Akhirnya, saya mendapatkan topik yang luas dan telah lama ditunggu-tunggu geometri analitik . Pertama, sedikit tentang bagian matematika tingkat tinggi ini…. Tentunya Anda sekarang ingat kursus geometri sekolah dengan banyak teorema, buktinya, gambarnya, dll. Apa yang harus disembunyikan, subjek yang tidak disukai dan sering kali tidak jelas bagi sebagian besar siswa. Geometri analitik, anehnya, mungkin tampak lebih menarik dan mudah diakses. Apa arti kata sifat "analitis"? Dua ekspresi matematika yang dicap segera muncul di benak: "metode solusi grafis" dan " metode analitis solusi". Metode grafis , tentu saja, terkait dengan konstruksi grafik, gambar. analitis sama metode melibatkan pemecahan masalah dominan melalui operasi aljabar. Dalam hal ini, algoritma untuk menyelesaikan hampir semua masalah geometri analitik sederhana dan transparan, seringkali cukup akurat untuk diterapkan rumus yang diperlukan- dan jawabannya sudah siap! Tidak, tentu saja, itu tidak akan berhasil tanpa gambar sama sekali, selain itu, untuk pemahaman materi yang lebih baik, saya akan mencoba membawanya melebihi kebutuhan.

Kursus terbuka pelajaran dalam geometri tidak mengklaim sebagai kelengkapan teoretis, itu difokuskan pada pemecahan masalah praktis. Saya akan memasukkan dalam kuliah saya hanya apa, dari sudut pandang saya, yang penting dalam secara praktis. Jika Anda membutuhkan lebih banyak bantuan penuh pada subbagian apa pun, saya merekomendasikan yang berikut ini sepenuhnya literatur yang tersedia:

1) Suatu hal yang, bukan lelucon, akrab bagi beberapa generasi: Buku sekolah tentang geometri, penulis- L.S. Atanasyan dan Perusahaan. Gantungan ruang ganti sekolah ini telah bertahan 20 (!) reissues, yang tentu saja bukan batasnya.

2) Geometri dalam 2 volume. Para penulis L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ini adalah sastra untuk sekolah menengah atas, Anda akan perlu volume pertama. Tugas yang jarang terjadi mungkin keluar dari bidang penglihatan saya, dan tutorial akan memberikan bantuan yang sangat berharga.

Kedua buku ini gratis untuk diunduh secara online. Juga, Anda dapat menggunakan arsip saya dengan solusi siap pakai, yang dapat ditemukan di halaman Unduh contoh matematika yang lebih tinggi.

Dari alat, saya kembali menawarkan pengembangan saya sendiri - paket perangkat lunak pada geometri analitik, yang akan sangat menyederhanakan hidup dan menghemat banyak waktu.

Diasumsikan bahwa pembaca sudah familiar dengan dasar konsep geometris dan angka: titik, garis, bidang, segitiga, jajaran genjang, paralelepiped, kubus, dll. Dianjurkan untuk mengingat beberapa teorema, setidaknya teorema Pythagoras, hello repeater)

Dan sekarang kita akan mempertimbangkan secara berurutan: konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor. Selanjutnya saya sarankan membaca artikel terpenting Hasil kali titik dari vektor, sebaik Vektor dan produk campuran dari vektor. Tugas lokal tidak akan berlebihan - Pembagian segmen dalam hal ini. Berdasarkan informasi di atas, Anda dapat persamaan garis lurus pada bidang dengan contoh solusi paling sederhana, yang akan memungkinkan belajar bagaimana memecahkan masalah dalam geometri. Artikel berikut juga bermanfaat: Persamaan bidang di luar angkasa, Persamaan garis lurus dalam ruang, Masalah dasar pada garis dan bidang , bagian lain dari geometri analitik. Secara alami, tugas standar akan dipertimbangkan di sepanjang jalan.

Konsep vektor. vektor gratis

Pertama, mari kita ulangi definisi sekolah dari sebuah vektor. vektor ditelepon diarahkan segmen yang awal dan akhirnya ditunjukkan:

PADA kasus ini awal segmen adalah titik, akhir segmen adalah titik. Vektor itu sendiri dilambangkan dengan . Arah sangat penting, jika Anda mengatur ulang panah ke ujung segmen yang lain, Anda mendapatkan vektor, dan ini sudah vektor yang sama sekali berbeda. Lebih mudah untuk mengidentifikasi konsep vektor dengan gerakan tubuh fisik: setuju, untuk memasuki pintu institut atau meninggalkan pintu institut adalah hal yang sama sekali berbeda.

Lebih mudah untuk mempertimbangkan titik individu dari sebuah pesawat, ruang sebagai apa yang disebut vektor nol. Vektor semacam itu memiliki akhir dan awal yang sama.

!!! Catatan: Di sini dan di bawah, Anda dapat mengasumsikan bahwa vektor terletak pada bidang yang sama atau Anda dapat mengasumsikan bahwa mereka terletak di ruang - inti dari materi yang disajikan berlaku untuk bidang dan ruang.

Sebutan: Banyak yang segera menarik perhatian pada tongkat tanpa panah di penunjukan dan mengatakan bahwa mereka juga meletakkan panah di atas! Itu benar, Anda dapat menulis dengan panah: , tetapi dapat diterima dan catatan yang akan saya gunakan nanti. Mengapa? Rupanya, kebiasaan seperti itu berkembang dari pertimbangan praktis, penembak saya di sekolah dan universitas ternyata terlalu beragam dan lusuh. PADA sastra pendidikan kadang-kadang mereka tidak peduli dengan tulisan paku sama sekali, tetapi sorot huruf dalam huruf tebal: , menyiratkan bahwa itu adalah vektor.

Itu gayanya, dan sekarang tentang cara menulis vektor:

1) Vektor dapat ditulis dalam dua huruf Latin kapital:
dll. Sedangkan huruf pertama perlu menunjukkan titik awal vektor, dan huruf kedua menunjukkan titik akhir vektor.

2) Vektor juga ditulis dalam huruf latin kecil:
Secara khusus, vektor kami dapat dilambangkan kembali untuk singkatnya dengan yang kecil huruf latin.

Panjang atau modul vektor tak nol disebut panjang segmen. Panjang vektor nol adalah nol. Logikanya.

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda modulo: ,

Bagaimana menemukan panjang vektor, kita akan belajar (atau ulangi, untuk siapa caranya) nanti.

Itu tadi informasi dasar tentang vektor yang sudah tidak asing lagi bagi semua anak sekolah. Dalam geometri analitik, yang disebut vektor gratis.

Jika itu cukup sederhana - vektor dapat ditarik dari titik manapun:

Kita biasa menyebut vektor-vektor tersebut sama (definisi dari vektor-vektor yang sama akan diberikan di bawah), tetapi murni dengan titik matematika visi adalah VEKTOR SAMA atau vektor gratis. Mengapa gratis? Karena dalam memecahkan masalah Anda dapat "melampirkan" satu atau lain vektor ke titik APAPUN dari bidang atau ruang yang Anda butuhkan. Ini adalah properti yang sangat keren! Bayangkan sebuah vektor dengan panjang dan arah yang berubah-ubah - itu dapat "dikloning" dalam jumlah tak terbatas dan pada titik mana pun di ruang angkasa, pada kenyataannya, itu ada DI MANA SAJA. Ada pepatah mahasiswa seperti itu: Setiap dosen di f**u di vektor. Lagi pula, bukan hanya sajak yang lucu, semuanya benar secara matematis - sebuah vektor juga dapat dilampirkan di sana. Tapi jangan buru-buru bergembira, siswa sendiri lebih sering menderita =)

Jadi, vektor gratis- Ini sekelompok segmen arah yang identik. definisi sekolah vektor, diberikan di awal paragraf: "Segmen berarah disebut vektor ...", menyiratkan spesifik segmen diarahkan diambil dari set tertentu, yang melekat pada titik tertentu di pesawat atau ruang.

