गुणा साधारण अंश

एक उदाहरण पर विचार करें।

माना प्लेट पर एक सेब का $\frac(1)(3)$ हिस्सा है। हमें इसका $\frac(1)(2)$ भाग ज्ञात करना है। आवश्यक भाग भिन्नों $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(2)$ को गुणा करने का परिणाम है। दो उभयनिष्ठ भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक उभयनिष्ठ भिन्न होता है।

दो उभयनिष्ठ भिन्नों का गुणा करना

साधारण भिन्नों को गुणा करने का नियम:

एक भिन्न को भिन्न से गुणा करने का परिणाम एक भिन्न होता है जिसका अंश होता है उत्पाद के बराबर हैगुणा भिन्नों के अंश, और हर हर के गुणनफल के बराबर है:

उदाहरण 1

साधारण भिन्न $\frac(3)(7)$ और $\frac(5)(11)$ को गुणा करें।

फेसला।

आइए साधारण भिन्नों के गुणन के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

जवाब:$\frac(15)(77)$

यदि भिन्नों को गुणा करने के परिणामस्वरूप एक रद्द करने योग्य या अनुचित अंश प्राप्त होता है, तो इसे सरल बनाना आवश्यक है।

उदाहरण 2

भिन्न $\frac(3)(8)$ और $\frac(1)(9)$ को गुणा करें।

फेसला।

हम साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

नतीजतन, हमें एक कम करने योग्य अंश मिला (विभाजन के आधार पर $ 3$। भिन्न के अंश और हर को $ 3$ से विभाजित करें, हम प्राप्त करते हैं:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

संक्षिप्त समाधान:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

जवाब:$\frac(1)(24).$

भिन्नों को गुणा करते समय, आप उनके गुणनफल को खोजने के लिए अंशों और हरों को कम कर सकते हैं। इस मामले में, अंश के अंश और हर को विघटित किया जाता है प्रधान कारण, जिसके बाद दोहराए गए कारक कम हो जाते हैं और परिणाम मिलता है।

उदाहरण 3

भिन्न $\frac(6)(75)$ और $\frac(15)(24)$ के गुणनफल की गणना करें।

फेसला।

आइए साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

जाहिर है, अंश और हर में ऐसी संख्याएँ होती हैं जिन्हें जोड़े में $ 2 $, $ 3 $ और $ 5 $ की संख्या से कम किया जा सकता है। हम अंश और हर को सरल गुणनखंडों में विघटित करते हैं और घटाते हैं:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

जवाब:$\frac(1)(20).$

भिन्नों को गुणा करते समय, आप उपयोग कर सकते हैं विस्थापन कानून:

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करना

एक साधारण भिन्न को से गुणा करने का नियम प्राकृतिक संख्या:

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का परिणाम एक अंश होता है जिसमें अंश प्राकृतिक संख्या से गुणा किए गए अंश के अंश के गुणनफल के बराबर होता है, और हर गुणित भिन्न के हर के बराबर होता है:

जहाँ $\frac(a)(b)$ एक उभयनिष्ठ भिन्न है, $n$ एक प्राकृत संख्या है।

उदाहरण 4

भिन्न $\frac(3)(17)$ को $4$ से गुणा करें।

फेसला।

आइए एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

जवाब:$\frac(12)(17).$

अंश की संविदात्मकता के लिए या नहीं के लिए गुणन के परिणाम की जाँच करना न भूलें उचित अंश.

उदाहरण 5

भिन्न $\frac(7)(15)$ को $3$ से गुणा करें।

फेसला।

आइए एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$ 3$ संख्या से विभाजन की कसौटी द्वारा), यह निर्धारित किया जा सकता है कि परिणामी अंश को कम किया जा सकता है:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

परिणाम एक अनुचित अंश है। आइए पूरा हिस्सा लेते हैं:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

संक्षिप्त समाधान:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

अंश और हर में संख्याओं को उनके विस्तार से अभाज्य गुणनखंडों में बदलकर भिन्नों को कम करना भी संभव था। इस मामले में, समाधान निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

जवाब:$1\frac(2)(5).$

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करते समय, आप क्रमविनिमेय नियम का उपयोग कर सकते हैं:

साधारण भिन्नों का विभाजन

विभाजन संक्रिया गुणन का विलोम है और इसका परिणाम भिन्न होता है, जिससे ज्ञात भिन्न को गुणा करने की आवश्यकता होती है प्रसिद्ध कामदो अंश।

दो सामान्य भिन्नों का विभाजन

साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम:जाहिर है, परिणामी भिन्न के अंश और हर को सरल कारकों में विघटित किया जा सकता है और कम किया जा सकता है:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

नतीजतन, हमें एक अनुचित अंश मिला, जिसमें से हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

जवाब:$1\frac(5)(9).$

औसत के दौरान और उच्च विद्यालयछात्रों ने "अंश" विषय का अध्ययन किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई तुलना में बहुत व्यापक है। आज, एक भिन्न की अवधारणा का अक्सर सामना किया जाता है, और हर कोई किसी भी व्यंजक की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, भिन्नों को गुणा करना।

एक अंश क्या है?

