Pentru a rezolva probleme cu numere complexe este necesar să se înțeleagă definițiile de bază. sarcina principală din acest articol de recenzie - pentru a explica ce sunt numerele complexe și pentru a prezenta metode de rezolvare a problemelor de bază cu numere complexe. Astfel, un număr complex este un număr de formă z = a + bi, Unde a, b- numerele reale, care se numesc părțile reale și, respectiv, imaginare ale numărului complex, și denotă a = Re(z), b=Im(z).
i se numește unitatea imaginară. i 2 \u003d -1. În special, orice număr real poate fi considerat complex: a = a + 0i, unde a este real. Dacă a = 0și b ≠ 0, atunci numărul se numește pur imaginar.

Introducem acum operații pe numere complexe.
Luați în considerare două numere complexe z 1 = a 1 + b 1 iși z 2 = a 2 + b 2 i.

Considera z = a + bi.

Mulțimea numerelor complexe extinde mulțimea numerelor reale, care la rândul său extinde mulțimea numere rationale etc. Acest lanț de investiții poate fi văzut în figură: N - numere întregi, Z sunt numere întregi, Q sunt raționale, R sunt reale, C sunt complexe.

Reprezentarea numerelor complexe

Notația algebrică.

Luați în considerare un număr complex z = a + bi, această formă de scriere a unui număr complex se numește algebric. Am discutat deja despre această formă de scriere în detaliu în secțiunea anterioară. Destul de des folosiți următorul desen ilustrativ

formă trigonometrică.

Din figură se vede că numărul z = a + bi poate fi scris diferit. Este evident că a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Prin urmare z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) se numește argumentul unui număr complex. Această reprezentare a unui număr complex se numește formă trigonometrică. Forma trigonometrică a notației este uneori foarte convenabilă. De exemplu, este convenabil să îl utilizați pentru a ridica un număr complex la o putere întreagă, și anume, dacă z = rcos(φ) + rsin(φ)i, apoi z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, această formulă se numește formula lui De Moivre.

Forma demonstrativă.

Considera z = rcos(φ) + rsin(φ)i este un număr complex în formă trigonometrică, scrieți într-o altă formă z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ultima egalitate rezultă din formula lui Euler, deci obținem formă nouă intrări cu numere complexe: z = re iφ, Care e numit demonstrativ. Această formă de notație este, de asemenea, foarte convenabilă pentru ridicarea unui număr complex la o putere: z n = r n e inφ, Aici n nu neapărat un număr întreg, dar poate fi un număr real arbitrar. Această formă de scriere este destul de des folosită pentru a rezolva probleme.

Teorema fundamentală a algebrei superioare

Imaginați-vă că avem o ecuație pătratică x 2 + x + 1 = 0 . Evident, discriminantul acestei ecuații este negativ și nu are rădăcini reale, dar rezultă că această ecuație are două rădăcini complexe diferite. Deci, teorema principală a algebrei superioare afirmă că orice polinom de grad n are cel puțin o rădăcină complexă. Aceasta implică faptul că orice polinom de gradul n are exact n rădăcini complexe având în vedere multiplicitatea lor. Această teoremă este foarte rezultat importantîn matematică și este utilizat pe scară largă. Un simplu corolar al acestei teoreme este că există exact n rădăcini distincte de unitate de n grade.

Principalele tipuri de sarcini

Această secțiune va acoperi principalele tipuri sarcini simple la numere complexe. În mod convențional, problemele privind numerele complexe pot fi împărțite în următoarele categorii.

• Efectuarea celui mai simplu operatii aritmetice peste numere complexe.
• Găsirea rădăcinilor polinoamelor în numere complexe.
• Ridicarea numerelor complexe la putere.
• Extragerea rădăcinilor din numere complexe.
• Aplicarea numerelor complexe pentru rezolvarea altor probleme.

Acum luați în considerare tehnici generale solutii la aceste probleme.

Cele mai simple operații aritmetice cu numere complexe se efectuează conform regulilor descrise în prima secțiune, dar dacă numerele complexe sunt prezentate în forme trigonometrice sau exponențiale, atunci în acest caz ele pot fi convertite în formă algebrică și pot efectua operații conform regulilor cunoscute.

Găsirea rădăcinilor polinoamelor se reduce de obicei la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să presupunem că avem o ecuație pătratică, dacă discriminantul ei este nenegativ, atunci rădăcinile sale vor fi reale și se găsesc după o formulă binecunoscută. Dacă discriminantul este negativ, atunci D = -1∙a 2, Unde A este un anumit număr, atunci putem reprezenta discriminantul în formă D = (ia) 2, Prin urmare √D = i|a|, și apoi puteți utiliza renumită formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Exemplu. Înapoi la cele de mai sus ecuație pătratică x 2 + x + 1 = 0 .
discriminant - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Acum putem găsi cu ușurință rădăcinile:

Ridicarea numerelor complexe la o putere se poate face în mai multe moduri. Dacă doriți să ridicați un număr complex în formă algebrică la o putere mică (2 sau 3), atunci puteți face acest lucru prin înmulțire directă, dar dacă gradul este mai mare (în probleme este adesea mult mai mare), atunci trebuie să scrieți acest număr în forme trigonometrice sau exponențiale și folosiți metode deja cunoscute.

