Os conceitos de fractal e geometria fractal, surgidos no final dos anos 70, tornaram-se firmemente estabelecidos na vida cotidiana de matemáticos e programadores desde meados dos anos 80. A palavra fractal é derivada do latim fractus e na tradução significa que consiste em fragmentos. Foi proposto por Benoit Mandelbrot em 1975 para se referir às estruturas irregulares, mas auto-semelhantes que ele estudou. O nascimento da geometria fractal é geralmente associado à publicação em 1977 do livro de Mandelbrot "A Geometria Fractal da Natureza". resultados científicos outros cientistas que trabalharam no período 1875-1925 na mesma área (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Mas somente em nosso tempo foi possível combinar seu trabalho em um único sistema.
O papel dos fractais na computação gráfica hoje é bastante grande. Eles vêm em socorro, por exemplo, quando é necessário, com a ajuda de vários coeficientes, definir linhas e superfícies muito forma complexa. Do ponto de vista da computação gráfica, a geometria fractal é indispensável para a geração de nuvens artificiais, montanhas e a superfície do mar. De fato, encontrou-se uma maneira de representar facilmente objetos complexos não euclidianos, cujas imagens são muito semelhantes às naturais.
Uma das principais propriedades dos fractais é a auto-semelhança. No muito caso simples uma pequena parte do fractal contém informações sobre o fractal inteiro. A definição de fractal dada por Mandelbrot é a seguinte: "Um fractal é uma estrutura que consiste em partes que são, em certo sentido, semelhantes ao todo."

Há um grande número de objetos matemáticos chamados fractais (triângulo de Sierpinski, floco de neve de Koch, curva de Peano, conjunto de Mandelbrot e atratores de Lorentz). Os fractais descrevem com grande precisão muitos fenômenos físicos e formações do mundo real: montanhas, nuvens, correntes turbulentas (vórtices), raízes, galhos e folhas de árvores, vasos sanguíneos, o que está longe de corresponder a formas geométricas simples. Pela primeira vez, Benoit Mandelbrot falou sobre a natureza fractal do nosso mundo em seu trabalho seminal "A Geometria Fractal da Natureza".
O termo fractal foi introduzido por Benoit Mandelbrot em 1977 em sua obra fundamental "Fractais, Forma, Caos e Dimensão". De acordo com Mandelbrot, a palavra fractal vem das palavras latinas fractus - fracionário e frangere - para quebrar, o que reflete a essência do fractal como um conjunto irregular "quebrado".

Classificação dos fractais.

Para representar toda a variedade de fractais, é conveniente recorrer à sua classificação geralmente aceita. Existem três classes de fractais.

1. Fractals geométricos.

Os fractais desta classe são os mais óbvios. No caso bidimensional, eles são obtidos usando uma polilinha (ou superfície no caso tridimensional) chamada de gerador. Em uma etapa do algoritmo, cada um dos segmentos que compõem a linha quebrada é substituído por um gerador de linha quebrada na escala apropriada. Como resultado da repetição infinita deste procedimento, obtém-se um fractal geométrico.

Considere, por exemplo, um desses objetos fractais - a curva triádica de Koch.

Construção da curva triádica de Koch.

Pegue um segmento de reta de comprimento 1. Vamos chamá-lo semente. Dividimos a semente em três partes iguais com 1/3 de comprimento, descartamos parte do meio e substitua-o por uma linha quebrada de dois links de comprimento 1/3.

Obtemos uma linha quebrada, composta por 4 links com um comprimento total de 4/3, - o chamado primeira geração.

Para passar para a próxima geração da curva de Koch, é necessário descartar e substituir a parte do meio de cada link. Assim, a duração da segunda geração será 16/9, a terceira - 64/27. se você continuar esse processo até o infinito, o resultado será uma curva de Koch triádica.

Vamos agora considerar a curva triádica sagrada de Koch e descobrir por que os fractais foram chamados de "monstros".

Primeiro, essa curva não tem comprimento - como vimos, com o número de gerações, seu comprimento tende ao infinito.

Em segundo lugar, é impossível construir uma tangente a essa curva - cada um de seus pontos é um ponto de inflexão no qual a derivada não existe - essa curva não é suave.

Comprimento e suavidade são as propriedades fundamentais das curvas, que são estudadas tanto pela geometria euclidiana quanto pela geometria de Lobachevsky e Riemann. Para a curva triádica de Koch métodos tradicionais a análise geométrica acabou sendo inaplicável, então a curva de Koch acabou sendo um monstro - um "monstro" entre os habitantes suaves das geometrias tradicionais.

Construção do "dragão" Harter-Hateway.

Para obter outro objeto fractal, você precisa alterar as regras de construção. Seja o elemento gerador dois segmento igual conectados em ângulos retos. Na geração zero, substituímos o segmento unitário por este elemento gerador para que o ângulo fique para cima. Podemos dizer que, com essa substituição, ocorre um deslocamento no meio do link. Ao construir as próximas gerações, a regra é cumprida: o primeiro elo à esquerda é substituído por um elemento gerador de modo que o meio do elo se desloque para a esquerda da direção do movimento e, ao substituir próximos links, as direções de deslocamento dos pontos médios dos segmentos devem se alternar. A figura mostra as primeiras gerações e a 11ª geração da curva construída de acordo com o princípio descrito acima. A curva com n tendendo ao infinito é chamada de dragão Harter-Hateway.
Em computação gráfica, o uso de fractais geométricos é necessário na obtenção de imagens de árvores e arbustos. Os fractais geométricos bidimensionais são usados ​​para criar texturas tridimensionais (padrões na superfície de um objeto).

2. Fractals algébricos

Este é o mais grupo grande fractais. Eles são obtidos usando processos não lineares em espaços n-dimensionais. Os processos bidimensionais são os mais estudados. Interpretando um processo iterativo não linear como um sistema dinâmico discreto, pode-se usar a terminologia da teoria desses sistemas: retrato de fase, processo de estado estacionário, atrator, etc.
Sabe-se que sistemas dinâmicos não lineares possuem vários estados estáveis. O estado em que foi sistema dinâmico após um certo número de iterações, depende de seu estado inicial. Portanto, cada estado estável (ou, como se costuma dizer, um atrator) possui uma certa área de estados iniciais, a partir da qual o sistema necessariamente cairá nos estados finais considerados. Assim, o espaço de fase do sistema é dividido em áreas de atração de atratores. Se o espaço de fase é bidimensional, então colorir as regiões de atração Cores diferentes, pode-se obter um retrato de fase colorido deste sistema (processo iterativo). Ao alterar o algoritmo de seleção de cores, você pode obter padrões fractais complexos com padrões multicoloridos sofisticados. Uma surpresa para os matemáticos foi a capacidade de gerar estruturas não triviais muito complexas usando algoritmos primitivos.

O conjunto de Mandelbrot.

Como exemplo, considere o conjunto de Mandelbrot. O algoritmo para sua construção é bastante simples e é baseado em uma expressão iterativa simples: Z = Z[i] * Z[i] + C, Onde Zi e C são variáveis ​​complexas. As iterações são executadas para cada ponto inicial de uma região retangular ou quadrada - um subconjunto do plano complexo. O processo iterativo continua até que Z[i] não ultrapassará o círculo de raio 2, cujo centro está no ponto (0,0), (isto significa que o atrator do sistema dinâmico está no infinito), ou após um número suficientemente grande de iterações (por exemplo , 200-500) Z[i] converge para algum ponto da circunferência. Dependendo do número de iterações durante as quais Z[i] permaneceu dentro do círculo, você pode definir a cor do ponto C(E se Z[i] permanece dentro do círculo por um número suficientemente grande de iterações, o processo iterativo para e esse ponto raster é pintado de preto).

3. Fractals estocásticos

Outra classe bem conhecida de fractais são os fractais estocásticos, que são obtidos se algum de seus parâmetros for alterado aleatoriamente em um processo iterativo. Isso resulta em objetos muito semelhantes aos naturais - árvores assimétricas, litorais recortados, etc. Os fractais estocásticos bidimensionais são usados ​​na modelagem do terreno e da superfície do mar.
Existem outras classificações de fractais, por exemplo, a divisão de fractais em determinísticos (algébricos e geométricos) e não determinísticos (estocásticos).

Sobre o uso de fractais

Em primeiro lugar, os fractais são uma área de arte matemática incrível, quando com a ajuda das fórmulas e algoritmos mais simples, são obtidas imagens de extraordinária beleza e complexidade! Nos contornos das imagens construídas, muitas vezes se adivinham folhas, árvores e flores.

Uma das aplicações mais poderosas dos fractais está na computação gráfica. Em primeiro lugar, é a compressão fractal de imagens e, em segundo lugar, a construção de paisagens, árvores, plantas e a geração de texturas fractais. física moderna e a mecânica está apenas começando a estudar o comportamento de objetos fractais. E, claro, os fractais são aplicados diretamente na própria matemática.
As vantagens dos algoritmos de compressão de imagem fractal são o tamanho muito pequeno do arquivo compactado e o curto tempo de recuperação da imagem. As imagens embaladas fractalmente podem ser dimensionadas sem a aparência de pixelização. Mas o processo de compactação leva muito tempo e às vezes dura horas. O algoritmo de empacotamento fractal com perdas permite definir o nível de compactação, semelhante ao formato jpeg. O algoritmo é baseado na busca de grandes pedaços da imagem semelhantes a alguns pequenos pedaços. E apenas qual parte é semelhante à que é gravada no arquivo de saída. Ao comprimir, geralmente é usada uma grade quadrada (peças são quadrados), o que leva a uma leve angularidade ao restaurar a imagem, uma grade hexagonal está livre de tal desvantagem.
A Iterated desenvolveu um novo formato de imagem, "Sting", que combina compressão sem perdas fractal e "onda" (como jpeg). O novo formato permite criar imagens com possibilidade de dimensionamento subsequente de alta qualidade, e o volume arquivos gráficosé 15-20% do volume de imagens não compactadas.
A tendência dos fractais de se parecerem com montanhas, flores e árvores é explorada por alguns editores gráficos, por exemplo, nuvens fractais do estúdio 3D MAX, montanhas fractais no World Builder. Árvores fractais, montanhas e paisagens inteiras são dadas fórmulas simples, são fáceis de programar e não se dividem em triângulos e cubos separados quando aproximados.
Você não pode ignorar o uso de fractais na própria matemática. Na teoria dos conjuntos, o conjunto de Cantor prova a existência de conjuntos perfeitos em nenhum lugar densos; na teoria da medida, a função auto-afim "escada de Cantor" é um bom exemplo de uma função de distribuição de medida singular.
Na mecânica e na física, os fractais são usados ​​devido à sua propriedade única de repetir os contornos de muitos objetos naturais. Os fractais permitem aproximar árvores, superfícies de montanhas e fissuras com maior precisão do que aproximações com segmentos de linha ou polígonos (com a mesma quantidade de dados armazenados). Modelos fractais, como objetos naturais, possuem "rugosidade", e essa propriedade é preservada em um aumento arbitrariamente grande no modelo. A presença de uma medida uniforme nos fractais torna possível aplicar a integração, teoria do potencial, para usá-los ao invés de objetos padrão nas equações já estudadas.
Com a abordagem fractal, o caos deixa de ser desordem azul e adquire boa estrutura. A ciência fractal ainda é muito jovem e tem um grande futuro pela frente. A beleza dos fractais está longe de se esgotar e ainda nos dará muitas obras-primas - aquelas que encantam os olhos e aquelas que trazem verdadeiro prazer à mente.

