Jika dikalikan nomor pada dirinya sendiri, itu akan menghasilkan konstruksi di kotak. Bahkan seorang siswa kelas satu tahu bahwa "dua kali dua adalah empat." Tiga digit, empat digit, dll. lebih baik mengalikan angka dalam kolom atau kalkulator, tetapi berurusan dengan angka dua digit tanpa asisten elektronik, mengalikan dalam pikiran Anda.

Petunjuk

1. Perluas dua nilai apa pun nomor menjadi komponen, menyoroti jumlah unit. Dalam angka 96, jumlahnya adalah 6. Oleh karena itu, diperbolehkan untuk menulis: 96 \u003d 90 + 6.

2. Naikkan ke kotak yang pertama dari angka: 90 * 90 = 8100.

3. Lakukan hal yang sama dengan yang kedua. nomor m: 6 * 6 = 36

4. Kalikan angkanya dan gandakan totalnya: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Jumlahkan hasil langkah kedua, ketiga dan keempat: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Ini adalah hasil dari menaikkan menjadi kotak nomor 96. Setelah beberapa pelatihan, Anda akan dapat dengan cepat mengambil langkah dalam pikiran Anda, memukul orang tua dan teman sekelas Anda. Sampai Anda terbiasa, tuliskan hasil seluruh langkah agar tidak bingung.

6. Untuk pelatihan, naikkan ke kotak nomor 74 dan periksa diri Anda di kalkulator. Urutan tindakan: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Naikkan ke kekuatan kedua nomor 81. Tindakan Anda: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Ingat metode non-standar ereksi di kotak angka dua digit, yang diakhiri dengan angka 5. Pilih jumlah puluhan: di angka 75 ada 7 di antaranya.

9. Kalikan jumlah puluhan dengan angka berikutnya di nomor baris pertama: 7 * 8 = 56.

10. Atribut di sebelah kanan nomor 25:5625 - hasil ereksi di kotak nomor 75.

11. Naikkan ke kekuatan kedua untuk pelatihan nomor 95. Berakhir dengan angka 5, maka urutan tindakan: 9 * 10 = 90, 9025 - total.

12. Belajar membangun kotak angka negatif: -95 in kotak sama dengan 9025, seperti pada langkah kesebelas. Suka -74 di kotak e adalah 5476, seperti pada langkah keenam. Ini disebabkan oleh fakta bahwa ketika mengalikan 2 angka negatif, yang benar selalu diperoleh. nomor: -95 * -95 = 9025. Akibatnya, jika dinaikkan menjadi kotak Anda dapat dengan mudah mengabaikan tanda minus.

Menaikkan angka ke pangkat adalah salah satu yang paling sederhana operasi aljabar. PADA kehidupan sehari-hari ereksi jarang digunakan, tetapi dalam produksi, saat melakukan perhitungan, itu praktis di mana-mana, oleh karena itu berguna untuk mengingat kembali bagaimana ini dilakukan.

Petunjuk

1. Bayangkan kita memiliki beberapa angka a, yang pangkatnya adalah angka n. Untuk membangun angka menjadi kekuatan berarti Anda harus mengalikan angka a dengan dirinya sendiri n kali.

2. Mari kita lihat beberapa contoh Untuk membangun angka 2 ke pangkat kedua, Anda perlu melakukan tindakan: 2x2 \u003d 4

3. Untuk membangun angka 3 ke kekuatan kelima, Anda perlu melakukan tindakan: 3x3x3x3x3 \u003d 243

4. Ada sebutan yang diterima secara umum untuk pangkat 2 dan ketiga angka. Ungkapan "derajat kedua" biasanya diganti dengan kata "persegi", dan alih-alih frasa "derajat ketiga" mereka secara tradisional mengatakan "kubus".

5. Seperti dapat dilihat dari contoh di atas, durasi dan kerumitan perhitungan bergantung pada nilai eksponen bilangan. Kuadrat atau kubus sudah cukup tugas sederhana; menaikkan angka menjadi seperlima atau kekuatan yang sangat besar sudah membutuhkan banyak waktu dan ketelitian dalam perhitungan. Untuk mempercepat proses ini dan pengecualian kesalahan diizinkan untuk menggunakan khusus tabel matematika atau kalkulator teknik.

Untuk catatan singkat dari produk dari nomor yang sama dengan sendirinya, matematikawan datang dengan representasi derajat. Akibatnya, ekspresi 16 * 16 * 16 * 16 * 16 dapat ditulis lebih banyak metode singkat. Ini akan terlihat seperti 16^5. Ekspresi akan dibaca sebagai angka 16 pangkat lima.

Anda akan perlu

• Kertas, pena.

Petunjuk

1. Secara umum derajat ditulis sebagai a^n. Entri ini berarti bahwa angka a dikalikan dengan dirinya sendiri n kali. Ekspresi a ^ n disebut derajat u, a adalah angka, dasar derajat, n adalah bilangan, eksponen. Katakan a = 4, n = 5, lalu tulis 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1024

2. Pangkat n dapat berupa bilangan negatif n = -1, -2, -3, dst. Untuk menghitung bilangan negatif derajat bilangan, harus diturunkan ke penyebutnya ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. Seperti yang Anda lihat dari contoh, -3 derajat dari angka 2 dapat dihitung dengan berbagai metode 1) Pertama, hitung pecahan 1/2 \u003d 0,5; dan setelah itu membangun derajat 3, yaitu 0,5^3 = 0,5*0,5*0,5 = 0,1252) Pertama bangun penyebutnya di derajat 2^3 = 2*2*2 = 8, dan setelah itu hitunglah pecahan 1/8 = 0,125.