Exemplu. Se consideră z = 1 + i și se ridică la a zecea putere.
Scriem z în formă exponențială: z = √2 e iπ/4 .
Apoi z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Să revenim la forma algebrică: z 10 = -32i.

Extragerea rădăcinilor din numere complexe este operația inversă de exponențiere, deci se face într-un mod similar. Adesea folosit pentru extragerea rădăcinilor. forma indicativa intrări de numere.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile de gradul 3 de unitate. Pentru a face acest lucru, găsim toate rădăcinile ecuației z 3 = 1, vom căuta rădăcinile în formă exponențială.
Înlocuiți în ecuație: r 3 e 3iφ = 1 sau r 3 e 3iφ = e 0 .
Prin urmare: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, deci φ = 2πk/3.
Se obțin diverse rădăcini la φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Prin urmare 1 , e i2π/3 , e i4π/3 sunt rădăcini.
Sau sub formă algebrică:

Ultimul tip de sarcină include mare mulţime probleme și nu există metode generale de rezolvare a acestora. Iată un exemplu simplu de astfel de sarcină:

Găsiți suma sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Deși formularea acestei probleme nu în cauză despre numere complexe, dar cu ajutorul lor se poate rezolva cu ușurință. Pentru a o rezolva, se folosesc următoarele reprezentări:


Dacă substituim acum această reprezentare în sumă, atunci problema se reduce la însumarea progresiei geometrice obișnuite.

Concluzie

Numerele complexe sunt utilizate pe scară largă în matematică, în acest articol de recenzie au fost luate în considerare principalele operații asupra numerelor complexe, mai multe tipuri de sarcini standardși descris pe scurt metode comune solutiile acestora, pentru un studiu mai detaliat al posibilitatilor numerelor complexe se recomanda folosirea literaturii de specialitate.

Literatură

Numere complexe. Un număr complex este un număr de forma z=a+biabRi2=−1

Cometariu.
Numărul real a este partea reală a numărului z și este notat cu a=Rez
Numărul real b este partea imaginară a numărului z și se notează b=Imz
Numerele reale sunt un set complet de numere și operații pe ele, care, se pare, ar trebui să fie suficiente pentru a rezolva orice sarcini dintr-un curs de matematică. Dar cum se rezolvă o astfel de ecuație în numere reale x2+1=0? Există o altă extensie a numerelor - numere complexe. Numerele complexe pot lua rădăcini din numere negative.
Forma algebrică număr complex. Forma algebrică a unui număr complex este z=a+bi(aRbRi2=−1)

Cometariu. Dacă a=ReZ=0b=Imz=0, atunci numărul z se numește imaginar. Dacă a=ReZ=0b=Imz=0, atunci numărul z se numește pur imaginar

Interpretarea geometrică a numerelor reale este linia reală. În plus, pe linia reală „nu există loc pentru puncte noi”, adică orice punct de pe axa reală corespunde unui număr real. În consecință, numerele complexe nu mai pot fi localizate pe această linie, dar se poate încerca să se ia în considerare, alături de axa reală, pe care vom trasa partea reală a numărului complex, încă o axă perpendiculară pe acesta; o vom numi axa imaginară. Atunci orice număr complex z = a + ib poate fi asociat cu un punct din planul de coordonate. Vom trasa partea reală a numărului complex pe axa absciselor, iar partea imaginară pe axa ordonatelor. Astfel, se stabilește o corespondență unu-la-unu între toate numerele complexe și toate punctele planului. Dacă se construiește o astfel de corespondență, atunci plan de coordonate numit plan complex. Interpretarea numărului complex z = a + b i este vectorul OA cu coordonatele (a,b) cu începutul în punctul O(0,0) și sfârșitul în punctul A(a,b)

Numerele conjugate. Numerele z=a+bi și z=a−bi se numesc numere complexe conjugate

Proprietate. Suma și produsul a două numere complexe conjugate sunt numere reale: z+z=2azz=a2+b2

numere opuse. Numerele z=a+bi și −z=−a−bi se numesc numere complexe opuse.

Proprietate. Suma a două numere complexe opuse este zero:
z+(−z)=0

Numere egale. Se spune că două numere complexe sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale.

Operații cu numere complexe date în formă algebrică:

Proprietatea adunării: suma a două numere complexe z1=a+bi și z2=c+di va fi un număr complex de forma z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) i
Exemplu: 5+3i+3−i=8+2i

Proprietatea de scădere: diferența dintre două numere complexe z1=a+bi și z2=c+di va fi un număr complex de forma z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) i

Exemplu: . 5+3i−3−i=2+4i

Proprietatea înmulțirii: produsul a două numere complexe z1=a+bi și z2=c+di va fi un număr complex de forma z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i

Exemplu: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

Proprietatea împărțirii: câtul a două numere complexe z1=a+bi și z2=c+di va fi un număr complex de forma z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

Exemplu: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

Operații cu numere complexe date în formă trigonometrică
Scrierea numărului complex z = a + bi ca z=rcos+isin se numește forma trigonometrică a numărului complex.