Sobre a construção de fractais

Método de aproximações sucessivas

Olhando para esta imagem, não é difícil entender como se pode construir um fractal auto-semelhante (em este caso pirâmide de Sierpinski). Precisamos pegar uma pirâmide comum (tetraedro) e cortar seu meio (octaedro), resultando em quatro pequenas pirâmides. Com cada um deles realizamos a mesma operação, e assim por diante. Esta é uma explicação um tanto ingênua, mas ilustrativa.

Vamos considerar a essência do método mais estritamente. Seja algum sistema IFS, ou seja, sistema de mapeamento de contração S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (por exemplo, para nossa pirâmide, os mapeamentos se parecem com S i (x)=1/2*x+o i , onde o i são os vértices do tetraedro, i=1,..,4). Então escolhemos algum conjunto compacto A 1 em R n (no nosso caso escolhemos um tetraedro). E determinamos por indução a sequência de conjuntos A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Sabe-se que os conjuntos A k com k crescente aproximam-se do atrator requerido do sistema S.

Observe que cada uma dessas iterações é um atrator sistema recorrente de funções iteradas (termo em inglês DigraphIFS, RIFS e também IFS dirigido por gráfico) e, portanto, são fáceis de construir com nosso programa.

Construção por pontos ou método probabilístico

Este é o método mais fácil de implementar em um computador. Para simplificar, considere o caso de um conjunto auto-afino plano. Então vamos

) é algum sistema de contrações afins. Mapeamentos S

representável como: S

Matriz fixa de tamanho 2x2 e o

Coluna de vetor bidimensional.

• Vamos tomar um ponto fixo do primeiro mapeamento S 1 como ponto de partida:
  x:=o1;
  Aqui usamos o fato de que todos os pontos de contração fixos S 1 ,..,S m pertencem ao fractal. Um ponto arbitrário pode ser escolhido como ponto de partida e a sequência de pontos gerada por ele se reduzirá a um fractal, mas alguns pontos extras aparecerão na tela.
• Observe o ponto atual x=(x 1 ,x 2) na tela:
  putpixel(x1,x2,15);
• Escolhemos aleatoriamente um número j de 1 a m e recalculamos as coordenadas do ponto x:
  j:=Aleatória(m)+1;
  x:=Sj(x);
• Vamos para a etapa 2 ou, se tivermos feito um número suficientemente grande de iterações, paramos.

Observação. Se os coeficientes de compressão dos mapeamentos S i forem diferentes, então o fractal será preenchido com pontos de forma desigual. Se os mapeamentos S i forem semelhantes, isso pode ser evitado complicando um pouco o algoritmo. Para isso, na 3ª etapa do algoritmo, deve-se escolher o número j de 1 a m com as probabilidades p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , onde r i denota os coeficientes de contração dos mapeamentos S i , e o número s (chamado de dimensão de similaridade) é encontrado a partir da equação r 1 s +...+r m s =1. A solução desta equação pode ser encontrada, por exemplo, pelo método de Newton.

Sobre fractais e seus algoritmos

Fractal vem do adjetivo latino "fractus", e na tradução significa consistir em fragmentos, e o verbo latino correspondente "frangere" significa quebrar, ou seja, criar fragmentos irregulares. Os conceitos de fractal e geometria fractal, surgidos no final dos anos 70, tornaram-se firmemente estabelecidos na vida cotidiana de matemáticos e programadores desde meados dos anos 80. O termo foi proposto por Benoit Mandelbrot em 1975 para se referir às estruturas irregulares, mas auto-semelhantes, que ele estudou. O nascimento da geometria fractal é geralmente associado à publicação em 1977 do livro de Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Seus trabalhos utilizaram os resultados científicos de outros cientistas que trabalharam no período 1875-1925 no mesmo campo (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Ajustes

Deixe-me fazer alguns ajustes nos algoritmos propostos no livro de H.-O. Paytgen e P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, puramente para erradicar erros de digitação e facilitar a compreensão dos processos, pois depois de estudá-los, muita coisa permaneceu um mistério para mim. Infelizmente, esses algoritmos "compreensíveis" e "simples" levam um estilo de vida agitado.

A construção de fractais é baseada em uma certa função não linear de um processo complexo com feedback z \u003d z 2 + c, pois z e c são números complexos, então z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, é necessário para decompô-lo em x e y para ir mais real para o plano do homem comum:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

O plano que consiste em todos os pares (x, y) pode ser considerado como com valores fixos p e q, bem como para os dinâmicos. No primeiro caso, ordenando por todos os pontos (x, y) do plano de acordo com a lei e colorindo-os dependendo do número de repetições da função necessárias para sair do processo iterativo ou não colorir (preto) quando o máximo permitido de repetições é aumentada, obtemos o mapeamento do conjunto de Julia. Se, pelo contrário, determinarmos o par inicial de valores (x, y) e traçarmos seu destino colorístico com valores que mudam dinamicamente dos parâmetros p e q, obtemos imagens chamadas de conjuntos de Mandelbrot.

Sobre a questão dos algoritmos de coloração fractal.

Normalmente o corpo do conjunto é representado como um campo preto, embora seja óbvio que a cor preta possa ser substituída por qualquer outra, mas esse também é um resultado desinteressante. Obter uma imagem de um conjunto pintada em todas as cores é uma tarefa que não pode ser resolvida com operações cíclicas, pois o número de iterações que formam o corpo do conjunto é igual ao máximo possível e sempre o mesmo. Colorir o conjunto em Cores diferentes talvez usando o resultado da verificação da condição de saída do loop (z_magnitude) como o número da cor, ou similar a ele, mas com outras operações matemáticas.

Aplicação do "microscópio fractal"

para demonstrar fenômenos de fronteira.

Os atratores são os centros que lideram a luta pelo domínio no plano. Entre os atratores há uma borda representando um padrão de turbilhão. Ao aumentar a escala de consideração dentro dos limites do conjunto, pode-se obter padrões não triviais que refletem o estado de caos determinístico - um fenômeno comum no mundo natural.

Os objetos estudados pelos geógrafos formam um sistema com limites muito complexamente organizados, em relação ao qual sua implementação se torna uma tarefa prática difícil. Os complexos naturais possuem núcleos de tipicidade atuando como atratores que perdem seu poder de influência sobre o território à medida que se afasta.

Usando um microscópio fractal para os conjuntos de Mandelbrot e Julia, pode-se formar uma ideia de processos e fenômenos de fronteira que são igualmente complexos independentemente da escala de consideração e assim preparar a percepção de um especialista para um encontro com uma dinâmica e aparentemente caótica no espaço e tempo objeto natural, para entender a natureza da geometria fractal. A multicolorida das cores e a música fractal vão deixar traço profundo na mente dos alunos.

Milhares de publicações e enormes recursos da Internet são dedicados a fractais, no entanto, para muitos especialistas distantes da ciência da computação, esse termo parece completamente novo. Os fractais, como objetos de interesse de especialistas em diversas áreas do conhecimento, devem receber seu devido lugar no curso da ciência da computação.

Exemplos

GRADE SIERPINSKI

Este é um dos fractais que Mandelbrot experimentou ao desenvolver os conceitos de dimensões e iterações fractais. Triângulos formados pela união dos pontos médios do triângulo maior são cortados do triângulo principal para formar um triângulo, com mais furos. Nesse caso, o iniciador é um triângulo grande e o gabarito é uma operação para cortar triângulos semelhantes ao maior. Você também pode obter uma versão 3D de um triângulo usando um tetraedro comum e cortando tetraedros menores. A dimensão de tal fractal é ln3/ln2 = 1,584962501. Obter tapete Sierpinski, pegue um quadrado, divida-o em nove quadrados e recorte o do meio. Faremos o mesmo com o resto, quadrados menores. Ao final, forma-se uma grade fractal plana, que não possui área, mas com conexões infinitas. Em sua forma espacial, a esponja de Sierpinski se transforma em um sistema de formas passantes, em que cada elemento passante é constantemente substituído por seu próprio tipo. Esta estrutura é muito semelhante a uma seção de tecido ósseo. Algum dia, essas estruturas repetidas se tornarão um elemento das estruturas de construção. Suas estáticas e dinâmicas, acredita Mandelbrot, merecem um estudo minucioso.

CURVA DE KOCH

A curva de Koch é um dos fractais determinísticos mais típicos. Foi inventado no século XIX por um matemático alemão chamado Helge von Koch, que, enquanto estudava o trabalho de Georg Kontor e Karl Weierstraße, encontrou descrições de algumas curvas estranhas com comportamento incomum. Iniciador - linha direta. O gerador é um triângulo equilátero, cujos lados são iguais a um terço do comprimento do segmento maior. Esses triângulos são adicionados ao meio de cada segmento repetidamente. Em sua pesquisa, Mandelbrot experimentou muito com curvas de Koch e obteve figuras como Ilhas de Koch, Cruzes de Koch, Flocos de Neve de Koch e até representações tridimensionais da curva de Koch usando um tetraedro e adicionando tetraedros menores a cada uma de suas faces. A curva de Koch tem dimensão ln4/ln3 = 1,261859507.

Fractal Mandelbrot

Este NÃO é o conjunto de Mandelbrot que você vê com bastante frequência. O conjunto de Mandelbrot é baseado em equações não lineares e é um fractal complexo. Esta também é uma variante da curva de Koch, apesar de este objeto não se parecer com ela. O iniciador e o gerador também são diferentes daqueles usados ​​para criar fractais baseados no princípio da curva de Koch, mas a ideia continua a mesma. Em vez de anexar triângulos equiláteros a um segmento de curva, os quadrados são anexados a um quadrado. Devido ao fato de que este fractal ocupa exatamente metade do espaço alocado em cada iteração, ele tem uma dimensão fractal simples de 3/2 = 1,5.

