Pelajaran 1

Subjek: Kelas 11 (persiapan ujian)

Penyederhanaan ekspresi trigonometri.

Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. (2 jam)

Sasaran:

• Mensistematisasikan, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan rumus trigonometri dan penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

Peralatan untuk pelajaran:

Struktur pelajaran:

1. organisasi
2. Pengujian pada laptop. Pembahasan hasil.
3. Menyederhanakan ekspresi trigonometri
4. Solusi persamaan trigonometri paling sederhana
5. Pekerjaan mandiri.
6. Ringkasan pelajaran. Penjelasan pekerjaan rumah.

1. Momen organisasi. (2 menit.)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran, mengingat tugas yang sebelumnya diberikan untuk mengulang rumus trigonometri dan menyiapkan siswa untuk ujian.

2. Pengujian. (15 menit + 3 menit diskusi)

Tujuannya adalah untuk menguji pengetahuan tentang rumus trigonometri dan kemampuan untuk menerapkannya. Setiap siswa memiliki laptop di mejanya yang di dalamnya terdapat opsi tes.

Mungkin ada sejumlah opsi, saya akan memberikan contoh salah satunya:

saya pilihan.

Sederhanakan ekspresi:

a) identitas trigonometri dasar

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) rumus penjumlahan

3. sin5x - sin3x;

c) mengubah produk menjadi jumlah

6. 2sin8y cos3y;

d) rumus sudut ganda

7.2sin5x cos5x;

e) rumus setengah sudut

f) rumus sudut rangkap tiga

g) substitusi universal

h) menurunkan derajat

16. cos 2 (3x/7);

Siswa di laptop di depan setiap rumus melihat jawaban mereka.

Pekerjaan langsung diperiksa oleh komputer. Hasilnya ditampilkan di layar lebar ke mata publik.

Juga, setelah pekerjaan selesai, jawaban yang benar ditampilkan di laptop siswa. Setiap siswa melihat di mana kesalahan dibuat dan formula apa yang perlu dia ulangi.

3. Penyederhanaan ekspresi trigonometri. (25 menit)

Tujuannya adalah untuk mengulang, melatih, dan memperkuat aplikasi rumus dasar trigonometri. Memecahkan masalah B7 dari ujian.

pada tahap ini disarankan untuk membagi kelas menjadi kelompok kuat (bekerja secara mandiri dengan verifikasi berikutnya) dan siswa lemah yang bekerja dengan guru.

Tugas untuk siswa yang kuat (disiapkan sebelumnya untuk dasar cetak). Penekanan utama adalah pada rumus reduksi dan sudut ganda, menurut USE 2011.

Ekspresi sederhana (untuk pelajar yang kuat):

Secara paralel, guru bekerja dengan siswa yang lemah, mendiskusikan dan menyelesaikan tugas di layar di bawah dikte siswa.

Menghitung:

5) sin(270º - ) + cos(270º + )

6)

Menyederhanakan:

Giliran membahas hasil kerja kelompok kuat.

Jawaban muncul di layar, dan juga, dengan bantuan kamera video, karya 5 siswa yang berbeda ditampilkan (masing-masing satu tugas).

Kelompok lemah melihat kondisi dan cara penyelesaiannya. Ada diskusi dan analisis. Menggunakan sarana teknis itu terjadi dengan cepat.

4. Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. (30 menit.)

Tujuannya adalah untuk mengulang, mensistematisasikan, dan menggeneralisasi solusi persamaan trigonometri paling sederhana, mencatat akarnya. Solusi masalah B3.

Persamaan trigonometri apa pun, tidak peduli bagaimana kita menyelesaikannya, mengarah ke yang paling sederhana.

Saat menyelesaikan tugas, siswa harus memperhatikan penulisan akar persamaan kasus khusus dan pandangan umum dan pada pemilihan akar dalam persamaan terakhir.

Selesaikan Persamaan:

Tuliskan akar positif terkecil dari jawabannya.

