्सों को विभाजित किया जाना चाहिए ताकि संख्याएं साइन और कोसाइन के सामने दिखाई दें, जो स्वयं साइन और कोसाइन हैं। आइए विभाजित करें:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
आइए देखें कि हमें बाईं ओर क्या मिला: क्या ऐसा $\sin $ और $\cos $ ऐसा है कि $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$, और $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? जाहिर है: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$। इसलिए, हम अपनी अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ टेक्स्ट ( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]
अब हमारे पास अंतर की ज्या का सूत्र है। हम इस तरह लिख सकते हैं:
\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]
हमारे सामने सबसे सरल शास्त्रीय त्रिकोणमितीय निर्माण है। मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं:
हम अपनी विशिष्ट अभिव्यक्ति के लिए यही लिखते हैं:
\[\बाएं[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\ ]
\[\बाएं[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]
\[\बाएं[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
समाधान की बारीकियां
तो, अगर आपको एक समान उदाहरण मिलता है तो आपको क्या करना चाहिए:
- यदि आवश्यक हो तो डिजाइन को संशोधित करें।
- सुधार कारक खोजें, इसका मूल लें और उदाहरण के दोनों भागों को इससे विभाजित करें।
- हम देखते हैं कि साइन और कोसाइन के कौन से मूल्य संख्याओं से प्राप्त होते हैं।
- हम अंतर या योग के ज्या या कोज्या के सूत्रों के अनुसार समीकरण को विघटित करते हैं।
- हम सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करते हैं।
इस संबंध में, चौकस छात्रों के दो प्रश्न होने की संभावना है।
सुधार कारक खोजने के चरण में हमें $\sin $ और $\cos $ लिखने से क्या रोकता है? - हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान से बाधित हैं। तथ्य यह है कि परिणामी $\sin $ और $\cos $, समान तर्क वाले किसी भी अन्य की तरह, वर्ग करते समय बिल्कुल "एक" जोड़ना चाहिए। हल करने की प्रक्रिया में, आपको "X" के सामने "ड्यूस" को न खोने के लिए बहुत सावधान रहने की आवश्यकता है।
सहायक कोण विधि एक ऐसा उपकरण है जो "बदसूरत" समीकरण को पूरी तरह से पर्याप्त और "सुंदर" में कम करने में मदद करता है।
उदाहरण #2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
हम देखते हैं कि हमारे पास $((\sin )^(2))x$ है, तो चलिए कमी गणना का उपयोग करते हैं। हालाँकि, इनका उपयोग करने से पहले, आइए इन्हें बाहर निकाल दें। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि दोहरे कोण की कोज्या कैसे ज्ञात करें:
\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]
यदि हम तीसरे संस्करण में $\cos 2x$ लिखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]
मैं अलग से लिखूंगा:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
$((\cos )^(2))x$ के लिए भी ऐसा ही किया जा सकता है:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
हमें केवल पहली गणना की आवश्यकता है। आइए कार्य पर काम करें:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
अब हम अंतर की कोज्या की गणना का उपयोग करते हैं। लेकिन पहले, आइए सुधार $l$ की गणना करें:
आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखें:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
इस मामले में, हम लिख सकते हैं कि $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, और $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$। आइए फिर से लिखें:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]
आइए "माइनस" को ब्रैकेट में रखें मुश्किल तरीके से. ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित पर ध्यान दें:
\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\]
\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]
