भिन्न को बड़ा करने के लिए भिन्न को कम करना आवश्यक है सरल दृश्य, उदाहरण के लिए, किसी अभिव्यक्ति को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त उत्तर में।

भिन्नों को कम करना, परिभाषा और सूत्र।

घटता हुआ भिन्न क्या है? भिन्न को कम करने का क्या मतलब है?

परिभाषा:
भिन्नों को कम करना- यह भिन्न के अंश और हर का एक ही चीज़ में विभाजन है सकारात्मक संख्यानहीं शून्य के बराबरऔर एक। कमी के परिणामस्वरूप, छोटे अंश और हर वाला एक भिन्न प्राप्त होता है, जो पिछले भिन्न के बराबर होता है।

भिन्नों को कम करने का सूत्रमुख्य संपत्ति भिन्नात्मक संख्याएं.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

आइए एक उदाहरण देखें:
भिन्न को कम करें \(\frac(9)(15)\)

समाधान:
हम भिन्न का विस्तार कर सकते हैं प्रधान कारणऔर सामान्य कारकों को कम करें।

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

उत्तर: घटाने के बाद हमें भिन्न \(\frac(3)(5)\) प्राप्त हुआ। परिमेय संख्याओं के मूल गुण के अनुसार मूल और परिणामी भिन्न बराबर होती हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

भिन्नों को कैसे कम करें? किसी अंश को उसके अघुलनशील रूप में कम करना।

ताकि हमें परिणाम मिल सके अघुलनशील अंश, करने की जरूरत है सबसे बड़ा खोजें सामान्य भाजक(सिर हिलाकर सहमति देना)भिन्न के अंश और हर के लिए.

जीसीडी खोजने के कई तरीके हैं; उदाहरण में हम संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन का उपयोग करेंगे।

अपरिवर्तनीय भिन्न \(\frac(48)(136)\) प्राप्त करें।

समाधान:
आइए जीसीडी(48,136) खोजें। आइए संख्याओं 48 और 136 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
जीसीडी(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ फ़्रेक(6)(17)\)

भिन्न को अघुलनशील रूप में घटाने का नियम।

1. आपको अंश और हर के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा।
2. विभाजन के परिणामस्वरूप एक अपरिवर्तनीय भिन्न प्राप्त करने के लिए आपको अंश और हर को सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करना होगा।

उदाहरण:
भिन्न को कम करें \(\frac(152)(168)\).

समाधान:
आइए जीसीडी(152,168) खोजें। आइए संख्याओं 152 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
जीसीडी(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

उत्तर: \(\frac(19)(21)\) एक अपरिवर्तनीय भिन्न है।

अनुचित भिन्नों को कम करना.

अनुचित भिन्न को कैसे कम करें?
भिन्नों को कम करने के नियम उचित और अनुचित भिन्नों के लिए समान हैं।

आइए एक उदाहरण देखें:
अनुचित भिन्न को कम करें \(\frac(44)(32)\).

समाधान:
आइए अंश और हर को सरल गुणनखंडों में लिखें। और फिर हम सामान्य कारकों को कम कर देंगे।

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \गुना 2 \गुना 2)=\frac(11)(8)\)

मिश्रित अंशों को कम करना.

मिश्रित भिन्न सामान्य भिन्न के समान नियमों का पालन करते हैं। फर्क सिर्फ इतना है कि हम कर सकते हैं पूरे भाग को न छुएं, बल्कि आंशिक भाग को कम करेंया मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें, उसे कम करें और वापस उचित भिन्न में बदलें।

आइए एक उदाहरण देखें:
मिश्रित भिन्न \(2\frac(30)(45)\) को रद्द करें।

समाधान:
आइए इसे दो तरीकों से हल करें:
पहला तरीका:
आइए भिन्नात्मक भाग को सरल गुणनखंडों में लिखें, लेकिन हम संपूर्ण भाग को नहीं छूएंगे।

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \गुना \रंग(लाल) (5 \गुना 3))(3 \गुना \रंग(लाल) (5 \गुना 3))=2\ फ़्रेक(2)(3)\)

दूसरा तरीका:
आइए पहले इसे अनुचित भिन्न में बदलें, और फिर इसे अभाज्य गुणनखंडों में लिखें और घटाएँ। आइए परिणामी अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

