Definícia.
Toto je šesťuholník, ktorého základne sú dve rovnaký štvorec a bočné strany sú rovnaké obdĺžniky
Bočné rebro- Toto spoločná strana dve susedné bočné steny
Výška hranola- toto je rez kolmo na základne hranoly
Uhlopriečka hranola- úsečka spájajúca dva vrcholy podstav, ktoré nepatria k tej istej ploche
Diagonálna rovina je rovina, ktorá prechádza uhlopriečkou hranola a jeho bočné rebrá
Diagonálny rez - hranice priesečníka hranola a diagonálnej roviny. Diagonálny rez správne štvoruholníkový hranol je obdĺžnik
Kolmý rez (ortogonálny rez)- je to priesečník hranola a roviny vedenej kolmo na jeho bočné hrany
Prvky pravidelného štvoruholníkového hranolu
Obrázok ukazuje dva pravidelné štvoruholníkové hranoly, ktoré sú označené príslušnými písmenami:
- Bázy ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 sú rovnaké a navzájom rovnobežné
- Bočné plochy AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C a CC 1 D 1 D, z ktorých každý je obdĺžnik
- Bočný povrch- súčet plôch všetkých bočných plôch hranola
- Celková plocha - súčet plôch všetkých základní a bočných plôch (súčet plochy bočnej plochy a základní)
- Bočné rebrá AA 1 , BB 1 , CC 1 a DD 1 .
- Uhlopriečka B 1 D
- Základná uhlopriečka BD
- Diagonálny rez BB 1 D 1 D
- Kolmý rez A 2 B 2 C 2 D 2.
Vlastnosti pravidelného štvoruholníkového hranolu
- Základy sú dva rovnaké štvorce
- Základy sú navzájom rovnobežné
- Strany sú obdĺžniky.
- Bočné plochy sú si navzájom rovné
- Bočné plochy sú kolmé na základne
- Bočné rebrá sú navzájom rovnobežné a rovnaké
- Kolmý rez kolmý na všetky bočné rebrá a rovnobežný so základňami
- rohy kolmý rez- rovný
- Diagonálny rez pravidelného štvorbokého hranola je obdĺžnik
- Kolmý (ortogonálny rez) rovnobežný so základňami
Vzorce pre pravidelný štvoruholníkový hranol
Pokyny na riešenie problémov
Pri riešení problémov na tému " pravidelný štvoruholníkový hranol“ znamená, že:Správny hranol- hranol, na ktorého základni leží pravidelný mnohouholník a bočné okraje sú kolmé na základné roviny. To znamená, že pravidelný štvoruholníkový hranol obsahuje na svojej základni námestie. (pozri vyššie vlastnosti pravidelného štvoruholníkového hranolu) Poznámka. Toto je časť hodiny s úlohami z geometrie (časť objemová geometria - hranol). Tu sú úlohy, ktoré spôsobujú ťažkosti pri riešení. Ak potrebujete vyriešiť problém v geometrii, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. Na označenie akcie extrakcie odmocnina symbol sa používa pri riešení problémov√ .
Úloha.
V pravidelnom štvorhrannom hranole je základná plocha 144 cm 2 a výška 14 cm. Nájdite uhlopriečku hranola a plochu celoplošný.rozhodnutie.
Pravidelný štvoruholník je štvorec.
V súlade s tým bude strana základne rovná
Odkiaľ pochádza uhlopriečka základne? pravouhlý hranol sa bude rovnať
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Uhlopriečka pravý hranol tvorí s uhlopriečkou podstavy a výškou hranola správny trojuholník. Podľa Pytagorovej vety sa teda uhlopriečka daného pravidelného štvoruholníkového hranola bude rovnať:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm
Odpoveď: 22 cm
Úloha
Nájdite celkovú plochu pravidelného štvoruholníkového hranolu, ak je jeho uhlopriečka 5 cm a uhlopriečka bočnej steny je 4 cm.rozhodnutie.
Pretože základňa pravidelného štvoruholníkového hranola je štvorec, stranu základne (označenú ako a) nájdeme podľa Pytagorovej vety:
A2 + a2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Výška bočnej steny (označená ako h) sa potom bude rovnať:
H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3,5
Celková plocha sa bude rovnať súčtu plochy bočnej plochy a dvojnásobku základnej plochy
S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Odpoveď: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Treba poznamenať, že kombinatorika je samostatný odbor vyššia matematika(a nie sú súčasťou terveru) a v tejto disciplíne boli napísané ťažké učebnice, ktorých obsah niekedy nie je o nič jednoduchší ako abstraktná algebra. Nám však postačí malý zlomok. teoretické poznatky, a v tomto článku sa o to pokúsim prístupná forma rozobrať základy témy s typickými kombinatorickými úlohami. A mnohí z vás mi pomôžu ;-)
Čo budeme robiť? AT úzky zmysel kombinatorika je počítanie rôznych kombinácií, ktoré je možné vytvoriť zo sady diskrétne predmety. Predmetmi sa rozumejú akékoľvek izolované predmety alebo živé bytosti – ľudia, zvieratá, huby, rastliny, hmyz atď. Kombinatoriku zároveň vôbec nezaujíma, že súpravu tvorí tanier krupice, spájkovačka a močiarna žaba. Je zásadne dôležité, aby tieto objekty boli spočítateľné - sú tri. (diskrétnosť) a je nevyhnutné, aby žiadny z nich nebol rovnaký.
Keď je toho veľa, teraz o kombináciách. Najbežnejšími typmi kombinácií sú permutácie objektov, ich výber z množiny (kombinácia) a distribúcia (umiestnenie). Pozrime sa, ako sa to deje práve teraz:
Permutácie, kombinácie a umiestnenia bez opakovania
Nebojte sa nejasných výrazov, najmä preto, že niektoré z nich naozaj nie sú veľmi úspešné. Začnime koncom názvu – čo znamená “ bez opakovania"? To znamená, že v tento odsek budú uvažované sady, ktoré pozostávajú z rôzne predmety. Napríklad ... nie, nebudem ponúkať kašu s spájkovačkou a žabkou, lepšie je niečo chutnejšie =) Predstavte si, že by sa na stole pred vami zhmotnilo jablko, hruška a banán (ak sú situáciu možno simulovať v skutočnosti). Ovocie rozložíme zľava doprava v nasledujúcom poradí:
jablko / hruška / banán
Otázka jedna: Koľkými spôsobmi sa dajú preusporiadať?
Jedna kombinácia už bola napísaná vyššie a so zvyškom nie sú žiadne problémy:
jablko / banán / hruška
hruška / jablko / banán
hruška / banán / jablko
banán / jablko / hruška
banán / hruška / jablko
Celkom: 6 kombinácií alebo 6 permutácií.
Nuž, nebolo ťažké tu vymenovať všetky možné prípady, ale čo ak je objektov viac? Už so štyrmi rôznymi druhmi ovocia sa počet kombinácií výrazne zvýši!
Otvorte referenčný materiál (Manuál sa dá ľahko vytlačiť) a v odseku číslo 2 nájdite vzorec pre počet permutácií.
