წილადების შემცირება აუცილებელია წილადის მეტის მისაღწევად უბრალო ხედვა, მაგალითად, გამოთქმის ამოხსნის შედეგად მიღებულ პასუხში.

წილადების შემცირება, განსაზღვრება და ფორმულა.

რა არის წილადის შემცირება? რას ნიშნავს წილადის შემცირება?

განმარტება:
ფრაქციების შემცირებაარის მრიცხველისა და მნიშვნელის დაყოფა იმავე წილადზე დადებითი რიცხვიარა ნულიდა ერთეული. შემცირების შედეგად მიიღება წილადი უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით, ტოლი წინა წილადის მიხედვით.

ფრაქციების შემცირების ფორმულაძირითადი ქონება რაციონალური რიცხვი.

\(\frac(p \ჯერ n)(q \ჯერ n)=\frac(p)(q)\)

განვიხილოთ მაგალითი:
წილადის შემცირება \(\frac(9)(15)\)

გადაწყვეტილება:
წილადის დაშლა შეგვიძლია ძირითადი ფაქტორებიდა შეამცირეთ საერთო ფაქტორები.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \ჯერ 3)(5 \ჯერ 3)=\frac(3)(5) \ჯერ \color(წითელი) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \ჯერ 1=\frac(3)(5)\)

პასუხი: შემცირების შემდეგ მივიღეთ წილადი \(\frac(3)(5)\). რაციონალური რიცხვების ძირითადი თვისების მიხედვით, საწყისი და მიღებული წილადები ტოლია.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

როგორ შევამციროთ წილადები? წილადის შემცირება შეუქცევად ფორმამდე.

რათა შედეგი მივიღოთ შეუქცევადი წილადი, საჭიროება იპოვნეთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი(GCD)წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელისთვის.

GCD-ის პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს, ჩვენ მაგალითში გამოვიყენებთ რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლას.

მიიღეთ შეუქცევადი წილადი \(\frac(48)(136)\).

გადაწყვეტილება:
იპოვეთ GCD(48, 136). 48 და 136 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2 \ჯერ 2) \ჯერ 2 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2 \ჯერ 2) \ჯერ 17)=\frac(\color(წითელი) (6) \ჯერ 2 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (6) \ჯერ 17)=\frac(2 \ჯერ 3)(17)=\ ფრაკი(6)(17)\)

წილადის შეუქცევად ფორმამდე დაყვანის წესი.

1. იპოვნეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი.
2. თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი უდიდეს საერთო გამყოფზე გაყოფის შედეგად, რომ მიიღოთ შეუქცევადი წილადი.

მაგალითი:
შეამცირეთ წილადი \(\frac(152)(168)\).

გადაწყვეტილება:
იპოვეთ GCD(152, 168). 152 და 168 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(წითელი) (6) \ჯერ 19)(\color(წითელი) (6) \ჯერ 21)=\frac(19)(21)\)

პასუხი: \(\frac(19)(21)\) არის შეუქცევადი წილადი.

არასწორი წილადის აბრევიატურა.

როგორ შევამციროთ არასწორი ფრაქცია?
სწორი და არასწორი წილადებისთვის წილადების შემცირების წესები იგივეა.

განვიხილოთ მაგალითი:
შეამცირეთ არასწორი წილადი \(\frac(44)(32)\).

გადაწყვეტილება:
მოდით ჩავწეროთ მრიცხველი და მნიშვნელი მარტივ ფაქტორებში. შემდეგ კი ჩვენ ვამცირებთ საერთო ფაქტორებს.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2) \ჯერ 11)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2) \ჯერ 2 \ჯერ 2 \ჯერ 2 )=\frac(11)(2 \ჯერ 2 \ჯერ 2)=\frac(11)(8)\)

შერეული ფრაქციების შემცირება.

შერეული წილადები იგივე წესებს იცავენ, როგორც ჩვეულებრივი წილადები. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ჩვენ შეგვიძლია არ შეეხოთ მთელ ნაწილს, მაგრამ შეამცირეთ წილადი ნაწილიან შერეული წილადის გადაქცევა არასწორ წილადად, შემცირება და უკან გადაქცევა სათანადო წილადად.

განვიხილოთ მაგალითი:
შეამცირეთ შერეული ფრაქცია \(2\frac(30)(45)\).

