გაკვეთილის განმავლობაში თქვენ შეძლებთ დამოუკიდებლად შეისწავლოთ თემა " გრაფიკული გადაწყვეტაგანტოლებები, უტოლობები. მასწავლებელი გაკვეთილზე გააანალიზებს განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდებს. ის გასწავლით თუ როგორ უნდა ააგოთ გრაფიკები, გააანალიზოთ ისინი და მიიღოთ ამონახსნები განტოლებათა და უტოლობაზე. გაკვეთილზე ასევე განიხილება კონკრეტული მაგალითებიამ თემაზე.

თემა: რიცხვითი ფუნქციები

გაკვეთილი: განტოლებათა გრაფიკული ამოხსნა, უტოლობა

1. გაკვეთილის თემა, შესავალი

ჩვენ გადავხედეთ სქემებს ელემენტარული ფუნქციები, გრაფიკის ჩათვლით დენის ფუნქციებიგ სხვადასხვა მაჩვენებლები. ჩვენ ასევე გავითვალისწინეთ ფუნქციის გრაფიკების გადატანისა და გარდაქმნის წესები. ყველა ეს უნარი უნდა იქნას გამოყენებული, როცა საჭიროა. გრაფიკულიგამოსავალიგანტოლებები ან გრაფიკული გამოსავალიუთანასწორობები.

2. განტოლებებისა და უტოლობების გრაფიკულად ამოხსნა

მაგალითი 1. გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება:

ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები (ნახ. 1).

ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც გადის წერტილებში

ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, მას ავაშენებთ ცხრილის მიხედვით.

გრაფიკები იკვეთება წერტილზე სხვა გადაკვეთის წერტილები არ არსებობს, ვინაიდან ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, ფუნქცია მონოტონურად მცირდება და, შესაბამისად, მათი გადაკვეთის წერტილი უნიკალურია.

მაგალითი 2. ამოხსენით უტოლობა

ა. უტოლობის შესანარჩუნებლად, ფუნქციის გრაფიკი უნდა განთავსდეს სწორი ხაზის ზემოთ (ნახ. 1). ეს კეთდება მაშინ, როცა

ბ. ამ შემთხვევაში, პირიქით, პარაბოლა უნდა იყოს ხაზის ქვეშ. ეს კეთდება მაშინ, როცა

მაგალითი 3. ამოხსენით უტოლობა

მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები (ნახ. 2).

იპოვეთ განტოლების ფესვი, როცა ამონახსნები არ არის. არსებობს ერთი გამოსავალი.

იმისთვის, რომ უტოლობა შენარჩუნდეს, ჰიპერბოლა უნდა იყოს განლაგებული ხაზის ზემოთ. ეს მართალია .

მაგალითი 4. გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა:

დომენი:

მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები ამისთვის (ნახ. 3).

ა. ფუნქციის გრაფიკი უნდა განთავსდეს გრაფიკის ქვეშ; ეს კეთდება მაშინ, როდესაც

ბ. ფუნქციის გრაფიკი განლაგებულია გრაფიკის ზემოთ: მაგრამ რადგან ჩვენ გვაქვს არა მკაცრი ნიშანი მდგომარეობაში, მნიშვნელოვანია არ დავკარგოთ იზოლირებული ფესვი

3. დასკვნა

ჩვენ განვიხილეთ გრაფიკული მეთოდიგანტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა; განვიხილეთ კონკრეტული მაგალითები, რომელთა გადაწყვეტისას გამოვიყენეთ ფუნქციების ისეთი თვისებები, როგორიცაა ერთფეროვნება და თანასწორობა.

1. Mordkovich A. G. და სხვ. ალგებრა მე-9 კლასი: პროკ. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები.- მე-4 გამოცემა. - მ.: მნემოსინე, 2002.-192 გვ.: ილ.

2. Mordkovich A. G. და სხვ. ალგებრა მე-9 კლასი: დავალების წიგნი მოსწავლეებისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina და სხვები - 4th ed. - მ.: მნემოსინე, 2002.-143 გვ.: ილ.

3. იუ ნ. მაკარიჩევი, ალგებრა. მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლების სტუდენტებისთვის. ინსტიტუტები / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - მე-7 გამოცემა, რევ. და დამატებითი - M .: Mnemosyne, 2008 წ.

4. შ.ა.ალიმოვი, იუ.მ.კოლიაგინი და იუ.ვ.სიდოროვი, ალგებრა. მე-9 კლასი მე-16 გამოცემა. - მ., 2011. - 287გვ.

5. Mordkovich A. G. ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-12 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: 2010. - 224 გვ.: ავად.

6. ალგებრა. მე-9 კლასი 2 საათზე ნაწილი 2. დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina და სხვები; რედ. A.G. Mordkovich. - მე-12 გამოცემა, რევ. - მ.: 2010.-223 გვ.: ავად.

1. კოლეჯის განყოფილება. ru მათემატიკაში.

2. ინტერნეტ პროექტი „დავალებები“.

3. საგანმანათლებლო პორტალი"მე გადავწყვეტ გამოყენებას".

1. Mordkovich A. G. და სხვ. ალგებრა 9 კლასი: დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 გვ.: ill. No355, 356, 364.

გადაჭრის ერთ-ერთი ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდი კვადრატული უტოლობებიარის გრაფიკული მეთოდი. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ, თუ როგორ იხსნება კვადრატული უტოლობები გრაფიკულად. პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ, რა არის ამ მეთოდის არსი. შემდეგ ვაძლევთ ალგორითმს და განვიხილავთ კვადრატული უტოლობების გრაფიკულად ამოხსნის მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

გრაფიკული მეთოდის არსი

Საერთოდ უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული გზაერთი ცვლადით გამოიყენება არა მხოლოდ კვადრატული, არამედ სხვა ტიპის უტოლობების გადასაჭრელად. უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის არსიშემდეგი: განვიხილოთ y=f(x) და y=g(x) ფუნქციები, რომლებიც შეესაბამება მარცხნივ და მარჯვენა ნაწილებიუტოლობები, ააგეთ მათი გრაფიკები ერთში მართკუთხა სისტემაკოორდინატები და გაარკვიეთ, რა ინტერვალებით მდებარეობს ერთი მათგანის გრაფიკი მეორის ქვემოთ ან ზემოთ. ის ინტერვალები სადაც

• f ფუნქციის გრაფიკი g ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ არის ამონახსნები f(x)>g(x) უტოლობაზე;
• f ფუნქციის გრაფიკი g ფუნქციის გრაფიკზე დაბალი არ არის f(x)≥g(x) უტოლობის ამონახსნები;
• f ფუნქციის გრაფიკი g ფუნქციის გრაფიკის ქვემოთ არის ამონახსნები f(x) უტოლობაზე.
• f ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც არ არის g ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ არის ამონახსნები f(x)≤g(x) უტოლობაზე.

ასევე ვთქვათ, რომ f და g ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები არის f(x)=g(x) განტოლების ამონახსნები.

მოდით გადავიტანოთ ეს შედეგები ჩვენს შემთხვევაზე - ამოხსნათ კვადრატული უტოლობა a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

შემოგთავაზებთ ორ ფუნქციას: პირველი y=a x 2 +b x+c (ამ შემთხვევაში f(x)=a x 2 +b x+c) შეესაბამება კვადრატული უტოლობის მარცხენა მხარეს, მეორე y=0 (in ეს შემთხვევა g (x)=0 ) შეესაბამება უტოლობის მარჯვენა მხარეს. განრიგი კვადრატული ფუნქცია f არის პარაბოლა და გრაფიკი მუდმივი ფუნქცია g არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა აბსცისის ღერძს Ox.