4. Sekarang mari kita hitung -1 derajat untuk suatu bilangan, mis. n = -1. Aturan yang dibahas di atas sesuai untuk kasus ini.a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/a derajat 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. Contoh tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa angka pangkat -1 adalah timbal-balik dari suatu bilangan Misalkan bilangan 5 berupa pecahan 5/1, maka 5^ (-1) tidak dapat dihitung secara aritmatika, tetapi segera tuliskan kebalikan dari 5/1, yaitu 1/5. Jadi, 15 ^ (-1) \u003d 1 /15.6^(-1) = 1/6.25^(-1) = 1/25

Catatan!
Saat menaikkan angka ke pangkat negatif, ingatlah bahwa angka tersebut tidak boleh sama dengan nol. Menurut aturan, kita wajib menurunkan angka menjadi penyebut. Dan nol tidak bisa menjadi penyebut, karena tidak mungkin membagi dengan nol.

Saran yang bermanfaat
Kadang-kadang ketika bekerja dengan eksponen untuk memfasilitasi perhitungan bilangan pecahan sengaja diganti dengan bilangan bulat pangkat -11/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).

Saat menyelesaikan aritmatika dan masalah aljabar kadang-kadang diperlukan untuk membangun pecahan di kotak. Lebih mudah bagi semua orang untuk melakukan ini ketika pecahan desimal - kalkulator yang cukup biasa. Namun, jika pecahan biasa atau campuran, maka ketika menaikkan angka seperti itu menjadi kotak beberapa kesulitan mungkin timbul.

Anda akan perlu

• kalkulator, komputer, aplikasi excel.

Petunjuk

1. Untuk membangun desimal pecahan di kotak, mengambil kalkulator teknik, ketik di atasnya didirikan di kotak pecahan dan tekan tombol eksponensial. Pada kebanyakan kalkulator, tombol ini diberi label "x?". Pada kalkulator Windows standar, peningkatan menjadi kotak terlihat seperti "x^2". Katakanlah kotak pecahan desimal 3,14 akan sama dengan: 3,14? = 9.8596.

2. Untuk membangun kotak desimal pecahan pada kalkulator (akuntansi) biasa, kalikan angka ini dengan dirinya sendiri. Omong-omong, dalam beberapa model kalkulator, probabilitas munculnya angka menjadi kotak bahkan jika tidak ada tombol khusus. Oleh karena itu, baca instruksi untuk kalkulator tertentu. Kadang-kadang, contoh eksponensial "licik" diberikan di sampul belakang atau di kotak kalkulator. Katakanlah, pada banyak kalkulator untuk menaikkan angka menjadi kotak cukup tekan tombol "x" dan "=".

3. Untuk ereksi di kotak pecahan biasa(terdiri dari pembilang dan penyebut), naikkan menjadi kotak pisahkan pembilang dan penyebut pecahan ini. Artinya, gunakan aturan berikut: (h / s)? = jam? / s?, dimana h adalah pembilang pecahan, s adalah penyebut pecahan Contoh: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Jika didirikan di kotak pecahan- campur (terdiri dari bagian bilangan bulat dan pecahan biasa), lalu bawa ke bentuk biasanya terlebih dahulu. Artinya, terapkan rumus berikut: (c h / z)? \u003d ((c * s + h) / s)? = (c*s+h)? / s?, di mana ts - seluruh bagian pecahan campuran Contoh: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Jika didirikan di kotak pecahan biasa (bukan desimal) dibawa terus menerus, kemudian menggunakan MS Excel. Untuk melakukan ini, masukkan rumus berikut ke salah satu sel tabel: \u003d DERAJAT (A2; 2) di mana A2 adalah alamat sel tempat nilai yang dinaikkan akan dimasukkan kotak pecahan.Untuk menginformasikan program bahwa nomor input harus diperlakukan seperti biasa pecahan yu (yaitu jangan mengubahnya menjadi desimal), ketik sebelumnya pecahan angka ke- "0" dan tanda "spasi". Artinya, untuk memasukkan, katakanlah, pecahan 2/3, Anda harus memasukkan: "0 2/3" (dan tekan Enter). Dalam hal ini, baris input akan menampilkan representasi desimal dari pecahan yang dimasukkan. Nilai dan representasi pecahan dalam sel akan disimpan di bentuk awal. Selain itu, saat melamar fungsi matematika, yang argumennya merupakan pecahan biasa, hasilnya juga akan disajikan sebagai pecahan biasa. Akibatnya kotak pecahan 2/3 akan direpresentasikan sebagai 4/9.

Metode penyorotan kuadrat binomial digunakan untuk memfasilitasi ekspresi masif, serta untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Dalam praktiknya, secara tradisional dikombinasikan dengan teknik lain, termasuk faktorisasi, pengelompokan, dll.

Petunjuk

1. Cara memilih kuadrat penuh dari binomial didasarkan pada penggunaan 2 rumus untuk perkalian polinomial yang disingkat. Rumus ini adalah kasus khusus Newton Binomial untuk derajat ke-2 dan memungkinkan Anda untuk menyederhanakan ekspresi yang diinginkan sehingga memungkinkan untuk melakukan reduksi atau faktorisasi lebih lanjut: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n².

