Die Definition paralleler Linien und ihre Eigenschaften im Raum sind die gleichen wie in der Ebene (siehe Punkt 11).

Gleichzeitig ist ein weiterer Fall der Anordnung von Linien im Raum möglich - schräge Linien. Geraden, die sich nicht schneiden und nicht in derselben Ebene liegen, heißen sich schneidende Geraden.

Abbildung 121 zeigt den Grundriss des Wohnzimmers. Sie sehen, dass die Linien, zu denen die Segmente AB und BC gehören, schief sind.

Der Winkel zwischen sich schneidenden Linien ist der Winkel zwischen sich schneidenden Linien parallel zu ihnen. Dieser Winkel hängt nicht davon ab, welche Schnittlinien genommen werden.

Es wird angenommen, dass das Gradmaß des Winkels zwischen parallelen Linien Null ist.

Eine gemeinsame Senkrechte zweier sich schneidender Linien ist ein Segment mit Enden auf diesen Linien, das eine Senkrechte zu jeder von ihnen ist. Es lässt sich beweisen, dass zwei sich schneidende Geraden eine gemeinsame Senkrechte haben, und zwar nur eine. Es ist eine gemeinsame Senkrechte der parallelen Ebenen, die durch diese Linien gehen.

Der Abstand zwischen sich schneidenden Geraden ist die Länge ihrer gemeinsamen Senkrechten. Es ist gleich dem Abstand zwischen parallelen Ebenen, die durch diese Linien verlaufen.

Um also den Abstand zwischen den sich schneidenden Linien a und b (Abb. 122) zu finden, ist es notwendig, parallele Ebenen a und durch jede dieser Linien zu zeichnen. Der Abstand zwischen diesen Ebenen ist der Abstand zwischen den Schnittlinien a und b. In Abbildung 122 ist dieser Abstand beispielsweise der Abstand AB.

Beispiel. Die Linien a und b sind parallel und die Linien c und d schneiden sich. Kann jede der Geraden ein und beide Geraden schneiden

Entscheidung. Die Linien a und b liegen in derselben Ebene, und daher liegt jede Linie, die sie schneidet, in derselben Ebene. Wenn also jede der Linien a, b beide Linien c und d schneidet, dann würden die Linien in derselben Ebene mit den Linien a und b liegen, und das kann nicht sein, da sich die Linien schneiden.

42. Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene.

Eine Linie und eine Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden, das heißt, sie haben keine Gemeinsame Punkte. Wenn die Linie a parallel zur Ebene a ist, dann schreiben sie:.

Abbildung 123 zeigt eine gerade Linie a parallel zur Ebene a.

Wenn gerade, nicht zum Flugzeug gehören, parallel zu irgendeiner Linie in dieser Ebene ist, dann ist sie auch parallel zur Ebene selbst (ein Zeichen der Parallelität der Linie und der Ebene).

Dieser Satz erlaubt spezifische Situation Beweisen Sie, dass eine Gerade und eine Ebene parallel sind. Abbildung 124 zeigt eine gerade Linie b parallel zu einer geraden Linie a, die in der Ebene a liegt, d.h. entlang der geraden Linie b parallel zur Ebene a, d.h.

Beispiel. Durch die Spitze rechter Winkel Von rechteckig Dreieck ABC Parallel zur Hypotenuse wird im Abstand von 10 cm eine Ebene gezogen. Die Projektionen der Beine auf dieser Ebene betragen 30 und 50 cm. Finden Sie die Projektion der Hypotenuse auf derselben Ebene.

Entscheidung. Aus rechtwinklige Dreiecke BBVC und (Abb. 125) finden wir:

Aus dem Dreieck ABC finden wir:

Die Projektion der Hypotenuse AB auf die Ebene a ist . Da AB parallel zur Ebene a ist, gilt So,.

43. Parallele Ebenen.

Zwei Ebenen heißen parallel. wenn sie sich nicht schneiden.

Zwei Ebenen sind parallel", wenn eine von ihnen parallel zu zwei sich schneidenden Geraden ist, die in einer anderen Ebene liegen (ein Zeichen der Parallelität zweier Ebenen).

In Abbildung 126 ist die Ebene a parallel zu den in der Ebene liegenden Schnittlinien a und b, dann sind entlang dieser Ebenen parallel.

Durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Ebene kann man eine Ebene parallel zu der gegebenen ziehen, und zwar nur eine.

Wenn sich zwei parallele Ebenen mit einer dritten schneiden, dann sind die Schnittlinien parallel.

Abbildung 127 zeigt zwei parallele Ebenen, und die Ebene y schneidet sie entlang der geraden Linien a und b. Dann können wir nach Satz 2.7 behaupten, dass die Geraden a und b parallel sind.

Segmente paralleler Linien, die zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossen sind, sind gleich.

Nach T.2.8 sind die in Abbildung 128 gezeigten Segmente AB und gleich, da

Lass diese Ebenen sich schneiden. Zeichnen Sie eine Ebene senkrecht zur Schnittlinie. Sie schneidet diese Ebenen entlang zweier gerader Linien. Der Winkel zwischen diesen Linien wird Winkel zwischen diesen Ebenen genannt (Abb. 129). Der Winkel zwischen den so definierten Ebenen hängt nicht von der Wahl der Sekantenebene ab.

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Alle möglichen Fälle relative Position Linie und Ebene im Raum :

Eine Gerade liegt auf einer Ebene, wenn alle Punkte der Geraden gehören zur Ebene.

Kommentar . Damit eine Gerade auf einer Ebene liegt, ist es notwendig und ausreichend, dass zwei beliebige Punkte dieser Geraden zu dieser Ebene gehören.

Eine Gerade schneidet eine Ebene, wenn sowohl die Gerade als auch die Ebene dies tun einzige Gemeinsamkeit

Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn die Gerade und die Ebene haben keine gemeinsamen Punkte. (Sie schneiden sich nicht

Aussage 1 . Nehmen wir an, dass die Linie a und die Ebene α parallel sind und die Ebene β durch die Gerade verläuft a. Dann sind zwei Fälle möglich:

Aber dann der Punkt P ist der Schnittpunkt der Geraden a und die Ebene α , und wir erhalten einen Widerspruch mit der Tatsache, dass die Linie a und die Ebene α sind parallel. Der resultierende Widerspruch vervollständigt den Beweis von Behauptung 1.

Aussage 2 (ein Zeichen der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene) . Wenn gerade a , nicht in der Ebene α liegend, parallel zu irgendeiner Linie b in der Ebene α liegen, dann die Linie a und die Ebene α sind parallel.

Nachweisen. Lassen Sie uns das Zeichen der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene "durch Widerspruch" beweisen. Nehmen wir an, dass die Linie a schneidet irgendwann die Ebene α P. Zeichnen Sie die Ebene β durch die Parallelen a und b.

Punkt P liegt auf einer geraden Linie a und gehört zur Ebene β. Aber nach Annahme der Punkt P gehört zur Ebene α , daher der Punkt P liegt auf einer geraden Linie b, entlang der sich die Ebenen α und β schneiden. Allerdings direkt a und b sind durch die Bedingung parallel und können keine gemeinsamen Punkte haben.

Der resultierende Widerspruch vervollständigt den Beweis des Kriteriums für die Parallelität einer Linie und einer Ebene.

Sätze

• Wenn eine Gerade, die eine Ebene schneidet, senkrecht auf zwei Geraden steht, die in dieser Ebene liegen und durch den Schnittpunkt der gegebenen Geraden und der Ebene gehen, dann steht sie senkrecht auf der Ebene.
• Steht eine Ebene senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, so steht sie auch senkrecht auf der anderen.
• Stehen zwei Geraden senkrecht auf derselben Ebene, so sind sie parallel.
• Steht eine in einer Ebene liegende Gerade senkrecht auf der Projektion einer schrägen, so steht sie auch senkrecht auf der schrägen.
• Wenn eine gerade Linie, die nicht in einer bestimmten Ebene liegt, parallel zu einer geraden Linie ist, die in dieser Ebene liegt, dann ist sie parallel zu dieser Ebene.
• Wenn eine Linie parallel zu einer Ebene ist, dann ist sie parallel zu einer Linie auf dieser Ebene.
• Stehen eine Gerade und eine Ebene senkrecht auf derselben Geraden, so sind sie parallel.
• Alle Punkte einer zu einer Ebene parallelen Geraden sind von dieser Ebene gleich weit entfernt.