Žiadne mučenie - 3 predmety je možné preusporiadať rôznymi spôsobmi.
Otázka dva: Na koľko spôsobov môžeš vybrať a) jeden plod, b) dva druhy ovocia, c) tri druhy ovocia, d) aspoň jeden plod?
Prečo si vybrať? A tak si v predchádzajúcom odseku vypracovali chuť do jedla – aby jedli! =)
a) Jedno ovocie si môžete vybrať, samozrejme, tromi spôsobmi – vezmite si buď jablko, alebo hrušku, alebo banán. Formálny počet je založený na vzorec pre počet kombinácií:
Nahrávanie v tento prípad treba chápať takto: „koľkými spôsobmi si môžete vybrať 1 ovocie z troch?
b) Uvádzame všetky možné kombinácie dvoch druhov ovocia:
jablko a hruška;
jablko a banán;
hruška a banán.
Počet kombinácií sa dá ľahko skontrolovať pomocou rovnakého vzorca:
Záznam je chápaný podobne: „Koľkými spôsobmi si môžete vybrať 2 ovocie z troch?“.
c) Nakoniec je možné vybrať tri druhy ovocia jediná cesta:
Mimochodom, vzorec pre počet kombinácií má zmysel aj pre prázdnu vzorku:
Týmto spôsobom si nemôžete vybrať ani jedno ovocie - v podstate si nič neberte a je to.
d) Koľkými spôsobmi sa môžete vydať aspoň jeden ovocie? Podmienka „aspoň jedno“ znamená, že sme spokojní s 1 ovocím (akýmkoľvek) alebo akýmikoľvek 2 ovocím alebo všetkými 3 druhmi ovocia:
spôsoby, ako si môžete vybrať aspoň jedno ovocie.
Čitatelia, ktorí pozorne študovali úvodná lekcia na teória pravdepodobnosti už niečo vymyslel. Ale o význame znamienka plus neskôr.
Za odpoveď na ďalšia otázka Potrebujem dvoch dobrovoľníkov ... ... No keďže nikto nechce, tak zavolám predstavenstvo =)
Otázka tri: Koľkými spôsobmi sa dá rozdávať jedno ovocie Dáške a Nataše?
Aby ste mohli distribuovať dva druhy ovocia, musíte ich najprv vybrať. Podľa odseku "byť" predchádzajúcej otázky sa to dá urobiť spôsobmi, znova ich prepíšem:
jablko a hruška;
jablko a banán;
hruška a banán.
Teraz však bude kombinácií dvakrát toľko. Zoberme si napríklad prvý pár ovocia:
Dášu môžete liečiť jablkom a Natašu hruškou;
alebo naopak - Dáša dostane hrušku a Nataša jablko.
A takáto permutácia je možná pre každý pár ovocia.
Zvážte to isté študentská skupina ktorý išiel do tanca. Koľkými spôsobmi môžu byť chlapec a dievča spárované?
Spôsoby, ako si môžete vybrať 1 mladého muža;
spôsoby, ako si môžete vybrať 1 dievča.
Takže jeden mladý muž a jedno dievča môže byť vybrané: 
spôsoby.
Keď sa vyberie 1 objekt z každej sady, potom platí nasledujúci princíp počítania kombinácií: „ každý objekt z jednej množiny môže tvoriť pár s každým objekt inej množiny.
To znamená, že Oleg môže pozvať do tanca ktorúkoľvek z 13 dievčat, Evgeny tiež ktorúkoľvek z trinástich a podobný výber majú aj ďalší mladí ľudia. Celkom: možné páry.
Treba poznamenať, že v tento príklad na „histórii“ tvorby párov nezáleží; ak sa však vezme do úvahy iniciatíva, potom sa musí počet kombinácií zdvojnásobiť, keďže každé z 13 dievčat môže pozvať do tanca aj ktoréhokoľvek chlapca. Všetko závisí od podmienok konkrétnej úlohy!
Podobný princíp platí aj pre zložitejšie kombinácie, napr.: koľkými spôsobmi možno vybrať dvoch mladých mužov a dve dievčatá sa zúčastnia paródie KVN?
únie A jednoznačne naznačuje, že kombinácie sa musia znásobiť:
Možné skupiny umelcov.
Inými slovami, každý môže súťažiť dvojica chlapcov (45 unikátnych párov). akýkoľvek pár dievčat (78 jedinečných párov). A ak vezmeme do úvahy rozdelenie rolí medzi účastníkov, potom bude ešte viac kombinácií. ... veľmi chcem, ale aj tak sa zdržím pokračovania, aby som vo vás nevzbudil averziu voči študentský život =).
Platí aj pravidlo pre násobenie kombinácií veľká kvantita multiplikátory:
Úloha 8
Koľko je trojciferných čísel, ktoré sú deliteľné piatimi?
rozhodnutie: pre prehľadnosť označujeme dané číslo tri hviezdy: ***
AT stovky miesta môžete napísať ľubovoľné číslo (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 alebo 9). Nula nie je dobrá, pretože v tomto prípade prestáva byť číslo trojciferné.
Ale v miesto desiatky(“v strede”) si môžete vybrať ktorúkoľvek z 10 číslic: .
Podľa podmienky musí byť číslo deliteľné 5. Číslo je deliteľné 5, ak končí 5 alebo 0. V najmenej významnej číslici sa teda uspokojíme s 2 číslicami.
Celkom, existuje: trojciferné čísla, ktoré sú deliteľné 5.
Dielo je zároveň dešifrované takto: „9 spôsobov, ako si vybrať číslo v stovky miesta a 10 spôsobov, ako vybrať číslo miesto desiatky a 2 spôsoby dnu jednotková číslica»
Alebo ešte jednoduchšie: každý od 9 číslic do stovky miesta kombinované s každým 10 číslic miesto desiatky a s každým z dvoch číslic číslica jednotiek».
Odpoveď: 180
A teraz…
Áno, skoro som zabudol na sľúbený komentár k problému č. 5, v ktorom možno Boryovi, Dimovi a Voloďovi rozdať po jednej karte rôznym spôsobom. Násobenie tu má rovnaký význam: spôsobmi môžete extrahovať 3 karty z balíčka A v každom vzorka, aby ste ich usporiadali spôsobmi.
Teraz úloha pre nezávislé rozhodnutie... teraz prídem s niečím zaujímavejším, ... nech je to o rovnakej ruskej verzii blackjacku:
Úloha 9
Koľko výherných kombinácií 2 kariet je v "bodovej" hre?
Pre tých, ktorí nevedia: vyhráva kombinácia 10 + ACE (11 bodov) = 21 bodov a uvažujme víťaznú kombináciu dvoch es.
