Hari ini di pelajaran kita akan menganalisis urutan yang ketat dan definisi yang ketat dari limit suatu fungsi, serta belajar bagaimana memecahkan masalah yang sesuai teoretis. Artikel ini ditujukan terutama untuk mahasiswa tahun pertama ilmu alam dan spesialisasi teknik yang telah mulai mempelajari teori analisis matematis, dan mengalami kesulitan dalam memahami bagian matematika yang lebih tinggi ini. Selain itu, materinya cukup mudah diakses oleh siswa SMA.

Selama bertahun-tahun keberadaan situs, saya menerima selusin surat yang tidak baik dengan isi kira-kira sebagai berikut: "Saya tidak mengerti analisis matematis dengan baik, apa yang harus saya lakukan?", "Saya tidak mengerti matan sama sekali, saya' saya berpikir untuk berhenti belajar,” dll. Memang, matanlah yang sering menipis kelompok siswa setelah sesi pertama. Mengapa hal-hal seperti ini? Karena subjeknya sangat kompleks? Tidak semuanya! Teori analisis matematis tidak begitu sulit karena aneh. Dan Anda harus menerima dan mencintainya apa adanya =)

Mari kita mulai dengan kasus yang paling sulit. Pertama dan terpenting, jangan putus sekolah. Pahami dengan benar, berhenti, itu akan selalu punya waktu ;-) Tentu saja, jika dalam satu atau dua tahun dari spesialisasi yang dipilih itu akan membuat Anda sakit, maka ya - Anda harus memikirkannya (dan tidak memukul demam!) tentang perubahan aktivitas. Tapi untuk saat ini layak untuk dilanjutkan. Dan, tolong, lupakan frasa "Saya tidak mengerti apa-apa" - Anda tidak mengerti apa-apa sama sekali.

Apa yang harus dilakukan jika teorinya buruk? Omong-omong, ini tidak hanya berlaku untuk analisis matematis. Jika teorinya buruk, maka pertama-tama Anda harus SERIUS berlatih. Dalam hal ini, dua tujuan strategis:

- Pertama, proporsi yang signifikan pengetahuan teoretis terjadi melalui latihan. Dan begitu banyak orang memahami teori melalui ... - itu benar! Tidak, tidak, Anda tidak memikirkan itu.

- Dan, kedua, keterampilan praktis sangat mungkin untuk "meregangkan" Anda dalam ujian, bahkan jika ..., tetapi jangan disetel seperti itu! Semuanya nyata dan semuanya nyata "naik" secukupnya waktu singkat. Analisis matematika adalah bagian favorit saya dari matematika yang lebih tinggi, dan karena itu saya tidak bisa tidak membantu Anda:

Pada awal semester 1, batas urut dan batas fungsi biasanya lewat. Tidak mengerti apa itu dan tidak tahu bagaimana menyelesaikannya? Mulailah dengan sebuah artikel Batas Fungsi, di mana konsep itu sendiri dianggap "dengan jari" dan contoh paling sederhana dianalisis. Kemudian kerjakan pelajaran lain tentang topik tersebut, termasuk pelajaran tentang dalam urutan, di mana saya sebenarnya telah merumuskan definisi yang ketat.

Ikon apa selain tanda pertidaksamaan dan modulus yang Anda ketahui?

- tongkat vertikal panjang berbunyi seperti ini: “sehingga”, “sehingga”, “sedemikian rupa” atau “sedemikian rupa”, dalam kasus kami, jelas, kami berbicara tentang angka - oleh karena itu "sehingga";

- untuk semua "en" lebih besar dari ;

– tanda modul berarti jarak, yaitu entri ini memberi tahu kita bahwa jarak antar nilai kurang dari epsilon.

Nah, apakah itu sangat sulit? =)

Setelah menguasai latihan, saya menunggu Anda di paragraf berikut:

Memang, mari kita berpikir sedikit - bagaimana merumuskan definisi urutan yang ketat? ... Hal pertama yang terlintas dalam pikiran dalam terang sesi praktik: "batas suatu barisan adalah bilangan yang mendekati tak terhingga anggota barisan tersebut."

Oke, mari kita menulis selanjutnya :

Sangat mudah untuk memahami itu selanjutnya mendekati tak hingga mendekati -1, dan suku genap - untuk "satuan".

Mungkin dua batas? Tetapi mengapa beberapa urutan tidak dapat memiliki sepuluh atau dua puluh dari mereka? Dengan begitu Anda bisa pergi jauh. Dalam hal ini, adalah logis untuk mengasumsikan bahwa jika barisan memiliki limit, maka barisan tersebut unik.

Catatan : barisan tidak memiliki batas, tetapi dua turunan dapat dibedakan darinya (lihat di atas), yang masing-masing memiliki batasnya sendiri.

Dengan demikian, definisi di atas ternyata tidak dapat dipertahankan. Ya, ini berfungsi untuk kasus seperti (yang tidak saya gunakan dengan benar dalam penjelasan sederhana tentang contoh-contoh praktis), tetapi sekarang kita perlu menemukan definisi yang ketat.

Percobaan kedua: “Batas suatu barisan adalah bilangan yang didekati oleh SEMUA anggota barisan, dengan pengecualian, mungkin, terakhir kuantitas." Ini lebih dekat dengan kebenaran, tetapi masih belum sepenuhnya akurat. Jadi, misalnya, urutannya setengah dari istilah tidak mendekati nol sama sekali - mereka sama dengan itu =) Omong-omong, "lampu berkedip" umumnya membutuhkan dua nilai tetap.

