Produk perkalian. Permainan "Skor Cepat"

Dalam konteks ini, tanda perkalian adalah operator biner. Tanda perkalian tidak memiliki nama khusus, seperti tanda penjumlahan, yang disebut “plus”.

Simbol tertua yang digunakan adalah salib diagonal (×). Ini pertama kali digunakan oleh matematikawan Inggris William Oughtred dalam Clavis Mathematicae-nya pada tahun 1631. Ahli matematika Jerman Leibniz lebih menyukai tanda titik (∙) yang ditinggikan.

Dalam buku teks matematika Rusia, tanda dalam bentuk titik timbul (∙) terutama digunakan. Tanda bintang (∗) digunakan dalam notasi komputer. Hasilnya ditulis menggunakan tanda sama dengan " =", Sebagai contoh:

a \cdot b = c ; 6 \cdot 3 = 18(“enam kali tiga sama dengan delapan belas” atau “enam kali tiga sama dengan delapan belas”).

tabel perkalian sistem desimal perhitungan

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Prosedur ini berlaku untuk perkalian bilangan asli dan bilangan bulat (tunduk pada tanda). Untuk nomor lain, algoritma yang lebih kompleks digunakan.

Perkalian angka

bilangan bulat

Mari kita gunakan definisi bilangan asli \mathbb(N) sebagai kelas ekivalen dari himpunan berhingga. Nyatakan kelas ekivalen dari himpunan berhingga TAKSI dihasilkan oleh bijections , menggunakan tanda kurung: [TAKSI]. Kemudian operasi aritmatika "perkalian" didefinisikan sebagai berikut:

[C]=[A] \cdot [B] = ;

di mana: A \times B=\((a,b) \mid a \in A , b \in B \) produk langsung dari set - set C, yang elemen-elemennya merupakan pasangan terurut (a,b) untuk semua jenis a \di A , b \di B. Operasi ini pada kelas diperkenalkan dengan benar, yaitu, tidak tergantung pada pilihan elemen kelas, dan bertepatan dengan definisi induktif.

Pemetaan satu-ke-satu dari himpunan berhingga A untuk sebuah segmen T_a dapat dipahami sebagai penomoran elemen-elemen dari suatu himpunan A: \quad A \sim N_a. Proses penomoran ini disebut "COUNT". Jadi, "akun" adalah pembentukan korespondensi satu-satu antara elemen-elemen himpunan dan segmen deret bilangan asli.

Untuk perkalian bilangan asli dalam notasi posisi angka, algoritma perkalian bitwise digunakan. Diberikan dua bilangan asli sebuah dan b seperti yang:

a=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0, \quad b=b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0, \quad \forall a_(k),b_(k ) \di \(P \), \quad \untuk semua a_(n-1), b_(n-1) \ne 0, \quad\ada 0\di \N;

di mana a_(0 \titik n-1)=a_k P^k, \quad b_(0 \titik n-1)=b_k P^k; n- jumlah digit dalam nomor n \di \(1, 2, \titik ,n \); k - nomor seri debit (posisi), k \dalam \(0, 1, \titik ,n-1 \); P- dasar sistem bilangan; \(P\) satu set karakter numerik (digit), sistem angka tertentu: \(P_2 \)= \(0,1 \), \(P_(10) \)= \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \), \(P_(16) \)= \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \); kemudian:

c=a \sdot b; \quad c_(n-1) c_(n-2)\dots c_0=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0 \sdot b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0 ;

mengalikan sedikit demi sedikit, kita dapatkan n hasil antara:

  • t_(n-1,~0) = mod(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P)~,~~ t_0 \sdot~ P^k;
  • t_(n-1,~1) = mod(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P)~,~~ t_1 \sdot~ P^k;
  • ... \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad...
  • t_(n-1,~k) = mod(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P)~,~~ t_(k) \sdot~ P^k;

dimana: r adalah nilai carry, mod() adalah fungsi mencari sisa pembagian, div() adalah fungsi mencari hasil bagi sebagian.

Kemudian diterima n kami menambahkan hasil antara: c=t_0+t_1+...+t_(k).

Dengan demikian, operasi perkalian direduksi menjadi prosedur sekuensial perkalian sederhana angka satu digit a_(k)\sdot b_(k), dengan pembentukan transfer, jika perlu, yang dilakukan baik dengan metode tabel atau dengan penambahan berurutan. Dan kemudian untuk penambahan.

Operasi aritmatika pada angka dalam sistem angka posisi apa pun dilakukan sesuai dengan aturan yang sama seperti dalam sistem desimal, karena semuanya didasarkan pada aturan untuk melakukan operasi pada polinomial yang sesuai. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan tabel perkalian yang sesuai dengan basis ini. P sistem bilangan.

Contoh perkalian bilangan asli dalam sistem bilangan biner, desimal dan heksadesimal, untuk memudahkan, angka ditulis satu di bawah yang lain sesuai dengan angka, transfer ditulis di atas:

\begin(array)(cccccccccc)

& & & & & & & \\ & & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &*& & &1&1&0&1 \\ \hline & & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &0&0&0&0&0&0&(\color(Abu-abu)0) \\ & & &&1&1&0&(1 color(Abu-abu)0) &(\color(Abu-abu)0) \\ +&1&1&0&1&1&0&(\color(Abu-abu)0) &(\color(Abu-abu)0) &(\color(Abu-abu)0) \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0 \end(array); \quad \quad \begin(array)(cccccccccc) & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & & &_1&_2&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&6&7 \\ & & &*& & &5&4&1 \\ \hline & & &0&8&4&5 &&(3&7 \\ color(Abu-abu)0) \\ +&4&2&2&8&3&5&(\color(Abu-abu)0)&(\color(Abu-abu)0) \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \end(array); \quad \quad

&\begin(array)(cccccccccc) &&&&_8&_8&_2 \\ &&&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&0&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &\\0&(&6&\&E&) \color(Abu-abu)0) \\ \hline &4&5&8&3&6&9&C

\end(array)~~.

Bilangan bulat

\alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \(a_n\), \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \(b_n\)

didefinisikan masing-masing oleh urutan dasar bilangan rasional (memenuhi kondisi Cauchy), dilambangkan sebagai: \alfa= dan \beta=, maka hasil kali mereka disebut bilangan \gamma=, ditentukan oleh produk barisan \(sebuah\) dan \(b_n\):

\gamma = \alpha \cdot \beta \overset(\text(def))(=) \cdot =;

bilangan asli \gamma = \alpha \cdot \beta, memenuhi kondisi berikut:

\untuk semua", a ,b",b\di \mathbb(Q); ~~~~ (a" \leqslant \alpha \leqslant a ) \dan (b" \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Panah kanan (a" \cdot b" ​​\leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

.

Jadi, produk dari dua bilangan real \alfa dan \beta adalah bilangan real \gamma yang terkandung di antara semua produk berbentuk a" \cdot b" di satu sisi dan semua produk dalam bentuk sebuah \cdot b di sisi lain .

Dalam praktiknya, untuk mengalikan dua angka \alfa dan \beta, perlu untuk menggantinya dengan akurasi yang diperlukan dengan perkiraan bilangan rasional sebuah dan b. Untuk nilai perkiraan produk angka \alpha \cdot \beta ambil produk dari bilangan rasional yang ditentukan a\cdot b. Pada saat yang sama, tidak masalah pihak mana (dengan kekurangan atau kelebihan) yang diambil angka rasional mendekatkan \alfa dan \beta. Perkalian dilakukan sesuai dengan algoritma perkalian bitwise.

Untuk mengalikan dua bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri catatan, Anda perlu melipatgandakan modulnya, dan menambahkan argumen:

c=a \cdot b=r_1 (Cos \varphi _1+ iSin \varphi _1) ~\cdot~ r_2 (Cos \varphi _2+ iSin\varphi _2) =r_1 \cdot r_2 (Cos (\varphi _1+\varphi _2)+ iSin (\varphi_1+\varphi_2)), di mana: r=|z|=|a+ib|=\sqrt(a^2+b^2);~~~\varphi = Arg(z)=arctg \biggl(\frac(b)(a) \biggr) , modulus dan argumen bilangan kompleks.

Perkalian bilangan kompleks a = r_1 e^ (i\varphi _1) di bentuk indikatif, ke bilangan kompleks b = r_2 e^ (i\varphi _2) mengurangi untuk memutar vektor yang sesuai dengan nomor sebuah, di ujung Argumen (b) dan ubah panjangnya menjadi |b| sekali. Untuk pekerjaan bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial, persamaannya benar:

c=re^ (i\varphi)=a \cdot b = r_1 e^ (i\varphi _1) \cdot r_2 e^ (i\varphi _2)= r_1\cdot r_2\cdot e^ (i(\varphi _1+ \varphi_2)),

di mana: e=2.718281828...- nomor e .

Notasi eksponensial

Misalnya, jika Anda mengalikan kecepatan V=4~m/s untuk sementara T=2~s sesuai dengan satu proses fisik, maka Anda mendapatkan nomor bernama (kuantitas fisik) yang sesuai dengan proses fisik yang sama, yang disebut "panjang" dan diukur dalam meter: L=8~m.

L=V \cdot T = 4~\frac(m)(s) \cdot 2~s =8 ~\frac(m \cdot s)(s)= 8 ~m.

Saat mendeskripsikan sarana matematika proses fisik peran penting dimainkan oleh konsep homogenitas, yang berarti, misalnya, bahwa "1 kg tepung" dan "1 kg tembaga" milik set yang berbeda(tepung) dan (tembaga). Juga, konsep homogenitas menunjukkan bahwa jumlah yang dikalikan termasuk dalam proses fisik yang sama.

