- მრავალწევრები. ამ სტატიაში წარმოგიდგენთ ყველა საწყის და საჭირო ინფორმაციას მრავალწევრების შესახებ. ეს მოიცავს, პირველ რიგში, მრავალწევრის განმარტებას დაკავშირებული განმარტებებიმრავალწევრის ტერმინები, კერძოდ, თავისუფალი წევრი და მსგავსი ტერმინები. მეორეც, ჩვენ ვსაუბრობთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრებზე, ვაძლევთ შესაბამის განმარტებას და ვაძლევთ მათ მაგალითებს. და ბოლოს, შემოგთავაზებთ მრავალწევრის ხარისხის განსაზღვრას, ვხვდებით, როგორ ვიპოვოთ იგი და ვსაუბრობთ მრავალწევრის ტერმინების კოეფიციენტებზე.

გვერდის ნავიგაცია.

მრავალწევრი და მისი წევრები - განმარტებები და მაგალითები

მე-7 კლასში მრავალწევრები სწავლობენ მონომების შემდეგ დაუყოვნებლივ, ეს გასაგებია, რადგან მრავალწევრი განმარტებამოცემულია მონომების მიხედვით. მოდით მივცეთ ეს განმარტება და ავხსნათ რა არის მრავალწევრი.

განმარტება.

მრავალწევრიარის მონომების ჯამი; მონომი განიხილება მრავალწევრის განსაკუთრებულ შემთხვევად.

წერილობითი განმარტება საშუალებას გაძლევთ მოიყვანოთ მრავალწევრების იმდენი მაგალითი, რამდენიც გსურთ. რომელიმე მონომებიდან 5 , 0 , −1 , x , 5 a b 3 , x 2 0,6 x (−2) y 12 და ა.შ. არის მრავალწევრი. ასევე განმარტებით 1+x , a 2 +b 2 და არის მრავალწევრები.

მრავალწევრების აღწერის მოხერხებულობისთვის შემოტანილია პოლინომიური ტერმინის განმარტება.

განმარტება.

პოლინომიური ტერმინებიარის მონომები, რომლებიც ქმნიან მრავალწევრს.

მაგალითად, მრავალწევრს 3 x 4 −2 x y+3−y 3 აქვს ოთხი წევრი: 3 x 4 , −2 x y , 3 და −y 3 . მონომი ითვლება მრავალწევრად, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

განმარტება.

მრავალწევრებს, რომლებიც შედგება ორი და სამი წევრისაგან, აქვთ სპეციალური სახელები - ბინომიდა ტრინომალურიშესაბამისად.

ასე რომ, x+y არის ორწევრი, ხოლო 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b არის ტრინომი.

სკოლაში ყველაზე ხშირად გიწევს მუშაობა წრფივი ბინომი a x+b , სადაც a და b არის რამდენიმე რიცხვი და x არის ცვლადი და ერთად კვადრატული ტრინომიალი a x 2 +b x+c, სადაც a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და x არის ცვლადი. აქ მოცემულია წრფივი ორომალიების მაგალითები: x+1 , x 7,2−4 , და აი მაგალითები კვადრატული ტრინომები: x 2 +3 x−5 და .

მრავალწევრებს მათი აღნიშვნით შეიძლება ჰქონდეთ მსგავსი ტერმინები. მაგალითად, მრავალწევრში 1+5 x−3+y+2 x მსგავსი ტერმინებია 1 და −3, ასევე 5 x და 2 x. მათ აქვთ საკუთარი განსაკუთრებული სახელი - მრავალწევრის მსგავსი წევრები.

განმარტება.

მრავალწევრის მსგავსი წევრებიდაურეკა ტერმინების მსგავსადმრავალწევრში.

წინა მაგალითში 1 და −3 , ისევე როგორც წყვილი 5 x და 2 x , მრავალწევრის წევრებს ჰგავს. მსგავსი წევრების მქონე მრავალწევრებში შესაძლებელია მსგავსი წევრების შემცირება მათი ფორმის გასამარტივებლად.

სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი

მრავალწევრებისთვის, ისევე როგორც მონომებისთვის, არსებობს ე.წ სტანდარტული ხედი. მოდით გამოვთქვათ შესაბამისი განმარტება.