Rumusannya tidak sulit untuk dijelaskan, tetapi kemudian muncul pertanyaan lain: bagaimana menulis definisi dalam tanda matematika? dunia ilmiah berjuang dengan masalah ini untuk waktu yang lama, sampai situasinya terselesaikan maestro terkenal, yang, pada dasarnya, memformalkan analisis matematika klasik dengan segala ketelitiannya. Cauchy menawarkan untuk beroperasi lingkungan yang sangat memajukan teori.

Pertimbangkan beberapa hal dan itu sewenang-wenang-lingkungan:

Nilai "epsilon" selalu positif, dan terlebih lagi, kita berhak memilihnya sendiri. Asumsikan bahwa lingkungan yang diberikan berisi satu set istilah (belum tentu semua) beberapa urutan. Bagaimana menuliskan fakta bahwa, misalnya, istilah kesepuluh jatuh ke lingkungan? Biarkan itu di sisi kanannya. Maka jarak antara titik dan harus kurang dari "epsilon": . Namun, jika "x kesepuluh" terletak di sebelah kiri titik "a", maka selisihnya akan negatif, dan oleh karena itu tanda harus ditambahkan padanya. modul: .

Definisi: suatu bilangan disebut limit suatu barisan jika untuk apa saja sekitarnya (dipilih sebelumnya) ada bilangan asli - SEPERTI itu SEMUA anggota urutan dengan nomor yang lebih tinggi akan berada di dalam lingkungan:

Atau lebih pendek: jika

Dengan kata lain, tidak peduli seberapa kecil nilai "epsilon" yang kita ambil, cepat atau lambat "ekor tak terbatas" dari barisan akan SEPENUHNYA berada di lingkungan ini.

Jadi, misalnya, "ekor tak terbatas" dari urutan SEPENUHNYA masuk ke setiap lingkungan kecil sewenang-wenang dari titik . Jadi, nilai ini adalah limit dari barisan menurut definisi. Saya mengingatkan Anda bahwa urutannya, batasnya nol, ditelepon kecil sekali.

Perlu dicatat bahwa untuk urutan tidak mungkin lagi mengatakan "ekor tak terbatas" akan datang”- anggota dengan bilangan ganjil sebenarnya sama dengan nol dan “jangan kemana-mana” =) Itulah sebabnya kata kerja “akan berakhir” digunakan dalam definisi. Dan, tentu saja, anggota urutan seperti itu juga "tidak pergi ke mana pun." Omong-omong, periksa apakah jumlahnya akan menjadi batasnya.

Mari kita tunjukkan bahwa barisan tidak memiliki batas. Pertimbangkan, misalnya, lingkungan titik . Cukup jelas bahwa tidak ada nomor seperti itu, setelah itu ALL anggota akan berada di lingkungan yang diberikan - anggota ganjil akan selalu "melompat" ke "minus satu". Untuk alasan yang sama, tidak ada batasan pada intinya.

Perbaiki materi dengan latihan:

Contoh 1

Buktikan bahwa limit barisan tersebut adalah nol. Tunjukkan nomor , setelah itu semua anggota barisan dijamin berada di dalam sembarang lingkungan kecil dari titik tersebut .

Catatan : untuk banyak barisan, bilangan asli yang diinginkan bergantung pada nilai - maka notasinya .

Keputusan: mempertimbangkan sewenang-wenang akankah ada nomor - sehingga SEMUA anggota dengan nomor yang lebih tinggi akan berada di dalam lingkungan ini:

Untuk menunjukkan adanya bilangan yang diperlukan , kita nyatakan dalam bentuk .

Karena untuk sembarang nilai "en", maka tanda modulus dapat dihilangkan:

Kami menggunakan tindakan "sekolah" dengan ketidaksetaraan yang saya ulangi dalam pelajaran Pertidaksamaan linier dan Lingkup fungsi. Dalam hal ini, keadaan penting adalah bahwa "epsilon" dan "en" positif:

Karena di sebelah kiri kita berbicara tentang bilangan asli, dan bagian kanan di kasus umum pecahan, maka harus dibulatkan:

Catatan : kadang ada penambahan unit di sebelah kanan untuk reasuransi, tapi nyatanya ini berlebihan. Secara relatif, jika kita juga melemahkan hasilnya dengan membulatkan sisi yang lebih kecil, maka bilangan terdekat yang sesuai (“tiga”) akan tetap memenuhi pertidaksamaan semula.

Dan sekarang kami melihat ketidaksetaraan dan ingat bahwa pada awalnya kami mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan, mis. "epsilon" bisa sama dengan siapa pun nomor positif.

Kesimpulan: untuk sembarang kecil -tetangga titik, nilainya . Jadi, suatu bilangan adalah limit suatu barisan menurut definisi. Q.E.D.

Omong-omong, dari hasilnya sebuah pola alami terlihat jelas: semakin kecil -neighborhood, semakin besar jumlah yang setelah itu SEMUA anggota barisan akan berada di lingkungan ini. Tapi tidak peduli seberapa kecil "epsilon", akan selalu ada "ekor tak terbatas" di dalam, dan di luar - meskipun besar, namun terakhir jumlah anggota.

Bagaimana impresinya? =) Saya setuju bahwa itu aneh. Tapi ketat! Silakan baca ulang dan pikirkan lagi.

Pertimbangkan contoh serupa dan berkenalanlah dengan orang lain teknik:

Contoh 2

Keputusan: dengan definisi barisan, perlu dibuktikan bahwa (Bicaralah dengan lantang!!!).

Mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan titik dan cek, apakah itu ada? bilangan asli - sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar, pertidaksamaan berikut berlaku:

Untuk menunjukkan keberadaan seperti itu , Anda perlu mengekspresikan "en" melalui "epsilon". Kami menyederhanakan ekspresi di bawah tanda modul:

Modul menghancurkan tanda minus:

Penyebutnya positif untuk setiap "en", oleh karena itu, tongkat dapat dilepas:

mengacak:

Sekarang kita perlu mengekstrak Akar pangkat dua, tetapi tangkapannya adalah untuk beberapa epsilon, sisi kanan akan negatif. Untuk menghindari masalah ini mari kita kuatkan modulus pertidaksamaan:

Mengapa ini bisa dilakukan? Jika, secara relatif, ternyata , maka kondisinya akan lebih terpenuhi. Modul dapat hanya meningkatkan ingin nomor , dan itu akan cocok untuk kita juga! Secara kasar, jika yang keseratus cocok, maka yang ke dua ratus akan berhasil! Menurut definisi, Anda perlu menunjukkan keberadaan nomor itu sendiri(setidaknya beberapa), setelah itu semua anggota urutan akan berada di -neighbourhood. Omong-omong, itu sebabnya kami tidak takut dengan pembulatan terakhir dari sisi kanan ke atas.

Mengekstrak akar:

Dan bulatkan hasilnya:

Kesimpulan: karena nilai "epsilon" dipilih secara sewenang-wenang, kemudian untuk setiap lingkungan kecil yang sewenang-wenang dari titik, nilainya , sehingga pertidaksamaan . Dengan demikian, a-prioritas. Q.E.D.

saya menyarankan khususnya memahami penguatan dan pelemahan ketidaksetaraan - ini adalah metode analisis matematika yang khas dan sangat umum. Satu-satunya hal yang Anda butuhkan untuk memantau kebenaran tindakan ini atau itu. Jadi, misalnya, ketidaksetaraan dengan tidak bermaksud melonggarkan, mengurangkan, katakanlah, satu:

Sekali lagi, bersyarat: jika nomornya pas, maka yang sebelumnya mungkin tidak cocok lagi.

Contoh berikutnya untuk keputusan independen:

Contoh 3

Dengan menggunakan definisi barisan, buktikan bahwa

Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran.

Jika urutannya luar biasa hebat, maka definisi limit dirumuskan dengan cara yang sama: suatu titik disebut limit suatu barisan jika untuk sembarang, besar sewenang-wenang ada angka sedemikian rupa sehingga untuk semua angka yang lebih besar , ketidaksetaraan akan terpenuhi. Nomor tersebut disebut lingkungan titik "ditambah tak terhingga":

Dengan kata lain, apapun sangat penting tidak peduli apa, "ekor tak terbatas" dari barisan pasti akan masuk ke -tetangga titik , hanya menyisakan sejumlah suku di sebelah kiri.

Contoh kerja:

Dan notasi yang disingkat: jika

Untuk kasus ini, tulis sendiri definisinya. Versi yang benar ada di akhir pelajaran.

Setelah Anda "mengisi" tangan Anda contoh praktis dan menemukan definisi batas barisan, Anda dapat merujuk ke literatur tentang analisis matematika dan / atau buku catatan Anda dengan kuliah. Saya sarankan mengunduh volume pertama Bohan (lebih mudah - untuk siswa paruh waktu) dan Fikhtengoltz (lebih detail dan teliti). Dari penulis lain, saya menyarankan Piskunov, yang kursusnya difokuskan pada universitas teknis.

Cobalah untuk mempelajari teorema yang berkaitan dengan batas barisan, buktinya, konsekuensinya dengan cermat. Pada awalnya, teorinya mungkin tampak "berawan", tetapi ini normal - hanya perlu membiasakan diri. Dan banyak yang bahkan akan merasakannya!

Definisi ketat dari limit suatu fungsi

Mari kita mulai dengan hal yang sama - bagaimana merumuskan konsep ini? Definisi verbal limit suatu fungsi dirumuskan lebih sederhana: “suatu bilangan adalah limit suatu fungsi, jika dengan “x” cenderung (baik kiri dan kanan), nilai fungsi yang sesuai cenderung » (lihat gambar). Semuanya tampak normal, tetapi kata-kata adalah kata-kata, makna adalah makna, ikon adalah ikon, tetapi ketat notasi matematika tidak cukup. Dan di paragraf kedua, kita akan berkenalan dengan dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini.

Biarkan fungsi didefinisikan pada beberapa interval kecuali, mungkin, untuk titik . PADA sastra pendidikan secara umum diterima bahwa fungsinya ada di sana bukan didefinisikan:

Pilihan ini menyoroti inti dari batas fungsi: "x" sangat dekat pendekatan , dan nilai fungsi yang sesuai adalah sangat dekat ke . Dengan kata lain, konsep batas tidak menyiratkan "pendekatan yang tepat" untuk poin, yaitu tanpa henti pendekatan dekat , tidak peduli apakah fungsi didefinisikan pada titik atau tidak.

Definisi pertama limit suatu fungsi, tidak mengherankan, dirumuskan dengan menggunakan dua barisan. Pertama, konsep-konsep itu saling terkait, dan kedua, batas-batas fungsi biasanya dipelajari setelah batas-batas barisan.

Perhatikan urutannya poin (bukan pada gambar) milik interval dan Selain daripada, yang konvergen ke . Kemudian nilai fungsi yang sesuai juga membentuk urutan numerik, yang anggotanya terletak pada sumbu y.