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Perkalian"

Catatan

literatur

  • Ilyin V.A. dan sebagainya.. - Universitas Negeri Moskow, 1985. - T. 1. - 662 hal.
  • Enderton G. Elemen Teori Himpunan = Elemen Teori Himpunan. - Penerbitan Profesional Teluk, 1977. - 279 hal. - ISBN 0-12-238440-7.
  • Barsukov A.N.. - Pencerahan, 1966. - 296 hal.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G.. - Pencerahan, 1988. - 416 hal.
  • Istomina N.B.. - Asosiasi abad XXI, 2005. - 272 hal. - ISBN 5-89308-193-5.
  • Vygodsky M.Ya. Buku pegangan matematika dasar. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6.
  • DI DAN. Igoshin(Rusia): artikel. - Saratov Universitas Negeri dinamai N.G. Chernyshevsky, 2010.
  • Kononyuk A.E.. - Pendidikan Ukraina, 2012. - Vol.2 - 548 hal. - ISBN 978-966-7599-50-8.
  • : [24 Agustus 2011] // Kepemimpinan / Artemy Lebedev. - 15 Januari 2003 - 97.

Kutipan yang mencirikan Perkalian

"Kalau begitu, tolong ganti bajumu," katanya sambil berjalan pergi.

- Itu datang! teriak masinis saat itu.
Komandan resimen, tersipu, berlari ke kuda, dengan tangan gemetar memegang sanggurdi, melemparkan tubuh ke atas, memulihkan diri, menghunus pedangnya, dan dengan wajah bahagia dan tegas, dengan mulut terbuka ke satu sisi, bersiap berteriak. Resimen mulai seperti burung yang pulih dan membeku.
- Tersenyumlah! - komandan resimen berteriak dengan suara yang menggetarkan jiwa, gembira untuk dirinya sendiri, ketat dalam hubungannya dengan resimen dan ramah dalam hubungannya dengan kepala yang mendekat.
Di sepanjang jalan lebar, ditumbuhi pepohonan, tinggi, tanpa jalan raya, dengan sedikit menggetarkan mata airnya, sebuah kereta Wina biru yang tinggi melaju di kereta dengan kecepatan tinggi. Rombongan dan konvoi orang Kroasia berpacu di belakang kereta. Di dekat Kutuzov duduk seorang jenderal Austria dengan seragam putih yang aneh, di antara orang kulit hitam Rusia. Kereta berhenti di resimen. Kutuzov dan jenderal Austria itu diam-diam membicarakan sesuatu, dan Kutuzov tersenyum sedikit, sementara, melangkah dengan berat, dia menurunkan kakinya dari alas kaki, seolah-olah tidak ada 2.000 orang yang menatapnya dan menatapnya tanpa bernafas. komandan resimen.
Terdengar teriakan komando, lagi-lagi resimen, berdering, gemetar, membuat penjagaan. Dalam keheningan yang mati aku mendengar suara lemah Panglima. Resimen berteriak: "Kami berharap kesehatan Anda baik, Yang Mulia!" Dan sekali lagi semuanya membeku. Pada awalnya, Kutuzov berdiri di satu tempat sementara resimen bergerak; kemudian Kutuzov, di sebelah jenderal kulit putih, dengan berjalan kaki, ditemani oleh pengiringnya, mulai berjalan melewati barisan.
Dari cara komandan resimen memberi hormat kepada panglima, memelototinya, mengulurkan tangan dan berdiri, bagaimana dia mencondongkan tubuh ke depan mengikuti para jenderal di sepanjang barisan, nyaris tidak menahan gerakannya yang gemetar, bagaimana dia melompati setiap kata dan gerakan. dari panglima tertinggi, jelas bahwa dia memenuhi tugasnya sebagai bawahan dengan kesenangan yang lebih besar daripada tugas seorang bos. Resimen itu, berkat ketegasan dan ketekunan komandan resimen, berada dalam kondisi yang sangat baik dibandingkan dengan resimen lain yang datang pada saat yang sama ke Braunau. Hanya ada 217 orang terbelakang dan sakit. Semuanya baik-baik saja, kecuali sepatu.
Kutuzov berjalan menyusuri barisan, sesekali berhenti dan berbicara beberapa Kata-kata baik petugas yang dia kenal perang Turki dan terkadang tentara. Melirik sepatu itu, dia menggelengkan kepalanya dengan sedih beberapa kali dan menunjuk ke arahnya ke jenderal Austria dengan ekspresi sedemikian rupa sehingga dia sepertinya tidak mencela siapa pun untuk ini, tetapi dia tidak bisa tidak melihat betapa buruknya itu. Komandan resimen berlari ke depan setiap kali, takut melewatkan kata-kata panglima tertinggi tentang resimen. Di belakang Kutuzov, pada jarak sedemikian rupa sehingga kata-kata yang diucapkan dengan lemah dapat terdengar, berjalanlah seorang pria dengan 20 pengiring. Tuan-tuan dari pengiring berbicara di antara mereka sendiri dan kadang-kadang tertawa. Yang paling dekat di belakang panglima adalah seorang ajudan yang tampan. Itu adalah Pangeran Bolkonsky. Di sampingnya berjalan rekannya Nesvitsky, seorang perwira tinggi, sangat kekar, dengan wajah tampan yang ramah dan tersenyum serta mata yang basah; Nesvitsky hampir tidak bisa menahan diri untuk tidak tertawa, terangsang oleh petugas prajurit berkuda kehitaman yang berjalan di sampingnya. Perwira hussar itu, tanpa tersenyum, tanpa mengubah ekspresi matanya yang terpaku, memandang dengan wajah serius ke belakang komandan resimen dan menirukan setiap gerakannya. Setiap kali komandan resimen gemetar dan mencondongkan tubuh ke depan, dengan cara yang sama persis, dengan cara yang persis sama, perwira prajurit berkuda itu gemetar dan mencondongkan tubuh ke depan. Nesvitsky tertawa dan mendorong yang lain untuk melihat pria lucu itu.
Kutuzov berjalan perlahan dan lesu melewati seribu mata yang keluar dari rongganya, mengikuti bosnya. Setelah diratakan dengan kompi ke-3, dia tiba-tiba berhenti. Pengiringnya, tidak melihat perhentian ini, tanpa sadar maju ke arahnya.
- Ah, Timokhin! - kata panglima, mengenali kapten dengan hidung merah, yang menderita karena mantel biru.
Tampaknya tidak mungkin untuk meregangkan lebih dari yang diregangkan Timokhin, sementara komandan resimen menegurnya. Tetapi pada saat itu panglima itu memanggilnya, kapten itu menarik dirinya sehingga seolah-olah jika panglima itu menatapnya lebih lama, kapten tidak akan tahan. ; dan oleh karena itu Kutuzov, yang tampaknya memahami posisinya dan berharap, sebaliknya, semua yang terbaik untuk kapten, buru-buru berbalik. Senyum yang nyaris tak terlihat menghiasi wajah gemuk dan terluka Kutuzov.
"Kawan Izmaylovsky lainnya," katanya. "Petugas yang berani!" Apakah Anda senang dengan itu? Kutuzov bertanya kepada komandan resimen.
Dan komandan resimen, seolah-olah tercermin di cermin, tidak terlihat oleh dirinya sendiri, di prajurit berkuda, bergidik, maju dan menjawab:
“Sangat senang, Yang Mulia.
“Kita semua bukannya tanpa kelemahan,” kata Kutuzov, tersenyum dan menjauh darinya. “Dia memiliki keterikatan pada Bacchus.
Komandan resimen takut bahwa dia tidak harus disalahkan untuk ini, dan tidak menjawab. Petugas pada saat itu memperhatikan wajah kapten dengan hidung merah dan perut yang ditekuk, dan meniru wajah dan posturnya dengan sangat mirip sehingga Nesvitsky tidak bisa menahan tawa.
Kutuzov berbalik. Jelas bahwa petugas itu dapat mengendalikan wajahnya seperti yang dia inginkan: pada saat Kutuzov berbalik, petugas itu berhasil meringis, dan setelah itu menunjukkan ekspresi paling serius, hormat, dan polos.
Kompi ketiga adalah yang terakhir, dan Kutuzov berpikir, tampaknya mengingat sesuatu. Pangeran Andrei melangkah keluar dari rombongan dan dengan tenang berkata dalam bahasa Prancis:
- Anda diperintahkan untuk diingatkan tentang Dolokhov yang diturunkan pangkatnya di resimen ini.
- Di mana Dolokhov? tanya Kutuzov.
Dolokhov, yang sudah mengenakan mantel abu-abu prajurit, tidak menunggu untuk dipanggil. Sosok ramping berambut pirang dengan jelas mata biru prajurit itu melangkah keluar dari depan. Dia mendekati panglima tertinggi dan membuat penjaga.
- Mengeklaim? - Sedikit mengernyit, tanya Kutuzov.
"Ini Dolokhov," kata Pangeran Andrei.
- A! kata Kutuzov. – Saya harap pelajaran ini akan mengoreksi Anda, layani dengan baik. Kaisar penuh belas kasihan. Dan aku tidak akan melupakanmu jika kamu pantas mendapatkannya.
Mata biru jernih menatap panglima dengan berani seperti yang mereka lakukan pada komandan resimen, seolah-olah dengan ekspresi mereka merobek tabir konvensionalitas yang memisahkan panglima begitu jauh dari prajurit.
"Saya menanyakan satu hal kepada Anda, Yang Mulia," katanya dengan suaranya yang bergema, tegas, dan tidak tergesa-gesa. “Saya meminta Anda memberi saya kesempatan untuk menebus kesalahan saya dan membuktikan pengabdian saya kepada kaisar dan Rusia.
Kutuzov berbalik. Senyuman matanya yang sama terpancar di wajahnya seperti saat dia berpaling dari Kapten Timokhin. Dia berbalik dan meringis, seolah-olah dia ingin mengungkapkan dengan ini bahwa semua yang dikatakan Dolokhov kepadanya, dan semua yang bisa dia katakan padanya, dia sudah tahu sejak lama bahwa semua ini telah membuatnya bosan dan bahwa semua ini sudah berakhir. sama sekali tidak apa yang dia butuhkan. . Dia berbalik dan berjalan menuju kereta.