5. Pekerjaan mandiri (10 menit)

Tujuannya adalah untuk menguji keterampilan yang diperoleh, mengidentifikasi masalah, kesalahan dan cara untuk menghilangkannya.

Berbagai pekerjaan ditawarkan sesuai pilihan siswa.

Opsi untuk "3"

1) Temukan nilai dari ekspresi

2) Sederhanakan ekspresi 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Selesaikan persamaan

Opsi untuk "4"

1) Temukan nilai dari ekspresi

2) Memecahkan persamaan Tuliskan akar positif terkecil dari jawaban Anda.

Opsi untuk "5"

1) Temukan tgα jika

2) Temukan akar persamaan Tuliskan akar positif terkecil dari jawaban Anda.

6. Ringkasan pelajaran (5 menit)

Guru merangkum apa yang diulang dan dikonsolidasikan dalam pelajaran rumus trigonometri, solusi persamaan trigonometri paling sederhana.

Pekerjaan rumah diberikan (disiapkan secara cetak terlebih dahulu) dengan pemeriksaan mendadak di pelajaran berikutnya.

Selesaikan Persamaan:

9)

10) Berikan jawaban Anda sebagai akar positif terkecil.

Pelajaran 2

Subjek: Kelas 11 (persiapan ujian)

Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri. Pemilihan akar. (2 jam)

Sasaran:

• Menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan tentang penyelesaian persamaan trigonometri berbagai jenis.
• Mempromosikan pembangunan pemikiran matematis siswa, kemampuan mengamati, membandingkan, menggeneralisasi, mengklasifikasikan.
• Mendorong siswa untuk mengatasi kesulitan dalam proses aktivitas mental untuk pengendalian diri, analisis diri dari kegiatan mereka.

Peralatan untuk pelajaran: KRMu, laptop untuk setiap siswa.

Struktur pelajaran:

1. organisasi
2. Diskusi d/s dan samot. pekerjaan pelajaran terakhir
3. Pengulangan metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.
4. Memecahkan persamaan trigonometri
5. Pemilihan akar dalam persamaan trigonometri.
6. Pekerjaan mandiri.
7. Ringkasan pelajaran. Pekerjaan rumah.

1. Momen pengorganisasian (2 menit)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran dan rencana kerja.

2. a) Parsing pekerjaan rumah(5 menit.)

Tujuannya adalah untuk memeriksa kinerja. Satu karya dengan bantuan kamera video ditampilkan di layar, sisanya dikumpulkan secara selektif untuk diperiksa guru.

b) Penguraian kerja mandiri(3 menit)

Tujuannya adalah untuk memilah kesalahan, menunjukkan cara untuk mengatasinya.

Di layar adalah jawaban dan solusi, siswa telah menerbitkan pekerjaan mereka sebelumnya. Analisis berjalan cepat.

3. Pengulangan metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri (5 menit)

Tujuannya adalah untuk mengingat metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

Tanyakan kepada siswa metode penyelesaian persamaan trigonometri apa yang mereka ketahui. Tekankan bahwa ada yang disebut metode dasar (sering digunakan):

• substitusi variabel,
• faktorisasi,
• persamaan homogen,

dan makan metode yang diterapkan:

• sesuai dengan rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah,
• rumus menurunkan,
• substitusi trigonometri universal
• pengantar sudut bantu,
• perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri.

Juga harus diingat bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda.

4. Memecahkan persamaan trigonometri (30 menit)

Tujuannya adalah untuk menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan tentang topik ini, untuk mempersiapkan penyelesaian C1 dari USE.

Saya menganggap itu bijaksana untuk memecahkan persamaan untuk setiap metode bersama-sama dengan siswa.

Siswa mendiktekan solusinya, guru menulis di tablet, seluruh proses ditampilkan di layar. Ini akan memungkinkan Anda untuk dengan cepat dan efisien mengembalikan materi yang sebelumnya tercakup dalam memori Anda.