გადაწყვეტილება:
მოვაგვაროთ ორი გზით:
პირველი გზა:
წილადის ნაწილს ჩავწერთ მარტივ ფაქტორებად და არ შევეხებით მთელ ნაწილს.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3))(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3))=2\ ფრაკი (2) (3)\)

მეორე გზა:
ჯერ ვთარგმნით არასწორ წილადად, შემდეგ კი ვწერთ პირველ ფაქტორებად და ვამცირებთ. მიღებული არასწორი წილადი გადააკეთეთ სწორ წილადში.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \ჯერ 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3) \ჯერ 2 \ჯერ 2)(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3 \ჯერ 5))=\frac(2 \ჯერ 2 \ჯერ 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

დაკავშირებული კითხვები:
შეიძლება თუ არა წილადების შემცირება შეკრების ან გამოკლებისას?
პასუხი: არა, ჯერ წესების მიხედვით უნდა დაამატოთ ან გამოკლოთ წილადები და მხოლოდ ამის შემდეგ შეამციროთ. განვიხილოთ მაგალითი:

შეაფასეთ გამოთქმა \(\frac(50+20-10)(20)\) .

გადაწყვეტილება:
ხშირად უშვებენ ჭრის შეცდომას იგივე ნომრებიმრიცხველში და მნიშვნელში ჩვენს შემთხვევაში რიცხვი არის 20, მაგრამ მათი შემცირება შეუძლებელია მანამ, სანამ არ შეასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას.

\(\frac(50+\color(წითელი) (20)-10)(\color(წითელი) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \ჯერ 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

რა რიცხვით შეიძლება წილადის შემცირება?
პასუხი: შეგიძლიათ წილადის შემცირება უდიდესი საერთო გამყოფით ან მრიცხველისა და მნიშვნელის ჩვეულებრივი გამყოფით. მაგალითად, წილადი \(\frac(100)(150)\).

100 და 150 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი იქნება რიცხვი gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ჯერ 50)(3 \ჯერ 50)=\frac(2)(3)\)

მივიღეთ შეუქცევადი წილადი \(\frac(2)(3)\).

მაგრამ ყოველთვის არ არის საჭირო GCD-ზე გაყოფა, შეუქცევადი წილადი ყოველთვის არ არის საჭირო, შეგიძლიათ წილადის შემცირება მრიცხველისა და მნიშვნელის მარტივი გამყოფით. მაგალითად, 100 და 150 რიცხვს აქვთ საერთო გამყოფი 2. წილადი \(\frac(100)(150)\) შევამციროთ 2-ით.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ჯერ 50)(2 \ჯერ 75)=\frac(50)(75)\)

მივიღეთ შემცირებული წილადი \(\frac(50)(75)\).

რა წილადები შეიძლება შემცირდეს?
პასუხი: შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები, რომლებშიც მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ საერთო გამყოფი. მაგალითად, წილადი \(\frac(4)(8)\). რიცხვ 4-ს და 8-ს აქვს რიცხვი, რომლითაც ორივე იყოფა ამ რიცხვზე 2. ამიტომ, ასეთი წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით.

მაგალითი:
შეადარეთ ორი წილადი \(\frac(2)(3)\) და \(\frac(8)(12)\).

ეს ორი წილადი ტოლია. განვიხილოთ წილადი \(\frac(8)(12)\) დეტალურად:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \ჯერ 4)(3 \ჯერ 4)=\frac(2)(3) \ჯერ \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \ჯერ 1=\frac(2)(3)\)

აქედან ვიღებთ \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

ორი წილადი ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთი მათგანი მიიღება მეორე წილადის შემცირებით საერთო ფაქტორიმრიცხველი და მნიშვნელი.

მაგალითი:
შეამცირეთ შემდეგი წილადები, თუ ეს შესაძლებელია: ა) \(\frac(90)(65)\) ბ) \(\frac(27)(63)\) გ) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

გადაწყვეტილება:
ა) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5) \ჯერ 3 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (5) \ჯერ 13)=\frac (2 \ჯერ 3 \ჯერ 3)(13)=\frac(18)(13)\)
ბ) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(წითელი) (3 \ჯერ 3) \ჯერ 3)(\color(წითელი) (3 \ჯერ 3) \ჯერ 7)=\frac (3)(7)\)
გ) \(\frac(17)(100)\) შეუქცევადი წილადი
დ) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 5 \ჯერ 5) \ჯერ 2)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 5 \ჯერ 5) \ ჯერ 5)=\frac(2)(5)\)

თუ 497 უნდა გავყოთ 4-ზე, მაშინ გაყოფისას ვნახავთ, რომ 497 არ იყოფა 4-ზე, ე.ი. რჩება განყოფილების დარჩენილი ნაწილი. ასეთ შემთხვევებში ნათქვამია, რომ დაყოფა ნაშთითდა გამოსავალი იწერება შემდეგნაირად:
497: 4 = 124 (1 დარჩენილი).