हम अपनी अभिव्यक्ति पर लौटते हैं और याद करते हैं कि $\varphi $ की भूमिका में हमारे पास अभिव्यक्ति $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x है $. इसलिए, हम लिखते हैं:
\[-\बाएं(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos एक्स\]
\[\cos \ left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]
इसी तरह की समस्या को हल करने के लिए, आपको निम्नलिखित बातों को याद रखना होगा:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
आइए हमारे उदाहरण पर एक नज़र डालें:
\[\बाएं[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
आइए इनमें से प्रत्येक समीकरण की गणना करें:
और दूसरा:
आइए अंतिम उत्तर लिखें:
\[\बाएं[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]
समाधान की बारीकियां
वास्तव में, इस व्यंजक को कई अलग-अलग तरीकों से हल किया जाता है, लेकिन यह सहायक कोण विधि है जो में है ये मामलाइष्टतम। इसके अलावा, इस डिजाइन के उदाहरण का उपयोग करते हुए, मैं आपका ध्यान कई और दिलचस्प ट्रिक्स और तथ्यों की ओर आकर्षित करना चाहूंगा:
- डिग्री में कमी के सूत्र। इन सूत्रों को याद करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन आपको यह जानने की जरूरत है कि उन्हें कैसे प्राप्त किया जाए, जिसके बारे में मैंने आपको आज बताया।
- $\cos \alpha =\cos \beta $ के रूप के समीकरणों का हल।
- "शून्य" जोड़ना।
लेकिन वह सब नहीं है। अब तक, $\sin$ और $\cos$, जिसे हम एक अतिरिक्त तर्क के रूप में आउटपुट करते हैं, हमने सोचा कि उन्हें सकारात्मक होना चाहिए। इसलिए, अब हम और अधिक जटिल समस्याओं का समाधान करेंगे।
अधिक जटिल समस्याओं का विश्लेषण
उदाहरण 1
\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
आइए पहले शब्द को रूपांतरित करें:
\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\बाएं(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]
और अब हम इसे अपने मूल निर्माण में प्रतिस्थापित करते हैं:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]
आइए हमारे सुधार का परिचय दें:
हम लिखते हैं:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
$\alpha $ जैसे कि $\sin $ या $\cos $ $\frac(3)(5)$ और $\frac(4)(5)$ के बराबर होगा त्रिकोणमितीय तालिकाना। इसलिए, आइए केवल योग की ज्या के व्यंजक को लिखें और कम करें:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\पाप \बाएं(x+\varphi \right)=1\]
यह विशेष मामला, सबसे सरल त्रिकोणमितीय निर्माण:
यह पता लगाना बाकी है कि $\varphi $ किसके बराबर है। यह वह जगह है जहाँ कई छात्र गलत हो जाते हैं। तथ्य यह है कि $\varphi $ पर दो आवश्यकताएं लगाई जाती हैं:
\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]
आइए एक राडार बनाएं और देखें कि ये मान कहां होते हैं:
अपनी अभिव्यक्ति पर लौटते हुए, हम निम्नलिखित लिखते हैं:
लेकिन इस एंट्री में थोड़ा सुधार किया जा सकता है। क्योंकि हम निम्नलिखित जानते हैं:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
तो हमारे मामले में हम इसे इस तरह लिख सकते हैं:
उदाहरण #2
इसे हल करने के तरीकों की और भी गहरी समझ की आवश्यकता होगी मानक कार्यकोई त्रिकोणमिति नहीं। लेकिन इस उदाहरण को हल करने के लिए, हम सहायक कोण विधि का भी उपयोग करते हैं।\[\]
पहली चीज जो आपकी आंख को पकड़ती है, वह यह है कि पहली से अधिक कोई डिग्री नहीं है, और इसलिए डिग्री के विस्तार सूत्रों के अनुसार कुछ भी विघटित नहीं किया जा सकता है। उलटा उपयोग करता है:
मैंने $5$ क्यों फैलाया। यहाँ देखो:
मुख्य के अनुसार इकाई त्रिकोणमितीय पहचानहम $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$ के रूप में लिख सकते हैं:
हमें ऐसा रिकॉर्ड क्या देता है? तथ्य यह है कि पहले ब्रैकेट में एक सटीक वर्ग है। आइए इसे रोल अप करें और प्राप्त करें:
मैं एक नया चर पेश करने का प्रस्ताव करता हूं:
\[\sin x+\cos x=t\]
इस मामले में, हमें अभिव्यक्ति मिलती है:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((टी)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
कुल मिलाकर हमें मिलता है:
