პრობლემების გადასაჭრელად რთული რიცხვებიაუცილებელია ძირითადი განმარტებების გაგება. მთავარი ამოცანაამ მიმოხილვითი სტატიის - ახსნას რა არის რთული რიცხვები და წარმოადგინოს რთული რიცხვებით ძირითადი ამოცანების ამოხსნის მეთოდები. ამრიგად, რთული რიცხვი არის ფორმის რიცხვი z = a + bi, სად ა, ბ- რეალური რიცხვები, რომლებსაც კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ და წარმოსახვით ნაწილებს უწოდებენ და აღნიშნავენ a = Re(z), b=Im(z).
მეწარმოსახვითი ერთეული ეწოდება. i 2 \u003d -1. კერძოდ, ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად: a = a + 0i, სადაც a არის რეალური. თუ a = 0და b ≠ 0, მაშინ რიცხვს ეწოდება წმინდა წარმოსახვითი.

ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ ოპერაციებს კომპლექსურ რიცხვებზე.
განვიხილოთ ორი რთული რიცხვი z 1 = a 1 + b 1 iდა z 2 = a 2 + b 2 i.

განიხილეთ z = a + bi.

რთული რიცხვების სიმრავლე აგრძელებს რეალური რიცხვების სიმრავლეს, რაც თავის მხრივ აფართოებს სიმრავლეს რაციონალური რიცხვიდა ა.შ. ინვესტიციების ეს ჯაჭვი ჩანს ფიგურაში: N - მთელი რიცხვები, Z არის მთელი რიცხვები, Q არის რაციონალური, R არის რეალური, C არის რთული.

რთული რიცხვების წარმოდგენა

ალგებრული აღნიშვნა.

განვიხილოთ რთული რიცხვი z = a + biკომპლექსური რიცხვის ჩაწერის ამ ფორმას ეწოდება ალგებრული. წინა ნაწილში უკვე დეტალურად განვიხილეთ წერის ეს ფორმა. ხშირად გამოიყენეთ შემდეგი საილუსტრაციო ნახაზი

ტრიგონომეტრიული ფორმა.

ნახატიდან ჩანს, რომ რიცხვი z = a + biშეიძლება სხვანაირად დაიწეროს. აშკარაა რომ a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|, შესაბამისად z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) რთული რიცხვის არგუმენტი ეწოდება. რთული რიცხვის ეს წარმოდგენა ეწოდება ტრიგონომეტრიული ფორმა. აღნიშვნის ტრიგონომეტრიული ფორმა ზოგჯერ ძალიან მოსახერხებელია. მაგალითად, მოსახერხებელია მისი გამოყენება კომპლექსური რიცხვის მთელ ხარისხზე ასაყვანად, კერძოდ, თუ z = rcos(φ) + rsin(φ)i, მაშინ z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ამ ფორმულას ე.წ დე მოივრის ფორმულა.

საჩვენებელი ფორმა.

განიხილეთ z = rcos(φ) + rsin(φ)iარის რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმა, დაწერე სხვა ფორმით z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ბოლო ტოლობა გამომდინარეობს ეილერის ფორმულიდან, ამიტომ ვიღებთ ახალი ფორმართული რიცხვების ჩანაწერები: z = re iφ, რომელსაც ქვია დემონსტრაციული. აღნიშვნის ეს ფორმა ასევე ძალიან მოსახერხებელია რთული რიცხვის ხარისხზე ასაყვანად: z n = r n e inφ, აქ ნარ არის აუცილებელი მთელი რიცხვი, მაგრამ შეიძლება იყოს თვითნებური რეალური რიცხვი. წერის ეს ფორმა საკმაოდ ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად.

უმაღლესი ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა

წარმოიდგინეთ, რომ გვაქვს კვადრატული განტოლება x 2 + x + 1 = 0. აშკარაა, რომ ამ განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია და მას არ აქვს რეალური ფესვები, მაგრამ გამოდის, რომ ამ განტოლებას ორი განსხვავებული რთული ფესვი აქვს. ასე რომ, უმაღლესი ალგებრის მთავარი თეორემა ამბობს, რომ n ხარისხის ნებისმიერ პოლინომს აქვს მინიმუმ ერთი რთული ფესვი. ეს ნიშნავს, რომ n ხარისხის ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს ზუსტად n რთული ფესვებიმათი სიმრავლის გათვალისწინებით. ეს თეორემა ძალიან მნიშვნელოვანი შედეგიმათემატიკაში და ფართოდ გამოიყენება. ამ თეორემის მარტივი დასკვნა არის ის, რომ არსებობს ზუსტად n განსხვავებული ერთიანობის n-ხარისხიანი ფესვები.