ტოლობის მარცხენა მხარეს გაყოფის კომპონენტებს იგივე ეწოდება, რაც ნაშთების გარეშე გაყოფისას: 497 - დივიდენდი, 4 - გამყოფი. ნაშთით გაყოფისას გაყოფის შედეგი ეწოდება არასრული პირადი. ჩვენს შემთხვევაში ეს რიცხვია 124. და ბოლოს, ბოლო კომპონენტი, რომელიც არ არის რეგულარული გაყოფა, - ნარჩენი. როდესაც ნაშთი არ არის, ამბობენ, რომ ერთი რიცხვი იყოფა მეორეზე. უკვალოდ, ან მთლიანად. ითვლება, რომ ასეთი გაყოფით, ნაშთი არის ნული. ჩვენს შემთხვევაში, დარჩენილი არის 1.

ნაშთი ყოველთვის ნაკლებია გამყოფზე.

გაყოფისას შეგიძლიათ შეამოწმოთ გამრავლებით. თუ, მაგალითად, არის ტოლობა 64: 32 = 2, მაშინ შემოწმება შეიძლება გაკეთდეს ასე: 64 = 32 * 2.

ხშირად იმ შემთხვევებში, როდესაც ხდება ნაშთით გაყოფა, მოსახერხებელია ტოლობის გამოყენება
a \u003d b * n + r,
სადაც a არის დივიდენდი, b არის გამყოფი, n არის ნაწილობრივი კოეფიციენტი, r არის ნაშთი.

ნატურალური რიცხვების გაყოფის კოეფიციენტი შეიძლება დაიწეროს წილადად.

წილადის მრიცხველი დივიდენდია, მნიშვნელი კი გამყოფი.

ვინაიდან წილადის მრიცხველი არის დივიდენდი, ხოლო მნიშვნელი არის გამყოფი, მჯერა, რომ წილადის წრფე ნიშნავს გაყოფის მოქმედებას. ზოგჯერ მოსახერხებელია დაყოფის წილადად დაწერა ":" ნიშნის გამოყენების გარეშე.

m და n ნატურალური რიცხვების გაყოფის კოეფიციენტი შეიძლება დაიწეროს წილადად \(\frac(m)(n) \), სადაც m მრიცხველი არის დივიდენდი, ხოლო n მნიშვნელი არის გამყოფი:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

შემდეგი წესები სწორია:

\(\frac(m)(n)\ წილადის მისაღებად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთეული n-ზე. თანაბარი ნაწილები(აზიარებს) და აიღეთ მ ასეთი ნაწილები.

\(\frac(m)(n) \ წილადის მისაღებად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი m რიცხვზე n.

მთელის ნაწილის საპოვნელად საჭიროა მთელის შესაბამისი რიცხვი გაყოთ მნიშვნელზე და შედეგი გაამრავლოთ იმ წილადის მრიცხველზე, რომელიც გამოხატავს ამ ნაწილს.

მთლიანი ნაწილის საპოვნელად საჭიროა ამ ნაწილის შესაბამისი რიცხვი გაყოთ მრიცხველზე და შედეგი გაამრავლოთ იმ წილადის მნიშვნელზე, რომელიც გამოხატავს ამ ნაწილს.

თუ წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც ერთსა და იმავე რიცხვზეა გამრავლებული (ნულის გარდა), წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:
\(\დიდი \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

თუ წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც ერთსა და იმავე რიცხვზე იყოფა (ნულის გარდა), წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:
\(\დიდი \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
ამ ქონებას ე.წ წილადის ძირითადი თვისება.

ბოლო ორი ტრანსფორმაცია ე.წ წილადის შემცირება.

თუ წილადები უნდა იყოს წარმოდგენილი, როგორც წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელით, მაშინ ასეთი მოქმედება ე.წ. წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელი .

სწორი და არასწორი წილადები. შერეული რიცხვები

თქვენ უკვე იცით, რომ წილადის მიღება შესაძლებელია მთელის ტოლ ნაწილებად დაყოფით და რამდენიმე ასეთი ნაწილის აღებით. მაგალითად, წილადი \(\frac(3)(4) \) ნიშნავს ერთის სამ მეოთხედს. წინა განყოფილების ბევრ პრობლემაში წილადები გამოიყენებოდა მთლიანის ნაწილის აღსანიშნავად. Საღი აზრივარაუდობს, რომ ნაწილი ყოველთვის უნდა იყოს მთლიანზე ნაკლები, მაგრამ რა შეიძლება ითქვას ისეთ წილადებზე, როგორიცაა \(\frac(5)(5) \) ან \(\frac(8)(5) \)? ნათელია, რომ ეს აღარ არის ერთეულის ნაწილი. ალბათ ამიტომაა, რომ ისეთ წილადებს, რომლებშიც მრიცხველი მეტია ან ტოლია მნიშვნელზე, ეძახიან. არასწორი წილადები. დარჩენილი წილადები, ანუ წილადები, რომელთა მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლები, დაურეკა სათანადო წილადები.

