पाठ 1
विषय: ग्रेड 11 (परीक्षा की तैयारी)
सरलीकरण त्रिकोणमितीय भाव.
सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल। (2 घंटे)
लक्ष्य:
- त्रिकोणमिति सूत्रों के उपयोग और सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान से संबंधित छात्रों के ज्ञान और कौशल को व्यवस्थित, सामान्यीकृत, विस्तारित करें।
सबक के लिए उपकरण:
पाठ संरचना:
- ऑर्गमोमेंट
- लैपटॉप पर परीक्षण। परिणामों की चर्चा।
- त्रिकोणमितीय व्यंजकों का सरलीकरण
- सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल
- स्वतंत्र काम।
- पाठ का सारांश। गृहकार्य की व्याख्या।
1. आयोजन क्षण। (दो मिनट।)
शिक्षक दर्शकों का स्वागत करता है, पाठ के विषय की घोषणा करता है, याद करता है कि कार्य पहले त्रिकोणमिति सूत्रों को दोहराने के लिए दिया गया था और छात्रों को परीक्षण के लिए तैयार करता है।
2. परीक्षण। (15मिनट + 3मिनट की चर्चा)
लक्ष्य त्रिकोणमितीय सूत्रों के ज्ञान और उन्हें लागू करने की क्षमता का परीक्षण करना है। प्रत्येक छात्र के पास अपने डेस्क पर एक लैपटॉप होता है जिसमें एक परीक्षण विकल्प होता है।
कई विकल्प हो सकते हैं, मैं उनमें से एक का उदाहरण दूंगा:
मैं विकल्प।
अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:
ए) बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान
1. पाप 2 3y + cos 2 3y + 1;
बी) अतिरिक्त सूत्र
3. sin5x - sin3x;
सी) किसी उत्पाद को योग में परिवर्तित करना
6. 2sin8y cos3y;
डी) डबल कोण सूत्र
7.2sin5x cos5x;
ई) आधा कोण सूत्र
च) ट्रिपल कोण सूत्र
ज) डिग्री कम करना
16. cos 2 (3x/7);
प्रत्येक फॉर्मूले के सामने लैपटॉप पर विद्यार्थी अपने उत्तर देखते हैं।
कंप्यूटर द्वारा काम की तुरंत जाँच की जाती है। परिणाम प्रदर्शित होते हैं बड़ा पर्दाजनता की नजर में।
साथ ही, काम खत्म होने के बाद छात्रों के लैपटॉप पर सही उत्तर दिखाए जाते हैं। प्रत्येक छात्र देखता है कि गलती कहां हुई और उसे किन सूत्रों को दोहराने की जरूरत है।
3. त्रिकोणमितीय व्यंजकों का सरलीकरण। (25 मि.)
लक्ष्य आवेदन को दोहराना, अभ्यास करना और सुदृढ़ करना है बुनियादी सूत्रत्रिकोणमिति परीक्षा से B7 की समस्याओं को हल करना।
पर यह अवस्थाकक्षा को मजबूत (बाद में सत्यापन के साथ स्वतंत्र रूप से काम करें) और शिक्षक के साथ काम करने वाले कमजोर छात्रों के समूहों में विभाजित करने की सलाह दी जाती है।
मजबूत छात्रों के लिए कार्य (के लिए पहले से तैयार मुद्रित आधार) कमी सूत्रों पर मुख्य जोर दिया गया है और दोहरा कोण, यूएसई 2011 के अनुसार।
अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं (मजबूत शिक्षार्थियों के लिए):
समानांतर में, शिक्षक कमजोर छात्रों के साथ काम करता है, छात्रों के श्रुतलेख के तहत स्क्रीन पर कार्यों पर चर्चा और समाधान करता है।
गणना करें:
5) sin(270º - α) + cos(270º + α)
6) 
सरल करें:
मजबूत समूह के काम के परिणामों पर चर्चा करने की बारी थी।
उत्तर स्क्रीन पर दिखाई देते हैं, और साथ ही, एक वीडियो कैमरा की मदद से, 5 अलग-अलग छात्रों का काम प्रदर्शित होता है (प्रत्येक के लिए एक कार्य)।
कमजोर समूह स्थिति और समाधान विधि देखता है। चर्चा और विश्लेषण होता है। का उपयोग करते हुए तकनीकी साधनयह जल्दी होता है।
4. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल। (30 मिनट।)
लक्ष्य सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को दोहराना, व्यवस्थित करना और सामान्य बनाना है, उनकी जड़ों को रिकॉर्ड करना। समस्या का समाधान B3.