(na poradí kariet v žiadnom páre nezáleží)
Rýchle riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Mimochodom, nie je potrebné považovať príklad za primitívny. Blackjack je takmer jediná hra, pre ktorú existuje matematicky opodstatnený algoritmus, ktorý vám umožňuje poraziť kasíno. Tí, ktorí chcú, môžu ľahko nájsť veľa informácií o optimálnej stratégii a taktike. Je pravda, že takíto majstri sa rýchlo dostanú na čiernu listinu všetkých prevádzok =)
Je čas konsolidovať materiál pokrytý niekoľkými pevnými úlohami:
Úloha 10
Vasya má doma 4 mačky.
a) Koľkými spôsobmi môžu byť mačky usadené v rohoch miestnosti?
b) Koľkými spôsobmi sa môžu mačky túlať?
c) Koľkými spôsobmi môže Vasya zdvihnúť dve mačky (jedna vľavo, druhá vpravo)?
My rozhodujeme: po prvé, opäť treba poznamenať, že problém je o rôzne predmety (aj keď sú mačky jednovaječné dvojčatá). Toto je veľmi dôležitá podmienka!
a) Mlčanie mačiek. Táto exekúcia podlieha všetky mačky naraz
+ ich umiestnenie je dôležité, takže tu sú permutácie:
spôsoby, ako môžete usadiť mačky v rohoch miestnosti.
Opakujem, že v permutáciách iba počet rôznych objektov a ich vzájomného usporiadania. V závislosti od nálady môže Vasya usadiť zvieratá v polkruhu na pohovke, v rade na parapete atď. - permutácií bude vo všetkých prípadoch 24. Pre pohodlie si záujemcovia môžu predstaviť, že mačky sú viacfarebné (napríklad biela, čierna, červená a pruhovaná) a uviesť všetky možné kombinácie.
b) Koľkými spôsobmi sa môžu mačky túlať?
Predpokladá sa, že mačky chodia na prechádzku len cez dvere, pričom otázka implikuje ľahostajnosť k počtu zvierat - na prechádzku môže ísť 1, 2, 3 alebo všetky 4 mačky.
Zvažujeme všetky možné kombinácie:
Spôsoby, ako môžete nechať ísť na prechádzku jednu mačku (ktorúkoľvek zo štyroch); 
spôsoby, ako môžete nechať dve mačky ísť na prechádzku (uveďte možnosti sami);
spôsoby, ako môžete nechať tri mačky ísť na prechádzku (jedna zo štyroch sedí doma);
spôsob, ako môžete uvoľniť všetky mačky.
Pravdepodobne ste uhádli, že získané hodnoty by sa mali zhrnúť:
spôsoby, ako nechať mačky ísť na prechádzku.
Pre nadšencov ponúkam komplikovanú verziu problému - keď môže ľubovoľná mačka v ktorejkoľvek vzorke náhodne ísť von, ako cez dvere, tak aj cez okno z 10. poschodia. Bude viac kombinácií!
c) Koľkými spôsobmi môže Vasya vyzdvihnúť dve mačky?
Situácia zahŕňa nielen výber 2 zvierat, ale aj ich umiestnenie na rukách:
spôsoby, ako môžete vyzdvihnúť 2 mačky.
Druhé riešenie: spôsobmi si môžete vybrať dve mačky a spôsoby pestovania každý pár v ruke: 
Odpoveď: a) 24, b) 15, c) 12
No, aby som si vyčistil svedomie, niečo konkrétnejšie k množeniu kombinácií .... Nechajte Vasyu mať 5 mačiek navyše =) Koľko spôsobov môžete nechať 2 mačky ísť na prechádzku a 1 mačka?
Teda s každý pár mačiek sa dá vypustiť každý kat.
Ďalší gombíkový akordeón pre nezávislé rozhodnutie:
Úloha 11
Do výťahu 12-poschodovej budovy nastúpili 3 cestujúci. Každý, nezávisle od ostatných, môže vyjsť na ktoromkoľvek (od 2.) poschodí s rovnakou pravdepodobnosťou. Koľkými spôsobmi:
1) Cestujúci môžu vystúpiť na tom istom poschodí (na poradí odchodu nezáleží);
2) dvaja ľudia môžu vystúpiť na jednom poschodí a tretí na druhom;
3) ľudia môžu vystúpiť na rôznych poschodiach;
4) Môžu cestujúci vystúpiť z výťahu?
A tu sa často pýtajú znova, objasňujem: ak na tom istom poschodí vyjdú 2 alebo 3 ľudia, na poradí odchodu nezáleží. MYSLITE, používajte vzorce a pravidlá pre kombinácie sčítania/násobenia. V prípade ťažkostí je pre cestujúcich užitočné uviesť mená a dôvod, v akých kombináciách môžu z výťahu vystúpiť. Netreba sa rozčuľovať, ak niečo nevyjde, napríklad bod číslo 2 je dosť zákerný.
Kompletné riešenie s podrobným komentárom na konci lekcie.
Posledný odsek je venovaný kombináciám, ktoré sú tiež celkom bežné - podľa mňa subjektívne hodnotenie, asi 20-30% kombinatorické problémy:
Permutácie, kombinácie a umiestnenia s opakovaniami
Uvedené druhy kombinácie sú uvedené v odseku číslo 5 referenčný materiál Základné vzorce kombinatoriky, niektoré z nich však nemusia byť pri prvom čítaní veľmi jasné. V tomto prípade je vhodné sa najskôr zoznámiť praktické príklady a až potom pochopte všeobecnú formuláciu. Choď:
Permutácie s opakovaniami
V permutáciách s opakovaniami, ako v "obyčajných" permutáciách, celý súbor predmetov naraz, ale je tu jedna vec: v tejto množine sa jeden alebo viac prvkov (objektov) opakuje. Dodržujte nasledujúci štandard:
Úloha 12
Koľko rôznych kombinácií písmen možno získať preskupením kariet s nasledujúcimi písmenami: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?
rozhodnutie: v prípade, že všetky písmená boli odlišné, potom by sa mal použiť triviálny vzorec, je však celkom jasné, že pre navrhovanú sadu kariet budú niektoré manipulácie fungovať „nečinne“, takže napríklad, ak vymeníte akékoľvek dve kartičky s písmenami „K v akomkoľvek slove, bude to rovnaké slovo. Navyše, fyzicky môžu byť karty veľmi odlišné: jedna môže byť okrúhla s vytlačeným písmenom „K“, druhá je štvorcová s nakresleným písmenom „K“. Ale podľa významu problému aj takéto karty považovaný za rovnaký, keďže podmienka sa pýta na kombinácie písmen.
Všetko je veľmi jednoduché - celkom: 11 kariet vrátane písmena:
K - opakuje sa 3 krát;
O - opakuje sa 3 krát;
L - opakuje sa 2 krát;
b - opakované 1 krát;
H - opakované 1 krát;
A - opakuje sa 1 krát.
Kontrola: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, čo sme chceli skontrolovať.
Podľa vzorca počet permutácií s opakovaniami:
možno získať rôzne kombinácie písmen. Viac ako pol milióna!
Na rýchly výpočet veľkej faktoriálnej hodnoty je vhodné použiť štandardná funkcia Excel: bodujeme v ktorejkoľvek bunke =FACT(11) a kliknite Zadajte.
V praxi je úplne prijateľné nepísať všeobecný vzorec a navyše vynechať jednotkové faktoriály: 
Vyžaduje sa však predbežný komentár k opakovaným listom!