მოგეხსენებათ, მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფის შედეგად შეიძლება მივიჩნიოთ ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი, როგორც წესიერი, ასევე არასწორი. ამიტომ მათემატიკაში განსხვავებით ჩვეულებრივი ენა, ტერმინი „არასწორი წილადი“ არ ნიშნავს იმას, რომ ჩვენ რაღაც არასწორად მოვიქეცით, არამედ მხოლოდ იმას, რომ ამ წილადს აქვს მნიშვნელზე მეტი ან ტოლი მრიცხველი.

თუ რიცხვი შედგება მთელი ნაწილისა და წილადისგან, მაშინ ასეთი წილადებს შერეულს უწოდებენ.

Მაგალითად:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 არის მთელი ნაწილი და \(\frac(2)(3) \) არის წილადი ნაწილი.

თუ \(\frac(a)(b) \) წილადის მრიცხველი იყოფა n ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ იმისათვის, რომ ეს წილადი გავყოთ n-ზე, მისი მრიცხველი უნდა გაიყოს ამ რიცხვზე:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

თუ \(\frac(a)(b) \) წილადის მრიცხველი არ იყოფა n ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ ამ წილადის n-ზე გასაყოფად მისი მნიშვნელი უნდა გაამრავლოთ ამ რიცხვზე:
\(\დიდი \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე წესი ასევე მოქმედებს, როდესაც მრიცხველი იყოფა n-ზე. ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ის, როცა ერთი შეხედვით ძნელია იმის დადგენა, იყოფა თუ არა წილადის მრიცხველი n-ზე.

მოქმედებები წილადებთან. წილადების შეკრება.

წილადი რიცხვებით, ისევე როგორც ნატურალური რიცხვებით, შეგიძლიათ შეასრულოთ არითმეტიკული მოქმედებები. ჯერ ვნახოთ წილადების შეკრება. წილადების დამატება მარტივია იგივე მნიშვნელები. იპოვეთ, მაგალითად, \(\frac(2)(7) \) და \(\frac(3)(7) \) ჯამი. ადვილი გასაგებია, რომ \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი იგივე.

ასოების გამოყენებით, იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
\(\დიდი \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

თუ გსურთ წილადების დამატება სხვადასხვა მნიშვნელი, მაშინ ისინი ჯერ უნდა დაიყვანონ საერთო მნიშვნელამდე. Მაგალითად:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

წილადებისთვის, ისევე როგორც ნატურალური რიცხვებისთვის, შემცვლელი და ასოციაციური თვისებებიდამატება.

შერეული ფრაქციების დამატება

ჩანაწერები, როგორიცაა \(2\frac(2)(3) \) ეწოდება შერეული ფრაქციები. ნომერი 2 ჰქვია მთელი ნაწილი შერეული წილადი და რიცხვი \(\frac(2)(3) \) არის მისი წილადი ნაწილი. ჩანაწერი \(2\frac(2)(3) \) იკითხება ასე: "ორი და ორი მესამედი".

8 რიცხვის 3-ზე გაყოფა ორ პასუხს იძლევა: \(\frac(8)(3) \) და \(2\frac(2)(3) \). ისინი გამოხატავენ ერთსა და იმავე წილადურ რიცხვს, ანუ \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

ამრიგად, არასწორი წილადი \(\frac(8)(3) \) წარმოდგენილია როგორც შერეული წილადი \(2\frac(2)(3) \). ასეთ შემთხვევებში ნათქვამია, რომ არასწორი ფრაქცია გამოყო მთელი.

წილადების გამოკლება (წილადი რიცხვები)

გამოკლება წილადი რიცხვები, ისევე როგორც ნატურალური, განისაზღვრება შეკრების მოქმედების საფუძველზე: მეორის გამოკლება ერთ რიცხვს ნიშნავს იმ რიცხვის პოვნას, რომელიც მეორეს მიმატებისას იძლევა პირველს. Მაგალითად:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) წლიდან \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლების წესი მსგავსია ასეთი წილადების დამატების წესის:
ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებს შორის სხვაობის საპოვნელად, გამოაკლეთ მეორის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვეთ მნიშვნელი იგივე.

ასოების გამოყენებით, ეს წესი იწერება შემდეგნაირად:
\(\დიდი \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

წილადების გამრავლება

წილადის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები და ჩაწეროთ პირველი ნამრავლი მრიცხველად, მეორე კი მნიშვნელად.

ასოების გამოყენებით, წილადების გამრავლების წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

ჩამოყალიბებული წესით ლოცულობენ წილადის გამრავლებას ნატურალურ რიცხვზე, შერეულ წილადზე და ასევე შერეული წილადების გამრავლებაზე. ამისათვის ნატურალური რიცხვი უნდა დაწეროთ წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით, შერეული წილადი არასწორ წილადად.