Selesaikan Persamaan:

1) perubahan variabel 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisasi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) persamaan homogen sin2x + 3cos2x - 2sin2x = 0

4) mengubah jumlah ke produk cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) mengubah produk menjadi jumlah 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) menurunkan derajat sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substitusi trigonometri universal sinx + 5cosx + 5 = 0.

Saat menyelesaikan persamaan ini, perlu dicatat bahwa penggunaan metode ini menyebabkan penyempitan domain definisi, karena sinus dan cosinus digantikan oleh tg(x/2). Oleh karena itu, sebelum menuliskan jawabannya, perlu diperiksa apakah bilangan-bilangan dari himpunan + 2πn, n Z adalah kuda-kuda dari persamaan ini.

8) pengenalan sudut bantu 3sinx + cosx - 2 = 0

9) perkalian dengan beberapa trigonometri fungsi cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Pemilihan akar persamaan trigonometri (20 menit)

Karena dalam kondisi persaingan yang ketat ketika memasuki universitas, penyelesaian satu bagian pertama dari ujian tidak cukup, sebagian besar siswa harus memperhatikan tugas bagian kedua (C1, C2, C3).

Oleh karena itu, tujuan dari tahap pelajaran ini adalah untuk mengingat kembali materi yang telah dipelajari sebelumnya, untuk mempersiapkan pemecahan masalah C1 dari USE pada tahun 2011.

Ada persamaan trigonometri, di mana perlu untuk memilih akar saat mengekstraksi jawabannya. Hal ini disebabkan oleh beberapa batasan, misalnya: penyebut suatu pecahan tidak nol, ekspresi di bawah root derajat genap adalah non-negatif, ekspresi di bawah logaritma adalah positif, dll.

Persamaan seperti itu dianggap persamaan peningkatan kompleksitas dan masuk versi ujian berada di bagian kedua, yaitu C1.

Selesaikan persamaan:

Pecahan adalah nol jika melalui lingkaran satuan kita akan memilih root (lihat Gambar 1)

Gambar 1.

kita dapatkan x = + 2πn, n Z

Jawaban: + 2πn, n Z

Di layar, pemilihan akar ditampilkan pada lingkaran dalam gambar berwarna.

Produk sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dan busur, pada saat yang sama, tidak kehilangan artinya. Kemudian

Menggunakan lingkaran satuan, pilih akar (lihat Gambar 2)

Pelajaran video "Penyederhanaan ekspresi trigonometri" dirancang untuk membentuk keterampilan siswa dalam memecahkan soal trigonometri menggunakan identitas trigonometri dasar. Selama pelajaran video, jenis identitas trigonometri dipertimbangkan, contoh pemecahan masalah menggunakannya. melamar bahan visual memudahkan guru untuk mencapai tujuan pembelajaran. Presentasi materi yang jelas berkontribusi pada menghafal poin penting. Penggunaan efek animasi dan akting suara memungkinkan Anda untuk sepenuhnya menggantikan guru pada tahap menjelaskan materi. Dengan demikian, dengan menggunakan alat peraga ini dalam pelajaran matematika, guru dapat meningkatkan efektivitas pengajaran.

Di awal pelajaran video, topiknya diumumkan. Kemudian identitas trigonometri yang dipelajari sebelumnya dipanggil kembali. Layar menampilkan persamaan sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, di mana t≠π/2+πk untuk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, benar untuk t≠πk, di mana kϵZ, tan t · ctg t=1, pada t≠πk/2, di mana kϵZ, disebut identitas trigonometri dasar. Perlu dicatat bahwa identitas ini sering digunakan dalam memecahkan masalah di mana perlu untuk membuktikan kesetaraan atau menyederhanakan ekspresi.

