Saat mempelajari aljabar di sekolah pendidikan umum(Kelas 9) salah satu dari topik penting adalah studi urutan nomor, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.

Apa itu barisan aritmatika?

Untuk memahami ini, perlu untuk menentukan perkembangan yang dimaksud, serta rumus dasar, yang selanjutnya akan digunakan dalam memecahkan masalah.

Aritmatika atau adalah himpunan bilangan rasional terurut, yang masing-masing anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dengan beberapa nilai konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, mengetahui anggota deret angka yang berurutan dan perbedaannya, Anda dapat memulihkan seluruh deret aritmatika.

Mari kita ambil contoh. Barisan bilangan selanjutnya adalah barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi himpunan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 8 - 5 12 - 8 17 - 12).

Rumus Penting

Kami sekarang memberikan rumus dasar yang akan diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan deret aritmatika. Dilambangkan dengan simbol a n anggota ke-n barisan di mana n adalah bilangan bulat. Mari kita tunjukkan perbedaannya huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini benar:

1. Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumusnya cocok: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.

Untuk memahami setiap contoh deret aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat dua rumus ini, karena masalah jenis apa pun dibangun berdasarkan penggunaannya. Juga, jangan lupa bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1 .

Contoh #1: Menemukan Anggota Tidak Dikenal

Kami memberikan contoh sederhana dari deret aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya.

Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu untuk menemukan lima suku di dalamnya.

Sudah mengikuti dari kondisi masalah bahwa 4 suku pertama diketahui. Kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:

1. Mari kita hitung selisihnya terlebih dahulu. Kami memiliki: d = 8 - 10 = -2. Dengan cara yang sama seseorang dapat mengambil dua istilah lainnya, berdiri di dekatnya bersama. Misalnya, d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui bahwa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita mendapatkan: a 5 \u003d a 4 + d. Pengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih dari progresi yang bersangkutan, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu, seperti gambar di atas (d = -2). Diketahui suku pertama a 1 = 10, kita gunakan rumus bilangan n barisan tersebut. Kami memiliki: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang Anda lihat, kedua solusi menghasilkan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan d dari progresi adalah negatif. Barisan demikian disebut menurun karena setiap suku yang berurutan lebih kecil dari suku sebelumnya.

Contoh #2: perbedaan perkembangan

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas, berikan contoh bagaimana menemukan perbedaan dari deret aritmatika.

Diketahui bahwa dalam beberapa deret aljabar, suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.

Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ekspresi ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Jadi, bagian pertama dari soal telah terjawab.

Untuk mengembalikan urutan hingga 7 istilah, seseorang harus menggunakan definisi progresi aljabar, yaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d dan seterusnya. Hasilnya, kami mengembalikan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.

Contoh #3: membuat kemajuan

Mari kita semakin memperumit kondisi masalah. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan deret aritmatika. bisa memimpin contoh berikutnya: dua angka diberikan, misalnya, - 4 dan 5. Perlu untuk membuat deret aljabar agar tiga suku lagi ditempatkan di antaranya.

Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu dipahami tempat yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n, kami menggunakan rumus, kami mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini kami menerima bukan nilai integer dari perbedaan, tetapi itu adalah bilangan rasional, jadi rumus untuk deret aljabar tetap sama.

Sekarang mari tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan pulihkan anggota progresi yang hilang. Kami mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, yang sesuai dengan kondisi masalah.

Contoh #4: Anggota pertama dari progresi

Kami terus memberikan contoh deret aritmatika dengan solusi. Pada semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari deret aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: biarkan dua angka diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Penting untuk menemukan dari nomor berapa urutan ini dimulai.

Rumus yang telah digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tulis ekspresi untuk setiap istilah yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana 2 jumlah yang tidak diketahui(a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.

Sistem yang ditentukan paling mudah untuk diselesaikan jika Anda mengekspresikan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbedaannya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,644 (hanya 3 tempat desimal yang diberikan).

Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56.496.

Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya, menentukan anggota ke-43 dari perkembangan, yang ditentukan dalam kondisi. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.

Contoh #5: Jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.

Biar dikasih perkembangan numerik jenis berikut: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?

Berkat perkembangannya teknologi komputer Anda dapat memecahkan masalah ini, yaitu menambahkan semua angka secara berurutan, yang Mesin hitung akan dilakukan segera setelah orang tersebut menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah deret aljabar, dan selisihnya adalah 1. Menerapkan rumus untuk jumlah, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian" karena dalam awal XVIII abad ini, orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah suatu deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menambahkan pasangan angka yang terletak di tepi barisan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup dengan mengalikan 50 dengan 101.

Contoh #6: jumlah suku dari n ke m

Lain contoh tipikal jumlah barisan aritmatika adalah sebagai berikut: jika diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu menemukan jumlah anggotanya dari 8 hingga 14.

Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena ada beberapa istilah, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk memecahkan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.