Odpoveď: 554400
Ďalší typický príklad permutácií s opakovaniami sa vyskytuje v probléme umiestnenia šachové figúrky ktoré nájdete na sklade hotové riešenia v príslušnom pdf. A pre nezávislé riešenie som prišiel s menej šablónovou úlohou:
Úloha 13
Alexey sa venuje športu a 4 dni v týždni - Atletika, 2 dni - silové cvičenia a 1 deň odpočinku. Koľkými spôsobmi si môže naplánovať svoje týždenné hodiny?
Vzorec tu nefunguje, pretože berie do úvahy prekrývajúce sa permutácie (napríklad keď sa silové cvičenia v stredu vymenia za silové cvičenia vo štvrtok). A opäť – v skutočnosti sa tie isté 2 silové tréningy môžu od seba veľmi líšiť, no v kontexte úlohy (v zmysle harmonogramu) sa považujú za rovnaké prvky.
Dvojriadkové riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Kombinácie s opakovaniami
Funkcia Tento typ kombinácie spočíva v tom, že vzorka sa čerpá z niekoľkých skupín, z ktorých každá pozostáva z rovnakých objektov.
Všetci dnes tvrdo pracovali, takže je čas sa osviežiť:
Úloha 14
Študentská jedáleň predáva klobásy v cestíčku, tvarohové koláče a šišky. Koľkými spôsobmi možno kúpiť päť koláčov?
rozhodnutie: okamžite venujte pozornosť typickému kritériu pre kombinácie s opakovaniami - podľa stavu nie súboru predmetov ako takých, ale rôzne druhy predmety; predpokladá sa, že v predaji je minimálne päť párkov v rožku, 5 tvarohových koláčov a 5 donutov. Koláče v každej skupine sú samozrejme iné - pretože úplne identické šišky sa dajú vymodelovať iba na počítači =) fyzicka charakteristika koláče nie sú podstatné v zmysle problému a párky v rožku / tvarohové koláče / šišky v ich skupinách sa považujú za rovnaké.
Čo môže byť vo vzorke? V prvom rade je potrebné poznamenať, že vzorka bude nevyhnutne obsahovať rovnaké koláče(keďže vyberáme 5 kusov, pričom na výber sú 3 druhy). Možnosti tu pre každý vkus: 5 párkov v rožku, 5 tvarohových koláčov, 5 šišiek, 3 párky v rožku + 2 tvarohové koláče, 1 párok v rožku + 2 + tvarohové koláče + 2 šišky atď.
Rovnako ako pri „bežných“ kombináciách nezáleží na poradí výberu a umiestnení pirohov vo vzorke – vybrali len 5 kusov a hotovo.
Používame vzorec 
počet kombinácií s opakovaním: 
ako si môžete kúpiť 5 koláčov.
Odpoveď: 21
Aký záver možno vyvodiť z mnohých kombinatorických problémov?
Niekedy je najťažšie pochopiť stav.
Podobný príklad riešenia „urob si sám“:
Úloha 15
V peňaženke je toho dosť veľký počet 1-, 2-, 5- a 10-rubľové mince. Koľkými spôsobmi možno z peňaženky vybrať tri mince?
Pre sebaovládanie odpovedzte pár jednoduché otázky:
1) Môžu sa všetky mince vo vzorke líšiť?
2) Uveďte „najlacnejšiu“ a „najdrahšiu“ kombináciu mincí.
Riešenie a odpovede na konci hodiny.
Z môjho osobná skúsenosť, môžem povedať, že kombinácie s opakovaniami sú v praxi najvzácnejším hosťom, o čom sa nedá povedať nasledujúci formulár kombinácie:
Umiestnenia s opakovaniami
Zo sady pozostávajúcej z prvkov sa vyberajú prvky a dôležité je poradie prvkov v každej vzorke. A všetko by bolo v poriadku, ale dosť nečakaným vtipom je, že si môžeme vybrať ľubovoľný predmet pôvodnej sady koľkokrát chceme. Obrazne povedané, z „množstvo sa nezmenší“.
Kedy sa to stane? Typický príklad je kombinovaný zámok s niekoľkými diskami, ale vzhľadom na vývoj technológie je relevantnejšie zvážiť jeho digitálneho potomka:
Úloha 16
Koľko 4-miestnych PIN kódov existuje?
rozhodnutie: v skutočnosti na vyriešenie problému stačí poznať pravidlá kombinatoriky: prvú číslicu PIN kódu si môžete vybrať rôznymi spôsobmi a spôsoby - druhá číslica PIN kódu a toľkými spôsobmi - tretím a toľko - štvrtý. Podľa pravidla násobenia kombinácií teda možno poskladať štvormiestny PIN kód: spôsobmi.
A teraz so vzorcom. Podľa podmienok sa nám ponúka sada čísel, z ktorých sa čísla vyberajú a umiestňujú v určitom poradí, pričom čísla vo vzorke sa môžu opakovať (t. j. ktorúkoľvek číslicu pôvodnej sady možno použiť ľubovoľný počet krát). Podľa vzorca pre počet umiestnení s opakovaniami: 
Odpoveď: 10000
Čo ma tu napadne ... ... ak bankomat "zožerie" kartu po tretej neúspešný pokus zadanie PIN kódu, potom je šanca, že ho náhodne vyzdvihnete, veľmi iluzórna.
A kto povedal, že kombinatorika nemá praktický zmysel? Kognitívna úloha pre všetkých čitateľov stránky:
Problém 17
Podľa štátna norma, ŠPZ auta pozostáva z 3 číslic a 3 písmen. V tomto prípade nie je povolené číslo s tromi nulami a písmená sa vyberajú z množiny A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (používajú sa iba písmená cyriliky, ktorých pravopis sa zhoduje s latinskými písmenami).
Koľko rôznych poznávacích značiek možno zložiť pre región?
Nie tak, mimochodom, a veľa. AT hlavné regióny toto číslo nestačí, a preto pre nich existuje niekoľko kódov pre nápis RUS.
Riešenie a odpoveď na konci hodiny. Nezabudni používať pravidlá kombinatoriky ;-) ...chcel som sa pochváliť, že som exkluzívny, ale ukázalo sa, že to nie je exkluzívne =) Pozrel som si Wikipediu - sú tam výpočty, ale bez komentára. Hoci v vzdelávacie účely, asi to riešil málokto.
Je naša vzrušujúca aktivita skončilo a na záver chcem povedať, že ste nestrácali čas – z toho dôvodu, že kombinatorikové vzorce majú ešte jeden zásadný význam praktické využitie: stretávajú sa v rôzne úlohy na teória pravdepodobnosti,
a v úlohy o klasickej definícii pravdepodobnosti- hlavne často
Ďakujem vám všetkým za Aktívna účasť a do skorého videnia!