გამრავლების შედეგი უნდა გამარტივდეს (თუ შესაძლებელია) წილადის შემცირებით და არასწორი წილადის მთელი ნაწილის ხაზგასმით.

წილადებისთვის, ისევე როგორც ნატურალური რიცხვებისთვის, მოქმედებს გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებები, აგრეთვე გამრავლების თვისება შეკრების მიმართ.

წილადების დაყოფა

აიღეთ წილადი \(\frac(2)(3) \) და „გააბრუნეთ“ მრიცხველისა და მნიშვნელის შეცვლით. ვიღებთ წილადს \(\frac(3)(2) \). ამ წილადს ე.წ საპირისპიროწილადები \(\frac(2)(3) \).

თუ ახლა „შევუბრუნებთ“ წილადს \(\frac(3)(2) \), მაშინ მივიღებთ თავდაპირველ წილადს \(\frac(2)(3) \). ამიტომ, წილადებს, როგორიცაა \(\frac(2)(3) \) და \(\frac(3)(2) \) ეწოდება ურთიერთშებრუნებული.

მაგალითად, წილადები \(\frac(6)(5) \) და \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) და \(\frac (18) )(7) \).

წერილების დახმარებით ორმხრივად ორმხრივი წილადებიშეიძლება დაიწეროს ასე: \(\frac(a)(b) \) და \(\frac(b)(a) \)

Ნათელია, რომ ორმხრივი წილადების ნამრავლი არის 1. მაგალითად: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

საპასუხო წილადების გამოყენებით, წილადების გაყოფა შეიძლება შემცირდეს გამრავლებამდე.

წილადის წილადზე გაყოფის წესი:
ერთი წილადის მეორეზე გასაყოფად, დივიდენდი უნდა გაამრავლოთ გამყოფის ორმხრივად.

ასოების გამოყენებით, წილადების გაყოფის წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

თუ დივიდენდი ან გამყოფი არის ბუნებრივი რიცხვიან შერეული წილადი, მაშინ წილადების გაყოფის წესის გამოსაყენებლად ის ჯერ არასწორ წილადად უნდა იყოს წარმოდგენილი.

ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ როგორ წილადის შემცირება. პირველ რიგში, მოდით ვისაუბროთ იმაზე, რასაც წილადის შემცირება ჰქვია. ამის შემდეგ, მოდით ვისაუბროთ შემცირებადი წილადის შეუქცევად ფორმამდე შემცირებაზე. შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ წილადების შემცირების წესს და, ბოლოს, განვიხილავთ ამ წესის გამოყენების მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს წილადის შემცირება?

ჩვენ ვიცით, რომ ჩვეულებრივი წილადები იყოფა შემცირებად და შეუქცევად წილადებად. სახელებიდან შეგიძლიათ გამოიცნოთ, რომ შესამცირებელი წილადები შეიძლება შემცირდეს, მაგრამ შეუქცევადი - არა.

რას ნიშნავს წილადის შემცირება? წილადის შემცირება- ეს ნიშნავს მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის დაყოფას მათ დადებით და არაერთზე. ცხადია, რომ წილადის შემცირების შედეგად მიიღება ახალი წილადი უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით და, წილადის ძირითადი თვისებიდან გამომდინარე, მიღებული წილადი უდრის თავდაპირველს.

მაგალითად, შევამციროთ საერთო წილადი 8/24 მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის 2-ზე გაყოფით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი 8/24 შევამციროთ 2-ით. ვინაიდან 8:2=4 და 24:2=12, ამ შემცირების შედეგად მიიღება წილადი 4/12, რომელიც უდრის თავდაპირველ წილადს 8/24 (იხ. ტოლი და არათანაბარი წილადები). შედეგად, ჩვენ გვაქვს.

ჩვეულებრივი წილადების შემცირება შეუქცევად ფორმამდე

ჩვეულებრივ საბოლოო მიზანიწილადის შემცირება არის შეუქცევადი წილადის მიღება, რომელიც უდრის თავდაპირველ შემცირებად წილადს. ამ მიზნის მიღწევა შესაძლებელია თავდაპირველი შემცირებული წილადის შემცირებით მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის მიხედვით. ეს შემცირება ყოველთვის იწვევს შეუქცევად წილადს. მართლაც, წილადი შეუმცირებელია, ვინაიდან ცნობილია, რომ და - . აქ ჩვენ ვამბობთ, რომ წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი არის ყველაზე დიდი რაოდენობა, რომლითაც ეს ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს.

Ისე, ჩვეულებრივი წილადის შემცირება შეუქცევად ფორმამდეშედგება საწყისი შემცირებული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფაში მათ GCD-ზე.