Perlu dicatat bahwa dari sudut pandang fisika, konsep vektor bebas di kasus umum tidak benar, dan titik penerapan vektor penting. Memang, pukulan langsung dengan kekuatan yang sama di hidung atau di dahi sudah cukup untuk mengembangkan contoh bodoh saya konsekuensi yang berbeda. Namun, tidak gratis vektor juga ditemukan dalam perjalanan vyshmat (jangan pergi ke sana :)).

Tindakan dengan vektor. Kolinearitas vektor

Dalam kursus geometri sekolah, sejumlah tindakan dan aturan dengan vektor dipertimbangkan: penjumlahan menurut aturan segitiga, penjumlahan menurut aturan genjang, aturan selisih vektor, perkalian vektor dengan bilangan, perkalian skalar vektor, dll. Sebagai benih, kami mengulangi dua aturan yang sangat relevan untuk memecahkan masalah geometri analitik.

Aturan penjumlahan vektor menurut aturan segitiga

Pertimbangkan dua vektor non-nol arbitrer dan:

Diperlukan untuk menemukan jumlah dari vektor-vektor ini. Karena kenyataan bahwa semua vektor dianggap bebas, kami menunda vektor dari akhir vektor :

Jumlah vektor adalah vektor . Untuk pemahaman yang lebih baik tentang aturan, disarankan untuk memasukkan makna fisik ke dalamnya: biarkan beberapa benda membuat jalur di sepanjang vektor , dan kemudian di sepanjang vektor . Maka jumlah vektornya adalah vektor lintasan yang dihasilkan mulai dari titik berangkat dan berakhir di titik kedatangan. Aturan serupa dirumuskan untuk jumlah sejumlah vektor. Seperti yang mereka katakan, tubuh dapat berjalan dengan kuat zigzag, atau mungkin dengan autopilot - di sepanjang vektor jumlah yang dihasilkan.

Omong-omong, jika vektor ditunda dari Mulailah vektor , maka kita mendapatkan ekuivalennya aturan jajaran genjang penambahan vektor.

Pertama, tentang kolinearitas vektor. Kedua vektor tersebut disebut kolinear jika mereka terletak pada garis yang sama atau pada garis sejajar. Secara kasar, kita berbicara tentang vektor paralel. Tetapi sehubungan dengan mereka, kata sifat "collinear" selalu digunakan.

Bayangkan dua vektor collinear. Jika panah-panah dari vektor-vektor ini diarahkan pada arah yang sama, maka vektor-vektor tersebut disebut searah. Jika panah menunjuk ke sisi yang berbeda, maka vektornya adalah berlawanan arah.

Sebutan: kolinearitas vektor ditulis dengan ikon paralelisme biasa: , sementara perincian dimungkinkan: (vektor diarahkan bersama) atau (vektor diarahkan berlawanan).

kerja dari vektor bukan nol oleh nomor adalah vektor yang panjangnya sama dengan , dan vektor dan co-diarahkan dan berlawanan diarahkan pada .

Aturan untuk mengalikan vektor dengan angka lebih mudah dipahami dengan gambar:

Kami memahami lebih detail:

1 arah. Jika pengalinya negatif, maka vektor berubah arah ke sebaliknya.

2) Panjang. Jika faktor tersebut terdapat di dalam atau , maka panjang vektor berkurang. Jadi, panjang vektor adalah dua kali lebih kecil dari panjang vektor . Jika pengali modulo lebih besar dari satu, maka panjang vektor meningkat pada waktunya.

3) Harap dicatat bahwa semua vektor adalah collinear, sedangkan satu vektor diekspresikan melalui vektor lain, misalnya . Kebalikannya juga benar: jika satu vektor dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain, maka vektor-vektor tersebut harus kolinear. Dengan demikian: jika kita mengalikan vektor dengan angka, kita mendapatkan collinear(relatif terhadap aslinya) vektor.

4) Vektor adalah codirectional. Vektor dan juga codirectional. Setiap vektor dari grup pertama berlawanan dengan vektor grup kedua.

Vektor apa yang sama?

Dua buah vektor adalah sama jika keduanya searah dan memiliki panjang yang sama. Perhatikan bahwa co-direction menyiratkan bahwa vektor-vektornya adalah collinear. Definisi tersebut akan menjadi tidak akurat (berlebihan) jika Anda mengatakan: "Dua vektor adalah sama jika mereka segaris, berarah bersama, dan memiliki panjang yang sama."

Dari sudut pandang konsep vektor bebas, vektor yang sama adalah vektor yang sama, yang telah dibahas pada paragraf sebelumnya.

Koordinat vektor di pesawat dan di luar angkasa

Poin pertama adalah mempertimbangkan vektor pada bidang. Mari kita gambarkan Cartesian sistem persegi panjang koordinat dan dari asal kita sisihkan lajang vektor dan :

Vektor dan ortogonal. Ortogonal = Tegak Lurus. Saya sarankan perlahan-lahan membiasakan diri dengan istilah: alih-alih paralelisme dan tegak lurus, kami menggunakan kata-kata masing-masing kolinearitas dan ortogonalitas.

Penamaan: ortogonalitas vektor ditulis dengan tanda tegak lurus biasa, misalnya: .

Vektor yang dipertimbangkan disebut koordinat vektor atau ort. Vektor-vektor ini membentuk dasar di permukaan. Apa dasarnya, saya pikir, secara intuitif jelas bagi banyak orang, lebih banyak lagi Informasi rinci dapat ditemukan di artikel Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor.Dengan kata sederhana, dasar dan asal koordinat mengatur seluruh sistem - ini adalah semacam fondasi di mana kehidupan geometris yang penuh dan kaya mendidih.

Kadang-kadang dasar yang dibangun disebut ortonormal dasar bidang: "ortho" - karena koordinat vektor ortogonal, kata sifat "dinormalisasi" berarti tunggal, yaitu. panjang vektor basis sama dengan satu.

Penamaan: basis biasanya ditulis dalam tanda kurung, di dalamnya dalam urutan yang ketat vektor basis terdaftar, misalnya: . Vektor koordinat itu dilarang bertukar tempat.

Setiap vektor pesawat satu-satunya jalan diekspresikan sebagai:
, di mana - angka, yang disebut koordinat vektor dalam dasar ini. Tapi ekspresi itu sendiri ditelepon dekomposisi vektordasar .

Makan malam disajikan:

Mari kita mulai dengan huruf pertama dari alfabet: . Gambar dengan jelas menunjukkan bahwa ketika menguraikan vektor dalam hal basis, yang baru saja dipertimbangkan digunakan:
1) aturan perkalian vektor dengan angka: dan ;
2) penambahan vektor menurut aturan segitiga: .