PENTÁGONO DE DARER

Um fractal parece um monte de pentágonos espremidos juntos. De fato, é formado usando um pentágono como iniciador e triângulos isósceles, cuja razão do maior lado para o menor é exatamente igual à chamada razão áurea (1,618033989 ou 1/(2cos72)) como gerador . Esses triângulos são cortados do meio de cada pentágono, resultando em uma forma que se parece com 5 pequenos pentágonos colados a um grande. Uma variante deste fractal pode ser obtida usando um hexágono como iniciador. Este fractal é chamado de Estrela de David e é bastante semelhante à versão hexagonal do Floco de Neve de Koch. A dimensão fractal do pentágono Darer é ln6/ln(1+g), onde g é a razão entre o comprimento do lado maior do triângulo e o comprimento do lado menor. Neste caso, g é a Proporção Áurea, então a dimensão fractal é aproximadamente 1,86171596. A dimensão fractal da Estrela de David é ln6/ln3 ou 1,630929754.

Fractals complexos

De fato, se você ampliar uma pequena área de qualquer fractal complexo e depois fizer o mesmo em uma pequena área dessa área, as duas ampliações serão significativamente diferentes uma da outra. As duas imagens serão muito semelhantes em detalhes, mas não serão completamente idênticas.

Fig 1. Aproximação do conjunto de Mandelbrot

Compare, por exemplo, as fotos do conjunto Mandelbrot mostradas aqui, uma das quais foi obtida aumentando alguma área da outra. Como você pode ver, eles não são absolutamente idênticos, embora em ambos vejamos um círculo preto, do qual tentáculos flamejantes vão em direções diferentes. Esses elementos se repetem indefinidamente no conjunto de Mandelbrot em proporção decrescente.

Os fractais determinísticos são lineares, enquanto os fractais complexos não são. Sendo não lineares, esses fractais são gerados pelo que Mandelbrot chamou de não lineares. equações algébricas. Um bom exemplo é o processo Zn+1=ZnІ + C, que é a equação usada para construir os conjuntos Mandelbrot e Julia do segundo grau. Solução destes equações matemáticas envolve números complexos e imaginários. Quando a equação é interpretada graficamente no plano complexo, o resultado é uma figura estranha em que linhas retas se transformam em curvas, efeitos de auto-similaridade aparecem em vários níveis de escala, embora não sem deformações. Ao mesmo tempo, todo o quadro como um todo é imprevisível e muito caótico.

Como você pode ver olhando as fotos, fractais complexos são realmente muito complexos e impossíveis de criar sem a ajuda de um computador. Para obter resultados coloridos, este computador deve ter um coprocessador matemático poderoso e um monitor com alta resolução. Ao contrário dos fractais determinísticos, os fractais complexos não são calculados em 5-10 iterações. Quase todos os pontos na tela do computador são como um fractal separado. No decorrer processamento matemático, cada ponto é tratado como uma figura separada. Cada ponto corresponde a um determinado valor. A equação é construída para cada ponto e é executada, por exemplo, 1000 iterações. Para obter uma imagem relativamente não distorcida em um intervalo de tempo aceitável para computadores domésticos, é possível realizar 250 iterações para um ponto.

A maioria dos fractais que vemos hoje são lindamente coloridas. Talvez as imagens fractais tenham ganhado um valor estético tão grande precisamente por causa de seus esquemas de cores. Depois que a equação é calculada, o computador analisa os resultados. Se os resultados permanecerem estáveis ​​ou flutuarem em torno de determinado valor, o ponto é geralmente preto. Se o valor em um passo ou outro tende ao infinito, o ponto é pintado em uma cor diferente, talvez azul ou vermelho. Durante este processo, o computador atribui cores a todas as velocidades de movimento.

Normalmente, os pontos de movimento rápido são pintados de vermelho, enquanto os mais lentos são amarelos e assim por diante. Os pontos escuros são provavelmente os mais estáveis.

Os fractais complexos diferem dos fractais determinísticos por serem infinitamente complexos, mas podem ser gerados por uma fórmula muito simples. Os fractais determinísticos não precisam de fórmulas ou equações. Basta pegar um papel de desenho e você pode construir uma peneira Sierpinski até 3 ou 4 iterações sem nenhuma dificuldade. Tente fazer isso com muita Julia! É mais fácil ir medir a extensão do litoral da Inglaterra!

CONJUNTO DE MANDERBROT

Fig 2. Conjunto de Mandelbrot

Os conjuntos de Mandelbrot e Julia são provavelmente os dois mais comuns entre os fractais complexos. Eles podem ser encontrados em muitos revistas científicas, capas de livros, cartões postais e protetores de tela de computador. O conjunto de Mandelbrot, que foi construído por Benoit Mandelbrot, é provavelmente a primeira associação que as pessoas têm quando ouvem a palavra fractal. Este fractal, semelhante a um cartão com áreas brilhantes de árvores e círculos ligados a ele, é gerado pela fórmula simples Zn+1=Zna+C, onde Z e C são números complexos e a é um número positivo.

O conjunto de Mandelbrot mais comumente visto é o conjunto de Mandelbrot de 2º grau, ou seja, a = 2. O fato de que o conjunto de Mandelbrot não é apenas Zn+1=ZnІ+C, mas um fractal cujo expoente na fórmula pode ser qualquer número positivo enganou muitos. Nesta página você vê um exemplo do conjunto de Mandelbrot para vários valores do expoente a.
Figura 3. Aparência de bolhas em a=3,5

O processo Z=Z*tg(Z+C) também é popular. Graças à inclusão da função tangente, obtém-se o conjunto de Mandelbrot, circundado por uma área semelhante a uma maçã. Ao usar a função cosseno, são obtidos efeitos de bolhas de ar. Em suma, há um número infinito de maneiras de ajustar o conjunto de Mandelbrot para produzir várias fotos bonitas.

JULIA MÚLTIPLA

Surpreendentemente, os conjuntos de Julia são formados de acordo com a mesma fórmula do conjunto de Mandelbrot. O conjunto Julia foi inventado pelo matemático francês Gaston Julia, que deu o nome ao conjunto. A primeira pergunta que surge após uma familiarização visual com os conjuntos de Mandelbrot e Julia é "se ambos os fractais são gerados pela mesma fórmula, por que são tão diferentes?" Primeiro veja as fotos do set de Julia. Estranho o suficiente, mas existem tipos diferentes Julia define. Ao desenhar um fractal usando diferentes pontos de partida (para iniciar o processo de iteração), diferentes imagens são geradas. Isso se aplica apenas ao conjunto de Julia.

Fig 4. Conjunto de Julia

Embora não possa ser visto na imagem, um fractal de Mandelbrot é na verdade um monte de fractais de Julia conectados entre si. Cada ponto (ou coordenada) do conjunto de Mandelbrot corresponde a um fractal de Julia. Os conjuntos de Julia podem ser gerados usando esses pontos como valores iniciais na equação Z=ZI+C. Mas isso não significa que, se você selecionar um ponto no fractal de Mandelbrot e aumentá-lo, poderá obter um fractal de Julia. Esses dois pontos são idênticos, mas apenas em um sentido matemático. Se pegarmos este ponto e calcularmos de acordo com esta fórmula, podemos obter o fractal de Julia correspondente a um certo ponto do fractal de Mandelbrot.

As propriedades fractais não são um capricho e nem fruto da fantasia ociosa dos matemáticos. Ao estudá-los, aprendemos a distinguir e prever caracteristicas importantes objetos e fenômenos que nos cercam, que antes, se não completamente ignorados, eram estimados apenas aproximadamente, qualitativamente, a olho nu. Por exemplo, comparando as dimensões fractais de sinais complexos, encefalogramas ou sopros cardíacos, os médicos podem diagnosticar algumas doenças graves em um estágio inicial, quando o paciente ainda pode ser ajudado. Além disso, o analista, comparando o comportamento anterior dos preços, no início da formação do modelo, pode prever seu desenvolvimento posterior, evitando assim erros grosseiros na previsão.

Irregularidade dos fractais

A primeira propriedade dos fractais é a sua irregularidade. Se um fractal é descrito por uma função, então a propriedade de irregularidade em termos matemáticos significará que tal função não é diferenciável, ou seja, não é suave em nenhum ponto. Na verdade, isso tem a relação mais direta com o mercado. As flutuações de preços às vezes são tão voláteis e mutáveis ​​que confundem muitos traders. Nossa tarefa é resolver todo esse caos e colocá-lo em ordem.

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Auto-similaridade de fractais

A segunda propriedade diz que um fractal é um objeto que tem a propriedade de auto-semelhança. Este é um modelo recursivo, cada parte do qual repete em seu desenvolvimento o desenvolvimento de todo o modelo como um todo e é reproduzido em várias escalas sem alterações visíveis. No entanto, mudanças ainda ocorrem, o que pode afetar muito nossa percepção do objeto.

Auto-semelhança significa que o objeto não possui uma escala característica: se tivesse essa escala, você distinguiria imediatamente a cópia ampliada do fragmento da imagem original. Objetos auto-semelhantes têm um número infinito de escalas para todos os gostos. A essência da auto-semelhança pode ser explicada pelo seguinte exemplo. Imagine que você tem uma imagem de uma linha geométrica “real”, “comprimento sem largura”, como Euclides definiu a linha, e você está brincando com um amigo, tentando adivinhar se ele está lhe mostrando a imagem original (original) ou uma imagem de qualquer fragmento de uma linha reta. Não importa o quanto você tente, você nunca será capaz de distinguir o original da cópia ampliada do fragmento, a linha reta é disposta da mesma maneira em todas as suas partes, é semelhante a si mesma, mas essa propriedade notável dela é um pouco escondido pela estrutura descomplicada da própria linha reta, sua “retidão” (Fig. 7).

Se você também não conseguir distinguir um instantâneo de algum objeto de um instantâneo adequadamente ampliado de qualquer um de seus fragmentos, então você tem um objeto auto-semelhante. Todos os fractais que têm pelo menos alguma simetria são auto-similares. E isso significa que alguns fragmentos de sua estrutura são estritamente repetidos em certos intervalos espaciais. Obviamente, esses objetos podem ser de qualquer natureza, e sua aparência e forma permanecem inalteradas, independentemente da escala. Um exemplo de um fractal auto-semelhante:

Em finanças, esse conceito não é uma abstração infundada, mas uma reafirmação teórica de um ditado prático de mercado – ou seja, que os movimentos de uma ação ou moeda são superficialmente semelhantes, independentemente do prazo e do preço. O observador não pode dizer aparência gráfico, quer os dados se refiram a alterações semanais, diárias ou horárias.