Resimen disortir dalam kompi dan menuju apartemen yang ditugaskan tidak jauh dari Braunau, di mana mereka berharap untuk mengenakan sepatu, pakaian, dan istirahat setelah transisi yang sulit.
- Anda tidak berpura-pura kepada saya, Prokhor Ignatich? - kata komandan resimen, mengitari kompi ke-3 bergerak menuju tempat itu dan mengemudi ke Kapten Timokhin, yang berjalan di depannya. Wajah komandan resimen, setelah tinjauan pergi dengan gembira, mengungkapkan kegembiraan yang tak tertahankan. - Layanan kerajaan ... Anda tidak bisa ... lain kali Anda akan memotong di depan ... Saya akan menjadi orang pertama yang meminta maaf, Anda tahu saya ... Terima kasih banyak! Dan dia mengulurkan tangannya ke komandan.
"Permisi, Jenderal, apakah saya berani!" - kapten menjawab, memerah dengan hidungnya, tersenyum dan mengungkapkan dengan senyum kurangnya dua gigi depan, dirobohkan oleh pantat di dekat Ismail.
- Ya, beri tahu Tuan Dolokhov bahwa saya tidak akan melupakannya, agar dia tenang. Ya, tolong beri tahu saya, saya terus ingin bertanya, apa dia, bagaimana dia bersikap? Dan semuanya...
"Dia sangat berguna dalam pelayanannya, Yang Mulia ... tapi carakhter ..." kata Timokhin.
- Dan apa, apa karakternya? tanya komandan resimen.
“Dia menemukan, Yang Mulia, selama berhari-hari,” kata kapten, “dia cerdas, terpelajar, dan baik hati. Dan itu adalah binatang. Di Polandia, dia membunuh seorang Yahudi, jika Anda tahu ...
- Ya, ya, ya, - kata komandan resimen, - Anda masih harus merasa kasihan pada pemuda yang malang itu. Lagipula koneksi besar… Jadi kamu…
“Saya mendengarkan, Yang Mulia,” kata Timokhin sambil tersenyum seolah mengerti keinginan bos.
- Ya ya.
Komandan resimen menemukan Dolokhov di barisan dan mengekang kudanya.
"Sebelum kasus pertama, tanda pangkat," katanya.
Dolokhov melihat sekeliling, tidak mengatakan apa-apa dan tidak mengubah ekspresi mulutnya yang tersenyum mengejek.
"Yah, itu bagus," lanjut komandan resimen. “Orang-orang mendapatkan segelas vodka dari saya,” tambahnya, sehingga para tentara bisa mendengar. - Terima kasih semua! Terima kasih Tuhan! - Dan dia, setelah menyusul sebuah perusahaan, melaju ke yang lain.
“Yah, dia benar-benar pria yang baik; Anda bisa melayani bersamanya,” kata subaltern Timokhin kepada petugas yang berjalan di sampingnya.
- Satu kata, merah! ... (komandan resimen dijuluki raja merah) - kata perwira bawahan sambil tertawa.
Suasana bahagia pihak berwenang setelah peninjauan diteruskan ke tentara. Rota sedang bersenang-senang. Suara tentara berbicara dari semua sisi.
- Bagaimana mereka mengatakan, Kutuzov bengkok, tentang satu mata?
- Tapi tidak! Benar-benar bengkok.
- Tidak ... saudara, lebih bermata besar dari Anda. Sepatu bot dan kerah - melihat sekeliling semuanya ...
- Bagaimana dia, saudaraku, melihat kakiku ... yah! memikirkan…
- Dan yang lainnya adalah orang Austria, dia bersamanya, seolah-olah diolesi kapur. Seperti tepung, putih. Saya teh, bagaimana mereka membersihkan amunisi!
- Apa, Fedeshow! ... katanya, mungkin, ketika penjaga mulai, apakah Anda berdiri lebih dekat? Mereka mengatakan segalanya, Bunaparte sendiri berdiri di Brunov.
- Bunaparte berdiri! kamu bohong, bodoh! Apa yang tidak tahu! Sekarang orang Prusia memberontak. Oleh karena itu, orang Austria itu menenangkannya. Begitu dia berdamai, maka perang akan terbuka dengan Bounaparte. Dan kemudian, katanya, di Brunov, Bunaparte berdiri! Sudah jelas bahwa dia idiot. Anda lebih banyak mendengarkan.
“Lihat, penyewa sialan! Perusahaan kelima, lihat, sudah berubah menjadi desa, mereka akan memasak bubur, dan kami belum mencapai tempat itu.
- Beri aku biskuit, sialan.
"Apakah kamu memberi tembakau kemarin?" Itu saja, saudara. Baiklah, Tuhan bersamamu.
- Kalau saja mereka berhenti, jika tidak, Anda tidak akan makan proprem sejauh lima mil lagi.
- Sangat menyenangkan bagaimana orang Jerman memberi kami kereta bayi. Anda pergi, tahu: itu penting!
- Dan di sini, saudara, orang-orang menjadi sangat panik. Di sana semuanya tampak seperti Kutub, semuanya dari mahkota Rusia; dan sekarang, saudara, seorang Jerman yang solid telah pergi.
- Penulis lagu di depan! - Saya mendengar teriakan kapten.
Dan dua puluh orang berlari keluar di depan perusahaan dari peringkat yang berbeda. Penabuh genderang bernyanyi berbalik menghadap buku-buku lagu, dan, melambaikan tangannya, menyanyikan lagu tentara yang berlarut-larut, dimulai: "Bukankah ini fajar, matahari telah terbit ..." dan diakhiri dengan kata-kata: "Itu, saudara-saudara, akan menjadi kemuliaan bagi kita dengan ayah Kamensky ..." Lagu ini dibuat di Turki dan sekarang dinyanyikan di Austria, hanya dengan perubahan kata-kata "ayah Kutuzov" dimasukkan sebagai pengganti "ayah Kamensky" .
Merobek tentara ini kata-kata terakhir dan melambaikan tangannya seolah-olah dia sedang melempar sesuatu ke tanah, drummer, kering dan prajurit tampan sekitar empat puluh tahun, prajurit penulis lagu itu tampak tegas dan memejamkan mata. Kemudian, memastikan bahwa semua mata tertuju padanya, dia tampaknya dengan hati-hati mengangkat dengan kedua tangannya sesuatu yang tak terlihat, sesuatu yang berharga di atas kepalanya, memegangnya seperti itu selama beberapa detik, dan tiba-tiba melemparkannya dengan putus asa:
Oh, Anda, kanopi saya, kanopi saya!
“Canopy my new…”, dua puluh suara diangkat, dan si tukang sendok, meskipun amunisinya berat, dengan cepat melompat ke depan dan berjalan mundur di depan kompi, menggerakkan bahunya dan mengancam seseorang dengan sendok. Para prajurit, melambai-lambaikan tangan mengikuti irama lagu, berjalan dengan langkah lebar, tanpa sadar memukul kaki. Di belakang rombongan terdengar suara roda, derak pegas, dan derap kuda.
Kutuzov dengan pengiringnya kembali ke kota. Panglima memberi isyarat bahwa orang-orang harus terus berjalan dengan bebas, dan wajahnya serta semua wajah pengiringnya menyatakan senang mendengar suara lagu itu, saat melihat prajurit yang menari dan prajurit yang berbaris dengan riang dan cepat. perusahaan. Di baris kedua, dari sayap kanan, dari mana kereta menyusul kompi, seorang prajurit bermata biru, Dolokhov, tanpa sadar menarik perhatian, yang berjalan dengan sangat cepat dan anggun mengikuti irama lagu dan menatap wajah-wajah orang yang lewat dengan ekspresi seolah-olah dia mengasihani semua orang yang tidak pergi saat ini dengan perusahaan. Sebuah cornet prajurit berkuda dari rombongan Kutuzov, meniru komandan resimen, tertinggal di belakang kereta dan melaju ke Dolokhov.
Tentara berkuda terompet Zherkov pada suatu waktu di St. Petersburg termasuk dalam masyarakat kekerasan yang dipimpin oleh Dolokhov. Zherkov bertemu Dolokhov di luar negeri sebagai seorang prajurit, tetapi tidak menganggap perlu untuk mengenalinya. Sekarang, setelah percakapan Kutuzov dengan yang diturunkan pangkatnya, dia menoleh kepadanya dengan kegembiraan seorang teman lama:
- Teman, apa kabar? - katanya saat mendengar lagu itu, menyamakan langkah kudanya dengan langkah rombongan.
- Aku seperti? - jawab Dolokhov dengan dingin, - seperti yang Anda lihat.
Lagu yang hidup memberi arti khusus nada keriangan nakal yang diucapkan Zherkov, dan jawaban Dolokhov yang dingin.
- Jadi, bagaimana Anda bergaul dengan pihak berwenang? tanya Zherkov.
- Tidak ada apa-apa, orang baik. Bagaimana Anda bisa masuk ke markas?
- Diperbantukan, aku sedang bertugas.
Mereka diam.
"Aku melepaskan elang dari lengan kananku," kata lagu itu, tanpa sadar membangkitkan perasaan ceria dan ceria. Percakapan mereka mungkin akan berbeda jika mereka tidak berbicara dengan suara lagu.
- Apa yang benar, Austria dipukuli? Dolokhov bertanya.
“Iblis tahu, kata mereka.
"Saya senang," jawab Dolokhov singkat dan jelas, seperti yang diminta lagu itu.
- Nah, datanglah kepada kami ketika di malam hari, firaun akan menggadaikan, - kata Zherkov.
Atau punya banyak uang?
- Datang.
- Ini dilarang. Dia memberikan sumpah. Saya tidak minum atau bermain sampai selesai.
Nah, sebelum hal pertama ...
- Anda akan melihatnya di sana.
Lagi-lagi mereka terdiam.
"Masuklah, jika Anda butuh sesuatu, semua orang di markas akan membantu ..." kata Zherkov.
Dolokhov terkekeh.
“Sebaiknya kamu tidak khawatir. Apa yang saya butuhkan, saya tidak akan meminta, saya akan mengambilnya sendiri.
"Ya, aku sangat...
- Yah, aku juga.
- Selamat tinggal.
- Sehatlah…
... dan tinggi dan jauh,
Di pihak tuan rumah...
Zherkov menyentuh kudanya dengan tajinya, yang tiga kali, bersemangat, ditendang, tidak tahu harus mulai dari mana, mengatasi dan berlari kencang, menyalip kompi dan mengejar kereta, juga tepat waktu dengan lagu.