2. Menurut metode ini, diperlukan untuk mengekstrak kuadrat dari 2 monomial dan jumlah/selisih produk ganda mereka dari polinomial awal. Menggunakan metode ini masuk akal jika pangkat tertinggi dari suku tidak kurang dari 2. Bayangkan, diberi tugas untuk memfaktorkan ekspresi berikut dengan derajat yang menurun: 4 y ^ 4 + z ^ 4

3. Untuk mengatasi masalah tersebut, perlu menggunakan metode pemilihan kotak penuh. Ternyata ekspresi terdiri dari 2 monomial dengan variabel derajat genap. Akibatnya, diperbolehkan untuk menunjukkan salah satu dari mereka dengan m dan n:m = 2 y²; n = z2.

4. Sekarang kita perlu membawa ekspresi awal ke bentuk (m + n)². Ini lebih dekat berisi kuadrat dari istilah-istilah ini, tetapi tidak memiliki produk ganda. Anda perlu menambahkannya secara tidak wajar, lalu kurangi: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².

5. Dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda dapat melihat rumus untuk selisih kuadrat: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z).

6. Ternyata metode ini terdiri dari 2 tahap: pemilihan monomial persegi penuh m dan n, penambahan dan pengurangan produk ganda mereka. Metode mengekstraksi kuadrat penuh dari binomial tidak hanya dapat digunakan sendiri, tetapi juga dalam kombinasi dengan metode lain: mengurung faktor universal, mengganti variabel, mengelompokkan istilah, dll.

7. Contoh 2: Sorot persegi penuh dalam persamaan: 4 y² + 2 y z + z². Solusi. 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z) ² - 2 y z = (2 y + z)² - 2 y z.

8. Metode ini digunakan untuk mencari akarnya persamaan kuadrat. Ruas kiri persamaan adalah trinomial berbentuk a y? + b y + c, di mana a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan a ? 0.a y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2) a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Perhitungan ini menghasilkan representasi diskriminan, yang sama dengan (b? - 4 a c)/(4 a), dan akar persamaannya adalah: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? - 4 a c)/(4 a)).

Operasi ereksi derajat adalah "biner", yaitu, ia memiliki dua parameter input yang sangat diperlukan dan satu output. Salah satu parameter awal disebut eksponen dan menentukan berapa kali operasi perkalian harus diterapkan ke parameter kedua - basis. Alasan bisa benar atau negatif. nomor .

Petunjuk

1. Saat menaikkan angka negatif ke pangkat, gunakan aturan biasa untuk operasi ini. Seperti halnya bilangan positif, eksponen berarti mengalikan nilai awal dengan dirinya sendiri beberapa kali, satu kurang dari eksponen. Katakanlah, untuk membangun angka -2 ke pangkat keempat, angka itu harus dikalikan dengan dirinya sendiri tiga kali: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. Mengalikan 2 angka negatif selalu menghasilkan nilai positif, dan hasil dari operasi ini untuk besaran dengan berbagai tanda akan menjadi bilangan negatif. Dari sini dapat disimpulkan bahwa selama konstruksi nilai negatif pangkat dengan eksponen genap, bilangan positif harus selalu diperoleh, dan dengan eksponen ganjil, hasilnya akan selalu kurang dari nol. Gunakan kualitas ini untuk memeriksa perhitungan Anda. Katakanlah -2 pangkat kelima harus menjadi angka negatif -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, dan -2 pangkat keenam harus positif -2 ?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. Saat menaikkan angka negatif ke pangkat, eksponen dapat diberikan dalam bentuk pecahan biasa - katakanlah, -64 pangkat?. Indikator seperti itu berarti bahwa nilai awal harus dibangun dengan pangkat yang sama dengan pembilang pecahan, dan akar derajat harus diekstraksi darinya, sama dengan penyebutnya. Satu bagian dari operasi ini tercakup dalam langkah-langkah sebelumnya, tetapi di sini Anda harus memperhatikan yang lain.

4. Ekstraksi akarnya fungsi ganjil, yaitu untuk negatif bilangan asli itu hanya dapat digunakan ketika eksponennya ganjil. Jika genap, fungsi ini tidak relevan. Akibatnya, jika dalam kondisi masalah diperlukan untuk membangun bilangan negatif dalam derajat pecahan dengan penyebut genap, maka soal tersebut tidak memiliki penyelesaian. Dalam kasus lain, pertama-tama lakukan operasi dari 2 langkah pertama, menggunakan pembilang pecahan sebagai eksponen, lalu ekstrak akar dengan derajat penyebutnya.

Notasi pangkat untuk suatu bilangan adalah bentuk singkatan dari operasi perkalian basis dengan dirinya sendiri. Dengan nomor yang disajikan dalam formulir ini, diperbolehkan untuk melakukan operasi yang sama seperti nomor lainnya, termasuk menaikkannya ke derajat. Katakanlah itu diperbolehkan untuk membangun secara sewenang-wenang derajat kotak angka dan perolehan total pada tahap modern pembentukan teknologi tidak akan ada kesulitan.

Anda akan perlu

• Akses internet atau kalkulator Windows.