Selanjutnya, contoh penerapan identitas ini dalam memecahkan masalah dipertimbangkan. Pertama, diusulkan untuk mempertimbangkan pemecahan masalah penyederhanaan ekspresi. Dalam contoh 1, perlu untuk menyederhanakan ekspresi cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Untuk menyelesaikan contoh, tanda kurung terlebih dahulu faktor umum biaya2t. Sebagai hasil dari transformasi dalam tanda kurung, diperoleh ekspresi 1- cos 2 t, yang nilainya dari identitas dasar trigonometri sama dengan sin 2 t. Setelah transformasi ekspresi, jelas bahwa satu lagi faktor persekutuan sin 2 t dapat dikeluarkan dari kurung, setelah itu ekspresi mengambil bentuk sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Dari identitas dasar yang sama, kami menyimpulkan nilai ekspresi dalam tanda kurung sama dengan 1. Sebagai hasil dari penyederhanaan, kami memperoleh cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Dalam contoh 2, ekspresi cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) juga perlu disederhanakan. Karena biaya ekspresi ada dalam pembilang kedua pecahan, itu dapat dikurung sebagai faktor persekutuan. Pecahan dalam kurung kemudian direduksi menjadi faktor persekutuan perkalian (1- sint)(1+ sint). Setelah pemeran istilah serupa 2 tetap di pembilang, dan 1 - sin 2 t di penyebut. Di sisi kanan layar, trigonometri dasar dosa identitas 2 t+cos 2 t=1. Dengan menggunakannya, kami menemukan penyebut dari pecahan cos 2 t. Setelah mengurangi pecahan, kami mendapatkan bentuk sederhana dari ekspresi cost / (1- sint) + cost / (1 + sint) \u003d 2 / cost.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan contoh pembuktian identitas di mana pengetahuan yang diperoleh tentang identitas dasar trigonometri diterapkan. Dalam Contoh 3, perlu dibuktikan identitasnya (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Sisi kanan layar menampilkan tiga identitas yang akan diperlukan untuk pembuktian - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t dan tg t=sin t/cos t dengan batasan. Untuk membuktikan identitas, kurung dibuka terlebih dahulu, setelah itu terbentuk produk yang mencerminkan ekspresi identitas trigonometri utama tg t·ctg t=1. Kemudian, sesuai dengan identitas dari definisi kotangen, ctg 2 t ditransformasikan. Sebagai hasil dari transformasi, ekspresi 1-cos 2 t diperoleh. Menggunakan identitas dasar, kami menemukan nilai ekspresi. Jadi, terbukti bahwa (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dalam contoh 4, Anda perlu mencari nilai dari ekspresi tg 2 t+ctg 2 t jika tg t+ctg t=6. Untuk mengevaluasi ekspresi, ruas kanan dan kiri persamaan (tg t+ctg t) 2 =6 2 dikuadratkan terlebih dahulu. Rumus perkalian yang disingkat ditampilkan di sisi kanan layar. Setelah membuka tanda kurung di sisi kiri ekspresi, jumlah tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t terbentuk, untuk transformasi yang salah satu identitas trigonometri tg t ctg t=1 dapat diterapkan, bentuk yang dipanggil di sisi kanan layar. Setelah transformasi, diperoleh persamaan tg 2 t+ctg 2 t=34. Ruas kiri persamaan bertepatan dengan kondisi soal, jadi jawabannya adalah 34. Soal terpecahkan.

Video tutorial "Menyederhanakan ekspresi trigonometri" direkomendasikan untuk digunakan pada tradisional pelajaran sekolah matematika. Juga, materi akan berguna bagi guru, melaksanakan pembelajaran jarak jauh. Untuk membentuk keterampilan dalam memecahkan masalah trigonometri.

INTERPRETASI TEKS:

"Penyederhanaan ekspresi trigonometri".