Riešenia a odpovede:
Úloha 2: rozhodnutie: nájdite počet všetkých možných permutácií 4 kariet:
Keď je karta s nulou na 1. mieste, číslo sa stane trojciferným, takže tieto kombinácie by sa mali vylúčiť. Nech je na 1. mieste nula, potom možno zvyšné 3 číslice na najmenej významných čísliciach preusporiadať spôsobmi.
Poznámka
: pretože existuje niekoľko kariet, je ľahké uviesť všetky tieto možnosti tu:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Z navrhovanej sady teda môžete vytvoriť:
24 - 6 = 18 štvorciferných čísel
Odpoveď
: 18
Úloha 4: rozhodnutie: 3 karty je možné vybrať z 36 spôsobov.
Odpoveď
: 7140
Úloha 6: rozhodnutie: 
spôsoby.
Iné riešenie
: spôsoby, ako môžete vybrať dvoch ľudí zo skupiny a a
2) „Najlacnejšia“ sada obsahuje 3 rubľové mince a „najdrahšia“ sada obsahuje 3 desaťrubľové mince.
Úloha 17: rozhodnutie: 
spôsoby, ako môžete vytvoriť digitálnu kombináciu ŠPZ, pričom jeden z nich (000) by mal byť vylúčený:.
spôsoby, ako môžete vytvoriť kombináciu písmen čísla auta.
Podľa pravidla násobenia kombinácií môže byť všetko zložené:
čísla áut
(každý kombinovaná digitálna kombinácia s každým kombinácia písmen).
Odpoveď
: 1726272
Kombinatorické problémy
1 . Káťa, Máša a Ira sa hrajú s loptou. Každý z nich musí hodiť loptičku raz v smere každého kamaráta. Koľkokrát by malo každé z dievčat hodiť loptu? Koľkokrát sa bude hádzať lopta? Určte, koľkokrát sa loptička hodí, ak sa hry zúčastnia: štyri deti; päť detí.
2 . Dané tri fasády a dve strechy, ktoré majú rovnaký tvar, ale sú natreté rôznymi farbami: fasády sú žlté, modré a červené a strechy sú modré a červené. Aké domy sa dajú postaviť? Koľko kombinácií existuje?
3 . Vzhľadom na tri rovnaké fasády domu: modrá, žltá a červená - a tri strechy: modrá, žltá a červená. Aké domy sa dajú postaviť? Koľko kombinácií existuje?
4 . Vzory na vlajočkách môžu byť kruh, štvorec, trojuholník alebo hviezda a môžu byť zafarbené na zeleno alebo do červena. Koľko rôznych vlajok môže byť?
5. V školskej jedálni sa ako druhý chod pripravovalo na obed mäso, fašírky a ryby. Ako dezert - zmrzlina, ovocie a koláč. Môžete si vybrať jeden hlavný chod a jeden dezertný chod. Koľko existuje rôzne možnosti obed?
6. V školskej jedálni sa na obed pripravovala polievka s mäsom a vegetariánska polievka ako prvé jedlá, mäso, fašírky a ryby ako druhé, zmrzlina, ovocie a koláč ako sladkosti. Koľko rôznych možností pre trojchodové jedlo existuje?
7. Koľkými spôsobmi môžu byť traja študenti usadení v rade na stoličkách? Uveďte všetky možné prípady.
8 . Koľkými spôsobmi sa môžu štyria (piati) ľudia postaviť do radu?
9 . S rôzne strany Tri cesty stúpajú do kopca a zbiehajú sa na vrchole. Vymyslite si veľa trás, po ktorých môžete ísť hore a dole kopcom. Vyriešte rovnaký problém, ak musíte ísť hore a dole rôznymi cestami.
10 . Z Akulova do Rybnice vedú tri cesty a z Rybnice do Kitova štyri cesty. Koľkými spôsobmi sa dá cestovať z Akulova do Kitova cez Rybnicu?
11 . Slabika sa nazýva otvorená, ak začína spoluhláskou a končí samohláskou. Koľko otvorených dvojpísmenových slabík možno napísať pomocou písmen „a“, „b“, „c“, „d“, „e“, „i“, „o“? Vypíšte tieto slabiky.
12. Koľko rôznych blúzok a sukní môžete vyrobiť, ak máte 4 blúzky a 4 sukne?
13. Keď Petya chodí do školy, niekedy stretne jedného alebo viacerých svojich priateľov: Vasya, Lenya, Tolya. Uveďte všetky možné prípady, ktoré môžu nastať.
14 . Zapíšte si všetky možné dvojciferné čísla pomocou číslic 7 a 4.
15 . Misha plánovala kúpiť: ceruzku, pravítko, zošit a zošit. Dnes si kúpil len dve iný predmet. Čo by si mohol Misha kúpiť za predpokladu, že obchod mal všetky vzdelávacie potreby, ktoré potreboval?
16 . Štyria ľudia si podali ruky. Koľko podaní rúk bolo?
17 . Koľko dvojciferných čísel je bez číslice 0?
18 . Zapíšte si všetky možné trojciferné čísla, ktoré sa dajú zostaviť z čísel 1 a 2.
19 . Napíšte všetky možné párne trojciferné čísla zložené z číslic 1 a 2.
20 . Zapíšte si všetky možné dvojciferné čísla, ktoré používajú čísla 2, 8 a 5.
21 . Koľko rôznych dvojciferných čísel existuje, z ktorých všetky sú nepárne?
22 . Aké trojciferné čísla možno zapísať pomocou číslic 3, 7 a 1, za predpokladu, že číslo nesmie obsahovať rovnaké číslice? Koľko takýchto čísel?
23 . Koľko trojciferné čísla môže sa skladať z číslic 1, 2, 4, 6, ak žiadne číslo nie je použité viackrát? Koľko z týchto čísel bude párnych? Koľko nepárnych?
24 . Auto má päť sedadiel. Koľkými spôsobmi sa do tohto auta môže dostať päť ľudí, ak len dvaja z nich môžu sedieť na mieste vodiča?
25. V triede je 5 samostatných stolov. Koľkými spôsobmi sa na ne dajú posadiť dvaja (traja) novoprichádzajúci školáci?
26 . Pamätajte na bájku I. Krylova "Kvarteto":
Nezbedná Opica, Somárik, Koza a PEC Mishka začali hrať Kvarteto. Udierajú luky, trhajú, ale nemá to zmysel. „Prestaňte, bratia, prestaňte! - kričí Monkey. - Počkaj! Ako ide hudba? Nesedíš tak." Koľko rôzne cesty môžu si títo hudobníci skúsiť sadnúť? Môže to zlepšiť kvalitu ich hry?
27 . Chlapci a dievčatá sedia v rade za sebou, pričom chlapci sedia na nepárnych miestach a dievčatá na párnych. Koľkými spôsobmi to možno urobiť, ak:
a) 3 chlapci a 3 dievčatá sedia na 6 miestach;
b) 5 chlapcov a 5 dievčat sedí na 10 miestach?
28 . Na prázdnu šachovnicu musia byť umiestnené dve dámy – čiernobiele. Koľko rôznych pozícií môžu na šachovnici zaujať?