Idenya adalah untuk mendapatkan rumus untuk jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil perbedaan antara jumlah-jumlah ini, dan menambahkan istilah a m padanya (dalam kasus mengambil perbedaan, itu dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk masalah ini. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Hal ini diperlukan untuk mengganti formula untuk n dan a m ke dalam ekspresi ini. Maka diperoleh: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kami, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mensubstitusikan angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat dari solusi di atas, semua masalah didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.

Tip lainnya adalah berusaha untuk kesederhanaan, yaitu, jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematika yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti pada rumus S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan berpisah tugas bersama menjadi subtugas yang terpisah (dalam kasus ini pertama cari suku a n dan a m).

Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana menemukan deret aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Deret aritmatika- ini adalah serangkaian angka di mana setiap angka lebih besar (atau lebih kecil) dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini seringkali sulit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf, anggota ke-n dari progresi, perbedaan progresi - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya ... Mari kita cari tahu arti dari deret aritmatika dan semuanya akan segera beres.)

Konsep deret aritmatika.

Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.

Saya akan menulis serangkaian angka yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bisakah Anda memperpanjang garis ini? Nomor apa yang akan pergi selanjutnya, setelah lima? Semuanya ... eh ..., singkatnya, semua orang akan mengetahui bahwa angka 6, 7, 8, 9, dst. akan melangkah lebih jauh.

Mari kita memperumit tugas. Saya memberikan serangkaian angka yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda dapat menangkap polanya, memperpanjang seri, dan memberi nama ketujuh nomor baris?

Jika Anda mengetahui bahwa angka ini adalah 20 - saya ucapkan selamat! Anda tidak hanya merasa poin kunci deret aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda tidak mengerti, baca terus.

Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin kunci dari sensasi ke dalam matematika.)

Poin kunci pertama.

Deret aritmatika berkaitan dengan deret bilangan. Ini membingungkan pada awalnya. Kami terbiasa memecahkan persamaan, membuat grafik, dan semua itu ... Dan kemudian perpanjang deretnya, temukan jumlah deretnya ...

Tidak apa-apa. Hanya saja progresi adalah perkenalan pertama dengan cabang matematika baru. Bagian ini disebut "Rangkaian" dan berfungsi dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)

Poin kunci kedua.

Dalam deret aritmatika, bilangan apa pun berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Dalam contoh pertama, perbedaan ini adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu satu lebih banyak dari yang sebelumnya. Di kedua - tiga. Setiap nomor tiga kali lebih besar dari yang sebelumnya. Sebenarnya, momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk menangkap pola dan menghitung angka-angka berikutnya.

Poin kunci ketiga.

Momen ini tidak mencolok ya... Tapi sangat-sangat penting. Itu dia: setiap nomor perkembangan berdiri di tempatnya. Ada angka pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda membingungkan mereka secara sembarangan, polanya akan hilang. Deret aritmatika juga akan hilang. Itu hanya deretan angka.

Itulah intinya.

Tentu saja, dalam topik baru istilah dan notasi baru muncul. Mereka perlu tahu. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugas tersebut. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:

Tuliskan enam suku pertama dari barisan aritmatika (a n) jika a 2 = 5, d = -2.5.

Apakah itu menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, omong-omong, tidak bisa lebih mudah. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan notasinya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.

Istilah dan sebutan.

Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Nilai ini disebut . Mari kita bahas konsep ini secara lebih rinci.

Selisih barisan aritmatika.

Selisih deret aritmatika adalah jumlah di mana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.

Satu poin penting. Tolong perhatikan kata "lagi". Secara matematis, ini berarti bahwa setiap angka kemajuan diperoleh menambahkan perbedaan deret aritmatika dengan bilangan sebelumnya.

Untuk menghitung, katakanlah kedua nomor baris, perlu untuk pertama nomor Menambahkan perbedaan ini sangat dari perkembangan aritmatika. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu Menambahkan ke keempat baik, dll.

Selisih deret aritmatika mungkin positif maka setiap nomor seri akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut meningkat. Sebagai contoh:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini setiap nomor adalah menambahkan nomor positif, +5 ke yang sebelumnya.

Perbedaannya bisa negatif maka setiap bilangan pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.

Sebagai contoh:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini setiap nomor diperoleh juga menambahkan ke angka sebelumnya, tetapi sudah negatif, -5.

Omong-omong, ketika bekerja dengan progres, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah itu meningkat atau menurun. Ini sangat membantu untuk menemukan bantalan Anda dalam keputusan, untuk mendeteksi kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.

Selisih deret aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf d.

Bagaimana menemukan d? Sangat sederhana. Hal ini diperlukan untuk mengurangi dari sejumlah seri sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)

Mari kita definisikan, misalnya, d untuk deret aritmatika yang meningkat:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kami mengambil sejumlah baris yang kami inginkan, misalnya, 11. Kurangi dari itu nomor sebelumnya, itu. delapan:

Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.