कोई भी त्रिकोणमितीय समीकरण, चाहे हम इसे कैसे भी हल करें, सरलतम की ओर ले जाता है।
कार्य पूरा करते समय विद्यार्थियों को विशेष स्थितियों के समीकरणों के मूल लिखने पर ध्यान देना चाहिए और सामान्य दृष्टि सेऔर अंतिम समीकरण में जड़ों के चयन पर।
समीकरण हल करें:
उत्तर की सबसे छोटी सकारात्मक जड़ लिखिए।
5. स्वतंत्र कार्य (10 मि.)
लक्ष्य अर्जित कौशल का परीक्षण करना, समस्याओं, त्रुटियों और उन्हें खत्म करने के तरीकों की पहचान करना है।
छात्र की पसंद पर कई तरह के काम पेश किए जाते हैं।
"3" के लिए विकल्प
1) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 
2) व्यंजक को सरल कीजिए 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) समीकरण हल करें 
"4" के लिए विकल्प
1) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
2) समीकरण हल करें 
अपने उत्तर की सबसे छोटी सकारात्मक जड़ लिखिए।
"5" के लिए विकल्प
1) tgα का पता लगाएं अगर 
2) समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए 
अपने उत्तर की सबसे छोटी सकारात्मक जड़ लिखिए।
6. पाठ का सारांश (5 मि.)
शिक्षक संक्षेप में बताता है कि पाठ में क्या दोहराया और समेकित किया गया था त्रिकोणमितीय सूत्र, सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल।
अगले पाठ में स्पॉट चेक के साथ होमवर्क सौंपा गया है (मुद्रित आधार पर पहले से तैयार)।
समीकरण हल करें:
9) 
10) 
अपना उत्तर सबसे छोटे धनात्मक मूल के रूप में दीजिए।
पाठ 2
विषय: ग्रेड 11 (परीक्षा की तैयारी)
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके। जड़ चयन। (2 घंटे)
लक्ष्य:
- विभिन्न प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने पर ज्ञान को सामान्य और व्यवस्थित करना।
- विकास को बढ़ावा देना गणितीय सोचछात्रों, निरीक्षण करने, तुलना करने, सामान्यीकरण करने, वर्गीकृत करने की क्षमता।
- प्रक्रिया में कठिनाइयों को दूर करने के लिए छात्रों को प्रोत्साहित करें मानसिक गतिविधिआत्म-नियंत्रण, उनकी गतिविधियों का आत्म-विश्लेषण करने के लिए।
सबक के लिए उपकरण:केआरएमयू, प्रत्येक छात्र के लिए लैपटॉप।
पाठ संरचना:
- ऑर्गमोमेंट
- चर्चा डी / एस और समोत। अंतिम पाठ का कार्य
- त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों की पुनरावृत्ति।
- त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना
- त्रिकोणमितीय समीकरणों में जड़ों का चयन।
- स्वतंत्र काम।
- पाठ का सारांश। गृहकार्य।
1. आयोजन क्षण (2 मिनट।)
शिक्षक दर्शकों का अभिवादन करता है, पाठ के विषय और कार्य योजना की घोषणा करता है।
2. ए) पार्सिंग घर का पाठ(5 मिनट।)
लक्ष्य प्रदर्शन की जांच करना है। एक वीडियो कैमरे की मदद से एक काम स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है, बाकी को शिक्षक द्वारा जांचने के लिए चुनिंदा रूप से एकत्र किया जाता है।
बी) पार्सिंग स्वतंत्र काम(3 मि.)