გარდა ამისა, უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის მიხედვით, აუცილებელია გავაანალიზოთ, რა ინტერვალებით არის განლაგებული ერთი ფუნქციის გრაფიკი მეორის ზემოთ ან ქვემოთ, რაც საშუალებას მოგვცემს დავწეროთ სასურველი ამონახსნები კვადრატულ უტოლობაზე. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გავაანალიზოთ პარაბოლის პოზიცია Ox-ის ღერძთან მიმართებაში.

a, b და c კოეფიციენტების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი ექვსი ვარიანტი (სქემატური წარმოდგენა საკმარისია ჩვენი საჭიროებისთვის და შესაძლებელია არ გამოვხატოთ Oy ღერძი, რადგან მისი პოზიცია არ მოქმედებს ამოხსნაზე. უთანასწორობის შესახებ):

ამ ნახატზე ჩვენ ვხედავთ პარაბოლას, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ და რომელიც კვეთს Ox ღერძს ორ წერტილში, რომლის აბსციები არის x 1 და x 2. ეს ნახაზი შეესაბამება იმ ვარიანტს, როდესაც კოეფიციენტი a დადებითია (ის პასუხისმგებელია პარაბოლის ტოტების ზევით მიმართულებაზე) და როცა მნიშვნელობა დადებითია. კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი a x 2 +b x + c (ამ შემთხვევაში, ტრინომს აქვს ორი ფესვი, რომელიც აღვნიშნეთ x 1 და x 2, და ვივარაუდეთ, რომ x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2, x 2 =3.

სიცხადისთვის წითლად დავხატოთ პარაბოლის ნაწილები, რომლებიც მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ, ხოლო ლურჯში - აბსცისის ღერძის ქვემოთ.


ახლა მოდით გავარკვიოთ, რა ხარვეზები შეესაბამება ამ ნაწილებს. შემდეგი ნახაზი დაგეხმარებათ მათ დადგენაში (მომავალში ჩვენ გონებრივად გავაკეთებთ ასეთ არჩევანს მართკუთხედების სახით):


ასე რომ, აბსცისის ღერძზე ორი ინტერვალი (−∞, x 1) და (x 2, +∞) იყო მონიშნული წითლად, მათზე პარაბოლა უფრო მაღალია ვიდრე ღერძი Ox, ისინი ქმნიან კვადრატული უტოლობის ამოხსნას x 2. +b x+c>0 და შუალედი (x 1, x 2) მონიშნულია ლურჯად, მასზე პარაბოლა არის Ox ღერძის ქვემოთ, ეს არის ამონახსნი a x 2 + b x + c უტოლობაზე.<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

ახლა კი მოკლედ: a>0 და D=b 2 −4 a c>0 (ან D"=D/4>0 ლუწი კოეფიციენტისთვის b)

• a x 2 +b x+c>0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) ან სხვაგვარად, x x2;
• a x 2 +b x+c≥0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (−∞, x 1]∪ ან სხვა აღნიშვნით x 1 ≤x≤x 2,

სადაც x 1 და x 2 არის კვადრატული ტრინომის ფესვები a x 2 + b x + c და x 1


აქ ვხედავთ პარაბოლას, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ და რომელიც ეხება აბსცისის ღერძს, ანუ მას აქვს ერთი საერთო წერტილი, ავღნიშნოთ ამ წერტილის აბსციზა x 0-ით. წარმოდგენილი შემთხვევა შეესაბამება a>0 (ტოტები მიმართულია ზემოთ) და D=0 ( კვადრატული ტრინომიალიაქვს ერთი ფესვი x 0). მაგალითად, შეგვიძლია ავიღოთ კვადრატული ფუნქცია y=x 2 −4 x+4 , აქ a=1>0 , D=(−4) 2 −4 1 4=0 და x 0 =2 .

ნახატზე ნათლად ჩანს, რომ პარაბოლა მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ ყველგან, გარდა შეხების წერტილისა, ანუ ინტერვალებით (−∞, x 0), (x 0 , ∞) . სიცხადისთვის, ნახატში ვირჩევთ უბნებს წინა აბზაცის ანალოგიით.


ვაკეთებთ დასკვნებს: a>0-სთვის და D=0

• a x 2 +b x+c>0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) ან სხვა აღნიშვნით x≠x 0 ;
• a x 2 +b x+c≥0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (−∞, +∞) ან სხვა აღნიშვნით x∈R ;
• კვადრატული უტოლობა a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• კვადრატულ უტოლობას a x 2 +b x+c≤0 აქვს უნიკალური ამონახსნი x=x 0 (ის მოცემულია ტანგენტის წერტილით),

სადაც x 0 არის კვადრატული ტრინომის ფესვი a x 2 + b x + c.


ამ შემთხვევაში პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ და მას არ აქვს საერთო წერტილებიაბსცისის ღერძით. აქ გვაქვს პირობები a>0 (ტოტები მიმართულია ზემოთ) და D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4 2 1=−8<0 .

ცხადია, პარაბოლა მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ მთელ სიგრძეზე (არ არსებობს ინტერვალები, სადაც ის Ox ღერძის ქვემოთ არის, არ არის შეხების წერტილი).


ამრიგად, a>0-სთვის და D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 და x 2 +b x+c≥0 არის ყველა სიმრავლე რეალური რიცხვები, და უტოლობები a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

და პარაბოლას მდებარეობის სამი ვარიანტი არსებობს ტოტებით მიმართული ქვემოთ და არა ზემოთ, Ox-ის ღერძთან შედარებით. პრინციპში, ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს, რადგან უტოლობის ორივე ნაწილის −1-ზე გამრავლება საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ეკვივალენტურ უტოლობაზე დადებითი კოეფიციენტით x 2-ზე. თუმცა, ამ შემთხვევებზე წარმოდგენა არ არის მტკივნეული. მსჯელობა აქ მსგავსია, ამიტომ ჩვენ ვწერთ მხოლოდ ძირითად შედეგებს.

ამოხსნის ალგორითმი

ყველა წინა გამოთვლების შედეგია კვადრატული უტოლობების გრაფიკულად ამოხსნის ალგორითმი:

ჩართულია საკოორდინაციო თვითმფრინავიშესრულებულია სქემატური ნახაზი, რომელიც ასახავს Ox ღერძს (არ არის აუცილებელი Oy ღერძის გამოსახვა) და პარაბოლის ესკიზი, რომელიც შეესაბამება კვადრატულ ფუნქციას y \u003d a x 2 +b x + c. პარაბოლის ესკიზის ასაგებად საკმარისია ორი წერტილის გარკვევა:

• პირველ რიგში, a კოეფიციენტის მნიშვნელობით ირკვევა, თუ სად არის მიმართული მისი ტოტები (a>0 - ზევით, a-სთვის.<0 – вниз).
• და მეორეც, a x 2 + b x + c კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტის მნიშვნელობით გამოდის, პარაბოლა კვეთს x ღერძს ორ წერტილში (D> 0-ისთვის), ეხება თუ არა მას ერთ წერტილში (D=-სთვის. 0), ან არ აქვს საერთო წერტილები Ox ღერძთან (D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• როდესაც ნახატი მზად არის, მასზე ალგორითმის მეორე საფეხურზე

  • a·x 2 +b·x+c>0 კვადრატული უტოლობის ამოხსნისას განისაზღვრება ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ;
  • a x 2 +b x+c≥0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ და მათ ემატება გადაკვეთის წერტილების აბსციები (ან ტანგენტური წერტილის აბსცისი);
  • a x 2 +b x+c უტოლობის ამოხსნისას<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • და ბოლოს, a x 2 +b x + c≤0 ფორმის კვადრატული უტოლობის ამოხსნისას არის ინტერვალები, სადაც პარაბოლა არის Ox ღერძის ქვემოთ და მათ ემატება გადაკვეთის წერტილების აბსციები (ან ტანგენციის წერტილის აბსცისა). ;

  ისინი ქმნიან კვადრატული უტოლობის სასურველ გადაწყვეტას და თუ არ არის ასეთი ინტერვალები და არ არის შეხების წერტილები, მაშინ თავდაპირველ კვადრატულ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

რჩება მხოლოდ რამდენიმე კვადრატული უტოლობის ამოხსნა ამ ალგორითმის გამოყენებით.