Anda hanya dapat mengambil sejumlah kemajuan, karena untuk kemajuan tertentu d-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak dapat mengambil hanya nomor pertama. Hanya karena nomor pertama tidak ada sebelumnya.)

Ngomong-ngomong, mengetahui itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangat sederhana. Kami menambahkan 3 ke angka kelima - kami mendapatkan yang keenam, itu akan menjadi 17. Kami menambahkan tiga ke angka keenam, kami mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.

Mari kita definisikan d untuk deret aritmatika menurun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya mengingatkan Anda bahwa, terlepas dari tanda-tandanya, untuk menentukan d dibutuhkan dari nomor berapapun singkirkan yang sebelumnya. Kami memilih sejumlah perkembangan, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Perbedaan deret aritmatika dapat berupa bilangan apa saja: bilangan bulat, pecahan, irasional, apa saja.

Istilah dan sebutan lainnya.

Setiap bilangan dalam deret tersebut disebut anggota deret aritmatika.

Setiap anggota perkembangan memiliki nomornya. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dst. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah anggota pertama, lima adalah yang kedua, sebelas adalah yang keempat, yah, Anda mengerti ...) Harap dipahami dengan jelas - angka itu sendiri bisa benar-benar apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran- benar-benar teratur!

Cara merekam progres di pandangan umum? Tidak masalah! Setiap nomor dalam seri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan deret aritmatika, sebagai aturan, huruf digunakan sebuah. Nomor anggota ditunjukkan oleh indeks di kanan bawah. Anggota ditulis dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

sebuah 1 adalah angka pertama sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang rumit. Anda dapat menulis seri ini secara singkat seperti ini: (sebuah).

Ada kemajuan terbatas dan tak terbatas.

terakhir perkembangan memiliki jumlah terbatas anggota. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.

tak berujung perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tidak terbatas, seperti yang Anda duga.)

Anda dapat menulis progresi akhir melalui rangkaian seperti ini, semua anggota dan sebuah titik di akhir:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Atau seperti ini, jika ada banyak anggota:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

PADA singkatan Anda harus menentukan jumlah anggota tambahan. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:

(a n), n = 20

Sebuah kemajuan tak terbatas dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.

Sekarang Anda sudah dapat menyelesaikan tugas. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti dari deret aritmatika.

Contoh tugas untuk deret aritmatika.

Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:

1. Tuliskan enam anggota pertama dari deret aritmatika (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.

Kami mentransfer tugas ke bahasa yang dapat dimengerti. Mengingat perkembangan aritmatika tak terbatas. Angka kedua dari perkembangan ini diketahui: a2 = 5. Perbedaan perkembangan yang diketahui: d = -2,5. Kita perlu menemukan anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.

Untuk kejelasan, saya akan menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi masalah. Enam anggota pertama, di mana anggota kedua adalah lima:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....

sebuah 3 = sebuah 2 + d

Kami mengganti dalam ekspresi a2 = 5 dan d=-2,5. Jangan lupa minusnya!

sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Suku ketiga adalah kurang dari satu detik. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilai, sehingga nomor itu sendiri akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Progresi semakin menurun. Oke, mari kita pertimbangkan.) Kami mempertimbangkan anggota keempat dari seri kami:

sebuah 4 = sebuah 3 + d

sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

sebuah 5 = sebuah 4 + d

sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5

sebuah 6 = sebuah 5 + d

sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, istilah dari ketiga hingga keenam telah dihitung. Ini menghasilkan serangkaian:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Tetap mencari suku pertama sebuah 1 pada kedua yang terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh karena itu, perbedaan dari deret aritmatika d tidak harus ditambahkan ke sebuah 2, sebuah bawa pulang:

sebuah 1 = sebuah 2 - d

sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Itu saja. Tanggapan tugas:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Secara sepintas, saya perhatikan bahwa kami menyelesaikan tugas ini berulang jalan. Kata mengerikan ini berarti, hanya, pencarian anggota progresi dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Cara lain untuk bekerja dengan perkembangan akan dibahas nanti.

Dari ini tugas sederhana satu kesimpulan penting dapat ditarik.

Ingat:

Jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, kita dapat menemukan setiap anggota dari deret ini.

Ingat? Derivasi sederhana ini memungkinkan kita untuk memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah pada topik ini. Semua tugas berputar di sekitar tiga utama parameter: anggota deret aritmatika, selisih deret, jumlah anggota deret. Semuanya.

Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain yang melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai perkembangannya- semuanya berkisar pada tiga parameter.

Misalnya, pertimbangkan beberapa tugas populer pada topik ini.

2. Tulis barisan aritmatika akhir sebagai deret jika n=5, d=0.4, dan a 1=3.6.

Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota deret aritmatika dihitung, dihitung, dan ditulis. Disarankan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5". Agar tidak menghitung sampai wajahmu benar-benar biru.) Hanya ada 5 (lima) anggota dalam perkembangan ini:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Tetap menuliskan jawabannya:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan apakah bilangan 7 merupakan anggota barisan aritmatika (a n) jika a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

Hm... Siapa yang tahu? Bagaimana mendefinisikan sesuatu?