\[\बाएं[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]
बेशक, जानकार छात्र अब कहेंगे कि इस तरह के निर्माण को एक सजातीय में घटाकर आसानी से हल किया जाता है। हालांकि, हम सहायक कोण विधि का उपयोग करके प्रत्येक समीकरण को हल करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम पहले सुधार $l$ की गणना करते हैं:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
सब कुछ $\sqrt(2)$ से विभाजित करें:
\[\बाएं[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]
आइए सब कुछ घटाकर $\cos$ करें:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]
\[\बाएं[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ दाएँ)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]
आइए इनमें से प्रत्येक अभिव्यक्ति पर एक नज़र डालें।
पहले समीकरण की कोई जड़ नहीं है, और हर में तर्कहीनता हमें इस तथ्य को साबित करने में मदद करेगी। निम्नलिखित पर ध्यान दें:
\[\वर्ग(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]
संक्षेप में, हमने स्पष्ट रूप से साबित कर दिया है कि यह आवश्यक है कि $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ हो संख्या के बराबर है, जो "एक" से बड़ा है और इसलिए, इस निर्माण की कोई जड़ नहीं है।
आइए दूसरे से निपटें:
आइए इस डिज़ाइन को हल करें:
सिद्धांत रूप में, आप इस तरह उत्तर छोड़ सकते हैं, या आप इसे पेंट कर सकते हैं:
महत्वपूर्ण बिंदु
अंत में, मैं एक बार फिर आपका ध्यान "बदसूरत" तर्कों के साथ काम करने की ओर आकर्षित करना चाहूंगा, अर्थात। जब $\sin$ और $\cos$ तालिका मान नहीं हैं। समस्या यह है कि अगर हम कहते हैं कि हमारे समीकरण में $\frac(3)(5)$ $\cos $ है और $\frac(4)(5)$ $\sin $ है, तो अंत में, हम डिजाइन तय करने के लिए, हमें इन दोनों आवश्यकताओं को ध्यान में रखना होगा। हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है। यदि हम इसे ध्यान में नहीं रखते हैं, तो हमें निम्नलिखित स्थिति मिलती है। इस मामले में, हमें दो अंक मिलेंगे और $\varphi $ के स्थान पर हमारे पास दो नंबर होंगे: $\arcsin \frac(4)(5)$ और $-\arcsin \frac(4)(5)$, हालाँकि, अंतिम हम किसी भी तरह से संतुष्ट नहीं हैं। बिंदु $\frac(3)(5)$ के साथ भी ऐसा ही होगा।
यह समस्या तभी होती है जब हम बात कर रहे हे"बदसूरत" तर्कों के बारे में। जब हम रखते है तालिका मान, तो कुछ भी नहीं है।
मुझे उम्मीद है कि आज के पाठ ने आपको यह समझने में मदद की है कि सहायक कोण विधि क्या है और इसे उदाहरणों के साथ कैसे लागू किया जाए। अलग - अलग स्तरकठिनाइयाँ। लेकिन सहायक कोण विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए समर्पित यह एकमात्र पाठ नहीं है। तो हमारे साथ रहो!
कक्षा 10-11 के लिए पाठ सारांश
विषय 1 : सहायक तर्क इनपुट विधि। सूत्रों की व्युत्पत्ति।
लक्ष्य:
त्रिकोणमिति में कार्यों को हल करने के लिए एक नई विधि के ज्ञान का गठन जिसमें इसका आवेदन संभव या आवश्यक है;
समस्या की स्थिति का विश्लेषण करने, तुलना करने और अंतर खोजने के लिए कौशल का निर्माण;
सोच का विकास, तर्क और बयानों की वैधता, निष्कर्ष निकालने और सामान्यीकरण करने की क्षमता;
भाषण, संवर्धन और जटिलता का विकास शब्दावली, छात्रों द्वारा भाषा के अभिव्यंजक गुणों में महारत हासिल करना;
विषय के प्रति दृष्टिकोण का गठन, ज्ञान के लिए उत्साह, ज्ञान में महारत हासिल करने के लिए एक रचनात्मक गैर-मानक दृष्टिकोण के लिए परिस्थितियों का निर्माण।
आवश्यक ज्ञान, कौशल और क्षमताएं:
त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्राप्त करने और उनका उपयोग करने में सक्षम हो आगे का कार्य;
हल करने में सक्षम हो या हल करने का विचार हो त्रिकोणमितीय कार्य;
बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानें।
जागरूक धारणा के लिए छात्रों की तैयारी का स्तर:
उपकरण: AWP, कार्य स्थितियों, समाधानों के साथ प्रस्तुतिकरण और आवश्यक सूत्र, कार्यों और उत्तरों के साथ कार्ड।
पाठ संरचना:
1. पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना (2 .)
