Úvod
1.1 Základné pojmy a definície
Formula 1.3 Cardano
2. Riešenie problémov
Záver
Úvod
Rovnice. S istotou sa dá povedať, že neexistuje jediný človek, ktorý by sa v nich nevyznal. Od útleho veku deti začínajú riešiť „problémy s X“. Ďalej viac. Je pravda, že pre mnohých sa zoznámenie s rovnicami končí školskými záležitosťami. Slávny nemecký matematik Courant napísal: „Viac ako dvetisíc rokov bolo potrebné vlastniť nejaké, nie príliš povrchné, znalosti v oblasti matematiky. neoddeliteľnou súčasťou v intelektuálnom inventári každého z nich vzdelaný človek". A medzi tieto znalosti patrila aj schopnosť riešiť rovnice.
Už v staroveku si ľudia uvedomili, aké dôležité je naučiť sa riešiť algebraické rovnice tvaru
a0xn + a1xn - 1 + ... + an = 0
veď sa na ne redukuje veľmi veľa a veľmi rôznorodých otázok praxe a prírodných vied (samozrejme, tu môžeme hneď predpokladať, že a0 ¹ 0, keďže inak stupeň rovnice v skutočnosti nie je n, ale menej). Mnohí, samozrejme, prišli s lákavou myšlienkou nájsť vzorce pre ľubovoľnú mocninu n, ktoré by vyjadrovali korene rovnice z hľadiska jej koeficientov, teda riešili by rovnicu v radikáloch. Ukázalo sa však, že „pochmúrny stredovek“ bol vo vzťahu k diskutovanému problému čo najpochmúrnejší - celých sedem storočí nikto nenašiel požadované vzorce! Až v 16. storočí sa talianskym matematikom podarilo posunúť ďalej - nájsť vzorce pre n \u003d 3 a 4. História ich objavov a dokonca aj autorstvo nájdených vzorcov sú dodnes dosť nejasné a my to nezistíme tu komplikovaný vzťah medzi Ferro, Cardano, Tartaglia a Ferrari, ale povedzme to lepšie matematická podstata záležitostiach.
Cieľom práce je preskúmať rôzne metódy riešenia rovníc tretieho stupňa.
Na dosiahnutie tohto cieľa je potrebné vykonať niekoľko úloh:
-Analýza vedeckej literatúry;
-Analýza školských učebníc;
-Výber príkladov na riešenie;
-Riešenie rovníc rôznymi metódami.
Práca pozostáva z dvoch častí. Prvá sa zaoberá rôznymi metódami riešenia rovníc. Druhá časť je venovaná riešeniu rovníc rôzne cesty.
1. Teoretická časť
1 Základné pojmy a definície
Kubická rovnica je rovnica tretieho stupňa tvaru:
Číslo x, ktoré mení rovnicu na identitu, sa nazýva koreň alebo riešenie rovnice. Je to tiež koreň polynómu tretieho stupňa, ktorý je na ľavej strane kanonickej notácie.
V oblasti komplexných čísel má podľa základnej vety algebry kubická rovnica vždy 3 korene (berúc do úvahy násobnosť).
Pretože každý skutočný polynóm nie je párny stupeň má aspoň jeden reálny koreň, všetky možné prípady zloženia koreňov kubickej rovnice sú vyčerpané tromi popísanými nižšie. Tieto prípady sa dajú ľahko rozlíšiť pomocou diskriminantu
Existujú teda iba tri možné prípady:
Ak? > 0, potom má rovnica tri rôzne reálne korene.
Ak?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
Ak? = 0, potom sa aspoň dva korene zhodujú. Môže to byť vtedy, keď má rovnica dvojitý skutočný koreň a iný iný skutočný koreň; alebo všetky tri korene sa zhodujú a tvoria odmocninu násobnosti 3. Výslednica kubickej rovnice a jej druhá derivácia pomáha oddeliť tieto dva prípady: polynóm má koreň násobnosti 3 vtedy a len vtedy, ak je naznačená výslednica tiež nula.
Korene kubickej rovnice súvisia s koeficientmi takto:
1.2 Metódy riešenia kubických rovníc
Najbežnejšou metódou riešenia kubických rovníc je metóda enumerácie.
Najprv výpočtom nájdeme jeden z koreňov rovnice. Faktom je, že kubické rovnice vždy mať najmenej jeden skutočný koreň, a celočíselný koreň kubickej rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom voľného člena d. Koeficienty týchto rovníc sa zvyčajne volia tak, aby požadovaný koreň ležal medzi malými celými číslami, napr.: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Preto budeme hľadať koreň medzi týmito číslami a skontrolujeme ho dosadením do rovnica. Úspešnosť tohto prístupu je veľmi vysoká. Predpokladajme tento koreň.
Druhou fázou riešenia je delenie polynómu binómom x - x1. Podľa Bezoutovej vety je toto delenie bezo zvyšku možné a v dôsledku toho dostaneme polynóm druhého stupňa, ktorý sa musí rovnať nule. Riešením výslednej kvadratickej rovnice nájdeme (alebo nie) zvyšné dva korene.
Riešenie dvojčlennej kubickej rovnice
Dvojčlenná kubická rovnica má tvar (2)
Táto rovnica sa redukuje do tvaru delením nenulovým koeficientom A. Ďalej sa použije vzorec pre skrátené násobenie súčtu kociek:
Z prvej zátvorky nájdeme a štvorcovú trojčlenku má len zložité korene.