29. Nech sa číslo auta skladá z dvoch písmen, za ktorými nasledujú dve čísla, napríklad AB-53. Koľko rôznych čísel možno vytvoriť pomocou 5 písmen a 6 číslic?
30 . Číslo vozidla pozostáva z troch písmen a štyroch číslic. Koľko rôznych štátna poznávacia značka(tri písmená sú prevzaté z 29 písmen ruskej abecedy)?
31 . Predpokladajme, že by ste museli ísť do knižnice, sporiteľne, na poštu a dať topánky na opravu. Pre výber najkratšej trasy je potrebné zvážiť všetky možné možnosti. Koľko spôsobov existuje, ak sú knižnica, sporiteľňa, pošta a predajňa obuvi ďaleko od seba?
32. Predpokladajme, že by ste museli ísť do knižnice, sporiteľne, na poštu a dať topánky na opravu. Pre výber najkratšej trasy je potrebné zvážiť všetky možné možnosti. Koľko rozumných ciest existuje, ak sú knižnica a pošta blízko, ale ďaleko od sporiteľne a obchodu s obuvou, ktoré sú od seba ďaleko?
33. Medzi cestujúcimi vo vozni sa rozprúdila živá diskusia o štyroch časopisoch. Ukázalo sa, že každý odoberá dva časopisy a každý z možných kombinácií dvoch časopisov odoberá jeden človek. Koľko ľudí bolo v tejto skupine?
34 . Existuje päť kociek, ktoré sa od seba líšia iba farbou: 2 červené, 1 biela a 2 čierne. Sú dve krabice A a B, kde A obsahuje 2 kocky a B 3. Koľkými rôznymi spôsobmi možno tieto kocky umiestniť do polí A a B?
35. Aby mohol Ivan Tsarevič priniesť cárovi otcovi omladzujúce jablká, musí nájsť jedinú pravú cestu do čarovnej záhrady. Na rázcestí troch ciest starého havrana som stretol Ivana Tsareviča a túto radu som od neho počul:
1) choďte teraz po správnej ceste;
2) zapnuté ďalšia vidlica nevyberajte si správnu cestu;
3) na tretej vidlici sa nevyberajte doľava.
Holubica, ktorá preletela okolo, pošepkala Ivanovi Tsarevičovi, že iba jedna rada od havrana je správna a že sa rozhodne treba vydať po cestách rôznymi smermi. Náš hrdina splnil úlohu a skončil v čarovnej záhrade. Akou cestou sa vybral?
Čitateľom "Habrahabra" ponúkam preklad publikácie "100 Prisoners Escape Puzzle", ktorú som našiel na stránke DataGenetics. Všetky chyby v tomto článku posielajte do súkromných správ.
Podľa stavu problému je vo väznici 100 väzňov, z ktorých každý má osobné číslo od 1 do 100. Väzník sa rozhodne dať väzňom šancu na prepustenie a ponúkne sa, že podstúpi test, ktorý vymyslel. Ak uspejú všetci väzni, sú na slobode, ak zlyhá aspoň jeden, všetci zomrú.
Úloha
Žalárnik ide do tajná miestnosť a pripraví 100 škatúľ s vrchnákom. Na každej škatuľke označí čísla od 1 do 100. Potom prinesie 100 papierových tabliet podľa počtu väzňov a tieto očísluje od 1 do 100. Potom 100 tabliet zamieša a do každej škatuľky vloží jednu tabletu, zatváranie veka. Väzni nevidia, ako žalárnik všetky tieto úkony vykonáva.Začína sa súťaž, žalárnik odvedie každého väzňa po jednom do miestnosti s krabicami a povie väzňom, že musia nájsť krabicu, ktorá bude obsahovať štítok s číslom väzňa. Otváraním škatúľ sa väzni snažia nájsť štítok s ich číslom. Každý môže otvoriť až 50 boxov; ak každý z väzňov nájde svoje číslo, potom budú väzni prepustení, ak aspoň jeden z nich nenájde svoje číslo v 50 pokusoch, tak všetci väzni zomrú.
Aby boli väzni prepustení, VŠETCI väzni musia úspešne prejsť testom.
Aká je teda šanca, že väzni dostanú milosť?
- Keď väzeň škatuľu otvorí a skontroluje tanier, vloží sa späť do škatule a veko sa opäť zatvorí;
- Miesta tanierov nie je možné meniť;
- Väzni si po začatí súdneho procesu nemôžu navzájom zanechávať stopy alebo sa navzájom ovplyvňovať;
- Pred začatím procesu môžu väzni diskutovať o stratégii.
Aká je optimálna stratégia pre väzňov?
Doplňujúca otázka:
Ak priateľ väzňov (nie účastník testu) bude môcť vstúpiť do tajnej miestnosti pred začiatkom testu, preskúmajte všetky tablety vo všetkých škatuliach a (voliteľne, ale nie je to povinné) vymeňte dva tablety z dvoch škatúľ (v tomto prípade súdruh nebude mať možnosť oboch informovať väzňov o výsledku svojho konania), akú stratégiu má teda zvoliť, aby zvýšil šance väzňov na útek?
Riešenie nepravdepodobné?
Na prvý pohľad sa táto úloha zdá takmer beznádejná. Zdá sa, že šanca každého z väzňov nájsť svoj tablet je mikroskopicky malá. Okrem toho si väzni počas procesu nemôžu medzi sebou vymieňať informácie.Pravdepodobnosť jedného väzňa je 50:50. Celkovo je tam 100 boxov a môže otvoriť až 50 boxov pri hľadaní svojho znamenia. Ak náhodne otvorí škatule a otvorí polovicu všetkých škatúľ, nájde svoj tablet v otvorenej polovici škatúľ, alebo jeho tablet zostane v zatvorených 50 škatuliach. Jeho šance na úspech sú ½.
Zoberme si dvoch väzňov. Ak si obaja náhodne vyberú políčka, šanca pre každú z nich bude ½ a pre dve ½x½=¼.
(pre dvoch väzňov bude úspech v jednom prípade zo štyroch).
Pre troch väzňov je pravdepodobnosť ½ × ½ × ½ = ⅛.
Pre 100 väzňov je pravdepodobnosť: ½ × ½ × … ½ × ½ (vynásobte 100-krát).
Toto sa rovná Pr ≈ 0,000000000000000000000000000008
Je to teda veľmi malá šanca. V tomto scenári budú s najväčšou pravdepodobnosťou všetci väzni mŕtvi.
Neuveriteľná odpoveď
Ak každý väzeň otvorí krabice náhodne, je nepravdepodobné, že by v teste prešli. Existuje stratégia, kde väzni môžu očakávať, že budú úspešní vo viac ako 30 % prípadov. Toto je úžasne neuveriteľný výsledok (ak ste o tom ešte nepočuli matematický problém predtým).Viac ako 30 % pre všetkých 100 väzňov! Áno, to je ešte viac ako šance pre dvoch väzňov za predpokladu, že boxy otvárajú náhodne. Ale ako je to možné?