Persamaan

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kuadrat te ditambah cosinus kuadrat te sama dengan satu)

2) tgt =, pada t ≠ + πk, kϵZ (singgung te sama dengan rasio sinus te terhadap kosinus te ketika te tidak sama dengan pi dengan dua ditambah pi ka, ka termasuk zet)

3) ctgt = , pada t πk, kϵZ (kotangen te sama dengan rasio cosinus te terhadap sinus te ketika te tidak sama dengan puncak ka, yang termasuk dalam z).

4)tgt ctgt = 1 untuk t , kϵZ

disebut identitas trigonometri dasar.

Seringkali mereka digunakan dalam menyederhanakan dan membuktikan ekspresi trigonometri.

Pertimbangkan contoh penggunaan rumus ini saat menyederhanakan ekspresi trigonometri.

CONTOH 1. Sederhanakan persamaan: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (pernyataan a cosinus kuadrat te dikurangi cosinus derajat keempat te ditambah sinus derajat keempat te).

Keputusan. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(kita keluarkan faktor persekutuan cosinus kuadrat te, dalam kurung kita dapatkan selisih antara satu dan kuadrat dari cosinus te, yang sama dengan kuadrat sinus te dengan identitas pertama. Kita mendapatkan jumlah sinus dari yang keempat derajat te dari produk cosinus kuadrat te dan sinus kuadrat te Faktor persekutuan sinus kuadrat te akan dikeluarkan di luar tanda kurung, dalam tanda kurung kita dapatkan jumlah kuadrat dari cosinus dan sinus, yang, menurut utama identitas trigonometri sama dengan satu. Akibatnya, kami mendapatkan kuadrat dari sinus te).

CONTOH 2. Sederhanakan ekspresi: + .

(pernyataan adalah jumlah dua pecahan dalam pembilang cosinus pertama te pada penyebut satu dikurangi sinus te, pada pembilang cosinus kedua te pada penyebut kedua ditambah sinus te).

(Kami mengambil faktor persekutuan cosinus te dari tanda kurung, dan dalam tanda kurung kami membawanya ke penyebut yang sama, yang merupakan produk dari satu dikurangi sinus te dengan satu ditambah sinus te.

Di pembilang kita mendapatkan: satu ditambah sinus te ditambah satu dikurangi sinus te, kami memberikan yang serupa, pembilangnya sama dengan dua setelah membawa yang serupa.

Di penyebut, Anda dapat menerapkan rumus perkalian yang disingkat (selisih kuadrat) dan mendapatkan selisih antara satuan dan kuadrat dari sinus, yang, menurut identitas trigonometri dasar

sama dengan kuadrat dari cosinus te. Setelah dikurangi dengan cosinus te, kita mendapatkan jawaban akhir: dua dibagi dengan cosinus te).

Perhatikan contoh penggunaan rumus ini dalam pembuktian ekspresi trigonometri.

CONTOH 3. Buktikan identitasnya (tg 2 t - sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t (hasil kali selisih antara kuadrat garis singgung te dan sinus te dan kuadrat kotatangen dari te sama dengan kuadrat sinus te).

Bukti.

Mari kita ubah sisi kiri persamaan:

(tg 2 t - sin 2 t) ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Mari kita buka kurung, dari hubungan yang diperoleh sebelumnya diketahui bahwa hasil kali kuadrat dari garis singgung te dengan kotangen dari te adalah sama dengan satu. Ingat bahwa kotangen dari te sama dengan rasio cosinus te terhadap sinus te, jadi kuadrat kotangen adalah perbandingan kuadrat cosinus te dengan kuadrat sinus te.

Setelah dikurangi dengan kuadrat sinus te, kita memperoleh perbedaan antara kesatuan dan kosinus kuadrat te, yang sama dengan sinus kuadrat te). Q.E.D.

CONTOH 4. Carilah nilai dari ekspresi tg 2 t + ctg 2 t jika tgt + ctgt = 6.

(jumlah kuadrat garis singgung te dan kotangen te, jika jumlah garis singgung dan kotangen adalah enam).