Sekarang secara mental kesampingkan vektor dari titik lain di pesawat. Cukup jelas bahwa korupsinya akan "tanpa henti mengikutinya". Ini dia, kebebasan vektor - vektor "membawa segalanya bersamamu." Properti ini, tentu saja, berlaku untuk vektor apa pun. Lucu bahwa basis (gratis) vektor itu sendiri tidak harus dikesampingkan dari asalnya, satu dapat digambar, misalnya, di kiri bawah, dan yang lainnya di kanan atas, dan tidak ada yang akan berubah dari ini! Benar, Anda tidak perlu melakukan ini, karena guru juga akan menunjukkan orisinalitas dan memberi Anda "lulus" di tempat yang tidak terduga.

Vektor , menggambarkan dengan tepat aturan untuk mengalikan vektor dengan angka, vektor diarahkan bersama dengan vektor basis , vektor diarahkan berlawanan dengan vektor basis . Untuk vektor-vektor ini, salah satu koordinatnya sama dengan nol, dapat ditulis dengan cermat sebagai berikut:


Dan vektor dasar, omong-omong, seperti ini: (sebenarnya, mereka diekspresikan melalui diri mereka sendiri).

Dan akhirnya: , . Omong-omong, apa itu pengurangan vektor, dan mengapa saya tidak memberi tahu Anda tentang aturan pengurangan? Di suatu tempat di aljabar linier, saya tidak ingat di mana, saya mencatat bahwa pengurangan adalah kasus khusus dari penambahan. Jadi, ekspansi dari vektor "de" dan "e" ditulis dengan tenang sebagai jumlah: . Susun ulang suku-suku di tempat dan ikuti gambar seberapa jelas penjumlahan lama yang baik dari vektor-vektor menurut aturan segitiga bekerja dalam situasi-situasi ini.

Dianggap dekomposisi bentuk kadang-kadang disebut dekomposisi vektor dalam sistem ort(yaitu dalam sistem vektor satuan). Tapi ini bukan satu-satunya cara untuk menulis vektor, opsi berikut ini umum:

Atau dengan tanda sama dengan:

Vektor basis itu sendiri ditulis sebagai berikut: dan

Artinya, koordinat vektor ditunjukkan dalam tanda kurung. PADA tugas praktek Ketiga opsi digunakan.

Saya ragu apakah akan berbicara, tetapi saya tetap akan mengatakan: koordinat vektor tidak dapat diatur ulang. Benar-benar di tempat pertama tuliskan koordinat yang sesuai dengan vektor satuan , ketat di tempat kedua tuliskan koordinat yang sesuai dengan vektor satuan . Memang, dan adalah dua vektor yang berbeda.

Kami menemukan koordinat di pesawat. Sekarang perhatikan vektor dalam ruang tiga dimensi, semuanya hampir sama di sini! Hanya satu koordinat lagi yang akan ditambahkan. Sulit untuk melakukan gambar tiga dimensi, jadi saya akan membatasi diri pada satu vektor, yang untuk kesederhanaan akan saya tunda dari asalnya:

Setiap vektor ruang 3d satu-satunya jalan memperluas secara ortonormal:
, di mana adalah koordinat vektor (angka) dalam basis yang diberikan.

Contoh dari gambar: . Mari kita lihat bagaimana aturan tindakan vektor bekerja di sini. Pertama, mengalikan vektor dengan angka: (panah merah), (panah hijau) dan (panah magenta). Kedua, berikut adalah contoh penjumlahan beberapa, dalam hal ini tiga, vektor: . Jumlah vektor dimulai dari titik pangkal keberangkatan (awal vektor ) dan menusuk titik akhir kedatangan (akhir vektor ).

Semua vektor ruang tiga dimensi, tentu saja, juga bebas, coba tunda vektor secara mental dari titik lain mana pun, dan Anda akan memahami bahwa ekspansinya "tetap bersamanya".

Sama halnya dengan case pesawat, selain tulisan versi dengan tanda kurung banyak digunakan: baik .

Jika satu (atau dua) vektor koordinat hilang dalam ekspansi, maka nol diletakkan sebagai gantinya. Contoh:
vektor (dengan cermat ) – tuliskan ;
vektor (dengan cermat ) – tuliskan ;
vektor (dengan cermat ) – tuliskan .

Vektor basis ditulis sebagai berikut:

Di sini, mungkin, semuanya minimum pengetahuan teoretis diperlukan untuk memecahkan masalah geometri analitik. Mungkin ada terlalu banyak istilah dan definisi, jadi saya sarankan untuk membaca ulang dan memahaminya informasi ini lagi. Dan itu akan berguna bagi pembaca mana pun dari waktu ke waktu untuk merujuk ke pelajaran dasar untuk pemahaman materi yang lebih baik. Kolinearitas, ortogonalitas, basis ortonormal, dekomposisi vektor - konsep ini dan lainnya akan sering digunakan dalam hal berikut. Saya perhatikan bahwa bahan situs tidak cukup untuk lulus tes teoretis, kolokium dalam geometri, karena saya dengan hati-hati mengenkripsi semua teorema (dan tanpa bukti) - dengan merugikan gaya ilmiah presentasi, tapi plus untuk pemahaman Anda tentang subjek. Untuk informasi teoretis yang terperinci, saya meminta Anda untuk tunduk pada Profesor Atanasyan.

Sekarang mari kita beralih ke bagian praktis:

Masalah paling sederhana dari geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat

Tugas yang akan dipertimbangkan, sangat diinginkan untuk mempelajari cara menyelesaikannya sepenuhnya secara otomatis, dan rumusnya menghafal, bahkan tidak mengingatnya dengan sengaja, mereka akan mengingatnya sendiri =) Ini sangat penting, karena masalah lain dari geometri analitik didasarkan pada contoh dasar yang paling sederhana, dan akan menjengkelkan untuk dihabiskan waktu tambahan untuk makan pion. Anda tidak perlu mengencangkan kancing atas di baju Anda, banyak hal yang akrab bagi Anda dari sekolah.

Penyajian materi akan mengikuti kursus paralel - baik untuk bidang maupun untuk ruang. Karena semua rumus ... Anda akan lihat sendiri.

Bagaimana menemukan vektor yang diberikan dua titik?

Jika dua titik bidang dan diberikan, maka vektor memiliki koordinat sebagai berikut:

Jika dua titik dalam ruang dan diberikan, maka vektor memiliki koordinat berikut:

Yaitu, dari koordinat ujung vektor Anda perlu mengurangi koordinat yang sesuai awal vektor.

Latihan: Untuk titik yang sama, tuliskan rumus untuk mencari koordinat vektor. Rumus di akhir pelajaran.

Contoh 1

Diberikan dua titik di pesawat dan . Temukan koordinat vektor

Keputusan: sesuai dengan rumus yang sesuai:

Sebagai alternatif, notasi berikut dapat digunakan:

Estetika akan memutuskan seperti ini:

Secara pribadi, saya sudah terbiasa dengan versi pertama dari rekaman.

Menjawab:

Menurut kondisinya, tidak perlu membuat gambar (yang khas untuk masalah geometri analitik), tetapi untuk menjelaskan beberapa poin ke boneka, saya tidak akan terlalu malas:

Harus dipahami perbedaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:

Koordinat titik adalah koordinat biasa dalam sistem koordinat persegi panjang. Sisihkan poin untuk bidang koordinat Saya pikir semua orang bisa melakukannya dari kelas 5-6. Setiap titik memiliki tempat yang ketat di pesawat, dan Anda tidak dapat memindahkannya ke mana pun.