Sekembalinya dari peninjauan, Kutuzov, ditemani oleh seorang jenderal Austria, pergi ke kantornya dan, memanggil ajudan, memerintahkan untuk memberikan dirinya sendiri beberapa surat yang berkaitan dengan keadaan pasukan yang masuk, dan surat yang diterima dari Archduke Ferdinand, yang bertanggung jawab. tentara maju. Pangeran Andrei Bolkonsky dengan surat-surat yang diperlukan memasuki kantor panglima tertinggi. Di depan denah yang diletakkan di atas meja, duduk Kutuzov dan seorang anggota Hofkriegsrat dari Austria.
"Ah ..." kata Kutuzov, melihat kembali ke Bolkonsky, seolah-olah dengan kata ini mengundang ajudan untuk menunggu, dan melanjutkan percakapan yang dimulai dalam bahasa Prancis.
"Saya hanya mengatakan satu hal, Jenderal," kata Kutuzov dengan keanggunan ekspresi dan intonasi yang menyenangkan, memaksa seseorang untuk mendengarkan setiap kata yang diucapkan dengan santai. Jelaslah bahwa Kutuzov mendengarkan dirinya sendiri dengan senang hati. - Saya hanya mengatakan satu hal, Jenderal, bahwa jika masalah ini tergantung pada keinginan pribadi saya, maka kehendak Yang Mulia Kaisar Franz akan terpenuhi sejak lama. Saya akan bergabung dengan Archduke sejak lama. Dan percayalah kehormatan saya, bahwa bagi saya secara pribadi untuk mentransfer komando tentara yang lebih tinggi daripada saya kepada seorang jenderal yang berpengetahuan dan terampil, seperti Austria begitu banyak, dan untuk menyerahkan semua tanggung jawab berat ini bagi saya secara pribadi akan menjadi sukacita . Tapi keadaan lebih kuat dari kita, Jenderal.
Dan Kutuzov tersenyum dengan ekspresi seolah-olah dia berkata: "Kamu berhak untuk tidak mempercayaiku, dan bahkan aku tidak peduli apakah kamu percaya padaku atau tidak, tetapi kamu tidak punya alasan untuk mengatakan ini padaku. Dan itulah intinya."
Jenderal Austria itu tampak tidak puas, tetapi tidak bisa menjawab Kutuzov dengan nada yang sama.
"Sebaliknya," katanya dengan nada menggerutu dan marah, sangat bertentangan dengan arti menyanjung dari kata-kata yang dia ucapkan, "sebaliknya, partisipasi Yang Mulia dalam penyebab umum sangat dihormati oleh Yang Mulia; tetapi kami percaya bahwa perlambatan nyata membuat pasukan Rusia yang agung dan komandan mereka kehilangan kemenangan yang biasa mereka tuai dalam pertempuran, ”ia menyelesaikan frasa yang tampaknya sudah disiapkan.
Kutuzov membungkuk tanpa mengubah senyumnya.
- Dan saya sangat yakin dan, berdasarkan surat terakhir bahwa Yang Mulia Archduke Ferdinand menghormati saya, saya berasumsi bahwa pasukan Austria, di bawah komando asisten terampil seperti Jenderal Mack, sekarang telah memenangkan kemenangan yang menentukan dan tidak lagi butuh bantuan kami, - kata Kutuzov.
Jenderal itu mengerutkan kening. Meskipun tidak ada berita positif tentang kekalahan Austria, ada terlalu banyak keadaan yang mengkonfirmasi rumor umum yang tidak menguntungkan; dan karena itu asumsi Kutuzov tentang kemenangan Austria sangat mirip dengan ejekan. Tapi Kutuzov tersenyum lemah, masih dengan ekspresi yang sama yang mengatakan bahwa dia berhak untuk berasumsi seperti itu. Betulkah, surat terakhir, yang diterimanya dari tentara Mack, memberitahukan kepadanya tentang kemenangan dan posisi strategis tentara yang paling menguntungkan.
"Berikan aku surat ini di sini," kata Kutuzov, menoleh ke Pangeran Andrei. - Ini dia, jika Anda ingin melihatnya. - Dan Kutuzov, dengan senyum mengejek di ujung bibirnya, membaca bagian berikut dari surat Archduke Ferdinand dari jenderal Jerman-Austria: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Komunikasi Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit mit ganzer. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zubereiten, so er.” [Kami memiliki kekuatan yang terkonsentrasi penuh, sekitar 70.000 orang, sehingga kami dapat menyerang dan mengalahkan musuh jika dia melintasi Lech. Karena kita sudah memiliki Ulm, kita dapat mempertahankan keuntungan dari memimpin kedua tepi Danube, oleh karena itu, setiap menit, jika musuh tidak melewati Lech, seberangi Danube, bergegas ke jalur komunikasinya, seberangi Danube lebih rendah dan musuh , jika dia memutuskan untuk mengerahkan seluruh kekuatannya pada sekutu setia kita, untuk mencegah niatnya terpenuhi. Dengan demikian, kami dengan senang hati akan menantikan saat ketika kekaisaran tentara Rusia benar-benar siap, dan kemudian bersama-sama kita dapat dengan mudah menemukan kesempatan untuk mempersiapkan nasib musuh, yang pantas dia dapatkan.
Kutuzov menghela nafas berat, setelah menyelesaikan periode ini, dan dengan hati-hati dan penuh kasih memandang anggota Hofkriegsrat.
“Tapi Anda tahu, Yang Mulia, aturan bijak meresepkan untuk mengasumsikan yang terburuk, ”kata jenderal Austria, tampaknya ingin mengakhiri lelucon dan mulai berbisnis.
Dia tanpa sadar melirik ajudan.
"Permisi, Jenderal," Kutuzov memotongnya dan juga menoleh ke Pangeran Andrei. - Itulah yang, sayangku, Anda mengambil semua laporan dari pengintai kami dari Kozlovsky. Ini dua surat dari Count Nostitz, ini surat dari Yang Mulia Archduke Ferdinand, ini satu lagi,” katanya sambil menyerahkan beberapa kertas. - Dan dari semua ini dengan bersih, pada Perancis, buat memorandum, catatan, untuk visibilitas semua berita yang kita miliki tentang tindakan tentara Austria telah. Nah, kalau begitu, dan persembahkan untuk Yang Mulia.
Pangeran Andrei menundukkan kepalanya sebagai tanda bahwa dia mengerti dari kata-kata pertama tidak hanya apa yang dikatakan, tetapi juga apa yang ingin Kutuzov katakan padanya. Dia mengumpulkan kertas-kertas itu, dan, sambil membungkuk hormat, berjalan dengan tenang di sepanjang karpet, keluar ke ruang tunggu.
Terlepas dari kenyataan bahwa tidak banyak waktu berlalu sejak Pangeran Andrei meninggalkan Rusia, ia telah banyak berubah selama ini. Dalam ekspresi wajahnya, dalam gerakannya, dalam gaya berjalannya, hampir tidak ada kepura-puraan, kelelahan, dan kemalasan yang terlihat sebelumnya; dia berpenampilan seorang pria yang tidak punya waktu untuk memikirkan kesan yang dia buat pada orang lain, dan sibuk dengan urusan yang menyenangkan dan menarik. Wajahnya mengungkapkan lebih banyak kepuasan dengan dirinya sendiri dan orang-orang di sekitarnya; senyum dan penampilannya lebih ceria dan menarik.
Kutuzov, yang dia temui di Polandia, menerimanya dengan penuh kasih sayang, berjanji untuk tidak melupakannya, membedakannya dari ajudan lain, membawanya bersamanya ke Wina dan memberinya tugas yang lebih serius. Dari Wina, Kutuzov menulis kepada kawan lamanya, ayah Pangeran Andrei:
“Putramu,” tulisnya, “memberikan harapan untuk menjadi perwira yang unggul dalam studinya, ketegasan dan ketekunannya. Saya menganggap diri saya beruntung memiliki bawahan seperti itu. ”
Di markas Kutuzov, di antara rekan-rekannya, dan di tentara secara umum, Pangeran Andrei, serta di masyarakat St. Petersburg, memiliki dua reputasi yang sangat berlawanan.
Sendiri minoritas, mengakui Pangeran Andrei sebagai sesuatu yang istimewa dari diri mereka sendiri dan dari semua orang lain, mengharapkan kesuksesan besar darinya, mendengarkannya, mengaguminya dan menirunya; dan dengan orang-orang ini, Pangeran Andrei sederhana dan menyenangkan. Yang lain, mayoritas, tidak menyukai Pangeran Andrei, menganggapnya menggelembung, dingin, dan orang yang tidak menyenangkan. Namun dengan orang-orang ini, Pangeran Andrei tahu bagaimana memposisikan dirinya sedemikian rupa sehingga dia dihormati dan bahkan ditakuti.
Keluar dari kantor Kutuzov ke ruang tunggu, Pangeran Andrei dengan surat-surat mendekati rekannya, ajudan bertugas Kozlovsky, yang duduk di dekat jendela dengan sebuah buku.
- Nah, apa, pangeran? tanya Kozlovsky.
- Memerintahkan untuk membuat catatan, mengapa tidak mari kita maju.
- Dan mengapa?
Pangeran Andrew mengangkat bahu.
- Tidak ada kabar dari Mac? tanya Kozlovsky.
- Bukan.
- Jika benar dia dikalahkan, maka berita itu akan datang.
"Mungkin," kata Pangeran Andrei dan pergi ke pintu keluar; tetapi pada saat yang sama, membanting pintu untuk menemuinya, seorang jenderal Austria yang tinggi, jelas pendatang baru, dalam mantel rok, dengan kepala diikat dengan saputangan hitam dan dengan Ordo Maria Theresa di lehernya, dengan cepat memasuki ruang tunggu. . Pangeran Andrew berhenti.
- Jenderal Anshef Kutuzov? - dengan cepat kata jenderal tamu dengan aksen Jerman yang tajam, melihat sekeliling di kedua sisi dan tanpa berhenti berjalan ke pintu kantor.
"Jenderal sedang sibuk," kata Kozlovsky, buru-buru mendekati jenderal tak dikenal itu dan menghalangi jalannya dari pintu. - Bagaimana Anda ingin melaporkan?
Jenderal yang tidak dikenal itu memandang Kozlovsky yang pendek dengan jijik, seolah terkejut bahwa dia mungkin tidak dikenal.
"Kepala Jenderal sedang sibuk," ulang Kozlovsky dengan tenang.
Wajah sang jenderal mengerutkan kening, bibirnya berkedut dan gemetar. Dia mengeluarkan buku catatan, dengan cepat menggambar sesuatu dengan pensil, merobek selembar kertas, memberikannya, pergi dengan langkah cepat ke jendela, melemparkan tubuhnya ke kursi dan melihat sekeliling pada orang-orang di ruangan itu, seolah bertanya. : mengapa mereka menatapnya? Kemudian sang jenderal mengangkat kepalanya, menjulurkan lehernya, seolah ingin mengatakan sesuatu, tetapi segera, seolah-olah dengan ceroboh mulai bersenandung pada dirinya sendiri, membuat suara aneh, yang segera berhenti. Pintu kantor terbuka, dan Kutuzov muncul di ambang pintu. Jenderal dengan kepala dibalut, seolah melarikan diri dari bahaya, membungkuk, dengan langkah kaki yang besar dan cepat, mendekati Kutuzov.
- Vous voyez le malheureux Mack, [Anda lihat Mack yang malang.] - katanya dengan suara patah.
Wajah Kutuzov, yang berdiri di ambang pintu kantor, tetap tidak bergerak selama beberapa saat. Kemudian, seperti gelombang, kerutan muncul di wajahnya, dahinya menjadi halus; dia menundukkan kepalanya dengan hormat, memejamkan mata, diam-diam membiarkan Mack melewatinya, dan menutup pintu di belakangnya.
Desas-desus, yang sudah menyebar sebelumnya, tentang kekalahan Austria dan penyerahan seluruh pasukan di Ulm, ternyata benar. Setengah jam kemudian sudah arah yang berbeda ajudan dikirim dengan perintah yang membuktikan bahwa segera pasukan Rusia, yang masih tidak aktif, harus bertemu dengan musuh.
Pangeran Andrei adalah salah satu petugas langka di staf yang menganggap minat utamanya pada kursus umum bisnis militer. Melihat Mack dan mendengar detail kematiannya, dia menyadari bahwa setengah dari kampanye hilang, menyadari kesulitan posisi pasukan Rusia dan dengan jelas membayangkan apa yang menunggu tentara, dan peran yang harus dia mainkan di dalamnya.
Tanpa sadar, dia mengalami perasaan gembira yang menggairahkan memikirkan mempermalukan Austria yang lancang dan bahwa dalam seminggu, mungkin, dia harus melihat dan mengambil bagian dalam bentrokan antara Rusia dan Prancis, untuk pertama kalinya setelah Suvorov.
Tetapi dia takut pada kejeniusan Bonaparte, yang bisa lebih kuat dari semua keberanian pasukan Rusia, dan pada saat yang sama dia tidak bisa membiarkan rasa malu untuk pahlawannya.
Gembira dan jengkel dengan pemikiran ini, Pangeran Andrei pergi ke kamarnya untuk menulis kepada ayahnya, kepada siapa dia menulis setiap hari. Dia bertemu di koridor dengan teman sekamarnya Nesvitsky dan pelawak Zherkov; mereka, seperti biasa, menertawakan sesuatu.