संबंधित सवाल:
क्या आप जोड़ते या घटाते समय भिन्नों को कम कर सकते हैं?
उत्तर: नहीं, आपको पहले नियमों के अनुसार भिन्नों को जोड़ना या घटाना होगा, और उसके बाद ही उन्हें घटाना होगा। आइए एक उदाहरण देखें:

अभिव्यक्ति \(\frac(50+20-10)(20)\) का मूल्यांकन करें।

समाधान:
वे अक्सर संक्षिप्तीकरण करने की गलती करते हैं समान संख्याएँहमारे मामले में, अंश और हर की संख्या 20 है, लेकिन जब तक आप जोड़ और घटाव पूरा नहीं कर लेते, उन्हें कम नहीं किया जा सकता।

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

आप भिन्न को किन संख्याओं से कम कर सकते हैं?
उत्तर: आप भिन्न को सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड या अंश और हर के सामान्य भाजक से कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(100)(150)\).

आइए संख्याओं 100 और 150 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्या gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 होगी

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

हमें अपरिवर्तनीय भिन्न \(\frac(2)(3)\) मिला।

लेकिन हमेशा जीसीडी द्वारा विभाजित करना आवश्यक नहीं है; एक अघुलनशील अंश की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है; आप अंश और हर के एक साधारण भाजक द्वारा अंश को कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 100 और 150 में 2 का उभयनिष्ठ भाजक है। आइए भिन्न \(\frac(100)(150)\) को 2 से कम करें।

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

हमें कम करने योग्य अंश \(\frac(50)(75)\) मिला।

किन भिन्नों को कम किया जा सकता है?
उत्तर: आप उन भिन्नों को कम कर सकते हैं जिनमें अंश और हर का भाजक एक समान हो। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(4)(8)\). संख्या 4 और 8 में एक संख्या होती है जिससे वे दोनों विभाज्य होते हैं - संख्या 2। इसलिए, ऐसी भिन्न को संख्या 2 से कम किया जा सकता है।

उदाहरण:
दो भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(8)(12)\) की तुलना करें।

ये दोनों भिन्न बराबर हैं. आइए भिन्न \(\frac(8)(12)\) पर करीब से नज़र डालें:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)

यहां से हमें मिलता है, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

दो भिन्न बराबर होते हैं यदि और केवल तभी जब उनमें से एक को दूसरे भिन्न से घटाकर प्राप्त किया जाए सामान्य गुणकमीटर और विभाजक।

उदाहरण:
यदि संभव हो, तो निम्नलिखित भिन्नों को कम करें: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

समाधान:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \गुना 3 \गुना 3)(13)=\frac(18)(13)\)
बी) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(लाल) (3 \गुना 3) \गुना 3)(\रंग(लाल) (3 \गुना 3) \गुना 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) अघुलनशील अंश
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ गुणा 5)=\frac(2)(5)\)

यदि हमें 497 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो विभाजित करते समय हम देखेंगे कि 497, 4 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, अर्थात। विभाजन का शेष भाग शेष है। ऐसे में कहा जाता है कि यह पूरा हो गया है शेषफल के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर के विभाजन घटकों को शेषफल के बिना विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - डिवाइडर. जब शेषफल से विभाजित किया जाता है तो विभाजन का परिणाम कहलाता है अपूर्ण निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो इसमें नहीं है साधारण विभाजन, - शेष. ऐसे मामलों में जहां कोई शेष नहीं बचता, एक संख्या को दूसरे से विभाजित कहा जाता है बिना किसी निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस प्रकार के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेषफल 1 है।

शेषफल सदैव भाजक से कम होता है।

भाग को गुणा द्वारा जांचा जा सकता है। यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो जाँच इस प्रकार की जा सकती है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेषफल के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए = बी * एन + आर,
जहाँ a लाभांश है, b भाजक है, n आंशिक भागफल है, r शेषफल है।

प्राकृत संख्याओं के भागफल को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्न का अंश भाज्य है, और हर भाजक है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य है और हर भाजक है, विश्वास है कि भिन्न की रेखा का अर्थ विभाजन की क्रिया है. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना विभाजन को भिन्न के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृतिक संख्याओं m और n के विभाजन के भागफल को भिन्न \(\frac(m)(n)\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां अंश m लाभांश है, और हर n भाजक है:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

निम्नलिखित नियम सत्य हैं:

भिन्न \(\frac(m)(n)\) प्राप्त करने के लिए, आपको एक को n से विभाजित करना होगा बराबर भाग(शेयर) और ऐसे हिस्से ले लो।

भिन्न \(\frac(m)(n)\) प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

किसी संपूर्ण का एक भाग खोजने के लिए, आपको संपूर्ण के अनुरूप संख्या को हर से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के अंश से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

इसके भाग से पूर्णांक ज्ञात करने के लिए, आपको इस भाग से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के हर से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

यदि भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
इस संपत्ति को कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं एक अंश को कम करना.