É claro que nem todos os fractais têm uma estrutura tão regular e repetitiva como aquelas maravilhosas exposições do futuro museu de arte fractal, que nasceram da imaginação de matemáticos e artistas. Muitos fractais encontrados na natureza (superfícies de falhas de rochas e metais, nuvens, cotações de moedas, fluxos turbulentos, espuma, géis, contornos de partículas de fuligem, etc.) carecem de semelhança geométrica, mas reproduzem obstinadamente em cada fragmento as propriedades estatísticas do todo. Fractais com uma forma não linear de desenvolvimento foram nomeados por Mandelbrot como multifractais. Um multifractal é um objeto quase fractal com uma dimensão fractal variável. Naturalmente, objetos e processos reais são muito melhor descritos por multifractais.

Essa auto-semelhança estatística, ou auto-semelhança em média, distingue fractais entre o conjunto objetos naturais.

Considere um exemplo de auto-semelhança em mercado de câmbio:

Nestas figuras, vemos que são semelhantes, embora tenham uma escala de tempo diferente, na Fig. e a escala de 15 minutos, na Fig. b tabela de preços semanal. Como você pode ver, essas citações não têm a capacidade de se repetir perfeitamente, no entanto, podemos considerá-las semelhantes.

Mesmo os fractais mais simples - fractais geometricamente auto-similares - têm propriedades incomuns. Por exemplo, o floco de neve de von Koch tem um perímetro de comprimento infinito, embora limite uma área finita (Fig. 9). Além disso, é tão espinhoso que é impossível desenhar uma tangente a ele em qualquer ponto do contorno (um matemático diria que um floco de neve de von Koch não é diferenciável em nenhum lugar, ou seja, não é liso em nenhum ponto).

Mandelbrot descobriu que os resultados da medição fracionária permanecem constantes para vários graus de aprimoramento da irregularidade do objeto. Em outras palavras, há regularidade (correção, ordem) para qualquer irregularidade. Quando tratamos algo como aleatório, isso indica que não entendemos a natureza dessa aleatoriedade. Em termos de mercado, isso significa que a formação das mesmas formações típicas deve ocorrer em prazos diferentes. Um gráfico de um minuto descreverá uma formação fractal da mesma forma que um gráfico mensal. Essa "auto-semelhança" encontrada nos gráficos dos mercados de commodities e financeiros mostra todos os sinais de que as ações do mercado estão mais próximas do paradigma comportamental da "natureza" do que do comportamento da análise fundamentalista econômica.

Nestas figuras, você pode encontrar a confirmação do acima. À esquerda está um gráfico com uma escala de minutos, à direita está um semanal. Os pares de moedas USD/Yen (Fig. 9 (a)) e Euro/Dólar (Fig. 9 (b)) são mostrados aqui com diferentes escalas de preços. Embora o par de moedas JPY/USD tenha uma volatilidade diferente em relação ao EUR/USD, podemos observar a mesma estrutura de movimento de preços.

dimensão fractal

A terceira propriedade dos fractais é que os objetos fractais têm uma dimensão diferente da euclidiana (em outras palavras, uma dimensão topológica). A dimensão fractal é uma medida da complexidade da curva. Ao analisar a alternância de seções com diferentes dimensões fractais e como o sistema é afetado por fatores externos e internos, pode-se aprender a prever o comportamento do sistema. E o mais importante, para diagnosticar e prever condições instáveis.

No arsenal da matemática moderna, Mandelbrot encontrou uma medida quantitativa conveniente da imperfeição dos objetos - a sinuosidade do contorno, o enrugamento da superfície, a fratura e a porosidade do volume. Foi proposto por dois matemáticos - Felix Hausdorff (1868-1942) e Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Agora ela merece vestir nomes gloriosos de seus criadores (a dimensão Hausdorff-Besikovich) – a dimensão Hausdorff-Besikovich. O que é dimensão e por que precisamos dela em relação à análise dos mercados financeiros? Antes disso, conhecíamos apenas um tipo de dimensão - topológica (Fig. 11). A própria palavra dimensão indica quantas dimensões um objeto tem. Para um segmento, uma linha reta, é igual a 1, ou seja, temos apenas uma dimensão, ou seja, o comprimento de um segmento ou de uma linha reta. Para um plano, a dimensão será 2, pois temos uma dimensão bidimensional, comprimento e largura. Para objetos espaciais ou sólidos, a dimensão é 3: comprimento, largura e altura.

Tomemos o exemplo dos jogos de computador. Se o jogo é feito em gráficos 3D, então é espacial e volumoso, se em gráficos 2D, os gráficos são exibidos em um plano (Fig. 10).

O mais incomum (seria mais correto dizer - incomum) na dimensão Hausdorff-Besikovich era que ela poderia levar não apenas números inteiros, como dimensão topológica, mas também valores fracionários. Igual a um para uma linha reta (infinita, semi-infinita ou para um segmento finito), a dimensão Hausdorff-Besicovitch aumenta à medida que a tortuosidade aumenta, enquanto a dimensão topológica ignora obstinadamente todas as mudanças que ocorrem com a linha.

A dimensão caracteriza a complicação de um conjunto (por exemplo, uma linha reta). Se for uma curva com uma dimensão topológica igual a 1 (uma linha reta), então a curva pode ser complicada por um número infinito de curvas e ramificações a tal ponto que sua dimensão fractal se aproxima de dois, ou seja, preencherá quase todo o plano (Fig. 12)

Ao aumentar seu valor, a dimensão Hausdorff-Besikovich não a altera abruptamente, como faria a dimensão topológica "em seu lugar", a transição de 1 imediatamente para 2. A dimensão Hausdorff-Besikovich - e isso à primeira vista pode parecer incomum e surpreendente, assume valores fracionários: igual a um para uma linha reta, torna-se 1,15 para uma linha ligeiramente sinuosa, 1,2 para uma linha mais sinuosa, 1,5 para uma linha muito sinuosa, e assim por diante.

Foi para enfatizar a capacidade da dimensão Hausdorff-Besikovich de assumir valores fracionários, não inteiros, que Mandelbrot surgiu com seu próprio neologismo, chamando-o de dimensão fractal. Assim, uma dimensão fractal (não apenas Hausdorff-Besikovich, mas qualquer outra) é uma dimensão que pode assumir não necessariamente valores inteiros, mas também fracionários.

Para fractais geométricos lineares, a dimensão caracteriza sua auto-semelhança. Considere a Fig. 17(A), a linha consiste em N=4 segmentos, cada um com um comprimento de r = 1/3. Como resultado, obtemos a proporção:

D = logN/log(1/r)

A situação é bem diferente quando falamos de multifractais (não lineares). Aqui a dimensão perde seu significado como definição da semelhança de um objeto e é definida por meio de várias generalizações, muito menos naturais do que a dimensão única de objetos auto-similares.

No mercado de câmbio, a dimensão pode caracterizar a volatilidade das cotações de preços. Cada par de moedas tem seu próprio comportamento em termos de preços. Para o par Libra/Dólar (Fig. 13(a)) é mais calmo do que para o Euro/Dólar (Fig. 13(b)). O mais interessante é que essas moedas se movem com a mesma estrutura para os níveis de preços, porém, possuem dimensões diferentes, o que pode afetar a negociação intradiária e mudanças em modelos que iludem o olhar inexperiente.

Na fig. A Figura 14 mostra a dimensão em relação ao modelo matemático, para que você possa penetrar mais profundamente no significado deste termo. Observe que todas as três figuras mostram o mesmo ciclo. Na fig. e a dimensão é 1,2, na Fig. b, a dimensão é 1,5, e na Fig. em 1.9. Pode-se ver que com o aumento da dimensão, a percepção do objeto se torna mais complicada, a amplitude das oscilações aumenta.

Nos mercados financeiros, a dimensão se reflete não apenas como volatilidade de preços, mas também como detalhe de ciclos (ondas). Graças a ele, poderemos distinguir se uma onda pertence a uma determinada escala de tempo. Na fig. 15 mostra o par Euro/Dólar em uma escala diária de preços. Preste atenção, você pode ver claramente o ciclo formado e o início de um novo ciclo maior. Mudando para a escala horária e ampliando um dos ciclos, podemos ver ciclos menores, e parte de um grande localizado em D1 (Fig. 16). Detalhamento de loop, ou seja, sua dimensão nos permite determinar a partir das condições iniciais como a situação pode se desenvolver no futuro. Podemos dizer que: a dimensão fractal reflete a propriedade de invariância de escala do conjunto em consideração.

O conceito de invariância foi introduzido por Mandelbrot a partir da palavra "selante" - escalável, ou seja, quando um objeto tem a propriedade de invariância, ele tem diferentes escalas de exibição.

Na fig. 16 círculo A destaca um mini-ciclo (onda detalhada), círculo B - uma onda de um ciclo maior. É justamente pela dimensão que nem sempre podemos determinar TODOS os ciclos na mesma escala de preços.

Falaremos sobre os problemas de determinar e desenvolver propriedades de ciclos não periódicos na seção “Ciclos no mercado de câmbio”, agora o principal para nós foi entender como e onde a dimensão se manifesta nos mercados financeiros.

Assim, podemos dizer que fractais como modelos são usados ​​quando o objeto real não pode ser representado na forma de modelos clássicos. E isso significa que estamos lidando com relações não lineares e a natureza não determinística (aleatória) dos dados. Não linearidade no sentido ideológico significa a multivariação de caminhos de desenvolvimento, a disponibilidade de uma escolha de caminhos alternativos e um certo ritmo de evolução, bem como a irreversibilidade processos evolutivos. Não linearidade no sentido matemático significa certo tipo equações matemáticas (não lineares equações diferenciais) contendo os valores desejados em potências maiores que um ou coeficientes dependendo das propriedades do meio. Um exemplo simples de um sistema dinâmico não linear:

Johnny cresce 2 polegadas por ano. Este sistema explica como a altura de Johnny muda ao longo do tempo. Seja x(n) a altura de Johnny este ano. Deixe seu crescimento no próximo ano ser escrito como x (n + 1). Então podemos escrever o sistema dinâmico na forma de uma equação:

x(n+1) = x(n) + 2.

Ver? Isso não é matemática simples? Se inserirmos a altura atual de Johnny x (n) = 38 polegadas, então com lado direito Na equação, obtemos a altura de Johnny no próximo ano, x (n + 1) = 40 polegadas:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Mover-se da direita para a esquerda em uma equação é chamado de iteração (repetição). Podemos repetir a equação novamente inserindo a nova altura de Johnny de 40 polegadas no lado correto da equação (ou seja, x(n) = 40) e obtemos x(n+1) = 42. Se iterarmos (repetir) a equação 3 vezes, obtemos a altura de Johnny em 3 anos, ou seja, 44 polegadas, começando com uma altura de 38 polegadas.