დაფუძნებული ამ განმარტებას, შეგვიძლია მოვიყვანოთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების მაგალითები. ასე რომ, მრავალწევრები 3 x 2 −x y+1 და დაწერილი სტანდარტული ფორმით. და გამოსახულებები 5+3 x 2 −x 2 +2 x z და x+x y 3 x z 2 +3 z არ არიან სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები, რადგან პირველი მათგანი შეიცავს მსგავს ტერმინებს 3 x 2 და −x 2, და მეორე, მონომი x · y 3 · x · z 2 , რომლის ფორმა განსხვავდება სტანდარტულისაგან.

გაითვალისწინეთ, რომ საჭიროების შემთხვევაში, ყოველთვის შეგიძლიათ პოლინომი სტანდარტულ ფორმამდე მიიყვანოთ.

სტანდარტული ფორმის მრავალწევრებს მიეკუთვნება კიდევ ერთი ცნება - მრავალწევრის თავისუფალი წევრის ცნება.

განმარტება.

მრავალწევრის თავისუფალი წევრივუწოდოთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის წევრი ასოს ნაწილის გარეშე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ არის რიცხვი მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმაში, მაშინ მას თავისუფალი წევრი ეწოდება. მაგალითად, 5 არის x 2 z+5 მრავალწევრის თავისუფალი წევრი, ხოლო მრავალწევრს 7 a+4 a b+b 3 არ აქვს თავისუფალი წევრი.

მრავალწევრის ხარისხი - როგორ ვიპოვოთ იგი?

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი დაკავშირებული განმარტება არის მრავალწევრის ხარისხის განსაზღვრა. პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის ხარისხს, ეს განმარტება ეფუძნება მონომების ხარისხებს, რომლებიც მის შემადგენლობაშია.

განმარტება.

სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის ხარისხიყველაზე დიდია მის აღნიშვნაში შეტანილი მონომების ხარისხებიდან.

მოვიყვანოთ მაგალითები. 5 x 3 −4 მრავალწევრის ხარისხი უდრის 3-ს, ვინაიდან მასში შემავალ მონომებს 5 x 3 და −4 აქვთ 3 და 0 გრადუსი, შესაბამისად, ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი არის 3, რაც არის მრავალწევრის ხარისხი. განმარტებით. და მრავალწევრის ხარისხი 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 xუდრის 2+3=5, 4+1=5 და 1 რიცხვებს შორის უდიდეს, ანუ 5.

ახლა გავარკვიოთ, როგორ ვიპოვოთ მრავალწევრის ხარისხი თვითნებური ტიპი.

განმარტება.

თვითნებური ფორმის მრავალწევრის ხარისხიარის სტანდარტული ფორმის შესაბამისი მრავალწევრის ხარისხი.

ასე რომ, თუ მრავალწევრი არ არის დაწერილი სტანდარტული ფორმით და გსურთ იპოვოთ მისი ხარისხი, მაშინ თქვენ უნდა მიიყვანოთ ორიგინალური მრავალწევრი სტანდარტულ ფორმამდე და იპოვოთ მიღებული პოლინომის ხარისხი - ეს იქნება სასურველი. განვიხილოთ გადაწყვეტის მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ მრავალწევრის ხარისხი 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

გამოსავალი.

ჯერ უნდა წარმოადგინოთ მრავალწევრი სტანდარტული ფორმით:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2 (a a) (b b) (c c)+y 2 z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

სტანდარტული ფორმის შედეგად მიღებული პოლინომი მოიცავს ორ მონომს −2 · a 2 · b 2 · c 2 და y 2 · z 2 . ვიპოვოთ მათი ხარისხები: 2+2+2=6 და 2+2=4 . ცხადია, ამ ხარისხებიდან ყველაზე დიდი არის 6, რაც განსაზღვრებით არის სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის ხარისხი. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, და აქედან გამომდინარე, ორიგინალური მრავალწევრის ხარისხი., 2 x−0.5 x y+3 x+7 მრავალწევრის 3 x და 7.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-7 კლასი. 14 საათზე ნაწილი 1. მოსწავლის სახელმძღვანელო საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A.G. Mordkovich. - მე-17 გამოცემა, დამატება. - მ.: მნემოზინა, 2013. - 175გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Ალგებრადა დაიწყე მათემატიკური ანალიზი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 2010.- 368გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

მრავალწევრის ცნება

მრავალწევრის განმარტება: მრავალწევრი არის მონომების ჯამი. პოლინომის მაგალითი:

აქ ჩვენ ვხედავთ ორი მონომის ჯამს და ეს არის მრავალწევრი, ე.ი. მონომების ჯამი.