यदि भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता हो, तो इस क्रिया को कहा जाता है भिन्नों को कम करना आम विभाजक .

उचित और अनुचित भिन्न. मिश्रित संख्याएँ

आप पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांक को समान भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भाग लेकर भिन्न प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(3)(4)\) का अर्थ एक का तीन-चौथाई है। पिछले पैराग्राफ की कई समस्याओं में, भिन्नों का उपयोग संपूर्ण के कुछ हिस्सों को दर्शाने के लिए किया गया था। व्यावहारिक बुद्धिसुझाव है कि भाग हमेशा पूर्ण से कम होना चाहिए, लेकिन फिर भिन्नों के बारे में क्या, उदाहरण के लिए, \(\frac(5)(5)\) या \(\frac(8)(5)\)? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है. संभवतः इसीलिए वे भिन्न कहलाते हैं जिनका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है अनुचित भिन्न. अन्य भिन्न, अर्थात् वे भिन्न जिनका अंश हर से कम, बुलाया सही भिन्न.

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी सामान्य भिन्न, दोनों उचित और अनुचित, को अंश को हर से विभाजित करने के परिणाम के रूप में सोचा जा सकता है। इसलिए, गणित में, इसके विपरीत सामान्य भाषा, "अनुचित भिन्न" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, बल्कि केवल यह है कि इस भिन्न का अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्न शामिल है, तो ऐसा भिन्नों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 पूर्णांक भाग है, और \(\frac(2)(3) \) भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न \(\frac(a)(b) \) का अंश एक प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, इसके अंश को इस संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b)\) प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

ध्यान दें कि दूसरा नियम भी तब सत्य है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी भिन्न का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ। भिन्नों को जोड़ना.

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप ऐसा कर सकते हैं अंकगणितीय आपरेशनस. आइए पहले भिन्नों को जोड़ने पर नजर डालें। आसानी से भिन्न जोड़ें समान भाजक. आइए, उदाहरण के लिए, \(\frac(2)(7)\) और \(\frac(3)(7)\) का योग ज्ञात करें। यह समझना आसान है कि \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

यदि आपको भिन्न जोड़ने की आवश्यकता है विभिन्न भाजक, तो उन्हें पहले एक सामान्य विभाजक में लाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:
\(\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

भिन्नों के लिए, जैसे प्राकृतिक संख्याओं के लिए, क्रमविनिमेय तथा साहचर्य गुणजोड़ना।

मिश्रित भिन्नों को जोड़ना

\(2\frac(2)(3)\) जैसे नोटेशन कहलाते हैं मिश्रित अंश. इस स्थिति में, संख्या 2 को कहा जाता है संपूर्ण भाग मिश्रित भिन्न, और संख्या \(\frac(2)(3)\) इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि \(2\frac(2)(3)\) को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "दो और दो तिहाई।"

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: \(\frac(8)(3)\) और \(2\frac(2)(3)\). वे समान भिन्नात्मक संख्या व्यक्त करते हैं, अर्थात \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

इस प्रकार, अनुचित भिन्न \(\frac(8)(3)\) को मिश्रित भिन्न \(2\frac(2)(3)\) के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे में ऐसा कहा जाता है अनुचित अंश पूरे भाग पर प्रकाश डाला.

