Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• Putem folosi, de asemenea, informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Ecuații și sisteme de ecuații de gradul I

Două numere sau câteva expresii legate prin semnul „=" formează egalitate. Dacă numerele sau expresiile date sunt egale pentru orice valoare a literelor, atunci o astfel de egalitate se numește identitate.

De exemplu, când se afirmă că pentru oricare A valabil:

A + 1 = 1 + A, aici egalitatea este o identitate.

Ecuaţie se numește egalitate care conține numere necunoscute marcat cu litere. Aceste litere sunt numite necunoscut. Pot exista mai multe necunoscute într-o ecuație.

De exemplu, în ecuația 2 X + la = 7X– 3 două necunoscute: Xși la.

Expresia din partea stângă a ecuației (2 X + la) se numește partea stângă a ecuației, iar expresia din partea dreaptă a ecuației (7 X– 3) se numește partea dreaptă.

Se numește valoarea necunoscutului la care ecuația devine o identitate decizie sau rădăcină ecuații.

De exemplu, dacă în ecuația 3 X+ 7=13 în loc de necunoscut Xînlocuiți numărul 2, obținem identitatea. Prin urmare, valoarea X= 2 satisface ecuația dată și numărul 2 este soluția sau rădăcina ecuației date.

Cele două ecuații sunt numite echivalent(sau echivalent), dacă toate soluțiile primei ecuații sunt soluții ale celei de-a doua și invers, toate soluțiile celei de-a doua ecuații sunt soluții ale primei. La ecuații echivalente includ și ecuații care nu au soluții.

De exemplu, ecuațiile 2 X– 5 = 11 și 7 X+ 6 = 62 sunt echivalente deoarece au aceeași rădăcină X= 8; ecuații X + 2 = X+ 5 și 2 X + 7 = 2X sunt echivalente deoarece ambele nu au soluții.

Proprietățile ecuațiilor echivalente

1. În ambele părți ale ecuației, puteți adăuga orice expresie care are sens pentru toți valori admise necunoscut; ecuația rezultată va fi echivalentă cu cea dată.

Exemplu. Ecuația 2 X– 1 = 7 are rădăcină X= 4. Adăugând 5 la ambele părți, obținem ecuația 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 sau 2 X+ 4 = 12 care are aceeași rădăcină X = 4.

2. Dacă ambele părți ale ecuației au aceiași termeni, atunci aceștia pot fi omise.

Exemplu. Ecuația 9 x + 5X = 18 + 5X are o singură rădăcină X= 2. Omitând în ambele părți 5 X, obținem ecuația 9 X= 18 care are aceeași rădăcină X = 2.

3. Orice termen al ecuației poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta prin schimbarea semnului său în opus.

Exemplu. Ecuația 7 X - 11 = 3 are o rădăcină X= 2. Dacă transferăm 11 în partea dreaptă cu semnul opus, obținem ecuația 7 X= 3 + 11 care are aceeași soluție X = 2.

4. Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite cu orice expresie (număr) care are sens și este diferită de zero pentru toate valorile admisibile ale necunoscutului, ecuația rezultată va fi echivalentă cu aceasta.

Exemplu. Ecuația 2 X - 15 = 10 – 3X are rădăcină X= 5. Înmulțind ambele părți cu 3, obținem ecuația 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) sau 6 X – 45 =30 – 9X, care are aceeași rădăcină X = 5.

5. Semnele tuturor termenilor ecuației pot fi inversate (acest lucru este echivalent cu înmulțirea ambelor părți cu (-1)).

Exemplu. Ecuația - 3 x + 7 = - 8 după înmulțirea ambelor părți cu (-1) va lua forma 3 X - 7 = 8. Prima și a doua ecuație au o singură rădăcină X = 5.

6. Ambele părți ale ecuației pot fi împărțite la același număr, altul decât zero (adică nu este egal cu zero).

Exemplu..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> este echivalent cu acesta deoarece are aceleași două rădăcini: și https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> după înmulțirea ambelor părți cu 14, va arăta astfel:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, unde numere arbitrare, X- necunoscut, numit ecuație de gradul întâi cu o necunoscută(sau liniar ecuație cu o necunoscută).