Keputusan. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 tgt ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mari kita kuadratkan kedua bagian dari persamaan asli:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kuadrat jumlah garis singgung te dan kotangen te adalah enam kuadrat). Ingat rumus perkalian yang disingkat: Kuadrat dari jumlah dua besaran sama dengan kuadrat yang pertama ditambah dua kali produk yang pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari yang kedua. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Kita peroleh tg 2 t + 2 tgt ctgt + ctg 2 t = 36 .

Karena produk dari garis singgung te dan kotatangen te sama dengan satu, maka tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (jumlah kuadrat dari garis singgung te dan kotangen te dan dua adalah tiga puluh enam),

Atas permintaan Anda.

6. Sederhanakan ekspresi:

Sebagai kofungsi sudut yang saling melengkapi hingga 90° sama dengan, lalu kita ganti sin50° pada pembilang pecahan dengan cos40° dan terapkan rumus sinus pada pembilangnya argumen ganda. Kami mendapatkan 5sin80 ° di pembilang. Mari kita ganti sin80° dengan cos10°, yang akan memungkinkan kita untuk mengurangi pecahan.

Rumus yang diterapkan: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. PADA deret aritmatika, yang selisihnya 12, dan suku kedelapannya 54, tentukan jumlah suku negatifnya.

Rencana solusi. Ayo buat rumus anggota biasa diberikan perkembangan dan cari tahu berapa nilai n suku negatif yang akan diperoleh. Untuk melakukan ini, kita perlu menemukan suku pertama dari perkembangan tersebut.

Kami memiliki d=12, a 8 =54. Menurut rumus a n \u003d a 1 + (n-1) d kita menulis:

a 8 = a 1 +7d. Mengganti data yang tersedia. 54=a 1 +7∙12;

a 1 \u003d -30. Substitusikan nilai ini ke dalam rumus a n =a 1 +(n-1)∙d

a n =-30+(n-1)∙12 atau a n =-30+12n-12. Sederhanakan: a n \u003d 12n-42.

Kami mencari jumlah suku negatif, jadi kami harus menyelesaikan pertidaksamaan:

sebuah<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Tentukan rentang fungsi berikut: y=x-|x|.

Mari kita perluas kurung modular. Jika x≥0, maka y=x-x y=0. Grafik akan berfungsi sebagai sumbu x di sebelah kanan titik asal. jika x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Hitunglah luas permukaan sisi kerucut lingkaran siku-siku jika generatrixnya 18 cm dan luas alasnya 36 cm 2.

Sebuah kerucut dengan bagian aksial MAB diberikan. Menghasilkan BM=18, S utama. =36. Luas permukaan lateral kerucut dihitung dengan rumus: S sisi. \u003d Rl, di mana l adalah generatrix dan sama dengan 18 cm dengan syarat, R adalah jari-jari alas, kita temukan dengan rumus: S cr. = R2 . Kami memiliki S cr. = S utama = 36π. Jadi R 2 =36π R=6.

Kemudian sisi S. =π∙6∙18 sisi S. \u003d 108π cm 2.

12. Kami memecahkan persamaan logaritmik. Pecahan sama dengan 1 jika pembilangnya sama dengan penyebutnya, mis.

lg(x 2 +5x+4)=2lgx di lgx≠0. Kami menerapkan properti tingkat angka di bawah tanda logaritma ke sisi kanan persamaan: lg (x 2 +5x+4) \u003d lgx 2, Logaritma desimal ini sama, oleh karena itu angka di bawah tanda dari logaritma juga sama, oleh karena itu:

x 2 +5x+4=x 2 , maka 5x=-4; kita dapatkan x=-0.8. Namun, nilai ini tidak dapat diambil, karena hanya bilangan positif yang dapat berada di bawah tanda logaritma, oleh karena itu persamaan ini tidak memiliki solusi. Catatan. Tidak perlu menemukan ODZ di awal solusi (luangkan waktu Anda!), Lebih baik melakukan pemeriksaan (seperti kita sekarang) di akhir.