ტერმინებს, რომლებიც ქმნიან მრავალწევრს, მრავალწევრის წევრებს უწოდებენ.

არის თუ არა მონომების განსხვავება მრავალწევრი? დიახ, ასეა, რადგან სხვაობა ადვილად მცირდება ჯამამდე, მაგალითად: 5a - 2b = 5a + (-2b).

მონომები ასევე განიხილება მრავალწევრად. მაგრამ მონომში ჯამი არ არის, მაშინ რატომ ითვლება ის მრავალწევრად? თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ ნული და მიიღოთ მისი ჯამი ნულოვანი მონომიით. ასე რომ, მონომია არის განსაკუთრებული შემთხვევამრავალწევრი, იგი შედგება ერთი ტერმინისგან.

რიცხვი ნული არის ნულოვანი მრავალწევრი.

მრავალწევრის სტანდარტული ფორმა

რა არის სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი? მრავალწევრი არის მონომების ჯამი და თუ ყველა ეს მონომები, რომლებიც ქმნიან მრავალწევრს, იწერება სტანდარტული ფორმით, გარდა ამისა, მათ შორის მსგავსი არ უნდა იყოს, მაშინ მრავალწევრი იწერება სტანდარტული ფორმით.

მრავალწევრის მაგალითი სტანდარტული ფორმით:

აქ მრავალწევრი შედგება 2 მონომისაგან, რომელთაგან თითოეულს აქვს სტანდარტული ფორმა, მონომებს შორის მსგავსი არ არის.

ახლა პოლინომის მაგალითი, რომელსაც არ აქვს სტანდარტული ფორმა:

აქ არის ორი მონომი: 2a და 4a მსგავსია. ჩვენ უნდა დავამატოთ ისინი, შემდეგ მრავალწევრი მიიღებს სტანდარტულ ფორმას:

Სხვა მაგალითი:

არის თუ არა ეს მრავალწევრი დაყვანილი სტანდარტულ ფორმამდე? არა, მისი მეორე წევრი არ იწერება სტანდარტული ფორმით. სტანდარტული ფორმით დაწერისას, ვიღებთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრს:

მრავალწევრის ხარისხი

რა არის მრავალწევრის ხარისხი?

პოლინომის ხარისხის განმარტება:

პოლინომიური ხარისხი - უმაღლესი ხარისხი, რომლებსაც აქვთ მონომები, რომლებიც ქმნიან მოცემული მრავალწევრისტანდარტული გარეგნობა.

მაგალითი. რა არის მრავალწევრის ხარისხი 5h? 5h მრავალწევრის ხარისხი უდრის ერთს, რადგან ეს მრავალწევრი შეიცავს მხოლოდ ერთ მონომსს და მისი ხარისხი უდრის ერთს.

Სხვა მაგალითი. რა არის მრავალწევრის ხარისხი 5a 2 h 3 s 4 +1? 5a 2 h 3 s 4 + 1 მრავალწევრის ხარისხი არის ცხრა, რადგან ეს მრავალწევრი მოიცავს ორ მონომს, პირველ მონომს 5a 2 h 3 s 4 აქვს უმაღლესი ხარისხი და მისი ხარისხი არის 9.

Სხვა მაგალითი. რა არის მე-5 მრავალწევრის ხარისხი? მე-5 მრავალწევრის ხარისხი არის ნული. ასე რომ, მხოლოდ რიცხვისაგან შემდგარი მრავალწევრის ხარისხი, ე.ი. ასოების გარეშე უდრის ნულს.

ბოლო მაგალითი. რა არის ნულოვანი მრავალწევრის ხარისხი, ე.ი. ნული? ნულოვანი მრავალწევრის ხარისხი არ არის განსაზღვრული.