დავალებების ძირითადი ტიპები

ეს განყოფილება მოიცავს ძირითად ტიპებს მარტივი დავალებებიკომპლექსურ რიცხვებამდე. პირობითად, რთული რიცხვების პრობლემები შეიძლება დაიყოს შემდეგ კატეგორიებად.

• უმარტივესის შესრულება არითმეტიკული მოქმედებებიკომპლექსურ რიცხვებზე.
• მრავალწევრების ფესვების პოვნა კომპლექსურ რიცხვებში.
• კომპლექსური რიცხვების ხარისხზე აყვანა.
• ფესვების ამოღება რთული რიცხვებიდან.
• რთული რიცხვების გამოყენება სხვა ამოცანების გადასაჭრელად.

ახლა განიხილეთ ზოგადი ტექნიკაამ პრობლემების გადაწყვეტილებები.

უმარტივესი არითმეტიკული მოქმედებები რთული რიცხვებით შესრულებულია პირველ ნაწილში აღწერილი წესების მიხედვით, მაგრამ თუ რთული რიცხვები წარმოდგენილია ტრიგონომეტრიული ან ექსპონენციალური ფორმებით, მაშინ ამ შემთხვევაში ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ალგებრულ ფორმაში და შეასრულონ მოქმედებები ცნობილი წესების მიხედვით.

მრავალწევრების ფესვების პოვნა, როგორც წესი, მოდის კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნამდე. დავუშვათ, გვაქვს კვადრატული განტოლება, თუ მისი დისკრიმინანტი არაუარყოფითია, მაშინ მისი ფესვები რეალური იქნება და ნაპოვნია ცნობილი ფორმულის მიხედვით. თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ D = -1∙a 2, სად აარის გარკვეული რიცხვი, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ დისკრიმინანტი ფორმაში D = (ია) 2, შესაბამისად √D = i|a|და შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცნობილი ფორმულაკვადრატული განტოლების ფესვებისთვის.

მაგალითი. უკან ზემოთ კვადრატული განტოლება x 2 + x + 1 = 0.
დისკრიმინანტი - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ადვილად ვიპოვოთ ფესვები:

კომპლექსური რიცხვების ხარისხამდე აყვანა შეიძლება რამდენიმე გზით მოხდეს. თუ გსურთ კომპლექსური რიცხვის ალგებრული ფორმით აყვანა მცირე ხარისხზე (2 ან 3), მაშინ ამის გაკეთება შეგიძლიათ პირდაპირი გამრავლებით, მაგრამ თუ ხარისხი უფრო დიდია (პრობლემებში ის ხშირად გაცილებით დიდია), მაშინ საჭიროა ჩაწერეთ ეს რიცხვი ტრიგონომეტრიული ან ექსპონენციალური ფორმებით და გამოიყენეთ უკვე ცნობილი მეთოდები.

მაგალითი. განვიხილოთ z = 1 + i და აწიეთ მეათე ხარისხამდე.
ჩვენ ვწერთ z ექსპონენციალური ფორმით: z = √2 e iπ/4 .
მერე z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
დავუბრუნდეთ ალგებრულ ფორმას: z 10 = -32i.

კომპლექსური რიცხვებიდან ფესვების ამოღება არის შებრუნებული ოპერაცია სიმძლავრის მიმართ, ამიტომ იგი კეთდება ანალოგიურად. ხშირად გამოიყენება ფესვების ამოსაღებად. საჩვენებელი ფორმანომრის ჩანაწერები.

მაგალითი. იპოვეთ ერთიანობის მე-3 ხარისხის ყველა ფესვი. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ განტოლების ყველა ფესვს z 3 = 1, ჩვენ ვეძებთ ფესვებს ექსპონენციალური ფორმით.
ჩაანაცვლეთ განტოლებაში: r 3 e 3iφ = 1 ან r 3 e 3iφ = e 0 .
აქედან გამომდინარე: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, შესაბამისად φ = 2πk/3.
სხვადასხვა ფესვები მიიღება φ = 0, 2π/3, 4π/3.
აქედან გამომდინარე, 1, e i2π/3, e i4π/3 არის ფესვები.
ან ალგებრული ფორმით:

ბოლო დავალების ტიპი მოიცავს დიდი სიმრავლეპრობლემები და არ არსებობს მათი გადაჭრის ზოგადი მეთოდები. აქ არის ასეთი დავალების მარტივი მაგალითი:

იპოვეთ თანხა sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

მიუხედავად იმისა, რომ ამ პრობლემის ფორმულირება არ არის კითხვაზეკომპლექსური რიცხვების შესახებ, მაგრამ მათი დახმარებით მისი მარტივად ამოხსნაა შესაძლებელი. მის გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი წარმოდგენები:


თუ ჩვენ ახლა შევცვლით ამ წარმოდგენას ჯამით, მაშინ პრობლემა დაიყვანება ჩვეულებრივი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამამდე.