Bagaimana-bagaimana... Ya, tuliskan progresi dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sekarang jelas terlihat bahwa kita hanya tujuh menyelinap melalui antara 6,5 ​​dan 7,7! Tujuh tidak masuk ke rangkaian angka kami, dan, oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota dari perkembangan yang diberikan.

Jawaban: tidak.

Dan ini adalah masalah berdasarkan versi asli GI:

4. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:

...; limabelas; X; sembilan; 6; ...

Berikut adalah seri tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan d. Tidak apa-apa. Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup memahami arti dari deret aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang kita bisa menemukan dari baris ini? Apa parameter dari tiga yang utama?

Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.

Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "berurutan" dalam kondisi. Ini berarti bahwa angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya saya punya! Ini adalah 9 dan 6. Jadi kita bisa menghitung selisih dari barisan aritmatika! Kami kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:

Ada ruang kosong yang tersisa. Nomor berapa yang akan menjadi yang sebelumnya untuk x? Limabelas. Jadi X dapat dengan mudah ditemukan tambahan sederhana. Untuk 15 menambahkan perbedaan dari deret aritmatika:

Itu saja. Menjawab: x=12

Kami memecahkan masalah berikut sendiri. Catatan: teka-teki ini bukan untuk rumus. Semata-mata untuk memahami arti dari deret aritmatika.) Kami hanya menuliskan serangkaian angka-huruf, melihat dan berpikir.

5. Tentukan suku positif pertama dari barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.

6. Diketahui bilangan 5.5 merupakan anggota barisan aritmatika (a n), dimana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan jumlah n dari suku ini.

7. Diketahui bahwa pada suatu deret aritmatika a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Temukan 3 .

8. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x.

9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, secara bertahap meningkatkan kecepatannya sebesar 30 meter per menit. Berapakah kecepatan kereta api dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.

10. Diketahui bahwa pada suatu barisan aritmatika a 2 = 5; a6 = -5. Temukan 1.

Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; sembilan; 0,3; 4.

Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat menguasai perkembangan aritmatika untuk lebih banyak lagi level tinggi, dalam pelajaran berikutnya.

Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Di Bagian Khusus 555, semua teka-teki ini diurutkan berdasarkan tulang.) Dan, tentu saja, sederhana teknik praktis, yang segera menyoroti solusi tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, dalam tampilan penuh!

Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta ada dua masalah yang sering membuat orang tersandung. Satu murni dalam perkembangan, dan yang kedua umum untuk tugas apa pun dalam matematika, dan fisika juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa arti dasar dari deret aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah tentang topik ini. Menambahkan d ke nomor, menulis seri, semuanya akan diputuskan.

Solusi "dengan jari" bekerja dengan baik untuk bagian seri yang sangat pendek, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika seri lebih panjang, perhitungan menjadi lebih sulit. Misalnya, jika dalam masalah 9 dalam pertanyaan, ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)

Dan ada juga tugas-tugas yang pada dasarnya sederhana, tetapi sama sekali tidak masuk akal dalam hal perhitungan, misalnya:

Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Dan apa, kami akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Apakah mungkin untuk bunuh diri!?

Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana, yang menurutnya Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas seperti itu dalam satu menit. Rumus ini akan ada di pelajaran berikutnya. Dan masalah itu selesai di sana. Dalam semenit.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Petunjuk

Barisan aritmatika adalah barisan yang berbentuk a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Langkah nomor d kemajuan.Jelas, total suku ke-n arbitrer dari aritmatika kemajuan memiliki bentuk: An = A1+(n-1)d. Kemudian mengetahui salah satu anggota kemajuan, anggota kemajuan dan langkah kemajuan, bisa , yaitu, jumlah suku perkembangan. Jelas, itu akan ditentukan oleh rumus n = (An-A1+d)/d.

Biarkan suku ke-m diketahui sekarang kemajuan dan beberapa anggota lainnya kemajuan- ke-n, tetapi n , seperti pada kasus sebelumnya, tetapi diketahui bahwa n dan m tidak cocok.Langkah kemajuan dapat dihitung dengan rumus: d = (An-Am)/(n-m). Maka n = (An-Am+md)/d.

Jika jumlah beberapa elemen suatu aritmatika kemajuan, serta yang pertama dan terakhir , maka jumlah elemen ini juga dapat ditentukan.Jumlah aritmatika kemajuan akan sama dengan: S = ((A1+An)/2)n. Maka n = 2S/(A1+An) adalah chdenov kemajuan. Menggunakan fakta bahwa An = A1+(n-1)d, rumus ini dapat ditulis ulang sebagai: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Dari yang satu ini dapat menyatakan n dengan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Barisan aritmatika adalah kumpulan angka yang berurutan, yang masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama, berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama. Ini konstan disebut selisih dari barisan atau langkahnya dan dapat dihitung dari anggota barisan aritmatika yang diketahui.