Dan perkalian. Langsung saja tentang operasi perkalian dan akan dibahas pada artikel ini.

Perkalian angka

Perkalian angka dikuasai oleh anak-anak di kelas dua, dan tidak ada yang rumit tentang itu. Sekarang kita akan melihat perkalian dengan contoh.

Contoh 2*5. Ini berarti 2+2+2+2+2 atau 5+5. Kami mengambil 5 dua kali atau 2 lima kali. Jawabannya adalah 10 masing-masing.

Contoh 4*3. Demikian pula, 4+4+4 atau 3+3+3+3. Tiga kali 4 atau empat kali 3. Jawaban 12.

Contoh 5*3. Kami melakukan hal yang sama seperti contoh sebelumnya. 5+5+5 atau 3+3+3+3+3. Jawaban 15.

Rumus perkalian

Perkalian adalah jumlah nomor yang sama, misalnya 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 atau 2 * 5 = 5 + 5. Rumus perkalian:

Dimana, a adalah sembarang bilangan, n adalah banyaknya suku a. Katakanlah a=2, lalu 2+2+2=6, lalu n=3 mengalikan 3 dengan 2, kita mendapatkan 6. Pertimbangkan dalam urutan terbalik. Misalnya, diberikan: 3 * 3, yaitu. 3 dikalikan 3 - ini berarti bahwa ketiganya harus diambil 3 kali: 3 + 3 + 3 \u003d 9. 3 * 3 \u003d 9.

Perkalian disingkat

Perkalian yang disingkat adalah singkatan dari operasi perkalian dalam kasus-kasus tertentu, dan formula untuk perkalian yang disingkat telah dikembangkan secara khusus untuk ini. Yang akan membantu membuat perhitungan paling rasional dan cepat:

Rumus perkalian yang disingkat

Misalkan a, b milik R, maka:

    Kuadrat jumlah dua ekspresi adalah kuadrat dari ekspresi pertama ditambah dua kali produk dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua. Rumus: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

    Kuadrat selisih dua ekspresi adalah kuadrat dari ekspresi pertama dikurangi dua kali produk dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua. Rumus: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

    Selisih kuadrat dua ekspresi sama dengan produk dari perbedaan ekspresi ini dan jumlah mereka. Rumus: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

    jumlah kubus dua ekspresi sama dengan kubus dari ekspresi pertama ditambah tiga kali lipat produk kuadrat dari ekspresi pertama dengan yang kedua ditambah tiga kali lipat produk dari ekspresi pertama dengan kuadrat dari yang kedua ditambah pangkat tiga dari ekspresi kedua. Rumus: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

    perbedaan kubus dari dua ekspresi sama dengan pangkat tiga dari ekspresi pertama dikurangi tiga kali produk kuadrat dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah tiga kali produk dari ekspresi pertama dan kuadrat dari kedua dikurangi pangkat tiga dari ekspresi kedua. Rumus: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

    Jumlah kubus a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

    perbedaan kubus dua ekspresi sama dengan produk dari jumlah ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari perbedaan ekspresi ini. Rumus: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Mendaftar untuk kursus "Kami mempercepat perhitungan mental, BUKAN aritmatika mental"untuk mempelajari cara cepat dan benar menambah, mengurangi, mengalikan, membagi, bilangan kuadrat dan bahkan mengakar. Dalam 30 hari, Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran memiliki trik baru, contoh yang jelas dan berguna tugas.

Perkalian pecahan

Mempertimbangkan penambahan dan pengurangan pecahan, aturannya berbunyi, membawa pecahan ke faktor persekutuan untuk melakukan perhitungan. Saat mengalikan ini lakukan tidak dibutuhkan! Saat mengalikan dua pecahan, penyebut dikalikan dengan penyebut dan pembilang dikalikan dengan pembilangnya.

Misalnya, (2/5) * (3 * 4). Kalikan dua pertiga dengan seperempat. Kami mengalikan penyebut dengan penyebut, dan pembilang dengan pembilang: (2 * 3) / (5 * 4), lalu 6/20, kami membuat pengurangan, kami mendapatkan 3/10.

Perkalian Kelas 2

Kelas dua hanyalah awal dari pembelajaran perkalian, jadi siswa kelas dua menyelesaikan tugas paling sederhana untuk menggantikan penjumlahan dengan perkalian, perkalian angka, mempelajari tabel perkalian. Mari kita lihat tugas perkalian di tingkat kelas dua:

    Oleg tinggal di gedung berlantai lima, di lantai paling atas. Tinggi satu lantai adalah 2 meter. Berapakah tinggi rumah tersebut?

    Kotak berisi 10 bungkus biskuit. Setiap paket berisi 7 buah. Berapa banyak kue di dalam kotak?

    Misha mengatur mobil mainannya berjajar. Ada 7 di setiap baris, dan hanya ada 8 baris.Berapa banyak mobil yang dimiliki Misha?

    Ada 6 meja di ruang makan, dan 5 kursi didorong di belakang setiap meja. Berapa banyak kursi di ruang makan?