नई सामग्री के अध्ययन की तैयारी (12 मिनट)।
नई सामग्री से परिचित (15 मिनट)।
जो सीखा गया है उसकी प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग (10 मिनट)।
होमवर्क सेट करना (3 मिनट)।
पाठ का सारांश (3 मिनट)।
कक्षाओं के दौरान।
1. पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना।
पाठ के लिए छात्रों और उपकरणों की तैयारी की जाँच करें। पहले से तैयारी करना उचित है गृहकार्यसमाधान पर चर्चा करने के लिए बोर्ड पर ध्यान दें कि पाठ का उद्देश्य त्रिकोणमिति में कुछ कार्यों को हल करने के तरीकों के बारे में ज्ञान का विस्तार करना और उन्हें महारत हासिल करने का प्रयास करना है।
2. नई सामग्री के अध्ययन की तैयारी।
गृहकार्य पर चर्चा करें: मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखें, सरलतम तर्कों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मान। होमवर्क असाइनमेंट की समीक्षा करें।
सूत्र:
; 
;
; 
;
एक कार्य:एक उत्पाद के रूप में अभिव्यक्ति व्यक्त करें।
छात्रों की पेशकश की संभावना है अगला समाधान:
इसलिये वे त्रिकोणमितीय फलनों के योग को उत्पाद में बदलने के सूत्र जानते हैं।
हम समस्या का एक और समाधान प्रस्तावित करते हैं: . यहां, हल करते समय, दो तर्कों के अंतर के कोसाइन के सूत्र का उपयोग किया गया था, जहां सहायक है। ध्यान दें कि इनमें से प्रत्येक विधि में, अन्य समान सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है।
3. नई सामग्री से परिचित होना।
प्रश्न उठता है कि सहायक तर्क कहाँ से आया?
उत्तर पाने के लिए, विचार करें सामान्य निर्णयसमस्या, हम व्यंजक को एक उत्पाद में बदल देते हैं, जहां और मनमानी गैर-शून्य संख्याएं हैं।
हम एक अतिरिक्त कोण (सहायक तर्क) का परिचय देते हैं, जहां , , तो हमारी अभिव्यक्ति रूप लेगी:
इस प्रकार, हमें सूत्र मिला: .
यदि कोणों को सूत्रों के अनुसार प्रविष्ट किया जाए, तो व्यंजक रूप लेगा और हमें सूत्र का एक भिन्न रूप प्राप्त होगा: .
हमने अतिरिक्त कोण के लिए सूत्र निकाले हैं, जिन्हें सहायक तर्क के सूत्र कहा जाता है:
सूत्रों का एक अलग रूप भी हो सकता है (इस पर ध्यान देना आवश्यक है विशेष ध्यानऔर उदाहरण सहित दिखाएं)।
ध्यान दें कि सरलतम मामलों में, सहायक तर्क प्रस्तुत करने की विधि को प्रतिस्थापित करने वाली संख्याओं तक सीमित कर दिया जाता है; ; ; ; एक; त्रिकोणमितीय फलनसंगत कोनों।
4. जो सीखा गया है उसकी प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग .
सामग्री को समेकित करने के लिए, कार्यों के कुछ और उदाहरणों पर विचार करना प्रस्तावित है:
अभिव्यक्ति के उत्पाद के रूप में व्यक्त करें:
कक्षा में कार्यों 3 और 4 का विश्लेषण करना उचित है (कार्यों का विश्लेषण कक्षाओं के लिए सामग्री में मौजूद है)। कार्य 1, 2 और 5 के लिए लिया जा सकता है स्वतंत्र निर्णय(उत्तर दिए गए)।
विशिष्ट कार्यों की स्थितियों की विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए जिसमें माना समाधान पद्धति का उपयोग किया जा सकता है, विभिन्न विधियों का उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि कार्य 1 को विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है, और कार्य 2 - 5 को पूरा करने के लिए सहायक कोण को शुरू करने की विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है
एक ललाट बातचीत के दौरान, इस बात पर चर्चा की जानी चाहिए कि ये कार्य पाठ की शुरुआत में विचार किए गए उदाहरण के समान कैसे हैं, क्या अंतर हैं, क्या प्रस्तावित विधि को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है और इसका उपयोग अधिक सुविधाजनक क्यों है .
