आज तर्कसंगत असमानताएंहर कोई फैसला नहीं कर सकता। अधिक सटीक रूप से, न केवल हर कोई निर्णय ले सकता है। कम ही लोग कर पाते हैं।
क्लिट्स्को

यह सबक कठिन होने वाला है। इतना कठिन कि इसके अंत तक केवल चुने हुए ही पहुंचेंगे। इसलिए, पढ़ने से पहले, मैं महिलाओं, बिल्लियों, गर्भवती बच्चों और ... को हटाने की सलाह देता हूं।

ठीक है, यह वास्तव में काफी सरल है। मान लीजिए कि आपने अंतराल विधि में महारत हासिल कर ली है (यदि आपने इसमें महारत हासिल नहीं की है, तो मैं आपको वापस जाने और इसे पढ़ने की सलाह देता हूं) और $P\left(x \right) \gt 0$ फॉर्म की असमानताओं को हल करना सीखा, जहां $P \left(x \right)$ कुछ बहुपद या बहुपदों का गुणनफल है।

मेरा मानना ​​​​है कि आपके लिए इसे हल करना मुश्किल नहीं होगा, उदाहरण के लिए, ऐसा खेल (वैसे, इसे वार्म-अप के लिए आज़माएं):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ और x\बाएं(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ और \बाएं(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

अब आइए कार्य को थोड़ा जटिल करें और न केवल बहुपदों पर विचार करें, बल्कि रूप के तथाकथित तर्कसंगत अंशों पर भी विचार करें:

जहां $P\left(x \right)$ और $Q\left(x \right)$ फॉर्म के समान बहुपद हैं $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, या ऐसे बहुपदों का गुणनफल।

यह एक तर्कसंगत असमानता होगी। मूलभूत बिंदु हर में चर $x$ की उपस्थिति है। उदाहरण के लिए, यहाँ तर्कसंगत असमानताएँ हैं:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ और \frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4)\ge 0; \\ और \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \दाएं))\ge 0. \\ \end(align)\]

और यह एक तर्कसंगत नहीं है, बल्कि सबसे आम असमानता है, जिसे अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

आगे देखते हुए, मैं तुरंत कहूंगा: तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के कम से कम दो तरीके हैं, लेकिन वे सभी एक तरह से या किसी अन्य को पहले से ज्ञात अंतराल की विधि में कम कर देते हैं। इसलिए इन विधियों का विश्लेषण करने से पहले पुराने तथ्यों को याद कर लें, नहीं तो नई सामग्री से कोई अर्थ नहीं निकलेगा।

आपको पहले से क्या जानना चाहिए

कई महत्वपूर्ण तथ्य नहीं हैं। हमें वास्तव में केवल चार की जरूरत है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र

हाँ, हाँ: वे पूरे समय हमारा अनुसरण करेंगे स्कूल के पाठ्यक्रमअंक शास्त्र। और विश्वविद्यालय में भी। इनमें से कुछ सूत्र हैं, लेकिन हमें केवल निम्नलिखित की आवश्यकता है:

\[\begin (संरेखण) और ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ और ((ए)^(2))-((बी)^(2))=\बाएं(ए-बी \दाएं)\बाएं(ए+बी \दाएं); \\ और ((ए)^(3))+((बी)^(3))=\बाएं(ए+बी \दाएं)\बाएं(((ए)^(2))-एबी+((बी) ^(2))\दाएं); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम दो सूत्रों पर ध्यान दें - यह घनों का योग और अंतर है (और योग या अंतर का घन नहीं!) उन्हें याद रखना आसान है यदि आप ध्यान दें कि पहले ब्रैकेट में चिन्ह मूल अभिव्यक्ति में चिह्न के समान है, और दूसरे ब्रैकेट में यह मूल अभिव्यक्ति में चिह्न के विपरीत है।

रेखीय समीकरण

ये हैं सबसे सरल समीकरण$ax+b=0$ के रूप में, जहां $a$ और $b$ हैं साधारण संख्या, और $a\ne 0$। इस समीकरण को हल करना आसान है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और कुल्हाड़ी+बी=0; \\ और कुल्हाड़ी=-बी; \\ और x=-\frac(बी)(ए)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

मैं ध्यान देता हूं कि हमें गुणांक $a$ से विभाजित करने का अधिकार है, क्योंकि $a\ne 0$। यह आवश्यकता काफी तार्किक है, क्योंकि $a=0$ के साथ हमें यह मिलता है:

सबसे पहले, इस समीकरण में कोई $x$ चर नहीं है। यह, आम तौर पर बोल रहा है, हमें भ्रमित नहीं करना चाहिए (ऐसा होता है, कहते हैं, ज्यामिति में, और अक्सर), लेकिन फिर भी हम अब एक रैखिक समीकरण नहीं हैं।

दूसरे, इस समीकरण का हल पूरी तरह से गुणांक $b$ पर निर्भर करता है। यदि $b$ भी शून्य है, तो हमारा समीकरण $0=0$ है। यह समानता हमेशा सत्य है; इसलिए $x$ कोई भी संख्या है (आमतौर पर \mathbb(R)$ में $x\ के रूप में लिखा जाता है)। यदि गुणांक $b$ नहीं है शून्य, तो समानता $b=0$ कभी संतुष्ट नहीं होती है, अर्थात। कोई जवाब नहीं ($x\in \varnothing $ लिखा है और "समाधान सेट खाली है" पढ़ें)।

इन सभी जटिलताओं से बचने के लिए, हम केवल $a\ne 0$ मान लेते हैं, जो किसी भी तरह से हमें आगे के प्रतिबिंबों से प्रतिबंधित नहीं करता है।

द्विघातीय समीकरण

मैं आपको याद दिला दूं कि इसे द्विघात समीकरण कहा जाता है:

यहाँ बाईं ओर दूसरी डिग्री का एक बहुपद है, और फिर से $a\ne 0$ (अन्यथा, इसके बजाय द्विघात समीकरणहम रैखिक प्राप्त करते हैं)। निम्नलिखित समीकरणों को विवेचक के माध्यम से हल किया जाता है:

1. यदि $D \gt 0$, तो हमें दो भिन्न मूल प्राप्त होते हैं;
2. यदि $D=0$, तो मूल एक होगा, लेकिन दूसरी बहुलता का (यह किस प्रकार की बहुलता है और इसे कैसे ध्यान में रखा जाए - उस पर और बाद में)। या हम कह सकते हैं कि समीकरण के दो समान मूल हैं;
3. $D \lt 0$ के लिए कोई मूल नहीं हैं, और किसी भी $x$ के लिए बहुपद $a((x)^(2))+bx+c$ का चिह्न गुणांक $a के चिह्न के साथ मेल खाता है $. वैसे, यह बहुत है उपयोगी तथ्य, जिसके बारे में किसी कारण से वे बीजगणित के पाठों में बात करना भूल जाते हैं।

जड़ों की गणना स्वयं प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार की जाती है:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

इसलिए, वैसे, भेदभाव करने वाले पर प्रतिबंध। आख़िरकार वर्गमूलसे ऋणात्मक संख्यामौजूद नहीं होना। जड़ों के संबंध में, कई छात्रों के सिर में एक भयानक गड़बड़ी होती है, इसलिए मैंने विशेष रूप से लिखा पूरा पाठ: बीजगणित में जड़ क्या है और इसकी गणना कैसे करें - मैं इसे पढ़ने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं। :)

तर्कसंगत अंशों के साथ संचालन

सब कुछ जो ऊपर लिखा गया था, आप पहले से ही जानते हैं कि क्या आपने अंतराल की विधि का अध्ययन किया है। लेकिन अब हम जो विश्लेषण करेंगे उसका अतीत में कोई एनालॉग नहीं है - यह एक बिल्कुल नया तथ्य है।

परिभाषा। एक परिमेय भिन्न रूप का व्यंजक है

\[\frac(पी\बाएं(एक्स \दाएं))(क्यू\बाएं(एक्स \दाएं))\]

जहां $P\left(x \right)$ और $Q\left(x \right)$ बहुपद हैं।

यह स्पष्ट है कि इस तरह के अंश से असमानता प्राप्त करना आसान है - यह केवल "अधिक से अधिक" या "से कम" चिह्न को दाईं ओर रखने के लिए पर्याप्त है। और थोड़ा आगे हम पाएंगे कि ऐसी समस्याओं को हल करना एक खुशी है, वहां सब कुछ बहुत आसान है।

समस्याएँ तब शुरू होती हैं जब एक व्यंजक में ऐसे कई भिन्न होते हैं। उन्हें लाया जाना है आम विभाजक- और इस समय इसकी अनुमति है एक बड़ी संख्या कीशर्मनाक गलतियाँ।

इसलिए, के लिए सफल समाधान तर्कसंगत समीकरणदो कौशलों में दृढ़ता से महारत हासिल होनी चाहिए:

1. बहुपद $P\बाएं(x \दाएं)$ का गुणनखंडन;
2. दरअसल, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना।

बहुपद का गुणनखंड कैसे करें? बहुत आसान। मान लीजिए कि हमारे पास फॉर्म का बहुपद है

आइए इसे शून्य के बराबर करें। हमें $n$-th डिग्री समीकरण मिलता है:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