მრავალწევრი, ფორმის გამოხატულება

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

სადაც x, y, ..., w ≈ ცვლადები და A, B, ..., D (M. კოეფიციენტები) და k, l, ..., t (ექსპონენტები ≈ მთელი რიცხვი არაუარყოფითი რიცხვები) ≈ მუდმივები. Ahkyl┘..wm ფორმის ცალკეულ ტერმინებს უწოდებენ M-ის წევრებს. ტერმინების რიგი, ისევე როგორც თითოეულ ტერმინში ფაქტორების რიგი, შეიძლება შეიცვალოს თვითნებურად; ანალოგიურად, ნულოვანი კოეფიციენტების მქონე ტერმინები შეიძლება იყოს შეტანილი ან გამოტოვებული, ხოლო თითოეულ ცალკეულ წევრში ≈ სიმძლავრეები ნულოვანი მაჩვენებლებით. იმ შემთხვევაში, როდესაც მ-ს ჰყავს ერთი, ორი ან სამი წევრი, მას უწოდებენ ერთწევრიან, ორწევრიან ან სამწევრიან. M-ის ორ წევრს ჰქვია მსგავსი, თუ მათში მოცემული მაჩვენებლები ერთიდაიგივე ცვლადების წყვილში ტოლია. მსგავსი წევრები

A "хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

შეიძლება შეიცვალოს ერთით (მსგავსი ტერმინების შემცირება). ამბობენ, რომ ორი მეტრიკა ტოლია, თუ მსგავსი მეტრიკის შემცირების შემდეგ, არანულოვანი კოეფიციენტების მქონე ყველა წევრი აღმოჩნდება წყვილებში იდენტური (მაგრამ შეიძლება დაიწეროს სხვა თანმიმდევრობით) და ასევე, თუ ამ მეტრიკის ყველა კოეფიციენტი აღმოჩნდება იყოს ნულის ტოლი. IN ბოლო შემთხვევა M.-ს ეწოდება იდენტური ნული და აღინიშნება 0 ნიშნით. M. ერთი ცვლადიდან x ყოველთვის შეიძლება ჩაიწეროს ფორმით.

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

სადაც a0, a1,..., an ≈ კოეფიციენტები.

M-ის რომელიმე წევრის მაჩვენებლების ჯამს ამ წევრის ხარისხი ეწოდება. თუ M. იდენტურად ნული არ არის, მაშინ არანულოვანი კოეფიციენტების მქონე წევრებს შორის (ვარაუდობენ, რომ ყველა ასეთი ტერმინია მოცემული) არის ერთი ან რამდენიმე უდიდესი ხარისხი; ამ უდიდეს ხარისხს ეწოდება M-ის ხარისხი. იდენტურ ნულს არ აქვს ხარისხი. მ. ნულოვანი ხარისხიმცირდება ერთ ტერმინამდე A (მუდმივი, არა ნული). მაგალითები: xyz + x + y + z არის მესამე ხარისხის მრავალწევრი, 2x + y ≈ z + 1 არის პირველი ხარისხის პოლინომი (წრფივი M.), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 არ აქვს ხარისხი, რადგან ის არის იდენტური ნული. მ., რომლის ყველა წევრი იგივე ხარისხი, ეწოდება ერთგვაროვანი მ., ანუ ფორმა; პირველი, მეორე და მესამე ხარისხის ფორმებს ეწოდება წრფივი, კვადრატული, კუბური და ცვლადების რაოდენობის მიხედვით (ორი, სამი) ორობითი (ორობითი), სამიანი (სამიანი) (მაგალითად, x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz არის სამკუთხა კვადრატული ფორმა).

მათემატიკის კოეფიციენტებთან დაკავშირებით, ვარაუდობენ, რომ ისინი მიეკუთვნებიან გარკვეულ ველს (იხ. ალგებრული ველი), მაგალითად, რაციონალური, რეალური ან რთული რიცხვები. კომუტაციური, ასოციაციური და გამანაწილებელი კანონების საფუძველზე M.-ზე შეკრების, გამოკლების და გამრავლების მოქმედებების შესრულებისას კვლავ ვიღებთ M-ს. ამრიგად, ყველა M-ის მთლიანობა კოეფიციენტებით. მოცემული ველიქმნის რგოლს (იხ. ალგებრული რგოლი) ≈ მრავალწევრების რგოლს მოცემულ ველზე; ამ რგოლს არ აქვს ნულოვანი გამყოფები, ანუ M.-ის ნამრავლი, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი, არ შეიძლება მისცეს 0-ს.