დასკვნა

რთული რიცხვები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, ამ მიმოხილვის სტატიაში განიხილეს კომპლექსურ რიცხვებზე ძირითადი მოქმედებები, რამდენიმე სახის სტანდარტული ამოცანებიდა მოკლედ აღწერილი საერთო მეთოდებიმათი გადაწყვეტილებები, რთული რიცხვების შესაძლებლობების უფრო დეტალური შესწავლისთვის, რეკომენდებულია სპეციალიზებული ლიტერატურის გამოყენება.

ლიტერატურა

რთული რიცხვები.რთული რიცხვი არის z=a+biabRi2=−1 ფორმის რიცხვი

კომენტარი.
რეალური რიცხვი a არის z რიცხვის რეალური ნაწილი და აღინიშნება a=Rez-ით
რეალური რიცხვი b არის z რიცხვის წარმოსახვითი ნაწილი და აღინიშნება b=Imz
რეალური რიცხვები არის რიცხვებისა და მათზე მოქმედებების სრული ნაკრები, რომელიც, როგორც ჩანს, საკმარისი უნდა იყოს მათემატიკის კურსში ნებისმიერი ამოცანის გადასაჭრელად. მაგრამ როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლება რეალურ რიცხვებში x2+1=0? არსებობს რიცხვების კიდევ ერთი გაფართოება - რთული რიცხვები. კომპლექსურ რიცხვებს შეუძლიათ ფესვები მიიღონ უარყოფითი რიცხვები.
ალგებრული ფორმართული რიცხვი.რთული რიცხვის ალგებრული ფორმაა z=a+bi(aRbRi2=−1)

კომენტარი. თუ a=ReZ=0b=Imz=0, მაშინ z რიცხვს წარმოსახვითი ეწოდება. თუ a=ReZ=0b=Imz=0, მაშინ რიცხვს z ეწოდება წმინდა წარმოსახვითი

რეალური რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია არის რეალური ხაზი. გარდა ამისა, რეალურ ხაზზე „ახალი წერტილებისთვის ადგილი არ არის“, ანუ რეალური ღერძის ნებისმიერი წერტილი შეესაბამება რეალურ რიცხვს. შესაბამისად, რთული რიცხვები ვეღარ განთავსდება ამ ხაზზე, მაგრამ შეიძლება სცადოთ განიხილოს რეალური ღერძი, რომელზეც გამოვსახავთ კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ ნაწილს, მის პერპენდიკულარულ კიდევ ერთ ღერძს; ჩვენ მას დავარქმევთ წარმოსახვით ღერძს. მაშინ ნებისმიერი რთული რიცხვი z = a + ib შეიძლება ასოცირებული იყოს კოორდინატთა სიბრტყის წერტილთან. კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ ნაწილს აბსცისის ღერძზე გამოვსახავთ, ხოლო წარმოსახვით ნაწილს ორდინატთა ღერძზე. ამრიგად, მყარდება ერთი-ერთზე კორესპონდენცია ყველა კომპლექსურ რიცხვსა და სიბრტყის ყველა წერტილს შორის. თუ ასეთი მიმოწერა აშენდება, მაშინ საკოორდინაციო თვითმფრინავიდაურეკა რთული თვითმფრინავი. z = a + b i კომპლექსური რიცხვის ინტერპრეტაცია არის OA ვექტორი კოორდინატებით (a,b) დასაწყისით O(0,0) წერტილით და დასასრულით A(a,b) წერტილში.

რიცხვების შერწყმა. რიცხვებს z=a+bi და z=a−bi ეწოდება კონიუგატური რთული რიცხვები

საკუთრება. ორი კონიუგატური რთული რიცხვის ჯამი და ნამრავლი არის ნამდვილი რიცხვები: z+z=2azz=a2+b2

საპირისპირო რიცხვები. z=a+bi და −z=−a−bi რიცხვებს საპირისპირო რთული რიცხვები ეწოდება.