मान लें कि हमने इस समीकरण को हल कर लिया है और मूल प्राप्त कर लिया है $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (चिंता न करें: ज्यादातर मामलों में कोई नहीं होगा इनमें से दो से अधिक जड़ें)। इस मामले में, हमारे मूल बहुपद को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( एन)) \दाएं) \अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! कृपया ध्यान दें: अग्रणी गुणांक $((a)_(n))$ कहीं भी गायब नहीं हुआ है - यह कोष्ठक के सामने एक अलग कारक होगा, और यदि आवश्यक हो, तो इसे इनमें से किसी भी कोष्ठक में डाला जा सकता है (अभ्यास शो कि $((a)_ (n))\ne \pm 1$ के साथ जड़ों के बीच लगभग हमेशा भिन्न होते हैं)।

काम। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ फ़्रैक(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

फेसला। सबसे पहले, आइए हर को देखें: वे सभी रैखिक द्विपद हैं, और यहां गुणनखंड करने के लिए कुछ भी नहीं है। तो आइए अंशों का गुणनखंड करें:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\दाएं)\बाएं(x-1\दाएं); \\ और 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \ दाएँ) \ बाएँ (2-5x \ दाएँ)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

कृपया ध्यान दें: दूसरे बहुपद में, वरिष्ठ गुणांक "2", हमारी योजना के अनुसार, पहले ब्रैकेट के सामने दिखाई दिया, और फिर पहले ब्रैकेट में शामिल किया गया, क्योंकि एक अंश वहां से निकला था।

तीसरे बहुपद में भी यही हुआ, केवल वहाँ पदों का क्रम भी भ्रमित है। हालांकि, गुणांक "−5" को दूसरे ब्रैकेट में शामिल किया गया (याद रखें: आप एक और केवल एक ब्रैकेट में एक कारक दर्ज कर सकते हैं!), जिसने हमें भिन्नात्मक जड़ों से जुड़ी असुविधा से बचाया।

पहले बहुपद के लिए, वहाँ सब कुछ सरल है: इसकी जड़ें या तो मानक तरीके से विवेचक के माध्यम से मांगी जाती हैं, या विएटा प्रमेय का उपयोग करके।

आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस जाएं और इसे कारकों में विघटित अंशों के साथ फिर से लिखें:

\[\प्रारंभ (मैट्रिक्स) \frac(\बाएं(x+5 \दाएं)\बाएं(x-4 \दाएं))(x-4)-\frac(\बाएं(2x-3 \दाएं)\बाएं( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \दाएं)-\बाएं(x-1 \दाएं)-\बाएं(2-5x \दाएं)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

उत्तर: $5x+4$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। थोड़ा सा 7वीं-8वीं कक्षा का गणित और बस। सभी परिवर्तनों का उद्देश्य एक जटिल और डरावनी अभिव्यक्ति को कुछ सरल और आसान काम में बदलना है।

हालांकि, ऐसा हमेशा नहीं होगा। तो अब हम एक और गंभीर समस्या पर विचार करेंगे।

लेकिन पहले, आइए जानें कि दो भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे लाया जाए। एल्गोरिथ्म बेहद सरल है:

1. दोनों हरों को गुणनखंडित करें;
2. पहले हर पर विचार करें और इसमें दूसरे हर में मौजूद कारकों को जोड़ें, लेकिन पहले में अनुपस्थित हैं। परिणामी उत्पाद सामान्य हर होगा;
3. पता लगाएँ कि प्रत्येक मूल भिन्न में किन कारकों का अभाव है ताकि हर आम के बराबर हो जाए।

शायद यह एल्गोरिथ्म आपको सिर्फ एक पाठ की तरह लगेगा जिसमें "बहुत सारे अक्षर" हैं। तो आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें।

काम। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

\[\बाएं(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

फेसला। इस तरह के स्वैच्छिक कार्यों को भागों में सबसे अच्छा हल किया जाता है। आइए लिखते हैं कि पहले ब्रैकेट में क्या है:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

पिछली समस्या के विपरीत, यहाँ भाजक इतने सरल नहीं हैं। आइए उनमें से प्रत्येक का गुणनखंड करें।

वर्ग त्रिपद $((x)^(2))+2x+4$ को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता क्योंकि समीकरण $((x)^(2))+2x+4=0$ का कोई मूल नहीं है (विभेदक ऋणात्मक है) . हम इसे अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

दूसरा हर, घन बहुपद $((x)^(3))-8$, करीब से जांच करने पर घनों का अंतर है और संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके आसानी से विघटित किया जा सकता है:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \दाएं)\]

और कुछ भी फैक्टर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि पहले ब्रैकेट में एक रैखिक द्विपद होता है, और दूसरा एक ऐसा निर्माण होता है जिसे हम पहले से ही जानते हैं, जिसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

अंत में, तीसरा हर एक रैखिक द्विपद है जिसे विघटित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, हमारा समीकरण रूप लेगा:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ सामान्य हर होगा, और इसके सभी अंशों को कम करने के लिए, आप पहले अंश को $\left(x-2 \right)$ से गुणा करना होगा, और अंतिम अंश को $\बाएं (((x)^(2))+2x+4 \right)$ से गुणा करना होगा। तब यह केवल निम्नलिखित लाने के लिए रहता है:

\[\begin(मैट्रिक्स) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ दाएं))+\frac(((x)^(2))+8)(\बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ लेफ्ट (((x)^(2))+2x+4 \right))। \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

दूसरी पंक्ति पर ध्यान दें: जब हर पहले से ही सामान्य है, अर्थात। तीन अलग-अलग अंशों के बजाय, हमने एक बड़ा लिखा, आपको तुरंत कोष्ठक से छुटकारा नहीं मिलना चाहिए। एक अतिरिक्त पंक्ति लिखना बेहतर है और ध्यान दें कि, कहते हैं, तीसरे अंश से पहले एक माइनस था - और यह कहीं नहीं जाएगा, लेकिन ब्रैकेट के सामने अंश में "लटका" जाएगा। यह आपको बहुत सारी गलतियों से बचाएगा।

खैर, अंतिम पंक्ति में अंश का गुणनखंड करना उपयोगी है। इसके अलावा, यह एक सटीक वर्ग है, और संक्षिप्त गुणन सूत्र फिर से हमारी सहायता के लिए आते हैं। हमारे पास है:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \ frac (((\ बाएँ (x-2 \ दाएँ)) ^ (2))) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ दाएँ) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

अब इसी तरह से दूसरे ब्रैकेट के साथ व्यवहार करते हैं। यहाँ मैं केवल समानता की एक श्रृंखला लिखूंगा:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((((()) x)^(2)))(\बाएं(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\बाएं(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2))) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ)) + \ frac (2 \ cdot \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ)) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ) \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

हम मूल समस्या पर लौटते हैं और उत्पाद को देखते हैं:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं))=\frac(1)(x+2)\]

उत्तर: \[\frac(1)(x+2)\].

इस समस्या का अर्थ पिछले एक जैसा ही है: यह दिखाने के लिए कि यदि आप उनके परिवर्तन को बुद्धिमानी से करते हैं तो तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को कितना सरल बनाया जा सकता है।

और अब, जब आप यह सब जानते हैं, तो चलिए आज के पाठ के मुख्य विषय पर चलते हैं - भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताओं को हल करना। इसके अलावा, इस तरह की तैयारी के बाद, असमानताएं स्वयं पागल की तरह क्लिक करेंगी। :)

तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका

तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए कम से कम दो दृष्टिकोण हैं। अब हम उनमें से एक पर विचार करेंगे - वह जिसे आम तौर पर स्वीकार किया जाता है स्कूल पाठ्यक्रमअंक शास्त्र।

लेकिन पहले, आइए ध्यान दें महत्वपूर्ण विवरण. सभी असमानताओं को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है:

1. सख्त: $f\left(x \right) \gt 0$ या $f\left(x \right) \lt 0$;
2. नॉनस्ट्रिक्ट: $f\left(x \right)\ge 0$ या $f\left(x \right)\le 0$।

दूसरे प्रकार की असमानताओं को आसानी से पहले और साथ ही समीकरण तक कम कर दिया जाता है:

यह छोटा "जोड़" $f\left(x \right)=0$ भरे हुए बिंदुओं के रूप में ऐसी अप्रिय चीज की ओर जाता है - हम उन्हें अंतराल विधि में वापस मिले। अन्यथा, सख्त और गैर-सख्त असमानताओं के बीच कोई अंतर नहीं है, तो आइए सार्वभौमिक एल्गोरिदम का विश्लेषण करें:

1. असमानता चिह्न के एक तरफ सभी गैर-शून्य तत्वों को इकट्ठा करें। उदाहरण के लिए, बाईं ओर;
2. सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (यदि ऐसी कई भिन्न हैं), तो समान अंश लाएँ। फिर, यदि संभव हो, अंश और हर में गुणनखंड करें। एक तरह से या किसी अन्य, हमें $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ फॉर्म की असमानता मिलती है, जहां टिक असमानता का संकेत है।
3. अंश को शून्य के बराबर करें: $P\left(x \right)=0$। हम इस समीकरण को हल करते हैं और मूल प्राप्त करते हैं $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... कि हर शून्य के बराबर नहीं था: $Q\left(x \right)\ne 0$। बेशक, संक्षेप में, हमें समीकरण $Q\left(x \right)=0$ को हल करना होगा, और हमें जड़ें $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) मिलती हैं $, $x_(3 )^(*)$, ... (वास्तविक समस्याओं में शायद ही ऐसी तीन से अधिक जड़ें होंगी)।
4. हम इन सभी जड़ों (तारांकन के साथ और बिना दोनों) को एक ही संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और तारों के बिना जड़ों को चित्रित किया जाता है, और सितारों वाले लोगों को छिद्रित किया जाता है।
5. हम प्लस और माइनस चिह्न लगाते हैं, उन अंतरालों का चयन करें जिनकी हमें आवश्यकता है। यदि असमानता का रूप $f\left(x \right) \gt 0$ है, तो उत्तर "प्लस" के साथ चिह्नित अंतराल होगा। यदि $f\left(x \right) \lt 0$, तो हम "minuses" के साथ अंतराल को देखते हैं।

