Un grafic al unei inegalități liniare sau pătratice este construit în același mod în care este construit un grafic al oricărei funcții (ecuație). Diferența este că inegalitatea implică că există multe soluții, deci graficul inegalității nu este doar un punct pe o dreaptă numerică sau o dreaptă pe plan de coordonate. Prin utilizarea operatii matematiceși semnul inegalității, se poate defini un set de soluții ale inegalității.

Pași

Reprezentarea grafică a unei inegalități liniare pe o dreaptă numerică

1. Rezolvați inegalitatea. Pentru a face acest lucru, izolați variabila folosind aceleași trucuri algebrice pe care le folosiți pentru a rezolva orice ecuație. Amintiți-vă că atunci când înmulțiți sau împărțiți o inegalitate cu un număr negativ(sau termen), inversează semnul inegalității.

   • De exemplu, având în vedere inegalitatea 3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Pentru a izola variabila, scădeți 9 din ambele părți ale inegalității și apoi împărțiți ambele părți la 3:
     3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • O inegalitate trebuie să aibă o singură variabilă. Dacă inegalitatea are două variabile, este mai bine să reprezentați graficul pe planul de coordonate.

2. Desenați o linie numerică. Pe linia numerică, marcați valoarea găsită (variabila poate fi mai mică, mai mare sau egală cu această valoare). Desenați o linie numerică de lungimea potrivită (lungă sau scurtă).

   • De exemplu, dacă ai calculat asta y > 1 (\displaystyle y>1), marcați valoarea 1 pe linia numerică.

3. Desenați un cerc pentru a reprezenta valoarea găsită. Dacă variabila este mai mică decât ( < {\displaystyle <} ) sau mai mult ( > (\displaystyle >)) din această valoare, cercul nu este umplut deoarece setul de soluții nu include această valoare. Dacă variabila este mai mică sau egală cu ( ≤ (\displaystyle \leq )) sau mai mare sau egal cu ( ≥ (\displaystyle\geq )) la această valoare, cercul este umplut deoarece setul de soluții include această valoare.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), pe linia numerică, desenați un cerc deschis în punctul 1 deoarece 1 nu este în mulțimea soluției.

4. Pe linia numerică, umbriți zona care definește setul de soluții. Dacă variabila este mai mare decât valoarea găsită, umbriți zona din dreapta acesteia, deoarece setul de soluții include toate valorile care sunt mai mari decât valoarea găsită. Dacă variabila este mai mică decât valoarea găsită, umbriți zona din stânga acesteia, deoarece setul de soluții include toate valorile care sunt mai mici decât valoarea găsită.

   • De exemplu, având în vedere inegalitatea y > 1 (\displaystyle y>1), pe linia numerică, umbriți zona din dreapta lui 1 deoarece setul de soluții include toate valorile mai mari decât 1.

   Reprezentarea grafică a unei inegalități liniare pe planul de coordonate

   1. Rezolvați inegalitatea (aflați valoarea y (\displaystyle y)). A obtine ecuație liniară, izolați variabila din partea stângă folosind cunoscut metode algebrice. Variabila ar trebui să rămână în partea dreaptă x (\displaystyle x)și eventual unele constante.

      • De exemplu, având în vedere inegalitatea 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Pentru a izola o variabilă y (\displaystyle y), scădeți 9 din ambele părți ale inegalității și apoi împărțiți ambele părți la 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x - 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Trasează ecuația liniară pe planul de coordonate. reprezentați graficul pe măsură ce trasați orice ecuație liniară. Trasați punctul de intersecție cu axa Y și apoi trasați alte puncte folosind panta.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) trasează ecuația y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele și pantă este 3 (sau 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Deci, mai întâi trasează un punct cu coordonate (0 , - 3) (\displaystyle (0,-3)); punctul de deasupra punctului de intersecție cu axa y are coordonate (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); punctul de sub punctul de intersecție cu axa y are coordonate (− 1 , - 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Desenați o linie dreaptă. Dacă inegalitatea este strictă (include semnul < {\displaystyle <} sau > (\displaystyle >)), trageți o linie punctată, deoarece setul de soluții nu include valorile aflate pe linie. Dacă inegalitatea nu este strictă (include semnul ≤ (\displaystyle \leq ) sau ≥ (\displaystyle\geq )), trageți o linie continuă, deoarece setul de soluții include valori care se află pe linie.

      • De exemplu, în caz de inegalitate y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) trageți linia punctată, deoarece setul de soluții nu include valorile care se află pe linie.

   4. Umbriți zona corespunzătoare. Dacă inegalitatea are forma y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), completați zona de deasupra liniei. Dacă inegalitatea are forma y< m x + b {\displaystyle y, completați zona de sub linie.

      • De exemplu, în caz de inegalitate y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) umbriți zona de deasupra liniei.