Satz

Wenn eine Linie, die nicht zu einer Ebene gehört, parallel zu einer Linie in dieser Ebene ist, dann ist sie auch parallel zur Ebene selbst.

Nachweisen

Sei α eine Ebene, a eine nicht darin liegende Gerade und a1 eine zur Geraden a parallele Gerade in der Ebene α. Zeichnen wir die Ebene α1 durch die Geraden a und a1. Die Ebenen α und α1 schneiden sich entlang der Linie a1. Wenn die Gerade a die Ebene α schneidet, dann würde der Schnittpunkt zur Geraden a1 gehören. Dies ist aber unmöglich, da die Geraden a und a1 parallel sind. Daher schneidet die Linie a die Ebene α nicht und ist daher parallel zur Ebene α. Der Satz ist bewiesen.

18. FLUGZEUGE

Wenn sich zwei parallele Ebenen mit einer dritten schneiden, dann sind die Schnittlinien parallel.(Abb. 333).

Tatsächlich, laut Definition Parallele Linien sind Linien, die in derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden. Unsere Linien liegen in der gleichen Ebene - der Sekantenebene. Sie schneiden sich nicht, da die parallelen Ebenen, die sie enthalten, sich nicht schneiden.

Die Linien sind also parallel, was wir beweisen wollten.

Eigenschaften

§ Wenn die Ebene α parallel zu zwei sich schneidenden Geraden ist, die in der anderen Ebene β liegen, dann sind diese Ebenen parallel

§ Wenn zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten werden, dann sind ihre Schnittlinien parallel

§ Durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Ebene ist es möglich, eine Ebene parallel zu einer gegebenen Ebene zu zeichnen, und zwar nur eine

§ Segmente paralleler Linien, die von zwei parallelen Ebenen begrenzt werden, sind gleich

§ Zwei Winkel mit jeweils parallelen und gleich gerichteten Seiten sind gleich und liegen ineinander parallele Ebenen

19.

Liegen zwei Geraden in derselben Ebene, lässt sich der Winkel zwischen ihnen leicht messen – zum Beispiel mit einem Winkelmesser. Und wie man misst Winkel zwischen Gerade und Ebene?

Lassen Sie die Linie die Ebene schneiden, und zwar nicht im rechten Winkel, sondern in einem anderen Winkel. Eine solche Linie heißt schräg.

Lassen Sie uns eine Senkrechte von einem Punkt fallen lassen, der zu unserer Ebene geneigt ist. Verbinden Sie die Basis der Senkrechten mit dem Schnittpunkt der Schräge und der Ebene. Wir haben bekommen Projektion einer schiefen Ebene.

Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene ist der Winkel zwischen einer Linie und ihrer Projektion auf eine gegebene Ebene..

Bitte beachten Sie, dass wir als Winkel zwischen der Linie und der Ebene einen spitzen Winkel wählen.

Wenn die Linie parallel zur Ebene ist, dann ist der Winkel zwischen der Linie und der Ebene Null.

Steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, so ist ihre Projektion auf die Ebene ein Punkt. Offensichtlich beträgt in diesem Fall der Winkel zwischen der Linie und der Ebene 90°.

Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie auf einer beliebigen Geraden in dieser Ebene senkrecht steht..

Dies ist die Definition. Aber wie kann man mit ihm arbeiten? Wie kann man prüfen, ob eine gegebene Gerade senkrecht zu allen in der Ebene liegenden Geraden steht? Schließlich gibt es davon unendlich viele.

In der Praxis wird es angewendet Zeichen der Rechtwinkligkeit einer Linie und einer Ebene:

Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie senkrecht auf zwei sich schneidenden Geraden steht, die in dieser Ebene liegen.

21. Diederwinkel- räumlich geometrische Figur, gebildet aus zwei Halbebenen, die von einer Geraden ausgehen, sowie einem von diesen Halbebenen begrenzten Raumteil.

Zwei Ebenen heißen senkrecht, wenn der Flächenwinkel zwischen ihnen 90 Grad beträgt.

§ Wenn eine Ebene durch eine Linie geht, die senkrecht zu einer anderen Ebene steht, dann sind diese Ebenen senkrecht.