भिन्नों को घटाना (आंशिक संख्याएँ)

घटाव भिन्नात्मक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ की क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या में से दूसरी संख्या घटाने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जो दूसरी में जोड़ने पर पहली संख्या देती है। उदाहरण के लिए:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) चूँकि \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

समान हर वाली भिन्नों को घटाने का नियम ऐसी भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश में से दूसरे के अंश को घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

भिन्नों को गुणा करना

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

तैयार नियम का उपयोग करके, आप किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से, मिश्रित भिन्न से गुणा कर सकते हैं, और मिश्रित भिन्न को भी गुणा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको एक प्राकृतिक संख्या को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में, एक मिश्रित भिन्न को - एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा।

भिन्न को कम करके और अनुचित भिन्न के पूरे भाग को अलग करके गुणन के परिणाम को सरल बनाया जाना चाहिए (यदि संभव हो तो)।

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, गुणन के क्रमविनिमेय और संयोजन गुण, साथ ही जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति मान्य हैं।

भिन्नों का विभाजन

आइए भिन्न \(\frac(2)(3)\) लें और अंश और हर की अदला-बदली करते हुए इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न \(\frac(3)(2)\) मिलता है। इस अंश को कहा जाता है रिवर्सभिन्न \(\frac(2)(3)\).

यदि अब हम भिन्न \(\frac(3)(2)\) को "उलटा" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न \(\frac(2)(3)\) प्राप्त होगा। इसलिए, \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(6)(5) \) और \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) और \(\frac (18) )(7)\).

अक्षरों का परस्पर प्रयोग करना पारस्परिक अंशइस प्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac(a)(b) \) और \(\frac(b)(a) \)

यह स्पष्ट है कि व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 के बराबर होता है. उदाहरण के लिए: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

पारस्परिक भिन्नों का उपयोग करके, आप भिन्नों के विभाजन को गुणा तक कम कर सकते हैं।

भिन्न को भिन्न से विभाजित करने का नियम है:
एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को विभाजित करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

यदि लाभांश या भाजक है प्राकृतिक संख्याया एक मिश्रित भिन्न, तो, भिन्नों को विभाजित करने के नियम का उपयोग करने के लिए, इसे पहले एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

इस लेख में हम विस्तार से देखेंगे कि कैसे अंशों को कम करना. सबसे पहले, आइए चर्चा करें कि भिन्न को घटाना किसे कहते हैं। इसके बाद, आइये एक न्यूनीकरणीय अंश को अघुलनशील रूप में परिवर्तित करने के बारे में बात करते हैं। आगे हम भिन्नों को कम करने का नियम प्राप्त करेंगे और अंत में, इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

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भिन्न को कम करने का क्या मतलब है?

हम जानते हैं कि साधारण भिन्नों को न्यूनीकरणीय और अप्रासंगिक भिन्नों में विभाजित किया जाता है। आप नामों से अनुमान लगा सकते हैं कि कम करने योग्य भिन्नों को कम किया जा सकता है, लेकिन अपरिवर्तनीय भिन्नों को नहीं।

भिन्न को कम करने का क्या मतलब है? अंश कम करें- इसका मतलब है इसके अंश और हर को उनके सकारात्मक और एकता से भिन्न से विभाजित करना। यह स्पष्ट है कि भिन्न को कम करने के परिणामस्वरूप, छोटे अंश और हर के साथ एक नया भिन्न प्राप्त होता है, और, भिन्न के मूल गुण के कारण, परिणामी भिन्न मूल अंश के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, आइए सामान्य भिन्न 8/24 को उसके अंश और हर को 2 से विभाजित करके कम करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न 8/24 को 2 से कम करें। चूँकि 8:2=4 और 24:2=12, इस कमी के परिणामस्वरूप भिन्न 4/12 होता है, जो मूल भिन्न 8/24 के बराबर है (समान और असमान भिन्न देखें)। परिणामस्वरूप, हमारे पास है।

साधारण भिन्नों को अघुलनशील रूप में कम करना

आम तौर पर अंतिम लक्ष्यकिसी अंश को कम करने का मतलब एक अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करना है जो मूल कम करने योग्य अंश के बराबर है। यह लक्ष्य मूल न्यूनीकरणीय अंश को उसके अंश और हर द्वारा कम करके प्राप्त किया जा सकता है। ऐसी कमी के परिणामस्वरूप, हमेशा एक अघुलनशील अंश प्राप्त होता है। वास्तव में, एक अंश अपरिवर्तनीय है, क्योंकि यह ज्ञात है और - . यहां हम कहेंगे कि किसी भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक क्या है सबसे बड़ी संख्या, जिससे इस अंश को कम किया जा सके।

इसलिए, एक सामान्य अंश को अघुलनशील रूप में कम करनाइसमें मूल न्यूनीकरणीय अंश के अंश और हर को उनकी जीसीडी से विभाजित करना शामिल है।