Modulul unui număr complex: r=a2+b2

Argumentul numărului complex: cos=rasin=rb

Numere imaginare și complexe

Luați în considerare o ecuație pătratică incompletă:
x 2 \u003d a,
unde un - cantitate cunoscută. Rezolvarea acestei ecuații poate fi scrisă astfel:
Există trei cazuri posibile aici:

unu). Dacă a = 0, atunci x = 0.

2). În cazul în care un- număr pozitiv, apoi este Rădăcină pătrată are două sensuri: unul pozitiv, celălalt negativ; de exemplu, ecuația x 2 \u003d 25 are două rădăcini: 5 și - 5. Aceasta este adesea scrisă ca rădăcină cu un semn dublu:
3).Dacă a este un număr negativ, atunci această ecuație nu are soluții între numerele pozitive și negative cunoscute de noi, deoarece a doua putere a oricărui număr este un număr nenegativ (gândește-te la asta!). Dar dacă vrem să obținem soluții ale ecuației x 2 = a și pentru valori negative a, suntem nevoiți să introducem numere de tip nou - numere imaginare. Astfel, un număr imaginar este un număr a cărui a doua putere este un număr negativ. Conform acestei definiții a numerelor imaginare, putem defini și o unitate imaginară:
Atunci pentru ecuația x 2 = - 25 obținem două rădăcini imaginare:
Înlocuind ambele rădăcini în ecuația noastră, obținem o identitate. (Verifica!). Spre deosebire de numerele imaginare, toate celelalte numere (pozitive și negative, întregi și fracționale, raționale și iraționale) sunt numite reale sau numere reale. Suma realului și număr imaginar se numește număr complex și se notează:

unde a, b - numere reale, i este unitatea imaginară.

Exemple de numere complexe: 3 + 4 i , 7 - 13,6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i.

Amintiți-vă informatie necesara despre numerele complexe.

Număr complex este o expresie a formei A + bi, Unde A, b sunt numere reale și i- așa-zisul unitate imaginară, simbolul al cărui pătrat este -1, adică. i 2 = -1. Număr A numit parte reală, și numărul b - parte imaginară număr complex z = A + bi. În cazul în care un b= 0, atunci în loc de A + 0i scrie simplu A. Se poate observa că numerele reale sunt caz special numere complexe.

Operațiile aritmetice pe numere complexe sunt aceleași ca pe cele reale: ele pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite între ele. Adunarea și scăderea se procedează conform regulii ( A + bi) ± ( c + di) = (A ± c) + (b ± d)i, și înmulțirea - conform regulii ( A + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (anunț + bc)i(aici se folosește doar așa i 2 = -1). Număr = A – bi numit conjugare complexa la z = A + bi. Egalitate z · = A 2 + b 2 vă permite să înțelegeți cum să împărțiți un număr complex la un alt număr complex (diferit de zero):

(De exemplu, .)

Numerele complexe au un aspect convenabil și vizual reprezentare geometrică: număr z = A + bi poate fi reprezentat ca un vector cu coordonate ( A; b) pe plan cartezian(sau, care este aproape același, un punct - sfârșitul vectorului cu aceste coordonate). În acest caz, suma a două numere complexe este reprezentată ca suma vectorilor corespunzători (care poate fi găsită prin regula paralelogramului). După teorema lui Pitagora, lungimea vectorului cu coordonatele ( A; b) este egal cu . Această valoare este numită modul număr complex z = A + biși se notează cu | z|. Unghiul pe care îl face acest vector cu direcția pozitivă a axei x (numărat în sens invers acelor de ceasornic) se numește argument număr complex zşi notat cu Arg z. Argumentul nu este definit în mod unic, ci doar până la adăugarea unui multiplu de 2 π radiani (sau 360°, dacă numărați în grade) - la urma urmei, este clar că întoarcerea printr-un astfel de unghi în jurul originii nu va schimba vectorul. Dar dacă vectorul lungimii r formează un unghi φ cu direcția pozitivă a axei x, atunci coordonatele sale sunt egale cu ( r cos φ ; r păcat φ ). Prin urmare, se dovedește notație trigonometrică număr complex: z = |z| (cos(Arg z) + i păcat (Arg z)). Este adesea convenabil să scrieți numere complexe în această formă, deoarece simplifică foarte mult calculele. Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică pare foarte simplă: z unu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i păcat (Arg z 1+arg z 2)) (la înmulțirea a două numere complexe se înmulțesc modulele acestora și se adună argumentele). De aici urmează Formule De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i păcat( n(Arg z))). Cu ajutorul acestor formule, este ușor să înveți cum să extragi rădăcini de orice grad din numere complexe. Rădăcină gradul al n-lea din numărul z este un număr atât de complex w, ce w n = z. Este clar că , Si unde k poate lua orice valoare din multime (0, 1, ..., n- unu). Aceasta înseamnă că există întotdeauna exact n rădăcini n gradul de la un număr complex (în plan sunt situate la vârfurile unui regulat n-gon).