   Reprezentarea grafică a unei inegalități pătratice pe planul de coordonate

   1. Stabiliți că această inegalitate este pătrată. Inegalitatea pătratului are forma a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Uneori, inegalitatea nu conține o variabilă de ordinul întâi ( x (\displaystyle x)) și/sau termen liber (constant), dar trebuie să includă o variabilă de ordinul doi ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Variabile x (\displaystyle x)și y (\displaystyle y) trebuie izolate pe diferite laturi ale inegalitatii.

      • De exemplu, trebuie să reprezentați grafic inegalitatea y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Desenați un grafic pe planul de coordonate. Pentru a face acest lucru, convertiți inegalitatea într-o ecuație și construiți un grafic, pe măsură ce construiți un grafic al oricărei ecuații pătratice. Amintiți-vă că graficul unei ecuații pătratice este o parabolă.

      • De exemplu, în caz de inegalitate y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y grafică ecuația pătratică y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Vârful parabolei este în punct (5 , - 9) (\displaystyle (5,-9)), iar parabola intersectează axa x în puncte (2 , 0) (\displaystyle (2,0))și (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

O inegalitate este două numere sau expresii matematice legate prin unul dintre semnele: > (mai mult, în cazul inegalităților stricte),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

inegalitatea este liniarîn aceleaşi condiţii ca o ecuaţie: conţine variabile doar până la gradul I şi nu conţine produse ale variabilelor.

Soluţie inegalități liniare iar sistemele de inegalități liniare sunt indisolubil legate de semnificația lor geometrică: soluția unei inegalități liniare este un anumit semiplan, în care întregul plan este împărțit printr-o dreaptă, a cărei ecuație este dată de o inegalitate liniară. Acest semiplan, și în cazul unui sistem de inegalități liniare, o parte a planului mărginită de mai multe drepte, trebuie găsite în desen.

Multe probleme economice se reduc la rezolvarea sistemelor de inegalități liniare cu un număr mare de variabile, în special, a problemelor de programare liniară în care se cere găsirea maximului sau minimului unei funcții.

Rezolvarea sistemelor de inegalități liniare cu orice număr de necunoscute

Să analizăm mai întâi inegalitățile liniare în plan. Se consideră o inegalitate cu două variabile și:

,

unde sunt coeficienții variabilelor (unele numere), este termenul liber (și un număr).

O inegalitate cu două necunoscute, ca o ecuație, are un număr infinit de soluții. O soluție a acestei inegalități este o pereche de numere care satisfac această inegalitate. Din punct de vedere geometric, setul de soluții ale inegalității este reprezentat ca un semiplan delimitat de o linie dreaptă

,

pe care o vom numi linia de hotar.

Pasul 1. Construiți o dreaptă care mărginește mulțimea soluțiilor inegalității liniare

Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți oricare două puncte ale acestei linii. Să găsim punctele de intersecție cu axele de coordonate. ordonata de intersectie A este zero (Figura 1). Valorile numerice de pe axele din această figură se referă la exemplul 1, pe care îl vom analiza imediat după această digresiune teoretică.

Găsim abscisa rezolvând ca sistem ecuația unei drepte cu ecuația axei.

Să găsim intersecția cu axa:

Înlocuind valoarea în prima ecuație, obținem

Unde .

Astfel, am găsit abscisa punctului A .

Să găsim coordonatele punctului de intersecție cu axa.

Punct de abscisă B este egal cu zero. Să rezolvăm ecuația liniei de limită cu ecuația axei de coordonate:

,

de unde coordonatele punctului B: .

Pasul 2. Desenați o linie care delimitează setul de soluții ale inegalității. Cunoscând punctele Ași B intersectia liniei de limita cu axele de coordonate, putem trasa aceasta linie. Linia dreaptă (din nou figura 1) împarte întregul plan în două părți situate la dreapta și la stânga (deasupra și dedesubt) acestei linii drepte.

Pasul 3. Determinați care dintre semiplanuri este soluția acestei inegalități. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuim originea coordonatelor (0; 0) în această inegalitate. Dacă coordonatele originii satisfac inegalitatea, atunci soluția inegalității este semiplanul în care se află originea. Dacă coordonatele nu satisfac inegalitatea, atunci soluția inegalității este un semiplan care nu conține originea. Semiplanul soluției inegalității va fi notat cu linii din dreapta din interiorul semiplanului, ca în Figura 1.

Dacă rezolvăm sistemul de inegalități liniare, apoi fiecare pas este efectuat pentru fiecare dintre inegalitățile sistemului.

Exemplul 1 Rezolvați inegalitatea

Soluţie. Să tragem o linie dreaptă

Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem, iar înlocuind, obținem. Prin urmare, coordonatele punctelor de intersecție cu axele vor fi A(3; 0) , B(0; 2). Desenați o linie dreaptă prin aceste puncte (din nou, Figura 1).

Alegem un semiplan de soluții ale inegalității. Pentru a face acest lucru, înlocuim coordonatele începutului (0; 0) în inegalitatea:

obținem , adică coordonatele originii satisfac această inegalitate. În consecință, soluția inegalității este un semiplan care conține originea, adică semiplanul stâng (sau inferior).

Dacă această inegalitate ar fi strictă, adică ar avea forma

atunci punctele liniei de frontieră nu ar fi o soluție, deoarece nu satisfac inegalitatea.