Petunjuk

Jika nilai suku pertama dan kedua atau pasangan suku tetangga lainnya diketahui dari kondisi soal, untuk menghitung selisih (d), cukup kurangi suku sebelumnya dari suku berikutnya. Nilai yang dihasilkan dapat berupa positif atau angka negatif- itu tergantung pada apakah perkembangannya meningkat. PADA bentuk umum tuliskan solusi untuk pasangan arbitrer (aᵢ dan aᵢ₊₁) dari anggota-anggota deret yang bertetangga sebagai berikut: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Untuk sepasang anggota dari deret seperti itu, salah satunya adalah yang pertama (a₁), dan yang lainnya adalah yang lain yang dipilih secara arbitrer, kita juga dapat membuat rumus untuk menemukan perbedaan (d). Namun, dalam hal ini, nomor seri (i) dari anggota urutan yang dipilih secara arbitrer harus diketahui. Untuk menghitung selisihnya, tambahkan kedua bilangan tersebut, dan bagi hasilnya dengan bilangan urut dari suku arbitrer yang dikurangi satu. Secara umum, tulis rumus ini sebagai berikut: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jika, selain anggota arbitrer dari barisan aritmatika dengan bilangan urut i, anggota lain dengan bilangan urut u diketahui, ubahlah rumus dari langkah sebelumnya. Dalam hal ini, selisih (d) dari barisan akan menjadi jumlah dari kedua suku ini dibagi dengan selisihnya nomor serial: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Rumus untuk menghitung selisih (d) menjadi agak lebih rumit jika, dalam kondisi masalah, nilai anggota pertamanya (a₁) dan jumlah (Sᵢ) dari bilangan tertentu (i) anggota pertama diberikan barisan aritmatika. Untuk mendapatkan nilai yang diinginkan, bagi jumlah dengan jumlah suku yang membentuknya, kurangi nilai bilangan pertama dalam barisan, dan gandakan hasilnya. Bagilah nilai yang dihasilkan dengan jumlah suku yang membentuk jumlah dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus untuk menghitung diskriminan sebagai berikut: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Apa Titik utama rumus?

Rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap DENGAN NOMORNYA" n" .

Tentu saja, Anda perlu tahu istilah pertama sebuah 1 dan perbedaan perkembangan d, nah, tanpa parameter ini, Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.

Tidaklah cukup untuk menghafal (atau menipu) rumus ini. Penting untuk mengasimilasi esensinya dan menerapkan formula dalam berbagai masalah. Dan jangan lupa momen yang tepat, tapi bagaimana caranya tidak lupa- Aku tidak tahu. Dan di sini bagaimana cara mengingat Jika perlu, saya akan memberi Anda petunjuk. Bagi mereka yang menguasai pelajaran sampai akhir.)

Jadi, mari kita berurusan dengan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.

Apa itu rumus secara umum - kita bayangkan.) Apa itu deret aritmatika, nomor anggota, perbedaan perkembangan - dinyatakan dengan jelas dalam pelajaran sebelumnya. Lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa anggota ke-n.

Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai serangkaian angka:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

sebuah 1- menunjukkan suku pertama dari deret aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga sebuah 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan suku kelima, misalkan kita bekerja dengan sebuah 5, jika seratus dua puluh - dari 120.

Bagaimana mendefinisikan secara umum setiap anggota deret aritmatika, s setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:

sebuah

Itulah apa itu anggota ke-n dari deret aritmatika. Di bawah huruf n semua nomor anggota disembunyikan sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apa yang diberikan catatan seperti itu kepada kita? Bayangkan saja, alih-alih angka, mereka menulis surat ...

Entri ini memberi kita alat yang kuat untuk bekerja dengan deret aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukan setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan banyak tugas yang harus diselesaikan secara bertahap. Anda akan melihat lebih jauh.

Dalam rumus anggota ke-n dari deret aritmatika:

a n = a 1 + (n-1)d

sebuah 1- anggota pertama dari perkembangan aritmatika;

n- nomor anggota.

Rumus tersebut menghubungkan parameter kunci dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; d dan n. Di sekitar parameter ini, semua teka-teki berputar dalam perkembangan.

Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis progresi tertentu. Misalnya, dalam masalah dapat dikatakan bahwa perkembangan diberikan oleh kondisi:

a n = 5 + (n-1) 2.

Masalah seperti itu bahkan bisa membingungkan ... Tidak ada seri, tidak ada perbedaan ... Tapi, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah untuk mengetahui bahwa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.

Dan itu bisa lebih marah!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya, buka kurung dan berikan yang serupa? Kami mendapatkan formula baru:

an = 3 + 2n.

Ini Hanya tidak umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letak perangkapnya. Beberapa orang berpikir bahwa suku pertama adalah tiga. Meskipun pada kenyataannya anggota pertama adalah lima ... Sedikit lebih rendah kami akan bekerja dengan formula yang dimodifikasi.