Opakujúce sa kubické rovnice
Recipročná kubická rovnica má tvar a B-koeficienty.
Poďme do skupiny:
Je zrejmé, že x=-1 je koreň takejto rovnice a korene výslednej štvorcovej trojčlenky sa dajú ľahko nájsť pomocou diskriminantu.
Formula 1.3 Cardano
AT všeobecný prípad, korene kubickej rovnice nájdeme podľa Cardanovho vzorca.
Pre kubickú rovnicu (1) sa hodnoty nachádzajú pomocou substitúcie: x= (2) a rovnica sa redukuje na tvar:
neúplná kubická rovnica, v ktorej nebude člen obsahujúci druhý stupeň.
Predpokladáme, že rovnica má koeficienty komplexné čísla. Táto rovnica bude mať vždy zložité korene.
Označme jeden z týchto koreňov: . Zavedieme pomocnú neznámu u a uvažujeme polynóm f(u)=.
Označme korene tohto polynómu cez? a?, podľa Viettovho teorému (pozri str. 8):
Dosadíme do rovnice (3), výrazu (4), dostaneme:
Z druhej strany (5): (7)
Z toho, t.j. zo vzorcov (6), (7), vyplýva, že čísla sú koreňmi rovnice:
Z poslednej rovnice:
Ďalšie dva korene nájdeme podľa vzorca:
1.4 trigonometrický vzorec Vieta
Tento vzorec nájde riešenia redukovanej kubickej rovnice, teda rovnice tvaru
Je zrejmé, že akúkoľvek kubickú rovnicu možno zredukovať na rovnicu tvaru (4) jednoduchým delením koeficientom a. Takže algoritmus na použitie tohto vzorca:
Vypočítajte
2. Vypočítajte
3. a) Ak, tak vypočítaj
A naša rovnica má 3 korene (skutočné):
b) Ak, potom vymeňte goniometrické funkcie hyperbolický.
Vypočítajte
Potom jediný koreň (skutočný):
Imaginárne korene:
C) Ak, potom má rovnica menej ako tri rôzne riešenia:
2. Riešenie problémov
Príklad 1. Nájdite skutočné korene kubickej rovnice
Aplikujeme vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek:
Z prvej zátvorky zistíme, že štvorcová trojčlenka v druhej zátvorke nemá skutočné korene, pretože diskriminant je záporný.
Príklad 2. Vyriešte rovnicu
Táto rovnica je recipročná. Poďme do skupiny:
je koreňom rovnice. Hľadanie koreňov štvorcového trojčlenu
Príklad 3. Nájdite korene kubickej rovnice
Transformujme rovnicu na redukovanú: vynásobme oboma časťami a urobme zmenu premennej.
Voľný člen je 36. Zapíšme si všetkých jeho deliteľov:
Postupne ich nahrádzame rovnosťou, kým nezískame identitu:
Tak, je koreň. Zhoduje sa
Rozdeľte pomocou Hornerovej schémy.
Koeficienty polynómu2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0
Dostaneme
Poďme nájsť korene štvorcového trojčlenu:
Je zrejmé, že jeho viacnásobný koreň je.
Príklad 4. Nájdite skutočné korene rovnice
je koreňom rovnice. Nájdite korene štvorcového trojčlenu.
Od diskriminačného menej ako nula, potom trojčlenka nemá skutočné korene.
Príklad 5. Nájdite korene kubickej rovnice 2.
teda
Do vzorca Cardano nahrádzame:
nadobúda tri hodnoty. Poďme si ich zapísať.
Keď máme
Keď máme
Keď máme
Rozdeľme tieto hodnoty do párov, ktoré v produkte dávajú
Prvý pár hodnôt a
Druhá dvojica hodnôt a
Tretí pár hodnôt a
Späť k Cardanovmu vzorcu
teda
Záver
kubická trojčlenná rovnica
V dôsledku exekúcie ročníková práca skúmali sa rôzne metódy riešenia rovníc tretieho stupňa, ako napríklad metóda enumerácie, Caranov vzorec, Vietov vzorec, metódy riešenia recipročných, dvojčlenných rovníc.
Zoznam použitých zdrojov
1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "Príručka matematiky pre inžinierov a študentov technických univerzít", M., 1986.
2)Kolmogorov A.N. Algebra a začiatky analýzy. Študijná príručka pre 9. ročník stredná škola, 1977.
)Omelčenko V.P. matematika: tutoriál/ V.P. Omelčenko, E. V. Kurbatová. - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380. roky.
Doučovanie
Potrebujete pomôcť s učením témy?
Naši odborníci vám poradia alebo poskytnú doučovacie služby na témy, ktoré vás zaujímajú.
Odošlite žiadosť s uvedením témy práve teraz, aby ste sa dozvedeli o možnosti konzultácie.
Naučte sa riešiť kubické rovnice. Zvažuje sa prípad, keď je známy jeden koreň. Metódy hľadania celých čísel a racionálne korene. Aplikácia vzorcov Cardano a Vieta na riešenie akejkoľvek kubickej rovnice.
Tu uvažujeme o riešení kubických rovníc tvaru
(1)
.
Ďalej predpokladáme, že je to tak reálne čísla.