Acum luați în considerare un sistem de inegalități liniare cu două necunoscute:

Fiecare dintre inegalitățile acestui sistem pe plan definește un semiplan. Un sistem de inegalități liniare se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are soluții. O soluție a unui sistem de inegalități liniare este orice pereche de numere () care satisface toate inegalitățile acestui sistem.

Geometric, soluția unui sistem de inegalități liniare este mulțimea de puncte care satisfac toate inegalitățile sistemului, adică partea comună a semiplanurilor rezultate. Prin urmare, geometric, în cazul general, soluția poate fi descrisă ca un anumit poligon, într-un caz particular, poate fi o linie, un segment și chiar un punct. Dacă sistemul de inegalități liniare este inconsecvent, atunci nu există un singur punct pe plan care să satisfacă toate inegalitățile sistemului.

Exemplul 2

Soluţie. Deci, este necesar să se găsească un poligon de soluții ale acestui sistem de inegalități. Să construim o linie de limită pentru prima inegalitate, adică o linie, și o linie de limită pentru a doua inegalitate, adică o linie.

Facem acest lucru pas cu pas, așa cum s-a arătat în referința teoretică și în exemplul 1, mai ales că în exemplul 1 a fost construită o linie de frontieră pentru inegalitate, care este prima din acest sistem.

Semiplanurile soluției corespunzătoare inegalităților acestui sistem sunt umbrite în interior în Figura 2. Partea comună a semiplanurilor soluției este un unghi deschis ABC. Aceasta înseamnă că setul de puncte din plan care formează unghiul deschis ABC, este o soluție atât pentru prima cât și pentru a doua inegalități ale sistemului, adică este o soluție pentru un sistem de două inegalități liniare. Cu alte cuvinte, coordonatele oricărui punct din această mulțime satisfac ambele inegalități ale sistemului.

Exemplul 3 Rezolvați un sistem de inegalități liniare

Soluţie. Să construim liniile de limită corespunzătoare inegalităților sistemului. Facem acest lucru urmând pașii dați în contextul teoretic pentru fiecare inegalitate. Acum definim semiplanurile soluțiilor pentru fiecare inegalitate (Figura 3).

Semiplanurile soluției corespunzătoare inegalităților sistemului dat sunt umbrite spre interior. Intersecția semiplanurilor soluțiilor este reprezentată, așa cum se arată în figură, sub forma unui patrulater. ABCE. Am constatat că poligonul soluție al unui sistem de inegalități liniare cu două variabile este un patrulater ABCE .

Tot ceea ce este descris mai sus despre sistemele de inegalități liniare cu două necunoscute se aplică și unui sistem de inegalități cu orice număr de necunoscute, cu singura diferență că soluția unei inegalități cu n necunoscutul va fi totalitatea n numere () care satisfac toate inegalitățile, iar în locul liniei de graniță va exista un hiperplan de graniță n-spațiul dimensional. Soluția va fi un poliedru soluție (simplex) mărginit de hiperplane.

Rezolvarea unei inegalități cu două variabile, și cu atât mai mult sisteme de inegalităţi cu două variabile, pare a fi destul de o provocare. Cu toate acestea, există un algoritm simplu care ajută la rezolvarea cu ușurință și fără efort a unor probleme aparent foarte complexe de acest fel. Să încercăm să ne dăm seama.

Să presupunem că avem o inegalitate cu două variabile de unul dintre următoarele tipuri:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Pentru a reprezenta setul de soluții ale unei astfel de inegalități pe planul de coordonate, procedați după cum urmează:

1. Construim un grafic al funcției y = f(x), care împarte planul în două regiuni.

2. Alegem oricare dintre zonele obținute și luăm în considerare în ea punct arbitrar. Verificăm satisfacabilitatea inegalității originale pentru acest punct. Dacă rezultatul testului este corect inegalitatea numerică, apoi concluzionăm că inegalitatea inițială este satisfăcută în întreaga regiune căreia îi aparține punctul selectat. Astfel, setul de soluții ale inegalității este aria căreia îi aparține punctul selectat. Dacă în urma verificării se obține o inegalitate numerică incorectă, atunci setul de soluții ale inegalității va fi a doua regiune, căreia nu îi aparține punctul selectat.

3. Dacă inegalitatea este strictă, atunci limitele regiunii, adică punctele graficului funcției y = f(x), nu sunt incluse în mulțimea de soluții, iar granița este prezentată ca o linie punctată. Dacă inegalitatea nu este strictă, atunci granițele regiunii, adică punctele graficului funcției y = f (x), sunt incluse în mulțimea soluțiilor acestei inegalități, iar granița în acest caz este înfățișat linie solida.
Acum să ne uităm la câteva probleme pe acest subiect.

Sarcina 1.

Ce set de puncte este dat de inegalitatea x · y ≤ 4?

Soluţie.