Koordinat vektor yang sama adalah perluasannya terhadap basis, dalam hal ini. Vektor apa pun bebas, oleh karena itu, jika perlu, kita dapat dengan mudah menundanya dari titik lain di pesawat. Menariknya, untuk vektor, Anda tidak dapat membangun sumbu sama sekali, sistem koordinat persegi panjang, Anda hanya memerlukan basis, dalam hal ini, basis ortonormal pesawat.

Catatan koordinat titik dan koordinat vektor tampaknya serupa: , dan pengertian koordinat sangat berbeda, dan Anda harus menyadari perbedaan ini. Perbedaan ini, tentu saja, juga berlaku untuk ruang.

Hadirin sekalian, kami mengisi tangan kami:

Contoh 2

a) Diberikan poin dan . Cari vektor dan .
b) Poin diberikan dan . Cari vektor dan .
c) Diberikan poin dan . Cari vektor dan .
d) Poin diberikan. Temukan Vektor .

Mungkin cukup. Ini adalah contoh untuk solusi mandiri, cobalah untuk tidak mengabaikannya, itu akan membuahkan hasil ;-). Gambar tidak diperlukan. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Apa yang penting dalam memecahkan masalah geometri analitik? Sangat penting untuk berhati-hati untuk menghindari kesalahan "dua tambah dua sama dengan nol". Sebelumnya saya mohon maaf jika ada kesalahan =)

Bagaimana cara mencari panjang segmen?

Panjangnya, sebagaimana telah dicatat, ditunjukkan oleh tanda modulus.

Jika dua titik bidang dan diberikan, maka panjang segmen dapat dihitung dengan rumus

Jika dua titik dalam ruang dan diberikan, maka panjang segmen dapat dihitung dengan rumus

Catatan: Rumus akan tetap benar jika koordinat yang sesuai ditukar: dan , tetapi opsi pertama lebih standar

Contoh 3

Keputusan: sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Untuk kejelasan, saya akan membuat gambar

Segmen garis - itu bukan vektor, dan Anda tidak dapat memindahkannya ke mana pun, tentu saja. Selain itu, jika Anda menyelesaikan gambar untuk skala: 1 unit. \u003d 1 cm (dua sel tetrad), maka jawabannya dapat diperiksa dengan penggaris biasa dengan langsung mengukur panjang segmen.

Ya, solusinya singkat, tetapi ada beberapa lagi poin penting Saya ingin mengklarifikasi:

Pertama, dalam jawaban kami menetapkan dimensi: "unit". Kondisinya tidak mengatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh karena itu, formulasi umum akan menjadi solusi yang kompeten secara matematis: "unit" - disingkat "unit".

Kedua, mari kita ulangi bahan sekolah, yang berguna tidak hanya untuk masalah yang dipertimbangkan:

perhatikan penting teknik – mengeluarkan pengganda dari bawah root. Sebagai hasil dari perhitungan, kami mendapatkan hasil dan gaya matematika yang baik melibatkan pengambilan faktor dari bawah akar (jika mungkin). Prosesnya terlihat seperti ini secara lebih rinci: . Tentu saja, meninggalkan jawaban dalam bentuk tidak akan menjadi kesalahan - tetapi jelas merupakan cacat dan argumen yang berat untuk nitpicking di pihak guru.

Berikut adalah kasus umum lainnya:

Seringkali di bawah root ternyata cukup jumlah besar, Sebagai contoh . Bagaimana menjadi dalam kasus seperti itu? Pada kalkulator, kami memeriksa apakah angka tersebut habis dibagi 4:. Ya, pisahkan seluruhnya, jadi: . Atau mungkin angkanya bisa dibagi 4 lagi? . Dengan demikian: . Digit terakhir dari angka itu ganjil, jadi membagi dengan 4 untuk ketiga kalinya jelas tidak mungkin. Mencoba untuk membagi dengan sembilan: . Hasil dari:
Siap.

Kesimpulan: jika di bawah root kami mendapatkan bilangan bulat yang tidak dapat diekstraksi, maka kami mencoba mengambil faktor dari bawah root - pada kalkulator kami memeriksa apakah angka tersebut habis dibagi: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , dll.

Selama keputusan berbagai tugas akar adalah umum, selalu mencoba untuk mengekstrak faktor dari bawah akar untuk menghindari skor yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan menyelesaikan solusi Anda sesuai dengan komentar guru.

Mari kita ulangi kuadrat dari akar dan kekuatan lain secara bersamaan:

Aturan untuk tindakan dengan derajat dalam pandangan umum dapat ditemukan di buku pelajaran sekolah dalam aljabar, tetapi, saya pikir, dari contoh yang diberikan, semuanya atau hampir semuanya sudah jelas.

Tugas untuk solusi independen dengan segmen di luar angkasa:

Contoh 4

Diberikan poin dan . Cari panjang segmennya.

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Bagaimana cara mencari panjang vektor?

Jika vektor bidang diberikan, maka panjangnya dihitung dengan rumus.

Jika vektor ruang diberikan, maka panjangnya dihitung dengan rumus .

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: perkalian silang vektor dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang itu terjadi untuk kebahagiaan penuh, di samping itu perkalian titik dari vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Begitulah kecanduan vektor. Orang mungkin mendapat kesan bahwa kita memasuki hutan geometri analitik. Ini tidak benar. Di bagian matematika tingkat tinggi ini, biasanya hanya ada sedikit kayu bakar, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih sulit daripada yang sama produk skalar, bahkan tugas khas akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang akan atau telah dilihat banyak orang, BUKAN KESALAHAN PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra, dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor berkilau di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau membeli kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat berkenalan dengan informasi secara selektif, saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan di kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang tidak perlu menyulap sama sekali, karena kami akan mempertimbangkan hanya vektor ruang, dan vektor datar dengan dua koordinat akan ditinggalkan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja di ruang tiga dimensi. Sudah lebih mudah!

Dalam operasi ini, dengan cara yang sama seperti dalam produk skalar, dua vektor. Biarlah itu menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan cara sebagai berikut: . Ada opsi lain, tetapi saya terbiasa menetapkan perkalian silang vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan salib.

Dan segera pertanyaan: jika dalam perkalian titik dari vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan, maka Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, dalam HASIL:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu, kita mengalikan vektor dan mendapatkan vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya, itulah nama operasinya. Dalam berbagai literatur pendidikan, sebutannya juga bisa bermacam-macam, saya akan menggunakan huruf.

Definisi produk silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: perkalian silang non-kolinier vektor , diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajar genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar dasar memiliki orientasi yang benar:

Kami menganalisis definisi dengan tulang, ada banyak hal menarik!