Exemplu. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

O ecuație de gradul întâi cu o necunoscută are întotdeauna o soluție; o ecuație liniară poate să nu aibă soluții () sau să le aibă set infinit(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

Decizie. Înmulțiți toți termenii din ecuație cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, care este 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Grupăm într-o parte (stânga) termenii care conțin necunoscutul, iar în cealaltă parte (dreapta) - termenii liberi:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Împărțind ambele părți la (-22), obținem X = 7.

Sisteme de două ecuații de gradul I cu două necunoscute

O ecuație precum https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> se numește ecuație de gradul I cu două necunoscute xși la. Dacă găsesc soluții comune la două sau mai multe ecuații, atunci ei spun că aceste ecuații formează un sistem, de obicei sunt scrise una sub alta și combinate cu o paranteză, de exemplu.

Se numește fiecare pereche de necunoscute care satisface simultan ambele ecuații ale sistemului soluție de sistem. Rezolvați sistemul- asta înseamnă să găsești toate soluțiile acestui sistem sau să arăți că nu le are. Cele două sisteme de ecuații se numesc echivalent (echivalent), dacă toate soluțiile uneia dintre ele sunt soluții ale celeilalte și invers, toate soluțiile celeilalte sunt soluții ale primei.

De exemplu, soluția sistemului este o pereche de numere X= 4 și la= 3. Aceste numere sunt de asemenea singura solutie sisteme . Prin urmare, aceste sisteme de ecuații sunt echivalente.

Modalități de rezolvare a sistemelor de ecuații

1. Cale adunare algebrică. Dacă coeficienții pentru o necunoscută din ambele ecuații sunt egali în valoare absolută, atunci adunând ambele ecuații (sau scăzând una din cealaltă), puteți obține o ecuație cu o necunoscută. Rezolvând această ecuație, se determină o necunoscută, iar substituind-o într-una dintre ecuațiile sistemului, se găsește a doua necunoscută.

Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații: 1) .

Aici coeficienții pentru la sunt egale ca valoare absolută, dar opuse ca semn. Pentru a obține o ecuație cu unul ecuație necunoscută adăugăm sistemele termen cu termen:

Valoare primită X= 4 substituim într-o ecuație a sistemului, de exemplu, în prima și găsim valoarea la: .

Răspuns: X = 4; la = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Metoda de înlocuire. Din orice ecuație a sistemului, exprimăm una dintre necunoscute în termeni de restul, apoi substituim valoarea acestei necunoscute în ecuațiile rămase. Luați în considerare această metodă cu exemple specifice:

1) Să rezolvăm sistemul de ecuații. Să exprimăm una dintre necunoscutele din prima ecuație, de exemplu X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Substitui la= 1 în expresia pentru X, primim .

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. În acest caz, este convenabil să se exprime la din a doua ecuație:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Înlocuiește valoarea X= 5 în expresia for la, obținem https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Să rezolvăm sistemul de ecuații https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Înlocuind această valoare în a doua ecuație, obținem o ecuație cu o necunoscută la: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Să rescriem sistemul ca: . Înlocuim necunoscutele prin setarea , obținem sistem liniar ..gif" width="11 height=17" height="17"> în a doua ecuație, obținem o ecuație cu o necunoscută:

Înlocuirea valorii vîn expresia pentru t, obținem: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> găsim .

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, unde sunt coeficienți pentru necunoscute, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, atunci sistemul are singurul lucru decizie.

B) Dacă https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, atunci sistemul are set infinit solutii.

Exemplu..gif" width="47" height="48 src=">), deci sistemul are o soluție unică.

Într-adevăr, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Exemplu..gif" width="91 height=48" height="48"> sau după reducere, prin urmare sistemul nu are soluții.

Exemplu..gif" width="116 height=48" height="48"> sau după scurtare , deci sistemul are un număr infinit de soluții.

Ecuații care conțin modul

La rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul se folosește conceptul de modul numar real. modul (valoare absolută ) numar real A numărul însuși se numește dacă și număr opus (– A), dacă https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Deci, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, deoarece numărul 3 > 0; , deoarece numărul este 5< 0, поэтому ; , la fel de (); , la fel de .