თუ ორი მრავალწევრისთვის P(x) და Q(x) შეიძლება იპოვოთ ისეთი მრავალწევრი R(x), რომ P = QR, მაშინ იტყვით, რომ P იყოფა Q-ზე; Q-ს გამყოფი ეწოდება, ხოლო R ≈ კოეფიციენტი. თუ P არ იყოფა Q-ზე, მაშინ შეიძლება ვიპოვოთ პოლინომები P(x) და S(x) ისეთი, რომ P = QR + S და S(x) ხარისხი. ნაკლები ხარისხი Q(x).

ამ ოპერაციის განმეორებითი გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი P და Q, ანუ P და Q-ის ისეთი გამყოფი, რომელიც იყოფა ამ მრავალწევრების ნებისმიერ საერთო გამყოფზე (იხ. ევკლიდეს ალგორითმი). მ., რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მ. ქვედა გრადუსიმოცემული ველის კოეფიციენტებს ეწოდება შემცირებადი (მოცემულ ველში), წინააღმდეგ შემთხვევაში ≈ შეუქცევადი. შეუქცევადი მასები თამაშობენ როლს მსგავსი მასების რგოლში მარტივი რიცხვებიმთელი რიცხვების თეორიაში. ასე, მაგალითად, თეორემა მართალია: თუ ნამრავლი PQ იყოფა შეუქცევად მრავალწევრზე R და P არ იყოფა R-ზე, მაშინ Q უნდა გაიყოს R-ზე. ნულზე მეტი ხარისხის M. იშლება მოცემულში. ველი შეუქცევადი ფაქტორების პროდუქტად ცალსახად (ნულ ხარისხამდე გამრავლებამდე). მაგალითად, პოლინომი x4 + 1, შეუმცირებელი ველში რაციონალური რიცხვი, იშლება ორ ფაქტორად

მინდორში რეალური რიცხვებიდა ოთხი ფაქტორით ═ რთული რიცხვების ველში. ზოგადად, ყოველი M. ერთ ცვლადში x რეალური რიცხვების ველში იშლება პირველი და მეორე ხარისხის ფაქტორებად, რთული რიცხვების ველში ≈ პირველი ხარისხის ფაქტორებად (ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა). ორისთვის და მეტიამის ცვლადების მტკიცება აღარ შეიძლება; მაგალითად, მრავალწევრი x3 + yz2 + z3 შეუქცევადია ნებისმიერ რიცხვთა ველში.

თუ x, y, ..., w ცვლადებს მიენიჭება გარკვეული რიცხვითი მნიშვნელობები (მაგალითად, რეალური ან რთული), მაშინ M. ასევე მიიღებს გარკვეულ რიცხვითი მნიშვნელობა. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული M. შეიძლება ჩაითვალოს შესაბამისი ცვლადების ფუნქციად. ეს ფუნქცია არის უწყვეტი და დიფერენცირებადი ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის; ის შეიძლება დახასიათდეს, როგორც მთლიანი რაციონალური ფუნქცია, ანუ ფუნქცია, რომელიც მიღებულია ცვლადებიდან და ზოგიერთი მუდმივიდან (კოეფიციენტებიდან) გარკვეული თანმიმდევრობით შესრულებული შეკრების, გამოკლების და გამრავლების გზით. მთლიანი რაციონალური ფუნქციებიშედის რაციონალური ფუნქციების უფრო ფართო კლასში, სადაც ჩამოთვლილ მოქმედებებს ემატება გაყოფა: ნებისმიერი რაციონალური ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი M-ის კოეფიციენტად. და ბოლოს, რაციონალური ფუნქციები შედის ალგებრული ფუნქციების კლასში.

ნომერზე ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებებიმ. მიუთითებს იმაზე, რომ ნებისმიერი უწყვეტი ფუნქცია M შეიძლება შეიცვალოს თვითნებურად მცირე შეცდომით (ვეიერშტრასის თეორემა; მისი ზუსტი ფორმულირება მოითხოვს, რომ მოცემული ფუნქციაიყო უწყვეტი ზოგიერთ შეზღუდულ, დახურულ წერტილებზე, მაგალითად, სეგმენტზე რიცხვითი ღერძი). ეს ფაქტი, რომელიც შეიძლება დადასტურდეს მათემატიკური ანალიზის საშუალებით, შესაძლებელს ხდის მიახლოებით დაახლოებას შესწავლილ რაოდენობებს შორის ბუნებისმეტყველებისა და ტექნოლოგიების ნებისმიერ საკითხში. ასეთი გამოხატვის გზები შესწავლილია მათემატიკის სპეციალურ განყოფილებებში (იხ. ფუნქციების მიახლოება და ინტერპოლაცია, უმცირესი კვადრატებიმეთოდი).