Petunjuk

1. Untuk ereksi kotak dan masuk derajat gunakan aturan umum membesarkan untuk derajat nomor lebih dekat daripada memiliki eksponen daya. Dengan operasi seperti itu, indikatornya dikalikan, dan basisnya tetap yang pertama. Jika basis dilambangkan sebagai x, dan eksponen awal dan tambahan sebagai a dan b, aturan ini dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut: (x?)?=x??.

2. Untuk perhitungan utilitarian, lebih mudah bagi semua orang untuk menggunakan mesin pencari sistem Google- Ini memiliki kalkulator yang sangat mudah digunakan yang terpasang di dalamnya. Katakanlah jika Anda ingin membangun yang kelima derajat kotak nomor 6, buka halaman utama mesin pencari dan masukkan kueri yang sesuai. Diperbolehkan untuk merumuskannya seperti ini: (6 ^ 2) ^ 5 - di sini simbol ^ berarti derajat. Dan diizinkan untuk secara mandiri menghitung eksponen yang dihasilkan sesuai dengan rumus dari langkah sebelumnya dan merumuskan kueri sebagai berikut: 6 ^ 10. Atau percayakan Google untuk melakukannya dengan memasukkan permintaan berikut: 6^(2*5). Untuk salah satu opsi ini, kalkulator mesin pencari akan mengembalikan hasil yang sama: 60.466.176.

3. Dengan tidak adanya akses Internet, kalkulator Google dapat diganti, katakanlah, dengan kalkulator Windows bawaan. Jika Anda menggunakan versi Seven atau Vista dari OS ini, buka menu utama sistem dan ketik dua huruf untuk masing-masing: “ka”. Sistem akan menampilkan di menu utama semua program dan file yang terkait dengan kombinasi ini. Di baris pertama akan ada tautan "Kalkulator" - klik dengan mouse, dan aplikasi akan diluncurkan.

4. Tekan kombinasi tombol Alt + 2, sehingga tombol muncul di antarmuka aplikasi dengan fungsi menaikkan ke sewenang-wenang derajat. Setelah itu, masukkan basis - dalam contoh dari langkah kedua itu adalah angka 6 - dan klik pertama pada tombol x?, lalu pada tombol x?. Masukkan eksponen yang ingin Anda bangun kotak- dalam contoh yang digunakan, angka ini adalah 5. Tekan tombol Enter, dan kalkulator akan menampilkan hasil akhir operasi.

Video Terkait

Saran yang bermanfaat
Agar pelatihannya tidak suram, hubungi teman untuk meminta bantuan. Biarkan dia menulis angka dua digit, dan Anda - hasil dari mengkuadratkan angka ini. Setelah itu, pindah tempat.

* kuadrat hingga ratusan

Agar tidak mengkuadratkan semua angka sesuai dengan rumus, Anda perlu menyederhanakan tugas Anda sebanyak mungkin dengan aturan berikut.

Aturan 1 (memotong 10 angka)

Untuk angka yang berakhiran 0.
Jika suatu angka berakhir dengan 0, mengalikannya tidak lebih sulit daripada satu digit. Yang harus Anda lakukan adalah menambahkan beberapa nol.
70 * 70 = 4900.
Tabel ditandai dengan warna merah.

Aturan 2 (memotong 10 angka)

Untuk angka yang berakhiran 5.
Untuk menguadratkan angka dua digit yang diakhiri dengan 5, kalikan digit pertama (x) dengan (x+1) dan tambahkan “25” ke hasilnya.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Tabel ditandai dengan warna hijau.

Aturan 3 (memotong 8 angka)

Untuk nomor dari 40 hingga 50.
XX * XX = 1500 + 100 * digit kedua + (10 - digit kedua)^2
Cukup keras, bukan? Mari kita ambil contoh:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Tabel ditandai dengan warna oranye terang.

Aturan 4 (memotong 8 angka)

Untuk angka dari 50 hingga 60.
XX * XX = 2500 + 100 * digit kedua + (digit kedua)^2
Ini juga cukup sulit untuk dipahami. Mari kita ambil contoh:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Tabel ditandai dengan warna oranye gelap.

Aturan 5 (memotong 8 angka)

Untuk angka dari 90 hingga 100.
XX * XX = 8000+ 200 * digit kedua + (10 - digit kedua)^2
Mirip dengan aturan 3, tetapi dengan koefisien yang berbeda. Mari kita ambil contoh:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Tabel ditandai dengan warna oranye tua gelap.

Aturan #6 (memotong 32 angka)

Penting untuk menghafal kuadrat angka hingga 40. Kedengarannya gila dan sulit, tetapi pada kenyataannya, hingga 20, kebanyakan orang tahu kuadrat. 25, 30, 35 dan 40 cocok untuk formula. Dan hanya 16 pasang angka yang tersisa. Mereka sudah dapat dihafal menggunakan mnemonik (yang juga ingin saya bicarakan nanti) atau dengan cara lain. Seperti tabel perkalian :)
Tabel ditandai dengan warna biru.

Anda dapat mengingat semua aturan, atau Anda dapat mengingat secara selektif, dalam hal apa pun, semua angka dari 1 hingga 100 mematuhi dua rumus. Aturan akan membantu, tanpa menggunakan rumus ini, untuk menghitung lebih dari 70% opsi dengan cepat. Berikut kedua rumus tersebut:

Rumus (24 angka tersisa)

Untuk angka dari 25 hingga 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Sebagai contoh:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Untuk angka dari 50 hingga 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Sebagai contoh:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Tentu saja, jangan lupa tentang rumus biasa untuk memperluas kuadrat jumlah ( kasus spesial Newton binomial):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

MEMPERBARUI
Produk dari angka yang mendekati 100, dan, khususnya, kuadratnya, juga dapat dihitung sesuai dengan prinsip "kekurangan hingga 100":

Dengan kata-kata: dari angka pertama kita kurangi "cacat" dari yang kedua menjadi seratus dan atribut produk dua digit dari "cacat".