Proprietățile modulului:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Având în vedere că expresia de sub modul poate lua două valori https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, atunci ecuația dată reduce la rezolvarea a două ecuații: și sau și ..gif" width="52" height="20 src=">. Să facem o verificare înlocuind fiecare valoare Xîn starea: dacă https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Exemplu..gif" width="408" height="55">

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Exemplu..gif" width="137" height="20"> și . Lăsați deoparte valorile rezultate X pe axa numerica, împărțind-o în intervale:

Dacă https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, deoarece în acest interval, ambele expresii sunt sub semnul modulului mai putin de zero, și, eliminând modulul, trebuie să schimbăm semnul expresiei la opus. Să rezolvăm ecuația rezultată:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Valoarea limită poate fi inclusă atât în ​​primul, cât și în al doilea interval, la fel cum valoarea poate fi inclusă atât în ​​al doilea, cât și în al treilea. În al doilea interval, ecuația noastră va lua forma: - această expresie nu are sens, adică pe acest interval, ecuația soluțiilor nu are soluții sub semnul modulului, le echivalăm cu zero Găsim rădăcinile tuturor expresiilor, cu

Următoarea spațiere https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, unde a, b, c sunt numere arbitrare ( A≠ 0), și X este o variabilă numită pătrat. Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să calculați discriminantul D = b 2 – 4ac. În cazul în care un D> 0, atunci ecuația pătratică are două soluții (rădăcini): și .

În cazul în care un D= 0, ecuația pătratică are evident două solutii identice(multiplii rădăcinii).

În cazul în care un D< 0, квадратное уравнение не имеет rădăcini adevărate.

Dacă unul dintre coeficienţi b sau c zero, atunci ecuația pătratică poate fi rezolvată fără a calcula discriminantul:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> X(topor+ b)=0

2)topor 2 + c = 0 topor 2 = – c; dacă https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Există dependențe între coeficienții și rădăcinile ecuației pătratice, cunoscute sub numele de formule sau teorema lui Vieta:

Bisquare ecuațiile sunt ecuații de forma https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, apoi din ecuația inițială obținem o ecuație pătratică, din pe care le găsim la, și apoi X, conform formulei .

Exemplu. rezolva ecuatia . Aducem expresiile din ambele părți ale egalității la numitor comun..gif" width="212" height="29 src=">. Rezolvăm ecuația pătratică rezultată: , în această ecuație A= 1, b= –2,c= -15, atunci discriminantul este egal cu: D = b 2 – 4ac= 64. Rădăcinile ecuației: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Facem înlocuirea. Apoi ecuația devine este o ecuație pătratică, unde A= 1, b= – 4,c= 3, discriminantul său este: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Rădăcinile ecuației pătratice sunt egale, respectiv: și .

Rădăcinile ecuației originale , , , ..gif" width="78" height="51">, unde PN(X) și P.m(X) sunt polinoame de grade nși m respectiv. O fracție este zero dacă numărătorul este zero și numitorul nu, dar o astfel de ecuație polinomială se obține în principal numai după transformări lungi, tranziții de la o ecuație la alta. Prin urmare, în procesul de rezolvare, fiecare ecuație este înlocuită cu una nouă, iar cea nouă poate avea rădăcini noi. Să urmărești aceste modificări ale rădăcinilor, să previi pierderea rădăcinilor și să le poți respinge pe cele suplimentare este sarcina decizia corectă ecuații.

Este clar că cel mai bun mod- de fiecare dată înlocuiți o ecuație cu una echivalentă, atunci rădăcinile ultimei ecuații vor fi rădăcinile celei inițiale. Totuși, așa calea perfecta greu de implementat în practică. De regulă, ecuația este înlocuită cu consecința ei, care nu este neapărat echivalentă cu ea, în timp ce toate rădăcinile primei ecuații sunt rădăcinile celei de-a doua, adică nu are loc pierderea rădăcinilor, ci a celor străine. poate apărea (sau poate să nu apară). În cazul în care cel puțin o dată în procesul transformărilor ecuația a fost înlocuită cu una inegală, avem nevoie de verificare obligatorie rădăcinile obţinute.

Deci, dacă soluția a fost efectuată fără o analiză a echivalenței și a surselor rădăcinilor străine, verificarea este parte obligatorie solutii. Fără verificare, soluția nu va fi considerată completă, chiar dacă rădăcini străine nu a aparut. Când au apărut și nu au fost aruncate, atunci această decizie este pur și simplu greșită.