समानता: सभी प्रस्तावित उदाहरणों में, एक सहायक तर्क पेश करने की विधि को लागू करना संभव है, और यह एक अधिक सुविधाजनक तरीका है जो तुरंत परिणाम की ओर जाता है।
अंतर: पहले उदाहरण में एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग करना संभव है, और बाकी सभी में एक नहीं, बल्कि कई सूत्रों का उपयोग करके एक सहायक तर्क लागू करना संभव है।
कार्यों पर चर्चा करने के बाद, आप लोगों को घर पर बाकी को हल करने के लिए आमंत्रित कर सकते हैं।
5. गृहकार्य का विवरण।
घर पर, आपको पाठ के सारांश का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने और निम्नलिखित अभ्यासों को हल करने का प्रयास करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।
पाठ विषय:त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में सहायक कोण के परिचय की एक विधि।
वास्तविकीकरण।
शिक्षक।
लोग! हम विभिन्न प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों से परिचित हुए और उन्हें हल करना सीखा। आज हम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियों के ज्ञान का सामान्यीकरण करेंगे विभिन्न प्रकार. ऐसा करने के लिए, मैं आपको प्रस्तावित समीकरणों के वर्गीकरण पर काम करने के लिए कहता हूं (परिशिष्ट में समीकरण संख्या 1-10 देखें - पीडीएफ फॉर्म में सार के अंत में)
तालिका भरें: समीकरण के प्रकार, इसे हल करने की विधि को इंगित करें और समीकरणों की संख्याओं का मिलान उस प्रकार से करें जिससे वे संबंधित हैं।
छात्र।तालिका भरें।
| समीकरण का प्रकार | समाधान विधि | समीकरण |
| प्रोटोजोआ | मूल सूत्र | №1 |
| वर्ग के लिए कम करने योग्य | परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि | №2,3 |
| जटिल त्रिकोणमितीय दृश्य | त्रिकोणमिति सूत्रों का उपयोग करके ज्ञात रूप को सरल बनाएं | №4,5 |
| सजातीय पहली डिग्री | चर के कोज्या द्वारा समीकरण पद को पद से विभाजित करें | №6 |
| सजातीय दूसरी डिग्री | चर के कोज्या के वर्ग द्वारा समीकरण पद को पद से विभाजित करें | №7 |
समस्या निवारण।
टेबल भरने से छात्रों को परेशानी का सामना करना पड़ रहा है। वे तीन समीकरणों को हल करने के प्रकार और विधि का निर्धारण नहीं कर सकते: संख्या 8,9,10।
शिक्षक।क्या आप सभी समीकरणों को हल के रूप और विधि के अनुसार वर्गीकृत करने में सफल रहे हैं?
छात्रों की प्रतिक्रिया।नहीं, तीन समीकरणों को तालिका में नहीं रखा जा सका।
शिक्षक।क्यों?
छात्रों की प्रतिक्रिया।वे नहीं दिखते प्रसिद्ध प्रजाति. समाधान का तरीका स्पष्ट नहीं है।
लक्ष्य की स्थापना।
शिक्षक।तो फिर, हम अपने पाठ का उद्देश्य कैसे तैयार करें?
उत्तर छात्रों. खोजे गए को परिभाषित करें नया प्रकारसमीकरण और उन्हें हल करने के लिए एक विधि खोजें।
शिक्षक. यदि हम खोजे गए समीकरणों के प्रकार और उन्हें हल करने की विधि नहीं जानते हैं तो क्या पाठ का विषय बनाना संभव है?
छात्र प्रतिक्रिया. नहीं, लेकिन हम इसे बाद में कर सकते हैं, जब हमें पता चलता है कि हम किसके साथ काम कर रहे हैं।
गतिविधि योजना।
शिक्षक।आइए अपनी गतिविधियों की योजना बनाएं। आमतौर पर हम प्रकार को परिभाषित करते हैं और फिर त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए एक विधि की तलाश करते हैं। हमारी वर्तमान स्थिति में, क्या खोजे गए समीकरणों के प्रकार को एक विशिष्ट नाम देना संभव है? और सामान्य तौर पर, क्या वे एक ही प्रजाति के हैं?
छात्रों की प्रतिक्रिया।करना मुश्किल है।
शिक्षक।फिर सोचें, शायद कुछ उन्हें एकजुट करता है, या वे किसी प्रकार के समान हैं?
छात्रों की प्रतिक्रिया।इन समीकरणों का बायां पक्ष सजातीय समीकरणों के समान है, लेकिन उनका दायां पक्ष शून्य के बराबर नहीं है। तो, कोसाइन द्वारा विभाजित करने से केवल समाधान जटिल होगा।
शिक्षक।हो सकता है कि हम एक समाधान विधि की तलाश शुरू करें, और फिर समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें? आपको लगता है कि 3 समीकरणों में से कौन सा सबसे सरल है?