Untuk kotak, masing-masing, bahkan lebih mudah.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(oleh saringan)

Mengkuadratkan mungkin bukan hal yang paling berguna dalam rumah tangga. Anda tidak akan segera mengingat kasus ketika Anda mungkin membutuhkan kuadrat dari suatu angka. Tetapi kemampuan untuk mengoperasikan angka dengan cepat, menerapkan aturan yang sesuai untuk setiap angka, mengembangkan memori dan "kemampuan komputasi" otak Anda dengan sempurna.

Omong-omong, saya pikir semua pembaca Habra tahu bahwa 64^2 = 4096, dan 32^2 = 1024.
Banyak kuadrat angka diingat pada tingkat asosiatif. Misalnya, saya dengan mudah menghafal 88^2 = 7744, karena nomor yang sama. Setiap orang pasti memiliki ciri khasnya masing-masing.

Dua formula unik yang pertama kali saya temukan dalam buku "13 langkah menuju mentalisme", yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Faktanya adalah bahwa sebelumnya (mungkin bahkan sekarang) kemampuan komputasi yang unik adalah salah satu angka dalam sihir panggung: seorang pesulap memberi tahu sepeda tentang bagaimana dia mendapatkan kekuatan super dan, sebagai buktinya, langsung mengkuadratkan angka hingga seratus. Buku ini juga menunjukkan cara pangkat tiga, cara mengurangkan akar dan akar pangkat tiga.

Jika topik hitung cepat menarik, saya akan menulis lebih banyak.
Silakan tulis komentar tentang kesalahan dan koreksi di PM, terima kasih sebelumnya.

Hari ini kita akan belajar cara cepat mengkuadratkan ekspresi besar tanpa kalkulator. Secara umum maksud saya angka antara sepuluh dan seratus. Ekspresi besar sangat jarang dalam masalah nyata, dan Anda sudah tahu cara menghitung nilai kurang dari sepuluh, karena ini adalah tabel perkalian biasa. Materi pelajaran hari ini akan berguna bagi siswa yang cukup berpengalaman, karena siswa pemula tidak akan menghargai kecepatan dan keefektifan teknik ini.

Pertama-tama, mari kita lihat apa dalam pertanyaan. Misalnya, saya mengusulkan untuk membuat konstruksi sewenang-wenang ekspresi numerik seperti yang biasa kita lakukan. Katakanlah 34. Kami menaikkannya dengan mengalikan dirinya sendiri dengan kolom:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 adalah persegi 34.

masalah metode ini dapat digambarkan dengan dua cara:

1) memerlukan pendaftaran tertulis;

2) sangat mudah melakukan kesalahan dalam proses perhitungan.

Hari ini kita akan belajar cara cepat mengalikan tanpa kalkulator, secara lisan dan praktis tanpa kesalahan.

Jadi mari kita mulai. Untuk bekerja, kita memerlukan rumus kuadrat dari jumlah dan selisih. Mari kita tuliskan:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Apa yang ini berikan kepada kita? Faktanya adalah bahwa setiap nilai antara 10 dan 100 dapat direpresentasikan sebagai bilangan $a$, yang habis dibagi 10, dan bilangan $b$, yang merupakan sisa pembagian dengan 10.

Misalnya, 28 dapat direpresentasikan sebagai berikut:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]

Demikian pula, kami menyajikan contoh yang tersisa:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]

Apa yang memberi kita ide seperti itu? Faktanya adalah bahwa dengan jumlah atau selisih, kita dapat menerapkan perhitungan di atas. Tentu saja, untuk mempersingkat perhitungan, untuk setiap elemen seseorang harus memilih ekspresi dengan detik terkecil ketentuan. Misalnya, dari opsi $20+8$ dan $30-2$, Anda harus memilih opsi $30-2$.

Demikian pula, kami memilih opsi untuk contoh lain:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

Mengapa seseorang harus berusaha untuk mengurangi suku kedua di perkalian cepat? Ini semua tentang perhitungan awal kuadrat dari jumlah dan perbedaan. Faktanya adalah bahwa istilah plus atau minus $2ab$ adalah yang paling sulit untuk dihitung ketika memecahkan masalah nyata. Dan jika faktor $a$, kelipatan 10, selalu mudah dikalikan, maka dengan faktor $b$ yang merupakan bilangan yang berkisar dari satu sampai sepuluh, banyak siswa yang sering mengalami kesulitan.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Jadi dalam tiga menit kami melakukan perkalian delapan contoh. Ini kurang dari 25 detik per ekspresi. Pada kenyataannya, setelah sedikit latihan, Anda akan menghitung lebih cepat. Anda tidak perlu lebih dari lima atau enam detik untuk menghitung ekspresi dua digit.