1) Construim un grafic al ecuației x · y = 4. Pentru a face acest lucru, îl transformăm mai întâi. Este evident că x în acest caz nu se transformă în 0, deoarece altfel am avea 0 · y = 4, ceea ce nu este adevărat. Deci ne putem împărți ecuația la x. Se obține: y = 4/x. Graficul acestei funcții este o hiperbolă. Împarte întregul plan în două regiuni: cea dintre cele două ramuri ale hiperbolei și cea din afara acestora.

2) Alegem un punct arbitrar din prima regiune, fie punctul (4; 2).
Verificarea inegalității: 4 2 ≤ 4 este falsă.

Aceasta înseamnă că punctele acestei regiuni nu satisfac inegalitatea inițială. Apoi putem concluziona că setul de soluții ale inegalității va fi a doua regiune, căreia nu îi aparține punctul selectat.

3) Deoarece inegalitatea nu este strictă, trasăm cu linie continuă punctele de limită, adică punctele graficului funcției y = 4/x.

Să colorăm setul de puncte care definește inegalitatea inițială, galben (Fig. 1).

Sarcina 2.

Desenați aria definită pe planul de coordonate de către sistem
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Soluţie.

Construirea grafică pentru a începe următoarele funcții (Fig. 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabolă,

y + x = 1 - linie dreaptă

x 2 + y 2 \u003d 9 este un cerc.

1) y > x 2 + 2.

Luăm punctul (0; 5), care se află deasupra graficului funcției.
Verificarea inegalității: 5 > 0 2 + 2 este corectă.

Prin urmare, toate punctele situate deasupra parabolei date y = x 2 + 2 satisfac prima inegalitate a sistemului. Să le colorăm în galben.

2) y + x > 1.

Luăm punctul (0; 3), care se află deasupra graficului funcției.
Verificarea inegalității: 3 + 0 > 1 este adevărat.

Prin urmare, toate punctele situate deasupra dreptei y + x = 1 satisfac cea de-a doua inegalitate a sistemului. Să le colorăm în verde.

3) x2 + y2 ≤ 9.

Luăm un punct (0; -4), care se află în afara cercului x 2 + y 2 = 9.
Verificarea inegalității: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 este greșită.

Prin urmare, toate punctele aflate în afara cercului x 2 + y 2 = 9, nu satisfac a treia inegalitate a sistemului. Apoi putem concluziona că toate punctele aflate în interiorul cercului x 2 + y 2 = 9 satisfac a treia inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire violet.

Nu uitați că, dacă inegalitatea este strictă, atunci linia de delimitare corespunzătoare trebuie trasă cu o linie punctată. Obținem următoarea imagine (Fig. 3).

(Fig. 4).

Sarcina 3.

Desenați aria definită pe planul de coordonate de către sistem:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Soluţie.

Pentru început, construim grafice ale următoarelor funcții:

x 2 + y 2 \u003d 16 - cerc,

x \u003d -y - drept

x 2 + y 2 \u003d 4 - cerc (Fig. 5).

Acum ne ocupăm de fiecare inegalitate separat.

1) x2 + y2 ≤ 16.

Luăm punctul (0; 0), care se află în interiorul cercului x 2 + y 2 = 16.
Verificarea inegalității: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 este adevărată.

Prin urmare, toate punctele aflate în interiorul cercului x 2 + y 2 = 16 satisfac prima inegalitate a sistemului.
Să le colorăm în roșu.

Luăm punctul (1; 1), care se află deasupra graficului funcției.
Verificăm inegalitatea: 1 ≥ -1 - adevărat.

Prin urmare, toate punctele situate deasupra dreptei x = -y satisfac cea de-a doua inegalitate a sistemului. Să le colorăm în albastru.

3) x2 + y2 ≥ 4.

Luăm punctul (0; 5), care se află în afara cercului x 2 + y 2 = 4.
Verificăm inegalitatea: 0 2 + 5 2 ≥ 4 este adevărată.

Prin urmare, toate punctele din afara cercului x 2 + y 2 = 4 satisfac a treia inegalitate a sistemului. Să le colorăm în albastru.

În această problemă, toate inegalitățile nu sunt stricte, ceea ce înseamnă că trasăm toate limitele cu o linie continuă. Obținem următoarea imagine (Fig. 6).

Zona de interes este zona în care toate cele trei zone colorate se intersectează. (fig 7).

Aveti vreo intrebare? Nu sunteți sigur cum să rezolvați un sistem de inegalități cu două variabile?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Există doar „X” și doar axa absciselor, acum se adaugă „Y” și câmpul de activitate se extinde la întregul plan de coordonate. Mai departe, în text, sintagma „inegalitate liniară” este înțeleasă într-un sens bidimensional, care va deveni clar în câteva secunde.

Inafara de geometrie analitică, materialul este relevant pentru o serie de sarcini analiză matematică, economic modelare matematică Prin urmare, vă recomand să studiați această prelegere cu toată seriozitatea.

Inegalități liniare

Există două tipuri de inegalități liniare:

1) Strict inegalități: .

2) Nestrict inegalități: .