Jadi, kami dapat menyoroti poin penting berikut:

1) Vektor sumber , ditunjukkan oleh panah merah, menurut definisi tidak segaris. Kejadian vektor collinear itu akan tepat untuk dipertimbangkan nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" menjadi "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR , yang dilambangkan dengan warna biru. Jika vektor dikalikan dengan urutan terbalik, maka kita mendapatkan vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna merah). Artinya, persamaan .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan arti geometris dari produk vektor. Ini sangat poin penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah ) secara numerik sama dengan AREA jajaran genjang yang dibangun di atas vektor . Pada gambar, jajaran genjang ini diarsir dalam warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan, tentu saja, panjang nominal produk silang tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Kami ingat salah satu dari rumus geometris: luas jajar genjang sama dengan produk pihak yang berdekatan dengan sinus sudut di antara mereka. Oleh karena itu, berdasarkan hal tersebut di atas, rumus untuk menghitung PANJANG produk vektor adalah:

Saya tekankan bahwa dalam rumus kita berbicara tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya sedemikian rupa sehingga dalam masalah geometri analitik, luas jajaran genjang sering ditemukan melalui konsep produk vektor:

Mari kita luangkan waktu sebentar rumus penting. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga sama. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat ditemukan dengan rumus:

4) Tidak kurang dari fakta penting adalah bahwa vektor adalah ortogonal terhadap vektor , yaitu, . Tentu saja, vektor yang berlawanan arah (panah merah) juga ortogonal terhadap vektor aslinya .

5) Vektor diarahkan sehingga dasar Memiliki Baik orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar baru Saya telah berbicara secara rinci tentang orientasi pesawat, dan sekarang kita akan mencari tahu apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskan di jari Anda tangan kanan . Gabungkan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Hasil dari ibu jari - produk vektor akan terlihat. Ini adalah dasar berorientasi kanan (ada dalam gambar). Sekarang tukar vektor ( indeks dan jari tengah ) di beberapa tempat, sebagai hasilnya, ibu jari akan berbalik, dan produk vektor sudah akan melihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi pada hak. Mungkin Anda memiliki pertanyaan: dasar apa yang memiliki orientasi kiri? "Tugaskan" jari yang sama tangan kiri vektor , dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, basis ini "memutar" atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, cermin paling biasa mengubah orientasi ruang, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari cermin", maka secara umum tidak mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Omong-omong, bawa tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

... betapa bagusnya Anda sekarang tahu tentang berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi mengerikan =)

Produk vektor dari vektor collinear

Definisi telah dikerjakan secara rinci, masih mencari tahu apa yang terjadi ketika vektor-vektornya kolinear. Jika vektor-vektor itu kolinear, maka mereka dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajaran genjang kami juga "melipat" menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematika, merosot jajaran genjang adalah nol. Hal yang sama mengikuti dari rumus - sinus nol atau 180 derajat nol, dan karenanya luasnya nol

Jadi, jika , maka . Sebenarnya, produk vektor itu sendiri adalah vektor nol, tetapi dalam praktiknya ini sering diabaikan dan ditulis bahwa itu sama dengan nol.

kasus spesial adalah produk silang dari vektor dan dirinya sendiri:

Menggunakan produk silang, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan tugas ini antara lain, kami juga akan menganalisis.

Untuk solusi contoh praktis mungkin diperlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan api:

Contoh 1

a) Tentukan panjang perkalian vektor dari vektor-vektor jika

b) Temukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Keputusan: Tidak, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal dalam kondisi barang sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan panjang vektor (produk vektor). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Karena ditanya tentang panjangnya, maka dalam jawaban kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan kotak jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang produk silang:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa dalam jawaban tentang produk vektor tidak ada pembicaraan sama sekali, kami ditanya tentang bidang gambar, masing-masing, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang diperlukan untuk ditemukan oleh kondisi, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan bersih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada cukup literalis di antara para guru, dan tugas dengan peluang bagus akan dikembalikan untuk direvisi. Meskipun ini bukan nitpick yang terlalu tegang - jika jawabannya salah, maka orang akan mendapat kesan bahwa orang tersebut tidak mengerti hal-hal sederhana dan/atau tidak memahami esensi tugas. Momen ini harus selalu dijaga, menyelesaikan masalah apa pun matematika yang lebih tinggi dan juga pada mata pelajaran lainnya.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada prinsipnya, itu bisa juga menempel pada solusi, tetapi untuk mempersingkat catatan, saya tidak melakukannya. Saya harap semua orang mengerti itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh Populer untuk solusi independen:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk menemukan luas segitiga melalui produk vektor diberikan dalam komentar untuk definisi. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum, segitiga umumnya dapat disiksa.

Untuk menyelesaikan masalah lain, kita perlu:

Sifat-sifat perkalian silang vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti dari produk vektor, namun, saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor arbitrer dan bilangan arbitrer, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak dibedakan dalam properti, tetapi sangat penting dalam hal praktis. Jadi biarkan saja.

2) - properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor penting.

3) - kombinasi atau asosiatif hukum perkalian vektor. Konstanta dengan mudah dikeluarkan dari batas produk vektor. Sungguh, apa yang mereka lakukan di sana?

4) - distribusi atau distribusi hukum perkalian vektor. Tidak ada masalah dengan kurung buka juga.

Sebagai demonstrasi, pertimbangkan contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Keputusan: Dengan syarat, diperlukan lagi untuk mencari panjang produk vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kami mengambil konstanta di luar batas produk vektor.

(2) Kami mengeluarkan konstanta dari modul, sedangkan modul "memakan" tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Apa yang berikut ini jelas.

Menjawab:

Saatnya melempar kayu ke api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Keputusan: Cari luas segitiga menggunakan rumus . Halangannya adalah bahwa vektor "ce" dan "te" sendiri direpresentasikan sebagai jumlah vektor. Algoritme di sini adalah standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran. Hasil kali titik dari vektor. Mari kita uraikan menjadi tiga langkah untuk kejelasan:

1) Pada langkah pertama, kami mengekspresikan produk vektor melalui produk vektor, sebenarnya, nyatakan vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar tentang panjangnya!

(1) Kami mengganti ekspresi vektor .

(2) Menggunakan hukum distributif, buka kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial.

(3) Menggunakan hukum asosiatif, kami mengambil semua konstanta di luar produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, tindakan 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat menyenangkan . Pada suku kedua, kita menggunakan sifat antikomutatif dari produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Akibatnya, vektor ternyata diekspresikan melalui vektor, yang harus dicapai:

2) Pada langkah kedua, kami menemukan panjang produk vektor yang kami butuhkan. Aksi ini mengingatkan pada Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Langkah 2-3 dari solusi dapat diatur dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum di pekerjaan kontrol, berikut adalah contoh untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda ketika mempelajari contoh-contoh sebelumnya ;-)

Perkalian silang vektor dalam koordinat

, diberikan dalam basis ortonormal , dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: kami menulis vektor koordinat di garis atas determinan, kami "mengemas" koordinat vektor ke dalam baris kedua dan ketiga, dan kami menempatkan dalam urutan yang ketat- pertama, koordinat vektor "ve", lalu koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka garis juga harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini kolinear:
sebuah)
b)

Keputusan: Validasi berdasarkan salah satu asersi pelajaran ini: jika vektor-vektornya kolinear, maka hasil kali vektornya adalah nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi vektor-vektornya tidak kolinear.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua informasi dasar tentang produk vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena ada beberapa masalah di mana produk campuran vektor digunakan. Faktanya, semuanya akan bertumpu pada definisi, arti geometris dan beberapa formula kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah produk dari tiga vektor:

Beginilah cara mereka berbaris seperti kereta dan menunggu, mereka tidak bisa menunggu sampai dihitung.

Pertama lagi definisi dan gambarnya:

Definisi: Produk campuran non-koplanar vektor , diambil dalam urutan ini, disebut volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor ini, dilengkapi dengan tanda "+" jika basisnya benar, dan tanda "-" jika basisnya kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambarkan oleh garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu, permutasi vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, tidak berjalan tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya perhatikan fakta yang jelas: produk campuran vektor adalah NUMBER: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin agak berbeda, saya biasa menunjuk produk campuran melalui, dan hasil perhitungan dengan huruf "pe".