लक्ष्य गलतियों को सुलझाना है, उन्हें दूर करने के तरीकों का संकेत देना है।
स्क्रीन पर उत्तर और समाधान हैं, छात्रों ने अपना काम पूर्व-जारी कर दिया है। विश्लेषण तेजी से हो रहा है।
3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों की पुनरावृत्ति (5 मिनट।)
लक्ष्य त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों को याद करना है।
छात्रों से पूछें कि वे त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के कौन से तरीके जानते हैं। जोर दें कि तथाकथित बुनियादी (अक्सर उपयोग की जाने वाली) विधियां हैं:
- परिवर्तनीय प्रतिस्थापन,
- गुणनखंडन,
- सजातीय समीकरण,
और खाओ लागू तरीके:
- योग को उत्पाद और उत्पाद को योग में बदलने के सूत्रों के अनुसार,
- सूत्रों पदावनति,
- सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन
- परिचय सहायक कोने,
- कुछ से गुणा त्रिकोणमितीय फलन.
यह भी याद रखना चाहिए कि एक समीकरण को विभिन्न तरीकों से हल किया जा सकता है।
4. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना (30 मिनट)
लक्ष्य इस विषय पर ज्ञान और कौशल को सामान्यीकृत और समेकित करना है, ताकि USE से C1 को हल करने की तैयारी की जा सके।
मैं विद्यार्थियों के साथ मिलकर प्रत्येक विधि के समीकरणों को हल करना समीचीन समझता हूँ।
छात्र समाधान निर्धारित करता है, शिक्षक टैबलेट पर लिखता है, पूरी प्रक्रिया स्क्रीन पर प्रदर्शित होती है। यह आपको अपनी मेमोरी में पहले से कवर की गई सामग्री को जल्दी और कुशलता से पुनर्स्थापित करने की अनुमति देगा।
समीकरण हल करें:
1) परिवर्तनशील परिवर्तन 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0
2) गुणनखंड 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) सजातीय समीकरण sin2x + 3cos2x - 2sin2x = 0
4) योग को उत्पाद में बदलना cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) उत्पाद को योग 2sinx sin2x + cos3x = 0 . में परिवर्तित करना
6) sin2x की डिग्री कम करना - पाप 2 2x + पाप 2 3x \u003d 0.5
7) सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन sinx + 5cosx + 5 = 0।
इस समीकरण को हल करते समय, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपयोग यह विधिपरिभाषा के क्षेत्र के संकुचन की ओर जाता है, क्योंकि साइन और कोसाइन को tg(x/2) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसलिए, उत्तर लिखने से पहले, यह जांचना आवश्यक है कि सेट π + 2πn, n Z से संख्याएं इस समीकरण के घोड़े हैं या नहीं।
8) एक सहायक कोण का परिचय √3sinx + cosx - √2 = 0
9) कुछ त्रिकोणमितीय से गुणा कॉसक्स फंक्शन cos2x cos4x = 1/8.
5. त्रिकोणमितीय समीकरणों के मूलों का चयन (20 मिनट)
चूंकि विश्वविद्यालयों में प्रवेश करते समय भयंकर प्रतिस्पर्धा की स्थिति में, परीक्षा के पहले भाग का समाधान पर्याप्त नहीं होता है, इसलिए अधिकांश छात्रों को दूसरे भाग (C1, C2, C3) के कार्यों पर ध्यान देना चाहिए।
इसलिए, पाठ के इस चरण का उद्देश्य 2011 में USE से समस्या C1 को हल करने के लिए तैयार करने के लिए पहले से अध्ययन की गई सामग्री को याद करना है।
अस्तित्व त्रिकोणमितीय समीकरण, जिसमें उत्तर निकालते समय जड़ों का चयन करना आवश्यक है। यह कुछ प्रतिबंधों के कारण है, उदाहरण के लिए: भिन्न का हर नहीं है शून्य, रूट के तहत अभिव्यक्ति सम डिग्रीगैर-ऋणात्मक है, लघुगणक के अंतर्गत व्यंजक धनात्मक है, आदि।
ऐसे समीकरणों को समीकरण माना जाता है बढ़ी हुई जटिलताऔर में परीक्षा का संस्करणदूसरे भाग में हैं, अर्थात् C1।
प्रश्न हल करें:
भिन्न शून्य है यदि तब 
के जरिए यूनिट सर्कलहम जड़ों का चयन करेंगे (चित्र 1 देखें)
चित्र 1।
हमें x = + 2πn, n Z . प्राप्त होता है
उत्तर: + 2πn, n Z
स्क्रीन पर, जड़ों का चयन एक रंगीन छवि में एक वृत्त पर दिखाया गया है।
उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है, और चाप, एक ही समय में, अपना अर्थ नहीं खोता है। फिर
यूनिट सर्कल का उपयोग करके, जड़ों का चयन करें (चित्र 2 देखें)
वीडियो पाठ "त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का सरलीकरण" को हल करने में छात्रों के कौशल को बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है त्रिकोणमितीय समस्याएंबुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करना। वीडियो पाठ के दौरान, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के प्रकारों पर विचार किया जाता है, उनका उपयोग करके समस्याओं को हल करने के उदाहरण। को लागू करने दृश्य सामग्रीशिक्षक के लिए पाठ के उद्देश्यों को प्राप्त करना आसान बनाता है। सामग्री की एक विशद प्रस्तुति याद रखने में योगदान करती है महत्वपूर्ण बिंदु. एनीमेशन प्रभाव और आवाज अभिनय का उपयोग आपको सामग्री को समझाने के चरण में शिक्षक को पूरी तरह से बदलने की अनुमति देता है। इस प्रकार, गणित के पाठों में इस दृश्य सहायता का उपयोग करके शिक्षक शिक्षण की प्रभावशीलता को बढ़ा सकता है।
वीडियो पाठ की शुरुआत में, इसके विषय की घोषणा की जाती है। फिर पहले अध्ययन किए गए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को याद किया जाता है। स्क्रीन समानता प्रदर्शित करती है sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, जहां t≠π/2+πk kϵZ के लिए, ctg t=cos t/sin t, t≠πk के लिए सही, जहाँ kϵZ, tan t · ctg t=1, t≠πk/2 पर, जहाँ kϵZ, मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कहलाती हैं। यह ध्यान दिया जाता है कि इन पहचानों का उपयोग अक्सर उन समस्याओं को हल करने में किया जाता है जहां समानता साबित करना या अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक होता है।
इसके अलावा, समस्याओं को हल करने में इन पहचानों के उपयोग के उदाहरणों पर विचार किया जाता है। सबसे पहले, अभिव्यक्ति को सरल बनाने की समस्याओं को हल करने पर विचार करने का प्रस्ताव है। उदाहरण 1 में, cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t व्यंजक को सरल बनाना आवश्यक है। एक उदाहरण को हल करने के लिए, पहले कोष्ठक करें सामान्य अवयव cos2t. कोष्ठक में इस तरह के परिवर्तन के परिणामस्वरूप, अभिव्यक्ति 1-cos 2 t प्राप्त होती है, जिसका मान त्रिकोणमिति की मूल पहचान से sin 2 t के बराबर होता है। व्यंजक के परिवर्तन के बाद, कोष्ठकों से एक और सामान्य गुणनखंड sin 2 t प्राप्त करने की संभावना स्पष्ट है, जिसके बाद व्यंजक sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) का रूप ले लेता है। उसी मूल पहचान से, हम 1 के बराबर कोष्ठक में व्यंजक का मान निकालते हैं। सरलीकरण के परिणामस्वरूप, हमें cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t प्राप्त होता है।
उदाहरण 2 में, व्यंजक लागत/(1- सिंट)+ लागत/(1+ सिंट) को भी सरल बनाने की आवश्यकता है। चूँकि व्यंजक लागत दोनों भिन्नों के अंशों में है, इसे एक सामान्य गुणनखंड के रूप में विभाजित किया जा सकता है। कोष्ठकों में भिन्नों को घटाकर कर दिया जाता है आम विभाजकगुणन (1- सिंट) (1+ सिंट)। कास्ट के बाद समान शब्द 2 अंश में रहता है, और 1 - sin 2 t हर में। स्क्रीन के दाईं ओर, मूल त्रिकोणमितीय पहचान पाप 2 t+cos 2 t=1. इसका उपयोग करते हुए, हम भिन्न cos 2 t का हर पाते हैं। अंश को कम करने के बाद, हमें अभिव्यक्ति लागत / (1- सिंट) + लागत / (1 + सिंट) \u003d 2 / लागत का सरलीकृत रूप मिलता है।