छात्र उत्तर देंलेकिन कोई आम सहमति नहीं है। शायद कोई यह अनुमान लगाएगा कि समीकरण संख्या 8 में गुणांकों को तालिका कोण के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए। और फिर कक्षा उस समीकरण का निर्धारण करेगी जिसे पहले हल किया जा सकता है। यदि नहीं, तो शिक्षक विचार करने का सुझाव देता है अतिरिक्त समीकरण (परिशिष्ट में समीकरण संख्या 11 देखें - पीडीएफ फॉर्म में सार के अंत में). इसमें, गुणांक ज्ञात कोण के साइन और कोसाइन के बराबर होते हैं, और छात्रों को इस पर ध्यान देना चाहिए।
शिक्षक गतिविधियों का क्रम देता है। ( देखना परिशिष्ट में समीकरण - पीडीएफ फॉर्म में सार के अंत में)।
- पहले समीकरण को हल करें (№11), गुणांकों को ज्ञात कोण की ज्या और कोज्या के मानों से प्रतिस्थापित करके और योग की ज्या के सूत्र को लागू करके।
- अन्य समीकरणों को पहले समीकरण के रूप में बदलने का प्रयास करें और उसी विधि को लागू करें। ( समीकरण #8,9,12 . देखें)
- किसी भी गुणांक के लिए विधि को सामान्यीकृत और विस्तारित करें और क्रियाओं का एक सामान्य एल्गोरिदम बनाएं (समीकरण #10 देखें)।
- उसी प्रकार के अन्य समीकरणों को हल करने के लिए विधि लागू करें। (समीकरण संख्या 12,13, 14 देखें)।
योजना का क्रियान्वयन।
शिक्षक. खैर, हमने एक योजना बनाई है। आइए इसे लागू करना शुरू करें।
ब्लैकबोर्ड पर, छात्र समीकरण संख्या 11 को हल करता है।
दूसरा छात्र निम्नलिखित समीकरण संख्या 8 को से विभाजित करके हल करता है स्थिर संख्याऔर, इस प्रकार, स्थिति को पहले से खोजे गए समाधान में कम कर देता है।
शिक्षक समीकरण संख्या 9.12 को स्वयं हल करने का सुझाव देते हैं। परिवर्तनों की शुद्धता और समाधानों के सेट की जाँच करता है।
शिक्षक।दोस्तों, आप उस कोण को कैसे कह सकते हैं जो समीकरण के गुणांकों के बजाय प्रकट होता है और हमें समाधान तक पहुँचने में मदद करता है?
छात्रों की प्रतिक्रिया।अतिरिक्त। (विकल्प: सहायक)।
शिक्षक।ऐसा सहायक कोण खोजना हमेशा आसान नहीं होता है। क्या यह खोजना संभव है यदि गुणांक ज्या और कोज्या नहीं हैं ज्ञात कोने? यदि हम उन्हें सहायक कोण की ज्या और कोज्या के रूप में निरूपित करना चाहते हैं तो ऐसे गुणांकों को किस पहचान को पूरा करना चाहिए?
उत्तर।मूल त्रिकोणमितीय पहचान।
शिक्षक।बहुत बढ़िया! सही ढंग से! तो हमारा काम गुणांक प्राप्त करना है जैसे कि उनके वर्गों का योग एक के बराबर हो! एक संख्या के साथ आने का प्रयास करें जिससे आपको समीकरण को विभाजित करने की आवश्यकता हो ताकि हमारे द्वारा इंगित की गई शर्त संतुष्ट हो।
छात्र सोचते हैं और, शायद, समीकरण के गुणांक के वर्गों के योग के वर्गमूल द्वारा सब कुछ विभाजित करने की पेशकश करते हैं। यदि नहीं, तो शिक्षक उन्हें इस विचार की ओर ले जाता है।
शिक्षक।यह हमें चुनना है कि कौन से नए गुणांक को सहायक कोण की ज्या के रूप में नामित किया जाए, और कौन से कोसाइन के रूप में। दो विकल्प हैं। ज्या या कोज्या के साथ सरलतम समीकरण में संक्रमण चुनाव पर निर्भर करता है।
छात्रवे एक समाधान प्रस्तुत करते हैं, और शिक्षक तर्क और उत्तर को रिकॉर्ड करने के रूप पर ध्यान देते हुए इसे पूरा करता है। समीकरण 10 को हल करें।
शिक्षक. क्या हमने एक नए प्रकार के समीकरण को हल करने की कोई विधि खोज ली है? हम इस प्रकार को क्या कहते हैं?