Este é um sistema dinâmico determinístico. Se quisermos torná-lo não determinístico (estocástico), poderíamos fazer um modelo como este: Johnny cresce 2 polegadas por ano, mais ou menos, e escrever a equação como:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

onde e é um pequeno erro (pequeno em relação a 2), representa alguma distribuição de probabilidade.

Vamos voltar à equação determinística original. A equação original, x(n+1) = x(n) + 2, é linear. Linear significa que você está adicionando variáveis ​​ou constantes, ou multiplicando variáveis ​​por constantes. Por exemplo, a equação

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

é linear. Mas se você multiplicar as variáveis, ou elevá-las a uma potência maior que um, a equação (sistema) se tornará não linear. Por exemplo, a equação

x(n+1) = x(n) 2

é não linear porque x(n) é quadrado. A equação

é não linear porque duas variáveis, xey, são multiplicadas.

Quando aplicamos modelos clássicos (por exemplo, tendência, regressão, etc.), dizemos que o futuro de um objeto é determinado de forma única, ou seja, depende inteiramente das condições iniciais e é passível de uma previsão clara. Você pode executar independentemente um desses modelos no Excel. Exemplo modelo clássico pode ser representado como uma tendência constantemente decrescente ou crescente. E podemos prever seu comportamento, conhecendo o passado do objeto (os dados iniciais para modelagem). E os fractais são usados ​​no caso em que o objeto tem várias opções de desenvolvimento e o estado do sistema é determinado pela posição em que está localizado atualmente. Ou seja, estamos tentando simular um desenvolvimento caótico. Este sistema é o mercado de câmbio interbancário.

Consideremos agora como se pode obter de uma linha reta o que chamamos de fractal, com suas propriedades inerentes.

Na fig. 17(A) mostra a curva de Koch. Pegue um segmento de linha, seu comprimento = 1, ou seja ainda uma dimensão topológica. Agora vamos dividi-lo em três partes (cada 1/3 do comprimento), e remover o terço do meio. Mas vamos substituir o terço médio por dois segmentos (cada 1/3 do comprimento), que podem ser representados como dois lados de um triângulo equilátero. Este é o estágio dois (b) do projeto representado na fig. 17(A). Neste ponto temos 4 partes menores, cada uma com 1/3 do comprimento, então o comprimento total é 4(1/3) = 4/3. Em seguida, repetimos esse processo para cada um dos 4 lóbulos menores da linha. Este é o estágio três (c). Isso nos dará 16 segmentos de linha ainda menores, cada um com 1/9 do comprimento. Portanto, todo o comprimento agora é 16/9 ou (4/3) 2 . Como resultado, obtivemos uma dimensão fracionária. Mas não apenas isso distingue a estrutura resultante de uma linha reta. Tornou-se auto-similar e é impossível traçar uma tangente em qualquer um de seus pontos (Fig. 17 (B)).

Contente

As descobertas mais engenhosas da ciência podem mudar radicalmente vida humana. A vacina inventada pode salvar milhões de pessoas, a criação de armas, pelo contrário, tira essas vidas. Mais recentemente (em escala evolução humana) aprendemos a "domar" a eletricidade - e agora não podemos imaginar a vida sem todos esses dispositivos convenientes que usam eletricidade. Mas também há descobertas às quais poucas pessoas dão importância, embora também influenciem muito nossas vidas.

Uma dessas descobertas “imperceptíveis” são os fractais. Você provavelmente já ouviu essa palavra cativante, mas você sabe o que significa e quantas coisas interessantes estão escondidas nesse termo?

Cada pessoa tem uma curiosidade natural, um desejo de aprender sobre o mundo ao seu redor. E nesta aspiração, uma pessoa tenta aderir à lógica nos julgamentos. Analisando os processos que ocorrem ao seu redor, ele tenta encontrar a lógica do que está acontecendo e deduzir alguma regularidade. As maiores mentes do planeta estão ocupadas com essa tarefa. Grosso modo, os cientistas estão procurando um padrão onde não deveria estar. No entanto, mesmo no caos, pode-se encontrar uma conexão entre os eventos. E essa conexão é um fractal.

Nossa filhinha, de quatro anos e meio, está agora naquela idade maravilhosa em que o número de perguntas "Por quê?" muitas vezes maior do que o número de respostas que os adultos têm tempo para dar. Não muito tempo atrás, olhando para um galho levantado do chão, minha filha de repente percebeu que esse galho, com nós e galhos, parecia uma árvore. E, claro, veio a pergunta usual “Por quê?”, para a qual os pais tinham que procurar uma explicação simples que a criança pudesse entender.

A semelhança de um único galho com uma árvore inteira descoberta por uma criança é uma observação muito precisa, que mais uma vez atesta o princípio da auto-semelhança recursiva na natureza. Muitas formas orgânicas e inorgânicas na natureza são formadas de forma semelhante. Nuvens, conchas do mar, a "casa" de um caracol, a casca e a copa das árvores, sistema circulatório e assim por diante - as formas aleatórias de todos esses objetos podem ser descritas pelo algoritmo fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot: o pai da geometria fractal

A própria palavra "fractal" surgiu graças ao brilhante cientista Benoît B. Mandelbrot.

Ele mesmo cunhou o termo na década de 1970, emprestando a palavra fractus do latim, onde significa literalmente "quebrado" ou "esmagado". O que é isso? Hoje, a palavra "fractal" é mais frequentemente usada para significar uma representação gráfica de uma estrutura que é semelhante a si mesma em uma escala maior.

A base matemática para o surgimento da teoria dos fractais foi lançada muitos anos antes do nascimento de Benoit Mandelbrot, mas só pôde se desenvolver com o advento dos dispositivos de computação. No início de sua carreira científica, Benoit trabalhou no centro de pesquisa da IBM. Naquela época, os funcionários do centro trabalhavam na transmissão de dados à distância. No decorrer da pesquisa, os cientistas se depararam com o problema de grandes perdas decorrentes da interferência de ruído. Antes de Benois havia um complexo e muito tarefa importante- compreender como prever a ocorrência de interferências de ruído em circuitos eletrónicos quando o método estatístico é ineficaz.

Analisando os resultados das medições de ruído, Mandelbrot chamou a atenção para um padrão estranho - os gráficos de ruído em diferentes escalas pareciam os mesmos. Um padrão idêntico foi observado independentemente de ser um gráfico de ruído por um dia, uma semana ou uma hora. Valeu a pena mudar a escala do gráfico, e a imagem foi repetida todas as vezes.

No A vida de Benoit Mandelbrot disse repetidamente que não lida com fórmulas, mas simplesmente brinca com imagens. Este homem pensou muito figurativamente, e qualquer problema algébrico traduzido para o campo da geometria, onde, segundo ele, a resposta correta é sempre óbvia.

Não é de surpreender que tenha sido um homem com uma imaginação espacial tão rica que se tornou o pai da geometria fractal. Afinal, a percepção da essência dos fractais vem precisamente quando você começa a estudar desenhos e a pensar no significado de estranhos padrões de redemoinhos.

Um padrão fractal não possui elementos idênticos, mas possui similaridade em qualquer escala. Construa esta imagem com um alto grau o detalhamento manual antes era simplesmente impossível, exigia uma enorme quantidade de cálculos. Por exemplo, matemático francês Pierre Joseph Louis Fatou descreveu este conjunto mais de setenta anos antes da descoberta de Benoit Mandelbrot. Se falamos sobre os princípios da auto-semelhança, eles foram mencionados nas obras de Leibniz e Georg Cantor.

Um dos primeiros desenhos de um fractal foi uma interpretação gráfica do conjunto de Mandelbrot, que nasceu da pesquisa de Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (sempre mascarado - lesão na Primeira Guerra Mundial)

Este matemático francês imaginou como seria um conjunto se fosse construído a partir de uma fórmula simples iterada por um ciclo de feedback. Se explicado “nos dedos”, isso significa que para um número específico encontramos um novo valor usando a fórmula, após o que o substituímos novamente na fórmula e obtemos outro valor. O resultado é uma grande sequência de números.

Para obter uma imagem completa desse conjunto, você precisa fazer uma enorme quantidade de cálculos - centenas, milhares, milhões. Era simplesmente impossível fazê-lo manualmente. Mas quando poderosos dispositivos de computação apareceram à disposição dos matemáticos, eles puderam dar uma nova olhada em fórmulas e expressões que há muito eram de interesse. Mandelbrot foi o primeiro a usar um computador para calcular o fractal clássico. Tendo processado uma sequência composta por um grande número de valores, Benoit transferiu os resultados para um gráfico. Aqui está o que ele conseguiu.

Posteriormente, essa imagem foi colorida (por exemplo, uma forma de colorir é pelo número de iterações) e se tornou uma das imagens mais populares já criadas pelo homem.

Como diz o antigo ditado atribuído a Heráclito de Éfeso: "Não se pode entrar duas vezes no mesmo rio". É o mais adequado para interpretar a geometria de fractais. Não importa o quão detalhado examinemos uma imagem fractal, sempre veremos um padrão semelhante.

Aqueles que desejam ver como uma imagem do espaço Mandelbrot ficaria quando ampliada muitas vezes pode fazê-lo enviando um GIF animado.

⇡ Lauren Carpenter: arte criada pela natureza

A teoria dos fractais logo encontrou aplicação prática. Por estar intimamente relacionado à visualização de imagens autossimilares, não é de surpreender que os primeiros a adotar algoritmos e princípios para a construção de formas inusitadas tenham sido artistas.

O futuro cofundador do lendário estúdio Pixar, Loren C. Carpenter, começou a trabalhar na Boeing Computer Services em 1967, que era uma das divisões da conhecida corporação envolvida no desenvolvimento de novas aeronaves.

Em 1977, criou apresentações com protótipos de modelos voadores. Lauren foi responsável pelo desenvolvimento de imagens da aeronave que estava sendo projetada. Ele deveria criar fotos de novos modelos, mostrando futuras aeronaves com lados diferentes. Em algum momento, o futuro fundador da Pixar Animation Studios teve a ideia criativa de usar uma imagem de montanhas como pano de fundo. Hoje, qualquer aluno pode resolver esse problema, mas no final dos anos setenta do século passado, os computadores não conseguiam lidar com cálculos tão complexos - não havia editores gráficos, sem mencionar aplicativos para gráficos tridimensionais. Em 1978, Lauren acidentalmente viu o livro de Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension em uma loja. O que chamou sua atenção neste livro foi que Benoist deu muitos exemplos de formas fractais em Vida real e provou que eles podem ser descritos por uma expressão matemática.