इसके बाद, हम सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने के उदाहरणों पर विचार करते हैं जिसमें त्रिकोणमिति की मूल सर्वसमिकाओं के बारे में अर्जित ज्ञान को लागू किया जाता है। उदाहरण 3 में, सर्वसमिका को सिद्ध करना आवश्यक है (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t। स्क्रीन का दाहिना भाग तीन पहचानों को प्रदर्शित करता है जिनकी आवश्यकता प्रमाण के लिए होगी - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t और tg t=sin t/cos t प्रतिबंधों के साथ। पहचान साबित करने के लिए, पहले कोष्ठक खोले जाते हैं, जिसके बाद एक उत्पाद बनता है जो मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान tg t·ctg t=1 की अभिव्यक्ति को दर्शाता है। फिर, कोटैंजेंट की परिभाषा से पहचान के अनुसार, सीटीजी 2 टी रूपांतरित हो जाता है। परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, व्यंजक 1-cos 2 t प्राप्त होता है। मूल पहचान का उपयोग करके, हम व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार, यह साबित हो गया है कि (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t।
उदाहरण 4 में, यदि tg t+ctg t=6 है, तो आपको व्यंजक tg 2 t+ctg 2 t का मान ज्ञात करना होगा। व्यंजक का मूल्यांकन करने के लिए, समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्ष (tg t+ctg t) 2 =6 2 पहले वर्ग हैं। संक्षिप्त गुणन सूत्र स्क्रीन के दाईं ओर प्रदर्शित होता है। व्यंजक के बाईं ओर कोष्ठक खोलने के बाद, योग tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t बनता है, जिसके परिवर्तन के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं में से एक tg t ctg t=1 लागू किया जा सकता है, जिसका रूप स्क्रीन के दाईं ओर याद किया जाता है। परिवर्तन के बाद, समानता tg 2 t+ctg 2 t=34 प्राप्त की जाती है। समानता का बायाँ भाग समस्या की स्थिति से मेल खाता है, इसलिए उत्तर 34 है। समस्या हल हो गई है।
वीडियो ट्यूटोरियल "सिम्प्लीफाइंग ट्रिग्नोमेट्रिक एक्सप्रेशन" को पारंपरिक पर इस्तेमाल करने की सलाह दी जाती है स्कूल पाठअंक शास्त्र। साथ ही, सामग्री को पूरा करने वाले शिक्षक के लिए उपयोगी होगी दूर - शिक्षण. त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने में एक कौशल बनाने के लिए।
पाठ व्याख्या:
"त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का सरलीकरण"।
समानता
1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (साइन स्क्वेर्ड ते प्लस कोसाइन स्क्वेयर ते एक के बराबर)
2) tgt =, t + πk, kϵZ पर (te की स्पर्शरेखा, te की ज्या और te की कोज्या के अनुपात के बराबर होती है, जब te, pi बटा दो जोड़ pi ka के बराबर नहीं होता है, ka, zet से संबंधित होता है)
3) ctgt =, t k, kϵZ पर (te का कोटैंजेंट, te की कोज्या और te की ज्या के अनुपात के बराबर होता है, जब te ka के शिखर के बराबर नहीं होता है, जो कि z से संबंधित है)।
4)tgt ctgt = 1 t , kϵZ . के लिए
मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कहलाती हैं।
अक्सर इनका उपयोग त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल और सिद्ध करने में किया जाता है।
त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल करते समय इन सूत्रों का उपयोग करने के उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण 1. व्यंजक को सरल कीजिए: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t। (अभिव्यक्ति एक कोज्या वर्ग ते घटा ते की चौथी डिग्री का कोज्या प्लस ते की चौथी डिग्री का ज्या)।
फेसला। cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 टी) = पाप 2 टी 1= पाप 2 टी
(हम उभयनिष्ठ गुणनखंड कोसाइन वर्ग ते निकालते हैं, कोष्ठक में हमें एकता और कोसाइन ते के वर्ग के बीच का अंतर मिलता है, जो पहली पहचान से साइन ते के वर्ग के बराबर होता है। हमें चौथे की ज्या का योग मिलता है। उत्पाद की डिग्री ते कोसाइन वर्ग ते और साइन वर्ग ते। सामान्य कारक साइन वर्ग ते कोष्ठक के बाहर निकाला जाएगा, कोष्ठक में हमें कोसाइन और साइन के वर्गों का योग मिलता है, जो मुख्य के अनुसार त्रिकोणमितीय पहचानएक के बराबर। परिणामस्वरूप, हमें ते की ज्या का वर्ग प्राप्त होता है)।
उदाहरण 2. व्यंजक को सरल कीजिए: + .