Dalam tugas untuk kemajuan, ada notasi lain - n+1. Ini adalah, Anda dapat menebaknya, istilah "n ditambah yang pertama" dari perkembangan. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota perkembangan, yang jumlahnya lebih besar dari angka n per satu. Misalnya, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk sebuah suku kelima, maka n+1 akan menjadi anggota keenam. Dll.

Paling sering sebutan n+1 terjadi dalam rumus rekursif. Jangan takut itu kata yang mengerikan!) Ini hanyalah cara untuk mengekspresikan suku dari deret aritmatika melalui yang sebelumnya. Misalkan kita diberikan deret aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:

a n+1 = a n +3

a2 = a1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Yang keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - hingga yang keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana cara menghitung segera, ucapkan suku kedua puluh, 20? Tapi tidak mungkin!) Meskipun suku ke-19 tidak diketahui, suku ke-20 tidak dapat dihitung. Inilah perbedaan mendasar antara rumus rekursif dan rumus suku ke-n. Rekursif hanya bekerja melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n - melalui pertama dan mengizinkan langsung temukan anggota mana pun dengan nomornya. Tidak menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.

Dalam deret aritmatika, rumus rekursif dapat dengan mudah diubah menjadi rumus biasa. Hitung sepasang suku berurutan, hitung selisihnya d, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumus dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Di GIA, tugas seperti itu sering ditemukan.

Penerapan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.

Untuk memulai, pertimbangkan aplikasi langsung rumus. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:

Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apapun, hanya berdasarkan arti dari deret aritmatika. Tambah, ya tambah... Satu atau dua jam.)

Dan menurut rumusnya, solusinya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Kami memutuskan.

Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Masih harus dilihat apa n. Tidak masalah! Kita perlu menemukan 121. Di sini kami menulis:

Mohon perhatian! Alih-alih indeks n angka tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota deret aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita n. Ini dia artinya n= 121 selanjutnya kita substitusikan ke dalam rumus, dalam kurung. Substitusikan semua angka dalam rumus dan hitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Itu saja. Secepatnya seseorang dapat menemukan lima ratus sepuluh anggota, dan seribu tiga, apa saja. Kami menempatkan sebagai gantinya n nomor yang diinginkan pada indeks surat " sebuah" dan dalam tanda kurung, dan kami pertimbangkan.

Biarkan saya mengingatkan Anda esensinya: formula ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap suku dari barisan aritmatika DENGAN NOMORNYA" n" .

Mari selesaikan masalah dengan lebih cerdas. Katakanlah kita memiliki masalah berikut:

Tentukan suku pertama barisan aritmatika (a n) jika a 17 = -2; d=-0,5.

Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan menyarankan langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika! Ya ya. Tulis tangan, tepat di buku catatan Anda:

a n = a 1 + (n-1)d

Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf dalam rumus, kami memahami data apa yang kami miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas ... Semuanya? Jika Anda berpikir itu saja, maka Anda tidak dapat menyelesaikan masalah, ya ...

Kami juga memiliki nomor n! dalam kondisi a 17 =-2 tersembunyi dua pilihan. Ini adalah nilai anggota ketujuh belas (-2) dan nomornya (17). Itu. n=17."Hal kecil" ini sering melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "hal kecil", bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Meskipun ... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh ya, 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita masukkan ke dalam:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Itu, pada dasarnya, adalah semua. Tetap mengungkapkan suku pertama deret aritmatika dari rumus, dan menghitung. Anda mendapatkan jawabannya: a1 = 6.

Teknik seperti itu - menulis formula dan hanya mengganti data yang diketahui - banyak membantu dalam tugas sederhana. Yah, tentu saja, Anda harus dapat mengekspresikan variabel dari rumus, tetapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak dapat dipelajari sama sekali ...

Masalah populer lainnya:

Tentukan selisih dari barisan aritmatika (a n) jika a 1 =2; a 15 = 12.

Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami menulis rumusnya!)

a n = a 1 + (n-1)d

Pertimbangkan apa yang kita ketahui: a 1 = 2; a 15 = 12; dan (sorotan khusus!) n=15. Jangan ragu untuk mengganti dalam rumus:

12=2 + (15-1)d

Mari kita lakukan aritmatika.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ini adalah jawaban yang benar.

Jadi, tugas a n , a 1 dan d diputuskan. Masih belajar bagaimana menemukan nomornya:

Bilangan 99 adalah anggota deret aritmatika (a n), di mana a 1 = 12; d=3. Temukan nomor anggota ini.

Kami mengganti jumlah yang diketahui ke dalam rumus suku ke-n:

a n = 12 + (n-1) 3

Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor n... Dan anggota perkembangan ini yang kita kenal! Ini 99. Kami tidak tahu nomornya. n, jadi nomor ini juga perlu ditemukan. Substitusikan suku perkembangan 99 ke dalam rumus:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami mengungkapkan dari rumus n, kami pikir. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.