Prioritas-A produk campuran adalah volume paralelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume parallelepiped yang diberikan.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan repot-repot lagi dengan konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah bahwa tanda minus dapat ditambahkan ke volume. Secara sederhana, produk campuran bisa negatif: .

Rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor mengikuti langsung dari definisi.

7.1. Definisi produk silang

Tiga vektor non-sebidang a , b dan c , diambil dalam urutan yang ditunjukkan, membentuk rangkap tiga jika dari ujung vektor ketiga c belokan terpendek dari vektor pertama a ke vektor kedua b terlihat berlawanan arah jarum jam, dan satu kiri jika searah jarum jam (lihat Gambar. enam belas).

Produk vektor dari vektor a dan vektor b disebut vektor c, yang:

1. Tegak lurus terhadap vektor a dan b, yaitu c ^ a dan c ^ b;

2. Ini memiliki panjang numerik yang sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor a danb seperti di sisi (lihat gambar 17), yaitu.

3. Vektor a , b dan c membentuk rangkap tiga.

produk vektor dilambangkan a x b atau [a,b]. Dari definisi produk vektor, berikut hubungan antara orts yang saya ikuti secara langsung, j dan k(lihat gambar 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Mari kita buktikan, misalnya, bahwa saya xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k =1, tapi | saya x j| = | saya | |J| dosa(90°)=1;

3) vektor i , j dan k membentuk triple kanan (lihat Gambar. 16).

7.2. Properti lintas produk

1. Ketika faktor-faktor tersebut disusun kembali, produk vektor berubah tanda, yaitu. dan xb \u003d (b xa) (lihat Gambar 19).

Vektor a xb dan b xa adalah collinear, memiliki modul yang sama (luas jajaran genjang tetap tidak berubah), tetapi berlawanan arah (tiga kali lipat a, b, dan xb dan a, b, b x a dengan orientasi yang berlawanan). Itu adalah axb = -(bxa).

2. Hasil kali vektor memiliki sifat asosiatif sehubungan dengan faktor skalar, yaitu l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Misalkan l >0. Vektor l (a xb) tegak lurus terhadap vektor a dan b. Vektor ( aku kapak b juga tegak lurus terhadap vektor a dan b(vektor a, aku tetapi terletak pada bidang yang sama). Jadi vektor-vektornya aku(axb) dan ( aku kapak b kolinear. Jelas bahwa arah mereka bertepatan. Mereka memiliki panjang yang sama:

Jadi aku(axb)= aku sebuah xb. Hal ini terbukti sama untuk aku<0.

3. Dua vektor tak nol a dan b kolinear jika dan hanya jika hasil kali vektornya sama dengan vektor nol, yaitu, dan ||b<=>dan xb \u003d 0.

Secara khusus, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produk vektor memiliki sifat distribusi:

(a+b) xs = axs + b xs

Terima tanpa bukti.

7.3. Ekspresi produk silang dalam hal koordinat

Kita akan menggunakan tabel perkalian silang vektor i , j dan k :

jika arah jalur terpendek dari vektor pertama ke vektor kedua bertepatan dengan arah panah, maka produk sama dengan vektor ketiga, jika tidak cocok, vektor ketiga diambil dengan tanda minus.

Misalkan dua buah vektor a =a x i +a y j+az k dan b=bx saya+oleh j+ bz k. Mari kita cari produk vektor dari vektor-vektor ini dengan mengalikannya sebagai polinomial (sesuai dengan sifat-sifat produk vektor):

Rumus yang dihasilkan dapat ditulis lebih pendek lagi:

karena ruas kanan persamaan (7.1) sesuai dengan perluasan determinan orde ketiga dalam hal elemen baris pertama Persamaan (7.2) mudah diingat.

7.4. Beberapa aplikasi produk silang

Menentukan kolinearitas vektor

Mencari luas jajar genjang dan segitiga

Sesuai dengan definisi perkalian silang vektor sebuah dan B |a xb | =| sebuah | * |b |sin g , yaitu S par = |a x b |. Dan, oleh karena itu, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Menentukan momen gaya terhadap suatu titik

Biarkan gaya diterapkan pada titik A F = AB biarkan saja HAI- beberapa titik dalam ruang (lihat Gambar 20).

Diketahui dari fisika bahwa torsi F relatif terhadap titik HAI disebut vektor M , yang melalui titik HAI dan:

1) tegak lurus bidang yang melalui titik-titik O, A, B;

2) secara numerik sama dengan produk gaya dan lengan

3) membentuk segitiga siku-siku dengan vektor OA dan A B .

Oleh karena itu, M \u003d OA x F.

Menemukan kecepatan linier rotasi

Kecepatan v titik M dari benda tegar yang berputar dengan kecepatan sudut w di sekitar sumbu tetap, ditentukan oleh rumus Euler v \u003d w x r, di mana r \u003d OM, di mana O adalah titik tetap dari sumbu (lihat Gambar 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sebelum memberikan konsep hasil kali vektor, mari kita beralih ke pertanyaan tentang orientasi rangkap tiga vektor a → , b → , c → dalam ruang tiga dimensi.

Untuk memulainya, mari kita kesampingkan vektor a → , b → , c → dari satu titik. Orientasi tripel a → , b → , c → kanan atau kiri, bergantung pada arah vektor c → . Dari arah di mana belokan terpendek dibuat dari vektor a → ke b → dari ujung vektor c → , bentuk tripel a → , b → , c → akan ditentukan.

Jika rotasi terpendek berlawanan arah jarum jam, maka rangkap tiga vektor a → , b → , c → disebut Baik jika searah jarum jam - kiri.

Selanjutnya, ambil dua vektor non-kolinier a → dan b → . Mari kita tunda vektor A B → = a → dan A C → = b → dari titik A. Mari kita buat sebuah vektor A D → = c → , yang tegak lurus secara simultan terhadap A B → dan A C → . Jadi, ketika membangun vektor A D → = c →, kita dapat melakukan dua hal, memberikannya satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Trio vektor terurut a → , b → , c → dapat, seperti yang kita temukan, kanan atau kiri tergantung pada arah vektor.

Dari penjelasan di atas, kita dapat memperkenalkan definisi produk vektor. Definisi ini diberikan untuk dua vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Produk vektor dari dua vektor a → dan b → kita akan memanggil vektor seperti itu yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dari ruang tiga dimensi sehingga:

• jika vektor a → dan b → adalah collinear, itu akan menjadi nol;
• itu akan tegak lurus terhadap vektor a →​​ dan vektor b → yaitu. a → c → = b → c → = 2 ;
• panjangnya ditentukan oleh rumus: c → = a → b → sin a → , b → ;
• triplet vektor a → , b → , c → memiliki orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

Perkalian silang dari vektor a → dan b → memiliki notasi sebagai berikut: a → × b → .

Koordinat lintas produk

Karena vektor apa pun memiliki koordinat tertentu dalam sistem koordinat, definisi kedua dari produk vektor dapat diperkenalkan, yang memungkinkan Anda menemukan koordinatnya dari koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi perkalian vektor dua vektor a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) sebut vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , di mana i → , j → , k → adalah vektor koordinat.