Care sens geometric aceste inegalități? Dacă o ecuație liniară definește o linie dreaptă, atunci o inegalitate liniară definește semiplan.

Pentru a înțelege informațiile de mai jos, trebuie să cunoașteți tipurile de linii din avion și să fiți capabil să construiți linii. Dacă aveți dificultăți în această parte, citiți ajutorul Grafice și proprietăți ale funcțiilor– un paragraf despre o funcție liniară.

Să începem cu cele mai simple inegalități liniare. Visul albastru al oricărui învins este un plan de coordonate pe care nu există nimic:

După cum știți, axa absciselor este dată de ecuația - „y” este întotdeauna (pentru orice valoare a lui „x”) egal cu zero

Să luăm în considerare inegalitatea. Cum să-l înțelegi informal? „Y” este întotdeauna (pentru orice valoare a lui „x”) pozitiv. Este evident că această inegalitate determină semiplanul superior, deoarece toate punctele cu „jocuri” pozitive sunt situate acolo.

În cazul în care inegalitatea nu este strictă, la semiplanul superior în plus se adaugă axa.

În mod similar: inegalitatea este satisfăcută de toate punctele semiplanului inferior, inegalitatea nestrictă corespunde semiplanului inferior + axa .

Cu axa y, aceeași poveste prozaică:

– inegalitatea definește semiplanul drept;
– inegalitatea definește semiplanul drept, inclusiv axa y;
– inegalitatea definește semiplanul stâng;
– inegalitatea definește semiplanul stâng, inclusiv axa y.

La a doua etapă, luăm în considerare inegalitățile în care una dintre variabile lipsește.

Lipsește „y”:

Sau lipsește „X”:

Aceste inegalități pot fi tratate în două moduri. vă rugăm să luați în considerare ambele abordări. Pe parcurs, să ne amintim și să consolidăm acțiunile școlare cu inegalități deja discutate în lecție Domeniul de aplicare a funcției.

Exemplul 1

Rezolvarea inegalităților liniare:

Ce înseamnă rezolvarea unei inegalități liniare?

A rezolva o inegalitate liniară înseamnă a găsi un semiplan, ale căror puncte satisfac inegalitatea dată (plus dreapta în sine, dacă inegalitatea nu este strictă). Soluţie, de obicei, grafic.

Este mai convenabil să executați imediat desenul și apoi să comentați totul:

a) Rezolvați inegalitatea

Metoda unu

Metoda este foarte asemănătoare cu povestea cu axe de coordonate, despre care am discutat mai sus. Ideea este de a transforma inegalitatea - de a lăsa o variabilă pe partea stângă fără constante, în acest caz, variabila x.

regulă: În inegalitate, termenii sunt transferați dintr-o parte în parte cu o schimbare de semn, în timp ce semnul inegalității în sine nu se schimba(de exemplu, dacă a existat un semn „mai puțin decât”, atunci acesta va rămâne „mai puțin”).

Transferăm „cinci” la partea dreapta cu schimbare de semn:

regulă POZITIV nu se schimba.

Acum trageți o linie dreaptă (linie albastră întreruptă). Linia dreaptă este întreruptă din cauza inegalității strict, iar punctele aparținând acestei linii cu siguranță nu vor fi incluse în soluție.

Care este sensul inegalității? „X” este întotdeauna (pentru orice valoare a lui „y”) mai mic decât . Evident, această afirmație este satisfăcută de toate punctele semiplanului stâng. Acest semiplan, în principiu, poate fi umbrit, dar mă voi limita la mici săgeți albastre pentru a nu transforma desenul într-o paletă artistică.

Metoda a doua

Acesta este un mod universal. CITEȘTE FOARTE ATENȚIE!

Mai întâi, trageți o linie dreaptă. Pentru claritate, apropo, este recomandabil să reprezentați ecuația sub forma .

Acum alege orice punct al avionului, neapartinând unei linii drepte. În cele mai multe cazuri, punctul cel mai delicios, desigur. Înlocuiți coordonatele acestui punct în inegalitatea:

Primit inegalitate greșită (în cuvinte simple, nu poate fi așa), ceea ce înseamnă că punctul nu satisface inegalitatea .

Regula cheie sarcina noastră:
nu satisface inegalitatea, atunci TOATE puncte ale unui semiplan dat nu satisface la această inegalitate.
– Dacă vreun punct al semiplanului (nu aparține dreptei) satisface inegalitatea, atunci TOATE puncte ale unui semiplan dat satisface la această inegalitate.

Puteți testa: orice punct din dreapta liniei nu va satisface inegalitatea .

Care este concluzia din experimentul cu punctul? Nu există încotro, inegalitatea este satisfăcută de toate punctele celuilalt - semiplanul stâng (puteți verifica și).

b) Rezolvați inegalitatea

Metoda unu

Să transformăm inegalitatea:

regulă: Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu NEGATIV număr, în timp ce semnul inegalității SCHIMBARE la opus (de exemplu, dacă a existat un semn „mai mare decât sau egal cu”, atunci acesta va deveni „mai mic sau egal cu”).