§ Wenn von einem Punkt, der zu einem der beiden gehört senkrechte Ebenen, eine Senkrechte zu einer anderen Ebene ziehen, dann liegt diese Senkrechte vollständig in der ersten Ebene.

§ Wenn wir in einer von zwei senkrechten Ebenen eine Senkrechte zu ihrer Schnittlinie ziehen, dann steht diese Senkrechte senkrecht auf der zweiten Ebene.

Zwei sich schneidende Ebenen bilden vier Diederwinkel mit einer gemeinsamen Kante: Paare vertikaler Winkel sind gleich und die Summe von zwei angrenzende Ecken gleich 180°. Wenn einer der vier Winkel richtig ist, dann sind auch die anderen drei gleich und richtig. Zwei Ebenen heißen senkrecht, wenn der Winkel zwischen ihnen richtig ist.

Satz. Wenn eine Ebene durch eine Linie geht, die senkrecht zu einer anderen Ebene steht, dann sind diese Ebenen senkrecht.

Seien und zwei Ebenen, so dass sie durch die Linie AB verläuft, senkrecht zu ihr verläuft und sie im Punkt A schneidet (Abb. 49). Lassen Sie uns das beweisen _|_ . Die Ebenen und schneiden sich entlang einer Linie AC, und AB _|_ AC, weil AB _|_ . Zeichnen wir eine Linie AD in der Ebene senkrecht zur Linie AC.

Dann ist der Winkel BAD ein linearer Winkel Diederwinkel, gebildet und . Aber< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus endlich vielen flachen Polygonen besteht.

1. eines der Polygone, aus denen das Polyeder besteht, Sie können zu jedem von ihnen gelangen, indem Sie zu dem angrenzenden gehen und von diesem wiederum zu dem angrenzenden usw.

Diese Polygone werden aufgerufen Gesichter, ihre Seiten - Rippen, und ihre Ecken sind Spitzen Polyeder. Die einfachsten Beispiele für Polyeder sind konvexe Polyeder, das heißt, die Grenze einer begrenzten Teilmenge des euklidischen Raums, die der Schnittpunkt einer endlichen Anzahl von Halbräumen ist.

Die obige Definition eines Polyeders erhält eine unterschiedliche Bedeutung, je nachdem, wie das Polygon definiert ist, für das die folgenden zwei Optionen möglich sind:

§ Flache geschlossene unterbrochene Linien (auch wenn sie sich selbst schneiden);

§ Teile der Ebene, die durch unterbrochene Linien begrenzt sind.

Im ersten Fall erhalten wir das Konzept eines Sternpolyeders. Im zweiten Fall ist ein Polyeder eine Oberfläche, die aus polygonalen Stücken besteht. Wenn sich diese Fläche nicht selbst schneidet, dann ist es die volle Fläche eines geometrischen Körpers, der auch Polyeder genannt wird. Daraus ergibt sich die dritte Definition des Polyeders als geometrischer Körper selbst.

gerades Prisma

Das Prisma heißt gerade wenn es Seitenrippen senkrecht zu den Basen.
Das Prisma heißt schräg wenn seine Seitenkanten nicht senkrecht zu den Basen stehen.
Ein gerades Prisma hat Flächen, die Rechtecke sind.

Das Prisma heißt Korrekt wenn seine Basen regelmäßige Polygone sind.
Die Fläche der Seitenfläche des Prismas heißt die Summe der Flächeninhalte der Seitenflächen.
Volle Oberfläche des Prismas gleich der Summe der Seitenfläche und der Flächen der Basen

Prismenelemente:
Punkte - Scheitelpunkte genannt
Die Segmente werden Seitenkanten genannt
Polygone und - werden Basen genannt. Die Flugzeuge selbst werden auch Basen genannt.

24. Parallelepiped(von griechisch παράλλος - parallel und griechisch επιπεδον - Ebene) - ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm oder (äquivalent) ein Polyeder ist, das sechs Flächen hat und jede von ihnen ein Parallelogramm ist.

§ Das Parallelepiped ist symmetrisch um den Mittelpunkt seiner Diagonalen.

§ Jedes Segment mit Enden, zur Oberfläche gehören ein Parallelepiped, das durch die Mitte seiner Diagonalen verläuft und es in zwei Hälften teilt; insbesondere schneiden sich alle Diagonalen des Parallelepipeds an einem Punkt und halbieren ihn.