ელემენტარულ ალგებრაში პოლინომს ზოგჯერ უწოდებენ ისეთ ალგებრულ გამონათქვამებს, რომლებშიც ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, მაგალითად.

განათებული : Kurosh A. G., Course of Higher Algebra, 9th ed., M., 1968; მიშინა ა.პ., პროსკურიაკოვი ი.ვ., უმაღლესი ალგებრა, მე-2 გამოცემა, მ., 1965 წ.

მონომების შესწავლის შემდეგ მივმართავთ მრავალწევრებს. ეს სტატია მოიცავს ყველაფერს საჭირო ინფორმაციასაჭიროა მათზე მოქმედებების შესრულება. ჩვენ განვსაზღვრავთ მრავალწევრს პოლინომიური ტერმინის თანმხლები განმარტებებით, ანუ თავისუფალი და მსგავსი, განვიხილავთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრს, გავაცნობთ ხარისხს და ვისწავლით როგორ ვიპოვოთ იგი, ვიმუშაოთ მის კოეფიციენტებთან.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მრავალწევრი და მისი წევრები - განმარტებები და მაგალითები

საჭირო იყო მრავალწევრის განმარტება 7 კლასი მონომების შესწავლის შემდეგ. მოდით შევხედოთ მის სრულ განმარტებას.

განმარტება 1

მრავალწევრიგანიხილება მონომების ჯამი, ხოლო თავად მონომი არის მრავალწევრის განსაკუთრებული შემთხვევა.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მრავალწევრების მაგალითები შეიძლება იყოს განსხვავებული: 5 , 0 , − 1 , x, 5 ა ბ 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z და ასე შემდეგ. განმარტებიდან გვაქვს ეს 1+x, a 2 + b 2 და გამოხატულება x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x მრავალწევრია.

მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე განმარტებას.

განმარტება 2

მრავალწევრის წევრებიმის შემადგენელ მონომებს უწოდებენ.

განვიხილოთ ეს მაგალითი, სადაც გვაქვს მრავალწევრი 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , რომელიც შედგება 4 წევრისაგან: 3 x 4 , − 2 x y , 3 და − y 3. ასეთი მონომი შეიძლება ჩაითვალოს მრავალწევრად, რომელიც შედგება ერთი ტერმინისგან.

განმარტება 3

მრავალწევრებს, რომლებსაც აქვთ 2, 3 ტრინომი, აქვთ შესაბამისი სახელი - ბინომიდა ტრინომალური.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ფორმის გამოხატულება x+y– არის ბინომი და გამოსახულება 2 x 3 q − q x x + 7 b არის ტრინომი.

ავტორი სკოლის სასწავლო გეგმამუშაობენ a x + b ფორმის წრფივ ორნომთან, სადაც a და b არის რამდენიმე რიცხვი, ხოლო x არის ცვლადი. განვიხილოთ ფორმის წრფივი ორომალიების მაგალითები: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 კვადრატული ტრინომების მაგალითებით x 2 + 3 · x − 5 და 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

ტრანსფორმაციისა და ამოხსნისთვის საჭიროა მსგავსი ტერმინების მოძიება და მოტანა. მაგალითად, 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ფორმის მრავალწევრს აქვს მსგავსი ტერმინები 1 და - 3, 5 x და 2 x. ისინი იყოფიან სპეციალური ჯგუფიმრავალწევრის მსგავსი ტერმინების სახელწოდებით.

განმარტება 4

მრავალწევრის მსგავსი წევრებიმსგავსია მრავალწევრის ტერმინები.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში გვაქვს, რომ 1 და - 3, 5 x და 2 x მრავალწევრის ან მსგავსი წევრების მსგავსი წევრებია. გამოთქმის გასამარტივებლად იპოვეთ და შეამცირეთ მსგავსი ტერმინები.

სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი

ყველა მონომს და მრავალწევრს აქვს თავისი სპეციფიკური სახელები.

განმარტება 5

სტანდარტული ფორმის მრავალწევრიმრავალწევრს უწოდებენ, რომელშიც მის თითოეულ წევრს აქვს სტანდარტული ფორმის მონომი და არ შეიცავს მსგავს წევრებს.

განმარტებიდან ჩანს, რომ შესაძლებელია სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების შემცირება, მაგალითად, 3 x 2 − x y + 1. და __ფორმულა__, და ჩანაწერი არის სტანდარტული ფორმით. გამოსახულებები 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z და 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z არ არის სტანდარტული ფორმის პოლინომები, რადგან პირველ მათგანს აქვს მსგავსი ტერმინები 3 x 2 და სახით. − x2, ხოლო მეორე შეიცავს x · y 3 · x · z 2 ფორმის მონომს, რომელიც განსხვავდება სტანდარტული მრავალწევრისაგან.

თუ ამას მოითხოვს გარემოებები, ზოგჯერ მრავალწევრი მცირდება სტანდარტულ ფორმამდე. მრავალწევრის თავისუფალი წევრის კონცეფცია ასევე განიხილება სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

განმარტება 6

მრავალწევრის თავისუფალი წევრიარის სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი ასოს ნაწილის გარეშე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც მრავალწევრის აღნიშვნას სტანდარტული სახით აქვს რიცხვი, მას თავისუფალი წევრი ეწოდება. მაშინ რიცხვი 5 არის x 2 · z + 5 მრავალწევრის თავისუფალი წევრი, ხოლო მრავალწევრს 7 · a + 4 · a · b + b 3 არ აქვს თავისუფალი წევრი.

მრავალწევრის ხარისხი - როგორ ვიპოვოთ იგი?

მრავალწევრის ხარისხის განსაზღვრა ეფუძნება სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის განმარტებას და მონომების ხარისხებს, რომლებიც მისი კომპონენტებია.

განმარტება 7

სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის ხარისხიდაასახელეთ მის აღნიშვნაში შეტანილი უფლებამოსილებიდან ყველაზე დიდი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს. 5 x 3 − 4 მრავალწევრის ხარისხი უდრის 3-ს, რადგან მის შემადგენლობაში შემავალ მონომებს აქვთ 3 და 0 გრადუსი, მათგან ყველაზე დიდი კი შესაბამისად 3. 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x უდრის რიცხვთა უდიდესს, ანუ 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 და 1, 4 + 1 = 5 და 1.

აუცილებელია გაირკვეს, თუ როგორ არის ნაპოვნი თავად ხარისხი.

განმარტება 8

თვითნებური რიცხვის მრავალწევრის ხარისხიარის შესაბამისი მრავალწევრის ხარისხი სტანდარტული ფორმით.

როდესაც მრავალწევრი არ იწერება სტანდარტული ფორმით, მაგრამ თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ხარისხი, უნდა შეამციროთ იგი სტანდარტულ ფორმამდე და შემდეგ იპოვოთ საჭირო ხარისხი.

მაგალითი 1

იპოვეთ მრავალწევრის ხარისხი 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

გამოსავალი

პირველ რიგში, ჩვენ წარმოვადგენთ მრავალწევრს სტანდარტული ფორმით. ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, როგორიცაა:

3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (aa) (ბბ) (cc) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

სტანდარტული ფორმის მრავალწევრის მიღებისას აღმოვაჩენთ, რომ ორი მათგანი მკაფიოდ გამოიყოფა - 2 · a 2 · b 2 · c 2 და y 2 · z 2 . გრადუსების საპოვნელად ვიანგარიშებთ და ვიღებთ, რომ 2 + 2 + 2 = 6 და 2 + 2 = 4 . ჩანს, რომ მათგან ყველაზე დიდი უდრის 6-ს. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ზუსტად 6 არის − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 მრავალწევრის ხარისხი, აქედან გამომდინარეობს თავდაპირველი მნიშვნელობა.

უპასუხე: 6 .

მრავალწევრის წევრთა კოეფიციენტები

განმარტება 9

როდესაც მრავალწევრის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია, მაშინ ამ შემთხვევაში მათ აქვთ სახელი მრავალწევრის წევრთა კოეფიციენტები.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათ შეიძლება ეწოდოს მრავალწევრის კოეფიციენტები.