(2)
,
po jej delení dostaneme rovnicu tvaru (1) s koeficientmi
.
Rovnica (1) má tri korene: , a . Jeden z koreňov je vždy skutočný. Skutočný koreň označujeme ako . Korene a môžu byť skutočné alebo komplexne konjugované. Skutočné korene môžu byť viaceré. Napríklad, if , then a sú dvojité korene (alebo korene násobnosti 2) a je jednoduchý koreň.
Ak je známy iba jeden koreň
Poznáme jeden koreň kubickej rovnice (1). Označiť známy koreň ako . Potom vydelením rovnice (1) číslom získame kvadratickú rovnicu. Pri riešení kvadratickej rovnice nájdeme ďalšie dva korene a .
Na dôkaz používame skutočnosť, že kubický polynóm môže byť reprezentovaný ako:
.
Potom vydelením (1) dostaneme kvadratickú rovnicu.
Príklady delenia polynómov sú uvedené na stránke
„Rozdelenie a násobenie polynómu polynómom rohom a stĺpcom“.
Riešenie kvadratických rovníc sa uvažuje na strane
"Korene kvadratickej rovnice".
Ak je jeden z koreňov
Ak je pôvodná rovnica:
(2)
,
a jeho koeficienty , , , sú celé čísla, potom sa môžete pokúsiť nájsť koreň celého čísla. Ak má táto rovnica celočíselný koreň, potom je deliteľom koeficientu. Spôsob hľadania koreňov celého čísla je taký, že nájdeme všetkých deliteľov čísla a skontrolujeme, či pre nich platí rovnica (2). Ak je rovnica (2) splnená, našli sme jej koreň. Označme to ako . Ďalej vydelíme rovnicu (2) číslom . Dostaneme kvadratickú rovnicu. Keď to vyriešime, nájdeme ďalšie dva korene.
Príklady definovania koreňov celých čísel sú uvedené na stránke
Príklady rozkladu polynómov > > > .
Hľadanie racionálnych koreňov
Ak sú v rovnici (2) , , , celé čísla a , a neexistujú žiadne celé korene, môžete sa pokúsiť nájsť racionálne korene, teda korene tvaru , kde a sú celé čísla.
Aby sme to dosiahli, vynásobíme rovnicu (2) a vykonáme substitúciu:
;
(3)
.
Ďalej hľadáme celočíselné korene rovnice (3) medzi deliteľmi voľného člena.
Ak sme našli celočíselný koreň rovnice (3), potom, keď sa vrátime k premennej, dostaneme racionálny koreň rovnice (2):
.
Cardano a Vieta vzorce na riešenie kubickej rovnice
Ak nepoznáme žiadny koreň a neexistujú žiadne korene celého čísla, potom môžeme nájsť korene kubickej rovnice pomocou Cardanoových vzorcov.
Zvážte kubickú rovnicu:
(1)
.
Urobme náhradu:
.
Potom sa rovnica zredukuje na neúplnú alebo redukovanú formu:
(4)
,
kde
(5)
;
.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre vedci a inžinieri, 2012.
Kubická rovnica - algebraická rovnica tretieho stupňa. Celkový pohľad na kubickú rovnicu: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0
Nahradením x v tejto rovnici novým neznámym y spojeným s x rovnosťou x \u003d y - (b / 3a) možno kubickú rovnicu zredukovať na jednoduchšiu (kanonickú) formu: y3 + pу + q \u003d 0, kde p \u003d - b2 + c, q = 2b - bc + d
3a2 a 27a3 3a2 a riešenie tejto rovnice možno získať pomocou Cardanovho vzorca.
1.1 História kubických rovníc
Termín „kubická rovnica“ zaviedli R. Descartes (1619) a W. Outred (1631).
Prvé pokusy nájsť riešenia problémov redukujúcich na kubické rovnice robili už starovekí matematici (napríklad problémy zdvojnásobenia kocky a trisekcie uhla).
Matematici stredoveku na východe vytvorili celkom rozvinutá teória(v geometrický tvar) kubické rovnice; najpodrobnejšie je to prezentované v pojednaní o dôkazoch problémov v algebre a almukabale „Omar Khaya“ (okolo 1070), kde je otázka nájdenia pozitívne korene 14 typov kubických rovníc obsahujúcich len členy s kladnými koeficientmi v oboch častiach.
Prvýkrát v Európe trigonometrická forma riešenie jedného prípadu kubickej rovnice dal Viet (1953).
Prvé riešenie v radikáloch jedného z typov kubických rovníc našiel S. Ferro (asi 1515), ale nebolo publikované. Objav nezávisle zopakoval Tartaglia (1535), čím naznačil pravidlo pre riešenie dvoch ďalších typov kubických rovníc. Tieto objavy publikoval v roku 1545 G. Cardano, ktorý spomenul autorstvo N. Tartaglia.
Na konci XV storočia. Profesor matematiky na univerzitách v Ríme a Milan Luca Pacioli vo svojej známej učebnici „Súhrn vedomostí v aritmetike, geometrii, vzťahoch a proporcionalite“ problém nájsť všeobecná metóda pre riešenie kubických rovníc to dal na rovnakú úroveň ako problém kvadratúry kruhu. A predsa sa vďaka úsiliu talianskych algebraistov čoskoro našla takáto metóda.