(अभिव्यक्ति पहली कोसाइन ते के अंश में दो अंशों का योग हो, हर में एक घटा साइन ते, दूसरे एक प्लस साइन ते के हर में दूसरे कोसाइन ते के अंश में)।
(आइए सामान्य गुणनखंड कोसाइन ते को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं, और कोष्ठक में इसे एक सामान्य हर में लाते हैं, जो एक ऋण साइन ते बटा एक प्लस साइन ते का गुणनफल होता है।
अंश में हमें मिलता है: एक जमा साइन ते जमा एक घटा साइन ते, हम समान देते हैं, अंश समान लाने के बाद दो के बराबर होता है।
हर में, आप संक्षिप्त गुणन सूत्र (वर्गों का अंतर) लागू कर सकते हैं और साइन ते की इकाई और वर्ग के बीच का अंतर प्राप्त कर सकते हैं, जो कि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार है
कोसाइन ते के वर्ग के बराबर है। कोसाइन ते द्वारा कम करने के बाद, हमें अंतिम उत्तर मिलता है: दो कोसाइन ते से विभाजित)।
त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के प्रमाण में इन सूत्रों के उपयोग के उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण 3. सर्वसमिका सिद्ध करें (tg 2 t - sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t (ते की स्पर्शरेखा के वर्गों और ते की ज्या और के कोटेंगेंट के वर्ग के बीच अंतर का गुणनफल ते, ते की ज्या के वर्ग के बराबर है)।
प्रमाण।
आइए समानता के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें:
(टीजी 2 टी - पाप 2 टी) सीटीजी 2 टी = टीजी 2 टी सीटीजी 2 टी - पाप 2 टी सीटीजी 2 टी = 1 - पाप 2 टी ∙ सीटीजी 2 टी = 1 - पाप 2 टी ∙ = 1 - क्योंकि 2 टी = पाप 2 टी
(आइए कोष्ठक खोलें, पहले प्राप्त संबंध से यह ज्ञात होता है कि ते के कोटेंगेंट द्वारा ते के स्पर्शरेखा के वर्गों का गुणनफल एक के बराबर है। याद रखें कि ते का कोटैंजेंट अनुपात के बराबर है cosine te to sine te, इसलिए cotangent का वर्ग cosine te के वर्ग का sine te के वर्ग से अनुपात है।
ते के ज्या वर्ग से घटाने के बाद, हम ते के वर्ग की एकता और कोज्या के बीच का अंतर प्राप्त करते हैं, जो ते के वर्ग की ज्या के बराबर होता है)। क्यू.ई.डी.