საკუთრება. ორი საპირისპირო რთული რიცხვის ჯამი არის ნული:
z+(−z)=0

ტოლი რიცხვები. ორი რთული რიცხვი ტოლია, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ტოლია.

მოქმედებები რთული რიცხვებით, რომლებიც მოცემულია ალგებრული ფორმით:

შეკრების თვისება: z1=a+bi და z2=c+di ორი რთული რიცხვის ჯამი იქნება z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) ფორმის რთული რიცხვი. მე
მაგალითი: 5+3i+3−i=8+2i

გამოკლების თვისება: z1=a+bi და z2=c+di ორი რთული რიცხვის სხვაობა იქნება z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) ფორმის რთული რიცხვი. მე

მაგალითი:. 5+3i−3−i=2+4i

გამრავლების თვისება: z1=a+bi და z2=c+di ორი რთული რიცხვის ნამრავლი იქნება z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i ფორმის რთული რიცხვი.

მაგალითი: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

გაყოფის თვისება: z1=a+bi და z2=c+di ორი რთული რიცხვის კოეფიციენტი იქნება z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi ფორმის კომპლექსური რიცხვი.

მაგალითი:. 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

მოქმედებები რთული რიცხვებით, რომლებიც მოცემულია ტრიგონომეტრიული ფორმით
კომპლექსური რიცხვის z = a + bi ჩაწერას როგორც z=rcos+isin ეწოდება რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

რთული რიცხვის მოდული: r=a2+b2

რთული რიცხვის არგუმენტი: cos=rasin=rb

წარმოსახვითი და რთული რიცხვები

განვიხილოთ არასრული კვადრატული განტოლება:
x 2 \u003d a,
სადაც - ცნობილი რაოდენობა. ამ განტოლების ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
აქ სამი შესაძლო შემთხვევაა:

ერთი). თუ a = 0, მაშინ x = 0.

2). Თუ- დადებითი რიცხვი, მაშინ მისი Კვადრატული ფესვიაქვს ორი მნიშვნელობა: ერთი დადებითი, მეორე უარყოფითი; მაგალითად, განტოლებას x 2 \u003d 25 აქვს ორი ფესვი: 5 და - 5. ეს ხშირად იწერება როგორც ფესვი ორმაგი ნიშნით:
3) თუ a უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ამ განტოლებას ჩვენთვის ცნობილ დადებით და უარყოფით რიცხვებს შორის ამონახსნები არ აქვს, რადგან ნებისმიერი რიცხვის მეორე ხარისხი არის არაუარყოფითი რიცხვი (დაფიქრდით!). მაგრამ თუ გვინდა მივიღოთ განტოლების ამონახსნები x 2 = a ასევე for უარყოფითი მნიშვნელობებია, იძულებულნი ვართ შემოვიტანოთ ახალი ტიპის რიცხვები - წარმოსახვითი რიცხვები. ამრიგად, წარმოსახვითი რიცხვი არის რიცხვი, რომლის მეორე ხარისხი არის უარყოფითი რიცხვი. წარმოსახვითი რიცხვების ამ განმარტების მიხედვით, ჩვენ ასევე შეგვიძლია განვსაზღვროთ წარმოსახვითი ერთეული:
შემდეგ x 2 = - 25 განტოლებისთვის ვიღებთ ორ წარმოსახვით ფესვს:
ამ ორივე ფესვის ჩვენს განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ იდენტურობას. (Ჩეკი!). წარმოსახვითი რიცხვებისგან განსხვავებით, ყველა სხვა რიცხვს (დადებითი და უარყოფითი, მთელი და წილადი, რაციონალური და ირაციონალური) ეწოდება რეალური ან რეალური რიცხვები. რეალურის ჯამი და წარმოსახვითი რიცხვიეწოდება რთული რიცხვი და აღინიშნება:

სადაც a, b - რეალური რიცხვები, მე არის წარმოსახვითი ერთეული.

რთული რიცხვების მაგალითები: 3 + 4 i , 7 - 13,6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i.

გავიხსენოთ საჭირო ინფორმაციართული რიცხვების შესახებ.