Začnime so zjednodušením
Ak kubická rovnica všeobecný pohľad ax3 + bx2 + cx + d = 0, kde a ≠ 0, delené a, potom sa koeficient na x3 rovná 1. Preto v budúcnosti budeme vychádzať z rovnice x3 + Px2 + Qx + R = 0. (1)
Rovnako ako v samom srdci riešenia kvadratická rovnica leží vzorec pre druhú mocninu súčtu, riešenie kubickej rovnice je založené na vzorci pre druhú mocninu súčtu:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Aby sme sa nemýlili v koeficientoch, nahradíme a x a preusporiadame pojmy:
(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)
Vidíme, že správnym spôsobom b, teda ak vezmeme b = P/3, to môžeme dosiahnuť pravá časť tohto vzorca sa bude líšiť od ľavej strany rovnice x3 + Px2 + Qx + R = 0 len koeficientom pri x a voľnom člene. Pridáme rovnicu x3 + Px2 + Qx + R = 0 a (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 a dáme podobné:
(x + b) 3 + (Q - 3b2) x + R - b3 = 0.
Ak tu urobíme zmenu y = x + b, dostaneme kubickú rovnicu pre y bez člena s y2: y3 + py + q = 0.
Ukázali sme teda, že v kubickej rovnici x3 + Px2 + Qx + R = 0 sa pomocou vhodnej substitúcie môžete zbaviť členu obsahujúceho druhú mocninu neznámej. Preto teraz budeme riešiť rovnicu v tvare x3 + px + q = 0. (3)
1.2 História Formuly Cardano
Formula Cardano je pomenovaná po J. Cardano, ktorý ju prvýkrát publikoval v roku 1545.
Autorom tohto vzorca je Niccolò Tartaglia. Toto riešenie vytvoril v roku 1535 špeciálne pre účasť v matematickej súťaži, v ktorej samozrejme zvíťazil. Tartaglia, ktorá dáva vzorec (v poetickú formu) Cardano, predstavil len tú časť riešenia kubickej rovnice, v ktorej má koreň jednu (reálnu) hodnotu.
Výsledky Cardana v tomto vzorci odkazujú na zváženie takzvaného neredukovateľného prípadu, v ktorom má rovnica tri hodnoty (skutočné hodnoty, v tých časoch neexistovali žiadne imaginárne alebo dokonca záporné čísla, aj keď boli pokusy o to smer). Avšak na rozdiel od toho, že Cardano vo svojej publikácii uviedol autorstvo Tartaglie, vzorec sa nazýva Cardano.
1. 3 Formula Cardano
Teraz sa pozrime znova na vzorec súčtu kocky, ale napíšme ho inak:
(a + b) 3 = a3 + b3 + 3ab (a + b).
Porovnajte tento záznam s rovnicou x3 + px + q = 0 a skúste medzi nimi nadviazať spojenie. Dosaďte v našom vzorci x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx alebo x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0
Teraz je to už jasné: na nájdenie koreňa rovnice x3 + px + q = 0 stačí vyriešiť sústavu rovníc a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, príp.
3аb \u003d - p, a3b3 \u003d - p 3,
3 a vezmite ako x súčet a a b. Zmenou u = a3, v = b3 sa tento systém zredukuje na a úplne obyčajný pohľad a + v = - q a v = - p3.
Potom môžete konať rôznymi spôsobmi, ale všetky „cesty“ povedú k rovnakej kvadratickej rovnici. Napríklad podľa Vietovej vety sa súčet koreňov danej kvadratickej rovnice rovná koeficientu v x so znamienkom mínus a súčin sa rovná voľnému členu. To znamená, že a a v sú korene rovnice t2 + qt – (p/3)3 = 0.
Vypíšme tieto korene: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.
Premenné a a b sa rovnajú kubickým koreňom z t1 a t2 a požadované riešenie kubickej rovnice x3 + px + q = 0 je súčtom týchto koreňov: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 -q-q2 + p3.
Tento vzorec je známy ako Cardano vzorec.
Riešenie rovníc
Predtým, ako sa pozrieme na Cardanov vzorec v práci, vysvetlíme, ako nájsť jeho ďalšie korene, ak nejaké existujú, z jedného koreňa kubickej rovnice x3 + px + q = 0.
Nech je známe, že naša rovnica má koreň h. Potom sa jeho ľavá strana môže rozložiť na lineárne a štvorcové multiplikátory. Toto sa robí veľmi jednoducho. Do rovnice nahradíme výraz voľného termínu cez koreň q \u003d - h3 - ph a použijeme vzorec pre rozdiel kociek:
0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + vx + v2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p).
Teraz môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu x2 + hx + h2 + p = 0 a nájsť zvyšok koreňov tejto kubickej rovnice.
Takže sme plne vyzbrojení a zdá sa, že si poradíme s akoukoľvek kubickou rovnicou. Vyskúšajme si ruku.