Batas fungsi heine untuk apa saja urutan titik (milik dan berbeda dari), yang konvergen ke titik , urutan nilai fungsi yang sesuai konvergen ke .

Eduard Heine adalah seorang matematikawan Jerman. ... Dan tidak perlu berpikir seperti itu, hanya ada satu gay di Eropa - ini adalah Gay-Lussac =)

Definisi kedua dari batas dibangun ... ya, ya, Anda benar. Tapi pertama-tama, mari kita lihat desainnya. Pertimbangkan -lingkungan titik yang sewenang-wenang (lingkungan "hitam"). Berdasarkan paragraf sebelumnya, notasi berarti bahwa beberapa nilai fungsi terletak di dalam "epsilon"-environment.

Sekarang mari kita cari -neighborhood yang sesuai dengan -neighborhood yang diberikan (secara mental menggambar garis putus-putus hitam dari kiri ke kanan dan kemudian dari atas ke bawah). Perhatikan bahwa nilai yang dipilih sepanjang segmen yang lebih kecil, di kasus ini- sepanjang segmen kiri yang lebih pendek. Selain itu, "merah" -lingkungan suatu titik bahkan dapat dikurangi, karena dalam definisi berikut fakta keberadaan itu penting lingkungan ini. Dan, sama, entri berarti bahwa beberapa nilai ada di dalam lingkungan "delta".

Batas Cauchy dari suatu fungsi: bilangan tersebut disebut limit fungsi di titik jika untuk apa saja dipilih sebelumnya lingkungan (sewenang-wenang kecil), ada-lingkungan intinya, SEPERTI bahwa: SEBAGAI HANYA nilai (milik) termasuk dalam bidang ini: (panah merah)- SEGERA nilai fungsi yang sesuai dijamin untuk memasuki -neighborhood: (panah biru).

Saya harus memperingatkan Anda bahwa agar lebih dapat dipahami, saya sedikit berimprovisasi, jadi jangan menyalahgunakannya =)

Singkatan: jika

Apa inti dari definisi? Secara kiasan, dengan mengurangi -neighbourhood secara tak terbatas, kami "menemani" nilai-nilai fungsi hingga batasnya, tanpa meninggalkan alternatif bagi mereka untuk mendekati di tempat lain. Sangat tidak biasa, tetapi sekali lagi benar-benar! Untuk mendapatkan ide yang benar, baca ulang kata-katanya lagi.

! Perhatian: jika Anda hanya perlu merumuskan definisi menurut Heine atau hanya Definisi Cauchy tolong jangan lupa tentang penting komentar awal: "Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan pada beberapa interval kecuali mungkin sebuah titik". Saya menyatakan ini sekali di awal dan tidak mengulanginya setiap kali.

Menurut teorema analisis matematis yang sesuai, definisi Heine dan Cauchy adalah setara, tetapi varian kedua adalah yang paling terkenal. (masih mau!), yang juga disebut "batas lidah":

Contoh 4

Dengan menggunakan definisi limit, buktikan bahwa

Keputusan: fungsi didefinisikan pada seluruh garis bilangan kecuali titik . Menggunakan definisi , kami membuktikan keberadaan limit pada suatu titik tertentu.

Catatan : besarnya lingkungan "delta" tergantung pada "epsilon", maka sebutannya

Mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan. Tugasnya adalah menggunakan nilai ini untuk memeriksa apakah apakah itu ada?- lingkungan, SEPERTI, yang dari pertidaksamaan mengikuti pertidaksamaan .

Dengan asumsi bahwa , kami mengubah pertidaksamaan terakhir:
(menguraikan trinomial persegi)

Definisi limit berhingga suatu barisan diberikan. Properti terkait dan definisi yang setara dipertimbangkan. Suatu definisi diberikan bahwa titik a bukan merupakan limit suatu barisan. Contoh dipertimbangkan di mana keberadaan batas dibuktikan menggunakan definisi.

Di sini kita mempertimbangkan definisi batas hingga suatu barisan. Kasus barisan yang konvergen hingga tak terhingga dibahas pada halaman "Definisi barisan tak hingga".

Definisi .
( x n ), jika untuk sembarang bilangan positif > 0 ada seperti itu bilangan asli N , bergantung pada , sehingga untuk semua bilangan asli n > N pertidaksamaan
| x n - a|< ε .
Limit suatu barisan dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di .

Mari kita ubah pertidaksamaannya:
;
;
.

Interval terbuka (a - , a + ) disebut - lingkungan titik a.

Barisan yang memiliki limit disebut barisan konvergen. Dikatakan juga bahwa urutannya konvergen untuk a. Barisan yang tidak memiliki limit disebut berbeda.

Ini mengikuti dari definisi bahwa jika barisan memiliki limit a , bahwa tidak peduli apa - lingkungan dari titik a yang kita pilih, hanya sejumlah elemen dari barisan, atau tidak ada sama sekali (set kosong) dapat berada di luar itu. Dan setiap - lingkungan berisi jumlah tak terbatas elemen. Memang, dengan menetapkan nomor tertentu , dengan demikian kami memiliki nomor . Jadi semua elemen barisan dengan angka , menurut definisi, berada di - lingkungan dari titik a . Elemen pertama bisa di mana saja. Artinya, di luar - lingkungan tidak boleh ada lebih dari elemen - yaitu, bilangan berhingga.