Tapi itu tidak semua. Bagi mereka yang teknik yang ditunjukkan tampaknya tidak cukup cepat dan tidak cukup keren, saya menyarankan lebih banyak lagi cara cepat perkalian, yang, bagaimanapun, tidak bekerja untuk semua tugas, tetapi hanya untuk tugas-tugas yang berbeda satu dari kelipatan 10. Dalam pelajaran kita, ada empat nilai seperti itu: 51, 21, 81 dan 39.

Tampaknya jauh lebih cepat, kami sudah menghitungnya secara harfiah dalam beberapa baris. Tetapi, pada kenyataannya, adalah mungkin untuk mempercepat, dan ini dilakukan sebagai berikut. Kami menuliskan nilainya, kelipatan sepuluh, yang paling dekat dengan yang diinginkan. Sebagai contoh, mari kita ambil 51. Oleh karena itu, untuk memulai, kita akan menaikkan lima puluh:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Nilai yang merupakan kelipatan sepuluh jauh lebih mudah dikuadratkan. Dan sekarang kita cukup menambahkan lima puluh dan 51 ke ekspresi aslinya.Jawabannya akan sama:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Begitu juga dengan semua angka yang berbeda satu.

Jika nilai yang kita cari lebih besar dari yang kita pikirkan, maka kita menambahkan angka ke kuadrat yang dihasilkan. Jika angka yang diinginkan lebih kecil, seperti dalam kasus 39, maka saat melakukan tindakan, nilainya harus dikurangi dari kuadrat. Mari kita berlatih tanpa menggunakan kalkulator:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Seperti yang Anda lihat, dalam semua kasus jawabannya sama. Lebih-lebih lagi, teknik ini berlaku untuk setiap nilai yang berdekatan. Sebagai contoh:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

Pada saat yang sama, kita tidak perlu mengingat perhitungan kuadrat dari jumlah dan perbedaan sama sekali dan menggunakan kalkulator. Kecepatan kerja tak terpuji. Oleh karena itu, ingatlah, amalkan dan gunakan dalam amalan.

Poin-poin penting

Dengan teknik ini, Anda dapat dengan mudah melakukan perkalian apapun bilangan asli mulai dari 10 hingga 100. Selain itu, semua perhitungan dilakukan secara lisan, tanpa kalkulator dan bahkan tanpa kertas!

Pertama, ingat kuadrat nilai yang merupakan kelipatan 10:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\akhir(sejajarkan)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4)))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\akhir(sejajarkan)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\akhir(sejajarkan)\]

Bagaimana cara menghitung lebih cepat

Tapi itu tidak semua! Dengan menggunakan ungkapan-ungkapan ini, Anda dapat langsung mengkuadratkan angka-angka yang "berdekatan" dengan angka referensi. Misalnya, kita tahu 152 (nilai referensi), tetapi kita perlu menemukan 142 (angka yang berdekatan yang kurang satu dari referensi). Mari menulis:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\akhir(sejajarkan)\]

Harap dicatat: tidak ada mistisisme! Kuadrat angka-angka yang berbeda dengan 1 memang diperoleh dengan mengalikan angka referensi sendiri dengan mengurangi atau menambahkan dua nilai:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\akhir(sejajarkan)\]

Mengapa ini terjadi? Mari kita tuliskan rumus kuadrat dari jumlah (dan selisih). Biarkan $n$ menjadi nilai referensi kami. Kemudian mereka menghitung seperti ini:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- ini adalah rumusnya.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(selaras)\]

- rumus serupa untuk angka yang lebih besar dari 1.

Saya harap teknik ini akan menghemat waktu Anda pada semua tes dan ujian penting dalam matematika. Dan itu semua untukku. Sampai jumpa!

Mengkuadratkan angka tiga digit- tampilan keterampilan yang mengesankan dalam sihir mental. Sama seperti ketika mengkuadratkan angka dua digit, itu dibulatkan ke atas atau sisi yang lebih kecil untuk mendapatkan kelipatan 10, untuk menguadratkan bilangan tiga angka, Anda perlu membulatkannya ke atas atau ke bawah untuk mendapatkan kelipatan 100. Mari kuadratkan bilangan 193.

Dengan membulatkan 193 menjadi 200 (faktor kedua menjadi 186), soal 3-kali-3 menjadi lebih tipe sederhana"3 kali 1" karena 200 x 186 hanya 2 x 186 = 372 dengan dua angka nol di akhir. Hampir selesai! Sekarang yang harus Anda lakukan adalah menambahkan 7 2 = 49 dan dapatkan jawabannya - 37249.

Mari kita coba kuadratkan 706.

Saat membulatkan angka 706 menjadi 700, Anda juga perlu mengubah angka yang sama sebanyak 6 untuk mendapatkan 712.

Karena 712 x 7 = 4984 (masalah 3 per 1 sederhana), 712 x 700 = 498400. Menjumlahkan 62 = 36 menghasilkan 498436.

Contoh terbaru tidak begitu menakutkan, karena mereka tidak termasuk penambahan seperti itu. Selain itu, Anda hafal apa 6 2 dan 7 2 sama dengan. Mengkuadratkan angka yang lebih dari 10 unit dari kelipatan 100 jauh lebih sulit. Coba tangan Anda dengan 314 2 .

Dalam contoh ini, angka 314 dikurangi 14 untuk dibulatkan menjadi 300 dan ditambah 14 menjadi 328. Kalikan 328 x 3 = 984 dan tambahkan dua nol di akhir untuk mendapatkan 98.400. Kemudian tambahkan kuadrat 14. Jika Anda langsung datang untuk diingat (terima kasih memori atau perhitungan cepat) bahwa 14 2 = 196, maka Anda dalam kondisi yang baik. Kemudian cukup tambahkan 98.400 + 196 untuk mendapatkan jawaban akhir 98.596.