1. Začnime rovnicou x3 + 6x - 2 = 0
Do Cardanovho vzorca dosadíme p = 6 a q = -2 a po jednoduchých redukciách dostaneme odpoveď: x = 3√4 - 3√2. No, vzorec je celkom pekný. Len perspektíva zobrať faktor x - (3√4 - 3√2) z ľavej strany rovnice a vyriešiť zostávajúcu kvadratickú rovnicu s "hroznými" koeficientmi na výpočet iných koreňov nie je príliš inšpirujúca. Pri pozornejšom pohľade na rovnicu sa však môžeme upokojiť: funkcia na ľavej strane sa striktne zvyšuje, a preto môže zaniknúť iba raz. To znamená, že nájdené číslo je jediným skutočným koreňom rovnice.
y y \u003d x3 + 6x - 2
3√4 – 3√2 x
Ryža. 1 Graf funkcie y \u003d x3 + 6x - 2 pretína os x v jednom bode - 3√4 - 3√2.
2. Ďalší príklad- rovnica x3 + 3x - 4 = 0.
Cardanov vzorec dáva x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.
Rovnako ako v predchádzajúcom príklade vidíme, že tento koreň je jedinečný. Ale nemusíte byť super bystrý, aby ste sa pozreli na rovnicu a uhádli jej koreň: x = 1. Musíme uznať, že vzorec dal obvyklú jednotku v takej bizarnej forme. Mimochodom, zjednodušiť tento ťažkopádny, ale nie bez elegancie výraz algebraické transformácie zlyhá – kubickej iracionalite sa v ňom nedá vyhnúť.
3. Teraz si zoberme rovnicu, ktorá má zjavne tri skutočné korene. Je jednoduché ho poskladať - stačí vynásobiť tri zátvorky tvaru x - b. Len si treba dať pozor, aby sa súčet koreňov rovnal nule, pretože podľa všeobecná veta Vieta, ten sa od koeficientu na x2 líši len znamienkom. Najjednoduchšia množina takýchto koreňov je 0, 1 a -1.
Aplikujme Cardanov vzorec na rovnicu x (x - 1) (x + 1) = 0 alebo x3 - x = 0.
Za predpokladu, že v ňom p = -1 a q = 0, dostaneme x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.
y y \u003d x (x - 1) (x + 1)
Ryža. 2 Rovnica x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 má tri skutočné korene: -1, 0 a 1. Podľa toho graf funkcie y \u003d x (x - 1) (x + 1) pretína os x v troch bodoch.
sa objavil pod znakom druhej odmocniny záporné číslo. Stáva sa to aj pri riešení kvadratických rovníc. Ale kvadratická rovnica v tomto prípade nemá skutočné korene, kým kubická ich má tri!
Bližšia analýza ukazuje, že sme sa do tejto pasce nedostali náhodou. Rovnica x3 + px + q = 0 má tri skutočné korene práve vtedy, ak výraz Δ = (q/2)2 + (p/3)3 pod odmocnina vo vzorci Cardano je záporný. Ak Δ > 0, potom existuje jeden reálny koreň (obr. 3b), a ak Δ = 0, potom sú dva (jeden z nich je dvojitý), okrem prípadu p = q = 0, keď všetky tri korene sa spájajú.
y Δ 0 y \u003d -px - q y \u003d x3
0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 a) b)
Ryža. 3 Kubickú rovnicu x3 + px + q = 0 možno znázorniť ako x3 = -px - q. To ukazuje, že korene rovnice budú zodpovedať abscisám priesečníkov dvoch grafov: y \u003d x3 a y \u003d -px - q. Ak Δ 0 je jedna.
1.4 Vietova veta
Vietov teorém. Ak je celé číslo racionálna rovnica stupeň n znížený na štandardná forma, má n zreteľných reálnych koreňov x1, x2,. xn, potom spĺňajú rovnosti: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn.
Pre korene rovnice tretieho stupňa a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, kde a0 ≠ 0, rovnosti x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 sú platné.
1. 5 Bezoutova veta. Hornerova schéma
Riešenie rovníc úzko súvisí s rozkladom polynómov. Preto je pri riešení rovníc dôležité všetko, čo súvisí s výberom v mnohočlene lineárne faktory, teda s delením mnohočlenu A(x) dvojčlenom x - α. Základom mnohých poznatkov o delení polynómu A(x) binomom x - α je veta patriaca do francúzsky matematik Etienne Bez (1730-1783) a nesúci jeho meno.
Bezoutova veta. Zvyšok delenia polynómu A (x) binómom x - α sa rovná A (α) (t. j. hodnote polynómu A (x) pri x = α).
Nájdite zvyšok po delení polynómu A(x) = x4 - 6x3 + 8 x + 2.
rozhodnutie. Podľa Bezoutovej vety je zvyšok delenia x + 2 A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72.
Pohodlný spôsob, ako nájsť hodnoty polynómu, keď nastavená hodnota Premennú x zaviedol anglický matematik Williams George Horner (1786-1837). Táto metóda bola neskôr nazvaná Hornerova schéma. Spočíva vo vyplnení nejakej tabuľky dvoch riadkov. Napríklad na výpočet A(-2) v predchádzajúcom príklade uvádzame koeficienty v hornom riadku tabuľky daný polynóm, napísaný v štandardnom tvare x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.