მაგალითები გადაწყვეტილებებით

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა .

გამოსავალი.

ჩვენ უნდა გადავჭრათ კვადრატული უტოლობა, გამოვიყენებთ წინა აბზაცის ალგორითმს. პირველ ეტაპზე უნდა დავხატოთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი . x 2-ზე კოეფიციენტი არის 2, ის დადებითია, შესაბამისად, პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. მოდით ასევე გავარკვიოთ აქვს თუ არა პარაბოლას აბსცისის ღერძთან საერთო წერტილები, ამისთვის გამოვთვალოთ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი. . Ჩვენ გვაქვს . დისკრიმინანტი ნულზე მეტი აღმოჩნდა, ამიტომ ტრინომს აქვს ორი რეალური ფესვი: და , ანუ x 1 =−3 და x 2 =1/3.

აქედან ირკვევა, რომ პარაბოლა კვეთს Ox ღერძს ორ წერტილში −3 და 1/3 აბსცისებით. ნახაზში ამ წერტილებს გამოვსახავთ ჩვეულებრივ წერტილებად, რადგან ვხსნით არამკაცრ უტოლობას. დაზუსტებული მონაცემების მიხედვით, ვიღებთ შემდეგ ნახატს (ის შეესაბამება სტატიის პირველი პუნქტის პირველ შაბლონს):

გადავდივართ ალგორითმის მეორე საფეხურზე. ვინაიდან ჩვენ ვხსნით არამკაცრ კვადრატულ უტოლობას ≤ ნიშნით, უნდა განვსაზღვროთ ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს აბსცისის ღერძის ქვემოთ და დავუმატოთ მათ გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

ნახაზიდან ჩანს, რომ პარაბოლა (−3, 1/3) ინტერვალში აბსცისის ქვემოთ არის და მას ვუმატებთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისებს, ანუ რიცხვებს −3 და 1/3. შედეგად მივდივართ რიცხვით სეგმენტამდე [−3, 1/3]. ეს არის სასურველი გამოსავალი. ის შეიძლება დაიწეროს როგორც ორმაგი უტოლობა −3≤x≤1/3.

პასუხი:

[−3, 1/3] ან −3≤x≤1/3.

მაგალითი.

იპოვეთ ამონახსნი −x 2 +16 x−63 კვადრატული უტოლობისთვის<0 .

გამოსავალი.

ჩვეულებისამებრ, ვიწყებთ ნახატით. ცვლადის კვადრატის რიცხვითი კოეფიციენტი უარყოფითია, −1, შესაბამისად, პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ. მოდით გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი, ან უკეთესი, მისი მეოთხე ნაწილი: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. მისი მნიშვნელობა დადებითია, ჩვენ ვიანგარიშებთ კვადრატული ტრინომის ფესვებს: და , x 1 =7 და x 2 =9. ასე რომ პარაბოლა კვეთს Ox ღერძს ორ წერტილში 7 და 9 აბსცისებთან (საწყისი უტოლობა მკაცრია, ამიტომ ამ წერტილებს გამოვსახავთ ცარიელი ცენტრით). ახლა შეგვიძლია გავაკეთოთ სქემატური ნახაზი:

ვინაიდან ჩვენ ვხსნით მკაცრ ხელმოწერილ კვადრატულ უტოლობას<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

ნახაზი აჩვენებს, რომ თავდაპირველი კვადრატული უტოლობის ამონახსნები არის ორი ინტერვალი (−∞, 7) , (9, +∞) .

პასუხი:

(−∞, 7)∪(9, +∞) ან სხვა x აღნიშვნით<7 , x>9 .

კვადრატული უტოლობების ამოხსნისას, როდესაც მის მარცხენა მხარეს კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ფრთხილად უნდა იყოთ პასუხიდან ტანგენტის წერტილის აბსცისის ჩართვაში ან გამორიცხვისას. ეს დამოკიდებულია უთანასწორობის ნიშანზე: თუ უთანასწორობა მკაცრია, მაშინ ეს არ არის უთანასწორობის გამოსავალი, ხოლო თუ არა მკაცრი, მაშინ არის.

მაგალითი.

აქვს თუ არა კვადრატულ უტოლობას 10 x 2 −14 x+4.9≤0 ერთი ამონახსნი მაინც?

გამოსავალი.

გამოვსახოთ ფუნქცია y=10 x 2 −14 x+4.9 . მისი ტოტები მიმართულია ზემოთ, ვინაიდან x 2-ზე კოეფიციენტი დადებითია და ის აბსცისს ეხება აბსცისის წერტილში 0,7, ვინაიდან D "=(−7) 2 −10 4,9=0, საიდანაც ან 0,7 ათწილადის სახით. სქემატურად, ასე გამოიყურება:

ვინაიდან ჩვენ ვხსნით კვადრატულ უტოლობას ≤ ნიშნით, მაშინ მისი ამოხსნა იქნება ის ინტერვალები, რომლებზეც პარაბოლა მდებარეობს Ox ღერძის ქვემოთ, ასევე ტანგენტის წერტილის აბსცისა. ნახაზიდან ჩანს, რომ არ არის არც ერთი უფსკრული, სადაც პარაბოლა იქნება Ox ღერძის ქვემოთ, შესაბამისად, მისი ამოხსნა იქნება მხოლოდ შეხების წერტილის აბსციზა, ანუ 0.7.

პასუხი:

ამ უტოლობას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა 0.7.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული უტოლობა –x 2 +8 x−16<0 .

გამოსავალი.

ვმოქმედებთ კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ალგორითმის მიხედვით და ვიწყებთ ნახაზით. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვევით, ვინაიდან x 2-ზე კოეფიციენტი უარყოფითია -1. იპოვეთ კვადრატული ტრინომის –x 2 +8 x−16 დისკრიმინანტი, გვაქვს D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0და შემდგომ x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . ასე რომ, პარაბოლა ეხება Ox-ის ღერძს აბსცისის 4 წერტილთან. მოდით დავხატოთ ნახატი:

ჩვენ ვუყურებთ თავდაპირველი უთანასწორობის ნიშანს, ის არის<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ღია სხივები (−∞, 4) , (4, +∞) . ცალკე აღვნიშნავთ, რომ 4 - ტანგენტის წერტილის აბსციზა - არ არის გამოსავალი, რადგან ტანგენტის წერტილში პარაბოლა არ არის დაბალი ვიდრე Ox ღერძი.