अभ्यास से पता चलता है कि अंक 2 और 4 सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं - सक्षम परिवर्तन और आरोही क्रम में संख्याओं की सही व्यवस्था। खैर, आखिरी कदम पर, बेहद सावधान रहें: हम हमेशा संकेतों के आधार पर संकेत देते हैं समीकरणों पर आगे बढ़ने से पहले लिखी गई अंतिम असमानता. ये है सार्वभौमिक नियमअंतराल विधि से विरासत में मिला।

तो, एक योजना है। चलो अभ्यास करें।

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

फेसला। हमारे पास $f\left(x \right) \lt 0$ फॉर्म की सख्त असमानता है। जाहिर है, हमारी योजना के बिंदु 1 और 2 पहले ही पूरे हो चुके हैं: असमानता के सभी तत्वों को बाईं ओर एकत्र किया जाता है, कुछ भी कम करने की आवश्यकता नहीं है। तो चलिए तीसरे बिंदु पर चलते हैं।

अंश को शून्य पर सेट करें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x-3=0; \\ &x=3. \end(संरेखित)\]

और भाजक:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+7=0; \\ और ((x)^(*))=-7. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस जगह पर, बहुत से लोग फंस जाते हैं, क्योंकि, सिद्धांत रूप में, आपको $x+7\ne 0$ लिखना होगा, जैसा कि ODZ द्वारा आवश्यक है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, बस इतना ही)। लेकिन आखिरकार, भविष्य में हम हर से आने वाले बिंदुओं को बाहर निकालेंगे, इसलिए आपको अपनी गणना को एक बार फिर से जटिल नहीं करना चाहिए - हर जगह एक समान चिन्ह लिखें और चिंता न करें। इसके लिए कोई अंक नहीं काटेगा। :)

चौथा बिंदु। हम प्राप्त जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

सभी बिंदु पंचर हैं क्योंकि असमानता सख्त है

टिप्पणी: सभी बिंदु पंचर हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त है. और यहाँ अब कोई फर्क नहीं पड़ता: ये अंक अंश से या हर से आए हैं।

खैर, संकेतों को देखें। कोई भी संख्या $((x)_(0)) \gt 3$ लें। उदाहरण के लिए, $((x)_(0))=100$ (लेकिन आप $((x)_(0))=3.1$ या $((x)_(0)) = 1\000\000$)। हम पाते हैं:

तो, सभी जड़ों के दाईं ओर हमारे पास एक सकारात्मक क्षेत्र है। और जब प्रत्येक जड़ से गुजरते हैं, तो संकेत बदल जाता है (यह हमेशा ऐसा नहीं होगा, लेकिन उस पर और बाद में)। इसलिए, हम पांचवें बिंदु पर आगे बढ़ते हैं: हम संकेत देते हैं और सही चुनते हैं:

हम अंतिम असमानता पर लौटते हैं, जो समीकरणों को हल करने से पहले थी। दरअसल, यह मूल के साथ मेल खाता है, क्योंकि हमने इस कार्य में कोई परिवर्तन नहीं किया है।

चूंकि $f\left(x \right) \lt 0$ फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है, इसलिए मैंने अंतराल $x\in \ left(-7;3 \right)$ को छायांकित किया - यह केवल एक ही है एक ऋण चिह्न के साथ चिह्नित। यही उत्तर है।

उत्तर: $x\में \बाएं(-7;3 \दाएं)$

बस इतना ही! क्या यह कठिन है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है। वाकई, यह एक आसान काम था। अब आइए मिशन को थोड़ा जटिल करें और अधिक "फैंसी" असमानता पर विचार करें। इसे हल करते समय, मैं अब ऐसी विस्तृत गणना नहीं दूंगा - मैं बस संकेत दूंगा प्रमुख बिंदु. सामान्य तौर पर, हम इसे वैसे ही व्यवस्थित करेंगे जैसे हम इसे व्यवस्थित करेंगे स्वतंत्र कामया परीक्षा। :)

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4)\ge 0\]

फेसला। यह $f\left(x \right)\ge 0$ फॉर्म की गैर-सख्त असमानता है। सभी गैर-शून्य तत्व बाईं ओर एकत्र किए जाते हैं, विभिन्न भाजकनहीं। आइए समीकरणों पर चलते हैं।

अंश:

\[\begin(align) & \ left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ फ़्रेक(1)(7); \\ और 11x+2=0\दायां तीर ((x)_(2))=-\frac(2)(11)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हर:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 13x-4=0; \\ और 13x=4; \\ और ((x)^(*))=\frac(4)(13)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

मुझे नहीं पता कि यह समस्या किस प्रकार के विकृतियों ने बनाई है, लेकिन जड़ें बहुत अच्छी नहीं निकलीं: उन्हें एक संख्या रेखा पर व्यवस्थित करना मुश्किल होगा। और अगर रूट $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ के साथ सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है (यह एकमात्र सकारात्मक संख्या है - यह दाईं ओर होगी), फिर $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ और $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ को आगे के अध्ययन की आवश्यकता है: कौन सा बड़ा है?

आप इसका पता लगा सकते हैं, उदाहरण के लिए:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

मुझे आशा है कि यह समझाने की कोई आवश्यकता नहीं है कि संख्यात्मक अंश $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? यदि आवश्यक हो, तो मैं यह याद रखने की सलाह देता हूं कि भिन्नों के साथ क्रियाएं कैसे करें।

और हम तीनों जड़ों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

अंश से अंक छायांकित होते हैं, हर से उन्हें काट दिया जाता है

हम संकेत लगाते हैं। उदाहरण के लिए, आप $((x)_(0))=1$ ले सकते हैं और इस बिंदु पर चिह्न का पता लगा सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं(x \दाएं)=\frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4); \\ और f\बाएं(1 \दाएं)=\frac(\बाएं(7\cdot 1+1 \दाएं)\बाएं(11\cdot 1+2 \दाएं))(13\cdot 1-4)=\ फ़्रैक(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

समीकरणों से पहले अंतिम असमानता $f\left(x \right)\ge 0$ थी, इसलिए हम धन चिह्न में रुचि रखते हैं।

हमें दो समुच्चय प्राप्त हुए: एक साधारण खंड है, और दूसरा संख्या रेखा पर एक खुली किरण है।

उत्तर: $x\in \left[-\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right) )$

संख्याओं के बारे में एक महत्वपूर्ण नोट जिसे हम सबसे दाहिने अंतराल पर चिह्न का पता लगाने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं। किसी संख्या को सबसे दाहिने मूल के निकट स्थानापन्न करना आवश्यक नहीं है। आप अरबों या "प्लस-इनफिनिटी" भी ले सकते हैं - इस मामले में, ब्रैकेट, अंश या हर में बहुपद का चिन्ह केवल प्रमुख गुणांक के संकेत से निर्धारित होता है।

आइए अंतिम असमानता से $f\left(x \right)$ फ़ंक्शन पर एक और नज़र डालें:

इसमें तीन बहुपद शामिल हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((पी)_(1))\बाएं(x \दाएं)=7x+1; \\ और ((पी)_(2))\बाएं(x \दाएं)=11x+2; \\ और क्यू\बाएं(x\दाएं)=13x-4. \end(संरेखित)\]

वे सभी रैखिक द्विपद हैं, और उन सभी में धनात्मक गुणांक (संख्या 7, 11 और 13) हैं। इसलिए, बहुत प्रतिस्थापित करते समय बड़ी संख्याबहुपद स्वयं भी धनात्मक होंगे। :)

यह नियम अत्यधिक जटिल लग सकता है, लेकिन पहली बार में, जब हम बहुत आसान समस्याओं का विश्लेषण करते हैं। गंभीर असमानताओं में, "प्लस-इनफिनिटी" प्रतिस्थापन हमें मानक $((x)_(0))=100$ की तुलना में बहुत तेजी से संकेतों का पता लगाने की अनुमति देगा।

हम जल्द ही ऐसी चुनौतियों का सामना करेंगे। लेकिन पहले, आइए भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं को हल करने के वैकल्पिक तरीके को देखें।

वैकल्पिक तरीका

यह तकनीक मुझे मेरे एक छात्र ने सुझाई थी। मैंने स्वयं कभी इसका उपयोग नहीं किया है, लेकिन अभ्यास से पता चला है कि कई छात्रों के लिए इस तरह से असमानताओं को हल करना वास्तव में अधिक सुविधाजनक है।

तो, मूल डेटा वही है। निर्णय लेने की आवश्यकता है भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता:

\[\frac(पी\बाएं(एक्स \दाएं))(क्यू\बाएं(एक्स \दाएं)) \gt 0\]

आइए सोचें: बहुपद $Q\left(x \right)$ बहुपद $P\left(x \right)$ से "बदतर" क्यों है? हमें क्यों विचार करना है व्यक्तिगत समूहजड़ें (बिना तारक के), छिद्रित बिंदुओं आदि के बारे में सोचें? यह आसान है: एक भिन्न की परिभाषा का एक डोमेन होता है, जिसके अनुसार भिन्न तभी समझ में आता है जब उसका हर शून्य से भिन्न हो।