Koeficient duplikujeme na najvyššom stupni v spodnom riadku a pred neho napíšeme hodnotu premennej x = -2, pri ktorej sa vypočíta hodnota polynómu. Výsledkom je nasledujúca tabuľka:
Prázdne bunky tabuľky vyplníme podľa nasledujúceho pravidla: číslo úplne vpravo v dolnom riadku vynásobíme -2 a pripočítame k číslu nad prázdnou bunkou. Podľa tohto pravidla prvá prázdna bunka obsahuje číslo (-2) 1 + (-6) = -8, druhá bunka obsahuje číslo (-2) (-8) + 0 = 16, tretia bunka obsahuje číslo (- 2) 16 + 0 = - 32, v posledná klietka- číslo (-2) (-32) + 8 \u003d 72. Tabuľka úplne vyplnená podľa Hornerovej schémy vyzerá takto:
2 1 -8 16 -32 72
Číslo v poslednej bunke je zvyšok po delení polynómu x + 2, A(-2) = 72.
V skutočnosti sa z výslednej tabuľky vyplnenej podľa Hornerovej schémy dá zapísať nielen zvyšok, ale aj neúplný kvocient
Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, pretože číslo na druhom riadku (nepočítajúc od posledného) sú koeficienty polynómu Q (x) - neúplný podiel delenia x + 2.
Vyriešte rovnicu x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0
Vypíšeme všetkých deliteľov voľného člena rovnice: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
x=1, x=-2, x=3
Odpoveď: x = 1, x = -2, x = 3
2. ZÁVER
Sformulujem hlavné závery o vykonanej práci.
V procese práce som sa zoznámil s históriou vývoja problému riešenia rovnice tretieho stupňa. Teoretický význam získaných výsledkov spočíva v tom, že pri riešení niektorých rovníc tretieho stupňa zámerne zaberá miesto Cardanovho vzorca. Presvedčil som sa, že vzorec na riešenie rovnice tretieho stupňa existuje, ale pre svoju ťažkopádnosť nie je obľúbený a málo spoľahlivý, keďže nie vždy dospeje ku konečnému výsledku.
V budúcnosti môžeme zvážiť také otázky: ako vopred zistiť, aké korene má rovnica tretieho stupňa; dá sa vyriešiť kubická rovnica graficky ak je to možné, ako; ako odhadnúť približne korene kubickej rovnice?
Ciele lekcie.
- Prehĺbiť vedomosti študentov na tému „Riešenie rovníc vyšších stupňov“ a zhrnúť vzdelávací materiál.
- Oboznámiť študentov s metódami riešenia rovníc vyšších stupňov.
- Naučiť študentov aplikovať teóriu deliteľnosti pri riešení rovníc vyšších stupňov.
- Naučiť študentov, ako rozdeliť polynóm na polynóm podľa „rohu“.
- Rozvíjať zručnosti a schopnosti pracovať s rovnicami vyšších stupňov.
vyvíja sa:
- Rozvoj pozornosti žiaka.
- Rozvoj schopnosti dosahovať výsledky práce.
- Rozvoj záujmu o učenie sa algebry a samostatnej práce.
Výchova:
- Zvyšovanie zmyslu pre kolektivizmus.
- Formovanie pocitu zodpovednosti za výsledok práce.
- Formácia u študentov primerané sebavedomie pri výbere známky za prácu na vyučovacej hodine.
Vybavenie: počítač, projektor.
Počas vyučovania
1 etapa práce. Organizácia času.
2 etapa prác. Motivácia a riešenie problémov
Rovnica jedna z najdôležitejšie pojmy matematiky. Vývoj metód na riešenie rovníc, počnúc zrodom matematiky ako vedy, dlho bola hlavným predmetom štúdia algebry.
AT školský kurz v štúdiu matematiky sa veľká pozornosť venuje riešeniu rôznych typov rovníc. Do deviateho ročníka sme vedeli riešiť len lineárne a kvadratické rovnice. Rovnice tretieho, štvrtého atď. stupne sa nazývajú rovnice vyšších stupňov. V deviatom ročníku sme sa oboznámili s dvoma základnými technikami riešenia niektorých rovníc tretieho a štvrtého stupňa: rozkladom polynómu na faktory a využitím zmeny premennej.
Je možné riešiť rovnice vyšších stupňov? Na túto otázku sa dnes pokúsime nájsť odpoveď.
3 etapa práce. Zopakujte si predtým naučený materiál. Zaviesť pojem rovnica vyšších stupňov.
1) Riešenie lineárnej rovnice.
Lineárna je rovnica tvaru , kde podľa definície. Táto rovnica má iba jeden koreň.
2) Riešenie kvadratickej rovnice.
Rovnica tvaru 
, kde . Počet koreňov a samotné korene sú určené diskriminantom rovnice. Lebo rovnica nemá korene, lebo má jeden koreň (dva identické korene)
Z uvažovaných lineárnych a kvadratických rovníc vidíme, že počet koreňov rovnice nie je väčší ako jej stupeň. V priebehu vyššej algebry sa dokázalo, že rovnica -tého stupňa nemá viac ako n koreňov. Čo sa týka samotných koreňov, situácia je oveľa komplikovanejšia. Pre rovnice tretieho a štvrtého stupňa sú známe vzorce na hľadanie koreňov. Tieto vzorce sú však veľmi zložité a ťažkopádne a praktické uplatnenie Nemám. Pre rovnice piateho a vyššieho stupňa všeobecné vzorce neexistuje a nemôže existovať (ako dokázali v 19. storočí N. Abel a E. Galois).
Rovnice budeme nazývať tretia, štvrtá atď. stupňa rovnicami vyšších stupňov. Niektoré rovnice vysoké stupne možno vyriešiť pomocou dvoch základných techník: rozkladom polynómu na faktory alebo pomocou zmeny premennej.