Produk vektor dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks persegi orde ketiga, di mana baris pertama adalah vektor orta i → , j → , k → , baris kedua berisi koordinat vektor a → , dan baris ketiga adalah koordinat vektor b → dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan, determinan matriks ini terlihat seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Memperluas determinan ini atas elemen-elemen baris pertama, kita memperoleh persamaan: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = ( ​​a a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Properti lintas produk

Diketahui bahwa hasil kali vektor dalam koordinat direpresentasikan sebagai determinan matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , maka pada basis sifat penentu matriks pengikut sifat produk vektor:

1. antikomutatif a → × b → = - b → × a → ;
2. distribusi a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asosiatifitas a → × b → = a → × b → atau a → × (λ b →) = a → × b → , di mana adalah bilangan real arbitrer.

Sifat-sifat ini tidak memiliki bukti yang rumit.

Sebagai contoh, kita dapat membuktikan sifat antikomutatif dari produk vektor.

Bukti antikomutatif

Menurut definisi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z dan b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dan jika dua baris matriks dipertukarkan, maka nilai determinan matriks harus berubah menjadi kebalikannya, oleh karena itu, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , yang dan membuktikan antikomutatif dari produk vektor.

Produk Vektor - Contoh dan Solusi

Dalam kebanyakan kasus, ada tiga jenis tugas.

Dalam soal jenis pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara keduanya biasanya diberikan, tetapi Anda perlu mencari panjang perkalian silang. Dalam hal ini, gunakan rumus berikut c → = a → b → sin a → , b → .

Contoh 1

Tentukan panjang perkalian silang dari vektor a → dan b → jika a → = 3 , b → = 5 , a → , b → = 4 diketahui.

Keputusan

Dengan menggunakan definisi panjang produk vektor dari vektor a → dan b →, kita selesaikan masalah ini: a → × b → = a → b → sin a → , b → = 3 5 sin 4 = 15 2 2 .

Menjawab: 15 2 2 .

Tugas tipe kedua memiliki koneksi dengan koordinat vektor, mereka mengandung produk vektor, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui dari vektor yang diberikan a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) .

Untuk jenis tugas ini, Anda dapat menyelesaikan banyak opsi untuk tugas. Misalnya, bukan koordinat vektor a → dan b → , tetapi ekspansinya dalam vektor koordinat dalam bentuk b → = b x i → + b y j → + b z k → dan c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , atau vektor a → dan b → dapat diberikan oleh koordinatnya titik awal dan akhir.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2

Dua vektor diatur dalam sistem koordinat persegi panjang a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Temukan produk vektor mereka.

Keputusan

Menurut definisi kedua, kami menemukan produk vektor dari dua vektor dalam koordinat yang diberikan: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2k → .

Jika kita menulis hasil kali vektor dalam determinan matriks, maka solusi untuk contoh ini adalah sebagai berikut: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Menjawab: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Contoh 3

Temukan panjang perkalian silang dari vektor i → - j → dan i → + j → + k → , di mana i → , j → , k → - ort dari sistem koordinat Kartesius persegi panjang.

Keputusan

Pertama, cari koordinat produk vektor yang diberikan i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan.

Diketahui bahwa vektor i → - j → dan i → + j → + k → masing-masing memiliki koordinat (1 ; - 1 ; 0) dan (1 ; 1 ; 1). Cari panjang produk vektor menggunakan determinan matriks, maka kita memiliki i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

Oleh karena itu, produk vektor i → - j → × i → + j → + k → memiliki koordinat (- 1 ; - 1 ; 2) dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami menemukan panjang produk vektor dengan rumus (lihat bagian tentang mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Menjawab: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Contoh 4

Koordinat tiga titik A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) diberikan dalam sistem koordinat Kartesius persegi panjang. Temukan beberapa vektor yang tegak lurus terhadap A B → dan A C → secara bersamaan.

Keputusan

Vektor A B → dan A C → masing-masing memiliki koordinat berikut (- 1 ; 2 ; 2) dan (0 ; 4 ; 1). Setelah menemukan produk vektor dari vektor A B → dan A C → , jelas bahwa itu adalah vektor tegak lurus menurut definisi untuk A B → dan A C → , yaitu, ini adalah solusi untuk masalah kita. Cari A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Menjawab: - 6 i → + j → - 4 k → . adalah salah satu vektor tegak lurus.

Soal jenis ketiga difokuskan pada penggunaan sifat-sifat perkalian vektor dari vektor-vektor. Setelah menerapkan yang mana, kita akan mendapatkan solusi untuk masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → tegak lurus dan panjangnya masing-masing adalah 3 dan 4. Cari panjang perkalian silang 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Keputusan

Dengan sifat distributivitas produk vektor, kita dapat menulis 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Dengan sifat asosiatif, kami mengambil koefisien numerik di luar tanda produk vektor dalam ekspresi terakhir: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Produk vektor a → × a → dan b → × b → sama dengan 0, karena a → × a → = a → a → sin 0 = 0 dan b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , maka 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Dari antikomutatif produk vektor berikut - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian vektor, kita memperoleh persamaan 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Dengan syarat, vektor a → dan b → tegak lurus, yaitu sudut antara keduanya adalah 2 . Sekarang tinggal mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus yang sesuai: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin 2 = 60.

Menjawab: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Panjang perkalian silang vektor menurut definisi adalah a → × b → = a → · b → · sin a → , b → . Karena sudah diketahui (dari pelajaran sekolah) bahwa luas segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisinya dikalikan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut. Oleh karena itu, panjang produk vektor sama dengan luas jajar genjang - segitiga berlipat ganda, yaitu, produk dari sisi-sisinya dalam bentuk vektor a → dan b → , diberhentikan dari satu titik, oleh sinus dari sudut di antara mereka sin a → , b → .

Ini adalah arti geometris dari produk vektor.

Arti fisik dari produk vektor

Dalam mekanika, salah satu cabang fisika, berkat produk vektor, Anda dapat menentukan momen gaya relatif terhadap suatu titik dalam ruang.

Definisi 3

Di bawah momen gaya F → , diterapkan pada titik B , relatif terhadap titik A kita akan memahami produk vektor berikut A B → × F → .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Definisi Himpunan terurut (x 1 , x 2 , ... , x n) n bilangan real disebut vektor n-dimensi, dan bilangan x i (i = ) - komponen atau koordinat,

Contoh. Jika, misalnya, sebuah pabrik mobil tertentu harus memproduksi 50 mobil, 100 truk, 10 bus, 50 set suku cadang untuk mobil dan 150 set untuk truk dan bus per shift, maka program produksi pabrik ini dapat ditulis sebagai vektor (50, 100 , 10, 50, 150), yang memiliki lima komponen.

Notasi. Vektor dilambangkan dengan huruf kecil tebal atau huruf dengan bar atau panah di bagian atas, misalnya, sebuah atau. Kedua vektor tersebut disebut setara jika mereka memiliki jumlah komponen yang sama dan komponen yang bersesuaian adalah sama.

Komponen vektor tidak dapat dipertukarkan, misalnya (3, 2, 5, 0, 1) dan (2, 3, 5, 0, 1) vektor yang berbeda.
Operasi pada vektor. kerja x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ke bilangan realλ disebut vektorλ x= (λ x 1 , x 2 , ... , x n).

jumlahx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) dan kamu= (y 1 , y 2 , ... ,y n) disebut vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Ruang vektor. N -ruang vektor dimensi R n didefinisikan sebagai himpunan semua vektor n-dimensi yang operasi perkalian dengan bilangan real dan penambahan didefinisikan.