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu:

Să desenăm o linie dreaptă (culoare roșie), în plus, să desenăm o linie continuă, deoarece avem inegalitate nestrict, iar linia aparține cu siguranță soluției.

După ce analizăm inegalitatea rezultată, ajungem la concluzia că soluția sa este semiplanul inferior (+ dreapta în sine).

Un semiplan adecvat este hașurat sau marcat cu săgeți.

Metoda a doua

Să tragem o linie dreaptă. Să alegem un punct arbitrar al planului (care nu aparține unei linii drepte), de exemplu, și să înlocuim coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit inegalitatea corectă, atunci punctul satisface inegalitatea și, în general, TOATE punctele semiplanului inferior satisfac această inegalitate.

Aici, cu punctul experimental, „lovim” semiplanul dorit.

Soluția problemei este indicată de o linie dreaptă roșie și săgeți roșii.

Personal, îmi place mai mult prima soluție, pentru că a doua este mai formală.

Exemplul 2

Rezolvarea inegalităților liniare:

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Încercați să rezolvați problema în două moduri (apropo, acesta este mod bun verificarea soluției). În răspunsul de la sfârșitul lecției va fi doar desenul final.

Cred că după toate acțiunile făcute în exemple, va trebui să vă căsătoriți cu ei, nu va fi greu să rezolvați cea mai simplă inegalitate, ca etc.

Să trecem la a treia caz general când ambele variabile sunt prezente în inegalitate:

Alternativ, termenul liber „ce” poate fi zero.

Exemplul 3

Găsiți semiplanuri corespunzătoare următoarelor inegalități:

Soluţie: Folosit aici metoda generica soluții de substituție de puncte.

a) Să construim ecuația unei linii drepte, în timp ce linia ar trebui trasată cu o linie punctată, deoarece inegalitatea este strictă și linia dreaptă în sine nu va fi inclusă în soluție.

Selectăm un punct experimental al planului care nu aparține dreptei date, de exemplu, și înlocuim coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit inegalitate greșită, deci punctul și TOATE punctele acestui semiplan nu satisfac inegalitatea . Soluția inegalității va fi un alt semiplan, admirăm fulgerul albastru:

b) Să rezolvăm inegalitatea. Să tragem mai întâi o linie dreaptă. Acest lucru este ușor de făcut, avem o proporționalitate directă canonică. Linia este trasată solidă, deoarece inegalitatea nu este strictă.

Alegem un punct arbitrar al planului care nu aparține dreptei. Aș vrea să folosesc din nou originea, dar, vai, acum nu este potrivită. Prin urmare, va trebui să lucrezi cu o altă iubită. Este mai profitabil să iei un punct de la valori mici coordonate, de exemplu, . Înlocuiți coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit inegalitatea corectă, deci punctul și toate punctele semiplanului dat satisfac inegalitatea . Semiplanul dorit este marcat cu săgeți roșii. În plus, soluția include linia în sine.

Exemplul 4

Găsiți semiplanuri corespunzătoare inegalităților:

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă, o mostră finală și un răspuns la sfârșitul lecției.

Hai să aruncăm o privire problema inversa:

Exemplul 5

a) Dată o linie dreaptă. Defini semiplanul în care se află punctul, în timp ce linia însăși trebuie inclusă în soluție.

b) Dată o linie dreaptă. Defini semiplanul în care se află punctul. Linia în sine nu este inclusă în soluție.

Soluţie: nu este nevoie de un desen aici și soluția va fi analitică. Nimic greu:

a) Compuneți un polinom auxiliar și calculează-i valoarea în punctul:
. Astfel, inegalitatea dorită va fi cu semnul „mai puțin decât”. Prin condiție, linia este inclusă în soluție, astfel încât inegalitatea nu va fi strictă:

b) Compuneți polinomul și calculați valoarea lui în punctul:
. Astfel, inegalitatea dorită va fi cu semnul „mai mare decât”. Prin condiție, linia nu este inclusă în soluție, prin urmare, inegalitatea va fi strictă: .

Răspuns:

exemplu creativ pentru auto-studiu:

Exemplul 6

Puncte date și o linie. Printre punctele enumerate, găsiți pe cele care, împreună cu originea, se află de aceeași parte a liniei date.

Un mic indiciu: mai întâi trebuie să scrieți o inegalitate care definește semiplanul în care se află originea. Soluție analitică și răspuns la sfârșitul lecției.

Sisteme de inegalități liniare

Un sistem de inegalități liniare este, după cum înțelegeți, un sistem compus din mai multe inegalități. Lol, ei bine, am dat definiția =) Un arici este un arici, un cuțit este un cuțit. Dar adevărul este că s-a dovedit simplu și accesibil! Nu, serios, nu vreau să dau niciun exemplu vedere generala, deci să mergem direct la probleme presante:

Ce înseamnă să rezolvi un sistem de inegalități liniare?

Rezolvați un sistem de inegalități liniare- acest lucru înseamnă găsiți setul de puncte din plan care satisface Pentru fiecare inegalitatea sistemului.