პასუხი:

(−∞, 4)∪(4, +∞) ან სხვა აღნიშვნით x≠4.

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ შემთხვევებს, როდესაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი კვადრატის უტოლობის მარცხენა მხარეს არის ნულზე ნაკლები. აქ არ არის საჭირო აჩქარება და იმის თქმა, რომ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები (ჩვენ მიჩვეულები ვართ ასეთი დასკვნის გაკეთებას კვადრატული განტოლებისთვის უარყოფითი დისკრიმინანტით). საქმე იმაშია, რომ კვადრატული უტოლობა დ<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

მაგალითი.

იპოვეთ ამონახსნი კვადრატული უტოლობის 3 x 2 +1>0 .

გამოსავალი.

ჩვეულებისამებრ, ვიწყებთ ნახატით. კოეფიციენტი a არის 3, ის დადებითია, შესაბამისად, პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. გამოთვალეთ დისკრიმინანტი: D=0 2 −4 3 1=−12 . ვინაიდან დისკრიმინანტი უარყოფითია, პარაბოლას არ აქვს საერთო წერტილები x-ღერძთან. მიღებული ინფორმაცია საკმარისია სქემატური სქემისთვის:

ჩვენ ვხსნით მკაცრ კვადრატულ უტოლობას > ნიშნით. მისი გამოსავალი იქნება ყველა ის ინტერვალი, სადაც პარაბოლა ოქსის ღერძზე მაღლა დგას. ჩვენს შემთხვევაში, პარაბოლა არის x ღერძის ზემოთ მთელ სიგრძეზე, ამიტომ სასურველი ამონახსნები იქნება ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

Ox და ასევე მათ უნდა დაამატოთ გადაკვეთის წერტილების აბსციზა ან შეხების წერტილის აბსციზა. მაგრამ ნახატი ნათლად აჩვენებს, რომ არ არსებობს ასეთი ხარვეზები (რადგან პარაბოლა ყველგან არის აბსცისის ღერძის ქვემოთ), ასევე არ არსებობს გადაკვეთის წერტილები, ისევე როგორც არ არის შეხების წერტილები. მაშასადამე, თავდაპირველ კვადრატულ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი:

არ არის გადაწყვეტილებები ან სხვა აღნიშვნით ∅.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, სრ. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
• მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.

წრფივი ან კვადრატული უტოლობის გრაფიკი აგებულია ისევე, როგორც აგებულია ნებისმიერი ფუნქციის (განტოლების) გრაფიკი. განსხვავება ისაა, რომ უტოლობა გულისხმობს მრავალ ამონახსანს, ამიტომ უტოლობის გრაფიკი არ არის მხოლოდ წერტილი რიცხვითი წრფეზე ან წრფე კოორდინატულ სიბრტყეზე. მათემატიკური მოქმედებების და უტოლობის ნიშნის დახმარებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ უტოლობის ამონახსნების ნაკრები.

ნაბიჯები

რიცხვითი წრფეზე წრფივი უტოლობის გრაფიკული წარმოდგენა

1. უტოლობის ამოხსნა.ამისათვის გამოყავით ცვლადი იმავე ალგებრული ხრიკების გამოყენებით, რომლებსაც იყენებთ ნებისმიერი განტოლების ამოსახსნელად. გახსოვდეთ, რომ უტოლობის უარყოფით რიცხვზე (ან წევრზე) გამრავლების ან გაყოფისას, შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი.

   • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით 3წ + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). ცვლადის იზოლირებისთვის, გამოაკლეთ 9 უტოლობის ორივე მხარეს და შემდეგ გაყავით ორივე მხარე 3-ზე:
     3წ + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 წ > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • უტოლობას უნდა ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ცვლადი. თუ უტოლობას აქვს ორი ცვლადი, უმჯობესია გრაფიკის დახატვა კოორდინატულ სიბრტყეზე.

2. დახაზეთ რიცხვითი ხაზი.რიცხვთა ხაზში მონიშნეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა (ცვლადი შეიძლება იყოს ამ მნიშვნელობაზე ნაკლები, მეტი ან ტოლი). დახაზეთ შესაბამისი სიგრძის რიცხვითი წრფე (გრძელი ან მოკლე).

   • მაგალითად, თუ თქვენ გამოთვალეთ ეს y > 1 (\displaystyle y>1), მონიშნეთ მნიშვნელობა 1 რიცხვით ხაზში.

3. დახაზეთ წრე ნაპოვნი მნიშვნელობის გამოსაჩენად.თუ ცვლადი ნაკლებია ( < {\displaystyle <} ) ან მეტი ( > (\displaystyle >)) ამ მნიშვნელობის, წრე არ არის შევსებული, რადგან ამოხსნის ნაკრები არ შეიცავს ამ მნიშვნელობას. თუ ცვლადი ნაკლებია ან ტოლია ( ≤ (\displaystyle \leq)) ან მეტი ან ტოლი ( ≥ (\displaystyle\geq)) ამ მნიშვნელობამდე წრე ივსება, რადგან ამოხსნის ნაკრები მოიცავს ამ მნიშვნელობას.

   • y > 1 (\displaystyle y>1)რიცხვთა წრფეზე დახაზეთ ღია წრე 1 წერტილში, რადგან 1 არ არის ამონახსნების ნაკრებში.

4. რიცხვთა ხაზზე დაჩრდილეთ არე, რომელიც განსაზღვრავს ამონახსნების კომპლექტს.თუ ცვლადი აღემატება ნაპოვნ მნიშვნელობას, დაჩრდილეთ უბანი მის მარჯვნივ, რადგან ამოხსნის ნაკრები მოიცავს ყველა მნიშვნელობას, რომელიც აღემატება ნაპოვნი მნიშვნელობას. თუ ცვლადი ნაპოვნ მნიშვნელობაზე ნაკლებია, დაჩრდილეთ მისგან მარცხნივ მდებარე ტერიტორია, რადგან ამოხსნის ნაკრები მოიცავს ყველა მნიშვნელობას, რომელიც ნაკლებია ნაპოვნი მნიშვნელობაზე.

   • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით y > 1 (\displaystyle y>1)რიცხვთა ხაზზე დაჩრდილეთ უბანი 1-ის მარჯვნივ, რადგან ამონახსნების ნაკრები მოიცავს 1-ზე მეტ ყველა მნიშვნელობას.

   წრფივი უტოლობის გრაფიკული წარმოდგენა კოორდინატულ სიბრტყეზე

   1. ამოხსენით უტოლობა (იპოვეთ მნიშვნელობა y (\displaystyle y)). წრფივი განტოლების მისაღებად, გამოაცალეთ ცვლადი მარცხენა მხარეს ცნობილი გამოყენებით ალგებრული მეთოდები. ცვლადი უნდა დარჩეს მარჯვენა მხარეს x (\displaystyle x)და შესაძლოა გარკვეული მუდმივი.

      • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით 3წ + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). ცვლადის იზოლირება y (\displaystyle y), გამოაკელი 9 უტოლობის ორივე მხარეს და შემდეგ გაყავი ორივე მხარე 3-ზე:
        3წ + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. დახაზეთ წრფივი განტოლება კოორდინატულ სიბრტყეზე.დახაზეთ გრაფიკი ნებისმიერი წრფივი განტოლების გამოსახატავად. დახაზეთ გადაკვეთის წერტილი Y-ღერძთან და შემდეგ დახაზეთ სხვა წერტილები დახრილობის გამოყენებით.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დახაზეთ განტოლება y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები და ფერდობზეარის 3 (ან 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). ასე რომ, ჯერ დახაზეთ წერტილი კოორდინატებით (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილის ზემოთ წერტილს აქვს კოორდინატები (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილის ქვემოთ წერტილს აქვს კოორდინატები (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. დახაზეთ სწორი ხაზი.თუ უთანასწორობა მკაცრია (მოიცავს ნიშანს < {\displaystyle <} ან > (\displaystyle >)), დახაზეთ წერტილოვანი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების კომპლექტი არ შეიცავს ხაზზე მდებარე მნიშვნელობებს. თუ უთანასწორობა არ არის მკაცრი (მოიცავს ნიშანს ≤ (\displaystyle \leq)ან ≥ (\displaystyle\geq)), დახაზეთ მყარი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების ნაკრები მოიცავს მნიშვნელობებს, რომლებიც დევს ხაზზე.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დახაზეთ წერტილოვანი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების კომპლექტი არ შეიცავს ხაზზე მდებარე მნიშვნელობებს.

   4. დაჩრდილეთ შესაბამისი ტერიტორია.თუ უტოლობას აქვს ფორმა y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), შეავსეთ ზონა ხაზის ზემოთ. თუ უტოლობას აქვს ფორმა წ< m x + b {\displaystyle y, შეავსეთ ზონა ხაზის ქვეშ.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დაჩრდილეთ ტერიტორია ხაზის ზემოთ.

   კვადრატული უტოლობის გრაფიკული წარმოდგენა კოორდინატულ სიბრტყეზე

   1. დაადგინეთ, რომ ეს უტოლობა არის კვადრატი.კვადრატულ უტოლობას აქვს ფორმა a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). ზოგჯერ უტოლობა არ შეიცავს პირველი რიგის ცვლადს ( x (\displaystyle x)) და/ან თავისუფალი ტერმინი (მუდმივი), მაგრამ უნდა შეიცავდეს მეორე რიგის ცვლადს ( x 2 (\displaystyle x^(2))). ცვლადები x (\displaystyle x)და y (\displaystyle y)უნდა იყოს იზოლირებული სხვადასხვა მხარეებიუთანასწორობები.

      • მაგალითად, თქვენ უნდა გამოსახოთ უტოლობა წ< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. დახაზეთ გრაფიკი კოორდინატულ სიბრტყეზე.ამისათვის გადააქციეთ უტოლობა განტოლებად და ააგეთ გრაფიკი, როგორც თქვენ ქმნით ნებისმიერი კვადრატული განტოლების გრაფიკს. გახსოვდეთ, რომ კვადრატული განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში წ< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yნაკვეთის კვადრატული განტოლება y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). პარაბოლას მწვერვალი არის წერტილში (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), და პარაბოლა კვეთს x ღერძს წერტილებში (2 , 0) (\displaystyle (2,0))და (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

გრაფიკული მეთოდი შედგება შესაძლებელი LLP გადაწყვეტილებების კომპლექტის აგებაში და ამ კომპლექტში მაქსიმალური/მინ მიზნის ფუნქციის შესაბამისი წერტილის პოვნაში.

ვიზუალური გრაფიკული წარმოდგენის შეზღუდული შესაძლებლობების გამო, ეს მეთოდი გამოიყენება მხოლოდ სისტემებისთვის წრფივი უტოლობებიორი უცნობი და სისტემა, რომელიც შეიძლება შემცირდეს მოცემულ ფორმამდე.

გრაფიკული მეთოდის ვიზუალურად დემონსტრირებისთვის ჩვენ მოვაგვარებთ შემდეგ პრობლემას:

1. პირველ ეტაპზე აუცილებელია შესაძლებელი გადაწყვეტილებების არეალის აგება. ამ მაგალითისთვის ყველაზე მოსახერხებელია აირჩიოთ X2 აბსცისისთვის და X1 ორდინატისთვის და დაწეროთ უტოლობები შემდეგი ფორმით:

ვინაიდან, როგორც გრაფიკები, ასევე დასაშვები ამონახსნების ფართობი პირველ კვარტალშია. სასაზღვრო წერტილების საპოვნელად ვხსნით განტოლებებს (1)=(2), (1)=(3) და (2)=(3).

როგორც ილუსტრაციიდან ჩანს, პოლიედონი ABCDE ქმნის შესაძლებელი გადაწყვეტილებების არეალს.

თუ დასაშვები ამონახსნების დომენი არ არის დახურული, მაშინ ან max(f)=+ ? ან min(f)= -?.

2. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ f ფუნქციის მაქსიმუმის პირდაპირ პოვნა.

პოლიედრონის წვეროების კოორდინატების მონაცვლეობით f ფუნქციაში ჩანაცვლებით და მნიშვნელობების შედარებით ვხვდებით, რომ f(C)=f (4; 1)=19 - ფუნქციის მაქსიმუმი.

ეს მიდგომა საკმაოდ მომგებიანია წვეროების მცირე რაოდენობისთვის. მაგრამ ეს პროცედურა შეიძლება გადაიდოს, თუ საკმაოდ ბევრი წვეროა.

ამ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია f=a ფორმის დონის ხაზის გათვალისწინება. რიცხვის მონოტონური ზრდით a-დან -? +-მდე? სწორი ხაზები f=a გადაადგილებულია ნორმალური ვექტორის გასწვრივ. თუ დონის ხაზის ასეთი გადაადგილებით, არსებობს X წერტილი - პირველი საერთო წერტილი შესაძლო გადაწყვეტილებების ფართობის (პოლიედრონ ABCDE) და დონის ხაზის, მაშინ f(X) არის f-ის მინიმალური რაოდენობა. დააყენეთ ABCDE. თუ X არის დონის ხაზისა და ABCDE სიმრავლის გადაკვეთის ბოლო წერტილი, მაშინ f(X) არის მაქსიმუმი შესაძლებელი ამონახსნთა სიმრავლეზე. თუ a>-? წრფე f=a კვეთს დასაშვებ ამონახსნებს, შემდეგ min(f)= -?. თუ ეს ხდება a>+?, მაშინ max(f)=+?.

პირველი დონე

განტოლებების, უტოლობების, სისტემების ამოხსნა ფუნქცია გრაფიკების გამოყენებით. ვიზუალური სახელმძღვანელო (2019)

ბევრი დავალება, რომელთა გამოთვლასაც მიჩვეული ვართ წმინდა ალგებრულად, ბევრად უფრო მარტივად და სწრაფად გადაიჭრება, ამაში დაგვეხმარება ფუნქციის გრაფიკების გამოყენება. თქვენ ამბობთ "როგორ ასე?" რაღაცის დახატვა და რა დავხატო? მერწმუნეთ, ზოგჯერ ეს უფრო მოსახერხებელი და ადვილია. დავიწყოთ? დავიწყოთ განტოლებებით!

განტოლებათა გრაფიკული ამოხსნა

წრფივი განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა

როგორც უკვე იცით, წრფივი განტოლების გრაფიკი არის სწორი ხაზი, აქედან მოდის ამ ტიპის სახელწოდება. წრფივი განტოლებები საკმაოდ მარტივია ალგებრულად ამოსახსნელი - ჩვენ ყველა უცნობს გადავცემთ განტოლების ერთ მხარეს, ყველაფერს, რაც ვიცით - მეორეზე და ვოილა! ჩვენ ვიპოვეთ ფესვი. ახლა მე გაჩვენებთ როგორ გააკეთოთ ეს გრაფიკული გზა.