Kami juga mencatat bahwa perbedaan tidak harus monoton cenderung nol, yaitu menurun sepanjang waktu. Itu bisa cenderung nol tidak monoton: itu bisa bertambah atau berkurang, memiliki maksimal lokal. Namun, maksima ini, dengan meningkatnya n, harus cenderung nol (mungkin juga tidak monoton).

Dengan menggunakan simbol logika keberadaan dan universalitas, definisi limit dapat ditulis sebagai berikut:
(1) .

Menentukan bahwa a bukan limit

Sekarang perhatikan pernyataan kebalikan bahwa bilangan a bukanlah limit dari barisan tersebut.

Nomor a bukan batas barisan, jika ada sedemikian rupa sehingga untuk setiap n alam ada m alami seperti itu >n, Apa
.

Mari kita menulis pernyataan ini menggunakan simbol logis.
(2) .

Pernyataan bahwa bilangan a bukan limit barisan, maksudnya
Anda dapat memilih seperti - lingkungan titik a, di luarnya akan ada jumlah elemen urutan yang tak terbatas.

Pertimbangkan sebuah contoh. Biarkan barisan dengan elemen yang sama diberikan
(3)
Setiap lingkungan dari suatu titik mengandung jumlah elemen yang tak terbatas. Namun, titik ini bukanlah limit barisan, karena setiap tetangga dari titik tersebut juga mengandung jumlah elemen yang tak terhingga. Ambil - lingkungan suatu titik dengan = 1 . Ini akan menjadi interval (-1, +1) . Semua elemen kecuali yang pertama dengan n genap termasuk dalam interval ini. Tetapi semua elemen dengan n ganjil berada di luar interval ini karena memenuhi pertidaksamaan x n > 2 . Karena jumlah elemen ganjil tidak terbatas, akan ada jumlah elemen yang tidak terbatas di luar lingkungan yang dipilih. Oleh karena itu, titik tersebut bukan merupakan limit dari barisan tersebut.

Sekarang mari kita tunjukkan ini dengan berpegang teguh pada pernyataan (2). Titik tersebut bukan limit dari barisan (3), karena terdapat sedemikian , sehingga untuk sembarang n alam , ada n ganjil yang pertidaksamaannya
.

Dapat juga ditunjukkan bahwa sembarang titik a tidak dapat menjadi limit dari barisan ini. Kita selalu dapat memilih - lingkungan dari titik a yang tidak mengandung baik titik 0 atau titik 2. Dan kemudian akan ada banyak elemen dari barisan di luar lingkungan yang dipilih.

Definisi setara

Kita dapat memberikan definisi yang ekuivalen dari limit suatu barisan jika kita memperluas konsep - lingkungan. Kami akan mendapatkan definisi yang setara jika alih-alih -neighbourhood, setiap lingkungan dari titik a akan muncul di dalamnya.

Penentuan tetangga suatu titik
Sebuah lingkungan dari titik a disebut apa saja interval terbuka Yang mengandung poin ini. Secara matematis, lingkungan didefinisikan sebagai berikut: , di mana 1 dan 2 adalah bilangan positif arbitrer.

Maka definisi limit adalah sebagai berikut.

Definisi yang setara dari batas urutan
Bilangan a disebut limit barisan, jika untuk salah satu tetangganya terdapat bilangan asli N sedemikian rupa sehingga semua elemen barisan dengan bilangan termasuk dalam lingkungan ini.

Definisi ini juga dapat disajikan dalam bentuk yang diperluas.

Bilangan a disebut limit barisan, jika untuk sembarang bilangan positif dan terdapat bilangan asli N bergantung pada dan sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua bilangan asli
.

Bukti kesetaraan definisi

Mari kita buktikan bahwa kedua definisi limit barisan di atas adalah ekuivalen.

Biarkan angka a menjadi limit barisan menurut definisi pertama. Ini berarti ada fungsi , sehingga untuk sembarang bilangan positif pertidaksamaan berikut berlaku:
(4) pada .

Mari kita tunjukkan bahwa bilangan a juga merupakan limit barisan menurut definisi kedua. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa ada fungsi seperti itu , sehingga untuk setiap bilangan positif 1 dan 2 ketidaksetaraan berikut berlaku:
(5) pada .

Misalkan kita memiliki dua bilangan positif: 1 dan 2 . Dan biarkan menjadi yang terkecil dari mereka: . Kemudian ; ; . Kami menggunakan ini di (5):
.
Tapi ketidaksetaraan berlaku untuk . Kemudian pertidaksamaan (5) juga berlaku untuk .

Artinya, kami telah menemukan fungsi sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan (5) berlaku untuk sembarang bilangan positif 1 dan 2 .
Bagian pertama terbukti.

Sekarang biarkan angka a menjadi limit barisan menurut definisi kedua. Artinya terdapat suatu fungsi , sehingga untuk sembarang bilangan positif 1 dan 2 ketidaksetaraan berikut berlaku:
(5) pada .

Mari kita tunjukkan bahwa bilangan a adalah limit barisan dan definisi pertama. Untuk ini, Anda perlu meletakkan . Maka, untuk , pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Ini sesuai dengan definisi pertama dengan .
Kesetaraan definisi terbukti.

Contoh

Di sini kita mempertimbangkan beberapa contoh di mana diperlukan untuk membuktikan bahwa suatu bilangan a adalah limit suatu barisan. Dalam hal ini, perlu untuk mengatur sewenang-wenang nomor positif dan tentukan fungsi N dari sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua .

Contoh 1

Buktikan itu.

(1) .
Dalam kasus kami;
.

.
Mari kita gunakan sifat-sifat pertidaksamaan. Maka jika dan , maka
.