आइए एक उदाहरण देखें, जिसके लिए हम भिन्न 8/24 पर लौटते हैं और इसे संख्या 8 और 24 के सबसे बड़े सामान्य भाजक से कम करते हैं, जो 8 के बराबर है। चूँकि 8:8=1 और 24:8=3, हम अपरिवर्तनीय भिन्न 1/3 पर आते हैं। इसलिए, ।

ध्यान दें कि वाक्यांश "एक अंश को कम करें" का अर्थ अक्सर मूल अंश को उसके अघुलनशील रूप में कम करना होता है। दूसरे शब्दों में, भिन्न को कम करने का अर्थ अक्सर अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड से विभाजित करना होता है (किसी सामान्य गुणनखंड के बजाय)।

भिन्न को कैसे कम करें? भिन्नों को कम करने के नियम और उदाहरण

जो कुछ बचा है वह भिन्नों को कम करने के नियम को देखना है, जो बताता है कि किसी दिए गए भिन्न को कैसे कम किया जाए।

भिन्नों को कम करने का नियमइसमें दो चरण शामिल हैं:

• सबसे पहले, भिन्न के अंश और हर की जीसीडी पाई जाती है;
• दूसरे, भिन्न के अंश और हर को उनके gcd से विभाजित किया जाता है, जो मूल अंश के बराबर एक अपरिवर्तनीय भिन्न देता है।

आइए इसे सुलझाएं भिन्न को कम करने का उदाहरणबताए गए नियम के अनुसार.

उदाहरण।

अंश 182/195 घटाएँ।

समाधान।

आइए भिन्न को कम करने के नियम द्वारा निर्धारित दोनों चरणों को पूरा करें।

सबसे पहले हम GCD(182, 195) पाते हैं। यूक्लिड एल्गोरिथ्म का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है (देखें): 195=182·1+13, 182=13·14, यानी, जीसीडी(182, 195)=13।

अब हम भिन्न 182/195 के अंश और हर को 13 से विभाजित करते हैं, और हमें अपरिवर्तनीय भिन्न 14/15 प्राप्त होता है, जो मूल भिन्न के बराबर है। इससे अंश की कमी पूरी हो जाती है।

संक्षेप में समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है: .

उत्तर:

यहीं पर हम भिन्नों को कम करना समाप्त कर सकते हैं। लेकिन तस्वीर को पूरा करने के लिए, आइए भिन्नों को कम करने के दो और तरीकों पर गौर करें, जो आमतौर पर आसान मामलों में उपयोग किए जाते हैं।

कभी-कभी भिन्न के अंश और हर को कम करना कठिन नहीं होता। इस मामले में भिन्न को कम करना बहुत सरल है: आपको बस अंश और हर से सभी सामान्य गुणनखंडों को हटाना होगा।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह विधि सीधे भिन्नों को कम करने के नियम का पालन करती है, क्योंकि अंश और हर के सभी सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर होता है।

आइए उदाहरण के समाधान पर नजर डालें।

उदाहरण।

अंश 360/2 940 घटाएँ।

समाधान।

आइए अंश और हर को सरल गुणनखंडों में विभाजित करें: 360=2·2·2·3·3·5 और 2,940=2·2·3·5·7·7. इस प्रकार, .

अब हम अंश और हर में सामान्य गुणनखंडों से छुटकारा पा लेते हैं; सुविधा के लिए, हम बस उन्हें काट देते हैं: .

अंत में, हम शेष कारकों को गुणा करते हैं:, और भिन्न की कमी पूरी हो जाती है।

यहाँ छोटा लेखसमाधान: .

उत्तर:

आइए भिन्न को कम करने के दूसरे तरीके पर विचार करें, जिसमें क्रमिक कमी शामिल है। यहां, प्रत्येक चरण में, अंश को अंश और हर के कुछ सामान्य भाजक द्वारा कम किया जाता है, जो या तो स्पष्ट है या आसानी से उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

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हमारे ऑनलाइन अंश कैलकुलेटर में त्वरित इनपुट है. उदाहरण के लिए, भिन्नों को हल करने के लिए बस लिखें 1/2+2/7 कैलकुलेटर में और "दबाएँ भिन्नों को हल करें"। कैलकुलेटर आपको लिखेगा विस्तृत समाधानअंशोंऔर जारी करेगा कॉपी करने में आसान छवि.