მაგალითის განხილვისას ჩანს, რომ 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 ფორმის მრავალწევრს შემადგენლობაში აქვს 4 მრავალწევრი: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x და 7 მათი შესაბამისი. კოეფიციენტები 2 , − 0 , 5 , 3 და 7 . აქედან გამომდინარე, 2, − 0, 5, 3 და 7 მიჩნეულია 2 · x − 0, 5 · x · y + 3 · x + 7 ფორმის მოცემული მრავალწევრის წევრთა კოეფიციენტებად. კონვერტაციისას მნიშვნელოვანია ყურადღება მიაქციოთ ცვლადების წინ არსებულ კოეფიციენტებს.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

განმარტებით, მრავალწევრი არის ალგებრული გამოხატულებარომელიც არის მონომების ჯამი.

მაგალითად: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 მრავალწევრია, ხოლო გამონათქვამი z/(x - x*y^2 + 4) არ არის მრავალწევრი, რადგან ის არ არის მონომების ჯამი. მრავალწევრს ზოგჯერ ასევე უწოდებენ მრავალწევრს, ხოლო მონომები, რომლებიც მრავალწევრის ნაწილია, არის მრავალწევრის ან მონომის წევრები.

მრავალწევრის რთული კონცეფცია

თუ მრავალწევრი შედგება ორი წევრისაგან, მაშინ მას უწოდებენ ორწევრს, თუ იგი შედგება სამისაგან - ტრინომი. სახელები ოთხწლიან, ხუთწლოვან და სხვა არ გამოიყენება და ასეთ შემთხვევებში უბრალოდ ამბობენ, მრავალწევრიანი. ასეთი სახელები, ტერმინების რაოდენობის მიხედვით, ყველაფერს თავის ადგილზე აყენებს.

და ტერმინი მონომიური ხდება ინტუიციური. მათემატიკის თვალსაზრისით მონომი არის მრავალწევრის განსაკუთრებული შემთხვევა. მონომი არის მრავალწევრი, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი წევრი.

ისევე როგორც მონომი, მრავალწევრსაც აქვს თავისი სტანდარტული ფორმა. მრავალწევრის სტანდარტული ფორმა არის მრავალწევრის ისეთი აღნიშვნა, რომელშიც მასში ტერმინებად შეტანილი ყველა მონომი იწერება სტანდარტული ფორმით და მოცემულია მსგავსი ტერმინები.

მრავალწევრის სტანდარტული ფორმა

მრავალწევრის სტანდარტულ ფორმაში მიყვანის პროცედურა არის თითოეული მონომის სტანდარტულ ფორმაში მიყვანა და შემდეგ ყველა ასეთი მონომის შეკრება. მრავალწევრის მსგავსი წევრების დამატებას მსგავსი ტერმინების შემცირება ეწოდება.
მაგალითად, მივცეთ მსგავსი ტერმინები მრავალწევრში 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

ტერმინები 4*a*b^2*c^3 და 6*a*b^2*c^3 აქ მსგავსია. ამ ტერმინების ჯამი იქნება მონომიური 10*a*b^2*c^3. ამრიგად, თავდაპირველი მრავალწევრი 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b შეიძლება გადაიწეროს როგორც 10*a*b^2*c^3 - a* ბ . ეს ჩანაწერი იქნება მრავალწევრის სტანდარტული ფორმა.

იქიდან გამომდინარე, რომ ნებისმიერი მონომი შეიძლება შემცირდეს სტანდარტულ ფორმამდე, ასევე გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი პოლინომი შეიძლება შემცირდეს სტანდარტულ ფორმამდე.

როდესაც მრავალწევრი დაყვანილია სტანდარტულ ფორმამდე, შეგვიძლია ვისაუბროთ ისეთ კონცეფციაზე, როგორიცაა მრავალწევრის ხარისხი. მრავალწევრის ხარისხი არის მონომის ყველაზე დიდი ხარისხი, რომელიც შედის მოცემულ მრავალწევრში.
ასე, მაგალითად, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 არის მეხუთე ხარისხის პოლინომი, ვინაიდან პოლინომში შემავალი მონომის მაქსიმალური ხარისხი (5*x^3*y^) 2) არის მეხუთე.