अन्यथा, अंश और हर के बीच कोई अंतर नहीं है: हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, जड़ों की तलाश करते हैं, फिर उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं। तो क्यों न भिन्नात्मक बार को बदलें (वास्तव में, विभाजन चिह्न) साधारण गुणन, और ODZ की सभी आवश्यकताओं को एक अलग असमानता के रूप में लिखें? उदाहरण के लिए, इस तरह:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \बाएं(x \दाएं) \gt 0, \\ और Q\बाएं(x \दाएं)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

कृपया ध्यान दें: यह दृष्टिकोण आपको समस्या को अंतराल की विधि तक कम करने की अनुमति देगा, लेकिन यह समाधान को बिल्कुल भी जटिल नहीं करेगा। आखिरकार, वैसे भी, हम बहुपद $Q\left(x \right)$ को शून्य के बराबर करेंगे।

आइए देखें कि यह वास्तविक कार्यों पर कैसे काम करता है।

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

फेसला। तो, चलिए अंतराल विधि पर चलते हैं:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ और x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

पहली असमानता को प्राथमिक रूप से हल किया जाता है। बस प्रत्येक कोष्ठक को शून्य पर सेट करें:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ और x-11=0\दायां तीर ((x)_(2))=11. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता के साथ, सब कुछ सरल भी है:

हम वास्तविक रेखा पर $((x)_(1))$ और $((x)_(2))$ अंक अंकित करते हैं। वे सभी पंचर हैं क्योंकि असमानता सख्त है:

सही बिंदु दो बार पंचर निकला। यह ठीक है।

बिंदु $x=11$ पर ध्यान दें। यह पता चला है कि यह "दो बार गॉज" है: एक तरफ, हम इसे असमानता की गंभीरता के कारण, दूसरी ओर, क्योंकि अतिरिक्त मांगओडीजेड.

किसी भी मामले में, यह सिर्फ एक पंचर बिंदु होगा। इसलिए, हम असमानता के लिए चिह्न लगाते हैं $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - समीकरणों को हल करने से पहले हमने जो आखिरी देखा था:

हम सकारात्मक क्षेत्रों में रुचि रखते हैं, क्योंकि हम $f\left(x \right) \gt 0$ फॉर्म की असमानता को हल कर रहे हैं, और हम उन्हें रंग देंगे। यह केवल उत्तर लिखने के लिए रह गया है।

जवाब। $x\में \बाएं(-\infty;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

एक उदाहरण के रूप में इस समाधान का उपयोग करते हुए, मैं आपको नौसिखिए छात्रों के बीच एक सामान्य गलती के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। अर्थात्: असमानताओं में कभी भी कोष्ठक न खोलें! इसके विपरीत, सब कुछ कारक करने का प्रयास करें - यह समाधान को सरल करेगा और आपको बहुत सारी समस्याओं से बचाएगा।

आइए अब कुछ और कठिन प्रयास करें।

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(\बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं))(15x+33)\le 0\]

फेसला। यह $f\left(x \right)\le 0$ फॉर्म की गैर-सख्त असमानता है, इसलिए यहां आपको भरे हुए बिंदुओं की सावधानीपूर्वक निगरानी करने की आवश्यकता है।

आइए अंतराल विधि पर चलते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और \बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)\le 0, \\ और 15x+33\ ने 0. \\ \end(align) \right.\]

आइए समीकरण पर चलते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)=0 \\ और 2x-13=0\दायां तीर ((x )_(1))=6.5; \\ और 12x-9=0\दायां तीर ((x)_(2))=0.75; \\ और 15x+33=0\दायां तीर ((x)_(3))=-2,2। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हम अतिरिक्त आवश्यकता को ध्यान में रखते हैं:

हम सभी प्राप्त जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

यदि एक बिंदु को एक ही समय में मुक्का मारा और भरा जाता है, तो इसे पंच आउट माना जाता है।

फिर से, दो बिंदु एक दूसरे को "ओवरलैप" करते हैं - यह सामान्य है, यह हमेशा ऐसा ही रहेगा। केवल यह समझना महत्वपूर्ण है कि एक बिंदु जिसे पंच आउट और भरा हुआ दोनों के रूप में चिह्नित किया गया है, वास्तव में एक पंच आउट है। वे। "गौगिंग" "पेंटिंग ओवर" की तुलना में एक मजबूत क्रिया है।

यह बिल्कुल तार्किक है, क्योंकि पंचर करके हम उन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं जो फ़ंक्शन के संकेत को प्रभावित करते हैं, लेकिन स्वयं उत्तर में भाग नहीं लेते हैं। और अगर किसी बिंदु पर संख्या हमें सूट नहीं करती है (उदाहरण के लिए, यह ओडीजेड में नहीं आती है), तो हम इसे कार्य के अंत तक विचार से हटा देते हैं।

सामान्य तौर पर, दार्शनिकता बंद करो। हम संकेतों को व्यवस्थित करते हैं और उन अंतरालों पर पेंट करते हैं जो ऋण चिह्न से चिह्नित होते हैं:

जवाब। $x\में \बाएं(-\infty;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

और फिर से मैं आपका ध्यान इस समीकरण की ओर आकर्षित करना चाहता हूं:

\[\बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)=0\]

एक बार फिर: ऐसे समीकरणों में कभी भी कोष्ठक न खोलें! आप इसे केवल अपने लिए कठिन बना रहे हैं। याद रखें: उत्पाद शून्य होता है जब कम से कम एक कारक शून्य होता है। इसलिये, दिया गया समीकरणयह बस कई छोटे लोगों में "अलग हो जाता है", जिसे हमने पिछली समस्या में हल किया था।

जड़ों की बहुलता को ध्यान में रखते हुए

पिछली समस्याओं से यह देखना आसान है कि सबसे बड़ी कठिनाईसटीक गैर-सख्त असमानताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, क्योंकि उन्हें भरे हुए बिंदुओं का ट्रैक रखना होता है।

लेकिन दुनिया में इससे भी बड़ी बुराई है - ये असमानताओं में कई जड़ें हैं। यहां पहले से ही कुछ भरे हुए बिंदुओं का पालन करना आवश्यक है - यहां इन समान बिंदुओं से गुजरते समय असमानता का संकेत अचानक नहीं बदल सकता है।

हमने इस पाठ में अभी तक ऐसा कुछ नहीं माना है (हालाँकि इसी तरह की समस्याअक्सर अंतराल की विधि में सामना करना पड़ता है)। तो चलिए एक नई परिभाषा पेश करते हैं:

परिभाषा। समीकरण $((\left(x-a \right))^(n))=0$ का मूल $x=a$ के बराबर है और इसे $n$वें गुणन का मूल कहा जाता है।

वास्तव में, हम विशेष रूप से रुचि नहीं रखते हैं सही मूल्यबहुलता। केवल महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या यह संख्या $n$ सम है या विषम। क्योंकि:

1. यदि $x=a$ सम बहुलता का मूल है, तो इससे गुजरते समय फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है;
2. और इसके विपरीत, यदि $x=a$ विषम बहुलता का मूल है, तो फलन का चिह्न बदल जाएगा।

विषम गुणन के मूल का एक विशेष मामला इस पाठ में पिछली सभी समस्याओं पर विचार किया गया है: वहाँ बहुलता हर जगह एक के बराबर है।

और आगे। इससे पहले कि हम समस्याओं को हल करना शुरू करें, मैं आपका ध्यान एक ऐसी सूक्ष्मता की ओर आकर्षित करना चाहूंगा जो एक अनुभवी छात्र को स्पष्ट लगती है, लेकिन कई शुरुआती लोगों को स्तब्ध कर देती है। अर्थात्:

बहुलता मूल $n$ तभी होता है जब संपूर्ण व्यंजक को इस घात तक बढ़ा दिया जाता है: $((\left(x-a \right))^(n))$, और $\left(((x)^( n) नहीं )-ए\दाएं)$.

एक बार फिर: ब्रैकेट $((\left(x-a \right))^(n))$ हमें रूट $x=a$ की बहुलता $n$ देता है, लेकिन ब्रैकेट $\left(((x)^( n)) -a \right)$ या, जैसा कि अक्सर होता है, $(a-((x)^(n)))$ हमें पहली बहुलता का एक मूल (या दो मूल, यदि $n$ सम है) देता है , कोई फर्क नहीं पड़ता कि $n$ के बराबर क्या है।

तुलना करना:

\[((\बाएं(x-3 \दाएं))^(5))=0\दायां x=3\बाएं(5k \दाएं)\]

यहां सब कुछ स्पष्ट है: पूरे ब्रैकेट को पांचवीं शक्ति तक उठाया गया था, इसलिए आउटपुट पर हमें पांचवीं डिग्री की जड़ मिली। और अब:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

हमें दो जड़ें मिलीं, लेकिन दोनों में पहली बहुलता है। या यहाँ एक और है:

\[\बाएं(((x)^(10))-1024 \दाएं)=0\दायां तीर ((x)^(10))=1024\दायां x=\pm 2\]

और दसवीं डिग्री से भ्रमित न हों। मुख्य बात यह है कि 10 is सम संख्या, इसलिए हमारे पास आउटपुट पर दो जड़ें हैं, और दोनों में फिर से पहली बहुलता है।

सामान्य तौर पर, सावधान रहें: बहुलता तभी होती है जब डिग्री पूरे ब्रैकेट पर लागू होती है, न कि केवल चर पर.