§ Gegenüberliegende Flächen eines Parallelepipeds sind parallel und gleich.

§ Quadrat mit diagonaler Länge Quader ist gleich der Summe Quadrate seiner drei Dimensionen.

Fläche eines Quaders ist gleich der doppelten Summe der Flächeninhalte der drei Flächen dieses Parallelepipeds:

1.	S= 2(S ein+Sb+Sc)= 2(ab+v. Chr+ac)

25 .Pyramide und ihre Elemente

Betrachten Sie eine Ebene , ein darin liegendes Polygon und einen nicht darin liegenden Punkt S. Verbinden Sie S mit allen Eckpunkten des Polygons. Das resultierende Polyeder wird Pyramide genannt. Die Segmente werden Seitenkanten genannt. Das Polygon wird als Basis bezeichnet, und der Punkt S wird als Spitze der Pyramide bezeichnet. Abhängig von der Zahl n heißt die Pyramide dreieckig (n=3), viereckig (n=4), fünfeckig (n=5) und so weiter. alternativer Name Dreieckige Pyramide – Tetraeder. Die Höhe einer Pyramide ist die Senkrechte, die von ihrer Spitze zur Grundebene gezogen wird.

Eine Pyramide heißt richtig wenn regelmäßiges Vieleck, und die Basis der Höhe der Pyramide (die Basis der Senkrechten) ist ihr Mittelpunkt.

Das Programm dient zur Berechnung der Seitenfläche Richtige Pyramide.
Die Pyramide ist ein Polyeder mit einer Grundfläche in Form eines Polygons, und die restlichen Flächen sind Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze.

Die Formel zur Berechnung der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide lautet:

wobei p der Umfang der Basis ist (Polygon ABCDE),
a - Apothem (OS);

Der Apothem ist die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze gezeichnet wird.

Um die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide zu finden, geben Sie den Pyramidenumfang und die Apotheme ein und klicken Sie dann auf die Schaltfläche "BERECHNUNG". Das Programm bestimmt die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide, deren Wert sein kann in die Zwischenablage gelegt.

Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf ist ein Teil komplette Pyramide zwischen der Basis und einem dazu parallelen Abschnitt eingeschlossen.
Der Querschnitt heißt obere Basis eines Pyramidenstumpfes, und die Basis der vollständigen Pyramide ist untere Basis Pyramidenstumpf. (Die Grundlagen sind ähnlich.) Seitenflächen Pyramidenstumpf - Trapez. In einem Pyramidenstumpf 3 n Rippen, 2 n Spitzen, n+ 2 Gesichter, n(n- 3) Diagonalen. Der Abstand zwischen der oberen und unteren Basis ist die Höhe des Pyramidenstumpfes (das von der Höhe der vollen Pyramide abgeschnittene Segment).
Quadrat volle Oberfläche Pyramidenstumpf ist gleich der Summe der Flächen seiner Flächen.
Das Volumen des Pyramidenstumpfes ( S und s- Grundfläche, H- Höhe)

Rotationskörper wird ein Körper genannt, der durch die Drehung einer Linie um eine gerade Linie entsteht.

Ein gerader Kreiszylinder ist einer Kugel einbeschrieben, wenn die Kreise seiner Grundflächen auf der Kugel liegen. Die Basen des Zylinders sind kleine Kugelkreise, der Mittelpunkt der Kugel fällt mit der Mitte der Zylinderachse zusammen. [ 2 ]

Ein gerader Kreiszylinder ist einer Kugel einbeschrieben, wenn die Kreise seiner Grundflächen auf der Kugel liegen. Offensichtlich liegt der Mittelpunkt der Kugel auch nicht in der Mitte der Zylinderachse. [ 3 ]

Volumen eines beliebigen Zylinders ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe:

1.

v=π r 2 h

Vollständige Fläche Oberfläche des Zylinders ist gleich der Summe der Mantelfläche des Zylinders und doppelt quadratisch Basis des Zylinders.