उत्तर।हमने सहायक कोण ज्ञात करने की विधि द्वारा कार्य किया। शायद समीकरणों को समीकरण कहा जाना चाहिए जो सहायक कोणों का उपयोग करके हल किए जाते हैं?
शिक्षक।हाँ, आप अवश्य कर सकते हैं। क्या आप उनके लिए कोई फार्मूला सोच सकते हैं? यह छोटा होगा।
उत्तर।हाँ। गुणांक ए, बी और सी के साथ समीकरण।
शिक्षक।आइए मनमानी गुणांक के लिए विधि को सामान्यीकृत करें।
शिक्षक बोर्ड पर चर्चा करता है और सामान्यीकृत गुणांक के लिए सहायक कोण के साइन और कोसाइन के लिए सूत्र लिखता है। फिर, उनकी मदद से, वह समीकरण संख्या 13 और 14 को हल करता है।
शिक्षक।क्या हमने इस विधि में पर्याप्त रूप से महारत हासिल कर ली है?
उत्तर।नहीं। ऐसे समीकरणों को हल करना और सहायक कोण विधि का उपयोग करने की क्षमता को समेकित करना आवश्यक है।
शिक्षक।हम कैसे जानते हैं कि विधि में महारत हासिल है?
उत्तर।यदि हम स्वयं अनेक समीकरण हल करते हैं।
शिक्षक।आइए विधि में महारत हासिल करने के लिए एक गुणात्मक पैमाना स्थापित करें।
स्तरों की विशेषताओं से परिचित हों और उन्हें उस पैमाने पर रखें जो इस कौशल की महारत के स्तर को दर्शाता है। स्तर और स्कोर की विशेषता को सहसंबंधित करें (0 से 3 तक)
- मैं विभिन्न गुणांक वाले समीकरणों को हल कर सकता हूँ
- समीकरण हल नहीं कर सकते
- मैं जटिल समीकरण हल कर सकता हूँ
- मैं सारणीबद्ध गुणांक वाले समीकरणों को हल कर सकता हूँ
शिक्षक।(छात्रों के उत्तर के बाद) तो, हमारा रेटिंग पैमाना इस प्रकार है:
उसी सिद्धांत से, हम अनुमान लगाते हैं स्वतंत्र कामअगले पाठ में विषय।
और अब, कृपया समीकरण संख्या 1148 ग्राम, 1149 ग्राम, 1150 ग्राम हल करें और विषय को आत्मसात करने के अपने स्तर का निर्धारण करें।
तालिका में प्रविष्टियों को पूरा करना न भूलें और विषय को नाम दें: "त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय एक सहायक कोण का परिचय।"
लक्ष्य प्राप्त करने के तरीके का प्रतिबिंब।
शिक्षक।दोस्तों, क्या हम पाठ के लक्ष्य तक पहुँच गए हैं?
छात्र प्रतिक्रियाएं. हाँ, हमने एक नए प्रकार के समीकरण को पहचानना सीख लिया है।
हमें एक सहायक कोण का उपयोग करके उन्हें हल करने की एक विधि मिली।
पद्धति को व्यवहार में लाना सीखा।
शिक्षक।हमने कैसे अभिनय किया? हमें कैसे समझ में आया कि हमें क्या करना चाहिए?
उत्तर।हमने "पहचानने योग्य" गुणांक वाले समीकरणों के कई विशेष मामलों पर विचार किया और इस तर्क को ए, बी और सी के किसी भी मान तक बढ़ाया।
शिक्षक।यह सोचने का एक आगमनात्मक तरीका है: हमने कई मामलों से एक विधि निकाली है और इसे समान मामलों में लागू किया है।
परिप्रेक्ष्य।हम इस तरह की सोच को कहां लागू कर सकते हैं? (छात्र उत्तर)
आपने आज कक्षा में अच्छा काम किया। घर पर पाठ्यपुस्तक में सहायक कोण विधि का विवरण पढ़कर क्रमांक 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c) को हल करें। मुझे आशा है कि अगले पाठ में आप सभी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय इस पद्धति का उपयोग करने में महान होंगे।
सबक के लिए धन्यवाद!