Ca cele mai simple exemple, luați în considerare sistemele de inegalități care definesc sferturile de coordonate sistem dreptunghiular coordonatele („desenul în doi” este chiar la începutul lecției):

Sistemul de inegalități definește primul sfert de coordonate (dreapta sus). Coordonatele oricărui punct al primului trimestru, de exemplu, etc. satisface Pentru fiecare inegalitatea acestui sistem.

În mod similar:
– sistemul de inegalități definește al doilea sfert de coordonate (stânga sus);
– sistemul de inegalități definește al treilea sfert de coordonate (stânga jos);
– sistemul de inegalități definește al patrulea sfert de coordonate (dreapta jos).

Un sistem de inegalități liniare poate să nu aibă soluții, adică a fi incompatibil. Din nou cel mai simplu exemplu: . Este destul de evident că „x” nu poate fi mai mult de trei și mai puțin de doi în același timp.

Soluția sistemului de inegalități poate fi o dreaptă, de exemplu: . Lebăda, cancer, fără știucă, trăgând un cărucior în două laturi diferite. Da, lucrurile sunt încă acolo - soluția pentru acest sistem este o linie dreaptă.

Dar cel mai frecvent caz, când soluția sistemului este unele zona plană. Zona de decizie poate nelimitat(de exemplu, sferturi de coordonate) sau limitat. Domeniul restrâns al soluțiilor este numit sistem de soluții poligonale.

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de inegalități liniare

În practică, în cele mai multe cazuri, trebuie să te confrunți cu inegalități nestricte, așa că vor dansa restul lecției.

Soluţie: faptul că sunt prea multe inegalități nu ar trebui să fie înfricoșător. Câte inegalități pot exista într-un sistem? Da, cât vrei tu. Principalul lucru este să adere la un algoritm rațional pentru construirea zonei soluției:

1) În primul rând, ne ocupăm de cele mai simple inegalități. Inegalitățile definesc primul trimestru de coordonate, inclusiv limita de la axele de coordonate. Deja mult mai ușor, deoarece zona de căutare s-a restrâns semnificativ. În desen, marcam imediat cu săgeți semiplanurile corespunzătoare (roșu și săgeți albastre)

2) A doua cea mai simplă inegalitate - nu există „y” aici. În primul rând, construim linia în sine și, în al doilea rând, după transformarea inegalității în forma , devine imediat clar că toate „xurile” sunt mai mici de 6. Marcam semiplanul corespunzător cu săgeți verzi. Ei bine, zona de căutare a devenit și mai mică - un astfel de dreptunghi care nu este limitat de sus.

3) La ultimul pas, rezolvăm inegalitățile „cu muniție plină”: . Am discutat despre algoritmul de soluție în detaliu în secțiunea anterioară. Pe scurt: mai întâi construim o linie dreaptă, apoi cu ajutorul unui punct experimental găsim semiplanul de care avem nevoie.

Ridicați-vă, copii, stați în cerc:


Zona de soluție a sistemului este un poligon, în desen este încercuită cu o linie purpurie și umbrită. Am exagerat puțin =) În caiet, este suficient fie să umbriți zona soluțiilor, fie să o conturați mai îndrăzneț cu un simplu creion.

Orice punct al acestui poligon satisface FIECARE inegalitate a sistemului (pentru interes, puteți verifica).

Răspuns: soluția sistemului este un poligon.

Când faceți o copie curată, ar fi bine să descrieți în detaliu în ce puncte ați construit linii drepte (vezi lecția Grafice și proprietăți ale funcțiilor), și modul în care au fost determinate semiplanurile (a se vedea primul paragraf această lecție). Cu toate acestea, în practică, în cele mai multe cazuri, veți fi creditat și simplu desenul corect. Calculele în sine pot fi efectuate pe o schiță sau chiar oral.

Pe lângă poligonul de soluție al sistemului, în practică, deși mai rar, există spatiu deschis. Încearcă să te descurci exemplul următor pe cont propriu. Deși, de dragul preciziei, nu există nicio tortură aici - algoritmul de construcție este același, doar că zona se va dovedi a nu fi limitată.

Exemplul 8

Rezolvați sistemul

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Cel mai probabil veți avea alte denumiri de litere pentru vârfurile zonei rezultate. Acest lucru nu este important, principalul lucru este să găsiți vârfurile corect și să construiți zona corect.

Nu este neobișnuit când în sarcini se cere nu numai construirea domeniului soluțiilor sistemului, ci și găsirea coordonatele vârfurilor domeniului. În cele două exemple anterioare, coordonatele acestor puncte erau evidente, dar în practică totul este departe de gheață:

Exemplul 9

Rezolvați sistemul și găsiți coordonatele vârfurilor ariei rezultate

Soluţie: vom descrie zona de soluții ale acestui sistem în desen. Inegalitatea stabilește semiplanul din stânga cu axa y și nu mai există gratuități aici. După calcule pe un curat / pescaj sau adânc procesele de gândire, obținem următoarea zonă de soluție:

Lasă dat ecuație cu două variabile F(x; y). Ați învățat deja cum să rezolvați astfel de ecuații analitic. Mulțimea soluțiilor unor astfel de ecuații poate fi reprezentată și sub forma unui grafic.