Je jasné, že jedna pre každého väzňa, šanca nemôže byť vyššia ako 50 % (v konečnom dôsledku neexistuje spôsob komunikácie medzi väzňami). Nezabudnite však, že informácie sú uložené v umiestnení dosiek vo vnútri škatúľ. Medzi návštevami jednotlivých väzňov v miestnosti nikto nemieša tablety, takže tieto informácie môžeme použiť.
rozhodnutie
Najprv vám poviem riešenie a potom vysvetlím, prečo to funguje.Stratégia je mimoriadne jednoduchá. Prvý z väzňov otvorí krabicu s číslom, ktoré má napísané na oblečení. Napríklad väzeň číslo 78 otvorí krabicu s číslom 78. Ak nájde svoje číslo na štítku vnútri krabice, je to skvelé! Ak nie, pozrie sa na číslo na štítku v „svojom“ boxe a potom otvorí ďalší box s týmto číslom. Po otvorení druhého boxu sa pozrie na číslo tabletu v tomto boxe a otvorí tretí box s týmto číslom. Potom túto stratégiu jednoducho prenesieme do zvyšných políčok. Pre prehľadnosť sa pozrite na obrázok:
Nakoniec väzeň buď nájde svoje číslo, alebo dosiahne limit 50 políčok. Na prvý pohľad sa to zdá nezmyselné v porovnaní s jednoduchým náhodným výberom škatule (a pre jedného väzňa áno), ale keďže všetkých 100 väzňov bude používať rovnakú súpravu škatúľ, dáva to zmysel.
Krása tohto matematický problém- nielen poznať výsledok, ale aj pochopiť prečo táto stratégia funguje.
Prečo teda stratégia funguje?
Každá krabica obsahuje jeden tanier - a tento tanier je jedinečný. To znamená, že tanier je v krabici s rovnakým číslom, alebo ukazuje na inú krabicu. Keďže všetky platne sú jedinečné, pre každú škatuľu je len jedna platňa, ktorá na ňu ukazuje (a iba jeden spôsob, ako sa k nej dostať).
Ak sa nad tým zamyslíte, krabice tvoria uzavretú kruhovú reťaz. Jeden box môže byť súčasťou iba jedného reťazca, pretože vo vnútri boxu je len jeden ukazovateľ na ďalší, a teda v predchádzajúcom boxe je len jeden ukazovateľ na tento box (programátori vidia analógiu s prepojenými zoznamami).
Ak škatuľa neukazuje na seba (číslo škatule sa rovná ŠPZ v nej), bude v reťazci. Niektoré reťaze môžu pozostávať z dvoch krabičiek, niektoré sú dlhšie.
Keďže všetci väzni začínajú škatuľkou s rovnakým číslom na oblečení, sú podľa definície umiestnení na reťazi, ktorá obsahuje ich menovku (na túto škatuľu ukazuje len jedna menovka).
Pri skúmaní škatúľ pozdĺž tejto reťaze v kruhu je zaručené, že nakoniec nájdu svoje znamenie.
Otázkou ostáva len to, či svoj tablet nájdu za 50 ťahov.
Dĺžka reťaze
Aby všetci väzni prešli testom, maximálna dĺžka reťaze musí byť menšia ako 50 škatúľ. Ak je reťaz dlhšia ako 50 škatúľ, väzni s číslami z týchto reťazí v teste neuspejú - a všetci väzni budú mŕtvi.Ak je maximálna dĺžka najdlhšej reťaze menšia ako 50 krabíc, testom prejdú všetci väzni!
Premýšľajte o tom na chvíľu. Ukázalo sa, že v akomkoľvek rozložení tanierov môže byť len jedna reťaz dlhšia ako 50 políčok (my máme len 100 políčok, takže ak je jedna reťaz dlhšia ako 50, zvyšok bude celkovo kratší ako 50).
Kurz na ruku s dlhou reťazou
Keď sa presvedčíte, že maximálna dĺžka reťaze musí byť menšia alebo rovná 50, aby ste uspeli, a v každej sade môže byť iba jedna dlhá reťaz, môžeme vypočítať pravdepodobnosť úspešného zvládnutia výzvy:Ešte trochu matematiky
Čo teda potrebujeme, aby sme zistili pravdepodobnosť dlhého reťazca?Pre reťazec dĺžky l je pravdepodobnosť, že krabice budú mimo tohto reťazca:
V tejto zbierke čísel je (l-1)! spôsoby usporiadania značiek.
Zvyšné značky sa dajú nájsť (100-l)! spôsobmi (nezabudnite, že dĺžka reťaze nepresahuje 50).
Vzhľadom na to je počet permutácií, ktoré obsahujú reťazec presná dĺžka l: (>50)
Ukazuje sa, že existuje 100(!) spôsobov usporiadania dosiek tak, že pravdepodobnosť existencie reťazca dĺžky l sa rovná 1/l. Mimochodom, tento výsledok nezávisí od počtu políčok.
Ako už vieme, môže existovať iba jeden prípad, v ktorom je reťazec s dĺžkou > 50, takže pravdepodobnosť úspechu sa vypočíta podľa tohto vzorca:
Výsledok
31,18 % - pravdepodobnosť, že veľkosť najdlhšej reťaze bude menšia ako 50 a každý z väzňov nájde svoj tablet, vzhľadom na limit 50 pokusov.Pravdepodobnosť, že všetci väzni nájdu svoje taniere a prejdú testom, je 31,18 %
Nižšie je uvedený graf znázorňujúci pravdepodobnosti (na osi y) pre všetky reťazce dĺžky l (na osi x). Červená znamená všetky "poruchy" (daná krivka je tu len 1/l graf). Zelená farba znamená „úspech“ (výpočet je pre túto časť grafu trochu komplikovanejší, pretože existuje niekoľko spôsobov, ako určiť maximálna dĺžka <50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.
Harmonické číslo (táto časť článku je pre geekov)
V matematike je n-té harmonické číslo súčtom prevrátených hodnôt prvých n po sebe idúcich čísel prirodzeného radu.
Vypočítajme hranicu, ak máme namiesto 100a boxov ľubovoľne veľký počet boxov (predpokladajme, že máme celkovo 2n boxov).
Euler-Mascheroniho konštanta je konštanta definovaná ako hranica rozdielu medzi čiastočným súčtom harmonického radu a prirodzeným logaritmom čísla.
Keď sa počet väzňov zvyšuje, ak dozorca dovolí väzňom otvoriť polovicu všetkých škatúľ, šanca na záchranu má tendenciu 30,685 %.
(Ak urobíte rozhodnutie, v ktorom väzni náhodne uhádnu krabice, potom ako sa počet väzňov zvyšuje, pravdepodobnosť, že budú zachránení, bude nulová!)
Doplňujúca otázka
Pamätá si ešte niekto dodatočnú otázku? Čo môže náš užitočný súdruh urobiť, aby zvýšil naše šance na prežitie?Teraz už poznáme riešenie, takže stratégia je jednoduchá: musí študovať všetky znaky a nájsť najdlhší reťazec krabíc. Ak je najdlhšia reťaz menšia ako 50, potom nemusí tablety vymieňať vôbec, alebo ich meniť tak, aby najdlhšia reťaz nebola dlhšia ako 50. Ak však nájde reťaz dlhšiu ako 50 krabíc, stačí vymeniť obsah dvoch krabíc z tejto reťaze, aby sa táto reťaz rozbila na dve kratšie reťaze.