3) Riešenie kubickej rovnice.
Poďme vyriešiť kubickú rovnicu
Členy polynómu zoskupíme na ľavej strane rovnice a vynásobíme. Dostaneme:
Súčin faktorov sa rovná nule, ak sa jeden z faktorov rovná nule. Dostaneme tri lineárne rovnice:
Takže táto kubická rovnica má tri korene: ; ;.
4) Riešenie bikvadratickej rovnice.
Veľmi bežné sú bikvadratické rovnice, ktoré majú tvar (t. j. rovnice, ktoré sú kvadratické vzhľadom na ). Na ich vyriešenie je zavedená nová premenná.
my sa rozhodneme bikvadratická rovnica.
Zavedieme novú premennú a získame kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú čísla a 4.
Vráťme sa k starej premennej a získajme dve jednoduché kvadratické rovnice:
(korene a ) (korene a )Takže táto bikvadratická rovnica má štyri korene:
; ;
.
Skúsme vyriešiť rovnicu pomocou vyššie uvedených metód.
FAIL!!!
4 etapa práce. Uveďte niekoľko tvrdení o koreňoch polynómu v tvare , kde polynóm n-tý stupňa
Tu je niekoľko tvrdení o koreňoch polynómu tvaru:
1) Polynóm t. stupňa má najviac koreňov (pri zohľadnení ich násobností). Napríklad polynóm tretieho stupňa nemôže mať štyri korene.
2) Polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden koreň. Napríklad polynómy prvého, tretieho, piateho atď. stupne majú aspoň jeden koreň. Polynómy párneho stupňa môžu alebo nemusia mať korene.
3) Ak na koncoch segmentu majú hodnoty polynómu rôzne znamienka (t.j. 
), potom interval obsahuje aspoň jeden koreň. Toto tvrdenie sa široko používa na približný výpočet koreňov polynómu.
4) Ak je číslo koreňom polynómu tvaru , potom tento polynóm môžeme reprezentovať ako súčin , kde polynóm (-tý stupeň. Inými slovami, polynóm tvaru možno bezo zvyšku deliť číslom Toto umožňuje zredukovať rovnicu tého stupňa na rovnicu (-tý stupeň (znížiť stupeň rovnice).
5) Ak má rovnica so všetkými celočíselnými koeficientmi (navyše voľný člen) celočíselný koreň, potom je tento koreň deliteľom voľného člena. Takýto výrok umožňuje vybrať celý koreň polynómu (ak existuje).
5 etapa práce. Ukážte, ako sa teória deliteľnosti aplikuje na riešenie rovníc vyšších stupňov. Uvažujme o príkladoch riešenia rovníc vyšších stupňov, v ktorých je ľavá strana faktorizovaná pomocou metódy delenia polynómu polynómom „rohom“.
Príklad 1. Vyriešte rovnicu 
.
V skutočnosti sme teda rozložili ľavú stranu rovnice na faktory:
Súčin faktorov sa rovná nule, ak sa jeden z faktorov rovná nule. Dostaneme dve rovnice.
Kubické rovnice majú tvar sekera 3 + bx 2 + cx + d= 0). Spôsob riešenia takýchto rovníc je známy už niekoľko storočí (objavili ho v 16. storočí talianski matematici). Riešenie niektorých kubických rovníc je dosť ťažké, ale so správnym prístupom (a dobrá úroveň teoretické poznatky) budete vedieť riešiť aj tie najzložitejšie kubické rovnice.
Kroky
Riešenie pomocou vzorca na riešenie kvadratickej rovnice
- Ak dôjde k zachyteniu, použite iný spôsob riešenia (pozrite si nasledujúce časti).
-
Keďže v r daná rovnica neexistuje žiadny voľný člen, potom všetky členy tejto rovnice obsahujú premennú x (\displaystyle x), ktoré je možné vložiť do zátvoriek: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).
- Príklad. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Ak vydržíte x (\displaystyle x) zátvorky, dostanete x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).
-
Všimnite si, že rovnica v zátvorkách je kvadratickou rovnicou tvaru ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), ktorý možno vyriešiť pomocou vzorca ((- b +/-√ (). Vyriešte kvadratickú rovnicu a vyriešite kubickú rovnicu.
- V našom príklade nahraďte hodnoty koeficientov a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) do vzorca: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
- Riešenie 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
- Riešenie 2: 2 − 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))
-
Pamätajte, že kvadratické rovnice majú dve riešenia, zatiaľ čo kubické rovnice majú tri riešenia. Našli ste dve riešenia kvadratickej, a teda kubickej rovnice. V prípadoch, keď dáte „x“ mimo zátvorky, je vždy tretie riešenie 0 (\displaystyle 0).
- To je pravda, pretože akékoľvek číslo alebo výraz vynásobený 0 (\displaystyle 0), rovná sa 0 (\displaystyle 0). Odkedy si vydržal x (\displaystyle x) mimo zátvoriek, potom ste rozložili kubickú rovnicu na dva faktory ( x (\displaystyle x) a kvadratickú rovnicu), z ktorých jedna sa musí rovnať 0 (\displaystyle 0) aby sa celá rovnica rovnala 0 (\displaystyle 0).