.
Kemudian
pada .
Ini berarti bahwa bilangan tersebut adalah limit dari barisan yang diberikan:
.

Contoh 2

Dengan menggunakan definisi limit barisan, buktikan bahwa
.

Kami menuliskan definisi limit barisan:
(1) .
Dalam kasus kami , ;
.

Kami memasukkan angka positif dan:
.
Mari kita gunakan sifat-sifat pertidaksamaan. Maka jika dan , maka
.

Artinya, untuk setiap positif , kita dapat mengambil bilangan asli yang lebih besar dari atau sama dengan :
.
Kemudian
pada .
.

Contoh 3

.

Kami memperkenalkan notasi , .
Mari kita ubah perbedaannya:
.
Untuk n alami = 1, 2, 3, ... kita punya:
.

Kami menuliskan definisi limit barisan:
(1) .
Kami memasukkan angka positif dan:
.
Maka jika dan , maka
.

Artinya, untuk setiap positif , kita dapat mengambil bilangan asli yang lebih besar dari atau sama dengan :
.
Di mana
pada .
Artinya, bilangan tersebut adalah limit dari barisan tersebut:
.

Contoh 4

Dengan menggunakan definisi limit barisan, buktikan bahwa
.

Kami menuliskan definisi limit barisan:
(1) .
Dalam kasus kami , ;
.

Kami memasukkan angka positif dan:
.
Maka jika dan , maka
.

Artinya, untuk setiap positif , kita dapat mengambil bilangan asli yang lebih besar dari atau sama dengan :
.
Kemudian
pada .
Artinya, bilangan tersebut adalah limit dari barisan tersebut:
.

Referensi:
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 2003.
cm. Nikolai. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.

bilangan konstan sebuah ditelepon membatasi urutan(x n ) jika untuk sembarang bilangan positif kecilε > 0 ada sejumlah N sedemikian rupa sehingga semua nilai x n, dimana n>N memenuhi pertidaksamaan

|x n - a|< ε. (6.1)

Tulis sebagai berikut: atau x n → sebuah.

Ketimpangan (6.1) setara dengan pertidaksamaan ganda

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

yang berarti bahwa poin x n, mulai dari suatu bilangan n>N, terletak di dalam interval (a-, a + ), yaitu jatuh ke dalam sekecil apa punε -lingkungan intinya sebuah.

Barisan yang memiliki limit disebut konvergen, sebaliknya - berbeda.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit dari fungsi x n = f(n) dari suatu argumen bilangan bulat n.

Misalkan fungsi f(x) diberikan dan sebuah - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), mis. titik seperti itu, lingkungan mana pun yang berisi titik-titik himpunan D(f) yang berbeda dari sebuah. Dot sebuah mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam himpunan D(f).

Definisi 1.Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a jika untuk setiap urutan (x n ) dari nilai argumen yang cenderung sebuah, barisan yang bersesuaian (f(x n)) memiliki limit A yang sama.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a jika, diberikan bilangan positif kecil sewenang-wenang, seseorang dapat menemukan seperti itu>0 (tergantung pada), yang untuk semua x berbaring di-lingkungan dari suatu bilangan sebuah, yaitu untuk x memenuhi ketidaksetaraan
0 < x-a< ε , nilai fungsi f(x) akan terletak pada-lingkungan dari nomor A, yaitu.|f(x)-A|< ε.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa - “.

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsi f(x) sebagai x →memiliki membatasi sama dengan A, ini ditulis sebagai

. (6.3)

Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode aproksimasi apa pun x sampai batasmu sebuah, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi f(x) memiliki batas tak terbatas, dan tuliskan sebagai:

Variabel (yaitu barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut sangat kecil.

Variabel yang limitnya sama dengan tak hingga disebut besar tak terhingga.

Untuk mencari limit dalam praktek, gunakan teorema berikut.

Teorema 1 . Jika setiap batas ada

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak terbatas, misalnya, rasio dua infinitesimals atau infinitesimals jumlah besar, dan untuk menemukan batas semacam ini disebut “pengungkapan ketidakpastian”.

Teorema 2. (6.7)

itu. adalah mungkin untuk melewati batas di dasar derajat pada eksponen konstan, khususnya, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

di mana e » 2.7 adalah basis dari logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut yang pertama batas yang luar biasa dan batas luar biasa kedua.

Akibat wajar dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya batas

jika x → a dan pada saat yang sama x > a, maka tulis x→a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih simbol 0+0 yang ditulis adalah +0. Demikian pula, jika x→a dan pada saat yang sama x a-0. angka dan diberi nama yang sesuai. batas kanan dan batas kiri fungsi f(x) pada intinya sebuah. Agar limit fungsi f(x) ada sebagai x→a perlu dan cukup untuk . Fungsi f(x) disebut kontinu pada intinya x 0 jika batas

. (6.15)

Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang sebagai:

,

yaitu, perjalanan ke limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika kontinu pada suatu titik tertentu.

Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka kita katakan bahwa pada x = xo fungsi f(x) Memiliki celah. Pertimbangkan fungsi y = 1/x. Domain dari fungsi ini adalah himpunan R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit dari himpunan D(f), karena di salah satu tetangganya, yaitu, setiap interval terbuka yang berisi titik 0 berisi titik-titik dari D(f), tetapi ia sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(x o)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga fungsi memiliki diskontinuitas di titik x o = 0.

Fungsi f(x) disebut menerus di sebelah kanan pada suatu titik x o jika batas

,

dan kontinu di sebelah kiri pada suatu titik x o jika batas

.

Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik x o ekuivalen dengan kontinuitasnya pada titik ini baik di kanan maupun di kiri.

Agar suatu fungsi kontinu di suatu titik x o, misalnya, di sebelah kanan, perlu, pertama, ada batas hingga , dan kedua, batas ini sama dengan f(x o). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari dua kondisi ini tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan memiliki celah.

1. Jika limit ada dan tidak sama dengan f(x o), maka dikatakan bahwa fungsi f(x) pada intinya xo punya istirahat jenis pertama, atau melompat.

2. Jika limitnya adalah+∞ atau -∞ atau tidak ada, maka kita katakan bahwa di titik x o fungsi memiliki jeda jenis kedua.

Misalnya, fungsi y = ctg x di x→ +0 memiliki batas yang sama dengan +∞, maka, pada titik x=0 ia memiliki diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari x) di titik-titik dengan absis bilangan bulat memiliki diskontinuitas jenis pertama, atau melompat.

Fungsi yang kontinu di setiap titik interval disebut kontinu di . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan terus menerus dari beberapa kuantitas mengarah ke batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan kontribusi menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi negara, pembusukan zat radioaktif, penggandaan bakteri, dll.

Mempertimbangkan contoh Ya. I. Perelman, yang memberikan interpretasi nomor e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya . Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahun. Jika koneksi dibuat lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena sejumlah besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan bank menempatkan 100 sarang. unit dengan tarif 100% per tahun. Jika uang berbunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada saat ini 100 sarang. unit akan berubah menjadi 200 sarang. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 sarang. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah setengah tahun 100 sarang. unit tumbuh hingga 100× 1,5 \u003d 150, dan setelah enam bulan lagi - pada 150× 1,5 \u003d 225 (unit sarang). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit berubah menjadi 100× (1 +1/3) 3 » 237 (unit sarang). Kami akan meningkatkan jangka waktu untuk menambahkan uang bunga menjadi 0,1 tahun, 0,01 tahun, 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 sarang. unit setahun kemudian:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unit ruang),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unit den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unit den.).

Dengan pengurangan tak terbatas dalam hal bunga bergabung, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang sama dengan kira-kira 271. Modal ditempatkan pada 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya

Contoh 3.1.Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit yang sama dengan 1.

Keputusan.Kita perlu membuktikan bahwa apapunε > 0 kita ambil, karena ada bilangan asli N sedemikian rupa sehingga untuk semua n N pertidaksamaan|xn-1|< ε.

Ambil sembarang e > 0. Sejak ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N cukup dengan menyelesaikan pertidaksamaan 1/n< e. Oleh karena itu n>1/ e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1/ e , N = E(1/e ). Dengan demikian kami membuktikan bahwa limit .

Contoh 3.2 . Tentukan limit barisan yang diberikan anggota biasa .

Keputusan.Terapkan teorema jumlah limit dan temukan limit setiap suku. untuk n→ pembilang dan penyebut tiap suku cenderung tak hingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat langsung diterapkan. Oleh karena itu, pertama-tama kita ubah x n, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua n. Kemudian, dengan menerapkan teorema limit hasil bagi dan teorema limit jumlah, kita menemukan:

.

Contoh 3.3. . Mencari .

Keputusan. .

Di sini kita telah menggunakan teorema batas derajat: batas derajat sama dengan derajat dari batas dasar.

Contoh 3.4 . Mencari ( ).

Keputusan.Tidak mungkin untuk menerapkan teorema limit perbedaan, karena kita memiliki ketidakpastian bentuk ∞-∞ . Mari kita ubah rumus istilah umum:

.

Contoh 3.5 . Diberikan sebuah fungsi f(x)=2 1/x . Buktikan bahwa limit tidak ada.

Keputusan.Kami menggunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi dalam bentuk barisan. Ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, mis. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, maka batasnya Ayo pilih sekarang sebagai x n barisan dengan suku yang sama x n = -1/n, juga cenderung nol. Oleh karena itu, tidak ada batasan.

Contoh 3.6 . Buktikan bahwa limit tidak ada.

Keputusan.Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
. Bagaimana barisan (f(x n)) = (sin x n ) berperilaku untuk x n yang berbeda →

Jika x n \u003d p n, maka sin x n \u003d sin p n = 0 untuk semua n dan batasi jika
xn=2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p/2) = sin p /2 = 1 untuk semua n dan karenanya batasnya. Dengan demikian tidak ada.

Widget untuk menghitung batas online

Di kotak atas, alih-alih sin(x)/x, masukkan fungsi yang batasnya ingin Anda temukan. Di kotak bawah, masukkan angka yang cenderung x dan klik tombol Kalkulator, dapatkan batas yang diinginkan. Dan jika di jendela hasil Anda mengklik Tampilkan langkah di sebelah kanan pojok atas anda akan mendapatkan solusi rinci.

Aturan masukan fungsi: kuadrat(x) - akar kuadrat, cbrt(x) - akar pangkat tiga, exp(x) - eksponen, ln(x) - logaritma natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan(x) - tangen, cot(x) - cotangen, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Tanda: * perkalian, / pembagian, ^ eksponensial, bukan ketakterbatasan Ketakterbatasan. Contoh: fungsi dimasukkan sebagai kuadrat(tan(x/2)).

Batas memberikan semua siswa matematika banyak masalah. Untuk mengatasi limit, terkadang Anda harus menggunakan banyak trik dan memilih dari berbagai solusi tepat yang cocok untuk contoh tertentu.