Esta analogia foi escolhida pelo matemático não por acaso. O fato é que, assim que publicou sua pesquisa, teve que enfrentar toda uma enxurrada de críticas. A principal coisa que seus colegas o censuraram foi a inutilidade da teoria desenvolvida. “Sim”, eles disseram, “estas são belas fotos, mas nada mais. valor prático a teoria dos fractais não tem. Havia também aqueles que geralmente acreditavam que os padrões fractais eram simplesmente um subproduto do trabalho das "máquinas do diabo", que no final dos anos setenta pareciam para muitos algo muito complicado e inexplorado para ser totalmente confiável. Mandelbrot tentou encontrar uma aplicação óbvia da teoria dos fractais, mas, em geral, ele não precisava fazer isso. Os seguidores de Benoit Mandelbrot nos 25 anos seguintes provaram grande benefício de tal "curiosidade matemática", e Lauren Carpenter foi uma das primeiras a colocar em prática o método fractal.

Tendo estudado o livro, o futuro animador estudou seriamente os princípios da geometria fractal e começou a procurar uma maneira de implementá-la em computação gráfica. Em apenas três dias de trabalho, Lauren conseguiu renderizar uma imagem realista. sistema de montanha no seu computador. Em outras palavras, com a ajuda de fórmulas, ele pintou uma paisagem montanhosa completamente reconhecível.

O princípio que Lauren usou para atingir seu objetivo era muito simples. Consistia em dividir uma figura geométrica maior em pequenos elementos, e estes, por sua vez, eram divididos em figuras semelhantes de tamanho menor.

Usando triângulos maiores, Carpenter os dividiu em quatro menores e depois repetiu esse procedimento várias vezes até obter uma paisagem montanhosa realista. Assim, ele conseguiu se tornar o primeiro artista a usar um algoritmo fractal em computação gráfica para construir imagens. Assim que se soube do trabalho realizado, entusiastas de todo o mundo pegaram essa ideia e começaram a usar o algoritmo fractal para simular formas naturais realistas.

Uma das primeiras renderizações 3D usando o algoritmo fractal

Apenas alguns anos depois, Lauren Carpenter conseguiu aplicar suas conquistas em um projeto muito maior. O animador baseou-os em uma demo de dois minutos, Vol Libre, que foi exibida no Siggraph em 1980. Este vídeo chocou a todos que o viram, e Lauren recebeu um convite da Lucasfilm.

A animação foi renderizada em um computador VAX-11/780 da Digital Equipment Corporation a uma velocidade de clock de cinco megahertz, e cada quadro levou cerca de meia hora para ser desenhado.

Trabalhando para a Lucasfilm Limited, o animador criou as mesmas paisagens 3D para o segundo longa da saga Star Trek. Em The Wrath of Khan, Carpenter foi capaz de criar um planeta inteiro usando o mesmo princípio de modelagem de superfície fractal.

Atualmente, todos os aplicativos populares para criar paisagens 3D usam o mesmo princípio de geração de objetos naturais. Terragen, Bryce, Vue e outros editores 3D contam com um algoritmo de modelagem de textura e superfície fractal.

⇡ Antenas fractais: menos é melhor, mas melhor

Ao longo do último meio século, a vida mudou rapidamente. A maioria de nós considera os avanços da tecnologia moderna como garantidos. Tudo o que torna a vida mais confortável, você se acostuma muito rapidamente. Raramente alguém faz as perguntas “De onde veio isso?” e "Como funciona?". Um forno de microondas aquece o café da manhã - bem, ótimo, um smartphone permite que você converse com outra pessoa - ótimo. Esta parece ser uma possibilidade óbvia para nós.

Mas a vida poderia ser completamente diferente se uma pessoa não procurasse uma explicação para os eventos que estão ocorrendo. Tomemos, por exemplo, telefones celulares. Lembra das antenas retráteis dos primeiros modelos? Eles interferiram, aumentaram o tamanho do dispositivo, no final, muitas vezes quebraram. Acreditamos que eles caíram no esquecimento para sempre, e em parte por causa disso... fractais.

Desenhos fractais fascinam com seus padrões. Eles definitivamente se assemelham a imagens de objetos espaciais - nebulosas, aglomerados de galáxias e assim por diante. Portanto, é bastante natural que, quando Mandelbrot expressou sua teoria dos fractais, sua pesquisa tenha despertado maior interesse entre aqueles que estudavam astronomia. Um desses amadores chamado Nathan Cohen, após assistir a uma palestra de Benoit Mandelbrot em Budapeste, inspirou-se na ideia de aplicação prática do conhecimento adquirido. É verdade que ele fez isso intuitivamente, e o acaso desempenhou um papel importante em sua descoberta. Como radioamador, Nathan procurou criar uma antena com a maior sensibilidade possível.

A única maneira de melhorar os parâmetros da antena, que era conhecida na época, era aumentar suas dimensões geométricas. No entanto, o proprietário do apartamento de Nathan no centro de Boston se opôs categoricamente à instalação de grandes dispositivos no telhado. Então Nathan começou a experimentar várias formas de antenas, tentando obter o máximo resultado com o tamanho mínimo. Entusiasmado com a ideia de formas fractais, Cohen, como se costuma dizer, fez aleatoriamente um dos fractais mais famosos de arame - o "floco de neve de Koch". O matemático sueco Helge von Koch criou essa curva em 1904. Obtém-se dividindo o segmento em três partes e substituindo o segmento do meio por um triângulo equilátero sem lado coincidente com este segmento. A definição é um pouco difícil de entender, mas a figura é clara e simples.

Existem também outras variedades da "curva de Koch", mas a forma aproximada da curva permanece semelhante

Quando Nathan conectou a antena ao receptor de rádio, ele ficou muito surpreso - a sensibilidade aumentou dramaticamente. Após uma série de experimentos, o futuro professor da Universidade de Boston percebeu que uma antena feita de acordo com um padrão fractal tem alta eficiência e cobre uma faixa de frequência muito mais ampla em comparação com as soluções clássicas. Além disso, a forma da antena na forma de uma curva fractal pode reduzir significativamente as dimensões geométricas. Nathan Cohen até desenvolveu um teorema provando que para criar uma antena de banda larga, basta dar-lhe a forma de uma curva fractal auto-semelhante.

O autor patenteou sua descoberta e fundou uma empresa para o desenvolvimento e projeto de antenas fractais Fractal Antenna Systems, acreditando com razão que no futuro, graças à sua descoberta, os telefones celulares poderão se livrar de antenas volumosas e se tornar mais compactos.

Basicamente, foi isso que aconteceu. É verdade que até hoje Nathan está em processo com grandes corporações que usam ilegalmente sua descoberta para produzir dispositivos compactos de comunicação. Alguns fabricantes conhecidos dispositivos móveis, como a Motorola, já chegaram a um acordo de paz com o inventor da antena fractal.

⇡ Dimensões fractais: a mente não entende

Benoit emprestou essa pergunta do famoso cientista americano Edward Kasner.

Este último, como muitos outros matemáticos famosos, gostava muito de se comunicar com as crianças, fazendo-lhes perguntas e obtendo respostas inesperadas. Às vezes, isso levava a resultados surpreendentes. Assim, por exemplo, o sobrinho de nove anos de Edward Kasner surgiu com a agora conhecida palavra "googol", denotando uma unidade com cem zeros. Mas voltando aos fractais. O matemático americano gostava de perguntar qual é a extensão da costa dos Estados Unidos. Depois de ouvir a opinião do interlocutor, o próprio Edward falou a resposta correta. Se você medir o comprimento no mapa com segmentos quebrados, o resultado será impreciso, porque o litoral possui um grande número de irregularidades. E o que acontece se você medir com a maior precisão possível? Você terá que levar em conta o comprimento de cada desnível - você precisará medir cada capa, cada baía, rocha, o comprimento de uma borda rochosa, uma pedra nela, um grão de areia, um átomo e assim por diante. Como o número de irregularidades tende ao infinito, o comprimento medido da linha de costa aumentará ao infinito a cada nova irregularidade.

Quanto menor a medida ao medir, maior o comprimento medido

Curiosamente, seguindo as instruções de Edward, as crianças eram muito mais rápidas do que os adultos em dizer a resposta correta, enquanto os últimos tinham dificuldade em aceitar uma resposta tão incrível.

Usando este problema como exemplo, Mandelbrot sugeriu o uso de uma nova abordagem para medições. Como a linha de costa está próxima de uma curva fractal, isso significa que um parâmetro de caracterização, a chamada dimensão fractal, pode ser aplicado a ela.

Qual é a dimensão usual é claro para qualquer um. Se a dimensão for igual a um, obtemos uma linha reta, se dois - figura plana, três é o volume. No entanto, esse entendimento de dimensão em matemática não funciona com curvas fractais, onde esse parâmetro tem valor fracionário. A dimensão fractal em matemática pode ser condicionalmente considerada como "rugosidade". Quanto maior a rugosidade da curva, maior a sua dimensão fractal. Uma curva que, segundo Mandelbrot, tem uma dimensão fractal superior à sua dimensão topológica, tem um comprimento aproximado que não depende do número de dimensões.

Atualmente, os cientistas estão encontrando cada vez mais áreas para a aplicação da teoria fractal. Com a ajuda dos fractais, você pode analisar as flutuações nos preços das ações, explorar todos os tipos de processos naturais, como flutuações no número de espécies, ou simular a dinâmica dos fluxos. Os algoritmos fractais podem ser usados ​​para compactação de dados, por exemplo, para compactação de imagens. E, a propósito, para obter um belo fractal na tela do computador, você não precisa ter um doutorado.

⇡ Fractal no navegador

Talvez uma das maneiras mais fáceis de obter um padrão fractal seja usar o editor de vetores online de um jovem e talentoso programador Toby Schachman. O kit de ferramentas deste editor gráfico simples é baseado no mesmo princípio de auto-semelhança.

Existem apenas duas formas simples à sua disposição - um quadrado e um círculo. Você pode adicioná-los à tela, dimensionar (para dimensionar ao longo de um dos eixos, mantenha pressionada a tecla Shift) e gire. Sobrepondo-se ao princípio das operações de adição booleanas, esses elementos mais simples formam formas novas e menos triviais. Além disso, esses novos formulários podem ser adicionados ao projeto, e o programa repetirá a geração dessas imagens indefinidamente. Em qualquer estágio do trabalho em um fractal, você pode retornar a qualquer componente de uma forma complexa e editar sua posição e geometria. Atividade fascinante, especialmente quando você considera que a única ferramenta que você precisa para ser criativo é um navegador. Se você não entende o princípio de trabalhar com este editor recursivo de vetores, aconselhamos assistir ao vídeo no site oficial do projeto, que mostra em detalhes todo o processo de criação de um fractal.