ऐतिहासिक रूप से ऐसा हुआ कि मापने की आवश्यकता के कारण भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई दीं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, एक खंड की लंबाई, एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के लिए अक्सर उदाहरण होते हैं।

प्रारंभ में, छात्रों को एक शेयर के रूप में इस तरह की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक को एक तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहते हैं।

किसी भी मूल्य के ½ के बराबर हिस्से को आधा कहा जाता है; - तीसरा; - एक चौथाई। 5/8, 4/5, 2/4 जैसी प्रविष्टियाँ उभयनिष्ठ भिन्न कहलाती हैं। एक साधारण अंश को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्नात्मक रेखा या भिन्नात्मक रेखा होती है। एक भिन्नात्मक दंड को क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींचा जा सकता है। पर इस मामले मेंयह विभाजन चिह्न के लिए खड़ा है।

भाजक यह दर्शाता है कि मूल्य, वस्तु को कितने समान भागों में बांटा गया है; और अंश यह है कि कितने बराबर शेयर लिए गए हैं। अंश को भिन्नात्मक बार के ऊपर लिखा जाता है, उसके नीचे हर।

पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक होता है समन्वय बीम. यदि एक खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक हिस्से को नामित करें लैटिन अक्षर, तो परिणामस्वरूप आप एक उत्कृष्ट प्राप्त कर सकते हैं दृश्य सामग्री. तो, बिंदु A संपूर्ण इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B इस खंड का 2/8 भाग दिखाता है।

भिन्नों की किस्में

भिन्न सामान्य, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।

एक उचित भिन्न एक संख्या है जिसका अंश हर से कम. तदनुसार, एक अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश हर से बड़ा होता है। दूसरे प्रकार को आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस तरह के व्यंजक में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, 1½। एक - पूरा भाग, ½ - भिन्नात्मक। हालाँकि, यदि आपको व्यंजक के साथ कुछ जोड़तोड़ करने की आवश्यकता है (विभाजन या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में बदल दिया जाता है।

सही भिन्नात्मक व्यंजक हमेशा होता है एक से कम, और गलत - 1 से बड़ा या उसके बराबर।

इस अभिव्यक्ति के लिए, वे एक रिकॉर्ड को समझते हैं जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न सही है, तो पूरा भाग दशमलव अंकनशून्य के बराबर होगा।

दशमलव लिखने के लिए, आपको पहले पूर्णांक भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम से भिन्न से अलग करना होगा, और फिर भिन्नात्मक व्यंजक लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि अल्पविराम के बाद अंश में उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि हर में शून्य होते हैं।

उदाहरण. दशमलव अंकन में भिन्न 7 21/1000 का प्रतिनिधित्व करें।

एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए एल्गोरिदम और इसके विपरीत

प्रश्न के उत्तर में अनुचित भिन्न लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना चाहिए:

• अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
• में विशिष्ट उदाहरणअधूरा भागफल - संपूर्ण;
• और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, जिसमें हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47/5 .

फेसला. 47: 5. अपूर्ण भागफल 9 है, शेषफल = 2 है। अतः, 47/5 = 9 2/5.

कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता होती है। फिर आपको निम्न एल्गोरिथम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

• पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक व्यंजक के हर से गुणा किया जाता है;
• परिणामी उत्पाद अंश में जोड़ा जाता है;
• परिणाम अंश में लिखा जाता है, भाजक अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. में एक संख्या का प्रतिनिधित्व करें मिश्रित रूपएक अनुचित भिन्न के रूप में: 9 8/10 .

फेसला. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 अंश है।

जवाब: 98 / 10.

साधारण भिन्नों का गुणन

आप साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजीय संक्रियाएँ कर सकते हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, भिन्नों का गुणन विभिन्न भाजकभिन्नात्मक संख्याओं के गुणनफल से भिन्न नहीं होता है एक ही भाजक.

ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद, आपको अंश को कम करने की आवश्यकता होती है। पर जरूरपरिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाया जाना चाहिए। बेशक, यह नहीं कहा जा सकता है कि उत्तर में एक अनुचित अंश एक गलती है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी मुश्किल है।

उदाहरण. दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, उत्पाद खोजने के बाद, एक कम करने योग्य भिन्नात्मक अंकन प्राप्त होता है। इस मामले में अंश और हर दोनों 4 से विभाज्य हैं, और परिणाम 5/9 का उत्तर है।

दशमलव अंशों को गुणा करना

दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। अतः भिन्नों का गुणा इस प्रकार है:

• दो दशमलव अंशों को एक दूसरे के नीचे लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक दूसरे के नीचे हों;
• आपको अल्पविराम के बावजूद, अर्थात् प्राकृतिक संख्याओं के रूप में, लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
• प्रत्येक संख्या में अल्पविराम के बाद अंकों की संख्या गिनें;
• गुणन के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों में योग में जितने डिजिटल वर्ण शामिल हैं, उतने दायीं ओर गिनने की आवश्यकता है, और एक अलग चिह्न लगाना है;
• यदि गुणन में कम अंक हैं, तो इस संख्या को कवर करने के लिए उनके सामने इतने शून्य लिखे जाने चाहिए, अल्पविराम लगाएं और शून्य के बराबर एक पूर्णांक भाग निर्दिष्ट करें।

उदाहरण. दो दशमलवों के गुणनफल की गणना करें: 2.25 और 3.6।

फेसला.

मिश्रित भिन्नों का गुणन

दो के उत्पाद की गणना करने के लिए मिश्रित भिन्न, आपको भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करना होगा:

• मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें;
• अंशों का गुणनफल ज्ञात कीजिए;
• हर के उत्पाद का पता लगाएं;
• परिणाम लिखो;
• अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं।

उदाहरण. 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (संख्या से भिन्न)

दो भिन्नों, मिश्रित संख्याओं के गुणनफल को खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जहाँ आपको भिन्न से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

तो, काम खोजने के लिए दशमलव अंशऔर एक प्राकृतिक संख्या, आपको चाहिए:

• भिन्न के नीचे की संख्या इस प्रकार लिखिए कि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
• अल्पविराम के बावजूद काम खोजें;
• प्राप्त परिणाम में, अल्पविराम का उपयोग करके पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, दाईं ओर उन वर्णों की संख्या गिनें जो भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद हैं।

एक साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनखंड का गुणनफल ज्ञात करना चाहिए। अगर उत्तर एक कम करने योग्य अंश है, तो इसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

उदाहरण. 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।

फेसला. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

जवाब: 7 1 / 2.

जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना आवश्यक था।

साथ ही, भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या के गुणनफल और एक प्राकृतिक कारक को खोजने पर भी लागू होता है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित गुणनखंड के पूर्णांक भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण. 9 5/6 और 9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

फेसला. 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2।

जवाब: 88 1 / 2.

गुणनखंड 10, 100, 1000 या 0.1 से गुणा; 0.01; 0.001

यह पिछले पैराग्राफ से निम्नानुसार है अगला नियम. दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, 10000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को दायीं ओर उतने अंकों वाले वर्णों से ले जाना होगा जितने गुणक में एक के बाद एक शून्य होते हैं।

उदाहरण 1. 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

फेसला. 0.065 x 1000 = 0065 = 65।

जवाब: 65.

उदाहरण 2. 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

फेसला. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900।

जवाब: 3900.

यदि आपको एक प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना चाहिए, जितने अंकों के वर्ण हैं क्योंकि एक से पहले शून्य हैं। यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्या के सामने पर्याप्त संख्या में शून्य लिखे जाते हैं।

उदाहरण 1. 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

फेसला. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

जवाब: 0,56.

उदाहरण 2. 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

फेसला. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004।

जवाब: 0,004.

तो, उत्पाद ढूँढना विभिन्न अंशपरिणाम की गणना को छोड़कर, कठिनाइयों का कारण नहीं बनना चाहिए; इस मामले में, आप बस कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते।

87. भिन्नों का योग।

भिन्नों को जोड़ने पर पूर्ण संख्याओं के योग के समान कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक क्रिया है जिसमें इस तथ्य को शामिल किया जाता है कि कई दी गई संख्याओं (शब्दों) को एक संख्या (योग) में जोड़ा जाता है, जिसमें सभी इकाइयाँ और पदों की इकाइयों की भिन्न होती हैं।

हम तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करेंगे:

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग।

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5 ।

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और 5 . से विभाजित करें बराबर भाग, तो इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग 2/5 AB के बराबर होगा।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि यदि हम खंड AD को लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD ठीक खंड AC और CD का योग है। तो, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन शर्तों और परिणामी राशि को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और समान हर को छोड़ना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग।

आइए भिन्न जोड़ें: 3/4 + 3/8 पहले उन्हें सबसे कम आम भाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

मध्यम 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सका; हमने इसे यहां अधिक स्पष्टता के लिए लिखा है।

इस प्रकार, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और हस्ताक्षर करना होगा। आम विभाजक.

एक उदाहरण पर विचार करें ( अतिरिक्त गुणकहम संबंधित भिन्नों पर लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग।

आइए संख्याएं जोड़ें: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए सबसे पहले हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाते हैं और उन्हें फिर से लिखते हैं:

अब पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रम से जोड़ें:

88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों के घटाव को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं का घटाव। यह एक क्रिया है जिसके द्वारा दो पदों और उनमें से एक के योग से दूसरा पद प्राप्त होता है। आइए तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करें:

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का AC भाग AB का 1/15 होगा, और उसी खंड का AD भाग 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए एक और खंड ईडी को 4/15 एबी के बराबर सेट करें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया है, उससे पता चलता है कि अंतर का अंश अंशों को घटाकर प्राप्त किया गया था, और हर एक ही रहा।

इसलिए, समान हर के साथ अंशों को घटाने के लिए, आपको घटाव के अंश को घटाव के अंश से घटाना होगा और उसी हर को छोड़ना होगा।

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे सामान्य हर में कम करें:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 - 5/8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन इसे भविष्य में छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, एक भिन्न से एक भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे छोटे सामान्य हर में लाना होगा, फिर सबट्रेंड के अंश को माइन्यूएंड के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3 / 4 - 7 2 / 3 ।

आइए न्यूनतम सामान्य भाजक के लिए न्यूनतम और उप-अनुच्छेद के भिन्नात्मक भागों को लाएं:

हम एक पूर्ण से एक पूर्ण और भिन्न से भिन्न घटाते हैं। लेकिन ऐसे मामले होते हैं जब सबट्रेंड का भिन्नात्मक भाग मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग से बड़ा होता है। ऐसे मामलों में, आपको मिन्यूएंड के पूर्णांक भाग से एक इकाई लेने की जरूरत है, इसे उन हिस्सों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव उसी तरह किया जाएगा जैसे पिछले उदाहरण में:

89. भिन्नों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम विचार करेंगे अगले प्रश्न:

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. ब्याज की अवधारणा।
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।

किसी भिन्न को किसी पूर्णांक से गुणा करने का वही अर्थ होता है, जो किसी पूर्णांक को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर होता है। एक भिन्न (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर हो, और पदों की संख्या गुणक के बराबर हो।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करने की आवश्यकता है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें आसानी से परिणाम मिल गया, क्योंकि क्रिया को एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए कम कर दिया गया था। इसलिये,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना इस भिन्न को जितनी बार पूर्णांक में इकाइयाँ हैं, बढ़ाने के बराबर है। और चूँकि भिन्न में वृद्धि या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त की जाती है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या इसके द्वारा भाजक को विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहां से हमें नियम मिलता है:

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा और एक ही हर को छोड़ना होगा या, यदि संभव हो तो, अंश को अपरिवर्तित छोड़कर, इस संख्या से हर को विभाजित करना होगा।

गुणा करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनमें आपको दी गई संख्या का एक भाग ढूँढ़ना या परिकलित करना होता है। इन कार्यों और अन्य कार्यों के बीच का अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक हिस्सा खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं का उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की विधि का परिचय देंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; इस पैसे का 1/3 भाग मैंने किताबों की खरीद पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहरों ए और बी के बीच की दूरी 300 किमी के बराबर तय करनी चाहिए। वह पहले ही उस दूरी का 2/3 भाग तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गांव में 400 घर हैं, इनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कितने ईंट के घर हैं?