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\बाएं(x+7) \दाएं))^(5)))\ge 0\]

फेसला। आइए इसे हल करने का प्रयास करें वैकल्पिक रास्ता- विशेष से उत्पाद में संक्रमण के माध्यम से:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((x)^(2))((\बाएं(6-x \दाएं))^(3))\बाएं(x+4 \दाएं)\cdot ( (\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ge 0, \\ और ((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ne 0. \\ \end(संरेखित करें )\सही।\]

हम अंतराल विधि का उपयोग करके पहली असमानता से निपटते हैं:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ और ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\बाएं(2k \दाएं); \\ और ((\ बाएँ (6-x \ दाएँ)) ^ (3)) = 0 \ दायाँ x = 6 \ बाएँ (3k \ दाएँ); \\ & x+4=0\दायां तीर x=-4; \\ और ((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))=0\दायां x=-7\बाएं(5k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इसके अतिरिक्त, हम दूसरी असमानता को हल करते हैं। वास्तव में, हमने इसे पहले ही हल कर लिया है, लेकिन समीक्षकों को समाधान में दोष नहीं मिले, इसलिए इसे फिर से हल करना बेहतर है:

\[((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

ध्यान दें कि अंतिम असमानता में कोई बहुलता नहीं है। वास्तव में: संख्या रेखा पर बिंदु $x=-7$ को कितनी बार पार करने से क्या फर्क पड़ता है? कम से कम एक बार, कम से कम पांच बार - परिणाम समान होगा: एक पंचर बिंदु।

संख्या रेखा पर हमें जो कुछ प्राप्त होता है, उस पर ध्यान दें:

जैसा कि मैंने कहा, $x=-7$ बिंदु को अंततः समाप्त कर दिया जाएगा। अंतराल विधि द्वारा असमानता के समाधान के आधार पर गुणाओं को व्यवस्थित किया जाता है।

यह संकेत रखना बाकी है:

चूँकि बिंदु $x=0$ सम बहुलता का मूल है, इससे गुजरने पर चिह्न नहीं बदलता है। शेष बिंदुओं में एक विषम बहुलता है, और उनके साथ सब कुछ सरल है।

जवाब। $x\में \बाएं(-\infty;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

फिर से $x=0$ पर ध्यान दें। सम बहुलता के कारण, एक दिलचस्प प्रभाव उत्पन्न होता है: इसके बाईं ओर सब कुछ चित्रित होता है, दाईं ओर भी, और बिंदु स्वयं पूरी तरह से चित्रित होता है।

परिणामस्वरूप, प्रतिक्रिया रिकॉर्ड करते समय इसे अलग-थलग करने की आवश्यकता नहीं है। वे। आपको $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ जैसा कुछ लिखने की जरूरत नहीं है (हालांकि औपचारिक रूप से ऐसा उत्तर भी सही होगा)। इसके बजाय, हम तुरंत $x\in \left[ -4;6 \right]$ लिखते हैं।

इस तरह के प्रभाव केवल सम बहुलता की जड़ों के लिए ही संभव हैं। और अगले कार्य में, हम इस प्रभाव के विपरीत "अभिव्यक्ति" का सामना करेंगे। तैयार?

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(((\बाएं(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \बाएं(7x-10-((x)^(2)) \दाएं))\ge 0\]

फेसला। इस बार हम मानक योजना का पालन करेंगे। अंश को शून्य पर सेट करें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (x-3 \ दाएँ)) ^ (4)) \ बाएँ (x-4 \ दाएँ) = 0; \\ और ((\बाएं(x-3 \दाएं))^(4))=0\दायां तीर ((x)_(1))=3\बाएं(4k \दाएं); \\ और x-4=0\दायां तीर ((x)_(2))=4. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

और भाजक:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ और ((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2))=0\दायां x_(1)^(*)=1\बाएं(2k \दाएं); \\ और 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

चूंकि हम $f\left(x \right)\ge 0$ फॉर्म की एक गैर-सख्त असमानता को हल कर रहे हैं, इसलिए हर (जिसमें तारक हैं) से जड़ों को काट दिया जाएगा, और अंश से उन पर पेंट किया जाएगा। .

हम संकेतों को व्यवस्थित करते हैं और "प्लस" के साथ चिह्नित क्षेत्रों को स्ट्रोक करते हैं:

बिंदु $x=3$ पृथक है। यह उत्तर का हिस्सा है

अंतिम उत्तर लिखने से पहले, चित्र पर एक नज़र डालें:

1. बिंदु $x=1$ में एक समान बहुलता है, लेकिन यह स्वयं पंचर है। इसलिए, इसे उत्तर में अलग करना होगा: आपको $x\in \left(-\infty;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ लिखना होगा, न कि $x\in \बाएं(-\ infty;2\right)$.
2. बिंदु $x=3$ में भी एक बहुलता है और छायांकित है। संकेतों की व्यवस्था इंगित करती है कि बिंदु स्वयं हमें सूट करता है, लेकिन बाएं और दाएं एक कदम - और हम खुद को ऐसे क्षेत्र में पाते हैं जो निश्चित रूप से हमारे अनुरूप नहीं है। ऐसे बिंदुओं को पृथक कहा जाता है और $x\in \left\( 3 \right\)$ के रूप में लिखा जाता है।

हम सभी प्राप्त टुकड़ों को एक सामान्य सेट में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: $x\in \बाएं(-\infty;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\(3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

परिभाषा। असमानता को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधानों का सेट खोजें, या साबित करें कि यह सेट खाली है।

ऐसा प्रतीत होगा: यहाँ क्या समझ से बाहर हो सकता है? हां, तथ्य यह है कि सेट को अलग-अलग तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। आइए अंतिम समस्या का उत्तर फिर से लिखें:

जो लिखा है उसे हम अक्षरशः पढ़ते हैं। चर "x" एक निश्चित सेट से संबंधित है, जो चार अलग-अलग सेटों के संघ (प्रतीक "यू") द्वारा प्राप्त किया जाता है:

• अंतराल $\left(-\infty ;1 \right)$, जिसका शाब्दिक अर्थ है "सभी संख्याएं एक से कम, लेकिन एक स्वयं नहीं";
• अंतराल $\बाएं(1;2 \दाएं)$ है, अर्थात। "1 और 2 के बीच की सभी संख्याएँ, लेकिन संख्याएँ 1 और 2 स्वयं नहीं";
• सेट $\बाएं\( 3 \दाएं\)$, एक संख्या से मिलकर - तीन;
• अंतराल $\बाएं[ 4;5 \दाएं)$ जिसमें 4 और 5 के बीच सभी संख्याएं शामिल हैं, प्लस 4 स्वयं, लेकिन 5 नहीं।

तीसरा बिंदु यहां रुचि का है। अंतराल के विपरीत, जो संख्याओं के अनंत सेट को परिभाषित करता है और केवल इन सेटों की सीमाओं को दर्शाता है, सेट $\left\( 3 \right\)$ गणना द्वारा ठीक एक संख्या को परिभाषित करता है।

यह समझने के लिए कि हम सेट में शामिल विशिष्ट संख्याओं को सूचीबद्ध कर रहे हैं (और सीमाएं या कुछ भी निर्धारित नहीं कर रहे हैं), घुंघराले ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, संकेतन $\left\( 1;2 \right\)$ का अर्थ बिल्कुल "दो संख्याओं वाला एक सेट: 1 और 2" है, लेकिन 1 से 2 तक का खंड नहीं है। किसी भी स्थिति में इन अवधारणाओं को भ्रमित न करें। .

गुणन जोड़ नियम

खैर, आज के पाठ के अंत में, पावेल बर्डोव से एक छोटा सा टिन। :)

चौकस छात्रों ने शायद पहले से ही खुद से सवाल पूछा है: क्या होगा यदि अंश और हर में समान जड़ें पाई जाती हैं? तो निम्नलिखित नियम काम करता है:

बहुलता समान जड़ेंजोड़ें। हमेशा। भले ही यह जड़ अंश और हर दोनों में हो।

कभी-कभी बात करने से फैसला करना बेहतर होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करते हैं:

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \दाएं))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब तक, कुछ खास नहीं। हर को शून्य पर सेट करें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(((x)^(2))-16 \दाएं)\बाएं(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

दो समान मूल पाए जाते हैं: $((x)_(1))=-2$ और $x_(4)^(*)=-2$। दोनों की पहली बहुलता है। इसलिए, हम उन्हें एक मूल $x_(4)^(*)=-2$ से प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन 1+1=2 की बहुलता के साथ।

इसके अलावा, समान जड़ें भी हैं: $((x)_(2))=-4$ और $x_(2)^(*)=-4$। वे भी पहली बहुलता के हैं, इसलिए केवल $x_(2)^(*)=-4$ बहुलता 1+1=2 शेष है।

कृपया ध्यान दें: दोनों ही मामलों में, हमने बिल्कुल "कट आउट" रूट को छोड़ दिया, और "पेंटेड ओवर" को विचार से बाहर कर दिया। क्योंकि पाठ की शुरुआत में भी, हम सहमत थे: यदि एक बिंदु को एक ही समय में मुक्का मारा और चित्रित किया जाता है, तो भी हम इसे पंच आउट मानते हैं।

नतीजतन, हमारे पास चार जड़ें हैं, और वे सभी बाहर निकल गए हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x_(1)^(*)=4; \\ और x_(2)^(*)=-4\बाएं(2k \दाएं); \\ और x_(3)^(*)=-7; \\ और x_(4)^(*)=-2\बाएं(2k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

बहुलता को ध्यान में रखते हुए, हम उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

हम अपनी रुचि के क्षेत्रों पर संकेत और पेंट लगाते हैं:

हर चीज़। कोई पृथक बिंदु और अन्य विकृतियां नहीं। आप उत्तर लिख सकते हैं।

जवाब। $x\in \बाएं(-\infty;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$।