Iată câteva proprietăți ale unui polinom:

Rădăcina polinomului apelează valoarea X, pentru care polinomul este egal cu zero. Orice polinom de gradul n are exact n rădăcini. Dacă ecuația polinomială este scrisă ca , atunci , Unde X 1, X 2,…, xn sunt rădăcinile ecuației.

Orice polinom are chiar gradul cu coeficienți reali există cel puțin o rădăcină reală și, în general, are întotdeauna un număr impar de rădăcini reale. Este posibil ca un polinom de grad par să nu aibă rădăcini reale, iar atunci când au, numărul lor este par.

Un polinom poate fi descompus în orice circumstanțe factori liniariși trinoame pătrate cu discriminant negativ. Dacă îi cunoaștem rădăcina X 1, atunci PN(X) = (X - X 1) Pn- 1(X).

În cazul în care un PN(X) = 0 este o ecuație de grad par, apoi pe lângă metoda de factorizare, puteți încerca să introduceți o modificare de variabilă, cu ajutorul căreia gradul ecuației va scădea.

Exemplu. Rezolvați ecuația:

Această ecuație de gradul trei (impar) înseamnă că este imposibil să se introducă o variabilă auxiliară care să scadă gradul ecuației. Trebuie rezolvat prin factorizarea părții stângi, pentru care deschidem mai întâi parantezele, apoi o scriem în formă standard.

Primim: X 3 + 5X – 6 = 0.

Aceasta este ecuația redusă (coeficientul at cel mai înalt grad egal cu unu), deci îi căutăm rădăcinile printre factorii termenului liber - 6. Acestea sunt numerele ±1, ±2, ±3, ±6. Înlocuind x= 1 în ecuație, vedem că x= 1 este rădăcina sa, deci polinomul X 3 + 5X–6 = 0 împărțit la ( X- 1) fără reziduuri. Să facem această împărțire:

X 3 + 5X –6 = 0 X- 1

X 3 – X 2 X 2+x + 6

X 2 + 5X- 6

X 2- X

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 X- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 X- 6

Asa de X 3 + 5X –6 = 0; (X- 1)(X 2+ x + 6) = 0

Prima ecuație dă rădăcina x= 1, care este deja selectat, și în a doua ecuație D< 0, nu are solutii reale. Deoarece ODZ a acestei ecuații, este posibil să nu se verifice.

Exemplu..gif" width="52" height="21 src=">. Dacă înmulțiți primul factor cu al treilea, iar al doilea cu al patrulea, atunci aceste produse vor avea aceleași părți, care depind de X: (X 2 + 4X – 5)(X 2 + 4X – = 0.

Lasa X 2 + 4X = y, apoi scriem ecuația sub forma ( y – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Această ecuație pătratică are soluții: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: X ≠ – 9.

Dacă reducem această ecuație la un numitor comun, în numărător va apărea un polinom de gradul al patrulea. Deci, este permisă schimbarea variabilei, ceea ce va scădea gradul ecuației. Prin urmare, nu este necesar să se reducă imediat această ecuație la un numitor comun. Aici puteți vedea că în stânga este suma pătratelor. Deci, îl puteți adăuga la pătrat plin sume sau diferențe. De fapt, scădeți și adăugați de două ori produsul bazelor acestor pătrate: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, apoi y 2 + 18y– 40 = 0. Conform teoremei Vieta y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, iar în al doilea D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Obținem o ecuație pătratică A(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Ecuații iraționale

iraţional numită ecuație în care variabila este conținută sub semnul radicalului (rădăcină ) sau sub semnul cotei spre grad fracționar()..gif" width="120" height="32"> și au același domeniu de definire a necunoscutului. Când punem la pătrat prima și a doua ecuație, obținem aceeași ecuație . Soluțiile acestei ecuații sunt soluțiile ambelor ecuații iraționale.

1. Metoda de substituire: din orice ecuație a sistemului exprimăm o necunoscută în termenii alteia și o înlocuim în a doua ecuație a sistemului.

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Decizie. Din prima ecuație a sistemului, exprimăm la prin Xși înlocuiți în a doua ecuație a sistemului. Să luăm sistemul echivalent cu originalul.

După aducerea unor astfel de condiții, sistemul va lua forma:

Din a doua ecuație găsim: . Înlocuind această valoare în ecuație la = 2 - 2X, primim la= 3. Prin urmare, soluția acestui sistem este o pereche de numere .