Dan sekarang masalah pada topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan apakah bilangan 117 merupakan anggota barisan aritmatika (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita menulis rumus lagi. Apa, tidak ada pilihan? Hm... Kenapa kita butuh mata?) Apakah kita melihat anggota pertama dari progresi? Kami melihat. Ini adalah -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: a 1 \u003d -3.6. Perbedaan d dapat ditentukan dari seri? Sangat mudah jika Anda tahu apa perbedaan dari deret aritmatika:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Ya, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor yang tidak dikenal n dan bilangan 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, paling tidak diketahui bahwa yang diberikan adalah suku dari barisan tersebut. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu itu ... Bagaimana menjadi!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi ... Nyalakan keterampilan kreatif!)

Kami memperkirakan bahwa 117 adalah, setelah semua, anggota kemajuan kami. Dengan nomor tak dikenal n. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumus (ya-ya!)) dan mengganti nomor kami:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Sekali lagi kami ungkapkan dari rumusn, kami menghitung dan mendapatkan:

Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam progresi tidak bisa. Kesimpulan apa yang kita ambil? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kami. Itu adalah suatu tempat antara anggota 101 dan 102. Jika jumlahnya ternyata alami, mis. bilangan bulat positif, maka nomor tersebut akan menjadi anggota perkembangan dengan nomor yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban untuk masalahnya adalah: tidak.

Tugas berdasarkan versi nyata GIA:

Deret aritmatika diberikan oleh kondisi:

a n \u003d -4 + 6.8n

Tentukan suku pertama dan suku kesepuluh dari deret tersebut.

Di sini perkembangan diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam formula ... Itu terjadi.) Namun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus anggota ke-n dari deret aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan dengan nomornya.

Kami mencari anggota pertama. Yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat, adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal dimodifikasi. Suku pertama dari barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak ada, kita akan menemukannya sekarang.)

Sama seperti pada tugas sebelumnya, kami mengganti n=1 di rumus ini:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!

Demikian pula, kami mencari suku kesepuluh:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Itu saja.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca hingga baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Misalkan, dalam situasi pertempuran yang sulit, GIA atau Unified State Examination, Anda lupa rumus yang berguna anggota ke-n dari deret aritmatika. Sesuatu muncul dalam pikiran, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Apakah n di sana, atau n+1, atau t-1... Bagaimana menjadi!?

Tenang! Rumus ini mudah diturunkan. Tidak terlalu ketat, tapi untuk memastikan dan keputusan tepat cukup!) Sebagai kesimpulan, cukup mengingat arti dasar dari deret aritmatika dan memiliki waktu beberapa menit. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.

Kami menggambar sumbu numerik dan tandai yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dst. anggota. Dan perhatikan perbedaannya d antar anggota. Seperti ini:

Kami melihat gambar dan berpikir: apa yang sama dengan suku kedua? Kedua satu d:

sebuah 2 = a 1 + 1 d

Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua d.

sebuah 3 = a 1 + 2 d

Apakah kamu mendapatkannya? Saya tidak sia-sia menyoroti beberapa kata dalam huruf tebal. Oke, satu langkah lagi.)

Apa istilah keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga d.

sebuah 4 = a 1 + 3 d

Saatnya menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. d, selalu satu kurang dari jumlah anggota yang Anda cari n. Artinya, sampai nomor n, jumlah celah akan n-1. Jadi, rumusnya adalah (tidak ada opsi!):

a n = a 1 + (n-1)d

Secara umum, gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak masalah dalam matematika. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sulit untuk menggambar, maka ... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda untuk menghubungkan seluruh gudang senjata matematika yang kuat ke solusi - persamaan, ketidaksetaraan, sistem, dll. Anda tidak dapat menempatkan gambar dalam persamaan ...

Tugas untuk keputusan independen.

Untuk pemanasan:

1. Dalam deret aritmatika (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Temukan 3 .

Petunjuk: sesuai dengan gambar, masalahnya diselesaikan dalam 20 detik ... Menurut rumus, ternyata lebih sulit. Tetapi untuk menguasai rumus, itu lebih berguna.) Dalam Bagian 555, masalah ini diselesaikan baik dengan gambar maupun dengan rumus. Rasakan perbedaan nya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam deret aritmatika (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Carilah 3 .

Apa, keengganan untuk menggambar?) Masih! Lebih enak di rumus ya...

3. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Temukan suku keseratus dua puluh lima dari deret ini.

Dalam tugas ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku ke seratus dua puluh lima... Tidak semua orang bisa melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!

4. Diberikan barisan aritmatika (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Tentukan jumlah suku positif terkecil dari deret tersebut.

5. Sesuai dengan kondisi tugas 4, temukan jumlah anggota positif terkecil dan negatif terbesar dari perkembangan.

6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas dari suatu deret aritmatika meningkat adalah -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14 .

Bukan tugas termudah, ya ...) Di sini metode "di jari" tidak akan berfungsi. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.