გავაანალიზოთ მაგალითი, რომლისთვისაც ვუბრუნდებით წილადს 8/24 და ვაკლებთ მას 8 და 24 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფით, რომელიც უდრის 8-ს. ვინაიდან 8:8=1 და 24:8=3, მივდივართ შეუქცევად წილადზე 1/3. Ისე, .

გაითვალისწინეთ, რომ ფრაზა "წილადის შემცირება" ხშირად ნიშნავს ორიგინალური წილადის შემცირებას შეუქცევად ფორმამდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადის შემცირება ხშირად მოიხსენიება, როგორც მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე (და არა მათ რომელიმე საერთო გამყოფზე).

როგორ შევამციროთ წილადი? წილადის შემცირების წესი და მაგალითები

რჩება მხოლოდ წილადების შემცირების წესის ანალიზი, რომელიც განმარტავს, თუ როგორ უნდა შემცირდეს ეს წილადი.

წილადის შემცირების წესიშედგება ორი ეტაპისგან:

• პირველ რიგში, ნაპოვნია წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის GCD;
• მეორეც, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა მათ GCD-ზე, რაც იძლევა ორიგინალის ტოლ შეუქცევად წილადს.

გავაანალიზოთ წილადის შემცირების მაგალითიმოცემული წესის მიხედვით.

მაგალითი.

შეამცირეთ წილადი 182/195.

გადაწყვეტილება.

მოდით გავაკეთოთ წილადის შემცირების წესით დადგენილი ორივე ნაბიჯი.

ჯერ ვპოულობთ gcd(182, 195) . ყველაზე მოსახერხებელია ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენება (იხ.): 195=182 1+13 , 182=13 14 , ანუ gcd(182, 195)=13 .

ახლა ჩვენ ვყოფთ 182/195 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 13-ზე, ხოლო მივიღებთ შეუქცევად წილადს 14/15, რომელიც უდრის თავდაპირველ წილადს. ეს ასრულებს წილადის შემცირებას.

მოკლედ, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

პასუხი:

ამაზე, ფრაქციების შემცირებით, შეგიძლიათ დაასრულოთ. მაგრამ სურათის დასასრულებლად, განიხილეთ ფრაქციების შემცირების კიდევ ორი ​​გზა, რომლებიც ჩვეულებრივ გამოიყენება რბილ შემთხვევებში.

ზოგჯერ შემცირებული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მარტივია. წილადის შემცირება ამ შემთხვევაში ძალიან მარტივია: თქვენ უბრალოდ უნდა ამოიღოთ ყველა საერთო ფაქტორი მრიცხველიდან და მნიშვნელიდან.

აღსანიშნავია, რომ ეს მეთოდი პირდაპირ გამომდინარეობს წილადის შემცირების წესიდან, ვინაიდან მრიცხველისა და მნიშვნელის ყველა საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი უდრის მათ უდიდეს საერთო გამყოფს.

მოდით შევხედოთ გადაწყვეტის მაგალითს.

მაგალითი.

შეამცირეთ წილადი 360/2940.

გადაწყვეტილება.

მრიცხველი და მნიშვნელი დავშალოთ მარტივ ფაქტორებად: 360=2 2 2 3 3 5 და 2 940=2 2 3 5 7 7 . ამრიგად, .

ახლა ჩვენ ვაშორებთ საერთო ფაქტორებს მრიცხველსა და მნიშვნელში, მოხერხებულობისთვის, უბრალოდ გადავკვეთთ მათ: .

ბოლოს ვამრავლებთ დარჩენილ ფაქტორებს: , და წილადის შემცირება სრულდება.

Აქ მოკლე შესვლაგადაწყვეტილებები: .

პასუხი:

განვიხილოთ წილადის შემცირების სხვა გზა, რომელიც შედგება თანმიმდევრული შემცირებაში. აქ, ყოველ საფეხურზე, წილადი მცირდება მრიცხველისა და მნიშვნელის ზოგიერთი საერთო გამყოფით, რომელიც ან აშკარაა ან ადვილად განისაზღვრება გამოყენებით

მოსახერხებელი და მარტივი ონლაინ კალკულატორიწილადები დეტალური ამოხსნითშესაძლოა:

• შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა ფრაქციები ონლაინ,
• მიღება ანაზრაურების გადაწყვეტაწილადები სურათით და მოსახერხებელია მისი გადატანა.



წილადების ამოხსნის შედეგი აქ იქნება...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
წილადის ნიშანი "/" + - * :
_wipe Clear
ჩვენს ონლაინ წილადის კალკულატორს აქვს სწრაფი შეყვანა. მაგალითად, წილადების ამოხსნის მისაღებად, უბრალოდ დაწერეთ 1/2+2/7 შედით კალკულატორში და დააჭირეთ ღილაკს " წილადების ამოხსნა“. კალკულატორი მოგწერს დეტალური გადაწყვეტაწილადებიდა გაცემა კოპირებისთვის მოსახერხებელი სურათი.