2. Metoda adunării algebrice: prin adăugarea a două ecuații, obțineți o ecuație cu o variabilă.

Sarcină. Rezolvați ecuația sistemului:

Decizie.Înmulțind ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu 2, obținem sistemul echivalent cu originalul. Adunând cele două ecuații ale acestui sistem, ajungem la sistem

După reducerea termenilor similari, acest sistem va lua forma: Din a doua ecuație găsim . Înlocuind această valoare în ecuația 3 X + 4la= 5, obținem , Unde . Prin urmare, soluția acestui sistem este o pereche de numere.

3. Metoda de introducere a noilor variabile: căutăm câteva expresii repetate în sistem, pe care le vom nota prin variabile noi, simplificând astfel forma sistemului.

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Decizie. Să scriem acest sistem in caz contrar:

Lasa x + y = tu, hu = v. Apoi obținem sistemul

Să rezolvăm prin metoda substituției. Din prima ecuație a sistemului, exprimăm u prin vși înlocuiți în a doua ecuație a sistemului. Să luăm sistemul acestea.

Din a doua ecuație a sistemului găsim v 1 = 2, v 2 = 3.

Înlocuind aceste valori în ecuație u = 5 - v, primim u 1 = 3,
u 2 = 2. Atunci avem două sisteme

Rezolvând primul sistem, obținem două perechi de numere (1; 2), (2; 1). Al doilea sistem nu are soluții.

Exerciții pentru munca independentă

1. Rezolvați sisteme de ecuații folosind metoda substituției.

Sisteme de ecuații primite aplicare largăîn sectorul economic modelare matematică diverse procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în domeniul matematicii, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

sistem ecuatii lineare numiți două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să le găsiți decizie comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele, a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea ecuației prin reprezentarea graficului acesteia va arăta ca o dreaptă, toate punctele căreia sunt soluția polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple sunt exemplele de sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvați un sistem de ecuații - înseamnă să găsești astfel de valori (x, y) pentru care sistemul devine o egalitate adevărată sau să stabilești că nu există valori adecvate ale lui x și y.

O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonate punctuale, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme partea dreaptă care este egal cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul „egal” are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem nu este omogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

În fața sistemelor, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă neapărat cu numărul de necunoscute, dar nu este așa. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile, poate exista un număr arbitrar de mare al acestora.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există comun metoda analitica soluții de sisteme similare, toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul de matematică școlar descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metoda grafică și matriceală, soluția prin metoda Gauss.

Sarcina principală în predarea metodelor de rezolvare este de a preda cum să analizăm corect sistemul și să găsim algoritm optim soluții pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorați un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegeți principiile aplicării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din clasa a VII-a a programului școală gimnazială destul de simplu și explicat în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primele cursuri ale instituțiilor de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile prin a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o singură formă variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm un exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa a 7-a prin metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Decizie acest exemplu nu provoacă dificultăți și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor primite.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și expresia variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, soluția de substituție este, de asemenea, nepractică.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

Când se caută o soluție pentru sisteme prin metoda adunării, adunarea termen cu termen și înmulțirea ecuațiilor cu diverse numere. scopul suprem operatii matematice este o ecuație cu o variabilă.

Pentru aplicații aceasta metoda este nevoie de practică și observație. Nu este ușor să rezolvi un sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării cu numărul de variabile 3 sau mai mult. Adunarea algebrică este utilă atunci când ecuațiile conțin fracții și numere zecimale.

Algoritm de acțiune a soluției:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un număr. Ca urmare operație aritmetică unul dintre coeficienții variabilei trebuie să devină egal cu 1.
2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul trebuie să găsească o soluție pentru nu mai mult de două ecuații, numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată în raport cu necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este utilizată pentru a determina variabila inițială.

Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la standard. trinom pătrat. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se găsească valoarea discriminantului prin formula binecunoscuta: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt multiplicatorii polinomului. LA exemplu dat a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o singură soluție: x= -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

O metodă vizuală pentru rezolvarea sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda este de a construi pe axa de coordonate grafice ale fiecărei ecuații incluse în sistem. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Luați în considerare câteva exemple de rezolvare vizuală a sistemelor de ecuații liniare.