Ilustrasi ekonomi. Ilustrasi ekonomi ruang vektor n-dimensi: ruang barang (barang). Di bawah komoditas kita akan memahami beberapa barang atau jasa yang dijual pada waktu tertentu di tempat tertentu. Asumsikan bahwa ada sejumlah barang yang tersedia n; jumlah masing-masing barang yang dibeli oleh konsumen dicirikan oleh sekumpulan barang

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

di mana x i menunjukkan jumlah barang ke-i yang dibeli oleh konsumen. Kami akan mengasumsikan bahwa semua barang memiliki sifat dapat dibagi secara sembarang, sehingga setiap kuantitas non-negatif dari masing-masing barang dapat dibeli. Maka semua himpunan barang yang mungkin adalah vektor dari ruang barang C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i 0, i = ).

kemerdekaan linier. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensi vektor disebut bergantung linier jika ada angka seperti itu 1 , 2 , ... , m , yang setidaknya satu bukan nol, yang memenuhi persamaan 1 e 1 + 2 e 2+...+m e m = 0; jika tidak, sistem vektor ini disebut bebas linier, yaitu, persamaan ini hanya mungkin dalam kasus ketika semua . Arti geometris dari ketergantungan linier vektor dalam R 3 , diinterpretasikan sebagai segmen berarah, jelaskan teorema berikut.

Teorema 1. Suatu sistem yang terdiri dari satu vektor adalah bergantung linier jika dan hanya jika vektor ini nol.

Teorema 2. Agar dua vektor bergantung linier, perlu dan cukup agar keduanya kolinear (paralel).

Teorema 3 . Agar tiga vektor bergantung linier, perlu dan cukup bahwa mereka sebidang (berbaring di bidang yang sama).

Vektor tiga kali lipat kiri dan kanan. Tiga vektor non-coplanar a, b, c ditelepon Baik, jika pengamat dari asal yang sama melewati ujung vektor a, b, c dalam urutan itu tampaknya untuk melanjutkan searah jarum jam. Sebaliknya a, b, c -tiga kali lipat kiri. Semua vektor tiga kali lipat kanan (atau kiri) disebut sama berorientasi.

Dasar dan koordinat. Troika e 1, e 2 , e 3 vektor non-coplanar di R 3 disebut dasar, dan vektor itu sendiri e 1, e 2 , e 3 - dasar. Vektor apa saja sebuah dapat diperluas dengan cara yang unik dalam hal vektor basis, yaitu, dapat direpresentasikan dalam bentuk

sebuah= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

bilangan x 1 , x 2 , x 3 pada pemuaian (1.1) disebut koordinatsebuah pada dasarnya e 1, e 2 , e 3 dan dilambangkan sebuah(x 1 , x 2 , x 3).

dasar ortonormal. Jika vektor e 1, e 2 , e 3 berpasangan tegak lurus dan panjangnya masing-masing sama dengan satu, maka alasnya disebut ortonormal, dan koordinat x 1 , x 2 , x 3 - persegi panjang. Vektor basis dari basis ortonormal akan dilambangkan saya, j, k.

Kami akan berasumsi bahwa di luar angkasa R 3 sistem kanan koordinat persegi panjang Cartesian (0, saya, j, k}.

produk vektor. seni vektor sebuah per vektor b disebut vektor c, yang ditentukan oleh tiga kondisi berikut:

1. Panjang vektor c secara numerik sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor sebuah dan b, yaitu
c= |a||b| dosa( sebuah^b).

2. Vektor c tegak lurus masing-masing vektor sebuah dan b.

3. Vektor sebuah, b dan c, diambil dalam urutan itu, membentuk triple kanan.

Untuk produk vektor c sebutan diperkenalkan c=[ab] atau
c = × b.

Jika vektor sebuah dan b kolinear, maka sin( a^b) = 0 dan [ ab] = 0, khususnya, [ A A] = 0. Produk vektor dari ort: [ aku j]=k, [jk] = saya, [ki]=j.

Jika vektor sebuah dan b diberikan dalam dasar saya, j, k koordinat sebuah(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), maka

Pekerjaan campuran. Jika produk silang dari dua vektor sebuah dan b skalar dikalikan dengan vektor ketiga c, maka hasil kali tiga vektor tersebut disebut produk campuran dan dilambangkan dengan simbol sebuah SM

Jika vektor a, b dan c pada dasarnya saya, j, k diatur oleh koordinatnya
sebuah(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), maka

.

Produk campuran memiliki interpretasi geometris sederhana - ini adalah skalar, dalam nilai absolut yang sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas tiga vektor yang diberikan.

Jika vektor membentuk triple kanan, maka produk campurannya adalah bilangan positif yang sama dengan volume yang ditunjukkan; jika ketiganya a, b, c - kiri, lalu a b c<0 и V = - a b c, maka V =|a bc|.

Koordinat vektor-vektor yang ditemui dalam soal-soal bab pertama diasumsikan diberikan relatif terhadap basis ortonormal kanan. Vektor satuan searah ke vektor sebuah, dilambangkan dengan simbol sebuah tentang. Simbol r=om dilambangkan dengan vektor jari-jari titik M, simbol a, AB atau|a|, | AB |modul vektor dilambangkan sebuah dan AB.

Contoh 1.2. Tentukan sudut antara vektor sebuah= 2m+4n dan b= M N, di mana m dan n- vektor satuan dan sudut antara m dan n sama dengan 120

Keputusan. Kami memiliki: cos = ab/ab, ab=(2m+4n) (M N) = 2m 2 - 4n 2 +2M N=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; sebuah 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16M N+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, jadi a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(M N) = m 2 -2M N+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, jadi b = . Akhirnya kita memiliki: cos\u003d -1/2, \u003d 120 o.

Contoh 1.3.Mengetahui vektor AB(-3,-2.6) dan SM(-2,4,4), hitung tinggi AD segitiga ABC.

Keputusan. Menyatakan luas segitiga ABC dengan S, kita mendapatkan:
S = 1/2 SM. Kemudian AD=2S/SM, SM== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, jadi vektor AC memiliki koordinat
. .

Contoh 1.4 . Diberikan dua vektor sebuah(11,10,2) dan b(4,0,3). Temukan vektor satuan c, ortogonal terhadap vektor sebuah dan b dan diarahkan sehingga rangkap tiga vektor a, b, c itu benar.

Keputusan.Mari kita tunjukkan koordinat vektor c sehubungan dengan dasar ortonormal kanan yang diberikan dalam hal x, y, z.

Sejauh c ⊥ a, c ⊥b, kemudian ca= 0, cb= 0. Dengan kondisi masalah, diperlukan c = 1 dan a b c >0.

Kami memiliki sistem persamaan untuk mencari x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Dari persamaan pertama dan kedua dari sistem kita mendapatkan z = -4/3 x, y = -5/6 x. Substitusikan y dan z ke persamaan ketiga, kita akan mendapatkan: x 2 = 36/125, dari mana
x=± . Menggunakan kondisi a b c > 0, kita mendapatkan pertidaksamaan

Dengan mempertimbangkan persamaan untuk z dan y, kita tulis ulang pertidaksamaan yang dihasilkan dalam bentuk: 625/6 x > 0, sehingga x>0. Jadi x = , y = - , z = - .