उदाहरण 4. व्यंजक tg 2 t + ctg 2 t का मान ज्ञात कीजिए यदि tgt + ctgt = 6 है।
(यदि टेंगेंट और कोटैंजेंट का योग छह है, तो ते की स्पर्शरेखा और ते के कोटैंजेंट के वर्गों का योग)।
फेसला। (टीजीटी + सीटीजीटी) 2 = 6 2
टीजी 2 टी + 2 टीजीटी ∙सीटीजीटी + सीटीजी 2 टी = 36
टीजी 2 टी + 2 + सीटीजी 2 टी = 36
टीजी 2 टी + सीटीजी 2 टी = 36-2
टीजी 2 टी + सीटीजी 2 टी = 34
आइए मूल समानता के दोनों भागों को वर्गाकार करें:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te की स्पर्श रेखा और te के कोटेंगेंट के योग का वर्ग छह वर्ग है)। संक्षिप्त गुणन सूत्र को याद करें: दो राशियों के योग का वर्ग वर्ग के बराबर हैपहला जोड़ पहले के गुणनफल का दोगुना और दूसरा जमा दूसरे का वर्ग। (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 हमें tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 प्राप्त होता है।
चूँकि ते की स्पर्श रेखा और ते की कोटेंगेंट का गुणनफल एक के बराबर होता है, तो tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te की स्पर्शरेखा के वर्गों का योग और te और दो की कोटेंजेंट है छत्तीस),
आपके निवेदन पर।
6. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
जैसा 90° तक एक-दूसरे के पूरक कोणों के सह-कार्य बराबर होते हैं, फिर हम भिन्न के अंश में sin50° को cos40° से प्रतिस्थापित करते हैं और अंश पर साइन सूत्र लागू करते हैं दोहरा तर्क. अंश में हमें 5sin80° प्राप्त होता है। आइए sin80° को cos10° से बदलें, जो हमें भिन्न को कम करने की अनुमति देगा।
लागू किए गए सूत्र: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα।
7. पर अंकगणितीय प्रगति, जिसका अंतर 12 है और आठवां पद 54 है, ऋणात्मक पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
समाधान योजना। आइए एक सूत्र बनाते हैं आम सदस्यदी गई प्रगति और पता लगाएँ कि n के कौन से मान ऋणात्मक पद प्राप्त करेंगे। ऐसा करने के लिए, हमें प्रगति की पहली अवधि खोजने की आवश्यकता होगी।
हमारे पास d=12, a 8 =54 है। सूत्र के अनुसार a n \u003d a 1 + (n-1) d हम लिखते हैं:
ए 8 = ए 1 +7 डी। उपलब्ध डेटा को प्रतिस्थापित करें। 54=ए 1 +7∙12;
ए 1 \u003d -30। इस मान को सूत्र में रखें a n =a 1 +(n-1)∙d
a n =-30+(n-1)∙12 या n =-30+12n-12। सरल करें: एक n \u003d 12n-42।
हम नकारात्मक पदों की संख्या की तलाश कर रहे हैं, इसलिए हमें असमानता को हल करने की आवश्यकता है:
एक<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;
12एन<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. एन = 3.
8. निम्नलिखित फलन का परिसर ज्ञात कीजिए: y=x-|x|.
आइए मॉड्यूलर ब्रैकेट का विस्तार करें। अगर x≥0, फिर y=x-x ⇒ y=0. ग्राफ मूल के दाईं ओर x-अक्ष के रूप में कार्य करेगा। यदि x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].
9. एक लम्ब वृत्तीय शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि इसका जनक 18 सेमी और आधार क्षेत्रफल 36 सेमी 2 है।
अक्षीय खंड MAB वाला एक शंकु दिया गया है। बीएम = 18, एस मुख्य उत्पन्न करना। =36π। शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S पक्ष। \u003d Rl, जहां l जेनरेटर है और शर्त के अनुसार 18 सेमी के बराबर है, R आधार की त्रिज्या है, हम सूत्र द्वारा पाते हैं: S करोड़। = R 2 । हमारे पास एस करोड़ है। = एस मुख्य। = 36π. अत: R 2 =36π R=6।
फिर एस पक्ष। =π∙6∙18 ⇒ एस पक्ष। \u003d 108π सेमी 2.
12. हम लघुगणक समीकरण को हल करते हैं। एक भिन्न 1 के बराबर होती है यदि उसका अंश हर के बराबर हो, अर्थात।
lg(x 2 +5x+4)=2lgx lgx≠0 पर। हम समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेत के तहत संख्या की डिग्री की संपत्ति को लागू करते हैं: lg (x 2 +5x+4) \u003d lgx 2, ये दशमलव लघुगणक समान हैं, इसलिए संकेतों के तहत संख्याएं लघुगणक भी बराबर हैं, इसलिए:
x 2 +5x+4=x 2 , इसलिए 5x=-4; हमें x=-0.8 मिलता है। हालाँकि, यह मान नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि लॉगरिदम के संकेत के तहत केवल सकारात्मक संख्याएँ ही हो सकती हैं, इसलिए इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है। टिप्पणी। समाधान की शुरुआत में ODZ खोजना आवश्यक नहीं है (अपना समय लें!), अंत में एक जांच (जैसा कि हम अभी हैं) करना बेहतर है।
13. व्यंजक (x o - y o) का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ (x o; y o) समीकरणों के निकाय का हल है:
14. प्रश्न हल करें:
यदि आप से विभाजित करते हैं 2 और एक भिन्न के अंश और हर में, आपको द्विकोण की स्पर्शरेखा का सूत्र ज्ञात होगा। आपको एक साधारण समीकरण मिलता है: tg4x=1.
15. फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: f(x)=(6x 2 -4x) 5 ।
हमें एक जटिल कार्य दिया गया है। हम इसे एक शब्द में परिभाषित करते हैं - यह एक डिग्री है। इसलिए, एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम के अनुसार, हम डिग्री का व्युत्पन्न पाते हैं और इसे इस डिग्री के आधार के व्युत्पन्न द्वारा सूत्र के अनुसार गुणा करते हैं:
(यू एन)' = एन ∙ आप एन-1 ∙ आप'।
च '(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 ।
16. f '(1) यदि फलन ज्ञात करना आवश्यक है
17. एक समबाहु त्रिभुज में, सभी समद्विभाजक का योग 33√3 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एक समबाहु त्रिभुज का समद्विभाजक माध्यिका और ऊँचाई दोनों होता है। अत: इस त्रिभुज की ऊँचाई BD की लंबाई है
आइए आयताकार ABD से भुजा AB ज्ञात करें। चूँकि sin60° = BD : एबी, फिर एबी = बीडी : पाप 60°.
18. वृत्त एक समबाहु त्रिभुज में अंकित है जिसकी ऊँचाई 12 सेमी है वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वृत्त (O; OD) समबाहु ABC में अंकित है। ऊंचाई BD भी एक समद्विभाजक और एक माध्यिका है, और वृत्त का केंद्र, बिंदु O, BD पर स्थित है।
O - ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु माध्यिका BD को ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए, OD=(1/3)BD=12:3=4. वृत्त त्रिज्या R=OD=4 सेमी. वृत्त का क्षेत्रफल S=πR 2 =π∙4 2 S=16π सेमी 2।
19. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के किनारे के किनारे 9 सेमी हैं, और आधार का पक्ष 8 सेमी है। पिरामिड की ऊंचाई पाएं।
एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आधार वर्ग ABCD है, MO ऊंचाई का आधार वर्ग का केंद्र है।
20. सरल करें:
अंश में, अंतर का वर्ग घटाया जाता है।
हम सारांश समूहन विधि का उपयोग करके हर को गुणनखंडित करते हैं।
21. गणना करें:
अंकगणितीय वर्गमूल निकालने में सक्षम होने के लिए, मूल व्यंजक एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। हम मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को सूत्र के अनुसार दो व्यंजकों के अंतर के वर्ग के रूप में निरूपित करते हैं:
a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 , यह मानते हुए कि a 2 +b 2 =10.
22. असमानता को हल करें:
हम एक उत्पाद के रूप में असमानता के बाईं ओर का प्रतिनिधित्व करते हैं। दो कोणों की ज्याओं का योग इन कोणों के अर्ध-योग की ज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है और इन कोणों के आधे-अंतर की कोज्या:
हम पाते हैं:
आइए इस असमानता को ग्राफिक रूप से हल करें। हम ग्राफ y=लागत के उन बिंदुओं का चयन करते हैं जो सीधी रेखा के ऊपर स्थित होते हैं और इन बिंदुओं के भुज (छायांकन द्वारा दर्शाए गए) का निर्धारण करते हैं।
23. फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव खोजें: h(x)=cos 2 x।
हम इस फ़ंक्शन को सूत्र का उपयोग करके इसकी डिग्री कम करके बदलते हैं:
1+cos2α=2cos2α। हमें एक फ़ंक्शन मिलता है:
24. वेक्टर निर्देशांक खोजें
25. तारांकन के बजाय अंकगणितीय चिह्न डालें ताकि सही समानता प्राप्त हो: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.
हम तर्क देते हैं: संख्या 25 प्राप्त की जानी चाहिए (31 - 6 \u003d 25)। कार्रवाई के संकेतों का उपयोग करके इस संख्या को दो "ट्रिपल" और दो "फोर" से कैसे प्राप्त करें?
बेशक यह है: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. उत्तर ई)।