Die Formel zur Berechnung der Gesamtfläche eines Zylinders lautet:

27. Einen runden Kegel erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck um einen seiner Schenkel dreht, weshalb ein runder Kegel auch Rotationskegel genannt wird. Siehe auch Volumen eines runden Kegels

Gesamtfläche eines Kreiskegels ist gleich der Summe der Flächen der Mantelfläche des Kegels und seiner Basis. Die Basis eines Kegels ist ein Kreis und seine Fläche wird mit der Formel für die Fläche eines Kreises berechnet:

2.	S=π rl+π r 2=π r(r+l)

28. Stumpf erhält man, indem man einen Schnitt parallel zur Basis eines Kegels zeichnet. Der von diesem Abschnitt, der Basis und der Seitenfläche des Kegels begrenzte Körper wird als Kegelstumpf bezeichnet. Siehe auch Volumen eines Kegelstumpfes

Gesamtfläche eines Kegelstumpfes ist gleich der Summe der Flächen der Mantelfläche des Kegelstumpfes und seiner Basen. Die Basen eines Kegelstumpfes sind Kreise und ihre Fläche wird mit der Formel für die Fläche eines Kreises berechnet: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)

29. Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, der von einer Fläche begrenzt wird, deren Punkte alle auf einer Fläche liegen gleichen Abstand aus der Mitte. Dieser Abstand wird als Radius der Kugel bezeichnet.

Kugel(griechisch σφαῖρα - Ball) - eine geschlossene Oberfläche, geometrischer Ort Punkte im Raum, die von einem bestimmten Punkt, dem Kugelmittelpunkt, gleich weit entfernt sind. Eine Kugel ist ein Sonderfall eines Ellipsoids, bei dem alle drei Achsen (Halbachsen, Radien) gleich sind. Eine Kugel ist die Oberfläche einer Kugel.

Die Fläche der Kugeloberfläche des Kugelabschnitts (Kugelsektor) und der Kugelschicht hängt nur von ihrer Höhe und dem Radius der Kugel ab und ist gleich dem Umfang des Großkreises der Kugel, multipliziert mit der Höhe

Ballvolumen gleich dem Volumen der Pyramide, deren Grundfläche die gleiche Fläche wie die Oberfläche der Kugel hat, und deren Höhe der Radius der Kugel ist

Das Volumen einer Kugel ist anderthalbmal kleiner als das Volumen eines umschriebenen Zylinders.

Kugelelemente

Kugelsegment Die Schnittebene teilt die Kugel in zwei Kugelsegmente. H- Segmenthöhe, 0< H < 2 R, r- Segmentgrundradius, Volumen des Kugelsegments Die Fläche der Kugeloberfläche des Kugelsegments
Kugelschicht Eine Kugelschicht ist ein Teil einer Kugel, der zwischen zwei parallelen Abschnitten eingeschlossen ist. Distanz ( H) zwischen Abschnitten aufgerufen wird Schichthöhe, und die Abschnitte selbst - Schichtgrundlagen. Kugeloberfläche ( Volumen) der sphärischen Schicht kann als Flächendifferenz ermittelt werden sphärische Oberflächen(Volumen) von Kugelsegmenten.

 1. Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl(Abb. 56).

Vektorprodukt SONDERN pro Zahl λ Vektor genannt BEIM, dessen Betrag gleich dem Produkt des Betrags des Vektors ist SONDERN pro Modulozahl λ :

Die Richtung ändert sich nicht, wenn λ > 0 ; ändert sich ins Gegenteil, wenn λ < 0 . Wenn ein λ = −1, dann der Vektor

Vektor genannt, entgegengesetzter Vektor SONDERN, und ist bezeichnet

 2. Vektoraddition. Die Summe zweier Vektoren finden SONDERN und BEIM Vektor

Dann ist die Summe ein Vektor, dessen Anfang mit dem Anfang des ersten und das Ende mit dem Ende des zweiten zusammenfällt. Diese Vektoradditionsregel wird „Dreiecksregel“ genannt (Abb. 57). Es ist notwendig, die Summandenvektoren so darzustellen, dass der Anfang des zweiten Vektors mit dem Ende des ersten zusammenfällt.

Es ist leicht zu beweisen, dass sich bei Vektoren "die Summe nicht ändert, wenn sich die Stellen der Terme ändern".
Lassen Sie uns eine weitere Regel zum Hinzufügen von Vektoren angeben - die „Parallelogrammregel“. Wenn wir die Anfänge der Summandenvektoren kombinieren und ein Parallelogramm darauf aufbauen, dann ist die Summe ein Vektor, der mit der Diagonale dieses Parallelogramms zusammenfällt (Abb. 58).