Jika Anda perlu waktu untuk menghitung 142, ulangi "98400" beberapa kali sebelum melanjutkan. Jika tidak, Anda dapat menghitung 14 2 \u003d 196 dan lupa ke nomor mana Anda perlu menambahkan produk.

Jika Anda memiliki audiens yang ingin Anda kagumi, Anda dapat mengucapkan "279.000" dengan lantang sebelum menemukan 292. Tapi itu tidak akan berhasil untuk setiap masalah yang Anda selesaikan.

Misalnya, coba kuadratkan 636.

Sekarang otak Anda benar-benar bekerja, bukan?

Ingatlah untuk mengulangi "403200" untuk diri sendiri beberapa kali saat Anda menguadratkan 36 dengan cara biasa untuk mendapatkan 1296. Bagian tersulit adalah menjumlahkan 1296 + 403200. Lakukan ini satu digit setiap kali, dari kiri ke kanan, dan Anda mendapatkan jawabannya 404496 Saya berjanji kepada Anda bahwa setelah Anda menjadi lebih akrab dengan mengkuadratkan angka dua digit, masalah tiga digit akan menjadi jauh lebih mudah.

Ini lebih banyak contoh kompleks: 863 2 .

Masalah pertama adalah memutuskan angka mana yang akan dikalikan. Tidak diragukan lagi, salah satunya akan menjadi 900, dan yang lainnya akan lebih dari 800. Tapi yang mana? Ini dapat dihitung dengan dua cara.

1. Cara yang sulit: perbedaan antara 863 dan 900 adalah 37 (pelengkap untuk 63), kurangi 37 dari 863 dan dapatkan 826.

2. Cara mudah: gandakan angka 63, kita dapatkan 126, sekarang kita tambahkan dua digit terakhir dari angka ini ke angka 800, yang pada akhirnya akan menghasilkan 826.

Begini cara kerjanya jalan mudah. Karena kedua bilangan tersebut memiliki selisih yang sama dengan bilangan 863, maka jumlah keduanya harus sama dengan dua kali bilangan 863, yaitu 1726. Salah satu bilangan adalah 900, maka bilangan lainnya akan sama dengan 826.

Kemudian kami melakukan perhitungan berikut.

Jika Anda kesulitan mengingat 743.400 setelah mengkuadratkan 37, jangan berkecil hati. Dalam bab-bab berikut, Anda akan mempelajari sistem mnemonik dan belajar cara menghafal angka-angka tersebut.

Cobalah tangan Anda pada tugas yang paling sulit sejauh ini - mengkuadratkan angka 359.

Untuk mendapatkan 318, kurangi 41 (komplemen 59) dari 359, atau kalikan 2 x 59 = 118 dan gunakan dua digit terakhir. Selanjutnya, kalikan 400 x 318 = 127.200. Menambahkan 412 = 1681 ke angka ini akan menghasilkan total 128.881. Itu dia! Jika Anda melakukan semuanya dengan benar pertama kali, selamat!

Mari kita akhiri bagian besar ini, tapi tugas yang mudah: hitung 987 2 .

SEBUAH LATIHAN: ANGKA TIGA DIGITAL KOTAK

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Ada apa di balik pintu nomor 1?

Banalitas matematika tahun 1991, yang membingungkan semua orang, adalah artikel oleh Marilyn Savant - wanita dengan IQ tertinggi di dunia (yang terdaftar di Guinness Book of Records) - di majalah Parade. Paradoks ini kemudian dikenal sebagai "masalah Monty Hall" dan adalah sebagai berikut.

Anda adalah peserta dalam acara Monty Hall Let's Make a Deal. Tuan rumah memberi Anda kesempatan untuk memilih salah satu dari tiga pintu, di belakang salah satunya adalah hadiah besar, di belakang dua lainnya - kambing. Katakanlah Anda memilih pintu nomor 2. Tapi sebelum menunjukkan apa yang ada di balik pintu itu, Monty membuka pintu nomor 3. Ada seekor kambing. Sekarang, dengan cara menggoda, Monty bertanya kepada Anda: apakah Anda ingin membuka pintu nomor 2 atau berani melihat apa yang ada di balik pintu nomor 1? Apa yang harus Anda lakukan? Dengan asumsi bahwa Monty akan memberitahu Anda di mana hadiah utama tidak, dia akan selalu membuka salah satu pintu "penghiburan". Ini memberi Anda pilihan: satu pintu dengan hadiah besar, dan yang kedua dengan hadiah hiburan. Sekarang peluang Anda adalah 50/50, bukan?

Tapi tidak! Peluang Anda melakukannya dengan benar untuk pertama kalinya masih 1 banding 3. Peluang hadiah besar berada di balik pintu lain meningkat menjadi 2/3 karena probabilitasnya harus berjumlah 1.