კალკულატორში ჩასაწერად გამოყენებული სიმბოლოები

თქვენ შეგიძლიათ აკრიფოთ გამოსავლის მაგალითი როგორც კლავიატურიდან, ასევე ღილაკების გამოყენებით.

ონლაინ წილადების კალკულატორის მახასიათებლები

წილადის კალკულატორს შეუძლია ოპერაციების შესრულება მხოლოდ 2-ით მარტივი წილადები. ისინი შეიძლება იყოს სწორი (მრიცხველი ნაკლებია მნიშვნელზე) ან არასწორი (მრიცხველი მეტია მნიშვნელზე). რიცხვები მრიცხველში და მნიშვნელებში არ შეიძლება იყოს უარყოფითი და 999-ზე მეტი.
ჩვენი ონლაინ კალკულატორი ხსნის წილადებს და მოაქვს პასუხი სწორი ფორმა- ამცირებს წილადს და საჭიროების შემთხვევაში ხაზს უსვამს მთელ ნაწილს.

თუ უარყოფითი წილადების ამოხსნა გჭირდებათ, უბრალოდ გამოიყენეთ მინუს თვისებები. გამრავლებისა და გაყოფისას უარყოფითი წილადებიორი უარყოფითი ადასტურებს დადებითს. ანუ უარყოფითი წილადების ნამრავლი და გაყოფა ტოლია იგივე დადებითი წილადების ნამრავლისა და გაყოფის. თუ ერთი წილადი გამრავლებისას ან გაყოფისას უარყოფითია, უბრალოდ ამოიღეთ მინუსი და შემდეგ დაამატეთ იგი პასუხს. უარყოფითი წილადების დამატებისას, შედეგი იქნება იგივე, რაც თქვენ იმავე დადებით წილადებს უმატებთ. თუ დაუმატებთ ერთ უარყოფით წილადს, მაშინ ეს იგივეა, რაც გამოვაკლოთ იგივე დადებითი.
უარყოფითი წილადების გამოკლებისას შედეგი ისეთივე იქნება, თითქოს ისინი შებრუნებული და დადებითი გახდნენ. ეს არის მინუს მინუს შიგნით ამ საქმესიძლევა პლიუსს და თანხა არ იცვლება ტერმინების გადალაგებიდან. წილადების გამოკლებისას იგივე წესებს ვიყენებთ, რომელთაგან ერთი უარყოფითია.

გადაწყვეტილებისთვის შერეული ფრაქციები(წილადების მთელი რიცხვი ხაზგასმული) უბრალოდ გადაიტანეთ მთელი ნაწილი წილადში. ამისათვის გაამრავლეთ მთელი ნაწილი მნიშვნელზე და დაამატეთ მრიცხველი.

თუ 3 ან მეტი წილადის ონლაინ ამოხსნა გჭირდებათ, მაშინ ისინი სათითაოდ უნდა ამოხსნათ. ჯერ დათვალეთ პირველი 2 წილადი, შემდეგ მიღებული პასუხით ამოხსენით შემდეგი წილადი და ა.შ. რიგრიგობით შეასრულეთ მოქმედებები 2 წილადისთვის და ბოლოს მიიღებთ სწორ პასუხს.

წილადის შემცირების ცოდნისა და ამოხსნის მუდმივი უნარის გარეშე მსგავსი მაგალითებისკოლაში ალგებრის შესწავლა ძალიან რთულია. რაც უფრო შორს, მით მეტი საბაზისო ცოდნაშემცირების შესახებ ჩვეულებრივი წილადებიზედდადგმული ახალი ინფორმაცია. ჯერ არის ხარისხები, შემდეგ ფაქტორები, რომლებიც შემდეგ მრავალწევად იქცევა.

როგორ არ დავიბნეთ აქ? გააძლიერე უნარები წინა თემებიდა თანდათან მოემზადეთ ცოდნისთვის, თუ როგორ უნდა შემცირდეს ფრაქცია, რომელიც წლიდან წლამდე რთულდება.

Საბაზისო ცოდნა

მათ გარეშე შეუძლებელი იქნება ნებისმიერი დონის ამოცანების შესრულება. გასაგებად, თქვენ უნდა გესმოდეთ ორი მარტივი წერტილი. პირველ რიგში, თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ მულტიპლიკატორების შემცირება. ეს ნიუანსი ძალიან მნიშვნელოვანი აღმოჩნდება, როდესაც მრიცხველში ან მნიშვნელში ჩნდება მრავალწევრები. მაშინ მკაფიოდ უნდა განასხვავოთ სად არის მულტიპლიკატორი და სად არის ტერმინი.