    Ibu membawa 3 karung jeruk dari toko. Paket berisi 22 jeruk. Berapa banyak jeruk yang dibawa ibu?

    Ada 9 semak stroberi yang tumbuh di kebun, dan 11 buah beri tumbuh di setiap semak. Berapa banyak buah beri yang tumbuh di semua semak?

    Roma menempatkan 8 bagian pipa satu demi satu, dengan ukuran yang sama yaitu 2 meter. Berapa panjang pipa penuh?

    Orang tua membawa anak-anak mereka ke sekolah pada tanggal 1 September. 12 mobil tiba, masing-masing dengan 2 anak. Berapa banyak anak yang dibawa orang tua mereka dengan mobil-mobil ini?

Perkalian Kelas 3

Di kelas tiga, tugas yang lebih serius diberikan. Selain perkalian, pembagian juga akan dilewati.

Di antara tugas-tugas perkalian adalah: perkalian bilangan dua angka, perkalian dengan kolom, penggantian penjumlahan dengan perkalian dan sebaliknya.

Perkalian kolom:

Perkalian kolom adalah cara termudah untuk mengalikan bilangan besar. Mempertimbangkan metode ini pada contoh dua angka 427 * 36.

1 langkah. Mari kita tulis angka satu di bawah yang lain, sehingga 427 di atas dan 36 di bawah, yaitu, 6 di bawah 7, 3 di bawah 2.

2 langkah. Kami memulai perkalian dengan digit paling kanan dari angka paling bawah. Artinya, urutan perkaliannya adalah: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4, maka sama dengan rangkap tiga: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4.

Jadi, pertama kalikan 6 dengan 7, jawabannya adalah: 42. Kami menuliskannya seperti ini: karena ternyata 42, maka 4 adalah puluhan, dan 2 adalah satu, pencatatannya mirip dengan penambahan, yang berarti kami menulis 2 di bawah enam, dan 4 ditambahkan ke dua dari angka 427 .

3 langkah. Kemudian kami melakukan hal yang sama dengan 6 * 2. Jawaban: 12. Sepuluh pertama, yang ditambahkan ke empat dari angka 427, dan yang kedua - unit. Kami menambahkan dua yang dihasilkan dengan empat dari perkalian sebelumnya.

4 langkah. Kalikan 6 dengan 4. Jawabannya adalah 24 dan tambahkan 1 dari perkalian sebelumnya. Kami mendapatkan 25.

Jadi, mengalikan 427 dengan 6, jawabannya adalah 2562

INGAT! Hasil perkalian kedua harus ditulis di bawah KEDUA nomor hasil pertama!

5 langkah. Kami melakukan tindakan serupa dengan nomor 3. Kami mendapatkan jawaban perkalian 427 * 3 = 1281

6 langkah. Kemudian kami menambahkan jawaban yang diterima saat mengalikan dan mendapatkan jawaban akhir dari perkalian 427 * 36. Jawaban: 15372.

Perkalian Kelas 4

Kelas keempat sudah perkalian saja angka besar. Perhitungan dilakukan dengan metode perkalian dalam kolom. Metode ini dijelaskan di atas dalam bahasa yang dapat diakses.

Misalnya, temukan produk dari pasangan bilangan berikut:

  1. 988 * 98 =
  2. 99 * 114 =
  3. 17 * 174 =
  4. 164 * 19 =

Presentasi Perkalian

Unduh presentasi tentang perkalian dengan tugas paling sederhana untuk siswa kelas dua. Presentasi akan membantu anak-anak menavigasi operasi ini dengan lebih baik karena penuh warna dan dalam gaya permainan- pilihan terbaik untuk mengajar anak!

Tabel perkalian

Tabel perkalian dipelajari oleh setiap siswa di kelas dua. Semua orang harus mengetahuinya!

Daftar ke kursus "Mempercepat penghitungan mental, BUKAN aritmatika mental" untuk mempelajari cara menambah, mengurangi, mengalikan, membagi, mengkuadratkan bilangan, dan bahkan mengakarkan dengan cepat dan benar. Dalam 30 hari, Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran berisi teknik baru, contoh yang jelas dan tugas yang berguna.

Contoh Perkalian

Perkalian dengan jelas

  1. 9 * 5 =
  2. 9 * 8 =
  3. 8 * 4 =
  4. 3 * 9 =
  5. 7 * 4 =
  6. 9 * 5 =
  7. 8 * 8 =
  8. 6 * 9 =
  9. 6 * 7 =
  10. 9 * 2 =
  11. 8 * 5 =
  12. 3 * 6 =

Perkalian dengan dua angka

  1. 4 * 16 =
  2. 11 * 6 =
  3. 24 * 3 =
  4. 9 * 19 =
  5. 16 * 8 =
  6. 27 * 5 =
  7. 4 * 31 =
  8. 17 * 5 =
  9. 28 * 2 =
  10. 12 * 9 =

Perkalian dua angka dengan dua angka

  1. 24 * 16 =
  2. 14 * 17 =
  3. 19 * 31 =
  4. 18 * 18 =
  5. 10 * 15 =
  6. 15 * 40 =
  7. 31 * 27 =
  8. 23 * 25 =
  9. 17 * 13 =

Perkalian bilangan tiga angka

  1. 630 * 50 =
  2. 123 * 8 =
  3. 201 * 18 =
  4. 282 * 72 =
  5. 96 * 660 =
  6. 910 * 7 =
  7. 428 * 37 =
  8. 920 * 14 =

Game untuk pengembangan penghitungan mental

Game edukasi khusus yang dikembangkan dengan partisipasi ilmuwan Rusia dari Skolkovo akan membantu meningkatkan keterampilan menghitung lisan dalam bentuk permainan yang menarik.

Permainan "Skor Cepat"

Gim "hitung cepat" akan membantu Anda meningkatkan pemikiran. Inti dari permainan ini adalah bahwa dalam gambar yang disajikan kepada Anda, Anda harus memilih jawaban "ya" atau "tidak" untuk pertanyaan "ada 5 buah yang identik?". Ikuti tujuan Anda, dan game ini akan membantu Anda dalam hal ini.

Permainan "Matriks matematika"

"Matriks Matematika" bagus senam otak untuk anak, yang akan membantu Anda mengembangkan kerja mentalnya, penghitungan mental, pencarian cepat untuk komponen yang tepat, perhatian. Inti dari permainan ini adalah pemain harus menemukan pasangan dari 16 angka yang diusulkan, yang secara total akan memberikan nomor yang diberikan, misalnya pada gambar di bawah ini, angka yang diberikan adalah "29", dan pasangan yang diinginkan adalah "5" dan "24".

Game "Cakupan numerik"

Permainan "cakupan angka" akan memuat memori Anda saat berlatih dengan latihan ini.

Inti dari permainan ini adalah untuk mengingat nomor, yang membutuhkan waktu sekitar tiga detik untuk menghafal. Maka Anda perlu memainkannya. Saat Anda maju melalui tahapan permainan, jumlah angka bertambah, mulai dengan dua dan teruskan.

Game "Tebak operasinya"

Permainan "Tebak operasi" mengembangkan pemikiran dan memori. esensi utama permainan untuk dipilih tanda matematika agar persamaan itu benar. Contoh diberikan di layar, perhatikan baik-baik dan letakkan tanda yang diinginkan"+" atau "-", sehingga persamaannya benar. Tanda "+" dan "-" terletak di bagian bawah gambar, pilih tanda yang diinginkan dan klik tombol yang diinginkan. Jika Anda menjawab dengan benar, Anda mencetak poin dan terus bermain.

Permainan "Sederhanakan"

Permainan "Sederhanakan" mengembangkan pemikiran dan memori. Inti utama dari permainan ini adalah dengan cepat melakukan operasi matematika. Seorang siswa digambar di layar di papan tulis, dan diberikan aksi matematika, siswa perlu menghitung contoh ini dan menulis jawabannya. Di bawah ini adalah tiga jawaban, hitung dan klik nomor yang Anda butuhkan dengan mouse. Jika Anda menjawab dengan benar, Anda mencetak poin dan terus bermain.

Permainan "Penambahan Cepat"

Permainan " Tambahan cepat» mengembangkan pemikiran dan memori. Inti utama dari permainan ini adalah memilih angka, yang jumlahnya sama dengan angka yang diberikan. Game ini diberikan matriks dari satu sampai enam belas. Angka tertentu ditulis di atas matriks, Anda harus memilih angka-angka dalam matriks sehingga jumlah angka-angka ini sama dengan angka yang diberikan. Jika Anda menjawab dengan benar, Anda mencetak poin dan terus bermain.

Permainan "Geometri Visual"

Permainan " geometri visual» mengembangkan pemikiran dan memori. Inti utama dari permainan ini adalah menghitung dengan cepat jumlah objek yang diarsir dan memilihnya dari daftar jawaban. Dalam permainan ini, kotak biru ditampilkan di layar selama beberapa detik, mereka harus dihitung dengan cepat, lalu ditutup. Empat angka ditulis di bawah tabel, Anda harus memilih satu angka yang benar dan mengkliknya dengan mouse. Jika Anda menjawab dengan benar, Anda mencetak poin dan terus bermain.

Game "Perbandingan Matematika"

Permainan "Perbandingan Matematika" mengembangkan pemikiran dan memori. Inti utama dari permainan ini adalah untuk membandingkan angka dan operasi matematika. Dalam permainan ini, Anda harus membandingkan dua angka. Di bagian atas, sebuah pertanyaan ditulis, dibaca dan dijawab dengan benar untuk pertanyaan yang diajukan. Anda dapat menjawab menggunakan tombol di bawah ini. Ada tiga tombol "kiri", "sama" dan "kanan". Jika Anda menjawab dengan benar, Anda mencetak poin dan terus bermain.