Jadi, dengan mengubah pilihan Anda, Anda akan menggandakan peluang Anda untuk menang! (Masalahnya mengasumsikan bahwa Monty akan selalu memberi pemain kesempatan untuk melakukannya pilihan baru, menunjukkan pintu "tidak menang", dan ketika pilihan pertama Anda benar, akan membuka pintu "tidak menang" secara acak.) Pikirkan tentang permainan dengan sepuluh pintu. Mintalah fasilitator membuka delapan pintu "tidak menang" setelah pilihan pertama Anda. Di sini, insting Anda cenderung meminta Anda untuk mengubah pintu. Orang biasanya membuat kesalahan dengan berpikir bahwa jika Monty Hall tidak tahu di mana hadiah utama berada dan membuka pintu #3, yang berakhir dengan seekor kambing (meskipun mungkin ada hadiahnya), maka pintu #1 memiliki peluang 50 persen menjadi orang yang benar. Alasan seperti itu bertentangan kewajaran Namun, Marilyn Savant menerima tumpukan surat (banyak dari ilmuwan, dan bahkan matematikawan) yang mengatakan bahwa dia seharusnya tidak menulis tentang matematika. Tentu saja, semua orang ini salah.

Pertimbangkan sekarang kuadrat dari binomial dan, menerapkan sudut pandang aritmatika, kita akan berbicara tentang kuadrat jumlah, yaitu (a + b)² dan kuadrat selisih dua angka, yaitu (a - b)² .

Karena (a + b)² = (a + b) (a + b),

maka kita menemukan: (a + b) (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², mis.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Penting untuk mengingat hasil ini baik dalam bentuk persamaan di atas maupun dalam kata-kata: kuadrat dari jumlah dua angka sama dengan kuadrat bilangan pertama ditambah hasil kali dua kali bilangan pertama kali bilangan kedua, ditambah kuadrat dari bilangan kedua.

Mengetahui hasil ini, kita dapat langsung menulis, misalnya:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Mari kita lihat contoh kedua ini. Kita perlu mengkuadratkan jumlah dua angka: angka pertama adalah 3ab, yang kedua adalah 1. Seharusnya menjadi: 1) kuadrat dari angka pertama, yaitu (3ab)², yang sama dengan 9a²b²; 2) hasil kali dua dengan bilangan pertama dan kedua, yaitu 2 3ab 1 = 6ab; 3) kuadrat dari angka ke-2, yaitu 1² \u003d 1 - ketiga suku ini harus dijumlahkan.

Dengan cara yang sama, kita mendapatkan rumus untuk mengkuadratkan selisih dua bilangan, yaitu untuk (a - b)²:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

yaitu, kuadrat selisih dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama, dikurangi hasil kali dua dengan bilangan pertama dan kedua, ditambah kuadrat bilangan kedua.

Mengetahui hasil ini, kita dapat segera melakukan kuadrat dari binomial yang mewakili, dari sudut pandang aritmatika, perbedaan dua angka.

(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2, dll.

Mari kita jelaskan contoh ke-2. Di sini kita memiliki perbedaan dua angka dalam tanda kurung: angka pertama 5ab 3 dan angka kedua 3a 2 b. Hasilnya harus: 1) kuadrat dari bilangan pertama, yaitu (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) hasil kali dua dengan bilangan ke-1 dan ke-2, yaitu 2 5ab 3 3a 2 b = 30a 3 b 4 dan 3) kuadrat dari bilangan kedua, yaitu (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; suku pertama dan ketiga harus diambil dengan plus, dan suku ke-2 dengan minus, kita mendapatkan 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Untuk memperjelas contoh ke-4, kita hanya mencatat bahwa 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponen harus dikalikan dengan 2 dan 2) hasil kali dua dengan angka ke-1 dan ke-2 = 2 a n-1 a = 2a n .

Jika kita mengambil sudut pandang aljabar, maka kedua persamaan: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² dan 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² menyatakan hal yang sama, yaitu: kuadrat binomial sama dengan kuadrat dari suku pertama, ditambah hasil kali bilangan (+2) dikalikan dengan suku pertama dan kedua, ditambah kuadrat dari suku kedua. Ini jelas, karena persamaan kita dapat ditulis ulang sebagai:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) (+a) (-b) + (-b)²

Dalam beberapa kasus, lebih mudah untuk menafsirkan persamaan yang diperoleh dengan cara ini:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Di sini binomial dikuadratkan, suku pertama = -4a dan suku kedua = -3b. Kemudian kita mendapatkan (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² dan akhirnya:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Juga dimungkinkan untuk memperoleh dan mengingat rumus untuk mengkuadratkan suatu trinomial, suatu segi empat, dan secara umum polinomial apa pun. Namun, kita tidak akan melakukannya, karena kita jarang harus menggunakan rumus ini, dan jika kita perlu mengkuadratkan polinomial apa pun (kecuali binomial), maka kita akan mengurangi soal menjadi perkalian. Sebagai contoh:

31. Terapkan 3 persamaan yang diperoleh, yaitu:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

untuk aritmatika.

Biarkan 41 39. Kemudian kita dapat menyatakannya dalam bentuk (40 + 1) (40 - 1) dan mengurangi masalah menjadi persamaan pertama - kita mendapatkan 40² - 1 atau 1600 - 1 \u003d 1599. Berkat ini , mudah untuk melakukan perkalian seperti 21 19; 22 18; 31 29; 32 28; 71 69 dll.

Biarkan 41 41; sama dengan 41² atau (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Juga 35 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Jika Anda membutuhkan 37 37, maka itu sama dengan (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Perkalian seperti itu (atau mengkuadratkan angka dua digit) mudah dilakukan, dengan beberapa keterampilan, dalam pikiran.