⇡ XaoS: fractais para todos os gostos

Muitos editores gráficos possuem ferramentas integradas para criar padrões fractais. No entanto, essas ferramentas geralmente são secundárias e não permitem ajustar o padrão fractal gerado. Nos casos em que é necessário construir um fractal matematicamente preciso, o editor de plataforma cruzada XaoS virá em socorro. Este programa permite não apenas construir uma imagem auto-semelhante, mas também realizar várias manipulações com ela. Por exemplo, em tempo real, você pode “andar” por um fractal alterando sua escala. O movimento animado ao longo de um fractal pode ser salvo como um arquivo XAF e reproduzido no próprio programa.

O XaoS pode carregar um conjunto aleatório de parâmetros, bem como usar vários filtros de pós-processamento de imagem - adicionar um efeito de movimento borrado, suavizar transições nítidas entre pontos fractais, simular uma imagem 3D e assim por diante.

⇡ Fractal Zoomer: gerador fractal compacto

Comparado a outros geradores de imagens fractais, tem várias vantagens. Em primeiro lugar, é bastante pequeno em tamanho e não requer instalação. Em segundo lugar, implementa a capacidade de definir a paleta de cores da imagem. Você pode escolher tons nos modelos de cores RGB, CMYK, HVS e HSL.

Também é muito conveniente usar a opção de seleção aleatória de tons de cores e a função de inverter todas as cores da imagem. Para ajustar a cor, existe uma função de seleção cíclica de tons - quando o modo correspondente é ativado, o programa anima a imagem, alterando ciclicamente as cores.

Fractal Zoomer pode visualizar 85 funções fractais diferentes, e as fórmulas são mostradas claramente no menu do programa. Existem filtros para pós-processamento de imagens no programa, embora em pequena quantidade. Cada filtro atribuído pode ser cancelado a qualquer momento.

⇡ Mandelbulb3D: editor de fractais 3D

Quando o termo "fractal" é usado, na maioria das vezes significa uma imagem bidimensional plana. No entanto, a geometria fractal vai além da dimensão 2D. Na natureza, pode-se encontrar tanto exemplos de formas fractais planas, digamos, a geometria do relâmpago, quanto figuras tridimensionais tridimensionais. Superfícies fractais podem ser 3D, e uma das ilustrações mais ilustrativas de fractais 3D em Vida cotidiana- cabeça de repolho. Talvez a melhor maneira de ver fractais seja no Romanesco, um híbrido de couve-flor e brócolis.

E este fractal pode ser comido

O programa Mandelbulb3D pode criar objetos tridimensionais com uma forma semelhante. Para obter uma superfície 3D usando o algoritmo fractal, os autores deste aplicativo, Daniel White e Paul Nylander, converteram o conjunto de Mandelbrot em coordenadas esféricas. O programa Mandelbulb3D que eles criaram é um editor tridimensional real que modela superfícies fractais de várias formas. Como muitas vezes observamos padrões fractais na natureza, um objeto tridimensional fractal criado artificialmente parece incrivelmente realista e até “vivo”.

Pode parecer uma planta, pode parecer um animal estranho, um planeta ou qualquer outra coisa. Esse efeito é aprimorado por um algoritmo de renderização avançado que possibilita obter reflexos realistas, calcular transparências e sombras, simular o efeito de profundidade de campo e assim por diante. Mandelbulb3D tem uma enorme quantidade de configurações e opções de renderização. Você pode controlar os tons das fontes de luz, escolher o fundo e o nível de detalhe do objeto modelado.

O editor de fractais Incendia suporta suavização de imagem dupla, contém uma biblioteca de cinquenta fractais tridimensionais diferentes e possui um módulo separado para editar formas básicas.

O aplicativo usa scripts fractais, com os quais você pode descrever independentemente novos tipos de estruturas fractais. O Incendia possui editores de textura e material e um mecanismo de renderização que permite usar efeitos de névoa volumétrica e vários shaders. O programa tem uma opção para salvar o buffer durante a renderização de longo prazo, a criação de animação é suportada.

Incendia permite exportar um modelo fractal para formatos gráficos 3D populares - OBJ e STL. Incendia inclui um pequeno utilitário Geometrica - uma ferramenta especial para configurar a exportação de uma superfície fractal para um modelo tridimensional. Usando este utilitário, você pode determinar a resolução de uma superfície 3D, especificar o número de iterações fractais. Modelos exportados podem ser usados ​​em projetos 3D ao trabalhar com tais Editores 3D, como Blender, 3ds max e outros.

NO recentemente o trabalho no projeto Incendia diminuiu um pouco. No momento, o autor procura patrocinadores que o ajudem a desenvolver o programa.

Se você não tem imaginação suficiente para desenhar um belo fractal tridimensional neste programa, não importa. Use a biblioteca de parâmetros, localizada na pasta INCENDIA_EX\parameters. Com a ajuda de arquivos PAR, você pode encontrar rapidamente as formas fractais mais incomuns, incluindo as animadas.

⇡ Aural: como os fractais cantam

Normalmente não falamos de projetos que estão apenas sendo trabalhados, mas neste caso temos que abrir uma exceção, esta é uma aplicação muito incomum. Um projeto chamado Aural surgiu com a mesma pessoa que Incendia. É verdade que desta vez o programa não visualiza o conjunto fractal, mas o expressa, transformando-o em música eletrônica. A ideia é muito interessante, especialmente considerando as propriedades incomuns dos fractais. Aural é um editor de áudio que gera melodias usando algoritmos fractais, ou seja, é um sintetizador-seqüenciador de áudio.

A sequência de sons emitida por este programa é inusitada e... linda. Pode ser útil para escrever ritmos modernos e, em nossa opinião, é especialmente adequado para criar trilhas sonoras para protetores de tela de TV e rádio, bem como "loops" música de fundo para jogos de computador. Ramiro ainda não disponibilizou uma demonstração de seu programa, mas promete que quando o fizer, para trabalhar com Aural, não precisará aprender a teoria dos fractais - basta brincar com os parâmetros do algoritmo para gerar uma sequência de notas . Ouça como os fractais soam, e.

Fractais: pausa musical

Na verdade, os fractais podem ajudar a escrever música mesmo sem software. Mas isso só pode ser feito por alguém que está verdadeiramente imbuído da ideia de harmonia natural e ao mesmo tempo não se transformou em um infeliz “nerd”. Faz sentido seguir a sugestão de um músico chamado Jonathan Coulton, que, entre outras coisas, escreve composições para a revista Popular Science. E ao contrário de outros artistas, Colton publica todas as suas obras sob uma licença Creative Commons Attribution-Noncommercial, que (quando usada para fins não comerciais) prevê a livre cópia, distribuição, transferência da obra para terceiros, bem como sua modificação (criação de obras derivadas) para adaptá-lo às suas necessidades.

Jonathan Colton, é claro, tem uma música sobre fractais.

⇡ Conclusão

Em tudo que nos cerca, muitas vezes vemos o caos, mas na verdade isso não é um acidente, mas forma perfeita, que fractais nos ajudam a ver. A natureza é o melhor arquiteto, o construtor e engenheiro ideal. Está organizado de forma muito lógica e, se em algum lugar não vemos padrões, isso significa que precisamos procurá-lo em uma escala diferente. As pessoas entendem isso cada vez melhor, tentando imitar de muitas maneiras formas naturais. Projeto de engenheiros Sistemas acústicos em forma de concha, crie antenas com a geometria de flocos de neve e assim por diante. Temos certeza de que os fractais ainda guardam muitos segredos, e muitos deles ainda não foram descobertos pelo homem.

Os editores da NNN acidentalmente se depararam com um material interessante, apresentado no blog do usuário xtsarx, dedicado aos elementos da teoria fractais e ela aplicação prática. Como se sabe, a teoria dos fractais desempenha um papel importante na física e na química dos nanossistemas. Tendo dado nossa contribuição para este material sólido, apresentado em uma linguagem acessível a um amplo leque de leitores e apoiado por uma quantidade abundante de material gráfico e até vídeo, apresentamos-o à sua atenção. Esperamos que os leitores da NNN achem este material interessante.

A natureza é tão misteriosa que quanto mais você a estuda, mais perguntas surgem... Relâmpagos noturnos - "riachos" azuis de descargas ramificadas, padrões gelados na janela, flocos de neve, montanhas, nuvens, casca de árvore - tudo isso vai além do habitual Geometria euclidiana. Não podemos descrever a pedra ou os limites da ilha com linhas, círculos e triângulos. E aqui vamos nós para o resgate fractais. O que são esses estranhos familiares?

“Sob um microscópio, ele descobriu que em uma pulga
A pulga que morde vive em uma pulga;
Naquela pulga há uma pequena pulga,
Furiosamente enfia um dente em uma pulga
Pulga, e assim ad infinitum. D. Swift.

Um pouco de história

Primeiras ideias geometria fractal originou-se no século XIX. Kantor, usando um procedimento recursivo simples (repetitivo), transformou a linha em um conjunto de pontos desconectados (o chamado Cantor Dust). Ele pegou a linha e removeu o terço central e depois repetiu o mesmo com os segmentos restantes.

Arroz. 1. Curva de Peano 1,2–5 iterações.

Peano desenhou um tipo especial de linha. Peano fez o seguinte: No primeiro passo, ele pegou uma linha reta e a substituiu por 9 segmentos 3 vezes mais curtos que o comprimento da linha original. Então ele fez o mesmo com cada segmento da linha resultante. E assim por diante ao infinito. Sua singularidade reside no fato de preencher todo o plano. Está provado que para cada ponto do plano pode-se encontrar um ponto pertencente à linha de Peano. A curva de Peano e a poeira de Cantor foram além dos objetos geométricos comuns. Eles não foram claramente dimensionados.. A poeira de Cantor foi construída aparentemente com base em uma linha reta unidimensional, mas consistia em pontos (dimensão 0). E a curva de Peano foi construída com base em uma linha unidimensional, e o resultado foi um plano. Em muitas outras áreas da ciência, surgiram problemas que levaram a resultados estranhos, como os descritos acima (movimento browniano, preços de ações). Cada um de nós pode fazer este procedimento...

Pai dos Fractais

Até o século 20, havia um acúmulo de dados sobre objetos tão estranhos, sem nenhuma tentativa de sistematizá-los. Assim foi até que eles levaram Benoit Mandelbrot – pai da geometria fractal moderna e a palavra fractal.

Arroz. 2. Benoit Mandelbrot.

Enquanto trabalhava na IBM como analista matemático, ele estudou ruídos em circuitos eletrônicos que não podiam ser descritos usando estatísticas. Gradualmente comparando os fatos, ele chegou à descoberta de uma nova direção na matemática - geometria fractal.