Pengembangan aritmatika mental yang fenomenal

Kami hanya mempertimbangkan puncak gunung es, untuk memahami matematika dengan lebih baik - daftar untuk kursus kami: Mempercepat penghitungan mental.

Dari kursus, Anda tidak hanya akan mempelajari lusinan trik untuk menyederhanakan dan perkalian cepat, penjumlahan, perkalian, pembagian, perhitungan persentase, tetapi juga mengerjakannya dalam tugas khusus dan game edukasi! Penghitungan mental juga membutuhkan banyak perhatian dan konsentrasi, yang dilatih secara aktif dalam memecahkan masalah. tugas yang menarik.

Membaca cepat dalam 30 hari

Tingkatkan kecepatan membaca Anda sebanyak 2-3 kali dalam 30 hari. Dari 150-200 hingga 300-600 wpm atau dari 400 hingga 800-1200 wpm. Kursus ini menggunakan latihan tradisional untuk pengembangan membaca cepat, teknik yang mempercepat kerja otak, metode untuk meningkatkan kecepatan membaca secara progresif, memahami psikologi membaca cepat dan pertanyaan peserta kursus. Cocok untuk anak-anak dan orang dewasa membaca hingga 5.000 kata per menit.

Perkembangan memori dan perhatian pada anak berusia 5-10 tahun

Kursus ini mencakup 30 pelajaran dengan tips dan latihan yang berguna untuk perkembangan anak-anak. Dalam setiap pelajaran saran yang bermanfaat, beberapa latihan yang menarik, tugas untuk pelajaran dan bonus tambahan di akhir: mini-game pendidikan dari mitra kami. Durasi kursus: 30 hari. Kursus ini bermanfaat tidak hanya untuk anak-anak, tetapi juga untuk orang tua mereka.

Memori super dalam 30 hari

Ingat informasi yang perlu secara cepat dan permanen. Ingin tahu bagaimana cara membuka pintu atau mencuci rambut? Saya yakin tidak, karena itu adalah bagian dari hidup kita. Cahaya dan latihan sederhana untuk pelatihan memori, Anda dapat menjadikannya bagian dari kehidupan dan melakukan sedikit di siang hari. Jika makan tunjangan harian makan pada suatu waktu, atau Anda dapat makan dalam porsi sepanjang hari.

Rahasia kebugaran otak, kami melatih memori, perhatian, berpikir, berhitung

Otak, seperti tubuh, membutuhkan latihan. Latihan fisik memperkuat tubuh, latihan mental mengembangkan otak. 30 hari latihan yang bermanfaat dan permainan pendidikan untuk pengembangan memori, konsentrasi, kecerdasan cepat dan membaca cepat akan memperkuat otak, mengubahnya menjadi kacang yang sulit untuk dipecahkan.

Uang dan pola pikir seorang jutawan

Mengapa ada masalah uang? Dalam kursus ini, kami akan menjawab pertanyaan ini secara rinci, melihat jauh ke dalam masalah, mempertimbangkan hubungan kami dengan uang dari psikologis, ekonomi dan poin emosional penglihatan. Dari kursus ini, Anda akan belajar apa yang perlu Anda lakukan untuk menyelesaikan semua masalah keuangan Anda, mulai menabung dan menginvestasikannya di masa depan.

Mengetahui psikologi uang dan cara bekerja dengannya membuat seseorang menjadi jutawan. 80% orang dengan peningkatan pendapatan mengambil lebih banyak pinjaman, menjadi lebih miskin. Sebaliknya, jutawan mandiri akan menghasilkan jutaan lagi dalam 3-5 tahun jika mereka mulai dari awal. Kursus ini mengajarkan cara mendistribusikan pendapatan dan mengurangi biaya dengan benar, memotivasi Anda untuk belajar dan mencapai tujuan, mengajarkan Anda cara berinvestasi dan mengenali penipuan.

Untuk mengalikan satu bilangan bulat dengan yang lain berarti mengulang satu bilangan sebanyak bilangan lainnya mengandung bilangan. Mengulang suatu bilangan berarti mengambil penjumlahannya beberapa kali dan menentukan jumlahnya.

Definisi perkalian

Perkalian bilangan bulat adalah operasi di mana Anda perlu mengambil satu angka sebanyak yang lainnya berisi unit, dan menemukan jumlah dari istilah-istilah ini.

Mengalikan 7 dengan 3 berarti mengambil angka 7 sebanyak tiga kali dan menemukan jumlahnya. Jumlah yang diinginkan adalah 21.

Perkalian adalah penjumlahan suku-suku yang sama.

Data dalam perkalian disebut pengganda dan pengganda, dan yang diinginkan - kerja.

Dalam contoh yang diusulkan, data akan menjadi pengali 7, pengali 3, dan produk yang diinginkan 21.

perkalian. Kelipatan adalah angka yang dikalikan atau diulangi dengan penjumlahan. Pengganda menyatakan besaran suku-suku yang sama.

Faktor. Pengganda menunjukkan berapa kali pengali diulang oleh istilah. Pengganda menunjukkan jumlah suku yang sama.

Kerja. Perkalian adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian. Ini adalah jumlah dari istilah yang sama.

Pengganda dan pengali bersama-sama disebut produsen.

Saat mengalikan bilangan bulat, satu angka bertambah sebanyak yang lain berisi unit.

tanda perkalian. Operasi perkalian dilambangkan dengan tanda × (persilangan tidak langsung) atau. (dot). Tanda perkalian ditempatkan di antara pengali dan pengali.

Ulangi angka 7 tiga kali sebagai penjumlahan dan temukan jumlah artinya 7 kali 3. Alih-alih menulis

tulis menggunakan tanda perkalian secara singkat:

7 × 3 atau 7 3

Perkalian adalah penjumlahan singkatan dari suku-suku yang sama.

Tanda ( × ) diperkenalkan oleh Oughtred (1631), dan tanda. Christian Wolff (1752).

Hubungan antara data dan bilangan yang diinginkan dinyatakan dalam perkalian

secara tertulis:

7 × 3 = 21 atau 7 3 = 21

secara lisan:

tujuh kali tiga adalah 21.

Untuk membuat produk 21, Anda perlu mengulangi 7 tiga kali

Untuk membuat faktor 3, Anda perlu mengulang unit tiga kali

Oleh karena itu kita memiliki definisi lain dari perkalian: Perkalian adalah operasi di mana produk terdiri dari perkalian dengan cara yang persis sama seperti perkalian terdiri dari kesatuan.

Properti utama dari pekerjaan

Produk tidak berubah dari perubahan urutan produsen.

Bukti. Mengalikan 7 dengan 3 berarti mengulang 7 tiga kali. Mengganti 7 dengan jumlah 7 unit dan menumpuknya secara vertikal, kami memiliki:

Jadi, ketika mengalikan dua angka, kita dapat menganggap salah satu dari dua produsen sebagai pengali. Atas dasar ini, produsen disebut faktor atau hanya pengganda.

Paling penerimaan umum perkalian terdiri dari penambahan suku-suku yang sama; tetapi jika produsennya besar, trik ini menyebabkan perhitungan yang panjang, sehingga perhitungannya sendiri diatur secara berbeda.

Perkalian bilangan satu digit. tabel phytagoras

Untuk mengalikan dua angka satu digit, Anda perlu mengulangi satu angka dengan suku sebanyak yang lainnya berisi unit, dan menemukan jumlah mereka. Karena perkalian bilangan bulat direduksi menjadi perkalian bilangan satu digit, bilangan tersebut membentuk tabel perkalian semua bilangan satu digit berpasangan. Tabel seperti itu dari semua produk bilangan satu digit berpasangan disebut tabel perkalian.

Penemuannya dikaitkan dengan filsuf Yunani Pythagoras, yang setelahnya disebut. tabel phytagoras. (Pythagoras lahir sekitar tahun 569 SM).

Untuk menyusun tabel ini, Anda perlu menulis 9 angka pertama dalam baris horizontal:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Kemudian, di bawah baris ini, Anda perlu menandatangani serangkaian angka yang menyatakan produk dari angka-angka ini dengan 2. Serangkaian angka ini akan berubah ketika kita menambahkan setiap angka ke dirinya sendiri di baris pertama. Dari baris angka kedua kita berturut-turut pergi ke 3, 4, dll. Setiap baris berikutnya diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan nomor baris pertama ke dalamnya.

Terus lakukan ini sampai baris 9, kita mendapatkan tabel Pythagoras dalam bentuk berikut:

Untuk menemukan produk dari dua angka satu digit dari tabel ini, Anda perlu menemukan satu pabrikan di baris horizontal pertama, dan yang lainnya di kolom vertikal pertama; maka produk yang diinginkan akan berada di persimpangan kolom dan baris yang sesuai. Jadi, hasil kali 6 × 7 = 42 berada di perpotongan baris ke-6 dan kolom ke-7. Produk dari nol kali angka dan angka kali nol selalu memberikan nol.

Karena hasil kali suatu bilangan dengan 1 menghasilkan bilangan itu sendiri, dan membalik urutan faktor-faktornya tidak mengubah hasil kali, maka semua hasil kali dua bilangan tunggal yang berbeda yang harus Anda perhatikan ada dalam tabel berikut:

Produk dari angka satu digit yang tidak terdapat dalam tabel ini diperoleh dari data, jika hanya urutan pengali yang diubah di dalamnya; jadi 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

Perkalian angka banyak angka dengan angka satu angka

Perkalian angka 8094 dengan 3 ditunjukkan dengan menandatangani pengali di bawah perkalian, meletakkan tanda perkalian di sebelah kiri dan menggambar garis untuk memisahkan produk.

Mengalikan multi-digit angka 8094 dengan 3 berarti menemukan jumlah dari tiga istilah yang sama

oleh karena itu, untuk perkalian, Anda perlu mengulangi semua urutan angka multi-digit tiga kali, yaitu, kalikan dengan 3 unit, puluhan, ratusan, dll. Penjumlahan dimulai dari satu, oleh karena itu, perkalian juga harus dimulai dari satu, dan kemudian pergi dari tangan kanan ke kiri ke unit orde tinggi.