Jawaban (berantakan):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Telah terjadi? Itu bagus!)

Tidak semuanya berhasil? Itu terjadi. Ngomong-ngomong, di tugas terakhir ada satu titik halus. Perhatian saat membaca masalah akan diperlukan. Dan logika.

Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk keempat, dan momen halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun untuk rumus suku ke-n - semuanya dilukis. Menyarankan.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Moto pelajaran kita adalah kata-kata ahli matematika Rusia V.P. Ermakova: "Dalam matematika, seseorang tidak boleh mengingat rumus, tetapi proses berpikir."

Selama kelas

Rumusan masalah

Di papan adalah potret Gauss. Seorang guru atau siswa yang diberi tugas terlebih dahulu untuk menyiapkan pesan mengatakan bahwa ketika Gauss berada di sekolah, guru meminta siswa untuk menjumlahkan semuanya. bilangan bulat dari 1 sampai 100. Little Gauss memecahkan masalah ini dalam satu menit.

Pertanyaan . Bagaimana Gauss mendapatkan jawabannya?

Cari solusi

Siswa mengungkapkan asumsi mereka, kemudian menyimpulkan: menyadari bahwa jumlah 1 + 100, 2 + 99, dll. sama, Gauss dikalikan 101 dengan 50, yaitu dengan jumlah jumlah tersebut. Dengan kata lain, dia memperhatikan pola yang melekat dalam deret aritmatika.

Turunan dari rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika

Tulislah topik pelajaran di papan tulis dan di buku catatan Anda. Siswa bersama guru menuliskan turunan rumus:

Biarlah sebuah 1 ; sebuah 2 ; sebuah 3 ; sebuah 4 ; ...; sebuah – 2 ; sebuah – 1 ; sebuah- deret aritmatika.

Pengikat utama

1. Mari kita selesaikan, dengan menggunakan rumus (1), masalah Gauss:

2. Dengan menggunakan rumus (1), selesaikan masalah secara lisan (kondisinya ditulis di papan tulis atau kode positif), ( sebuah) - deret aritmatika:

sebuah) sebuah 1 = 2, sebuah 10 = 20. S 10 - ?

b) sebuah 1 = –5, sebuah 7 = 1. S 7 - ? [–14]

di) sebuah 1 = –2, sebuah 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) sebuah 1 = –5, sebuah 11 = 5. S 11 - ?

3. Selesaikan tugas.

Diberikan :( sebuah) - deret aritmatika;

sebuah 1 = 3, sebuah 60 = 57.

Mencari: S 60 .

Keputusan. Mari kita gunakan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika

Menjawab: 1800.

Pertanyaan tambahan. Berapa banyak jenis masalah yang berbeda yang dapat diselesaikan dengan rumus ini?

Menjawab. Empat jenis tugas:

Temukan jumlahnya S n;

Tentukan suku pertama suatu deret aritmatika sebuah 1 ;

Mencari n-anggota deret aritmatika sebuah;

Tentukan banyaknya anggota barisan aritmatika.

4. Selesaikan tugas: No. 369(b).

Tentukan jumlah suku ke enam puluh satu suatu deret aritmatika ( sebuah), jika sebuah 1 = –10,5, sebuah 60 = 51,5.

Keputusan.

Menjawab: 1230.

pertanyaan tambahan. Tuliskan rumusnya n anggota ke-th dari deret aritmatika.

Menjawab: sebuah = sebuah 1 + d(n – 1).

5. Hitung rumus untuk sembilan suku pertama suatu deret aritmatika ( b n),
jika b 1 = –17, d = 6.

Apakah mungkin untuk menghitung segera menggunakan rumus?

Tidak, karena suku kesembilan tidak diketahui.

Bagaimana menemukannya?

Menurut rumus n anggota ke-th dari deret aritmatika.

Keputusan. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Menjawab: 63.

Pertanyaan. Apakah mungkin untuk menemukan jumlah tanpa menghitung suku kesembilan dari perkembangan?

Rumusan masalah

Soal: dapatkan rumus penjumlahan n suku pertama dari deret aritmatika, mengetahui suku pertamanya dan perbedaannya d.

(Keluaran rumus di papan tulis oleh siswa.)

Putuskan No. 371(a) pada rumus baru (2):

Mengkonsolidasikan formula secara verbal (2) ( kondisi tugas ditulis di papan tulis).

(sebuah

1. sebuah 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. sebuah 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Ajukan pertanyaan kepada siswa apa yang mereka tidak mengerti.

kerja mandiri

Pilihan 1

Diberikan: (sebuah) adalah barisan aritmatika.

1. sebuah 1 = –3, sebuah 6 = 21. S 6 - ?

2. sebuah 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

pilihan 2

Diberikan: (sebuah) adalah barisan aritmatika.

1.sebuah 1 = 2, sebuah 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.sebuah 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Siswa mengganti buku catatan dan memeriksa solusi satu sama lain.

Meringkas asimilasi materi berdasarkan hasil kerja mandiri.