13. Temukan nilai dari ekspresi (x o - y o), di mana (x o; y o) adalah solusi dari sistem persamaan:

14. Selesaikan persamaan:

Jika dibagi dengan 2 dan pembilang dan penyebut pecahan, Anda akan menemukan rumus untuk garis singgung sudut ganda. Anda mendapatkan persamaan sederhana: tg4x=1.

15. Tentukan turunan dari fungsi: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .

Kami diberi fungsi kompleks. Kami mendefinisikannya dalam satu kata - itu adalah gelar. Oleh karena itu, menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, kami menemukan turunan derajat dan mengalikannya dengan turunan basis derajat ini sesuai dengan rumus:

(u n)' = n ∙ kamu n-1 ∙ kamu'.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Diperlukan untuk menemukan f '(1) jika fungsi

17. Dalam sebuah segitiga sama sisi, jumlah semua garis bagi adalah 33√3 cm. Temukan luas segitiga.

Garis bagi segitiga sama sisi adalah median dan tinggi. Jadi, panjang tinggi BD segitiga tersebut adalah

Tentukan sisi AB dari persegi panjang ABD. Karena sin60° = BD : AB, maka AB = BD : sin60 °.

18. Lingkaran tersebut berada pada segitiga sama sisi yang tingginya 12 cm. Hitunglah luas lingkaran tersebut.

Lingkaran (O; OD) tertulis pada sisi sama sisi ABC. Tinggi BD juga merupakan garis bagi dan median, dan pusat lingkaran, titik O, terletak di BD.

O - titik persimpangan ketinggian, garis-bagi dan median membagi median BD dengan perbandingan 2:1, dihitung dari atas. Oleh karena itu, OD=(1/3)BD=12:3=4. Jari-jari lingkaran R=OD=4 cm Luas lingkaran S=πR 2 =π∙4 2 S=16π cm 2.

19. Panjang rusuk sebuah piramida segi empat beraturan adalah 9 cm, dan sisi alasnya adalah 8 cm. Hitunglah tinggi piramida tersebut.

Dasar piramida segi empat beraturan adalah persegi ABCD, alas tinggi MO adalah pusat persegi.

20. Menyederhanakan:

Di pembilang, kuadrat selisihnya dibatasi.

Kami memfaktorkan penyebutnya menggunakan metode pengelompokan jumlah.

21. Menghitung:

Agar dapat mengekstrak akar kuadrat aritmatika, ekspresi akar harus kuadrat penuh. Kami mewakili ekspresi di bawah tanda akar sebagai kuadrat dari perbedaan dua ekspresi sesuai dengan rumus:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 , dengan asumsi bahwa a 2 +b 2 =10.

22. Selesaikan pertidaksamaan:

Kami mewakili sisi kiri pertidaksamaan sebagai produk. Jumlah sinus dua sudut sama dengan dua kali hasil kali sinus setengah jumlah sudut-sudut ini dan cosinus selisih setengah sudut-sudut ini:

Kita mendapatkan:

Mari selesaikan pertidaksamaan ini secara grafis. Kami memilih titik-titik grafik y=biaya yang terletak di atas garis lurus dan menentukan absis titik-titik ini (ditunjukkan dengan bayangan).

23. Temukan semua antiturunan untuk fungsi: h(x)=cos 2 x.

Kami mengubah fungsi ini dengan menurunkan derajatnya menggunakan rumus:

1+cos2α = 2cos2α. Kami mendapatkan fungsi:

24. Temukan koordinat vektor

25. Masukkan tanda aritmatika alih-alih tanda bintang sehingga diperoleh persamaan yang benar: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.

Kami berpendapat: angka 25 harus diperoleh (31 - 6 \u003d 25). Bagaimana cara mendapatkan nomor ini dari dua "tiga kali lipat" dan dua "merangkak" menggunakan tanda tindakan?

Tentu saja: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. Jawaban E).