După cum se poate vedea din exemplu, s-au construit două puncte pentru fiecare linie, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

LA exemplul următor obligat să găsească solutie grafica sisteme de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite, devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie amintit că nu se poate spune întotdeauna dacă sistemul are o soluție sau nu, este întotdeauna necesar să se construiască un grafic.

Matrix și soiurile sale

Matricele sunt folosite pentru abreviere sisteme de ecuații liniare. Un tabel se numește matrice. un fel special plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice cu o singură coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. Matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și altele zero elemente numit singular.

O matrice inversă este o astfel de matrice, atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-una unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În ceea ce privește sistemele de ecuații, coeficienții și membrii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere ale matricei, o ecuație este un rând al matricei.

Un rând de matrice este numit diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este egal cu zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 - matrice inversă, și |K| - determinant matriceal. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice două câte două, este necesar doar să înmulțim elementele în diagonală între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numerele coloanei și rândurilor elementelor să nu se repete în produs.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții face posibilă reducerea notațiilor greoaie la rezolvarea sistemelor cu cantitate mare variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabilele, iar b n sunt termenii liberi.

Rezolvarea sistemelor prin metoda Gauss

LA matematica superioara metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a unei soluții la sisteme se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile de sistem cu o mulțime de ecuații liniare.

Metoda Gaussiană este foarte asemănătoare cu soluțiile de substituție și adiție algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlii, soluția Gauss este folosită pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a aduce sistemul la forma unui trapez inversat. cale transformări algebrice iar substituțiile este valoarea unei variabile într-una dintre ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute și 3 și 4 - cu 3 și, respectiv, 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

LA manualele școlare pentru gradul 7, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gauss este greu de înțeles de către elevi liceu, dar este una dintre cele mai multe moduri interesante pentru a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși în program studiu aprofundat la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării calculelor, este obișnuit să faceți următoarele:

Coeficienții ecuației și termenii liberi se scriu sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de partea dreaptă. Numerele romane denotă numerele de ecuații din sistem.

În primul rând, notează matricea cu care să lucreze, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată este scrisă după semnul „săgeată” și continuă să efectueze ceea ce este necesar actiuni algebrice până la atingerea rezultatului.

Ca rezultat, ar trebui să se obțină o matrice în care una dintre diagonale este 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o singură formă. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numerele ambelor părți ale ecuației.

Această notație este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.

Aplicarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și o anumită experiență. Nu toate metodele sunt aplicate. Unele moduri de a găsi soluții sunt mai preferabile într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopul învățării.

I. Ecuații diferențiale obișnuite

1.1. Concepte de bază și definiții

O ecuație diferențială este o ecuație care leagă o variabilă independentă X, funcția dorită yși derivatele sau diferențialele sale.

Simbolic ecuație diferențială este scris asa:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

O ecuație diferențială se numește obișnuită dacă funcția dorită depinde de o variabilă independentă.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale se numește o astfel de funcție care transformă această ecuație într-o identitate.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate din această ecuație

Exemple.

1. Considerăm ecuația diferențială de ordinul întâi

Soluția acestei ecuații este funcția y = 5 ln x. Într-adevăr, prin înlocuire y"în ecuație, obținem - o identitate.

Și asta înseamnă că funcția y = 5 ln x– este soluția acestei ecuații diferențiale.

2. Considerăm ecuația diferențială de ordinul doi y" - 5y" + 6y = 0. Funcția este soluția acestei ecuații.

Într-adevăr, .

Înlocuind aceste expresii în ecuație, obținem: , - identitate.

Și asta înseamnă că funcția este soluția acestei ecuații diferențiale.

Integrarea ecuațiilor diferențiale este procesul de găsire a soluțiilor ecuațiilor diferențiale.

Soluția generală a ecuației diferențiale se numește o funcție a formei , care include tot atâtea constante arbitrare independente câte ordinea ecuației.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale se numește soluție obținută din soluția generală pentru diferite valori numerice ale constantelor arbitrare. Valorile constantelor arbitrare se găsesc la anumite valori inițiale ale argumentului și funcției.

Graficul unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale se numește curba integrala.

Exemple

1. Găsiți o anumită soluție pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi

xdx + ydy = 0, dacă y= 4 at X = 3.