Es ist klar, dass die Addition nach der „Parallelogrammregel“ zum gleichen Ergebnis führt wie nach der „Dreiecksregel“.
Die „Dreiecksregel“ lässt sich leicht verallgemeinern (auf den Fall mehrerer Terme). Um zu finden Summe der Vektoren

Es ist notwendig, den Anfang des zweiten Vektors mit dem Ende des ersten, den Anfang des dritten - mit dem Ende des zweiten usw. zu kombinieren. Dann der Anfang des Vektors Mit fällt mit dem Anfang des ersten und dem Ende zusammen Mit- mit dem Ende des letzteren (Abb. 59).

 3. Subtraktion von Vektoren. Die Subtraktionsoperation wird auf die beiden vorherigen Operationen reduziert: Die Differenz zweier Vektoren ist die Summe des ersten mit dem dem zweiten entgegengesetzten Vektor:

Sie können auch die "Dreiecksregel" zum Subtrahieren von Vektoren formulieren: Es ist notwendig, die Anfänge der Vektoren zu kombinieren SONDERN und BEIM, dann ist ihre Differenz der Vektor

Gezeichnet vom Ende des Vektors BEIM am Ende des Vektors SONDERN(Abb. 60).

Im Folgenden sprechen wir über den Verschiebungsvektor materieller Punkt, also ein Vektor, der die Anfangs- und Endposition des Punktes verbindet. Stimmen Sie zu, dass die eingeführten Regeln für die Wirkung auf Vektoren für Verschiebungsvektoren ziemlich offensichtlich sind.

 4. Skalarprodukt von Vektoren. Das Ergebnis des Skalarprodukts zweier Vektoren SONDERN und BEIM ist die Zahl c, dem Produkt gleich Module von Vektoren pro Kosinus des Winkels α zwischen

Das Skalarprodukt von Vektoren wird in der Physik sehr häufig verwendet. In Zukunft werden wir uns oft mit einer solchen Operation auseinandersetzen müssen.

In diesem Artikel geht es um das Thema „ Parallelität von Linie und Ebene". Zuerst wird die Definition von parallelen Linien und Ebenen gegeben, grafische Darstellung und ein Beispiel. Ferner wird ein Zeichen der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene formuliert, und es werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene genannt. Abschließend werden detaillierte Lösungen von Aufgaben gegeben, bei denen die Parallelität einer Geraden und einer Ebene bewiesen wird.

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Parallele Linie und Ebene - grundlegende Informationen.

Beginnen wir mit der Definition paralleler Linien und Ebenen.

Definition.

Linie und Ebene werden genannt parallel wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben.

Das Symbol "" wird verwendet, um Parallelität anzuzeigen. Das heißt, wenn die Linie a und die Ebene parallel sind, dann kannst du kurz a schreiben.

Beachten Sie, dass die Ausdrücke „Linie a und Ebene sind parallel“, „Linie a ist parallel zu Ebene“ und „Ebene ist parallel zu Linie a“ gleichermaßen verwendbar sind.

Als Beispiel für eine parallele Linie und eine Ebene nehmen wir eine gespannte Gitarrensaite und die Ebene des Griffbretts dieser Gitarre.

Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene - ein Zeichen und Bedingungen der Parallelität.

Die Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene ist nicht immer gegeben offensichtliche Tatsache. Mit anderen Worten muss die Parallelität einer Geraden und einer Ebene bewiesen werden. Es gibt eine hinreichende Bedingung, deren Erfüllung die Parallelität von Linie und Ebene garantiert. Dieser Zustand wird aufgerufen ein Zeichen der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene. Bevor Sie sich mit der Formulierung dieses Merkmals vertraut machen, empfehlen wir Ihnen, die Definition paralleler Linien zu wiederholen.

Satz.

Wenn eine Linie a, die nicht in einer Ebene liegt, parallel zu einer Linie b ist, die in einer Ebene liegt, dann ist Linie a parallel zur Ebene.

Nennen wir einen anderen Satz, der verwendet werden kann, um die Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene festzustellen.