Graficul ecuației F(x; y) este mulțimea de puncte ale planului de coordonate xOy ale căror coordonate satisfac ecuația.

Pentru a reprezenta o ecuație cu două variabile, mai întâi exprimați variabila y în termenii variabilei x din ecuație.

Cu siguranță știți deja cum să construiți diverse grafice de ecuații cu două variabile: ax + b \u003d c este o linie dreaptă, yx \u003d k este o hiperbolă, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 este un cerc a cărui rază este R, iar centrul este în punctul O(a; b).

Exemplul 1

Trasează ecuația x 2 - 9y 2 = 0.

Soluţie.

Să factorizăm partea stângă a ecuației.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, adică y = x/3 sau y = -x/3.

Răspuns: figura 1.

Un loc aparte îl ocupă alocarea figurilor pe plan prin ecuații care conțin semnul valoare absolută, despre care vom discuta în detaliu. Luați în considerare etapele de reprezentare a ecuațiilor de forma |y| = f(x) și |y| = |f(x)|.

Prima ecuație este echivalentă cu sistemul

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) sau y = -f(x).

Adică, graficul său este format din grafice cu două funcții: y = f(x) și y = -f(x), unde f(x) ≥ 0.

Pentru a reprezenta graficul celei de-a doua ecuații, sunt reprezentate grafice a două funcții: y = f(x) și y = -f(x).

Exemplul 2

Trasează ecuația |y| = 2 + x.

Soluţie.

Ecuația dată este echivalentă cu sistemul

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 sau y = -x - 2.

Construim un set de puncte.

Răspuns: figura 2.

Exemplul 3

Trasează ecuația |y – x| = 1.

Soluţie.

Dacă y ≥ x, atunci y = x + 1, dacă y ≤ x, atunci y = x - 1.

Răspuns: figura 3.

Când construiți grafice ale ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului, este convenabil și rațional să utilizați metoda zonei, bazat pe împărțirea planului de coordonate în părți în care fiecare expresie de submodul își păstrează semnul.

Exemplul 4

Trasează ecuația x + |x| + y + |y| = 2.

Soluţie.

LA acest exemplu semnul fiecărei expresii submodulului depinde de sfert de coordonate.

1) În primul cadran de coordonate x ≥ 0 și y ≥ 0. După extinderea modulului ecuația dată va arata ca:

2x + 2y = 2, iar după simplificare x + y = 1.

2) În al doilea trimestru, unde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) În trimestrul al treilea x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) În al patrulea trimestru, pentru x ≥ 0 și y< 0 получим, что x = 1.

Programa ecuația dată Vom construi în sferturi.

Răspuns: figura 4.

Exemplul 5

Desenați o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac egalitatea |x – 1| + |y – 1| = 1.

Soluţie.

Zerourile expresiilor submodulului x = 1 și y = 1 împart planul de coordonate în patru regiuni. Să defalcăm modulele pe regiune. Să o punem sub formă de tabel.

Regiune	Semnul expresiei submodulului	Ecuația rezultată după extinderea modulului
eu	x ≥ 1 și y ≥ 1	x + y = 3
II	X< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	X< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 și y< 1	x – y = 1

Răspuns: figura 5.

Pe planul de coordonate pot fi specificate cifre și inegalităților.

Graficul inegalității cu două variabile este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate ale căror coordonate sunt soluții ale acestei inegalități.

Considera algoritm pentru construirea unui model pentru rezolvarea unei inegalități cu două variabile:

1. Notați ecuația corespunzătoare inegalității.
2. Trasează ecuația de la pasul 1.
3. Alegeți un punct arbitrar într-unul dintre semiplanuri. Verificați dacă coordonatele punctului selectat satisfac inegalitatea dată.
4. Desenați grafic mulțimea tuturor soluțiilor inegalității.

Luați în considerare, în primul rând, inegalitatea ax + bx + c > 0. Ecuația ax + bx + c = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două semiplane. În fiecare dintre ele, funcția f(x) = ax + bx + c este păstrătoare de semne. Pentru a determina acest semn, este suficient să luăm orice punct aparținând semiplanului și să calculați valoarea funcției în acest punct. Dacă semnul funcției coincide cu semnul inegalității, atunci acest semiplan va fi soluția inegalității.

Luați în considerare exemple solutie grafica cele mai comune inegalități cu două variabile.

1) ax + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.

4) y ≥ x2. Figura 9

5) xy ≤ 1. Figura 10.

Dacă aveți întrebări sau doriți să exersați modelarea mulțimilor tuturor soluțiilor inegalităților cu două variabile pe planul modelului folosind modelarea matematică, puteți sesiune gratuită de 25 de minute cu tutore online dupa ce te inregistrezi. Pentru munca in continuare cu un profesor, vei avea ocazia sa alegi planul tarifar care ti se potriveste.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să desenezi o figură pe planul de coordonate?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.