गुणन नियम

कभी-कभी एक और भी अप्रिय स्थिति उत्पन्न होती है: एक समीकरण जिसमें कई जड़ें होती हैं, वह स्वयं एक निश्चित शक्ति तक बढ़ जाती है। यह सभी मूल जड़ों की बहुलता को बदल देता है।

यह दुर्लभ है, इसलिए अधिकांश छात्रों के पास ऐसी समस्याओं को हल करने का अनुभव नहीं है। और यहाँ नियम है:

जब किसी समीकरण को घात $n$ तक बढ़ा दिया जाता है, तो उसके सभी मूलों की बहुलता भी $n$ के गुणनखंड से बढ़ जाती है।

दूसरे शब्दों में, एक शक्ति को बढ़ाने से गुणन को उसी शक्ति से गुणा किया जाता है। आइए इस नियम को एक उदाहरण के रूप में लें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\बाएं(2-x \दाएं))^(3))((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2)))\le 0\]

फेसला। अंश को शून्य पर सेट करें:

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। पहले गुणक के साथ सब कुछ स्पष्ट है: $x=0$। और यहीं से समस्याएं शुरू होती हैं:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ और ((x)^(2))-6x+9=0\बाएं(2k \दाएं); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\बाएं(4k \दाएं) \\ \end(align)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण $((x)^(2))-6x+9=0$ में दूसरी बहुलता की एक अनूठी जड़ है: $x=3$। फिर पूरे समीकरण को चुकता कर दिया जाता है। इसलिए, जड़ की बहुलता $2\cdot 2=4$ होगी, जिसे हमने अंत में लिख लिया।

\[((\बाएं(x-4 \दाएं))^(5))=0\दायां x=4\बाएं(5k \दाएं)\]

भाजक के साथ भी कोई समस्या नहीं:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ और ((\बाएं(2-x \दाएं))^(3))=0\दायां x_(1)^(*)=2\बाएं(3k \दाएं); \\ और ((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2))=0\दायां x_(2)^(*)=1\बाएं(2k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमें पाँच अंक मिले: दो पंच आउट हुए और तीन भरे गए। अंश और हर में कोई मेल खाने वाली जड़ें नहीं होती हैं, इसलिए हम उन्हें केवल संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

हम बहुलताओं को ध्यान में रखते हुए संकेतों की व्यवस्था करते हैं और हमारे लिए ब्याज के अंतराल पर पेंट करते हैं:

फिर से एक पृथक बिंदु और एक पंचर हो गया

सम बहुलता की जड़ों के कारण, हमें फिर से कुछ "गैर-मानक" तत्व प्राप्त हुए। यह $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ है, न कि $x\in \ left[ 0;2 \right)$, और एक पृथक बिंदु $ भी x\में \बाएं\( 3 \दाएं\)$.

जवाब। $x\में \बाएं[0;1\दाएं)\बड़ाकप \बाएं(1;2

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात सावधानी है। अंतिम खंडयह पाठ परिवर्तनों के लिए समर्पित है - वही जिनकी हमने शुरुआत में चर्चा की थी।

पूर्वरूपांतरण

इस भाग में हम जिन असमानताओं की चर्चा करेंगे, वे जटिल नहीं हैं। हालांकि, पिछले कार्यों के विपरीत, यहां आपको सिद्धांत से कौशल लागू करना होगा तर्कसंगत अंश- एक आम भाजक को गुणन और कमी।

हमने आज के पाठ की शुरुआत में ही इस मुद्दे पर विस्तार से चर्चा की। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि आप समझते हैं कि यह किस बारे में है, तो मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप वापस जाएं और दोहराएं। क्योंकि यदि आप भिन्नों के रूपांतरण में "तैरते" हैं तो असमानताओं को हल करने के तरीकों को समेटने का कोई मतलब नहीं है।

पर घर का पाठवैसे, इसी तरह के कई काम भी होंगे। उन्हें एक अलग उपखंड में रखा गया है। और वहां आपको बहुत ही गैर-तुच्छ उदाहरण मिलेंगे। लेकिन यह होमवर्क में होगा, लेकिन अब आइए कुछ ऐसी असमानताओं का विश्लेषण करें।

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

फेसला। सब कुछ बाईं ओर ले जाना:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

हम एक आम भाजक लाते हैं, कोष्ठक खोलते हैं, देते हैं समान शब्दअंश में:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और \frac(x\cdot x)(\बाएं(x-1 \दाएं)\cdot x)-\frac(\बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(x-1 \ दाएँ))(x\cdot \बाएं(x-1 \right))\le 0; \\ और \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ और \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ और \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

अब हमारे पास एक शास्त्रीय भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता है, जिसका समाधान अब कठिन नहीं है। मैं इसे एक वैकल्पिक विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव करता हूं - अंतराल की विधि के माध्यम से:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(3x-2 \दाएं)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हर से आने वाली बाधा को न भूलें:

हम संख्या रेखा पर सभी संख्याओं और प्रतिबंधों को चिह्नित करते हैं:

सभी जड़ों में पहली बहुलता होती है। कोई बात नहीं। हम केवल उन क्षेत्रों पर संकेत और पेंट लगाते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है:

यह सब है। आप उत्तर लिख सकते हैं।

जवाब। $x\में \बाएं(-\infty;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

बेशक, यह एक बहुत ही सरल उदाहरण था। तो चलिए अब समस्या पर करीब से नज़र डालते हैं। और वैसे, इस कार्य का स्तर स्वतंत्र और के साथ काफी सुसंगत है नियंत्रण कार्यइस विषय पर आठवीं कक्षा में।

काम। असमानता को हल करें:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

फेसला। सब कुछ बाईं ओर ले जाना:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

दोनों भिन्नों को एक समान हर में लाने से पहले, हम इन हरों को गुणनखंडों में विघटित करते हैं। अचानक वही ब्रैकेट निकल आएंगे? पहले हर के साथ यह आसान है:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

दूसरा थोड़ा और कठिन है। उस ब्रैकेट में एक स्थिर गुणक जोड़ने के लिए स्वतंत्र महसूस करें जहां अंश पाया गया था। याद रखें: मूल बहुपद में पूर्णांक गुणांक थे, इसलिए यह अत्यधिक संभावना है कि गुणनखंड में पूर्णांक गुणांक भी होंगे (वास्तव में, यह हमेशा होगा, सिवाय जब विवेचक अपरिमेय है)।

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ और =\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं) \अंत (संरेखण)\]

जैसा कि हम देखते हैं, वहाँ है सामान्य कोष्ठक: $\बाएं(x-1\दाएं)$। हम असमानता पर लौटते हैं और दोनों भिन्नों को एक समान भाजक में लाते हैं:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और \frac(1)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं))-\frac(1)(\बाएं(x-1 \दाएं)\ बाएँ(3x-2\दाएं))\ge 0; \\ और \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ और \frac(3x-2-x-9)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ और \frac(2x-11)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हर को शून्य पर सेट करें:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और \बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( संरेखित करें)\]

कोई बहुलता और कोई मेल खाने वाली जड़ें नहीं। हम चार संख्याओं को एक सीधी रेखा पर अंकित करते हैं:

हम संकेत डालते हैं:

हम उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ दाएं) $।

मिल जाने दो संख्यात्मक मूल्य x, जिस पर वे सत्य में बदल जाते हैं संख्यात्मक असमानताएँएक ही समय में कई तर्कसंगत असमानताएँ। ऐसे मामलों में, हम कहते हैं कि हमें एक अज्ञात x के साथ तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है।

तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, प्रणाली में प्रत्येक असमानता के सभी समाधान खोजने चाहिए। तब सभी पाए गए समाधानों का सामान्य हिस्सा सिस्टम का समाधान होगा।

उदाहरण:असमानताओं की प्रणाली को हल करें

(एक्स -1)(एक्स - 5)(एक्स - 7)< 0,

पहले हम असमानता को हल करते हैं

(एक्स - 1)(एक्स - 5)(एक्स - 7)< 0.

अंतराल विधि (चित्र 1) को लागू करने पर, हम पाते हैं कि असमानता (2) के सभी समाधानों के सेट में दो अंतराल होते हैं: (-, 1) और (5, 7)।

चित्र 1

आइए अब असमानता को हल करें

अंतराल विधि (चित्र 2) का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि असमानता (3) के सभी समाधानों के समुच्चय में भी दो अंतराल होते हैं: (2, 3) और (4, +)।

अब हमें खोजना है सामान्य भागअसमानताओं को हल करना (2) और (3)। आओ बनाते हैं समन्वय अक्ष x और उस पर पाए गए समाधानों को चिह्नित करें। अब यह स्पष्ट है कि सामान्य भागअसमानताओं का हल (2) और (3) अंतराल (5, 7) (चित्र 3) है।

नतीजतन, असमानताओं की प्रणाली के सभी समाधानों का सेट (1) अंतराल (5, 7) है।

उदाहरण: असमानताओं की प्रणाली को हल करें

x2 - 6x + 10< 0,

आइए पहले असमानता को हल करें

एक्स 2 - 6x + 10< 0.

चयन विधि लागू करना पूर्ण वर्ग, कोई लिख सकता है कि

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1।

अतः असमानता (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(एक्स - 3) 2 + 1< 0,

जिससे पता चलता है कि इसका कोई समाधान नहीं है।

अब आप असमानता को हल नहीं कर सकते

चूंकि उत्तर पहले से ही स्पष्ट है: सिस्टम (1) का कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण:असमानताओं की प्रणाली को हल करें

पहली असमानता पर विचार करें; अपने पास

1 < 0, < 0.