Dalam hal ini, jalannya perhitungan dinyatakan secara lisan:

    Kita mulai perkalian dengan satuan: 3 × 4 adalah 12, kami menandatangani di bawah unit 2, dan kami menerapkan unit (1 sepuluh) ke produk dari urutan berikutnya dengan faktor (atau ingat dalam pikiran Anda).

    Mengalikan Puluhan: 3×9 adalah 27, ya 1 dalam pikiran adalah 28; kami menandatangani di bawah puluhan 8 dan 2 dalam pikiran.

    Mengalikan ratusan: Nol dikalikan 3 menghasilkan nol, ya 2 di pikiran akan menjadi 2, kita tanda di bawah ratusan 2.

    Mengalikan ribuan: 3×8 = 24, kami tandatangani lengkap 24, karena kami tidak memiliki perintah berikut.

Tindakan ini akan dinyatakan secara tertulis:

Dari contoh sebelumnya, kami menyimpulkan aturan selanjutnya. Untuk mengalikan angka multi-digit dengan angka satu digit, Anda perlu:

    Tanda tangani pengali di bawah satuan perkalian, letakkan tanda perkalian di sebelah kiri dan buat garis.

    Perkalian dimulai dari satuan sederhana, kemudian, bergerak dari tangan kanan ke kiri, mereka berturut-turut mengalikan puluhan, ratusan, ribuan, dll.

    Jika selama perkalian, produk dinyatakan sebagai angka satu digit, maka itu ditandatangani di bawah digit yang dikalikan dari perkalian.

    Jika produk dinyatakan sebagai bilangan dua digit, maka digit satuan ditandatangani di bawah kolom yang sama, dan digit puluhan ditambahkan ke produk dari urutan berikutnya dengan faktor.

    Perkalian berlanjut sampai produk lengkap diperoleh.

Mengalikan bilangan dengan 10, 100, 1000...

Mengalikan angka dengan 10 berarti mengubah satuan sederhana menjadi puluhan, puluhan menjadi ratusan, dst., yaitu menambah urutan semua angka menjadi satu. Ini dicapai dengan menambahkan satu nol ke kanan. Mengalikan dengan 100 berarti menambah semua pesanan pengganda dengan dua unit, yaitu, mengubah unit menjadi ratusan, puluhan menjadi ribuan, dll.

Hal ini dicapai dengan menganggap dua angka nol pada angka tersebut.

Oleh karena itu kami menyimpulkan:

Untuk mengalikan bilangan bulat dengan 10, 100, 1000, dan umumnya dengan 1 dengan nol, Anda perlu menetapkan nol sebanyak yang ada di pengali.

Mengalikan angka 6035 dengan 1000 akan dinyatakan secara tertulis:

Ketika pengali adalah angka yang diakhiri dengan nol, hanya angka penting yang ditandatangani di bawah pengali, dan nol dari pengali dikaitkan ke kanan.

Untuk mengalikan 2039 dengan 300, Anda perlu mengambil angka 2029 dalam bentuk 300 kali. Mengambil 300 suku sama dengan mengambil tiga kali 100 suku atau 100 kali tiga suku. Untuk melakukan ini, kita mengalikan angka dengan 3, dan kemudian dengan 100, atau pertama-tama kita kalikan dengan 3, dan kemudian kita menghubungkan dua nol ke kanan.

Jalannya perhitungan akan dinyatakan secara tertulis:

aturan. Untuk mengalikan satu angka dengan angka lain, yang diwakili oleh angka dengan nol, Anda harus terlebih dahulu mengalikan perkalian dan angka yang dinyatakan dengan angka penting, lalu menetapkan angka nol sebanyak yang ada dalam faktor tersebut.

Perkalian angka multi-digit dengan angka multi-digit

Untuk mengalikan angka multi-digit 3029 dengan angka multi-digit 429, atau menemukan produk 3029 * 429, Anda perlu mengulangi 3029 istilah 429 kali dan menemukan jumlahnya. Mengulangi 3029 suku sebanyak 429 kali berarti mengulang suku-sukunya terlebih dahulu 9, lalu 20 dan akhirnya 400 kali. Oleh karena itu, untuk mengalikan 3029 dengan 429, Anda perlu mengalikan 3029 terlebih dahulu dengan 9, kemudian dengan 20, dan terakhir dengan 400 dan menemukan jumlah dari ketiga produk ini.

Tiga karya

ditelepon pekerjaan pribadi.

Hasil kali penuh dari 3029 × 429 sama dengan jumlah tiga hasil bagi:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400.

Mari kita cari nilai dari ketiga produk parsial ini.

    Mengalikan 3029 dengan 9, kami menemukan:

    3029 ×9 27261 pekerjaan pribadi pertama

    Mengalikan 3029 dengan 20, kami menemukan:

    3029 × 20 Pekerjaan pribadi 60580 detik

    Mengalikan 3026 dengan 400, kami menemukan:

    3029 ×400 1211600 pekerjaan pribadi ketiga

Menambahkan produk parsial ini, kami mendapatkan produk 3029 × 429:

Tidak sulit untuk melihat bahwa semua produk parsial ini adalah produk dari nomor 3029 oleh satu digit 9, 2, 4, dan satu nol ditetapkan ke produk kedua, yang berasal dari perkalian dengan puluhan, dan dua nol ke yang ketiga.

Nol yang dikaitkan dengan produk parsial dihilangkan selama perkalian dan proses perhitungan dinyatakan secara tertulis:

Dalam hal ini, ketika mengalikan dengan 2 (digit dari puluhan pengganda), mereka menandatangani 8 di bawah puluhan, atau mundur ke kiri dengan satu digit; jika dikalikan dengan ratusan angka 4, tandai 6 di kolom ketiga, atau mundur ke kiri 2 angka. Secara umum, setiap pekerjaan pribadi mulai ditandatangani dari tangan kanan ke kiri di bawah urutan digit pengali.

Mencari produk dari 3247 oleh 209, kami memiliki:

Di sini kita mulai menandatangani produk parsial kedua di bawah kolom ketiga, karena ini menyatakan produk 3247 dengan 2, digit ketiga dari pengali.

Kami telah menghilangkan di sini hanya dua nol yang seharusnya muncul di produk parsial kedua, karena mengungkapkan produk dari angka dengan 2 ratusan atau 200.

Dari apa yang telah dikatakan, kami menyimpulkan aturannya. Untuk mengalikan angka multi-digit dengan angka multi-digit,

    Anda perlu menandatangani pengali di bawah pengali sehingga angka-angka dengan urutan yang sama berada di kolom vertikal yang sama, letakkan tanda perkalian di sebelah kiri dan buat garis.

    Perkalian dimulai dengan unit sederhana, kemudian mereka bergerak dari tangan kanan ke kiri, mengalikan pengali seri dengan angka puluhan, ratusan, dll. dan membuat produk parsial sebanyak sosok penting di pengganda.

    Satuan dari setiap produk pribadi ditandatangani di bawah kolom yang memiliki angka pengali.

    Semua karya pribadi yang ditemukan dengan cara ini ditambahkan bersama dan menerima produk secara total.

Untuk mengalikan angka multi-digit dengan faktor yang berakhiran nol, Anda harus membuang angka nol pada faktor tersebut, mengalikannya dengan angka yang tersisa, lalu menambahkan angka nol ke produk sebanyak yang ada dalam faktor tersebut.

Contoh. Carilah hasil kali 342 dengan 2700.

Jika pengali dan pengali keduanya berakhir dengan nol, mereka dibuang selama perkalian dan kemudian sebanyak nol ditambahkan ke produk seperti yang ada di kedua produsen.

Contoh. Menghitung produk dari 2700 dengan 35000, kami mengalikan 27 dengan 35

Menetapkan lima nol ke 945, kami mendapatkan produk yang diinginkan:

2700 × 35000 = 94500000.

Jumlah digit produk. Jumlah digit produk 3728 × 496 dapat ditentukan sebagai berikut. Hasilkali ini lebih dari 3728 × 100 dan kurang dari 3728 × 1000. Banyaknya angka hasil kali pertama 6 sama dengan jumlah angka pada perkalian 3728 dan pada perkalian 496 tanpa satu. Banyaknya angka hasil kali kedua 7 sama dengan jumlah angka pada perkalian dan perkalian. Produk tertentu 3728 × 496 tidak boleh memiliki kurang dari 6 digit (jumlah digit produk adalah 3728 × 100, dan lebih dari 7 (jumlah digit produk adalah 3728 × 1000).

Dimana kita menyimpulkan: jumlah digit produk apa pun sama dengan jumlah digit dalam perkalian dan faktor, atau sama dengan angka ini tanpa kesatuan.

Produk kami dapat berisi 7 atau 6 digit.

Derajat

Antara karya yang berbeda layak perhatian khusus dimana produsen setara. Sebagai contoh:

2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9.

kotak. Hasil kali dua faktor yang sama disebut kuadrat suatu bilangan.

Dalam contoh kita 4 adalah persegi 2, 9 adalah persegi 3.

Kuba. Hasil kali tiga faktor yang sama disebut pangkat tiga.

Jadi, pada contoh 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, angka 8 adalah pangkat tiga dari 2, 27 adalah pangkat tiga dari 3.

Umumnya hasil kali beberapa faktor yang sama disebutderajat bilangan . Derajat mendapatkan namanya dari jumlah faktor yang sama.

Produk dari dua faktor yang sama atau kotak ditelepon derajat kedua.

Produk dari tiga faktor yang sama atau kotak ditelepon derajat ketiga, dll.

ARTIKEL TERKAIT