यहाँ कुछ ऐसी अनेक समस्याएँ हैं जिनका सामना हमें किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए करना पड़ता है। उन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का एक अंश खोजने के लिए समस्या कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसलिए, पुस्तकों की लागत ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या 2 समाधान।समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी में से 2/3 खोजने की आवश्यकता है। 300 में से पहले 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (यह 300 का 1/3 है)।

300 का दो-तिहाई निकालने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (यह 300 का 2/3 है)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो 400 के 3/4 हैं। आइए पहले 400 का 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (जो कि 400 का 1/4 है)।

के लिए तीन की गणना 400 से चौथाई, परिणामी भागफल को तीन गुना किया जाना चाहिए, अर्थात 3 से गुणा किया जाना चाहिए:

100 x 3 = 300 (जो 400 का 3/4 है)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या से भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से भाग देना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।

इससे पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों के योग के रूप में समझा जाना चाहिए (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20)। इस अनुच्छेद (पैराग्राफ 1) में यह स्थापित किया गया था कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों ही मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम एक पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणा: 9 2/3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम समान संख्याओं को जोड़कर ऐसे गुणन को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं।

इसके कारण हमें गुणन की एक नई परिभाषा देनी होगी, यानी दूसरे शब्दों में, इस प्रश्न का उत्तर दें कि भिन्न से गुणा करके क्या समझा जाए, इस क्रिया को कैसे समझा जाए।

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: किसी पूर्णांक (गुणक) को भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ गुणक के इस भिन्न को ज्ञात करना है।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों का 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 के साथ समाप्त होते हैं।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण सवाल: पहली नज़र में ऐसा क्यों विभिन्न गतिविधियाँराशि का पता कैसे लगाएं समान संख्याऔर अंकगणित में किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना, वही शब्द "गुणा" कहलाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (किसी संख्या को शब्दों के साथ कई बार दोहराना) और एक नई क्रिया (किसी संख्या का अंश ज्ञात करना) इसका उत्तर देती है सजातीय प्रश्न. इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे कपड़े की 4 मीटर लागत कितनी होगी?

मीटर (4), यानी 50 x 4 = 200 (रूबल) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके इस समस्या को हल किया जाता है।

चलो एक ही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे कपड़े की 3/4 मी लागत कितनी होगी?

मीटर (3/4) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके भी इस समस्या को हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना कई बार इसमें संख्याओं को बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की विषयवस्तु समान होती है और केवल संख्याओं में भिन्नता होती है, इसलिए हम इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

एक पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा किया जाता है?

आइए पिछली समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3 / 4 खोजना होगा। पहले हम 50 का 1/4 और फिर 3 / 4 पाते हैं।

50 का 1/4, 50/4 है;

50 का 3/4 है।

इसलिये।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5/8 = ?

12 का 1/8, 12/8 है,

12 की संख्या का 5/8 है।

इसलिये,

यहां से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर को हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

हम इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में निर्धारित किया गया था।

यह याद रखना चाहिए कि गुणन करने से पहले आपको करना चाहिए (यदि संभव हो तो) कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर होता है, अर्थात किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने पर आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणक में भिन्न ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लेते हैं: 3/4 गुना 5/7. इसका मतलब है कि आपको 3 / 4 से 5/7 खोजने की जरूरत है। पहले 3/4 का 1/7 और फिर 5/7 . खोजें

3/4 का 1/7 इस तरह व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

दूसरा उदाहरण: 5/8 गुना 4/9.

5/8 का 1/9 है ,

4/9 संख्याएं 5/8 हैं।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरे उत्पाद को गुणनफल का हर बनाना होगा।

यह नियम है सामान्य दृष्टि सेइस तरह लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय, (यदि संभव हो) कटौती करना आवश्यक है। उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित अंशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि उन मामलों में जहां गुणक, या कारक, या दोनों कारक व्यक्त किए जाते हैं मिश्रित संख्या, तो उन्हें अनुचित भिन्नों से बदल दिया जाता है। गुणा करें, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याएँ: 2 1/2 और 3 1/5। हम उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदल देते हैं और फिर हम परिणामी भिन्नों को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणा निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. ब्याज की अवधारणा।समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणना करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान रखना चाहिए कि कई मात्राएँ अपने लिए कोई नहीं, बल्कि प्राकृतिक उपखंडों को स्वीकार करती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां (1/100) ले सकते हैं, यह एक पैसा होगा, दो सौवां 2 कोप्पेक है, तीन सौवां 3 कोप्पेक है। आप रूबल का 1/10 ले सकते हैं, यह "10 कोप्पेक, या एक पैसा होगा। आप रूबल का एक चौथाई हिस्सा ले सकते हैं, यानी। 25 कोप्पेक, आधा रूबल, यानी। 50 कोप्पेक (पचास कोप्पेक)। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से डॉन उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल न लें क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन की माप की इकाई, यानी किलोग्राम, सबसे पहले, दशमलव उपखंडों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम। और एक किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1 /13 असामान्य हैं।

सामान्य तौर पर हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव उपखंडों की अनुमति देते हैं।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में उप-विभाजित मात्राओं की समान (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इस तरह का एक उचित विभाजन "सौवां" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत से 12/100 की कमी आई है।

उदाहरण। पुस्तक की पिछली कीमत 10 रूबल है। वह 1 रूबल से नीचे चली गई। 20 कोप.

2. बचत बैंक वर्ष के दौरान जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। 500 रूबल कैश डेस्क में डाल दिए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या छात्रों की कुल संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र पढ़ते थे, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या के सौवें भाग को प्रतिशत कहते हैं।.