कैलकुलेटर में लिखने के लिए प्रयुक्त चिन्ह

आप किसी समाधान के लिए कीबोर्ड से या बटनों का उपयोग करके एक उदाहरण टाइप कर सकते हैं।

ऑनलाइन अंश कैलकुलेटर की विशेषताएं

भिन्न कैलकुलेटर केवल 2 पर ही कार्य कर सकता है सरल भिन्न. वे या तो सही हो सकते हैं (अंश हर से छोटा है) या गलत (अंश हर से बड़ा है)। अंश और हर में संख्याएँ ऋणात्मक या 999 से अधिक नहीं हो सकतीं।
हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर भिन्नों को हल करता है और उत्तर देता है सही प्रकार- अंश को कम करता है और यदि आवश्यक हो तो पूरे भाग का चयन करता है।

यदि आपको ऋणात्मक भिन्नों को हल करने की आवश्यकता है, तो केवल ऋण के गुणों का उपयोग करें। गुणा और भाग करते समय नकारात्मक भिन्नदो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं। अर्थात्, ऋणात्मक भिन्नों का गुणनफल और विभाजन समान धनात्मक अंशों के गुणनफल और विभाजन के बराबर होता है। यदि गुणा या भाग करते समय एक भिन्न ऋणात्मक है, तो केवल ऋण हटा दें और फिर उसे उत्तर में जोड़ें। ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ते समय, परिणाम वैसा ही होगा जैसे कि आप समान धनात्मक भिन्नों को जोड़ रहे हों। यदि आप एक ऋणात्मक भिन्न जोड़ते हैं, तो यह उसी धनात्मक अंश को घटाने के समान है।
ऋणात्मक भिन्नों को घटाने पर परिणाम वैसा ही होगा जैसे कि उन्हें बदल कर सकारात्मक बना दिया गया हो। यानी माइनस बाय माइनस इन इस मामले मेंएक प्लस देता है, लेकिन शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है। भिन्नों को घटाते समय हम उन्हीं नियमों का उपयोग करते हैं, जिनमें से एक ऋणात्मक है।

समाधान के लिए मिश्रित अंश(अंश जिसमें पूरा भाग हाइलाइट किया गया है) बस पूरे भाग को भिन्न में चलाएँ। ऐसा करने के लिए, पूरे भाग को हर से गुणा करें और अंश में जोड़ें।

यदि आपको 3 या अधिक भिन्नों को ऑनलाइन हल करने की आवश्यकता है, तो आपको उन्हें एक-एक करके हल करना चाहिए। सबसे पहले, पहले 2 भिन्नों को गिनें, फिर अगले भिन्न को प्राप्त उत्तर से हल करें, इत्यादि। ऑपरेशन एक-एक करके करें, एक समय में 2 अंश, और अंततः आपको सही उत्तर मिल जाएगा।

यह जाने बिना कि भिन्न को कैसे कम किया जाए और हल करने में निरंतर कौशल का होना समान उदाहरणस्कूल में बीजगणित का अध्ययन करना बहुत कठिन है। आप जितना आगे बढ़ेंगे, उतना ही आगे बढ़ेंगे बुनियादी ज्ञानकमी के बारे में साधारण अंशआरोपित नई जानकारी. सबसे पहले, शक्तियां प्रकट होती हैं, फिर कारक, जो बाद में बहुपद बन जाते हैं।

आप यहां भ्रमित होने से कैसे बच सकते हैं? कौशल को पूरी तरह से समेकित करें पिछले विषयऔर धीरे-धीरे उस अंश को कम करने के ज्ञान के लिए तैयारी करें जो साल-दर-साल अधिक जटिल हो जाता है।

बुनियादी ज्ञान

इनके बिना आप किसी भी स्तर के कार्यों का सामना नहीं कर पाएंगे। समझने के लिए आपको दो आसान बातें समझनी होंगी. पहला: आप केवल कारकों को कम कर सकते हैं। जब अंश या हर में बहुपद आते हैं तो यह बारीकियां बहुत महत्वपूर्ण हो जाती है। फिर आपको स्पष्ट रूप से अंतर करने की आवश्यकता है कि गुणक कहां है और जोड़ कहां है।

दूसरा बिंदु कहता है कि किसी भी संख्या को गुणनखंडों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, कमी का परिणाम एक भिन्न है जिसका अंश और हर अब कम नहीं किया जा सकता है।

सामान्य भिन्नों को कम करने के नियम

सबसे पहले, आपको यह जांचना चाहिए कि अंश हर से विभाज्य है या इसके विपरीत। फिर यही वह संख्या है जिसे कम करने की जरूरत है। यह सबसे सरल विकल्प है.