संकेतों के वक्र का उपयोग करके, हम इस असमानता का समाधान ढूंढते हैं: x< -2; 0 < x < 2.

आइए अब दी गई प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करें। हमारे पास x 2 - 64 . है< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

पहली और दूसरी असमानताओं के पाए गए समाधानों को एक सामान्य वास्तविक रेखा (चित्र 6) पर चिह्नित करने के बाद, हम ऐसे अंतराल पाते हैं जहां ये समाधान मेल खाते हैं (समाधान दमन): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

उदाहरण:असमानताओं की प्रणाली को हल करें

हम प्रणाली की पहली असमानता को बदलते हैं:

एक्स 3 (एक्स - 10) (एक्स + 10) 0, या एक्स (एक्स - 10) (एक्स + 10) 0

(चूंकि विषम शक्तियों वाले कारकों को पहली डिग्री के संबंधित कारकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है); अंतराल विधि का उपयोग करके, हम अंतिम असमानता के समाधान ढूंढते हैं: -10 x 0, x 10।

प्रणाली की दूसरी असमानता पर विचार करें; अपने पास

हम पाते हैं (चित्र 8) x -9; 3< x < 15.

पाए गए समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं (चित्र 9) x 0; एक्स > 3.

उदाहरण:ढूँढ़ने के लिए पूर्णांक समाधानअसमानताओं की प्रणाली:

एक्स + वाई< 2,5,

समाधान: आइए सिस्टम को फॉर्म में लाते हैं

पहली और दूसरी असमानताओं को जोड़ने पर, हमारे पास y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

कहाँ से -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

ज़रिये यह सबकआप तर्कसंगत असमानताओं और उनकी प्रणालियों के बारे में जानेंगे। तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली को समान परिवर्तनों की सहायता से हल किया जाता है। तुल्यता की परिभाषा पर विचार किया जाता है, एक वर्ग के साथ एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता को बदलने की विधि, और यह भी समझती है कि असमानता और समीकरण के बीच क्या अंतर है और समकक्ष परिवर्तन कैसे किए जाते हैं।

बीजगणित ग्रेड 9

9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम की अंतिम पुनरावृत्ति

तर्कसंगत असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ। तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली।

1.1 सार।

1. समतुल्य परिवर्तनतर्कसंगत असमानताएँ।

निर्णय करना तर्कसंगत असमानताइसका मतलब है कि इसके सभी समाधान खोजने के लिए। एक समीकरण के विपरीत, एक असमानता को हल करते समय, एक नियम के रूप में, अनंत संख्या में समाधान होते हैं। समाधान की अनंत संख्या को प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, मूल असमानता को इस तरह बदलना आवश्यक है कि प्रत्येक अगली पंक्ति में समाधानों के समान सेट के साथ एक असमानता प्राप्त हो।

तर्कसंगत असमानताएंकेवल के साथ हल किया गया समकक्षया समकक्ष परिवर्तन. इस तरह के परिवर्तन समाधान के सेट को विकृत नहीं करते हैं।

परिभाषा. तर्कसंगत असमानताएंबुलाया समकक्षयदि उनके समाधान के सेट समान हैं।

तय करने के लिए समानकसाइन का प्रयोग करें

2. असमानताओं की प्रणाली का समाधान

पहली और दूसरी असमानताएँ भिन्नात्मक परिमेय असमानताएँ हैं। उन्हें हल करने की विधियाँ रैखिक और द्विघात असमानताओं को हल करने के तरीकों की एक स्वाभाविक निरंतरता हैं।

आइए विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर की संख्याओं को बाईं ओर ले जाएं।

परिणामस्वरूप, 0 दाईं ओर रहेगा। यह परिवर्तन समतुल्य है। यह संकेत द्वारा इंगित किया गया है

आइए उन क्रियाओं को करें जो बीजगणित निर्धारित करती हैं। पहली असमानता में "1" और दूसरे में "2" घटाएं।

3. अंतराल विधि द्वारा असमानता को हल करना

1) आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें। हमें यह जानने की जरूरत है कि यह फ़ंक्शन 0 से कम कब है।

2) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: भाजक 0 नहीं होना चाहिए। "2" विराम बिंदु है। x=2 के लिए फलन अनिश्चित है।

3) फलन के मूल ज्ञात कीजिए। यदि अंश 0 है तो फलन 0 है।

सेट अंक टूटते हैं संख्यात्मक अक्षतीन अंतरालों में - ये संकेत स्थिरता के अंतराल हैं। प्रत्येक अंतराल पर, फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखता है। आइए हम पहले अंतराल पर चिह्न निर्धारित करें। कुछ मूल्य बदलें। उदाहरण के लिए, 100. यह स्पष्ट है कि अंश और हर दोनों 0 से बड़े हैं। इसका अर्थ है कि पूर्ण भिन्न धनात्मक है।

आइए हम शेष अंतरालों पर संकेतों को निर्धारित करें। बिंदु x=2 से गुजरने पर केवल हर चिह्न बदलता है। इसका अर्थ है कि पूर्ण भिन्न का चिह्न बदल जाएगा, और ऋणात्मक हो जाएगा। आइए एक ऐसी ही चर्चा करते हैं। बिंदु x=-3 से गुजरने पर केवल अंश ही चिह्न बदलता है। इसका मतलब है कि भिन्न संकेत बदलेगा और सकारात्मक होगा।

हम असमानता की स्थिति के अनुरूप एक अंतराल चुनते हैं। इसे छायांकित करें और इसे असमानता के रूप में लिखें

4. द्विघात असमानता का उपयोग करके असमानता को हल करना

एक महत्वपूर्ण तथ्य।

0 से तुलना करने पर (मामले में सख्त असमानता) अंश को अंश और हर के गुणन से बदला जा सकता है, या अंश या हर को बदला जा सकता है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि तीनों असमानताएँ धारण करती हैं बशर्ते कि u और v अलग संकेत. ये तीनों असमानताएँ समान हैं।

हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं और भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता को एक वर्ग से बदल देते हैं।

आइए द्विघात असमानता को हल करें।

आइए परिचय द्विघात फंक्शन. आइए इसकी जड़ें खोजें और इसके ग्राफ का एक स्केच बनाएं।

तो परवलय की शाखाएं ऊपर हैं। जड़ों के अंतराल के अंदर, फ़ंक्शन चिह्न को सुरक्षित रखता है। वह नकारात्मक है।

जड़ों के अंतराल के बाहर, कार्य सकारात्मक है।

पहली असमानता का समाधान:

5. असमानता का समाधान

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें:

आइए हम इसकी स्थिरता के अंतराल को खोजें:

ऐसा करने के लिए, हम फलन के प्रांत के मूल और असंततता बिंदु पाते हैं। हम हमेशा ब्रेक पॉइंट काटते हैं। (x \u003d 3/2) हमने असमानता के संकेत के आधार पर जड़ों को काट दिया। हमारी असमानता सख्त है। इसलिए, हमने जड़ को काट दिया।

आइए संकेत रखें:

आइए समाधान लिखें:

आइए सिस्टम का समाधान समाप्त करें। आइए हम पहली असमानता के समाधानों के समुच्चय और दूसरी असमानता के समाधानों के समुच्चय का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।

असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है पहली असमानता के समाधान के सेट और दूसरी असमानता के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन खोजना। इसलिए, पहली और दूसरी असमानताओं को अलग-अलग हल करने के बाद, प्राप्त परिणामों को एक प्रणाली में लिखना आवश्यक है।

आइए हम x-अक्ष पर पहली असमानता के समाधान को चित्रित करें।

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>>गणित: तर्कसंगत असमानताएं

एक चर x वाली परिमेय असमानता, परिमेय व्यंजकों के रूप की असमानता है, अर्थात्। बीजीय व्यंजक, संख्याओं और चर x से बना है जो जोड़, घटाव, गुणा, भाग और प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने के संचालन का उपयोग करता है। बेशक, चर को किसी अन्य अक्षर से निरूपित किया जा सकता है, लेकिन गणित में, अक्षर x को सबसे अधिक पसंद किया जाता है।

तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, ऊपर § 1 में तैयार किए गए तीन नियमों का उपयोग किया जाता है। इन नियमों की सहायता से, दी गई तर्कसंगत असमानता को आमतौर पर / (x)> 0 के रूप में परिवर्तित किया जाता है, जहां / (x) एक बीजीय है भिन्न (या बहुपद)। इसके बाद, अंश f (x) के अंश और हर को x - a (यदि, निश्चित रूप से, यह संभव है) के कारकों में विघटित करें और अंतराल विधि को लागू करें, जिसका हमने पहले ही ऊपर उल्लेख किया है (पिछले में उदाहरण 3 देखें) पैराग्राफ)।

उदाहरण 1असमानता को हल करें (x - 1) (x + 1) (x - 2)> 0।

फेसला।व्यंजक f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2) पर विचार करें।

यह अंक 1,-1,2 पर 0 हो जाता है; इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करें। संख्यात्मक रेखा को संकेतित बिंदुओं द्वारा चार अंतरालों (चित्र 6) में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक पर व्यंजक f (x) संरक्षित होता है। स्थायी चिह्न. इसे सत्यापित करने के लिए, हम चार तर्क देंगे (इनमें से प्रत्येक अंतराल के लिए अलग से)।