V dôsledku tejto stratégie nebudú žiadne dlhé reťaze a všetci väzni zaručene nájdu svoje znamenie a spásu. Takže zámenou dvoch znamení znížime pravdepodobnosť spasenia na 100%!
2017-2018 Tréningová práca z matematiky 11. ročník
Možnosť 2 (základná)
Odpoveďou na každú úlohu je posledný desatinný zlomok, celé číslo alebo postupnosť číslic. Odpovede na úlohy si zapíšte do políčka odpovede v texte práce a následne ich preneste do odpoveďového formulára č. 1 napravo od čísla zodpovedajúcej úlohy. Ak je odpoveďou postupnosť čísel, zapíšte si túto postupnosť do odpoveďového hárku č.1bez medzier, čiarok a iných ďalších znakov. Každé číslo, znamienko mínus a čiarku napíšte do samostatného poľa. Jednotky merania sa nevyžadujú.
1
odpoveď: _________________.
2 . Nájdite hodnotu výrazu:
odpoveď: _________________.
3 . V škole tvoria dievčatá 51 % všetkých žiakov. Koľko dievčat je v tejto škole, ak je dievčat o 8 viac ako chlapcov?
odpoveď: _________________.
4 . Harmonický priemer troch čísela , b as, sa vypočíta podľa vzorca Nájdite harmonický priemer čísel
odpoveď: _________________.
5. Vypočítať:
odpoveď: _________________.
6 . V mužskej ubytovni ústavu sa v každej izbe môžu ubytovať najviac tri osoby. Aký je najmenší počet izieb potrebných na ubytovanie 79 študentov mimo mesta?
odpoveď: _________________.
7 .Nájdite koreň rovnice
odpoveď: _________________.
8 . Byt pozostáva z dvoch izieb, kuchyne, chodby a kúpeľne (viď nákres). Prvá izba má 4 m x 4 m, druhá - 4 m x 3,5 m, kuchyňa má rozmery 4 m x 3,5 m, kúpeľňa - 1,5 m x 2 m. Nájdite si plochu chodby. Svoju odpoveď uveďte v metroch štvorcových.
odpoveď: _________________.
9 . Vytvorte súlad medzi veličinami a ich možnými hodnotami: pre každý prvok prvého stĺpca vyberte zodpovedajúci prvok z druhého stĺpca.
VALUE VALUES
A) objem komody 1) 0,75 l
B) objem vody v Kaspickom mori 2) 78200 km 3
C) objem balenia ryazhenka 3) 96 l
D) objem železničného vozňa 4) 90 m 3
V tabuľke pod každým písmenom zodpovedajúcim hodnote uveďte číslo jeho možnej hodnoty.
odpoveď:
odpoveď: _________________.10 . Na olympiáde v ruskom jazyku sú účastníci usadení v troch triedach. V prvých dvoch po 130 ľudí, zvyšok je odvezený do rezervnej posluchárne v inej budove. Pri sčítaní nám vyšlo, že spolu bolo 400 účastníkov. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraný účastník napísal olympiádu vo voľnej izbe.
odpoveď: _________________.
11 . Obrázok ukazuje graf hodnôt atmosférického tlaku v určitom meste za tri dni. Dni v týždni a čas sú uvedené horizontálne, hodnoty atmosférického tlaku v milimetroch ortuti sú uvedené vertikálne. Zistite hodnotu atmosférického tlaku v stredu o 12. hodine. Uveďte svoju odpoveď v milimetroch ortuťového stĺpca.
odpoveď: ____________.
odpoveď: _________________.
13. Pravidelný šesťhranný ihlan s hranou 1 bol prilepený k pravidelnému šesťhrannému hranolu s hranou 1 tak, aby sa strany podstav zhodovali. Koľko plôch má výsledný mnohosten (neviditeľné hrany nie sú na obrázku znázornené)?
odpoveď: _________________.
14. Na obrázku je znázornený graf funkcie bodovA, B, C, DaEnastaviť na osX štyri intervaly. Pomocou grafu priraďte každý interval k charakteristike funkcie alebo jej derivácie.
INTERVALY CHARAKTERISTIKY FUNKCIE ALEBO DERIVÁTU
A) (A; B) 1) funkcia zmení znamienko z „-“ na „+“
B) (C; C) 2) derivácia zmení znamienko z „-“ na „+“
B) (C;D) 3) derivácia zmení znamienko z „+“ na „-“
G) (D; E) 4) funkcia je kladná a rastúca
V tabuľke pod každým písmenom uveďte príslušné číslo.
15 . Na kruhu so stredomO body sú označenéALE aAT tak, aby dĺžka menšieho oblúkaAB je 3. Nájdite dĺžku väčšieho oblúka.
odpoveď: _________________.
16 . Dané dve krabice, ktoré majú tvar pravidelného štvoruholníkového hranolu. Prvý box je štyriapolkrát nižší ako druhý a druhý je trikrát užší ako prvý. Koľkokrát je objem prvého boxu väčší ako objem druhého?
odpoveď: _________________.
17. Každá zo štyroch nerovností v ľavom stĺpci zodpovedá jednému z riešení v pravom stĺpci. Vytvorte súlad medzi nerovnosťami a ich riešeniami.
NEROVNOSŤ RIEŠENÍ
ALE)
b)
AT)
G)
Napíšte do tabuľky uvedenej v odpovedi pod každé písmeno zodpovedajúce číslo riešenia.
odpoveď:
18 . Na zimných olympijských hrách získal ruský tím viac medailí ako tím Kanady, tím Kanady - viac ako nemecký tím a nórsky tím - menej ako tím Kanady.Vyberte tvrdenia, ktoré sú za daných podmienok pravdivé.
1) Z menovaných tímov sa na druhom mieste v počte medailí umiestnil tím Kanady.
2) Medzi menovanými tímami sú tri, ktoré získali rovnaký počet medailí.
3) Nemecký tím získal viac medailí ako ruský tím.
4) Ruský tím získal viac medailí ako každý z ostatných troch tímov.
Vo svojej odpovedi uveďte čísla správnych tvrdení vo vzostupnom poradí.
odpoveď: _________________.
19 . chetytrojciferné čísloALE pozostáva z číslic 3; 4; osem; 9, aštyritrojciferné čísloAT - z číslic 6; 7; osem; 9. Je známe, žeAT = 2 ALE. Nájdite čísloALE. Vo svojej odpovedi uveďte akékoľvek jedno takéto číslo okrem čísla 3489.
odpoveď: _________________.
20 . Obdĺžnik je rozdelený na štyri malé obdĺžniky dvoma rovnými rezmi. Obvody troch z nich, začínajúc zľava hore a idúce v smere hodinových ručičiek, sú 17, 15 a 18. Nájdite obvod štvrtého obdĺžnika.
1715
?
18