Hľadanie celých riešení pomocou faktorizácie
-
Skontrolujte, či kubická rovnica, ktorú ste dostali, má priesečník. Metóda opísaná v predchádzajúcej časti nie je vhodná na riešenie kubických rovníc, v ktorých je voľný člen. V takom prípade budete musieť použiť metódu opísanú v tejto alebo nasledujúcej časti.
- Príklad. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Tu pohnite uvoľneným vtákom d = − 6 (\displaystyle d=-6) na ľavú stranu rovnice tak, že pravá strana dostať 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).
-
Nájdite multiplikátory koeficientov a (\displaystyle a)(koeficient at x 3 (\displaystyle x^(3))) a bezplatný člen d (\displaystyle d). Činitele čísla sú čísla, ktoré po vynásobení dávajú pôvodné číslo. Napríklad faktory počtu 6 (\displaystyle 6) sú čísla 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\times 1) a 2 × 3 (\displaystyle 2\time 3)).
- V našom príklade a = 2 (\displaystyle a=2) a d = 6 (\displaystyle d=6). Multiplikátory 2 (\displaystyle 2) sú čísla 1 (\displaystyle 1) a 2 (\displaystyle 2). Multiplikátory 6 (\displaystyle 6) sú čísla 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3) a 6 (\displaystyle 6).
-
Násobiče deliacich koeficientov a (\displaystyle a) podľa faktorov voľného termínu d (\displaystyle d). Získate zlomky a celé čísla. Celočíselné riešenie kubickej rovnice, ktoré dostanete, bude buď jedno z týchto celých čísel, alebo záporná hodnota jedného z týchto celých čísel.
- V našom príklade rozdeľte faktory a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) podľa faktorov d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) a získajte: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) a . Teraz pridajte do tohto radu čísel ich záporné hodnoty: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) a − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Celočíselné riešenia kubickej rovnice, ktoré ste dostali, sú v tomto rade čísel.
-
Teraz môžete nájsť celočíselné riešenia svojej kubickej rovnice tak, že do nej dosadíte celé čísla z nájdeného radu čísel. Ale ak s tým nechcete strácať čas, použite. Táto schéma zahŕňa rozdelenie celých čísel na hodnoty a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d) daná kubická rovnica. Ak je zvyšok 0 (\displaystyle 0), celé číslo je jedným z riešení kubickej rovnice.
- Hornerova divízia nie je jednoduchá téma; obdržať Ďalšie informácie postupujte podľa vyššie uvedeného odkazu. Tu je príklad, ako nájsť jedno z riešení kubickej rovnice, ktoré ste dostali pomocou Hornerovho delenia: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Od zvyšku 0 (\displaystyle 0), potom jedným z riešení rovnice je celé číslo − 1 (\displaystyle -1).
Použitie diskriminantu
-
Pri tejto metóde budete pracovať s hodnotami koeficientov a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). Preto je lepšie zapísať si hodnoty týchto koeficientov vopred.
- Príklad. matematika>x^3-3x^2+3x-1. Tu a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Nezabudnite, že kedy x (\displaystyle x) neexistuje koeficient, to znamená, že koeficient sa rovná 1 (\displaystyle 1).
-
Vypočítajte △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Táto metóda bude vyžadovať komplikované výpočty, ale ak jej porozumiete, budete môcť vyriešiť najzložitejšie kubické rovnice. Ak chcete začať, vypočítajte △ 0 (\displaystyle \triangle _(0)), jedna z niekoľkých dôležitých veličín, ktoré budeme potrebovať dosadením príslušných hodnôt do vzorca.
- V našom príklade: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\trojuholník _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\trojuholník _(1))
-
Vypočítajte Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 a 2 . Teraz vypočítajte diskriminant rovnice pomocou nájdených hodnôt Δ0 a Δ1. Diskriminant je číslo, ktoré vám poskytuje informácie o koreňoch polynómu (možno už viete, že diskriminant kvadratickej rovnice je b 2 - 4ac). V prípade kubickej rovnice, ak je diskriminant kladný, potom rovnica má tri riešenia; ak je diskriminant nulový, potom rovnica má jedno alebo dve riešenia; ak je diskriminant záporný, potom rovnica má len jedno riešenie. Kubická rovnica má vždy aspoň jedno riešenie, pretože graf takejto rovnice pretína os x aspoň v jednom bode.
- Ak do tohto vzorca nahradíte príslušné hodnoty množstiev, dostanete možné riešenia kubická rovnica, ktorú ste dostali. Dosaďte ich do pôvodnej rovnice a ak je splnená rovnosť, riešenia sú správne. Ak napríklad vložíte hodnoty do vzorca a dostanete 1, vložte 1 X 3 - 3X 2 + 3X- 1 a získajte 0. To znamená, že je dodržaná rovnosť a 1 je jedným z riešení kubickej rovnice, ktorú ste dostali.
Ako je uvedené vyššie, kubické rovnice majú tvar a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), kde sú koeficienty c (\displaystyle c) a d (\displaystyle d) môžu byť rovnaké 0 (\displaystyle 0), to znamená, že kubická rovnica môže pozostávať iba z jedného člena (s premennou v treťom stupni). Najprv skontrolujte, či kubická rovnica, ktorá vám bola pridelená, má priesečník, tj. d (\displaystyle d). Ak nie je voľný člen, môžete túto kubickú rovnicu vyriešiť pomocou vzorca na riešenie kvadratickej rovnice.