दूसरा है विश्लेषण उपस्थितिनंबर. यदि दोनों एक या अधिक शून्य पर समाप्त होते हैं, तो उन्हें 10, 100 या एक हजार तक छोटा किया जा सकता है। यहां आप देख सकते हैं कि संख्याएं सम हैं या नहीं। यदि हां, तो आप इसे सुरक्षित रूप से दो से काट सकते हैं।

भिन्न को कम करने का तीसरा नियम अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना है। इस समय, आपको संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के बारे में अपने सभी ज्ञान का सक्रिय रूप से उपयोग करने की आवश्यकता है। इस अपघटन के बाद, जो कुछ बचता है वह है सभी दोहराई जाने वाली संख्याओं को ढूंढना, उन्हें गुणा करना और परिणामी संख्या से उन्हें कम करना।

यदि भिन्न में बीजगणितीय व्यंजक हो तो क्या होगा?

यहीं पर पहली कठिनाइयाँ सामने आती हैं। क्योंकि यहीं पर ऐसे शब्द प्रकट होते हैं जो कारकों के समान हो सकते हैं। मैं वास्तव में उन्हें कम करना चाहता हूं, लेकिन मैं नहीं कर सकता। काटने से पहले बीजगणितीय अंश, इसे रूपांतरित करने की आवश्यकता है ताकि इसमें गुणक हों।

ऐसा करने के लिए, आपको कई चरण पूरे करने होंगे. आपको उन सभी से गुज़रने की आवश्यकता हो सकती है, या शायद पहला वाला एक उपयुक्त विकल्प प्रदान करेगा।

जांचें कि क्या अंश और हर या उनमें कोई अभिव्यक्ति चिह्न से भिन्न है। इस मामले में, आपको बस कोष्ठक में से ऋण एक लगाना होगा। इससे समान कारक उत्पन्न होते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है।

देखें कि क्या कोष्ठक के बाहर बहुपद से उभयनिष्ठ गुणनखंड को हटाना संभव है। शायद इसके परिणामस्वरूप एक कोष्ठक बनेगा, जिसे छोटा भी किया जा सकता है, या यह एक हटा दिया गया एकपदी होगा।

एकपदी को समूहीकृत करने का प्रयास करें ताकि उनमें एक सामान्य गुणनखंड जोड़ा जा सके। इसके बाद, यह पता चल सकता है कि ऐसे कारक होंगे जिन्हें कम किया जा सकता है, या फिर से सामान्य तत्वों की ब्रैकेटिंग दोहराई जाएगी।

लिखित रूप में संक्षिप्त गुणन सूत्रों पर विचार करने का प्रयास करें। इनकी सहायता से आप बहुपदों को आसानी से गुणनखंडों में बदल सकते हैं।

घातों के साथ भिन्नों के साथ संक्रियाओं का क्रम

घातों के साथ भिन्न को कैसे कम किया जाए, इस प्रश्न को आसानी से समझने के लिए, आपको उनके साथ बुनियादी संचालन को दृढ़ता से याद रखने की आवश्यकता है। इनमें से पहला शक्तियों के गुणन से संबंधित है। इस मामले में, यदि आधार समान हैं, तो संकेतक जोड़े जाने चाहिए।

दूसरा है विभाजन. फिर, जिनके कारण समान हैं, उनके लिए संकेतकों को घटाना होगा। इसके अलावा, आपको उस संख्या से घटाना होगा जो लाभांश में है, न कि इसके विपरीत।

तीसरा है घातांक। इस स्थिति में, संकेतक कई गुना बढ़ जाते हैं।

सफल कमी के लिए डिग्री को कम करने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी उसी आधार पर. अर्थात्, यह देखना कि चार दो वर्ग हैं। या 27 - तीन का घन. क्योंकि 9 वर्ग और 3 घन कम करना कठिन है। लेकिन यदि हम पहले व्यंजक को (3 2) 2 के रूप में रूपांतरित करें तो कमी सफल होगी।