Decizie. Integrând ambele părți ale ecuației, obținem

Cometariu. O constantă arbitrară C obținută ca rezultat al integrării poate fi reprezentată în orice formă convenabilă pentru transformări ulterioare. În acest caz, ținând cont de ecuația canonică a cercului, este convenabil să se reprezinte o constantă arbitrară С sub forma .

este soluția generală a ecuației diferențiale.

O soluție particulară a unei ecuații care satisface condițiile inițiale y = 4 at X = 3 se găsește din general prin substituirea condițiilor inițiale în soluția generală: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Înlocuind C=5 în soluția generală, obținem x2+y2 = 5 2 .

Aceasta este o soluție particulară a ecuației diferențiale obținute din soluția generală în condiții inițiale date.

2. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale

Rezolvarea acestei ecuații este orice funcție de forma , unde C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, substituind în ecuații, obținem: , .

Prin urmare, această ecuație diferențială are un număr infinit de soluții, deoarece pentru diferite valori ale constantei C, egalitatea determină diverse solutii ecuații.

De exemplu, prin substituție directă, se poate verifica dacă funcțiile sunt soluții ale ecuației .

O problemă în care este necesar să se găsească o anumită soluție a ecuației y" = f(x, y) satisfacerea conditiei initiale y(x0) = y0, se numește problema Cauchy.

Soluția ecuației y" = f(x, y), îndeplinind condiția inițială, y(x0) = y0, se numește o soluție la problema Cauchy.

Rezolvarea problemei Cauchy are un sens geometric simplu. Într-adevăr, conform acestor definiții, pentru a rezolva problema Cauchy y" = f(x, y) dat fiind y(x0) = y0, înseamnă a găsi curba integrală a ecuației y" = f(x, y) care trece prin punct dat M0 (x0,y 0).

II. Ecuații diferențiale de ordinul întâi

2.1. Noțiuni de bază

O ecuație diferențială de ordinul întâi este o ecuație de formă F(x,y,y") = 0.

Ecuația diferențială de ordinul întâi include derivata întâi și nu include derivate de ordin superior.

Ecuația y" = f(x, y) se numește ecuație de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

O soluție generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi este o funcție de forma , care conține o constantă arbitrară.

Exemplu. Să considerăm o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția acestei ecuații este funcția .

Într-adevăr, înlocuind în această ecuație cu valoarea ei, obținem

adică 3x=3x

Prin urmare, funcția este o soluție generală a ecuației pentru orice constantă C.

Găsiți o soluție particulară a acestei ecuații care satisface condiția inițială y(1)=1Înlocuirea condițiilor inițiale x=1, y=1în soluția generală a ecuației , obținem de unde C=0.

Astfel, se obține o soluție particulară din cea generală prin substituirea în această ecuație a valorii rezultate C=0 este o decizie privată.

2.2. Ecuații diferențiale cu variabile separabile

O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de forma: y"=f(x)g(y) sau prin diferenţiale , unde f(x)și g(y) sunt date funcții.

Pentru cei y, pentru care , ecuația y"=f(x)g(y) este echivalentă cu ecuația în care variabila y este prezentă doar pe partea stângă, iar variabila x este prezentă doar pe partea dreaptă. Ei spun, „în ecuație y"=f(x)g(y separarea variabilelor.

Tip ecuație se numește ecuație de variabilă separată.

După integrarea ambelor părți ale ecuației pe X, primim G(y) = F(x) + C este soluția generală a ecuației, unde G(y)și F(x) sunt niste antiderivate, respectiv, ale functiilor si f(x), C constantă arbitrară.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

Exemplul 1

rezolva ecuatia y" = xy

Decizie. Derivata unei functii y"înlocui cu

separăm variabilele

Să integrăm ambele părți ale egalității:

Exemplul 2

2aa" = 1- 3x 2, dacă y 0 = 3 la x0 = 1

Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Să o reprezentăm în diferențe. Pentru a face acest lucru, rescriem această ecuație sub forma De aici

Integrând ambele părți ale ultimei egalități, găsim

Înlocuirea valorilor inițiale x 0 = 1, y 0 = 3 găsi Cu 9=1-1+C, adică C = 9.