Dalam artikel ini, kami tidak akan membantu Anda memahami batas kemampuan Anda atau memahami batas kendali, tetapi kami akan mencoba menjawab pertanyaan: bagaimana memahami batas dalam matematika yang lebih tinggi? Pemahaman datang dengan pengalaman, jadi pada saat yang sama kami akan memberikan beberapa contoh detail batas solusi dengan penjelasan.

Konsep limit dalam matematika

Pertanyaan pertama adalah: apa batas dan batas apa? Anda dapat berbicara tentang batasan. urutan nomor dan fungsi. Kami tertarik dengan konsep limit suatu fungsi, karena dengan merekalah yang paling sering ditemui siswa. Tapi pertama, yang paling definisi umum membatasi:

Katakanlah ada beberapa variabel. Jika nilai ini dalam proses perubahan mendekati tanpa batas nomor tertentu sebuah , kemudian sebuah adalah batas dari nilai ini.

Untuk suatu fungsi yang didefinisikan dalam beberapa interval f(x)=y batasnya adalah angka A , dimana fungsi cenderung ketika X cenderung ke titik tertentu sebuah . Dot sebuah termasuk dalam interval di mana fungsi didefinisikan.

Kedengarannya rumit, tetapi ditulis dengan sangat sederhana:

Lim- dari bahasa Inggris membatasi- membatasi.

Ada juga penjelasan geometris definisi batas, tetapi di sini kita tidak akan masuk ke teori, karena kita lebih tertarik pada praktik daripada sisi teoretis dari masalah ini. Ketika kita mengatakan itu X cenderung ke suatu nilai, ini berarti bahwa variabel tidak mengambil nilai suatu bilangan, tetapi mendekatinya sangat dekat.

Ayo bawa contoh spesifik. Tantangannya adalah menemukan batasnya.

Untuk menyelesaikan contoh ini, kita substitusikan nilai x=3 menjadi sebuah fungsi. Kita mendapatkan:

Ngomong-ngomong, jika Anda tertarik, baca artikel terpisah tentang topik ini.

Dalam contoh X dapat cenderung ke nilai apa pun. Ini bisa berupa angka atau tak terhingga. Berikut adalah contoh ketika X cenderung tak terhingga:

Secara intuitif jelas bahwa lebih banyak nomor dalam penyebut, semakin kecil nilainya akan diambil oleh fungsi. Jadi, dengan pertumbuhan tak terbatas X berarti 1/x akan berkurang dan mendekati nol.

Seperti yang Anda lihat, untuk menyelesaikan limit, Anda hanya perlu mengganti nilai yang akan diperjuangkan ke dalam fungsi X . Namun, ini adalah kasus yang paling sederhana. Seringkali menemukan batasnya tidak begitu jelas. Dalam batas ada ketidakpastian jenis 0/0 atau tak terhingga/tak terhingga . Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Gunakan trik!

Ketidakpastian dalam

Ketidakpastian bentuk infinity/infinity

Biarkan ada batas:

Jika kita mencoba mensubstitusikan infinity ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan infinity baik dalam pembilang maupun penyebutnya. Secara umum, perlu dikatakan bahwa ada elemen seni tertentu dalam menyelesaikan ketidakpastian seperti itu: Anda perlu memperhatikan bagaimana Anda dapat mengubah fungsi sedemikian rupa sehingga ketidakpastiannya hilang. Dalam kasus kami, kami membagi pembilang dan penyebut dengan X di tingkat senior. Apa yang akan terjadi?

Dari contoh yang telah dibahas di atas, kita mengetahui bahwa suku-suku yang memiliki penyebut x akan cenderung nol. Maka solusi limitnya adalah:

Untuk mengungkap ambiguitas tipe tak terhingga/tak terhingga bagilah pembilang dan penyebutnya dengan X ke derajat tertinggi.

Omong-omong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10% untuk

Jenis ketidakpastian lain: 0/0

Seperti biasa, substitusi ke fungsi nilai x=-1 memberi 0 pada pembilang dan penyebutnya. Lihatlah sedikit lebih hati-hati dan Anda akan melihat bahwa di pembilang yang kami miliki persamaan kuadrat. Mari kita cari akarnya dan tulis:

Mari kita kurangi dan dapatkan:

Jadi, jika Anda menemukan ambiguitas tipe 0/0 - faktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk memudahkan Anda dalam menyelesaikan contoh, berikut adalah tabel dengan limit beberapa fungsi:

Aturan L'Hopital di dalam

Cara ampuh lainnya untuk menghilangkan kedua jenis ketidakpastian. Apa inti dari metode?

Jika terdapat ketidakpastian pada limit, kita ambil turunan dari pembilang dan penyebutnya sampai ketidakpastian tersebut hilang.

Secara visual, aturan L'Hopital terlihat seperti ini:

Poin penting : limit yang harus ada turunan pembilang dan penyebutnya, bukan pembilang dan penyebutnya.

Dan sekarang contoh nyata:

Ada ketidakpastian khas 0/0 . Tentukan turunan pembilang dan penyebutnya:

Voila, ketidakpastian dihilangkan dengan cepat dan elegan.

Kami berharap Anda dapat menerapkan informasi ini dengan baik dalam praktik dan menemukan jawaban atas pertanyaan "bagaimana memecahkan batas dalam matematika yang lebih tinggi". Jika Anda perlu menghitung limit barisan atau limit fungsi pada suatu titik, dan tidak ada waktu untuk pekerjaan ini dari kata "mutlak", lihat untuk solusi cepat dan terperinci.