ასე რომ თქვენ გაქვთ განტოლება:

როგორ მოვაგვაროთ?
ვარიანტი 1და ყველაზე გავრცელებული არის უცნობის ერთ მხარეს გადატანა, ხოლო მეორეზე ცნობილი, მივიღებთ:

ახლა კი ვაშენებთ. Რა მიიღე?

როგორ ფიქრობთ, რა არის ჩვენი განტოლების ფესვი? მართალია, გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი:

ჩვენი პასუხია

ეს არის გრაფიკული გადაწყვეტის მთელი სიბრძნე. როგორც თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შეამოწმოთ, ჩვენი განტოლების ფესვი არის რიცხვი!

როგორც ზემოთ ვთქვი, ეს არის ყველაზე გავრცელებული ვარიანტი, ახლოს ალგებრული ამოხსნა, მაგრამ ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვაგვარადაც. ალტერნატიული ამოხსნის განსახილველად, დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებას:

ამჯერად ჩვენ არაფერს გადავიტანთ გვერდიდან გვერდზე, არამედ პირდაპირ ავაშენებთ გრაფიკებს, როგორც ეს არის ახლა:

აშენდა? შეხედე!

რა არის გამოსავალი ამჯერად? Კარგი. იგივეა გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი:

და ისევ ჩვენი პასუხია.

როგორც ხედავთ, თან წრფივი განტოლებებიყველაფერი ძალიან მარტივია. დროა განვიხილოთ რაღაც უფრო რთული... მაგალითად, კვადრატული განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა.

კვადრატული განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა

მაშ ასე, ახლა დავიწყოთ კვადრატული განტოლების ამოხსნა. ვთქვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ განტოლების ფესვები:

რა თქმა უნდა, ახლა შეგიძლიათ დაიწყოთ დათვლა დისკრიმინანტის მეშვეობით, ან ვიეტას თეორემის მიხედვით, მაგრამ ნერვებზე მყოფი ბევრი უშვებს შეცდომებს გამრავლების ან კვადრატში, განსაკუთრებით თუ მაგალითია დიდი რიცხვებიდა, მოგეხსენებათ, გამოცდაზე კალკულატორი არ გექნებათ... ამიტომ, ამ განტოლების ამოხსნისას ვეცადოთ ცოტა დავისვენოთ და დავხატოთ.

გრაფიკულად იპოვნეთ გადაწყვეტილებები მოცემული განტოლებაშეუძლია სხვადასხვა გზები. განიხილეთ სხვადასხვა ვარიანტებიდა თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ რომელი მოგწონთ საუკეთესოდ.

მეთოდი 1. პირდაპირ

ჩვენ უბრალოდ ვაშენებთ პარაბოლას ამ განტოლების მიხედვით:

იმისათვის, რომ ეს სწრაფად მოხდეს, მე მოგცემთ ერთ პატარა მინიშნებას: მოსახერხებელია კონსტრუქციის დაწყება პარაბოლის წვერის განსაზღვრით.შემდეგი ფორმულები დაგეხმარებათ პარაბოლის წვეროს კოორდინატების დადგენაში:

თქვენ ამბობთ "გაჩერდი! ფორმულა ძალიან ჰგავს დისკრიმინანტის პოვნის ფორმულას "დიახ, ეს არის და არის უზარმაზარი მინუსიპარაბოლას „პირდაპირი“ აგება მისი ფესვების მოსაძებნად. თუმცა, მოდი დავთვალოთ ბოლომდე და მერე გაჩვენებთ, როგორ გააადვილოთ ეს ბევრად (ბევრად!)!

დაითვალეთ? რა არის პარაბოლის წვეროს კოორდინატები? მოდით ერთად გავარკვიოთ:

ზუსტად იგივე პასუხი? კარგად გააკეთე! ახლა კი ჩვენ უკვე ვიცით წვეროს კოორდინატები და პარაბოლას ასაგებად გვჭირდება მეტი ... წერტილი. როგორ ფიქრობთ, რამდენი მინიმალური ქულა გვჭირდება? უფლება,.

თქვენ იცით, რომ პარაბოლა სიმეტრიულია მის წვეროსთან, მაგალითად:

შესაბამისად, ჩვენ გვჭირდება კიდევ ორი ​​წერტილი პარაბოლის მარცხენა ან მარჯვენა ტოტის გასწვრივ და მომავალში ჩვენ სიმეტრიულად ასახავს ამ წერტილებს მოპირდაპირე მხარეს:

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს პარაბოლას. ჩვენს შემთხვევაში, წერტილი. ჩვენ გვჭირდება კიდევ ორი ​​ქულა, შესაბამისად, შეგვიძლია ავიღოთ პოზიტიური, მაგრამ შეგვიძლია ავიღოთ უარყოფითი? რა არის თქვენთვის საუკეთესო ქულები? ჩემთვის უფრო მოსახერხებელია დადებითთან მუშაობა, ამიტომ გამოვთვლი და.

ახლა ჩვენ გვაქვს სამი ქულა და ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ავაშენოთ ჩვენი პარაბოლა ბოლო ორი წერტილის ასახვით მის ზედა ნაწილში:

როგორ ფიქრობთ, რა არის განტოლების ამონახსნი? ეს მართალია, პუნქტები, რომლებშიც, ანუ და. იმიტომ რომ.

და თუ ამას ვიტყვით, ეს ნიშნავს, რომ ის ასევე უნდა იყოს თანაბარი, ან.

Უბრალოდ? ჩვენ დავასრულეთ თქვენთან განტოლების ამოხსნა რთული გრაფიკული გზით, ან კიდევ იქნება!

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ ჩვენი პასუხი ალგებრულად გადაამოწმოთ – შეგიძლიათ ფესვების გამოთვლა ვიეტას თეორემით ან დისკრიმინანტით. Რა მიიღე? Იგივე? აი ხედავ! ახლა ვნახოთ ძალიან მარტივი გრაფიკული გადაწყვეტა, დარწმუნებული ვარ ძალიან მოგეწონებათ!

მეთოდი 2. დაყოფა რამდენიმე ფუნქციად

ავიღოთ ყველაფერი, ასევე ჩვენი განტოლება: , მაგრამ ჩვენ ვწერთ მას ოდნავ განსხვავებულად, კერძოდ:

შეიძლება ასე დავწეროთ? შეგვიძლია, რადგან ტრანსფორმაცია ექვივალენტურია. მოდით უფრო შორს გადავხედოთ.

მოდით ავაშენოთ ორი ფუნქცია ცალ-ცალკე:

1. - გრაფიკი არის მარტივი პარაბოლა, რომელიც შეგიძლიათ მარტივად ააგოთ წვეროს განსაზღვრის გარეშეც ფორმულების გამოყენებით და ცხრილის შედგენა სხვა წერტილების დასადგენად.
2. - გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც თქვენ შეგიძლიათ მარტივად ააწყოთ მნიშვნელობების შეფასებით და თქვენს თავში კალკულატორის გამოყენების გარეშეც კი.