Satz.

Wenn eine von zwei parallelen Geraden parallel zu irgendeiner Ebene ist, dann ist die zweite Gerade entweder auch parallel zu dieser Ebene oder liegt in ihr.

Der Beweis des Parallelitätszeichens einer Geraden und einer Ebene und der Beweis des stimmhaften Satzes sind im Lehrbuch Geometrie für die Klassen 10-11 aufgeführt, das am Ende des Artikels in der Literaturempfehlungsliste aufgeführt ist.

Somit, notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden a und der Ebene(a liegt nicht in der Ebene) nimmt die Form an , wo - Richtungsvektor der Geraden a , ist der Normalenvektor der Ebene .

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Sind die direkten und die Ebene parallel?

Entscheidung.

Die gegebene Gerade liegt nicht in der Ebene, da die Koordinaten des Punktes der Geraden die Ebenengleichung nicht erfüllen: . Wir prüfen die Erfüllung der erforderlichen und ausreichender Zustand parallele Linien und Ebenen. Offensichtlich, - Richtungsvektor gerade , ist der Normalenvektor der Ebene . Berechnen Skalarprodukt Vektoren und : . Somit stehen die Vektoren und senkrecht zueinander. Daher sind die gegebene Gerade und Ebene parallel.

Antworten:

Ja, eine Linie und eine Ebene sind parallel.

Beispiel.

Ist die Linie AB parallel zur Koordinatenebene Oyz, wenn .

Entscheidung.

Der Punkt liegt nicht in der Oyz-Koordinatenebene, da die Abszisse dieses Punktes ungleich Null ist.

Normaler Vektor Ebene Oyz ist ein Vektor. Nehmen wir den Vektor als Richtungsvektor der Geraden AB. Lassen Sie uns dann die Koordinaten dieses Vektors berechnen . Prüfen wir die Erfüllung der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Vektoren und : . Daher Linie AB und Koordinatenebene Oyz sind nicht parallel.

Antworten:

Nein, sie sind nicht parallel.

Die analysierte Bedingung ist nicht sehr geeignet, um die Parallelität der Linie a und der Ebene zu beweisen, da separat geprüft werden muss, dass die Linie a nicht in der Ebene liegt. Daher ist es bequemer, die Parallelität der Linie a und der Ebene unter Verwendung der folgenden notwendigen und hinreichenden Bedingung zu beweisen.

Die Linie a sei durch die Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen gegeben ,
und das Flugzeug allgemeine Gleichung Flugzeuge.

Satz.

Damit die Linie a parallel zur Ebene ist, ist es notwendig und ausreichend, dass das System lineare Gleichungen nett hatte keine Lösungen.

Nachweisen.

In der Tat, wenn die Linie a parallel zur Ebene ist, dann haben sie per Definition keine gemeinsamen Punkte. Daher hat es keinen Sinn rechteckiges System Koordinaten Oxyz , deren Koordinaten gleichzeitig die Gleichungen der Geraden erfüllen würden und die Ebenengleichung. Daher das Gleichungssystem der Form unvereinbar.

Und umgekehrt: wenn ein Gleichungssystem der Form keine Lösungen hat, dann gibt es im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz keinen einzigen Punkt, dessen Koordinaten gleichzeitig alle Gleichungen des Systems erfüllen würden. Dann gibt es keinen Punkt, dessen Koordinaten gleichzeitig die Geradengleichungen erfüllen und die Ebenengleichung. Daher haben die Linie a und die Ebene keine gemeinsamen Punkte, das heißt, sie sind parallel.

Das Gleichungssystem wiederum hat keine Lösungen, wenn die Hauptmatrix des Systems kleiner als der Rang der erweiterten Matrix ist (dies folgt ggf. aus dem Kronecker-Capelli-Theorem, siehe den Artikel Systeme linearer Gleichungen lösen

Tatsächlich ist das Gleichungssystem inkonsistent, daher haben die gegebene Linie und die Ebene keine gemeinsamen Punkte. Dies beweist die Parallelität der Linie und Flugzeug .

Referenzliste.

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• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für 10-11 Klassen der High School.
• Pogorelov A. V., Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-11 von Bildungseinrichtungen.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Erster Band: Die Elemente Lineare Algebra und analytische Geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

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