O termo "fractal" foi introduzido por B. Mandelbrot em 1975. De acordo com Mandelbrot, fractal(do latim "fractus" - fracionário, quebrado, quebrado) é chamado uma estrutura composta de partes como um todo. A propriedade de auto-semelhança distingue nitidamente fractais de objetos de geometria clássica. Prazo auto-semelhança meios a presença de uma estrutura fina e repetitiva, tanto nas menores escalas do objeto quanto em uma macroescala.

Arroz. 3. À definição do conceito de "fractal".

Exemplos de auto-semelhança são: Koch, Levy, curvas de Minkowski, triângulo de Sierpinski, esponja de Menger, árvore pitagórica, etc.

Do ponto de vista matemático, fractalé, em primeiro lugar, definido com dimensão fracionária (intermediária, “não inteira”). Enquanto uma linha euclidiana suave preenche exatamente o espaço unidimensional, uma curva fractal vai além do espaço unidimensional, invade além dos limites no espaço bidimensional. Assim, a dimensão fractal da curva Koch estará entre 1 e 2. Isso, em primeiro lugar, significa que um objeto fractal não pode medir com precisão seu comprimento! Destes fractais geométricos, o primeiro é muito interessante e bastante famoso - floco de neve Koch.

Arroz. 4. À definição do conceito de "fractal".

Ele é construído com base Triângulo Equilátero. Cada linha é substituída por 4 linhas cada 1/3 do comprimento original. Assim, a cada iteração, o comprimento da curva aumenta em um terço. E se fizermos um número infinito de iterações, obtemos um fractal - um floco de neve de Koch de comprimento infinito. Acontece que nossa curva infinita cobre uma área limitada. Tente fazer o mesmo com métodos e figuras da geometria euclidiana.
Dimensão de um floco de neve Koch(quando um floco de neve aumenta 3 vezes, seu comprimento aumenta 4 vezes) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Sobre o fractal

Os fractais estão encontrando cada vez mais aplicações em ciência e tecnologia. A principal razão para isso é que eles descrevem o mundo real às vezes até melhor do que a física ou a matemática tradicionais. Você pode infinitamente dar exemplos de objetos fractais na natureza - são nuvens, flocos de neve, montanhas, um relâmpago e, finalmente, couve-flor. Fractal como um objeto natural é eterno movimento contínuo, nova formação e desenvolvimento.

Arroz. 5. Fractais em economia.

Além do mais, fractais encontram aplicação em sistemas descentralizados redes de computadores e "antenas fractais" . Muito interessantes e promissores para modelar vários processos "aleatórios" estocásticos (não determinísticos) são os chamados "fractais brownianos". No caso da nanotecnologia, os fractais também desempenham papel importante , pois, devido à sua auto-organização hierárquica, muitos os nanossistemas têm uma dimensão não inteira, ou seja, são fractais em sua natureza geométrica, físico-química ou funcional. Por exemplo, um excelente exemplo sistemas fractais químicos são moléculas "dendrímeros" . Além disso, o princípio da fractalidade (estrutura de escala auto-semelhante) é um reflexo da estrutura hierárquica do sistema e, portanto, é mais geral e universal do que as abordagens padrão para descrever a estrutura e as propriedades dos nanossistemas.

Arroz. 6. Moléculas de "dendrímeros".

Arroz. 7. Modelo gráfico de comunicação no processo arquitetónico e construtivo. O primeiro nível de interação do ponto de vista dos microprocessos.

Arroz. 8. Modelo gráfico de comunicação no processo arquitetónico e construtivo. O segundo nível de interação a partir das posições dos macroprocessos (um fragmento do modelo).

Arroz. 9. Modelo gráfico de comunicação no processo arquitetónico e construtivo. O segundo nível de interação do ponto de vista dos macroprocessos (todo o modelo)

Arroz. 10. Desenvolvimento planar do modelo gráfico. Primeiro estado homeostático.

Fractais e a proporção áurea "Fractais" parte 1 "Fractais" parte 2 "Fractais" parte 3 "Fractais" parte 4 "Fractais" parte 5

Galeria de fotos de fractais bonitos e incomuns

Arroz. onze.

Arroz. 12.

Arroz. treze.

Arroz. quatorze.

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Correção e edição feita Filippov Yu.P.

Olá pessoal! Meu nome é, Ribenek Valéria, Ulyanovsk e hoje postarei vários dos meus artigos científicos no site de LCI.

Meu primeiro artigo científico neste blog será dedicado a fractais. Direi imediatamente que meus artigos são projetados para quase qualquer público. Aqueles. Espero que sejam de interesse para alunos e alunos.

Recentemente eu aprendi sobre objetos tão interessantes do mundo matemático como fractais. Mas eles existem não apenas na matemática. Eles nos cercam em todos os lugares. Fractais são naturais. Sobre o que são fractais, sobre os tipos de fractais, sobre exemplos desses objetos e sua aplicação, contarei neste artigo. Para começar, vou dizer brevemente o que é um fractal.

Fractal(lat. fractus - esmagado, quebrado, quebrado) - este é um complexo figura geométrica, que tem a propriedade de auto-semelhança, ou seja, é composto de várias partes, cada uma das quais é semelhante à figura inteira como um todo. Em um sentido mais amplo, os fractais são entendidos como conjuntos de pontos no espaço euclidiano que possuem uma dimensão métrica fracionária (no sentido de Minkowski ou Hausdorff), ou uma dimensão métrica diferente da topológica. Por exemplo, vou inserir uma imagem de quatro fractais diferentes.

Deixe-me contar um pouco sobre a história dos fractais. Os conceitos de fractal e geometria fractal, surgidos no final dos anos 70, tornaram-se firmemente estabelecidos na vida cotidiana de matemáticos e programadores desde meados dos anos 80. A palavra "fractal" foi introduzida por Benoit Mandelbrot em 1975 para se referir às estruturas irregulares, mas auto-semelhantes, que ele estudou. O nascimento da geometria fractal é geralmente associado à publicação em 1977 do livro de Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature. Seus trabalhos utilizaram os resultados científicos de outros cientistas que trabalharam no período 1875-1925 no mesmo campo (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Mas somente em nosso tempo foi possível combinar seu trabalho em um único sistema.

Existem muitos exemplos de fractais, porque, como eu disse, eles nos cercam em todos os lugares. Na minha opinião, mesmo todo o nosso Universo é um enorme fractal. Afinal, tudo nele, desde a estrutura do átomo até a estrutura do próprio Universo, se repete exatamente. Mas há, é claro, mais exemplos concretos fractais de diferentes áreas. Os fractais, por exemplo, estão presentes em dinâmicas complexas. Lá eles aparecem naturalmente no estudo de não lineares sistemas dinâmicos. O caso mais estudado é quando o sistema dinâmico é especificado por iterações polinomial ou holomorfo função de um complexo de variáveis na superfície. Alguns dos fractais mais famosos deste tipo são o conjunto de Julia, o conjunto de Mandelbrot e as bacias de Newton. Abaixo, em ordem, as imagens mostram cada um dos fractais acima.

Outro exemplo de fractais são as curvas fractais. É melhor explicar como construir um fractal usando o exemplo de curvas fractais. Uma dessas curvas é o chamado floco de neve de Koch. Existe um procedimento simples para obter curvas fractais em um plano. Definimos uma linha quebrada arbitrária com um número finito de links, chamado gerador. Em seguida, substituímos cada segmento por um gerador (mais precisamente, uma linha quebrada semelhante a um gerador). Na linha quebrada resultante, novamente substituímos cada segmento por um gerador. Continuando ao infinito, no limite obtemos uma curva fractal. Mostrado abaixo é um floco de neve de Koch (ou curva).

Há também muitas curvas fractais. Os mais famosos deles são o já mencionado Koch Snowflake, assim como a curva de Levy, a curva de Minkowski, o dragão quebrado, a curva de piano e a árvore pitagórica. Uma imagem desses fractais e sua história, acho que, se desejar, você pode encontrar facilmente na Wikipedia.

O terceiro exemplo ou tipo de fractais são fractais estocásticos. Tais fractais incluem a trajetória movimento browniano no plano e no espaço, evoluções de Schramm-Löwner, tipos diferentes fractais aleatórios, ou seja, fractais obtidos usando procedimento recursivo, no qual um parâmetro aleatório é introduzido em cada etapa.

Há também fractais puramente matemáticos. São, por exemplo, o conjunto de Cantor, a esponja de Menger, o triângulo de Sierpinski e outros.

Mas talvez os fractais mais interessantes sejam os naturais. Os fractais naturais são objetos na natureza que possuem propriedades fractais. E já existe uma grande lista. Não vou listar tudo, porque, provavelmente, não posso listar todos, mas vou falar de alguns. Por exemplo, na natureza viva, tais fractais incluem nosso sistema circulatório e pulmões. E também as coroas e folhas das árvores. Também aqui você pode incluir estrelas do mar, ouriços do mar, corais, conchas do mar, algumas plantas como repolho ou brócolis. Abaixo, vários desses fractais naturais da vida selvagem são mostrados claramente.

Se considerarmos a natureza inanimada, existem exemplos muito mais interessantes do que na natureza viva. Relâmpagos, flocos de neve, nuvens, conhecidos de todos, padrões nas janelas em dias gelados, cristais, cadeias de montanhas - todos esses são exemplos de fractais naturais da natureza inanimada.

Consideramos exemplos e tipos de fractais. Quanto ao uso de fractais, eles são usados ​​nas mais Áreas diferentes conhecimento. Na física, os fractais surgem naturalmente na modelagem de processos não lineares, como fluxo de fluido turbulento, processos complexos de difusão-adsorção, chamas, nuvens, etc. Os fractais são usados ​​na modelagem de materiais porosos, por exemplo, em petroquímica. Na biologia, eles são usados ​​para modelar populações e descrever sistemas de órgãos internos (sistema veias de sangue). Após a criação da curva de Koch, foi proposta a sua utilização no cálculo do comprimento da linha de costa. Além disso, os fractais são usados ​​ativamente na engenharia de rádio, na ciência da computação e na tecnologia da computação, nas telecomunicações e até na economia. E, claro, a visão fractal é usada ativamente na arte e arquitetura contemporâneas. Aqui está um exemplo de pinturas fractais:

E então, com isso, penso completar minha história sobre um fenômeno matemático tão incomum como um fractal. Hoje aprendemos sobre o que é um fractal, como surgiu, sobre os tipos e exemplos de fractais. E também falei sobre sua aplicação e demonstrei claramente alguns dos fractais. Espero que você tenha gostado desta pequena excursão ao mundo de objetos fractais incríveis e fascinantes.