शब्द "प्रतिशत" से उधार लिया गया है लैटिनऔर इसकी जड़ "सेंट" का अर्थ सौ है। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से निकलता है कि शुरू में प्राचीन रोमब्याज वह धन था जिसे देनदार ने "हर सौ के लिए" ऋणदाता को भुगतान किया था। "सेंट" शब्द ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (वे सेंटीमीटर कहते हैं)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान अपने द्वारा उत्पादित सभी उत्पादों का 1/100 उत्पादन किया, हम यह कहेंगे: संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान एक प्रतिशत अस्वीकृत का उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना की तुलना में 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र योजना से 4 प्रतिशत अधिक हो गया।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग तरह से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत के 12 फीसदी की कमी आई है।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में डाली गई राशि का 2 प्रतिशत प्रति वर्ष भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या स्कूल के सभी छात्रों की संख्या का 5 प्रतिशत थी।

पत्र को छोटा करने के लिए, "प्रतिशत" शब्द के बजाय% चिह्न लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि % चिह्न आमतौर पर गणना में नहीं लिखा जाता है, इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस आइकन के साथ एक पूर्णांक के बजाय 100 के हर के साथ एक अंश लिखना होगा।

आपको निर्दिष्ट चिह्न के साथ एक पूर्णांक को 100 के हर वाले अंश से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले अंश के बजाय संकेतित चिह्न के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 क्यूबिक मीटर मिले। जलाऊ लकड़ी का मी, सन्टी जलाऊ लकड़ी के साथ 30% के लिए लेखांकन। कितनी सन्टी लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि सन्टी जलाऊ लकड़ी स्कूल में वितरित की जाने वाली जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा था, और इस भाग को 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, हमें किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य करना पड़ता है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या के अंश को एक अंश से गुणा करके हल किया जाता है।)

तो 200 का 30% 60 के बराबर होता है।

अंश 30 / 100, इस समस्या में, 10 की कमी की अनुमति देता है। इस कमी को शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदलेगा।

कार्य 2.कैंप में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 वर्ष की आयु के बच्चे 21% थे, 12 वर्ष की आयु के बच्चे 61% थे और अंत में 13 वर्ष के बच्चे 18% थे। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात्, क्रमशः 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात कीजिए।

अत: यहाँ किसी संख्या का भिन्न तीन बार ज्ञात करना आवश्यक होगा। हो जाए:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 साल के कितने बच्चे थे?

3) 13 साल के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस बात पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कि कुल गणनाशिविर में शामिल बच्चों को शत-प्रतिशत लिया गया।

3 एक दा चा 3.कार्यकर्ता को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इनमें से, उन्होंने भोजन पर 65%, एक अपार्टमेंट और हीटिंग पर 6%, गैस, बिजली और रेडियो पर 4%, सांस्कृतिक जरूरतों पर 10% और 15% की बचत की। कार्य में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना धन व्यय किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1,200 का एक अंश 5 बार खोजना होगा। चलिए करते हैं।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च होता है? टास्क कहता है कि यह खर्च कुल कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करते हैं:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा दिया गया था? पिछले एक की तरह बहस करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुंचते हैं:

3) आपने गैस, बिजली और रेडियो के लिए कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया जाता है?

5) कार्यकर्ता ने कितना पैसा बचाया?

सत्यापन के लिए, इन 5 प्रश्नों में मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% के रूप में लिया जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया है। इस तथ्य के बावजूद कि ये कार्य अलग-अलग चीजों के बारे में थे (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, अलग-अलग उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता का खर्च), उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी कार्यों में दी गई संख्याओं का कुछ प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन
3. किसी पूर्णांक का भिन्न से भाग।
4. भिन्न का भिन्न से भाग।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।
6. भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों पर अनुभाग में इंगित किया गया था, विभाजन इस तथ्य से युक्त क्रिया है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक अन्य कारक पाया जाता है।

एक पूर्णांक से एक पूर्णांक का विभाजन जिसे हमने पूर्णांकों के विभाग में माना है। हम वहां विभाजन के दो मामले मिले: बिना शेष के विभाजन, या "पूरी तरह से" (150: 10 = 15), और शेष के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के दायरे में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा भाजक और पूर्णांक का गुणनफल नहीं होता है। भिन्न से गुणन की शुरुआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से भाग देने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 बार 7 होगा। यह संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7 है। एक और उदाहरण: 14: 25 = 14/25 क्योंकि 14/25 25 = 14.

इस प्रकार, एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाने की आवश्यकता होती है, जिसका अंश भाज्य के बराबर होता है, और भाजक भाजक होता है।

2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन।

भिन्न 6/7 को 3 से भाग दें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और कारकों में से एक (3) है; ऐसा दूसरा गुणनखंड ज्ञात करना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर प्राप्त होगा इस काम 6/7. जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने जो कार्य निर्धारित किया गया था, वह अंश को 6/7 से 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भिन्न का घटाव या तो उसके अंश को घटाकर या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, आप लिख सकते हैं:

इस मामले में, अंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं: 5/8 को 2 से विभाजित किया जाता है। यहां, अंश 5 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम नियम बता सकते हैं: एक अंश को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको अंश के अंश को उस पूर्णांक से विभाजित करना होगा(अगर संभव हो तो), एक ही हर को छोड़कर, या एक ही अंश को छोड़कर, इस संख्या से भिन्न के हर को गुणा करें।

3. किसी पूर्णांक का भिन्न से भाग।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से भाग देना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 1/2 से गुणा करने के बाद, गुणनफल 5 मिले। जाहिर है, यह संख्या 5 से अधिक होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है, और जब किसी संख्या को उचित भिन्न से गुणा किया जाता है, तो गुणनफल गुणक से कम होना चाहिए। इसे और स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1/2 = एक्स , तो x 1 / 2 \u003d 5।

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होता है। चूँकि एक निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ है इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, 1/2 अज्ञात तारीख एक्स 5 है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 \u003d 10।