Prin urmare, integrala parțială dorită va fi sau

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o curbă care trece printr-un punct M(2;-3)şi având o tangentă cu pantă

Decizie. Conform conditiei

Aceasta este o ecuație de variabilă separabilă. Împărțind variabilele, obținem:

Integrând ambele părți ale ecuației, obținem:

Folosind condițiile inițiale, x=2și y=-3 găsi C:

Prin urmare, ecuația dorită are forma

2.3. Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

O ecuație diferențială liniară de ordinul întâi este o ecuație de formă y" = f(x)y + g(x)

Unde f(x)și g(x)- unele funcţii date.

În cazul în care un g(x)=0 atunci ecuația diferențială liniară se numește omogenă și are forma: y" = f(x)y

Dacă atunci ecuația y" = f(x)y + g(x) numite eterogene.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene y" = f(x)y dat de formula: unde Cu este o constantă arbitrară.

În special, dacă C \u003d 0, atunci solutia este y=0 Dacă liniară ecuație omogenă are forma y" = ky Unde k este o constantă, atunci soluția sa generală are forma: .

Rezolvarea generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene y" = f(x)y + g(x) dat de formula ,

acestea. este egală cu suma soluției generale a ecuației liniare omogene corespunzătoare și a soluției particulare a acestei ecuații.

Pentru o ecuație liniară neomogenă de formă y" = kx + b,

Unde kși b- unele numere și o anumită soluție vor fi o funcție constantă. Prin urmare, soluția generală are forma .

Exemplu. rezolva ecuatia y" + 2y +3 = 0

Decizie. Reprezentăm ecuația sub formă y" = -2y - 3 Unde k=-2, b=-3 Soluția generală este dată de formula .

Prin urmare, unde C este o constantă arbitrară.

2.4. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Bernoulli

Găsirea unei soluții generale pentru o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi y" = f(x)y + g(x) reduce la rezolvarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate folosind substituția y=uv, Unde uși v- funcții necunoscute de la X. Această metodă de soluție se numește metoda Bernoulli.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

y" = f(x)y + g(x)

1. Introduceți o înlocuire y=uv.

2. Diferențiază această egalitate y"=u"v + uv"

3. Înlocuitor yși y"în această ecuație: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) sau u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupați termenii ecuației astfel încât u scoate-l din paranteze:

5. Din paranteză, echivalând cu zero, găsiți funcția

Aceasta este o ecuație separabilă:

Împărțiți variabilele și obțineți:

Unde . .

6. Înlocuiți valoarea primită vîn ecuație (de la punctul 4):

și găsiți funcția Aceasta este o ecuație separabilă:

7. Scrieți soluția generală sub forma: , adică .

Exemplul 1

Găsiți o anumită soluție a ecuației y" = -2y +3 = 0 dacă y=1 la x=0

Decizie. Să rezolvăm cu înlocuire y=uv,.y"=u"v + uv"

Înlocuind yși y"în această ecuație, obținem

Grupând al doilea și al treilea termen din partea stângă a ecuației, scoatem factorul comun u din paranteze

Echivalăm expresia dintre paranteze cu zero și, după ce am rezolvat ecuația rezultată, găsim funcția v = v(x)

Avem o ecuație cu variabile separate. Integram ambele părți ale acestei ecuații: Găsiți funcția v:

Înlocuiți valoarea rezultată vîn ecuație obținem:

Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Integram ambele parti ale ecuatiei: Să găsim funcția u = u(x,c) Să găsim o soluție generală: Să găsim o soluție particulară a ecuației care satisface condițiile inițiale y=1 la x=0:

III. Ecuații diferențiale de ordin superior

3.1. Concepte de bază și definiții

O ecuație diferențială de ordinul doi este o ecuație care conține derivate nu mai mari decât ordinul doi. În cazul general, ecuația diferențială de ordinul doi se scrie astfel: F(x,y,y",y") = 0

Soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi este o funcție de forma , care include două constante arbitrare C1și C2.

O soluție particulară a unei ecuații diferențiale de ordinul doi este o soluție obținută din cea generală pentru unele valori ale constantelor arbitrare C1și C2.

3.2. Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu rapoarte constante.

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți se numește ecuație de formă y" + py" + qy = 0, Unde pși q sunt valori constante.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

1. Scrieți ecuația diferențială sub forma: y" + py" + qy = 0.

2. Compuneți ecuația sa caracteristică, notând y" prin r2, y" prin r, yîn 1: r2 + pr +q = 0