აშენდა? შეადარე რაც მივიღე:

ფიქრობთ, რომ ამ ამ საქმესარის განტოლების ფესვები? უფლება! კოორდინატები მიერ, რომლებიც მიიღება ორი გრაფიკის გადაკვეთით და ეს არის:

შესაბამისად, ამ განტოლების ამონახსნი არის:

Რას ამბობ? დამეთანხმებით, გადაწყვეტის ეს მეთოდი ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე წინა და კიდევ უფრო ადვილია, ვიდრე ფესვების ძებნა დისკრიმინანტის მეშვეობით! თუ ასეა, სცადეთ ეს მეთოდი შემდეგი განტოლების გადასაჭრელად:

Რა მიიღე? მოდით შევადაროთ ჩვენი სქემები:

დიაგრამები აჩვენებს, რომ პასუხები შემდეგია:

მოახერხე? კარგად გააკეთე! ახლა მოდით შევხედოთ განტოლებებს ცოტა უფრო რთულად, კერძოდ, შერეული განტოლებების ამოხსნას, ანუ განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს სხვადასხვა ტიპის ფუნქციებს.

შერეული განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა

ახლა შევეცადოთ გადავჭრათ შემდეგი:

რა თქმა უნდა, ყველაფრის მოტანა შესაძლებელია საერთო მნიშვნელიიპოვეთ მიღებული განტოლების ფესვები, არ უნდა დაგვავიწყდეს ODZ-ის გათვალისწინება, მაგრამ ისევ შევეცდებით გრაფიკულად ამოხსნათ, როგორც ეს გავაკეთეთ ყველა წინა შემთხვევაში.

ამჯერად დავხატოთ შემდეგი 2 გრაფიკი:

1. - გრაფიკი არის ჰიპერბოლა
2. - გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც შეგიძლიათ მარტივად ააწყოთ მნიშვნელობების შეფასებით და თქვენს თავში კალკულატორის გამოყენების გარეშეც კი.

მიხვდა? ახლა დაიწყე მშენებლობა.

აი რა დამემართა:

ამ სურათს რომ უყურებთ, რა არის ჩვენი განტოლების ფესვები?

ასეა და. აქ არის დადასტურება:

სცადეთ ჩართოთ ჩვენი ფესვები განტოლებაში. მოხდა?

Კარგი! დამეთანხმებით, ასეთი განტოლებების გრაფიკულად ამოხსნა სიამოვნებაა!

შეეცადეთ თავად ამოხსნათ განტოლება გრაფიკულად:

მე მოგცემთ მინიშნებას: გადაიტანეთ განტოლების ნაწილი მარჯვენა მხარეისე, რომ ორივე მხარეს ჰქონდეს უმარტივესი ფუნქციების აშენება. მინიშნება გაიგე? Იმოქმედე!

ახლა ვნახოთ რა მიიღეთ:

შესაბამისად:

1. - კუბური პარაბოლა.
2. - ჩვეულებრივი სწორი ხაზი.

კარგად, ჩვენ ვაშენებთ:

როგორც დიდი ხნის განმავლობაში დაწერეთ, ამ განტოლების ფესვი არის -.

ამის მოგვარების შემდეგ დიდი რიცხვიმაგალითები, დარწმუნებული ვარ, მიხვდით, თუ როგორ შეგიძლიათ მარტივად და სწრაფად ამოხსნათ განტოლებები გრაფიკულად. დროა გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოთ ანალოგიურადსისტემები.

სისტემების გრაფიკული გადაწყვეტა

სისტემების გრაფიკული ამოხსნა არსებითად არ განსხვავდება განტოლებების გრაფიკული ამოხსნისგან. ჩვენ ასევე ავაშენებთ ორ გრაფიკს და მათი გადაკვეთის წერტილები იქნება ამ სისტემის ფესვები. ერთი გრაფიკი არის ერთი განტოლება, მეორე გრაფიკი არის სხვა განტოლება. ყველაფერი ძალიან მარტივია!

დავიწყოთ უმარტივესი - წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნით.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა

ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი სისტემა:

დასაწყისისთვის, ჩვენ გადავცვლით მას ისე, რომ მარცხნივ არის ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია, ხოლო მარჯვნივ - ის, რაც დაკავშირებულია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვწერთ ამ განტოლებებს ფუნქციის სახით ჩვენთვის ჩვეულებრივი ფორმით:

ახლა კი ჩვენ უბრალოდ ვაშენებთ ორ სწორ ხაზს. რა არის გამოსავალი ჩვენს შემთხვევაში? უფლება! მათი გადაკვეთის წერტილი! და აქ თქვენ უნდა იყოთ ძალიან, ძალიან ფრთხილად! დაფიქრდი რატომ? მინიშნებას მოგცემ: სისტემასთან გვაქვს საქმე: სისტემას ორივე აქვს და... მინიშნება გაიგე?

Კარგი! სისტემის ამოხსნისას უნდა შევხედოთ ორივე კოორდინატს და არა მხოლოდ, როგორც განტოლებების ამოხსნისას! სხვა მნიშვნელოვანი წერტილი- სწორად ჩამოწერეთ და არ აურიოთ სად გვაქვს ღირებულება და სად არის ღირებულება! ჩაწერილია? ახლა შევადაროთ ყველაფერი თანმიმდევრობით:

და პასუხობს: ი. გააკეთეთ შემოწმება - შეცვალეთ ნაპოვნი ფესვები სისტემაში და დარწმუნდით, რომ სწორად მოვაგვარეთ იგი გრაფიკული გზით?

არაწრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა

მაგრამ რა მოხდება, თუ ერთი სწორი ხაზის ნაცვლად გვექნება კვადრატული განტოლება? Არაუშავს! თქვენ უბრალოდ ააგეთ პარაბოლა სწორი ხაზის ნაცვლად! Არ დაიჯერო? შეეცადეთ გადაჭრათ შემდეგი სისტემა:

რა არის ჩვენი შემდეგი ნაბიჯი? მართალია, ჩაწერეთ ისე, რომ ჩვენთვის მოსახერხებელი იყოს გრაფიკების აგება:

ახლა კი ყველაფერი წვრილმანზეა - მე სწრაფად ავაშენე და აქ არის გამოსავალი თქვენთვის! Შენობა:

გრაფიკა იგივეა? ახლა მონიშნეთ სისტემის ამონახსნები სურათზე და სწორად ჩაწერეთ გამოვლენილი პასუხები!

ყველაფერი გავაკეთე? შეადარეთ ჩემს შენიშვნებს:

Კარგი? კარგად გააკეთე! თქვენ უკვე დააჭირეთ ისეთ ამოცანებს, როგორიცაა თხილი! და თუ ასეა, მოდით მოგცეთ უფრო რთული სისტემა:

Რას ვაკეთებთ? უფლება! ჩვენ ვწერთ სისტემას ისე, რომ მისი აშენება მოსახერხებელია:

მე მოგცემთ პატარა მინიშნებას, რადგან სისტემა ძალიან რთულად გამოიყურება! გრაფიკების აგებისას ააგეთ ისინი „მეტი“ და რაც მთავარია, არ გაგიკვირდეთ გადაკვეთის წერტილების რაოდენობა.

ასე რომ წავიდეთ! ამოისუნთქა? ახლა დაიწყე მშენებლობა!

აბა, როგორ? Ლამაზი? რამდენი გადაკვეთის წერტილი მიიღეთ? სამი მყავს! მოდით შევადაროთ ჩვენი გრაფიკები:

ასევე? ახლა ყურადღებით ჩამოწერეთ ჩვენი სისტემის ყველა გადაწყვეტა:

ახლა კიდევ ერთხელ გადახედე სისტემას:

წარმოგიდგენიათ, რომ ეს მხოლოდ 15 წუთში მოაგვარეთ? გეთანხმები, მათემატიკა მაინც მარტივია, განსაკუთრებით გამოთქმას რომ უყურებ, შეცდომის დაშვების არ გეშინია, მაგრამ იღებ და წყვეტ! დიდი ბიჭი ხარ!

უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

წრფივი უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

შემდეგ ბოლო მაგალითიყველაფერი მხარზე გაქვს! ახლა ამოისუნთქეთ - წინა განყოფილებებთან შედარებით, ეს ძალიან, ძალიან მარტივი იქნება!

ჩვენ ვიწყებთ, როგორც ყოველთვის, წრფივი უტოლობის გრაფიკული ამოხსნით. მაგალითად, ეს:

დასაწყისისთვის ჩვენ განვახორციელებთ უმარტივეს გარდაქმნებს - გავხსნით ფრჩხილებს სრული კვადრატებიდა დაამატეთ მსგავსი ტერმინები:

უთანასწორობა არ არის მკაცრი, ამიტომ - არ შედის ინტერვალში და გამოსავალი იქნება ყველა წერტილი, რომელიც მარჯვნივ არის, რადგან მეტი, მეტი და ასე შემდეგ:

პასუხი:

Სულ ეს არის! ადვილად? მოდით გადავჭრათ მარტივი უტოლობა ორი ცვლადით:

დავხატოთ ფუნქცია კოორდინატთა სისტემაში.

გაქვთ ასეთი სქემა? და ახლა ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ რა გვაქვს უთანასწორობაში? Ნაკლები? ასე რომ, ჩვენ ვხატავთ ყველაფერს, რაც არის ჩვენი სწორი ხაზის მარცხნივ. მეტი რომ ყოფილიყო? ასეა, შემდეგ ისინი დახატავდნენ ყველაფერს, რაც ჩვენი სწორი ხაზის მარჯვნივ არის. ყველაფერი მარტივია.

ამ უთანასწორობის ყველა გამოსავალი "დაჩრდილულია" ფორთოხალი. ესე იგი, მოგვარებულია ორცვლადიანი უტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატები და ნებისმიერი წერტილი დაჩრდილული ზონიდან არის გამოსავალი.

კვადრატული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

ახლა ჩვენ ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ კვადრატული უტოლობები გრაფიკულად.

მაგრამ სანამ პირდაპირ აზრზე გადავიდოდეთ, მოდით შევაჯამოთ რამდენიმე რამ კვადრატის ფუნქციის შესახებ.

რაზეა პასუხისმგებელი დისკრიმინანტი? ასეა, გრაფიკის პოზიციისთვის ღერძის მიმართ (თუ ეს არ გახსოვთ, მაშინ აუცილებლად წაიკითხეთ თეორია კვადრატული ფუნქციების შესახებ).

ნებისმიერ შემთხვევაში, აქ არის პატარა შეხსენება თქვენთვის:

ახლა, როცა მეხსიერებაში მთელი მასალა განვაახლეთ, გადავიდეთ საქმეზე - გრაფიკულად მოვაგვარებთ უთანასწორობას.

მაშინვე გეტყვით, რომ მისი გადაჭრის ორი ვარიანტი არსებობს.

ვარიანტი 1

ჩვენ ვწერთ პარაბოლას ფუნქციის სახით:

ფორმულების გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ პარაბოლის წვეროს კოორდინატებს (ისევე როგორც კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას):

დაითვალეთ? Რა მიიღე?

ახლა ავიღოთ კიდევ ორი სხვადასხვა წერტილებიდა გამოთვალეთ მათთვის:

ჩვენ ვიწყებთ პარაბოლის ერთი ტოტის აგებას:

ჩვენ სიმეტრიულად ასახავს ჩვენს წერტილებს პარაბოლის სხვა ტოტზე:

ახლა დავუბრუნდეთ ჩვენს უთანასწორობას.

ჩვენ გვჭირდება, რომ ის იყოს ნულზე ნაკლები, შესაბამისად:

იმის გამო, რომ ჩვენს უთანასწორობაში არის ნიშანი მკაცრად ნაკლები, ჩვენ გამოვრიცხავთ ბოლო წერტილებს - ჩვენ "გამოვყავით".

პასუხი:

გრძელი გზა, არა? ახლა მე გაჩვენებთ გრაფიკული ამოხსნის უფრო მარტივ ვერსიას იგივე უტოლობის გამოყენებით, როგორც მაგალითი:

ვარიანტი 2

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს უთანასწორობას და ვნიშნავთ საჭირო ინტერვალებს:

დამეთანხმებით, ეს ბევრად უფრო სწრაფია.

ახლავე დავწეროთ პასუხი:

განვიხილოთ სხვა გამოსავალი, რომელიც ამარტივებს და ალგებრული ნაწილი, მაგრამ მთავარია არ დაიბნეთ.

გაამრავლეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

შეეცადეთ გადაჭრათ შემდეგი კვადრატული უტოლობა დამოუკიდებლად, როგორც გსურთ: .

მოახერხე?

ნახეთ, როგორ გამოვიდა ჩემი სქემა:

პასუხი: .

შერეული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

ახლა გადავიდეთ უფრო რთულ უთანასწორობებზე!

როგორ მოგწონთ ეს:

საშინელებაა, არა? მართალი გითხრათ, წარმოდგენა არ მაქვს, როგორ მოვაგვარო ეს ალგებრულად... მაგრამ, არ არის საჭირო. გრაფიკულად, ამაში არაფერია რთული! თვალებს ეშინიათ, ხელები კი აკეთებენ!

პირველი, რითაც ვიწყებთ ორი გრაფიკის აგებით:

ცხრილს არ დავწერ ყველას - დარწმუნებული ვარ, თქვენ თვითონ შეძლებთ ამის გაკეთებას მშვენივრად (რა თქმა უნდა, ამდენი მაგალითია მოსაგვარებელი!).

მოხატული? ახლა შექმენით ორი გრაფიკი.

მოდით შევადაროთ ჩვენი ნახატები?

შენც იგივე გაქვს? დიდი! ახლა განვათავსოთ გადაკვეთის წერტილები და ფერით განვსაზღვროთ რომელი გრაფიკი უნდა გვქონდეს, თეორიულად, უფრო დიდი, ანუ. ნახეთ რა მოხდა ბოლოს:

და ახლა ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ, სად არის ჩვენი არჩეული სქემა უფრო მაღალი ვიდრე დიაგრამა? თავისუფლად აიღეთ ფანქარი და დახატეთ მოცემული ტერიტორია! ეს იქნება ჩვენი რთული უთანასწორობის გამოსავალი!

რა ინტერვალებით ვართ ღერძის გასწვრივ ჩვენ მაღლა? უფლება,. ეს არის პასუხი!

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ ნებისმიერ განტოლებას და ნებისმიერ სისტემას და მით უმეტეს, ნებისმიერ უტოლობას!

მოკლედ მთავარის შესახებ

განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ფუნქციის გრაფიკების გამოყენებით:

1. გამოხატეთ მეშვეობით
2. განსაზღვრეთ ფუნქციის ტიპი
3. მოდით ავაშენოთ მიღებული ფუნქციების გრაფიკები
4. იპოვეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები
5. სწორად ჩაწერეთ პასუხი (ODZ და უთანასწორობის ნიშნების გათვალისწინებით)
6. შეამოწმეთ პასუხი (შეცვალეთ ფესვები განტოლებაში ან სისტემაში)

ფუნქციის გრაფიკების შედგენის შესახებ დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ თემა "".