მეორე პუნქტი ამბობს, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფაქტორებად. უფრო მეტიც, შემცირების შედეგია ისეთი წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი ვეღარ შემცირდება.

საერთო წილადების შემცირების წესები

პირველი, რაც უნდა შეამოწმოთ, არის თუ არა მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე თუ პირიქით. მაშინ სწორედ ამ რიცხვით უნდა შეამციროთ. ეს ყველაზე მარტივი ვარიანტია.

მეორე არის ანალიზი გარეგნობანომრები. თუ ორივე მთავრდება ერთი ან მეტი ნულით, მაშინ ისინი შეიძლება შემცირდეს 10, 100 ან ათასით. აქ ნახავთ თუ არა რიცხვები ლუწი. თუ ასეა, მაშინ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ შეამციროთ ორი.

წილადის შემცირების მესამე წესი არის მრიცხველისა და მნიშვნელის პირველ ფაქტორებად დაშლა. ამ დროს თქვენ უნდა აქტიურად გამოიყენოთ მთელი ცოდნა რიცხვების გაყოფის ნიშნების შესახებ. ასეთი დაშლის შემდეგ, რჩება მხოლოდ ყველა გამეორების პოვნა, მათი გამრავლება და შედეგად მიღებული რიცხვის შემცირება.

რა მოხდება, თუ წილადი შეიცავს ალგებრულ გამოსახულებას?

აქ ჩნდება პირველი სირთულეები. რადგან აქ ჩნდება ტერმინები, რომლებიც შეიძლება იყოს ფაქტორების იდენტური. ძალიან მინდა მათი მოჭრა, მაგრამ არ შემიძლია. ჭრის წინ ალგებრული წილადი, უნდა გარდაიქმნას ისე, რომ ჰქონდეს ფაქტორები.

ამას დასჭირდება რამდენიმე ნაბიჯი. შეიძლება დაგჭირდეთ ყველა მათგანის გავლა, ან შესაძლოა პირველი მოგცეთ შესაფერისი ვარიანტი.

შეამოწმეთ, განსხვავდება თუ არა მრიცხველი და მნიშვნელი ან მათში არსებული რაიმე გამოხატულება ნიშნით. ამ შემთხვევაში, თქვენ უბრალოდ უნდა ამოიღოთ ფრჩხილები მინუს ერთი. ეს იწვევს იდენტურ მულტიპლიკატორებს, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს.

ნახეთ, შესაძლებელია თუ არა საერთო ფაქტორის ფრჩხილებში გამოყვანა მრავალწევრებიდან. შესაძლოა, ეს აღმოჩნდეს ფრჩხილად, რომელიც ასევე შეიძლება შემცირდეს, ან იყოს ამოღებული მონომი.

შეეცადეთ განახორციელოთ მონომების დაჯგუფება, რათა შემდეგ გამოავლინოთ მათში საერთო ფაქტორი. ამის შემდეგ, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ იქნება ფაქტორები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს, ან ისევ ბრეკეტინგის საერთო ელემენტები.

შეეცადეთ წერილობით გაითვალისწინოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა. მათი დახმარებით ადვილი იქნება მრავალწევრის ფაქტორებად გადაქცევა.

მოქმედებების თანმიმდევრობა წილადებთან ძალაუფლებით

იმისათვის, რომ ადვილად გაიგოთ კითხვა, თუ როგორ უნდა შემცირდეს წილადი გრადუსით, თქვენ მტკიცედ უნდა გახსოვდეთ მათთან ძირითადი მოქმედებები. პირველი მათგანი დაკავშირებულია ძალაუფლების გამრავლებასთან. ამ შემთხვევაში, თუ ბაზები იგივეა, ინდიკატორები უნდა დაემატოს.

მეორე არის გაყოფა. ისევ და ისევ, მათთვის, ვისაც აქვს იგივე ბაზა, ინდიკატორები უნდა გამოკლდეს. უფრო მეტიც, თქვენ უნდა გამოაკლოთ რიცხვი, რომელიც არის დივიდენდში და არა პირიქით.

მესამე არის ექსპონენტაცია. ამ სიტუაციაში ინდიკატორები მრავლდება.

წარმატებული შემცირება ასევე მოითხოვს ხარისხების შემცირების უნარს იგივე საფუძველი. ანუ დავინახოთ, რომ ოთხი არის ორი კვადრატი. ან 27 არის სამის კუბი. იმის გამო, რომ 9 კვადრატული და 3 კუბიანი ჭრა რთულია. მაგრამ თუ პირველ გამოსახულებას გარდაქმნით, როგორც (3 2) 2, მაშინ შემცირება წარმატებული იქნება.