अंतराल से कोई भी बिंदु x लें (2, यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के दाईं ओर और बिंदु 2 के दाईं ओर स्थित है। इसका मतलब है कि x> -1, x> 1, x> 2 (चित्र 7) लेकिन फिर x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, और इसलिए f (x)> 0 (तीन की तर्कसंगत असमानता के उत्पाद के रूप में) सकारात्मक संख्या) अत: असमानता f (x) > 0 पूरे अंतराल पर बनी रहती है।

अंतराल (1,2) से कोई भी बिंदु x लीजिए। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के दाईं ओर, लेकिन बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। इसलिए, x> -1, x> 1, लेकिन x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

अंतराल (-1,1) से कोई भी बिंदु x लीजिए। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के बाईं ओर और बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। तो x> -1, लेकिन x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, एक्स -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (दो ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या के गुणनफल के रूप में)। तो, अंतराल (-1,1) पर असमानता f (x)> 0 धारण करती है।

अंत में, खुली किरण (-oo, -1) से कोई भी बिंदु x लें। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के बाईं ओर, बिंदु 1 के बाईं ओर और बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। इसका मतलब है कि x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

आइए संक्षेप करते हैं। चयनित अंतरालों में व्यंजक f (x) के चिह्न चित्र में दर्शाए गए हैं। 11. हम उनमें से उन में रुचि रखते हैं जिन पर असमानता f (x)> 0 संतुष्ट है। अंजीर में प्रस्तुत ज्यामितीय मॉडल का उपयोग करना। 11, हम स्थापित करते हैं कि असमानता f (x) > 0 अंतराल (-1, 1) या खुले बीम पर संतुष्ट है
जवाब: -1 < х < 1; х > 2.

उदाहरण 2असमानता को हल करें
फेसला।पिछले उदाहरण की तरह, हम आकर्षित करते हैं आवश्यक जानकारीअंजीर से। 11, लेकिन उदाहरण 1 की तुलना में दो परिवर्तनों के साथ। पहला, चूंकि हम इस बात में रुचि रखते हैं कि x के कौन से मान असमानता को संतुष्ट करते हैं f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки दूसरे, हम उन बिंदुओं से भी संतुष्ट हैं जिन पर f (x) = 0 की समानता संतुष्ट है। ये बिंदु -1, 1, 2 हैं, हम उन्हें आकृति में काले घेरे से चिह्नित करते हैं और उन्हें उत्तर में शामिल करते हैं। अंजीर पर। 12 प्रतिक्रिया का एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है, जिससे विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड में जाना मुश्किल नहीं है।
जवाब:
उदाहरण 3.असमानता को हल करें
फेसला. आइए हम असमानता के बाईं ओर निहित बीजीय अंश fx के अंश और हर का गुणनखंड करें। अंश में हमारे पास x 2 - x \u003d x (x - 1) है।

भिन्न के हर में निहित वर्ग त्रिपद x 2 - bx ~ 6 का गुणनखंड करने के लिए, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं। समीकरण x 2 - 5x - 6 \u003d 0 से हम x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6 पाते हैं। इसलिए, (हमने गुणनखंडन सूत्र का उपयोग किया वर्ग त्रिपद: कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d ए (एक्स - एक्स 1 - एक्स 2))।
इस प्रकार, हमने दी गई असमानता को रूप में बदल दिया है

अभिव्यक्ति पर विचार करें:

इस भिन्न का अंश अंक 0 और 1 पर 0 हो जाता है और अंक -1 और 6 पर 0 हो जाता है। आइए इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर चिह्नित करें (चित्र 13)। संख्यात्मक रेखा को संकेतित बिंदुओं से पांच अंतरालों में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक अंतराल पर अभिव्यक्ति fx) एक स्थिर चिह्न रखता है। उदाहरण 1 की तरह ही तर्क करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि चयनित अंतरालों में व्यंजक fx) के चिह्न चित्र में दर्शाए गए हैं। 13. हम इस बात में रुचि रखते हैं कि असमानता f (x) कहाँ है< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 उत्तर: -1

उदाहरण 4असमानता को हल करें

फेसला।तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, एक नियम के रूप में, वे असमानता के दाईं ओर केवल संख्या 0 छोड़ना पसंद करते हैं। इसलिए, हम असमानता को रूप में बदलते हैं

आगे:

जैसा कि अनुभव से पता चलता है, यदि असमानता के दाईं ओर केवल संख्या 0 है, तो यह तर्क करना अधिक सुविधाजनक है कि इसके बाईं ओर के अंश और हर दोनों में एक सकारात्मक अग्रणी गुणांक है। और हमारे पास क्या है? हमारे पास सब कुछ है इस अर्थ में भिन्न का हर क्रम में (अग्रणी गुणांक, यानी x 2 पर गुणांक, 6 - एक सकारात्मक संख्या है), लेकिन अंश में सब कुछ क्रम में नहीं है - वरिष्ठ गुणांक (x पर गुणांक) है - 4 (ऋणात्मक संख्या) असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने और असमानता के चिन्ह को विपरीत में बदलने पर, हमें एक समान असमानता प्राप्त होती है

आइए अंश और हर का विस्तार करें बीजीय भिन्नगुणकों के लिए। अंश में, सब कुछ सरल है:
एक भिन्न के हर में निहित वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना

(हमने एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के लिए फिर से सूत्र का उपयोग किया)।
इस प्रकार, हमने दी गई असमानता को रूप में घटा दिया है

अभिव्यक्ति पर विचार करें

इस भिन्न का अंश बिंदु पर 0 हो जाता है और हर - बिंदुओं पर। हम इन बिंदुओं को संख्या रेखा (चित्र 14) पर नोट करते हैं, जो संकेतित बिंदुओं से चार अंतरालों में विभाजित होता है, और प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक f (x) एक स्थिर चिन्ह रखता है (ये चिन्ह चित्र 14 में दर्शाए गए हैं)। हम उन अंतरालों में रुचि रखते हैं जिन पर असमानता fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने दी गई असमानता को f (x)> 0 या f (x) के रूप की एक समान असमानता में बदल दिया।<0,где
इस मामले में, अंश के अंश और हर में कारकों की संख्या कोई भी हो सकती है। फिर अंक रेखा पर अंक a, b, c, e अंकित किए गए। और चयनित अंतरालों पर व्यंजक f (x) के चिह्नों को निर्धारित किया। हमने देखा कि चयनित अंतरालों के दाईं ओर, असमानता f (x)> 0 संतुष्ट है, और फिर व्यंजक f (x) के संकेत अंतराल के साथ वैकल्पिक होते हैं (चित्र 16a देखें)। इस प्रत्यावर्तन को एक लहरदार वक्र की सहायता से आसानी से चित्रित किया गया है, जिसे दाएँ से बाएँ और ऊपर से नीचे की ओर खींचा गया है (चित्र 166)। उन अंतरालों पर जहां यह वक्र (इसे कभी-कभी संकेतों का वक्र कहा जाता है) x-अक्ष के ऊपर स्थित होता है, असमानता f (x) > 0 संतुष्ट होती है; जहां यह वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है, असमानता f (x)< 0.

उदाहरण 5असमानता को हल करें

फेसला।हमारे पास है

(पिछली असमानता के दोनों भागों को 6 से गुणा किया गया था)।
अंतराल विधि का उपयोग करने के लिए, संख्या रेखा पर बिंदुओं को चिह्नित करें (इन बिंदुओं पर असमानता के बाईं ओर निहित अंश का अंश गायब हो जाता है) और अंक (इन बिंदुओं पर संकेतित अंश का हर गायब हो जाता है)। आमतौर पर, बिंदुओं को योजनाबद्ध रूप से चिह्नित किया जाता है, उस क्रम को ध्यान में रखते हुए जिसमें वे अनुसरण करते हैं (जो कि दाईं ओर है, जो बाईं ओर है) और विशेष रूप से पैमाने पर ध्यान नहीं दे रहा है। यह स्पष्ट है कि संख्याओं के साथ स्थिति अधिक जटिल है। पहला अनुमान बताता है कि दोनों संख्याएँ 2.6 से थोड़ी बड़ी हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकालना असंभव है कि कौन सी संकेतित संख्या बड़ी है और कौन सी छोटी है। मान लीजिए (यादृच्छिक रूप से) कि तब
यह सही असमानता निकला, जिसका अर्थ है कि हमारे अनुमान की पुष्टि हुई: वास्तव में
इसलिए,

हम संख्या रेखा (चित्र 17a) पर संकेतित क्रम में संकेतित 5 बिंदुओं को चिह्नित करते हैं। अभिव्यक्ति के संकेतों को व्यवस्थित करें
प्राप्त अंतराल पर: बहुत दाईं ओर - एक + चिन्ह, और फिर संकेत वैकल्पिक (चित्र। 176)। आइए हम संकेतों का एक वक्र बनाएं और उन अंतरालों का चयन करें (छायांकन करके) जिन पर असमानता f (x) > 0 हमारे लिए संतुष्ट है (चित्र 17c)। अंत में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हम एक गैर-सख्त असमानता f (x)> 0 के बारे में बात कर रहे हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन बिंदुओं में भी रुचि रखते हैं, जहां पर व्यंजक f (x) गायब हो जाता है। ये भिन्न f (x) के अंश के मूल हैं, अर्थात्। अंक हम उन्हें अंजीर में चिह्नित करते हैं। 17 काले घेरे में (और, निश्चित रूप से, उत्तर में शामिल करें)। अब यहाँ तस्वीर है। 17c दी गई असमानता के समाधान के लिए एक पूर्ण ज्यामितीय मॉडल देता है।