तो 5: 1/2 = 5 2 = 10

चलो देखते है:

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 6 को 2/3 से भाग देना आवश्यक है। आइए पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

कुछ इकाइयों के 6 के बराबर एक खंड AB खींचिए और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित कीजिए। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड AB में 6 . में तीन तिहाई (3/3) गुना अधिक, टी. ई. 18/3। हम छोटे ब्रैकेट की मदद से जुड़ते हैं 18 2 के खंड प्राप्त करते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका अर्थ यह है कि भिन्न 2/3, b इकाइयों में 9 बार समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, भिन्न 2/3, 6 पूर्णांक इकाइयों से 9 गुना कम है। इसलिये,

केवल गणनाओं का उपयोग करके चित्र के बिना यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात, प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है, कितनी बार 2/3 6 में समाहित है। आइए पहले पता करें: 1/3 कितनी बार है 6 में निहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसलिए, 1/3 b इकाइयों में 18 बार समाहित है, और 2/3 b में 18 बार नहीं, बल्कि कई गुना, यानी 18: 2 = 9 है। इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित किया:

यहाँ से हमें किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने का नियम प्राप्त होता है। किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाकर दिए गए भिन्न के अंश से भाग देना होगा।

हम अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में निर्धारित किया गया था। ध्यान दें कि वही सूत्र वहां प्राप्त किया गया था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न का भिन्न से भाग।

मान लीजिए कि 3/4 को 3/8 से भाग देना है। विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली संख्या को क्या निरूपित करेगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 20)।

खंड AB लें, इसे एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC, खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चार प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधा में विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। हम ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ते हैं, तो प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। चित्र से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर 2 बार खंड में समाहित है; तो विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 15/16 को 3/32 से विभाजित करना आवश्यक है:

हम इस तरह से तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या खोजने की जरूरत है, जो 3/32 से गुणा करने के बाद 15/16 के बराबर उत्पाद देगी। आइए गणना इस तरह लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15 / 16 . बनाओ

1/32 अज्ञात संख्या एक्स है ,

32/32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इसलिये,

इस प्रकार, किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरा भाजक।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले परिवर्तित किया जाना चाहिए अनुचित अंश,फिर परिणामी भिन्नों को भिन्नात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित करें। एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

आइए अब विभाजित करें:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित करना होगा।

6. भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करना।

के बीच में विभिन्न कार्यभिन्नों पर, कभी-कभी ऐसे होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी भिन्न का मान दिया जाता है और इस संख्या को ज्ञात करना आवश्यक होता है। इस प्रकार की समस्या दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या के कुछ अंश को खोजने की आवश्यकता थी, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या को स्वयं खोजने की आवश्यकता है। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमका दिया, जो कि निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

फेसला।समस्या यह कहती है कि घर की सभी खिड़कियों का 1/3 भाग 50 ग्लेज़ेड खिड़कियाँ बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि कुल 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, अर्थात।

घर में 150 खिड़कियां थीं।

कार्य 2.दुकान ने 1,500 किलो आटा बेचा, जो दुकान में आटे के कुल स्टॉक का 3/8 है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

फेसला।समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलो आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा। इसलिये,

500 8 \u003d 4,000 (किलो)।

दुकान में आटे की शुरुआती आपूर्ति 4,000 किलो थी।

इस समस्या के विचार से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है।

किसी संख्या को उसके अंश के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने भिन्न दी हुई संख्या ज्ञात करने पर दो प्रश्न हल किए। इस तरह की समस्याएं, जैसा कि पिछले एक से विशेष रूप से अच्छी तरह से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूर्ण संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करने के बाद, उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न द्वारा विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस तरह की एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में किसी संख्या को उसके अंश से खोजने की समस्या को हल करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानने के लिए एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।शुरू में वर्तमान सालमुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक साल पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा लगाया? (नकद कार्यालय जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष आय का 2% देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मेरे द्वारा एक निश्चित राशि एक बचत बैंक में रखी गई थी और एक वर्ष तक वहीं पड़ी रही। एक साल बाद, मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा निवेशित धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा जमा किया?

इसलिए, इस पैसे का हिस्सा जानने के लिए, दो तरीकों से व्यक्त किया गया (रूबल और अंशों में), हमें संपूर्ण, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसकी भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। निम्नलिखित कार्यों को विभाजन द्वारा हल किया जाता है:

तो, बचत बैंक में 3,000 रूबल डाले गए।

कार्य 2.दो सप्ताह में, मछुआरों ने 512 टन मछली तैयार करके 64% मासिक योजना को पूरा किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से पता चलता है कि मछुआरों ने योजना का एक हिस्सा पूरा किया। यह हिस्सा 512 टन के बराबर है, जो कि योजना का 64 फीसदी है। योजना के अनुसार कितने टन मछली काटा जाना है, यह हम नहीं जानते। समस्या का समाधान इस संख्या को खोजने में शामिल होगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

तो, योजना के अनुसार, आपको 800 टन मछली तैयार करने की आवश्यकता है।

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मास्को चली गई। जब उन्होंने 276वां किलोमीटर पार किया, तो यात्रियों में से एक ने गुजरने वाले कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हमने पूरी यात्रा का 30% पहले ही कवर कर लिया है।" रीगा से मास्को की दूरी क्या है?