კომპლექსური ნომერიფორმის გამოხატულებაა ა + ბი, სად ა, ბარის რეალური რიცხვები და მე- ე. წ წარმოსახვითი ერთეული, სიმბოლო, რომლის კვადრატი არის -1, ე.ი. მე 2 = -1. ნომერი ადაურეკა რეალური ნაწილიდა ნომერი ბ - წარმოსახვითი ნაწილირთული რიცხვი ზ = ა + ბი. Თუ ბ= 0, შემდეგ ნაცვლად ა + 0მედაწერე უბრალოდ ა. ჩანს, რომ რეალური რიცხვებია განსაკუთრებული შემთხვევართული რიცხვები.

კომპლექსურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებები იგივეა, რაც რეალურზე: მათი დამატება, გამოკლება, გამრავლება და ერთმანეთზე გაყოფა შესაძლებელია. შეკრება და გამოკლება ხდება წესის მიხედვით ( ა + ბი) ± ( გ + დი) = (ა ± გ) + (ბ ± დ)მედა გამრავლება - წესის მიხედვით ( ა + ბი) · ( გ + დი) = (აწ – ბდ) + (რეკლამა + ძვ.წ)მე(აქ ის უბრალოდ გამოიყენება მე 2 = -1). ნომერი = ა – ბიდაურეკა რთული კონიუგატირომ ზ = ა + ბი. Თანასწორობა ზ · = ა 2 + ბ 2 საშუალებას გაძლევთ გაიგოთ როგორ გავყოთ ერთი რთული რიცხვი მეორეზე (არანულოვანი) კომპლექსური რიცხვით:

(Მაგალითად, .)

კომპლექსურ ნომრებს აქვთ მოსახერხებელი და ვიზუალური გეომეტრიული გამოსახულება: ნომერი ზ = ა + ბიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ვექტორი კოორდინატებით ( ა; ბ) ზე დეკარტის თვითმფრინავი(ან, რომელიც თითქმის იგივეა, წერტილი - ვექტორის ბოლო ამ კოორდინატებით). ამ შემთხვევაში ორი რთული რიცხვის ჯამი გამოსახულია შესაბამისი ვექტორების ჯამად (რომლის პოვნა შესაძლებელია პარალელოგრამის წესით). პითაგორას თეორემით, ვექტორის სიგრძე კოორდინატებით ( ა; ბ) უდრის. ეს მნიშვნელობა ე.წ მოდულირთული რიცხვი ზ = ა + ბიდა აღინიშნება | ზ|. კუთხე, რომელსაც ეს ვექტორი ქმნის x ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ (ითვლება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ) ე.წ. არგუმენტირთული რიცხვი ზდა აღინიშნება არგ ზ. არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, მაგრამ მხოლოდ 2-ის ჯერადი დამატებამდე π რადიანები (ან 360°, თუ დათვლით გრადუსებში) - ბოლოს და ბოლოს, ცხადია, რომ ასეთი კუთხით შემობრუნება საწყის გარშემო არ შეცვლის ვექტორს. მაგრამ თუ სიგრძის ვექტორი რაყალიბებს კუთხეს φ x-ღერძის დადებითი მიმართულებით, მაშინ მისი კოორდინატები ტოლია ( რ cos φ ; რცოდვა φ ). აქედან გამოდის ტრიგონომეტრიული აღნიშვნართული რიცხვი: ზ = |ზ| (არგ ზ) + მეცოდვა (არგ ზ)). ხშირად მოსახერხებელია ამ ფორმით რთული რიცხვების დაწერა, რადგან ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. რთული რიცხვების გამრავლება ტრიგონომეტრიულ ფორმაში ძალიან მარტივია: ზერთი · ზ 2 = |ზ 1 | · | ზ 2 | (არგ ზ 1+არგ ზ 2) + მეცოდვა (არგ ზ 1+არგ ზ 2)) (ორი რთული რიცხვის გამრავლებისას მათი მოდულები მრავლდება და არგუმენტები ემატება). აქედან მიჰყევით დე მოივრის ფორმულები: z n = |ზ|ნ(რადგან ნ(არგ ზ)) + მეცოდვა ( ნ(არგ ზ))). ამ ფორმულების დახმარებით ადვილია ისწავლო რთული რიცხვებიდან ნებისმიერი ხარისხის ფესვების ამოღება. ფესვი n-ე ხარისხი z ნომრიდანასეთი რთული რიცხვია ვ, რა w n = ზ. გასაგებია რომ , Და სად კშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა კომპლექტიდან (0, 1, ..., ნ- ერთი). ეს ნიშნავს, რომ ყოველთვის არის ზუსტად ნფესვები ნკომპლექსური რიცხვიდან th ხარისხი (სიბრტყეზე ისინი განლაგებულია რეგულარულის წვეროებზე ნ-გონი).