समस्या की स्थिति से देखा जा सकता है कि रीगा से मास्को तक की यात्रा का 30% 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी है, अर्थात इस भाग के लिए संपूर्ण दूरी ज्ञात करें:

91. पारस्परिक संख्या। भाग को गुणन से बदलना।

भिन्न 2/3 लें और अंश को हर के स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करें, हमें 3/2 प्राप्त होता है। हमें एक भिन्न मिला है, इसका व्युत्क्रम।

किसी दिए गए अंश का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार, हम एक भिन्न प्राप्त कर सकते हैं जो किसी भी भिन्न का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए:

3 / 4 , रिवर्स 4 / 3 ; 5 / 6 , रिवर्स 6 / 5

दो भिन्नों में यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर होता है और पहले का हर दूसरे का अंश कहलाता है परस्पर उलटा।

आइए अब विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन-सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। इसके व्युत्क्रम की तलाश में, हमें एक पूर्णांक मिला। और यह मामला अलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी अंशों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, उलटा 3; 1/5, उल्टा 5

चूँकि व्युत्क्रम खोजने पर हम पूर्णांकों से भी मिले थे, भविष्य में हम व्युत्क्रमों के बारे में नहीं, बल्कि उनके बारे में बात करेंगे। पारस्परिक.

आइए जानें कि किसी पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम कैसे लिखा जाता है। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जाता है: आपको अंश के स्थान पर हर को रखना होगा। उसी तरह, आप एक पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में 1 का हर हो सकता है। तो 7 का व्युत्क्रम 1 / 7 होगा, क्योंकि 7 \u003d 7/1; संख्या 10 के लिए उलटा 1 / 10 है क्योंकि 10 = 10 / 1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है दी गई संख्या . यह कथन न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, यदि आप एक ऐसी संख्या लिखना चाहते हैं जो भिन्न 5/9 का व्युत्क्रम हो, तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात।

अब एक की ओर इशारा करते हैं संपत्तिपारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर पारस्परिक संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस संपत्ति का उपयोग करके, हम निम्नलिखित तरीके से व्युत्क्रम ढूंढ सकते हैं। आइए 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

आइए इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1/8। आइए एक और संख्या ज्ञात करें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर द्वारा निरूपित करें एक्स , फिर 7 / 12 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों के विभाजन के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा की शुरुआत की।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से भाग देते हैं, तो हम निम्न कार्य करते हैं:

भुगतान करना विशेष ध्यानव्यंजक से और उसकी तुलना दिए गए व्यंजक से करें: .

यदि हम पिछले एक के साथ संबंध के बिना, अलग से अभिव्यक्ति लेते हैं, तो यह सवाल हल करना असंभव है कि यह कहां से आया है: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में परिणाम समान है। तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से भाग देने पर भाज्य को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।

अंशों का गुणन और विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिलाता हूं: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा)। अर्थात:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य हर की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है...

किसी भिन्न को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) भिन्न और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पकड़ा जाता है, तो कोई बात नहीं। इसके अलावा, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन के आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! बेशक, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

अंतर महसूस करें? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर विभाजित-गुणा क्रम में, बाएं से दाएं!

और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक. डिग्री के साथ कार्यों में, यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

शॉट पलट गया! और यह हमेशा होता है। 1 को किसी भिन्न से भाग देने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

भिन्नों के साथ यही सभी क्रियाएं हैं। बात काफी सरल है, लेकिन पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देता है। टिप्पणी प्रायोगिक उपकरण, और वे (त्रुटियाँ) कम होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! क्या नहीं है सामान्य शब्द, शुभकामनाएँ नहीं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाओं को एक पूर्ण कार्य के रूप में, एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ करने की तुलना में मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम करते हैं।

4. बहुमंजिला भिन्नात्मक भावहम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके सामान्य लोगों को कम करते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करने की आवश्यकता है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का प्रयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल कर सकते हैं। पहली बार! कैलकुलेटर के बिना! और सही निष्कर्ष निकालें ...

सही उत्तर याद रखें दूसरे (विशेषकर तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!ऐसा कठोर जीवन है।

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जांचते हैं, हम निम्नलिखित को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। केवल बादउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने फैसला कर लिया?

आप से मेल खाने वाले उत्तरों की तलाश में। मैंने उन्हें विशेष रूप से एक गड़बड़ी में लिखा था, प्रलोभन से दूर, इसलिए बोलने के लिए ... ये रहे, उत्तर, अर्धविराम के साथ लिखे गए।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया - आपके लिए खुश! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं...

तो आपको दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्या।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

साधारण भिन्नात्मक संख्याएँ पहले 5 वीं कक्षा में स्कूली बच्चों से मिलती हैं और जीवन भर उनका साथ देती हैं, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर किसी वस्तु पर पूरी तरह से नहीं, बल्कि अलग-अलग टुकड़ों पर विचार करना या उसका उपयोग करना आवश्यक होता है। इस विषय के अध्ययन की शुरुआत - साझा करें। शेयर बराबर हिस्से होते हैंजिसमें कोई वस्तु विभक्त हो। आखिरकार, यह व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की लंबाई या कीमत को पूर्णांक के रूप में; किसी भी माप के हिस्से या शेयरों को ध्यान में रखना चाहिए। "क्रश करने के लिए" क्रिया से बना - भागों में विभाजित करने के लिए, और अरबी जड़ें होने के कारण, आठवीं शताब्दी में "अंश" शब्द स्वयं रूसी में दिखाई दिया।

भिन्नात्मक अभिव्यक्ति लंबे समय तकगणित की सबसे कठिन शाखा मानी जाती है। 17वीं शताब्दी में, जब गणित की पहली पाठ्यपुस्तकें सामने आईं, तो उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा गया, जिसे लोगों की समझ में प्रदर्शित करना बहुत मुश्किल था।

आधुनिक रूपसाधारण भिन्नात्मक अवशेष, जिनमें से कुछ हिस्सों को एक क्षैतिज रेखा द्वारा ठीक से अलग किया जाता है, को पहले फिबोनाची - पीसा के लियोनार्डो में योगदान दिया गया था। उनका लेखन दिनांक 1202 का है। लेकिन इस लेख का उद्देश्य पाठक को सरल और स्पष्ट रूप से समझाना है कि विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का गुणन कैसे होता है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को गुणा करना

प्रारंभ में, यह निर्धारित करना आवश्यक है भिन्नों की किस्में:

• सही;
• गलत;
• मिला हुआ।

इसके बाद, आपको यह याद रखना होगा कि समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है। इस प्रक्रिया का नियम स्वतंत्र रूप से तैयार करना आसान है: गुणन का परिणाम साधारण भिन्नसमान हर के साथ एक भिन्नात्मक व्यंजक होता है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल होता है और हर दिए गए भिन्नों के हरों का गुणनफल होता है। यही है, वास्तव में, नया हर शुरू में मौजूदा लोगों में से एक का वर्ग है।

गुणा करते समय विभिन्न भाजक के साथ सरल अंशदो या अधिक कारकों के लिए, नियम नहीं बदलता है:

ए/बी * सी/डी = एसी / बी * डी।

फर्क सिर्फ इतना है गठित संख्याभिन्नात्मक बार के नीचे विभिन्न संख्याओं का गुणनफल होगा और निश्चित रूप से, एक का वर्ग संख्यात्मक अभिव्यक्तिइसका नाम देना असंभव है।

उदाहरणों का उपयोग करते हुए विभिन्न हरों के साथ भिन्नों के गुणन पर विचार करना उचित है:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

उदाहरण भिन्नात्मक व्यंजकों को कम करने के तरीकों का उपयोग करते हैं। आप केवल अंश संख्याओं को हर के साथ रद्द कर सकते हैं, आगे स्थायी गुणकभिन्नात्मक बार के ऊपर या नीचे इसे संक्षिप्त नहीं किया जा सकता है।

सरल के साथ भिन्नात्मक संख्यामिश्रित भिन्नों की अवधारणा है। एक मिश्रित संख्या में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, अर्थात यह इन संख्याओं का योग होता है:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

गुणा कैसे काम करता है?

विचार के लिए कई उदाहरण दिए गए हैं।

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

उदाहरण एक संख्या के गुणन का उपयोग करता है साधारण भिन्नात्मक भाग, आप इस क्रिया के लिए नियम को सूत्र द्वारा लिख ​​सकते हैं:

ए* बी/सी = ए * बी /सी।

वास्तव में, ऐसा उत्पाद समान भिन्नात्मक शेषफलों का योग होता है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या को इंगित करती है। विशेष मामला:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

किसी संख्या के गुणन को भिन्नात्मक शेषफल से हल करने का एक और विकल्प है। आपको बस हर को इस संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है:

डी* इ/एफ = इ/च: घ.

इस तकनीक का उपयोग तब करना उपयोगी होता है जब हर को एक प्राकृतिक संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, पूरी तरह से।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और पहले बताए गए तरीके से गुणनफल प्राप्त करें:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

इस उदाहरण में मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करने का एक तरीका शामिल है, इसे इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है सामान्य सूत्र:

ए बीसी = ए*बी+ c/c, जहां हर के साथ पूर्णांक भाग को गुणा करके और मूल के अंश में जोड़कर नए अंश का हर बनता है भिन्नात्मक शेष, और भाजक वही रहता है।

यह प्रक्रिया में भी काम करती है दूसरी तरफ. पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक शेष का चयन करने के लिए, आपको एक अनुचित अंश के अंश को उसके हर द्वारा "कोने" से विभाजित करना होगा।

गुणा अनुचित भिन्न सामान्य तरीके से उत्पादित। कब रिकॉर्डिंग चल रही हैएक भिन्नात्मक रेखा के तहत, आवश्यकतानुसार, आपको इस पद्धति का उपयोग करके संख्याओं को कम करने के लिए भिन्नों को कम करने की आवश्यकता होती है और परिणाम की गणना करना आसान होता है।

जटिल समस्याओं को भी हल करने के लिए इंटरनेट पर कई सहायक हैं। गणित की समस्याओंविभिन्न कार्यक्रमों में। पर्याप्त संख्या में ऐसी सेवाएं भिन्नों के गुणन को गिनने में उनकी सहायता करती हैं अलग संख्याहर में - अंशों की गणना के लिए तथाकथित ऑनलाइन कैलकुलेटर। वे न केवल गुणा करने में सक्षम हैं, बल्कि अन्य सभी सरलतम का उत्पादन करने में भी सक्षम हैं अंकगणितीय आपरेशनससामान्य अंशों और मिश्रित संख्याओं के साथ। इसके साथ काम करना आसान है, साइट पेज पर संबंधित फ़ील्ड भरे हुए हैं, साइन का चयन किया गया है गणितीय क्रियाऔर "गणना" पर क्लिक करें। कार्यक्रम स्वचालित रूप से गिना जाता है।

विषय अंकगणितीय आपरेशनसमध्यम और वरिष्ठ स्कूली बच्चों की शिक्षा के दौरान भिन्नात्मक संख्याओं के साथ प्रासंगिक है। हाई स्कूल में, वे अब सबसे सरल प्रजातियों पर विचार नहीं कर रहे हैं, लेकिन पूर्णांक भिन्नात्मक व्यंजक, लेकिन पहले प्राप्त परिवर्तन और गणना के नियमों का ज्ञान अपने मूल रूप में लागू होता है। अच्छी तरह से पचने वाला मौलिक ज्ञानदेना पूर्ण विश्वासमें अच्छा निर्णयअधिकांश चुनौतीपूर्ण कार्य.

अंत में, लियो टॉल्स्टॉय के शब्दों का हवाला देना समझ में आता है, जिन्होंने लिखा: "मनुष्य एक अंश है। अपने अंश - अपने गुणों को बढ़ाना मनुष्य की शक्ति में नहीं है, लेकिन कोई भी अपने हर - अपने बारे में राय को कम कर सकता है, और इस कमी से उसकी पूर्णता के करीब आ जाता है।